Løsning av differensialligninger. Takket være vår online tjeneste du kan løse differensialligninger av enhver type og kompleksitet: inhomogene, homogene, ikke-lineære, lineære, første, andre orden, med eller uten separerbare variabler, etc. Du får løsningen av differensialligninger i analytisk form med Detaljert beskrivelse. Mange er interessert i: hvorfor er det nødvendig å løse differensialligninger på nett? Denne typen ligninger er svært vanlig i matematikk og fysikk, hvor det vil være umulig å løse mange problemer uten å beregne differensialligningen. Også differensialligninger er vanlige innen økonomi, medisin, biologi, kjemi og andre vitenskaper. Å løse en slik ligning på nett letter i stor grad oppgavene dine, gjør det mulig å bedre forstå materialet og teste deg selv. Fordeler med å løse differensialligninger online. En moderne matematisk tjenesteside lar deg løse differensialligninger online av enhver kompleksitet. Som du vet, er det et stort antall typer differensialligninger, og hver av dem har sine egne løsninger. På vår tjeneste kan du finne løsningen av differensialligninger av enhver rekkefølge og type online. For å få en løsning foreslår vi at du fyller inn de første dataene og klikker på "Løsning"-knappen. Feil i driften av tjenesten er utelukket, så du kan være 100 % sikker på at du har fått riktig svar. Løs differensialligninger med vår tjeneste. Løs differensialligninger online. Som standard, i en slik ligning, er y-funksjonen en funksjon av x-variabelen. Men du kan også angi din egen variabelbetegnelse. For eksempel, hvis du spesifiserer y(t) i en differensialligning, vil vår tjeneste automatisk bestemme at y er en funksjon av t-variabelen. Rekkefølgen til hele differensialligningen vil avhenge av den maksimale rekkefølgen av den deriverte av funksjonen som er tilstede i ligningen. Å løse en slik ligning betyr å finne den nødvendige funksjonen. Vår tjeneste vil hjelpe deg med å løse differensialligninger online. Det krever ikke mye innsats fra din side for å løse ligningen. Du trenger bare å skrive inn venstre og høyre del av ligningen din i de nødvendige feltene og klikke på "Løsning"-knappen. Når du skriver inn den deriverte av en funksjon, er det nødvendig å betegne den med en apostrof. I løpet av sekunder vil du ha detaljert løsning differensial ligning. Vår tjeneste er helt gratis. Differensiallikninger med delte variabler. Hvis det i en differensialligning på venstre side er et uttrykk som er avhengig av y, og på høyre side er det et uttrykk som er avhengig av x, så kalles en slik differensialligning med separerbare variabler. På venstre side kan det være en derivert av y, løsningen av differensialligninger av denne typen vil være i form av en funksjon av y, uttrykt gjennom integralet til høyre side av ligningen. Hvis det er en differensial av en funksjon av y på venstre side, er begge deler av ligningen integrert. Når variablene i en differensialligning ikke er separert, må de deles for å få en separert differensialligning. Lineær differensialligning. En differensialligning kalles lineær hvis funksjonen og alle dens deriverte er i første grad. Generell form for ligningen: y'+a1(x)y=f(x). f(x) og a1(x) er kontinuerlige funksjoner av x. Løsningen av differensialligninger av denne typen er redusert til integrasjon av to differensialligninger med separerte variabler. Rekkefølgen av differensialligningen. Differensialligningen kan være av første, andre, n-te orden. Rekkefølgen til en differensialligning bestemmer rekkefølgen til den høyeste deriverte som finnes i den. I vår tjeneste kan du løse online differensialligninger av den første, andre, tredje osv. rekkefølge. Løsningen til ligningen vil være en hvilken som helst funksjon y=f(x), som erstatter den i ligningen, du vil få en identitet. Prosessen med å finne en løsning på en differensialligning kalles integrasjon. Cauchy problem. Hvis startbetingelsen y(x0)=y0 i tillegg til selve differensialligningen er spesifisert, kalles dette Cauchy-problemet. Indikatorene y0 og x0 legges til løsningen av ligningen og verdien av en vilkårlig konstant C bestemmes, og deretter en spesiell løsning av ligningen for denne verdien av C. Dette er løsningen av Cauchy-problemet. Cauchy-problemet kalles også et problem med randbetingelser, som er svært vanlig i fysikk og mekanikk. Du har også muligheten til å sette Cauchy-problemet, det vil si fra alle mulige løsninger på ligningen, velg en spesiell som oppfyller de gitte startbetingelsene.

Løsningen av ulike geometriske, fysiske og tekniske problemer fører ofte til ligninger som relaterer uavhengige variabler som karakteriserer et bestemt problem med en eller annen funksjon av disse variablene og deriverte av denne funksjonen av forskjellige rekkefølger.

Som et eksempel kan vi vurdere det enkleste tilfellet med jevnt akselerert bevegelse av et materialpunkt.

Det er kjent at forskyvningen av et materialpunkt under jevnt akselerert bevegelse er en funksjon av tid og uttrykkes med formelen:

I sin tur akselerasjonen en er tidsderivatet t fra fart V, som også er et derivat med hensyn til tid t fra å flytte S. De.

Da får vi:
- ligningen relaterer funksjonen f(t) til den uavhengige variabelen t og den andreordens deriverte av funksjonen f(t).

Definisjon. differensial ligning kalt en ligning som relaterer uavhengige variabler, deres funksjoner og deriverte (eller differensialer) av denne funksjonen.

Definisjon. Hvis en differensialligning har én uavhengig variabel, kalles den ordinær differensialligning , hvis det er to eller flere uavhengige variabler, kalles en slik differensialligning partiell differensialligning.

Definisjon. Den høyeste rekkefølgen av deriverte i en ligning kalles rekkefølgen av differensialligningen .

Eksempel.

- ordinær differensialligning av 1. orden. Generelt er det skrevet
.

- ordinær differensialligning av 2. orden. Generelt er det skrevet

- differensialligning i partielle deriverte av første orden.

Definisjon. Generell løsning differensialligning er en slik differensierbar funksjon y = (x, C), som, når den erstattes med den opprinnelige ligningen i stedet for en ukjent funksjon, gjør ligningen til en identitet

Egenskaper til den generelle løsningen.

1) Fordi Siden konstanten C er en vilkårlig verdi, har differensialligningen generelt et uendelig antall løsninger.

2) Under alle startforhold x \u003d x 0, y (x 0) \u003d y 0, er det en slik verdi C \u003d C 0 som løsningen av differensialligningen er funksjonen y \u003d  (x, C 0).

Definisjon. En løsning av formen y \u003d  (x, C 0) kalles privat avgjørelse differensial ligning.

Definisjon. Cauchy problem (Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - fransk matematiker) kalles å finne en bestemt løsning på en differensialligning av formen y \u003d  (x, C 0) som tilfredsstiller startbetingelsene y (x 0) \u003d y 0 .

Cauchys teorem. (teorem om eksistensen og unikheten til løsningen av differensialligningen av 1. orden)

Hvis funksjonenf(x, y) er kontinuerlig i noen domeneDi flyXOYog har en kontinuerlig partiell derivat i denne regionen
, uansett hva poenget er (x 0 , y 0 ) i området tilD, det er bare én løsning
ligninger
, definert i et eller annet intervall som inneholder punktet x 0 , aksepterer ved x = x 0 betydning (X 0 ) = y 0 , dvs. det er en unik løsning på differensialligningen.

Definisjon. integrert differensialligning er enhver ligning som ikke inneholder derivater, som denne differensialligningen er en konsekvens for.

Eksempel. Finn den generelle løsningen av differensialligningen
.

Felles vedtak differensialligning søkes ved å integrere venstre og høyre del av ligningen, som foreløpig transformeres som følger:

La oss nå integrere:

er den generelle løsningen av den opprinnelige differensialligningen.

Anta at noen startbetingelser er gitt: x 0 = 1; y 0 = 2, så har vi

Ved å erstatte den oppnådde verdien av konstanten i den generelle løsningen, får vi en spesiell løsning for gitte startbetingelser (løsningen av Cauchy-problemet).

Definisjon. integrert kurve grafen y = (x) til løsningen av en differensialligning på XOY-planet kalles.

Definisjon. særskilt vedtak av en differensialligning er en slik løsning, på alle punkter som Cauchy-unikthetstilstanden kalles (jf. Cauchys teorem.) er ikke fornøyd, dvs. i et nabolag til et punkt (x, y) er det minst to integralkurver.

Entallsløsningene er ikke avhengige av konstanten C.

Spesielle løsninger kan ikke oppnås fra den generelle løsningen for noen verdier av konstanten C. Hvis vi konstruerer en familie av integralkurver for en differensialligning, vil den spesielle løsningen representeres av en linje som berører minst en integralkurve ved hvert av sine punkter.

Merk at ikke hver differensialligning har entallsløsninger.

Eksempel. Finn den generelle løsningen av differensialligningen:
Finn en spesiell løsning hvis den finnes.

Denne differensialligningen har også en spesiell løsning på= 0. Denne løsningen kan ikke oppnås fra den generelle, men når vi substituerer inn i den opprinnelige ligningen, får vi en identitet. mener at løsningen y = 0 kan fås fra den generelle løsningen for FRA 1 = 0 feil, fordi C 1 = e C  0.

Utdanningsinstitusjon "Hviterussisk stat

landbruksakademi"

Institutt for høyere matematikk

FØRSTE ORDENS DIFFERENSIALLIGNINGER

Forelesningsoppsummering for regnskapsstudenter

korrespondanseform for utdanning (NISPO)

Gorki, 2013

Første ordens differensialligninger

Konseptet med en differensialligning. Generelle og spesielle løsninger

Når man studerer ulike fenomener, er det ofte ikke mulig å finne en lov som direkte forbinder den uavhengige variabelen og den ønskede funksjonen, men det er mulig å etablere en sammenheng mellom den ønskede funksjonen og dens deriverte.

Relasjonen som forbinder den uavhengige variabelen, den ønskede funksjonen og dens deriverte kalles differensial ligning :

Her x er en uavhengig variabel, y er ønsket funksjon,
er derivatene av den ønskede funksjonen. I dette tilfellet krever relasjon (1) tilstedeværelsen av minst én derivat.

Rekkefølgen av differensialligningen er rekkefølgen til den høyeste deriverte i ligningen.

Tenk på differensialligningen

. (2)

Siden denne ligningen inkluderer en derivert av bare første orden, kalles den er en førsteordens differensialligning.

Hvis ligning (2) kan løses med hensyn til den deriverte og skrives som

, (3)

da kalles en slik ligning en førsteordens differensialligning i normalform.

I mange tilfeller er det hensiktsmessig å vurdere en formlikning

som kalles en førsteordens differensialligning skrevet i differensialform.

Fordi
, så kan ligning (3) skrives som
eller
, hvor man kan telle
og
. Dette betyr at ligning (3) er konvertert til ligning (4).

Vi skriver likning (4) i skjemaet
. Deretter
,
,
, hvor man kan telle
, dvs. en ligning av formen (3) oppnås. Dermed er ligningene (3) og (4) likeverdige.

Ved å løse differensialligningen (2) eller (3) en hvilken som helst funksjon kalles
, som, når du erstatter det med ligning (2) eller (3), gjør det til en identitet:

eller
.

Prosessen med å finne alle løsninger av en differensialligning kalles dens integrering , og løsningsgrafen
differensialligning kalles integrert kurve denne ligningen.

Hvis løsningen av differensialligningen er oppnådd i implisitt form
, da heter det integrert gitt differensialligning.

Generell løsning differensialligning av første orden er en familie av funksjoner av formen
, avhengig av en vilkårlig konstant FRA, som hver er en løsning av den gitte differensialligningen for enhver tillatt verdi av en vilkårlig konstant FRA. Dermed har differensialligningen et uendelig antall løsninger.

Privat avgjørelse differensialligning kalles løsningen oppnådd fra den generelle løsningsformelen for en spesifikk verdi av en vilkårlig konstant FRA, gjelder også
.

Cauchy-problemet og dets geometriske tolkning

Ligning (2) har et uendelig antall løsninger. For å skille ut én løsning fra dette settet, som kalles en bestemt løsning, må noen tilleggsbetingelser spesifiseres.

Problemet med å finne en bestemt løsning på ligning (2) under gitte forhold kalles Cauchy problem . Dette problemet er et av de viktigste i teorien om differensialligninger.

Cauchy-problemet er formulert som følger: blant alle løsninger av ligning (2) finne en slik løsning
, der funksjonen
tar en gitt numerisk verdi hvis den uavhengige variabelen x tar en gitt numerisk verdi , dvs.

,
, (5)

hvor D er funksjonens domene
.

Betydning kalt startverdien til funksjonen , a – startverdien til den uavhengige variabelen . Tilstand (5) kalles innledende tilstand eller Cauchy tilstand .

Fra et geometrisk synspunkt kan Cauchy-problemet for differensialligning (2) formuleres som følger: fra settet med integralkurver av ligning (2) velg den som går gjennom et gitt punkt
.

Differensialligninger med separerbare variabler

En av de enkleste typene differensialligninger er en førsteordens differensialligning som ikke inneholder den ønskede funksjonen:

. (6)

Gitt at
, skriver vi ligningen i skjemaet
eller
. Ved å integrere begge sider av den siste ligningen får vi:
eller

. (7)

Dermed er (7) en generell løsning på ligning (6).

Eksempel 1 . Finn den generelle løsningen av differensialligningen
.

Løsning . Vi skriver ligningen i skjemaet
eller
. Vi integrerer begge deler av den resulterende ligningen:
,
. La oss endelig skrive ned
.

Eksempel 2 . Finn en løsning på ligningen
på betingelse av
.

Løsning . La oss finne den generelle løsningen av ligningen:
,
,
,
. Etter tilstand
,
. Erstatter i den generelle løsningen:
eller
. Vi erstatter den funnet verdien av en vilkårlig konstant i formelen for den generelle løsningen:
. Dette er den spesielle løsningen av differensialligningen som tilfredsstiller den gitte betingelsen.

Ligningen

(8)

kalt en førsteordens differensialligning som ikke inneholder en uavhengig variabel . Vi skriver det i skjemaet
eller
. Vi integrerer begge deler av den siste ligningen:
eller
- generell løsning av ligning (8).

Eksempel . Finn en generell løsning på ligningen
.

Løsning . Vi skriver denne ligningen i formen:
eller
. Deretter
,
,
,
. På denne måten,
er den generelle løsningen av denne ligningen.

Skriv ligning

(9)

integrert ved hjelp av separasjon av variabler. For å gjøre dette skriver vi ligningen i skjemaet
, og deretter, ved å bruke operasjonene multiplikasjon og divisjon, bringer vi det til en slik form at en del bare inkluderer funksjonen til X og differensial dx, og i den andre delen - en funksjon av på og differensial dy. For å gjøre dette må begge sider av ligningen multipliseres med dx og dele med
. Som et resultat får vi ligningen

, (10)

hvor variablene X og på separert. Vi integrerer begge deler av ligning (10):
. Den resulterende relasjonen er det generelle integralet til ligning (9).

Eksempel 3 . Integrer ligning
.

Løsning . Transformer ligningen og separer variablene:
,
. La oss integrere:
,
eller er det generelle integralet til denne ligningen.
.

La ligningen gis i formen

En slik ligning kalles førsteordens differensialligning med separerbare variabler i symmetrisk form.

For å skille variablene må begge sider av ligningen deles med
:

. (12)

Den resulterende ligningen kalles separert differensialligning . Vi integrerer ligning (12):

.(13)

Relasjon (13) er en generell integral av differensialligning (11).

Eksempel 4 . Integrer differensialligningen.

Løsning . Vi skriver ligningen i skjemaet

og dele begge deler inn i
,
. Den resulterende ligningen:
er en separert variabelligning. La oss integrere det:

,
,

,
. Den siste likheten er det generelle integralet til den gitte differensialligningen.

Eksempel 5 . Finn en bestemt løsning av en differensialligning
, som tilfredsstiller betingelsen
.

Løsning . Gitt at
, skriver vi ligningen i skjemaet
eller
. La oss skille variablene:
. La oss integrere denne ligningen:
,
,
. Den resulterende relasjonen er det generelle integralet til denne ligningen. Etter tilstand
. Bytt inn i det generelle integralet og finn FRA:
,FRA=1. Så uttrykket
er en spesiell løsning av den gitte differensialligningen, skrevet som et bestemt integral.

Lineære differensialligninger av første orden

Ligningen

(14)

kalt lineær differensialligning av første orden . ukjent funksjon
og dens deriverte legger inn denne ligningen lineært, og funksjonene
og
kontinuerlige.

Hvis en
, deretter ligningen

(15)

kalt lineær homogen . Hvis en
, så kalles ligning (14). lineær inhomogen .

For å finne en løsning på ligning (14) bruker man vanligvis erstatningsmetode (Bernoulli) , hvis essens er som følger.

Løsningen av ligning (14) vil bli søkt i form av et produkt av to funksjoner

, (16)

hvor
og
- noen kontinuerlige funksjoner. Erstatning
og derivat
inn i ligning (14):

Funksjon v vil bli valgt på en slik måte at betingelsen
. Deretter
. For å finne en løsning på ligning (14), er det derfor nødvendig å løse systemet med differensialligninger

Den første ligningen til systemet er en lineær homogen ligning og kan løses ved metoden for separasjon av variabler:
,
,
,
,
. Som en funksjon
man kan ta en av de spesielle løsningene til den homogene ligningen, dvs. på FRA=1:
. Bytt inn i den andre ligningen av systemet:
eller
.Deretter
. Dermed har den generelle løsningen av en førsteordens lineær differensialligning formen
.

Eksempel 6 . løse ligningen
.

Løsning . Vi vil søke løsningen av ligningen i skjemaet
. Deretter
. Bytt inn i ligningen:

eller
. Funksjon v velge på en slik måte at likestillingen
. Deretter
. Vi løser den første av disse ligningene ved hjelp av metoden for separasjon av variabler:
,
,
,
,. Funksjon v Bytt inn i den andre ligningen:
,
,
,
. Den generelle løsningen på denne ligningen er
.

Spørsmål for selvkontroll av kunnskap

Hva er en differensialligning?

Hva er rekkefølgen på en differensialligning?

Hvilken differensialligning kalles en førsteordens differensialligning?

Hvordan skrives en førsteordens differensialligning i differensialform?

Hva er løsningen av en differensialligning?

Hva er en integralkurve?

Hva er den generelle løsningen av en førsteordens differensialligning?

Hva er en spesiell løsning av en differensialligning?

Hvordan er Cauchy-problemet formulert for en førsteordens differensialligning?

Hva er den geometriske tolkningen av Cauchy-problemet?

Hvordan skrives en differensialligning med separerbare variabler i symmetrisk form?

Hvilken ligning kalles en førsteordens lineær differensialligning?

Hvilken metode kan brukes for å løse en førsteordens lineær differensialligning og hva er essensen av denne metoden?

Arbeidsoppgaver for selvstendig arbeid

Løs differensialligninger med separerbare variabler:

en)
; b)
;

i)
; G)
.

2. Løs førsteordens lineære differensialligninger:

en)
; b)
; i)
;

G)
; e)
.

En differensialligning er en ligning som inkluderer en funksjon og en eller flere av dens deriverte. I de fleste praktiske problemer er funksjoner fysiske mengder, tilsvarer derivatene endringshastighetene til disse mengdene, og ligningen bestemmer forholdet mellom dem.

Denne artikkelen diskuterer metoder for å løse noen typer vanlige differensialligninger, hvis løsninger kan skrives i formen elementære funksjoner, det vil si polynomiske, eksponentielle, logaritmiske og trigonometriske funksjoner, samt deres inverse funksjoner. Mange av disse ligningene forekommer i det virkelige liv, selv om de fleste andre differensialligninger ikke kan løses med disse metodene, og for dem er svaret skrevet som spesielle funksjoner eller potensrekker, eller funnet ved numeriske metoder.

For å forstå denne artikkelen, må du kjenne til differensial- og integralregning, samt ha en viss forståelse av partielle derivater. Det anbefales også å kjenne til det grunnleggende om lineær algebra brukt på differensialligninger, spesielt andreordens differensialligninger, selv om kunnskap om differensial- og integralregning er tilstrekkelig for å løse dem.

Foreløpig informasjon

• Differensialligninger har en omfattende klassifisering. Denne artikkelen snakker om vanlige differensialligninger, det vil si om likninger som inkluderer en funksjon av én variabel og dens deriverte. Vanlige differensialligninger er mye lettere å forstå og løse enn partielle differensialligninger, som inkluderer funksjoner av flere variabler. Denne artikkelen tar ikke for seg partielle differensialligninger, siden metodene for å løse disse ligningene vanligvis bestemmes av deres spesifikke form.
  • Nedenfor er noen eksempler på vanlige differensialligninger.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Nedenfor er noen eksempler på partielle differensialligninger.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\delvis y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Rekkefølge differensialligningen bestemmes av rekkefølgen til den høyeste deriverte inkludert i denne ligningen. Den første av de ordinære differensialligningene ovenfor er av første orden, mens den andre er av andre orden. Grad av en differensialligning kalles den høyeste potensen som en av leddene i denne ligningen er hevet til.
  • For eksempel er ligningen nedenfor tredje orden og andre potens.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ høyre)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Differensialligningen er lineær differensialligning hvis funksjonen og alle dens deriverte er i første potens. Ellers er ligningen ikke-lineær differensialligning. Lineære differensialligninger er bemerkelsesverdige ved at lineære kombinasjoner kan lages fra deres løsninger, som også vil være løsninger på denne ligningen.
  • Nedenfor er noen eksempler på lineære differensialligninger.
  • Nedenfor er noen eksempler på ikke-lineære differensialligninger. Den første ligningen er ikke-lineær på grunn av sinusleddet.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \venstre((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\høyre)^(2)+tx^(2)=0)
• Felles vedtak ordinær differensialligning er ikke unik, den inkluderer vilkårlige integrasjonskonstanter. I de fleste tilfeller er antallet vilkårlige konstanter lik rekkefølgen av ligningen. I praksis bestemmes verdiene til disse konstantene av gitte Innledende forhold, det vil si ved verdiene til funksjonen og dens deriverte ved x = 0. (\displaystyle x=0.) Antall startbetingelser som er nødvendig for å finne privat avgjørelse differensialligning, er i de fleste tilfeller også lik rekkefølgen til denne ligningen.
  • For eksempel vil denne artikkelen se på å løse ligningen nedenfor. Dette er en lineær differensialligning av andre orden. Den generelle løsningen inneholder to vilkårlige konstanter. For å finne disse konstantene er det nødvendig å kjenne startbetingelsene ved x (0) (\displaystyle x(0)) og x′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Vanligvis er startbetingelsene gitt på punktet x = 0 , (\displaystyle x=0,), selv om dette ikke er nødvendig. Denne artikkelen vil også vurdere hvordan man kan finne spesielle løsninger for gitte startforhold.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2) )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Trinn

Del 1

Når du bruker denne tjenesten, kan noe informasjon overføres til YouTube.

1. Lineære ligninger av første orden. Denne delen diskuterer metoder for å løse lineære differensialligninger av første orden i generelle og spesielle tilfeller, når noen ledd er lik null. La oss late som det y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) og q (x) (\displaystyle q(x)) er funksjoner x . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) I følge en av hovedteoremene i matematisk analyse er integralet til den deriverte av en funksjon også en funksjon. Dermed er det nok å bare integrere ligningen for å finne løsningen. I dette tilfellet bør det tas i betraktning at når man beregner det ubestemte integralet, vises en vilkårlig konstant.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Vi bruker metoden separasjon av variabler. I dette tilfellet overføres ulike variabler til forskjellige sider ligninger. Du kan for eksempel overføre alle medlemmer fra y (\displaystyle y) til ett, og alle medlemmer med x (\displaystyle x) til den andre siden av ligningen. Medlemmer kan også flyttes d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) og d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), som er inkludert i avledede uttrykk, men det bør huskes at dette bare er en konvensjon, noe som er praktisk når man skiller en kompleks funksjon. En diskusjon av disse begrepene, som kalles differensialer, er utenfor rammen av denne artikkelen.

   • Først må du flytte variablene på motsatte sider av likhetstegnet.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Vi integrerer begge sider av ligningen. Etter integrasjon vises vilkårlige konstanter på begge sider, som kan overføres til høyre side ligninger.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Eksempel 1.1. På siste steg vi brukte regelen e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) og erstattet e C (\displaystyle e^(C)) på C (\displaystyle C), fordi det også er en vilkårlig integrasjonskonstant.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(justert)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) For å finne den generelle løsningen introduserte vi integrerende faktor som en funksjon av x (\displaystyle x)å redusere venstre side til en felles derivert og dermed løse ligningen.

   • Multipliser begge sider med μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • For å redusere venstre side til en vanlig derivert, må følgende transformasjoner gjøres:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Den siste likestillingen betyr det d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Dette er en integrerende faktor som er tilstrekkelig til å løse enhver førsteordens lineær ligning. Nå kan vi utlede en formel for å løse denne ligningen mht µ , (\displaystyle \mu ,) selv om det for trening er nyttig å gjøre alle mellomberegningene.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Eksempel 1.2. I dette eksemplet vurderer vi hvordan vi finner en bestemt løsning på en differensialligning med gitt Innledende forhold.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4) )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(justert)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Løse lineære ligninger av første orden (innspilt av Intuit - National Open University).

2. Ikke-lineære førsteordensligninger. I denne delen vurderes metoder for å løse noen ikke-lineære differensialligninger av første orden. Selv om det ikke finnes noen generell metode for å løse slike ligninger, kan noen av dem løses ved hjelp av metodene nedenfor.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Hvis funksjonen f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) kan deles inn i funksjoner av én variabel, en slik ligning kalles separerbar differensialligning. I dette tilfellet kan du bruke metoden ovenfor:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • Eksempel 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ begin(justert)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(justert)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y). (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) La oss late som det g (x, y) (\displaystyle g(x, y)) og h (x, y) (\displaystyle h(x, y)) er funksjoner x (\displaystyle x) og y . (\displaystyle y.) Deretter homogen differensialligning er en ligning der g (\displaystyle g) og h (\displaystyle h) er homogene funksjoner samme grad. Det vil si at funksjonene skal tilfredsstille betingelsen g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) hvor k (\displaystyle k) kalles graden av homogenitet. Enhver homogen differensialligning kan gis ved en passende endring av variabler (v = y / x (\displaystyle v=y/x) eller v = x / y (\displaystyle v=x/y)) for å konvertere til en ligning med separerbare variabler.

   • Eksempel 1.4. Beskrivelsen ovenfor av homogenitet kan virke uklar. La oss se på dette konseptet med et eksempel.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Til å begynne med bør det bemerkes at denne ligningen er ikke-lineær mht y . (\displaystyle y.) Vi ser også at det i dette tilfellet er umulig å skille variablene. Imidlertid er denne differensialligningen homogen, siden både teller og nevner er homogene med potensen 3. Derfor kan vi gjøre en endring av variabler v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Som et resultat har vi en ligning for v (\displaystyle v) med delte variabler.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) den Bernoullis differensialligning- en spesiell type ikke-lineær ligning av første grad, hvis løsning kan skrives ved hjelp av elementære funksjoner.

   • Multipliser begge sider av ligningen med (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Vi bruker differensieringsregelen til en kompleks funksjon på venstre side og transformerer likningen til en lineær likning mht. y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) som kan løses ved metodene ovenfor.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm) (d) )x))=0.) den ligning i totale forskjeller . Det er nødvendig å finne den såkalte potensiell funksjon φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), som tilfredsstiller betingelsen d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • For å oppfylle denne betingelsen er det nødvendig å ha totalt derivat. Den totale deriverte tar hensyn til avhengigheten av andre variabler. For å beregne den totale deriverte φ (\displaystyle \varphi ) på x , (\displaystyle x,) vi antar det y (\displaystyle y) kan også avhenge av x . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Sammenligning av termer gir oss M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) og N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Dette er et typisk resultat for ligninger med flere variabler, der de blandede deriverte av glatte funksjoner er like med hverandre. Noen ganger kalles denne saken Clairauts teorem. I dette tilfellet er differensialligningen en ligning i totale differensialer hvis følgende betingelse er oppfylt:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\delvis M)(\delvis y))=(\frac (\delvis N)(\delvis x)))
   • Metoden for å løse ligninger i totale differensialer ligner på å finne potensielle funksjoner i nærvær av flere deriverte, som vi kort skal diskutere. Først integrerer vi M (\displaystyle M) på x . (\displaystyle x.) Fordi det M (\displaystyle M) er en funksjon og x (\displaystyle x), og y , (\displaystyle y,) ved integrering får vi en ufullstendig funksjon φ , (\displaystyle \varphi ,) merket som φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Resultatet inkluderer også den avhengige av y (\displaystyle y) konstant av integrasjon.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Etter det, for å få c (y) (\displaystyle c(y)) du kan ta den partielle deriverte av den resulterende funksjonen med hensyn til y , (\displaystyle y,) sidestille resultatet N (x, y) (\displaystyle N(x, y)) og integrere. Man kan også integrere først N (\displaystyle N), og ta deretter den partielle deriverte med hensyn til x (\displaystyle x), som lar deg finne vilkårlig funksjon d(x). (\displaystyle d(x).) Begge metodene egner seg, og vanligvis velges den enklere funksjonen for integrasjon.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ delvis (\tilde (\varphi )))(\delvis y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Eksempel 1.5. Du kan ta partielle deriverte og verifisere at ligningen nedenfor er en total differensialligning.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial) \varphi )(\delvis y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(justert)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Hvis differensialligningen ikke er en total differensialligning, kan du i noen tilfeller finne en integreringsfaktor som lar deg konvertere den til en total differensialligning. Imidlertid brukes slike ligninger sjelden i praksis, og selv om den integrerende faktoren finnes, finner ut at det skjer ikke lett, så disse ligningene vurderes ikke i denne artikkelen.

Del 2

1. Homogene lineære differensialligninger med konstante koeffisienter. Disse ligningene er mye brukt i praksis, så løsningen deres er av største betydning. I dette tilfellet snakker vi ikke om homogene funksjoner, men om at det står 0 på høyre side av ligningen I neste avsnitt skal vi vise hvordan de tilsvarende heterogen differensiallikninger. Under a (\displaystyle a) og b (\displaystyle b) er konstanter.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Karakteristisk ligning. Denne differensialligningen er bemerkelsesverdig ved at den kan løses veldig enkelt hvis du legger merke til hvilke egenskaper løsningene bør ha. Det kan sees av ligningen at y (\displaystyle y) og dens derivater er proporsjonale med hverandre. Fra de foregående eksemplene, som ble vurdert i avsnittet om førsteordens ligninger, vet vi at bare eksponentialfunksjonen har denne egenskapen. Derfor er det mulig å legge frem ansatz(en utdannet gjetning) om hva løsningen til den gitte ligningen vil være.

   • Løsningen vil ha form av en eksponentiell funksjon e r x , (\displaystyle e^(rx),) hvor r (\displaystyle r) er en konstant hvis verdi skal finnes. Bytt denne funksjonen inn i ligningen og få følgende uttrykk
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Denne ligningen indikerer at produktet av en eksponentiell funksjon og et polynom må være null. Det er kjent at eksponenten ikke kan være lik null for noen verdier av graden. Derfor konkluderer vi med at polynomet er lik null. Dermed har vi redusert problemet med å løse en differensialligning til et mye enklere problem med å løse en algebraisk likning, som kalles den karakteristiske likningen for en gitt differensialligning.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Vi har to røtter. Siden denne differensialligningen er lineær, er dens generelle løsning en lineær kombinasjon av partielle løsninger. Siden dette er en andreordens ligning, vet vi at dette er egentlig generell løsning, og det er ingen andre. En strengere begrunnelse for dette ligger i teoremene om løsningens eksistens og unikhet, som finnes i lærebøker.
   • En nyttig måte å sjekke om to løsninger er lineært uavhengige er å beregne Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- dette er determinanten for matrisen, i kolonnene som det er funksjoner og deres påfølgende derivater. Den lineære algebra-teoremet sier at funksjonene i Wronskian er lineært avhengige hvis Wronskian er lik null. I denne delen kan vi teste om to løsninger er lineært uavhengige ved å sørge for at Wronskian er ikke-null. Wronskian er viktig for å løse ikke-homogene differensialligninger med konstante koeffisienter ved hjelp av parametervariasjonsmetoden.
     • w = | y 1 y 2 y 1 "y 2" | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Når det gjelder lineær algebra, dannes settet av alle løsninger av en gitt differensialligning vektorrom, hvis dimensjon er lik rekkefølgen til differensialligningen. I dette rommet kan man velge et grunnlag fra lineært uavhengig beslutninger fra hverandre. Dette er mulig på grunn av at funksjonen y (x) (\displaystyle y(x)) gyldig lineær operatør. Derivat er lineær operatør, siden den forvandler rommet til differensierbare funksjoner til rommet for alle funksjoner. Ligninger kalles homogene i tilfeller hvor for noen lineær operator L (\displaystyle L) det kreves å finne en løsning på ligningen L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   La oss nå gå til noen få konkrete eksempler. Tilfellet med multiple røtter av den karakteristiske ligningen vil bli vurdert litt senere, i avsnittet om ordrereduksjon.

   Hvis røttene r ± (\displaystyle r_(\pm )) er forskjellige reelle tall, har differensialligningen følgende løsning

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   To komplekse røtter. Det følger av algebras grunnleggende teorem at løsninger til polynomlikninger med reelle koeffisienter har røtter som er reelle eller danner konjugerte par. Derfor, hvis det komplekse tallet r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) er roten til den karakteristiske ligningen, da r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) er også roten til denne ligningen. Dermed kan løsningen skrives i form c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) Dette er imidlertid et komplekst tall og er uønsket for å løse praktiske problemer.

   • I stedet kan du bruke Euler formel e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), som lar deg skrive løsningen i form av trigonometriske funksjoner:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Nå kan du i stedet for konstant c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) skrive ned c 1 (\displaystyle c_(1)), og uttrykket i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) erstattet av c 2. (\displaystyle c_(2).) Etter det får vi følgende løsning:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • Det er en annen måte å skrive løsningen i form av amplitude og fase, som er bedre egnet for fysiske problemer.
   • Eksempel 2.1. La oss finne løsningen av differensialligningen gitt nedenfor med gitte startbetingelser. For dette er det nødvendig å ta den oppnådde løsningen, så vel som dens derivat, og erstatte dem med de opprinnelige betingelsene, som vil tillate oss å bestemme vilkårlige konstanter.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )Jeg)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\venstre(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(justert)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Løse differensialligninger av n. orden med konstante koeffisienter (registrert av Intuit - National Open University).

2. Nedgraderer rekkefølge. Ordreduksjon er en metode for å løse differensialligninger når én lineært uavhengig løsning er kjent. Denne metoden består i å senke rekkefølgen på ligningen med én, noe som gjør at ligningen kan løses ved hjelp av metodene beskrevet i forrige avsnitt. La løsningen bli kjent. Hovedideen med å senke rekkefølgen er å finne en løsning i skjemaet nedenfor, der det er nødvendig å definere funksjonen v (x) (\displaystyle v(x)), erstatte den i differensialligningen og finne v(x). (\displaystyle v(x).) La oss vurdere hvordan ordensreduksjon kan brukes til å løse en differensialligning med konstante koeffisienter og multiple røtter.

   
   

   Flere røtter homogen differensialligning med konstante koeffisienter. Husk at en annenordens ligning må ha to lineært uavhengige løsninger. Hvis den karakteristiske ligningen har flere røtter, settet med løsninger ikke danner et rom siden disse løsningene er lineært avhengige. I dette tilfellet må ordrereduksjon brukes for å finne en andre lineært uavhengig løsning.

   • La den karakteristiske ligningen ha flere røtter r (\displaystyle r). Vi antar at den andre løsningen kan skrives som y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), og erstatte det i differensialligningen. I dette tilfellet, de fleste av begrepene, med unntak av begrepet med den andre deriverte av funksjonen v , (\displaystyle v,) vil bli redusert.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Eksempel 2.2. Gitt følgende ligning, som har flere røtter r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Ved erstatning kanselleres de fleste vilkårene.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(justert)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned) )v""e^(-4x)&-(\avbryt (8v"e^(-4x)))+(\avbryt (16ve^(-4x)))\\&+(\avbryt (8v"e ^(-4x)))-(\avbryt (32ve^(-4x)))+(\avbryt (16ve^(-4x)))=0\end(justert)))
   • Som vår ansatz for en differensialligning med konstante koeffisienter, i dette tilfellet kan bare den andre deriverte være lik null. Vi integrerer to ganger og får ønsket uttrykk for v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Da kan den generelle løsningen av en differensialligning med konstante koeffisienter, hvis den karakteristiske ligningen har flere røtter, skrives på følgende form. For enkelhets skyld kan du huske at for å oppnå lineær uavhengighet, er det nok å multiplisere det andre leddet med x (\displaystyle x). Dette settet med løsninger er lineært uavhengig, og dermed har vi funnet alle løsninger på denne ligningen.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Ordreduksjon er aktuelt dersom løsningen er kjent y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), som kan finnes eller oppgis i problemformuleringen.

   • Vi ser etter en løsning i form y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) og koble den inn i denne ligningen:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Fordi det y 1 (\displaystyle y_(1)) er en løsning på differensialligningen, alle ledd med v (\displaystyle v) krymper. Som et resultat gjenstår det første ordens lineær ligning. For å se dette tydeligere, la oss endre variablene w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Hvis integralene kan beregnes, får vi den generelle løsningen som en kombinasjon av elementære funksjoner. Ellers kan løsningen stå i integrert form.

3. Cauchy-Euler ligning. Cauchy-Euler-ligningen er et eksempel på en annenordens differensialligning med variabler koeffisienter, som har eksakte løsninger. Denne ligningen brukes i praksis for eksempel for å løse Laplace-ligningen i sfæriske koordinater.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Karakteristisk ligning. Som du kan se, i denne differensialligningen, inneholder hvert ledd en potensfaktor, hvis grad er lik rekkefølgen til den tilsvarende deriverte.

   • Dermed kan man prøve å lete etter en løsning i skjemaet y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) hvor du skal definere n (\displaystyle n), akkurat som vi lette etter en løsning i form av en eksponentiell funksjon for en lineær differensialligning med konstante koeffisienter. Etter differensiering og substitusjon får vi
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • For å bruke den karakteristiske ligningen må vi anta det x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Punktum x = 0 (\displaystyle x=0) kalt vanlig entallspunkt differensial ligning. Slike punkter er viktige når man skal løse differensialligninger ved hjelp av potensrekker. Denne ligningen har to røtter, som kan være forskjellige og reelle, multiple eller komplekse konjugater.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   To forskjellige virkelige røtter. Hvis røttene n ± (\displaystyle n_(\pm )) er reelle og forskjellige, så har løsningen av differensialligningen følgende form:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   To komplekse røtter. Hvis den karakteristiske ligningen har røtter n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), er løsningen en kompleks funksjon.

   • For å transformere løsningen til en reell funksjon, gjør vi en endring av variabler x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) det er t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) og bruk Euler-formelen. Lignende handlinger ble utført tidligere ved definering av vilkårlige konstanter.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Da kan den generelle løsningen skrives som
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Flere røtter. For å oppnå en andre lineært uavhengig løsning, er det nødvendig å redusere bestillingen igjen.

   • Det krever ganske mye beregning, men prinsippet er det samme: vi erstatter y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) inn i en ligning hvis første løsning er y 1 (\displaystyle y_(1)). Etter reduksjoner oppnås følgende ligning:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Dette er en førsteordens lineær ligning mht v′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Løsningen hans er v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Dermed kan løsningen skrives i følgende form. Det er ganske enkelt å huske - for å få den andre lineært uavhengige løsningen trenger du bare en ekstra term med ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Inhomogene lineære differensialligninger med konstante koeffisienter. Ikke-homogene ligninger har formen L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) hvor f (x) (\displaystyle f(x))- såkalte gratis medlem. I følge teorien om differensialligninger er den generelle løsningen av denne ligningen en superposisjon privat avgjørelse y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) og tilleggsløsning yc(x). (\displaystyle y_(c)(x).) Men i dette tilfellet betyr en bestemt løsning ikke en løsning gitt av startbetingelsene, men snarere en løsning som skyldes tilstedeværelsen av inhomogenitet (fri sikt). Et tilleggsvedtak er vedtaket til den tilsvarende homogen ligning, hvori f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Den generelle løsningen er en superposisjon av disse to løsningene, fordi L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), og siden L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) en slik superposisjon er faktisk en generell løsning.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Metode for ubestemte koeffisienter. Metoden med ubestemte koeffisienter brukes i tilfeller der frileddet er en kombinasjon av eksponentielle, trigonometriske, hyperbolske eller potensfunksjoner. Bare disse funksjonene er garantert å ha et begrenset antall lineært uavhengige derivater. I denne delen vil vi finne en spesiell løsning på ligningen.

   • Sammenlign begrepene i f (x) (\displaystyle f(x)) med termer i å ignorere konstante faktorer. Tre tilfeller er mulige.
     • Det er ingen identiske medlemmer. I dette tilfellet en spesiell løsning y p (\displaystyle y_(p)) vil være en lineær kombinasjon av begreper fra y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) inneholder medlem x n (\displaystyle x^(n)) og et medlem fra y c , (\displaystyle y_(c),) hvor n (\displaystyle n) er null eller et positivt heltall, og dette leddet tilsvarer en enkelt rot av den karakteristiske ligningen. I dette tilfellet y p (\displaystyle y_(p)) vil bestå av en kombinasjon av funksjonen x n + 1 t (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) dets lineært uavhengige derivater, så vel som andre termer f (x) (\displaystyle f(x)) og deres lineært uavhengige derivater.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) inneholder medlem h (x) , (\displaystyle h(x),) som er et verk x n (\displaystyle x^(n)) og et medlem fra y c , (\displaystyle y_(c),) hvor n (\displaystyle n) er lik 0 eller et positivt heltall, og dette leddet tilsvarer flere roten til den karakteristiske ligningen. I dette tilfellet y p (\displaystyle y_(p)) er en lineær kombinasjon av funksjonen x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(hvor s (\displaystyle s)- multiplisitet av roten) og dens lineært uavhengige derivater, så vel som andre medlemmer av funksjonen f (x) (\displaystyle f(x)) og dens lineært uavhengige derivater.
   • La oss skrive ned y p (\displaystyle y_(p)) som en lineær kombinasjon av begrepene ovenfor. Takket være disse koeffisientene i en lineær kombinasjon denne metoden kalt metoden for ubestemte koeffisienter. Ved utseendet til de som er inneholdt i y c (\displaystyle y_(c)) medlemmene deres kan forkastes på grunn av tilstedeværelsen av vilkårlige konstanter i y c. (\displaystyle y_(c).) Etter det bytter vi y p (\displaystyle y_(p)) inn i en ligning og sette likhetstegn mellom lignende termer.
   • Vi bestemmer koeffisientene. På dette stadiet det viser seg systemet algebraiske ligninger, som vanligvis kan løses uten problemer. Løsningen av dette systemet gjør det mulig å skaffe y p (\displaystyle y_(p)) og dermed løse ligningen.
   • Eksempel 2.3. Tenk på en inhomogen differensialligning hvis frie ledd inneholder et begrenset antall lineært uavhengige derivater. En spesiell løsning av en slik ligning kan bli funnet ved metoden med ubestemte koeffisienter.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(justert)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ end(cases)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Lagrange-metoden. Lagrange-metoden, eller metoden for variasjon av vilkårlige konstanter, er en mer generell metode for å løse inhomogene differensialligninger, spesielt i tilfeller der frileddet ikke inneholder et begrenset antall lineært uavhengige deriverte. For eksempel med gratis medlemmer tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) eller x − n (\displaystyle x^(-n)) for å finne en bestemt løsning er det nødvendig å bruke Lagrange-metoden. Lagrange-metoden kan til og med brukes til å løse differensialligninger med variable koeffisienter, men i dette tilfellet, med unntak av Cauchy-Euler-ligningen, brukes den sjeldnere, siden tilleggsløsningen vanligvis ikke uttrykkes i form av elementære funksjoner.

   • La oss anta at løsningen har følgende form. Dens deriverte er gitt i den andre linjen.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Siden den foreslåtte løsningen inneholder to ukjente mengder, er det nødvendig å pålegge ytterligere tilstand. Vi velger denne tilleggsbetingelsen i følgende form:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Nå kan vi få den andre ligningen. Etter å ha erstattet og omfordelt medlemmer, kan du gruppere medlemmer med v 1 (\displaystyle v_(1)) og medlemmer fra v 2 (\displaystyle v_(2)). Disse vilkårene er kansellert pga y 1 (\displaystyle y_(1)) og y 2 (\displaystyle y_(2)) er løsninger av den tilsvarende homogene ligningen. Som et resultat får vi følgende ligningssystem
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(justert)))
   • Dette systemet kan transformeres til en matriseligning av formen A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) hvis løsning er x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) For matrise 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) invers matrise er funnet ved å dele med determinanten, permutere de diagonale elementene og endre fortegnet til de off-diagonale elementene. Faktisk er determinanten for denne matrisen en Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Uttrykk for v 1 (\displaystyle v_(1)) og v 2 (\displaystyle v_(2)) er oppført nedenfor. Som i ordensreduksjonsmetoden, vises i dette tilfellet en vilkårlig konstant under integrasjon, som inkluderer en tilleggsløsning i den generelle løsningen av differensialligningen.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Forelesning av National Open University Intuit med tittelen "Lineære differensialligninger av n-te orden med konstante koeffisienter".

Praktisk bruk

Differensialligninger etablerer en sammenheng mellom en funksjon og en eller flere av dens deriverte. Siden slike sammenhenger er så vanlige, har differensialligninger funnet bred anvendelse i en lang rekke områder, og siden vi lever i fire dimensjoner, er disse ligningene ofte differensialligninger i privat derivater. Denne delen diskuterer noen av de viktigste ligningene av denne typen.

• Eksponentiell vekst og forfall. radioaktivt forfall. Sammensatt rente. Hastighet kjemiske reaksjoner. Konsentrasjonen av narkotika i blodet. Ubegrenset befolkningsvekst. Newton-Richmanns lov. PÅ virkelige verden det er mange systemer der vekst eller forfall til enhver tid er proporsjonal med mengden på det tidspunktet, eller kan tilnærmes godt av en modell. Dette er fordi løsningen på denne differensialligningen, eksponentialfunksjonen, er en av de viktigste funksjonene i matematikk og andre vitenskaper. Mer generelt, under kontrollert befolkningsvekst, kan systemet inkludere ytterligere vilkår som begrenser veksten. I ligningen nedenfor er konstanten k (\displaystyle k) kan enten være større eller mindre enn null.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Harmoniske vibrasjoner. I både klassisk og kvantemekanikk er den harmoniske oscillatoren et av de viktigste fysiske systemene på grunn av sin enkelhet og utbredt brukå tilnærme mer komplekse systemer som en enkel pendel. I klassisk mekanikk harmoniske vibrasjoner beskrives av en ligning som relaterer posisjonen til et materialpunkt til dets akselerasjon gjennom Hookes lov. I dette tilfellet kan det også tas hensyn til demping og drivkrefter. I uttrykket nedenfor x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- tidsavledet av x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta ) er en parameter som beskriver dempekraften, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- vinkelfrekvensen til systemet, F (t) (\displaystyle F(t)) er en tidsavhengig drivkraft. Harmonisk oscillator det er også til stede i elektromagnetiske oscillerende kretser, hvor det kan implementeres med større nøyaktighet enn i mekaniske systemer.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Bessel ligning. Bessel-differensialligningen brukes i mange områder av fysikk, inkludert løsningen av bølgeligningen, Laplace-ligningen og Schrödinger-ligningen, spesielt i nærvær av sylindrisk eller sfærisk symmetri. Denne andreordens differensialligningen med variable koeffisienter er ikke en Cauchy-Euler-ligning, så løsningene kan ikke skrives som elementære funksjoner. Løsningene til Bessel-ligningen er Bessel-funksjonene, som er godt studert på grunn av at de brukes på mange områder. I uttrykket nedenfor α (\displaystyle \alpha ) er en konstant som matcher rekkefølge Bessel funksjoner.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Maxwells ligninger. Sammen med Lorentz-kraften danner Maxwells ligninger grunnlaget for klassisk elektrodynamikk. Dette er fire partielle differensialligninger for det elektriske E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) og magnetisk B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) Enger. I uttrykkene nedenfor ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- ladningstetthet, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) er strømtettheten, og ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) og μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) er henholdsvis de elektriske og magnetiske konstantene.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\nabla(justert) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Schrödinger-ligningen. I kvantemekanikk er Schrödinger-ligningen den grunnleggende bevegelsesligningen som beskriver bevegelsen til partikler i samsvar med endringen i bølgefunksjonen Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) med tiden. Bevegelsesligningen beskrives av atferden Hamiltonian H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - operatør, som beskriver energien til systemet. Et av de velkjente eksemplene på Schrödinger-ligningen i fysikk er ligningen for en ikke-relativistisk partikkel, som er utsatt for potensialet V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Mange systemer er beskrevet av den tidsavhengige Schrödinger-ligningen, med ligningen på venstre side E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) hvor E (\displaystyle E) er energien til partikkelen. I uttrykkene nedenfor ℏ (\displaystyle \hbar ) er den reduserte Planck-konstanten.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\venstre(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• bølgeligning. Det er umulig å forestille seg fysikk og teknologi uten bølger, de finnes i alle typer systemer. Generelt er bølger beskrevet av ligningen nedenfor, der u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) er ønsket funksjon, og c (\displaystyle c)- eksperimentelt bestemt konstant. d'Alembert var den første som oppdaget at for det endimensjonale tilfellet er løsningen på bølgeligningen noen funksjon med argument x − c t (\displaystyle x-ct), som beskriver en vilkårlig bølge som forplanter seg til høyre. Den generelle løsningen for endimensjonale tilfelle er en lineær kombinasjon av denne funksjonen med en andre funksjon med et argument x + c t (\displaystyle x+ct), som beskriver en bølge som forplanter seg til venstre. Denne løsningen presenteres i andre linje.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stokes ligninger. Navier-Stokes-ligningene beskriver bevegelsen til væsker. Siden væsker er til stede i praktisk talt alle felt innen vitenskap og teknologi, er disse ligningene ekstremt viktige for værprediksjon, flydesign, havstrømmer og mange andre bruksområder. Navier-Stokes-ligningene er ikke-lineære partielle differensialligninger, og i de fleste tilfeller er det svært vanskelig å løse dem, siden ikke-lineariteten fører til turbulens, og for å oppnå en stabil løsning med numeriske metoder, partisjonering i svært små celler er nødvendig, noe som krever betydelig datakraft. For praktiske formål innen hydrodynamikk brukes metoder som tidsgjennomsnitt for å modellere turbulente strømninger. Enda mer grunnleggende spørsmål, som eksistensen og unikheten til løsninger for ikke-lineære partielle differensialligninger, er komplekse problemer, og å bevise eksistensen og unikheten til løsninger for Navier-Stokes-ligningene i tre dimensjoner er blant de matematiske problemene i årtusenet. . Nedenfor er ligningen for inkompressibel væskestrøm og kontinuitetsligningen.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u))) )(\delvis t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Mange differensialligninger kan ganske enkelt ikke løses med metodene ovenfor, spesielt de som er nevnt i den siste delen. Dette gjelder når ligningen inneholder variable koeffisienter og ikke er en Cauchy-Euler-ligning, eller når ligningen er ikke-lineær, bortsett fra i noen få svært sjeldne tilfeller. Metodene ovenfor lar deg imidlertid løse mange viktige differensialligninger som ofte støtes på i ulike vitenskapsfelt.
• I motsetning til differensiering, som lar deg finne den deriverte av enhver funksjon, kan integralet til mange uttrykk ikke uttrykkes i elementære funksjoner. Kast derfor ikke bort tid på å prøve å beregne integralet der det er umulig. Se på tabellen over integraler. Hvis løsningen av en differensialligning ikke kan uttrykkes i form av elementære funksjoner, kan den noen ganger representeres i integralform, og i dette tilfellet spiller det ingen rolle om dette integralet kan beregnes analytisk.

Advarsler

• Utseende differensialligning kan være misvisende. Nedenfor er for eksempel to førsteordens differensialligninger. Den første ligningen løses enkelt ved å bruke metodene beskrevet i denne artikkelen. Ved første øyekast en liten endring y (\displaystyle y) på y 2 (\displaystyle y^(2)) i den andre ligningen gjør den ikke-lineær og blir svært vanskelig å løse.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))