Beregning av statisk ubestemte systemer. Beregning av statisk ubestemte systemer ved kraftmetoden

Slike stenger og stavsystemer kalles statisk ubestemte, der de reaktive faktorene og indre kreftene ikke bare kan bestemmes ut fra likevektslikningene. Disse systemene er klassifisert i henhold til graden av statisk ubestemthet. Graden av statisk ubestemthet er forskjellen mellom antall ukjente reaksjoner og antall likevektsligninger. Graden av statisk ubestemmelighet av systemet bestemmer antall tilleggsligninger (forskyvningsligninger) som må kompileres når statisk ubestemthet avsløres.

I statisk bestemte stangsystemer oppstår krefter bare fra virkningen av en ekstern last. I statisk ubestemte stangsystemer oppstår krefter ikke bare fra ytre belastninger, men også som et resultat av unøyaktigheter i produksjonen av individuelle elementer i systemet, endringer i temperaturen til elementene i systemet, etc. Når de faktiske lengdemålene til stengene avviker fra de nominelle (beregnet) ved montering av statisk ubestemte systemer, oppstår det ytterligere, såkalte monteringskrefter og spenninger. Når temperaturen til et statisk ubestemt stangsystem endres, oppstår ytterligere, såkalte termiske spenninger og spenninger i elementene.

Beregning av statisk ubestemte stenger og stavsystemer utføres i henhold til følgende metode.

1. En analyse av festeskjemaet utføres og graden av statisk ubestemthet av stangsystemet bestemmes.

2. Den statiske siden av problemet vurderes, dvs. det lages likevektsligninger.

3. Den geometriske siden av problemet analyseres. Systemet anses i en deformert tilstand, forholdet mellom deformasjoner eller forskyvninger av individuelle elementer i systemet er etablert. De resulterende ligningene er ligningene for kompatibilitet av forskyvninger (deformasjoner). Antall forskyvnings (deformasjons) kompatibilitetsligninger er lik graden av statisk ubestemthet til systemet.

4. Den fysiske siden av problemet vurderes. På grunnlag av R. Hookes lov uttrykkes forskyvningene eller deformasjonene av elementene i systemet gjennom de indre kreftene som virker i dem, og tar dette i betraktning, er likningene for kompatibilitet av forskyvninger skrevet i utvidet form.

5. Ved å løse sammen likningene for likevekt og kompatibilitet av forskyvninger i utvidet form, bestemmes ukjente reaksjoner, d.v.s. den statiske ubestemtheten til stangsystemet avsløres.

6. Videre beregning for styrke og stivhet ligner på beregning av statisk bestemte systemer.

Teknikken for å løse statisk ubestemte stenger og stavsystemer er vist på eksempler på løsning av ulike problemer.

Eksempel 1 Trinnstang, fastklemt på begge sider, belastet med krefter F(Fig. 10, a). Det er nødvendig å avsløre den statiske ubestemtheten til stangen og bestemme tverrsnittsarealet.

Innledende data: lengde på stangseksjonen l , tverrsnittsarealet til stangen MEN elastisitetsmodulen til stangmaterialet E, tillatt spenning .

Spesifisert stangsystem.

1. Som et resultat av påvirkning av ytre krefter på stangen oppstår to støttereaksjoner R 1 og R 2. Likevektsligninger for et flatt stavsystem kan være sammensatt av én, derfor er staven en gang statisk ubestemt (fig. 10.6).

2. Den statiske siden av problemet vurderes. Et designskjema velges (fig. 10.6) og en likevektsligning er laget:

3. Tilstanden til stangdeformasjonen og den geometriske siden av problemet analyseres, ligningen for kompatibilitet av forskyvninger kompileres.

4. Den fysiske siden av problemet vurderes. Forutsatt at reaksjonene R 1 og R 2 er kjente, bestemmes normalkreftene i seksjonene

På grunnlag av R. Hookes lov skrives uttrykk for forskyvninger i hver seksjon, og deretter kompileres en ligning for kompatibiliteten til forskyvninger i utvidet form:

Fig.10. Spesifisert stang, designskjema for stangen, diagrammer over normalkraft, normal spenning og forskyvninger

5. Fellesløsningen av likevektsligningen og kompatibiliteten til forskyvninger i utvidet form lar oss bestemme ukjente reaksjoner Den statiske ubestemtheten til stangen avsløres.

6. Diagrammer N z , σ z , δ er bygget (fig. 10). Styrkebetingelsen er skrevet

og tverrsnittsarealet til stangen bestemmes

Eksempel 2 En absolutt stiv stang er dreibart festet til stengene og hviler på en svingbart fast støtte (fig. 11, a). På stangen påføres kraft F. Det kreves for å avsløre den statiske ubestemtheten til stangsystemet og bestemme verdien av den tillatte kraften [F].

Opprinnelige data: lengdene på stengene og lengdene på bjelkedelene er gitt i brøkdeler en, tverrsnittsarealet til stengene A 1 \u003d 2A og A 2 \u003d A, elastisitetsmodulen til materialet til stengene E, den tillatte spenningen.

Fig. 11,a 11b

1. Et gitt stavsystem er en gang statisk ubestemt, siden det er fire ukjente reaksjoner - H, R, R 1, R 2, og det er tre likevektsligninger for et flatt kraftsystem.

2. Den statiske siden av problemet vurderes (fig. 11.6). Likevektsligninger er kompilert

3. Den geometriske siden av oppgaven analyseres (fig. 11, c) og en ligning for kompatibilitet av forskyvninger er kompilert. Fra likheten mellom trekanter har vi:

4. Den fysiske siden av problemet vurderes. På grunnlag av R. Hookes lov bestemmes uttrykk for deformasjoner , og deretter skrives forsi utvidet form:

5. Den felles løsningen av likevektslikningene og den utvidede ligningen for kompatibiliteten til forskyvninger lar oss bestemme størrelsen på kreftene i stengene gjennom en ekstern belastning N 1=0,442P, N 2= 0,552R. Den statiske ubestemtheten til systemet er avslørt.

Fra stangens styrketilstand I

tillatt belastning er

Fra styrketilstanden til II-stangen

tillatt belastning er

Til slutt aksepterer vi en mindre verdi for stangsystemet. I dette tilfellet vil driftsspenningene i den andre stangen være lik de tillatte, og den første stangen vil bli underbelastet.

Spørsmål og oppgaver for selvransakelse,

1. Hvilke stenger og stavsystemer kalles statisk ubestemte?

2. Hvordan bestemmes graden av statisk ubestemthet?

3. Hva erngene?

4. Hvilke krefter og spenninger kalles montering?

5. Hvilke anstrengelser og påkjenninger kalles temperatur?

6. Liste hovedstadiene i beregninger for styrken og stivheten til statisk ubestemte systemer i strekk (kompresjon).

ALTERNATIVER FOR BEREGNING OG DESIGNARBEID

BEREGNINGER AV STATISK UBESTEMMTE STENGER OG STANGSYSTEMER FOR STYRKE OG STIVHET UNDER STRENG (KOMPRESSJON)

En absolutt stiv bjelke K, belastet med kreftene F;, holdes i balanse av lange stålstenger sch og festet ved hjelp av støtteanordninger. Det er nødvendig å utføre en designberegning (finn tverrsnittsarealene til stengene).

Det siste sifferet tilsvarer skjemanummeret (fig. 12 ... 14).

Variantdata er vist i tabell 3.

I beregninger, ta: P \u003d 10 kN.

Tabell 3. Data for RPR-oppgaven

For at stangsystemene (bjelker, rammer, etc.) skal fungere som strukturer og tåle ytre belastninger, er det nødvendig å pålegge visse bindinger på dem, som deler dem inn i ytre og indre bindinger. En forbindelse forstås vanligvis som kropper (hindringer) som begrenser bevegelsen til andre kropper, punkter eller deler av en struktur. I praksis kalles slike kropper støtteanordninger, fundamenter osv. I ingeniørberegninger introduseres begrepet ideelle forbindelser. Hvis det for eksempel pålegges en betingelse på venstre ende av bjelken (fig. 1.1, a), som forbyr vertikal bevegelse, så sier de at det er en ekstern forbindelse på dette punktet. Konvensjonelt er den avbildet som en stang med to hengsler. Hvis vertikale og horisontale forskyvninger er forbudt, pålegges systemet to eksterne lenker (fig. 1.1, b). Innstøping i flatt system gir tre utvendige koblinger (Fig. 1.1, c), som hindrer vertikale, horisontale forskyvninger og rotasjon av innstøpingsseksjonen. ld Fig. 1.1 For å feste legemet (stangen) på et plan og sikre dets geometriske uforanderlighet, er det nødvendig og tilstrekkelig å pålegge det tre bindinger (fig. 1.2), og alle tre bindingene skal ikke være innbyrdes parallelle og skal ikke krysse hverandre ved Et poeng. I det følgende vil forbindelsene som sikrer den geometriske uforanderligheten til systemet og dets statiske definerbarhet bli forstått som nødvendige forbindelser. Et geometrisk ufravikelig system er et system som kan endre form kun på grunn av deformasjonen av elementene (fig. 1.2), mens et geometrisk variabelt system kan tillate bevegelse selv i fravær av deformasjon (fig. 1.3). Et slikt system er en mekanisme (fig. 1.3, a). 5 Fig. 1.2 Sammen med de bemerkede er det også øyeblikkelige systemer, som forstås som systemer som tillater uendelig små forskyvninger uten deformasjon av elementene (fig. 1.4). Ris. 1.3 Så, for eksempel, under påvirkning av en kraft P påført i hengslet D (fig. 1.4, a), vil stengene DV og DS uten deformasjon rotere i forhold til hengslene B og C gjennom en uendelig liten vinkel d. Så, fra likevektstilstanden kuttet ut ved en liten verdi av kraften P, vil kreftene i stengene til DW og DS tendere til uendelig, forårsaker aksial deformasjon av stengene og endrer posisjonen til systemet. 6 Fig. 1.4 For rammen i fig. 1.4, b, når man vurderer ligningen for statikk, er kraftmomentet P ikke balansert (reaksjonen R1 kan ikke forårsake et øyeblikk i forhold til det aktuelle punktet, siden handlingslinjen går gjennom dette punktet). En lignende funksjon er også manifestert for systemet vist i fig. 1,4, c. Kraftmomentet P i forhold til punktet k er ikke balansert. Dermed tillater disse systemene også infinitesimale forskyvninger (i forhold til momentpunktet) uten deformasjon av elementene deres. I bygninger og konstruksjoner er slike systemer uakseptable. Hvis et geometrisk uforanderlig system har ytterligere begrensninger i tillegg til de nødvendige, så er ikke de uavhengige statiske ligningene nok til å bestemme de ukjente kreftene (reaksjonene til begrensningene) og et slikt system kalles statisk ubestemt. Forskjellen mellom antall ukjente krefter som skal bestemmes og antall uavhengige statiske ligninger karakteriserer graden av statisk ubestemthet, som vanligvis er betegnet med symbolet n. Dermed vil bjelken og rammen vist i fig. 1,5 er to ganger (to ganger) statisk ubestemte. I disse skjemaene er antallet ukjente reaksjoner fem, og antallet uavhengige statiske ligninger som kan skrives for hver av dem er tre. Enhver lukket krets er et system tre ganger statisk ubestemt (fig. 1.6). Ris. 1.6 Innstilling av et enkelt hengsel reduserer graden av statisk ubestemthet til systemet med én (fig. 1.7, a), siden det ikke er noe bøyemoment i hengslet. Et enkelt hengsel forstås å bety et hengsel som forbinder endene av to stenger. Ris. 1.7 Et hengsel inkludert i en node der endene av flere stenger konvergerer reduserer graden av statisk ubestemthet av systemet med antall enkelthengsler, bestemt av formelen O=C–1. Her forstås C som antall stenger som konvergerer ved en node. For eksempel, i en ramme (fig. 1.7, b) er antallet enkelthengsler O=C–1=3-1=2, så graden av statisk usikkerhet reduseres med to enheter og blir lik n4.

Beregning av statisk bestemte rammer

Grunnleggende konsepter En ramme er et stangsystem der alle eller noen av knutepunktforbindelsene er stive (fig. 1.8 a). En stiv knute er karakterisert ved at vinkelen mellom aksene til stengene som danner den ikke endres under påvirkning av en last (fig. 1.8 a). Vinkelen mellom tangentene til de elastiske linjene til tverrstangen og den skråstilte stolpen ved node B forblir uendret α, og vinkelen mellom tangentene til de elastiske linjene til samme tverrstang og høyre stolpe ved node D beholder samme verdi β. Rammer kan være flate, når alle aksene til stengene ligger i samme plan (fig. 1.8 a, b, c) og romlig (fig. 1.8 d). Den horisontale stangen til rammen kalles tverrstangen, og stengene som støtter den kalles stativet. Venstre stilling er skråstilt og høyre stilling er vertikal. Rammer kan være enkle, bestående av tre stenger (Figur 1.8), komplekse, multi-span (Figur 1.8 b) og flerlags (Figur 1.8 c). De er også delt inn i statisk determinate (Figur 1.8 b), når antall ukjente reaksjoner, innsats er mindre enn eller lik antall uavhengige statiske ligninger som kan kompileres for en gitt ramme, og statisk ubestemte hvis denne tilstanden ikke er møtt (Figur 1.8 a, c, d) Dette vil bli omtalt senere. I motsetning til bjelker, i tverrsnitt av rammer, sammen med bøyemomenter, tverrkraft, er det også en langsgående kraft. Ris. 1.8 Bestemmelse av krefter (M, Q, N) utføres på samme måte som i bjelker ved bruk av snittmetoden (ROSE). I dette tilfellet er tegnregelen for bøyemomentet M og tverrkraften Q den samme som for bjelker, og for den langsgående kraften N, som i 9 stenger i strekk - kompresjon. Bestemmelsen av normale n og skjærspenninger utføres i henhold til samme avhengigheter som i bjelker, dersom stangen er bøyd. Ved kompleks motstand, når det sammen med bøyemomentet også oppstår en langsgående kraft i stangen, utføres beregningen som ved bøying med strekk - kompresjon, beskrevet i avsnittet "Kompleks motstand". 1.1 For en gitt ramme (fig. 1.9), plott diagrammer av indre krefter og finn størrelsen og retningen til den totale forskyvningen av seksjonen K, hvis P = 5 kN; q = 10 kN/m; EIz = const; seksjoner av stolper og tverrstenger er like I = 8000 cm4: 1. Finn støttereaksjonene: a) vertikale reaksjoner V1, V2: b) horisontale reaksjoner H1 og H2: 2. Vi bygger diagrammer over indre krefter M, Q, N. a. Konstruksjon av et diagram over bøyemomenter M.

Beregning av statisk ubestemte stangsystemer ved kraftmetoden

Vi velger observasjonspunktet, forutsatt at det er innenfor konturen. I dette tilfellet er feltene plassert over seksjonene 1-3, 3-4, 4-K, 4-2, anses som eksterne, og inne i konturen - intern. Ved bestemmelse av bøyemomenter følger vi de samme reglene som i bjelker. Vi beregner momentene i de karakteristiske seksjonene til hver av seksjonene av rammen. Tomt 1-3. Momentet i enden fra siden av støtten er 1, M13 = 0. Momentet ved noden er 3, Tegnet er minus fordi i seksjon 1-3 er den nedre avskårne delen bøyd oppover med en konveksitet mot observatør. Tomt 3-4 (tverrstang). Moment i begynnelsen av seksjonen (i seksjonen av node 3) M34, det samme som på stativet 1 - Moment I hengslet er momentet null. Seksjon 2-4 (skrå stolpe) Seksjon 4-K I begynnelsen av snittet er momentet MK4 = 0. På slutten av snittet vises kurven for bøyemomenter i (Fig. 1.10, a) 1.10 Vi kontrollerer riktigheten av konstruksjonen av diagrammet M. Hvis diagrammet M er bygget riktig, må enhver off-support node eller hvilken som helst del av rammen under påvirkning av ytre og indre krefter være i balanse. La oss kutte ut fra rammeseksjonene uendelig nær noden, for eksempel node (4) og vurdere dens likevekt. Vi tar verdiene til momentene i de tilsvarende seksjonene fra diagrammet M (fig. 1.10, b). Knutemomentligningene (4) har formen

Funksjoner ved beregningen ved hjelp av metoden for krefter av kontinuerlige bjelker med flere spenn

Betingelsen er oppfylt, noe som betyr at i seksjonene som grenser til noden (4) er momentene riktig bestemt. Tilsvarende utføres en sjekk i knutepunktet (3) osv. Merk Hvis det påføres konsentrerte ytre krefter (moment eller krefter) i knutepunktet, så må de tas med i betraktningen ved kontroll. Den distribuerte lasten vises ikke fordi dx er en liten verdi. b. Konstruksjon av et diagram over tverrkrefter Q. Vi forholder oss til samme fortegnsregel som for bjelker: hvis resultanten av ytre krefter til venstre for snittet er rettet oppover, og til høyre nedover, tverrkraften Q > 0, hvis omvendt - m § 1–3. Når man vurderer venstre avskjæringsdel 10 kN. (minus fordi venstre avskjæringsdel er under påvirkning av kraft H1 12 rettet nedover, hvis man ser på avskjæringsdelen fra observatørens punkt). Tverrkraften er konstant langs lengden av denne seksjonen (fig. 1.11, a) 1.11 Seksjon 3-4 Skjærkraften i enhver seksjon, tatt i en avstand x fra knutepunktet (3), når man tar i betraktning kreftene som virker fra seksjonen til venstre, er lik 103 01QV xqx. Ved x = 0 får vi tverrkraften i snittet til venstre for noden (3), dvs. Q34 30kN; ved x = 3 m får vi tverrkraften Q, dvs. i snittet til venstre for knutepunktet (4). Tverrkraften i avsnitt 3-4 endres etter en lineær lov (Fig. 1.11, a). Tomt 4-K. I et snitt i avstand x fra høyre ende av snittet (Fig. 1.11, a) er tverrkraften lik (lineær lov). Ved x = 0 får vi, og ved x = 3 m får vi seksjon 2–4. Vi oppnår tverrkraften i snittet av denne seksjonen ved å projisere de ytre kreftene H2, V2 påført ved punkt 2 (Fig. 1.11, a) på Y-aksen, vinkelrett på stangens lengdeakse. Langs snitt 3–4 er tverrkraften konstant. Diagrammet over tverrkreftene er vist i (Fig. 1.11, a).

Bruken av symmetriegenskaper i avsløringen av den statiske ubestemtheten til stangsystemer

i. Konstruksjon av et diagram over langsgående krefter N. Vi beregner lengdekraften i snittet av hver seksjon. Tomt 1–3. Vi tar for oss den nedre delen (Fig. 1.12) Minus er tatt fordi den langsgående kraften som balanserer reaksjonen V1 er rettet mot snittet, dvs. mot reaksjonen V1, som betyr at avskjæringsseksjonen er under kompresjon. Hvis den langsgående kraften ble rettet bort fra seksjonen, er tegnet på N positivt. Tomt 3-4 (på tverrliggeren). Lengdekraft N30 kN, negativ, som trykk. I snitt x (fig. 1.12, b) i snitt 4-K: vinkelrett på snittets lengdeakse. Tomt 2–4. Ris. 1.12 På en skråstilt stolpe i snitt x finner vi lengdekraften ved å projisere ytre krefter V2 og H2 på X-aksen, sammenfallende med stangens akse (Fig. 1.12): 34 5 4 (kompresjon), Derfor tildeler vi et minustegn N24 kN. 14 Diagrammet over langsgående krefter er vist i (Fig. 1.11, b). 3. Vi bestemmer forskyvningene til seksjonen K. Til dette bruker vi Mohr-integralet, formlene til A.K. Vereshchagin, Simpson, (se avsnittet "Direkte bøying"). Vi bestemmer den vertikale forskyvningen av seksjon K. For å gjøre dette frigjør vi rammen fra alle ytre belastninger (q, P) og påfører en enkelt dimensjonsløs kraft i denne seksjonen (fig. 1.13, a) Retning vi aksepterer kreftene selv, for eksempel til bunnen.

Beregning ved hjelp av metoden for krefter til statisk ubestemte systemer som opererer i spenning eller kompresjon

Ris. 1.13 I fig. 1.13 er et plott av bøyemomentene M1 fra denne kraften presentert. Vi multipliserer diagrammene M og M1 etter Vereshchagin-metoden, vi finner den vertikale forskyvningen av seksjonen K. I 4-K-delen ble Simpson-formelen brukt, og i 2-4-delen Vereshchagin-formelen. Vi bestemmer den horisontale forskyvningen av seksjonen K. For å gjøre dette frigjør vi rammen fra eksterne belastninger, laster den med en enkelt dimensjonsløs kraft påført horisontalt (fig. 1.13, b). Plottet av denne kraften er vist i fig. 1.13b. Vi beregner den horisontale forskyvningen ved å bruke formlene til Vereshchagin og Simpson. Minustegnet indikerer at den faktiske horisontale forskyvningen er rettet i motsatt retning av påføringen av en enhetskraft, dvs. til venstre. 15 Vi finner den totale forskyvningen av seksjonen K som den geometriske summen av forskyvningene som er funnet. Retningen for full bevegelse bestemmes av vinkelen (Figur 1.14, b). Vi bestemmer rotasjonsvinkelen til seksjonen K. Vi bruker et enkelt dimensjonsløst moment i seksjonen K (fig. 1.14, a) og bygger et diagram over bøyemomenter fra det.

Beregning av statisk ubestemte stangsystemer ved kraftmetode i matriseform

Ris. 1.14 Vi multipliserer diagrammene M og M3, ved å bruke Vereshchagin-formelen, finner vi rotasjonsvinkelen til seksjonen K: 16 1.3. Beregning av statisk ubestemte stavsystemer ved kraftmetoden Den mest brukte metoden for å avsløre den statiske ubestemtheten til stavsystemer er kraftmetoden. Det ligger i det faktum at et gitt statisk ubestemt system er frigjort fra ytterligere (ekstra) forbindelser, både eksterne og interne, og deres handling erstattes av krefter og momenter. Deres verdi bestemmes videre slik at forskyvningene samsvarer med restriksjonene som pålegges systemet av de forkastede lenkene. Dermed, med den angitte løsningsmetoden, er kreftene eller momentene som virker på stedene for kasserte eller kuttede bindinger ukjente. Derav navnet "kreftenes metode". La oss vurdere essensen av kraftmetoden ved å bruke eksemplet på beregning av en statisk ubestemt ramme vist i fig. 1.15. Vi antar at den ytre belastningen, dimensjonene og stivheten til stengene er kjent. Beregningsprosedyre 2.1. Vi setter graden av statisk ubestemthet, som vi bruker uttrykket for, hvor X er antall ukjente (det er 5 eksterne lenker); Y er antallet uavhengige statiske ligninger som kan kompileres for systemet som vurderes. For en gitt ramme er antallet ukjente reaksjoner fem, og antallet uavhengige ligninger er tre, siden kraftsystemet er flatt og vilkårlig plassert, derfor er systemet to ganger statisk ubestemt. 2.2. La oss transformere for dette systemet inn i et statisk bestemt, geometrisk ufravikelig og ekvivalent med et gitt system, det vil si at vi danner hovedsystemet. For å gjøre dette fjerner vi unødvendige forbindelser ved å kaste eller kutte dem. På fig. 1.15 viser hovedsystemet oppnådd ved å kassere unødvendige støttelenker, og i fig. 1.16 hovedsystemene dannes ved å kaste og kutte ledd. For eksempel, (fig. 1.16, a) i støtte A kasseres en horisontal forbindelse og i støtte C kuttes en forbindelse som forhindrer rotasjon av seksjonen. Dermed kan man for hvert statisk ubestemt stangsystem 1.15 17 velge flere alternativer for hovedsystemene (fig. 1.15, 1.16). Det er nødvendig å være spesielt oppmerksom på det faktum at i dannelsen av hovedsystemet for styrkemetoden er innføringen av nye forbindelser uakseptabelt. Det er ønskelig at hovedsystemet er rasjonelt, dvs. et som det er lettere å bygge diagrammer over interne kraftfaktorer for, og mengden av beregninger er den minste. Et slikt system er vist i fig. 1,15 (alternativ I). Det er ikke nødvendig å bestemme støttereaksjonene her hvis du bygger diagrammer fra den frie (løse) enden av rammen. Ris. 1,16 2,3. Vi danner et ekvivalent system ved å belaste hovedsystemet med ytre krefter og kreftene til kasserte (kuttede) bindinger (Fig. 1.17). Ukjente kraftfaktorer vil bli betegnet med symbolet Xi, hvor i er tallet på det ukjente. Hvis de avviste begrensningene forbyr lineære forskyvninger, så er de ukjente kreftene, hvis vinkelforskyvningene er forbudt, momentene. Hvis hovedsystemet ble oppnådd ved å kutte de ekstra forbindelsene, påføres krefter og momenter like og motsatte av hverandre på både høyre og venstre del av det dissekerte systemet på kuttestedene. I eksemplet under vurdering representerer X1 og X2 de vertikale og horisontale komponentene i reaksjonen til dreiestøtten A. 2.4. Vi komponerer kraftmetodens kanoniske ligninger, som i matematisk form uttrykker betingelsene for ekvivalensen til hoved- og gitte systemer. Ellers uttrykker de forhold som angir at de relative forskyvningene i retning av fjerntliggende overflødige lenker fra fellesvirkningen av en ekstern last og ukjente krefter må være lik null. For det ekvivalente systemet til det betraktede eksemplet, basert på prinsippet om uavhengighet av krefters handling og fig. 1.18 vil de kanoniske ligningene skrives på skjemaet

Fagverk med forbehold inkluderer fagverksbjelker, som er en kombinasjon av en to- eller trespanns kontinuerlig bjelke og fjærtrekk; de er typiske for stål- og trekonstruksjoner, med en øvre korde av en kontinuerlig valset profil (saget tømmer eller limte brettpakker). Det kan også være fagverk av armert betong med små spenn.
fra Wikipedia, den frie encyklopedi

hvor 11 er den relative forskyvningen i hovedsystemet i retning av den ekstra ukjente X1, forårsaket av samme kraft; 12 - relativ bevegelse i retning av den ekstra ukjente X1, forårsaket av kraften X2; 1P - relativ forskyvning i virkningsretningen til den ukjente X1, forårsaket av en gitt belastning. Ris. 1.18 Fysisk betydning av disse ligningene. Den første ligningen avviser muligheten for vertikal bevegelse av støtteseksjonen A i retning av overskuddet ukjent X1 fra den kombinerte virkningen av en gitt last P og fulle verdier ukjente X1 og X2. Den andre ligningen har en lignende betydning. I denne formen (1.1) er bruken av ligninger i tekniske beregninger vanskelig, så vi vil transformere dem til en ny form. Vurderer det for lineære systemer uttrykket kan med rette skrives: hvor 11 er den relative forskyvningen i hovedsystemet i retning av kraften X1 fra virkningen av kraften X1 1 (fig. 1.19); 21 er den relative forskyvningen i hovedsystemet i retning av kraften X2 fra kraften X1 1. Her er X1 og X2 de faktiske verdiene av reaksjonene til de tapte bindingene. Deretter kan de kanoniske ligningene til kraftmetoden (1.1) skrives på formen. Analogt, for n ganger statisk ubestemte systemer, har de kanoniske ligningene formen De ledende koeffisientene er alltid positive. Sidefaktorer kan være positive, negative eller null. 1P  - kalles fri- eller lastkoeffisienter. 2.5. Vi bestemmer koeffisientene til de kanoniske ligningene. Disse koeffisientene representerer forskyvningene av punktene i systemet i retning av de droppede lenkene, derfor kan de bli funnet ved hjelp av Mohr-integralet: Prosedyren for å bestemme koeffisientene: Fig. 1.19 20 a) vi plotter bøyemomentdiagrammer for hovedsystemet fra en gitt ekstern last P og fra enhetskrefter av fallende bindinger X11 (Fig. 1.20); Ris. 1.20 b) beregner vi koeffisientene til de kanoniske ligningene. Siden det aktuelle systemet kun består av rettlinjede stenger og stivheten til stengene innenfor deres lengder er konstant, blir beregningen av Mohr-integralet utført i henhold til metoden til A.K. Vereshchagin ved å multiplisere de tilsvarende diagrammene ved å bruke Simpsons formler og trapeser: 2.6. Vi skriver ned systemet med kanoniske ligninger. Etter å ha erstattet de funnet koeffisientene i ligning (1.3), får vi: Vi løser ligningssystemet og finner de ukjente kreftene, kN: Merk. Hvis krafttegnet viste seg å være negativt, betyr dette at den faktiske kraften (reaksjonen) er rettet i motsatt retning enn kraften Xi tok i bruk i det ekvivalente systemet. Dermed avsløres den statiske udefinerbarheten til systemet. 2.7. Vi bygger de endelige (reelle) diagrammene av indre kraftfaktorer for et gitt system. Plottet kan gjøres på to måter. Den første måten Vi belaster hovedsystemet med en gitt last og de funnet kreftene X1 og X2 (Fig. 1.17), hvoretter vi bygger diagrammer M, Q og N på samme måte som for et konvensjonelt statisk bestemt system. Diagrammene konstruert på denne måten er vist i fig. 1.21, hvor ordinatene til bøyemomentdiagrammet er plottet fra siden av de strakte fibrene. Denne metoden er mest praktisk for enkle systemer. Den andre måten Vi beregner verdiene av bøyemomenter i en hvilken som helst (vanligvis karakteristisk) seksjon basert på prinsippet om uavhengighet av virkningen av krefter i henhold til formelen 22 hvor k er nummeret på seksjonen som verdien av bøyningen øyeblikk er bestemt; n er graden av statisk ubestemthet til systemet. Ris. 1.21 I dette tilfellet, hvis funnet kraft Xi har negativt tegn , så må det tilsvarende diagram Mi speiles med hensyn til aksene til stengene. Når du bestemmer de faktiske verdiene av bøyemomenter, er ordinatene til momentene i de beregnede seksjonene hentet fra diagrammene M1, M2 og MP, under hensyntagen til deres tegn. Tegnene til momentene i seksjonen som vurderes bestemmes avhengig av hvilken side av grunnlinjen ordinatene til momentene er plassert og av posisjonen til observatørens punkt. I vårt tilfelle antar vi at observatørens punkt er plassert inne i konturen, derfor anses de positive verdiene til momentene for å være momentene som forårsaker spenning i den beregnede delen av de indre fibrene, og de negative verdiene av de ytre fibrene i konturen. For eksempel, for seksjon D av rammen, får vi tilsvarende for andre seksjoner. Det endelige diagrammet over bøyemomenter for et gitt system er vist i fig. 1.21 a. 23 2.8. Vi utfører en deformasjonskontroll av riktigheten av å konstruere et ekte diagram av bøyemomenter. Meningen med deformasjonstesten er å bekrefte fraværet av forskyvninger i hovedsystemet i retning av de kasserte (kuttede) bindingene ved de funnet verdiene til de ukjente kreftene. Så hvis de ukjente kreftene er funnet riktig, må likestillingene tilfredsstilles for eksempelet som vurderes: Hvis du bygger et diagram av enkeltmomenter 2, kalles sjekken en sjekk for gruppeforskyvning (fig. 1.22): fravær av forskyvning bekrefter riktigheten av løsningen av problemet. Hvis de utførte beregningene ikke bekrefter fraværet av forskyvninger av hovedsystemets punkter i retning av de forkastede koblingene, er det nødvendig å identifisere beregningsfeilen for å kontrollere riktigheten av å bestemme koeffisientene til de kanoniske ligningene etter formelen Hvis det ikke er likhet i denne ligningen, utføres en linje-for-linje kontroll av koeffisientene til de kanoniske ligningene. Første linje: . Hvis det ikke er noen regnefeil på denne linjen, må betingelsen være oppfylt: På samme måte kan du sjekke 2. og andre linjer. Når du utfører disse kontrollene, bør du kontrollere riktigheten av beregningen av belastningskoeffisientene: 2.9. Vi bygger et diagram over tverrkrefter Q i henhold til diagrammet over bøyemomenter M ved å sekvensielt kutte ut stengene fra et gitt system og betrakte dem som hengslede statisk bestemte bjelker. Vi bruker øyeblikk ved endene av stengene, hvis verdier og retninger er valgt fra diagrammet M i de tilsvarende seksjonene. I nærvær av eksterne krefter bruker vi dem i de aktuelle områdene. Vi bestemmer støttereaksjonene fra tilstanden statisk likevekt og plotter Q som vanlig for statisk bestemte stråler. For en gitt ramme (fig. 1.15), når vi konstruerer et diagram over tverrkrefter for et stativ, kutter vi ut seksjon AB og i seksjon B bruker vi et moment B 3, 56 MP tatt fra diagrammet over virkelige momenter M (fig. 1.21, b). Vi bestemmer støttereaksjonene ut fra betraktningen av likevekten 3 P og bygger et diagram over tverrkreftene Q (fig. 1.23). Ris. 1.22 25 På lignende måte kutter vi ut den horisontale stangen (tverrstangen) BC, vurder balansen og plot Q for denne delen av rammen (fig. 1.24). Vi overfører Q-diagrammer for individuelle stenger til et gitt system. Det endelige diagrammet over tverrkreftene for en gitt ramme er vist i figur 7.14, b. Konstruksjonen av et diagram over tverrkrefter i henhold til diagrammet over bøyemomenter er også mulig på grunnlag av en differensiell avhengighet: hvor α er helningsvinkelen til den rette linjen som skisserer diagrammet over bøyemomentene til grunnlinjen (bjelkeaksen ). Tverrkraften anses som positiv dersom bøyemomentet øker i aksens retning. For det betraktede eksemplet: 2.10. Vi konstruerer et diagram av langsgående krefter N.
Ris. 7.16 Fig. 1.24 26 For å gjøre dette bruker vi metoden for å kutte noder (vi kutter bare ut støttenoder med seksjoner uendelig nær noden) og vurderer deres likevekt under påvirkning av en ekstern belastning (hvis noen påføres nodene) og krefter i kasserte (kuttede) lenker. Vi kutter ut node B. Vi påfører den tverrkrefter tatt i de tilsvarende seksjonene fra diagram Q (fig. 1.23, b). Noden må være i likevekt (fig. 1.25) under påvirkning av tverr- og langsgående krefter (ukjent). Vi bestemmer de ukjente langsgående kreftene fra tilstanden til statisk likevekt. Diagrammet over langsgående krefter er vist i fig. 1,23, c. 2.11. Vi utfører en siste kontroll av riktigheten av løsningen av problemet. Systemet (rammen), en off-support enhet eller en del av systemet må være i balanse under påvirkning av en ekstern belastning og kreftene fra kasserte (kuttede) ledd. For et gitt eksempel tar vi for oss balansen til rammen ved å bruke statikkligningene (fig. 1.26):

Likevektsbetingelsen er oppfylt. Notater. 1. Hvis rammen har flere off-support noder, er alle noder dekket av kontrollen.

Bibliografisk liste

Ris. 1.25 Fig. 1.26 27 2. Når man kontrollerer balansen til en off-support node, er det nødvendig, i tillegg til interne krefter (M, Q, N), tatt i de tilsvarende seksjonene, å påføre også eksterne krefter (konsentrert kraft og moment), hvis noen, brukes i noden. I vårt tilfelle er det ingen belastning i noden.

Retningslinjer for gjennomføring av oppgjør og grafisk arbeid for studenter av spesialiteter 2903, 2906,2907, 2908, 2910

Kazan, 2006

Satt sammen av: R.A. Kayumov

UDC 539,3

Beregning av et statisk ubestemt stangsystem som inneholder et absolutt stivt element; Retningslinjer for gjennomføring av oppgjør og grafisk arbeid for studenter av spesialiteter 2903, 2906, 2907, 2908, 2910 / KazGASU; komp. R.A. Kayumov. Kazan, 2005, 24 s.

Disse retningslinjene skisserer kort metoden for å beregne de enkleste fagverkskonstruksjonene med et stivt element og gir et eksempel på beregning.

Fig.6.

Anmelderkandidat i fysikk og matematikk vitenskaper, prof. Stoler teoretisk mekanikk KSUAE Shigabutdinov F.G.

ã Kazan State University of Architecture and Civil Engineering

OPPGAVE #3

BEREGNING AV ET STATISK UBESTEMMET HENGSELSTANGSYSTEM

For et gitt hengselstangsystem (se diagram), bestående av en absolutt stiv bjelke og elastiske stenger med gitte tverrsnittsarealforhold, kreves det:

1. Still inn graden av statisk ubestemthet.

2. Finn kreftene i stengene.

3. Skriv ned styrkebetingelsene for stengene fra krafteffekter og velg tverrsnittene til stengene, ta hensyn til de gitte arealforholdene. Materiale St-3, flytegrense tatt lik 240 MPa = 24 kN/cm 2, sikkerhetsfaktor k = 1,5.

4. Finn spenningene i stengene fra unøyaktigheten i produksjonen av stengene d 1 = d 2 = d 3 = (se tabell 3). Hvis den har et plusstegn, gjøres stangen lengre; hvis minus - kortere.

5. Finn spenningene i stengene fra temperaturendringen i stengene med Dt° (se tabell 3). Lineær ekspansjonskoeffisient for stål 1/grad.

6. Sjekk styrken til systemet på ulike alternativer kraft og ikke-kraftpåvirkninger: 1) strukturen er montert, ennå ikke belastet, men det har oppstått en temperaturforskjell; 2) tilfellet når det ikke er noen temperaturforskjell, og strukturen er satt sammen og lastet. 3) tilfellet når strukturen er montert, belastet og det er en temperaturforskjell.

7. Bestem den ultimate lastekapasiteten til systemet og den sanne sikkerhetsfaktoren ved å anta et konstant forhold mellom og .

Oppgaven utføres i sin helhet av studenter ved spesialitetene PGS og AD. Studenter av andre spesialiteter utfører beregningen av systemet bare for ekstern belastning i henhold til tillatte spenninger og tillatt belastning, unntatt stang 3.

De første dataene for å utføre oppgjør og grafisk arbeid velges i henhold til koden utstedt av læreren.

Opplegg for oppgave nummer 3

tabell 3

	MEN	B	PÅ	G	B	i	PÅ
, kN	, kN/m	, m	, m	, m	, m	, m		, mm
									0.3	3/2
								-30	-0.4	1/2
									0.5		3/2
								-25	-0.6	3/4	3/2
									0.7	5/4	1/2
								-35	-0.4	1/2	4/5
									0.5	2/3	1/2
									-0.7	1/2	4/5
								-20	-0.3	3/2	2/3
									0.6	2/3	5/4

FORMULERING AV PROBLEMET

Det vurderes et hengselstangsystem (fig. 1), bestående av en stiv bjelke og deformerbare stenger laget med et gitt forhold mellom tverrsnittsarealer, som er angitt i oppgaven. Kjente designbelastninger F , q ; konstruksjonsdimensjoner h 1 , h 2 , L 1 , L 2 , L 3; design temperatursvingninger: D t 1 - i den første stangen, D t 2 - i den andre, D t 3 - i den tredje; unøyaktigheter ved fremstilling av stenger, nemlig d 1 - forskjell fra designlengden i den første stolpen, d 2 - i den andre, d 3 - i den tredje. kjent mekaniske egenskaper materiale: elastisitetsmodul E \u003d 2 × 10 4 kN / cm 2, flytegrense s t\u003d 24 kN / cm 2, koeffisient for termisk utvidelse en=125×10 -7 1/grad. sikkerhetsfaktor k for dette designet er tatt lik 1,5.

Det er nødvendig å løse 3 oppgaver:

1. Velg delene av stengene for fremstilling av dette systemet fra tilstanden til styrken til disse stengene i form av tillatte spenninger ved designbelastninger.

2. Lag en konklusjon om tillateligheten av designtemperatursvingninger og unøyaktigheter ved fremstilling av stenger.

3. Finn maksimal lastekapasitet til strukturen, tillatte belastninger og sann sikkerhetsmargin.

Dermed består arbeidet av prosjekteringsberegning, verifikasjonsberegning, beregning av grenselaster for systemet.

RGR bør inneholde 3 tegninger (tegnes i målestokk): det innledende diagrammet av stangsystemet, kraftdiagrammet og det kinematiske diagrammet over strukturdeformasjonen.

2. Metode for seksjoner.

3. Hookes lov.

4. Forlengelse fra temperaturendringer.

5. Strekkstyrke, tillatt stress, styrketilstand.

6. Plastflyt, flytegrense.

7. Statisk udefinerbarhet.

8. Betingelse for kompatibilitet av deformasjoner.

9. Beregning av tillatte spenninger.

10. Beregning i henhold til teorien om grenselikevekt.

GENERELL BEREGNINGSPLAN FOR DESIGN

Først blir strukturen frigjort fra bindinger, og erstatter dem med reaksjoner. Seksjonsmetoden tar hensyn til de indre langsgående kreftene (normalkreftene) som oppstår i stengene. I dette tilfellet må de ledes fra seksjonen, dvs. betinget vurdere stengene som skal strekkes. Det er ikke mulig å bestemme reaksjonene og langsgående kreftene fra likevektslikningene, fordi i et planproblem med statikk er det mulig å komponere 3 uavhengige likevektsligninger, mens antallet ukjente kraftfaktorer (reaksjoner og langsgående krefter) er mer enn tre. Derfor er det nødvendig å komponere ytterligere ligninger som følger av antakelsen om deformerbarheten til stengene (ligningene for kompatibilitet av deformasjoner som relaterer forlengelsene til stengene til hverandre). De følger av geometriske betraktninger. I dette tilfellet brukes antakelsen om litenhet av deformasjoner. I tillegg må følgende skiltregel tas i betraktning. Den totale forskjellen mellom designlengden på stangen l og endelig sann lengde l lure betegnet med D l . Derfor, hvis stangen forlenges, da , hvis forkortet, da .

Som det fremgår av fig. 2, er endringen i lengden på stangen D l består av forlengelse D l (N) , forårsaket av kraften til aksial spenning N , forlengelse D l(t) forårsaket av temperaturendringer og unøyaktigheter i produksjonen d.

Hvis temperaturen synker, da D t < 0, то длина стержня уменьшается, т.е. ; если стержень сделан короче проектного, то d< 0. С учетом закона Гука это соотношение примет вид:

Siden forlengelser uttrykkes i form av langsgående krefter i henhold til formler (1), så følger fra kompatibilitetsligningene relasjonene som forbinder ønsket innsats. Her og nedenfor, for å forenkle notasjonen, brukes følgende betegnelser: langsgående kraft og spenning i staven med tallet Jeg .

I den vurderte RGR er det ikke påkrevd å søke etter reaksjoner. Derfor, fra de 3 likevektslikningene, er det nok å forlate en - tilstanden for likhet til null av momentene til alle ytre og indre krefter i forhold til aksen som går gjennom midten av hengslet D (fig. 1). Løsningen av det resulterende systemet (likevektslikninger og kompatibilitet av deformasjoner) gjør det mulig å finne kreftene i stenger.

Videre utføres design (oppgave 1) og verifikasjon (oppgave 2) beregninger ved bruk av tillatt spenningsmetode. Flytespenningen tas som farlig stress s t. I henhold til den tillatte stressmetoden, designet anses ute av drift hvis spenningen har nådd en farlig verdi i minst en stang, dvs. viste seg å være ødelagt minst en fra stenger:

For å sikre konstruksjonens sikkerhet kreves det en sikkerhetsmargin, d.v.s. må gjennomføres styrketilstand snill

, (3)

hvor k - sikkerhetsfaktor, [ s] - tillatt spenning.

Ødeleggelsen av ett strukturelt element betyr ikke alltid tap av dets operasjonelle egenskaper (dvs. kollaps). Andre elementer kan ta over lasten, eller deler av den, som det ødelagte elementet skulle bære. Denne betraktningen brukes i oppgave 3, som er løst grenselikevektsmetode, også kalt tillatt belastningsmetode.

I problemformuleringen er det antatt at kreftene R og Q øke proporsjonalt ( R / Q = const), er tverrsnittsarealene til stengene kjent fra løsningen av oppgave 1, materialet til stengene er elastisk-ideell-plast. Med en økning i belastningen vil en stang først "flyte", spenningen i den vil ikke øke med ytterligere deformasjon og vil forbli lik modul til flytegrensen s t(se fig. 3). Den påfølgende økningen i belastninger vil føre til at først, i den andre, og deretter i den tredje stengene, begynner plaststrømmen, d.v.s. stress har nådd flytegrensen. Det er klart, uansett hva installasjonen eller temperaturspenningene var i begynnelsen av prosessen, kommer det øyeblikket da spenningene når flytegrensen i alle stenger (siden de ikke kan ta store verdier, ifølge deformasjonsdiagrammet i fig. 3). . Oppnådde kraftverdier F = F etc og Q = Q etc kalles begrensende, fordi deres økning er umulig, og systemet vil begynne å deformere på ubestemt tid. Siden innsats N i i begrensende tilstand er kjent (fordi de er uttrykt i form av spenninger), deretter bestemmes ut fra likevektsligningen F etc. Fra lastesikkerhetstilstanden er de tillatte lastene funnet

Som det fremgår av resonnementet ved løsning av oppgave 3, reduserer ikke tilstedeværelsen av temperaturendringer eller unøyaktigheter ved fremstilling av stenger konstruksjonens bæreevne dersom stengene er laget av et elastisk-ideelt-plastmateriale.

MERKNADER

1. Læreren kan spesifisere oppgaven med å velge stenger ved å kreve bruk av et valset stålsortiment, for eksempel for å velge en sammensatt seksjon fra vinkler i henhold til sortimentstabeller (se regneeksempel).

2. Ved beregning er det nok å forlate 3 signifikante tall.

3. Ved valg av dimensjoner på stengene tillates 5 % overbelastning.

Regneeksempel

La det gis et hengselstangsystem (fig. 4). Det er kjent at

E \u003d 2 × 10 4 kN / cm 2, s t \u003d 24 kN / cm 2, a \u003d 125 × 10 -7 1 / grader. (5)

En oppgave. Bestem spenningen i stålstenger som støtter en absolutt stiv bjelke. Materiale - stål St3, α=60°, [σ]=160MPa.

Vi tegner opplegget å skalere. Vi nummererer stengene.

I en hengslet fast støtte MEN reaksjoner oppstår R A og PÅ . I stenger 1 og 2 innsats oppstår N 1 og N 2 . Aktuelt . Klipp ut med et lukket kutt midten del av systemet. Vi vil vise en stiv bjelke skjematisk - ved en linje, innsats N 1 og N 2 sende fra seksjon.

Kompilere likevektsligninger

Antall ukjente overskrider antall statiske ligninger pr 1 . Derfor er systemet , og for dets løsning nødvendig en ekstra ligning. Å komponere ytterligere ligning å vurdere systemdeformasjonsskjema. Hengslet fast støtte MEN holder seg på plass og stenger deformeres under påvirkning av kraft.

Skjema for deformasjoner

I henhold til deformasjonsskjemaet skal vi komponere deformasjonskompatibilitetstilstand fra vurdering av likheten mellom trekanter ACC 1 og ABB 1 . Fra likheten mellom trekanter ABB 1 og ACC 1 skriv forholdet:

, hvor BB 1=∆ ℓ 1 (forlengelse av den første stangen)

Nå uttrykker vi SS 1 gjennom deformasjon sekund stang. La oss forstørre et fragment av ordningen.

Det kan sees av figuren at SS 2 = SS en · cos(90º- α )= SS en · sinα.

Men SS 2 = ∆ ℓ 2 , deretter Δ ℓ 2 = SS en · sinα , hvor:

La oss snu deformasjonskompatibilitetstilstand(4) i deformasjonskompatibilitetsligning ved bruk av . Ved å gjøre det må vi ta hensyn karakter av deformasjoner(forkorting skrives med et "-"-tegn, forlengelse med et "+"-tegn).

Da blir det:

Vi forkorter begge deler med E , erstatte numeriske verdier og uttrykke N 1 gjennom N 2

Erstatt relasjonen (6) inn i ligningen (3) hvor vi finner:

N 1 = 7,12 kN (strukket),

N 2 = -20,35kN (komprimert).

La oss definere Spenning i stenger.

Beregning av en bjelke med et gap. For en statisk ubestemt ståltrinnsbjelke, konstruer diagrammer av langsgående krefter, normale spenninger og forskyvninger. Sjekk styrken til strålen. Før lasting var det et gap Δ=0,1 mm mellom den øvre enden og støtten. Materiale - stål St 3, langsgående elastisitetsmodul E=2·10 5 MPa, tillatt spenning [σ]=160 MPa.

Etter lasting gapet vil tette seg og reaksjoner oppstå og nederst, og i topp Brukerstøtte. La oss vise dem vilkårlig, dette er reaksjoner R A og R B . La oss komponere statikkligningen.

∑på=0 R A- F 1 + F 2 - R B=0

I ligningen 2 ukjente, og ligningen en, så oppgaven 1 en gang statisk ubestemt, og løsningen krever 1 tilleggsligning.

den deformasjonskompatibilitetsligning. I dette tilfellet er kompatibiliteten til deformasjoner av bjelkeseksjonene det endringen i lengden på bjelken (forlengelsen) kan ikke overstige gapet, dvs. Δ ℓ =Δ , dette er deformasjonskompatibilitetstilstand.

Nå skal vi dele strålen i seksjoner og tegne seksjoner på dem - deres 4 i telling karakteristisk tomter. Hver seksjon vurderes hver for seg, beveger seg i én retning- støtte fra bunnen og opp. I hvert avsnitt uttrykker vi kraften N gjennom ukjent reaksjon. Regi N fra seksjon.

Vi skriver ut verdiene separat langsgående krefter i seksjoner:

N 1 = -R A

N 2 = 120 -R A

N 3 = 120 -R A

N 4 = 30-R A

3. Tilbake til kompilering deformasjonskompatibilitetsforhold. Vi har 4 område, som betyr

Δ ℓ 1 + ∆ ℓ 2+∆ ℓ 3+∆ ℓ 4 = Δ (gapstørrelse).

Ved hjelp av formelen til definisjon av absolutt deformasjon komponere deformasjonskompatibilitetsligning, er akkurat det ytterligere ligningen som er nødvendig for å løse problemet.

La oss prøve forenkle ligningen. Husk at størrelsen på gapet Δ=0,1 mm = 0,110-3 m

E- elastisitetsmodul, E\u003d 2 10 5 MPa \u003d 2 10 8 kPa.

Vi erstatter i stedet N deres verdier, skrevet gjennom støttereaksjonen R A .

4. Beregn N og bygge langsgående kraftdiagram.

N 1 =-RA =-47,5kN

N 2 =120 -RA = 72,5kN

N 3 =120 -RA = 72,5kN

N 4 =30-RA =-17,5kN.

5. Definer normale spenninger σ i henhold til formelen og bygge deres diagrammer

Vi bygger diagram normale påkjenninger.

Sjekker styrke.

σ maks= 90,63 MPa< [σ]=160МПа.

Styrke garantert.

Regne ut forskyvning, ved å bruke formelen for deformasjoner.

La oss gå fra veggen MEN til gapet.

Fikk verdien ω 4 lik gapet, dette er en kontroll av riktigheten av definisjonen av forskyvninger.

Vi bygger forskyvningsdiagram.

En langsgående kraft P og dens egen vekt (γ = 78 kN / m 3) virker på stålstangen. Finn forskyvningen av seksjonen 1 –1.

Gitt: E \u003d 2 10 5 MPa, A \u003d 11 cm 2, a \u003d 3,0 m, b \u003d 3,0 m, c \u003d 1,3 m, P \u003d 2 kN.

Seksjonsforskyvning 1–1 vil bestå av forskyvning fra virkningen av kraften R, fra virkningen av sin egen vekt avsnittet ovenfor og fra virkningen av sin egen vekt under avsnittet. flytte fra virkningen av kraften R vil være lik forlengelsen av seksjonen av stangen lengde b+a plassert ovenfor § 1–1. Last P forårsaker forlengelse bare område a, siden det bare har langsgående kraft fra denne lasten. I følge Hookes lov forlengelsen fra virkningen av kraften P vil være lik: Definer forlengelse fra stangens egenvekt under seksjon 1–1.

La oss betegne det som . Det vil bli kalt egen vekt av tomten med og vekten av stangen i seksjonen a + b

La oss definere forlengelse fra stangens egenvekt over seksjon 1–1.

La oss betegne det som det vil bli kalt egenvekt av ledd a+b

Deretter full forskyvning av seksjon 1-1:

De, seksjon 1-1 vil falle med 0,022 mm.

En absolutt stiv bjelke hviler på en svingbart fast støtte og festes til to stenger ved hjelp av hengsler. Det kreves: 1) å finne kreftene og spenningene i stengene, uttrykke dem i form av kraften Q; 2) Finn den tillatte belastningen Q addere ved å likestille den største av spenningene i de to stengene med den tillatte spenningen ; 3) finne den ultimate lastekapasiteten til systemet hvis flytegrensen 4) sammenlign begge verdiene oppnådd i beregningen av tillatte spenninger og sluttbelastninger. Dimensjoner: a=2,1 m, b=3,0 m, c=1,8 m, tverrsnittsareal A=20 cm 2

Dette systemet en gang statisk ubestemt. For avsløring av statisk ubestemthet det er nødvendig å løse likevektsligningen og kompatibiliteten til stavdeformasjoner i fellesskap.

(1) -likevektsligning

La oss komponere deformasjonsskjema- se fig. Så fra skjemaet: (2)

Av Hookes lov vi har:

Stanglengder:Da får vi:

Sett inn den resulterende relasjonen i ligningen (1):

Vi definerer Spenning i stenger:

I grensetilstand: Vi erstatter de oppnådde relasjonene i ligningen (1):

Sammenlignet ser vi en økning i belastningen:

En søyle som består av en stålstang og et kobberrør komprimeres av en kraft P. Lengden på søylen er ℓ. Uttrykk kreftene og spenningene som oppstår i en stålstang og et kobberrør.
La oss tegne en seksjon 1 - 1 og vurdere likevekten til avskjæringsdelen

La oss komponere statisk ligning: N C + N M - P= 0 , N C + N M = P (1)

Problemet er statisk ubestemt. Deformasjonskompatibilitetsligning skrive fra betingelsen at forlengelser av stålstang og kobberrør er de samme:(2) ellerLa oss annullere begge deler med lengden på stangen og ekspress kraft i et kobberrør gjennom kraft i en stålstang:

(3) Bytt inn den funnet verdien i ligningen (1), vi får:

Jobber alltid sammen elementet laget av et materiale med høy elastisitetsmodul belastes sterkere. På E C \u003d 2 10 5 MPa, E M \u003d 1 10 5 MPa:

Bestem spenningene i alle seksjoner for kolonnen. Etter påføring av kraften P, lukkes gapet, P = 200 kN, E = 2. 10 5 MPa, A \u003d 25 cm 2 Etter å ha brukt kraften P, vil det være klypende innsats. La oss kalle dem C og B.

La oss komponere statisk ligning: ∑y = 0; C + B - P \u003d 0; (en)

Ytterligere deformasjonskompatibilitetsligning: ∆ℓ 1 +∆ℓ 2 =0,3 mm (2);

Å finne absolutt deformasjon, du må vite langsgående kraft Plassering på. På først snitt er lengdekraften lik FRA, på sekund forskjeller (S-R). La oss erstatte disse verdiene i uttrykkene for absolutte deformasjoner: (3)

Vi erstatter uttrykket (3 ) til uttrykk ( 2) og finn: C = 150 kN, og fra (1) B = 50 kN .

Deretter Spenning i områder:

En stiv bjelke er opphengt på tre stålstenger; stang 2 er laget kortere enn design. Bestem spenningene i stengene etter montering av systemet. Gitt:

Etter fullføring av monteringen i dette systemet, den stive bjelken vil snu og ta ny stilling.

poeng C, D og Til flytte til posisjoner С 1 , D 1 og K 1

I henhold til deformasjonsmønsteret SS 1 =Δℓ 1, DD 1 =Δ−D 1 D 2 = Δ−Δℓ 2, KK 1 \u003d ℓ 3, mens stengene 1 og 3 opplever kompresjon, og stangen 2 – strekk.

I henhold til deformasjonsskjemaet likevektsligning vil ta formen:

Ytterligere ligninger kan fås basert på analyse av deformasjonsskjemaet; fra lignende trekanter VSS 1 og BDD 1, trekanter VSS 1 og BKK 1 følger:

I følge Hookes lov absolutte deformasjoner:

Deretter vil tilleggsligningene skrives som følger: Ved å løse sammen dette systemet med oppnådde tilleggsligninger og likevektsligningen får vi:

N 1 \u003d 14,3 kN (stangen er komprimert), N 2 \u003d 71,5 kN (stangen er strukket), N 3 \u003d 42,9 kN (stangen er komprimert).

Dermed ønsket spenninger i stengene har betydninger:
Problem løst.

Den trinnvise kobberstangen varmes opp fra temperatur t H =20ºС til t К =50ºС. Sjekk styrken på stangen. Gitt:

La oss komponere stavbalanseligning forutsatt at eksterne lenker erstattes med reaktive krefter: Som du kan se, er systemet statisk ubestemt, og det kreves en ekstra ligning for å løse det.

Tøyningskompatibilitetsligningen følger av betingelsen om at forskyvningene til eksterne lenker er lik 0 - W B =0 eller W K =0. På denne måten:

Hvor:

Som et resultat R B \u003d 20723N.

Normale krefter og påkjenninger i områder:

I henhold til resultatene av beregninger σ maks =│69,1│MPa, hvori σmaks< σ adm , (69,1<80). Følgelig stangens styrketilstand er tilfredsstilt.

Beregning av en stolpe med et gap. For en ståltrinnstang med et gap mellom den nedre enden og støtten, er det nødvendig: å konstruere diagrammer over normale krefter og spenninger, forskyvninger; sjekk styrken. Gitt:

La oss komponere likevektsligning stang:

I han to ukjent, system en gang statisk ubestemt,påkrevd tilleggsligningen er tøyningsligningen.

En ekstra ligning kan skrives fra tilstanden til å lukke gapet i prosessen med deformasjon av stangen:

For områdene som vurderes absolutte deformasjoner:

La oss definere normale (langsgående) krefter, gå fra veggen til gapet:

Bytt alle funnet verdier inn i tilleggsligning:

Etter å ha erstattet de første dataene og forkortelsene:

Fra likevektsligninger vi får:

På denne måten, R B \u003d 40,74 kN, R K \u003d 9,26 kN.

Beregning normale krefter:
Vi bygger tomt N

Beregning normale påkjenninger:
Vi bygger normalt stressdiagram

Beregning bevegelser karakteristiske seksjoner.

Tegnregelen for forskyvninger er vedtatt: ned - positiv, opp - negativ.
Vi bygger bevegelsesdiagram.

Et statisk ubestemt stangsystem er gitt (del BCD er stiv). Det er nødvendig å velge tverrsnittsarealene til stolpene 1 og 2.

Betegn innsats i henholdsvis stenger 1 og 2 N 1 og N 2.

La oss vise systemet med innsats N 1 og N 2

Skriv for dette systemet balanse ligning, unntatt fra betraktning de reaktive kreftene i støtte C Denne ligningen inneholder to ukjente: N 1 og N 2. Derfor systemet en gang statisk ubestemt, og for løsningen er det nødvendig tilleggsligning. den tøyningsligning. La oss vise systemet inn deformerbar tilstand under belastning :

Fra analyse av systemet i en deformerbar tilstand følger at:

Siden , og gitt det kan vi skrive: Den siste oppføringen er det nødvendige tillegget tøyningsligning.

La oss skrive ned verdiene for de absolutte deformasjonene av stengene:

Deretter tar du hensyn til de første dataene tilleggsligning vil ta formen:

Følg med på likevektsligning, får vi systemet:

Fra løsningen av dette ligningssystemet følger:

N 1 \u003d 48kN (stang strukket), N 2 \u003d -36,31kN (stang komprimert).

I følge styrketilstand for stang 1:

deretter, under hensyntagen til tilstanden A 1 \u003d 1.5A 2 gitt oppdraget, får vi

I følge stangens styrketilstand 2:Deretter

Vi aksepterer til slutt:

Stenger og hengslede stangsystemer, der indre krefter fra en gitt last kan bestemmes ved hjelp av likevektsligninger (statiske ligninger), kalles statisk determinate.

I motsetning til dem kalles stolper og systemer statisk ubestemte, de indre kreftene som ikke kan bestemmes ved bruk av likevektsligningene alene. Derfor, når du beregner dem, er det nødvendig å komponere tilleggsligninger (forskyvningsligninger som tar hensyn til arten av deformasjonen av systemet. Antallet tilleggsligninger som er nødvendige for å beregne systemet karakteriserer graden av dets statiske ubestemthet. Du kan komponere så mange tilleggsligninger som er nødvendig for å løse problemet.

Krefter i elementene i statisk bestemte systemer oppstår bare fra virkningen av en ekstern belastning (inkludert konstruksjonens egenvekt). I elementene i statisk ubestemte systemer kan krefter også oppstå i fravær av en ekstern belastning - som et resultat av for eksempel temperaturendringer, forskyvning av støttefester og unøyaktigheter i fremstillingen av individuelle strukturelle elementer.

Det viktigste trinnet i beregningen av statisk ubestemte systemer er kompileringen av ytterligere (til likevektsligningene) forskyvningsligninger. Vi vil vurdere metodene for deres kompilering ved å bruke eksempler på å løse ulike problemer med å beregne statisk ubestemte systemer.

Betrakt en stang som er klemt (innstøpt) i begge ender og belastet med en kraft P (fig. 26.2, a). Under påvirkning av kraften P oppstår reaksjoner i tetningene og det er nødvendig å bestemme størrelsen på disse kreftene. For dette tilfellet (når alle krefter virker langs en rett linje), lar statikk deg lage bare én likevektsligning:

Derfor, for å bestemme de to ukjente, er det nødvendig å komponere en ekstra ligning. Derfor er stangen som vurderes en gang statisk ubestemt (dvs. graden av dens statiske ubestemthet er lik én). For å tegne en ekstra ligning, forkaster vi den nedre innstøpingen og erstatter dens effekt på stangen med en reaksjon (fig. 26.2, b). Anta at bare én kraft P virker, og det er ingen kraft. Under påvirkning av kraften R deformeres kun den øvre seksjonen av stangen med lengden a, som et resultat av at seksjonen, hvor kraften P påføres, beveger seg ned en mengde. Den nedre seksjonen av stangen med en lengde b deformeres ikke, men beveger seg ned, som et stivt legeme, med samme mengde, med hvilken seksjon beveger seg der kraften P påføres. Spesielt beveger den nedre enden av stangen seg like mye ned.

La oss nå anta at bare kraften virker og kraften P er fraværende.

Under påvirkning av kraften deformeres hele stangen, som et resultat av at den nedre enden av stangen beveger seg opp med verdien .

Faktisk mottar ikke den nedre enden av stangen, som er innebygd, bevegelse. Derfor må det å flytte den ned, forårsaket av kraften P, være lik å bevege seg oppover, forårsaket av kraften hvorfra Å kjenne verdien fra ligning (46.2) kan finnes.

Etter å ha bestemt reaksjonene forårsaket av virkningen av kraften P, utføres plottingen av de langsgående kreftene og styrkeberegningen, som ved et statisk bestemmelig problem.

Det skal bemerkes at retningene til ukjente reaksjoner, forskyvninger, etc. kan tas ganske vilkårlig. I det betraktede eksemplet antas retningen oppad for reaksjonene. Som et resultat av beregningen ble verdiene av begge reaksjonene behandlet som positive; dette betyr at deres faktiske retninger faller sammen med de tidligere aksepterte. Hvis vi for eksempel tar den nedadgående retningen for reaksjonen, får vi som et resultat av å løse tilleggsligningen "minus"-tegnet som indikerer at den faktiske retningen til reaksjonen til den nedre tetningen er motsatt av dens aksepterte retning, dvs. at den er rettet oppover. Dermed avhenger ikke det endelige resultatet av beregningen av hvilken retning av reaksjonen som er foreløpig tatt.

La oss vurdere et statisk ubestemt flatt hengsel-stangsystem som består av tre stenger, hvis nedre ender er forbundet med et felles hengsel D (fig. 27.2). Tverrsnittsarealet til den midtre stangen er lik en av de ytre stengene

En vertikal kraft P påføres hengslet D. Det er nødvendig for å bestemme kreftene i stengene fra virkningen av denne kraften.

Siden leddene til alle endene av stengene er hengslet, er reaksjonene til hengslene A, B og C rettet langs aksene til stengene og krysser derfor i punkt D.

Antall reaksjoner er tre. Men siden systemet og lasten er symmetriske om den vertikale aksen, er reaksjonene RA og lik hverandre, og derfor, for å løse problemet, er det nok å bestemme to reaksjoner RA og

For et plan kraftsystem som skjærer hverandre på ett punkt, er det kjent at to likevektsligninger kan settes sammen: og Disse to ligningene er imidlertid ikke nok til å bestemme reaksjonene og RB, siden symmetribetingelsen allerede er brukt, og dette er tilsvarende å bruke likevektsligningen. Bare én likevektsligning gjenstår, og antall ukjente krefter er to. For å løse problemet er det derfor nødvendig å komponere en ekstra ligning, og derfor er problemet en gang statisk ubestemt.

Likevektsligningen har formen

For å komponere en ekstra ligning, vurder forskyvningene til systemet.

I stengene AD, BD og CD oppstår henholdsvis langsgående krefter Stangen BD under påvirkning av lengdekraften vil forlenges med verdien Stolpen AD vil forlenges med verdien Tatt i betraktning at vi får

Hengsel D vil senkes med en verdi og innta posisjon D (fig. 27.2).

For å uttrykke forlengelsen av stangen AD i form av forskyvning, er det nødvendig å projisere denne forskyvningen i retning av stangens akse:

Her, på grunn av at forskyvningen er liten i forhold til lengdene på stengene, er vinkelen ADB (Fig. 27.2) tatt lik a, dvs. vinkelen ADB (mellom aksene til stengene AD og BD i en udeformert struktur).

Vi erstatter i ligning (48.2) uttrykkene og DB oppnådd ovenfor:

Løser vi denne ligningen sammen med likevektsligningen (47.2), får vi

Fra uttrykk (49.2) kan man se at med en økning i tverrsnittsarealene til stavene AD og CD (dvs. med en økning i ), øker kreftene i dem, og kraften i staven BD avtar.

Dette resultatet gjenspeiler egenskapene til statisk ubestemte systemer, der en økning i stivheten til noen elementer fører til en økning i kreftene i dem og vanligvis til en reduksjon i kreftene i de gjenværende elementene. I statisk bestemte systemer er fordelingen av krefter i en struktur ikke avhengig av stivheten til dens elementer.

Tenk på et system som består av tre stenger: et aluminiumsrør av et stålrør 2 satt inn i et aluminium, og en solid støpejernsstang 3 plassert inne i stålrøret (fig. 28.2, a).

Både rør og en støpejernsstang er plassert mellom absolutt stive plater og komprimeres av kraften P. Det kreves å bestemme spenningene i tverrsnittene til hver av stengene forårsaket av kraften P.

La oss tegne et horisontalt snitt og tegne en likevektslikning for den øvre delen av systemet (fig. 28.2, b):

hvor er normalspenningene i tverrsnittet til henholdsvis aluminium-, stål- og støpejernsstenger (trykknormalspenninger antas å være positive her); er tverrsnittsarealene til disse stengene.

Produktene representerer de langsgående kreftene i tverrsnittene til stengene.

Andre likevektsligninger for det betraktede systemet med parallelle krefter kan ikke kompileres, og derfor, for å bestemme de tre ukjente spenningene, er det i tillegg til likevektsligningen (50.2), nødvendig å komponere ytterligere to likninger. Følgelig er systemet som vurderes to ganger (to ganger) statisk ubestemt.

For å kompilere tilleggsligninger bruker vi det faktum at alle tre stengene er klemt mellom to stive plater, og derfor er de langsgående deformasjonene til alle stengene de samme. La oss betegne den relative langsgående deformasjonen av stengene.

Basert på Hookes lov

hvor er elastisitetsmodulene til stangmaterialene.

Fra denne likheten får vi ytterligere to ligninger:

Ved å erstatte verdiene fra ligning (52.2) med ligning (50.2), finner vi

hvor er tverrsnittsarealet av hele komposittstangen redusert til aluminium:

På fig. 28.2, b viser diagrammet over normalspenninger i det aktuelle systemet med forholdet mellom elastisitetsmodulene lik 1:3:2.

De angitte områdene brukes i utformingen av stenger med heterogen elastisitet, for eksempel armerte betongsøyler som består av stålstenger (armeringsjern) plassert i betong. Bindingen mellom armeringen og betongen hindrer armeringen i å bevege seg i forhold til den omkringliggende betongen. Derfor er de langsgående deformasjonene av betong og armering de samme, og forholdet mellom normale spenninger i armering og spenninger i betong er lik forholdet mellom elastisitetsmodulene til disse materialene.

Tenk nå på systemet vist i fig. 29.2, a, bestående av en absolutt stiv stang støttet på en hengslet støtte og festet til to stenger AAX og CCX (laget av duktilt stål) ved hjelp av hengsler.

La oss bestemme fra tilstanden til styrken til stålstenger den tillatte belastningen, den maksimale belastningen og den maksimale tillatte belastningen.

Reaksjoner og stenger hengslet i endene er rettet langs aksene til disse stengene. Reaksjonen til støtten B har en horisontal komponent og en vertikal komponent da denne støtten forhindrer horisontale og vertikale bevegelser av bjelkens punkt B.

Det er altså fire ukjente reaksjoner totalt (Fig. 29.2, b), og kun tre likevektsligninger for et flatt kraftsystem kan tegnes opp. Derfor er dette systemet en gang statisk ubestemt, og for løsningen er det nødvendig å komponere en ekstra ligning.

I henhold til tilstanden til problemet er det nødvendig å bestemme reaksjonene til stålstenger AAX og SCX (lik de langsgående kreftene i tverrsnittene til disse stengene), og det er ikke nødvendig å bestemme reaksjonene. Derfor er det tilstrekkelig å bruke en av de tre mulige likevektsligningene, som ikke vil inkludere reaksjonene og .

Dette er ligningen i form av summen av momentene til alle krefter i forhold til hengslet B:

For å komponere en ekstra ligning, vurder deformasjonen av systemet. På fig. 29.2, b, den stiplede linjen viser bjelkens akse etter deformasjonen av systemet. Denne aksen forblir rettlinjet, siden stangen er helt stiv og derfor ikke deformeres, men kan bare rotere rundt punkt B. Etter deformasjon går hengslene A og C til henholdsvis posisjon A og C, dvs. de beveger seg vertikalt med verdier. Fra likheten mellom trekanter AAB og CCB finner vi

Vi uttrykker forlengelsen av stangen, og forlengelsen av stangen gjennom forskyvninger. For å gjøre dette designer vi forskyvninger i retningene til stengene:

eller, tatt i betraktning likestilling (56.2)

Men i henhold til Hookes lov [i henhold til formelen (13.2)]

og derfor på grunnlag av likhet (57.2)

Etter å ha løst likningen (58.2) sammen med likevektslikningen (55.2), finner vi verdiene av de langsgående kreftene uttrykt gjennom lasten Q. Ved å dele kreftene med henholdsvis tverrsnittsarealene, bestemmer vi normalspenningene i stålstenger. Ved å likestille den største av disse spenningene med den tillatte spenningen, finner vi verdien av Q, lik den tillatte lasten

Når belastningen Q øker utover verdien av spenningen i begge stengene, øker de først i direkte forhold til belastningen. Hvis for eksempel, og derfor verdien er funnet fra tilstanden, når belastningen øker til en viss verdi, når spenningene i den første stangen flytegrensen.I dette tilfellet forblir spenningene i den andre stangen mindre

I prosessen med en ytterligere økning av belastningen forblir spenningene i den første stangen konstante, lik flytegrensen, og i den andre øker de til de også blir like.Denne tilstanden til systemet kalles begrensende tilstand, tilsvarende til utmattelse av bæreevnen; videre er selv en liten økning i belastningen forbundet med svært store deformasjoner av systemet. Verdien av Q, som forårsaker grensetilstanden, er utpekt og kalt grenselasten.

For å bestemme verdien, komponerer vi en likevektsligning i form av summen av momentene (i forhold til hengslet B) av alle krefter som virker på en stiv stang i grensetilstanden, når

Ved å dele med standardsikkerhetskoeffisienten for bæreevnen, får vi verdien av den maksimalt tillatte belastningen:

Hvis verdien i formelen (59.2) tas lik verdien [se. formel (42.2)], vil verdien av den maksimalt tillatte belastningen være større enn verdien av den tillatte belastningen oppnådd ved å beregne de tillatte spenningene.

Mer detaljert er spørsmålene om å bestemme maksimale og maksimale tillatte belastninger vurdert i kap. 17.

La oss nå etablere en metode for å bestemme monteringsspenninger i en statisk ubestemt struktur forårsaket av unøyaktigheter i fremstillingen av dens elementer. Tenk for eksempel på en struktur som består av tre stålstenger med tverrsnittsarealer, hvis ender er dreibart festet til to stive plater (fig. 30.2, a). Alle stenger skulle ha samme lengde l, men den første stangen ble gjort lengre, og den andre 68 kortere enn designet, veldig liten i forhold til I). I denne forbindelse, etter montering, oppsto de såkalte initiale (eller monterings-) spenningene i stengene. La oss definere disse påkjenningene.

La oss anta at etter installasjonen av strukturen har bunnplaten tatt posisjonen vist i fig. 30.2, men med en stiplet linje, dvs. at under installasjonen ble alle stengene forlenget, og derfor er de alle strukket.

La oss tegne et snitt gjennom stengene (fig. 30.2, o) og tegne opp likevektsforholdene for den nedre (avskårne) delen av strukturen (fig. 30.2, b):

a) summen av projeksjonene av krefter på vertikalen

b) summen av kreftene i forhold til nedre venstre hengsel A

Ligning (61.2) viser at kreftene i den andre og tredje staven har forskjellige fortegn, det vil si at en av dem strekkes og den andre komprimeres.

Derfor er antagelsen om at alle stenger er strukket feil; det forenkler imidlertid ytterligere resonnement og introduserer ikke feil i beregningsresultatene.

De to likevektslikningene (60.2) og (61.2) inkluderer tre ukjente krefter. Følgelig er konstruksjonen under vurdering en gang statisk ubestemt.

For å kompilere en ekstra ligning, vurder forlengelsen av stengene under installasjonen. La oss betegne forlengelsene til henholdsvis den første, andre og tredje stangen (fig. 30.2, a). Basert på antakelsen om absolutt stivhet av platene, konkluderer vi med at alle tre nedre hengsler er plassert på samme rette linje. Dette lar oss komponere for lignende trekanter ACE og BCD (fig. 30.2, a) følgende forhold: