Metoder Kramer Og Gaussisk en av de mest populære løsningene SLAU. I tillegg er det i noen tilfeller tilrådelig å bruke spesifikke metoder. Økten er nær, og nå er det på tide å gjenta eller mestre dem fra bunnen av. I dag tar vi for oss løsningen etter Cramer-metoden. Tross alt er det en veldig nyttig ferdighet å løse et system med lineære ligninger ved hjelp av Cramers metode.

Systemer av lineære algebraiske ligninger

Systemet med lineære algebraiske ligninger er et system av ligninger av formen:

Verdi satt x , der likningene til systemet blir til identiteter, kalles systemets løsning, en Og b er reelle koeffisienter. Et enkelt system som består av to ligninger med to ukjente kan løses mentalt eller ved å uttrykke en variabel i form av den andre. Men det kan være mye mer enn to variabler (x) i SLAE, og enkle skolemanipulasjoner er uunnværlige her. Hva å gjøre? Løs for eksempel SLAE etter Cramers metode!

Så la systemet være n ligninger med n ukjent.

Et slikt system kan skrives om i matriseform

Her EN er hovedmatrisen til systemet, X Og B , henholdsvis kolonnematriser av ukjente variabler og gratis medlemmer.

SLAE-løsning etter Cramers metode

Hvis determinanten til hovedmatrisen ikke er lik null (matrisen er ikke-singular), kan systemet løses ved hjelp av Cramer-metoden.

I henhold til Cramer-metoden finnes løsningen ved formlene:

Her delta er determinanten for hovedmatrisen, og delta x n-te - determinanten oppnådd fra determinanten til hovedmatrisen ved å erstatte den n-te kolonnen med en kolonne med frie termer.

Dette er hele poenget med Cramers metode. Erstatter verdiene funnet med formlene ovenfor x inn i det ønskede systemet, er vi overbevist om riktigheten (eller omvendt) av avgjørelsen vår. For å gjøre det lettere for deg å forstå poenget, her er et eksempel. detaljert løsning SLAE etter Cramers metode:

Selv om du ikke lykkes første gang, ikke bli motløs! Med litt øvelse vil du begynne å sprette SLOWs som nøtter. Dessuten, nå er det absolutt ikke nødvendig å pore over en notatbok, løse tungvinte beregninger og skrive på stangen. Det er enkelt å løse SLAE med Cramer-metoden online, bare ved å erstatte koeffisientene i den ferdige formen. prøve online kalkulator løsninger etter Cramers metode kan for eksempel være på denne siden.

Og hvis systemet viste seg å være sta og ikke gir opp, kan du alltid be våre forfattere om hjelp, for eksempel til å kjøpe en synopsis. Hvis det er minst 100 ukjente i systemet, vil vi definitivt løse det riktig og akkurat i tide!

La et system med tre lineære ligninger gis:

For å løse et system med lineære ligninger ved Cramer-metoden, er hoveddeterminanten til systemet  kompilert fra koeffisientene til de ukjente. For system (1) har hoveddeterminanten formen
.

Deretter kompileres determinantene med hensyn til variablene
,,. For å gjøre dette, i hoveddeterminanten, i stedet for en kolonne med koeffisienter for den tilsvarende variabelen, skrives en kolonne med frie medlemmer, dvs.

,
,
.

Deretter blir løsningen av systemet funnet av Cramer-formlene

,
,

Det skal bemerkes at systemet har en unik løsning
hvis hoveddeterminanten
. Hvis
Og
= 0,= 0,= 0, så har systemet et uendelig antall løsninger, som ikke kan finnes med Cramers formler. Hvis
Og
0, eller 0, eller 0, da er ligningssystemet inkonsekvent, det vil si at det ikke har noen løsninger.

Eksempel

Løsning:

1) Komponer og beregn hoveddeterminanten til systemet, bestående av koeffisienter for ukjente.

.

Derfor har systemet en unik løsning.

2) Komponer og beregn hjelpedeterminanter, og erstatt den tilsvarende kolonnen i  med en kolonne med ledige medlemmer.

Ved å bruke Cramers formler finner vi de ukjente:

,
,
.

Vi vil sjekke at løsningen er riktig

De.
.

, dvs.

, dvs.

Svar: .

Eksempel

Løs ligningssystemet ved Cramers metode:

Løsning:

1) Komponer og beregn hoveddeterminanten til systemet fra koeffisientene til de ukjente:

.

Derfor har ikke systemet en unik løsning.

2) Komponer og beregn hjelpedeterminanter, og erstatt den tilsvarende kolonnen i  med en kolonne med ledige medlemmer:

,
, derfor er systemet inkonsekvent.

Svar: systemet er inkonsekvent.

Gauss metode

Gauss-metoden består av to stadier. Det første trinnet består i suksessiv eliminering av variabler fra systemets ligninger ved å bruke handlinger som ikke bryter med systemets ekvivalens. Tenk for eksempel på de to første ligningene i systemet (1).

(1)

Det er nødvendig å legge til disse to ligningene for å få en ligning der det ikke er noen variabel . Multipliser den første ligningen med , og den andre på (
) og legg til de resulterende ligningene

Vi bytter ut koeffisienten før y, z og et gratis medlem på ,Og følgelig får vi et nytt ligningspar

Merk at det ikke er noen variabel i den andre ligningen x.

Etter å ha utført lignende handlinger på den første og tredje ligningen til system (1), og deretter på den andre og tredje ligningen oppnådd som et resultat av addisjon, transformerer vi system (1) til formen

(2)

Dette resultatet er mulig hvis systemet har en unik løsning. I dette tilfellet finner man løsningen ved å bruke den omvendte Gauss-metoden (andre trinn). Fra siste likning av system (2) finner vi den ukjente variabelen z, så finner vi fra den andre ligningen y, A x henholdsvis fra den første, erstatte i dem allerede funnet ukjente.

Noen ganger, som et resultat av å legge til to ligninger, kan den totale ligningen ha en av følgende former:

EN)
, Hvor
. Dette betyr at systemet som løses er inkonsekvent.

B), altså
. En slik ligning er ekskludert fra systemet, som et resultat blir antallet ligninger i systemet mindre enn antall variabler, og systemet har et uendelig antall løsninger, hvis funn vil bli vist med et eksempel.

Eksempel

Løsning:

Tenk på følgende metode for å implementere den første fasen av løsningen ved Gauss-metoden. La oss skrive ned tre rader med koeffisienter for de ukjente og frie leddene som tilsvarer de tre likningene i systemet. Vi skiller frileddene fra koeffisientene med en vertikal linje, og tegner en horisontal linje under den tredje linjen.

Vi sirkler rundt den første linjen, som tilsvarer den første ligningen i systemet - koeffisientene i denne ligningen vil forbli uendret. I stedet for den andre linjen (ligningen), må du få en linje (ligningen), hvor koeffisienten ved er lik null. For å gjøre dette, multipliserer vi alle tallene i den første raden med (-2) og legger dem til de tilsvarende tallene i den andre raden. Vi skriver de resulterende beløpene under den horisontale linjen (fjerde linje). For å i stedet for tredje linje (ligning) også få en linje (ligning) hvor koeffisienten kl. er lik null, multipliserer vi alle tallene i den første raden med (-5) og legger dem til de tilsvarende tallene i den tredje raden. Vi skriver de resulterende beløpene i den femte linjen og tegner en ny horisontal linje under den. Den fjerde linjen (eller den femte - valgfritt) vil være omringet. Raden med mindre koeffisienter velges. På denne linjen vil koeffisientene forbli uendret. I stedet for den femte linjen, må du få en linje der to koeffisienter allerede er lik null. Multipliser den fjerde raden med 3 og legg den til den femte. Vi skriver mengden under den horisontale linjen (sjette linje) og ringer rundt den.

Alle beskrevne handlinger er vist i tabell 1 ved bruk av aritmetiske tegn og piler. Vi skriver radene som er sirklet inn i tabellen igjen i form av ligninger (3), og ved å bruke omvendt bevegelse av Gauss-metoden finner vi verdiene til variablene x, y Og z.

Tabell 1

Vi gjenoppretter ligningssystemet oppnådd som et resultat av våre transformasjoner:

(3)

Omvendt Gauss-metode

Fra den tredje ligningen
finne
.

Inn i systemets andre ligning
erstatte den funnet verdien
, vi får
eller
.

Fra den første ligningen
, ved å erstatte de allerede funnet verdiene til variablene, får vi
, det er
.

For å være sikker på at løsningen er riktig, må det sjekkes i alle tre likninger i systemet.

Undersøkelse:

, vi får

Få

Få

Dette betyr at systemet er riktig.

Svar:
,
,
.

Eksempel

Løs systemet ved å bruke Gauss-metoden:

Løsning:

Rekkefølgen av handlinger i dette eksemplet er lik rekkefølgen i forrige eksempel, og de spesifikke handlingene er angitt i tabell 2.

Som et resultat av transformasjonene får vi en ligning av formen , derfor er det gitte systemet inkonsekvent.

Svar: systemet er inkonsekvent.

Eksempel

Løs systemet ved å bruke Gauss-metoden:

Løsning:

Tabell 3

Som et resultat av transformasjonene får vi en ligning av formen , som er utelukket fra vurdering. Dermed har vi et ligningssystem der antall ukjente er 3, og antall ligninger er 2.

Systemet har et uendelig antall løsninger. For å finne disse løsningene introduserer vi én gratis variabel. (Antall frie variabler er alltid lik forskjellen mellom antall ukjente og antall ligninger som gjenstår etter transformasjonen av systemet. I vårt tilfelle er 3 - 2 = 1).

La
er en fri variabel.

Så fra den andre ligningen finner vi
, hvor
og deretter finne x fra den første ligningen
eller
.

Dermed,
;
;
.

La oss sjekke likningene som ikke var involvert i å finne Og , det vil si i den andre og tredje ligningen til det opprinnelige systemet.

Undersøkelse:

eller, vi får
.

eller, vi får
.

Systemet er riktig. Gir en vilkårlig konstant ulike betydninger, vil vi få ulike verdier x, y Og z.

Svar:
;
;
.

2. Løse ligningssystemer ved matrisemetoden (ved å bruke den inverse matrisen).
3. Gauss-metode for å løse ligningssystemer.

Cramers metode.

Cramers metode brukes til å løse systemer med lineære algebraiske ligninger ( SLAU).

Formler på eksemplet med et system med to ligninger med to variabler.
Gitt: Løs systemet ved Cramers metode

Angående variabler X Og på.
Løsning:
Finn determinanten til matrisen, sammensatt av koeffisientene til systemet Beregning av determinanter. :

La oss bruke Cramers formler og finne verdiene til variablene:
Og .
Eksempel 1:
Løs ligningssystemet:

angående variabler X Og på.
Løsning:


La oss erstatte den første kolonnen i denne determinanten med en kolonne med koeffisienter fra høyre side av systemet og finne verdien:

La oss gjøre en lignende handling, og erstatte den andre kolonnen i den første determinanten:

Aktuelt Cramers formler og finn verdiene til variablene:
Og .
Svar:
Kommentar: Denne metoden kan brukes til å løse systemer med høyere dimensjoner.

Kommentar: Hvis det viser seg at , og det er umulig å dele på null, så sier de at systemet ikke har en unik løsning. I dette tilfellet har systemet enten uendelig mange løsninger eller ingen løsninger i det hele tatt.

Eksempel 2(et uendelig antall løsninger):

Løs ligningssystemet:

angående variabler X Og på.
Løsning:
Finn determinanten til matrisen, sammensatt av koeffisientene til systemet:

Løse systemer ved substitusjonsmetoden.

Den første av likningene til systemet er en likhet som er sann for alle verdier av variablene (fordi 4 alltid er lik 4). Så det er bare én ligning igjen. Dette er en relasjonsligning mellom variabler.
Vi fikk at løsningen til systemet er et hvilket som helst par av verdier av variabler relatert til likhet.
Den generelle løsningen er skrevet slik:
Spesielle løsninger kan bestemmes ved å velge en vilkårlig verdi av y og beregne x fra denne relasjonsligningen.

etc.
Det finnes uendelig mange slike løsninger.
Svar: felles vedtak
Private løsninger:

Eksempel 3(ingen løsninger, systemet er inkonsekvent):

Løs ligningssystemet:

Løsning:
Finn determinanten til matrisen, sammensatt av koeffisientene til systemet:

Du kan ikke bruke Cramers formler. La oss løse dette systemet med substitusjonsmetoden

Den andre ligningen i systemet er en likhet som ikke er gyldig for noen verdier av variablene (selvfølgelig siden -15 ikke er lik 2). Hvis en av likningene til systemet ikke er sann for noen verdier av variablene, har hele systemet ingen løsninger.
Svar: ingen løsninger

I den første delen så vi på noen teoretisk materiale, substitusjonsmetoden og metoden for ledd-for-ledd addisjon av systemligninger. Til alle som kom til siden gjennom denne siden anbefaler jeg at dere leser den første delen. Kanskje noen besøkende vil finne materialet for enkelt, men i løpet av å løse systemer med lineære ligninger kom jeg med en rekke svært viktige bemerkninger og konklusjoner angående løsning av matematiske problemer generelt.

Og nå skal vi analysere Cramers regel, samt løsningen av et system av lineære ligninger ved å bruke den inverse matrisen (matrisemetoden). Alt materiell presenteres enkelt, detaljert og tydelig, nesten alle lesere vil kunne lære å løse systemer ved hjelp av metodene ovenfor.

Vi vurderer først Cramers regel i detalj for et system med to lineære ligninger i to ukjente. For hva? «Det enkleste systemet kan tross alt løses ved skolemetoden, ved termin-for-termin addisjon!

Faktum er at selv om noen ganger, men det er en slik oppgave - å løse et system med to lineære ligninger med to ukjente ved hjelp av Cramers formler. For det andre vil et enklere eksempel hjelpe deg å forstå hvordan du bruker Cramers regel for et mer komplekst tilfelle - et system med tre ligninger med tre ukjente.

I tillegg finnes det systemer av lineære ligninger med to variabler, som det er lurt å løse nøyaktig etter Cramers regel!

Tenk på ligningssystemet

På det første trinnet beregner vi determinanten , kalles det hoveddeterminanten for systemet.

Gauss metode.

Hvis , så har systemet en unik løsning, og for å finne røttene må vi beregne ytterligere to determinanter:
Og

I praksis kan de ovennevnte kvalifiseringene også betegnes med den latinske bokstaven.

Røttene til ligningen finnes av formlene:
,

Eksempel 7

Løs et system med lineære ligninger

Løsning: Vi ser at koeffisientene til ligningen er ganske store, på høyre side er det desimalbrøker med komma. Kommaet er en ganske sjelden gjest i praktiske oppgaver i matematikk tok jeg dette systemet fra et økonometrisk problem.

Hvordan løser man et slikt system? Du kan prøve å uttrykke en variabel i form av en annen, men i dette tilfellet vil du helt sikkert få forferdelige fancy brøker, som er ekstremt upraktiske å jobbe med, og utformingen av løsningen vil se bare forferdelig ut. Du kan multiplisere den andre ligningen med 6 og subtrahere ledd for ledd, men de samme brøkene vises her.

Hva å gjøre? I slike tilfeller kommer Cramers formler til unnsetning.

;

;

Svar: ,

Begge røttene har uendelige haler og finnes omtrentlig, noe som er ganske akseptabelt (og til og med vanlig) for økonometriske problemer.

Kommentarer er ikke nødvendig her, siden oppgaven løses i henhold til ferdige formler, men det er ett forbehold. Når du bruker denne metoden, obligatorisk Fragmentet av oppgaven er følgende fragment: "så systemet har en unik løsning". Ellers kan anmelderen straffe deg for å ikke respektere Cramers teorem.

Det vil ikke være overflødig å sjekke, noe som er praktisk å utføre på en kalkulator: vi erstatter de omtrentlige verdiene på venstre side av hver ligning i systemet. Som et resultat, med en liten feil, bør tall som er på høyre side fås.

Eksempel 8

Uttrykk svaret ditt i vanlige uekte brøker. Gjør en sjekk.

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning (eksempel på findesign og svar på slutten av leksjonen).

Vi vender oss til vurderingen av Cramers regel for et system med tre likninger med tre ukjente:

Vi finner hoveddeterminanten for systemet:

Hvis , så har systemet uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent (har ingen løsninger). I dette tilfellet vil ikke Cramers regel hjelpe, du må bruke Gauss-metoden.

Hvis , så har systemet en unik løsning, og for å finne røttene må vi beregne ytterligere tre determinanter:
, ,

Og til slutt beregnes svaret av formlene:

Som du kan se, er "tre av tre"-tilfellet fundamentalt ikke forskjellig fra "to-to-tilfellet", kolonnen med frie termer "går" sekvensielt fra venstre til høyre langs kolonnene til hoveddeterminanten.

Eksempel 9

Løs systemet ved å bruke Cramers formler.

Løsning: La oss løse systemet ved å bruke Cramers formler.

, så systemet har en unik løsning.

Svar: .

Egentlig er det ikke noe spesielt å kommentere her igjen, med tanke på at beslutningen tas etter ferdige formler. Men det er et par notater.

Det hender at som et resultat av beregninger oppnås "dårlige" irreduserbare fraksjoner, for eksempel: .
Jeg anbefaler følgende "behandlings"-algoritme. Hvis det ikke er noen datamaskin for hånden, gjør vi dette:

1) Det kan være feil i beregningene. Så snart du møter et "dårlig" skudd, må du umiddelbart sjekke om er tilstanden omskrevet riktig. Hvis betingelsen skrives om uten feil, må du beregne determinantene på nytt ved å bruke utvidelsen i en annen rad (kolonne).

2) Hvis det ikke ble funnet feil som følge av kontrollen, ble det mest sannsynlig gjort en skrivefeil i oppgavens tilstand. I dette tilfellet, rolig og FORSIKTIG løs oppgaven til slutten, og deretter sørg for å sjekke og tegne den på ren kopi etter vedtaket. Selvfølgelig er det en ubehagelig oppgave å sjekke et brøksvar, men det vil være et avvæpnende argument for læreren, som, vel, virkelig liker å sette et minus for en dårlig ting som. Hvordan man håndterer brøker er detaljert beskrevet i svaret for eksempel 8.

Hvis du har en datamaskin for hånden, bruk et automatisert program for å sjekke den, som kan lastes ned gratis helt i begynnelsen av leksjonen. Forresten, det er mest fordelaktig å bruke programmet med en gang (selv før du starter løsningen), vil du umiddelbart se mellomtrinnet der du gjorde en feil! Den samme kalkulatoren beregner automatisk løsningen til systemet ved hjelp av matrisemetoden.

Andre bemerkning. Fra tid til annen er det systemer i ligningene hvor noen variabler mangler, for eksempel:

Her i den første ligningen er det ingen variabel, i den andre er det ingen variabel. I slike tilfeller er det svært viktig å skrive ned hoveddeterminanten riktig og NØYE:
– Nuller settes i stedet for manglende variabler.
Det er forresten rasjonelt å åpne determinanter med nuller i henhold til raden (kolonnen) der null er plassert, siden det er merkbart færre beregninger.

Eksempel 10

Løs systemet ved å bruke Cramers formler.

Dette er et eksempel for selvbestemmelse (avslutt prøve og svar på slutten av leksjonen).

For tilfellet med et system med 4 ligninger med 4 ukjente, er Cramers formler skrevet etter lignende prinsipper. Du kan se et levende eksempel i leksjonen Determinant Properties. Redusere rekkefølgen til determinanten - fem fjerde ordens determinanter er ganske løsbare. Selv om oppgaven allerede minner mye om en professorsko på brystet til en heldig student.

Løsning av systemet ved hjelp av den inverse matrisen

Den inverse matrisemetoden er i hovedsak et spesialtilfelle matriseligning(Se eksempel nr. 3 i den angitte leksjonen).

For å studere denne delen, må du kunne utvide determinantene, finne den inverse matrisen og utføre matrisemultiplikasjon. Relevante lenker vil bli gitt etter hvert som forklaringen skrider frem.

Eksempel 11

Løs systemet med matrisemetoden

Løsning: Vi skriver systemet i matriseform:
, Hvor

Vennligst se på likningssystemet og matrisene. Etter hvilket prinsipp vi skriver elementer inn i matriser, tror jeg alle forstår. Den eneste kommentaren: hvis noen variabler manglet i ligningene, så måtte nuller settes på de tilsvarende stedene i matrisen.

Vi finner den inverse matrisen ved formelen:
, hvor er den transponerte matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen.

Først, la oss ta for oss determinanten:

Her utvides determinanten med den første linjen.

Merk følgende! Hvis , eksisterer ikke den inverse matrisen, og det er umulig å løse systemet med matrisemetoden. I dette tilfellet løses systemet ved å eliminere ukjente (Gauss-metoden).

Nå må du beregne 9 mindreårige og skrive dem inn i matrisen av mindreårige

Henvisning: Det er nyttig å vite betydningen av doble abonnenter i lineær algebra. Det første sifferet er linjenummeret der elementet er plassert. Det andre sifferet er nummeret på kolonnen der elementet er plassert:

Det vil si at en dobbel subscript indikerer at elementet er i første rad, tredje kolonne, mens for eksempel elementet er i 3. rad, 2. kolonne

La systemet med lineære ligninger inneholde like mange ligninger som antall uavhengige variabler, dvs. har formen

Slike systemer med lineære ligninger kalles kvadratiske. Determinanten som er sammensatt av koeffisientene til de uavhengige variablene i systemet (1.5) kalles hoveddeterminanten for systemet. Vi vil betegne det med den greske bokstaven D. Dermed,

Hvis i hoveddeterminanten en vilkårlig ( j th) kolonne, erstatte den med kolonnen av gratis medlemmer av systemet (1.5), så kan vi få mer n hjelpedeterminanter:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramers regelå løse kvadratiske systemer av lineære ligninger er som følger. Hvis hoveddeterminanten D for system (1.5) ikke er null, har systemet en unik løsning, som kan finnes ved formlene:

Eksempel 1.5. Løs ligningssystemet ved å bruke Cramers metode

La oss beregne hoveddeterminanten for systemet:

Siden D¹0 har systemet en unik løsning som kan finnes ved hjelp av formler (1.8):

Dermed,

Matrisehandlinger

1. Multiplikasjon av en matrise med et tall. Operasjonen med å multiplisere en matrise med et tall er definert som følger.

2. For å multiplisere en matrise med et tall, må du multiplisere alle elementene med dette tallet. Det er

Eksempel 1.6. .

Matrisetillegg.

Denne operasjonen introduseres bare for matriser av samme rekkefølge.

For å legge til to matriser, er det nødvendig å legge til de tilsvarende elementene i den andre matrisen til elementene i en matrise:

(1.10)
Operasjonen av matriseaddisjon har egenskapene assosiativitet og kommutativitet.

Eksempel 1.7. .

Matrisemultiplikasjon.

Hvis antall matrisekolonner EN samsvarer med antall matriserader I, så for slike matriser introduseres operasjonen med multiplikasjon:

Altså når man multipliserer matrisen EN dimensjoner m´ n til matrise I dimensjoner n´ k vi får en matrise MED dimensjoner m´ k. I dette tilfellet elementene i matrisen MED beregnes i henhold til følgende formler:

Oppgave 1.8. Finn, hvis mulig, produktet av matriser AB Og BA:

Løsning. 1) For å finne et arbeid AB, trenger du matriserader EN multiplisere med matrisekolonner B:

2) Kunstverk BA eksisterer ikke, fordi antall kolonner i matrisen B samsvarer ikke med antall matriserader EN.

Invers matrise. Løse systemer av lineære ligninger på en matrisemåte

Matrise EN- 1 kalles inversen til en kvadratisk matrise EN hvis likheten gjelder:

hvor gjennom Jeg betegner identitetsmatrisen av samme rekkefølge som matrisen EN:

For at en kvadratisk matrise skal ha en invers, er det nødvendig og tilstrekkelig at dens determinant ikke er null. Den inverse matrisen er funnet av formelen:

Hvor A ij- algebraiske tillegg til elementer aij matriser EN(merk at algebraiske tillegg til radene i matrisen EN er arrangert i den inverse matrisen i form av tilsvarende kolonner).

Eksempel 1.9. Finn invers matrise EN- 1 til matrise

Vi finner den inverse matrisen ved formel (1.13), som for tilfellet n= 3 ser ut som:

La oss finne det EN = | EN| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Siden determinanten til den opprinnelige matrisen er forskjellig fra null, eksisterer den inverse matrisen.

1) Finn algebraiske tillegg A ij:

For å gjøre det lettere å finne den inverse matrisen, plasserte vi de algebraiske tilleggene til radene i den opprinnelige matrisen i de tilsvarende kolonnene.

Fra de oppnådde algebraiske tilleggene komponerer vi en ny matrise og deler den med determinanten det EN. Dermed vil vi få den inverse matrisen:

Kvadratiske systemer av lineære ligninger med en hoveddeterminant som ikke er null kan løses ved å bruke en invers matrise. For dette er system (1.5) skrevet i matriseform:

Multiplisere begge sider av likhet (1,14) til venstre med EN- 1, får vi løsningen av systemet:

Derfor, for å finne en løsning på et kvadratisk system, må du finne den inverse matrisen til hovedmatrisen til systemet og multiplisere den til høyre med kolonnematrisen med frie ledd.

Oppgave 1.10. Løs et system med lineære ligninger

ved å bruke en invers matrise.

Løsning. Vi skriver systemet i matriseform: ,

hvor er hovedmatrisen til systemet, er kolonnen av ukjente, og er kolonnen av gratis medlemmer. Siden hoveddeterminanten for systemet er , så er hovedmatrisen til systemet EN har en invers matrise EN-1 . For å finne den inverse matrisen EN-1 , beregne de algebraiske komplementene til alle elementene i matrisen EN:

Fra de oppnådde tallene komponerer vi en matrise (også algebraiske tillegg til radene i matrisen EN skriv i de aktuelle kolonnene) og del den med determinanten D. Dermed har vi funnet den inverse matrisen:

Vi finner løsningen av systemet ved formelen (1.15):

Dermed,

Løse systemer av lineære ligninger ved vanlige Jordan-unntak

La et vilkårlig (ikke nødvendigvis kvadratisk) system av lineære ligninger gis:

Det kreves å finne en løsning på systemet, d.v.s. et slikt sett med variabler som tilfredsstiller alle likhetene i systemet (1.16). I generell sak system (1.16) kan ikke bare ha én løsning, men også et uendelig antall løsninger. Det kan heller ikke ha noen løsninger i det hele tatt.

Når man løser slike problemer, brukes metoden for å eliminere ukjente, velkjent fra skolekurset, som også kalles metoden for vanlige Jordan-elimineringer. essens denne metoden ligger i det faktum at i en av systemlikningene (1.16) er en av variablene uttrykt i form av andre variabler. Deretter erstattes denne variabelen i andre likninger i systemet. Resultatet er et system som inneholder én ligning og én mindre variabel enn det opprinnelige systemet. Ligningen som variabelen ble uttrykt fra huskes.

Denne prosessen gjentas til en siste ligning gjenstår i systemet. I prosessen med å eliminere ukjente, kan noen ligninger bli til sanne identiteter, for eksempel. Slike ligninger er ekskludert fra systemet, siden de er gyldige for alle verdier av variablene og derfor ikke påvirker løsningen av systemet. Hvis, i prosessen med å eliminere ukjente, minst én ligning blir en likhet som ikke kan tilfredsstilles for noen verdier av variablene (for eksempel ), så konkluderer vi med at systemet ikke har noen løsning.

Hvis det i løpet av løsningen av inkonsistente ligninger ikke oppsto, er en av de gjenværende variablene i den funnet fra den siste ligningen. Hvis bare én variabel er igjen i den siste ligningen, uttrykkes den som et tall. Hvis andre variabler forblir i den siste ligningen, regnes de som parametere, og variabelen uttrykt gjennom dem vil være en funksjon av disse parameterne. Deretter foretas det såkalte "reverse move". Den funnet variabelen erstattes i den siste lagrede ligningen og den andre variabelen blir funnet. Deretter erstattes de to funnet variablene i den nest siste lagrede ligningen og den tredje variabelen blir funnet, og så videre, opp til den første lagrede ligningen.

Som et resultat får vi løsningen av systemet. Denne løsningen vil være den eneste hvis de funnet variablene er tall. Hvis den først funnet variabelen, og deretter alle de andre, avhenger av parameterne, vil systemet ha et uendelig antall løsninger (hvert sett med parametere tilsvarer en ny løsning). Formler som gjør det mulig å finne en løsning på systemet avhengig av et bestemt sett med parametere kalles den generelle løsningen til systemet.

Eksempel 1.11.

x

Etter å ha husket den første ligningen og tatt med lignende termer i den andre og tredje ligningen, kommer vi til systemet:

Uttrykke y fra den andre ligningen og erstatte den med den første ligningen:

Husk den andre ligningen, og fra den første finner vi z:

Å gjøre det motsatte trekket, finner vi suksessivt y Og z. For å gjøre dette, bytter vi først inn i den siste memorerte ligningen , som vi finner fra y:

Deretter erstatter vi og inn i den første memorerte ligningen , som vi finner fra x:

Oppgave 1.12. Løs et system med lineære ligninger ved å eliminere ukjente:

Løsning. La oss uttrykke variabelen fra den første ligningen x og bytt det inn i den andre og tredje ligningen:

I dette systemet motsier den første og andre ligningen hverandre. Faktisk uttrykke y fra den første ligningen og erstatte den med den andre ligningen, får vi at 14 = 17. Denne likheten er ikke oppfylt, for noen verdier av variablene x, y, Og z. Følgelig er system (1.17) inkonsekvent, dvs. har ingen løsning.

Lesere inviteres til uavhengig å bekrefte at hoveddeterminanten til det opprinnelige systemet (1.17) er lik null.

Tenk på et system som skiller seg fra system (1.17) med bare én fri term.

Oppgave 1.13. Løs et system med lineære ligninger ved å eliminere ukjente:

Løsning. Som før uttrykker vi variabelen fra den første ligningen x og bytt det inn i den andre og tredje ligningen:

Husk den første likningen og gi lignende ledd i den andre og tredje likningen. Vi kommer til systemet:

uttrykke y fra den første ligningen og erstatter den med den andre ligningen , får vi identiteten 14 = 14, som ikke påvirker løsningen av systemet, og derfor kan den ekskluderes fra systemet.

I den siste memorerte likheten, variabelen z vil bli vurdert som en parameter. Vi tror . Deretter

Erstatning y Og z inn i den første memorerte likheten og finne x:

Dermed har system (1.18) et uendelig sett med løsninger, og enhver løsning kan finnes ved formler (1.19) ved å velge en vilkårlig verdi av parameteren t:

(1.19)
Dermed er løsningene til systemet, for eksempel, følgende sett med variabler (1; 2; 0), (2; 26; 14), osv. Formler (1.19) uttrykker den generelle (en hvilken som helst) løsning av systemet (1.18) ).

I tilfellet når det opprinnelige systemet (1.16) har et tilstrekkelig stort antall ligninger og ukjente, virker den angitte metoden for vanlige Jordan-elimineringer tungvint. Det er det imidlertid ikke. Det er tilstrekkelig å utlede en algoritme for å beregne koeffisientene til systemet på nytt i ett trinn i en generell form og formalisere løsningen av problemet i form av spesielle Jordan-tabeller.

La et system av lineære former (ligninger) gis:

, (1.20)
Hvor xj- uavhengige (ønskede) variabler, aij- konstante koeffisienter
(jeg = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Rette deler av systemet y jeg (jeg = 1, 2,…, m) kan være både variabler (avhengige) og konstanter. Det er nødvendig å finne løsninger på dette systemet ved å eliminere ukjente.

La oss vurdere følgende operasjon, heretter referert til som "ett trinn med vanlige Jordan-unntak". Fra en vilkårlig ( r th) likhet, vi uttrykker en vilkårlig variabel ( x s) og erstatte i alle andre likheter. Dette er selvfølgelig bare mulig hvis en rs¹ 0. Koeffisient en rs kalles det løsende (noen ganger veiledende eller hoved) element.

Vi får følgende system:

Fra s th equality of system (1.21), vil vi deretter finne variabelen x s(etter at andre variabler er funnet). S Den te linjen huskes og ekskluderes deretter fra systemet. Det gjenværende systemet vil inneholde en ligning og en mindre uavhengig variabel enn det opprinnelige systemet.

La oss beregne koeffisientene til det resulterende systemet (1.21) i form av koeffisientene til det opprinnelige systemet (1.20). La oss begynne med r likning, som, etter å ha uttrykket variabelen x s gjennom resten av variablene vil se slik ut:

Dermed de nye koeffisientene r ligningen beregnes med følgende formler:

(1.23)
La oss nå beregne de nye koeffisientene b ij(Jeg¹ r) av en vilkårlig ligning. For å gjøre dette, erstatter vi variabelen uttrykt i (1.22) x s V Jeg systemligningen (1.20):

Etter å ha kommet med lignende vilkår får vi:

(1.24)
Fra likhet (1.24) får vi formler som de gjenværende koeffisientene til systemet (1.21) beregnes med (med unntak av r ligning):

(1.25)
Transformasjonen av systemer med lineære ligninger ved metoden for vanlige jordanske elimineringer presenteres i form av tabeller (matriser). Disse tabellene kalles "Jordan-tabeller".

Dermed er problem (1.20) assosiert med følgende Jordan-tabell:

Tabell 1.1

	x 1	x 2	…	xj	…	x s	…	x n
y 1 =	en 11	en 12		en 1j		en 1s		en 1n
…………………………………………………………………..
y jeg=	en i 1	en i 2		aij		a er		en inn
…………………………………………………………………..
y r=	en r 1	en r 2		en rj		en rs		en rn
………………………………………………………………….
y n=	en m 1	en m 2		en mj		en ms		amn

Jordan-tabell 1.1 inneholder den venstre hodekolonnen, der de høyre delene av systemet (1.20) er skrevet, og den øverste overskriften, der de uavhengige variablene er skrevet.

De resterende elementene i tabellen danner hovedmatrisen av koeffisienter for systemet (1.20). Hvis vi multipliserer matrisen EN til matrisen som består av elementene i den øvre overskriftsraden, så får vi matrisen som består av elementene i den venstre overskriftskolonnen. Det vil si at Jordan-tabellen i hovedsak er en matriseform for å skrive et system med lineære ligninger: . I dette tilfellet tilsvarer den følgende Jordan-tabellen systemet (1.21):

Tabell 1.2

	x 1	x 2	…	xj	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b er		b inn
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Permitterende element en rs vi vil fremheve med fet skrift. Husk at for å implementere ett trinn med Jordan-unntak, må løsningselementet være fra null. En tabellrad som inneholder et permissivt element kalles en permissiv rad. Kolonnen som inneholder aktiveringselementet kalles aktiveringskolonnen. Når du går fra en gitt tabell til neste tabell, vil en variabel ( x s) fra den øverste overskriftsraden i tabellen flyttes til venstre overskriftskolonne og omvendt et av de ledige medlemmene av systemet ( y r) flyttes fra den venstre overskriftskolonnen i tabellen til den øverste overskriftsraden.

La oss beskrive algoritmen for omregning av koeffisientene i forbifarten fra Jordan-tabellen (1.1) til tabellen (1.2), som følger av formlene (1.23) og (1.25).

1. Aktiveringselementet erstattes av det omvendte tallet:

2. De resterende elementene i den permissive linjen deles med det permissive elementet og endre fortegn til det motsatte:

3. De gjenværende elementene i aktiveringskolonnen er delt inn i aktiveringselementet:

4. Elementer som ikke er inkludert i oppløsningsraden og oppløsningskolonnen, beregnes på nytt i henhold til formlene:

Den siste formelen er lett å huske hvis du legger merke til at elementene som utgjør brøken er i skjæringspunktet Jeg-å og r-th linjer og j th og s-th kolonner (løse rad, løse kolonne og rad og kolonne i skjæringspunktet som elementet som skal beregnes på nytt befinner seg). Mer presist, når du memorerer formelen, kan du bruke følgende diagram:

-21 -26 -13 -37

Utføre det første trinnet av de jordanske unntakene, ethvert element i Tabell 1.3 plassert i kolonnene x 1 ,…, x 5 (alle angitte elementer er ikke lik null). Du bør ikke bare velge aktiveringselementet i den siste kolonnen, fordi trenger å finne uavhengige variabler x 1 ,…, x 5 . Vi velger for eksempel koeffisienten 1 med en variabel x 3 i tredje rad i tabell 1.3 (aktiveringselementet er vist i fet skrift). Når du flytter til tabell 1.4 vil variabelen x De 3 fra den øverste overskriftsraden byttes med konstant 0 i den venstre overskriftskolonnen (tredje rad). Samtidig er variabelen x 3 er uttrykt i form av de resterende variablene.

streng x 3 (Tabell 1.4) kan, etter å ha husket det tidligere, utelukkes fra Tabell 1.4. Tabell 1.4 ekskluderer også den tredje kolonnen med en null i den øvre overskriften. Poenget er at uavhengig av koeffisientene til denne kolonnen b i 3 alle ledd som tilsvarer det i hver ligning 0 b i 3 systemer vil være null. Derfor kan disse koeffisientene ikke beregnes. Eliminerer én variabel x 3 og husker en av ligningene, kommer vi til et system som tilsvarer tabell 1.4 (med linjen krysset ut x 3). Velge i tabell 1.4 som oppløsningselement b 14 = -5, gå til tabell 1.5. I tabell 1.5 husker vi den første raden og ekskluderer den fra tabellen sammen med den fjerde kolonnen (med null øverst).

Tabell 1.5 Tabell 1.6

Fra den siste tabellen 1.7 finner vi: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Ved å erstatte de allerede funnet variablene sekvensielt i de lagrede linjene, finner vi de gjenværende variablene:

Dermed har systemet et uendelig antall løsninger. variabel x 5, kan du tilordne vilkårlige verdier. Denne variabelen fungerer som en parameter x 5 = t. Vi beviste kompatibiliteten til systemet og fant den generelle løsningen:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Å gi parameter t forskjellige verdier, får vi et uendelig antall løsninger på det opprinnelige systemet. Så, for eksempel, er løsningen av systemet følgende sett med variabler (- 3; - 1; - 2; 4; 0).