Det vises hvordan man gjenkjenner en generalisert homogen differensialligning. En metode for å løse en generalisert homogen differensialligning av første orden vurderes. Et eksempel er gitt detaljert løsning en slik ligning.

Innhold

Definisjon

En generalisert førsteordens homogen differensialligning er en ligning av formen:
, hvor ≠ 0 , α ≠ 1 , f - funksjon.

Hvordan bestemme om en differensialligning er en generalisert homogen

For å bestemme om en differensialligning er en generalisert homogen, må vi innføre en konstant t og gjøre substitusjonen:
y → t α y , x → t x .
Hvis vi klarer å velge en slik verdi α hvor konstanten t vil avta, så er dette - generalisert homogen differensialligning. Endringen i den deriverte y′ under en slik erstatning har formen:
.

Eksempel

Bestem om den gitte ligningen er generalisert homogen:
.

Vi gjør endringen y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 år:
;
.
Del på t α+ 5 :
;
.
Ligningen vil ikke inneholde t if
4α - 6 = 0, α = 3/2 .
Siden for α = 3/2 , t reduseres, da dette er en generalisert homogen ligning.

Løsningsmetode

Tenk på den generaliserte homogene differensialligningen av første orden:
(1) .
La oss vise at det kan reduseres til en homogen ligning ved substitusjon:
t = xα.
Egentlig,
.
Herfra
; .
(1) :
;
.

Dette er en homogen ligning. Det løses ved substitusjon:
y = z t,
der z er en funksjon av t.
Når du løser problemer, er det lettere å umiddelbart bruke substitusjonen:
y = z x α ,
der z er en funksjon av x .

Et eksempel på løsning av en generalisert homogen differensialligning av første orden

Løs differensialligning
(S.1) .

La oss sjekke om den gitte ligningen er en generalisert homogen. For dette i (S.1) gjøre en erstatning:
y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 år.
.
Del med t α :
.
t vil avta hvis vi setter α = - 1 . Så dette er en generalisert homogen ligning.

Vi gjør en erstatning:
y = z x α = z x - 1 ,
der z er en funksjon av x .
.
Vi erstatter inn i den opprinnelige ligningen (S.1):
(S.1) ;
;
.
Multipliser med x og åpne parentesene:
;
;
.
Divider variabler - multipliser med dx og del på x z 2 . For z ≠ 0 vi har:
.
Vi integrerer ved å bruke tabellen over integraler:
;
;
;
.
Potensier:
.
Vi erstatter konstanten e C → C og fjerner tegnet på modulen, siden valget av ønsket tegn bestemmes av valget av tegnet til konstanten C:
.

Vi går tilbake til variabelen y . Erstatter z = xy :
.
Del på x:
(S.2) .

Når vi deler på z 2 , vi antok at z ≠ 0 . Tenk nå på løsningen z = xy = 0 , eller y = 0 .
Siden for y = 0 , venstre side av uttrykket (S.2) ikke er definert, legger vi til det oppnådde generelle integralet løsningen y = 0 .

;
.

Referanser:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Samling av problemer i høyere matematikk, Lan, 2003.

Ved å klikke på "Last ned arkiv"-knappen vil du laste ned filen du trenger gratis.
Før du laster ned denne filen, husk de gode essayene, kontrollen, semesteroppgavene, avhandlinger, artikler og andre dokumenter som ikke er gjort krav på på datamaskinen din. Dette er ditt arbeid, det skal delta i samfunnsutviklingen og komme mennesker til gode. Finn disse verkene og send dem til kunnskapsbasen.
Vi og alle studenter, hovedfagsstudenter, unge forskere som bruker kunnskapsbasen i studiene og arbeidet vil være dere veldig takknemlige.

For å laste ned et arkiv med et dokument, skriv inn et femsifret nummer i feltet nedenfor og klikk på "Last ned arkiv"-knappen

Lignende dokumenter

Cauchy-problemer for differensialligninger. Graf over løsningen av differensialligningen av første orden. Ligninger med separerbare variabler og reduserer til homogene. Homogene og inhomogene lineære ligninger av første orden. Bernoulli-ligningen.

foredrag, lagt til 18.08.2012


Grunnleggende begreper i teorien om vanlige differensialligninger. Tegn på ligningen i totale forskjeller, konstruksjon av den generelle integralen. De enkleste tilfellene for å finne den integrerende faktoren. Tilfellet med en multiplikator som bare avhenger av X og kun av Y.

semesteroppgave, lagt til 24.12.2014


Egenskaper ved differensialligninger som relasjoner mellom funksjoner og deres deriverte. Bevis på teoremet om eksistens og løsningens unikhet. Eksempler og algoritme for å løse likninger i totale differensialer. Integrerende faktor i eksempler.

semesteroppgave, lagt til 02.11.2014


Differensiallikninger Riccati. Generell løsning av en lineær ligning. Finne alle mulige løsninger av Bernoullis differensialligning. Løsning av ligninger med separerbare variabler. Generelle og spesielle løsninger av Clairaut-differensialligningen.

semesteroppgave, lagt til 26.01.2015


En ligning med separerbare variabler. Homogene og lineære differensialligninger. Geometriske egenskaper til integralkurver. Total differensial av en funksjon av to variabler. Bestemmelse av integralet ved Bernoulli-metoder og variasjoner av en vilkårlig konstant.

abstrakt, lagt til 24.08.2015


Konsepter og løsninger av de enkleste differensialligninger og differensialligninger av vilkårlig rekkefølge, inkludert de med konstante analytiske koeffisienter. Systemer av lineære ligninger. Asymptotisk oppførsel av løsninger av noen lineære systemer.

avhandling, lagt til 06.10.2010


Generell integral av ligningen, anvendelse av Lagrange-metoden for å løse en inhomogen lineær ligning med en ukjent funksjon. Løsning av en differensialligning i parametrisk form. Eulertilstand, førsteordensligning i totale differensialer.

kontrollarbeid, lagt til 11.02.2011

def 1 type kontroll

kalt homogen differensialligning av første orden(ODE).

Th1 La følgende betingelser være oppfylt for funksjonen:

1) kontinuerlig kl

Da har ODE (1) et felles integral, som er gitt av formelen:

hvor er et antiderivat av funksjonen med er en vilkårlig konstant.

Merknad 1 Hvis tilstanden for noen er oppfylt, kan løsningen av skjemaet gå tapt i prosessen med å løse ODE (1), slike tilfeller bør behandles mer nøye og hver av dem bør kontrolleres separat.

Altså fra teoremet Th1 bør generell algoritme for å løse ODE (1):

1) Gjør en erstatning:

2) Dermed vil det fås en DE med separerbare variabler, som bør integreres;

3) Gå tilbake til de gamle g-variablene;

4) Sjekk verdiene for deres involvering i løsningen original fjernkontroll, der betingelsen

5) Skriv ned svaret.

Eksempel 1 Løs DE (4).

Beslutning: DE (4) er en homogen differensialligning, siden den har formen (1). La oss erstatte (3), dette vil bringe ligningen (4) til skjemaet:

Ligning (5) er det generelle integralet til DE (4).

Merk at når man skiller variabler og deler med, kan løsninger gå tapt, men det er ikke en løsning på DE (4), som lett kan verifiseres ved direkte substitusjon til likhet (4), siden denne verdien ikke er inkludert i definisjonsdomenet av den opprinnelige DE.

Svar:

Merknad 2 Noen ganger kan man skrive ODE-er i form av differensialer av variabler X og y. Det anbefales å gå fra denne DE-notasjonen til uttrykket gjennom den deriverte og først deretter utføre erstatningen (3).

Differensialligninger som reduserer til homogene.

def 2 Funksjonen kalles homogen funksjon av grad k i området, for hvilke likestillingen vil bli oppfylt:

Her er de vanligste typene DE som kan reduseres til formen (1) etter ulike transformasjoner.

1) hvor er funksjonen er homogen, null grader, det vil si at følgende likhet er sann: DE (6) kan lett reduseres til formen (1) hvis vi setter , som er videre integrert ved hjelp av erstatningen (3).

2) (7), hvor funksjonene er homogene i samme grad k . DE av skjemaet (7) er også integrert ved hjelp av endringen (3).

Eksempel 2 Løs DE (8).

Beslutning: La oss vise at DE (8) er homogen. Vi deler på det som er mulig, siden det ikke er en løsning på differensialligningen (8).

La oss erstatte (3), dette vil bringe ligningen (9) til skjemaet:

Ligning (10) er det generelle integralet til DE (8).

Vær oppmerksom på at når du skiller variabler og deler med , kan løsningene som tilsvarer verdiene av og gå tapt. La oss sjekke disse uttrykkene. La oss erstatte dem med DE (8):

Svar:

Det er interessant å merke seg at når du løser dette eksemplet, vises en funksjon kalt "tegnet" til tallet X(les" signum x”), definert av uttrykket:

Merknad 3 Det er ikke nødvendig å bringe DE (6) eller (7) til skjemaet (1), hvis det er åpenbart at DE er homogen, er det mulig å erstatte umiddelbart

3) DE-en til skjemaet (11) er integrert som en ODE hvis , mens substitusjonen først utføres:

(12), hvor er løsningen av systemet: (13), og bruk deretter erstatningen (3) for funksjonen Etter å ha oppnådd den generelle integralen, gå tilbake til variablene X og på.

Hvis , da, forutsatt i ligning (11), får vi en DE med separerbare variabler.

Eksempel 3 Løs Cauchy-problemet (14).

Beslutning: La oss vise at DE (14) er redusert til en homogen DE og integrert i henhold til skjemaet ovenfor:

Vi vil løse et inhomogent system av lineært algebraiske ligninger(15) Cramers metode:

Vi gjør en endring av variabler og integrerer den resulterende ligningen:

(16) – Generell integral av DE (14). Når du deler variabler, kan løsninger gå tapt når du deler med et uttrykk, som kan oppnås eksplisitt etter å ha løst en andregradsligning. De er imidlertid tatt hensyn til i den generelle integralen (16) kl

La oss finne en løsning på Cauchy-problemet: vi erstatter verdiene til og inn i det generelle integralet (16) og finner med.

Dermed vil det partielle integralet bli gitt av formelen:

Svar:

4) Det er mulig å lede noen DE-er til homogene for en ny, men ukjent funksjon, hvis vi bruker en erstatning av formen:

Samtidig er antallet m velges fra betingelsen at den resulterende ligningen, hvis mulig, blir homogen til en viss grad. Men hvis dette ikke kan gjøres, kan den betraktede DE ikke reduseres til en homogen på denne måten.

Eksempel 4 Løs DU. (atten)

Beslutning: La oss vise at DE (18) reduseres til en homogen DE ved bruk av substitusjon (17) og deretter integrert ved bruk av erstatning (3):

La oss finne med:

Således har en spesiell løsning av DE (24) formen

.
Differensiallikninger.

§ 1. Grunnleggende begreper om vanlige differensialligninger.

Definisjon 1. Vanlig differensialligning n-te rekkefølge for funksjonen y argument x kalles en relasjon av formen

hvor F er en gitt funksjon av argumentene. I navnet til denne klassen av matematiske ligninger, understreker begrepet "differensial" at de inkluderer derivater
(funksjoner dannet som et resultat av differensiering); begrepet - "vanlig" sier at ønsket funksjon avhenger av bare ett reelt argument.

En vanlig differensialligning inneholder kanskje ikke eksplisitt et argument x, ønsket funksjon
og hvilken som helst av dens derivater, men den høyeste derivater
må inkluderes i ligningen n- rekkefølge. For eksempel

en)
er første ordens ligning;

b)
er en tredjeordens ligning.

Når du skriver vanlige differensialligninger, brukes ofte notasjonen av derivater gjennom differensialer:

i)
er en andreordens ligning;

G)
er første ordens ligning,

dannes etter deling etter dx ekvivalent form av ligningen:
.

Funksjon
kalles en løsning på en vanlig differensialligning hvis den blir en identitet når den blir substituert i den.

For eksempel 3. ordens ligning

Har en løsning
.

For å finne ved en eller annen metode, for eksempel seleksjon, betyr ikke en funksjon som tilfredsstiller en ligning å løse den. Å løse en vanlig differensialligning betyr å finne Alle funksjoner som danner en identitet når de erstattes i ligningen. For ligning (1.1) er familien av slike funksjoner dannet ved hjelp av vilkårlige konstanter og kalles den generelle løsningen av den ordinære differensialligningen n orden, og antall konstanter faller sammen med rekkefølgen til ligningen: y(x) : I dette tilfellet kalles løsningen det generelle integralet av ligning (1.1).

For eksempel den generelle løsningen av differensialligningen
er følgende uttrykk: , og det andre leddet kan også skrives som
, siden en vilkårlig konstant dividert med 2 kan erstattes av en ny vilkårlig konstant .

Ved å sette noen tillatte verdier for alle vilkårlige konstanter i den generelle løsningen eller i det generelle integralet, får vi en viss funksjon som ikke lenger inneholder vilkårlige konstanter. Denne funksjonen kalles en bestemt løsning eller et bestemt integral av ligning (1.1). For å finne verdiene til vilkårlige konstanter, og derav den spesielle løsningen, brukes forskjellige tilleggsbetingelser til ligning (1.1). For eksempel kan de såkalte startbetingelsene for (1.2) gis

I de høyre delene av startbetingelsene (1.2) er de numeriske verdiene til funksjonen og deriverte gitt, og det totale antallet startbetingelser er lik antallet vilkårlige konstanter som bestemmes.

Problemet med å finne en bestemt løsning på ligning (1.1) fra startforhold kalles Cauchy-problemet.

§ 2. Ordinære differensialligninger av 1. orden - grunnleggende begreper.

Ordinær differensialligning av 1. orden ( n=1) har formen:
eller, hvis det kan løses med hensyn til derivatet:
. Felles vedtak y= y(x,MED) eller generell integral
1. ordens ligninger inneholder én vilkårlig konstant. Den eneste startbetingelsen for 1. ordens ligning
lar deg bestemme verdien av konstanten fra den generelle løsningen eller fra det generelle integralet. Dermed vil en bestemt løsning bli funnet eller, som også er Cauchy-problemet, vil bli løst. Spørsmålet om eksistensen og det unike ved en løsning på Cauchy-problemet er et av de sentrale spørsmålene i generell teori vanlige differensialligninger. Spesielt for en førsteordensligning er teoremet gyldig, som godtas her uten bevis.

Teorem 2.1. Hvis i ligningen funksjonen
og dens partielle derivater
kontinuerlig i enkelte områder D flyet XOY, og et poeng er gitt i dette området
, så finnes det og dessuten en unik løsning som tilfredsstiller både ligningen og innledende tilstand
.

Geometrisk felles vedtak 1. ordens ligninger er en familie av kurver i planet XOY, som ikke har felles punkter og skiller seg fra hverandre med en parameter - verdien av konstanten C. Disse kurvene kalles integralkurver for den gitte ligningen. Integralkurvene til ligningen har en åpenbar geometrisk egenskap: ved hvert punkt er tangenten til hellingen til tangenten til kurven lik verdien til høyre side av ligningen på det punktet:
. Med andre ord er ligningen gitt i planet XOY retningsfelt for tangenter til integralkurver. Kommentar: Det skal bemerkes at for ligningen
ligningen og den såkalte ligningen i symmetrisk form er gitt
.

§ 3. Førsteordens differensialligninger med separerbare variabler.

Definisjon. En differensialligning med separerbare variabler er en formlikning
(3.1)

eller en ligning av formen (3.2)

For å skille variablene i likning (3.1), dvs. reduser denne ligningen til den såkalte ligningen med separerte variabler, utfør følgende handlinger:

;

Nå må vi løse ligningen g(y)= 0 . Hvis det har en reell løsning y= en, deretter y= en vil også være en løsning av ligning (3.1).

Ligning (3.2) reduseres til en adskilt variabel ligning ved å dele på produktet
:

, som lar oss få det generelle integralet av ligning (3.2):
. (3.3)

Integralkurvene (3.3) vil bli supplert med løsningene
dersom slike løsninger finnes.

Løs ligningen:.

Separere variabler:

.

Integrering, får vi

Videre fra ligningene
og
finne x=1, y=-1. Disse avgjørelsene er private vedtak.

§ 4. Homogene differensialligninger av første orden.

Definisjon 1. En ligning av 1. orden kalles homogen hvis for sin høyre side for noen
forholdet
, kalt tilstanden for homogenitet av en funksjon av to variabler null dimensjon.

Eksempel 1 Vis den funksjonen
- homogen nullmåling.

Beslutning.

,

Q.E.D.

Teorem. Enhver funksjon
er homogen og omvendt en hvilken som helst homogen funksjon
nulldimensjon reduseres til formen
.

Bevis.

Den første påstanden til teoremet er åpenbar, siden
. La oss bevise den andre påstanden. La oss sette
, deretter for en homogen funksjon
, som skulle bevises.

Definisjon 2. Ligning (4.1)

hvori M og N er homogene funksjoner av samme grad, dvs. har eiendommen til alle , kalles homogen.

Selvfølgelig kan denne ligningen alltid reduseres til formen
(4.2), selv om dette kanskje ikke gjøres for å løse det.

En homogen ligning reduseres til en ligning med separerbare variabler ved å erstatte ønsket funksjon y i henhold til formelen y= zx, hvor z(x) er den nye ønskede funksjonen. Etter å ha utført denne substitusjonen i ligning (4.2), får vi:
eller
eller
.

Ved å integrere får vi det generelle integralet til ligningen med hensyn til funksjonen z(x)
, som etter gjentatt utskifting
gir det generelle integralet til den opprinnelige ligningen. I tillegg, hvis - røttene til ligningen
, deretter funksjonene
- løsninger av en homogen gitt ligning. Hvis
, så tar ligning (4.2) formen

og blir en ligning med separerbare variabler. Løsningene er semi-direkte:
.

Kommentar. Noen ganger er det tilrådelig i stedet for substitusjonen ovenfor å bruke substitusjonen x= zy.

§ 5. Differensialligninger som reduserer til homogene.

Tenk på en formlikning
. (5.1)

Hvis
, så er denne ligningen ved substitusjon , hvor og er nye variabler, og - noen konstante tall bestemt fra systemet

Redusert til en homogen ligning

Hvis
, så tar ligning (5.1) formen

.

Forutsatt z= øks+ av, vi kommer til en ligning som ikke inneholder en uavhengig variabel.

Tenk på eksempler.

Eksempel 1

Integrer ligning

og marker integralkurven som går gjennom punktene: a) (2;2); b) (1;-1).

Beslutning.

La oss sette y= zx. Deretter dy= xdz+ zdx og

La oss forkorte det med og samle medlemmer kl dx og dz:

La oss skille variablene:

.

Integrering får vi ;

eller
,
.

Bytter ut her z på , får vi det generelle integralet til den gitte ligningen i formen (5.2)
eller

.

Denne familien av sirkler
, hvis sentre ligger på en rett linje y = x og som ved origo er tangent til linjen y + x = 0. Dette retty = - x i sin tur en spesiell løsning av ligningen.

Nå er Cauchy-oppgavemodusen:

A) forutsatt i det generelle integralet x=2, y=2, finne C=2, så den ønskede løsningen er
.

B) ingen av sirklene (5.2) går gjennom punktet (1;-1). Men halvlinje y = - x,
går gjennom punktet og gir ønsket løsning.

Eksempel 2 Løs ligningen:.

Beslutning.

Ligningen er et spesialtilfelle av ligning (5.1).

Avgjørende faktor
i dette eksemplet
, så vi må løse følgende system

Løsning, det skjønner vi
. Utføre substitusjonen i den gitte ligningen
, får vi en homogen ligning . Integrering med en erstatning
, Vi finner
.

Gå tilbake til gamle variabler x og y formler
, vi har .

§ 6. Generalisert homogen likning.

Ligningen M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 kalles generalisert homogen hvis det er mulig å velge et slikt tall k at venstre side av denne ligningen blir en homogen funksjon av en viss grad m relativt x, y, dx og dy forutsatt at x regnes som verdien av den første målingen, y – k målingen , dx og dy – null og (k-1) målinger. For eksempel vil dette være ligningen
. (6.1)

Gyldig under forutsetningen om målinger

x, y, dx og dy medlemmer av venstre side
og dy vil ha henholdsvis dimensjoner -2, 2 k og k-en. Ved å sette likhetstegn mellom dem, får vi betingelsen som ønsket antall må tilfredsstille k: -2 = 2k=k-en. Denne betingelsen er oppfylt når k= -1 (med slike k alle ledd på venstre side av ligningen under vurdering vil ha dimensjon -2). Følgelig er likning (6.1) generalisert homogen.

Den generaliserte homogene ligningen reduseres til en ligning med separerbare variabler ved å bruke substitusjonen
, hvor z er en ny ukjent funksjon. La oss integrere likning (6.1) med den angitte metoden. Fordi k= -1, da
, hvoretter vi får ligningen .

Å integrere det, finner vi
, hvor
. Dette er den generelle løsningen av ligning (6.1).

§ 7. Lineære differensialligninger av første orden.

En lineær ligning av 1. orden er en ligning som er lineær med hensyn til ønsket funksjon og dens deriverte. Det ser ut som:

, (7.1)

hvor P(x) og Q(x) gis kontinuerlige funksjoner av x. Hvis funksjonen
, så har ligning (7.1) formen:
(7.2)

og kalles en lineær homogen ligning, ellers
det kalles en lineær inhomogen ligning.

Den lineære homogene differensialligningen (7.2) er en ligning med separerbare variabler:

(7.3)

Uttrykk (7.3) er den generelle løsningen av ligning (7.2). For å finne en generell løsning av ligning (7.1) der funksjonen P(x) betegner samme funksjon som i ligning (7.2), bruker vi metoden som kalles metoden for variasjon av en vilkårlig konstant og består i følgende: vi vil prøve å velge funksjonen C=C(x) slik at den generelle løsningen av den lineære homogene ligningen (7.2) ville være løsningen av den inhomogene lineære ligningen (7.1). Så for den deriverte av funksjon (7.3) får vi:

.

Ved å erstatte den funnet deriverte i ligning (7.1), vil vi ha:

eller
.

Hvor
, hvor er en vilkårlig konstant. Som et resultat vil den generelle løsningen av den inhomogene lineære ligningen (7.1) være (7.4)

Det første leddet i denne formelen representerer den generelle løsningen (7.3) av den lineære homogene differensialligningen (7.2), og det andre leddet i formelen (7.4) er en spesiell løsning av den lineære inhomogene ligningen (7.1) oppnådd fra den generelle (7.4) ) med
. La oss trekke frem denne viktige konklusjonen i form av et teorem.

Teorem. Hvis en spesiell løsning av en lineær inhomogen differensialligning er kjent
, så har alle andre løsninger formen
, hvor
er den generelle løsningen av den tilsvarende lineære homogene differensialligningen.

Det skal imidlertid bemerkes at en annen metode, noen ganger kalt Bernoulli-metoden, oftere brukes til å løse den lineære inhomogene differensialligningen av 1. orden (7.1). Vi skal se etter en løsning på ligning (7.1) i skjemaet
. Deretter
. Vi erstatter den funnet deriverte i den opprinnelige ligningen:
.

La oss kombinere for eksempel andre og tredje ledd i det siste uttrykket og ta ut funksjonen u(x) for parentes:
(7.5)

Vi krever at parentesen forsvinner:
.

Vi løser denne ligningen ved å sette en vilkårlig konstant C lik null:
. Med funn funksjon v(x) tilbake til ligning (7.5):
.

Når vi løser det, får vi:
.

Derfor har den generelle løsningen av ligning (7.1) formen:

§ 8. Bernoullis ligning.

Definisjon.

Formens differensialligning
, hvor
, kalles Bernoulli-ligningen.

Antar at
, deler vi begge sider av Bernoulli-ligningen med . Som et resultat får vi:
(8.1)

Vi introduserer en ny funksjon
. Deretter
. Vi multipliserer ligning (8.1) med
og gi den til funksjonen z(x) :
, dvs. for funksjon z(x) oppnådde en lineær inhomogen ligning av 1. orden. Denne ligningen er løst ved metodene diskutert i forrige avsnitt. La oss erstatte den generelle løsningen i stedet for z(x) uttrykk
, får vi det generelle integralet til Bernoulli-ligningen, som lett løses mht. y. På
løsning tilsettes y(x)=0 . Bernoulli-ligningen kan også løses uten å gjøre overgangen til en lineær ligning ved å erstatte
, og bruk av Bernoulli-metoden, diskutert i detalj i § 7. Vurder bruken av denne metoden for å løse Bernoulli-ligningen ved å bruke et spesifikt eksempel.

Eksempel. Finn den generelle løsningen av ligningen:
(8.2)

Beslutning.

Derfor har den generelle løsningen av denne ligningen formen:
, y(x)=0.

§ 9. Differensialligninger i totale differensialer.

Definisjon. Hvis i ligningen M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 (9.1) venstre side er den totale differensialen til en funksjon U(x, y) , da kalles det en ligning i totale differensialer. Denne ligningen kan skrives om som du(x, y)=0 , derfor er dens generelle integral u(x, y)= c.

For eksempel ligningen xdy+ ydx=0 er en ligning i totale differensialer, siden den kan skrives om i formen d(xy)=0. Den generelle integralen vil være xy= c er en vilkårlig differensierbar funksjon. Vi skiller (9.3) med hensyn til u
§ 10. Integrerende faktor.

Hvis ligningen M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 er ikke en ligning i totale differensialer og det er en funksjon µ = µ(x, y) , slik at etter å ha multiplisert begge sider av ligningen med den, får vi ligningen

µ(Mdx + Ndy) = 0 i totale differensialer, dvs. µ(Mdx + Ndy)du, deretter funksjonen µ(x, y) kalles integreringsfaktoren til ligningen. I tilfellet når ligningen allerede er en ligning i totale differensialer, antar vi µ = 1.

Hvis en integrerende faktor er funnet µ , så reduseres integrasjonen av denne ligningen til å multiplisere begge delene med µ og finne det generelle integralet til den resulterende ligningen i totale differensialer.

Hvis µ er en kontinuerlig differensierbar funksjon av x og y, deretter
.

Det følger at den integrerende faktoren µ tilfredsstiller følgende 1. ordens PDE:

(10.1).

Hvis det er kjent på forhånd µ= µ(ω) , hvor ω er en gitt funksjon fra x og y, så reduseres ligning (10.1) til en ordinær (og dessuten lineær) ligning med en ukjent funksjon µ fra den uavhengige variabelen ω :

(10.2),

hvor
, dvs. brøken er kun en funksjon av ω .

Løser vi ligning (10.2), finner vi den integrerende faktoren

, med = 1.

Spesielt ligningen M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 har en integrerende faktor som kun avhenger av x(ω = x) eller bare fra y(ω = y) hvis følgende betingelser er oppfylt, henholdsvis:

,

,
.

Første ordens differensialligninger med separerbare variabler.

Definisjon. En differensialligning med separerbare variabler er en ligning av formen (3.1) eller en ligning av formen (3.2)

For å skille variablene i likning (3.1), dvs. reduser denne ligningen til den såkalte ligningen med separerte variabler, utfør følgende handlinger: ;

Nå må vi løse ligningen g(y)=0. Hvis det har en reell løsning y=a, deretter y=a vil også være en løsning av ligning (3.1).

Ligning (3.2) reduseres til en ligning med separerte variabler ved å dele på produktet:

, som lar oss få det generelle integralet av ligning (3.2): . (3.3)

Integralkurvene (3.3) vil bli supplert med løsningene dersom slike løsninger finnes.

Homogene differensialligninger av 1. orden.

Definisjon 1. En ligning av 1. orden kalles homogen hvis relasjonen , kalt homogenitetsbetingelsen for en funksjon av to variabler med null dimensjon.

Eksempel 1 Vis at funksjonen er homogen med nulldimensjon.

Beslutning. ,

Q.E.D.

Teorem. Enhver funksjon er homogen, og omvendt reduseres enhver homogen funksjon med null dimensjon til formen .

Bevis. Den første påstanden til teoremet er åpenbar, siden . La oss bevise den andre påstanden. La , deretter for en homogen funksjon , som skulle bevises.

Definisjon 2. Ligning (4.1) hvori M og N er homogene funksjoner av samme grad, dvs. har egenskapen for alle , kalles homogen. Åpenbart kan denne ligningen alltid reduseres til formen (4.2), selv om dette kanskje ikke gjøres for å løse den. En homogen ligning reduseres til en ligning med separerbare variabler ved å erstatte ønsket funksjon y i henhold til formelen y=zx, hvor z(x) er den nye ønskede funksjonen. Etter å ha utført denne substitusjonen i ligning (4.2), får vi: eller eller .

Ved å integrere får vi det generelle integralet til ligningen med hensyn til funksjonen z(x) , som etter gjentatt utskifting gir det generelle integralet til den opprinnelige ligningen. I tillegg, hvis er røttene til ligningen, så er funksjonene løsninger av en homogen gitt ligning. Hvis , tar ligning (4.2) formen

Og det blir en ligning med separerbare variabler. Løsningene er halvlinjer: .

Kommentar. Noen ganger er det tilrådelig i stedet for substitusjonen ovenfor å bruke substitusjonen x=zy.

Generalisert homogen ligning.

Ligningen M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 kalles generalisert homogen hvis det er mulig å velge et slikt tall k at venstre side av denne ligningen blir en homogen funksjon av en viss grad m relativt x, y, dx og dy forutsatt at x regnes som verdien av den første målingen, y – k- målingen , dx og dy- null og (k-1) målinger. For eksempel vil dette være ligningen . (6.1) Faktisk, under forutsetningen om målinger x, y, dx og dy medlemmer av venstre side og dy vil ha henholdsvis dimensjoner -2, 2 k og k-en. Ved å sette likhetstegn mellom dem, får vi betingelsen som ønsket antall må tilfredsstille k: -2 = 2k=k-en. Denne betingelsen er oppfylt når k= -1 (med slike k alle ledd på venstre side av ligningen under vurdering vil ha dimensjon -2). Følgelig er likning (6.1) generalisert homogen.