I følge læreboken til Sovetov og Yakovlev: "en modell (lat. modulus - mål) er en gjenstandserstatning av det opprinnelige objektet, og gir studiet av noen egenskaper til originalen." (s. 6) "Å erstatte ett objekt med et annet for å få informasjon om de viktigste egenskapene til det opprinnelige objektet ved å bruke modellobjektet kalles modellering." (s. 6) “Under matematisk modellering vil vi forstå prosessen med å etablere korrespondanse til et gitt reelt objekt til et matematisk objekt, kalt en matematisk modell, og studiet av denne modellen, som gjør det mulig å oppnå egenskapene til det reelle objektet som vurderes . Typen matematisk modell avhenger av både arten til det virkelige objektet og oppgavene med å studere objektet og den nødvendige påliteligheten og nøyaktigheten for å løse dette problemet.

Til slutt, den mest konsise definisjonen av en matematisk modell: "En ligning som uttrykker en idé."

Modellklassifisering

Formell klassifisering av modeller

Den formelle klassifiseringen av modeller er basert på klassifiseringen av de matematiske verktøyene som brukes. Ofte bygget i form av dikotomier. For eksempel er et av de populære settene med dikotomier:

og så videre. Hver konstruert modell er lineær eller ikke-lineær, deterministisk eller stokastisk, ... Naturligvis er blandede typer også mulig: konsentrert i en henseende (i forhold til parametere), distribuerte modeller i en annen, etc.

Klassifisering etter måten objektet er representert på

Sammen med den formelle klassifiseringen er modellene forskjellige i måten de representerer objektet på:

• Strukturelle eller funksjonelle modeller

Strukturelle modeller representerer et objekt som et system med sin egen enhet og funksjonsmekanisme. Funksjonelle modeller bruker ikke slike representasjoner og reflekterer kun den eksternt oppfattede atferden (funksjonen) til objektet. I sitt ekstreme uttrykk kalles de også "black box"-modeller. Kombinerte typer modeller er også mulige, som noen ganger kalles "gråboks"-modeller.

Innhold og formelle modeller

Nesten alle forfattere som beskriver prosessen med matematisk modellering indikerer at først en spesiell ideell konstruksjon bygges, innholdsmodell. Det er ingen etablert terminologi her, og andre forfattere kaller dette ideelle objekt konseptuell modell , spekulativ modell eller formodell. I dette tilfellet kalles den endelige matematiske konstruksjonen formell modell eller bare en matematisk modell oppnådd som et resultat av formaliseringen av denne innholdsmodellen (pre-modellen). Konstruksjonen av en meningsfull modell kan utføres ved hjelp av et sett med ferdige idealiseringer, som i mekanikk, der ideelle fjærer, solide kropper, ideelle pendler, elastiske medier, etc. gir ferdige strukturelle elementer for meningsfull modellering. Men i kunnskapsområder hvor det ikke er fullstendig fullførte formaliserte teorier (nyheten innen fysikk, biologi, økonomi, sosiologi, psykologi og de fleste andre områder), er det dramatisk mer komplisert å lage meningsfulle modeller.

Meningsfull klassifisering av modeller

Ingen hypotese i vitenskapen kan bevises en gang for alle. Richard Feynman sa det veldig tydelig:

«Vi har alltid evnen til å motbevise en teori, men merk at vi aldri kan bevise at den er riktig. La oss anta at du legger frem en vellykket hypotese, beregner hvor den fører, og finner ut at alle dens konsekvenser bekreftes eksperimentelt. Betyr dette at teorien din er riktig? Nei, det betyr ganske enkelt at du ikke klarte å motbevise det.

Hvis en modell av den første typen bygges, betyr dette at den midlertidig gjenkjennes som sann og man kan konsentrere seg om andre problemer. Dette kan imidlertid ikke være et poeng i forskning, men bare en midlertidig pause: statusen til modellen av den første typen kan bare være midlertidig.

Type 2: Fenomenologisk modell (oppføre seg som om…)

Den fenomenologiske modellen inneholder en mekanisme for å beskrive fenomenet. Denne mekanismen er imidlertid ikke overbevisende nok, kan ikke bekreftes tilstrekkelig av tilgjengelige data, eller stemmer dårlig med de tilgjengelige teoriene og akkumulert kunnskap om objektet. Fenomenologiske modeller har derfor status som midlertidige løsninger. Det antas at svaret fortsatt er ukjent, og det er nødvendig å fortsette søket etter "sanne mekanismer". Peierls refererer for eksempel kalorimodellen og kvarkmodellen av elementærpartikler til den andre typen.

Modellens rolle i forskning kan endre seg over tid, det kan skje at nye data og teorier bekrefter fenomenologiske modeller og de blir forfremmet til status som en hypotese. Likeledes kan ny kunnskap gradvis komme i konflikt med modeller-hypoteser av den første typen, og de kan overføres til den andre. Dermed beveger kvarkmodellen seg gradvis inn i kategorien hypoteser; atomisme i fysikk oppstod som en midlertidig løsning, men med historiens gang gikk den over i den første typen. Men etermodellene har gått fra type 1 til type 2, og nå er de utenfor vitenskapen.

Ideen om forenkling er veldig populær når man bygger modeller. Men forenkling er annerledes. Peierls skiller tre typer forenklinger i modellering.

Type 3: Tilnærming (noe anses som veldig stort eller veldig lite)

Hvis det er mulig å konstruere ligninger som beskriver systemet som studeres, betyr ikke dette at de kan løses selv ved hjelp av en datamaskin. En vanlig teknikk i dette tilfellet er bruk av tilnærminger (modeller av type 3). Blant dem lineære responsmodeller. Ligningene erstattes av lineære. Standardeksemplet er Ohms lov.

Og her er type 8, som er mye brukt i matematiske modeller av biologiske systemer.

Type 8: Mulighet demonstrasjon (det viktigste er å vise den interne konsistensen av muligheten)

Dette er også tankeeksperimenter med imaginære enheter, som viser det antatt fenomen konsistent med grunnleggende prinsipper og internt konsistent. Dette er hovedforskjellen fra modeller av type 7, som avslører skjulte motsetninger.

Et av de mest kjente av disse eksperimentene er Lobatsjovskys geometri (Lobatsjovskij kalte det "imaginær geometri"). Et annet eksempel er masseproduksjon av formelt kinetiske modeller av kjemiske og biologiske svingninger, autobølger, etc. Einstein-Podolsky-Rosen-paradokset ble tenkt som en type 7-modell for å demonstrere inkonsistensen i kvantemekanikken. På en helt uplanlagt måte ble den etter hvert til en type 8-modell – en demonstrasjon av muligheten for kvanteteleportering av informasjon.

Eksempel

Ta i betraktning mekanisk system, bestående av en fjær festet i den ene enden, og en massebelastning m festet til den frie enden av fjæren. Vi vil anta at lasten bare kan bevege seg i retning av fjæraksen (for eksempel skjer bevegelsen langs stangen). La oss konstruere en matematisk modell av dette systemet. Vi vil beskrive tilstanden til systemet ved avstanden x fra midten av lasten til dens likevektsposisjon. La oss beskrive samspillet mellom en fjær og en last ved hjelp av Hookes lov (F = − kx ) hvoretter vi bruker Newtons andre lov for å uttrykke den i form av en differensialligning:

hvor betyr den andre deriverte av x etter tid:.

Den resulterende ligningen beskriver den matematiske modellen for det betraktede fysiske systemet. Dette mønsteret kalles "harmonisk oscillator".

I henhold til den formelle klassifiseringen er denne modellen lineær, deterministisk, dynamisk, konsentrert, kontinuerlig. I prosessen med å konstruere den gjorde vi mange antagelser (om fravær av ytre krefter, fravær av friksjon, små avvik, etc.), som i virkeligheten kanskje ikke er oppfylt.

I forhold til virkeligheten er dette oftest en type 4-modell. forenkling("vi utelater noen detaljer for klarhetens skyld"), siden noen essensielle universelle funksjoner (for eksempel spredning) er utelatt. I noen tilnærming (si, mens avviket til belastningen fra likevekt er lite, med liten friksjon, i ikke for lang tid og underlagt visse andre forhold), beskriver en slik modell et ekte mekanisk system ganske godt, siden de forkastede faktorene ha en ubetydelig effekt på oppførselen. Modellen kan imidlertid foredles ved å ta hensyn til noen av disse faktorene. Dette vil føre til en ny modell, med et bredere (men igjen begrenset) omfang.

Men når modellen er raffinert, kan kompleksiteten i dens matematiske studie øke betydelig og gjøre modellen praktisk talt ubrukelig. Ofte mer enkel modell lar deg utforske det virkelige systemet bedre og dypere enn et mer komplekst (og formelt "mer korrekt").

Hvis vi bruker modellen harmonisk oscillator for objekter langt fra fysikk, kan dens materielle status være annerledes. For eksempel, når du bruker denne modellen på biologiske populasjoner, bør den mest sannsynlig tilskrives type 6 analogi("La oss bare ta hensyn til noen funksjoner").

Harde og myke modeller

Den harmoniske oscillatoren er et eksempel på en såkalt "hard" modell. Det oppnås som et resultat av en sterk idealisering av et ekte fysisk system. For å løse spørsmålet om dens anvendelighet, er det nødvendig å forstå hvor viktige faktorene vi har oversett. Det er med andre ord nødvendig å undersøke den "myke" modellen, som oppnås ved en liten forstyrrelse av den "harde". Det kan for eksempel gis ved følgende ligning:

Her - noen funksjon, som kan ta hensyn til friksjonskraften eller avhengigheten av stivhetskoeffisienten til fjæren på graden av dens strekking - en liten parameter. Eksplisitt form av en funksjon f vi er ikke interessert for øyeblikket. Hvis vi beviser at oppførselen til en myk modell ikke er fundamentalt forskjellig fra den til en hard modell (uavhengig av den eksplisitte formen til de forstyrrende faktorene, hvis de er små nok), vil problemet reduseres til å studere den harde modellen. Ellers vil anvendelsen av resultatene oppnådd i studiet av den stive modellen kreve ytterligere forskning. For eksempel er løsningen på ligningen til en harmonisk oscillator funksjoner av formen , det vil si oscillasjoner med konstant amplitude. Følger det av dette at en ekte oscillator vil oscillere i det uendelige med konstant amplitude? Nei, for med tanke på et system med en vilkårlig liten friksjon (alltid tilstede i et reelt system), får vi dempet svingninger. Systemets oppførsel har endret seg kvalitativt.

Hvis et system beholder sin kvalitative oppførsel under en liten forstyrrelse, sies det å være strukturelt stabilt. Den harmoniske oscillatoren er et eksempel på et strukturelt ustabilt (ikke-grovt) system. Denne modellen kan imidlertid brukes til å studere prosesser over begrensede tidsintervaller.

Universalitet av modeller

De viktigste matematiske modellene har vanligvis den viktige egenskapen universalitet: fundamentalt forskjellige virkelige fenomener kan beskrives av samme matematiske modell. For eksempel beskriver en harmonisk oscillator ikke bare oppførselen til en belastning på en fjær, men også andre oscillerende prosesser, ofte av en helt annen karakter: små oscillasjoner av en pendel, fluktuasjoner i væskenivået i U-formet kar eller endring i strømstyrken i svingekretsen. Når vi studerer en matematisk modell, studerer vi på en gang en hel klasse med fenomener beskrevet av den. Det er denne isomorfismen av lovene uttrykt av matematiske modeller i ulike segmenter av vitenskapelig kunnskap som førte til at Ludwig von Bertalanffy opprettet "General Systems Theory".

Direkte og inverse problemer med matematisk modellering

Det er mange problemer knyttet til matematisk modellering. Først er det nødvendig å komme opp med det grunnleggende skjemaet til objektet som modelleres, for å reprodusere det innenfor rammen av idealiseringene til denne vitenskapen. Så, en togvogn blir til et system av plater og mer komplekse kropper fra forskjellige materialer, hvert materiale er spesifisert som dets standard mekaniske idealisering (tetthet, elastisitetsmoduler, standard styrkekarakteristikker), hvoretter ligninger kompileres, underveis blir noen detaljer forkastet som ubetydelige, det gjøres beregninger, sammenlignet med målinger, modellen er raffinert, og så videre. For utviklingen av matematiske modelleringsteknologier er det imidlertid nyttig å demontere denne prosessen i dens hovedelementer.

Tradisjonelt er det to hovedklasser av problemer knyttet til matematiske modeller: direkte og invers.

Direkte problem: strukturen til modellen og alle dens parametere anses kjent, hovedoppgaven er å studere modellen for å trekke ut nyttig kunnskap om objektet. Hvilken statisk belastning tåler broen? Hvordan det vil reagere på en dynamisk belastning (for eksempel på marsj av et kompani med soldater, eller på passasje av et tog i forskjellige hastigheter), hvordan flyet vil overvinne lydmuren, om det vil falle fra hverandre fra flagre - dette er typiske eksempler på en direkte oppgave. Å stille inn det riktige direkte problemet (stille det riktige spørsmålet) krever spesiell ferdighet. Hvis de riktige spørsmålene ikke stilles, kan broen kollapse selv om den ble bygget. god modell for hans oppførsel. Så i 1879 i England kollapset en metallbro over elven Tey, designerne som bygde en modell av broen, beregnet den for en 20-gangers sikkerhetsmargin for nyttelasten, men glemte vindene som stadig blåser i disse. steder. Og etter halvannet år kollapset den.

I det enkleste tilfellet (en oscillatorligning, for eksempel), er det direkte problemet veldig enkelt og reduseres til en eksplisitt løsning av denne ligningen.

Omvendt problem: mange mulige modeller er kjent, det er nødvendig å velge en spesifikk modell basert på tilleggsdata om objektet. Oftest er strukturen til modellen kjent og noen ukjente parametere må bestemmes. Tilleggsinformasjon kan bestå av ytterligere empiriske data, eller i kravene til objektet ( designoppgave). Ytterligere data kan komme uavhengig av prosessen med å løse det omvendte problemet ( passiv observasjon) eller være et resultat av et eksperiment spesielt planlagt i løpet av løsningen ( aktiv overvåking).

Et av de første eksemplene på en virtuos løsning av et omvendt problem med størst mulig bruk av tilgjengelige data var metoden konstruert av I. Newton for å rekonstruere friksjonskrefter fra observerte dempede svingninger.

Ytterligere eksempler

hvor x s- "likevekt" befolkningsstørrelse, der fødselsraten nøyaktig kompenseres av dødsraten. Befolkningsstørrelsen i en slik modell har en tendens til likevektsverdien x s, og denne oppførselen er strukturelt stabil.

Dette systemet har en likevektstilstand der antallet kaniner og rever er konstant. Avvik fra denne tilstanden fører til svingninger i antall kaniner og rever, likt svingninger i den harmoniske oscillatoren. Som i tilfellet med den harmoniske oscillatoren, er denne oppførselen ikke strukturelt stabil: en liten endring i modellen (for eksempel tatt i betraktning de begrensede ressursene som kaniner trenger) kan føre til en kvalitativ endring i atferd. For eksempel kan likevektstilstanden bli stabil, og befolkningssvingninger vil avta. Den motsatte situasjonen er også mulig, når ethvert lite avvik fra likevektsposisjonen vil føre til katastrofale konsekvenser, opp til fullstendig utryddelse av en av artene. På spørsmålet om hvilke av disse scenariene som er realisert, gir ikke Volterra-Lotka-modellen noe svar: her kreves ytterligere forskning.

Notater

1. "En matematisk representasjon av virkeligheten" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I.B., Om filosofiske spørsmål om kybernetisk modellering. M., Kunnskap, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., Systemmodellering: Proc. for universiteter - 3. utg., revidert. og tillegg - M.: Høyere. skole, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Matematisk modellering. Ideer. Metoder. Eksempler. . - 2. utg., Rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Elementer i teorien om matematiske modeller. - 3. utgave, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 med ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wiktionary: matematiske modeller
7. Cliffs Notes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. "En teori betraktes som lineær eller ikke-lineær, avhengig av hvilket - lineært eller ikke-lineært - matematisk apparat, hvilke - lineære eller ikke-lineære - matematiske modeller den bruker. ... uten å benekte det siste. En moderne fysiker, hvis han tilfeldigvis redefinerte en så viktig enhet som ikke-linearitet, ville mest sannsynlig handle annerledes, og ville foretrekke ikke-linearitet som den viktigste og mest vanlige av de to motsetningene, definere linearitet som "ikke-ikke- linearitet". Danilov Yu. A., Forelesninger om ikke-lineær dynamikk. Elementær introduksjon. Synergetikk: fra fortiden til fremtidens serie. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
10. « Dynamiske systemer, modellert av et begrenset antall ordinære differensiallikninger, kalles konsentrert eller punktsystemer. De er beskrevet ved bruk av et endelig dimensjonalt faserom og er preget av et begrenset antall frihetsgrader. Samme system i ulike forhold kan betraktes som enten konsentrert eller distribuert. Matematiske modeller av distribuerte systemer er partielle differensialligninger, integralligninger eller vanlige forsinkelsesligninger. Antallet frihetsgrader til et distribuert system er uendelig, og det kreves et uendelig antall data for å bestemme tilstanden. Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, nr. 11, s. 77-84.
11. "Avhengig av arten av de studerte prosessene i systemet S, kan alle typer modellering deles inn i deterministisk og stokastisk, statisk og dynamisk, diskret, kontinuerlig og diskret-kontinuerlig. Deterministisk modellering viser deterministiske prosesser, det vil si prosesser der fravær av tilfeldige påvirkninger antas; stokastisk modellering viser sannsynlige prosesser og hendelser. … Statisk modellering brukes til å beskrive oppførselen til et objekt til enhver tid, mens dynamisk modellering gjenspeiler oppførselen til et objekt over tid. Diskret modellering tjener til å beskrive prosesser som antas å være diskrete, henholdsvis kontinuerlig modellering lar deg reflektere kontinuerlige prosesser i systemer, og diskret-kontinuerlig modellering brukes for tilfeller der man ønsker å fremheve tilstedeværelsen av både diskrete og kontinuerlige prosesser. Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., Systemmodellering: Proc. for universiteter - 3. utg., revidert. og tillegg - M.: Høyere. skole, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
12. Vanligvis reflekterer den matematiske modellen strukturen (arrangementet) av objektet som modelleres, egenskapene og sammenkoblingene til komponentene i dette objektet som er essensielle for formålet med studien; en slik modell kalles strukturell. Hvis modellen bare reflekterer hvordan objektet fungerer – for eksempel hvordan det reagerer på ytre påvirkninger – så kalles det en funksjonell eller i overført betydning en svart boks. Kombinerte modeller er også mulig. Myshkis A.D., Elementer i teorien om matematiske modeller. - 3. utgave, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 med ISBN 978-5-484-00953-4
13. «Det åpenbare, men viktigste innledende stadiet for å konstruere eller velge en matematisk modell, er å bli så tydelig som mulig om objektet som modelleres og å avgrense innholdsmodellen basert på uformelle diskusjoner. Tid og krefter bør ikke spares på dette stadiet; suksessen til hele studien avhenger i stor grad av det. Mer enn en gang hendte det at mye arbeid brukt på å løse et matematisk problem viste seg å være ineffektivt eller til og med bortkastet på grunn av utilstrekkelig oppmerksomhet til denne siden av saken. Myshkis A.D., Elementer i teorien om matematiske modeller. - 3. utgave, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 med ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
14. « Beskrivelse av den konseptuelle modellen av systemet. På dette understadiet av å bygge en systemmodell: a) er den konseptuelle modellen M beskrevet i abstrakte termer og konsepter; b) en beskrivelse av modellen er gitt ved bruk av typiske matematiske skjemaer; c) hypoteser og antagelser er endelig akseptert; d) valget av fremgangsmåte for å tilnærme reelle prosesser ved bygging av en modell er begrunnet. Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., Systemmodellering: Proc. for universiteter - 3. utg., revidert. og tillegg - M.: Høyere. skole, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.

En matematisk modell av et teknisk objekt er et sett av matematiske objekter og relasjoner mellom dem som i tilstrekkelig grad gjenspeiler egenskapene til objektet som studeres som er av interesse for forskeren (ingeniøren).

Modellen kan representeres på ulike måter.

Modellrepresentasjonsskjemaer:

invariant - registrering av modellrelasjoner ved bruk av et tradisjonelt matematisk språk, uavhengig av metoden for å løse modellligninger;

analytisk - registrering av modellen i form av resultatet av en analytisk løsning av de innledende ligningene til modellen;

algoritmisk - registrering av relasjonene til modellen og den valgte numeriske løsningsmetoden i form av en algoritme.

skjematisk (grafisk) - representasjon av modellen på et eller annet grafisk språk (for eksempel språket til grafer, ekvivalente kretser, diagrammer, etc.);

fysisk

analog

Den mest universelle er den matematiske beskrivelsen av prosesser - matematisk modellering.

Konseptet med matematisk modellering inkluderer også prosessen med å løse et problem på en datamaskin.

Generalisert matematisk modell

Den matematiske modellen beskriver forholdet mellom startdata og ønskede verdier.

Elementene i den generaliserte matematiske modellen er (fig. 1): et sett med inngangsdata (variabler) X,Y;

X - sett med variable variabler; Y - uavhengige variabler (konstant);

matematisk operator L som definerer operasjoner på disse dataene; som forstås som et komplett system av matematiske operasjoner som beskriver numeriske eller logiske forhold mellom sett med inn- og utdata (variabler);

sett med utdata (variabler) G(X,Y); er et sett med kriteriefunksjoner, inkludert (om nødvendig) objektivfunksjonen.

Den matematiske modellen er en matematisk analog av det utformede objektet. Graden av tilstrekkelighet til objektet bestemmes av formuleringen og riktigheten av løsninger på designproblemet.

Settet med variable parametere (variabler) X danner rommet av variable parametere Rx (søkerom), som er metrisk med dimensjon n lik antall variable parametere.

Settet med uavhengige variabler Y danner det metriske rommet til inngangsdata Ry. I tilfellet når hver komponent av rommet Ry er gitt av en rekke mulige verdier, blir settet med uavhengige variabler kartlagt til et begrenset delrom av rommet Ry.

Settet med uavhengige variabler Y bestemmer miljøet for driften av objektet, dvs. ytre forhold som det utformede objektet vil fungere under

Det kan bli:

• - tekniske spesifikasjoner et objekt som ikke kan endres under designprosessen;
• - fysiske forstyrrelser av miljøet som designobjektet samhandler med;
• - taktiske parametere som designobjektet skal oppnå.

Utdataene til den betraktede generaliserte modellen danner et metrisk rom av kriterie-indikatorer RG.

Opplegget for å bruke en matematisk modell i et datastøttet designsystem er vist i fig.2.

Krav til den matematiske modellen

Hovedkravene til matematiske modeller er kravene til tilstrekkelighet, universalitet og økonomi.

Tilstrekkelighet. Modellen anses som tilstrekkelig dersom den reflekterer de gitte egenskapene med akseptabel nøyaktighet. Nøyaktighet er definert som graden av samsvar mellom verdiene til utgangsparametrene til modellen og objektet.

Nøyaktigheten til modellen er forskjellig i ulike forhold objektets funksjon. Disse forholdene er preget av eksterne parametere. I området med eksterne parametere, velg området for modelltilstrekkelighet, der feilen er mindre enn den spesifiserte maksimalt tillatte feilen. Å bestemme domenet for modelltilstrekkelighet er en kompleks prosedyre som krever store beregningskostnader, som vokser raskt med en økning i dimensjonen til rommet til eksterne parametere. Denne oppgaven kan betydelig overskride oppgaven med parametrisk optimalisering av selve modellen i volum, derfor kan den ikke løses for nydesignede objekter.

Universalitet - bestemmes hovedsakelig av antall og sammensetning av eksterne parametere og utgangsparametre tatt i betraktning i modellen.

Økonomien til modellen er preget av kostnadene for dataressurser for implementeringen - kostnadene for datamaskintid og minne.

De motstridende kravene til at en modell skal ha et bredt spekter av tilstrekkelighet, høy grad av universalitet og høy effektivitet bestemmer bruken av en rekke modeller for objekter av samme type.

Metoder for modellinnhenting

Få inn modeller generell sak- uformalisert prosedyre. De viktigste avgjørelsene angående valg av type matematiske relasjoner, arten av variablene og parameterne som brukes, tas av designeren. Samtidig blir slike operasjoner som beregning av numeriske verdier av modellparametrene, bestemmelse av tilstrekkelighetsområder og andre algoritmert og løst på en datamaskin. Derfor utføres modelleringen av elementene i det utformede systemet vanligvis av spesialister innen spesifikke tekniske felt ved bruk av tradisjonelle eksperimentelle studier.

Metoder for å oppnå funksjonelle modeller av elementer er delt inn i teoretiske og eksperimentelle.

Teoretiske metoder er basert på studiet av de fysiske regelmessighetene til prosessene som skjer i objektet, bestemme den matematiske beskrivelsen som tilsvarer disse regelmessighetene, underbygge og akseptere forenklede antakelser, utføre de nødvendige beregningene og bringe resultatet til den aksepterte formen for modellrepresentasjonen. .

Eksperimentelle metoder er basert på bruken ytre manifestasjoner egenskapene til objektet, registrert under driften av samme type objekter eller under målrettede eksperimenter.

Til tross for den heuristiske naturen til mange operasjoner, har modellering en rekke bestemmelser og teknikker som er felles for å skaffe modeller av forskjellige objekter. De er ganske generelle av natur.

makromodelleringsteknikk,

matematiske metoder for planlegging av eksperimenter,

algoritmer for formaliserte operasjoner for beregning av numeriske verdier av parametere og bestemmelse av tilstrekkelighetsområde.

Bruke matematiske modeller

Datakraften til moderne datamaskiner, kombinert med levering av alle systemressurser til brukeren, muligheten for en interaktiv modus når du løser et problem og analyserer resultatene, gjør det mulig å minimere tiden for å løse et problem.

Ved sammenstilling av en matematisk modell er forskeren pålagt å:

studere egenskapene til objektet som studeres;

evnen til å skille hovedegenskapene til objektet fra de sekundære;

vurdere forutsetningene som er gjort.

Modellen beskriver forholdet mellom inngangsdata og ønskede verdier. Sekvensen av handlinger som må utføres for å flytte fra de opprinnelige dataene til de ønskede verdiene kalles en algoritme.

Algoritmen for å løse problemet på en datamaskin er knyttet til valget av en numerisk metode. Avhengig av representasjonsformen til den matematiske modellen (algebraisk eller differensialform), brukes ulike numeriske metoder.

Essensen av økonomisk og matematisk modellering ligger i beskrivelsen av sosioøkonomiske systemer og prosesser i form av økonomiske og matematiske modeller.

La oss vurdere spørsmål om klassifisering av økonomiske og matematiske metoder. Disse metodene, som nevnt ovenfor, er et kompleks av økonomiske og matematiske disipliner som er en legering av økonomi, matematikk og kybernetikk.

Derfor er klassifiseringen av økonomiske og matematiske metoder redusert til klassifiseringen av de vitenskapelige disiplinene som er inkludert i deres sammensetning. Selv om den generelt aksepterte klassifiseringen av disse disiplinene ennå ikke er utviklet, med en viss grad av tilnærming, kan følgende seksjoner skilles i sammensetningen av økonomiske og matematiske metoder:

• * økonomisk kybernetikk: systemanalyse av økonomi, teori om økonomisk informasjon og teori om kontrollsystemer;
• * matematisk statistikk: økonomiske anvendelser av denne disiplinen - prøvetakingsmetode, variansanalyse, korrelasjonsanalyse, regresjonsanalyse, multivariat statistisk analyse, faktor analyse, indeksteori, etc.;
• * matematisk økonomi og økonometri studerer de samme spørsmålene fra den kvantitative siden: teorien om økonomisk vekst, teorien om produksjonsfunksjoner, intersektorielle balanser, nasjonalregnskap, analyse av etterspørsel og forbruk, regional og romlig analyse, global modellering, etc.;
• * metoder for å ta optimale beslutninger, inkludert studiet av operasjoner i økonomien. Dette er den mest omfangsrike delen, som inkluderer følgende disipliner og metoder: optimal (matematisk) programmering, inkludert gren- og bundne metoder, nettverksplanlegging og kontrollmetoder, programmålplanlegging og kontrollmetoder, lagerstyringsteori og metoder, køteori , spillteori, beslutningsteori og metoder, planleggingsteori. Optimal (matematisk) programmering inkluderer i sin tur lineær programmering, ikke-lineær programmering, dynamisk programmering, diskret (heltalls) programmering, brøkdel lineær programmering, parametrisk programmering, separerbar programmering, stokastisk programmering, geometrisk programmering;
• * Metoder og disipliner som er spesifikke for både en sentralt planøkonomi og en markeds(konkurranse)økonomi. Den første inkluderer teorien om optimal funksjon av økonomien, optimal planlegging, teorien om optimal prising, logistikkmodeller, etc. Den andre er metoder som tillater utvikling av modeller for fri konkurranse, modeller for den kapitalistiske syklusen, modeller for monopol, modeller av indikativ planlegging, modeller av teorien til firmaet etc.

Mange av metodene utviklet for en sentralt planøkonomi kan også være nyttige i økonomisk og matematisk modellering i en markedsøkonomi;

* metoder for eksperimentell studie av økonomiske fenomener. Disse inkluderer som regel matematiske metoder for analyse og planlegging av økonomiske eksperimenter, metoder for maskinsimulering (simuleringsmodellering), forretningsspill. Dette inkluderer også metoder for ekspertvurderinger utviklet for å evaluere fenomener som ikke kan måles direkte.

La oss nå gå til spørsmålene om klassifisering av økonomiske og matematiske modeller, med andre ord matematiske modeller av sosioøkonomiske systemer og prosesser.

Et enhetlig klassifiseringssystem for slike modeller eksisterer foreløpig heller ikke, men mer enn ti hovedtrekk ved deres klassifisering, eller klassifiseringsoverskrifter, skilles vanligvis. La oss ta en titt på noen av disse delene.

I henhold til det generelle formålet er økonomiske og matematiske modeller delt inn i teoretiske og analytiske, brukt i studien felles egenskaper og lover for økonomiske prosesser, og anvendt, brukt til å løse spesifikke økonomiske problemer med analyse, prognoser og ledelse. forskjellige typer anvendte økonomiske og matematiske modeller er bare vurdert i denne opplæringen.

I henhold til graden av aggregering av modelleringsobjekter er modellene delt inn i makroøkonomiske og mikroøkonomiske. Selv om det ikke er noe klart skille mellom dem, inkluderer den første av dem modeller som reflekterer økonomiens funksjon som helhet, mens mikroøkonomiske modeller som regel er assosiert med slike deler av økonomien som foretak og firmaer.

I henhold til et spesifikt formål, det vil si i henhold til formålet med opprettelse og anvendelse, skilles balansemodeller ut, som uttrykker kravet om at tilgjengeligheten av ressurser samsvarer med bruken deres; trendmodeller, der utviklingen av det modellerte økonomiske systemet reflekteres gjennom trenden (langsiktig trend) til hovedindikatorene; optimaliseringsmodeller designet for valg det beste alternativet fra et visst antall alternativer for produksjon, distribusjon eller forbruk; simuleringsmodeller beregnet for bruk i prosessen med maskinsimulering av systemene eller prosessene som studeres, etc.

I henhold til typen informasjon som brukes i modellen, er økonomisk-matematiske modeller delt inn i analytisk, bygd på a priori-informasjon, og identifiserbar, bygd på a posteriori-informasjon.

Ved å ta hensyn til tidsfaktoren deles modellene inn i statiske, der alle avhengigheter er knyttet til ett tidspunkt, og dynamiske, som beskriver økonomiske systemer i utvikling.

Ved å ta hensyn til usikkerhetsfaktoren, er modellene delt inn i deterministiske, hvis utgangsresultatene i dem er unikt bestemt av kontrollhandlinger, og stokastiske (sannsynligvis), hvis når et visst sett med verdier er spesifisert ved modellinngangen , forskjellige resultater kan oppnås avhengig av virkningen av en tilfeldig faktor.

Økonomiske og matematiske modeller kan også klassifiseres etter egenskapene til de matematiske objektene som inngår i modellen, med andre ord etter typen matematisk apparat som brukes i modellen. På dette grunnlaget, matrisemodeller, lineære og ikke-lineære programmeringsmodeller, korrelasjonsregresjonsmodeller,

Grunnleggende begreper for matematisk modellering av køteorimodellen, nettverksplanlegging og kontrollmodell, spillteorimodell, etc.

Til slutt, i henhold til typen tilnærming til de studerte sosioøkonomiske systemene, skilles deskriptive og normative modeller. Med en beskrivende (deskriptiv) tilnærming oppnås modeller som er designet for å beskrive og forklare faktisk observerte fenomener eller forutsi disse fenomenene; Som et eksempel på beskrivende modeller kan vi nevne de tidligere nevnte balanse- og trendmodellene. Med en normativ tilnærming er de ikke interessert i hvordan økonomien er organisert og utvikler seg. økonomisk system, men hvordan det skal ordnes og hvordan det skal opptre i visse kriteriers forstand. Spesielt er alle optimaliseringsmodeller av normativ type; normative modeller for levestandard kan tjene som et annet eksempel.

La oss se som et eksempel den økonomisk-matematiske modellen for input-output-balansen (EMM IOB). Med hensyn til klassifikasjonsoverskriftene ovenfor, er dette en anvendt, makroøkonomisk, analytisk, beskrivende, deterministisk, balanse-, matrisemodell; mens de eksisterer som statiske metoder så vel som dynamisk

Lineær programmering er en spesiell gren av optimal programmering. I sin tur er optimal (matematisk) programmering en gren av anvendt matematikk som studerer problemer med betinget optimalisering. I økonomi oppstår slike problemer i den praktiske implementeringen av prinsippet om optimalitet i planlegging og ledelse.

En nødvendig forutsetning for å bruke den optimale tilnærmingen til planlegging og styring (optimitetsprinsippet) er fleksibilitet, alternativ produksjon og økonomiske situasjoner der planlegging og styringsbeslutninger må tas. Det er som regel disse situasjonene som utgjør den daglige praksisen til en økonomisk enhet (valg av produksjonsprogram, tilknytning til leverandører, ruting, skjæring av materialer, tilberedning av blandinger, etc.).

Essensen av prinsippet om optimalitet ligger i ønsket om å velge en slik planleggings- og ledelsesbeslutning den beste måten ville ta hensyn til de interne evnene og eksterne forholdene til produksjonsaktiviteten til en økonomisk enhet.

Ordene "på beste måte" betyr her valget av et eller annet optimalitetskriterium, dvs. en økonomisk indikator som lar deg sammenligne effektiviteten til visse planleggings- og ledelsesbeslutninger. Tradisjonelle optimalitetskriterier: «maksimal profitt», «minimumskostnader», «maksimal lønnsomhet» osv. Ordene «ville ta hensyn til produksjonsaktivitetens interne kapasiteter og ytre forhold» betyr at det stilles en rekke betingelser for valg av en planleggings- og ledelsesbeslutning (atferd), t .e. valget av X utføres fra en viss region av mulige (tillatte) løsninger D; dette området kalles også problemdefinisjonsområdet. et generelt problem med optimal (matematisk) programmering, ellers en matematisk modell av et optimalt programmeringsproblem, hvis konstruksjon (utvikling) er basert på prinsippene om optimalitet og konsistens.

En vektor X (et sett med kontrollvariabler Xj, j = 1, n) kalles en gjennomførbar løsning, eller en optimal programmeringsproblemplan, hvis den tilfredsstiller systemet med begrensninger. Og at plan X (tillatt løsning) som leverer maksimum eller minimum av objektivfunksjonen f(xi, *2, ..., xn) kalles den optimale planen (optimal oppførsel, eller ganske enkelt løsning) for det optimale programmeringsproblemet.

Dermed er valget av optimal lederatferd i en spesifikk produksjonssituasjon assosiert med å utføre økonomisk og matematisk modellering fra et ståsted om konsistens og optimalitet og løse problemet med optimal programmering. Optimale programmeringsproblemer i den mest generelle formen klassifiseres i henhold til følgende kriterier.

• 1. Av arten av forholdet mellom variabler --
• a) lineær
• b) ikke-lineær.

I tilfelle a) er alle funksjonelle forbindelser i restriksjonssystemet og målfunksjonen lineære funksjoner; tilstedeværelsen av en ikke-linearitet i minst ett av de nevnte elementene fører til tilfelle b).

• 2. Av arten av endringen i variabler --
• a) kontinuerlig
• b) diskret.

I tilfelle a) kan verdiene til hver av kontrollvariablene fullstendig fylle et visst område med reelle tall; i tilfelle b) kan alle eller minst én variabel kun ha heltallsverdier.

• 3. Ved å ta hensyn til tidsfaktoren -
• a) statisk
• b) dynamisk.

I oppgave a) utføres modellering og beslutningstaking under forutsetning av at elementene i modellen er uavhengige av tid i det tidsrommet det tas en planleggings- og styringsbeslutning. I tilfelle b) kan en slik forutsetning ikke aksepteres med tilstrekkelig grunn og tidsfaktoren må tas i betraktning.

• 4. I henhold til tilgjengeligheten av informasjon om variabler --
• a) oppgaver under fullstendig sikkerhet (deterministisk),
• b) oppgaver under forhold med ufullstendig informasjon,
• c) oppgaver under usikkerhetsforhold.

I oppgavene b) er individuelle elementer sannsynlige størrelser, men deres distribusjonslover er kjent eller ytterligere statistiske studier kan etableres. I tilfelle c) kan man gjøre en antagelse om mulige utfall av tilfeldige elementer, men det er ikke mulig å trekke en konklusjon om sannsynlighetene for utfallene.

• 5. I henhold til antall kriterier for å vurdere alternativer -
• a) enkle oppgaver med ett kriterium,
• b) komplekse, multikriteria oppgaver.

I oppgave a) er det økonomisk akseptabelt å bruke ett optimalitetskriterium eller det er mulig ved spesielle prosedyrer (for eksempel "prioritetsvekting")

INTRODUKSJON

Det er umulig å forestille seg moderne vitenskap uten bred applikasjon matematisk modellering. Essensen av denne metodikken er å erstatte det originale objektet med dets "bilde" - en matematisk modell - og videre studier av modellen ved hjelp av beregningslogiske algoritmer implementert på datamaskiner. Denne "tredje metoden" for erkjennelse, design, design kombinerer mange fordeler med både teori og eksperimenter. Å jobbe ikke med selve objektet (fenomen, prosess), men med modellen gjør det mulig å smertefritt, relativt raskt og uten betydelige kostnader undersøke dets egenskaper og oppførsel i alle tenkelige situasjoner (fordeler med teorien). Samtidig gjør beregningseksperimenter (datamaskin, simulering, simulering) med objektmodeller det mulig, basert på kraften til moderne beregningsmetoder og tekniske verktøy innen informatikk, å studere objekter i tilstrekkelig detalj og i dybden, i tilstrekkelig fullstendighet, utilgjengelig til rent teoretiske tilnærminger (eksperimentelle fordeler). Det er ikke overraskende at metodikken for matematisk modellering utvikler seg raskt, og dekker alle nye områder - fra utviklingen tekniske systemer og deres ledelse til analyse av de mest komplekse økonomiske og sosiale prosessene.

Elementer av matematisk modellering har blitt brukt helt siden begynnelsen av utseendet til de eksakte vitenskapene, og det er ingen tilfeldighet at noen beregningsmetoder bærer navnene til slike vitenskapelige armaturer som Newton og Euler, og ordet "algoritme" kommer fra navnet på den middelalderske arabiske vitenskapsmannen Al-Khwarizmi. Den andre "fødselen" av denne metodikken fant sted på slutten av 1940-tallet og begynnelsen av 1950-tallet og skyldtes minst to årsaker. Den første av disse er fremveksten av datamaskiner (datamaskiner), selv om de er beskjedne etter dagens standarder, men de reddet likevel forskere fra en enorm mengde rutinemessig beregningsarbeid. Den andre er en enestående sosial orden - implementeringen av de nasjonale programmene til Sovjetunionen og USA for å lage et kjernefysisk missilskjold, som ikke kunne implementeres med tradisjonelle metoder. Matematisk modellering taklet denne oppgaven: atomeksplosjoner og flyvninger av raketter og satellitter ble tidligere "utført" i dypet av datamaskiner ved hjelp av matematiske modeller og først da satt i praksis. Denne suksessen avgjorde i stor grad de videre resultatene til metodikken, uten hvilken ingen storskala teknologisk, miljømessig eller økonomisk prosjekt nå seriøst vurderes i utviklede land (dette gjelder også i forhold til noen sosiopolitiske prosjekter).

Nå går matematisk modellering inn i det tredje grunnleggende viktige stadiet av utviklingen, og "integrerer" seg i strukturene til det såkalte informasjonssamfunnet. Imponerende fremskritt i måten å behandle, overføre og lagre informasjon tilsvarer globale trender mot komplikasjoner og gjensidig penetrasjon ulike områder menneskelig aktivitet. Uten besittelse av informasjons-"ressurser" er det umulig å engang tenke på å løse de stadig større og mer mangfoldige problemene som verdenssamfunnet står overfor. Informasjon som sådan gjør imidlertid ofte lite for analyser og prognoser, for å ta beslutninger og overvåke implementeringen av dem. Vi trenger pålitelige måter å bearbeide informasjon «råvarer» på til et ferdig «produkt», dvs. til nøyaktig kunnskap. Historien til metodikken for matematisk modellering overbeviser: den kan og bør være den intellektuelle kjernen informasjonsteknologier, hele prosessen med informatisering av samfunnet.

Tekniske, økologiske, økonomiske og andre systemer studert moderne vitenskap, er ikke lenger tilgjengelige for undersøkelser (i den nødvendige fullstendighet og nøyaktighet) ved hjelp av konvensjonelle teoretiske metoder. Et direkte fullskala eksperiment på dem er langt, dyrt, ofte enten farlig eller rett og slett umulig, siden mange av disse systemene eksisterer i en "enkelt kopi". Prisen på feil og feilberegninger ved håndtering av dem er uakseptabelt høy. Derfor er matematisk (mer bredt - informativ) modellering en uunngåelig komponent av vitenskapelig og teknologisk fremgang.

Når vi vurderer problemet bredere, husker vi at modellering er tilstede i nesten alle typer kreativ aktivitet av mennesker av forskjellige "spesialiteter" - forskere og gründere, politikere og militære ledere. Innføringen av eksakt kunnskap i disse sfærene bidrar til å begrense den intuitive spekulative "modelleringen", utvider bruksområdet for rasjonelle metoder. Matematisk modellering er selvsagt kun fruktbart når velkjente faglige krav er oppfylt: en klar formulering av grunnleggende begreper og forutsetninger, a posteriori analyse av tilstrekkeligheten til modellene som brukes, garantert nøyaktighet av beregningsalgoritmer osv. Hvis vi snakker om modellering systemer med deltakelse av den "menneskelige faktoren", det vil si objekter som er vanskelige å formalisere, så til disse kravene er det nødvendig å legge til et nøyaktig skille mellom matematiske og dagligdagse termer (hører det samme, men har en annen betydning), forsiktig anvendelse av et ferdig matematisk apparat til studiet av fenomener og prosesser (veien "fra problem til metode" er å foretrekke, og ikke omvendt) og en rekke andre.

For å løse problemene i informasjonssamfunnet, ville det være naivt å bare stole på kraften til datamaskiner og andre informatikkverktøy. Kontinuerlig forbedring av triaden av matematisk modellering og dens implementering i moderne er et metodisk imperativ. Bare implementeringen gjør det mulig å skaffe de høyteknologiske, konkurransedyktige og mangfoldige materielle og intellektuelle produktene som vi så desperat trenger.

Temaet jeg har valgt er relevant i moderne matematikk og dens anvendelser. I den moderne vitenskapelige tilnærmingen i studiet av naturlige, tekniske og sosioøkonomiske objekter øker betydningen av matematisk modellering av prosessene som skjer i dem. Naturlig studie av oppførselen til objekter og systemer i slike moduser og forhold er umulig eller vanskelig, noe som tvinger bruken av matematiske modelleringsmetoder.

Formålet med dette kursarbeidet er å lære hvordan man kan bruke metodene for matematisk modellering for å studere ulike naturlige sosiale prosesser.

Oppgaver satt for å nå målet:

n Å studere teoretiske spørsmål om matematisk modellering, klassifisering av modeller.

GRUNNLEGGENDE KONSEPT FOR MATEMATISK MODELLERING

Modellering- en metode for vitenskapelig forskning av fenomener, prosesser, objekter, enheter eller systemer (generelt - forskningsobjekter), basert på konstruksjon og studier av modeller for å oppnå ny kunnskap, forbedre egenskapene til forskningsobjekter eller administrere dem.

Modell- et materiell objekt eller bilde (mentalt eller betinget: hypotese, idé, abstraksjon, bilde, beskrivelse, diagram, formel, tegning, plan, kart, algoritmeflytskjema, notater, etc.), som ganske enkelt viser de mest essensielle egenskapene til objektet undersøkelser.

Enhver modell er alltid enklere enn et ekte objekt og viser bare en del av de viktigste funksjonene, hovedelementene og forbindelsene. Av denne grunn, for ett studieobjekt, er det mange forskjellige modeller. Type modell avhenger av det valgte formålet med modelleringen.

Begrepet "modell" er basert på det latinske ordet modulus - måle, prøve. Modellen er en erstatning for det virkelige studieobjektet. Modellen er alltid enklere enn objektet som studeres. Når du studerer komplekse fenomener, prosesser, objekter, er det ikke mulig å ta hensyn til helheten av alle elementer og relasjoner som bestemmer deres egenskaper.

Men alle elementene og forbindelsene i den opprettede modellen bør ikke tas i betraktning. Det er bare nødvendig å skille ut de mest karakteristiske, dominerende komponentene, som i overveldende grad bestemmer hovedegenskapene til studieobjektet. Som et resultat blir studieobjektet erstattet av en forenklet likhet, men med karakteristiske, hovedegenskaper som ligner på studieobjektet. Et nytt objekt (eller abstraksjon) som dukket opp som et resultat av substitusjonen kalles vanligvis en modell av studieobjektet.

For å kompilere matematiske modeller kan du bruke alle matematiske virkemidler – differensial- og integralregning, regresjonsanalyse, sannsynlighetsteori, matematisk statistikk osv. En matematisk modell er et sett med formler, ligninger, ulikheter, logiske forhold osv. De matematiske relasjonene som brukes i matematisk modellering bestemmer prosessen med å endre tilstanden til studieobjektet avhengig av dets parametere, inngangssignaler, Innledende forhold og tid. I hovedsak er all matematikk designet for å danne matematiske modeller.

O veldig viktig matematikk for alle andre vitenskaper (inkludert modellering) sier følgende faktum. Den store engelske fysikeren I. Newton (1643-1727) ble på midten av 1600-tallet kjent med verkene til Rene Descartes og Pierre Gassendi. Disse verkene uttalte at hele verdens struktur kan beskrives med matematiske formler. Under påvirkning av disse verkene begynte I. Newton å studere matematikk intensivt. Hans bidrag til fysikk og matematikk er viden kjent.

Matematisk modellering er en metode for å studere et studieobjekt basert på å lage dens matematiske modell og bruke den til å skaffe ny kunnskap, forbedre studieobjektet eller kontrollere objektet.

For matematisk modellering er det karakteristisk at prosessene for objektets funksjon er skrevet i form av matematiske relasjoner (algebraisk, integral), skrevet i form av logiske forhold.

Differensialligninger er et av hovedmidlene for å kompilere matematiske modeller som er mest brukt for å løse matematiske problemer. Når du studerer fysiske prosesser, løser ulike anvendte problemer, er det som regel ikke mulig å direkte finne lovene som forbinder mengdene som karakteriserer fenomenene som studeres. Det er vanligvis lettere å etablere sammenhenger mellom de samme størrelsene og deres derivater eller differensialer. Relasjoner av denne typen kalles differensialligninger. Mulighetene og reglene for å kompilere differensialligninger bestemmes av kjennskap til lovene i vitenskapsfeltet som problemets natur er knyttet til. Så, for eksempel, kan Newtons lover brukes i mekanikk, i teorien om hastigheter kjemiske reaksjoner- loven om masseaksjon osv. I praksis er det imidlertid ofte tilfeller hvor lovene som kan gjøre det mulig å lage en differensialligning ikke er kjent. Deretter ty til ulike forenklingsantakelser om prosessens forløp med små endringer i parameter-variablene. I dette tilfellet fører overgangen til grensen til differensialligninger. Spørsmålet om samsvar mellom den matematiske modellen og det virkelige fenomenet løses på grunnlag av analysen av resultatene, eksperimentene og deres sammenligning med oppførselen til løsningen av den oppnådde differensialligningen

Matematiske modeller

Matematisk modell - omtrentlig opibeskrivelse av objektet for modellering, uttrykt ved hjelp avschyu matematisk symbolikk.

Matematiske modeller dukket opp sammen med matematikk for mange århundrer siden. En enorm drivkraft til utviklingen av matematisk modellering ble gitt av utseendet til datamaskiner. Bruken av datamaskiner gjorde det mulig å analysere og sette ut i livet mange matematiske modeller som tidligere ikke hadde vært tilgjengelige for analytisk forskning. Dataimplementert matematiskhimmelmodell kalt matematisk datamaskinmodell, en utføre målrettede beregninger ved hjelp av en datamodell kalt beregningseksperiment.

Stadier av datamaskin matematisk mosletting vist i figuren. Den førstescene - definisjon av modelleringsmål. Disse målene kan være forskjellige:

1. en modell er nødvendig for å forstå hvordan et bestemt objekt fungerer, hva er dets struktur, grunnleggende egenskaper, utviklingslover og interaksjon
   med omverdenen (forståelse);
2. en modell er nødvendig for å lære å kontrollere et objekt (eller en prosess) og bestemme beste måter ledelse med gitte mål og kriterier (ledelse);
3. modellen er nødvendig for å forutsi de direkte og indirekte konsekvensene av implementeringen av de spesifiserte metodene og påvirkningsformene på objektet (prognoser).

La oss forklare med eksempler. La undersøkelsesobjektet være samspillet mellom en væske- eller gassstrøm med et legeme som er en hindring for denne strømmen. Erfaring viser at kraften av motstand mot strømning fra siden av kroppen øker med økende strømningshastighet, men ved til dels tilstrekkelig høy hastighet avtar denne kraften brått for å øke igjen med en ytterligere økning i hastighet. Hva forårsaket reduksjonen i motstandskraft? Matematisk modellering lar oss få et klart svar: i øyeblikket med en brå reduksjon i motstand begynner virvlene som dannes i strømmen av væske eller gass bak den strømlinjeformede kroppen å bryte bort fra den og blir ført bort av strømmen.

Et eksempel fra et helt annet område: fredelig sameksisterende med stabile antall populasjoner av to arter av individer med en felles matbase, begynner "plutselig" å dramatisk endre antallet. Og her tillater matematisk modellering (med en viss grad av sikkerhet) å fastslå årsaken (eller i det minste å tilbakevise en viss hypotese).

Utvikling av konseptet objektstyring er et annet mulig mål med modellering. Hvilken flymodus bør velges for at flyturen skal være trygg og mest økonomisk fordelaktig? Hvordan planlegge hundrevis av typer arbeid med bygging av et stort anlegg slik at det avsluttes så snart som mulig? Mange slike problemer oppstår systematisk foran økonomer, designere og vitenskapsmenn.

Til slutt, å forutsi konsekvensene av visse påvirkninger på et objekt kan være både en relativt enkel sak i enkle fysiske systemer, og ekstremt kompleks - på grensen til gjennomførbarhet - i biologiske, økonomiske, sosiale systemer. Hvis det er relativt enkelt å svare på spørsmålet om endringen i modusen for varmeutbredelse i en tynn stang med endringer i dens legering, så er det uforlignelig vanskeligere å spore (forutsi) de miljømessige og klimatiske konsekvensene av konstruksjonen av en store vannkraftverk eller de sosiale konsekvensene av endringer i skattelovgivningen. Kanskje også her vil matematiske modelleringsmetoder gi mer betydelig hjelp i fremtiden.

Andre fase: definisjon av input og output parametere for modellen; inndeling av inngangsparametere i henhold til graden av betydning av virkningen av endringene deres på produksjonen. Denne prosessen kalles rangering, eller divisjon etter rangering (se nedenfor). "Formalisasjon og modellering").

Tredje trinn: konstruksjon av en matematisk modell. På dette stadiet er det en overgang fra den abstrakte formuleringen av modellen til en formulering som har en spesifikk matematisk representasjon. En matematisk modell er ligninger, ligningssystemer, ulikhetssystemer, differensialligninger eller systemer av slike ligninger, etc.

Fjerde trinn: valg av metode for å studere den matematiske modellen. Oftest brukes numeriske metoder her, som egner seg godt til programmering. Som regel er flere metoder egnet for å løse det samme problemet, forskjellig i nøyaktighet, stabilitet, etc. Suksessen til hele modelleringsprosessen avhenger ofte av riktig valg av metode.

Femte trinn: utvikling av en algoritme, kompilering og feilsøking av et dataprogram er en prosess som er vanskelig å formalisere. Av programmeringsspråkene foretrekker mange fagfolk for matematisk modellering FORTRAN: både på grunn av tradisjon, og på grunn av den uovertrufne effektiviteten til kompilatorer (for beregningsarbeid) og tilstedeværelsen av enorme, nøye feilsøkte og optimaliserte biblioteker med standardprogrammer for matematiske metoder skrevet i den. Språk som PASCAL, BASIC, C er også i bruk, avhengig av oppgavens art og programmererens tilbøyeligheter.

Sjette trinn: programtesting. Driften av programmet kontrolleres for testproblem med et kjent svar. Dette er bare begynnelsen på en testprosedyre som er vanskelig å beskrive på en formelt uttømmende måte. Vanligvis avsluttes testingen når brukeren, i henhold til sine faglige egenskaper, anser programmet som riktig.

Syvende trinn: faktisk beregningseksperiment, hvor det blir klart om modellen tilsvarer et reelt objekt (prosess). Modellen er tilstrekkelig tilstrekkelig til den virkelige prosessen hvis noen egenskaper ved prosessen oppnådd på en datamaskin sammenfaller med de eksperimentelt oppnådde egenskapene med en gitt grad av nøyaktighet. Hvis modellen ikke samsvarer med den virkelige prosessen, går vi tilbake til et av de foregående stadiene.

Klassifisering av matematiske modeller

Klassifiseringen av matematiske modeller kan baseres på ulike prinsipper. Det er mulig å klassifisere modeller etter vitenskapsgrener (matematiske modeller i fysikk, biologi, sosiologi, etc.). Det kan klassifiseres i henhold til det anvendte matematiske apparatet (modeller basert på bruk av vanlige differensialligninger, partielle differensialligninger, stokastiske metoder, diskrete algebraiske transformasjoner, etc.). Til slutt, basert på vanlige oppgaver modellering i forskjellige vitenskaper, uavhengig av matematisk apparat, er følgende klassifisering mest naturlig:

• beskrivende (beskrivende) modeller;
• optimaliseringsmodeller;
• multikriteria modeller;
• spillmodeller.

La oss forklare dette med eksempler.

Beskrivende (beskrivende) modeller. For eksempel modellering av bevegelsen til en komet som invaderte solsystemet, er laget for å forutsi flybanen, avstanden den vil passere fra jorden osv. I dette tilfellet er målene for modellering beskrivende, siden det ikke er noen måte å påvirke kometens bevegelse, for å endre noe i den.

Optimaliseringsmodeller brukes til å beskrive prosessene som kan påvirkes i et forsøk på å nå et gitt mål. I dette tilfellet inkluderer modellen en eller flere parametere som kan påvirkes. For eksempel, ved å endre det termiske regimet i et kornmagasin, kan man sette seg et mål om å velge et slikt regime for å oppnå maksimal kornbevaring, d.v.s. optimalisere lagringsprosessen.

Multikriteriemodeller. Ofte er det nødvendig å optimalisere prosessen i flere parametere samtidig, og målene kan være svært motstridende. For eksempel, ved å kjenne matpriser og en persons behov for mat, er det nødvendig å organisere måltider for store grupper mennesker (i hæren, barnas sommerleir, etc.) fysiologisk riktig og samtidig så billig som mulig. Det er tydelig at disse målene ikke er sammenfallende i det hele tatt; ved modellering vil det benyttes flere kriterier som det må søkes balanse mellom.

Spillmodeller kan ikke bare være relatert til dataspill men også til veldig alvorlige ting. For eksempel, før et slag, hvis det er ufullstendig informasjon om den motsatte hæren, må en sjef utvikle en plan: i hvilken rekkefølge for å bringe visse enheter inn i kamp, ​​etc., under hensyntagen til fiendens mulige reaksjon. Det er en spesiell del av moderne matematikk - spillteori - som studerer metodene for beslutningstaking under forhold med ufullstendig informasjon.

I skolekurset i informatikk får studentene en innledende idé om matematisk datamodellering innenfor rammen av grunnkurs. På videregående kan matematisk modellering studeres dypt i et allmennutdanningskurs for klasser i fysikk og matematikk, så vel som innenfor et spesialisert valgfag.

De viktigste formene for undervisning i matematisk modellering på videregående skole er forelesninger, laboratorie- og studiepoengklasser. Vanligvis tar arbeidet med å lage og forberede studiet av hver ny modell 3-4 leksjoner. I løpet av presentasjonen av materialet settes det oppgaver som i fremtiden skal løses av elevene på egen hånd, generelt skisseres måter å løse dem på. Spørsmål er formulert, svarene bør fås når du utfører oppgaver. Ytterligere litteratur er indikert, som gjør det mulig å skaffe tilleggsinformasjon for mer vellykket gjennomføring av oppgaver.

Formen for å organisere klasser i studiet av nytt materiale er vanligvis en forelesning. Etter gjennomføringen av diskusjonen om neste modell studenter ha til disposisjon nødvendig teoretisk informasjon og et sett med oppgaver for videre arbeid. Som forberedelse til oppgaven velger elevene riktig løsningsmetode, ved å bruke en kjent privat løsning, tester de det utviklede programmet. Ved mulige vanskeligheter med å utføre oppgaver, gis konsultasjon, det foreslås å utarbeide disse avsnittene mer detaljert i litteraturen.

Den mest relevante for den praktiske delen av undervisning i datamodellering er metoden for prosjekter. Oppgaven er formulert for eleven i form av et pedagogisk prosjekt og gjennomføres over flere leksjoner, med hoved organisasjonsform mens du jobber med datalab. Å lære å modellere ved hjelp av læringsprosjektmetoden kan implementeres på ulike nivåer. Den første er en problemstilling for prosjektgjennomføringsprosessen, som ledes av læreren. Den andre er implementeringen av prosjektet av studenter under veiledning av en lærer. Den tredje er den uavhengige implementeringen av studenter av et pedagogisk forskningsprosjekt.

Resultatene av arbeidet skal presenteres i numerisk form, i form av grafer, diagrammer. Om mulig presenteres prosessen på dataskjermen i dynamikk. Ved ferdigstillelse av beregningene og mottak av resultatene analyseres de, sammenlignet med kjente fakta fra teorien, påliteligheten bekreftes og det gjennomføres en meningsfull tolkning, som deretter gjenspeiles i en skriftlig rapport.

Hvis resultatene tilfredsstiller eleven og læreren, så arbeidet teller fullført, og den siste fasen er utarbeidelsen av en rapport. Rapporten inneholder kort teoretisk informasjon om emnet som studeres, den matematiske formuleringen av problemet, løsningsalgoritmen og dens begrunnelse, et dataprogram, resultatene av programmet, analyse av resultatene og konklusjonene, en referanseliste.

Når alle rapportene er utarbeidet, på prøveøkten, lager studentene korte rapporter om utført arbeid, forsvarer prosjektet sitt. Dette er en effektiv form for rapport fra prosjektteamet til klassen, inkludert å sette problemet, bygge en formell modell, velge metoder for å jobbe med modellen, implementere modellen på en datamaskin, arbeide med den ferdige modellen, tolke resultatene, prognoser. Som et resultat kan studentene motta to karakterer: den første - for utarbeidelsen av prosjektet og suksessen til forsvaret, den andre - for programmet, optimaliteten til algoritmen, grensesnittet, etc. Studentene får også karakterer i løpet av undersøkelser om teori.

Et vesentlig spørsmål er hva slags verktøy som skal brukes i skoleinformatikkkurset for matematisk modellering? Datamaskinimplementering av modeller kan utføres:

• ved hjelp av et regneark (vanligvis MS Excel);
• ved å lage programmer på tradisjonelle programmeringsspråk (Pascal, BASIC, etc.), så vel som i deres moderne versjoner (Delphi, Visual
  Grunnleggende for applikasjon, etc.);
• bruke spesielle programvarepakker for å løse matematiske problemer (MathCAD, etc.).

På grunnskolenivå ser det første middelet ut til å være det foretrukne. Men på videregående, når programmering sammen med modellering er et sentralt tema innen informatikk, er det ønskelig å involvere det som et modelleringsverktøy. I prosessen med programmering blir detaljene i matematiske prosedyrer tilgjengelige for elevene; dessuten er de rett og slett tvunget til å mestre dem, og dette bidrar også til matematisk utdanning. Når det gjelder bruk av spesielle programvarepakker, er dette hensiktsmessig i et profildatafagkurs som et supplement til andre verktøy.

Trening :

• Skissere nøkkelbegreper.

FOREDRAG 4

Definisjon og formål med matematisk modellering

Under modell(fra det latinske modul - mål, prøve, norm) vil vi forstå et slikt materielt eller mentalt representert objekt som, i prosessen med erkjennelse (studie), erstatter det opprinnelige objektet, og beholder noen av dets typiske trekk som er viktige for denne studien . Prosessen med å bygge og bruke en modell kalles modellering.

essens matematisk modellering (MM) er å erstatte det studerte objektet (prosessen) med en adekvat matematisk modell og deretter studere egenskapene til denne modellen ved å bruke enten analytiske metoder eller beregningseksperimenter.

Noen ganger er det mer nyttig, i stedet for å gi strenge definisjoner, å beskrive et bestemt konsept med et spesifikt eksempel. Derfor illustrerer vi definisjonene ovenfor av MM ved å bruke eksemplet på problemet med å beregne den spesifikke impulsen. På begynnelsen av 1960-tallet ble forskere møtt med oppgaven med å utvikle rakettdrivstoff med den høyeste spesifikke impulsen. Prinsippet for rakettbevegelse er som følger: flytende drivstoff og oksidasjonsmiddel fra raketttankene føres inn i motoren, hvor de brennes, og forbrenningsproduktene slippes ut i atmosfæren. Fra loven om bevaring av momentum følger det at i dette tilfellet vil raketten bevege seg med hastighet.

Den spesifikke impulsen til et drivstoff er den resulterende impulsen delt på drivstoffets masse. Forsøkene var svært kostbare og førte til systematiske skader på utstyret. Det viste seg at det er enklere og billigere å beregne de termodynamiske funksjonene til ideelle gasser, å beregne med deres hjelp sammensetningen av de utgitte gassene og plasmatemperaturen, og deretter den spesifikke impulsen. Det vil si å utføre MM av drivstoffforbrenningsprosessen.

Begrepet matematisk modellering (MM) i dag er et av de vanligste i vitenskapelig litteratur. De aller fleste moderne avhandlinger og avhandlinger er knyttet til utvikling og bruk av hensiktsmessige matematiske modeller. Computer MM i dag er en integrert del av mange områder av menneskelig aktivitet (vitenskap, teknologi, økonomi, sosiologi, etc.). Dette er en av grunnene til dagens mangel på spesialister innen informasjonsteknologi.

Den raske veksten av matematisk modellering skyldes den raske forbedringen av datateknologi. Hvis for 20 år siden bare et lite antall programmerere var engasjert i numeriske beregninger, er nå mengden minne og hastigheten til moderne datamaskiner, som gjør det mulig å løse problemer med matematisk modellering, tilgjengelig for alle spesialister, inkludert universitetsstudenter.

I enhver disiplin gis først en kvalitativ beskrivelse av fenomenene. Og så - kvantitativ, formulert i form av lover som etablerer sammenhenger mellom ulike størrelser (feltstyrke, spredningsintensitet, elektronladning, ...) i form av matematiske ligninger. Derfor kan vi si at i hver disiplin er det like mye vitenskap som det er matematikere i den, og dette faktum tillater oss å lykkes med å løse mange problemer ved hjelp av matematiske modelleringsmetoder.

Dette kurset er designet for studenter med hovedfag i anvendt matematikk som fullfører oppgavene sine under veiledning av ledende forskere som arbeider innen ulike felt. Derfor er dette kurset nødvendig ikke bare som undervisningsmateriell men også som en forberedelse til avhandling. For å studere dette kurset vi trenger følgende deler av matematikk:

1. Ligninger for matematisk fysikk (kantiansk mekanikk, gass og hydrodynamikk)

2. Lineær algebra (teorien om elastisitet)

3. Skalar- og vektorfelt (feltteori)

4. Sannsynlighetsteori (kvantemekanikk, statistisk fysikk, fysisk kinetikk)

5. Spesielle funksjoner.

6. Tensoranalyse (teori om elastisitet)

7. Matematisk analyse

MM i naturvitenskap, ingeniørvitenskap og økonomi

La oss først vurdere de ulike grenene av naturvitenskap, teknologi, økonomi, der matematiske modeller brukes.

naturvitenskap

Fysikk, som etablerer naturvitenskapens grunnleggende lover, har lenge vært delt inn i teoretisk og eksperimentell. Teoretisk fysikk omhandler utledning av ligninger som beskriver fysiske fenomener. Dermed kan teoretisk fysikk også betraktes som et av områdene innen matematisk modellering. (Husk at tittelen på den første boken om fysikk - "The Mathematical Principles of Natural Philosophy" av I. Newton kan oversettes til moderne språk som "Matematiske modeller for naturvitenskap.") Basert på de oppnådde lovene, utføres ingeniørberegninger, som utføres i forskjellige institutter, firmaer, designbyråer. Disse organisasjonene utvikler teknologier for produksjon av moderne produkter som er vitenskapsintensive, og konseptet med vitenskapsintensive teknologier inkluderer derfor beregninger ved hjelp av passende matematiske modeller.

En av de mest omfattende grenene av fysikk - klassisk mekanikk(noen ganger kalles denne delen teoretisk eller analytisk mekanikk). Denne delen av teoretisk fysikk studerer bevegelse og interaksjon mellom kropper. Beregninger ved hjelp av formlene for teoretisk mekanikk er nødvendige når man studerer rotasjonen av kropper (beregning av treghetsmomentene, gyrostater - enheter som holder rotasjonsaksene stasjonære), analyserer bevegelsen til en kropp i et vakuum, etc. En av seksjonene av teoretisk mekanikk kalles stabilitetsteorien og ligger til grunn for mange matematiske modeller som beskriver bevegelsen til fly, skip, raketter. Seksjoner av praktisk mekanikk - kurs "Teori om maskiner og mekanismer", "Maskindeler", studeres av studenter ved nesten alle tekniske universiteter (inkludert MGIU).

Teori om elastisitet- del av en seksjon kontinuummekanikk, som forutsetter at materialet til den elastiske kroppen er homogen og kontinuerlig fordelt over hele kroppens volum, slik at det minste elementet som er skåret ut av kroppen har det samme fysiske egenskaper, som er hele kroppen. Anvendelsen av teorien om elastisitet - kurset "materialstyrke", studeres av studenter ved alle tekniske universiteter (inkludert MGIU). Denne delen er nødvendig for alle styrkeberegninger. Her er beregningen av styrken til skroget til skip, fly, missiler, beregning av styrken til stål- og armert betongkonstruksjoner av bygninger, og mye mer.

Gass og hydrodynamikk, samt teorien om elastisitet - en del av avsnittet kontinuummekanikk, vurderer bevegelseslovene for væske og gass. Ligningene for gass og hydrodynamikk er nødvendige når man analyserer bevegelsen av kropper i et flytende og gassformig medium (satelitter, ubåter, raketter, skjell, biler), når man beregner utstrømningen av gass fra dysene til rakett- og flymotorer. Praktisk bruk av væskedynamikk – hydraulikk (bremse, ror,...)

De forrige delene av mekanikk vurderte bevegelsen av kropper i makrokosmos, og de fysiske lovene til makrokosmos er ikke anvendelige i mikrokosmos, der partikler av materie beveger seg - protoner, nøytroner, elektroner. Her opererer helt andre prinsipper, og for å beskrive mikroverdenen er det nødvendig å kvantemekanikk. Den grunnleggende ligningen som beskriver oppførselen til mikropartikler er Schrödinger-ligningen: . Her er den Hamiltonske operatøren (Hamiltonian). For en endimensjonal partikkelbevegelsesligning https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-potensiell energi. Løsningen av denne ligningen er et sett med energiegenverdier og egenfunksjoner..gif" width="55" height="24 src=">– sannsynlighetstetthet. Kvantemekaniske beregninger er nødvendige for utvikling av nye materialer (mikrokretser), opprettelse av lasere, utvikling av spektralanalysemetoder, etc.

Et stort antall oppgaver løses kinetikk som beskriver bevegelsen og samspillet til partikler. Her og diffusjon, varmeoverføring, teorien om plasma - den fjerde tilstanden til materie.

statistisk fysikk vurderer ensembler av partikler, lar deg si om parametrene til ensemblet, basert på egenskapene til individuelle partikler. Hvis ensemblet består av gassmolekyler, er egenskapene til ensemblet avledet av metodene for statistisk fysikk ligningene for gasstilstanden som er kjent fra videregående skole: https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-molekylvekten til gassen. K er Rydberg-konstanten. statistiske metoder egenskapene til løsninger, krystaller og elektroner i metaller beregnes også. MM statistisk fysikk - teoretisk grunnlag termodynamikk, som ligger til grunn for beregning av motorer, varmenett og stasjoner.

Felt teori beskriver ved MM-metoder en av hovedformene for materie - feltet. I dette tilfellet er elektromagnetiske felt av primær interesse. Ligningene for det elektromagnetiske feltet (elektrodynamikk) ble utledet av Maxwell: , , , . Her og https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - ladningstetthet, - strømtetthet. Elektrodynamikkens ligninger ligger til grunn for beregningene av forplantning av elektromagnetiske bølger nødvendig for å beskrive forplantningen av radiobølger (radio, fjernsyn, mobilkommunikasjon), forklare driften av radarstasjoner.

Kjemi kan representeres i to aspekter, som fremhever beskrivende kjemi - oppdagelsen av kjemiske faktorer og deres beskrivelse - og teoretisk kjemi - utviklingen av teorier som gjør det mulig å generalisere de etablerte faktorene og presentere dem i form av et spesifikt system (L. Pauling) . Teoretisk kjemi kalles også fysisk kjemi og er i hovedsak en gren av fysikken som studerer stoffer og deres interaksjoner. Derfor gjelder alt som er sagt om fysikk fullt ut for kjemi. Seksjoner av fysisk kjemi vil være termokjemi, som studerer de termiske effektene av reaksjoner, kjemisk kinetikk (reaksjonshastigheter), kvantekjemi (strukturen til molekyler). Samtidig er problemene med kjemi ekstremt komplekse. Så, for eksempel, for å løse problemene med kvantekjemi - vitenskapen om strukturen til atomer og molekyler, brukes programmer som i volum kan sammenlignes med luftforsvarsprogrammene i landet. For eksempel, for å beskrive et UCl4-molekyl, bestående av 5 atomkjerner og +17 * 4) elektroner, må du skrive ned bevegelsesligningen - ligninger i partielle derivater.

Biologi

Matematikk kom virkelig inn i biologien først i andre halvdel av 1900-tallet. De første forsøkene på å matematisk beskrive biologiske prosesser er relatert til modeller for populasjonsdynamikk. En populasjon er et samfunn av individer av samme art som okkuperer et visst område av verdensrommet på jorden. Dette området av matematisk biologi, som studerer endringen i populasjonsstørrelse under forskjellige forhold (tilstedeværelse av konkurrerende arter, rovdyr, sykdommer, etc.), fungerte videre som en matematisk testplass der matematiske modeller innen ulike felt av biologi var " utført". Inkludert modeller for evolusjon, mikrobiologi, immunologi og andre områder relatert til cellepopulasjoner.
Den aller første kjente modellen formulert i en biologisk setting er den berømte Fibonacci-serien (hvert påfølgende tall er summen av de to foregående), som er sitert i hans arbeid av Leonardo av Pisa på 1200-tallet. Dette er en tallserie som beskriver antall kaninpar som blir født hver måned, hvis kaninene begynner å avle fra den andre måneden og produserer et par kaniner hver måned. Raden representerer en rekke tall: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

1,

2 ,

3,

5,

8, 13, …

Et annet eksempel er studiet av ioniske transmembrantransportprosesser på en kunstig tolagsmembran. Her, for å studere lovene for dannelse av en pore som et ion passerer gjennom membranen inn i cellen, er det nødvendig å lage et modellsystem som kan studeres eksperimentelt, og som en velutviklet fysisk beskrivelse kan gis for. brukt.

Et klassisk eksempel på MM er også Drosophila-populasjonen. En enda mer praktisk modell er virus, som kan spres i et reagensrør. Metodene for modellering i biologi er metodene til dynamisk systemteori, og midlene er differensial- og differensialligninger, metoder for den kvalitative teorien om differensialligninger, simuleringsmodellering.
Mål for modellering i biologi:
3. Belysning av mekanismene for interaksjon mellom elementene i systemet
4. Identifikasjon og verifisering av modellparametere ved bruk av eksperimentelle data.
5. Vurdering av systemets stabilitet (modell).

6. Forutsigelse av systematferd under ulike ytre påvirkninger, ulike måter ledelse og så videre.
7. Optimal kontroll av systemet i henhold til valgt optimalitetskriterium.

Teknikk

Et stort antall spesialister er engasjert i forbedring av teknologi, som i sitt arbeid stoler på resultatene Vitenskapelig forskning. Derfor er MM i teknologi det samme som MM i naturvitenskap, som ble diskutert ovenfor.

Økonomi og sosiale prosesser

Det er generelt akseptert at matematisk modellering som en metode for å analysere makroøkonomiske prosesser først ble brukt av legen til kong Louis XV, Dr. François Quesnay, som i 1758 ga ut verket "Økonomisk Tabell". I dette arbeidet ble det gjort første forsøk på å kvantitativt beskrive nasjonaløkonomien. Og i 1838 i boka O. Cournot"Undersøkelse av de matematiske prinsippene for rikdomsteorien" kvantitative metoder ble først brukt for å analysere konkurransen i markedet for varer i ulike markedssituasjoner.

Malthus sin teori om befolkning er også viden kjent, der han foreslo ideen om at befolkningsvekst langt fra alltid er ønskelig, og denne veksten er raskere enn de økende mulighetene for å gi befolkningen mat. Den matematiske modellen for en slik prosess er ganske enkel: La - befolkningsvekst over tid https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> befolkningen var lik . og er koeffisientene som tar hensyn til fødsels- og dødsraten (personer/år).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Instrumentelle og matematiske metoder" href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">matematiske analysemetoder (for eksempel i de siste tiårene har matematiske teorier om kulturell utvikling dukket opp i humaniora, matematiske modeller for mobilisering, syklisk utvikling av sosiokulturelle prosesser, en modell for interaksjon mellom folket og regjeringen, en våpenkappløpsmodell osv.) er konstruert og studert.

I de mest generelle termer kan MM-prosessen av sosioøkonomiske prosesser deles betinget inn i fire stadier:

formulere et system av hypoteser og utvikle en konseptuell modell; utvikling av en matematisk modell; analyse av resultatene av modellberegninger, som inkluderer deres sammenligning med praksis; formulering av nye hypoteser og forfining av modellen ved avvik mellom resultater av beregninger og praktiske data.

Merk at prosessen med matematisk modellering som regel er syklisk, siden selv når man studerer relativt enkle prosesser, er det sjelden mulig å bygge en tilstrekkelig matematisk modell fra første trinn og velge dens eksakte parametere.

For tiden betraktes økonomien som et komplekst utviklingssystem, for den kvantitative beskrivelsen av hvilke dynamiske matematiske modeller av ulik grad av kompleksitet som brukes. Et av forskningsområdene for makroøkonomisk dynamikk er knyttet til konstruksjon og analyse av relativt enkle ikke-lineære simuleringsmodeller som reflekterer samspillet mellom ulike delsystemer – arbeidsmarkedet, varemarkedet, det finansielle systemet, det naturlige miljøet, etc.

Teorien om katastrofer er i utvikling. Denne teorien tar for seg spørsmålet om forholdene under hvilke en endring i parametrene til et ikke-lineært system får et punkt i faserommet, som karakteriserer systemets tilstand, til å bevege seg fra attraksjonsområdet til den opprinnelige likevektsposisjonen til området med tiltrekning til en annen likevektsposisjon. Sistnevnte er svært viktig ikke bare for analyse av tekniske systemer, men også for å forstå bærekraften til sosioøkonomiske prosesser. I denne forbindelse, funnene om betydningen av studiet av ikke-lineære modeller for ledelse. I boken "The Theory of Catastrophes", utgitt i 1990, skriver han spesielt: "... den nåværende omstruktureringen skyldes i stor grad det faktum at i det minste noen tilbakemeldingsmekanismer (frykt for personlig ødeleggelse) har begynt å fungere ."

(modellparametere)

Når man bygger modeller av virkelige objekter og fenomener, møter man ofte mangel på informasjon. For objektet som undersøkes er fordelingen av egenskaper, parametrene for påvirkningen og utgangstilstanden kjent med varierende grad av usikkerhet. Når du bygger en modell, er følgende alternativer for å beskrive usikre parametere mulige:

Klassifisering av matematiske modeller

(implementeringsmetoder)

MM implementeringsmetoder kan klassifiseres i henhold til tabellen nedenfor.

MM implementeringsmetoder Svært ofte presenteres den analytiske løsningen for modellen i form av funksjoner. For å få verdiene til disse funksjonene for spesifikke verdier av inngangsparameterne, brukes deres utvidelse til serier (for eksempel Taylor), og verdien av funksjonen for hver verdi av argumentet bestemmes omtrentlig. Modeller som bruker denne teknikken kalles tilnærmet. På numerisk tilnærming settet med matematiske relasjoner til modellen er erstattet av en endelig dimensjonal analog. Dette oppnås oftest ved å diskretisere de innledende relasjonene, dvs. ved å gå fra funksjoner til et kontinuerlig argument til funksjoner til et diskret argument (rutenettmetoder). Løsningen funnet etter beregninger på en datamaskin tas som en omtrentlig løsning på det opprinnelige problemet. De fleste eksisterende systemer er svært komplekse, og det er umulig å lage en reell modell for dem, beskrevet analytisk. Slike systemer bør studeres vha simuleringsmodellering. En av hovedmetodene for simuleringsmodellering er knyttet til bruken av en tilfeldig tallgenerator. Siden et stort antall problemer løses med MM-metoder, blir metodene for å implementere MM studert i mer enn én treningskurs. Her er partielle differensialligninger, numeriske metoder for å løse disse ligningene, beregningsmatematikk, datasimulering, etc. PAULING, Linus Carl (Pauling, Linus Carl) (), amerikansk kjemiker og fysiker, tildelt i 1954 Nobel pris i kjemi for naturstudier kjemisk forbindelse og bestemme strukturen til proteiner. Født 28. februar 1901 i Portland, Oregon. Han utviklet en kvantemekanisk metode for å studere strukturen til molekyler (sammen med den amerikanske fysikeren J. Slayer) – metoden for valensbindinger, samt teorien om resonans, som gjør det mulig å forklare strukturen til karbonholdige forbindelser , primært forbindelser av den aromatiske serien. I perioden med personlighetskulten til Sovjetunionen ble forskere involvert i kvantekjemi forfulgt og anklaget for "polingisme". MALTHUS, THOMAS ROBERT (Malthus, Thomas Robert) (), engelsk økonom. Født på Rookery nær Dorking i Surrey 15. eller 17. februar 1766. I 1798 publiserte han anonymt Et eksperiment på folkeloven. I 1819 ble Malthus valgt til stipendiat i Royal Society.