vektor(eller lineær) rom- en matematisk struktur, som er et sett med elementer, kalt vektorer, for hvilke operasjoner med addisjon til hverandre og multiplikasjon med et tall - en skalar er definert. Disse operasjonene er underlagt åtte aksiomer. Skalarer kan være elementer i et reelt, komplekst eller et hvilket som helst annet tallfelt. Et spesielt tilfelle av et slikt rom er det vanlige tredimensjonale euklidiske rommet, hvis vektorer for eksempel brukes til å representere fysiske krefter. Det skal bemerkes at en vektor, som et element i et vektorrom, ikke trenger å spesifiseres som et rettet segment. Generaliseringen av begrepet "vektor" til et element i et vektorrom av enhver art forårsaker ikke bare forvirring av termer, men lar oss også forstå eller til og med forutse en rekke resultater som er gyldige for rom av vilkårlig natur .

Vektorrom er gjenstand for studier i lineær algebra. En av hovedkarakteristikkene til et vektorrom er dimensjonen. Dimensjonen er det maksimale antallet lineært uavhengige elementer i rommet, det vil si å ty til en grov geometrisk tolkning, antall retninger som ikke kan uttrykkes i forhold til hverandre ved hjelp av bare operasjonene addisjon og multiplikasjon med en skalar. Vektorrommet kan utstyres med tilleggsstrukturer, for eksempel normen eller punktproduktet. Slike rom vises naturlig i kalkulus, hovedsakelig i form av uendelig dimensjonale (Engelsk), hvor vektorene er funksjonene . Mange problemer i analyse krever å finne ut om en sekvens av vektorer konvergerer til gitt vektor. Betraktning av slike spørsmål er mulig i vektorrom med tilleggsstruktur, i de fleste tilfeller en passende topologi, som lar en definere begrepene nærhet og kontinuitet. Slike topologiske vektorrom, spesielt Banach- og Hilbert-rom, gir mulighet for dypere studier.

De første verkene som forutså introduksjonen av konseptet med et vektorrom dateres tilbake til 1600-tallet. Det var da analytisk geometri, læren om matriser, systemer med lineære ligninger og euklidiske vektorer fikk sin utvikling.

Definisjon [ | ]

Lineær, eller vektorrom V (F) (\displaystyle V\left(F\right)) over feltet F (\displaystyle F) er en bestilt firemannsrom (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), hvor

• V (\displaystyle V)- et ikke-tomt sett med elementer av vilkårlig karakter, som kalles vektorer;
• F (\displaystyle F)- et felt hvis elementer kalles skalarer;
• Operasjon definert tillegg vektorer V × V → V (\displaystyle V\ ganger V\til V), som matcher hvert par av elementer x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) ) settene V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) ringer dem sum og betegnet x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Operasjon definert multiplikasjon av vektorer med skalarer F × V → V (\displaystyle F\ ganger V\til V), som samsvarer med hvert element λ (\displaystyle \lambda ) Enger F (\displaystyle F) og hvert element x (\displaystyle \mathbf (x) ) settene V (\displaystyle V) det eneste elementet i settet V (\displaystyle V), betegnet λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) eller λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Vektorrom definert på samme sett med elementer, men over forskjellige felt, vil være forskjellige vektorrom (for eksempel settet med par med reelle tall R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) kan være et todimensjonalt vektorrom over feltet med reelle tall eller endimensjonalt - over feltet med komplekse tall).

De enkleste egenskapene[ | ]

1. Vektorrommet er en abelsk gruppe ved addisjon.
2. nøytralt element 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) for alle .
4. For alle x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) motsatt element − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) er den eneste som følger av gruppeeiendommer.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) for alle x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) for enhver og x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) for alle α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Beslektede definisjoner og egenskaper[ | ]

underrom[ | ]

Algebraisk definisjon: Lineært underrom eller vektor underrom er en ikke-tom delmengde K (\displaystyle K) lineært rom V (\displaystyle V) slik at K (\displaystyle K) er i seg selv et lineært rom med hensyn til de som er definert i V (\displaystyle V) operasjonene addisjon og multiplikasjon med en skalar. Settet med alle underrom er vanligvis betegnet som L a t (V) (\displaystyle \mathrm (lat) (V)). For at en delmengde skal være et delrom, er det nødvendig og tilstrekkelig at

De to siste utsagnene tilsvarer følgende:

For alle vektorer x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K) vektor α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) hørte også til K (\displaystyle K) for noen α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

Spesielt er et vektorrom som består av bare en nullvektor et underrom av et hvilket som helst rom; ethvert rom er et underrom av seg selv. Underrom som ikke sammenfaller med disse to kalles egen eller ikke-trivielt.

Underromsegenskaper[ | ]

Lineære kombinasjoner[ | ]

Sluttsummen av utsikten

Den lineære kombinasjonen kalles:

Basis. Dimensjon[ | ]

Vektorer x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) kalt lineært avhengig, hvis det er en ikke-triviell lineær kombinasjon av dem lik null:

Ellers kalles disse vektorene lineært uavhengig.

Denne definisjonen tillater følgende generalisering: et uendelig sett med vektorer fra V (\displaystyle V) kalt lineært avhengig, hvis noen endelig dens undergruppe, og lineært uavhengig, hvis noen endelig delmengde er lineært uavhengig.

Basisegenskaper:

Lineært skall[ | ]

Lineært skall delmengder X (\displaystyle X) lineært rom V (\displaystyle V)- skjæring av alle underrom V (\displaystyle V) inneholder X (\displaystyle X).

Lineært skall er et underrom V (\displaystyle V).

Lineært skall kalles også generert underrom X (\displaystyle X). Det sies også at det lineære spennet V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- plass, strukket over masse av X (\displaystyle X).

Lineært skall V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X)) består av alle mulige lineære kombinasjoner av ulike endelige delsystemer av elementer fra X (\displaystyle X). Spesielt hvis X (\displaystyle X) er et begrenset sett, altså V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X)) består av alle lineære kombinasjoner av elementer X (\displaystyle X). Dermed hører nullvektoren alltid til det lineære spennet.

Hvis en X (\displaystyle X) er et lineært uavhengig sett, så er det et grunnlag V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X)), 1980. - 454 s.

En ikke-tom delmengde L av et lineært rom V kalles lineært underrom mellomrom V if

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\in L~~\forall \mathbf(u,v)\in L(underrommet er lukket med hensyn til operasjonen av tillegg);

2) \lambda \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(v)\in L og et hvilket som helst tall \lambda (underrommet er lukket med hensyn til operasjonen med å multiplisere en vektor med et tall).

For å indikere et lineært underrom, vil vi bruke notasjonen L\triangleleft V , og utelate ordet "lineær" for korthets skyld.

Merknader 8.7

1. Vilkår 1, 2 i definisjonen kan erstattes med ett vilkår: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\i L~~ \forall \mathbf(u,v)\in L og eventuelle tall \lambda og \mu . Her og i definisjonen snakker vi selvfølgelig om vilkårlige tall fra tallfeltet som rommet V er definert over.

2. I ethvert lineært rom V er det to lineære underrom:

a) selve rommet V, dvs. V\triangleleft V ;

b) null underrom \(\mathbf(o)\) , bestående av én nullvektor av rommet V , dvs. . Disse underrommene kalles upassende, og alle de andre kalles riktige.

3. Ethvert delrom L i et lineært rom V er dets delmengde: L\trianglevenstre V~\Høyrepil~L\delsett V, men ikke hver delmengde av M\delmengde V er et lineært delrom, siden det kan vise seg å være ikke-lukket med hensyn til lineære operasjoner.

4. Underrommet L til det lineære rommet V er i seg selv et lineært rom med de samme operasjonene med å addere vektorer og multiplisere en vektor med et tall som i rommet V, siden aksiomene 1-8 holder for dem. Derfor kan vi snakke om dimensjonen til et underrom, dets grunnlag og så videre.

5. Dimensjonen til ethvert underrom L i det lineære rommet V overskrider ikke dimensjonen til rommet V\kolon\,\dim(L)\leqslant \dim(V). Hvis dimensjonen til underrommet L\triangleleft V er lik dimensjonen til det endeligdimensjonale rommet V (\dim(L)=\dim(V)), så faller underrommet sammen med selve rommet: L=V .

Dette følger av teorem 8.2 (om fullføringen av et system av vektorer til en basis). Med utgangspunkt i underrommet L vil vi faktisk utfylle det til grunnlaget for rommet V . Hvis mulig, så \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. For enhver delmengde M av et lineært rom V, er det lineære spennet et underrom av V og M\delsett \operatørnavn(Lin)(M)\triangleleft V.

Faktisk, hvis M=\varnothing (det tomme settet), så per definisjon \operatørnavn(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\), dvs. er null-underrommet og \varnothing\subset\(\mathbf(o)\)\triangleleft V. La M\ne\varnothing . Vi må bevise at settet \operatørnavn(Lin)(M) er lukket under operasjonene med å legge til elementene og multiplisere elementene med et tall. Husk at elementene i det lineære spennet \operatørnavn(Lin)(M) tjene som lineære kombinasjoner av vektorer fra M . Siden en lineær kombinasjon av lineære kombinasjoner av vektorer er deres lineære kombinasjon, konkluderer vi, når vi tar hensyn til punkt 1, at \operatørnavn(Lin)(M) er et underrom av V , dvs. \operatørnavn(Lin)(M)\triangleleft V. Inkludering M\delsett\operatørnavn(Lin)(M)- åpenbart, siden enhver vektor \mathbf(v)\i M kan representeres som en lineær kombinasjon 1\cdot\mathbf(v) , dvs. som et element i et sett \operatørnavn(Lin)(M).

7. Lineært skall \operatørnavn(Lin)(L) delrommet L\triangleleft V faller sammen med delrommet L , dvs. .

Faktisk, siden det lineære underrommet L inneholder alle mulige lineære kombinasjoner av dets vektorer, da \operatørnavn(Lin)(L)\delsett L. Motsatt inkludering (L\delsett\operatørnavn(Lin)(L)) følger av punkt 6. Derfor, \operatørnavn(Lin)(L)=L.

Eksempler på lineære underrom

Vi angir noen underrom av lineære rom, eksempler som ble vurdert tidligere. Det er umulig å telle opp alle underrom i et lineært rom, bortsett fra i trivielle tilfeller.

1. Rommet \(\mathbf(o)\) , som består av én nullvektor av rommet V , er et underrom, dvs. \(\mathbf(o)\)\triangleleft V.

2. La, som før, V_1,\,V_2,\,V_3 være sett med vektorer (rettede segmenter) på henholdsvis en rett linje, på et plan, i rommet. Hvis linjen tilhører flyet, da V_1\triangleleft V_2\triangleleft V_3. Tvert imot er ikke settet med enhetsvektorer et lineært underrom, siden når vi multipliserer en vektor med et tall som ikke er lik én, får vi en vektor som ikke tilhører settet.

3. I det n-dimensjonale aritmetiske rommet \mathbb(R)^n, betrakt settet L av "halvnull" kolonner i formen x=\begin(pmatrix) x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end(pmatrix)^T med siste (n-m) elementer lik null. Summen av "semi-null" kolonner er en kolonne av samme type, dvs. driften av tilsetning er stengt i L . Å multiplisere en «halvnull»-kolonne med et tall gir en «halvnull»-kolonne, dvs. operasjonen av multiplikasjon med et tall er lukket i L . Derfor L\triangleleft \mathbb(R)^n, og \dim(L)=m . Tvert imot, delmengden av ikke-null-kolonner \mathbb(R)^n er ikke et lineært underrom, siden multiplisert med null, oppnås en null-kolonne, som ikke tilhører settet som vurderes. Eksempler på andre underrom \mathbb(R)^n er gitt i neste underavsnitt.

4. Rommet \(Ax=o\) til løsninger av et homogent ligningssystem med n ukjente er et underrom av det n-dimensjonale aritmetiske rommet \mathbb(R)^n . Dimensjonen til dette underrommet bestemmes av matrisen til systemet: \dim\(Ax=o\)=n-\operatørnavn(rg)A.

Mengden \(Ax=b\) av løsninger av et inhomogent system (for b\ne o ) er ikke et underrom av \mathbb(R)^n , siden summen av to løsninger er inhomogen; system vil ikke være løsningen for det samme systemet.

5. I rommet M_(n\ ganger n) av kvadratiske matriser av orden l, vurder to delmengder: settet med symmetriske matriser og mengden M_(n\ ganger n)^(\text(kos)) skjev-symmetriske matriser. Summen av symmetriske matriser er en symmetrisk matrise, dvs. tilleggsdrift er stengt inne M_(n\ ganger n)^(\tekst(sim)). Multiplikasjon av en symmetrisk matrise med et tall bryter heller ikke symmetrien, dvs. operasjonen med å multiplisere en matrise med et tall er lukket inn M_(n\ ganger n)^(\tekst(sim)). Derfor er settet med symmetriske matriser et underrom av rommet til kvadratiske matriser, dvs. M_(n\ ganger n)^(\tekst(sim))\trianglevenstre M_(n\ ganger n). Det er lett å finne dimensjonen til dette underrommet. Standardgrunnlaget er dannet av: l matriser med et enkelt ikke-null (lik ett) element på hoveddiagonalen: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, samt matriser med to ikke-null (lik en) elementer symmetriske om hoveddiagonalen: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i,i+1 ,\ldots, n. Totalt i grunnlaget vil være (n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac(n(n+1))(2)) matriser. Følgelig \dim(M_(n\ ganger n)^(\tekst(sim)))= \frac(n(n+1))(2). På samme måte får vi det M_(n\ ganger n)^(\tekst(kos))\trianglevenstre M_(n\ ganger n) og \dim(M_(n\ ganger n)^(\tekst(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

Settet med degenererte kvadratmatriser av n-te orden er ikke et underrom av M_(n\ ganger n) , siden summen av to degenererte matriser kan vise seg å være en ikke-degenerert matrise, for eksempel i rommet M_(2 \times2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

6. I rommet til polynomene P(\mathbb(R)) med reelle koeffisienter kan man spesifisere en naturlig kjede av delrom

P_0(\mathbb(R))\triangleleft P_1(\mathbb(R))\triangleleft P_2(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb(R))\trianglevenstre \ldots \triangleleft P( \mathbb(R)).

Settet med partallspolynomer (p(-x)=p(x)) er et lineært delrom av P(\mathbb(R)) , siden summen av partallpolynomer og produktet av et partallpolynom med et tall vil være partall polynomer. Settet med odde polynomer (p(-x)=-p(x)) er også et lineært rom. Settet med polynomer med reelle røtter er ikke et lineært underrom, siden det å legge til slike to polynomer kan resultere i et polynom som ikke har reelle røtter, for eksempel, (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. I rommet C(\mathbb(R)) kan man spesifisere en naturlig kjede av underrom:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ldots

Polynomer i P(\mathbb(R)) kan sees på som funksjoner definert på \mathbb(R) . Siden polynomet er en kontinuerlig funksjon sammen med dens deriverte av hvilken som helst rekkefølge, kan vi skrive: P(\mathbb(R))\trianglevenstre C(\mathbb(R)) og P_n(\mathbb(R))\triangleleft C^m(\mathbb(R)) \forall m,n\in\mathbb(N). Rommet til trigonometriske binomialer T_(\omega) (\mathbb(R)) er et underrom ×

Definisjon 6.1. underrom L n-dimensjonalt rom R kalles settet med vektorer som danner et lineært rom med hensyn til handlingene som er definert i R.

Med andre ord, L kalles et underrom av rommet R hvis fra x, y∈L følger det x+y∈L og hvis x∈L, deretter λ x∈L, hvor λ - et hvilket som helst reelt tall.

Det enkleste eksemplet på et underrom er null-underrommet, dvs. delmengde av plass R, bestående av et enkelt nullelement. Hele rommet kan også være et underrom. R. Disse underrommene kalles triviell eller ikke-eige.

underrom n-dimensjonalt rom er endelig-dimensjonalt og dets dimensjon overskrider ikke n: dimme L≤ dimme R.

Sum og skjæring av underrom

La L og M- to underrom av rommet R.

Beløp L+M kalles settet av vektorer x+y, hvor x∈L og y∈M. Åpenbart, enhver lineær kombinasjon av vektorer fra L+M tilhører L+M, Følgelig L+M er et underrom av rommet R(kan falle sammen med plassen R).

kryssing L∩M underrom L og M er settet med vektorer som samtidig tilhører underrom L og M(kan bare bestå av en nullvektor).

Teorem 6.1. Summen av dimensjonene til vilkårlige underrom L og M endelig dimensjonalt lineært rom R er lik dimensjonen til summen av disse underrommene og dimensjonen til skjæringspunktet mellom disse underrommene:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Bevis. Betegn F=L+M og G=L∩M. La G g-dimensjonalt underrom. Vi velger et grunnlag i det. Fordi G⊂L og G⊂M, derav grunnlaget G kan legges til grunnlaget L og til basen M. La grunnlaget for underrommet L og la grunnlaget for underrommet M. La oss vise at vektorene

tilhører underrommet G=L∩M. På den annen side, vektoren v kan representeres av en lineær kombinasjon av basisvektorene til underrommet G:

Fra ligningene (6.4) og (6.5) har vi:

På grunn av den lineære uavhengigheten til grunnlaget for underrommet L vi har:

er lineært uavhengige. Men hvilken som helst vektor z fra F(ved definisjon av summen av underrom) kan representeres av summen x+y, hvor x∈L, y∈M. I sin tur x er representert ved en lineær kombinasjon av vektorer a y- en lineær kombinasjon av vektorer. Derfor genererer vektorer (6.10) et underrom F. Vi har funnet ut at vektorene (6.10) danner et grunnlag F=L+M.

Studerer grunnlaget for underrom L og M og underromsbasis F=L+M(6.10), har vi: dimme L=g+l, dimme M=g+m, dimme (L+M)=g+l+m. Følgelig:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Direkte sum av underrom

Definisjon 6.2. Rom F er en direkte sum av underrom L og M, hvis hver vektor x rom F kan bare representeres som en sum x=y+z, hvor y∈ Land z∈M.

Den direkte summen er angitt L⊕M. De sier at hvis F=L⊕M, deretter F dekomponerer til en direkte sum av underrommene L og M.

Teorem 6.2. Til n-dimensjonalt rom R var en direkte sum av underrom L og M, er det nok at krysset L og M inneholder kun nullelementet og at dimensjonen til R er lik summen av dimensjonene til underrommene L og M.

Bevis. La oss velge noe grunnlag i underrommet L og et grunnlag i underrommet M. La oss bevise det

Siden venstre side av (6.13) er en vektor av underrommet L, og høyre side er underromsvektoren M og L∩M=0 , deretter

I noen lineært rom det er mulig å velge et slikt delsett vektorer, som under operasjoner fra i seg selv er et lineært rom. Dette kan gjøres på en rekke måter, og strukturen til slike delmengder bærer viktig informasjon om selve det lineære rommet.

Definisjon 2.1. Lineær romdelmengde kalt lineært underrom, dersom følgende to betingelser er oppfylt:

Definisjon 2.1 sier faktisk at et lineært underrom er et hvilket som helst delmengde gitt lineært rom, lukket under lineære operasjoner, de. å bruke lineære operasjoner på vektorer som tilhører denne delmengden, tar ikke resultatet ut av delmengden. La oss vise at det lineære underrommet H som et uavhengig objekt er et lineært rom med hensyn til operasjoner gitt i det omgivende lineære rommet. Faktisk er disse operasjonene definert for alle elementer i settet, og dermed for elementer i undersettet H. Definisjon 2.1 krever faktisk at for elementer fra H resultatet av operasjonene tilhørte også H. Derfor kan operasjonene spesifisert i betraktes som operasjoner på et smalere sett H. For disse operasjonene på settet H lineære romaksiomer a)-b) og e)-h) er oppfylt på grunn av at de er gyldige i . I tillegg er de resterende to aksiomene også oppfylt, siden, i henhold til definisjon 2.1, hvis da:

1) og 0- null vektor i H;

2) .

I ethvert lineært rom det er alltid to lineære underrom: selve det lineære rommet og null underrom {0}, enkelt element 0. Disse lineære underrommene kalles ikke eier, mens alle andre lineære underrom kalles egen. La oss gi eksempler på riktige lineære underrom.

Eksempel 2.1. I det lineære rommet til frie vektorer av tredimensjonalt rom, er et lineært underrom dannet av:

a) alle vektorer parallelle med det gitte planet;

b) alle vektorer parallelle med den gitte linjen.

Dette følger av følgende betraktninger. Det følger av definisjonen av summen av frie vektorer at to vektorer og deres sum er koplanære (fig. 2.1, a). Derfor, hvis og er parallelle med et gitt plan, vil summen deres være parallell med samme plan. Dermed er det fastslått at for tilfelle a) er betingelse 1) i definisjon 2.1 oppfylt. Hvis vektoren multipliseres med et tall, får du en vektor kollineær til den opprinnelige (fig. 2.1.6). Dette beviser oppfyllelsen av betingelse 2) i definisjon 2.1. Sak b) er begrunnet på tilsvarende måte.

Lineært rom gir en visuell representasjon av hva et lineært underrom er. Vi fikser faktisk et punkt i rommet. Da vil forskjellige plan og forskjellige rette linjer som går gjennom dette punktet tilsvare forskjellige lineære underrom fra (Fig. 2.2).

Det er ikke så åpenbart at det ikke er andre skikkelige underrom i . Hvis i et lineært underrom H det er ingen vektorer som ikke er null, da H - null lineært underrom, som er upassende. Hvis i H er en vektor som ikke er null, og alle to vektorer fra H er kollineære, så er alle vektorer i dette lineære underrommet parallelle med en rett linje som går gjennom et fast punkt. Følgelig H faller sammen med et av de lineære underrommene beskrevet i tilfelle b). Hvis i H det er to ikke-kollineære vektorer, og alle tre vektorer er koplanære, så er alle vektorer i et slikt lineært underrom parallelle med et plan som går gjennom et fast punkt. Dette er tilfelle a). Slipp inn et lineært underrom H det er tre ikke-koplanare vektorer. Så dannes de basis i . Enhver fri vektor kan representeres som lineær kombinasjon disse vektorene. Derfor faller alle frie vektorer inn i det lineære underrommet H, og derfor er det det samme som . I dette tilfellet får vi et upassende lineært underrom. Så alle riktige underrom kan representeres som plan eller rette linjer som går gjennom et fast punkt.

Eksempel 2.2. Enhver løsning av et homogent system av lineære algebraiske ligninger (SLAE) fra P variabler kan sees på som en vektor i lineære aritmetiske rom . Settet med alle slike vektorer er et lineært underrom i . Faktisk kan løsningene til en homogen SLAE legges til komponent for komponent og multipliseres med reelle tall, dvs. etter reglene for å legge til vektorer fra . Resultatet av operasjonen vil igjen være løsningen av en homogen SLAE. Derfor er begge betingelsene for definisjonen av et lineært underrom oppfylt.

Ligningen har et sett med løsninger, som er et lineært underrom i. Men den samme ligningen kan betraktes som en ligning av et plan i et eller annet rektangulært koordinatsystem. Planet går gjennom origo, og radiusvektorene til alle punkter i planet danner et todimensjonalt underrom i lineært rom

Settet med løsninger av en homogen SLAE

danner også et lineært underrom i . Samtidig kan dette systemet betraktes som generelle ligninger av en rett linje i rommet, gitt i et eller annet rektangulært koordinatsystem .. Denne linjen går gjennom origo, og settet med radiusvektorer av alle punktene danner et endimensjonalt underrom i .

Eksempel 2.3. I det lineære rommet til kvadratiske matriser av orden P et lineært underrom er dannet av:

a) alle symmetriske matriser;

b) alle skjev-symmetriske matriser;

c) alle øvre (nedre) trekantede matriser.

Når vi legger til slike matriser eller multipliserer med et tall, får vi en matrise av samme type. I motsetning til dette er ikke et undersett av degenererte matriser et lineært underrom, siden summen av to degenererte matriser kan være en ikke-degenerert matrise:

Eksempel 2.4. I det lineære rommet til funksjoner som er kontinuerlige på segmentet, kan følgende lineære underrom skilles:

a) settet med funksjoner som er kontinuerlige på et intervall og kontinuerlig differensierbare i intervallet (0,1) (denne setningen er basert på egenskapene til differensierbare funksjoner: summen av differensierbare funksjoner er en differensierbar funksjon, produktet av en differensierbar funksjon med et tall er en differensierbar funksjon);

b) settet av alle polynomer;

c) satt alle gradspolynomer på det meste n.

En ikke-tom delmengde L av et lineært rom V kalles lineært underrom mellomrom V if

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\in L~~\forall \mathbf(u,v)\in L(underrommet er lukket med hensyn til operasjonen av tillegg);

2) \lambda \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(v)\in L og et hvilket som helst tall \lambda (underrommet er lukket med hensyn til operasjonen med å multiplisere en vektor med et tall).

For å indikere et lineært underrom, vil vi bruke notasjonen L\triangleleft V , og utelate ordet "lineær" for korthets skyld.

Merknader 8.7

1. Vilkår 1, 2 i definisjonen kan erstattes med ett vilkår: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\i L~~ \forall \mathbf(u,v)\in L og eventuelle tall \lambda og \mu . Her og i definisjonen snakker vi selvfølgelig om vilkårlige tall fra tallfeltet som rommet V er definert over.

2. I ethvert lineært rom V er det to lineære underrom:

a) selve rommet V, dvs. V\triangleleft V ;

b) null underrom \(\mathbf(o)\) , bestående av én nullvektor av rommet V , dvs. . Disse underrommene kalles upassende, og alle de andre kalles riktige.

3. Ethvert delrom L i et lineært rom V er dets delmengde: L\trianglevenstre V~\Høyrepil~L\delsett V, men ikke hver delmengde av M\delmengde V er et lineært delrom, siden det kan vise seg å være ikke-lukket med hensyn til lineære operasjoner.

4. Underrommet L til det lineære rommet V er i seg selv et lineært rom med de samme operasjonene med å addere vektorer og multiplisere en vektor med et tall som i rommet V, siden aksiomene 1-8 holder for dem. Derfor kan vi snakke om dimensjonen til et underrom, dets grunnlag og så videre.

5. Dimensjonen til ethvert underrom L i det lineære rommet V overskrider ikke dimensjonen til rommet V\kolon\,\dim(L)\leqslant \dim(V). Hvis dimensjonen til underrommet L\triangleleft V er lik dimensjonen til det endelig-dimensjonale rommet V (\dim(L)=\dim(V)), da faller underrommet sammen med selve rommet: L=V .

Dette følger av teorem 8.2 (om fullføringen av et system av vektorer til en basis). Med utgangspunkt i underrommet L vil vi faktisk utfylle det til grunnlaget for rommet V . Hvis mulig, så \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. For enhver delmengde M av et lineært rom V, er det lineære spennet et underrom av V og M\delsett \operatørnavn(Lin)(M)\triangleleft V.

Faktisk, hvis M=\varnothing (det tomme settet), så per definisjon \operatørnavn(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\), dvs. er null-underrommet og \varnothing\subset\(\mathbf(o)\)\triangleleft V. La M\ne\varnothing . Vi må bevise at settet \operatørnavn(Lin)(M) er lukket under operasjonene med å legge til elementene og multiplisere elementene med et tall. Husk at elementene i det lineære spennet \operatørnavn(Lin)(M) tjene som lineære kombinasjoner av vektorer fra M . Siden en lineær kombinasjon av lineære kombinasjoner av vektorer er deres lineære kombinasjon, konkluderer vi, når vi tar hensyn til punkt 1, at \operatørnavn(Lin)(M) er et underrom av V , dvs. \operatørnavn(Lin)(M)\triangleleft V. Inkludering M\delsett\operatørnavn(Lin)(M)- åpenbart, siden enhver vektor \mathbf(v)\i M kan representeres som en lineær kombinasjon 1\cdot\mathbf(v) , dvs. som et element i et sett \operatørnavn(Lin)(M).

7. Lineært skall \operatørnavn(Lin)(L) delrommet L\triangleleft V faller sammen med delrommet L , dvs. .

Faktisk, siden det lineære underrommet L inneholder alle mulige lineære kombinasjoner av dets vektorer, da \operatørnavn(Lin)(L)\delsett L. Motsatt inkludering (L\delsett\operatørnavn(Lin)(L)) følger av punkt 6. Derfor, \operatørnavn(Lin)(L)=L.

Eksempler på lineære underrom

Vi angir noen underrom av lineære rom, eksempler som ble vurdert tidligere. Det er umulig å telle opp alle underrom i et lineært rom, bortsett fra i trivielle tilfeller.

1. Rommet \(\mathbf(o)\) , som består av én nullvektor av rommet V , er et underrom, dvs. \(\mathbf(o)\)\triangleleft V.

2. La, som før, V_1,\,V_2,\,V_3 være sett med vektorer (rettede segmenter) på henholdsvis en rett linje, på et plan, i rommet. Hvis linjen tilhører flyet, da V_1\triangleleft V_2\triangleleft V_3. Tvert imot er ikke settet med enhetsvektorer et lineært underrom, siden når vi multipliserer en vektor med et tall som ikke er lik én, får vi en vektor som ikke tilhører settet.

3. I det n-dimensjonale aritmetiske rommet \mathbb(R)^n, betrakt settet L av "halvnull" kolonner i formen x=\begin(pmatrix) x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end(pmatrix)^T med siste (n-m) elementer lik null. Summen av "semi-null" kolonner er en kolonne av samme type, dvs. driften av tilsetning er stengt i L . Å multiplisere en «halvnull»-kolonne med et tall gir en «halvnull»-kolonne, dvs. operasjonen av multiplikasjon med et tall er lukket i L . Derfor L\triangleleft \mathbb(R)^n, og \dim(L)=m . Tvert imot, delmengden av ikke-null-kolonner \mathbb(R)^n er ikke et lineært underrom, siden multiplisert med null, oppnås en null-kolonne, som ikke tilhører settet som vurderes. Eksempler på andre underrom \mathbb(R)^n er gitt i neste underavsnitt.

4. Rommet \(Ax=o\) til løsninger av et homogent ligningssystem med n ukjente er et underrom av det n-dimensjonale aritmetiske rommet \mathbb(R)^n . Dimensjonen til dette underrommet bestemmes av matrisen til systemet: \dim\(Ax=o\)=n-\operatørnavn(rg)A.

Mengden \(Ax=b\) av løsninger av et inhomogent system (for b\ne o ) er ikke et underrom av \mathbb(R)^n , siden summen av to løsninger er inhomogen; system vil ikke være løsningen for det samme systemet.

5. I rommet M_(n\ ganger n) av kvadratiske matriser av orden l, vurder to delmengder: settet med symmetriske matriser og mengden M_(n\ ganger n)^(\text(kos)) skjev-symmetriske matriser. Summen av symmetriske matriser er en symmetrisk matrise, dvs. tilleggsdrift er stengt inne M_(n\ ganger n)^(\tekst(sim)). Multiplikasjon av en symmetrisk matrise med et tall bryter heller ikke symmetrien, dvs. operasjonen med å multiplisere en matrise med et tall er lukket inn M_(n\ ganger n)^(\tekst(sim)). Derfor er settet med symmetriske matriser et underrom av rommet til kvadratiske matriser, dvs. M_(n\ ganger n)^(\tekst(sim))\trianglevenstre M_(n\ ganger n). Det er lett å finne dimensjonen til dette underrommet. Standardgrunnlaget er dannet av: l matriser med et enkelt ikke-null (lik ett) element på hoveddiagonalen: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, samt matriser med to ikke-null (lik en) elementer symmetriske om hoveddiagonalen: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i,i+1 ,\ldots, n. Totalt i grunnlaget vil være (n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac(n(n+1))(2)) matriser. Følgelig \dim(M_(n\ ganger n)^(\tekst(sim)))= \frac(n(n+1))(2). På samme måte får vi det M_(n\ ganger n)^(\tekst(kos))\trianglevenstre M_(n\ ganger n) og \dim(M_(n\ ganger n)^(\tekst(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

Settet med degenererte kvadratmatriser av n-te orden er ikke et underrom av M_(n\ ganger n) , siden summen av to degenererte matriser kan vise seg å være en ikke-degenerert matrise, for eksempel i rommet M_(2 \times2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

6. I rommet til polynomene P(\mathbb(R)) med reelle koeffisienter kan man spesifisere en naturlig kjede av delrom

P_0(\mathbb(R))\triangleleft P_1(\mathbb(R))\triangleleft P_2(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb(R))\trianglevenstre \ldots \triangleleft P( \mathbb(R)).

Settet med partallspolynomer (p(-x)=p(x)) er et lineært delrom av P(\mathbb(R)) , siden summen av partallpolynomer og produktet av et partallpolynom med et tall vil være partall polynomer. Settet med odde polynomer (p(-x)=-p(x)) er også et lineært rom. Settet med polynomer med reelle røtter er ikke et lineært underrom, siden det å legge til slike to polynomer kan resultere i et polynom som ikke har reelle røtter, for eksempel, (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. I rommet C(\mathbb(R)) kan man spesifisere en naturlig kjede av underrom:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ldots

Polynomer i P(\mathbb(R)) kan sees på som funksjoner definert på \mathbb(R) . Siden polynomet er en kontinuerlig funksjon sammen med dens deriverte av hvilken som helst rekkefølge, kan vi skrive: P(\mathbb(R))\trianglevenstre C(\mathbb(R)) og P_n(\mathbb(R))\triangleleft C^m(\mathbb(R)) \forall m,n\in\mathbb(N). Rommet til trigonometriske binomialer T_(\omega) (\mathbb(R)) er et underrom av C^m(\mathbb(R)) , siden de deriverte av hvilken som helst rekkefølge av funksjonen f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t kontinuerlig, dvs. T_(\omega)(\mathbb(R))\trianglevenstre C^m(\mathbb(R)) \forall m\in \mathbb(N). Settet med kontinuerlige periodiske funksjoner er ikke et underrom av C(\mathbb(R)) , siden summen av to periodiske funksjoner kan vise seg å være en ikke-periodisk funksjon, for eksempel, \sin(t)+\sin(\pi t).