Harmonisk oscillator fjærpendel. Ideell harmonisk oscillator

F, proporsjonal med forskyvningen x :

Hvis en F- den eneste kraften som virker på systemet, da kalles systemet enkel eller konservativ harmonisk oscillator. Frie oscillasjoner av et slikt system representerer en periodisk bevegelse rundt likevektsposisjonen (harmoniske svingninger). Frekvensen og amplituden er konstante, og frekvensen er ikke avhengig av amplituden.

Mekaniske eksempler på en harmonisk oscillator er den matematiske pendelen (med små avbøyningsvinkler), en vekt på en fjær, en torsjonspendel og akustiske systemer. Blant de ikke-mekaniske analogene til en harmonisk oscillator kan man skille ut en elektrisk harmonisk oscillator (se LC-krets).

La x- forskyvning av et materialpunkt i forhold til dets likevektsposisjon, og F- virker på et punkt som gjenoppretter kraft av hvilken som helst form

hvor k= konst. Deretter kan man ved å bruke Newtons andre lov skrive akselerasjonen som

Amplituden reduseres. Dette betyr at det kan ha hvilken som helst verdi (inkludert null - dette betyr at materialpunktet er i ro i likevektsposisjonen). Sinusen kan også reduseres, siden likheten må holde til enhver tid t. Dermed forblir betingelsen for oscillasjonsfrekvensen:

Enkel harmonisk bevegelse er grunnlaget for noen måter å analysere mer komplekse typer bevegelser på. En av disse metodene er basert på Fourier-transformasjonen, hvis essens er å dekomponere en mer kompleks type bevegelse til en serie enkle harmoniske bevegelser.

Ethvert system der enkel harmonisk bevegelse oppstår har to nøkkelegenskaper:

Et typisk eksempel på et system der enkel harmonisk bevegelse oppstår er det idealiserte massefjærsystemet, der en masse festes til en fjær og plasseres på en horisontal overflate. Hvis fjæren ikke er komprimert og ikke strukket, virker ingen variable krefter på lasten og den er i en tilstand av mekanisk likevekt. Imidlertid, hvis lasten fjernes fra likevektsposisjonen, deformeres fjæren og en kraft vil virke fra dens side, som har en tendens til å returnere lasten til likevektsposisjonen. Når det gjelder et lastfjærsystem, er en slik kraft den elastiske kraften til fjæren, som overholder Hookes lov:

hvor k har en veldig spesifikk betydning - dette er koeffisienten for fjærstivhet.

Når den forskjøvede lasten er utsatt for virkningen av en gjenopprettingskraft, akselererer den og har en tendens til å returnere den til startpunktet, det vil si til likevektsposisjonen. Når lasten nærmer seg likevektsposisjonen, avtar gjenopprettingskraften og tenderer til null. Imidlertid i posisjon x = 0 lasten har en viss bevegelse (momentum), oppnådd på grunn av virkningen av gjenopprettingskraften. Derfor hopper lasten over likevektsposisjonen, og begynner å deformere fjæren igjen (men i motsatt retning). Gjenopprettingskraften vil ha en tendens til å bremse den ned til hastigheten er null; og kraften vil igjen søke å returnere lasten til sin likevektsposisjon.

Hvis det ikke er energitap, vil lasten svinge som beskrevet ovenfor; denne bevegelsen er periodisk.

Enkel harmonisk bevegelse vist samtidig i reelt rom og faserom. Real Space - ekte plass; Faserom - faserom; hastighet - hastighet; posisjon - posisjon (posisjon).

Ved en last vertikalt opphengt på en fjær, sammen med den elastiske kraften, virker tyngdekraften, det vil si at den totale kraften vil være

Målinger av frekvensen (eller perioden) av oscillasjoner av en belastning på en fjær brukes i enheter for å bestemme kroppsmasse - de såkalte massemålerne, brukt på romstasjoner når balansen ikke kan fungere på grunn av vektløshet.

Enkel harmonisk bevegelse kan i noen tilfeller betraktes som en endimensjonal projeksjon av universell sirkulær bevegelse.

Hvis et objekt beveger seg med konstant vinkelhastighet ω langs en sirkel med radius r, hvis senter er opprinnelsen til flyet x − y, da er slik bevegelse langs hver av koordinataksene enkel harmonisk med amplitude r og sirkulær frekvens ω .

Ved tilnærming av små vinkler er bevegelsen til en enkel pendel nær enkel harmonisk. Svingningsperioden til en slik pendel festet til en lengdestang ℓ , er gitt av formelen

hvor g- tyngdeakselerasjon. Dette viser at svingeperioden ikke er avhengig av pendelens amplitude og masse, men avhenger av g, derfor, med samme lengde på pendelen, vil den på Månen svinge saktere, siden tyngdekraften er svakere der og verdien av akselerasjonen for fritt fall er lavere.

Den spesifiserte tilnærmingen er riktig bare ved små avbøyningsvinkler, siden uttrykket for vinkelakselerasjonen er proporsjonal med sinusen til koordinaten:

hvor Jeg- treghetsmoment ; i dette tilfellet Jeg = ml 2. Små vinkler realiseres under forhold når oscillasjonsamplituden er mye mindre enn lengden på stangen.

som gjør vinkelakselerasjonen direkte proporsjonal med vinkelen θ, og dette tilfredsstiller definisjonen av enkel harmonisk bevegelse.

Når man vurderer en dempet oscillator, tas modellen til en konservativ oscillator til grunn, som den viskøse friksjonskraften legges til. Kraften av viskøs friksjon er rettet mot hastigheten på lasten i forhold til mediet og er direkte proporsjonal med denne hastigheten. Da skrives den totale kraften som virker på lasten som følger:

Ved å bruke Newtons andre lov får vi differensial ligning som beskriver den dempede oscillatoren:

Derfor, i pekerindikatorer (for eksempel i amperemeter), prøver de vanligvis å innføre nøyaktig kritisk dempning slik at pilen roer seg så raskt som mulig for å lese avlesningene.

En oscillator med kritisk demping har en kvalitetsfaktor på 0,5. Følgelig indikerer kvalitetsfaktoren arten av oppførselen til oscillatoren. Hvis kvalitetsfaktoren er større enn 0,5, er den frie bevegelsen til oscillatoren en oscillasjon; teoretisk, over tid, vil den krysse likevektsposisjonen et ubegrenset antall ganger. En kvalitetsfaktor mindre enn eller lik 0,5 tilsvarer den ikke-oscillerende bevegelsen til oscillatoren; i fri bevegelse vil den maksimalt krysse likevektsposisjonen én gang.

I tilfelle av oscillerende bevegelse er dempning også preget av slike parametere som:

Denne tiden regnes som tiden som kreves for demping (stopp) av svingninger (selv om frie svingninger formelt fortsetter på ubestemt tid).

Oscillasjonene til en oscillator kalles tvunget når det gjøres ytterligere ytre påvirkning på den. Denne påvirkningen kan frembringes på forskjellige måter og i henhold til forskjellige lover. For eksempel er krafteksitasjon effekten på lasten av en kraft som kun avhenger av tid i henhold til en viss lov. Kinematisk eksitasjon er virkningen på oscillatoren ved bevegelse av fjærfestepunktet i henhold til en gitt lov. Effekten av friksjon er også mulig når for eksempel mediet som lasten opplever friksjon med beveger seg i henhold til en gitt lov.

Tenk på svingninger av en vekt m på en fjær med stivhetskoeffisient k, som ligger på et flatt horisontalt bord, forutsatt at det ikke er friksjon av vekten på bordflaten. Hvis vekten fjernes fra likevektsposisjonen, vil den svinge rundt denne posisjonen. Vi vil beskrive disse svingningene med en tidsavhengig funksjon, forutsatt at den bestemmer vektens avvik fra dens likevektsposisjon ved tiden t.

I horisontal retning virker bare en kraft på vekten - den elastiske kraften til fjæren, bestemt av den velkjente Hookes lov

Deformasjonen av fjæren er en funksjon av tiden, derfor er den også en variabel.

Fra Newtons andre lov har vi

fordi akselerasjonen er den andre deriverte av forskyvningen:.

Ligning (9) kan skrives om i formen

hvor. Denne ligningen kalles den harmoniske oscillatorligningen.

Kommentar. I den matematiske litteraturen, når man skriver en differensialligning, angir man vanligvis ikke argumentet (t) i nærheten av alle funksjoner som er avhengige av det. Denne avhengigheten antas som standard. Når du bruker den matematiske pakken Maple i (10), er det nødvendig å angi den eksplisitte avhengigheten til funksjonen.

I motsetning til det forrige eksemplet på kroppsbevegelse under påvirkning av en konstant kraft, endres i vårt tilfelle kraften over tid, og ligning (10) kan ikke lenger løses ved å bruke den vanlige integrasjonsprosedyren. La oss prøve å gjette løsningen på denne ligningen, vel vitende om at den beskriver en eller annen oscillerende prosess. Som en av de mulige løsningene til ligning (10), kan vi velge følgende funksjon:

Differensieringsfunksjon (11), vi har

Ved å erstatte uttrykk (12) i ligning (10), sørger vi for at det er oppfylt identisk for enhver verdi av t.

Funksjon (11) er imidlertid ikke den eneste løsningen på den harmoniske oscillatorligningen. For eksempel kan man velge en funksjon som en annen løsning, som også er enkel å sjekke på lignende måte. Dessuten kan man kontrollere at en hvilken som helst lineær kombinasjon av disse to tilfeldig navngitte løsningene

med konstante koeffisienter A og B er også en løsning på den harmoniske oscillatorligningen.

Det kan bevises at to-konstantløsningen (13) er den generelle løsningen av den harmoniske oscillatorligningen (10). Dette betyr at formel (13) uttømmer alle mulige løsninger på denne ligningen. Med andre ord har den harmoniske oscillatorligningen ingen andre spesielle løsninger, bortsett fra de som er oppnådd fra formel (13) ved å fikse vilkårlige konstanter A og B.

Merk at i fysikk er det oftest nødvendig å se etter noen spesielle løsninger for individuelle ODE-er eller deres systemer. La oss vurdere dette spørsmålet mer detaljert.

Det er mulig å eksitere svingninger i vektsystemet på en fjær vi vurderer forskjellige måter. La oss sette følgende startbetingelser

Dette betyr at vekten i det første øyeblikket ble fjernet fra likevektsposisjonen med en verdi a og frigjort fritt (dvs. den starter sin bevegelse med null starthastighet). Man kan forestille seg mange andre måter å eksitere på, for eksempel gis en vekt i likevektsposisjonen en viss starthastighet ved et "klikk" osv. [ generell sak, ].

Vi betrakter startbetingelsene (14) som noen tilleggsbetingelser for å skille fra den generelle løsningen (13) en spesiell løsning som tilsvarer vår metode for eksitering av vektsvingningene.

Forutsatt at t=0 i uttrykk (13), har vi, hvorav det følger at B=a. Dermed har vi funnet en av de tidligere vilkårlige konstantene i løsning (13). Videre, ved å differensiere i formel (13), har vi

Forutsatt at t=0 i dette uttrykket og tar i betraktning den andre startbetingelsen fra (14), får vi, derav følger det at A=0 og dermed den spesifikke initialløsningen har formen

Den beskriver den oscillerende modusen til den betraktede mekanisk system, som bestemmes av de initiale eksitasjonsbetingelsene (14).

Det er kjent fra skolens fysikkkurs at i formel (16) er a amplituden til svingningene (den setter det maksimale avviket til vekten fra dens likevektsposisjon), er den sykliske frekvensen, og er fasen til svingningene (den startfasen viser seg å være lik null).

Den harmoniske oscillatorligningen (10) er et eksempel på en lineær ODE. Dette betyr at den ukjente funksjonen og alle dens deriverte er inkludert i hvert ledd i ligningen i første grad. Lineære differensialligninger har en ekstremt viktig særegen egenskap: de tilfredsstiller prinsippet om superposisjon. Dette betyr at enhver lineær kombinasjon av to løsninger av en lineær ODE også er dens løsning.

I eksemplet med den harmoniske oscillatorligningen vi vurderer, er en vilkårlig lineær kombinasjon av to spesielle løsninger ikke bare en ny løsning, men en generell løsning på denne ligningen (den tar ut alle mulige løsninger).

Generelt er dette ikke tilfelle. For eksempel, hvis vi hadde å gjøre med en tredjeordens lineær differensialligning (dvs. hvis ligningen inkluderte en tredjederivert), så ville en lineær kombinasjon av to av dens spesielle løsninger også være en løsning på denne ligningen, men ville ikke representere ham felles vedtak.

I løpet av differensialligninger bevises et teorem at den generelle løsningen av en ODE av N-te orden (lineær eller ikke-lineær) avhenger av N vilkårlige konstanter. Når det gjelder en ikke-lineær ligning, kan disse vilkårlige konstantene gå inn i den generelle løsningen (i motsetning til (13)), på en ikke-lineær måte.

Superposisjonsprinsippet spiller en ekstremt viktig rolle i teorien om ODEs, siden det kan brukes til å konstruere en generell løsning av en differensialligning i form av en superposisjon av dens spesielle løsninger. For eksempel, for lineære ODE-er med konstante koeffisienter og deres systemer (den harmoniske oscillatorligningen tilhører nettopp denne typen ligninger), er det utviklet en generell løsningsmetode i teorien om differensialligninger. Dens essens er som følger. Vi ser etter en spesiell løsning i formen Som et resultat av dens substitusjon i den opprinnelige ligningen, kansellerer alle tidsavhengige faktorer, og vi kommer til en karakteristisk ligning, som for N. ordens ODE er algebraisk ligning N. grad. Når vi løser det, finner vi dermed alle mulige spesielle løsninger, en vilkårlig lineær kombinasjon av disse gir den generelle løsningen til den opprinnelige ODE. Vi vil ikke dvele mer ved dette spørsmålet, og henviser leseren til de aktuelle lærebøkene om teorien om differensialligninger, hvor ytterligere detaljer kan finnes, spesielt tilfellet når den karakteristiske ligningen inneholder flere røtter.

Hvis en lineær ODE med variable koeffisienter vurderes (dens koeffisienter avhenger av tid), så er superposisjonsprinsippet også gyldig, men det er ikke lenger mulig å konstruere en generell løsning på denne ligningen i en eksplisitt form ved hjelp av noen standardmetode. Vi kommer tilbake til dette problemet senere, og diskuterer fenomenet parametrisk resonans og Mathieu-ligningen relatert til studien.

VASKULASJON. BØLGER. OPTIKK

VASKULASJON

Forelesning 1

HARMONISKE OSCILLASJONER

Ideell harmonisk oscillator. Ideell oscillatorligning og dens løsning. Amplitude, frekvens og fase av svingninger

Oscillasjon er en av de vanligste prosessene i natur og teknologi. Svingninger er prosesser som gjentar seg over tid. Høyhus og høyspentledninger svinger under påvirkning av vinden, pendelen til en såret klokke og en bil på fjærer under bevegelse, nivået på elven i løpet av året og temperaturen på menneskekroppen under sykdom. Lyd er svingninger i lufttrykk, radiobølger er periodiske endringer i styrken til den elektriske og magnetfelt, lys er også elektromagnetiske oscillasjoner. Jordskjelv - bakkevibrasjoner, ebb og flom - endringer i nivåene i hav og hav forårsaket av månens tiltrekning, etc.

Oscillasjoner er mekaniske, elektromagnetiske, kjemiske, termodynamiske osv. Til tross for en slik variasjon er alle oscillasjoner beskrevet av de samme differensialligningene.

De første forskerne som studerte vibrasjoner var Galileo Galilei og Christian Huygens. Galileo etablerte uavhengigheten til perioden med svingninger fra amplituden. Huygens oppfant pendelklokken.

Ethvert system som, når det er litt ut av balanse, svinger jevnt, kalles en harmonisk oscillator. I klassisk fysikk er slike systemer en matematisk pendel innenfor små avbøyningsvinkler, en last innenfor små oscillasjonsamplituder, en elektrisk krets bestående av lineær kapasitans og induktanselementer.

En harmonisk oscillator kan betraktes som lineær hvis forskyvningen fra likevektsposisjonen er direkte proporsjonal med den forstyrrende kraften. Oscillasjonsfrekvensen til en harmonisk oscillator er ikke avhengig av amplituden. For oscillatoren er prinsippet om superposisjon oppfylt - hvis flere forstyrrende krefter virker, kan effekten av deres totale virkning oppnås som et resultat av å legge til effektene fra aktive krefter hver for seg.

Harmoniske svingninger er beskrevet av ligningen (fig. 1.1.1)

(1.1.1)

hvor X- forskyvning av den oscillerende verdien fra likevektsposisjonen, MEN– amplitude av svingninger lik verdien av maksimal forskyvning, – fase av svingninger, som bestemmer forskyvningen til tiden, – innledende fase, som bestemmer størrelsen på forskyvningen i det første øyeblikket av tid, – syklisk frekvens av svingninger.

Tidspunktet for en fullstendig svingning kalles perioden, hvor er antall svingninger fullført i løpet av tiden.

Oscillasjonsfrekvensen bestemmer antall svingninger per tidsenhet, den er relatert til den sykliske frekvensen ved forholdet, deretter perioden.

Hastigheten til et oscillerende materialepunkt

akselerasjon

Dermed endres hastigheten og akselerasjonen til den harmoniske oscillatoren også i henhold til den harmoniske loven med amplituder og hhv. I dette tilfellet er hastigheten foran faseforskyvningen med , og akselerasjon - med (Fig. 1.1.2).

Fra en sammenligning av bevegelseslikningene til en harmonisk oscillator (1.1.1) og (1.1.2) følger det at , eller

Denne andreordens differensialligningen kalles den harmoniske oscillatorligningen. Løsningen hans inneholder to konstanter en og , som bestemmes av oppgaven Innledende forhold

Hvis en periodisk repeterende prosess beskrives med ligninger som ikke sammenfaller med (1.1.1), kalles den anharmonisk. Et system som utfører anharmoniske svingninger kalles en anharmonisk oscillator.

1.1.2 . Frie svingninger av systemer med én frihetsgrad. kompleks form representasjoner av harmoniske vibrasjoner

I naturen er små svingninger som et system gjør nær sin likevektsposisjon svært vanlige. Hvis et system tatt ut av likevekt blir overlatt til seg selv, det vil si at ytre krefter ikke virker på det, vil et slikt system utføre frie udempede svingninger. Tenk på et system med én grad av frihet.

En stabil likevekt tilsvarer en posisjon av systemet der dets potensielle energi har et minimum ( q er den generaliserte koordinaten til systemet). Systemets avvik fra likevektsposisjonen fører til fremveksten av en kraft som har en tendens til å bringe systemet tilbake. Vi betegner verdien av den generaliserte koordinaten som tilsvarer likevektsposisjonen, deretter avviket fra likevektsposisjonen

Vi vil telle den potensielle energien fra minimumsverdien. La oss ta den resulterende funksjonen, utvide den i en Maclaurin-serie og forlate den første termen av utvidelsen, vi har: o

hvor . Deretter, med tanke på den introduserte notasjonen:

, (1.1.4)

Ved å ta i betraktning uttrykket (1.1.4) for kraften som virker på systemet, får vi:

I følge Newtons andre lov har bevegelsesligningen til systemet formen:

Uttrykk (1.1.5) faller sammen med ligningen (1.1.3) for frie harmoniske oscillasjoner, forutsatt at

og har to uavhengige løsninger: og , så den generelle løsningen er:

Fra formel (1.1.6) følger det at frekvensen kun bestemmes av de iboende egenskapene til det mekaniske systemet og ikke er avhengig av amplituden og de innledende bevegelsesbetingelsene.

Avhengigheten av koordinaten til det oscillerende systemet på tid kan bestemmes som den virkelige delen av det komplekse uttrykket , hvor A=Xe-iα er en kompleks amplitude, dens modul sammenfaller med den vanlige amplituden, og dens argument sammenfaller med startfasen.

1.1.3 . Eksempler på oscillerende bevegelser av ulik fysisk natur

Svingninger av belastningen på fjæren

Vurder svingningene til en belastning på en fjær, forutsatt at fjæren ikke deformeres utover elastisitetsgrensene. Vi vil vise at en slik last vil utføre harmoniske svingninger i forhold til likevektsposisjonen (Fig. 1.1.3). Faktisk, i henhold til Hookes lov, skaper en komprimert eller strukket fjær en harmonisk kraft:

hvor - koeffisient for fjærstivhet, er koordinaten til likevektsposisjonen, X er koordinaten til lasten (materialpunktet) i tidspunktet , er forskyvningen fra likevektsposisjonen.

La oss plassere opprinnelsen til koordinaten i systemets likevektsposisjon. I dette tilfellet .

Hvis fjæren strekkes med X, og slipp deretter på et tidspunkt t=0, så vil bevegelsesligningen til lasten i henhold til Newtons andre lov ha formen -kx=ma, eller , og

(1.1.6)

Denne ligningen faller sammen i form med bevegelsesligningen (1.1.3) til et system som utfører harmoniske svingninger, vi vil se etter løsningen i formen:

. (1.1.7)

Vi erstatter (1.17) med (1.1.6), vi har: det vil si at uttrykk (1.1.7) er en løsning på ligning (1.1.6) forutsatt at

Hvis posisjonen til lasten i det første øyeblikket var vilkårlig, vil bevegelsesligningen ha formen:

La oss vurdere hvordan energien til lasten endres, og gjør harmoniske svingninger i fravær av ytre krefter (fig. 1.14). Hvis på den tiden t=0 send offset til last x=A, da vil dens totale energi bli lik den potensielle energien til den deformerte fjæren , den kinetiske energien er lik null (punkt 1).

Kraft som virker på lasten F= -kx, som søker å returnere den til likevektsposisjonen, slik at lasten beveger seg med akselerasjon og øker hastigheten, og følgelig dens kinetiske energi. Denne kraften reduserer forskyvningen av lasten X, den potensielle energien til lasten reduseres, og blir til kinetisk. "Last-fjær"-systemet er lukket, så dens totale energi er bevart, det vil si:

. (1.1.8)

I tidsøyeblikket er lasten i likevekt (punkt 2), dens potensielle energi er null, og dens kinetiske energi er maksimal. Vi finner den maksimale hastigheten til lasten fra loven om energibevaring (1.1.8):

På grunn av lageret av kinetisk energi, virker belastningen mot den elastiske kraften – og passerer gjennom likevektsposisjonen. Kinetisk energi blir gradvis til potensial. Når lasten har en maksimal negativ forskyvning - MEN, kinetisk energi uke=0, lasten stopper og begynner å bevege seg til likevektsposisjonen under påvirkning av en elastisk kraft F= -kx. Videre bevegelse er lik.

Pendler

Under pendelen forstå fast som under påvirkning av tyngdekraften svinger rundt et fast punkt eller en akse. Det er fysiske og matematiske pendler.

En matematisk pendel er et idealisert system som består av en vektløs ubøyelig tråd som en masse konsentrert på ett materialpunkt er suspendert på.

En matematisk pendel, for eksempel, er en kule på en lang tynn tråd.

Pendelens avvik fra likevektsposisjonen er preget av vinkelen φ , som danner en tråd med en vertikal (fig. 1.15). Når pendelen avviker fra likevektsposisjonen, oppstår et øyeblikk med ytre krefter (tyngdekraften): , hvor m- vekt, - pendellengde

Dette øyeblikket har en tendens til å returnere pendelen til likevektsposisjonen (lik den kvasi-elastiske kraften) og er rettet motsatt av forskyvningen φ , så det er et minustegn i formelen.

Ligningen for dynamikken til rotasjonsbevegelse for en pendel har formen: Iε=,

Vi vil derfor vurdere tilfellet med små svingninger sin φ ≈φ, betegne ,

vi har: , eller , og endelig

Dette er ligningen for harmoniske oscillasjoner, dens løsning:

Svingningsfrekvensen til en matematisk pendel bestemmes kun av lengden og tyngdeakselerasjonen, og avhenger ikke av pendelens masse. Perioden er:

Hvis det oscillerende legemet ikke kan representeres som et materialpunkt, kalles pendelen fysisk (fig. 1.1.6). Vi skriver ligningen for dens bevegelse i formen:

Ved små svingninger , eller =0 , hvor . Dette er bevegelsesligningen til et legeme som utfører harmoniske svingninger. Svingningsfrekvensen til en fysisk pendel avhenger av dens masse, lengde og treghetsmoment rundt aksen som går gjennom opphengspunktet.

La oss betegne . Verdi kalles den reduserte lengden på den fysiske pendelen. Dette er lengden på en matematisk pendel hvis svingeperiode faller sammen med perioden til en gitt fysisk pendel. Et punkt på en rett linje som forbinder opphengspunktet med massesenteret, som ligger i en avstand med redusert lengde fra rotasjonsaksen, kalles svingsenteret til en fysisk pendel ( O'). Hvis pendelen er opphengt i midten av svingen, vil den reduserte lengden og svingningsperioden være den samme som ved punktet O. Dermed har opphengspunktet og svingsenteret egenskapene til gjensidighet: når opphengspunktet overføres til svingsenteret, blir det gamle opphengspunktet det nye svingsenteret.

En matematisk pendel som svinger med samme periode som den fysiske som vurderes kalles isokron til den gitte fysiske pendelen.

1.1.4. Tilsetning av vibrasjoner (slag, Lissajous-figurer). Vektorbeskrivelse av oscillasjonstilsetning

Tilsetningen av like rettede oscillasjoner kan utføres ved hjelp av metoden for vektordiagrammer. Enhver harmonisk oscillasjon kan representeres som en vektor som følger. La oss velge en akse X med opprinnelse på punktet O(fig.1.1.7)

Fra et punkt O konstruer en vektor som utgjør vinkelen med aksel X. La denne vektoren rotere med vinkelhastighet. Projeksjon av en vektor på en akse X er lik:

det vil si at den utfører harmoniske oscillasjoner med en amplitude en.

Tenk på to harmoniske svingninger i samme retning og samme sykliske små , gitt av vektorene og . Forskyvninger langs aksen X er like:

den resulterende vektoren har en projeksjon og representerer den resulterende oscillasjonen (fig. 1.1.8), ifølge cosinussetningen. Addisjonen av harmoniske svingninger utføres således ved å addere vektorene.

La oss utføre tillegg av gjensidig vinkelrette oscillasjoner. La materialpunktet lage to innbyrdes vinkelrette oscillasjoner med en frekvens:

Selve materialpunktet vil da bevege seg langs en eller annen krumlinjet bane.

Fra bevegelsesligningen følger: ,

. (1.1.9)

Fra ligning (1.1.9) kan du få ellipseligningen (fig.1.1.9):

Vurder spesielle tilfeller av denne ligningen:

1. Oscillasjonsfaseforskjell α= 0. Samtidig de. eller Dette er ligningen til en rett linje, og den resulterende oscillasjonen skjer langs denne rette linjen med amplitude (fig. 1.1.10).

dens akselerasjon er lik den andrederiverte av forskyvningen med hensyn til tid da er kraften som virker på svingepunktet, ifølge Newtons andre lov, lik

Det vil si at kraften er proporsjonal med forskyvningen X og er rettet mot forskyvningen til likevektsposisjonen. Denne kraften kalles gjenopprettingskraften. Ved belastning på en fjær er gjenopprettingskraften den elastiske kraften, i tilfellet med en matematisk pendel er den tyngdekraftens komponent.

Den gjenopprettende kraften av natur adlyder Hookes lov F=-kx, hvor

er koeffisienten til gjenopprettingskraften. Da er den potensielle energien til svingepunktet:

(integrasjonskonstanten er valgt lik null, slik at når X).

Anharmonisk oscillator

HARMONISKE OSCILLASJONER

Forelesning 1

VASKULASJON

VASKULASJON. BØLGER. OPTIKK

Oscillasjon er en av de vanligste prosessene i natur og teknologi. Svingninger er prosesser som gjentar seg over tid. Høyhus og høyspentledninger svinger under påvirkning av vinden, pendelen til en såret klokke og en bil på fjærer under bevegelse, nivået på elven i løpet av året og temperaturen på menneskekroppen under sykdom. Lyd er svingninger i lufttrykket, radiobølger er periodiske endringer i styrken til de elektriske og magnetiske feltene, lys er også elektromagnetiske vibrasjoner. Jordskjelv - bakkevibrasjoner, ebb og flom - endringer i nivåene i hav og hav forårsaket av månens tiltrekning, etc.

Oscillasjoner er mekaniske, elektromagnetiske, kjemiske, termodynamiske osv. Til tross for en slik variasjon er alle oscillasjoner beskrevet av de samme differensialligningene.

De første forskerne som studerte vibrasjoner var Galileo Galilei og Christian Huygens. Galileo etablerte uavhengigheten til perioden med svingninger fra amplituden. Huygens oppfant pendelklokken.

Harmoniske svingninger er beskrevet av ligningen (fig. 1.1.1)

(1.1.1)

Tidspunktet for en fullstendig svingning kalles perioden, hvor er antall svingninger fullført i løpet av tiden.

Oscillasjonsfrekvensen bestemmer antall svingninger per tidsenhet, den er relatert til den sykliske frekvensen ved forholdet, deretter perioden.

Hastigheten til et oscillerende materialepunkt

akselerasjon

Fra en sammenligning av bevegelseslikningene til en harmonisk oscillator (1.1.1) og (1.1.2) følger det at , eller

Denne andreordens differensialligningen kalles den harmoniske oscillatorligningen. Løsningen hans inneholder to konstanter en og , som bestemmes ved å angi startbetingelsene

1.1.2 . Frie svingninger av systemer med én frihetsgrad. Kompleks form for representasjon av harmoniske svingninger

Vi vil telle den potensielle energien fra minimumsverdien. La oss ta den resulterende funksjonen, utvide den i en Maclaurin-serie og forlate den første termen av utvidelsen, vi har: o

Harmonisk oscillator(i klassisk mekanikk) - et system som, når det forskyves fra en likevektsposisjon, opplever virkningen av en gjenopprettende kraft F, proporsjonal med forskyvningen x(i henhold til Hookes lov):

F = − k x (\displaystyle F=-kx)

hvor k- koeffisientstivhet til systemet.

Mekaniske eksempler på en harmonisk oscillator er en matematisk pendel (med små avbøyningsvinkler), en torsjonspendel og akustiske systemer. Blant andre analoger av den harmoniske oscillatoren, er det verdt å fremheve den elektriske harmoniske oscillatoren (se LC-krets).

Encyklopedisk YouTube

1 / 5

Elementærpartikler | kvantefeltteori | studie nummer 6 | kvanteoscillator

Tvangssvingninger av en lineær oscillator | Generell fysikk. Mekanikk | Evgenij Butikov

Elementærpartikler | kvantefeltteori | studie nummer 5 | klassisk oscillator

Oscillatorer: hva er de og hvordan du bruker dem? Utdanning for handelsmenn fra I-TT.RU

Sytrus 01 av 16 Arbeid med oscillatorformen

Undertekster

Gratis vibrasjoner

Konservativ harmonisk oscillator

Som en modell av en konservativ harmonisk oscillator tar vi massebelastningen m, festet på en fjær med stivhet k .

La x- forskyvning av lasten i forhold til likevektsposisjonen. Deretter, i henhold til Hookes lov, vil gjenopprettingsstyrken handle på det:

F = − k x . (\displaystyle F=-kx.)

Vi bytter inn i differensialligningen.

x ¨ (t) = − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) , (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi) ,) − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A sin ⁡ (ω t + φ) = 0. (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\ omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0.)

Amplituden reduseres. Dette betyr at den kan ha hvilken som helst verdi (inkludert null - dette betyr at lasten er i ro i likevektsposisjonen). Sinusen kan også reduseres, siden likheten må holde til enhver tid t. Dermed forblir betingelsen for oscillasjonsfrekvensen:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).) U = 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 sin 2 ⁡ (ω 0 t + φ) , (\displaystyle U=(\frac (1)(2))kx^(2)=(\frac (1) (2))kA^(2)\sin ^(2)(\omega _(0)t+\varphi),)

da er den totale energien konstant

E = 12kA2. (\displaystyle E=(\frac (1)(2))kA^(2).)

Enkel harmonisk bevegelse er en enkel bevegelse harmonisk oscillator, en periodisk bevegelse som verken tvinges eller dempes. Et legeme i enkel harmonisk bevegelse blir utsatt for en enkelt variabel kraft som er direkte proporsjonal i absolutt verdi med forskyvningen x fra likevektsposisjonen og er rettet i motsatt retning.

Denne bevegelsen er periodisk: kroppen svinger rundt likevektsposisjonen i henhold til en sinusformet lov. Hver påfølgende oscillasjon er den samme som den forrige, og perioden, frekvensen og amplituden til oscillasjonene forblir konstante. Hvis vi antar at likevektsposisjonen er i et punkt med en koordinat lik null, vil forskyvningen x kroppen fra likevektsposisjonen til enhver tid er gitt av formelen:

x (t) = A cos ⁡ (2 π f t + φ), (\displaystyle x(t)=A\cos \left(2\pi \!ft+\varphi \right),)

hvor EN- oscillasjonsamplitude, f- frekvens, φ - startfase.

Bevegelsesfrekvensen bestemmes av de karakteristiske egenskapene til systemet (for eksempel massen til det bevegelige legemet), mens amplituden og startfasen bestemmes av startforholdene - kroppens bevegelse og hastighet i øyeblikket svingningene begynne. De kinetiske og potensielle energiene til systemet avhenger også av disse egenskapene og forholdene.

Enkel harmonisk bevegelse kan sees på som en matematisk modell forskjellige typer bevegelse, for eksempel oscillasjon av en fjær. Andre tilfeller som grovt sett kan betraktes som enkel harmonisk bevegelse er bevegelsen til en pendel og vibrasjonene til molekyler.

Enkel harmonisk bevegelse er grunnlaget for noen måter å analysere mer komplekse typer bevegelse på. En av disse metodene er basert på Fourier-transformasjonen, hvis essens er å dekomponere en mer kompleks type bevegelse til en serie enkle harmoniske bevegelser.

Et typisk eksempel på et system der enkel harmonisk bevegelse oppstår er et idealisert massefjærsystem der en masse er festet til en fjær. Hvis fjæren ikke er komprimert og ikke strukket, virker ingen variable krefter på lasten, og lasten er i en tilstand av mekanisk likevekt. Men hvis lasten fjernes fra likevektsposisjonen, deformeres fjæren, og fra dens side vil en kraft virke på lasten, som vil ha en tendens til å returnere lasten til likevektsposisjonen. Når det gjelder et lastfjærsystem, er en slik kraft den elastiske kraften til fjæren, som overholder Hookes lov:

F = − k x , (\displaystyle F=-kx,) F- gjenopprettende kraft x- bevegelse av lasten (fjærdeformasjon), k- stivhetskoeffisient av fjæren.

Ethvert system der enkel harmonisk bevegelse oppstår har to nøkkelegenskaper:

Når et system er ute av likevekt, må det være en gjenopprettingskraft som har en tendens til å bringe systemet tilbake i likevekt.
Gjenopprettingskraften må være nøyaktig eller tilnærmet proporsjonal med forskyvningen.

Vektfjærsystemet tilfredsstiller begge disse betingelsene.

Når den forskjøvede lasten blir utsatt for virkningen av en gjenopprettingskraft, akselererer den og har en tendens til å gå tilbake til utgangspunktet, det vil si til likevektsposisjonen. Når lasten nærmer seg likevektsposisjonen, avtar gjenopprettingskraften og tenderer til null. Imidlertid i posisjon x = 0 lasten har en viss bevegelse (momentum), oppnådd på grunn av virkningen av gjenopprettingskraften. Derfor hopper lasten over likevektsposisjonen, og begynner å deformere fjæren igjen (men i motsatt retning). Gjenopprettingskraften vil ha en tendens til å bremse den ned til hastigheten er null; og kraften vil igjen søke å returnere lasten til sin likevektsposisjon.

Så lenge det ikke er energitap i systemet vil lasten svinge som beskrevet ovenfor; en slik bevegelse kalles periodisk.

Videre analyse vil vise at i tilfellet med et massefjærsystem er bevegelsen enkel harmonisk.

Dynamikk av enkel harmonisk bevegelse

For en oscillasjon i endimensjonalt rom, tatt i betraktning Newtons andre lov ( F= m d² x/d t² ) og Hookes lov ( F = −kx, som beskrevet ovenfor), har vi en andreordens lineær differensialligning:

m d 2 x d t 2 = − k x , (\displaystyle m(\frac (\mathrm (d) ^(2)x)(\mathrm (d) t^(2)))=-kx,) m- kroppsmasse, x- dens forskyvning i forhold til likevektsposisjonen, k- konstant (fjærstivhetsfaktor).

Løsningen på denne differensialligningen er sinusformet; en løsning er denne:

x (t) = A cos ⁡ (ω t + φ), (\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),)

hvor EN, ω og φ - konstanter, og likevektsposisjonen tas som den første. Hver av disse konstantene er viktige fysisk eiendom bevegelser: EN er amplituden, ω = 2π f er den sirkulære frekvensen, og φ er startfasen.

U (t) = 1 2 k x (t) 2 = 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ (ω t + φ). (\displaystyle U(t)=(\frac (1)(2))kx(t)^(2)=(\frac (1)(2))kA^(2)\cos ^(2)(\ omega t+\varphi).)

Universell sirkulær bevegelse

Enkel harmonisk bevegelse kan i noen tilfeller betraktes som en endimensjonal projeksjon av universell sirkulær bevegelse.

Hvis et objekt beveger seg med konstant vinkelhastighet ω langs en sirkel med radius r, hvis sentrum er opprinnelsen til koordinatene til planet x − y, da er slik bevegelse langs hver av koordinataksene enkel harmonisk med amplitude r og sirkulær frekvens ω .

Vekt som en enkel pendel

Ved tilnærming av små vinkler er bevegelsen til en enkel pendel nær enkel harmonisk. Svingningsperioden til en slik pendel festet til en lengdestang ℓ med akselerasjon av fritt fall g er gitt av formelen

T = 2πℓg. (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))).)

Dette viser at oscillasjonsperioden ikke avhenger av amplituden og massen til pendelen, men avhenger av akselerasjonen for fritt fall g, derfor, med samme lengde på pendelen, vil den på Månen svinge saktere, siden tyngdekraften er svakere der og verdien av akselerasjonen for fritt fall er lavere.

Den indikerte tilnærmingen er bare riktig ved små avbøyningsvinkler, siden uttrykket for vinkelakselerasjonen er proporsjonal med sinusen til koordinaten:

ℓ m g sin ⁡ θ = I α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)

hvor Jeg- treghetsmoment ; i dette tilfellet Jeg = ml 2 .

ℓ m g θ = I α (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ),

som gjør vinkelakselerasjonen direkte proporsjonal med vinkelen θ, og dette tilfredsstiller definisjonen av enkel harmonisk bevegelse.

Dempet harmonisk oscillator

Med den samme modellen som grunnlag, legger vi til den viskøse friksjonskraften. Kraften av viskøs friksjon er rettet mot hastigheten på lasten i forhold til mediet og er direkte proporsjonal med denne hastigheten. Da skrives den totale kraften som virker på lasten som følger:

F = − k x − α v (\displaystyle F=-kx-\alpha v)

Ved å utføre lignende handlinger får vi en differensialligning som beskriver en dempet oscillator:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x=0)

Her er notasjonen: 2 γ = α m (\displaystyle 2\gamma =(\frac (\alpha )(m))). Koeffisient γ (\displaystyle \gamma ) kalles dempningskonstanten. Den har også dimensjonen frekvens.

Løsningen faller inn i tre tilfeller.

x (t) = A e − γ t s i n (ω f t + φ) (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi)),

hvor ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- frekvens av frie svingninger.

x (t) = (A + B t) e − γ t (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t)) x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2)t )),

hvor β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2) ))).

Kritisk demping er kjent for det faktum at det er under kritisk demping at oscillatoren tenderer raskest til likevektsposisjonen. Hvis friksjonen er mindre enn den kritiske, vil den nå likevektsposisjonen raskere, men den vil "gli gjennom" den ved treghet, og vil oscillere. Hvis friksjonen er større enn kritisk, vil oscillatoren tendere eksponentielt til likevektsposisjonen, men jo langsommere, desto større blir friksjonen.

Derfor, i pekerindikatorer (for eksempel i amperemeter), prøver de vanligvis å innføre nøyaktig kritisk dempning slik at pilen roer seg så raskt som mulig for å lese avlesningene.

Dempingen av en oscillator er også ofte preget av en dimensjonsløs parameter kalt kvalitetsfaktoren. Kvalitetsfaktor er vanligvis betegnet med bokstaven Q (\displaystyle Q). Per definisjon er kvalitetsfaktoren:

Q = ω 0 2 γ (\displaystyle Q=(\frac (\omega _(0))(2\gamma )))

Jo større kvalitetsfaktor, desto langsommere svinger oscillatorens forfall.

Kvalitetsfaktoren kalles noen ganger forsterkningen til oscillatoren, siden med noen eksitasjonsmetoder, når eksitasjonsfrekvensen faller sammen med resonansfrekvensen til oscillasjonene, settes deres amplitude til ca. Q (\displaystyle Q) ganger større enn når den eksiteres med samme intensitet ved lav frekvens.

Kvalitetsfaktoren er også tilnærmet lik antall oscillerende sykluser, der oscillasjonsamplituden avtar i e (\displaystyle e) ganger multiplisert med π (\displaystyle \pi ).

I tilfelle av oscillerende bevegelse er dempning også preget av slike parametere som:

Livstid svingninger (aka forfallstid, Det er avslapningstid) τ er tiden som oscillasjonsamplituden vil avta i e en gang.

τ = 1 / γ . (\displaystyle \tau =1/\gamma .) Denne tiden regnes som tiden som kreves for demping (stopp) av svingninger (selv om formelt frie svingninger fortsetter på ubestemt tid).