Forkortede multiplikasjonsformler.
Studerer formlene for forkortet multiplikasjon: kvadratet av summen og kvadratet av differansen av to uttrykk; forskjell på kvadrater av to uttrykk; kuben av summen og kuben av differansen av to uttrykk; summer og forskjeller av kuber av to uttrykk.
Anvendelse av forkortede multiplikasjonsformler ved løsning av eksempler.
For å forenkle uttrykk, faktorisere polynomer og redusere polynomer til en standardform, brukes forkortede multiplikasjonsformler. Forkortede multiplikasjonsformler du trenger å kunne utenat.
La a, b R. Så:
1. Kvadraten av summen av to uttrykk er kvadratet av det første uttrykket pluss to ganger produktet av det første uttrykket og det andre pluss kvadratet av det andre uttrykket.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kvadraten av forskjellen mellom to uttrykk er kvadratet av det første uttrykket minus to ganger produktet av det første uttrykket og det andre pluss kvadratet av det andre uttrykket.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Forskjell på ruter to uttrykk er lik produktet av differansen mellom disse uttrykkene og summen deres.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. sum kube av to uttrykk er lik kuben til det første uttrykket pluss tre ganger kvadratet av det første uttrykket ganger det andre pluss tre ganger produktet av det første uttrykket ganger kvadratet av det andre pluss kuben til det andre uttrykket.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. forskjellskube av to uttrykk er lik kuben til det første uttrykket minus tre ganger produktet av kvadratet til det første uttrykket og det andre pluss tre ganger produktet av det første uttrykket og kvadratet av det andre minus kuben til det andre uttrykket.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Summen av terninger to uttrykk er lik produktet av summen av det første og andre uttrykket med det ufullstendige kvadratet av forskjellen mellom disse uttrykkene.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Forskjell på kuber av to uttrykk er lik produktet av forskjellen mellom det første og andre uttrykket med det ufullstendige kvadratet av summen av disse uttrykkene.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Anvendelse av forkortede multiplikasjonsformler ved løsning av eksempler.
Eksempel 1
Regne ut
a) Ved å bruke formelen for kvadratet av summen av to uttrykk har vi
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Ved å bruke formelen for kvadratforskjellen til to uttrykk får vi
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Eksempel 2
Regne ut
Ved å bruke formelen for forskjellen mellom kvadratene til to uttrykk, får vi
Eksempel 3
Forenkle uttrykk
(x - y) 2 + (x + y) 2
Vi bruker formlene for kvadratet av summen og kvadratet av differansen av to uttrykk
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Forkortede multiplikasjonsformler i én tabell:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Forkortede multiplikasjonsformler (FSU) brukes til å eksponentisere og multiplisere tall og uttrykk. Ofte lar disse formlene deg gjøre beregninger mer kompakt og raskt.
I denne artikkelen vil vi liste opp hovedformlene for forkortet multiplikasjon, gruppere dem i en tabell, vurdere eksempler på bruk av disse formlene, og også dvele ved prinsippene for å bevise forkortede multiplikasjonsformler.
For første gang vurderes temaet FSU innenfor emnet «Algebra» for 7. trinn. Nedenfor er 7 grunnleggende formler.
Forkortede multiplikasjonsformler
- sumkvadratformel: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- forskjellskvadratformel: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- sum terningformel: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- forskjellskubeformel: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- forskjell på kvadrater formel: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- formel for summen av kuber: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- formel for kubeforskjell: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
Bokstavene a, b, c i disse uttrykkene kan være alle tall, variabler eller uttrykk. For enkel bruk er det bedre å lære de syv grunnleggende formlene utenat. Vi oppsummerer dem i en tabell og gir dem nedenfor, sirkler dem rundt med en boks.
De fire første formlene lar deg beregne henholdsvis kvadratet eller terningen av summen eller differansen av to uttrykk.
Den femte formelen beregner forskjellen mellom kvadrater av uttrykk ved å multiplisere summen og differansen deres.
Den sjette og syvende formelen er henholdsvis multiplikasjonen av summen og differansen av uttrykk med det ufullstendige kvadratet av differansen og det ufullstendige kvadratet av summen.
Den forkortede multiplikasjonsformelen kalles noen ganger også de forkortede multiplikasjonsidentitetene. Dette er ikke overraskende, siden enhver likhet er en identitet.
Når man løser praktiske eksempler, brukes ofte forkortede multiplikasjonsformler med omorganiserte venstre og høyre deler. Dette er spesielt praktisk når du faktoriserer et polynom.
Ytterligere forkortede multiplikasjonsformler
Vi vil ikke begrense oss til 7. klasse-kurset i algebra og legge til noen flere formler til FSU-tabellen vår.
Tenk først på Newtons binomiale formel.
a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 +. . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
Her er C n k de binomiale koeffisientene som er i linjenummer n i pascals trekant. Binomiale koeffisienter beregnes med formelen:
C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2). . (n - (k - 1)) k !
Som du kan se, er FSU for kvadratet og terningen av forskjellen og summen et spesialtilfelle av Newtons binomiale formel for henholdsvis n=2 og n=3.
Men hva om det er mer enn to ledd i summen som skal heves til en makt? Formelen for kvadratet av summen av tre, fire eller flere ledd vil være nyttig.
a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
En annen formel som kan komme godt med er formelen for forskjellen mellom de n-te potensene til to ledd.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
Denne formelen er vanligvis delt inn i to formler – henholdsvis for partall og oddetall.
For jevne eksponenter 2m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2
For oddetallseksponenter 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. . + b 2 m
Formlene for forskjellen på kvadrater og forskjellen på terninger, du gjettet riktig, er spesielle tilfeller av denne formelen for henholdsvis n = 2 og n = 3. For forskjellen av terninger erstattes b også med - b .
Hvordan lese forkortede multiplikasjonsformler?
Vi vil gi de tilsvarende formuleringene for hver formel, men først skal vi behandle prinsippet om å lese formler. Den enkleste måten å gjøre dette på er med et eksempel. La oss ta den aller første formelen for kvadratet av summen av to tall.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
De sier: kvadratet av summen av to uttrykk a og b er lik summen av kvadratet av det første uttrykket, to ganger produktet av uttrykkene og kvadratet av det andre uttrykket.
Alle andre formler leses på samme måte. For den kvadratiske forskjellen a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 skriver vi:
kvadratet av forskjellen mellom to uttrykk a og b er lik summen av kvadratene til disse uttrykkene minus to ganger produktet av det første og andre uttrykket.
La oss lese formelen a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Terningen av summen av to uttrykk a og b er lik summen av kubene til disse uttrykkene, tre ganger produktet av kvadratet av det første uttrykket og det andre, og tre ganger produktet av kvadratet av det andre uttrykket og det første uttrykket.
Vi fortsetter med å lese formelen for forskjellen mellom terninger a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Terningen av forskjellen mellom to uttrykk a og b er lik kuben til det første uttrykket minus tre ganger kvadratet av det første uttrykket og det andre, pluss tre ganger kvadratet til det andre uttrykket og det første uttrykket, minus kuben av det andre uttrykket.
Den femte formelen a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (forskjell av kvadrater) lyder slik: forskjellen mellom kvadratene til to uttrykk er lik produktet av forskjellen og summen av de to uttrykkene.
Uttrykk som a 2 + a b + b 2 og a 2 - a b + b 2 kalles for enkelhets skyld henholdsvis det ufullstendige kvadratet av summen og det ufullstendige kvadratet av differansen.
Med dette i tankene leses formlene for summen og differansen av terninger som følger:
Summen av kubene til to uttrykk er lik produktet av summen av disse uttrykkene og det ufullstendige kvadratet av deres forskjell.
Forskjellen mellom kubene til to uttrykk er lik produktet av forskjellen mellom disse uttrykkene med det ufullstendige kvadratet av summen deres.
FSU bevis
Å bevise FSU er ganske enkelt. Basert på egenskapene til multiplikasjon, vil vi utføre multiplikasjonen av delene av formlene i parentes.
Tenk for eksempel på formelen for kvadratet av forskjellen.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
For å heve et uttrykk til andre potens, må uttrykket multipliseres med seg selv.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
La oss utvide parentesene:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Formelen er bevist. De andre FSO-ene er bevist på samme måte.
Eksempler på anvendelse av FSO
Hensikten med å bruke reduserte multiplikasjonsformler er å raskt og konsist multiplisere og eksponentiere uttrykk. Dette er imidlertid ikke hele omfanget av FSO. De er mye brukt for å redusere uttrykk, redusere brøker, faktorisere polynomer. La oss gi eksempler.
Eksempel 1. FSO
La oss forenkle uttrykket 9 y - (1 + 3 y) 2 .
Bruk formelen for kvadratsummen og få:
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2
Eksempel 2. FSO
Reduser brøken 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .
Vi legger merke til at uttrykket i telleren er forskjellen av terninger, og i nevneren - forskjellen av kvadrater.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Vi reduserer og får:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
FSUer hjelper også med å beregne verdiene til uttrykk. Det viktigste er å kunne legge merke til hvor formelen skal brukes. La oss vise dette med et eksempel.
La oss kvadrere tallet 79. I stedet for tungvinte beregninger, skriver vi:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Det ser ut til at en kompleks beregning ble utført raskt med bare bruk av forkortede multiplikasjonsformler og en multiplikasjonstabell.
En annen viktig poeng- valg av kvadratet til binomialet. Uttrykket 4 x 2 + 4 x - 3 kan konverteres til 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Slike transformasjoner er mye brukt i integrasjon.
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Forskjell på ruter
Vi utleder formelen for forskjellen av kvadrater $a^2-b^2$.
For å gjøre dette, husk følgende regel:
Hvis noe monomial legges til uttrykket og samme monomial trekkes fra, får vi riktig identitet.
La oss legge til uttrykket vårt og trekke fra det monomialet $ab$:
Totalt får vi:
Det vil si at forskjellen mellom kvadratene til to monomer er lik produktet av forskjellen deres og summen deres.
Eksempel 1
Uttrykk som et produkt av $(4x)^2-y^2$
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\venstre(2x-y\høyre)(2x+y)\]
Summen av terninger
Vi utleder formelen for summen av terninger $a^3+b^3$.
La oss ta de vanlige faktorene ut av parentes:
La oss ta $\left(a+b\right)$ ut av parentes:
Totalt får vi:
Det vil si at summen av kubene til to monomer er lik produktet av summen deres med det ufullstendige kvadratet av forskjellen deres.
Eksempel 2
Uttrykk som et produkt $(8x)^3+y^3$
Dette uttrykket kan skrives om i følgende form:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
Ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater får vi:
\[((2x))^3+y^3=\venstre(2x+y\høyre)(4x^2-2xy+y^2)\]
Forskjell på kuber
Vi utleder formelen for forskjellen mellom terninger $a^3-b^3$.
For å gjøre dette bruker vi samme regel som ovenfor.
La oss legge til uttrykket vårt og trekke fra det monomialene $a^2b\ og\ (ab)^2$:
La oss ta de vanlige faktorene ut av parentes:
La oss ta $\left(a-b\right)$ ut av parentes:
Totalt får vi:
Det vil si at forskjellen mellom kubene til to monomer er lik produktet av forskjellen deres med det ufullstendige kvadratet av summen deres.
Eksempel 3
Uttrykk som et produkt av $(8x)^3-y^3$
Dette uttrykket kan skrives om i følgende form:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
Ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater får vi:
\[((2x))^3-y^3=\venstre(2x-y\høyre)(4x^2+2xy+y^2)\]
Et eksempel på oppgaver for bruk av formlene for forskjellen av kvadrater og sum og forskjell av terninger
Eksempel 4
Multiplisere.
a) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Løsning:
a) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
Ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater får vi:
\[((a+5))^2-3^2=\venstre(a+5-3\høyre)\venstre(a+5+3\høyre)=\venstre(a+2\høyre)(a +8)\]
La oss skrive dette uttrykket i formen:
La oss bruke formelen for kuber av kuber:
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
La oss skrive dette uttrykket i formen:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\venstre(\frac(1)(3)\høyre))^3-x^3\]
La oss bruke formelen for kuber av kuber:
\[(\venstre(\frac(1)(3)\høyre))^3-x^3=\venstre(\frac(1)(3)-x\høyre)\venstre(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\høyre\]
