Според учебника на Советов и Яковлев: „моделът (лат. modulus - мярка) е обект-заместител на оригиналния обект, осигуряващ изучаването на някои свойства на оригинала“. (стр. 6) „Замяната на един обект с друг, за да се получи информация за най-важните свойства на оригиналния обект, използвайки моделния обект, се нарича моделиране.“ (стр. 6) „Под математическо моделиране ще разбираме процеса на установяване на съответствие с даден реален обект на някакъв математически обект, наречен математически модел, и изследването на този модел, което позволява да се получат характеристиките на разглеждания реален обект . Видът на математическия модел зависи както от естеството на реалния обект, така и от задачите за изучаване на обекта и необходимата надеждност и точност на решаването на този проблем.

И накрая, най-краткото определение на математически модел: „Уравнение, изразяващо идея."

Класификация на модела

Формална класификация на моделите

Формалната класификация на моделите се основава на класификацията на използваните математически инструменти. Често изградени под формата на дихотомии. Например, един от популярните набори от дихотомии е:

и така нататък. Всеки конструиран модел е линеен или нелинеен, детерминиран или стохастичен, ... Естествено са възможни и смесени типове: концентрирани в едно отношение (по параметри), разпределени модели в друго и т.н.

Класификация по начина на представяне на обекта

Наред с формалната класификация, моделите се различават по начина, по който представят обекта:

• Структурни или функционални модели

Структурните модели представляват обект като система със собствено устройство и механизъм на функциониране. Функционалните модели не използват такива представяния и отразяват само външно възприеманото поведение (функциониране) на обекта. В екстремния си израз те се наричат ​​още модели „черна кутия". Възможни са и комбинирани типове модели, които понякога се наричат ​​модели „сива кутия".

Съдържателни и формални модели

Почти всички автори, описващи процеса на математическо моделиране, посочват, че първо се изгражда специална идеална конструкция, модел на съдържание. Тук няма установена терминология и други автори наричат ​​това идеален обект концептуален модел , спекулативен моделили предмодел. В този случай се извиква крайната математическа конструкция формален моделили просто математически модел, получен в резултат на формализирането на този модел на съдържание (предмодел). Изграждането на смислен модел може да се извърши с помощта на набор от готови идеализации, както в механиката, където идеалните пружини, твърди тела, идеални махала, еластични среди и т.н. предоставят готови структурни елементи за смислено моделиране. Въпреки това, в области на знанието, където няма напълно завършени формализирани теории (най-новото във физиката, биологията, икономиката, социологията, психологията и повечето други области), създаването на смислени модели е драматично по-сложно.

Съдържателна класификация на моделите

Нито една хипотеза в науката не може да бъде доказана веднъж завинаги. Ричард Файнман го каза много ясно:

„Винаги имаме способността да опровергаем една теория, но имайте предвид, че никога не можем да докажем, че тя е вярна. Да предположим, че излагате успешна хипотеза, пресмятате докъде води тя и установявате, че всички нейни последствия са потвърдени експериментално. Това означава ли, че теорията ви е вярна? Не, това просто означава, че не сте успели да го опровергаете.

Ако се изгради модел от първия тип, това означава, че той временно се признава за верен и човек може да се концентрира върху други проблеми. Това обаче не може да бъде точка в изследването, а само временна пауза: състоянието на модела от първия тип може да бъде само временно.

Тип 2: Феноменологичен модел (дръж се сякаш…)

Феноменологичният модел съдържа механизъм за описание на явлението. Този механизъм обаче не е достатъчно убедителен, не може да бъде достатъчно потвърден от наличните данни или не съвпада добре с наличните теории и натрупаните знания за обекта. Следователно феноменологичните модели имат статут на временни решения. Смята се, че отговорът все още е неизвестен и е необходимо да се продължи търсенето на "истинските механизми". Пайърлс отнася например калоричния модел и кварковия модел на елементарните частици към втория тип.

Ролята на модела в изследването може да се промени с течение на времето, може да се случи нови данни и теории да потвърдят феноменологичните модели и те да бъдат издигнати до статут на хипотеза. По същия начин новите знания могат постепенно да влязат в конфликт с модели-хипотези от първия тип и те могат да бъдат прехвърлени към втория. Така кварковият модел постепенно преминава в категорията на хипотезите; атомизмът във физиката възниква като временно решение, но с хода на историята преминава в първия тип. Но етерните модели преминаха от тип 1 към тип 2 и сега те са извън науката.

Идеята за опростяване е много популярна при изграждането на модели. Но опростяването е друго. Peierls разграничава три вида опростявания в моделирането.

Тип 3: Приближение (нещо се счита за много голямо или много малко)

Ако е възможно да се съставят уравнения, описващи изследваната система, това не означава, че те могат да бъдат решени дори с помощта на компютър. Често срещана техника в този случай е използването на приближения (модели от тип 3). Между тях модели на линейна реакция. Уравненията се заменят с линейни. Стандартният пример е законът на Ом.

А ето и тип 8, който се използва широко в математическите модели на биологични системи.

Тип 8: Демонстрация на възможността (основното е да се покаже вътрешната последователност на възможността)

Това също са мисловни експерименти с въображаеми същности, демонстриращи това предполагаемо явлениев съответствие с основните принципи и вътрешно последователно. Това е основната разлика от моделите от тип 7, които разкриват скрити противоречия.

Един от най-известните от тези експерименти е геометрията на Лобачевски (Лобачевски я нарича "въображаема геометрия"). Друг пример е масовото производство на формално кинетични модели на химични и биологични трептения, автовълни и т.н. Парадоксът на Айнщайн-Подолски-Розен е замислен като модел от тип 7, за да демонстрира непоследователността на квантовата механика. По напълно непланиран начин в крайна сметка се превърна в модел от тип 8 - демонстрация на възможността за квантово телепортиране на информация.

Пример

Обмисли механична система, състоящ се от пружина, фиксирана в единия край, и товар от маса мприкрепен към свободния край на пружината. Ще приемем, че товарът може да се движи само по посока на оста на пружината (например движението се извършва по пръта). Нека изградим математически модел на тази система. Ще опишем състоянието на системата чрез разстоянието хот центъра на товара до неговото равновесно положение. Нека опишем взаимодействието на пружина и товар с помощта Закон на Хук (Е = − кх ), след което използваме втория закон на Нютон, за да го изразим под формата на диференциално уравнение:

където означава втората производна на хпо време: .

Полученото уравнение описва математическия модел на разглежданата физическа система. Този модел се нарича "хармоничен осцилатор".

Според формалната класификация този модел е линеен, детерминиран, динамичен, концентриран, непрекъснат. В процеса на изграждането му направихме много предположения (за липсата на външни сили, липсата на триене, малките отклонения и т.н.), които в действителност може да не са изпълнени.

По отношение на реалността най-често това е модел тип 4. опростяване(„пропускаме някои подробности за яснота“), тъй като някои съществени универсални характеристики (например разсейване) са пропуснати. В някакво приближение (да речем, докато отклонението на товара от равновесието е малко, с малко триене, за не твърде дълго време и при определени други условия), такъв модел описва реална механична система доста добре, тъй като отхвърлените фактори имат незначителен ефект върху поведението му. Моделът обаче може да бъде прецизиран, като се вземат предвид някои от тези фактори. Това ще доведе до нов модел, с по-широк (макар и отново ограничен) обхват.

Въпреки това, когато моделът бъде усъвършенстван, сложността на неговото математическо изследване може да се увеличи значително и да направи модела практически безполезен. Често повече прост моделви позволява да изследвате по-добре и по-задълбочено реалната система, отколкото по-сложна (и, формално, „по-правилна“) такава.

Ако приложим модела хармоничен осцилаторза обекти, далеч от физиката, неговият съдържателен статус може да бъде различен. Например, когато се прилага този модел към биологични популации, той най-вероятно трябва да се припише на тип 6 аналогия(„Да вземем предвид само някои характеристики“).

Твърди и меки модели

Хармоничният осцилатор е пример за така наречения "твърд" модел. Получава се в резултат на силна идеализация на реална физическа система. За да разрешим въпроса за неговата приложимост, е необходимо да разберем колко значими са факторите, които сме пренебрегнали. С други думи, необходимо е да се изследва "мекият" модел, който се получава чрез малко смущение на "твърдия". Тя може да бъде дадена например чрез следното уравнение:

Тук - някаква функция, която може да вземе предвид силата на триене или зависимостта на коефициента на твърдост на пружината от степента на нейното разтягане - някакъв малък параметър. Явна форма на функция fв момента не ни интересува. Ако докажем, че поведението на мек модел не се различава фундаментално от това на твърд модел (независимо от изричната форма на смущаващите фактори, ако те са достатъчно малки), проблемът ще се сведе до изучаване на твърдия модел. В противен случай прилагането на резултатите, получени при изследването на твърдия модел, ще изисква допълнителни изследвания. Например, решението на уравнението на хармоничен осцилатор са функции от формата , тоест трептения с постоянна амплитуда. Следва ли от това, че реалният осцилатор ще трепти неограничено с постоянна амплитуда? Не, защото разглеждайки система с произволно малко триене (винаги присъстващо в реална система), получаваме затихнали трептения. Поведението на системата се промени качествено.

Ако една система запази своето качествено поведение при малко смущение, се казва, че тя е структурно стабилна. Хармоничният осцилатор е пример за структурно нестабилна (негруба) система. Този модел обаче може да се използва за изследване на процеси в ограничени интервали от време.

Универсалност на моделите

Най-важните математически модели обикновено имат важното свойство универсалност: принципно различни реални явления могат да бъдат описани с един и същ математически модел. Например, хармоничният осцилатор описва не само поведението на натоварване върху пружина, но и други колебателни процеси, често от съвсем различно естество: малки колебания на махало, колебания в нивото на течността в U-образен съд или промяна в силата на тока в колебателния кръг. Така, изучавайки един математически модел, ние изучаваме едновременно цял клас явления, описани от него. Именно този изоморфизъм на законите, изразени чрез математически модели в различни сегменти на научното познание, кара Лудвиг фон Берталанфи да създаде „Общата теория на системите“.

Преки и обратни задачи на математическото моделиране

Има много проблеми, свързани с математическото моделиране. Първо, необходимо е да се измисли основната схема на моделирания обект, да се възпроизведе в рамките на идеализациите на тази наука. И така, вагонът се превръща в система от плочи и по-сложни тела от различни материали, всеки материал се специфицира като негова стандартна механична идеализация (плътност, модули на еластичност, стандартни якостни характеристики), след което се съставят уравнения, като по пътя някои детайли се отхвърлят като незначителни, правят се изчисления, сравняват се с измерванията, моделът се прецизира, и така нататък. Въпреки това, за разработването на технологии за математическо моделиране е полезно този процес да се разглоби на основните му съставни елементи.

Традиционно има два основни класа проблеми, свързани с математически модели: директни и обратни.

Директен проблем: структурата на модела и всички негови параметри се считат за известни, основната задача е да се проучи моделът, за да се извлекат полезни знания за обекта. Какво статично натоварване може да издържи мостът? Как ще реагира на динамично натоварване (например на марш на рота войници или на преминаване на влак с различни скорости), как самолетът ще преодолее звуковата бариера, дали ще се разпадне от трептене - това са типични примери за директна задача. Поставянето на правилния пряк проблем (задаване на правилния въпрос) изисква специално умение. Ако не бъдат зададени правилните въпроси, мостът може да се срути, дори и да е построен. добър моделза неговото поведение. И така, през 1879 г. в Англия се срути метален мост през река Тей, чиито дизайнери построиха модел на моста, изчислиха го за 20-кратна граница на безопасност за полезния товар, но забравиха за ветровете, които постоянно духат в тях места. И след година и половина рухна.

В най-простия случай (например уравнение на един осцилатор) директният проблем е много прост и се свежда до явно решение на това уравнение.

Обратна задача: известни са много възможни модели, необходимо е да се избере конкретен модел въз основа на допълнителни данни за обекта. Най-често структурата на модела е известна и трябва да се определят някои неизвестни параметри. Допълнителна информацияможе да се състои в допълнителни емпирични данни или в изискванията към обекта ( проектантска задача). Допълнителни данни могат да дойдат независимо от процеса на решаване на обратния проблем ( пасивно наблюдение) или да е резултат от експеримент, специално планиран в хода на решаването ( активно наблюдение).

Един от първите примери за виртуозно решение на обратна задача с възможно най-пълно използване на наличните данни беше методът, конструиран от И. Нютон за възстановяване на силите на триене от наблюдаваните затихнали трептения.

Допълнителни примери

където х с- "равновесна" численост на населението, при която раждаемостта точно се компенсира от смъртността. Размерът на популацията в такъв модел клони към равновесната стойност х си това поведение е структурно стабилно.

Тази система има равновесно състояние, при което броят на зайците и лисиците е постоянен. Отклонението от това състояние води до флуктуации в броя на зайците и лисиците, подобни на флуктуациите в хармоничния осцилатор. Както в случая с хармоничния осцилатор, това поведение не е структурно стабилно: малка промяна в модела (например, като се вземат предвид ограничените ресурси, необходими на зайците) може да доведе до качествена промяна в поведението. Например, равновесното състояние може да стане стабилно и колебанията на населението ще изчезнат. Възможна е и обратната ситуация, когато всяко малко отклонение от равновесното положение ще доведе до катастрофални последици, до пълното изчезване на един от видовете. На въпроса кой от тези сценарии се реализира, моделът Волтера-Лотка не дава отговор: тук са необходими допълнителни изследвания.

Бележки

1. „Математическо представяне на реалността“ (Encyclopaedia Britanica)
2. Новик И. Б., По философските въпроси на кибернетичното моделиране. М., Знание, 1964.
3. Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделиране на системи: учебник. за университети - 3-то изд., преработ. и допълнителни - М.: Висше. училище, 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
4. Самарски А. А., Михайлов А. П.Математическо моделиране. Идеи. Методи. Примери. . - 2-ро изд., Рев. - М.: Физматлит, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Мишкис А. Д., Елементи на теорията на математическите модели. - 3-то издание, Рев. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
6. Уикиречник: математически модели
7. Бележки на Клифс
8. Подходи за намаляване на модела и грубо зърно за многомащабни явления, Springer, серия Complexity, Берлин-Хайделберг-Ню Йорк, 2006. XII+562 стр. ISBN 3-540-35885-4
9. „Една теория се счита за линейна или нелинейна, в зависимост от това какъв - линеен или нелинеен - математически апарат, какви - линейни или нелинейни - математически модели използва. ... без да отричам последното. Един съвременен физик, ако се случи да предефинира толкова важна същност като нелинейността, най-вероятно би постъпил по различен начин и, предпочитайки нелинейността като по-важната и обща от двете противоположности, би определил линейността като „не-не- линейност". Данилов Ю. А., Лекции по нелинейна динамика. Елементарно въведение. Серия Синергетика: от миналото към бъдещето. Изд.2. - М.: URSS, 2006. - 208 с. ISBN 5-484-00183-8
10. « Динамични системи, моделиран от краен брой обикновени диференциални уравнения, се наричат ​​концентрирани или точкови системи. Те се описват с помощта на крайномерно фазово пространство и се характеризират с краен брой степени на свобода. Същата система в различни условияможе да се счита за концентриран или разпределен. Математически модели на разпределени системи са частични диференциални уравнения, интегрални уравнения или обикновени уравнения със закъснение. Броят на степените на свобода на една разпределена система е безкраен и са необходими безкраен брой данни, за да се определи нейното състояние. Анищенко V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, No. 11, p. 77-84.
11. „В зависимост от характера на изследваните процеси в системата S, всички видове моделиране могат да бъдат разделени на детерминистично и стохастично, статично и динамично, дискретно, непрекъснато и дискретно-непрекъснато. Детерминистичното моделиране показва детерминистични процеси, т.е. процеси, при които се предполага липсата на всякакви случайни влияния; стохастичното моделиране показва вероятностни процеси и събития. … Статичното моделиране се използва за описание на поведението на обект във всеки един момент от времето, докато динамичното моделиране отразява поведението на обект във времето. Дискретното моделиране служи за описание на процеси, които се предполага, че са дискретни, съответно непрекъснатото моделиране ви позволява да отразявате непрекъснати процеси в системите, а дискретно-непрекъснатото моделиране се използва за случаите, когато искате да подчертаете наличието както на дискретни, така и на непрекъснати процеси. Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделиране на системи: учебник. за университети - 3-то изд., преработ. и допълнителни - М.: Висше. училище, 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
12. Обикновено математическият модел отразява структурата (подреждането) на моделирания обект, свойствата и взаимовръзките на компонентите на този обект, които са от съществено значение за целите на изследването; такъв модел се нарича структурен. Ако моделът отразява само как функционира обектът - например как реагира на външни въздействия - тогава той се нарича функционална или преносно черна кутия. Възможни са и комбинирани модели. Мишкис А. Д., Елементи на теорията на математическите модели. - 3-то издание, Рев. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
13. „Очевидният, но най-важен начален етап от конструирането или избора на математически модел е да се изясни възможно най-ясно моделираният обект и да се прецизира моделът на съдържанието му въз основа на неформални дискусии. На този етап не трябва да се пестят време и усилия, от това до голяма степен зависи успехът на цялото проучване. Неведнъж се е случвало значителна работа, изразходвана за решаване на математически проблем, да се окаже неефективна или дори пропиляна поради недостатъчно внимание към тази страна на въпроса. Мишкис А. Д., Елементи на теорията на математическите модели. - 3-то издание, Рев. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4, с. 35.
14. « Описание на концептуалния модел на системата.На този подетап на изграждане на системен модел: а) концептуалният модел М се описва с абстрактни термини и концепции; б) дадено е описание на модела с помощта на типични математически схеми; в) хипотезите и предположенията се приемат окончателно; г) обосновава се изборът на процедура за апроксимиране на реални процеси при изграждане на модел. Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделиране на системи: учебник. за университети - 3-то изд., преработ. и допълнителни - М.: Висше. училище, 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2, стр. 93.

Математически модел на технически обект е съвкупност от математически обекти и връзки между тях, които адекватно отразяват свойствата на обекта, който се изследва, които представляват интерес за изследователя (инженера).

Моделът може да бъде представен по различни начини.

Модели на представителни форми:

инвариантно - записване на моделни отношения с помощта на традиционен математически език, независимо от метода за решаване на моделни уравнения;

аналитичен - запис на модела под формата на резултат от аналитично решение на изходните уравнения на модела;

алгоритмичен - запис на връзките на модела и избрания числен метод на решение под формата на алгоритъм.

схематичен (графичен) - представяне на модела на някакъв графичен език (например език на графики, еквивалентни схеми, диаграми и др.);

физически

аналогов

Най-универсално е математическото описание на процесите – математическото моделиране.

Концепцията за математическо моделиране включва и процеса на решаване на задача на компютър.

Обобщен математически модел

Математическият модел описва връзката между първоначалните данни и желаните стойности.

Елементите на обобщения математически модел са (фиг. 1): набор от входни данни (променливи) X,Y;

X - набор от променливи променливи; Y - независими променливи (константа);

математически оператор L, който дефинира операции върху тези данни; което се разбира като пълна система от математически операции, които описват числени или логически връзки между набори от входни и изходни данни (променливи);

набор от изходни данни (променливи) G(X,Y); е набор от критериални функции, включително (ако е необходимо) целевата функция.

Математическият модел е математически аналог на проектирания обект. Степента на адекватност на неговия обект се определя от формулирането и правилността на решенията на дизайнерския проблем.

Множеството от променливи параметри (променливи) X образува пространството от променливи параметри Rx (пространство за търсене), което е метрика с размерност n, равна на броя на променливите параметри.

Наборът от независими променливи Y образува метричното пространство на входните данни Ry. В случай, когато всеки компонент на пространството Ry е зададен от диапазон от възможни стойности, наборът от независими променливи се преобразува в някакво ограничено подпространство на пространството Ry.

Наборът от независими променливи Y определя средата за функциониране на обекта, т.е. външни условия, при които ще работи проектираният обект

Не може да бъде:

• - технически спецификацииобект, който не подлежи на промяна в процеса на проектиране;
• - физически смущения на средата, с която обектът на проектиране взаимодейства;
• - тактически параметри, които проектният обект трябва да постигне.

Изходните данни на разглеждания обобщен модел формират метрично пространство от критериални показатели RG.

Схемата за използване на математически модел в система за автоматизирано проектиране е показана на фиг.2.

Изисквания към математическия модел

Основните изисквания към математическите модели са изискванията за адекватност, универсалност и икономичност.

Адекватност. Моделът се счита за адекватен, ако отразява дадените свойства с приемлива точност. Точността се определя като степен на съответствие между стойностите на изходните параметри на модела и обекта.

Точността на модела е различна в различни условияфункциониране на обекта. Тези условия се характеризират с външни параметри. В пространството на външните параметри изберете областта на адекватност на модела, където грешката е по-малка от зададената максимално допустима грешка. Определянето на областта на адекватност на модела е сложна процедура, която изисква големи изчислителни разходи, които растат бързо с увеличаване на размерността на пространството на външните параметри. Тази задача може значително да надвишава задачата за параметрична оптимизация на самия модел по обем, следователно може да не бъде решена за новопроектирани обекти.

Универсалност - определя се главно от броя и състава на външните и изходните параметри, взети предвид в модела.

Икономичността на модела се характеризира с разходите за изчислителни ресурси за неговата реализация – разходите за компютърно време и памет.

Противоречивите изисквания към модела да има широк диапазон на адекватност, висока степен на универсалност и висока ефективност обуславят използването на множество модели за еднотипни обекти.

Методи за извличане на модели

Вкарайте модели общ случай- неформализирана процедура. Основните решения относно избора на вида на математическите зависимости, характера на използваните променливи и параметри се вземат от проектанта. В същото време такива операции като изчисляване на числените стойности на параметрите на модела, определяне на области на адекватност и други се алгоритмизират и решават на компютър. Следователно моделирането на елементите на проектираната система обикновено се извършва от специалисти в специфични технически области, като се използват традиционни експериментални изследвания.

Методите за получаване на функционални модели на елементи са разделени на теоретични и експериментални.

Теоретичните методи се основават на изучаването на физическите закономерности на процесите, протичащи в обекта, определяне на математическото описание, съответстващо на тези закономерности, обосноваване и приемане на опростяващи предположения, извършване на необходимите изчисления и привеждане на резултата до приетата форма на моделно представяне. .

Експерименталните методи се основават на използването външни проявисвойства на обекта, регистрирани по време на експлоатация на обекти от същия тип или по време на целенасочени експерименти.

Въпреки евристичния характер на много операции, моделирането има редица разпоредби и техники, общи за получаване на модели на различни обекти. Те имат доста общ характер.

техника за макро моделиране,

математически методи за планиране на експерименти,

алгоритми за формализирани операции за изчисляване на числените стойности на параметрите и определяне на областите на адекватност.

Използване на математически модели

Изчислителната мощ на съвременните компютри, съчетана с предоставянето на всички системни ресурси на потребителя, възможността за интерактивен режим при решаване на проблем и анализ на резултатите, позволяват да се сведе до минимум времето за решаване на проблем.

При съставянето на математически модел от изследователя се изисква:

изучаване на свойствата на обекта, който се изследва;

способността да се отделят основните свойства на обекта от второстепенните;

оценете направените предположения.

Моделът описва връзката между входните данни и желаните стойности. Последователността от действия, които трябва да се извършат, за да се премине от първоначалните данни към желаните стойности, се нарича алгоритъм.

Алгоритъмът за решаване на задачата на компютър е свързан с избора на числен метод. В зависимост от формата на представяне на математическия модел (алгебрична или диференциална форма) се използват различни числени методи.

Същността на икономическо-математическото моделиране се състои в описанието на социално-икономическите системи и процеси под формата на икономико-математически модели.

Нека разгледаме въпросите за класификацията на икономическите и математическите методи. Тези методи, както беше отбелязано по-горе, са комплекс от икономически и математически дисциплини, които са сплав от икономика, математика и кибернетика.

Следователно класификацията на икономико-математическите методи се свежда до класификацията на научните дисциплини, включени в техния състав. Въпреки че общоприетата класификация на тези дисциплини все още не е разработена, с известна степен на приближение могат да се разграничат следните раздели в състава на икономическите и математическите методи:

• * икономическа кибернетика: системен анализ на икономиката, теория на икономическата информация и теория на системите за управление;
• * математическа статистика: икономически приложения на тази дисциплина - извадков метод, дисперсионен анализ, корелационен анализ, регресионен анализ, многовариантен статистически анализ, факторен анализ, теория на индекса и др.;
• * математическа икономика и иконометрия, изучаващи едни и същи въпроси от количествена страна: теория на икономическия растеж, теория на производствените функции, междусекторни баланси, национални сметки, анализ на търсенето и потреблението, регионален и пространствен анализ, глобално моделиране и др.;
• * методи за вземане на оптимални решения, включително изследване на операциите в икономиката. Това е най-обемният раздел, който включва следните дисциплини и методи: оптимално (математическо) програмиране, включително разклонени и обвързани методи, мрежово планиране и методи за контрол, програмно-целево планиране и методи за контрол, теория и методи за управление на запасите, теория на опашките, теория на игрите, теория и методи на вземане на решения, теория на планирането. Оптималното (математическо) програмиране включва от своя страна линейно програмиране, нелинейно програмиране, динамично програмиране, дискретно (целочислено) програмиране, дробно линейно програмиране, параметрично програмиране, разделимо програмиране, стохастично програмиране, геометрично програмиране;
• * Методи и дисциплини, които са специфични както за централно планирана икономика, така и за пазарна (конкурентна) икономика. Първите включват теорията за оптималното функциониране на икономиката, оптималното планиране, теорията за оптималното ценообразуване, моделите на логистиката и др. Вторите са методи, които позволяват разработването на модели на свободна конкуренция, модели на капиталистическия цикъл, модели на монопола, модели на индикативно планиране, модели на теорията на фирмата и др.

Много от методите, разработени за централно планирана икономика, могат също да бъдат полезни при икономическо и математическо моделиране в пазарна икономика;

* методи за експериментално изследване на икономическите явления. Те включват, като правило, математически методи за анализ и планиране на икономически експерименти, методи за машинна симулация (симулационно моделиране), бизнес игри. Това включва и методи за експертни оценки, разработени за оценка на явления, които не могат да бъдат директно измерени.

Нека сега се обърнем към въпросите за класификацията на икономическите и математическите модели, с други думи, математическите модели на социално-икономическите системи и процеси.

Понастоящем също не съществува единна класификационна система за такива модели, но обикновено се разграничават повече от десет основни характеристики на тяхната класификация или класификационни заглавия. Нека да разгледаме някои от тези раздели.

Според общата цел икономическите и математическите модели се разделят на теоретични и аналитични, използвани в изследването общи имотии закони на икономическите процеси, и приложни, използвани при решаване на конкретни икономически проблеми на анализ, прогнозиране и управление. различни видовеприложните икономически и математически модели се разглеждат само в този урок.

Според степента на агрегиране на обектите на моделиране моделите се делят на макроикономически и микроикономически. Въпреки че няма ясно разграничение между тях, първите от тях включват модели, които отразяват функционирането на икономиката като цяло, докато микроикономическите модели се свързват като правило с такива части на икономиката като предприятия и фирми.

Според конкретната цел, т.е. според целта на създаване и приложение, се разграничават балансови модели, изразяващи изискването наличието на ресурси да съответства на тяхното използване; трендови модели, при които развитието на моделираната икономическа система се отразява чрез тенденцията (дългосрочната тенденция) на нейните основни показатели; оптимизационни модели, предназначени за селекция най-добрият вариантот определен брой възможности за производство, разпространение или потребление; симулационни модели, предназначени за използване в процеса на машинна симулация на изследваните системи или процеси и др.

Според вида на използваната информация в модела икономико-математическите модели се делят на аналитични, изградени върху априорна информация, и идентифицируеми, изградени върху апостериорна информация.

Чрез отчитане на фактора време моделите се делят на статични, при които всички зависимости са свързани с един момент във времето, и динамични, които описват икономически системи в процес на развитие.

Като се вземе предвид коефициентът на неопределеност, моделите се разделят на детерминистични, ако изходните резултати в тях са еднозначно определени от управляващи действия, и стохастични (вероятностни), ако когато определен набор от стойности е посочен на входа на модела , могат да се получат различни резултати в зависимост от действието на случаен фактор.

Икономическите и математическите модели също могат да бъдат класифицирани според характеристиките на математическите обекти, включени в модела, с други думи, според вида на математическия апарат, използван в модела. На тази основа са създадени матрични модели, линейни и нелинейни модели за програмиране, корелационно-регресионни модели,

Основни понятия на математическото моделиране на модела на теорията на масовото обслужване, модела за планиране и управление на мрежата, модела на теорията на игрите и др.

И накрая, според вида на подхода към изследваните социално-икономически системи се разграничават описателни и нормативни модели. С дескриптивен (дескриптивен) подход се получават модели, които са предназначени да опишат и обяснят реално наблюдавани явления или да предскажат тези явления; Като пример за описателни модели можем да цитираме споменатите по-рано модели на баланс и тренд. При нормативен подход те не се интересуват как е организирана и как се развива икономиката. икономическа система, но как трябва да бъде подредено и как да действа по смисъла на определени критерии. По-специално, всички оптимизационни модели са от нормативен тип; като друг пример могат да послужат нормативните модели на стандарт на живот.

Нека разгледаме като пример икономико-математическия модел на баланса вход-изход (EMM IOB). Като се имат предвид горните класификационни заглавия, това е приложен, макроикономически, аналитичен, описателен, детерминистичен, балансов, матричен модел; докато съществуват като статични методикакто и динамичен

Линейното програмиране е особен клон на оптималното програмиране. От своя страна оптималното (математическо) програмиране е клон на приложната математика, който изучава проблемите на условната оптимизация. В икономиката такива проблеми възникват при практическото прилагане на принципа на оптималност в планирането и управлението.

Необходимо условие за използване на оптимален подход към планирането и управлението (принципът на оптималност) е гъвкавостта, алтернативността на производствените и икономическите ситуации, в които трябва да се вземат планови и управленски решения. Именно тези ситуации, като правило, съставляват ежедневната практика на икономическия субект (избор на производствена програма, свързване с доставчици, маршрутизиране, рязане на материали, приготвяне на смеси и др.).

Същността на принципа на оптималност се крие в желанието за избор на такова решение за планиране и управление по най-добрия начинби отчитал вътрешните възможности и външните условия на производствената дейност на един икономически субект.

Думите "по най-добрия начин" тук означават избора на някакъв критерий за оптималност, т.е. някакъв икономически показател, който ви позволява да сравните ефективността на определени решения за планиране и управление. Традиционни критерии за оптималност: "максимална печалба", "минимални разходи", "максимална рентабилност" и др. Думите "би отчел вътрешните възможности и външните условия на производствената дейност" означават, че се налагат редица условия при избора на решение за планиране и управление (поведение), т.е. изборът на X се извършва от определена област от възможни (допустими) решения D; тази област се нарича още зона за дефиниране на проблема. общ проблем за оптимално (математическо) програмиране, иначе математически модел на проблем за оптимално програмиране, чиято конструкция (разработка) се основава на принципите на оптималност и последователност.

Вектор X (набор от управляващи променливи Xj, j = 1, n) се нарича осъществимо решение или оптимален план за програмен проблем, ако удовлетворява системата от ограничения. И този план X (допустимо решение), който осигурява максимума или минимума на целевата функция f(xi, *2, ..., xn), се нарича оптимален план (оптимално поведение или просто решение) на проблема с оптималното програмиране.

По този начин изборът на оптимално управленско поведение в конкретна производствена ситуация е свързан с провеждането на икономическо и математическо моделиране от гледна точка на последователност и оптималност и решаване на проблема за оптимално програмиране. Проблемите на оптималното програмиране в най-общ вид се класифицират по следните критерии.

• 1. По естеството на връзката между променливите --
• а) линеен
• б) нелинейни.

В случай а) всички функционални връзки в системата от ограничения и целевата функция са линейни функции; наличието на нелинейност в поне един от споменатите елементи води до случай b).

• 2. По естеството на промяната в променливите --
• а) непрекъснато
• б) дискретни.

В случай, че а) стойностите на всяка от контролните променливи могат напълно да запълнят определена област от реални числа; в случай б) всички или поне една променлива може да приема само цели числа.

• 3. Като вземем предвид фактора време -
• а) статичен
• б) динамичен.

В задачи а) моделирането и вземането на решения се извършват при предположението, че елементите на модела са независими от времето през периода от време, за който се взема решение за планиране и управление. В случай б) такова предположение не може да бъде прието с достатъчно основание и трябва да се вземе предвид факторът време.

• 4. Според наличността на информация за променливите --
• а) задачи при условия на пълна сигурност (детерминирани),
• б) задачи в условия на непълна информация,
• в) задачи в условия на несигурност.

В задачи b) отделните елементи са вероятностни величини, но техните закони на разпределение са известни или могат да се направят допълнителни статистически изследвания. В случай c) може да се направи предположение за възможните резултати от случайни елементи, но не е възможно да се направи заключение относно вероятностите на резултатите.

• 5. Според броя на критериите за оценка на алтернативите -
• а) прости, еднокритериални задачи,
• б) сложни, многокритериални задачи.

В задачи а) е икономически приемливо да се използва един критерий за оптималност или е възможно чрез специални процедури (например „приоритетно претегляне“)

ВЪВЕДЕНИЕ

Невъзможно е да си представим съвременната наука без широко приложениематематическо моделиране. Същността на тази методология е да се замени оригиналният обект с неговия "образ" - математически модел - и по-нататъшно изследване на модела с помощта на изчислителни логически алгоритми, реализирани на компютри. Този "трети метод" на познание, проектиране, проектиране съчетава много предимства както на теорията, така и на експеримента. Работата не със самия обект (явление, процес), а с неговия модел дава възможност безболезнено, сравнително бързо и без значителни разходи да се изследват неговите свойства и поведение във всякакви възможни ситуации (предимства на теорията). В същото време изчислителните (компютърни, симулационни, симулационни) експерименти с обектни модели позволяват, разчитайки на мощта на съвременните изчислителни методи и технически средства на информатиката, да изучават обекти достатъчно подробно и задълбочено, в достатъчна пълнота, недостъпни към чисто теоретични подходи (експериментални предимства). Не е изненадващо, че методологията на математическото моделиране се развива бързо, обхващайки всички нови области - от развитието технически системии тяхното управление до анализа на най-сложните икономически и социални процеси.

Елементи на математическото моделиране се използват от самото начало на появата на точните науки и неслучайно някои изчислителни методи носят имената на такива светила на науката като Нютон и Ойлер, а думата "алгоритъм" идва от името на средновековния арабски учен Ал-Хорезми. Второто „раждане“ на тази методология се състоя в края на 40-те и началото на 50-те години на миналия век и се дължи на поне две причини. Първият от тях е появата на компютри (компютри), макар и скромни по днешните стандарти, но въпреки това спасиха учените от огромно количество рутинна изчислителна работа. Втората е безпрецедентна социална поръчка - изпълнението на националните програми на СССР и САЩ за създаване на противоракетен ядрен щит, които не могат да бъдат реализирани с традиционни методи. Математическото моделиране се справи с тази задача: ядрени експлозии и полети на ракети и сателити преди това бяха „извършени“ в дълбините на компютрите с помощта на математически модели и едва след това бяха приложени на практика. Този успех до голяма степен определя по-нататъшните постижения на методологията, без която сега в развитите страни не се разглежда сериозно нито един мащабен технологичен, екологичен или икономически проект (това е вярно и по отношение на някои социално-политически проекти).

Сега математическото моделиране навлиза в третия принципно важен етап от своето развитие, "интегрирайки се" в структурите на така нареченото информационно общество. Впечатляващият напредък в средствата за обработка, предаване и съхраняване на информация съответства на световните тенденции към усложняване и взаимно проникване различни областичовешка дейност. Без притежаването на информационни „ресурси“ е невъзможно дори да се мисли за решаване на все по-мащабни и разнообразни проблеми, пред които е изправена световната общност. Информацията като такава обаче често не прави много за анализ и прогнозиране, за вземане на решения и наблюдение на тяхното изпълнение. Имаме нужда от надеждни начини за обработка на информационните „суровини“ в завършен „продукт“, т.е. в точно знание. Историята на методологията на математическото моделиране убеждава: тя може и трябва да бъде интелектуалното ядро информационни технологии, целия процес на информатизация на обществото.

Изучават се технически, екологични, икономически и други системи съвременна наука, вече не подлежат на изследване (в необходимата пълнота и точност) чрез конвенционалните теоретични методи. Директен пълномащабен експеримент върху тях е дълъг, скъп, често или опасен, или просто невъзможен, тъй като много от тези системи съществуват в „единствен екземпляр“. Цената на грешките и грешните изчисления при справянето с тях е неприемливо висока. Следователно математическото (в по-широк смисъл - информационното) моделиране е неизбежен компонент на научно-техническия прогрес.

Разглеждайки въпроса по-широко, припомняме, че моделирането присъства в почти всички видове творческа дейност на хора от различни "специалности" - изследователи и предприемачи, политици и военачалници. Въвеждането на точни знания в тези сфери помага да се ограничи интуитивното спекулативно „моделиране“, разширява полето на приложение на рационалните методи. Разбира се, математическото моделиране е плодотворно само когато са изпълнени добре познати професионални изисквания: ясна формулировка на основните понятия и допускания, апостериорен анализ на адекватността на използваните модели, гарантирана точност на изчислителните алгоритми и т.н. Ако говорим за моделиране системи с участието на "човешкия фактор", т.е. обекти, които трудно се формализират, тогава към тези изисквания е необходимо да се добави точно разграничение между математически и битови термини (звучащи еднакво, но имащи различно значение), внимателни прилагане на готов математически апарат за изследване на явления и процеси (за предпочитане е пътят „от задача към метод“, а не обратното) и редица други.

Решавайки проблемите на информационното общество, би било наивно да разчитаме само на мощта на компютрите и други информационни средства. Непрекъснатото усъвършенстване на триадата на математическото моделиране и внедряването му в съвременните системи за информационно моделиране е методологичен императив. Само неговото внедряване дава възможност да се получат високотехнологичните, конкурентоспособни и разнообразни материални и интелектуални продукти, от които така се нуждаем.

Избраната от мен тема е актуална в съвременната математика и нейните приложения. В съвременния научен подход при изучаването на природни, технически и социално-икономически обекти нараства значението на математическото моделиране на протичащите в тях процеси. Естественото изучаване на поведението на обекти и системи в такива режими и условия е невъзможно или трудно, което налага използването на методи за математическо моделиране.

Целта на тази курсова работа е да се научи как да използва методите на математическото моделиране за изучаване на различни природни социални процеси.

Поставени задачи за постигане на целта:

n Да изучава теоретичните въпроси на математическото моделиране, класификацията на моделите.

ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ НА МАТЕМАТИЧЕСКОТО МОДЕЛИРАНЕ

Моделиране- метод за научно изследване на явления, процеси, обекти, устройства или системи (най-общо - обекти на изследване), основан на изграждането и изучаването на модели с цел получаване на нови знания, подобряване на характеристиките на обекти на изследване или управление на тях.

Модел- материален обект или изображение (мисловно или условно: хипотеза, идея, абстракция, изображение, описание, диаграма, формула, чертеж, план, карта, блок-схема на алгоритъм, бележки и т.н.), които просто показват най-съществените свойства на обекта изследвания.

Всеки модел винаги е по-прост от реален обект и показва само част от най-съществените му характеристики, основни елементи и връзки. Поради тази причина за един обект на изследване има много различни модели. Видът на модела зависи от избраната цел на моделиране.

Терминът "модел" се основава на латинската дума modulus - мярка, образец. Моделът е заместител на реалния обект на изследване. Моделът винаги е по-прост от изследвания обект. При изучаването на сложни явления, процеси, обекти не е възможно да се вземе предвид съвкупността от всички елементи и връзки, които определят техните свойства.

Но не трябва да се вземат предвид всички елементи и връзки в създадения модел. Необходимо е само да се откроят най-характерните, доминиращи компоненти, които в по-голямата си част определят основните свойства на обекта на изследване. В резултат на това обектът на изследване се заменя с някакво опростено подобие, но с характерни, основни свойства, подобни на тези на обекта на изследване. Нов обект (или абстракция), който се появява в резултат на замяната, обикновено се нарича модел на обекта на изследване.

За съставяне на математически модели можете да използвате всякакви математически средства - диференциално и интегрално смятане, регресионен анализ, теория на вероятностите, математическа статистика и др. Математическият модел е набор от формули, уравнения, неравенства, логически условия и др. Математическите отношения, използвани в математическото моделиране, определят процеса на промяна на състоянието на обекта на изследване в зависимост от неговите параметри, входни сигнали, начални условияи време. По същество цялата математика е предназначена да формира математически модели.

О голямо значениематематиката за всички други науки (включително моделирането) казва следния факт. Великият английски физик И. Нютон (1643-1727) в средата на 17 век се запознава с трудовете на Рене Декарт и Пиер Гасенди. Тези произведения заявяват, че цялата структура на света може да бъде описана с математически формули. Под влияние на тези произведения И. Нютон започва интензивно да изучава математика. Приносът му към физиката и математиката е широко известен.

Математическото моделиране е метод за изучаване на обект на изследване, основаващ се на създаването на неговия математически модел и използването му за получаване на нови знания, подобряване на обекта на изследване или контрол на обекта.

За математическото моделиране е характерно, че процесите на функциониране на обекта се записват под формата на математически отношения (алгебрични, интегрални), записани под формата на логически условия.

Диференциалните уравнения са едно от основните средства за съставяне на математически модели, които се използват най-широко при решаване на математически задачи. При изучаване на физически процеси, решаване на различни приложни проблеми, като правило, не е възможно директно да се намерят законите, които свързват количествата, които характеризират изследваните явления. Обикновено е по-лесно да се установят връзки между едни и същи количества и техните производни или диференциали. Отношения от този вид се наричат ​​диференциални уравнения. Възможностите и правилата за съставяне на диференциални уравнения се определят от познаването на законите на областта на науката, с която е свързано естеството на изучавания проблем. Така например законите на Нютон могат да се използват в механиката, в теорията на скоростите химична реакция- законът за масовото действие и др. На практика обаче често има случаи, когато законите, които биха могли да направят възможно съставянето на диференциално уравнение, не са известни. След това се прибягва до различни опростяващи допускания относно хода на процеса с малки промени в параметрите-променливи. В този случай преминаването към границата води до диференциални уравнения. Въпросът за съответствието на математическия модел и реалното явление се решава въз основа на анализа на резултатите, експериментите и тяхното сравнение с поведението на решението на полученото диференциално уравнение.

Математически модели

Математически модел - приблизителен opiописание на обекта на моделиране, изразено с помощтаschyu математически символизъм.

Математическите модели се появиха заедно с математиката преди много векове. Огромен тласък на развитието на математическото моделиране даде появата на компютрите. Използването на компютри направи възможно анализирането и прилагането на практика на много математически модели, които преди това не са били податливи на аналитични изследвания. Компютърно реализирана математиканебесен моделНаречен компютърен математически модел, а извършване на целеви изчисления с помощта на компютърен моделНаречен изчислителен експеримент.

Етапи на компютърно математическо моизтриванепоказано на фигурата. Първиятсцена - дефиниране на целите на моделирането.Тези цели могат да бъдат различни:

1. модел е необходим, за да се разбере как работи конкретен обект, каква е неговата структура, основни свойства, закони на развитие и взаимодействие
   с външния свят (разбиране);
2. е необходим модел, за да се научите как да контролирате обект (или процес) и да определяте най-добрите начиниуправление със зададени цели и критерии (мениджмънт);
3. моделът е необходим, за да се предвидят преките и косвените последици от прилагането на посочените методи и форми на въздействие върху обекта (прогнозиране).

Нека обясним с примери. Нека обектът на изследване е взаимодействието на поток течност или газ с тяло, което е пречка за този поток. Опитът показва, че силата на съпротивление на потока от страната на тялото нараства с увеличаване на скоростта на потока, но при някаква достатъчно висока скорост тази сила рязко намалява, за да се увеличи отново с по-нататъшно увеличаване на скоростта. Какво е причинило намаляването на съпротивителната сила? Математическото моделиране ни позволява да получим ясен отговор: в момента на рязко намаляване на съпротивлението вихрите, образувани в потока течност или газ зад обтекаемото тяло, започват да се откъсват от него и се отнасят от потока.

Пример от съвсем друга област: мирно съжителстващи със стабилна численост популации на два вида индивиди с обща хранителна база, "изведнъж" започват драматично да променят числеността си. И тук математическото моделиране позволява (с известна степен на сигурност) да се установи причината (или поне да се опровергае определена хипотеза).

Развитието на концепцията за управление на обекти е друга възможна цел на моделирането. Какъв режим на полет на самолета трябва да изберете, за да бъде полетът безопасен и икономически най-изгоден? Как да планирате стотици видове работи по изграждането на голямо съоръжение, така че да приключи възможно най-скоро? Много такива проблеми систематично възникват пред икономисти, дизайнери и учени.

И накрая, прогнозирането на последствията от определени въздействия върху даден обект може да бъде както сравнително прост въпрос в прости физически системи, така и изключително сложен - на ръба на осъществимото - в биологични, икономически, социални системи. Ако е сравнително лесно да се отговори на въпроса за промяната на начина на разпространение на топлината в тънък прът с промени в съставната му сплав, то е несравнимо по-трудно да се проследят (предскажат) екологичните и климатичните последици от изграждането на голяма водноелектрическа централа или социалните последици от промените в данъчното законодателство. Може би и тук методите за математическо моделиране ще осигурят по-голяма помощ в бъдеще.

Втора фаза:дефиниране на входни и изходни параметри на модела; разделяне на входните параметри според степента на важност на влиянието на техните промени върху изхода. Този процес се нарича класиране или разделяне по ранг (вижте по-долу). „Формализация и моделиране").

Трети етап:изграждане на математически модел. На този етап има преход от абстрактната формулировка на модела към формулировка, която има конкретно математическо представяне. Математическият модел е уравнения, системи от уравнения, системи от неравенства, диференциални уравнения или системи от такива уравнения и др.

Четвърти етап:избор на метод за изследване на математическия модел. Най-често тук се използват числени методи, които се поддават добре на програмиране. По правило за решаване на един и същ проблем са подходящи няколко метода, които се различават по точност, стабилност и др. Успехът на целия процес на моделиране често зависи от правилния избор на метод.

Пети етап:разработването на алгоритъм, компилирането и отстраняването на грешки на компютърна програма е процес, който трудно се формализира. От езиците за програмиране много професионалисти в математическото моделиране предпочитат FORTRAN: както поради традицията, така и поради ненадминатата ефективност на компилаторите (за изчислителна работа) и наличието на огромни, внимателно дебъгвани и оптимизирани библиотеки от стандартни програми на математически методи, написани на то. Езици като PASCAL, BASIC, C също се използват в зависимост от естеството на задачата и наклонностите на програмиста.

Шести етап:тестване на програмата. Проверява се работата на програмата тестова задачас известен отговор. Това е само началото на процедура за тестване, която е трудно да се опише формално изчерпателно. Обикновено тестването приключва, когато потребителят, според професионалните си характеристики, счита програмата за правилна.

Седми етап:действителен изчислителен експеримент, по време на който става ясно дали моделът съответства на реален обект (процес). Моделът е достатъчно адекватен на реалния процес, ако някои характеристики на процеса, получени на компютър, съвпадат с експериментално получените характеристики с определена степен на точност. Ако моделът не отговаря на реалния процес, се връщаме към един от предишните етапи.

Класификация на математическите модели

Класификацията на математическите модели може да се основава на различни принципи. Възможно е да се класифицират моделите по клонове на науката (математически модели във физиката, биологията, социологията и др.). Може да се класифицира според използвания математически апарат (модели, базирани на използването на обикновени диференциални уравнения, частни диференциални уравнения, стохастични методи, дискретни алгебрични трансформации и др.). И накрая, въз основа на общи задачимоделиране в различни науки, независимо от математическия апарат, най-естествена е следната класификация:

• описателни (дескриптивни) модели;
• оптимизационни модели;
• многокритериални модели;
• игрални модели.

Нека обясним това с примери.

Дескриптивни (дескриптивни) модели. Например, моделиране на движението на нахлула комета слънчева система, се прави с цел да се предвиди траекторията на полета му, разстоянието, на което ще премине от Земята и др. В този случай целите на моделирането са описателни, тъй като няма начин да се повлияе на движението на кометата, да се промени нещо в нея.

Оптимизационни моделисе използват за описание на процесите, които могат да бъдат повлияни в опит да се постигне дадена цел. В този случай моделът включва един или повече параметри, които могат да бъдат повлияни. Например, чрез промяна на топлинния режим в зърнохранилище, може да се постави за цел да се избере такъв режим, за да се постигне максимално запазване на зърното, т.е. оптимизиране на процеса на съхранение.

Многокритериални модели. Често е необходимо да се оптимизира процесът по няколко параметъра едновременно, като целите могат да бъдат много противоречиви. Например, знаейки цените на храните и нуждата на човек от храна, е необходимо да се организира хранене за големи групи хора (в армията, детски летен лагер и т.н.) физиологично правилно и в същото време възможно най-евтино. Ясно е, че тези цели изобщо не съвпадат; при моделирането ще се използват няколко критерия, между които трябва да се търси баланс.

Игрови моделиможе да е свързано не само с компютърни игрино и за много сериозни неща. Например, преди битка, ако има непълна информация за противниковата армия, командирът трябва да разработи план: в какъв ред да въведе определени части в битка и т.н., като вземе предвид възможната реакция на противника. Има специален раздел на съвременната математика - теория на игрите - който изучава методите за вземане на решения в условията на непълна информация.

В училищния курс по информатика учениците получават първоначална представа за компютърно математическо моделиране в рамките на основен курс. В гимназията математическото моделиране може да се изучава задълбочено в общообразователния курс за часовете по физика и математика, както и в рамките на специализирана избираема дисциплина.

Основните форми на обучение по компютърно математическо моделиране в гимназията са лекции, лабораторни упражнения и кредитни занятия. Обикновено работата по създаването и подготовката за изучаване на всеки нов модел отнема 3-4 урока. В хода на представянето на материала се поставят задачи, които в бъдеще трябва да бъдат решени от учениците самостоятелно, в общи линии се очертават начини за решаването им. Формулират се въпроси, чиито отговори трябва да се получат при изпълнение на задачите. Посочена е допълнителна литература, която позволява получаването на спомагателна информация за по-успешно изпълнение на задачите.

Формата на организиране на часовете при изучаване на нов материал обикновено е лекция. След приключване на обсъждането на следващия модел студентиимат на разположение необходимата теоретична информация и набор от задачи за по-нататъшна работа. При подготовката за задачата студентите избират подходящия метод за решение, като използват известно частно решение, тестват разработената програма. В случай на напълно възможни затруднения при изпълнението на задачите се дава консултация, прави се предложение тези раздели да бъдат разработени по-подробно в литературата.

Най-подходящ за практическата част от обучението по компютърно моделиране е методът на проектите. Задачата е формулирана за ученика под формата на учебен проект и се изпълнява в няколко урока, като осн организационна формапо време на работа в компютърна лаборатория. Обучението за моделиране с помощта на метода на учебния проект може да се прилага на различни нива. Първият е проблемно изложение на процеса на изпълнение на проекта, който се ръководи от учителя. Вторият е изпълнението на проекта от ученици под ръководството на учител. Третият е самостоятелно изпълнение от студенти на образователен изследователски проект.

Резултатите от работата трябва да бъдат представени в цифрова форма, под формата на графики, диаграми. Ако е възможно, процесът се представя на екрана на компютъра в динамика. След приключване на изчисленията и получаване на резултатите, те се анализират, съпоставят с известни факти от теорията, потвърждава се достоверността и се извършва съдържателна интерпретация, която впоследствие се отразява в писмен доклад.

Ако резултатите удовлетворяват ученика и учителя, тогава работата броизавършен, като последният му етап е изготвяне на доклад. Докладът включва кратка теоретична информация по изучаваната тема, математическа формулировка на проблема, алгоритъм за решение и неговата обосновка, компютърна програма, резултати от програмата, анализ на резултатите и изводи, списък с литература.

Когато всички доклади са изготвени, на тестовата сесия студентите правят кратки доклади за извършената работа, защитават своя проект. Това е ефективна форма на доклад на екипа по проекта пред класа, включително задаване на проблема, изграждане на формален модел, избор на методи за работа с модела, внедряване на модела на компютър, работа с готовия модел, интерпретиране на резултатите, прогнозиране. В резултат на това студентите могат да получат две оценки: първата - за разработването на проекта и успеха на защитата му, втората - за програмата, оптималността на нейния алгоритъм, интерфейс и др. Студентите получават оценки и в хода на анкетите по теория.

Съществен въпрос е какви средства да се използват в училищния курс по информатика за математическо моделиране? Компютърното внедряване на модели може да се извърши:

• използване на електронна таблица (обикновено MS Excel);
• чрез създаване на програми на традиционни езици за програмиране (Pascal, BASIC и др.), както и в техните съвременни версии (Delphi, Visual
  Основен за приложение и др.);
• използване на специални софтуерни пакети за решаване на математически задачи (MathCAD и др.).

На ниво начално училище първото лекарство изглежда предпочитано. Въпреки това, в гимназията, когато програмирането, наред с моделирането, е ключова тема в компютърните науки, е желателно то да бъде включено като инструмент за моделиране. В процеса на програмиране детайлите на математическите процедури стават достъпни за учениците; освен това те просто са принудени да ги усвояват, а това също допринася за математическото образование. Що се отнася до използването на специални софтуерни пакети, това е подходящо в профилния курс по компютърни науки като допълнение към други инструменти.

Упражнение :

• Очертайте ключови понятия.

ЛЕКЦИЯ 4

Определение и цел на математическото моделиране

Под модел(от лат. modulus - мярка, образец, норма) ще разбираме такъв материално или мислено представен обект, който в процеса на познание (изучаване) замества първоначалния обект, запазвайки някои от неговите типични характеристики, които са важни за това изследване . Процесът на изграждане и използване на модел се нарича моделиране.

същност математическо моделиране (ММ) е да се замени изследваният обект (процес) с адекватен математически модел и след това да се изследват свойствата на този модел, като се използват или аналитични методи, или изчислителни експерименти.

Понякога е по-полезно, вместо да се дават строги дефиниции, да се опише определено понятие с конкретен пример. Ето защо, ние илюстрираме горните дефиниции на MM, използвайки примера на проблема за изчисляване на специфичния импулс. В началото на 60-те години учените са изправени пред задачата да разработят ракетно гориво с най-висок специфичен импулс. Принципът на движение на ракетата е следният: течното гориво и окислителят от резервоарите на ракетата се подават в двигателя, където се изгарят, а продуктите от горенето се отделят в атмосферата. От закона за запазване на импулса следва, че в този случай ракетата ще се движи със скорост.

Специфичният импулс на горивото е полученият импулс, разделен на масата на горивото. Експериментите бяха много скъпи и водеха до системни повреди на оборудването. Оказа се, че е по-лесно и по-евтино да се изчислят термодинамичните функции на идеалните газове, да се изчисли с тяхна помощ съставът на отделяните газове и температурата на плазмата, а след това и специфичният импулс. Тоест, за извършване на ММ на процеса на изгаряне на горивото.

Концепцията за математическо моделиране (ММ) днес е една от най-разпространените в научната литература. По-голямата част от съвременните дисертации и дисертации са свързани с разработването и използването на подходящи математически модели. Компютърната ММ днес е неразделна част от много области на човешката дейност (наука, технологии, икономика, социология и др.). Това е една от причините за днешния дефицит на специалисти в областта на информационните технологии.

Бързият растеж на математическото моделиране се дължи на бързото усъвършенстване на компютърните технологии. Ако преди 20 години само малък брой програмисти се занимаваха с числени изчисления, сега обемът на паметта и скоростта на съвременните компютри, които позволяват решаването на проблемите на математическото моделиране, са достъпни за всички специалисти, включително студентите.

Във всяка дисциплина първо се дава качествено описание на явленията. И след това - количествени, формулирани под формата на закони, които установяват връзки между различни величини (напрегнатост на полето, интензитет на разсейване, заряд на електрони, ...) под формата на математически уравнения. Следователно можем да кажем, че във всяка дисциплина има толкова наука, колкото има математици в нея, и този факт ни позволява успешно да решаваме много проблеми, използвайки методи за математическо моделиране.

Този курс е предназначен за студенти по приложна математика, които завършват дипломните си работи под ръководството на водещи учени, работещи в различни области. Следователно този курс е необходим не само като учебен материално и като подготовка за теза. За учене този курсще ни трябват следните раздели по математика:

1. Уравнения на математическата физика (кантианска механика, газ и хидродинамика)

2. Линейна алгебра (теория на еластичността)

3. Скаларни и векторни полета (теория на полето)

4. Теория на вероятностите (квантова механика, статистическа физика, физическа кинетика)

5. Особености.

6. Тензорен анализ (теория на еластичността)

7. Математически анализ

MM по природни науки, инженерство и икономика

Нека първо разгледаме различните клонове на природните науки, технологиите, икономиката, в които се използват математически модели.

естествени науки

Физиката, която установява основните закони на естествените науки, отдавна е разделена на теоретична и експериментална. Теоретичната физика се занимава с извеждането на уравнения, описващи физични явления. По този начин теоретичната физика може да се счита и за една от областите на математическото моделиране. (Припомнете си, че заглавието на първата книга по физика - "Математическите принципи на естествената философия" от И. Нютон може да се преведе на модерен езиккато "Математически модели на природните науки.") Въз основа на получените закони се извършват инженерни изчисления, които се извършват в различни институти, фирми, конструкторски бюра. Тези организации разработват технологии за производство на съвременни продукти, които са наукоемки, така че концепцията за наукоемки технологии включва изчисления с помощта на подходящи математически модели.

Един от най-обширните клонове на физиката - класическа механика(понякога този раздел се нарича теоретична или аналитична механика). Този раздел от теоретичната физика изучава движението и взаимодействието на телата. Изчисленията с помощта на формулите на теоретичната механика са необходими при изучаване на въртенето на телата (изчисляване на инерционните моменти, гиростати - устройства, които поддържат осите на въртене неподвижни), анализиране на движението на тяло във вакуум и др. Един от разделите на теоретичната механика се нарича теория на устойчивостта и е в основата на много математически модели, описващи движението на самолети, кораби, ракети. Раздели на практическата механика - курсове "Теория на машините и механизмите", "Машинни части", се изучават от студенти от почти всички технически университети (включително MGIU).

Теория на еластичността- част от раздел механика на континуума, което предполага, че материалът на еластичното тяло е хомогенен и непрекъснато разпределен по целия обем на тялото, така че най-малкият елемент, изрязан от тялото, има еднакъв физични свойства, което е цялото тяло. Приложението на теорията на еластичността - курсът "съпротивление на материалите", се изучава от студенти от всички технически университети (включително MGIU). Този раздел е необходим за всички изчисления на якост. Тук се извършва изчисляването на якостта на корпусите на кораби, самолети, ракети, изчисляването на якостта на стоманени и стоманобетонни конструкции на сгради и много други.

Газ и хидродинамика, както и теорията на еластичността – част от раздела механика на континуума, разглежда законите на движение на течността и газа. Уравненията на газа и хидродинамиката са необходими при анализиране на движението на тела в течна и газообразна среда (сателити, подводници, ракети, черупки, автомобили), при изчисляване на изтичането на газ от дюзите на ракетни и авиационни двигатели. Практическо приложение на динамиката на флуидите – хидравлика (спирачка, рул,...)

Предишните раздели на механиката разглеждаха движението на телата в макрокосмоса, а физическите закони на макрокосмоса не са приложими в микрокосмоса, в който се движат частици материя - протони, неутрони, електрони. Тук действат напълно различни принципи и за да се опише микросвета, е необходимо квантова механика. Основното уравнение, описващо поведението на микрочастиците, е уравнението на Шрьодингер: . Тук е хамилтоновият оператор (хамилтониан). За едномерно уравнение за движение на частица https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-потенциална енергия. Решението на това уравнение е набор от енергийни собствени стойности и собствени функции..gif" width="55" height="24 src=">– плътност на вероятността. Квантово-механичните изчисления са необходими за разработването на нови материали (микросхеми), създаването на лазери, разработването на методи за спектрален анализ и др.

Решават се голям брой задачи кинетикаописващи движението и взаимодействието на частиците. Тук и дифузия, пренос на топлина, теорията на плазмата - четвъртото състояние на материята.

статистическа физикаразглежда ансамбли от частици, ви позволява да кажете за параметрите на ансамбъла въз основа на свойствата на отделните частици. Ако ансамбълът се състои от газови молекули, тогава свойствата на ансамбъла, получени чрез методите на статистическата физика, са уравненията на газовото състояние, добре познати от гимназията: https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-молекулно тегло на газа. K е константата на Ридберг. Статистически методисвойствата на разтворите, кристалите и електроните в металите също се изчисляват. MM статистическа физика - теоретична основатермодинамика, която е в основата на изчисляването на двигатели, отоплителни мрежи и станции.

Теория на полетоописва с методите на ММ една от основните форми на материята – полето. В този случай електромагнитните полета са от първостепенно значение. Уравненията на електромагнитното поле (електродинамика) са изведени от Максуел: , , , . Тук и https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - плътност на заряда, - плътност на тока. Уравненията на електродинамиката са в основата на изчисленията на разпространение на електромагнитни вълни, необходимо за описание на разпространението на радиовълни (радио, телевизия, клетъчни комуникации), обяснете работата на радарните станции.

Химията може да бъде представена в два аспекта, подчертавайки описателната химия - откриването на химични фактори и тяхното описание - и теоретичната химия - развитието на теории, които позволяват обобщаване на установените фактори и представянето им под формата на специфична система (L. Pauling) . Теоретичната химия се нарича още физическа химия и по същество е клон на физиката, който изучава веществата и техните взаимодействия. Следователно всичко, което е казано за физиката, в пълна степен важи и за химията. Разделите на физическата химия ще бъдат термохимия, която изучава топлинните ефекти на реакциите, химична кинетика (скорости на реакция), квантова химия (структура на молекулите). В същото време проблемите на химията са изключително сложни. Така например за решаване на проблемите на квантовата химия - науката за структурата на атомите и молекулите, се използват програми, които са сравними по обем с програмите за противовъздушна отбрана на страната. Например, за да опишете молекула UCl4, състояща се от 5 атомни ядра и +17 * 4) електрони, трябва да напишете уравнението на движението - уравнения в частни производни.

Биология

Математиката наистина навлиза в биологията едва през втората половина на 20 век. Първите опити за математическо описание на биологичните процеси са свързани с модели на динамиката на населението. Популацията е общност от индивиди от един и същи вид, заемащи определена област от пространството на Земята. Тази област на математическата биология, която изучава промяната в размера на популацията при различни условия (наличие на конкуриращи се видове, хищници, болести и т.н.), по-нататък служи като математическа тестова площадка, на която са създадени математически модели в различни области на биологията " изпълнено“. Включително модели на еволюция, микробиология, имунология и други области, свързани с клетъчните популации.
Първият известен модел, формулиран в биологична среда, е известният ред на Фибоначи (всяко следващо число е сбор от предходните две), което е цитирано в работата му от Леонардо от Пиза през 13 век. Това е поредица от числа, описващи броя двойки зайци, които се раждат всеки месец, ако зайците започнат да се размножават от втория месец и произвеждат двойка зайци всеки месец. Редът представлява поредица от числа: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

1,

2 ,

3,

5,

8, 13, …

Друг пример е изследването на процесите на йонен трансмембранен транспорт върху изкуствена двуслойна мембрана. Тук, за да се изследват законите на образуване на пора, през която йонът преминава през мембраната в клетката, е необходимо да се създаде моделна система, която може да бъде изследвана експериментално и за която може да бъде добре разработено физическо описание използвани.

Класически пример за ММ също е популацията на Drosophila. Още по-удобен модел са вирусите, които могат да се размножават в епруветка. Методите на моделиране в биологията са методите на теорията на динамичните системи, а средствата са диференциални и диференциални уравнения, методи на качествената теория на диференциалните уравнения, симулационно моделиране.
Цели на моделирането в биологията:
3. Изясняване на механизмите на взаимодействие между елементите на системата
4. Идентифициране и проверка на параметрите на модела с помощта на експериментални данни.
5. Оценка на устойчивостта на системата (модел).

6. Прогноза за поведението на системата при различни външни влияния, различни начиниуправление и така нататък.
7. Оптимално управление на системата в съответствие с избрания критерий за оптималност.

Техника

С усъвършенстването на технологиите се занимават голям брой специалисти, които в работата си разчитат на резултатите научно изследване. Следователно ММ в технологиите са същите като ММ в естествените науки, които бяха обсъдени по-горе.

Икономика и социални процеси

Общоприето е, че математическото моделиране като метод за анализ на макроикономически процеси е използвано за първи път от лекаря на крал Луи XV, д-р. Франсоа Кене, който през 1758 г. публикува труда "Икономическа таблица". В тази работа е направен първият опит за количествено описание на националната икономика. И през 1838 г. в кн О. КурноКоличествените методи на "Изследване на математическите принципи на теорията на богатството" бяха използвани за първи път за анализ на конкуренцията на пазара за стоки в различни пазарни ситуации.

Теорията на Малтус за населението също е широко известна, в която той предлага идеята, че растежът на населението далеч не винаги е желателен и този растеж е по-бърз от нарастващите възможности за осигуряване на населението с храна. Математическият модел на такъв процес е доста прост: Нека - нарастване на населението с течение на времето https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> населението е равно на , и са коефициентите, отчитащи раждаемостта и смъртността (човека/година).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Инструментални и математически методи" href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">математически методи за анализ (например през последните десетилетия в хуманитарните науки се появиха математически теории за културното развитие, математически модели на мобилизация, циклично развитие на социокултурните процеси, модел на взаимодействие между хората и правителството, модел на надпревара във въоръжаването и др.) са конструирани и изследвани.

В най-общ план процесът на ММ на социално-икономическите процеси може условно да се раздели на четири етапа:

формулиране на система от хипотези и разработване на концептуален модел; разработване на математически модел; анализ на резултатите от моделните изчисления, който включва сравнението им с практиката; формулиране на нови хипотези и усъвършенстване на модела в случай на несъответствие между резултатите от изчисленията и практическите данни.

Имайте предвид, че като правило процесът на математическо моделиране е цикличен, тъй като дори при изучаване на сравнително прости процеси рядко е възможно да се изгради адекватен математически модел от първата стъпка и да се изберат неговите точни параметри.

В момента икономиката се разглежда като сложна развиваща се система, за чието количествено описание се използват динамични математически модели с различна степен на сложност. Една от областите на изследване на макроикономическата динамика е свързана с изграждането и анализа на сравнително прости нелинейни симулационни модели, които отразяват взаимодействието на различни подсистеми - пазара на труда, пазара на стоки, финансовата система, природната среда и др.

Теорията на катастрофите се развива успешно. Тази теория разглежда въпроса за условията, при които промяна в параметрите на нелинейна система кара точка във фазовото пространство, характеризираща състоянието на системата, да се премести от областта на привличане към първоначалното равновесно положение в областта на привличане към друго равновесно положение. Последното е много важно не само за анализа на техническите системи, но и за разбирането на устойчивостта на социално-икономическите процеси. В тази връзка констатациите за значението на изследването на нелинейните модели за управление. В книгата „Теорията на катастрофите“, публикувана през 1990 г., той по-специално пише: „... сегашното преструктуриране до голяма степен се дължи на факта, че поне някои механизми за обратна връзка (страх от лично унищожение) са започнали да действат ."

(параметри на модела)

При изграждането на модели на реални обекти и явления често се среща липса на информация. За изследвания обект разпределението на свойствата, параметрите на въздействието и изходното състояние са известни с различна степен на неопределеност. При изграждането на модел са възможни следните опции за описание на несигурни параметри:

Класификация на математическите модели

(методи за изпълнение)

Методите за внедряване на MM могат да бъдат класифицирани според таблицата по-долу.

Методи за внедряване на ММ Много често аналитичното решение на модела се представя под формата на функции. За да се получат стойностите на тези функции за конкретни стойности на входните параметри, се използва тяхното разширяване в серии (например Тейлър) и стойността на функцията за всяка стойност на аргумента се определя приблизително. Моделите, които използват тази техника, се наричат приблизителен. При числен подходнаборът от математически отношения на модела се заменя с крайномерен аналог. Това най-често се постига чрез дискретизиране на началните отношения, т.е. чрез преминаване от функции на непрекъснат аргумент към функции на дискретен аргумент (мрежови методи). Решението, намерено след изчисления на компютър, се приема като приблизително решение на първоначалната задача. Повечето съществуващи системи са много сложни и е невъзможно да се създаде реален модел за тях, описан аналитично. Такива системи трябва да се изучават с помощта на симулационно моделиране. Един от основните методи за симулационно моделиране е свързан с използването на генератор на случайни числа. Тъй като огромен брой проблеми се решават с MM методи, методите за прилагане на MM се изучават в повече от един курс на обучение. Тук са частни диференциални уравнения, числени методи за решаване на тези уравнения, изчислителна математика, компютърна симулация и др. ПОЛИНГ, Линус Карл (Pauling, Linus Carl) (), американски химик и физик, награден през 1954 г. Нобелова наградапо химия за изучаване на природата химическа връзкаи определяне на структурата на протеините. Роден на 28 февруари 1901 г. в Портланд, Орегон. Той разработи квантово-механичен метод за изследване на структурата на молекулите (заедно с американския физик J. Slayer) - метода на валентните връзки, както и теорията на резонанса, която позволява да се обясни структурата на въглеродсъдържащите съединения. , предимно съединения от ароматната серия. В периода на култа към личността на СССР учените, занимаващи се с квантова химия, са били преследвани и обвинявани в "полингизъм". МАЛТУС, ТОМАС РОБЪРТ (Malthus, Thomas Robert) (), английски икономист. Роден в Рукъри близо до Доркинг в Съри на 15 или 17 февруари 1766 г. През 1798 г. той публикува анонимно Експеримент върху закона за населението.През 1819 г. Малтус е избран за член на Кралското общество.