TYPER LIGNINGER
Algebraiske ligninger. Formens ligninger f n= 0, hvor f n- et polynom i en eller flere variabler, kalles algebraiske ligninger. Et polynom er et uttrykk for formen
f n = en 0 x i y j ... v k + a 1 x l y m ... v n +¼ + a s x p y q ... v r,
Hvor x, y, ..., v er variabler, og Jeg, j, ..., r er eksponenter (ikke-negative heltall). Et polynom i en variabel skrives slik:
f(x) = en 0 x n + en 1 x n – 1 + ... + en n – 1 x + en n
eller, i et spesielt tilfelle, 3 x 4 – x 3 + 2x 2 + 4x– 1. En algebraisk likning med en ukjent er en hvilken som helst likning av formen f(x) = 0. Hvis en 0 ¹ 0, da n kalles graden av ligningen. For eksempel 2 x+ 3 = 0 – ligning av første grad; ligninger av første grad kalles lineære, siden grafen til funksjonen y=ax+b ser ut som en rett linje. Ligninger av andre grad kalles kvadratiske, og ligninger av tredje grad kalles kubikk. Ligninger av høyere grader har lignende navn.
Transcendentale ligninger. Ligninger som inneholder transcendentale funksjoner, som logaritmiske, eksponentielle eller trigonometriske funksjoner, kalles transcendentale. Følgende ligninger er et eksempel:
der lg er logaritmen med base 10.
Differensiallikninger. Såkalte ligninger som inneholder en eller flere funksjoner og deres deriverte eller differensialer. Differensialligninger har vist seg å være et usedvanlig verdifullt middel for nøyaktig å formulere naturlovene.
Integralligninger. Ligninger som inneholder en ukjent funksjon under integrertegnet, for eksempel, f (s) = ò K (s, t) f(t) dt, Hvor f(s) Og K(s,t) er gitt, og f(t) er å finne.
Diofantiske ligninger. En diofantisk ligning er en algebraisk ligning i to eller flere ukjente med heltallskoeffisienter, hvis løsning søkes i heltall eller rasjonelle tall. For eksempel ligning 3 x – 5y= 1 har en løsning x = 7, y= 4; generelt er løsningene heltall av formen x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.
LØSNING AV ALGEBRAISKE LIGNINGER
For alle ligningstypene oppført ovenfor, finnes det ingen generelle løsningsmetoder. Likevel i mange tilfeller, spesielt for algebraiske ligninger av en viss type, er det en ganske fullstendig teori om løsningen deres.
Lineære ligninger. Disse enkle ligningene løses ved å redusere dem til en ekvivalent ligning som direkte viser verdien av det ukjente. For eksempel ligningen x+ 2 = 7 kan reduseres til den ekvivalente ligningen x= 5 ved å trekke tallet 2 fra høyre og venstre side. Trinnene som er involvert i å redusere en enkel ligning, som f.eks x+ 2 = 7, til ekvivalenten, er basert på bruk av fire aksiomer.
1. Hvis like verdier økes med samme tall, vil resultatene være like.
2. Hvis samme tall trekkes fra like verdier, vil resultatene være like.
3. Hvis like verdier multipliseres med samme tall, vil resultatene være like.
4. Hvis like verdier er delt med samme tall, vil resultatene være like.
For eksempel for å løse ligning 2 x+ 5 = 15, vi bruker aksiom 2 og subtraherer tallet 5 fra høyre og venstre side, noe som resulterer i ekvivalent ligning 2 x= 10. Deretter bruker vi aksiom 4 og deler begge sider av den resulterende ligningen med 2, som et resultat av at den opprinnelige ligningen reduseres til formen x= 5, som er ønsket løsning.
Kvadratiske ligninger. Løsninger til den generelle andregradsligningen øks 2 + bx + c= 0 kan oppnås ved å bruke formelen
Det er altså to løsninger, som i et bestemt tilfelle kan falle sammen.
Andre algebraiske ligninger. Eksplisitte formler, lik formelen for å løse en kvadratisk ligning, kan bare skrives for ligninger av tredje og fjerde grad. Men selv disse formlene er komplekse og hjelper ikke alltid til å enkelt finne røttene. Når det gjelder likningene av femte grad eller høyere, for dem, som N. Abel beviste i 1824, er det umulig å indikere en generell formel som vil uttrykke røttene til ligningen gjennom dens koeffisienter ved bruk av radikaler. I noen spesielle tilfeller kan ligninger av høyere grader enkelt løses ved å faktorisere venstre side, dvs. tar det ut.
For eksempel ligningen x 3 + 1 = 0 kan skrives i faktorisert form ( x + 1)(x 2 – x+ 1) = 0. Vi finner løsninger ved å sette hver av faktorene lik null:
Så røttene er x= –1, , dvs. bare 3 røtter.
Hvis ligningen ikke kan faktoriseres, bør omtrentlige løsninger brukes. Hovedmetodene for å finne omtrentlige løsninger ble utviklet av Horner, Newton og Greffe. Imidlertid er det i alle tilfeller en sterk tro på at løsningen eksisterer: den algebraiske ligningen n grad har nøyaktig n røtter.
Systemer av lineære ligninger. To lineære ligninger med to ukjente kan skrives som
Løsningen til et slikt system finner man ved å bruke determinantene
Det er fornuftig hvis 
Hvis D= 0, da er to tilfeller mulige. (1) Minst én av determinantene og er ikke null. I dette tilfellet er det ingen løsning på ligningene; ligningene er inkonsekvente. Et talleksempel på en slik situasjon er systemet
(2) Begge determinantene er lik null. I dette tilfellet er den andre ligningen ganske enkelt et multiplum av den første, og det er et uendelig antall løsninger.
Generell teori vurderer m lineære ligninger med n variabler:
Hvis m = n og matrise ( aij) er ikke-degenerert, så er løsningen unik og kan finnes av Cramers regel:
Hvor En ji– algebraisk komplement til et element aij i matrise ( aij). Mer generelt er det følgende teoremer. La r er rangeringen av matrisen ( aij), s er rangeringen av den kantede matrisen ( aij; b i), som er hentet fra aij legge til en kolonne med tall b i. Deretter: (1) hvis r = s, da eksisterer n–r lineært uavhengige løsninger; (2) hvis r< s , da er ligningene inkonsistente og det finnes ingen løsninger.
, FGGU,
, Matematisk Lyceum
Algebraiske ligninger og metoder for deres løsning
A.1 Polynom og dets røtter
Tenk på et sett med (n+1) reelle tall, et polynom (polynom) av grad n med koeffisientene ovenfor kalles et uttrykk for formen:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image003_38.gif" width="257" height="25 src="> (2)
kalles en algebraisk gradslikning n.
Røttene til ligning (2) kalles også røttene til polynomet.
Her er noen fakta om røttene til polynomer.
Fakta 1. Ethvert polynom av oddetall har minst én reell rot.
Kommentar. Selv å vite at ligningen har en rot, kan det være veldig vanskelig å finne denne roten.
Eksempel 1 Ligningen har åpenbart røttene 0 og p.
Eksempel 2Å etablere røttene til ligningen, som absolutt eksisterer, er en ganske vanskelig oppgave.
Fakta 2. Hvis koeffisientene til polynomet er heltall, har de rasjonelle røttene til denne ligningen (hvis noen) formen, hvor tallene k og m er naturlige, og k er divisor for frileddet, m er divisor av hovedleddet koeffisient.
Eksempel 3 https://pandia.ru/text/78/119/images/image010_16.gif" width="348" height="41 src="> (gjentatte tall har blitt forkortet).
Sjekken viser at tallene 2, og er passende.
Oppgaven med å skille rasjonelle røtter er sterkt forenklet hvis den ledende koeffisienten i polynomet er lik én. I dette tilfellet kan de mulige rasjonelle røttene til ligningen bare være heltall som deler det frie leddet til polynomet.
Eksempel 4 Polynomet har følgende heltallsrøtter: . Sjekke mulige røtter (dette kan gjøres ganske raskt med Horners opplegg) sørger vi for at den eneste heltallsroten av ligningen er 2.
Fakta 3. Hvis tallet er roten til et polynom, kan dette polynomet representeres som et produkt, en metode for divisjon med et "hjørne", veldig likt det som brukes på vanlige tall.
La oss ta et eksempel.
Eksempel 5 La oss dele med:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image021_6.gif" width="177" height="25">. Merk at den første faktoren har en negativ diskriminant, så den (og det opprinnelige polynomet) er større enn røttene ikke har.
Fakta 4.Ethvert polynom med reelle koeffisienter kan representeres som:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image023_6.gif" width="16 height=24" height="24"> - rotmangfold, 
- kvadratiske trinomialer som ikke har reelle røtter (de kalles irredusible).
Kommentar. Ved løsning av likninger og ulikheter kan man redusere til irreduserbare trinomialer.
S.2. Gruppering som en måte å finne røttene til et polynom
Dessverre (og dette har blitt bevist), er det ingen universell algoritme som tillater (som et kvadrattrinomium) å finne røttene til et hvilket som helst polynom. Det finnes spesielle formler for å løse likninger av tredje og fjerde grad, men de er arbeidskrevende og blir ikke studert i skolekurset. Derfor brukes ofte andre metoder, for eksempel rotseparasjon (diskutert i første avsnitt), grupperingsmetoden og dens spesialtilfelle - valg av hele kvadrater.
Essensen av grupperingsmetoden er som følger: medlemmene av polynomet er delt inn i grupper (derav navnet) slik at etter reduksjon av lignende, vil hver gruppe bli dekomponert i faktorer, og en av faktorene vil være inneholdt i hver gruppe. Denne felles faktoren er tatt ut av parentes og det opprinnelige polynomet dekomponeres til produktet av to lavere grads polynomer.
Tenk på et eksempel.
Eksempel 6 Faktoriser polynom etter grupperingsmetode
https://pandia.ru/text/78/119/images/image027_3.gif" width="272" height="24 src=">
(https://pandia.ru/text/78/119/images/image029_3.gif" width="64" height="21">, vil vi inkludere det første leddet i den første gruppen, det andre leddet i det tredje ).
https://pandia.ru/text/78/119/images/image031_4.gif" width="51" height="24">, finner vi nedbrytningen:
.
Begge kvadratiske trinomialer har negative diskriminanter, så deres videre dekomponering er umulig.
Eksempel 7 Faktoriser polynomet:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image034_3.gif" width="35" height="21"> du må kle en del som er et multiplum av 14: for eksempel 70-1 , 84-15, 98-29 eller 42 + 27. Det første alternativet fører til en blindvei. Vurder det andre alternativet. Vi får:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image036_2.gif" width="603" height="24">.
Dermed,
S.3. Eksempler på løsning av de enkleste algebraiske ligningene
Polynomer er de enkleste algebraiske ligningene. I dette underavsnittet tar vi for oss noen eksempler på løsning av slike ligninger.
Eksempel 8 Finn røttene til ligningen
https://pandia.ru/text/78/119/images/image041_2.gif" width="89" height="19 src=">.
La oss starte med det minste tallet - tre.
https://pandia.ru/text/78/119/images/image043_2.gif" width="40 height=23" height="23"> er en av røttene til ligningen. For å finne de andre røttene, del venstre side av ligningen med:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image046_2.gif" width="107" height="21">. Ved å bruke for eksempel Vietas formler får vi to andre røtter: 
.
Svar: https://pandia.ru/text/78/119/images/image049_2.gif" width="124" height="21 src=">.
Løsning. Problemet kan reduseres til en biquadratisk ligning, men vi vil prøve å bruke faktorisering..gif" width="616" height="24 src=">.
Røttene til den første faktoren: https://pandia.ru/text/78/119/images/image052_2.gif" width="63" height="41 src=">.
Deretter vurderer du et eksempel på en ligning som reduserer til en rasjonell. Et trekk ved slike ligninger er det obligatoriske kravet om å kontrollere de funne røttene til regionen med tillatte verdier. For eksempel, på Unified State-eksamen for noen år siden, ble det foreslått en "enkel" oppgave.
Eksempel 10 løse ligningen
DIV_ADBLOCK37">
S. 4. Brøkalgebraiske ligninger
Det enkleste brøkalgebraiske uttrykket har formen:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image055_2.gif" width="40" height="23 src=">.gif" width="111" height="41 src=">.
Løsning: La oss bringe brøkene til en fellesnevner:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image059_2.gif" width="207" height="41">.
Begge røttene til telleren er ikke røttene til nevneren (bekreft dette ved å direkte erstatte begge røttene i nevneren), så de er løsninger på ligningen som vurderes.
Hvis en brøk-rasjonell ligning inneholder mange elementære uttrykk, kan det etter transformasjoner dannes et ganske tungvint uttrykk i telleren, og det vil være svært vanskelig å finne røttene til dette. Men i noen tilfeller er det mulig å redusere en kompleks likning til en enklere, ved å bruke for eksempel en endring av variabler. Tenk på et eksempel.
Eksempel 12. løse ligningen
https://pandia.ru/text/78/119/images/image061_0.gif" width="81" height="41"> er gjensidig inverse (produktet deres er lik én). La oss introdusere følgende erstatning: . Den opprinnelige ligningen vil se:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image064_0.gif" height="16">, får vi en kvadratisk ligning:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image066_0.gif" width="93" height="23">. La oss utføre omvendt substitusjon. Få og løs settet med to ligninger: 2. Indeks , bostedsadresse , e-post (hvis noen), telefon (hjemme eller mobil)
3. Skoledata (for eksempel: MBOU nr. 1 Bikin village)
4. Etternavn, I. O.-lærer i matematikk (for eksempel: matematikklærer)
M 10.2.1. Løs ligningen ved å faktorisere polynomet:
M 10.2.2. Løs rasjonell brøkligning
a) https://pandia.ru/text/78/119/images/image082_0.gif" width="209" height="21 src=">. ( Merk: gang først den første faktoren med den fjerde og den andre med den tredje. Merk det første stykkety, vil det andre produktet da representeres som y+2. Løs den resulterende kvadratiske ligningen og foreta den motsatte substitusjonen.)
c) https://pandia.ru/text/78/119/images/image084_0.gif" width="165" height="41 src=">. ( Merk: prøv å legge til et tall til de to første leddene slik at summen viser seg å være den gjensidige av den på tredjeplass med en faktor på -10. Se eksempel 12 og 13 nedenfor..)
Algebraiske ligninger. Definisjon
La funksjonene f(x) og u(x) være definert på et sett A. Og la det være nødvendig å finne mengden X som disse funksjonene har like verdier på, med andre ord, finn alle verdiene av x som likheten gjelder: f(x)= c(x).
I denne formuleringen kalles denne likheten en ligning med ukjent x.
En ligning kalles algebraisk hvis bare algebraiske operasjoner utføres på det ukjente - addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, heving til en potens og trekke ut en rot med en naturlig eksponent.
Algebraiske ligninger inneholder bare algebraiske funksjoner (hele, rasjonelle, irrasjonelle). En algebraisk ligning i generell form kan representeres av et polynom av n-te grad med reelle koeffisienter:
For eksempel,
Settet A kalles settet (regionen) av tillatte verdier av det ukjente for den gitte ligningen.
Mengden X kalles løsningssettet, og enhver løsning x=a kalles roten til denne ligningen. Å løse en ligning betyr å finne mengden av alle dens løsninger eller bevise at det ikke finnes noen.
Metoder for å løse algebraiske ligninger
I mange vitenskapelige og tekniske problemer er det nødvendig å løse en formlikning
hvor f(x) er en gitt kontinuerlig ikke-lineær funksjon.
Analytisk er det mulig å finne en løsning kun for de enkleste ligningene. I de fleste tilfeller er det nødvendig å løse en ligning av formen (1) med numeriske metoder.
Den numeriske løsningen av ligning (1) utføres vanligvis i to trinn. På det første stadiet må du finne slike endringsintervaller for variabelen x, der bare én rot er lokalisert. Dette problemet løses vanligvis grafisk. På det andre trinnet foredles de individuelle røttene. Ulike metoder brukes til dette.
Metoder for å løse ikke-lineære ligninger er delt inn i direkte og iterative. Direkte metoder lar deg skrive røttene i form av en formel. Ligningene man møter i praksis er imidlertid ikke alltid mulig å løse. enkle metoder. For å løse dem brukes iterative metoder, dvs. metoder for suksessive tilnærminger.
Direkte metoder - løsningen finnes i et tidligere kjent antall aritmetiske operasjoner, løsningen er streng. Eksempler: Gauss-metoden, kvadratrotmetoden, Cramers regel osv.
Iterative metoder er metoder for suksessive tilnærminger der det er umulig å forutsi antall aritmetiske operasjoner som vil kreves for å løse en likning (system) med en gitt nøyaktighet. Eksempler: metoden for enkle iterasjoner, Gauss-Seidel-metoden, metoden for å dele et segment i to, etc.
I denne artikkelen studerer og sammenligner vi metoden for enkle iterasjoner og metoden for halvdeling av et segment.
transkripsjon
1 Algebraiske ligninger hvor Definisjon. Algebraisk er en ligning av formen 0, P () 0, noen reelle tall. 0 0 I dette tilfellet kalles variabelen den ukjente, og tallene 0 er koeffisientene til ligningen (), rekkefølgen (eller graden) av ligningen. Definisjon. Et tall kalles en løsning (eller rot) av ligningen () hvis, når tallet erstattes i ligningen 0 P i stedet, oppnås den korrekte likheten 0 P. Avhengig av koeffisientene, kan ligningen () ha en enkelt ekte rot, flere røtter, eller ingen reelle røtter. Å løse en likning betyr å finne alle dens røtter (bare reelle løsninger vurderes i skolekurset) eller å bevise at likningen ikke har noen løsninger. og Vi vil vurdere ligningen () ved. For (kubisk ligning) er det formler for røttene til ligningen 0 P i radikaler, kjent som Cordanos formler. Når ligning () er uløselig i radikaler, dvs. Løsningen av ligningen 0 P at kan ikke uttrykkes i termer av koeffisientene 0, ved å bruke et begrenset antall aritmetiske operasjoner (operasjoner med addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og uttrekk av aritmetisk rot). Beviset for denne uttalelsen ble først innhentet av den norske matematikeren Abel i år 6. I noen tilfeller kan løsningen av algebraiske ligninger av høyere grader, inkludert den tredje og fjerde, ganske enkelt finnes. En slik mulighet er fullstendig bestemt av koeffisientene, 0, til polynomet P. Følge fra Bezouts teorem. Hvis er roten til polynomet (P 0), så er polynomet P delelig med binomet uten rest, dvs. det eksisterer et polynom slik at P F F. P
2 "hjørne". Ligning () i dette tilfellet tilsvarer et sett med ligninger Dividere ett polynom Ligning 0, F 0. P med en annen Q m, m, du kan produsere P grad kan ikke ha mer enn reelle røtter, tar hensyn til multiplisiteten. Dessuten har en likning med oddetall alltid minst én reell rot. Hvis de reelle tallene ..., er røttene til ligningen 0, så gjelder identiteten P. For ligninger med høyere grader (), er Vieta-setningen gyldig, som vi formulerer i tilfelle av og. Hvis de reelle tallene og er røttene til den kubiske ligningen 0, 0, tilfredsstiller de betingelsene: b c d d, c, b. Hvis de reelle tallene, og er røttene til ligningen av fjerde grad 0, 0, så tilfredsstiller de betingelsene: b c d e Hvis det rasjonelle tallet er 0 e, d, b. p, der p q q c, en irreduserbar brøk, er roten til en ligning med heltallskoeffisienter, så må p være en divisor av konstantleddet
3, og q er en divisor av koeffisienten 0 i høyeste grad. Spesielt er heltallsrøttene 0 p av den reduserte ligningen 0 med heltallskoeffisienter deler av frileddet. Dette utsagnet følger av siste likhet i (.7) Hvis summen av alle koeffisientene til ligning 0 har en rot. P er null, så ligningen For eksempel er summen av koeffisientene til ligningen null, så den har en rot. Hvis summen av koeffisientene ved odde potenser i ligningen er lik summen av frileddet og koeffisientene ved partalls potenser, så har ligningen en rot. For eksempel, i ligningen har vi 6 7, så roten til denne ligningen. La oss vurdere separate klasser av algebraiske ligninger av høyere grader og studiemetoder for deres løsning. Biquadratiske ligninger. Definisjon. En bikwadratisk likning er en likning av formen hvor 0. b c 0, () For å løse denne likningen brukes en endring av variablene y, hvor y 0. I dette tilfellet oppnås en andregradsligning y med c 0. Siden ligning () er en ligning av fjerde grad, den har ikke mer enn fire reelle røtter. Hvis y og y er dens løsninger, vil den opprinnelige biquadratiske ligningen tilsvare settet: Metoden for å velge roten (røtter). 0 år. Hvis den gitte algebraiske ligningen () med heltallskoeffisienter har heltallsrøtter, må de søkes blant divisorene til det frie leddet
4 ligninger (). De rasjonelle røttene p 0 til ligningen () med heltallskoeffisienter q p bør søkes blant tall slik at p er en divisor av det frie leddet, q og q er divisor av koeffisienten 0 i høyeste grad i ligningen (). Disse egenskapene ligger til grunn for metoden for å velge røttene til en algebraisk ligning. Eksempel. Løs ligning 0. Løsning. Denne ligningen er redusert og har heltallskoeffisienter. Derfor er heltallsrøttene til denne ligningen (hvis noen) inneholdt blant divisorene til det frie leddet:,. Det er lett å se at det er roten til ligningen. For å finne de resterende røttene deler vi polynomet inn i et binomialt "hjørne": 0. For ligning 0 finner vi igjen roten ved seleksjon, og deler deretter polynomet i et binomial: 0, ligning 0 har ingen reelle røtter. Dermed
5. gradsligningen har to reelle røtter. Svar.,. Endring av variabler metode. Hvis den opprinnelige ligningen forenkles når du endrer variabler (for eksempel reduseres graden), så introduserer vi dristig en ny variabel. Eksempel. Løs ligningen. Løsning. Hvis du åpner parentesene og tar med like termer, får du ligningen 6 0, som er veldig vanskelig å løse. Selv om det er en ligning med heltallskoeffisienter, men som vi vil se nedenfor, har den ikke heltallsrøtter. Derfor vil vi bruke en annen metode: vi introduserer en ny variabel y og løser den andregradsligningen y y. Røttene er y og y. Følgelig vil den opprinnelige ligningen være ekvivalent med kombinasjonen av to ligninger. Vi løser de oppnådde kvadratiske ligningene.,. 0,D0,. eller 0, D 7 0, det er ingen løsninger. Dermed har den opprinnelige ligningen av th grad to røtter og. Svar.,. Eksempel. Finn den største negative roten av ligning 0. Løsning. Det er veldig vanskelig å finne røttene til denne ligningen, så vi vil bruke følgende triks: multipliser (eller del) denne ligningen med et visst tall slik at det høyeste leddet i ligningen blir kuben til et eller annet uttrykk
6 Merk at, og introduser en ny variabel y. Som et resultat får vi ligningen y y y 6 0, som er ekvivalent med den opprinnelige. Ved seleksjon finner vi røttene y, y og y, som vil tilsvare røttene til den opprinnelige ligningen, og. Den største negative roten er . Svar. Den største negative roten. Du kan introdusere en annen variabel og vurdere en kvadratisk ligning med hensyn til en av de oppnådde ("gamle" eller "nye") variablene. Eksempel. Finn den minste roten av ligningen 6 0. Løsning. La oss transformere den opprinnelige likningen som følger: La oss introdusere en ny variabel y 6 og få likningen 6 y y 0. La oss løse den resulterende likningen som en kvadratisk en med hensyn til y. y eller y. D 6 y y 0, y, La oss gå tilbake til variabelen, vi får to andregradsligninger.
7 6, 9 0, D 0 0, 9 0, 9 0, 9 0 6, 0, D 9 Vi velger den minste av dem. Siden 0 0, deretter 9., så den minste løsningen. 9 0 Svar. Minste løsning.. Returligninger Definisjon. Ligninger av formen 0 0 kalles tilbakevendende eller symmetriske, for hvilke koeffisientene i symmetriske posisjoner er like, det vil si for k 0,. k k For eksempel er det tilbakevendende, siden 0, 9, 6. Følgende utsagn er sanne for gjensidige ligninger. En gjensidig ligning av oddetall har alltid en rot og, etter divisjon med et binomial, reduseres den til en gjensidig ligning av partall grad. En gjensidig ligning med jevn grad kan reduseres til en ligning på halve graden ved å introdusere variabelen y. La oss illustrere disse utsagnene med eksempler. Eksempel. Løs ligningen Løsning. Det er lett å se at denne ligningen er gjensidig av en merkelig grad og derfor har en rot. Vi deler polynomet inn i et binomial:
8 Det gjenstår å løse den resiproke likningen av th grad Siden 0 ikke er roten til denne likningen, kan vi dele begge deler av denne likningen med La oss gjøre en endring av variabler dvs. y.. Få y. Så y, Vi får ligningen y 0y 6 0 (graden av ligningen halveres!) La oss løse den andregradsligningen y 0y 0. I følge Vietas teorem er tallene y og y 6 dens røtter. Vi har videre
9 0,6 0, D 0,6 0,9,. Dermed har den opprinnelige ligningen av th grad røtter:, og. Svar., og. D Bruke monotonisitet av funksjoner og andre spesielle teknikker For å løse ikke-standardiserte algebraiske ligninger, må man bruke ulike teknikker for å transformere ligningen til en ekvivalent form, introdusere nye variabler, studere funksjonen Løse ligninger av formen g f som en del av ligningen 0 f osv. f er noen ganger praktisk å bygge på bruken av monotonisitetsegenskapen til funksjoner. Denne teknikken er basert på følgende teorem. Teorem. La ligningen f g være definert på mengden X R ; funksjonen f er monotont økende (minkende) på X, og g er monotont avtagende (økende). Hvis både E f, E g er områder av f g på settet X og E f Eg, så er det et unikt punkt 0 X slik at g f, dvs. ligningen 0 0 f g har en unik løsning. Denne teoremet er gyldig for alle ligninger på formen g for algebraiske. Eksempel 6. Løs ligning 96 E f. y f F.eks 0 X g f, og ikke bare Løsning. Potensfunksjonen y, N, er definert på hele den reelle linjen og er en strengt økende funksjon på R. Derfor er venstre side av den gitte
10 i ligningen f er en strengt økende funksjon på R som summen av to strengt økende funksjoner. Høyre del 96 g er identisk konstant. Derfor, i samsvar med teorem 6, har ligningen en unik løsning. Det er lett å se hva det er. Svar.. Eksempel 7. Løs ligningen. Løsning Y. Men Y for enhver R, og derfor ligningen 0 Y, og derav den opprinnelige (.), har ingen løsning. Svar.
VITENSKAPSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FØDERASJONEN RYAZAN STATE RADIO ENGINEERING ACADEMY GS LUKYANOVA AINOVIKOV RATIONELLE OG IRRASJONELLE LIKNINGER OG ULIKHETER Ryazan Ministry
UTDANNINGSBYRÅ FOR ADMINISTRASJONEN AV KRASNOYARSK REGIONEN KRASNOYARSK STATE UNIVERSITY KORRESPONDENS SCHOOL OF NATURAL SCIENCE under Krasnoyarsk State University YTTERLIGERE KAPITEL I MATEMATIKK Grad 10 Modul 4 LØSNINGSMETODER
Emne 14 "Algebraiske ligninger og systemer av ikke-lineære ligninger" Et polynom av grad n er et polynom av formen P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, hvor a 0, a 1 , a n-1, a n gitte tall, a 0,
UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FØDERASJON NOVOSIBIRSK STATE UNIVERSITET SPESIALISERT UTDANNINGS- OG VITENSKAPSSENTER Matematikk 8. klasse Polynomer Novosibirsk Polynomer Rational
Irrasjonelle ligninger og ulikheter Innholdsfortegnelse Irrasjonelle ligninger Metoden for å heve begge sider av en ligning til samme potens
Identitetstransformasjoner av algebraiske uttrykk Algebraiske uttrykk uttrykk som inneholder tall og bokstaver forbundet med algebraiske operasjoner: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og konstruksjon
4.. Variabel endringsmetode for å løse algebraiske ligninger. I forrige avsnitt ble variabel endringsmetoden brukt for å faktorisere et polynom. Denne metoden mye brukt til
Emne 5 Rasjonelle likningssystemer F (x, x,...,) 0, F (x, x,...,) 0, Ligningssystem av formen hvor... Fk (x, x,.. .,) 0 , F i(x, x,...,), i,..., k, noen polynomer, kalles et rasjonelt system
Kunnskapsdepartementet Den russiske føderasjonen Moskva institutt for fysikk og teknologi ( State University) Korrespondanse fysisk og teknisk skole MATEMATIKK Polynomer. De enkleste ligningene og
Kapittel 7 Andregradsligninger Samtale 8 Hvordan andregradsligninger ble løst i antikken. Faktisk gir den babylonske metoden en løsning på systemet + y =, som er en oversikt over problemet med å finne y = q, sider
Algebraprogram for 7. klasse ved en generell utdanningsinstitusjon. Forklaringsnotat Oppbygging av programmet Programmet består av tre deler: 1. Planlagte resultater av å mestre algebra i klasse 7 2. Innhold
I. V. Yakovlev Materialer om matematikk MathUs.ru rot ........................................
Utdanningsdepartementet i Moskva-regionen utdanningsinstitusjon høyere yrkesopplæring Moskva-regionen "International University of Nature, Society and
Instruksjoner, løsninger, svar LIGNINGER I HELTAL. Ligning med en ukjent Løsning. La oss sette det inn i ligningen. Vi får likheten (4a b 4) (a b 8) 0. Likheten A B 0, hvor A og B er heltall, er oppfylt,
Ligninger I algebra vurderes to typer likheter - identiteter og ligninger. Identitet er en likhet som gjelder for alle tillatte) verdier av bokstavene som er inkludert i den. For identiteter brukes tegn
Korrespondanse fysisk og matematisk lyceum "Avangard" E. N. FILATOV ALGEBRA 8 Eksperimentell lærebok Del MOSKVA 06 Korrespondanse fysisk og matematisk lyceum "Avangard" E. N. Filatov ALGEBRA 8 Eksperimentell
Emne 1 Reelle tall og handlinger på dem 4 timer 11 Utvikling av begrepet tall 1 I utgangspunktet ble tall bare forstått som naturlige tall, som er tilstrekkelige til å telle enkeltobjekter.
ALGEBRAISKE LIGNINGER AV HØYESTE GRADER
MATEMATIKK Kvadratrøtter Oppgave for 8. klasse (006-00 studieår) 4 Innledning Kjære barn! Du har fått en annen matematikkoppgave. I denne oppgaven introduserer vi deg for et viktig matematisk konsept.
Karakter 8.3, Matematikk (lærebok Makarychev) 2016-2017 studieår Tema for modul 5 «Kvadratrot. Grad med heltallsindikator ”De teoretiske og praktiske delene kontrolleres i prøven. TEMA Å kjenne Å kunne kjenne
Penza State University Fakultet for fysikk og matematikk "Physical and Mathematical School by Correspondence" MATEMATIKK Identitetstransformasjoner. Løsning av ligninger. Trekanter Oppgave 1 for
Karakter 0, Matematikk (profil) 0-08 studieår Emne for modulen “Røtter, potenser, logaritmer” Kjenne til begrepene et reelt tall, tallsett, egenskaper til reelle tall, delbarhet av heltall ****, egenskaper
Karakter 8, Matematikk (lærebok Makarychev) 07-08 studieår Tema for modulen «Kvadratrot. Grad med heltallsindikator ”De teoretiske og praktiske delene kontrolleres i prøven. TEMA Know Kunne vite definisjon
LØSNING AV TILBAKEENDE LIGNINGER Angi med verdien av et uttrykk når et heltall er erstattet i det. Deretter avhengigheten av et sekvensmedlem av medlemmene av sekvensen FF med verdier
Kapittel Grad med en rasjonell eksponent Potensfunksjon Grad med en heltallseksponent Husk definisjonen og de grunnleggende egenskapene til en grad med en heltallseksponent For ethvert reelt tall a setter vi en
Http://vk.ucoz.et/ Operasjoner på polynomer k a k Et polynom (polynom) av grad k er en funksjon av formen a, hvor variabel, a er numeriske koeffisienter (=,.k), og. Ethvert tall som ikke er null kan vurderes
Analytisk løsning av algebraiske ligninger av grader 3 og 4 Innhold 1 Innledning 1 2 Tredjegradsligninger 3 3 Ligninger av fjerde grad 7 1 Innledning Dette manuskriptet inneholder formler for
Klasse. Grad med vilkårlig reell eksponent, dens egenskaper. Power funksjon, dens egenskaper, grafikk .. Husk egenskapene til en grad med en rasjonell eksponent. a a a a a for naturlige tider
REFERANSE Noen tegn på delebarhet av naturlige tall Naturlige tall er tall som brukes til å telle: Naturlige tall danner en mengde som kalles settet av naturlige tall Sett
Kapittel 9 Grader En grad med en heltallseksponent. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0; > >.. >. Hvis selv, så ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). For eksempel, () => = = (), så
Status for dokumentet Forklaring
MODUL 7 "Eksponentielle og logaritmiske funksjoner". Generalisering av gradsbegrepet. Roten til graden og dens egenskaper.. Irrasjonelle ligninger.. Grad med en rasjonell eksponent.. Eksponentiell funksjon..
Ural føderalt universitet, Institutt for matematikk og informatikk, Institutt for algebra og diskret matematikk Begrepet et polynom Definisjoner Et polynom i en variabel er et uttrykk for formen
Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education "Tver State University" A A G O L U B E V, T A S P A S K A
Forelesning Kapittel Sett og operasjoner på dem Konseptet med et sett Konseptet med et sett refererer til de mest primære begrepene i matematikk som ikke er definert gjennom enklere.
0.5 Logaritmiske ligninger og ulikheter. Brukte bøker:. Algebra og begynnelsen av analysen 0 - redigert av A.N. Kolmogorov. Uavhengig og testpapirer i algebra 0 - redigert av E.P. Ershov
KVADRATISKE LIGNINGER
Innhold Ligning................................... Heltallsuttrykk.. ......... .......................... Uttrykk med potenser.............. ........ ......... 3 Monomial ................................... ........ ......
Handlinger med brøker: Elektronisk Verktøysettå gjøre lekser Hjemmelekser. «Transformasjoner er makt og irrasjonelle uttrykk. Beregning av verdiene til numeriske uttrykk » Formler
Forklaringsnotat Algebra arbeidsprogram for klasse 8 ( fordypning) er kompilert i samsvar med den føderale komponenten av den statlige utdanningsstandarden, algebraprogrammet
I.V. Yakovlev, A.G. Malkova. Forberedelse til eksamen i matematikk. Nettstedmateriale http://www.ege-study.ru Trigonometriske ligninger I denne artikkelen vil vi snakke om hovedtypene trigonometriske ligninger
Forelesning 7 Komplekse tall og deres representasjon på planet Algebraiske operasjoner på komplekse tall Kompleks konjugasjon Modul og argument for et komplekst tall Algebraiske og trigonometriske former
Kalendertematisk planlegging med definisjon av hovedtyper av pedagogiske aktiviteter i timen Dato Seksjon Leksjonens tema Kjennetegn på hovedaktivitetene til elevene 1 halvår 65 leksjoner; 1 kvartal
State Budgetary Educational Institution of the Republic of Khakassia "Khakassian National Gymnasium Boarding School oppkalt etter. N.F.Katanova "" ENIG" på møtet i Institutt for matematikk og informatikkprotokoll
Kapittel 1. Andregradsligninger og ligninger av høyere orden 1.1 Ligninger i det gamle Babylon Algebra oppsto i forbindelse med løsning av ulike problemer ved hjelp av ligninger. Oppgaver krever vanligvis
Matematikkprogram I matematikkprøven skal søkere vise: 1. Klare kunnskaper om matematiske definisjoner og teoremer, de grunnleggende formlene for algebra og geometri, evnen til å bevise teoremer og utlede
Forelesning INTEGRASJON AV RASJONALE FRAKSJONER Rasjonelle brøker Integrasjon av de enkleste rasjonelle brøkene Dekomponering rasjonell brøk til enkle brøker Integrasjon av rasjonelle brøker Rasjonell
MATEMATIKK Rasjonelle ligninger Ligningssystemer Ligninger som inneholder en modul Oppgave for klassetrinn 0-04 studieår Satt sammen av: cps, førsteamanuensis Marina EV Penza, 0 Introduksjon La oss huske noen begreper
Typisk variant "Komplekse tall Polynomer og rasjonelle brøker" Oppgave Gitt to komplekse tall og cos sn Finn og skriv resultatet på algebraisk form skriv resultatet i trigonometrisk
Vedlegg til "Grunnleggende utdanningsprogram hoved- allmennutdanning MBOU SOSH 5 "ARBEIDSPROGRAM om emnet "Algebra" for 7. 8. trinn Program: Programmer. Matematikk. 5-6 klasser.
2.22. Ta ut fellesfaktoren (n er et naturlig tall) fra parentes: 1) x n + 3 + x n ; 3) z3n - zn; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5n + 4 + 2 5n + 2-3 5n + 1. 2.23. Hvert nummer ble tildelt
Forklaring Arbeidsprogrammet til valgfaget "Algebra Pluss: Algebra fra høyere matematikk" for elever i klasse 0 er satt sammen på grunnlag av et eksemplarisk arbeidsprogram lærere
3.. Metoder for å løse rasjonelle ulikheter 3..1. Numeriske ulikheter La oss først definere hva vi mener med utsagnet a > b. Definisjon 3...1. Tallet a er større enn tallet b hvis forskjellen mellom dem er positiv.
Kalendertematisk planlegging Algebra 8b klasse Studietrinn: videregående 4 timer per uke / 144 timer per år Emneinnhold treningskurs 1. Repetisjon av materialet av klasse 7 (6 timer). Algebraisk
Eksamensbillett 1 1. Konvertering av vanlige brøker til desimaler og omvendt. Handlinger med brøker. 2. Funksjonsdefinisjon. Måter å sette på, definisjonsdomene, domene for funksjonsverdier. 2 x 1 x x 1
7 Trigonometriske ligninger og ulikheter Kommentar
57 Vurder integrasjonen av den enkleste rasjonelle brøken av den fjerde typen (M N) d () p q p La oss gjøre en endring av variabel ved å sette d. hvor a p q. Da er integralet M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p
Differensialligninger av høyere orden. Konev V.V. Forelesningsskisser. Innhold 1. Grunnleggende begreper 1 2. Ligninger som tillater ordensreduksjon 2 3. Lineær differensiallikninger høyere ordre
Repetisjon Algebra 7 8. Spørsmål Åpningsparentes. Multiplikasjon av polynomer Graf over en lineær funksjon. 4. Dekomponering av et polynom i faktorer. 5. Eiendom av grad med naturlig indikator. 6. Forkortede formler
Løsning av ligninger i heltall Lineære ligninger. Direkte oppregningsmetode Eksempel. Kaniner og fasaner sitter i et bur. De har totalt 8 ben. Finn ut hvor mange av disse og andre som er i cellen. List opp alle løsninger. Løsning.
VITENSKAPLIG FORSKNING UNIVERSITET VIDEREGÅENDE ØKONOMISKE SKOLE MATEMATIKK Program "11. klasse" 2013-2014 studieåret Del 1, algebra og begynnelsen av analysen Innholdsfortegnelse Kapittel 1. Innhold i emnet og prøver ...
Kapittel I Algebraiske brøker 18 Kapittel II Kvadratisk funksjon. Funksjon. 14 Kapittel III Funksjon y = x. Egenskaper til kvadratroten 12 Kapittel IV Kvadratiske ligninger 22 Kapittel V Reelle tall 11 Kapittel VI
Bruken av ligninger er utbredt i våre liv. De brukes i mange beregninger, konstruksjon av strukturer og til og med sport. Ligninger har blitt brukt av mennesker siden antikken og siden har bruken bare økt.
Ligninger som inneholder symbolet \[\sqrtx\] kalles ligninger med kvadratrot. Kvadratroten av et ikke-negativt tall \ er et ikke-negativt tall hvis kvadrat er lik \. \[(\sqrt a=x, x_2=a; x, a\pm0)\]. Tallet eller uttrykket under rottegnet må alltid være ikke-negativt.
Eksistere forskjellige måter løsninger av slike ligninger:
Kvaddre et tall ved å multiplisere tallet med seg selv;
Forenkle røttene, hvis mulig, ved å fjerne hele røttene fra den;
Bruken av imaginære tall for å få roten til negative tall;
Anvendelse av divisjonsalgoritmen i en kolonne;
Og andre.
For klarhetens skyld løser vi følgende ligning med kvadratrot:
\[\sqrt(x-5)=3\]
Vi multipliserer hver side av ligningen med seg selv for å bli kvitt radikalene:
Nå har vi det enkleste lineær ligning, som løses som følger:
Hvor kan jeg løse en algebraisk ligning på nettet?
Du kan løse den algebraiske ligningen på vår nettside https: // site. Gratis online løser lar deg løse en online ligning av enhver kompleksitet på sekunder. Alt du trenger å gjøre er å legge inn dataene dine i løseren. Du kan også se videoinstruksjonen og lære hvordan du løser ligningen på nettsiden vår. Og hvis du har spørsmål, kan du stille dem i vår Vkontakte-gruppe http://vk.com/pocketteacher. Bli med i gruppen vår, vi er alltid glade for å hjelpe deg.
