Gjenopprett en funksjon fra dens totale differensial. Differensialligninger i totale differensialer

Med standardformen $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, der venstre side er den totale differensialen til en funksjon $F \left( x,y\right)$ kalles en ligning i totale differensialer.

Den totale differensialligningen kan alltid skrives om som $dF\left(x,y\right)=0$, der $F\left(x,y\right)$ er en funksjon slik at $dF\left(x,y \right)=P\venstre(x,y\høyre)\cdot dx+Q\venstre(x,y\høyre)\cdot dy$.

Vi integrerer begge sider av ligningen $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; integralet til null høyre side er lik en vilkårlig konstant $C$. På denne måten, felles vedtak av denne ligningen i implisitt form har formen $F\left(x,y\right)=C$.

For at en gitt differensialligning skal være en likning i totale differensialer, er det nødvendig og tilstrekkelig at betingelsen $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ er oppfylt . Hvis denne betingelsen er oppfylt, eksisterer det en funksjon $F\left(x,y\right)$ som vi kan skrive for: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, hvorfra får vi to relasjoner: $\ frac(\ delvis F)(\delvis x) =P\venstre(x,y\høyre)$ og $\frac(\delvis F)(\delvis y) =Q\venstre(x,y\høyre)$.

Vi integrerer den første relasjonen $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ over $x$ og får $F\left(x,y\right)=\int P\ venstre(x,y\høyre)\cdot dx +U\venstre(y\høyre)$ hvor $U\venstre(y\høyre)$ -- vilkårlig funksjon fra $y$.

La oss velge det slik at den andre relasjonen $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ er tilfredsstilt. For å gjøre dette, differensierer vi den resulterende relasjonen for $F\left(x,y\right)$ med hensyn til $y$ og likestiller resultatet til $Q\left(x,y\right)$. Vi får: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\venstre ( x,y\høyre)$.

Neste løsning er:

fra den siste likheten finner vi $U"\left(y\right)$;
integrer $U"\left(y\right)$ og finn $U\left(y\right)$;
erstatte $U\left(y\right)$ i $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ og til slutt får vi funksjonen $F\left(x,y\right)$.

Vi finner forskjellen:

Vi integrerer $U"\left(y\right)$ over $y$ og finner $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Finn resultatet: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Vi skriver den generelle løsningen som $F\left(x,y\right)=C$, nemlig:

Finn en bestemt løsning $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, hvor $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

En spesiell løsning har formen: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

noen funksjoner. Hvis vi gjenoppretter funksjonen fra dens totale differensial, finner vi det generelle integralet differensial ligning. Nedenfor skal vi snakke om metoden for å gjenopprette en funksjon fra dens totale differensial.

Den venstre siden av differensialligningen er den totale differensialen til en funksjon U(x, y) = 0 dersom vilkåret er oppfylt.

Fordi total differensial av en funksjon U(x, y) = 0 dette er , som betyr at under forholdene sier de at .

Deretter, .

Fra den første ligningen i systemet får vi . Vi finner funksjonen ved å bruke den andre ligningen i systemet:

Dermed finner vi ønsket funksjon U(x, y) = 0.

Eksempel.

La oss finne den generelle løsningen til DE .

Løsning.

I vårt eksempel. Vilkåret er oppfylt fordi:

Deretter er venstre side av den innledende DE den totale differensialen til en funksjon U(x, y) = 0. Vi må finne denne funksjonen.

Fordi er den totale differensialen til funksjonen U(x, y) = 0, midler:

Integrering over x 1. likning av systemet og differensierbar mht y resultat:

Fra den andre ligningen i systemet får vi . Midler:

Hvor FRA er en vilkårlig konstant.

Dermed vil og det generelle integralet til den gitte ligningen være .

Det er en andre metode for å beregne en funksjon fra dens totale differensial. Den består i å ta det krumlinjede integralet til et fast punkt (x0, y0) til et punkt med variable koordinater (x, y): . I dette tilfellet er verdien av integralet uavhengig av integrasjonsveien. Det er praktisk å ta en brutt linje som en integreringsbane hvis koblinger er parallelle med koordinataksene.

Eksempel.

La oss finne den generelle løsningen til DE .

Løsning.

Vi kontrollerer oppfyllelsen av betingelsen:

Dermed er venstre side av DE den totale differensialen til en eller annen funksjon U(x, y) = 0. Vi finner denne funksjonen ved å beregne det krumlinjede integralet til punktet (1; 1) før (x, y). Vi tar en polylinje som en integreringsvei: vi vil gå gjennom den første delen av polylinjen langs en rett linje y=1 fra punktet (1, 1) før (x, 1), som den andre delen av banen tar vi et rett linjestykke fra punktet (x, 1) før (x, y):

Så den generelle løsningen av DE ser slik ut: .

Eksempel.

La oss definere den generelle løsningen av DE.

Løsning.

Fordi , da er betingelsen ikke oppfylt, da vil ikke venstre side av DE være den totale differensialen til funksjonen, og du må bruke den andre løsningsmetoden (denne ligningen er en differensialligning med separerbare variabler).

Viser hvordan man gjenkjenner en differensialligning i totale differensialer. Metoder for løsningen er gitt. Et eksempel på å løse en likning i totale differensialer på to måter er gitt.

Innhold

Introduksjon

En førsteordens differensialligning i totale differensialer er en ligning av formen:
(1) ,
der venstre side av ligningen er den totale differensialen til en funksjon U (x, y) på variablene x, y:
.
Hvori .

Hvis en slik funksjon U (x, y), så har ligningen formen:
dU (x, y) = 0.
Dens generelle integrering:
U (x, y) = C,
hvor C er en konstant.

Hvis den første ordens differensialligningen er skrevet i form av den deriverte:
,
da er det lett å bringe det til skjemaet (1) . For å gjøre dette, multipliser ligningen med dx. Deretter . Som et resultat får vi en ligning uttrykt i form av differensialer:
(1) .

Egenskapen til en differensialligning i totale differensialer

For ligningen (1) er en ligning i totale differensialer, er det nødvendig og tilstrekkelig at følgende relasjon er tilfredsstilt:
(2) .

Bevis

Videre antar vi at alle funksjonene som brukes i beviset er definert og har tilsvarende deriverte i et eller annet område av x og y. punkt x 0 , y0 hører også til dette området.

La oss bevise nødvendigheten av betingelse (2).
La venstre side av ligningen (1) er differensialen til en funksjon U (x, y):
.
Deretter
;
.
Siden den andre deriverte ikke er avhengig av differensieringsrekkefølgen, altså
;
.
Derfor følger det at . Nødvendighetstilstand (2) bevist.

La oss bevise at betingelsen er tilstrekkelig (2).
La tilstanden (2) :
(2) .
La oss vise at det er mulig å finne en slik funksjon U (x, y) at dens differensial er:
.
Dette betyr at det er en slik funksjon U (x, y), som tilfredsstiller ligningene:
(3) ;
(4) .
La oss finne en slik funksjon. Vi integrerer ligningen (3) av x fra x 0 til x , forutsatt at y er en konstant:
;
;
(5) .
Differensieer med hensyn til y, forutsatt at x er en konstant og gjelder (2) :

.
Ligningen (4) vil bli utført hvis
.
Integrering over y fra y 0 til y:
;
;
.
Vikar inn (5) :
(6) .
Så vi har funnet en funksjon hvis differensial er
.
Tilstrekkelighet er bevist.

I formelen (6) , U (x0, y0) er en konstant - verdien av funksjonen U (x, y) på punkt x 0 , y0. Den kan tildeles hvilken som helst verdi.

Hvordan gjenkjenne en differensialligning i totale differensialer

Tenk på differensialligningen:
(1) .
For å finne ut om denne ligningen er i fulle differensialer, må du sjekke tilstanden (2) :
(2) .
Hvis det holder, så er dette en ligning i totale differensialer. Hvis ikke, så er ikke dette en ligning i totale differensialer.

Eksempel

Sjekk om ligningen er i totale differensialer:
.

Her
, .
Differensier med hensyn til y, forutsatt at x er konstant:

.
Differensiere

.
Fordi det:
,
da er den gitte ligningen i totale differensialer.

Metoder for å løse differensialligninger i totale differensialer

Sekvensiell differensiell utvinningsmetode

Mest enkel metodeå løse ligningen i totale differensialer er metoden for suksessiv utvinning av differensialen. For å gjøre dette bruker vi differensieringsformler skrevet i differensialform:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
I disse formlene er u og v vilkårlige uttrykk som består av en hvilken som helst kombinasjon av variabler.

Eksempel 1

Løs ligningen:
.

Tidligere fant vi at denne ligningen er i totale differensialer. La oss forvandle det:
(P1) .
Vi løser ligningen ved å fremheve differensialen suksessivt.
;
;
;
;

.
Vikar inn (P1):
;
.

Sekvensiell integrasjonsmetode

I denne metoden ser vi etter funksjonen U (x, y), som tilfredsstiller ligningene:
(3) ;
(4) .

Vi integrerer ligningen (3) i x, forutsatt at y er konstant:
.
Her φ (y) er en vilkårlig funksjon av y som skal defineres. Det er en konstant integrasjon. Vi bytter inn i ligningen (4) :
.
Herfra:
.
Ved å integrere finner vi φ (y) og dermed U (x, y).

Eksempel 2

Løs ligningen i totale differensialer:
.

Tidligere fant vi at denne ligningen er i totale differensialer. La oss introdusere notasjonen:
, .
Ser etter funksjon U (x, y), hvis differensial er venstre side av ligningen:
.
Deretter:
(3) ;
(4) .
Vi integrerer ligningen (3) i x, forutsatt at y er konstant:
(P2)
.
Differensiere med hensyn til y:

.
Vikar inn (4) :
;
.
Vi integrerer:
.
Vikar inn (P2):

.
Generell integral av ligningen:
U (x, y) = konst.
Vi kombinerer to konstanter til én.

Metode for integrasjon langs en kurve

Funksjonen U definert av relasjonen:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
kan bli funnet ved å integrere denne ligningen langs kurven som forbinder punktene (x0, y0) og (x, y):
(7) .
Fordi det
(8) ,
da avhenger integralet kun av koordinatene til initialen (x0, y0) og endelig (x, y) punkter og er ikke avhengig av formen på kurven. Fra (7) og (8) Vi finner:
(9) .
Her x 0 og y 0 - permanent. Derfor U (x0, y0) er også konstant.

Et eksempel på en slik definisjon av U ble oppnådd i beviset:
(6) .
Her utføres integrasjon først langs et segment parallelt med y-aksen fra punktet (x 0 , y 0 ) til punktet (x0, y). Deretter utføres integrasjonen langs et segment parallelt med x-aksen fra punktet (x0, y) til punktet (x, y) .

I mer generell sak, må du representere ligningen til kurven som forbinder punktene (x 0 , y 0 ) og (x, y) i parametrisk form:
x 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
x 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
og integrer over t 1 fra t 0 til T.

Den enkleste integrasjonen er over segmentet som forbinder punktene (x 0 , y 0 ) og (x, y). I dette tilfellet:
x 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Etter substitusjon får vi integralet over t av 0 før 1 .
Denne metoden, fører imidlertid til ganske tungvinte beregninger.

Referanser:
V.V. Stepanov, Forløp for differensialligninger, LKI, 2015.

Definisjon 8.4. Formens differensialligning

hvor
kalles en total differensialligning.

Legg merke til at venstre side av en slik ligning er den totale differensialen til en funksjon
.

I det generelle tilfellet kan ligning (8.4) representeres som

I stedet for ligning (8.5) kan man vurdere ligningen

hvis løsning er det generelle integralet av ligning (8.4). For å løse ligning (8.4) er det derfor nødvendig å finne funksjonen
. I samsvar med definisjonen av ligning (8.4) har vi

(8.6)

Funksjon
vi vil se etter, som en funksjon som tilfredsstiller en av disse betingelsene (8.6):

hvor er en vilkårlig funksjon uavhengig av .

Funksjon
er definert slik at den andre uttrykksbetingelsen (8.6) er oppfylt

(8.7)

Fra uttrykk (8.7) bestemmes funksjonen
. Bytter det inn i uttrykket for
og få det generelle integralet til den opprinnelige ligningen.

Oppgave 8.3. Integrer ligning

Her
.

Derfor tilhører denne ligningen typen differensialligninger i totale differensialer. Funksjon
vi søker i skjemaet

På den andre siden,

I noen tilfeller tilstanden
kan ikke utføres.

Deretter reduseres slike ligninger til typen under vurdering ved å multiplisere med den såkalte integreringsfaktoren, som i det generelle tilfellet er en funksjon av bare eller .

Hvis noen ligning har en integrerende faktor som bare avhenger av , så bestemmes det av formelen

hvor er forholdet skal bare være en funksjon .

Tilsvarende er en integrerende faktor kun avhengig av , bestemmes av formelen

hvor er forholdet
skal bare være en funksjon .

Fraværet i forholdstallene ovenfor, i det første tilfellet, av variabelen , og i den andre - en variabel , er et tegn på eksistensen av en integrerende faktor for en gitt ligning.

Oppgave 8.4. Bring denne ligningen til en ligning i totale differensialer.

Tenk på forholdet:

Tema 8.2. Lineære differensialligninger

Definisjon 8.5. Differensial ligning
kalles lineær hvis den er lineær i forhold til ønsket funksjon , dens derivat og inneholder ikke produktet av den ønskede funksjonen og dens deriverte.

Den generelle formen for en lineær differensialligning er representert av følgende forhold:

(8.8)

Hvis i forhold (8.8) høyre side
, så kalles en slik likning lineær homogen. I tilfelle hvor høyre side
, så kalles en slik likning lineær inhomogen.

La oss vise at ligning (8.8) er integrerbar i kvadraturer.

På det første trinnet vurderer vi en lineær homogen ligning.

En slik ligning er en ligning med separerbare variabler. Egentlig,

;

Den siste relasjonen bestemmer den generelle løsningen til det lineære homogen ligning.

For å finne en generell løsning på en lineær inhomogen ligning, brukes metoden for variasjon av den deriverte av en konstant. Ideen med metoden er at den generelle løsningen av en lineær inhomogen ligning i samme form som løsningen av den tilsvarende homogene ligningen, imidlertid en vilkårlig konstant erstattet av en funksjon
å være bestemt. Så vi har:

(8.9)

Setter inn i relasjon (8.8) uttrykkene som tilsvarer
og
, vi får

Ved å erstatte det siste uttrykket i relasjon (8.9), får man det generelle integralet til en lineær inhomogen ligning.

Dermed bestemmes den generelle løsningen av en lineær ikke-homogen ligning av to kvadraturer: den generelle løsningen av en lineær homogen ligning og en spesiell løsning av en lineær ikke-homogen ligning.

Oppgave 8.5. Integrer ligning

Dermed tilhører den opprinnelige ligningen typen lineære inhomogene differensialligninger.

På det første trinnet finner vi den generelle løsningen av den lineære homogene ligningen.

;

På det andre trinnet bestemmer vi den generelle løsningen av den lineære inhomogene ligningen, som søkes i formen

hvor
er funksjonen som skal defineres.

Så vi har:

Erstatter forholdstallene for og inn i den opprinnelige lineære inhomogene ligningen får vi:

;

Den generelle løsningen av en lineær inhomogen ligning vil se slik ut:

Differensial kalles en formlikning

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 ,

der venstre side er den totale differensialen til en funksjon av to variabler.

La oss betegne den ukjente funksjonen til to variabler (det er det vi må finne når vi løser ligninger i totale differensialer) gjennom F og vi kommer snart tilbake til det.

Det første du må være oppmerksom på er at det må være null på høyre side av ligningen, og tegnet som forbinder de to leddene på venstre side må være et pluss.

For det andre må det observeres noe likhet, som er en bekreftelse på at den gitte differensialligningen er en ligning i fulle differensialer. Denne sjekken er en obligatorisk del av algoritmen for å løse ligninger i totale differensialer (den er i andre ledd i denne leksjonen), så prosessen med å finne en funksjon F ganske tidkrevende og det er viktig i den innledende fasen å sørge for at vi ikke kaster bort tiden forgjeves.

Så den ukjente funksjonen som skal finnes er betegnet med F. Summen av partielle differensialer over alle uavhengige variabler gir den totale differensialen. Derfor, hvis ligningen er en ligning i totale differensialer, er venstre side av ligningen summen av de partielle differensialene. Da per definisjon

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy .

Vi husker formelen for å beregne den totale differensialen til en funksjon av to variabler:

Å løse de to siste likhetene, kan vi skrive

Den første likheten er differensierbar med hensyn til variabelen "y", den andre - med hensyn til variabelen "x":

som er betingelsen om at den gitte differensialligningen faktisk er en ligning i totale differensialer.

Algoritme for å løse differensialligninger i totale differensialer

Trinn 1. Pass på at ligningen er en ligning i totale differensialer. For uttrykket var den totale differensialen til en eller annen funksjon F(x, y), er det nødvendig og tilstrekkelig at . Med andre ord må vi ta den partielle deriverte mht x og den partielle deriverte mht y et annet ledd, og hvis disse derivatene er like, så er ligningen en ligning i totale differensialer.

Steg 2 Skriv ned systemet med partielle differensiallikninger som utgjør funksjonen F:

Trinn 3 Integrer den første ligningen av systemet - over x (y F:

,
y.

Et alternativt alternativ (hvis det er lettere å finne integralet på denne måten) er å integrere den andre ligningen til systemet - ved å y (x forblir konstant og tas ut av integrertegnet). Dermed gjenopprettes også funksjonen F:

,
hvor er en ukjent funksjon fra X.

Trinn 4 Resultatet av trinn 3 (det funnet generelle integralet) er differensiert med y(alternativt av x) og tilsvarer den andre ligningen i systemet:

og alternativt til den første ligningen i systemet:

Fra den resulterende ligningen bestemmer vi (i en alternativ versjon)

Trinn 5 Resultatet av trinn 4 er integrert og funnet (alternativt finn ).

Trinn 6 Erstatt resultatet av trinn 5 med resultatet av trinn 3 - inn i funksjonen gjenopprettet ved delvis integrasjon F. En vilkårlig konstant C oftere skrevet etter likhetstegnet - på høyre side av ligningen. Dermed får vi den generelle løsningen av differensialligningen i totale differensialer. Den har, som allerede nevnt, formen F(x, y) = C.

Eksempler på løsninger på differensialligninger i totale differensialer

Eksempel 1

Trinn 1. ligning i totale differensialer x ett begrep på venstre side av uttrykket

og den partielle deriverte mht y et annet begrep
ligning i totale differensialer .

Steg 2 F:

Trinn 3 på x (y forblir konstant og tas ut av integrertegnet). Dermed gjenoppretter vi funksjonen F:

hvor er en ukjent funksjon fra y.

Trinn 4 y

Trinn 5

Trinn 6 F. En vilkårlig konstant C :
.

Hva er den mest sannsynlige feilen her? De vanligste feilene er å ta partialintegralet over en av variablene for det vanlige integralet av produktet av funksjoner og prøve å integrere med deler eller en erstatningsvariabel, og også å ta den partielle deriverte av to faktorer som den deriverte av produkt av funksjoner og se etter den deriverte ved å bruke riktig formel.

Dette må huskes: når man beregner en partiell integral med hensyn til en av variablene, er den andre en konstant og tas ut av integraltegnet, og når man beregner en partiell derivert med hensyn til en av variablene, er den andre også en konstant og den deriverte av uttrykket finnes som en derivert av den "virkende" variabelen multiplisert med en konstant.

Blant ligninger i totale differensialer ikke uvanlig - eksempler med en eksponent. Dette er neste eksempel. Det er også kjent for det faktum at et alternativt alternativ brukes i løsningen.

Eksempel 2 Løs differensialligning

Trinn 1. Pass på at ligningen er ligning i totale differensialer . For å gjøre dette finner vi den partielle deriverte mht x ett begrep på venstre side av uttrykket

og den partielle deriverte mht y et annet begrep
. Disse derivatene er like, så ligningen er det ligning i totale differensialer .

Steg 2 Vi skriver ned systemet med partielle differensiallikninger som utgjør funksjonen F:

Trinn 3 Vi integrerer den andre ligningen til systemet - over y (x forblir konstant og tas ut av integrertegnet). Dermed gjenoppretter vi funksjonen F:

hvor er en ukjent funksjon fra X.

Trinn 4 Resultatet av trinn 3 (funnet generell integral) er differensierbart mht X

og tilsvarer den første ligningen i systemet:

Fra den resulterende ligningen bestemmer vi:
.

Trinn 5 Vi integrerer resultatet av trinn 4 og finner:
.

Trinn 6 Vi erstatter resultatet av trinn 5 med resultatet av trinn 3 - inn i funksjonen gjenopprettet ved delvis integrasjon F. En vilkårlig konstant C skriv etter likhetstegnet. Dermed får vi det generelle løsning av en differensialligning i totale differensialer :
.

I følgende eksempel går vi tilbake fra alternativet til det viktigste.

Eksempel 3 Løs differensialligning

Trinn 1. Pass på at ligningen er ligning i totale differensialer . For å gjøre dette finner vi den partielle deriverte mht y ett begrep på venstre side av uttrykket

og den partielle deriverte mht x et annet begrep
. Disse derivatene er like, så ligningen er det ligning i totale differensialer .

Steg 2 Vi skriver ned systemet med partielle differensiallikninger som utgjør funksjonen F:

Trinn 3 Vi integrerer den første ligningen i systemet - på x (y forblir konstant og tas ut av integrertegnet). Dermed gjenoppretter vi funksjonen F:

hvor er en ukjent funksjon fra y.

Trinn 4 Resultatet av trinn 3 (funnet generell integral) er differensierbart mht y

og tilsvarer den andre ligningen i systemet:

Fra den resulterende ligningen bestemmer vi:
.

Trinn 5 Vi integrerer resultatet av trinn 4 og finner:

Eksempel 4 Løs differensialligning

Trinn 1. Pass på at ligningen er ligning i totale differensialer . For å gjøre dette finner vi den partielle deriverte mht y ett begrep på venstre side av uttrykket

og den partielle deriverte mht x et annet begrep
. Disse derivatene er like, noe som betyr at ligningen er en ligning i totale differensialer.

Steg 2 Vi skriver ned systemet med partielle differensiallikninger som utgjør funksjonen F:

Trinn 3 Vi integrerer den første ligningen i systemet - på x (y forblir konstant og tas ut av integrertegnet). Dermed gjenoppretter vi funksjonen F: