Analyse av dimensjonene til fysiske mengder. Dimensjonal analyse

Fysiske mengder, hvis numeriske verdi ikke avhenger av den valgte skalaen av enheter, kalles dimensjonsløse. Eksempler på dimensjonsløse størrelser er vinkelen (forholdet mellom buelengden og radiusen), brytningsindeksen til materie (forholdet mellom lysets hastighet i vakuum og lysets hastighet i materien).

Fysiske størrelser som endrer sin numeriske verdi når skalaen til enheter endres, kalles dimensjonale. Eksempler på dimensjonsstørrelser er lengde, kraft osv. Uttrykket for en enhet av en fysisk størrelse i form av grunnleggende enheter kalles dens dimensjon (eller dimensjonsformel). For eksempel er kraftdimensjonen i CGS- og SI-systemene uttrykt med formelen

Dimensjonsbetraktninger kan brukes for å kontrollere riktigheten av svarene som er oppnådd ved løsning av fysiske problemer: høyre og venstre del av de oppnådde uttrykkene, samt individuelle termer i hver av delene, må ha samme dimensjon.

Metoden for dimensjoner kan også brukes til å utlede formler og ligninger, når vi vet hvilke fysiske parametere den ønskede verdien kan avhenge av. Essensen av metoden er lettest å forstå med spesifikke eksempler.

Anvendelser av metoden for dimensjoner. Tenk på et problem som svaret er velkjent for oss: med hvilken hastighet vil en kropp falle til bakken, fritt fallende uten en starthastighet fra en høyde, hvis luftmotstanden kan neglisjeres? I stedet for en direkte beregning basert på bevegelseslovene, vil vi argumentere som følger.

La oss tenke på hva ønsket hastighet kan avhenge av. Det er åpenbart at det må avhenge av starthøyden og av akselerasjonen av fritt fall. Det kan etter Aristoteles antas at det også avhenger av massen. Siden bare verdier av samme dimensjon kan legges til, kan følgende formel foreslås for ønsket hastighet:

hvor C er en dimensjonsløs konstant (numerisk koeffisient), og x, y og z er ukjente tall, som bør bestemmes.

Dimensjonene til høyre og venstre del av denne likheten må være de samme, og det er denne betingelsen som kan brukes til å bestemme eksponentene x, y, z i (2). Hastighetsdimensjonen er høydedimensjonen, dimensjonen til akselerasjon av fritt fall er , og til slutt er massedimensjonen M. Siden konstanten C er dimensjonsløs, tilsvarer formel (2) følgende dimensjonslikhet:

Denne likheten må gjelde uavhengig av hva de numeriske verdiene er. Derfor er det nødvendig å likestille eksponentene ved og M i venstre og høyre del av likhet (3):

Fra dette ligningssystemet får vi. Derfor tar formel (2) formen

Den sanne verdien av hastigheten er som kjent lik

Så, tilnærmingen som ble brukt gjorde det mulig å bestemme riktig avhengighet av og og gjorde det ikke mulig å finne verdien

dimensjonsløs konstant C. Selv om vi ikke har klart å få et uttømmende svar, er det likevel innhentet svært betydelig informasjon. For eksempel kan vi med full sikkerhet slå fast at dersom starthøyden firedobles, vil hastigheten i falløyeblikket dobles og at denne hastigheten, i motsetning til Aristoteles' oppfatning, ikke er avhengig av massen til det fallende legemet.

Valg av alternativer. Når du bruker dimensjonsmetoden, bør man først og fremst identifisere parametrene som bestemmer fenomenet som vurderes. Dette er enkelt å gjøre hvis de fysiske lovene som beskriver det er kjent. I en rekke tilfeller kan parametrene som bestemmer fenomenet spesifiseres selv når de fysiske lovene er ukjente. Som regel trenger du å vite mindre for å bruke dimensjonsanalysemetoden enn å skrive bevegelsesligninger.

Hvis antallet parametere som bestemmer fenomenet som studeres er større enn antall grunnleggende enheter som det valgte systemet av enheter er bygget på, kan selvfølgelig ikke alle eksponentene i den foreslåtte formelen for den søkte verdien bestemmes. I dette tilfellet er det først og fremst nyttig å bestemme alle uavhengige dimensjonsløse kombinasjoner av de valgte parameterne. Da vil den ønskede fysiske mengden ikke bestemmes av en formel av type (2), men av produktet av en (enkleste) kombinasjon av parametere som har den ønskede dimensjonen (dvs. dimensjonen til ønsket mengde) av en funksjon av de funnet dimensjonsløse parametrene.

Det er lett å se at i eksemplet ovenfor med en kropp som faller fra en høyde, er det umulig å danne en dimensjonsløs kombinasjon av mengdene og den dimensjonsløse kombinasjonen. Derfor uttømmer formel (2) der alle mulige tilfeller.

Dimensjonsløs parameter. La oss nå vurdere følgende problem: vi bestemmer rekkevidden for den horisontale flyvningen til et prosjektil avfyrt i horisontal retning med en starthastighet fra en pistol plassert på et høydefjell

I fravær av luftmotstand er antall parametere som ønsket rekkevidde kan avhenge av lik fire: og m. Siden antall grunnleggende enheter er lik tre, er en fullstendig løsning av problemet ved hjelp av dimensjonsmetode umulig . La oss først finne alle de uavhengige dimensjonsløse parameterne y som kan være sammensatt av og

Dette uttrykket tilsvarer følgende dimensjonslikhet:

Herfra får vi ligningssystemet

som gir og for ønsket dimensjonsløs parameter får vi

Det kan sees at den eneste uavhengige dimensjonsløse parameteren i problemet under vurdering er .

hvor er den ennå ukjente funksjonen til den dimensjonsløse parameteren Dimensjonsmetoden (i den presenterte versjonen) tillater ikke å bestemme denne funksjonen. Men hvis vi vet fra et sted, for eksempel av erfaring, at ønsket rekkevidde er proporsjonal med prosjektilets horisontale hastighet, så bestemmes funksjonens form umiddelbart: hastigheten må inn i den til første potens, dvs.

Nå fra (5) for rekkevidden til prosjektilet får vi

som stemmer med det riktige svaret

Vi understreker at med denne metoden for å bestemme typen funksjon, er det nok for oss å vite arten av den eksperimentelt etablerte avhengigheten av flyområdet, ikke på alle parametere, men bare på en av dem.

Vektor lengdeenheter. Men det er mulig å bestemme rekkevidden (7) bare ut fra dimensjonsbetraktninger, hvis vi øker til fire antall grunnleggende enheter som parameterne uttrykkes gjennom, osv. Inntil nå, når man skrev dimensjonsformler, ble det ikke gjort forskjell på enheter av lengde i horisontal og vertikal retning. Et slikt skille kan imidlertid innføres basert på det faktum at tyngdekraften kun virker vertikalt.

La oss betegne lengdedimensjonen i horisontal retning gjennom og i vertikal retning - gjennom Da vil dimensjonen til flyrekkevidden i horisontal retning være dimensjonen til høyden vil være dimensjonen til horisontalhastigheten vil være og for akselerasjon

fritt fall vi får Nå, når vi ser på formel (5), ser vi at den eneste måten å få den rette dimensjonen på høyre side er å vurdere den proporsjonal. Vi kommer igjen til formel (7).

Selvfølgelig, med fire grunnleggende enheter og M, kan man direkte konstruere verdien av den nødvendige dimensjonen fra fire parametere og

Likheten av dimensjonene til venstre og riktige deler har formen

Ligningssystemet for x, y, z og og gir verdiene og vi kommer igjen til formel (7).

De forskjellige lengdeenhetene som brukes her i gjensidig vinkelrette retninger blir noen ganger referert til som vektorlengdeenheter. Deres anvendelse utvider mulighetene for dimensjonsanalysemetoden betydelig.

Ved bruk av dimensjonsanalysemetoden er det nyttig å utvikle ferdigheter i en slik grad at man ikke lager et likningssystem for eksponentene i ønsket formel, men velger dem direkte. La oss illustrere dette i neste oppgave.

En oppgave

Maksimal rekkevidde. I hvilken vinkel til horisontalen bør en stein kastes for å maksimere den horisontale fluktrekkevidden?

Løsning. La oss anta at vi har "glemt" alle kinematikkformler og prøve å få svar fra dimensjonsbetraktninger. Ved første øyekast kan det virke som om dimensjonsmetoden ikke er anvendelig her i det hele tatt, siden en eller annen trigonometrisk funksjon av kastevinkelen må inn i svaret. Derfor vil vi i stedet for selve vinkelen a prøve å se etter et uttrykk for rekkevidden Det er klart at vi ikke kan klare oss uten vektorlengdeenheter.

Det skal presiseres at det endelige målet i den aktuelle saken forblir det samme: å finne likhetstall for hvilke modellering skal utføres, men det løses med en betydelig mindre mengde informasjon om prosessens art.

For å avklare det som følger, vil vi kort gjennomgå noen av de grunnleggende begrepene. En detaljert presentasjon finnes i boken av A.N. Lebedev "Modellering i vitenskapelig og teknisk forskning." - M.: Radio og kommunikasjon. 1989. -224 s.

Enhver materiell gjenstand har en rekke egenskaper som tillater kvantitativt uttrykk. Dessuten er hver av egenskapene preget av størrelsen på en viss fysisk mengde. Enhetene til noen fysiske størrelser kan velges vilkårlig, og med deres hjelp representere enhetene til alle de andre. Fysiske enheter valgt vilkårlig kalles hoved-. I det internasjonale systemet (som brukt på mekanikk) er dette kilogram, meter og sekund. Resten av mengdene uttrykt i form av disse tre kalles derivater.

Basisenheten kan betegnes enten med symbolet for tilsvarende mengde eller med et spesielt symbol. For eksempel er lengdeenhetene L, masseenheter - M, tidsenhet - T. Eller lengdeenheten er meteren (m), masseenheten er kilogram (kg), tidsenheten er sekundet (s).

Dimensjon forstås som et symbolsk uttrykk (noen ganger kalt en formel) i form av et kraftmonomial, som forbinder den avledede verdien med de viktigste. Den generelle formen for denne regulariteten har formen

hvor x, y, z- Dimensjonsindikatorer.

For eksempel hastighetsdimensjonen

For en dimensjonsløs mengde, alle indikatorer , og derfor .

De neste to påstandene er ganske klare og trenger ingen spesielle bevis.

Forholdet mellom størrelsene til to objekter er en konstant verdi, uavhengig av enhetene de er uttrykt i. Så, for eksempel, hvis forholdet mellom arealet som er okkupert av vinduer og arealet av vegger er 0,2, vil dette resultatet forbli uendret hvis selve arealene er uttrykt i mm2, m2 eller km2.

Den andre posisjonen kan formuleres som følger. Ethvert korrekt fysisk forhold må være dimensjonalt ensartet. Dette betyr at alle termer som er inkludert i både høyre og venstre del av den må ha samme dimensjon. Denne enkle regelen er tydelig implementert i hverdagen. Alle innser at meter bare kan legges til meter og ikke til kilo eller sekunder. Det må være klart forstått at regelen forblir gyldig når man vurderer selv de mest komplekse ligningene.

Metoden for dimensjonsanalyse er basert på det såkalte -teoremet (les: pi-teorem). -teorem etablerer en sammenheng mellom en funksjon uttrykt i form av dimensjonale parametere og en funksjon i en dimensjonsløs form. Teoremet kan formuleres mer fullstendig som følger:

Ethvert funksjonelt forhold mellom dimensjonale størrelser kan representeres som et forhold mellom N dimensjonsløse komplekser (tall) sammensatt av disse mengdene. Antallet av disse kompleksene , hvor n- antall grunnenheter. Som nevnt ovenfor, i hydromekanikk (kg, m, s).

La for eksempel verdien MEN er en funksjon av femdimensjonale størrelser (), dvs.

(13.12)

Det følger av teoremet at denne avhengigheten kan transformeres til en avhengighet som inneholder to tall ( )

(13.13)

hvor og er dimensjonsløse komplekser sammensatt av dimensjonale mengder.

Denne teoremet tilskrives noen ganger Buckingham og kalles - Buckinghams teorem. Faktisk bidro mange fremtredende forskere til utviklingen, inkludert Fourier, Ryabushinsky og Rayleigh.

Beviset på teoremet ligger utenfor kursets omfang. Om nødvendig kan den finnes i boken til L.I. Sedov "Metodes for likhet og dimensjoner i mekanikk" - M .: Nauka, 1972. - 440 s. En detaljert begrunnelse av metoden er også gitt i boken til V.A. Venikov og G.V. Venikov "Theory of similarity and modeling" - M.: Higher school, 1984. -439 s. Et trekk ved denne boken er at den, i tillegg til problemstillinger knyttet til likhet, inneholder informasjon om metodikken for å sette opp et eksperiment og behandle resultatene.

Bruken av dimensjonsanalyse for å løse spesifikke praktiske problemer er forbundet med behovet for å kompilere en funksjonell avhengighet av skjemaet (13.12), som på neste trinn behandles av spesielle teknikker som til slutt fører til å få tall (likhetstall).

Det viktigste kreative stadiet er det første stadiet, siden resultatene som oppnås avhenger av hvor korrekt og fullstendig forskerens forståelse av prosessens fysiske natur er. Med andre ord, hvordan funksjonell avhengighet (13.12) korrekt og fullt ut tar hensyn til alle parametere som påvirker prosessen som studeres. Enhver feil her fører uunngåelig til feilaktige konklusjoner. Den såkalte «Rayleighs feil» er kjent i vitenskapshistorien. Dens essens er at når han studerte problemet med varmeoverføring i turbulent strømning, tok Rayleigh ikke hensyn til påvirkningen av strømningsviskositet, dvs. inkluderte det ikke i avhengigheten (13.12). Som et resultat inkluderte ikke de endelige forholdene oppnådd av ham Reynolds likhetsnummer, som spiller en ekstremt viktig rolle i varmeoverføring.

For å forstå essensen av metoden, vurder et eksempel, illustrerer både den generelle tilnærmingen til problemet og metoden for å oppnå likhetstall.

Det er nødvendig å etablere hvilken type avhengighet som gjør det mulig å bestemme trykktapet eller fallhøyden ved turbulent strømning i runde rør.

Husk at dette problemet allerede er vurdert i avsnitt 12.6. Derfor er det uten tvil av interesse å finne ut hvordan det kan løses ved hjelp av dimensjonsanalyse og om denne løsningen gir noen ny informasjon.

Det er klart at trykkfallet langs røret, på grunn av energien som brukes for å overvinne kreftene til viskøs friksjon, er omvendt proporsjonal med lengden, derfor, for å redusere antall variabler, er det tilrådelig å ikke vurdere , men , dvs. trykktap per lengdeenhet på røret. Husk at forholdet , hvor er trykktapet, kalles den hydrauliske skråningen.

Fra konseptet om prosessens fysiske natur kan det antas at de resulterende tapene bør avhenge av: den gjennomsnittlige strømningshastigheten til arbeidsmediet (v); på størrelsen på rørledningen, bestemt av dens diameter ( d); fra fysiske egenskaper transportert medium, karakterisert ved dets tetthet () og viskositet (); og til slutt er det rimelig å anta at tapene på en eller annen måte må være relatert til tilstanden til den indre overflaten av røret, dvs. med ruhet ( k) av veggene. Dermed har avhengighet (13.12) i saken under behandling formen

(13.14)

Dette er slutten på det første, og det må understrekes, det viktigste trinnet i analysen av dimensjoner.

I samsvar med -teoremet er antall påvirkende parametere inkludert i avhengigheten . Følgelig vil antallet dimensjonsløse komplekser, dvs. etter passende behandling (13.14) bør ta skjemaet

(13.15)

Det er flere måter å finne tall på. Vi vil bruke metoden foreslått av Rayleigh.

Dens største fordel er at det er en slags algoritme som fører til løsningen av problemet.

Fra parametrene inkludert i (13.15) er det nødvendig å velge hvilke som helst tre, men slik at de inkluderer de grunnleggende enhetene, dvs. meter, kilogram og sekund. La dem være v, d, . Det er enkelt å verifisere at de tilfredsstiller det oppgitte kravet.

Tall dannes i form av effektmonomialer fra de valgte parameterne multiplisert med en av de gjenværende i (13.14)

; (13.16)

; (13.17)

; (13.18)

Nå er problemet redusert til å finne alle eksponenter. Samtidig skal de velges slik at tallene blir dimensjonsløse.

For å løse dette problemet bestemmer vi først dimensjonene til alle parametere:

; ;

Viskositet , dvs. .

Parameter , og .

Og endelig, .

Dermed vil dimensjonene til tallene være

På samme måte de to andre

I begynnelsen av avsnitt 13.3 ble det allerede bemerket at for enhver dimensjonsløs mengde, de dimensjonale eksponentene . Derfor kan vi for eksempel skrive for et tall

Ved å likestille eksponentene får vi tre likninger med tre ukjente

Hvor finner vi; ; .

Ved å erstatte disse verdiene med (13.6), får vi

(13.19)

Går man frem på samme måte, er det lett å vise det

og .

Dermed tar avhengighet (13.15) formen

(13.20)

Siden det er et ikke-definerende likhetstall (Euler-tall), kan (13.20) skrives som en funksjonell avhengighet

(13.21)

Det bør huskes at analysen av dimensjoner ikke og i prinsippet ikke kan gi noen numeriske verdier i forholdene oppnådd med dens hjelp. Derfor bør det avsluttes med en analyse av resultatene og om nødvendig korrigering av dem basert på generelle fysiske konsepter. La oss vurdere uttrykk (13.21) fra disse posisjonene. Dens høyre side inkluderer kvadratet av hastigheten, men denne oppføringen uttrykker ikke noe annet enn det faktum at hastigheten er kvadratisk. Men hvis vi deler denne verdien med to, dvs. , så, som kjent fra hydromekanikk, får det en viktig fysisk betydning: det spesifikke kinetisk energi, a - dynamisk trykk på grunn av gjennomsnittshastigheten. Med hensyn til dette er det hensiktsmessig å skrive (13.21) i skjemaet

(13.22)

Hvis vi nå, som i (12.26), betegner med bokstaven , så kommer vi til Darcy-formelen

(13.23)

(13.24)

hvor er den hydrauliske friksjonskoeffisienten, som, som følger av (13.22), er en funksjon av Reynolds-tallet og relativ ruhet ( k/d). Formen for denne avhengigheten kan bare finnes eksperimentelt.

LITTERATUR

1. Kalnitsky L.A., Dobrotin D.A., Zheverzheev V.F. Spesialkurs i høyere matematikk for høyere utdanningsinstitusjoner. M.: Videregående skole, 1976. - 389s.

2. Astarita J., Marruchi J. Grunnleggende om hydromekanikk av ikke-newtonske væsker. - M.: Mir, 1978.-307s.

3. Fedyaevsky K.K., Faddeev Yu.I. Hydromekanikk. - M.: Skipsbygging, 1968. - 567 s.

4. Fabrikant N.Ya. Aerodynamikk. - M.: Nauka, 1964. - 814 s.

5. Arzhanikov N.S. og Maltsev V.N. Aerodynamikk. - M.: Oborongiz, 1956 - 483 s.

6. Filchakov P.F. Omtrentlig metoder for konforme kartlegginger. - K .: Naukova Dumka, 1964. - 530 s.

7. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Metoder for teorien om funksjoner til en kompleks variabel. - M.: Nauka, 1987. - 688 s.

8. Daly J., Harleman D. Fluid Mechanics. -M.: Energi, 1971. - 480 s.

9. SOM. Monin, A.M. Yaglom "Statistisk hydromekanikk" (del 1. - M .: Nauka, 1968. - 639 s.)

10. Schlichting G. Teori om grenselaget. - M.: Nauka, 1974. - 711 s.

11. Pavlenko V.G. Grunnleggende om væskemekanikk. - L.: Skipsbygging, 1988. - 240 s.

12. Altshul A.D. hydraulisk motstand. - M.: Nedra, 1970. - 215 s.

13. A.A. Gukhman "Introduksjon til teorien om likhet." - M.: Høyere skole, 1963. - 253 s.

14. S. Kline "Likheter og omtrentlige metoder". - M.: Mir, 1968. - 302 s.

15. A.A. Gukhman "Anvendelse av teorien om likhet til studiet av varme- og masseoverføringsprosesser. Overføre prosesser i et bevegelig medium. - M.: Høyere skala, 1967. - 302 s.

16. A.N. Lebedev "Modellering i vitenskapelig og teknisk forskning". - M.: Radio og kommunikasjon. 1989. -224 s.

17. L.I. Sedov "Metoder for likhet og dimensjoner i mekanikk" - M .: Nauka, 1972. - 440 s.

18. V.A.Venikov og G.V.Venikov "Teori om likhet og modellering" - M.: Higher school, 1984. -439 s.

1. MATEMATISK APPARAT BRUKT I VÆSKEMEKANIKK .......................................... ................................................................... ................................... 3

1.1. Vektorer og operasjoner på dem ......................................... ................ ...... fire

1.2. Operasjoner av første orden (differensielle egenskaper for feltet). ................................................ . ................................................ .. ... 5

1.3. Operasjoner av den andre orden.......................................... ......................... 6

1.4. Integrerte relasjoner av feltteori ................................................ .. 7

1.4.1. Vektorfeltflyt ................................................... ............... ... 7

1.4.2. Sirkulasjon av feltvektoren ................................................... .. 7

1.4.3. Stokes formel ................................................... ............... 7

1.4.4. Gauss-Ostrogradsky-formel........................................ 7

2. GRUNNLEGGENDE FYSISKE EGENSKAPER OG PARAMETRE FOR VÆSKEN. KRAFTER OG STRESS ................................................... ............................................ åtte

2.1. Tetthet ................................................... ................................... åtte

2.2. Viskositet ................................................... ................................................ 9

2.3. Klassifisering av krefter ................................................... ................................... 12

2.3.1. Massestyrker ................................................... ................................ 12

2.3.2. Overflatekrefter ................................................... ..................... 12

2.3.3. Stresstensor ................................................... ............................ 13

2.3.4. Bevegelsesligning i spenninger ................................... 16

3. HYDROSTATIKK................................................... ................................. atten

3.1. Væskelikevektsligning................................................... 18

3.2. Grunnleggende ligning av hydrostatikk i differensialform. ................................................ . ................................................ .. ... 19

3.3. Ekvipotensialflater og flater med likt trykk. ................................................ . ................................................ .. ... tjue

3.4. Likevekt av en homogen inkompressibel væske i tyngdefeltet. Pascals lov. Hydrostatisk lov om trykkfordeling... 20

3.5. Bestemmelse av kraften av væsketrykk på overflaten av legemer .... 22

3.5.1. Flat overflate................................................ .... 24

4. KINEMATIKK................................................... ................................................ 26

4.1. Jevn og ustø bevegelse av en væske ...... 26

4.2. Kontinuitetsligning (kontinuitet)................................................ .. 27

4.3. Strømlinjer og baner ................................................... ............................ 29

4.4. Strømrør (strømoverflate)................................................ ...... ... 29

4.5. Jetstrømmodell ........................................................ ............................ 29

4.6. Kontinuitetsligning for en vedlikeholdslading.................................................. .. 30

4.7. Akselerasjon av en væskepartikkel ................................................... ...................... 31

4.8. Analyse av bevegelsen til en væskepartikkel .......................................... .... 32

4.8.1. Vinkeldeformasjoner ................................................... ................... ... 32

4.8.2. Lineære deformasjoner ................................................... ................. .36

5. VORTEX BEVEGELSE AV EN VÆSKE ........................................... ................... .38

5.1. Kinematikk for virvelbevegelse ................................................ 38

5.2. Virvelintensitet ................................................... ................................ 39

5.3. Sirkulasjonshastighet ................................................... ................................ ............... 41

5.4. Stokes' teorem ................................................... ................................... 42

6. POTENSIELL VÆSKEBEVEGELSE ................................................. 44

6.1. Hastighetspotensial ................................................... ................................ 44

6.2. Laplace-ligningen ................................................... ................... 46

6.3. Hastighetssirkulasjon i et potensielt felt................................... 47

6.4. Flystrømsstrømfunksjon ......................................................... ................... .47

6.5. Hydromekanisk betydning av gjeldende funksjon ......................................... 49

6.6. Forholdet mellom hastighetspotensialet og den aktuelle funksjonen .......................................... 49

6.7. Metoder for å beregne potensielle strømmer ......................................... 50

6.8. Superposisjon av potensielle strømmer................................................... ...... 54

6.9. Ikke-sirkulerende strøm forbi en sirkulær sylinder ................... 58

6.10. Anvendelse av teorien om funksjoner til en kompleks variabel til studiet av plane strømmer av en ideell væske ..... 60

6.11. Konforme kartlegginger ................................................... ..................... 62

7. HYDRODYNAMIKK I EN IDEELL VÆSKE .............................. 65

7.1. Bevegelsesligninger for en ideell væske................................... 65

7.2. Gromeka-lam transformasjon ................................................ 66

7.3. Bevegelsesligning i form av Gromeka-lam .............................. 67

7.4. Integrasjon av bevegelsesligningen for en jevn flyt......................................... ........................................................................ ................................ ........... 68

7.5. Forenklet utledning av Bernoulli-ligningen............................... 69

7.6. Energibetydningen av Bernoulli-ligningen .............................. 70

7.7. Bernoullis ligning i form av hoder........................................... .... 71

8. HYDRODYNAMIKK I EN VISKØS VÆSKE ........................................... ... 72

8.1. Modell av en viskøs væske ................................................... ................................ 72

8.1.1. Linearitetshypotese ................................................... ................... ... 72

8.1.2. Homogenitetshypotese ................................................... .................. 74

8.1.3. Hypotese om isotropi ................................................... ............... .74

8.2 Bevegelsesligning for en viskøs væske. (Navier-Stokes ligning) ................................................ ................................................... ........... 74

9. EN-DIMENSJONELLE FLØMER AV INKOMPRESSIBEL VÆSKE (grunnleggende om hydraulikk) ................................... ................................................................... ................................... 77

9.1. Strømningshastighet og gjennomsnittlig hastighet ................................................ ................ 77

9.2. Svakt deformerte strømninger og deres egenskaper.......................... 78

9.3. Bernoulli-ligning for strømmen av en viskøs væske ................................... 79

9.4. Den fysiske betydningen av Coriolis-koeffisienten .............................. 82

10. KLASSIFISERING AV VÆSKE STRØMMER. BEVEGELSENS STABILITET........................................... ................................................................ ........... 84

11. REGELMESSIGHETER I LAMINÆR FLØMNING I RUNDE RØR ........................................ ........................................................................ ........................ .......... 86

12. HOVEDREGULARITETER FOR TURBULENT BEVEGELSE. ................................................ . ................................................ .. ............ 90

12.1. Generell informasjon................................................ ................................... 90

12.2. Reynolds ligninger................................................ ............... 92

12.3. Semi-empiriske teorier om turbulens.......................................... ... 93

12.4. Turbulent strømning i rør ................................................... 95

12.5. Kraftlover for hastighetsfordeling.......................... 100

12.6. Tap av trykk (trykk) ved turbulent strømning i rør. ................................................ . ................................................ .. ... 100

13. GRUNNLEGGENDE I TEORIEN OM LIKHET OG MODELLERING .......... 102

13.1. Inspeksjonsanalyse av differensialligninger..... 106

13.2. Begrepet selvlikhet ................................................ ................... .110

13.3. Dimensjonal analyse ................................................ ................................ 111

Litteratur …………………………………………………………………………..118

MED TROLIG "FRA END TIL BEGYNNELSE" ÅRSAKER I VURDERING AV TEKNOLOGISKE PROSESSFAKTORER

Generell informasjon om dimensjonsanalysemetoden

Når du studerer mekaniske fenomener en rekke begreper introduseres, for eksempel energi, hastighet, spenning osv., som karakteriserer fenomenet som vurderes og kan gis og bestemmes ved hjelp av et tall. Alle spørsmål om bevegelse og likevekt er formulert som problemer med å bestemme visse funksjoner og numeriske verdier for mengder som karakteriserer fenomenet, og når man løser slike problemer i rent teoretiske studier, presenteres naturlovene og ulike geometriske (romlige) forhold i form for funksjonelle ligninger - vanligvis differensial.

Svært ofte har vi ikke mulighet til å formulere problemet i en matematisk form, siden det studerte mekaniske fenomenet er så komplekst at det ikke er noe akseptabelt opplegg for det ennå, og det er ingen bevegelsesligninger ennå. Vi møter en slik situasjon når vi løser problemer innen flymekanikk, hydromekanikk, i problemer med å studere styrke og deformasjoner, og så videre. I disse tilfellene spilles hovedrollen av eksperimentelle forskningsmetoder, som gjør det mulig å etablere de enkleste eksperimentelle dataene, som deretter danner grunnlaget for sammenhengende teorier med et strengt matematisk apparat. Selve eksperimentene kan imidlertid bare utføres på grunnlag av en foreløpig teoretisk analyse. Motsetningen løses i løpet av den iterative forskningsprosessen, ved å legge frem antakelser og hypoteser og teste dem eksperimentelt. Samtidig er de basert på tilstedeværelsen av likheter mellom naturfenomener, som en generell lov. Teorien om likhet og dimensjoner er til en viss grad eksperimentets «grammatikk».

Dimensjon på mengder

Måleenheter for ulike fysiske mengder, kombinert på grunnlag av deres konsistens, danner et system av enheter. For tiden brukes International System of Units (SI). I SI, uavhengig av hverandre, velges måleenhetene for de såkalte primærmengdene - masse (kilogram, kg), lengde (meter, m), tid (sekund, sek, s), strømstyrke (ampere). , a), temperatur (grad Kelvin, K) og lysstyrken (stearinlys, sv). De kalles grunnleggende enheter. Måleenhetene for de gjenværende, sekundære mengdene er uttrykt i form av de viktigste. Formelen som indikerer avhengigheten av måleenheten til en sekundær mengde av hovedmåleenhetene kalles dimensjonen til denne størrelsen.

Dimensjonen til en sekundær størrelse er funnet ved å bruke den definerende ligningen, som fungerer som definisjonen av denne størrelsen i matematisk form. For eksempel er den definerende ligningen for hastighet

Vi vil indikere dimensjonen til en mengde ved å bruke symbolet for denne mengden tatt i hakeparenteser, deretter

, eller
,

hvor [L], [T] er dimensjonene til henholdsvis lengde og tid.

Den definerende ligningen for kraft kan betraktes som Newtons andre lov

Da vil kraftens dimensjon ha følgende form

[F]=[M][L][T] .

Den definerende ligningen og formelen for arbeidsdimensjonen vil henholdsvis ha formen

A=Fs og [A]=[M][L] [T] .

I det generelle tilfellet vil vi ha forholdet

[Q] =[M] [L] [T] (1).

La oss ta hensyn til registreringen av forholdet mellom dimensjoner, det vil fortsatt være nyttig for oss.

Likhetsteoremer

Dannelsen av likhetsteorien i det historiske aspektet er preget av dens tre hovedteoremer.

Første likhetsteorem formulerer de nødvendige betingelsene og egenskapene til slike systemer, og sier at lignende fenomener har de samme likhetskriteriene i form av dimensjonsløse uttrykk, som er et mål på forholdet mellom intensiteten til to fysiske effekter som er avgjørende for prosessen som studeres.

Andre likhetsteorem(P-teorem) beviser muligheten for å redusere en ligning til en kriterieform uten å bestemme tilstrekkeligheten av betingelser for eksistensen av likhet.

Tredje likhetsteorem peker på grensene for den vanlige distribusjonen av en enkelt opplevelse, fordi slike fenomener vil være de som har lignende betingelser for unikhet og de samme definerende kriteriene.

Den metodiske essensen av dimensjonsteorien ligger således i det faktum at ethvert likningssystem som inneholder en matematisk registrering av lovene som styrer fenomenet, kan formuleres som et forhold mellom dimensjonsløse størrelser. De bestemmende kriteriene er sammensatt av gjensidig uavhengige størrelser som inngår i unikhetsbetingelsene: geometriske relasjoner, fysiske parametere, grense- (initial- og grense)betingelser. Systemet med å definere parametere må ha egenskapene til fullstendighet. Noen av de definerende parameterne kan være fysiske dimensjonskonstanter, vi vil kalle dem fundamentale variabler, i motsetning til andre - kontrollerte variabler. Et eksempel er tyngdeakselerasjonen. Hun er en grunnleggende variabel. Under terrestriske forhold konstant og er en variabel i romforhold.

For riktig anvendelse av dimensjonsanalyse, må forskeren kjenne til arten og antallet av fundamentale og kontrollerte variabler i eksperimentet sitt.

I dette tilfellet er det en praktisk konklusjon fra teorien om dimensjonsanalyse, og den ligger i det faktum at hvis eksperimentatoren virkelig kjenner alle variablene i prosessen som studeres, og det fortsatt ikke er noen matematisk oversikt over loven i form av en ligning, så har han rett til å transformere dem ved å bruke den første delen Buckinghams teoremer: "Hvis en ligning er entydig med hensyn til dimensjoner, kan den konverteres til en relasjon som inneholder et sett med dimensjonsløse kombinasjoner av mengder."

Homogen med hensyn til dimensjoner er en ligning hvis form ikke er avhengig av valg av grunnenheter.

PS. Empiriske mønstre er vanligvis omtrentlige. Dette er beskrivelser i form av inhomogene ligninger. I deres design har de dimensjonelle koeffisienter som "virker" bare i et visst system av måleenheter. Deretter, med akkumulering av data, kommer vi til en beskrivelse i form av homogene ligninger, det vil si uavhengig av systemet med måleenheter.

Dimensjonsløse kombinasjoner, i spørsmålet, er produkter eller forhold mellom mengder, trukket opp på en slik måte at hver kombinasjon av dimensjoner reduseres. I dette tilfellet dannes produktene av flere dimensjonale mengder av ulik fysisk natur komplekser, forholdet mellom todimensjonale mengder av samme fysiske natur - enkle.

I stedet for å variere hver av variablene etter tur,og endre noen av dem kan føre tilvanskeligheter, kan forskeren bare varierekombinasjoner. Denne omstendigheten forenkler eksperimentet i stor grad og gjør det mulig å presentere i grafisk form og analysere de innhentede dataene mye raskere og med større nøyaktighet.

Ved å bruke metoden for dimensjonsanalyse, organisere plausible resonnementer "fra slutten til begynnelsen".

Etter å ha blitt kjent med generell informasjon, bør du være spesielt oppmerksom på følgende punkter.

Den mest effektive bruken av dimensjonsanalyse er i nærvær av én dimensjonsløs kombinasjon. I dette tilfellet er det tilstrekkelig å eksperimentelt bestemme bare matchingskoeffisienten (det er nok å sette opp ett eksperiment for å kompilere og løse en ligning). Oppgaven blir mer komplisert med en økning i antall dimensjonsløse kombinasjoner. Overholdelse av kravet om en fullstendig beskrivelse av det fysiske systemet er som regel mulig (eller kanskje de tror det) med en økning i antall variabler tatt i betraktning. Men samtidig øker sannsynligheten for komplikasjon av funksjonens form, og viktigst av alt, mengden eksperimentelt arbeid øker kraftig. Innføringen av ytterligere grunnleggende enheter på en eller annen måte lindrer problemet, men ikke alltid og ikke helt. Det faktum at teorien om dimensjonsanalyse utvikler seg over tid er svært oppmuntrende og orienterer mot søken etter nye muligheter.

Vel, hva om vi, når vi søker etter og danner et sett med faktorer som skal tas i betraktning, dvs. faktisk gjenskaper strukturen til det fysiske systemet som studeres, bruker organiseringen av plausible resonnementer "fra ende til begynnelse" iht. Pappus?

For å forstå forslaget ovenfor og konsolidere grunnlaget for dimensjonsanalysemetoden, foreslår vi å analysere et eksempel på å etablere forholdet mellom faktorer som bestemmer effektiviteten av eksplosivbrudd under underjordisk gruvedrift av malmforekomster.

Når vi tar i betraktning prinsippene for systemtilnærmingen, kan vi med rette bedømme at to systemisk interagerende objekter danner et nytt dynamisk system. I produksjonsaktiviteter er disse objektene gjenstand for transformasjon og subjektsinstrumentet for transformasjon.

Når vi bryter malm på grunnlag av eksplosiv destruksjon, kan vi vurdere malmmassivet og systemet av eksplosive ladninger (brønner) som sådan.

Når vi bruker prinsippene for dimensjonsanalyse med organisering av plausible resonnementer "fra ende til begynnelse", får vi følgende resonnement og et system av sammenhenger mellom parametrene til det eksplosive komplekset og egenskapene til matrisen.

d m = f 1 (W, I 0 ,t stedfortreder , s)	d m = k 1 W(st stedfortreder ¤ Jeg 0 W) n (1)
Jeg 0 = f 2 (JEG c ,V Boer ,K og )	Jeg 0 = k 2 Jeg c V Boer K og (2)
Jeg c = f 3 (t stedfortreder ,Q ,A)	Jeg Med = k 3 t luft 2/3 Q 2/3 EN 1/3 (3)
t luft = f 4 (r zab ,P Maks l vi vil )	t luft = k 4 r zab 1/2 P Maks –1/2 l vi vil (4)
P Maks = f 5 (r zar D)	P Maks = k 5 r zar D 2 (5)

Betegnelsene og formlene for dimensjonene til variablene som brukes er gitt i tabellen.

VARIABLER	Betegnelse	dimensjoner
Maksimal knusediameter	d m	[ L]
Linje med minst motstand		[ L]
Trykkfasthet til bergarter
Periode (intervall) med retardasjon av sprengning	t stedfortreder	[ T]
Eksplosjonsimpuls per 1 m 3 av matrisen	Jeg 0
Spesifikt forbruk av boring, m/m 3	V Boer	[ L -2 ]
Utnyttelsesgraden av brønner under lading	Til er
Eksplosjonsimpuls per 1 m brønn	Jeg c
Eksplosjonsenergi per 1 m ladning
Mediets akustiske hardhet (A=gC)
Anslagstiden for eksplosjonen i brønnen	t luft	[ T]
stammetetthet	r zab	[ L -3 M]
Brønnlengde	l vi vil	[ L]
Maksimalt innledende brønntrykk		[ L -1 M T -2 ]
Ladningstetthet i brønnen	r zar	[ L -3 M]
Eksplosiv detonasjonshastighet		[ L T -1 ]

Gå fra formel (5) til formel (1), avslører de etablerte relasjonene, og husk også det tidligere etablerte forholdet mellom diameteren til gjennomsnittet og diameteren til det maksimale stykket når det gjelder kollaps

d ons = k 6 d m 2/3 , (6)

vi får den generelle ligningen for forholdet mellom faktorer som bestemmer kvaliteten på knusing:

d ons = kW 2/3 [ s t stedfortreder / r zab 1/3 D -2/3 l vi vil 2/3 M zar 2|3 U århundrer 2/3 MEN 1/3 V Boer Til er W] n (7)

La oss transformere det siste uttrykket for å skape dimensjonsløse komplekser, samtidig som vi husker:

Q= M zar U århundrer ; q århundrer =M zar V Boer Til er ; M zab =0.25 s r zab d vi vil 2 ;

hvor M zar er massen til sprengladningen i 1 m av brønnlengden, kg/m;

M zab – masse av stamme i 1 m stamme, kg/m;

U århundrer – brennverdi av eksplosiver, kcal/kg.

I telleren og nevneren bruker vi [M zar 1/3 U århundrer 1/3 (0.25 sd vi vil 2 ) 1/3 ] . Vi får endelig

Alle komplekser og forenklinger har en fysisk betydning. I henhold til eksperimentelle data og praksisdata, krafteksponenten n=1/3, og koeffisient k bestemmes avhengig av skalaen for forenkling av uttrykk (8).

Selv om suksessen til dimensjonsanalyse avhenger av en korrekt forståelse av den fysiske betydningen av et bestemt problem, kan denne metoden brukes helt automatisk etter valg av variabler og grunnleggende dimensjoner. Derfor kan denne metoden lett angis i reseptform, med tanke på at en slik "oppskrift" krever at forskeren velger de inngående komponentene korrekt. Det eneste vi kan gjøre her er å gi noen generelle råd.

Trinn 1. Velg uavhengige variabler som påvirker systemet. Dimensjonskoeffisienter og fysiske konstanter bør også vurderes dersom de spiller en viktig rolle. Dette er det mest ansvarligeny fase av hele arbeidet.

Trinn 2. Velg et system med grunnleggende dimensjoner der du kan uttrykke enhetene til alle valgte variabler. Følgende systemer brukes ofte: i mekanikk og fluiddynamikk MLq(noen ganger FLq), i termodynamikk MLqT eller MLqTH; innen elektroteknikk og kjernefysikk MLqTil eller MLqm., i dette tilfellet kan temperaturen enten betraktes som en grunnleggende mengde, eller uttrykkes i form av molekylær kinetisk energi.

Trinn 3. Skriv ned dimensjonene til de valgte uavhengige variablene og lag dimensjonsløse kombinasjoner. Løsningen vil være riktig hvis: 1) hver kombinasjon er dimensjonsløs; 2) antall kombinasjoner er ikke mindre enn det som er forutsagt av p-setningen; 3) hver variabel forekommer i kombinasjoner minst én gang.

Trinn 4. Undersøk de resulterende kombinasjonene med tanke på deres akseptabilitet, fysisk betydning og (hvis minste kvadraters metode skal brukes) usikkerhetskonsentrasjon i én kombinasjon hvis mulig. Dersom kombinasjonene ikke oppfyller disse kriteriene, så kan man: 1) få en annen løsning på ligningene for eksponentene for å finne det beste settet med kombinasjoner; 2) velg et annet system med grunnleggende dimensjoner og gjør alt arbeidet helt fra begynnelsen; 3) sjekk riktigheten av valget av uavhengige variabler.

Scene 5. Når et tilfredsstillende sett med dimensjonsløse kombinasjoner er oppnådd, kan forskeren planlegge å endre kombinasjonene ved å variere verdiene til de valgte variablene i utstyret sitt. Utformingen av forsøk bør vurderes spesielt.

Når du bruker metoden for dimensjonsanalyse med organisering av plausibel resonnement "fra slutten til begynnelsen", er det nødvendig å introdusere seriøse korreksjoner, og spesielt i det første trinnet.

Korte konklusjoner

I dag er det mulig å danne de konseptuelle bestemmelsene for forskningsarbeid i henhold til den allerede etablerte normative algoritmen. Trinn-for-trinn følgende lar deg strømlinjeforme søket etter et emne og bestemme stadier av implementering med tilgang til vitenskapelige bestemmelser og anbefalinger. Kunnskap om innholdet i individuelle prosedyrer bidrar til deres ekspertvurdering og valg av de mest hensiktsmessige og effektive.

Fremdrift av vitenskapelig forskning kan presenteres i form av et logisk skjema, bestemt i prosessen med å utføre forskning, og fremheve tre stadier som er karakteristiske for enhver aktivitet:

Forberedende stadium: Det kan også kalles stadiet for metodisk forberedelse av forskning og dannelse av metodisk støtte for forskning. Arbeidsomfanget er som følger. Definisjon av problemstilling, utvikling av konseptuell beskrivelse av forskningsemnet og definisjon (formulering) av forskningstemaet. Utarbeide et forskningsprogram med formulering av oppgaver og utvikling av en plan for deres løsning. Rimelig valg av forskningsmetoder. Utvikling av metodikk for eksperimentelt arbeid.

Hovedscene: - utøvende (teknologisk), implementering av programmet og forskningsplan.

siste trinn: - behandling av forskningsresultater, utforming av hovedbestemmelser, anbefalinger, ekspertise.

Vitenskapelige bestemmelser er en ny vitenskapelig sannhet - det er dette som trenger og kan forsvares. Formuleringen av vitenskapelige bestemmelser kan være matematisk eller logisk. Vitenskapelige bestemmelser hjelper årsaken, løsningen av problemet. Vitenskapelige tilbud bør målrettes, d.v.s. reflektere (inneholde) temaet de ble løst for. For å gjennomføre en generell kobling av innholdet i FoU med strategien for implementeringen, anbefales det å arbeide med strukturen i FoU-rapporten før og (eller) etter utviklingen av disse bestemmelsene. I det første tilfellet har arbeidet med strukturen til rapporten til og med heuristisk potensial, bidrar til å forstå ideene til FoU, i det andre tilfellet fungerer det som en slags strategitest og tilbakemelding av FoU-ledelsen.

La oss huske at det er en logikk med å søke, gjøre arbeid og se geek presentasjon. Den første er dialektisk - dynamisk, med sykluser, returer, vanskelig å formalisere, den andre er logikken til en statisk tilstand, formell, dvs. ha en strengt definert form.

Som en konklusjon det er ønskelig å ikke slutte å jobbe med strukturen til rapporten under hele forskningstiden og dermed episodisk "sjekke klokkene til TO LOGICS".

Systematiseringen av moderne problemer med gruvedrift på administrativt nivå bidrar til å øke effektiviteten i arbeidet med konseptet.

I metodologisk støtte til forskningsarbeid møter vi ofte situasjoner der de teoretiske bestemmelsene om en konkret problemstilling ennå ikke er ferdig utviklet. Det er hensiktsmessig å bruke metodisk «leasing». Som et eksempel på en slik tilnærming og dens mulige bruk, er metoden for dimensjonsanalyse med organisering av plausible resonnementer "fra ende til begynnelse" av interesse.

Grunnleggende begreper og begreper

Objekt og gjenstand for aktivitet	Relevans	gruveteknologi
Konsept		Gruveteknologisk anlegg
Formål og målsetting		Gruveteknologiske verktøy
problem problemsituasjon	Struktur	Fysisk og teknisk effekt
Stadier og stadier av forskning		Vitenskapelig posisjon
Likhetsteoremer	Dimensjon	Grunnleggende enheter

Erfaring er naturens oppdagelsesreisende. Han bedrar aldri ... Vi må gjøre eksperimenter, endre omstendighetene, inntil vi trekker ut dem generelle regler, fordi erfaring gir de sanne reglene.

Leonardo da Vinci

I fysikk... er det ikke plass for forvirrede tanker...
Virkelig forstå naturen
Dette eller det fenomenet bør få hoveddelen
Lover ut fra dimensjonsbetraktninger. E. Fermi

Beskrivelsen av dette eller hint problem, diskusjonen av teoretiske og eksperimentelle problemstillinger starter med en kvalitativ beskrivelse og vurdering av effekten dette arbeidet gir.

Når du beskriver et problem, er det først og fremst nødvendig å evaluere størrelsesordenen til den forventede effekten, enkle begrensende tilfeller og arten av det funksjonelle forholdet til mengdene som beskriver dette fenomenet. Disse spørsmålene kalles den kvalitative beskrivelsen av den fysiske situasjonen.

En av de mest effektive metoder en slik analyse er metoden for dimensjoner.

Her er noen fordeler og anvendelser av dimensjonsmetoden:

rask vurdering av omfanget av fenomenene som studeres;
oppnå kvalitative og funksjonelle avhengigheter;
gjenoppretting av glemte formler i eksamener;
oppfyllelse av noen oppgaver på eksamen;
verifisering av riktigheten av løsningen av problemer.

Dimensjonsanalyse har blitt brukt i fysikk siden Newtons tid. Det var Newton som formulerte, nært knyttet til dimensjonsmetoden, likhetsprinsippet (analogi).

Studentene møter først den dimensjonale metoden når de studerer termisk stråling i fysikkkurset i 11. klasse:

Spektralkarakteristikken til den termiske strålingen til et legeme er spektral tetthet av energi lysstyrke r v - energi av elektromagnetisk stråling som sendes ut per tidsenhet per enhetsareal av kroppsoverflaten i et enhetsfrekvensintervall.

Enheten for spektral tetthet av energilysstyrke er joule pr kvadratmeter(1 J/m 2). Energien til den termiske strålingen til et svart legeme avhenger av temperatur og bølgelengde. Den eneste kombinasjonen av disse størrelsene med dimensjonen J/m 2 er kT/ 2 ( = c/v). Den nøyaktige beregningen gjort av Rayleigh og Jeans i 1900, innenfor rammen av den klassiske bølgeteorien, ga følgende resultat:

hvor k er Boltzmann-konstanten.

Som erfaring har vist, er dette uttrykket i samsvar med eksperimentelle data bare i området med tilstrekkelig lave frekvenser. For høye frekvenser, spesielt i det ultrafiolette området av spekteret, er Rayleigh-Jeans-formelen feil: den skiller seg kraftig fra eksperimentet. Metodene til klassisk fysikk viste seg å være utilstrekkelige til å forklare egenskapene til svart kroppsstråling. Derfor er avviket mellom resultatene av klassisk bølgeteori og eksperimentet på slutten av 1800-tallet kalt den "ultrafiolette katastrofen".

La oss vise bruken av dimensjonsmetoden på et enkelt og godt forstått eksempel.

Bilde 1

Termisk stråling av en svart kropp: ultrafiolett katastrofe - uoverensstemmelse mellom den klassiske teorien om termisk stråling og erfaring.

Tenk deg at et legeme med masse m beveger seg i en rett linje under påvirkning av en konstant kraft F. Hvis starthastigheten til legemet er null, og hastigheten ved enden av den tilbakelagte delen av banen med lengde s er lik v, så kan vi skrive kinetisk energiteoremet: Mellom verdiene F, m, v og s er det en funksjonell sammenheng.

La oss anta at kinetisk energisetningen er glemt, men vi forstår at den funksjonelle avhengigheten mellom v, F, m og s eksisterer og har en potenslov.

Her er x, y, z noen tall. La oss definere dem. Tegnet ~ betyr at venstre side av formelen er proporsjonal med høyre side, det vil si hvor k er en numerisk koeffisient, har ingen måleenheter og ikke bestemmes ved hjelp av dimensjonsmetoden.

Venstre og høyre del av relasjon (1) har samme dimensjoner. Dimensjonene til v, F, m og s er: [v] = m/c = ms -1, [F] = H = kgms -2, [m] = kg, [s] = m. (Symbol [A ] angir dimensjonen til A.) La oss skrive likheten mellom dimensjoner i venstre og høyre del av relasjonen (1):

m c -1 = kg x m x c -2x kg y m Z = kg x+y m x+z c -2x .

Det er ingen kilo i det hele tatt på venstre side av ligningen, så det skal heller ikke være noen til høyre.

Det betyr at

Til høyre er meter inkludert i potensene x + z, og til venstre i potensene 1, så

På samme måte følger det fra en sammenligning av eksponentene i sekunder

Fra de oppnådde ligningene finner vi tallene x, y, z:

x=1/2, y=-1/2, z=1/2.

Den endelige formelen ser ut som

Ved å kvadrere venstre og høyre side av denne relasjonen får vi det

Den siste formelen er en matematisk notasjon av kinetisk energiteoremet, men uten en numerisk koeffisient.

Likhetsprinsippet, formulert av Newton, er at forholdet v 2 /s er direkte proporsjonalt med forholdet F/m. For eksempel to kropper med forskjellige masser m 1 og m 2; vi vil virke på dem med forskjellige krefter F 1 og F 2 , men på en slik måte at forholdene F 1 / m 1 og F 2 / m 2 blir de samme. Under påvirkning av disse kreftene vil kroppene begynne å bevege seg. Hvis starthastighetene er lik null, vil hastighetene som legemene oppnår på et segment av banen med lengde s være like. Dette er likhetsloven, som vi kom frem til ved hjelp av ideen om likheten mellom dimensjonene til høyre og venstre del av formelen, som beskriver kraftlovens forhold til verdien av den endelige hastigheten med verdiene for kraft, masse og banelengde.

Metoden for dimensjoner ble introdusert da man bygget grunnlaget for klassisk mekanikk, men dens effektive anvendelse for å løse fysiske problemer begynte på slutten av fortiden - på begynnelsen av vårt århundre. En stor fortjeneste i å fremme denne metoden og løse interessante og viktige problemer med dens hjelp tilhører den fremragende fysikeren Lord Rayleigh. Rayleigh skrev i 1915: Jeg blir ofte overrasket over den lille oppmerksomheten som gis til det store likhetsprinsippet, selv fra meget eminente vitenskapsmenns side. Det hender ofte at resultatene av møysommelig forskning presenteres som nyoppdagede "lover", som likevel kunne oppnås på forhånd i løpet av få minutter.

I dag kan fysikere ikke lenger bebreides med en avvisende holdning eller utilstrekkelig oppmerksomhet til likhetsprinsippet og dimensjonsmetoden. Tenk på et av de klassiske Rayleigh-problemene.

Rayleighs problem med vibrasjoner av en ball på en streng.

La en snor strekkes mellom punktene A og B. Strekkkraften til strengen F. Midt på denne strengen ved punkt C er det en tung ball. Lengden på segmentet AC (og følgelig CB) er lik 1. Massen M til ballen er mye større enn massen til selve strengen. Snoren trekkes og slippes. Det er ganske klart at ballen vil svinge. Hvis amplituden til disse x-svingningene er mye mindre enn lengden på strengen, vil prosessen være harmonisk.

La oss bestemme frekvensen av vibrasjoner av ballen på strengen. La mengdene , F, M og 1 være forbundet med en potenslov:

Eksponentene x, y, z er tallene vi må bestemme.

La oss skrive ut dimensjonene til mengdene av interesse for oss i SI-systemet:

C -1, [F] = kgm s -2, [M] = kg, = m.

Hvis formel (2) uttrykker en reell fysisk regelmessighet, må dimensjonene til høyre og venstre del av denne formelen samsvare, det vil si likheten

c -1 = kg x m x c -2x kg y m z = kg x + y m x + z c -2x

Venstre side av denne ligningen inkluderer ikke meter og kilo i det hele tatt, og sekunder er inkludert i potensene - 1. Dette betyr at for x, y og z er ligningene oppfylt:

x+y=0, x+z=0, -2x= -1

Ved å løse dette systemet finner vi:

x=1/2, y= -1/2, z= -1/2

Følgelig

~F 1/2 M -1/2 1 -1/2

Den nøyaktige formelen for frekvensen er forskjellig fra den som bare finnes med en faktor på ( 2 = 2F/(M1)).

Dermed ble det oppnådd ikke bare et kvalitativt, men også et kvantitativt estimat av avhengigheten av verdiene til F, M og 1. I størrelsesorden gir den funnet potenskombinasjonen riktig verdi av frekvensen. Evaluering er alltid av interesse i størrelsesorden. I enkle problemer kan koeffisienter som ikke kan bestemmes av dimensjonsmetoden ofte betraktes som tall i enhetsrekkefølgen. Dette er ikke en streng regel.

Når jeg studerer bølger, vurderer jeg kvalitativ prediksjon av lydhastigheten ved hjelp av metoden for dimensjonsanalyse. Vi ser etter lydens hastighet som forplantningshastigheten til en kompresjons- og sjeldne bølge i en gass. Elevene er ikke i tvil om avhengigheten av lydhastigheten i en gass av gassens tetthet og dens trykk.

Vi leter etter svaret i skjemaet:

hvor С er en dimensjonsløs faktor, hvis numeriske verdi ikke kan finnes fra analysen av dimensjoner. Passerer inn (1) til likestilling av dimensjoner.

m/s \u003d (kg/m 3) x Pay y,

m / s \u003d (kg / m 3) x (kg m / (s 2 m 2)) y,

m 1 s -1 \u003d kg x m -3x kg y m y c -2y m -2y,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x + y-2y c -2y,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x-y c -2y.

Likheten av dimensjoner på venstre og høyre side av likheten gir:

x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,

x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,

x = -1/2, y = 1/2.

Altså lydens hastighet i en gass

Formel (2) ved C=1 ble først oppnådd av I. Newton. Men de kvantitative avledningene av denne formelen var veldig vanskelige.

En eksperimentell bestemmelse av lydhastigheten i luft ble utført i et kollektivt arbeid av medlemmer av Paris Academy of Sciences i 1738, som målte tiden det tok lyden av et kanonskudd å reise en avstand på 30 km.

Ved å gjenta dette materialet i 11. klasse, trekkes elevenes oppmerksomhet mot det faktum at resultatet (2) kan oppnås for modellen av den isotermiske prosessen med lydforplantning ved å bruke Mendeleev-Clapeyron-ligningen og tetthetsbegrepet:

er hastigheten på lydutbredelsen.

Etter å ha introdusert elevene til metoden for dimensjoner, gir jeg dem denne metoden for å utlede den grunnleggende MKT-ligningen for en ideell gass.

Studentene forstår at trykket til en ideell gass avhenger av massen av individuelle molekyler av en ideell gass, antall molekyler per volumenhet - n (konsentrasjonen av gassmolekyler) og bevegelseshastigheten til molekyler -.

Når vi kjenner til dimensjonene til mengdene som er inkludert i denne ligningen, har vi:

Ved å sammenligne dimensjonene til venstre og høyre del av denne likheten, har vi:

Derfor har den grunnleggende ligningen til MKT følgende form:

- dette innebærer

Det kan sees fra den skraverte trekanten at

Svar: B).

Vi har brukt dimensjonsmetoden.

Metoden for dimensjoner, i tillegg til å utføre den tradisjonelle verifiseringen av riktigheten av å løse problemer, utføre noen oppgaver i Unified State Examination, hjelper til med å finne funksjonelle forhold mellom ulike fysiske størrelser, men bare for de situasjonene der disse avhengighetene er makt- lov. Det er mange slike avhengigheter i naturen, og dimensjonsmetoden er en god hjelper for å løse slike problemer.

I tilfeller hvor prosessene som studeres ikke er beskrevet differensiallikninger, en av måtene å analysere dem på er et eksperiment, hvis resultater er best presentert i en generalisert form (i form av dimensjonsløse komplekser). Metoden for å kompilere slike komplekser er dimensjonal analysemetode.

Dimensjonen til enhver fysisk mengde bestemmes av forholdet mellom den og de fysiske mengdene som tas som hoved (primær). Hvert enhetssystem har sine egne grunnenheter. For eksempel, i International System of Units SI, blir enhetene for lengde, masse og tid tatt for å være henholdsvis meter (m), kilogram (kg), sekund (s). Måleenheter for andre fysiske størrelser, de såkalte avledede størrelsene (sekundære), er vedtatt på grunnlag av lover som etablerer et forhold mellom disse enhetene. Dette forholdet kan representeres i form av den såkalte dimensjonsformelen.

Dimensjonsteori er basert på to antakelser.

1. Forholdet mellom to numeriske verdier av en hvilken som helst mengde avhenger ikke av valget av skalaer for hovedmåleenhetene (for eksempel avhenger forholdet mellom to lineære dimensjoner ikke av enhetene de vil bli målt i) .
2. Ethvert forhold mellom dimensjonsstørrelser kan formuleres som et forhold mellom dimensjonsløse mengder. Denne uttalelsen representerer den såkalte P-teorem i dimensjonsteori.

Fra den første posisjonen følger det at formlene for dimensjonen av fysiske størrelser skal ha form av maktavhengigheter

hvor er dimensjonene til grunnenhetene.

Det matematiske uttrykket til P-setningen kan oppnås basert på følgende betraktninger. La noen dimensjonsverdi en 1 er en funksjon av flere uavhengige dimensjonale størrelser, dvs.

Derfor følger det

La oss anta at antallet grunnleggende dimensjonsenheter som alle kan uttrykkes gjennom P variabler, er lik t. P-setningen sier at hvis alle P variabler uttrykt i form av basisenheter, så kan de grupperes i dimensjonsløse P-ledd, dvs.

I dette tilfellet vil hvert P-ledd inneholde en variabel.

I problemer med hydromekanikk må antallet variabler inkludert i P-leddene være fire. Tre av dem vil være avgjørende (vanligvis er det den karakteristiske lengden, væskestrømningshastigheten og dens tetthet) - de er inkludert i hvert av P-begrepene. En av disse variablene (den fjerde) er forskjellig når man går fra ett P-ledd til et annet. Gradindikatorer for å definere kriterier (la oss betegne dem med x, y , z ) er ukjente. For enkelhets skyld tar vi eksponenten til den fjerde variabelen lik -1.

Relasjonene for P-termer vil se ut

Variablene som inngår i P-begrepene kan uttrykkes i form av de grunnleggende dimensjonene. Siden disse begrepene er dimensjonsløse, må eksponentene til hver av de grunnleggende dimensjonene være lik null. Som et resultat, for hvert av P-leddene, er det mulig å komponere tre uavhengige ligninger (en for hver dimensjon) som relaterer eksponentene til variablene som er inkludert i dem. Løsningen av det resulterende ligningssystemet gjør det mulig å finne de numeriske verdiene til ukjente eksponenter X , på , z. Som et resultat blir hvert av P-begrepene bestemt i form av en formel sammensatt av spesifikke mengder (miljøparametere) i passende grad.

Som et konkret eksempel vil vi finne en løsning på problemet med å bestemme trykktapet på grunn av friksjon i en turbulent væskestrøm.

Fra generelle betraktninger kan vi konkludere med at trykktapet i rørledningen avhenger av følgende hovedfaktorer: diameter d , lengde l , veggruhet k, tetthet ρ og viskositet µ av mediet, gjennomsnittlig strømningshastighet v , initial skjærspenning, dvs.

(5.8)

Ligning (5.8) inneholder n=7 medlemmer, og antall grunnleggende dimensjonsenheter. I følge P-teoremet får vi en ligning som består av dimensjonsløse P-ledd:

(5.9)

Hvert slikt P-ledd inneholder 4 variabler. Ta diameteren som hovedvariable d , hastighet v , tetthet, og ved å kombinere dem med resten av variablene i ligning (5.8), får vi

Ved å komponere dimensjonsligningen for det første П-leddet, vil vi ha

Legger vi til eksponentene med de samme basene, finner vi

For dimensjonen P 1 var lik 1 ( P 1 er en dimensjonsløs størrelse), er det nødvendig å kreve at alle eksponenter er lik null, dvs.

(5.10)

System algebraiske ligninger(5.10) inneholder tre ukjente mengder x 1, y 1,z 1. Fra løsningen av dette ligningssystemet finner vi x 1 = 1; på 1=1; z 1= 1.