Tenk på svingninger av en vekt m på en fjær med stivhetskoeffisient k, som ligger på et flatt horisontalt bord, forutsatt at det ikke er friksjon av vekten på bordflaten. Hvis vekten fjernes fra likevektsposisjonen, vil den svinge rundt denne posisjonen. Vi vil beskrive disse svingningene med en tidsavhengig funksjon, forutsatt at den bestemmer vektens avvik fra dens likevektsposisjon ved tiden t.

I horisontal retning virker bare en kraft på vekten - den elastiske kraften til fjæren, bestemt av den velkjente Hookes lov

Deformasjonen av fjæren er en funksjon av tiden, derfor er den også en variabel.

Fra Newtons andre lov har vi

fordi akselerasjonen er den andre deriverte av forskyvningen:.

Ligning (9) kan skrives om i formen

Hvor. Denne ligningen kalles ligningen harmonisk oscillator.

Kommentar. I den matematiske litteraturen, når man skriver en differensialligning, angir man vanligvis ikke argumentet (t) i nærheten av alle funksjoner som er avhengige av det. Denne avhengigheten antas som standard. Når du bruker den matematiske pakken Maple i (10), er det nødvendig å angi den eksplisitte avhengigheten til funksjonen.

I motsetning til det forrige eksemplet på kroppsbevegelse under påvirkning av en konstant kraft, endres i vårt tilfelle kraften over tid, og ligning (10) kan ikke lenger løses ved å bruke den vanlige integrasjonsprosedyren. La oss prøve å gjette løsningen på denne ligningen, vel vitende om at den beskriver en eller annen oscillerende prosess. Som en av de mulige løsningene til ligning (10), kan vi velge følgende funksjon:

Differensieringsfunksjon (11), vi har

Ved å erstatte uttrykk (12) i ligning (10), sørger vi for at det er oppfylt identisk for enhver verdi av t.

Funksjon (11) er imidlertid ikke den eneste løsningen på den harmoniske oscillatorligningen. For eksempel kan man velge en funksjon som en annen løsning, som også er enkel å sjekke på lignende måte. Dessuten kan man kontrollere at en hvilken som helst lineær kombinasjon av disse to tilfeldig navngitte løsningene

med konstante koeffisienter A og B er også en løsning på den harmoniske oscillatorligningen.

Det kan bevises at to-konstantløsningen (13) er den generelle løsningen av den harmoniske oscillatorligningen (10). Dette betyr at formel (13) uttømmer alle mulige løsninger på denne ligningen. Med andre ord har den harmoniske oscillatorligningen ingen andre spesielle løsninger, bortsett fra de som er oppnådd fra formel (13) ved å fikse vilkårlige konstanter A og B.

Merk at i fysikk er det oftest nødvendig å se etter noen spesielle løsninger for individuelle ODE-er eller deres systemer. La oss vurdere dette spørsmålet mer detaljert.

Det er mulig å eksitere svingninger i vektsystemet på en fjær vi vurderer forskjellige måter. La oss sette følgende startbetingelser

Dette betyr at i det første øyeblikket ble vekten fjernet fra likevektsposisjonen med en verdi a og frigjort fritt (dvs. den starter sin bevegelse med null starthastighet). Man kan forestille seg mange andre måter å eksitere på, for eksempel gis en vekt i likevektsposisjonen en viss starthastighet ved et "klikk" osv. [ generell sak, ].

Vi betrakter startbetingelsene (14) som noen tilleggsbetingelser for å skille fra den generelle løsningen (13) en spesiell løsning som tilsvarer vår metode for eksitering av vektsvingningene.

Forutsatt at t=0 i uttrykk (13), har vi, hvorav det følger at B=a. Dermed har vi funnet en av de tidligere vilkårlige konstantene i løsning (13). Videre, ved å differensiere i formel (13), har vi

Forutsatt at t=0 i dette uttrykket og tar i betraktning den andre startbetingelsen fra (14), får vi, og derfor følger det at A=0 og dermed den opprinnelige spesielle løsningen har formen

Den beskriver oscillerende modus til det betraktede mekaniske systemet, som bestemmes av betingelsene for den innledende eksitasjonen (14).

Det er kjent fra skolens fysikkkurs at i formel (16) er a amplituden til svingningene (den setter det maksimale avviket til vekten fra dens likevektsposisjon), er den sykliske frekvensen, og er fasen til svingningene (den startfasen viser seg å være lik null).

Den harmoniske oscillatorligningen (10) er et eksempel på en lineær ODE. Dette betyr at den ukjente funksjonen og alle dens deriverte er inkludert i hvert ledd i ligningen i første grad. Lineære differensialligninger har en ekstremt viktig særegen egenskap: de tilfredsstiller prinsippet om superposisjon. Dette betyr at enhver lineær kombinasjon av to løsninger av en lineær ODE også er dens løsning.

I eksemplet med den harmoniske oscillatorligningen vi vurderer, er en vilkårlig lineær kombinasjon av to spesielle løsninger ikke bare en ny løsning, men en generell løsning på denne ligningen (den tar ut alle mulige løsninger).

Generelt er dette ikke tilfelle. For eksempel, hvis vi hadde å gjøre med en tredjeordens lineær differensialligning (dvs. hvis ligningen inkluderte en tredjederivert), så ville en lineær kombinasjon av to av dens spesielle løsninger også være en løsning på denne ligningen, men ville ikke representere ham felles vedtak.

I løpet av differensialligninger bevises et teorem at den generelle løsningen av en ODE av N-te orden (lineær eller ikke-lineær) avhenger av N vilkårlige konstanter. Når det gjelder en ikke-lineær ligning, kan disse vilkårlige konstantene gå inn i den generelle løsningen (i motsetning til (13)), på en ikke-lineær måte.

Superposisjonsprinsippet spiller en ekstremt viktig rolle i teorien om ODEs, siden det kan brukes til å konstruere en generell løsning av en differensialligning i form av en superposisjon av dens spesielle løsninger. For eksempel, for lineære ODE-er med konstante koeffisienter og deres systemer (den harmoniske oscillatorligningen tilhører nettopp denne typen ligninger), er det utviklet en generell løsningsmetode i teorien om differensialligninger. Dens essens er som følger. Vi ser etter en spesiell løsning i formen Som et resultat av dens substitusjon i den opprinnelige ligningen, kansellerer alle tidsavhengige faktorer, og vi kommer til en karakteristisk ligning, som for N. ordens ODE er algebraisk ligning N. grad. Når vi løser det, finner vi dermed alle mulige spesielle løsninger, en vilkårlig lineær kombinasjon av disse gir den generelle løsningen til den opprinnelige ODE. Vi vil ikke dvele mer ved dette spørsmålet, og henviser leseren til de relevante lærebøkene om teorien om differensialligninger, hvor man kan finne ytterligere detaljer, spesielt tilfellet når den karakteristiske ligningen inneholder flere røtter.

Hvis en lineær ODE med variable koeffisienter vurderes (dens koeffisienter avhenger av tid), så er superposisjonsprinsippet også gyldig, men det er ikke lenger mulig å konstruere en generell løsning på denne ligningen i en eksplisitt form ved hjelp av noen standardmetode. Vi kommer tilbake til dette problemet senere, og diskuterer fenomenet parametrisk resonans og Mathieu-ligningen relatert til studien.

Kanskje det enkleste mekaniske systemet hvis bevegelse er beskrevet av en lineær differensialligning med konstante koeffisienter, er en masse på en fjær. Etter at en vekt er hengt fra fjæren, vil den strekke seg litt for å balansere tyngdekraften. La oss nå følge de vertikale avvikene til massen fra likevektsposisjonen (Fig. 21.1). Vi betegner avvik oppover fra likevektsposisjonen med og antar at vi har å gjøre med en perfekt elastisk fjær. I dette tilfellet er kreftene som motsetter strekningen direkte proporsjonale med strekningen. Dette betyr at kraften er lik (minustegnet minner oss om at kraften motsetter seg forskyvninger). Dermed skal akselerasjonen multiplisert med massen være lik

For enkelhets skyld, la oss anta at det skjedde (eller vi endret enhetssystemet etter behov) at . Vi må løse ligningen

Fig. 21.1. En vekt opphengt på en fjær. Et enkelt eksempel på en harmonisk oscillator.

Etter det går vi tilbake til ligning (21.2), hvor og er eksplisitt inneholdt.

Vi har allerede møtt ligning (21.3) da vi først begynte å studere mekanikk. Vi løste det numerisk for å finne bevegelsen. Ved numerisk integrasjon har vi funnet en kurve som viser at hvis partikkelen i utgangspunktet er ubalansert, men i hvile, så går den tilbake til likevektsposisjonen. Vi fulgte ikke partikkelen etter at den nådde likevektsposisjonen, men det er klart at den ikke stopper der, men vil oscillere (oscillere). Med numerisk integrasjon fant vi tid til å gå tilbake til likevektspunktet: . Varigheten av en komplett syklus er fire ganger lengre: "sek". Vi fant alt dette ved numerisk integrasjon, fordi vi ikke visste hvordan vi skulle løse det bedre. Men matematikere har gitt oss en viss funksjon, som, hvis den differensieres to ganger, går inn i seg selv, multiplisert med . (Du kan selvfølgelig gjøre direkte beregning av slike funksjoner, men dette er mye vanskeligere enn bare å finne svaret.)

Denne funksjonen er: . La oss skille det: , a . I det første øyeblikket , , og starthastigheten er lik null; dette er akkurat de antakelsene vi gjorde i numerisk integrasjon. Når vi nå vet det , finner vi den nøyaktige verdien av tidspunktet der . Svar: , eller 1,57108. Vi gjorde en feil tidligere i det siste tegnet, fordi den numeriske integrasjonen var omtrentlig, men feilen er veldig liten!

For å gå videre, la oss gå tilbake til enhetssystemet, hvor tiden måles i virkelige sekunder. Hva blir løsningen i dette tilfellet? Kanskje vi vil ta hensyn til konstantene og ved å multiplisere med den tilsvarende faktoren? La oss prøve. La da Og . Til vår fortvilelse lyktes vi ikke med å løse ligning (21.2), men gikk igjen tilbake til (21.3). Men vi har oppdaget den viktigste egenskapen til lineære differensialligninger: Hvis vi multipliserer løsningen av likningen med en konstant, får vi løsningen igjen. Det er matematisk klart hvorfor. Hvis det er en løsning på ligningen, vil de etter å ha multiplisert begge delene av ligningen med de deriverte også multipliseres med og derfor tilfredsstille ligningen like godt som . La oss høre hva fysikeren har å si om dette. Hvis vekten strekker fjæren dobbelt så mye som før, vil kraften dobles, akselerasjonen dobles, den oppnådde hastigheten vil være dobbelt så stor som den forrige hastigheten, og samtidig vil vekten dekke to ganger avstanden. Men dette er det dobbelte av avstanden - akkurat samme avstand som vekten trenger for å gå til likevektsposisjonen. Dermed tar det like lang tid å nå likevekt, og det er ikke avhengig av den innledende skjevheten. Med andre ord, hvis bevegelsen er beskrevet lineær ligning, så uavhengig av "styrken" vil den utvikle seg over tid på samme måte.

Feilen gjorde oss godt - vi lærte at ved å multiplisere løsningen med en konstant, får vi løsningen til forrige ligning. Etter litt prøving og feiling kan du komme til den konklusjon at i stedet for å manipulere med, må du endre tidsskalaen. Med andre ord, ligning (21.2) må ha en løsning av formen

(Her - ikke vinkelhastigheten til et roterende legeme i det hele tatt, men vi vil ikke ha nok alfabeter hvis hver verdi er angitt med en spesiell bokstav.) Vi har gitt indeksen 0 her, fordi vi fortsatt har mange flere omegaer å møte: husk hva som tilsvarer den naturlige bevegelsen til oscillatoren. Et forsøk på å bruke (21.4) som løsning er mer vellykket fordi Og . Vi løste til slutt ligningen vi ønsket å løse. Denne ligningen faller sammen med (21.2) hvis .

Nå må vi forstå den fysiske betydningen. Vi vet at cosinus "gjentar" etter at vinkelen endres til . Derfor vil det være periodisk bevegelse; en hel syklus av denne bevegelsen tilsvarer en endring i "vinkelen" med . Mengden blir ofte referert til som bevegelsesfasen. For å endre til må du endre til (full svingperiode); selvfølgelig er funnet fra ligningen. Dette betyr at du må regne for én syklus, og alt gjentas hvis du øker med ; i dette tilfellet vil vi øke fasen med . Dermed,

. (21.5)

Dette betyr at jo tyngre vekten er, jo saktere vil fjæren svinge frem og tilbake. Tregheten i dette tilfellet vil være større, og hvis kraften ikke endres, vil det ta mer tid å akselerere og bremse belastningen. Hvis du tar en stivere fjær, bør bevegelsen være raskere; og faktisk avtar perioden med økende vårkonstant.

Merk nå at perioden for svingningen av massen på fjæren ikke er avhengig av hvordan svingningene begynner. Til våren ser det ut til å være likegyldig hvor mye vi strekker den. Bevegelsesligningen (21.2) bestemmer svingeperioden, men sier ingenting om svingningens amplitude. Selvfølgelig kan oscillasjonsamplituden bestemmes, og vi vil nå håndtere det, men for dette er det nødvendig å sette de innledende betingelsene.

Poenget er at vi ennå ikke har funnet den mest generelle løsningen av ligning (21.2). Det finnes flere typer løsninger. Løsningen tilsvarer tilfellet når fjæren i det første øyeblikket er strukket og dens hastighet er lik null. Du kan få fjæren til å bevege seg på en annen måte, for eksempel gripe øyeblikket når den balanserte fjæren står i ro, og treffe vekten kraftig; dette vil bety at det for øyeblikket meldes noe fart til våren. En slik bevegelse vil tilsvare en annen løsning (21.2) - cosinus må erstattes med en sinus. La oss kaste en stein til i cosinus: hvis - løsning, så kommer vi inn i rommet der fjæren svinger, i øyeblikket (la oss kalle det ""), når vekten passerer gjennom likevektsposisjonen, vil vi bli tvunget til å erstatte denne løsning med en annen. Derfor kan det ikke være en generell løsning; den generelle løsningen må så å si tillate forskyvning av tidens opprinnelse. En slik eiendom har for eksempel løsningen , hvor er noen konstant. Videre kan man dekomponere kalt vinkelfrekvensen; er antall radianer som fasen endres med på 1 sekund. Det bestemmes av en differensialligning. Andre mengder bestemmes ikke av ligningen, men avhenger av Innledende forhold. Konstanten tjener som et mål på lastens maksimale avvik og kalles oscillasjonsamplituden. Konstanten kalles noen ganger svingningens fase, men det kan være misforståelser her, fordi andre kaller fasen og sier at fasen avhenger av tid. Vi kan si at - dette er en faseforskyvning sammenlignet med noen, tatt som null. La oss ikke krangle om ord. Ulike tilsvarer bevegelser med ulike faser. Dette er sant, men om man skal kalle det en fase eller ikke er et annet spørsmål.

Funn i kvantefeltet og andre områder. Samtidig oppfinnes nye enheter og enheter, der det er mulig å gjennomføre ulike studier og forklare fenomenene i mikroverdenen. En av disse mekanismene er den harmoniske oscillatoren, hvis prinsipp var kjent selv av representanter for gamle sivilisasjoner.

Enheten og dens typer

En harmonisk oscillator er et mekanisk system i bevegelse, som beskrives av en differensial med koeffisienter med konstant verdi. Mest enkle eksempler slike enheter - en belastning på en fjær, en pendel, akustiske systemer, bevegelse av molekylære partikler, etc.

Konvensjonelt kan følgende typer av denne enheten skilles:

Enhetsapplikasjon

Denne enheten brukes i ulike felt, hovedsakelig for å studere naturen til oscillerende systemer. Den kvanteharmoniske oscillatoren brukes til å studere oppførselen til fotonelementer. Resultatene av eksperimenter kan brukes på ulike felt. Så fysikere fra American Institute fant at berylliumatomer, som ligger i ganske store avstander fra hverandre, kan samhandle på kvantenivå. Samtidig er oppførselen til disse partiklene lik kropper (metallkuler) i makrokosmos, som beveger seg i en forover-retur-rekkefølge, lik en harmonisk oscillator. Berylliumioner, til tross for at de er fysisk lange avstander, utvekslet de minste energienhetene (kvanter). Denne oppdagelsen gjør det mulig å forbedre IT-teknologien betydelig, og gir også en ny løsning innen produksjon av datautstyr og elektronikk.

Den harmoniske oscillatoren brukes i evalueringen av musikkverk. Denne metoden kalles spektroskopisk undersøkelse. Samtidig ble det funnet at det mest stabile systemet er en sammensetning av fire musikere (en kvartett). Og moderne verk er stort sett anharmoniske.

HARMONISKE OSCILLASJONER

Forelesning 1

VASKULASJON

VASKULASJON. BØLGER. OPTIKK

Oscillasjon er en av de vanligste prosessene i natur og teknologi. Svingninger er prosesser som gjentar seg over tid. Høyhus og høyspentledninger svinger under påvirkning av vinden, pendelen til en såret klokke og en bil på fjærer under bevegelse, nivået på elven i løpet av året og temperaturen på menneskekroppen under sykdom. Lyd er svingninger i lufttrykk, radiobølger er periodiske endringer i styrken til den elektriske og magnetfelt, lys er også elektromagnetiske oscillasjoner. Jordskjelv - bakkevibrasjoner, ebb og flom - endringer i nivåene i hav og hav forårsaket av månens tiltrekning, etc.

Oscillasjoner er mekaniske, elektromagnetiske, kjemiske, termodynamiske osv. Til tross for en slik variasjon er alle oscillasjoner beskrevet av de samme differensialligningene.

De første forskerne som studerte vibrasjoner var Galileo Galilei og Christian Huygens. Galileo etablerte uavhengigheten til perioden med svingninger fra amplituden. Huygens oppfant pendelklokken.

Ethvert system som, når det er litt ut av balanse, svinger jevnt, kalles en harmonisk oscillator. I klassisk fysikk er slike systemer en matematisk pendel innenfor små avbøyningsvinkler, en last innenfor små oscillasjonsamplituder, en elektrisk krets bestående av lineær kapasitans og induktanselementer.

En harmonisk oscillator kan betraktes som lineær hvis forskyvningen fra likevektsposisjonen er direkte proporsjonal med den forstyrrende kraften. Oscillasjonsfrekvensen til en harmonisk oscillator er ikke avhengig av amplituden. For oscillatoren er prinsippet om superposisjon oppfylt - hvis flere forstyrrende krefter virker, kan effekten av deres totale virkning oppnås som et resultat av å legge til effektene fra aktive krefter hver for seg.

Harmoniske svingninger er beskrevet av ligningen (fig. 1.1.1)

(1.1.1)

Hvor X- forskyvning av den oscillerende verdien fra likevektsposisjonen, EN– amplitude av svingninger lik verdien av maksimal forskyvning, – fase av svingninger, som bestemmer forskyvningen til tiden, – innledende fase, som bestemmer størrelsen på forskyvningen i det første øyeblikket av tid, – syklisk frekvens av svingninger.

Tidspunktet for en fullstendig svingning kalles perioden, hvor er antall svingninger fullført i løpet av tiden.

Oscillasjonsfrekvensen bestemmer antall svingninger per tidsenhet, den er relatert til den sykliske frekvensen ved forholdet, deretter perioden.

Hastigheten til et oscillerende materialepunkt

akselerasjon

Dermed endres hastigheten og akselerasjonen til den harmoniske oscillatoren også i henhold til den harmoniske loven med amplituder og hhv. I dette tilfellet er hastigheten foran i fase av forskyvningen med , og akselerasjonen - med (Fig. 1.1.2).

Fra en sammenligning av bevegelseslikningene til en harmonisk oscillator (1.1.1) og (1.1.2) følger det at , eller

Dette differensial ligning andre orden kalles den harmoniske oscillatorligningen. Løsningen hans inneholder to konstanter EN og , som bestemmes ved å angi startbetingelsene

.

Hvis en periodisk repeterende prosess beskrives med ligninger som ikke sammenfaller med (1.1.1), kalles den anharmonisk. Et system som utfører anharmoniske svingninger kalles en anharmonisk oscillator.

1.1.2 . Frie svingninger av systemer med én frihetsgrad. kompleks form representasjoner av harmoniske vibrasjoner

I naturen er små svingninger som et system gjør nær sin likevektsposisjon svært vanlige. Hvis et system tatt ut av likevekt blir overlatt til seg selv, det vil si at ytre krefter ikke virker på det, vil et slikt system utføre frie udempede svingninger. Tenk på et system med én grad av frihet.

En stabil likevekt tilsvarer en posisjon av systemet der dets potensielle energi har et minimum ( q er den generaliserte koordinaten til systemet). Systemets avvik fra likevektsposisjonen fører til fremveksten av en kraft som har en tendens til å bringe systemet tilbake. Vi betegner verdien av den generaliserte koordinaten som tilsvarer likevektsposisjonen, deretter avviket fra likevektsposisjonen

Vi vil telle den potensielle energien fra minimumsverdien. La oss ta den resulterende funksjonen, utvide den i en Maclaurin-serie og forlate den første termen av utvidelsen, vi har: o

VASKULASJON. BØLGER. OPTIKK

VASKULASJON

Forelesning 1

HARMONISKE OSCILLASJONER

Ideell harmonisk oscillator. Ideell oscillatorligning og dens løsning. Amplitude, frekvens og fase av svingninger

Oscillasjon er en av de vanligste prosessene i natur og teknologi. Svingninger er prosesser som gjentar seg over tid. Høyhus og høyspentledninger svinger under påvirkning av vinden, pendelen til en såret klokke og en bil på fjærer under bevegelse, nivået på elven i løpet av året og temperaturen på menneskekroppen under sykdom. Lyd er svingninger i lufttrykket, radiobølger er periodiske endringer i styrken til de elektriske og magnetiske feltene, lys er også elektromagnetiske vibrasjoner. Jordskjelv - bakkevibrasjoner, ebb og flom - endringer i nivåene i hav og hav forårsaket av månens tiltrekning, etc.

Oscillasjoner er mekaniske, elektromagnetiske, kjemiske, termodynamiske osv. Til tross for en slik variasjon er alle oscillasjoner beskrevet av de samme differensialligningene.

De første forskerne som studerte vibrasjoner var Galileo Galilei og Christian Huygens. Galileo etablerte uavhengigheten til perioden med svingninger fra amplituden. Huygens oppfant pendelklokken.

Ethvert system som, når det er litt ut av balanse, svinger jevnt, kalles en harmonisk oscillator. I klassisk fysikk er slike systemer en matematisk pendel innenfor små avbøyningsvinkler, en last innenfor små oscillasjonsamplituder, en elektrisk krets bestående av lineær kapasitans og induktanselementer.

En harmonisk oscillator kan betraktes som lineær hvis forskyvningen fra likevektsposisjonen er direkte proporsjonal med den forstyrrende kraften. Oscillasjonsfrekvensen til en harmonisk oscillator er ikke avhengig av amplituden. For oscillatoren er prinsippet om superposisjon oppfylt - hvis flere forstyrrende krefter virker, kan effekten av deres totale virkning oppnås som et resultat av å legge til effektene av de virkende kreftene separat.

Harmoniske svingninger er beskrevet av ligningen (fig. 1.1.1)

(1.1.1)

Hvor X- forskyvning av den oscillerende verdien fra likevektsposisjonen, EN– amplitude av svingninger lik verdien av maksimal forskyvning, – fase av svingninger, som bestemmer forskyvningen til tiden, – innledende fase, som bestemmer størrelsen på forskyvningen i det første øyeblikket av tid, – syklisk frekvens av svingninger.

Tidspunktet for en fullstendig svingning kalles perioden, hvor er antall svingninger fullført i løpet av tiden.

Oscillasjonsfrekvensen bestemmer antall svingninger per tidsenhet, den er relatert til den sykliske frekvensen ved forholdet, deretter perioden.

Hastigheten til et oscillerende materialepunkt

akselerasjon

Dermed endres hastigheten og akselerasjonen til den harmoniske oscillatoren også i henhold til den harmoniske loven med amplituder og hhv. I dette tilfellet er hastigheten foran i fase av forskyvningen med , og akselerasjonen - med (Fig. 1.1.2).

Fra en sammenligning av bevegelseslikningene til en harmonisk oscillator (1.1.1) og (1.1.2) følger det at , eller

Denne andreordens differensialligningen kalles den harmoniske oscillatorligningen. Løsningen hans inneholder to konstanter EN og , som bestemmes ved å angi startbetingelsene

.

Hvis en periodisk repeterende prosess beskrives med ligninger som ikke sammenfaller med (1.1.1), kalles den anharmonisk. Et system som utfører anharmoniske svingninger kalles en anharmonisk oscillator.

1.1.2 . Frie svingninger av systemer med én frihetsgrad. Kompleks form for representasjon av harmoniske svingninger

I naturen er små svingninger som et system gjør nær sin likevektsposisjon svært vanlige. Hvis et system tatt ut av likevekt blir overlatt til seg selv, det vil si at ytre krefter ikke virker på det, vil et slikt system utføre frie udempede svingninger. Tenk på et system med én grad av frihet.

En stabil likevekt tilsvarer en posisjon av systemet der dets potensielle energi har et minimum ( q er den generaliserte koordinaten til systemet). Systemets avvik fra likevektsposisjonen fører til fremveksten av en kraft som har en tendens til å bringe systemet tilbake. Vi betegner verdien av den generaliserte koordinaten som tilsvarer likevektsposisjonen, deretter avviket fra likevektsposisjonen

Vi vil telle den potensielle energien fra minimumsverdien. La oss ta den resulterende funksjonen, utvide den i en Maclaurin-serie og forlate den første termen av utvidelsen, vi har: o

,

Hvor . Deretter, med tanke på den introduserte notasjonen:

, (1.1.4)

Ved å ta i betraktning uttrykket (1.1.4) for kraften som virker på systemet, får vi:

I følge Newtons andre lov har bevegelsesligningen til systemet formen:

Uttrykk (1.1.5) faller sammen med ligningen (1.1.3) for frie harmoniske oscillasjoner, forutsatt at

og har to uavhengige løsninger: og , så den generelle løsningen er:

,

Fra formel (1.1.6) følger det at frekvensen kun bestemmes av de iboende egenskapene til det mekaniske systemet og ikke er avhengig av amplituden og de innledende bevegelsesbetingelsene.

Avhengigheten av koordinaten til det oscillerende systemet på tid kan bestemmes som den virkelige delen av det komplekse uttrykket , Hvor A=Xe-iα er en kompleks amplitude, dens modul sammenfaller med den vanlige amplituden, og dens argument sammenfaller med startfasen.

1.1.3 . Eksempler på oscillerende bevegelser av ulik fysisk natur

Svingninger av belastningen på fjæren

Vurder vibrasjonene til en belastning på en fjær, forutsatt at fjæren ikke deformeres utover elastisitetsgrensene. Vi vil vise at en slik last vil utføre harmoniske svingninger i forhold til likevektsposisjonen (Fig. 1.1.3). Faktisk, i henhold til Hookes lov, skaper en komprimert eller strukket fjær en harmonisk kraft:

Hvor - koeffisient for fjærstivhet, er koordinaten til likevektsposisjonen, X er koordinaten til lasten (materialpunktet) i tidspunktet , er forskyvningen fra likevektsposisjonen.

La oss plassere opprinnelsen til koordinaten i systemets likevektsposisjon. I dette tilfellet .

Hvis fjæren strekkes med X, og slipp deretter på et tidspunkt t=0, så vil bevegelsesligningen til lasten i henhold til Newtons andre lov ha formen -kx=ma, eller , Og

(1.1.6)

Denne ligningen faller sammen i form med bevegelsesligningen (1.1.3) til et system som utfører harmoniske svingninger, vi vil se etter løsningen i formen:

. (1.1.7)

Vi erstatter (1.17) med (1.1.6), vi har: det vil si at uttrykk (1.1.7) er en løsning på ligning (1.1.6) forutsatt at

Hvis posisjonen til lasten i det første øyeblikket var vilkårlig, vil bevegelsesligningen ha formen:

.

La oss vurdere hvordan energien til lasten endres, og gjør harmoniske svingninger i fravær av ytre krefter (fig. 1.14). Hvis på den tiden t=0 send offset til last x=A, da vil dens totale energi bli lik den potensielle energien til den deformerte fjæren , den kinetiske energien er lik null (punkt 1).

Kraft som virker på lasten F= -kx, som søker å returnere den til likevektsposisjonen, slik at lasten beveger seg med akselerasjon og øker hastigheten, og følgelig dens kinetiske energi. Denne kraften reduserer forskyvningen av lasten X, den potensielle energien til lasten reduseres, og blir til kinetisk. "Last-fjær"-systemet er lukket, så dens totale energi er bevart, det vil si:

. (1.1.8)

For øyeblikket er lasten i likevektsposisjon (punkt 2), dens potensielle energi er null, og dens kinetiske energi er maksimal. Vi finner den maksimale hastigheten til lasten fra loven om energibevaring (1.1.8):

På grunn av lageret av kinetisk energi, virker belastningen mot den elastiske kraften – og passerer gjennom likevektsposisjonen. Kinetisk energi blir gradvis til potensial. Når lasten har en maksimal negativ forskyvning - EN, kinetisk energi uke=0, lasten stopper og begynner å bevege seg til likevektsposisjonen under påvirkning av en elastisk kraft F= -kx. Videre bevegelse er lik.

Pendler

Under pendelen forstå fast som under påvirkning av tyngdekraften svinger rundt et fast punkt eller en akse. Det er fysiske og matematiske pendler.

En matematisk pendel er et idealisert system som består av en vektløs ubøyelig tråd som en masse konsentrert på ett materialpunkt er suspendert på.

En matematisk pendel, for eksempel, er en kule på en lang tynn tråd.

Pendelens avvik fra likevektsposisjonen er preget av vinkelen φ , som danner en tråd med en vertikal (fig. 1.15). Når pendelen avviker fra likevektsposisjonen, oppstår et øyeblikk med ytre krefter (tyngdekraften): , Hvor m- vekt, - pendellengde

Dette øyeblikket har en tendens til å returnere pendelen til likevektsposisjonen (lik den kvasi-elastiske kraften) og er rettet motsatt av forskyvningen φ , så det er et minustegn i formelen.

Ligningen for dynamikken til rotasjonsbevegelse for en pendel har formen: Iε=,

.

Vi vil derfor vurdere tilfellet med små svingninger sin φ ≈φ, betegne ,

vi har: , eller , og endelig

Dette er ligningen for harmoniske oscillasjoner, dens løsning:

.

Svingningsfrekvensen til en matematisk pendel bestemmes kun av lengden og tyngdeakselerasjonen, og avhenger ikke av pendelens masse. Perioden er:

Hvis det oscillerende legemet ikke kan representeres som et materialpunkt, kalles pendelen fysisk (fig. 1.1.6). Vi skriver ligningen for dens bevegelse i formen:

.

Ved små svingninger , eller =0 , hvor . Dette er bevegelsesligningen til et legeme som utfører harmoniske svingninger. Svingningsfrekvensen til en fysisk pendel avhenger av dens masse, lengde og treghetsmoment rundt aksen som går gjennom opphengspunktet.

La oss betegne . Verdi kalles den reduserte lengden på den fysiske pendelen. Dette er lengden på en matematisk pendel hvis svingeperiode faller sammen med perioden til en gitt fysisk pendel. Et punkt på en rett linje som forbinder opphengspunktet med massesenteret, som ligger i en avstand med redusert lengde fra rotasjonsaksen, kalles svingsenteret til en fysisk pendel ( OM'). Hvis pendelen er opphengt i midten av svingen, vil den reduserte lengden og svingningsperioden være den samme som ved punktet OM. Dermed har opphengspunktet og svingsenteret egenskapene til gjensidighet: når opphengspunktet overføres til svingsenteret, blir det gamle opphengspunktet det nye svingsenteret.

En matematisk pendel som svinger med samme periode som den fysiske som vurderes kalles isokron til den gitte fysiske pendelen.

1.1.4. Tilsetning av vibrasjoner (slag, Lissajous-figurer). Vektorbeskrivelse av oscillasjonstilsetning

Tilsetningen av like rettede oscillasjoner kan utføres ved hjelp av metoden for vektordiagrammer. Enhver harmonisk oscillasjon kan representeres som en vektor som følger. La oss velge en akse X med opprinnelse på punktet OM(fig.1.1.7)

Fra et punkt OM konstruer en vektor som utgjør vinkelen med aksel X. La denne vektoren rotere med vinkelhastighet. Projeksjon av en vektor på en akse X er lik:

det vil si at den utfører harmoniske oscillasjoner med en amplitude EN.

Tenk på to harmoniske svingninger i samme retning og samme sykliske små , gitt av vektorene og . Forskyvninger langs aksen X er like:

den resulterende vektoren har en projeksjon og representerer den resulterende oscillasjonen (Fig.1.1.8), ifølge cosinussetningen. Addisjonen av harmoniske svingninger utføres således ved å addere vektorene.

La oss utføre tillegg av gjensidig vinkelrette oscillasjoner. La materialpunktet lage to innbyrdes vinkelrette oscillasjoner med en frekvens:

.

Selve materialpunktet vil da bevege seg langs en eller annen krumlinjet bane.

Fra bevegelsesligningen følger: ,

. (1.1.9)

Fra ligning (1.1.9) kan du få ellipseligningen (fig.1.1.9):

Vurder spesielle tilfeller av denne ligningen:

1. Oscillasjonsfaseforskjell α= 0. Samtidig de. eller Dette er ligningen til en rett linje, og den resulterende oscillasjonen skjer langs denne rette linjen med amplitude (fig. 1.1.10).

dens akselerasjon er lik den andrederiverte av forskyvningen med hensyn til tid da er kraften som virker på svingepunktet, ifølge Newtons andre lov, lik

Det vil si at kraften er proporsjonal med forskyvningen X og er rettet mot forskyvningen til likevektsposisjonen. Denne kraften kalles gjenopprettingskraften. Ved belastning på en fjær er gjenopprettingskraften den elastiske kraften, i tilfellet med en matematisk pendel er den tyngdekraftens komponent.

Den gjenopprettende kraften av natur adlyder Hookes lov F= -kx, Hvor

er koeffisienten til gjenopprettingskraften. Da er den potensielle energien til svingepunktet:

(integrasjonskonstanten er valgt lik null, slik at når X).

Anharmonisk oscillator