En metode for å løse differensialligninger med separerbare variabler vurderes. Et eksempel er gitt detaljert løsning differensialligning med separerbare variabler.

Innhold

Definisjon

La s (x), q (x)- funksjoner til variabelen x ;
s (y), r (y)- funksjoner til variabelen y .

En differensialligning med separerbare variabler er en formlikning

Metode for å løse en differensialligning med separerbare variabler

Tenk på ligningen:
(Jeg) .
Vi uttrykker den deriverte y i form av differensialer.
;
.
Multipliser med dx.
(ii)
Del ligningen med s (x)r(y). Dette kan gjøres hvis s (x) r(y) ≠ 0. For s (x) r(y) ≠ 0 vi har
.
Ved å integrere får vi det generelle integralet i kvadraturer
(iii) .

Siden vi delte på s (x)r(y), da får vi integralet av ligningen for s (x) ≠ 0 og r (y) ≠ 0. Deretter må du løse ligningen
r (y) = 0.
Hvis denne ligningen har røtter, så er de også løsninger av ligning (i). La ligningen r (y) = 0. har n røtter a i, r (a i) = 0, jeg = 1, 2, ... , n. Da er konstantene y = a i løsninger av ligning (i). Noen av disse løsningene kan allerede være inneholdt i den generelle integralen (iii).

Legg merke til at hvis den opprinnelige ligningen er gitt på formen (ii), så bør ligningen også løses
s (x) = 0.
Dens røtter b j , s (b j ) = 0, j = 1, 2, ... , m. gi løsninger x = b j .

Et eksempel på å løse en differensialligning med separerbare variabler

løse ligningen

Vi uttrykker den deriverte i form av differensialer:


Multipliser med dx og del på . For y ≠ 0 har vi:

La oss integrere.

Vi beregner integralene ved hjelp av formelen.



Ved å erstatte, får vi det generelle integralet til ligningen
.

Vurder nå saken, y = 0 .
Det er åpenbart at y = 0 er en løsning på den opprinnelige ligningen. Det er ikke inkludert i den generelle integralen.
Så la oss legge det til det endelige resultatet.

; y= 0 .

Referanser:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Samling av problemer i høyere matematikk, Lan, 2003.

En metode for å løse differensialligninger som reduserer til ligninger med separerbare variabler vurderes. Et eksempel på en detaljert løsning av en differensialligning som reduserer til en ligning med separerbare variabler er gitt.

Innhold

Formulering av problemet

Tenk på differensialligningen
(Jeg) ,
hvor f er en funksjon, a, b, c er konstanter, b ≠ 0 .
Denne ligningen er redusert til en ligning med separerbare variabler.

Løsningsmetode

Vi gjør en erstatning:
u = ax + by + c
Her er y en funksjon av x . Derfor er u også en funksjon av x .
Differensiere med hensyn til x
u′ = (ax + by + c)′ = a + by′
Erstatning (Jeg)
u′ = a + by′ = a + b f(ax + by + c) = a + b f (u)
Eller:
(ii)
Separate variabler. Multipliser med dx og del på a + b f (u). Hvis a + b f (u) ≠ 0, Det

Ved å integrere får vi det generelle integralet til den opprinnelige ligningen (Jeg) i firkanter:
(iii) .

Vurder til slutt saken
(iv) a + b f (u) = 0.
Anta at denne ligningen har n røtter u = r i, a + b f (r i ) = 0, jeg = 1, 2, ...n. Siden funksjonen u = r i er konstant, er dens deriverte med hensyn til x lik null. Derfor er u = r i en løsning på ligningen (ii).
Imidlertid ligningen (ii) samsvarer ikke med den opprinnelige ligningen (Jeg) og kanskje ikke alle løsningene u = r i, uttrykt i form av variablene x og y, tilfredsstiller den opprinnelige ligningen (Jeg).

Dermed er løsningen på den opprinnelige ligningen det generelle integralet (iii) og noen røtter til ligningen (iv).

Et eksempel på å løse en differensialligning som reduserer til en ligning med separerbare variabler

løse ligningen
(1)

Vi gjør en erstatning:
u = x - y
Differensieer med hensyn til x og utfør transformasjoner:
;

Multipliser med dx og del på u 2 .

Hvis u ≠ 0, da får vi:

Vi integrerer:

Vi bruker formelen fra tabellen over integraler:

Vi beregner integralet

Deretter
;
, eller

Felles vedtak:
.

Vurder nå tilfellet u = 0 , eller u = x - y = 0 , eller
y=x.
Siden y′ = (x)′ = 1, da er y = x en løsning på den opprinnelige ligningen (1) .

;
.

Referanser:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Samling av problemer i høyere matematikk, Lan, 2003.

Differensiallikninger første orden. Løsningseksempler.
Differensialligninger med separerbare variabler

Differensialligninger (DE). Disse to ordene skremmer vanligvis den gjennomsnittlige lekmann. Differensialligninger ser ut til å være noe opprørende og vanskelig å mestre for mange elever. Uuuuuu... differensialligninger, hvordan skulle jeg overleve alt dette?!

En slik mening og en slik holdning er grunnleggende feil, fordi faktisk DIFFERENSIALLIGNINGER ER ENKLE OG TIL OG MED GØYE. Hva trenger du å vite og kunne lære for å løse differensialligninger? For å lykkes med å studere diffurer, må du være god til å integrere og differensiere. Jo bedre emnene studeres Derivert av en funksjon av én variabel Og Ubestemt integral, jo lettere blir det å forstå differensialligninger. Jeg vil si mer, hvis du har mer eller mindre anstendige integreringsevner, så er temaet praktisk talt mestret! Jo flere integraler forskjellige typer du vet hvordan du bestemmer deg - jo bedre. Hvorfor? Man må integrere mye. Og differensiere. Også anbefaler sterkt lære å finne.

I 95 % av tilfellene i kontrollarbeid det er 3 typer førsteordens differensialligninger: separerbare ligninger, som vi skal dekke i denne leksjonen; homogene ligninger Og lineære inhomogene ligninger. For nybegynnere å studere diffusorer, anbefaler jeg deg å lese leksjonene i denne sekvensen, og etter å ha studert de to første artiklene, vil det ikke skade å konsolidere ferdighetene dine i en ekstra workshop - ligninger som reduserer til homogene.

Det er enda sjeldnere typer differensialligninger: ligninger i totale differensialer, Bernoullis ligninger og noen andre. Den viktigste av de to siste typene er ligningene i totale forskjeller, fordi i tillegg til denne DE, vurderer jeg et nytt materiale - delvis integrasjon.

Hvis du bare har en dag eller to igjen, Det for ultrarask tilberedning Det er blitzkurs i pdf-format.

Så, landemerkene er satt - la oss gå:

La oss først huske de vanlige algebraiske ligningene. De inneholder variabler og tall. Det enkleste eksempelet: . Hva vil det si å løse en vanlig ligning? Dette betyr å finne sett med tall som tilfredsstiller denne ligningen. Det er lett å se at barnelikningen har en enkelt rot: . For moro skyld, la oss gjøre en sjekk, erstatte den funnet roten i ligningen vår:

- riktig likhet oppnås, noe som betyr at løsningen blir funnet riktig.

Diffuser er ordnet på omtrent samme måte!

Differensial ligning første orden V generell sak inneholder:
1) uavhengig variabel ;
2) avhengig variabel (funksjon);
3) den første deriverte av funksjonen: .

I noen ligninger av 1. orden kan det ikke være noen "x" eller (og) "y", men dette er ikke avgjørende - viktig slik at i DU var førstederiverte, og hadde ikke derivater av høyere orden - osv.

Hva betyr ?Å løse en differensialligning betyr å finne sett med alle funksjoner som tilfredsstiller denne ligningen. Et slikt sett med funksjoner har ofte formen ( er en vilkårlig konstant), som kalles generell løsning av differensialligningen.

Eksempel 1

Løs differensialligning

Full ammunisjon. Hvor du skal begynne løsning?

Først av alt må du skrive om den deriverte i en litt annen form. Vi husker den tungvinte notasjonen, som mange av dere sikkert syntes var latterlig og unødvendig. Det er det som regjerer i diffusorer!

I det andre trinnet, la oss se om det er mulig dele variabler? Hva vil det si å skille variabler? Omtrentlig sagt, på venstre side vi må dra bare "spill", A på høyre side organisere bare x-er. Separasjon av variabler utføres ved hjelp av "skole" manipulasjoner: parenteser, overføring av termer fra del til del med fortegnsendring, overføring av faktorer fra del til del i henhold til proporsjonsregelen, etc.

Differensialer og er fulle multiplikatorer og aktive deltakere i fiendtligheter. I dette eksemplet skilles variablene enkelt ved å vende faktorer i henhold til proporsjonsregelen:

Variabler er separert. På venstre side - bare "Spill", på høyre side - bare "X".

Neste nivå - differensialligningsintegrasjon. Det er enkelt, vi henger integraler på begge deler:

Selvfølgelig skal integraler tas. I dette tilfellet er de tabellformede:

Som vi husker, er en konstant tilordnet ethvert antiderivat. Det er to integraler her, men det er nok å skrive konstanten én gang (fordi en konstant + en konstant er fortsatt lik en annen konstant). I de fleste tilfeller plasseres den i høyre side.

Strengt tatt, etter at integralene er tatt, anses differensialligningen å være løst. Det eneste er at vår "y" ikke uttrykkes gjennom "x", det vil si at løsningen presenteres i det implisitte form. Den implisitte løsningen av en differensialligning kalles generell integral av differensialligningen. Det vil si, er det generelle integralet.

Et svar i denne formen er ganske akseptabelt, men finnes det et bedre alternativ? La oss prøve å få felles vedtak.

Vær så snill, husk den første teknikken, det er veldig vanlig og brukes ofte i praktiske oppgaver: hvis en logaritme vises på høyre side etter integrasjon, så er det i mange tilfeller (men slett ikke alltid!) lurt å skrive konstanten også under logaritmen. Og skriv ALLTID hvis bare logaritmer oppnås (som i eksemplet under vurdering).

Det er, I STEDET FOR poster skrives vanligvis .

Hvorfor er dette nødvendig? Og for å gjøre det lettere å uttrykke "y". Vi bruker egenskapen til logaritmer . I dette tilfellet:

Nå kan logaritmer og moduler fjernes:

Funksjonen er presentert eksplisitt. Dette er den generelle løsningen.

Svar: felles beslutning: .

Svarene på mange differensialligninger er ganske enkle å sjekke. I vårt tilfelle gjøres dette ganske enkelt, vi tar den funnet løsningen og skiller den:

Deretter erstatter vi den deriverte i den opprinnelige ligningen:

- korrekt likhet oppnås, noe som betyr at den generelle løsningen tilfredsstiller ligningen , som var påkrevd å kontrollere.

Gir en konstant ulike betydninger, kan du få uendelig mange private avgjørelser differensial ligning. Det er tydelig at noen av funksjonene , osv. tilfredsstiller differensialligningen.

Noen ganger kalles den generelle løsningen familie av funksjoner. I dette eksemplet, den generelle løsningen er en familie av lineære funksjoner, eller rettere sagt, en familie av direkte proporsjonaliteter.

Etter en detaljert diskusjon av det første eksemplet, er det på sin plass å svare på noen naive spørsmål om differensialligninger:

1)I dette eksemplet klarte vi å skille variablene. Er det alltid mulig å gjøre dette? Nei ikke alltid. Og enda oftere kan variablene ikke skilles. For eksempel i homogene første ordens ligninger må byttes først. I andre typer ligninger, for eksempel i en lineær ikke-homogen ligning av første orden, må du bruke ulike triks og metoder for å finne en generell løsning. De separerbare variabellikningene som vi vurderer i den første leksjonen er den enkleste typen differensialligninger.

2) Er det alltid mulig å integrere en differensialligning? Nei ikke alltid. Det er veldig enkelt å komme opp med en "fancy" ligning som ikke kan integreres, i tillegg er det integraler som ikke kan tas. Men slike DE-er kan løses tilnærmet ved hjelp av spesielle metoder. D'Alembert og Cauchy garanterer... ...ugh, lurkmore. For jeg leste mye akkurat nå, la jeg nesten til "fra den andre verdenen."

3) I dette eksemplet har vi fått en løsning i form av en generell integral . Er det alltid mulig å finne en generell løsning fra det generelle integralet, det vil si å uttrykke "y" i en eksplisitt form? Nei ikke alltid. For eksempel: . Vel, hvordan kan jeg uttrykke "y" her?! I slike tilfeller bør svaret skrives som en generell integral. I tillegg kan man noen ganger finne en generell løsning, men den er skrevet så tungvint og klønete at det er bedre å la svaret være i form av et generelt integral

4) ...kanskje nok for nå. I det første eksemplet møttes vi En annen viktig poeng , men for ikke å dekke «dummiene» med et snøskred av ny informasjon, lar jeg det stå til neste leksjon.

La oss ikke skynde oss. En annen enkel fjernkontroll og en annen typisk løsning:

Eksempel 2

Finn en bestemt løsning av differensialligningen som tilfredsstiller innledende tilstand

Løsning: i henhold til tilstanden det kreves for å finne privat løsning DE som tilfredsstiller en gitt startbetingelse. Denne typen avhør kalles også Cauchy problem.

Først finner vi en generell løsning. Det er ingen "x"-variabel i ligningen, men dette burde ikke være pinlig, det viktigste er at den har den første deriverte.

Vi omskriver den deriverte inn ønsket form:

Tydeligvis kan variablene deles, gutter til venstre, jenter til høyre:

Vi integrerer ligningen:

Det generelle integralet oppnås. Her tegnet jeg en konstant med en aksentstjerne, faktum er at den snart vil bli en annen konstant.

Nå prøver vi å konvertere det generelle integralet til en generell løsning (uttrykk "y" eksplisitt). Vi husker den gamle, gode skolen: . I dette tilfellet:

Konstanten i indikatoren ser på en eller annen måte ikke kosher ut, så den senkes vanligvis fra himmelen til jorden. I detalj skjer det slik. Ved å bruke egenskapen til grader omskriver vi funksjonen som følger:

Hvis er en konstant, så er det også en konstant, redesign den med bokstaven:
- samtidig fjerner vi modulen, hvoretter konstanten "ce" kan ta både positive og negative verdier

Husk "riving" av en konstant er andre teknikk, som ofte brukes i løpet av å løse differensialligninger. På en ren kopi kan du umiddelbart gå fra til , men vær alltid forberedt på å forklare denne overgangen.

Så den generelle løsningen er: En så fin familie av eksponentielle funksjoner.

På sluttfasen må du finne en bestemt løsning som tilfredsstiller den gitte startbetingelsen. Det er enkelt også.

Hva er oppgaven? Må hentes slik verdien av konstanten for å tilfredsstille betingelsen.

Du kan ordne det på forskjellige måter, men det mest forståelige vil kanskje være slik. I den generelle løsningen, i stedet for "x", erstatter vi null, og i stedet for "y", to:



Det er,

Standard designversjon:

Nå erstatter vi den funnet verdien av konstanten i den generelle løsningen:
– Dette er den spesielle løsningen vi trenger.

Svar: privat løsning:

La oss ta en sjekk. Verifisering av en bestemt løsning inkluderer to trinn:

Først er det nødvendig å sjekke om den bestemte løsningen som ble funnet virkelig tilfredsstiller startbetingelsen? I stedet for "x" erstatter vi null og ser hva som skjer:
- ja, faktisk, en toer ble oppnådd, noe som betyr at startbetingelsen er oppfylt.

Den andre fasen er allerede kjent. Vi tar den resulterende spesielle løsningen og finner den deriverte:

Bytt inn i den opprinnelige ligningen:

- riktig likestilling oppnås.

Konklusjon: den spesielle løsningen er funnet riktig.

La oss gå videre til mer meningsfulle eksempler.

Eksempel 3

Løs differensialligning

Løsning: Vi omskriver den deriverte i den formen vi trenger:

Vurdere om variabler kan skilles? Kan. Vi overfører den andre termen til høyre side med et tegnskifte:

Og vi snur faktorene i henhold til proporsjonsregelen:

Variablene er separert, la oss integrere begge deler:

Jeg må advare deg, dommens dag kommer. Hvis du ikke har lært godt ubestemte integraler, løst noen eksempler, så er det ingen steder å gå - du må mestre dem nå.

Integralet til venstre side er lett å finne, med integralet av cotangensen tar vi for oss standardteknikken som vi vurderte i leksjonen Integrasjon av trigonometriske funksjoner i fjor:

Som et resultat fikk vi bare logaritmer, og i henhold til min første tekniske anbefaling definerer vi også konstanten under logaritmen.

Nå prøver vi å forenkle det generelle integralet. Siden vi kun har logaritmer, er det fullt mulig (og nødvendig) å bli kvitt dem. Ved bruk av kjente egenskaper maksimalt "pakke" logaritmene. Jeg vil skrive i detalj:

Emballasjen er komplett til å være barbarisk fillete:
, og umiddelbart-umiddelbart gi generell integral til sinnet, så snart som mulig:

Generelt sett er det ikke nødvendig å gjøre dette, men det er alltid en fordel å glede professoren ;-)

I prinsippet kan dette mesterverket skrives som et svar, men her er det likevel hensiktsmessig å kvadre begge deler og omdefinere konstanten:

Svar: generell integral:

! Merk: det generelle integralet kan ofte skrives på mer enn én måte. Hvis resultatet ditt ikke falt sammen med et tidligere kjent svar, betyr ikke dette at du løste ligningen feil.

Er det mulig å uttrykke "y"? Kan. La oss uttrykke den generelle løsningen:

Selvfølgelig er det oppnådde resultatet egnet for et svar, men merk at det generelle integralet ser mer kompakt ut, og løsningen viste seg å være kortere.

Tredje teknisk tips:hvis et betydelig antall handlinger må utføres for å få en generell løsning, er det i de fleste tilfeller bedre å avstå fra disse handlingene og la svaret være i form av en generell integral. Det samme gjelder "dårlige" handlinger når det kreves å uttrykke en invers funksjon, heve til en potens, slå rot osv. Faktum er at den generelle løsningen vil se pretensiøs og tungvint ut - med store røtter, skilt og annet matematisk søppel.

Hvordan sjekke? Verifisering kan gjøres på to måter. Metode én: ta den generelle løsningen , finner vi den deriverte og erstatte dem med den opprinnelige ligningen. Prøv det selv!

Den andre måten er å differensiere det generelle integralet. Det er ganske enkelt, det viktigste er å kunne finne avledet av en funksjon definert implisitt:

del hvert ledd med:

og på :

Den opprinnelige differensialligningen ble oppnådd nøyaktig, noe som betyr at det generelle integralet ble funnet riktig.

Eksempel 4

Finn en spesiell løsning av differensialligningen som tilfredsstiller startbetingelsen. Kjør en sjekk.

Dette er et gjør-det-selv eksempel.

Jeg minner deg om at algoritmen består av to trinn:
1) finne en generell løsning;
2) finne den nødvendige spesielle løsningen.

Kontrollen utføres også i to trinn (se prøven i eksempel nr. 2), du trenger:
1) forsikre deg om at den bestemte løsningen som ble funnet tilfredsstiller den opprinnelige betingelsen;
2) sjekk at en bestemt løsning generelt tilfredsstiller differensialligningen.

Full løsning og svar på slutten av timen.

Eksempel 5

Finn en bestemt løsning av en differensialligning , som tilfredsstiller startbetingelsen . Kjør en sjekk.

Løsning: La oss først finne en generell løsning Denne ligningen inneholder allerede ferdige differensialer og , som betyr at løsningen er forenklet. Separere variabler:

Vi integrerer ligningen:

Integralet til venstre er tabellformet, integralet til høyre er tatt metoden for å summere funksjonen under tegnet til differensialen:

Det generelle integralet er oppnådd, er det mulig å lykkes med å uttrykke den generelle løsningen? Kan. Vi henger logaritmer på begge sider. Siden de er positive, er modulo-tegnene overflødige:

(Jeg håper alle forstår transformasjonen, slike ting burde allerede være kjent)

Så den generelle løsningen er:

La oss finne en bestemt løsning som tilsvarer den gitte starttilstanden.
I den generelle løsningen, i stedet for "x", erstatter vi null, og i stedet for "y", logaritmen til to:

Mer kjent design:

Vi erstatter den funnet verdien av konstanten i den generelle løsningen.

Svar: privat løsning:

Sjekk: Kontroller først om startbetingelsen er oppfylt:
- alt er bra.

La oss nå sjekke om den bestemte løsningen som ble funnet tilfredsstiller differensialligningen i det hele tatt. Vi finner den deriverte:

La oss se på den opprinnelige ligningen: – det presenteres i differensialer. Det er to måter å sjekke. Det er mulig å uttrykke differensialen fra den funnet deriverte:

Vi erstatter den bestemte løsningen og den resulterende differensialen i den opprinnelige ligningen :

Vi bruker den grunnleggende logaritmiske identiteten:

Den riktige likheten oppnås, noe som betyr at den aktuelle løsningen blir funnet riktig.

Den andre måten å sjekke på er speilvendt og mer kjent: fra ligningen uttrykk den deriverte, for dette deler vi alle brikkene med:

Og i den transformerte DE erstatter vi den oppnådde spesielle løsningen og det funnet derivatet. Som følge av forenklinger bør det også oppnås riktig likestilling.

Eksempel 6

Finn det generelle integralet til ligningen, presenter svaret som .

Dette er et eksempel på selvløsning, full løsning og svar på slutten av timen.

Hvilke vanskeligheter venter med å løse differensialligninger med separerbare variabler?

1) Det er ikke alltid åpenbart (spesielt for en tekanne) at variabler kan skilles. Tenk på et betinget eksempel: . Her må du ta faktorene ut av parentes: og skille røttene:. Hvordan gå videre er klart.

2) Vansker i selve integreringen. Integraler oppstår ofte ikke den enkleste, og hvis det er feil i ferdighetene til å finne ubestemt integral, da blir det vanskelig med mange diffusorer. I tillegg er kompilatorene av samlinger og manualer populære med logikken "siden differensialligningen er enkel, vil i det minste integralene være mer kompliserte."

3) Transformasjoner med en konstant. Som alle har lagt merke til, kan en konstant i differensialligninger håndteres ganske fritt, og noen transformasjoner er ikke alltid klare for en nybegynner. La oss se på et annet hypotetisk eksempel: . I den er det tilrådelig å multiplisere alle leddene med 2: . Den resulterende konstanten er også en slags konstant, som kan betegnes med: . Ja, og siden vi har de samme logaritmene, er det lurt å omskrive konstanten som en annen konstant: .

Problemet er at de ofte ikke bryr seg med indekser og bruker samme bokstav. Som et resultat har beslutningsprotokollen følgende form:

Hva pokker?! Her er feilene! Strengt tatt, ja. Fra et innholdsmessig synspunkt er det imidlertid ingen feil, fordi som et resultat av transformasjonen av en variabelkonstant, oppnås en ekvivalent variabelkonstant.

Eller et annet eksempel, anta at i løpet av å løse ligningen, oppnås et generelt integral. Dette svaret ser stygt ut, så det anbefales å endre tegnet for hvert begrep: . Formelt sett er det igjen en feil - til høyre skal den skrives . Men det er uformelt antydet at "minus ce" fortsatt er en konstant som like godt tar på seg det samme settet med verdier, og derfor gir det ikke mening å sette "minus".

Jeg vil prøve å unngå en uforsiktig tilnærming, og likevel sette ned forskjellige indekser for konstanter når jeg konverterer dem. Det er det jeg anbefaler deg å gjøre.

Eksempel 7

Løs differensialligningen. Kjør en sjekk.

Løsning: Denne ligningen tillater separasjon av variabler. Separere variabler:

Vi integrerer:

Konstanten her trenger ikke å defineres under logaritmen, siden det ikke kommer noe godt ut av den.

Svar: generell integral:

Og, selvfølgelig, her er det IKKE NØDVENDIG å uttrykke "y" eksplisitt, fordi det vil vise seg å være søppel (husk det tredje tekniske tipset).

Undersøkelse: Differensiere svaret (implisitt funksjon):

Vi blir kvitt brøker, for dette multipliserer vi begge ledd med:

Den opprinnelige differensialligningen er oppnådd, noe som betyr at det generelle integralet er funnet riktig.

Eksempel 8

Finn en spesiell løsning av DE.
,

Definisjon 7. En ligning av formen kalles en ligning med separerbare variabler.

Denne ligningen kan reduseres til formen ved å dele alle leddene i ligningen med produktet.

Løs for eksempel ligningen

Løsning. Den deriverte er lik

Ved å skille variablene får vi:

.

La oss nå integrere:

Løs differensialligning

Løsning. Dette er en førsteordensligning med separerbare variabler. For å skille variablene til denne ligningen i skjemaet og del det begrep for begrep inn i produktet. Som et resultat får vi eller

ved å integrere begge deler av den siste ligningen, får vi den generelle løsningen

arcsin y = arcsin x + C

La oss nå finne en spesiell løsning som tilfredsstiller startbetingelsene. Ved å erstatte de innledende betingelsene i den generelle løsningen får vi

; hvorfra C=0

Derfor har en bestemt løsning formen arc sin y = arc sin x, men sinusene til like buer er lik hverandre

sin (arcsin y) = sin (arcsin x).

Hvorfra, ved definisjon av arcsine, følger det at y = x.

Homogene differensialligninger

Definisjon 8. En differensialligning av formen som kan reduseres til formen kalles homogen.

For å integrere slike ligninger, gjøres en endring av variabler, forutsatt . Denne substitusjonen resulterer i en differensialligning for x og t hvor variablene separeres, hvoretter ligningen kan integreres. For å få det endelige svaret må du erstatte variabelen t med .

For eksempel, løse ligningen

Løsning. La oss omskrive ligningen slik:

vi får:

Etter reduksjon med x 2 har vi:

La oss erstatte t med:

Gjennomgå spørsmål

1 Hva er en differensialligning?

2 Nevn typene differensialligninger.

3 Fortell algoritmene for å løse alle disse ligningene.

Eksempel 3

Løsning: Vi omskriver den deriverte i den formen vi trenger:

Vurdere om variabler kan skilles? Kan. Vi overfører den andre termen til høyre side med et tegnskifte:

Og vi snur faktorene i henhold til proporsjonsregelen:

Variablene er separert, la oss integrere begge deler:

Jeg må advare deg, dommens dag kommer. Hvis du ikke har lært godt ubestemte integraler, løst noen eksempler, så er det ingen steder å gå - du må mestre dem nå.

Integralet til venstre side er lett å finne, med integralet av cotangensen tar vi for oss standardteknikken som vi vurderte i leksjonen Integrasjon av trigonometriske funksjoner i fjor:

På høyre side fikk vi en logaritme, ifølge min første tekniske anbefaling, i dette tilfellet skal konstanten også skrives under logaritmen.

Nå prøver vi å forenkle det generelle integralet. Siden vi kun har logaritmer, er det fullt mulig (og nødvendig) å bli kvitt dem. Vi "pakker" logaritmene så mye som mulig. Pakking utføres ved hjelp av tre egenskaper:

Skriv om disse tre formlene til deg selv arbeidsbok, de brukes veldig ofte når du løser diffuser.

Jeg vil skrive løsningen i detalj:

Pakkingen er fullført, fjern logaritmene:

Er det mulig å uttrykke "y"? Kan. Begge deler må være firkantet. Men du trenger ikke.

Tredje teknisk tips: Hvis du, for å få en generell løsning, trenger å heve til en makt eller slå røtter, da I de fleste tilfeller du bør avstå fra disse handlingene og la svaret være i form av en generell integral. Faktum er at den generelle løsningen vil se pretensiøs og forferdelig ut - med store røtter, tegn.

Derfor skriver vi svaret som en generell integral. Det anses som god form å presentere det generelle integralet i formen, det vil si på høyre side, om mulig, la bare en konstant være. Det er ikke nødvendig å gjøre dette, men det er alltid en fordel å glede professoren ;-)

Svar: generell integral:

Merk: det generelle integralet til enhver ligning kan skrives på mer enn én måte. Dermed, hvis resultatet ditt ikke falt sammen med et tidligere kjent svar, betyr ikke dette at du har løst ligningen feil.

Det generelle integralet sjekkes også ganske enkelt, det viktigste er å kunne finne derivater av en funksjon definert implisitt. La oss skille svaret:

Vi multipliserer begge ledd med:

Og vi deler med:

Den opprinnelige differensialligningen ble oppnådd nøyaktig, noe som betyr at det generelle integralet ble funnet riktig.

Eksempel 4

Finn en spesiell løsning av differensialligningen som tilfredsstiller startbetingelsen. Kjør en sjekk.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Jeg minner deg om at Cauchy-problemet består av to stadier:
1) Finne en generell løsning.
2) Finne en bestemt løsning.

Kontrollen utføres også i to trinn (se også prøven i eksempel 2), du trenger:
1) Sørg for at den bestemte løsningen som er funnet, virkelig tilfredsstiller den opprinnelige betingelsen.
2) Sjekk at en bestemt løsning generelt tilfredsstiller differensialligningen.

Full løsning og svar på slutten av timen.

Eksempel 5

Finn en bestemt løsning av en differensialligning , som tilfredsstiller startbetingelsen . Kjør en sjekk.

Løsning: La oss først finne en generell løsning Denne ligningen inneholder allerede ferdige differensialer og , som betyr at løsningen er forenklet. Separere variabler:

Vi integrerer ligningen:

Integralet til venstre er tabellformet, integralet til høyre er tatt metoden for å summere funksjonen under tegnet til differensialen:

Det generelle integralet er oppnådd, er det mulig å lykkes med å uttrykke den generelle løsningen? Kan. Vi henger logaritmer:

(Jeg håper alle forstår transformasjonen, slike ting burde allerede være kjent)

Så den generelle løsningen er:

La oss finne en bestemt løsning som tilsvarer den gitte starttilstanden. I den generelle løsningen, i stedet for "x", erstatter vi null, og i stedet for "y", logaritmen til to:

Mer kjent design:

Vi erstatter den funnet verdien av konstanten i den generelle løsningen.

Svar: privat løsning:

Sjekk: Kontroller først om startbetingelsen er oppfylt:
- alt er bra.

La oss nå sjekke om den bestemte løsningen som ble funnet tilfredsstiller differensialligningen i det hele tatt. Vi finner den deriverte:

La oss se på den opprinnelige ligningen: – det presenteres i differensialer. Det er to måter å sjekke. Det er mulig å uttrykke differensialen fra den funnet deriverte:

Vi erstatter den bestemte løsningen og den resulterende differensialen i den opprinnelige ligningen :

Vi bruker den grunnleggende logaritmiske identiteten:

Den riktige likheten oppnås, noe som betyr at den aktuelle løsningen blir funnet riktig.

Den andre måten å sjekke på er speilvendt og mer kjent: fra ligningen uttrykk den deriverte, for dette deler vi alle brikkene med:

Og i den transformerte DE erstatter vi den oppnådde spesielle løsningen og det funnet derivatet. Som følge av forenklinger bør det også oppnås riktig likestilling.

Eksempel 6

Løs differensialligningen. Uttrykk svaret som en generell integral.

Dette er et eksempel på selvløsning, full løsning og svar på slutten av timen.

Hvilke vanskeligheter venter med å løse differensialligninger med separerbare variabler?

1) Det er ikke alltid åpenbart (spesielt for en tekanne) at variabler kan skilles. Tenk på et betinget eksempel: . Her må du ta faktorene ut av parentes: og skille røttene:. Hvordan gå videre er klart.

2) Vansker i selve integreringen. Integraler oppstår ofte ikke den enkleste, og hvis det er feil i ferdighetene til å finne ubestemt integral, da blir det vanskelig med mange diffusorer. I tillegg er logikken "siden differensialligningen er enkel, la integralene være mer kompliserte" populær blant kompilatorene av samlinger og manualer.

3) Transformasjoner med en konstant. Som alle har lagt merke til, med en konstant i differensialligninger, kan du gjøre nesten hva som helst. Og ikke alltid slike transformasjoner er klare for en nybegynner. Tenk på et annet betinget eksempel: . I den er det tilrådelig å multiplisere alle leddene med 2: . Den resulterende konstanten er også en slags konstant, som kan betegnes med: . Ja, og siden det er en logaritme på høyre side, er det lurt å omskrive konstanten som en annen konstant: .

Problemet er at de ofte ikke plages med indekser, og bruker samme bokstav . Og som et resultat har beslutningsprotokollen følgende form:

Hva i helvete? Her er feilene. Formelt sett, ja. Og uformelt - det er ingen feil, det er forstått at når du konverterer en konstant, oppnås fortsatt en annen konstant.

Eller et slikt eksempel, anta at i løpet av å løse ligningen, oppnås et generelt integral. Dette svaret ser stygt ut, så det er tilrådelig å endre tegnene til alle multiplikatorer: . Formelt er det ifølge journalen igjen en feil, det skulle vært skrevet. Men det er uformelt underforstått at - det er fortsatt en annen konstant (desto mer den kan ha en hvilken som helst verdi), så det gir ingen mening å endre fortegnet for konstanten, og du kan bruke den samme bokstaven .

Jeg vil prøve å unngå en uforsiktig tilnærming, og likevel sette ned forskjellige indekser for konstanter når jeg konverterer dem.

Eksempel 7

Løs differensialligningen. Kjør en sjekk.

Løsning: Denne ligningen tillater separasjon av variabler. Separere variabler:

Vi integrerer:

Konstanten her trenger ikke å defineres under logaritmen, siden det ikke kommer noe godt ut av den.

Svar: generell integral:

Sjekk: Differensiere svaret (implisitt funksjon):

Vi blir kvitt brøker, for dette multipliserer vi begge ledd med:

Den opprinnelige differensialligningen er oppnådd, noe som betyr at det generelle integralet er funnet riktig.

Eksempel 8

Finn en spesiell løsning av DE.
,

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Den eneste kommentaren, her får du en generell integral, og mer korrekt, du må prøve å finne ikke en bestemt løsning, men privat integral. Full løsning og svar på slutten av timen.

Som allerede nevnt, i diffuraer med separerbare variabler, vises ofte ikke de enkleste integralene. Og her er et par slike eksempler for en uavhengig avgjørelse. Jeg anbefaler alle å løse eksempel nr. 9-10, uavhengig av treningsnivå, dette vil tillate deg å oppdatere ferdighetene til å finne integraler eller fylle ut kunnskapshull.

Eksempel 9

Løs differensialligning

Eksempel 10

Løs differensialligning

Husk at det generelle integralet kan skrives på mer enn én måte, og utseendet på svarene dine kan avvike fra utseende mine svar. Kort løsning og svar på slutten av timen.

Vellykket promotering!

Løsninger og svar:

Eksempel 4:Løsning: La oss finne en generell løsning. Separere variabler:


Vi integrerer:



Det generelle integralet er oppnådd, vi prøver å forenkle det. Vi pakker logaritmene og blir kvitt dem:

Vi uttrykker funksjonen eksplisitt ved å bruke .
Felles avgjørelse:

Finn en spesiell løsning som tilfredsstiller startbetingelsen .
Metode én, i stedet for "x" erstatter vi 1, i stedet for "y" - "e":
.
Metode to:

Vi erstatter den funnet verdien av konstanten inn i en generell løsning.
Svar: privat løsning:

Sjekk: Sjekk om den opprinnelige betingelsen er sann:
, ja, starttilstand ferdig.
Vi sjekker om den aktuelle løsningen i det hele tatt tilfredsstiller differensial ligning. Først finner vi den deriverte:

Vi erstatter den oppnådde spesielle løsningen og funnet avledet inn i den opprinnelige ligningen :

Riktig likhet oppnås, noe som betyr at løsningen blir funnet riktig.

Eksempel 6:Løsning: Denne ligningen tillater separasjon av variabler. Vi skiller variablene og integrerer:




Svar: generell integral:

Merk: her kan du få en generell løsning:

Men ifølge mitt tredje tekniske tips er det ikke ønskelig å gjøre dette, siden et slikt svar ser ganske dårlig ut.

Eksempel 8:Løsning: Denne fjernkontrollen tillater separasjon av variabler. Separere variabler:



Vi integrerer:


Generell integral:
Finn en bestemt løsning (delintegral) som tilsvarer den gitte startbetingelsen . Vi bytter inn i den generelle løsningen Og:

Svar: Privat integral:
I prinsippet kan svaret kjemmes og få noe mer kompakt. .

Differensiallikninger.

Grunnleggende begreper om vanlige differensialligninger.

Definisjon 1. Vanlig differensialligning n-te rekkefølge for funksjonen y argument x kalles en relasjon av formen

Hvor F er en gitt funksjon av argumentene. I navnet til denne klassen av matematiske ligninger, understreker begrepet "differensial" at de inkluderer derivater (funksjoner dannet som et resultat av differensiering); begrepet - "vanlig" sier at ønsket funksjon avhenger av bare ett reelt argument.

En vanlig differensialligning inneholder kanskje ikke eksplisitt et argument x, den ønskede funksjonen og hvilken som helst av dens deriverte, men den høyeste deriverte må inkluderes i ligningen n- rekkefølge. For eksempel

a) er en førsteordens ligning;

b) er en tredjeordens ligning.

Når du skriver vanlige differensialligninger, brukes ofte notasjonen av derivater gjennom differensialer:

V) er en andreordens ligning;

d) er en førsteordens ligning,

dannes etter deling etter dx ekvivalent form av ligningen:.

En funksjon kalles en løsning på en vanlig differensialligning hvis den blir en identitet når den blir substituert i den.

For eksempel 3. ordens ligning

Har en løsning .

For å finne ved en eller annen metode, for eksempel seleksjon, betyr ikke en funksjon som tilfredsstiller en ligning å løse den. Å løse en vanlig differensialligning betyr å finne Alle funksjoner som danner en identitet når de erstattes i ligningen. For ligning (1.1) er familien av slike funksjoner dannet ved hjelp av vilkårlige konstanter og kalles den generelle løsningen av den ordinære differensialligningen n orden, og antall konstanter faller sammen med rekkefølgen til ligningen: y(x): I dette tilfellet kalles løsningen det generelle integralet av ligning (1.1).

For eksempel er følgende uttrykk en generell løsning på en differensialligning: , og det andre leddet kan skrives som , siden en vilkårlig konstant delt på 2 kan erstattes med en ny vilkårlig konstant .

Ved å sette noen tillatte verdier for alle vilkårlige konstanter i den generelle løsningen eller i det generelle integralet, får vi en viss funksjon som ikke lenger inneholder vilkårlige konstanter. Denne funksjonen kalles en bestemt løsning eller et bestemt integral av ligning (1.1). For å finne verdiene til vilkårlige konstanter, og derav den spesielle løsningen, brukes forskjellige tilleggsbetingelser til ligning (1.1). For eksempel kan de såkalte startbetingelsene for (1.2) gis

I de høyre delene av startbetingelsene (1.2) er de numeriske verdiene til funksjonen og deriverte gitt, og det totale antallet startbetingelser er lik antallet vilkårlige konstanter som bestemmes.

Problemet med å finne en bestemt løsning på ligning (1.1) fra startforhold kalles Cauchy-problemet.

§ 2. Ordinære differensialligninger av 1. orden - grunnleggende begreper.

Ordinær differensialligning av 1. orden ( n=1) har formen: eller, hvis det kan løses med hensyn til den deriverte: . Felles vedtak y=y(x, C) eller det generelle integralet til 1. ordens ligninger inneholder én vilkårlig konstant. Den eneste startbetingelsen for 1. ordens ligning lar deg bestemme verdien av konstanten fra den generelle løsningen eller fra det generelle integralet. Dermed vil en bestemt løsning bli funnet eller, som også er Cauchy-problemet, vil bli løst. Spørsmålet om eksistensen og det unike ved en løsning på Cauchy-problemet er et av de sentrale spørsmålene i generell teori vanlige differensialligninger. Spesielt for en førsteordensligning er teoremet gyldig, som godtas her uten bevis.

Teorem 2.1. Hvis i en ligning er en funksjon og dens partielle deriverte kontinuerlige i et område D flyet XOY , og et poeng er gitt i denne regionen, så eksisterer det og dessuten en unik løsning som tilfredsstiller både ligningen og startbetingelsen.

Den geometrisk generelle løsningen av 1. ordens ligning er en familie av kurver i planet XOY, som ikke har felles punkter og skiller seg fra hverandre med en parameter - verdien av konstanten C. Disse kurvene kalles integralkurver for den gitte ligningen. Integralkurvene til ligningen har en åpenbar geometrisk egenskap: i hvert punkt er tangenten til hellingen til tangenten til kurven lik verdien av høyre side av ligningen i det punktet: . Med andre ord er ligningen gitt i planet XOY retningsfelt for tangenter til integralkurver. Kommentar: Det skal bemerkes at for ligningen ligningen og den såkalte ligningen i symmetrisk form er gitt .

Første ordens differensialligninger med separerbare variabler.

Definisjon. En differensialligning med separerbare variabler er en formlikning (3.1)

eller en ligning av formen (3.2)

For å skille variablene i likning (3.1), dvs. reduser denne ligningen til den såkalte ligningen med separerte variabler, utfør følgende handlinger:

;

Nå må vi løse ligningen g(y)=0. Hvis det har en reell løsning y=a, At y=a vil også være en løsning av ligning (3.1).

Ligning (3.2) reduseres til en ligning med separerte variabler ved å dele på produktet:

, som lar oss få det generelle integralet av ligning (3.2): . (3.3)

Integralkurvene (3.3) vil bli supplert med løsninger dersom slike løsninger finnes.

Løs ligningen:.

Separere variabler:

.

Integrering, får vi