Автоматика и телемеханика, Л-1, 2007г

RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 Ю.С. ПОПКОВ, д-р техн. наук (Институт за системен анализ на РАН, Москва)

КАЧЕСТВЕН АНАЛИЗ НА ДИНАМИЧНИ СИСТЕМИ С Vd-ЕНТРОПИЙЕН ОПЕРАТОР

Предложен е метод за изследване на съществуването, уникалността и локализацията на сингулярни точки от разглеждания клас на DSEE. Получават се условия за устойчивост „в малкото” и „в голямото”. Дадени са примери за приложение на получените условия.

1. Въведение

Много проблеми математическо моделиранединамичните процеси могат да бъдат решени въз основа на концепцията за динамични системи с ентропиен оператор (DSEO). DSEE е динамична система, в която нелинейността се описва от параметричния проблем за максимизиране на ентропията. Фейомойологично, DSEO е модел на макросистема с „бавно“ самовъзпроизвеждане и „бързо“ разпределение на ресурсите. Някои свойства на DSEO са изследвани в. Тази работа продължава цикъла от изследвания на качествените свойства на DSEO.

Разглеждаме динамична система с оператор Vd-ентропия:

^ = £(x, y(x)), x e En:

y(x) = a^max(Hv(y) | Ty = u(x), y e E^) > 0.

В тези изрази:

C(x, y), u(x) са непрекъснато диференцируеми векторни функции;

Ентропия

(1.2) Hv (y) = uz 1n as > 0, s = T~m;

T - (r x w)-матрица с елементи ^ 0 има общ ранг равен на r;

Приема се, че векторната функция u(x) е непрекъснато диференцируема, множеството

(1.3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

където a- и a + са вектори от E+, където a- е вектор с малки компоненти.

Използване на добре известното представяне на оператора на ентропия по отношение на множителите на Лагранж. трансформираме системата (1.1) до следния вид:

- = £(x, y(z)), x e Kn, y(z) e K?, r e Er+

Uz (r) \u003d az\\ ^, 3 \u003d 1, m-

O(x, z) = Ty(z) = q(x),

където rk = exp(-Ak) > 0 са експоненциалните множители на Лагранж.

Наред с DSEE на общата форма (1.1), ще разгледаме, следвайки класификацията, дадена в .

DSEE с отделим поток:

(1-5) ^ = I (x) + Vy (z),

където B (n x m)-матрица;

DSEO с мултипликативен поток:

(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xu(r)), ab

където W е (n x m)-матрица с неотрицателни елементи, a е вектор с положителни компоненти, ® е знакът за умножение по координати.

Целта на тази статия е да се изследва съществуването, уникалността и локализацията на сингулярни точки на DSEE и тяхната стабилност.

2. Особени точки

2.1. Съществуване

Разгледайте системата (1.4). Особените точки на тази динамична система се определят от следните уравнения:

(2.1) C^(x, y(z))=0, r = TP;

(2.2) uz(r) = a^ r^, 3 = T^:

(2.3) bk(r) = ^as r^ = dk(x), k = 1,r.

Разгледайте първо спомагателната система от уравнения:

(2.4) C(q, z) = r, q e R,

където множеството R е определено от равенство (1.3) и C(q, r) е векторна функция с компоненти

(2.5) Sk(d, r) = - Ok(r), a-< дк < а+, к =1,г.

Уравнение (2.4) има уникално решение r* за всеки фиксиран вектор q, което следва от свойствата на Vg-ентропийния оператор (виж ).

От дефиницията на компонентите на векторната функция С(g, z) се получава очевидната оценка:

(2.6) C(a+, r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Нека означим решението на първото уравнение с r+, а на второто - с r-. Да дефинираме

(2.7) C (a+,z) = z, C(a

(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk

и r-мерни вектори

(2.9) z(zmax, zmax), z(zmin , zmin).

Лема 2.1. За всички q G Q (1 . 3) решенията z*(q) на уравнение (2.4) принадлежат на вектора 1 към сегмента

zmin< z*(q) < zmax,

където векторите zmin и zmax се определят от изрази (2.7)-(2.9).

Доказателството на теоремата е дадено в Приложението. Qq

qk(x) (1.3) за x G Rn, тогава имаме

Следствие 2.1. Нека условията на лема 2.1 са изпълнени и функциите qk(x) удовлетворяват условия (1.3) за всички ex x G Rn. Тогава за всички x G Rm решенията z* на уравнение (2.3) принадлежат на векторната отсечка

zmin< z* < zmax

Нека сега се върнем към уравненията (2.2). които определят компонентите на векторната функция y(z). Елементите на неговата Якобиан имат формата

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

за всички z G R+ с изключение на 0 и g. Следователно векторната функция y(z) е строго монотонно нарастваща. Съгласно лема 2.1 тя е ограничена отдолу и отгоре, т.е. за всички z G Rr (следователно за всички x G Rn) неговите стойности принадлежат на множеството

(2.11) Y = (y: y-< y < y+},

където компонентите на векторите yk, y+ се определят от изразите:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.

(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,

Разгледайте първото уравнение в (2.1) и го пренапишете като:

(2.14) L(x, y) = 0 за всички y e Y ⊂ E^.

Това уравнение определя зависимостта на променливата x от променливата y, принадлежаща на Y

ние (1.4) се свежда до съществуването на неявна функция x(y), дефинирана от уравнение (2.14).

Лема 2.2. Нека са изпълнени следните условия:

а) вектор функцията L(x, y) е непрекъсната в множеството от променливи;

б) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

c) det J (x, y) = 0 за всички ex x e En за всяко фиксирано y e Y.

Тогава има уникална неявна функция x*(y), дефинирана върху Y. В тази лема J(x, y) е Якобиан с елементи

(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.

Доказателството е дадено в Приложението. От горните леми следва

Теорема 2.1. Нека са изпълнени условията на леми 2.1 и 2.2. Тогава съществува единствена особена точка на DSEE (1.4) и съответно (1.1).

2.2. Локализация

Изследването на локализацията на особена точка се разбира като възможност за установяване на интервала, в който тя се намира. Тази задача не е много проста, но за някои класове DSEE може да се установи такъв интервал.

Нека се обърнем към първата група уравнения в (2.1) и да ги представим във формата

(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,

където y- и y+ са определени от равенства (2.12), (2.13).

Теорема 2.2. Нека векторната функция L(x,y) е непрекъснато диференцируема и монотонно нарастваща и в двете променливи, т.е.

--> 0, --> 0; i,l = 1, n; j = 1,m. dxi dyj

Тогава решението на системата (2.16) по отношение на променливата x принадлежи на интервала (2.17) xmin x x x xmax,

а) векторите xmin, xmax имат формата

Min \u003d i x 1 xmax \u003d r x t;

\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax):

xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;

6) x- и x+ - компоненти на решението на следните уравнения

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0

с oo m разбира се.

Доказателството на теоремата е дадено в Приложението.

3. Устойчивост на DSEA "в малките"

3.1. DSEE с отделим поток Нека се обърнем към уравненията на DSEE с разделим поток, като ги представим във формата:

- \u003d / (x) + Bu (r (x)), x e Kp ab

Y- (r (X)) \u003d azP (X) Y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = q(x), r e Hr.

Тук стойностите на компонентите на векторната функция q(x) принадлежат на множеството Q (1.3), (n × w)-матрицата B има общ ранг, равен на n (n< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Нека разглежданата система има особена точка x. За да изследваме стабилността на тази сингулярна точка "в малкото", ние конструираме линеаризирана система

където A е (n x n)-матрица, чиито елементи се изчисляват в точката x, а векторът t = x - x. Съгласно първото уравнение в (3.1) матрицата на линеаризираната система има

A \u003d 7 (x) + BUg (g) Xx (x), x \u003d g (x),

| 3 \u003d 1, w, k \u003d 1,

I k \u003d 1, g, I \u003d 1, p

От (3.1) се определят елементите на матрицата Yr: dy.

"bkz P" 8=1

3, r8 x8, 5 1, r.

За да определим елементите на матрицата Zx, се обръщаме към последната група уравнения в (3.1). B показва, че тези уравнения дефинират неявна векторна функция r(x), която е непрекъснато диференцируема, ако векторната функция g(x) е непрекъснато диференцируема. Якобианът Zx на векторната функция z(x) се определя от уравнението

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (X) \u003d T Ug (X),

ddk, -t-, - "- k \u003d 1, r, I \u003d 1, n dx \

От това уравнение имаме (3.9) Zx(x) = s-1(z)Qx(x).

Замествайки този резултат в равенство (3.3). получаваме:

A \u003d 1 (x) + P (x), P (x) \u003d VUg (g) [Tg (g)] -1 Qx (x).

Така уравнението на линеаризираната система приема формата

(c.i) | = (j+p)e

Тук елементите на матриците J, P се изчисляват в особена точка. Достатъчните условия на стабилност "в малкия" DSEE (3.1) се определят от следното

Теорема 3.1. DSEE (3.1) има особена точка x, която е стабилна "в малкото", ако са изпълнени следните условия:

а) матриците J, P (3.10) на линеаризираната система (3.11) имат реални и различни собствени стойности, а матрицата J има максимална собствена стойност

Pmax = max Pg > 0,

Wmax = maxUi< 0;

Umax + Ptah<

От тази теорема и равенството (3.10) следва, че за особени точки, за които Qx(x) = 0 и (или) за X, = 0 и tkj ^ 1 за всички ex k,j, достатъчните условия на теоремата не са удовлетворен.

3.2. DSEE с мултипликативен поток Разгледайте уравнения (1.6). представяйки ги във формата:

X ® (a - x ® Wy(z(x))), x e Rn;

yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.

системи. Ще има:

(3.13)

В този израз diag C] е диагонална матрица с положителни елементи a1,..., an, Yr, Zx са матрици, определени от равенства (3.4)-(3.7).

Представяме матрицата A във формата

(3.14) A = diag + P (x),

(3.15) P(x) = -2xWYz(z)Zx(x).

Означаваме: maxi ai = nmax и wmax е максималната собствена стойност на матрицата P(x) (3.15). Тогава теорема 3.1 е валидна и за DSEE (1.6). (3.12).

4. Устойчивост на DSEA "в голямото"

Нека се обърнем към уравненията на DESO (1.4), в които стойностите на компонентите на векторната функция q(x) принадлежат към множеството Q (1.3). В разглежданата система има особена точка Z, към която векторите z(x) = z ^ z-> 0 и

y(x) = y(z) = y > y- > 0.

Нека въведем векторите на отклонение £, C, П от сингулярната точка: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.

ЖЕЖЕРУН А.А., ПОКРОВСКИ А.В. - 2009 г

КИНЕТИКА НА БИОЛОГИЧНИТЕ ПРОЦЕСИ

Как може да се опише динамиката на биологичните системи? Във всеки момент една биологична система има набор от определени характеристики. Например, чрез наблюдение на популация на даден вид, може да се запише нейният размер, площта на заетата територия, количеството налична храна, температурата на околната среда и т.н. Ходът на химичната реакция може да се характеризира с концентрациите на включените вещества, налягането, температурата и нивото на киселинност на околната среда. Наборът от стойности на всички характеристики, които изследователят е избрал, за да опише системата, е състоянието на системата във всеки момент от времето. При създаването на модел се избират променливи и параметри в посочения набор. Променливите са тези величини, чиито промени представляват интерес преди всичко за изследователя, параметрите са условията на "външната среда". Именно за избраните променливи се съставят уравнения, които отразяват моделите на промяна в системата във времето. Например, когато се създава модел за растеж на микробна култура, нейният брой обикновено се използва като променлива, а скоростта на възпроизводство като параметър. Възможно е температурата, при която се наблюдава растеж, да се окаже значителна, тогава този показател също е включен в модела като параметър. И ако, например, нивото на аерация винаги е достатъчно и няма никакъв ефект върху процесите на растеж, тогава то изобщо не е включено в модела. По правило параметрите остават непроменени по време на експеримента, но си струва да се отбележи, че това не винаги е така.

Възможно е да се опише динамиката на една биологична система (т.е. промяната в нейното състояние във времето), като се използват както дискретни, така и непрекъснати модели. Дискретните модели предполагат, че времето е дискретна величина. Това съответства на записване на стойностите на променливите на определени фиксирани интервали (например веднъж на час или веднъж годишно). В непрекъснатите модели биологичната променлива е непрекъсната функция на времето, означена, например, х(T).

Често от голямо значение начални условиямодели - състоянието на изследваната характеристика в началния момент от време, т.е. при T = 0.

При изследване на непрекъснатото изменение на някаква характеристика х(T) може да знаем информация за скоростта на промяната му. Тази информация е в общ случайможе да се напише като диференциално уравнение:

Такава формална нотация означава, че скоростта на промяна на някоя изследвана характеристика е функция на времето и големината на тази характеристика.

Ако дясната страна на диференциално уравнение от формата не зависи изрично от времето, т.е. справедливо:

тогава това уравнение се нарича автономен(системата, описана от такова уравнение, се нарича автономен). Състоянието на автономните системи във всеки момент от времето се характеризира с една единствена стойност - стойността на променливата хв момента T.

Нека си зададем въпрос: нека е дадено диференциално уравнение за х(T), възможно ли е да намерите всички функции х(T) удовлетворяващи това уравнение? Или: ако първоначалната стойност на дадена променлива е известна (например първоначалният размер на популацията, концентрацията на веществото, електропроводимостта на средата и т.н.) и има информация за характера на промяната в тази променлива, възможно ли е да се предскаже каква ще бъде нейната стойност във всички следващи точки във времето? Отговорът на поставения въпрос е следният: ако са дадени началните условия за и са изпълнени условията на теоремата на Коши за уравнението (функцията, дадена в определена област и нейната частна производна са непрекъснати в тази област), тогава има е единственото решение на уравнението, което удовлетворява зададените начални условия. (Припомнете си, че всяка непрекъсната функция, която удовлетворява диференциално уравнение, се нарича решение на това уравнение.) Това означава, че можем уникално да предвидим поведението на биологична система, ако характеристиките на нейното първоначално състояние са известни и уравнението на модела удовлетворява условията на Теорема на Коши.

Стационарно състояние. устойчивост

Ще разгледаме автономното диференциално уравнение

В стационарно състояние стойностите на променливите в системата не се променят с времето, т.е. скоростта на промяна на стойностите на променливите е 0: . Ако лявата страна на уравнение (1.2) е равна на нула, то дясната също е равна на нула: . Корените на това алгебрично уравнение са стационарни състояниядиференциално уравнение (1.2).

Пример 1.1:Намерете стационарните състояния на уравнението.

Решение: Нека преместим члена, който не съдържа производната, в дясната страна на равенството: . По дефиниция в стационарно състояние е валидно следното равенство: . Така че равенството трябва да се запази . Решаваме уравнението:

,

И така, уравнението има 3 стационарни състояния: , .

Биологичните системи постоянно изпитват различни външни влияния и многобройни колебания. В същото време те (биологичните системи) имат хомеостаза, т.е. устойчиви. На математически език това означава, че променливите с малки отклонения се връщат към стационарните си стойности. Ще бъде ли отразено това поведение на една биологична система в нейния математически модел? Стабилни ли са стационарните състояния на модела?

Стационарното състояние е устойчиви, ако при достатъчно малко отклонение от равновесното положение системата никога няма да се отдалечи от сингулярната точка. Стабилното състояние съответства на стабилен режим на работа на системата.

Равновесно състояние на уравнение е стабилно по Ляпунов, ако за всеки винаги може да се намери такова, че ако , тогава за всички .

Съществува аналитичен метод за изследване на устойчивостта на стационарно състояние - методът на Ляпунов. За да го обосновем, припомняме Формула на Тейлър.

Говорейки свободно, формулата на Тейлър показва поведението на функция в близост до определена точка. Нека функция има производни в точка от всички поръчки до н-ти включително. Тогава формулата на Тейлър е валидна за:

Изхвърляйки остатъчния член, който сам по себе си представлява безкрайно малко от по-висок порядък от , получаваме приблизителната формула на Тейлър:

Дясната страна на приблизителната формула се нарича Полином на Тейлърфункции, той се означава като .

Пример 1.2:Разгънете функцията в ред на Тейлър в околност на точка до 4-ти ред.

Решение:Записваме реда на Тейлър до 4-ти ред в общ вид:

Намерете производните на дадената функция в точката :

,

Заместете получените стойности в оригиналната формула:

Аналитичен метод за изследване на стабилността на стационарно състояние ( Метод на Ляпунов) е както следва. Нека е стационарното състояние на уравнението. Нека зададем малко отклонение на променливата хот неговата стационарна стойност: , където . Заместете израза с точката хв оригиналното уравнение: . Лявата страна на уравнението ще приеме формата: , тъй като в стационарно състояние скоростта на изменение на стойността на променливата е равна на нула: . Разширяваме дясната страна в серия на Тейлър в близост до стационарното състояние, като вземаме предвид, че оставяме само линейния член от дясната страна на уравнението:

Има линеаризирано уравнениеили уравнение на първо приближение. Стойността е някаква постоянна стойност, обозначете я а: . Общото решение на линеаризираното уравнение има вида: . Този израз описва закона, според който отклонението от даденото от нас стационарно състояние ще се променя във времето. Отклонението ще се разпадне с времето, т.е. при , ако показателят в показателя е отрицателен, т.е. . По дефиниция стационарното състояние ще бъде устойчиви. Ако , тогава с увеличаване на времето отклонението само ще се увеличи, стационарното състояние е нестабилен. В случай, че уравнението на първото приближение не може да даде отговор на въпроса за стабилността на стационарното състояние. Необходимо е да се вземат предвид членовете от по-висок порядък в разширението на реда на Тейлър.

В допълнение към аналитичния метод за изследване на устойчивостта на стационарно състояние има и графичен.

Пример 1.3.Позволявам . Намерете стационарните състояния на уравнението и определете вида им на устойчивост, като използвате графиката на функцията .

Решение:Нека намерим специални точки:

,

,

Изграждаме графика на функцията (фиг. 1.1).

Ориз. 1.1. Функционална графика (пример 1.3).

Нека определим от графиката дали всяко от откритите стационарни състояния е стабилно. Нека зададем малко отклонение на представителната точка от сингулярната точка вляво: . В точка с координата функцията приема положителна стойност: или . Последното неравенство означава, че с течение на времето координатата трябва да нараства, тоест представителната точка трябва да се върне в точката . Сега нека зададем малко отклонение на представителната точка от сингулярната точка надясно: . В тази област функцията запазва положителна стойност, следователно с течение на времето координатата хсъщо се увеличава, тоест представителната точка ще се отдалечи от точката. По този начин малко отклонение извежда системата от стационарно състояние, следователно по дефиниция сингулярната точка е нестабилна. Подобни разсъждения водят до факта, че всяко отклонение от сингулярната точка намалява с времето, стационарното състояние е стабилно. Отклонението на изобразяващата точка във всяка посока от стационарното състояние води до отстраняването й от точката, това е нестабилно стационарно състояние.

Решаване на система от линейни диференциални уравнения

Нека се обърнем към изучаването на системи от уравнения, първо линейни. Най-общо системата от линейни диференциални уравнения може да бъде представена като:

Анализът на системата от уравнения започва с намирането на стационарните състояния. За системи от вида (1.3) особената точка е уникална, нейните координати са (0,0). Изключение прави изроденият случай, когато уравненията могат да бъдат представени като:

(1.3*)

В този случай всички двойки, удовлетворяващи релацията, са стационарни точки на системата (1.3*). По-специално, точката (0,0) също е неподвижна за системата (1.3*). На фазовата равнина в този случай имаме права линия с коефициент на наклон, минаваща през началото, всяка точка от която е особена точка на системата (1.3 *) (виж таблица 1.1, т. 6).

Основният въпрос, на който трябва да отговори резултатът от изследването на система от уравнения, е дали стационарното състояние на системата е стабилно и какъв характер има това решение (монотонен или немонотонен).

Общо решениесистемата от две линейни уравнения има формата:

характерни числаможе да се изрази чрез коефициентите на линейните уравнения, както следва:

Характеристичните числа могат да бъдат 1) реални с различни знаци, 2) реални с един и същи знак, 3) комплексно спрегнати, а също така, в изродени случаи, 4) чисто въображаеми, 5) реални съвпадащи, 6) реални, едно от които (или и двете) е равно на нула. Тези случаи определят типа поведение на решението на система от обикновени диференциални уравнения. Съответните фазови портрети са представени в таблица 1.1.

Таблица 1.1. Видове стационарни състояния на система от две линейни диференциални уравнения и съответните фазови портрети. Стрелките показват посоката на движение на представителната точка

Построяване на фазови и кинетични портрети на система от две линейни диференциални уравнения

фазова равнинанаречена равнина с координатни оси, върху които са нанесени стойностите на променливите хи г, всяка точка от равнината съответства на определено състояние на системата. Множеството от точки на фазовата равнина, чието положение съответства на състоянията на системата в процеса на промяна на променливите във времето, съгласно дадените уравнения на изследваната система, се нарича фазова траектория. Наборът от фазови траектории за различни начални стойности на променливите дава портрет на системата. Сграда фазов портретви позволява да правите заключения за естеството на промените в променливите хи гбез да познава аналитичните решения на оригиналната система от уравнения.

Помислете за система от линейни диференциални уравнения:

Изграждането на фазовия портрет започва с изграждането главни изоклини(изоклина е линия, през която наклонът на фазовата крива (траекторията), определена от уравнението, остава постоянна). За система от две линейни диференциални уравнения това винаги са прави линии, минаващи през началото. Уравнението изоклина на хоризонтални допирателни: . Уравнение на изоклиналата на вертикалните допирателни: . За по-нататъшно изграждане на фазовия портрет е полезно да се изгради изоклина от допирателни, преминаващи под ъгъл. За да се намери съответното уравнение на изоклина, е необходимо да се реши уравнението . Можете също така да намерите изоклините на тангентите на други ъгли, като използвате приблизителните стойности на тангентите на ъглите. Отговорът на въпроса под какъв ъгъл фазовите траектории трябва да пресичат координатните оси също може да помогне при построяването на фазовия портрет. За да направите това, в уравнението на изоклина заместваме съответните равенства (за да определим ъгъла на пресичане с оста OY) и (за да определим ъгъла на пресичане с оста OX).

Пример 1.4.Определете вида на особената точка на системата от линейни уравнения:

Изградете фазов и кинетичен портрет на системата.

Решение:Координатите на сингулярната точка са (0,0). Коефициентите на линейните уравнения са: , , , . Нека дефинираме вида на стационарното състояние (вижте раздела за характерните числа):

По този начин характеристичните корени са въображаеми: следователно, сингулярната точка на разглежданата линейна система има тип център (фиг. 1.2а).

Уравнение на изоклиналата на хоризонталните тангенти: , Уравнение на изоклиналата на вертикалните тангенти: . Под ъгъл 45° траекториите на системата пресичат права линия .

След построяването на фазовия портрет е необходимо да се определи посоката на движение по намерените траектории. Това може да стане по следния начин. Вземете произволна точка на произволна траектория. Например върху изоклина на хоризонтални допирателни (1,1). Нека заместим координатите на тази точка в системата от уравнения. Получаваме изрази за скоростите на промяна на променливите х,гв този момент:

Получените стойности показват, че скоростта на промяна на променливата х- отрицателна, тоест стойността му трябва да намалее, и променливата гне се променя. Отбелязваме получената посока със стрелка. Така в разглеждания пример движението по фазовите траектории е насочено обратно на часовниковата стрелка. Замествайки координатите на различни точки в системата, можете да получите "карта" на посоките на скоростите, т.нар. векторно поле.

Фиг. 1.2. Фазов (а) и кинетичен (б) портрет на системата, пример 1.4

Обърнете внимание, че на изоклиналата на хоризонталните допирателни променливата гдостига своята максимална или минимална стойност по дадена траектория. Напротив, на изоклиналата на вертикалните допирателни, променливата х.

Да се ​​изгради кинетичен портрет на системата означава да се начертае зависимостта на стойностите на променливите х,гот време. Фазовият портрет може да се използва за изграждане на кинетичен и обратно. Една фазова траектория съответства на една двойка кинетични криви. Нека изберем произволна точка от фазовия портрет по произволна фазова траектория. Това е началната точка, съответстваща на времето. В зависимост от посоката на движение в разглежданата система, стойностите на променливите х,гили намаляват, или увеличават. Нека координатите на началната точка са (1,1). Според изградения фазов портрет, започвайки от тази точка, трябва да се движим обратно на часовниковата стрелка, координатите хи гдокато те ще намалеят. С течение на времето координатната хпреминава през 0, стойност гдокато остава положителен. Допълнителни координати хи гпродължават да намаляват, координатата гпреминава през 0 (стойност хдокато е отрицателен). Стойност хдостига минималната си стойност върху изоклиналата на вертикалните тангенти, след което започва да нараства. Стойност гдостига минималната си стойност върху изоклиналата на хоризонталните тангенти (стойност хв този момент е отрицателна). След това и стойността х, и стойността гувеличаване, връщане към първоначалните стойности (фиг. 1.2b).

Изследване на устойчивостта на стационарни състояния на нелинейни системи от втори ред

Нека една биологична система се описва чрез система от две автономни диференциални уравнения от втори ред от общ вид:

Стационарните стойности на системните променливи се определят от алгебричните уравнения:

В близост до всяко стационарно състояние може да се разгледа система за първо приближение(линеаризирана система), изследването на която може да даде възможност да се отговори на въпроса за стабилността на сингулярната точка и естеството на фазовите траектории в нейния малък съсед.

навън

Ние имаме , , сингулярната точка е груба. Характеристичните корени на системата от първо приближение са равни на , и двете са реални и отрицателни, следователно в близост до нулевата сингулярна точка поведението на фазовите траектории на системата ще съответства на вида на стабилен възел.

Въведение 4

Априорен анализ на динамични системи 5

Преминаване на случаен сигнал през линейна система 5

Еволюция на фазовия вектор на системата 7

Еволюция на ковариационната матрица на фазовия вектор на системата 8

Статистическа линеаризация 8

Първи начин 9

Втори начин 10

Изчисляване на коефициентите на линеаризация 10

Неяснота в нелинейните връзки 14

Нелинейна връзка, покрита от обратна връзка 15

Симулация на случайни процеси 16

Филтър за оформяне 16

Моделиране на бял шум 17

Оценяване на статистически характеристики на динамични системи по метода Монте Карло 18

Степен на точност 18

Нестационарни динамични системи 20

Стационарни динамични системи 21

Апостериорен анализ на динамични системи 22

Калман филтър 22

Модел на движение 22

Модел на измерване 23

Корекция 23

Прогноза 23

23 клас

Използване на филтриране на Калман в нелинейни задачи 25

Най-малки квадрати 27

Строителни степени 27

Прогноза 29

Използване на метода на най-малките квадрати в нелинейни задачи 29

Построяване на матрицата на Коши 30

Моделиране на измерване 30

Числени методи 31

Специални функции 31

Симулация на случайни променливи 31

Равномерно разпределени случайни променливи 31

Гаусови случайни променливи 32

Случайни вектори 33

Интеграл на вероятностите 34

Полиноми на Чебишев 36

Интегриране на обикновени диференциални уравнения 36

Методи на Рунге-Кута 36

Точност на резултатите от численото интегриране 37

Вложен Дорман-Принц 5(4) ред 37

Многоетапни методи 39

Методи на Адамс 39

Интегриране на закъснели уравнения 40

Сравнение на изчислителните качества на методите 40

Аренсторф проблем 40

Елиптични функции на Якоби 41

Задача на две тела 41

Уравнение на Ван дер Пол 42

Brusselator 42

Висяща струна Лагранж уравнение 42

Плеяди 42

Съставяне на обяснителна записка 43

Заглавна страница 43

Раздел "Въведение" 44

Раздел "Теория" 44

Раздел "Алгоритъм" 44

Раздел "Програма" 45

Раздел "Резултати" 45

Раздел "Изводи" 45

Раздел "Списък на използваните източници" 45

Приложения 45

Литература 47

Въведение

Настоящото ръководство съдържа насоки за изпълнение на задания за курсови проекти и за провеждане на практически упражнения по курса "Основи на статистическата динамика".

Целта на курсовия дизайн и практическите упражнения е да се усвои технологията на априорния и апостериорния анализ на нелинейни динамични системи под влияние на случайни смущения.

Априорен анализ на динамични системи

Статистическа линеаризация

Статистическата линеаризация ви позволява да трансформирате оригиналната нелинейна динамична система по такъв начин, че за нейния анализ е възможно да използвате методи, алгоритми и връзки, които са валидни за линейни системи.

Този раздел е посветен на представянето на метода на статистическата линеаризация, базиран на най-простия приближен подход, предложен от проф. Т.Е. Казаков, което обаче позволява да се конструират оценки на точността на система, съдържаща дори значителни нелинейности с прекъснати характеристики.

Статистическата линеаризация се състои в замяна на първоначалната безинерционна нелинейна зависимост между входните и изходните процеси с такава приблизителна зависимост, линейна по отношение на центрирания входен случаен процес, която е статистически еквивалентна по отношение на оригиналния:

Връзка, която има такава приблизителна връзка между входните и изходните сигнали, се нарича еквивалентна на разглежданата нелинейна връзка.

Стойността се избира въз основа на условието за равенство на математическите очаквания на нелинейните и линеаризираните сигнали и се нарича средностатистическа характеристика на еквивалентната връзка:

,

където е плътността на разпределение на входния сигнал.

За нелинейни връзки с нечетни характеристики, т.е. при , е удобно да се представи статистическата характеристика във формата:

е математическото очакване на входния сигнал;
е статистическата печалба на еквивалентната връзка по отношение на средния компонент.

Че. еквивалентната зависимост в този случай приема формата:

Характеристиката се нарича статистическа печалба на еквивалентната връзка за случайния компонент (флуктуации) и се определя по два начина.

Първи начин

В съответствие с първия метод на статистическа линеаризация, коефициентът се избира въз основа на условието за равенство на дисперсиите на оригиналния и еквивалентния сигнал. Че. за изчисление получаваме следната връзка:

,

където е дисперсията на входното случайно действие.

Знакът в израза за се определя от характера на зависимостта в близост до стойността на аргумента. Ако се увеличава, тогава , а ако намалява, тогава .

Втори начин

Стойността съгласно втория метод се избира от условието за минимизиране на средната квадратична грешка при линеаризация:

Крайното съотношение за изчисляване на коефициента по втория метод е:

.

В заключение отбелязваме, че нито един от двата метода на линеаризация, разгледани по-горе, не осигурява равенството на корелационните функции на изходните сигнали на нелинейните и еквивалентните връзки. Изчисленията показват, че за корелационната функция на нелинеен сигнал първият метод за избор дава горна оценка, а вторият метод дава по-ниска оценка, т.е. грешките при определяне на корелационната функция на нелинейния изходен сигнал имат различни знаци. проф. Т.Е. Казаков, авторът на описания тук метод, препоръчва като резултатен коефициент на линеаризация да се избере полусумата от коефициентите, получени по първия и втория метод.

Филтър за оформяне

Обикновено параметрите се определят чрез приравняване на коефициентите на полиномите на числителя и знаменателя в уравнението

със същите степени.

След определяне на предавателната функция на оформящия филтър, получената схема за моделиране на случаен процес изглежда както е показано на фигурата.

Например, спектралната плътност на моделирания процес има формата:

,

математическо очакване и бял шум с интензитет се използва за моделиране, следователно има единична спектрална плътност.

Очевидно числителят и знаменателят на желаната трансферна функция трябва да имат порядъци 1 и 2 (всъщност, бидейки повдигната на квадрат по модул, трансферната функция образува частно от полиноми от 2-ра и 4-та степен)

Че. Трансферната функция на оформящия филтър в най-общата му форма е следната:

,

и квадрат на неговия модул:

Нека приравним получените съотношения:

Нека извадим скобите и от дясната страна на равенството, като по този начин приравняваме коефициентите при нула градуса:

,

откъдето ясно следват следните равенства:

; ; ; .

Че. блоковата диаграма на формирането на случаен процес с дадени статистически характеристики от бял шум с единична спектрална плътност изглежда, както е показано на фигурата, като се вземат предвид изчислените стойности на параметрите на оформящия филтър.

Моделиране на бял шум

За симулиране на случаен процес с дадени статистически характеристики, бял шум се използва като входен случаен процес във филтъра за оформяне. Точното моделиране на белия шум обаче не е възможно поради безкрайната вариация на този случаен процес.

Поради тази причина процесът на произволни стъпки се използва като заместител на белия шум, действащ върху динамичната система. Интервалът, на който изпълнението на случаен процес запазва стойността си непроменена (ширина на стъпката, интервал на корелация) е постоянна стойност. Самите стойности на изпълнение (височини на стъпки) са случайни променливи, разпределени според нормалния закон с нулево математическо очакване и ограничена дисперсия. Стойностите на параметрите на процеса - интервал на корелация и дисперсия - се определят от характеристиките на динамичната система, която се влияе от бял шум.

Идеята на метода се основава на ограничената честотна лента на всяка реална динамична система. Тези. усилването на реална динамична система намалява с увеличаване на честотата на входния сигнал и следователно има честота (по-малка от безкрайна), за която усилването на системата е толкова малко, че може да се настрои на нула. А това от своя страна означава, че входният сигнал с постоянна, но ограничена от тази честота спектрална плътност, за такава система ще бъде еквивалентен на бял шум (с постоянна и безкрайна спектрална плътност).

Параметрите на еквивалентния случаен процес - корелационният интервал и дисперсията се изчисляват, както следва:

където е емпирично определената граница на честотната лента на динамичната система.

Точност на оценката

Оценки на очакванията

и дисперсия

случайна променлива, конструирана въз основа на обработка на ограничена извадка от нейните реализации , , сами по себе си са случайни променливи.

Очевидно е, че колкото по-голям е размерът на извадката от реализациите, толкова по-точна е безпристрастната оценка, толкова по-близо е до истинската стойност на прогнозния параметър. По-долу са дадени приблизителни формули, базирани на предположението за нормалното им разпределение. Симетричният относителен доверителен интервал за оценката, съответстваща на доверителната вероятност, се определя от стойността, за която връзката е вярна:

,

където
е истинската стойност на математическото очакване на случайната променлива,
е стандартното отклонение на случайната променлива,
е вероятностният интеграл.

Въз основа на горната зависимост, количеството може да се определи, както следва:

,

където е функцията, обратна по отношение на вероятностния интеграл.

Тъй като не знаем точно характеристиката на разсейване на оценката, ще използваме нейната приблизителна стойност, изчислена с помощта на оценката:

Че. крайната връзка, свързваща точността на оценката на математическото очакване и размера на извадката, върху която е направена оценката, изглежда така:

.

Това означава, че стойността на доверителния интервал (при постоянна стойност на доверителната вероятност), разположена симетрично около, изразена в части от оценката на стандартното отклонение, е обратно пропорционална на корен квадратен от размера на извадката.

Доверителният интервал за оценка на дисперсията се определя по подобен начин:

до стойността , която при липса на по-точна информация може да се определи приблизително от връзката:

Че. стойността на доверителния интервал (при постоянна стойност на доверителната вероятност), разположена симетрично спрямо , изразена в неговите дялове, е обратно пропорционална на корен квадратен от стойността , където е размерът на извадката.

По-точни формули за конструиране на доверителни интервали на оценки могат да бъдат получени, като се използва точна информация за закона за разпределение на случайна променлива.

Например, за закона за разпределение на Гаус, случайната променлива

се подчинява на закона за разпределение на Стюдънт със степен на свобода и случайната променлива

разпределени според закона също със степен на свобода.

Калман филтър

Модел на движение

Както е известно, филтърът на Калман е предназначен да оцени вектора на състоянието на линейна динамична система, чийто еволюционен модел може да бъде написан като:

където
е матрицата на Коши, която определя промяната на вектора на състоянието на системата при собствено движение (без управление и шумови въздействия) от момента на времето до момента на времето ;
е векторът на неслучайните принудителни действия върху системата (например управляващи действия) в момента;
е матрицата на влиянието на принудителните действия в момента върху вектора на състоянието на системата в момента;
е векторът на произволните независими центрирани действия върху системата в дадения момент;
е матрицата на влиянието на случайните влияния в момента върху вектора на състоянието на системата в момента.

Модел на измерване

Оценката се извършва на базата на статистическа обработка на резултатите от измерването, линейно свързани с вектора на състоянието и изкривени от допълнителна безпристрастна грешка:

където е матрица, свързваща векторите на състоянието и измерването едновременно.

Корекция

Основата на филтъра на Калман са корекционните съотношения, които са резултат от минимизиране на следата на ковариационната матрица на задната плътност на разпределение на линейните (по вектора на измерване) оценки на вектора на състоянието на системата:

Прогноза

Допълване на корекционните отношения с прогнозни отношения, базирани на линейните свойства на модела на еволюцията на системата:

където е ковариационната матрица на вектора, получаваме формули за рекурентния байесов алгоритъм за оценка на вектора на състоянието на системата и неговата ковариационна матрица на базата на статистическа обработка на резултатите от измерването.

Оценка

Очевидно, за да се приложат горните отношения, е необходимо да могат да се изграждат матрици от еволюционния модел, матрица от модела на измерване, както и ковариационни матрици и за всеки th момент от време.

Освен това, за да се инициализира изчислителният процес, е необходимо по някакъв начин да се определят апостериорни или априорни оценки на вектора на състоянието и неговата ковариационна матрица. Терминът "a priori" или "a posteriori" в този случай означава само качеството, в което векторът на състоянието и неговата ковариационна матрица ще бъдат използвани в изчислителния алгоритъм, и не казва нищо за това как са получени.

По този начин изборът на съотношението, от което трябва да започнат изчисленията, се определя от времевите точки, на които са присвоени първоначалните условия на филтриране и първия необработен вектор на измерване. Ако времевите точки съвпадат, тогава първо трябва да се приложат корекционните съотношения, за да се прецизират началните условия; ако не, тогава първоначалните условия трябва първо да бъдат предвидени от момента на обвързване на първия необработен вектор на измерване.

Нека обясним алгоритъма за филтриране на Калман с помощта на фигура.

На фигурата в координатните оси (в канала на движение) са показани няколко възможни траектории на фазовия вектор:

е истинската еволюционна траектория на фазовия вектор;
е еволюцията на фазовия вектор, предвидена въз основа на използването на модела на движение и априорна оценка на фазовия вектор, отнесена към времето;
е еволюцията на фазовия вектор, предвидена въз основа на използването на модела на движение и апостериорна (по-точна) оценка на фазовия вектор, отнесена към времето

Координатните оси , (в измервателния канал) в моменти от време и показват резултатите от измерванията и :

,

където
е истинската стойност на измервателния вектор в даден момент;
е векторът на грешките на измерване, реализирани в момента.

За да се конструира корекция на априорния фазов вектор на системата, се използва разликата между резултата от измерването и стойността, която би била измерена според модела на измерване на проблема, ако фазовият вектор всъщност е приел стойността . В резултат на прилагане на корекционните отношения към априорни оценки, оценката на фазовия вектор на системата ще бъде малко по-прецизна и ще приеме стойността

В момента резултатът от прогнозата се използва като априорна оценка върху траекторията, преминаваща през фазовия вектор, отново се конструира разликата в измерването, според която се изчислява апостериорна, още по-точна стойност и т.н. стига да има измервателни вектори за обработка или има нужда да се предвиди поведението на фазовия вектор.

Метод на най-малките квадрати

Този раздел представя метода на най-малките квадрати, адаптиран за апостериорен анализ на динамични системи.

Изграждане на резултати

За случай на линеен модел с еднакви измервания:

имаме следния алгоритъм за оценка на фазов вектор:

.

За случай на неравни измервания въвеждаме матрицата, съдържаща тегловни коефициенти по диагонала. Като се вземат предвид тегловните коефициенти, предишното съотношение ще приеме формата:

.

Ако използваме матрицата, обратна на ковариационната матрица на грешките на измерване като матрица на теглото, тогава, като вземем предвид факта, че получаваме:

.

Както следва от горните отношения, в основата на метода е матрицата, която свързва оценения фазов вектор, отнасящ се до определен момент от времето, и измервателния вектор. Векторът има, като правило, блокова структура, в която всеки от блоковете е присвоен на някакъв момент от време, който по принцип не съвпада с .

Фигурата показва някакво възможно взаимно подреждане на точките във времето, към които се отнасят измерванията, и точката във времето, към която се отнася векторът на оценените параметри.

За всеки вектор е вярна следната връзка:

, при .

По този начин, в получената връзка на най-малките квадрати, векторът и матрицата имат следната структура:

; .

където
– определя неслучаен принудителен ефект върху системата;
– определя произволното въздействие върху системата.

могат да се използват предсказващи отношения, които се срещат по-горе в описанието на алгоритъма за филтриране на Калман:

където е ковариационната матрица на вектора.

Построяване на матрицата на Коши

В проблемите на конструирането на оценки чрез методи за статистическа обработка на измерванията често се среща проблемът с конструирането на матрицата на Коши. Тази матрица свързва фазовите вектори на системата, отнесени към различни моменти от време, в тяхното собствено движение.

В този раздел се ограничаваме до разглеждане на въпроси, свързани с изграждането на матрицата на Коши за еволюционен модел, написан като система от обикновени диференциални уравнения (линейни или нелинейни).

където се използва следната нотация за матриците на пропорционалност, конструирани в близост до еталонната траектория, :

; .

Моделиране на размери

Проблемът възниква, когато например, когато оценявате потенциално постижимата точност на метод в някакъв проблем, нямате резултати от измерване. В този случай резултатите от измерването трябва да бъдат симулирани. Особеността на моделирането на резултатите от измерването е, че моделите на движение и измерване, използвани за тази цел, може да не съвпадат с моделите, които ще използвате в процеса на конструиране на оценки, използвайки един или друг метод на филтриране.

Като начални условия за моделиране на еволюцията на фазовия вектор на динамична система трябва да се използват истинските стойности на координатите на този вектор. В допълнение към това място, истинските стойности на координатите на фазовия вектор на системата не трябва да се използват никъде другаде.

Числени методи

Специални функции

Случайни вектори

Проблемът, чието решение е описано в този подраздел, е да се моделира вектор от корелирани Гаусови случайни променливи.

Нека случайният вектор , който трябва да се моделира, се формира на базата на трансформацията на вектора на стандартните некорелирани случайни променливи със съответната размерност, както следва: с точност до 4 цифри, на базата на разлагането в серии по мощности на аргумента за неговите три интервала.

При сумата от асимптотичния ред става почти равна на 1.

Въведение

Тъй като концепцията за нелинейна динамична система е достатъчно богата, за да покрие изключително широк спектър от процеси, в които бъдещото поведение на системата се определя от миналото, методите за анализ, разработени в тази област, са полезни в огромно разнообразие от контексти.

Нелинейната динамика навлиза в литературата поне по три начина. Първо, има случаи, при които експериментални данни за промяната във времето на една или повече величини се събират и анализират с помощта на техники, базирани на нелинейна динамична теория, с минимални допускания относно основните уравнения, които управляват процеса, който произвежда данните. Тоест, това е случай, в който човек се стреми да намери корелации в данните, които могат да ръководят разработването на математически модел, вместо първо да познае модела и след това да го сравни с данните.

Второ, има случаи, в които нелинейната динамична теория може да се използва, за да се твърди, че някакъв опростен модел трябва да демонстрира важни характеристики на дадена система, което предполага, че описващият модел може да бъде изграден и изследван в широк диапазон от параметри. Това често води до модели, които се държат качествено различно при различни параметри и демонстрират, че един регион проявява поведение, което е много подобно на поведението, наблюдавано в реалната система. В много случаи поведението на модела е доста чувствително към промените в параметрите, така че ако параметрите на модела могат да бъдат измерени в реална система, моделът проявява реалистично поведение при тези стойности и човек може да бъде сигурен, че моделът улавя основните характеристики на системата.

Трето, има случаи, когато уравненията на модела се изграждат на базата на подробни описания на известна физика. След това числените експерименти могат да предоставят информация за променливи, които не са достъпни за физическите експерименти.

Въз основа на втория път, тази работа е продължение на предишната ми работа „Нелинеен динамичен модел на взаимозависими индустрии“, както и друга работа (Дмитриев, 2015)

Всички необходими дефиниции и друга теоретична информация, необходима в работата, ще се появят в първата глава, ако е необходимо. Тук ще бъдат дадени две дефиниции, които са необходими за разкриването на самата изследователска тема.

Първо, нека дефинираме динамиката на системата. Според една от дефинициите системната динамика е подход за симулационно моделиране, който благодарение на своите методи и инструменти помага да се оцени структурата на сложни системи и тяхната динамика (Shterman). Струва си да се добави, че системната динамика също е техника за моделиране, която се използва за пресъздаване на правилни (от гледна точка на точност) компютърни модели за сложни системи за тяхното бъдещо използване с цел създаване на по-ефективна компания / организация, както и подобряване на методите за взаимодействие с тази система. По-голямата част от необходимостта от системна динамика възниква, когато се сблъскаме с дългосрочни, стратегически модели и също така си струва да се отбележи, че тя е доста абстрактна.

Говорейки за нелинейна диференциална динамика, ще разгледаме нелинейна система, която по дефиниция е система, в която промяната в резултата не е пропорционална на промяната във входните параметри и в която функцията описва зависимост на промяната във времето и позицията на точка в пространството (Boeing, 2016).

Въз основа на горните дефиниции става ясно, че тази работа ще разгледа различни нелинейни диференциални системи, които описват взаимодействието на компаниите, както и симулационни модели, изградени на тяхна база. Въз основа на това ще се определи целта на работата.

По този начин целта на тази работа е да се извърши качествен анализ на динамични системи, които описват взаимодействието на компаниите в първо приближение и да се изгради симулационен модел въз основа на тях.

За постигането на тази цел бяха определени следните задачи:

Определяне на устойчивостта на системата.

Изграждане на фазови портрети.

Намиране на интегрални траектории на системи.

Изграждане на симулационни модели.

Всяка от тези задачи ще бъде посветена на един от разделите на всяка от главите на работата.

Въз основа на практиката изграждането на фундаментални математически структури, които ефективно моделират динамиката в различни физически системи и процеси, показва, че съответният математически модел до известна степен отразява близостта до изследвания оригинал, когато неговите характерни черти могат да бъдат извлечени от свойствата и структури от типа движение, което формира динамиката на системата. Към днешна дата икономическата наука е на етап от своето развитие, в който особено ефективно се използват нови и в много случаи нестандартни методи и методи за физико-математическо моделиране на икономически процеси. От тук следва изводът за необходимостта от създаване, изследване и изграждане на модели, които по някакъв начин да описват икономическата ситуация.

Що се отнася до причината за избора на качествен, а не на количествен анализ, заслужава да се отбележи, че в по-голямата част от случаите резултатите и изводите от качествен анализ на динамични системи се оказват по-значими от резултатите от техния количествен анализ. В такава ситуация е уместно да се посочат твърденията на В.П. Милованов, в което той заявява, че традиционно смятат, че резултатите, които се очакват при прилагане на математически методи за анализ на реални обекти, трябва да бъдат сведени до числен резултат. В този смисъл качествените методи имат малко по-различна задача. Той се фокусира върху постигането на резултат, който описва качеството на системата, върху търсенето на характерни черти на всички явления като цяло, върху прогнозирането. Разбира се, важно е да разберете как ще се промени търсенето, когато се променят цените на определен вид стоки, но не забравяйте, че е много по-важно да разберете дали ще има дефицит или излишък на тези стоки при такива условия (Дмитриев , 2016).

Обект на това изследване е нелинейната диференциална и системна динамика.

В този случай предмет на изследване е описанието на процеса на взаимодействие между компаниите чрез нелинейна диференциална и системна динамика.

Говорейки за практическото приложение на изследването, струва си веднага да го разделим на две части. А именно теоретичен, тоест качествен анализ на системи, и практически, в който ще се разглежда изграждането на симулационни модели.

Теоретичната част на това изследване предоставя основни понятия и явления. Той разглежда прости диференциални системи, както в работите на много други автори (Teschl, 2012; Nolte, 2015), но в същото време позволява да се опише взаимодействието между компаниите. Въз основа на това в бъдеще ще бъде възможно да се провеждат по-задълбочени изследвания или в противен случай да започнете да се запознавате с това, което представлява качествен анализ на системите.

Практическата част от работата може да се използва за създаване на система за подпомагане на вземането на решения. Система за подпомагане на вземането на решения - автоматизирана информационна система, насочена към подпомагане на бизнеса или вземането на решения в организация, позволяваща ви да избирате между много различни алтернативи (Keen, 1980). Дори моделите да не са много точни в момента, но като ги промените за конкретна компания, можете да постигнете по-точни резултати. По този начин, когато променяте в тях различни параметри и условия, които могат да възникнат на пазара, можете да получите прогноза за бъдещето и да вземете по-изгодно решение предварително.

1. Взаимодействие на фирмите в условията на мутуализъм

Документът ще представи двумерни системи, които са доста прости в сравнение със системите от по-висок ред, но в същото време ни позволяват да демонстрираме връзките между организациите, от които се нуждаем.

Струва си да започнете работа с избора на типа взаимодействие, което ще бъде описано в бъдеще, тъй като за всеки от типовете системите, които ги описват, са, макар и малко, различни. Фигура 1.1 показва класификацията на Yujim Odum за взаимодействие между населението, модифицирана за икономическо взаимодействие (Odum, 1968), въз основа на която по-нататък ще разгледаме взаимодействието на компаниите.

Фигура 1.1. Видове взаимодействие между предприятията

Въз основа на фигура 1.1 ние отделяме 4 вида взаимодействия и представяме за всеки от тях система от уравнения, които ги описват въз основа на модела на Малтус (Malthus, 1798). Според него скоростта на растеж е пропорционална на текущото изобилие на вида, с други думи, може да се опише със следното диференциално уравнение:

където a е параметър, който зависи от естествения прираст на населението. Също така си струва да добавим, че в системите, разгледани по-долу, всички параметри, както и променливите, приемат неотрицателни стойности.

Производството на суровини е производство на продукти, което е подобно на модела хищник-плячка. Моделът хищник-плячка, известен още като модел на Лотка-Волтера, е двойка нелинейни диференциални уравнения от първи ред, описващи динамиката на биологична система с два вида, единият от които е хищник, а другият е плячка (Llibre , 2007). Промяната в изобилието на тези видове се описва със следната система от уравнения:

(1.2)

където - характеризира растежа на производството на първото предприятие без влиянието на второто (в случай на модела хищник-плячка, растежът на популацията на плячка без хищници),

Характеризира растежа на производството на второто предприятие без влиянието на първото (нарастване на популацията на хищници без плячка),

Той характеризира растежа на производството на първото предприятие, като се вземе предвид влиянието на второто предприятие върху него (увеличаване на броя на плячката при взаимодействие с хищници),

Той характеризира растежа на производството на второто предприятие, като се вземе предвид влиянието на първото предприятие върху него (увеличаване на броя на хищниците по време на взаимодействието им с жертвите).

За единия, хищника, както се вижда от системата, както и от класификацията на Одум, тяхното взаимодействие налага благоприятен ефект. От друга страна неблагоприятно. Ако се разглежда в икономическата реалност, тогава, както може да се види на фигурата, най-простият аналог е производителят и неговият доставчик на ресурси, които съответстват съответно на хищника и плячката. По този начин, при липса на суровини, продукцията намалява експоненциално.

Конкуренцията е съперничество между два или повече (в нашия случай разглеждаме двуизмерни системи, така че вземаме точно конкуренция от два вида) видове, икономически групи за територии, ограничени ресурси или други ценности (Elton, 1968). Промените в броя на видовете или броя на продуктите в нашия случай са описани от системата по-долу:

(1.3)

В този случай видовете или компаниите, които произвеждат един продукт, си влияят неблагоприятно. Тоест, при липса на конкурент, растежът на продукта ще се увеличи експоненциално.

Сега нека да преминем към симбиотично взаимодействие, при което двете предприятия имат положително влияние едно върху друго. Да започнем с мутуализма. Мутуализмът е вид взаимоотношения между различни видове, при които всеки от тях се облагодетелства от действията на другия и е добре да се отбележи, че присъствието на партньор е необходимо условие за съществуване (Thompson, 2005). Този тип връзка се описва от системата:

(1.4)

Тъй като взаимодействието между компаниите е необходимо за тяхното съществуване, при липса на продукт на една компания, производството на стоките на друга намалява експоненциално. Това е възможно, когато компаниите просто нямат други алтернативи за снабдяване.

Помислете за друг тип симбиотично взаимодействие, протокооперация. Прото-сътрудничеството е подобно на мутуализма, с единственото изключение, че не е необходимо да съществува партньор, тъй като например има други алтернативи. Тъй като те са подобни, техните системи изглеждат почти идентични една с друга:

(1.5)

По този начин липсата на продукт на една компания не пречи на растежа на продукта на друга компания.

Разбира се, в допълнение към тези, изброени в параграфи 3 и 4, могат да се отбележат и други видове симбиотични взаимоотношения: комменсализъм и аменсализъм (Hanski, 1999). Но те няма да бъдат споменавани по-нататък, тъй като при коменсализма единият от партньорите е безразличен към взаимодействието си с другия, но все пак разглеждаме случаи, когато има влияние. И аменсализмът не се разглежда, защото от икономическа гледна точка такива отношения, когато тяхното взаимодействие вреди на единия, а другият е безразличен, просто не могат да съществуват.

Въз основа на влиянието на компаниите една върху друга, а именно факта, че симбиотичните отношения водят до устойчиво съвместно съществуване на компании, в тази статия ще разгледаме само случаи на взаимност и прото-сътрудничество, тъй като и в двата случая взаимодействието е от полза за всички.

Тази глава е посветена на взаимодействието на компаниите в условията на взаимност. Ще бъдат разгледани две системи, които са по-нататъшно развитие на системи, базирани на модела на Малтус, а именно системи с наложени ограничения върху увеличаването на производството.

Динамиката на двойка, свързана чрез взаимовръзки, както беше споменато по-горе, може да бъде описана в първото приближение от системата:

(1.6)

Вижда се, че при голямо първоначално количество продукция системата расте неограничено, а при малко производството пада. Тук се крие некоректността на билинейното описание на ефекта, произтичащ от мутуализма. За да се опитаме да коригираме картината, въвеждаме фактор, наподобяващ насищането на хищник, тоест фактор, който ще намали темпа на растеж на продукцията, ако е в излишък. В този случай стигаме до следната система:

(1.7)

където е ръстът в производството на продукта на първата компания при взаимодействието му с втората, като се вземе предвид насищането,

Ръст в производството на продукта на втората компания във взаимодействието му с първата, като се вземе предвид насищането,

Коефициенти на насищане.

Така имаме две системи: Малтусианският модел на растеж със и без насищане.

1.1 Устойчивост на системите в първо приближение

Стабилността на системите в първо приближение се разглежда в много чуждестранни (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 и др.) и рускоезични трудове (Achromeyeva, 1992; Bellman, 1954; Demidovich, 1967; Красовски, 1959 и др.), а дефинирането му е основна стъпка за анализиране на процесите, протичащи в системата. За да направите това, изпълнете следните необходими стъпки:

Да намерим точките на равновесие.

Нека намерим якобиевата матрица на системата.

Намерете собствените стойности на якобиевата матрица.

Ние класифицираме точките на равновесие според теоремата на Ляпунов.

След като разгледахме стъпките, струва си да се спрем на тяхното обяснение по-подробно, така че ще дам определения и ще опиша методите, които ще използваме във всяка от тези стъпки.

Първата стъпка е търсенето на точки на равновесие. За да ги намерим, приравняваме всяка функция на нула. Тоест решаваме системата:

където a и b означават всички параметри на уравнението.

Следващата стъпка е да се намери матрицата на Якоби. В нашия случай това ще бъде матрица 2 на 2 с първи производни в даден момент, както е показано по-долу:

След като завършим първите две стъпки, пристъпваме към намиране на корените на следното характеристично уравнение:

Където точката съответства на точките на равновесие, намерени в първата стъпка.

След като намерихме и , преминаваме към четвъртата стъпка и използваме следните теореми на Ляпунов (Parks, 1992):

Теорема 1: Ако всички корени на характеристичното уравнение имат отрицателна реална част, тогава равновесната точка, съответстваща на оригиналната и линеаризираната система, е асимптотично стабилна.

Теорема 2: Ако поне един от корените на характеристичното уравнение има положителна реална част, тогава равновесната точка, съответстваща на оригиналната и линеаризираната система, е асимптотично нестабилна.

Освен това, като се погледне и е възможно да се определи по-точно вида на стабилността, въз основа на разделението, показано на фигури 1.2 (Университет Ламар).

Фигура 1.2. Видове устойчивост на точките на равновесие

След като разгледахме необходимата теоретична информация, се обръщаме към анализа на системите.

Помислете за система без насищане:

Той е много прост и не е подходящ за практическа употреба, тъй като няма ограничения. Но като първи пример за системен анализ е подходящ за разглеждане.

Първо, нека намерим точките на равновесие, като приравним десните части на уравненията на нула. Така намираме две точки на равновесие, нека ги наречем A и B: .

Нека комбинираме стъпката с търсенето на матрицата на Якоби, корените на характеристичното уравнение и определянето на типа стабилност. Тъй като са елементарни, веднага получаваме отговора:

1. В точката , , има стабилен възел.

В точката: , , седло.

Както вече писах, тази система е твърде тривиална, така че не е необходимо обяснение.

Сега нека анализираме системата от насищане:

(1.9)

Появата на ограничение за взаимното насищане на продуктите от предприятията ни доближава до реалната картина на случващото се, а също така леко усложнява системата.

Както преди, приравняваме правилните части на системата на нула и решаваме получената система. Точката остана непроменена, но другата точка в този случай съдържа повече параметри от преди: .

В този случай матрицата на Якоби има следната форма:

Извадете от него единичната матрица, умножена по , и приравнете детерминантата на получената матрица в точки A и B на нула.

В момента на подобна ранна картина:

стабилен възел.

Но в точката всичко е малко по-сложно и въпреки че математиката все още е доста проста, сложността причинява неудобството при работа с дълги буквални изрази. Тъй като стойностите се оказват доста дълги и неудобно записани, те не се дават, достатъчно е да се каже, че в този случай, както при предишната система, полученият тип стабилност е седло.

2 Фазови портрети на системи

По-голямата част от нелинейните динамични модели са сложни диференциални уравнения, които или не могат да бъдат решени, или това е някакъв вид сложност. Пример е системата от предишния раздел. Въпреки привидната простота, намирането на типа стабилност във втората точка на равновесие не беше лесна задача (макар и не от математическа гледна точка) и с увеличаване на параметрите, ограниченията и уравненията за увеличаване на броя на взаимодействащите предприятия, сложността само ще се увеличи. Разбира се, ако параметрите са числени изрази, тогава всичко ще стане невероятно просто, но тогава анализът някак ще загуби всякакъв смисъл, защото в крайна сметка ще можем да намерим точки на равновесие и да открием техните типове стабилност само за конкретен случай, а не общ.

В такива случаи си струва да запомните фазовата равнина и фазовите портрети. В приложната математика, по-специално в контекста на анализа на нелинейните системи, фазовата равнина е визуално представяне на определени характеристики на определени видове диференциални уравнения (Nolte, 2015). Координатната равнина с оси на стойности на всяка двойка променливи, характеризиращи състоянието на системата, е двуизмерен случай на общо n-измерно фазово пространство.

Благодарение на фазовата равнина е възможно графично да се определи наличието на гранични цикли в решенията на диференциално уравнение.

Решенията на диференциалното уравнение са семейство от функции. Графично това може да се начертае във фазовата равнина като двумерно векторно поле. На равнината са начертани вектори, представляващи производни в характерни точки по отношение на някакъв параметър, в нашия случай по отношение на времето, т.е. С достатъчно от тези стрелки в една област, поведението на системата може да бъде визуализирано и граничните цикли могат лесно да бъдат идентифицирани (Boeing, 2016).

Векторното поле е фазов портрет, конкретен път по линията на потока (т.е. път, който винаги е допирателен към векторите) е фазов път. Потоци във векторно поле показват промяната в системата във времето, описана от диференциално уравнение (Jordan, 2007).

Заслужава да се отбележи, че фазов портрет може да бъде изграден дори без решаване на диференциалното уравнение и в същото време добрата визуализация може да предостави много полезна информация. Освен това в момента има много програми, които могат да помогнат при изграждането на фазови диаграми.

По този начин фазовите равнини са полезни за визуализиране на поведението на физическите системи. По-специално, осцилаторни системи, като модела хищник-плячка, вече споменат по-горе. В тези модели фазовите траектории могат да се „завъртят“ към нула, да „излязат от спирала“ до безкрайност или да достигнат неутрална стабилна ситуация, наречена центрове. Това е полезно при определяне дали динамиката е стабилна или не (Jordan, 2007).

Представените в този раздел фазови портрети ще бъдат изградени с помощта на инструменти на WolframAlpha или предоставени от други източници. Малтусов модел на растеж без насищане.

Нека изградим фазов портрет на първата система с три набора от параметри, за да сравним тяхното поведение. Набор A ((1,1), (1,1)), който ще бъде посочен като единичен набор, набор B ((10,0.1), (2,2)), когато е избран, системата изпитва остър спад в производството , и множеството C ((1,10), (1,10)), за което, напротив, настъпва рязък и неограничен растеж. Трябва да се отбележи, че стойностите по осите във всички случаи ще бъдат в едни и същи интервали от -10 до 10, за удобство при сравняване на фазовите диаграми една с друга. Разбира се, това не се отнася за качествен портрет на системата, чиито оси са безразмерни.

Фигура 1.3 Фазов портрет с параметри A

мутуализъм диференциално гранично уравнение

Фигура 1.3 по-горе показва фазовите портрети на системата за трите посочени набора от параметри, както и фазовия портрет, описващ качественото поведение на системата. Не забравяйте, че най-важното от практическа гледна точка е първото тримесечие, тъй като количеството на продукцията, което може да бъде само неотрицателно, е нашите оси.

Във всяка от фигурите ясно се вижда стабилността в равновесната точка (0,0). И на първата фигура „седловата точка“ също се забелязва в точката (1,1), с други думи, ако заместим стойностите на набора от параметри в системата, след това в точката на равновесие B. Когато границите на сградата на модела се променят, седловината се намира и на други фазови портрети.

Малтусиански модел на растеж от насищане.

Нека построим фазови диаграми за втората система, в която има насищане, с три нови набора от стойности на параметри. Набор A, ((0.1,15,100), (0.1,15,100)), набор B ((1,1,0.5), (1, 1,0.5)) и набор C ((20,1,100), (20,1,100) )).

Фигура 1.4. Фазов портрет с параметри А

Както можете да видите, за всеки набор от параметри точката (0,0) е равновесна и стабилна. Също така на някои фигури можете да видите седловина.

В този случай бяха разгледани различни скали, за да се покаже по-ясно, че дори когато се добави фактор на насищане към системата, качествената картина не се променя, тоест само насищането не е достатъчно. Трябва да се има предвид, че на практика компаниите се нуждаят от стабилност, тоест, ако разглеждаме нелинейни диференциални уравнения, тогава ние се интересуваме най-много от стабилни точки на равновесие, а в тези системи само нулеви точки са такива точки, което означава че подобни математически модели очевидно не са подходящи за предприятия. В края на краищата това означава, че само при нулево производство компаниите са в стабилност, което явно се различава от реалната картина на света.

В математиката интегралната крива е параметрична крива, която представлява специфично решение на обикновено диференциално уравнение или система от уравнения (Lang, 1972). Ако диференциалното уравнение е представено като векторно поле, тогава съответните интегрални криви са допирателни към полето във всяка точка.

Интегралните криви са известни и с други имена, в зависимост от природата и интерпретацията на диференциалното уравнение или векторното поле. Във физиката интегралните криви за електрическо поле или магнитно поле са известни като линии на полето, а интегралните криви за полето на скоростта на флуида са известни като линии на потока. В динамичните системи интегралните криви за диференциално уравнение се наричат ​​траектории.

Фигура 1.5. Интегрални криви

Решенията на всяка от системите също могат да се разглеждат като уравнения на интегрални криви. Очевидно всяка фазова траектория е проекция на някаква интегрална крива в пространството x,y,t върху фазовата равнина.

Има няколко начина за конструиране на интегрални криви.

Един от тях е методът на изоклина. Изоклина е крива, минаваща през точки, в които наклонът на разглежданата функция винаги ще бъде един и същ, независимо от началните условия (Hanski, 1999).

Често се използва като графичен метод за решаване на обикновени диференциални уравнения. Например, в уравнение под формата y "= f (x, y), изоклините са линии в равнината (x, y), получени чрез приравняване на f (x, y) на константа. Това дава поредица от линии ( за различни константи), по които решенията на кривите имат един и същ градиент. Чрез изчисляване на този градиент за всяка изоклина полето на наклона може да се визуализира, което прави относително лесно начертаването на приблизителни криви на решение. Фигурата по-долу показва пример за използване на метода на изоклина .

Фигура 1.6. Изоклинен метод

Този метод не изисква компютърни изчисления и беше много популярен в миналото. Сега има софтуерни решения, които ще изградят интегрални криви на компютри изключително точно и бързо. Въпреки това, методът на изоклина се е показал добре като инструмент за изследване на поведението на разтворите, тъй като позволява да се покажат областите на типичното поведение на интегралните криви.

Малтусов модел на растеж без насищане.

Нека започнем с факта, че въпреки съществуването на различни методи за конструиране, не е толкова лесно да се покажат интегралните криви на система от уравнения. Изоклинният метод, споменат по-рано, не е подходящ, защото работи за диференциални уравнения от първи ред. А софтуерните инструменти, които имат способността да чертаят такива криви, не са обществено достояние. Например Wolfram Mathematica, която е способна на това, е платена. Затова ще се опитаме да използваме възможно най-много възможностите на Wolfram Alpha, работата с която е описана в различни статии и произведения (Orca, 2009). Въпреки факта, че картината очевидно няма да е напълно надеждна, но поне ще ви позволи да покажете зависимостта в равнините (x, t), (y, t). Първо, нека решим всяко от уравненията за t. Тоест извеждаме зависимостта на всяка от променливите по отношение на времето. За тази система получаваме:

(1.10)

(1.11)

Уравненията са симетрични, така че разглеждаме само едно от тях, а именно x(t). Нека константата е равна на 1. В този случай ще използваме чертащата функция.

Фигура 1.7. Триизмерен модел за уравнение (1.10)

Малтусиански модел на растеж от насищане.

Нека направим същото за другия модел. В крайна сметка получаваме две уравнения, които демонстрират зависимостта на променливите от времето.

(1.12)

(1.13)

Нека да изградим триизмерен модел и отново да изравним линиите.

Фигура 1.8. Триизмерен модел за уравнение (1.12)

Тъй като стойностите на променливите са неотрицателни, тогава във фракцията с експонента получаваме отрицателно число. Така интегралната крива намалява с времето.

По-рано беше дадена дефиниция на системната динамика, за да се разбере същността на работата, но сега нека се спрем на това по-подробно.

Системната динамика е методология и метод на математическо моделиране за формиране, разбиране и обсъждане на сложни проблеми, първоначално разработен през 1950 г. от Джей Форестър и описан в неговата работа (Форестър, 1961).

Системната динамика е един от аспектите на теорията на системите като метод за разбиране на динамичното поведение на сложни системи. Основата на метода е признаването, че структурата на всяка система се състои от многобройни връзки между нейните компоненти, които често са толкова важни при определяне на нейното поведение, колкото и самите отделни компоненти. Примери за това са теорията на хаоса и социалната динамика, описани в трудовете на различни автори (Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Kuznetsov, 2001; Tabor, 2001). Също така се твърди, че тъй като свойствата на цялото често не могат да бъдат намерени в свойствата на елемента, в някои случаи поведението на цялото не може да бъде обяснено от гледна точка на поведението на частите.

Симулацията може наистина да покаже пълното практическо значение на една динамична система. Въпреки че е възможно в електронни таблици, има много софтуерни пакети, които са оптимизирани специално за тази цел.

Самото моделиране е процес на създаване и анализиране на прототип на физически модел, за да се предвиди неговото представяне в реалния свят. Симулационното моделиране се използва, за да помогне на дизайнерите и инженерите да разберат при какви условия и в какви случаи даден процес може да се провали и какви натоварвания може да издържи (Khemdy, 2007). Моделирането може също да помогне за предсказване на поведението на флуидни потоци и други физически явления. Моделът анализира приблизителните условия на труд, дължащи се на приложения симулационен софтуер (Strogalev, 2008).

Ограниченията на възможностите за симулационно моделиране имат обща причина. Изграждането и численото изчисляване на точен модел гарантира успех само в онези области, където има точна количествена теория, т.е. когато уравненията, описващи определени явления, са известни и задачата е само да се решат тези уравнения с необходимата точност. В тези области, където няма количествена теория, изграждането на точен модел е с ограничена стойност (Bazykin, 2003).

Възможностите за моделиране обаче не са неограничени. На първо място, това се дължи на факта, че е трудно да се оцени обхватът на приложимост на симулационния модел, по-специално периодът от време, за който прогнозата може да бъде изградена с необходимата точност (Law, 2006). Освен това по своята същност симулационният модел е обвързан с конкретен обект и при опит за прилагането му върху друг, дори и подобен обект, се налага радикална корекция или най-малкото значителна модификация.

Има обща причина за съществуването на ограничения върху симулацията. Конструирането и численото изчисляване на „точен“ модел е успешно само ако съществува количествена теория, тоест само ако всички уравнения са известни и проблемът се свежда само до решаването на тези уравнения с определена точност (Bazykin, 2003).

Но дори и въпреки това, симулационното моделиране е отличен инструмент за визуализиране на динамични процеси, което позволява с повече или по-малко правилен модел да се вземат решения въз основа на неговите резултати.

В тази работа системните модели ще бъдат изградени с помощта на инструментите за системна динамика, предлагани от програмата AnyLogic.

Малтусов модел на растеж без насищане/

Преди изграждането на модел е необходимо да разгледаме елементите на системната динамика, които ще използваме и да ги свържем с нашата система. Следните определения са взети от помощната информация на програмата AnyLogic.

Задвижването е основният елемент на системните динамични диаграми. Те се използват за представяне на обекти от реалния свят, в които се натрупват определени ресурси: пари, вещества, брой групи хора, някои материални обекти и др. Акумулаторите отразяват статичното състояние на симулираната система и техните стойности се променят във времето в съответствие с потоците, съществуващи в системата. От това следва, че динамиката на системата се определя от потоците. Потоците, влизащи и излизащи от акумулатора, увеличават или намаляват стойностите на акумулатора.

Потокът, както и гореспоменатото задвижване, е основният елемент на системно-динамичните диаграми.

Докато контейнерите определят статичната част на системата, потоците определят скоростта на промяна на контейнерите, тоест как запасите се променят във времето и по този начин определят динамиката на системата.

Агентът може да съдържа променливи. Променливите обикновено се използват за моделиране на променящите се характеристики на даден агент или за съхраняване на резултатите от модела. Обикновено динамичните променливи се състоят от акумулиращи функции.

Агентът може да има параметри. Параметрите често се използват за представяне на някои от характеристиките на моделирания обект. Те са полезни, когато екземплярите на обекти имат същото поведение, както е описано в класа, но се различават в стойностите на някои параметри. Има ясна разлика между променливи и параметри. Променливата представлява състоянието на модела и може да се променя по време на симулация. Параметърът обикновено се използва за статично описание на обекти. По време на едно "изпълнение" на модела параметърът обикновено е константа и се променя само когато поведението на модела трябва да бъде преконфигурирано.

Връзката е елемент от системната динамика, който се използва за определяне на връзката между елементите на диаграмата на потока и акумулаторите.Той не създава автоматично връзки, но принуждава потребителя изрично да ги начертае в графичния редактор (обаче, заслужава да се отбележи че AnyLogic поддържа и механизъм за бързо настройване на липсващи връзки). Като пример, ако някой елемент от A е споменат в уравнението или първоначалната стойност на елемент B, тогава първо трябва да свържете тези елементи с връзка, преминаваща от A към B, и едва след това да въведете израза в свойствата на B .

Има някои други елементи от системната динамика, но те няма да бъдат включени в хода на работата, така че ще ги пропуснем.

Като начало нека разгледаме от какво ще се състои моделът на система (1.4).

Първо, веднага маркираме два диска, които ще съдържат стойностите на количеството продукция на всяко от предприятията.

Второ, тъй като имаме два члена във всяко уравнение, получаваме два потока към всяко от устройствата, единият входящ, другият изходящ.

Трето, преминаваме към променливи и параметри. Има само две променливи. X и Y, отговорни за растежа на производството. Имаме и четири варианта.

Четвърто, по отношение на връзките, всеки от потоците трябва да бъде свързан с променливите и параметрите, включени в уравнението на потока, и двете променливи трябва да бъдат свързани с акумулатори, за да променят стойността във времето.

Ще оставим подробно описание на изграждането на модел, като пример за работа в средата за моделиране AnyLogic, за следващата система, тъй като е малко по-сложна и използва повече параметри, и веднага ще преминем към разглеждане на готовата версия на система.

Фигура 1.9 по-долу показва конструирания модел:

Фигура 1.9. Системен динамичен модел за система (1.4)

Всички елементи на системната динамика съответстват на описаните по-горе, т.е. две устройства, четири потока (два входящи, два изходящи), четири параметъра, две динамични променливи и необходими връзки.

Фигурата показва, че колкото повече продукти, толкова по-силен е растежът му, което води до рязко увеличаване на броя на стоките, което съответства на нашата система. Но както беше споменато по-рано, липсата на ограничения за този растеж не позволява прилагането на този модел на практика.

Малтусов модел на растеж от насищане/

Като се има предвид тази система, нека се спрем по-подробно на конструкцията на модела.

Първата стъпка е да добавите две устройства, нека ги наречем X_stock и Y_stock. Нека присвоим на всеки от тях начална стойност, равна на 1. Обърнете внимание, че при липса на потоци няма нищо в класически даденото уравнение за съхранение.

Фигура 1.10. Изграждане на системен модел (1.9)

Следващата стъпка е добавянето на нишки. Нека изградим входящ и изходящ поток за всяко устройство с помощта на графичен редактор. Не трябва да забравяме, че един от ръбовете на потока трябва да бъде в задвижването, в противен случай те няма да бъдат свързани.

Можете да видите, че уравнението за задвижването е зададено автоматично, разбира се, потребителят може да го напише сам, като избере режима на „произволно“ уравнение, но най-лесният начин е да оставите това действие на програмата.

Нашата трета стъпка е да добавим шест параметъра и две динамични променливи. Нека дадем име на всеки елемент в съответствие с неговия буквален израз в системата и също така да зададем началните стойности на параметрите, както следва: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0.2.

Всички елементи на уравненията са налице, остава само да напишете уравненията за потоците, но за това първо трябва да добавите връзки между елементите. Например, изходящият поток, отговорен за термина, трябва да бъде свързан с e1 и x. И всяка динамична променлива трябва да бъде свързана със съответната й наличност (X_stock x, Y_stock y). Създаването на връзки е подобно на добавянето на теми.

След като създадете необходимите връзки, можете да продължите към писане на уравнения за потоците, което е показано на дясната фигура. Разбира се, можете да отидете в обратен ред, но ако има връзки, когато пишете уравнения, се появяват съвети за заместване на необходимите параметри / променливи, което улеснява задачата при сложни модели.

След като изпълните всички стъпки, можете да стартирате симулационния модел и да разгледате неговия резултат.

След като разгледахме системите от нелинейни диференциални уравнения за взаимодействието на компаниите в условията на мутуализъм, можем да направим няколко извода.

Има две състояния на системата: рязък неограничен растеж или тенденцията на количеството продукция към нула. Кое от двете състояния ще приеме системата зависи от параметрите.

Нито един от предложените модели, включително моделът, който взема предвид насищането, не е подходящ за практическа употреба поради липсата на ненулева стабилна позиция, както и поради причините, описани в параграф 1.

В случай на опит за по-нататъшно изследване на този тип симбиотично взаимодействие с цел създаване на модел, приложим в практиката на компаниите, е необходимо допълнително усложняване на системата и въвеждане на нови параметри. Например Базикин в книгата си дава пример за динамиката на две мутуалистични популации с въвеждането на допълнителен фактор на вътрешноспецифична конкуренция. Поради което системата приема формата:

(1.15)

И в този случай се появява ненулева стабилна позиция на системата, отделена от нулата чрез „седло“, което я доближава до реалната картина на случващото се.

2. Взаимодействие на фирмите в условията на протокооперация

Цялата основна теоретична информация беше представена в предишната глава, така че при анализа на моделите, разгледани в тази глава, в по-голямата си част теорията ще бъде пропусната, с изключение на няколко точки, които не срещнахме в предишната глава и може да има и намаление на изчисленията. Моделът на взаимодействие между организациите, разглеждан в тази глава при условия на протокооперация, който се състои от системи от две уравнения, базирани на модела на Малтус, изглежда като система (1.5). Анализираните в предходната глава системи показаха, че за максималното им доближаване до съществуващите модели е необходимо системите да се усложнят. Въз основа на тези констатации незабавно ще добавим ограничение на растежа към модела. За разлика от предишния тип взаимодействие, когато растежът, който не зависи от друга компания, е отрицателен, в този случай всички признаци са положителни, което означава, че имаме постоянен растеж. Избягвайки недостатъците, описани по-рано, ще се опитаме да го ограничим до логистичното уравнение, известно още като уравнението на Verhulst (Gershenfeld, 1999), което има следната форма:

, (2.1)

където P е размерът на популацията, r е параметърът, показващ скоростта на растеж, K е параметърът, отговорен за максималния възможен размер на популацията. Това означава, че с течение на времето размерът на популацията (в нашия случай производството) ще клони към определен параметър K.

Това уравнение ще помогне за ограничаване на необуздания растеж на продукцията, който сме виждали досега. Така системата приема следната форма:

(2.2)

Не забравяйте, че обемът на стоките, съхранявани в склада за всяка компания е различен, така че параметрите, които ограничават растежа, са различни. Нека наречем тази система "" и в бъдеще ще използваме това име, когато го обмисляме.

Втората система, която ще разгледаме, е по-нататъшното развитие на модела с ограничението на Verhulst. Както в предишната глава, въвеждаме ограничение за насищане, тогава системата ще приеме формата:

(2.3)

Сега всеки от термините има своя граница, така че без допълнителен анализ може да се види, че няма да има неограничен растеж, както в моделите от предишната глава. И тъй като всеки от условията показва положителен растеж, тогава количеството на продукцията няма да падне до нула. Нека наречем този модел „модел на протооперация с две ограничения“.

Тези два модела се обсъждат в различни източници за биологични популации. Сега ще се опитаме да разширим донякъде системите. За да направите това, разгледайте следната фигура.

Фигурата показва пример за процесите на две компании: стоманодобивната и въглищната промишленост. И в двете предприятия има увеличение на производството, което е независимо от другото, а също така има увеличение на производството, което се получава поради тяхното взаимодействие. Вече сме взели предвид това в по-ранните модели. Сега си струва да се обърне внимание на факта, че компаниите не само произвеждат продукти, но и ги продават, например, на пазара или на компания, взаимодействаща с него. Тези. Въз основа на логически заключения има нужда от отрицателен растеж на компаниите поради продажбата на продукти (на фигурата параметрите β1 и β2 са отговорни за това), както и поради прехвърлянето на част от продуктите към друго предприятие . Преди това взехме предвид това само с положителен знак за друга компания, но не взехме предвид факта, че броят на продуктите намалява за първото предприятие при прехвърляне на продукти. В този случай получаваме системата:

(2.4)

И ако може да се каже за термина, че ако в предишните модели е посочено, че , характеризира естествения прираст и параметърът може да бъде отрицателен, тогава практически няма разлика, тогава относно термина това не може да се каже. Освен това, в бъдеще, когато се разглежда такава система с наложено ограничение върху нея, е по-правилно да се използват условията на положителен и отрицателен растеж, тъй като в този случай могат да бъдат наложени различни ограничения върху тях, което е невъзможно за естественото растеж. Нека го наречем „разширен модел на прото-кооперация“.

И накрая, четвъртият разглеждан модел е разширеният модел на прото-сътрудничество с по-горе споменатото логистично ограничение на растежа. И системата за този модел е следната:

, (2.5)

където е увеличението на производството на първото предприятие, независимо от второто, като се вземе предвид логистичното ограничение, - увеличението на производството на първото предприятие, в зависимост от второто, като се вземе предвид логистичното ограничение, - увеличението на производството на второто предприятие, независимо от първото, като се вземе предвид логистичното ограничение, - увеличаване на производството на втората компания, в зависимост от първата, като се вземе предвид логистичното ограничение, - потребление на стоките на първата компания, несвързани с друга, - потребление на стоки на втората компания, несвързани с друга , - потребление на стоки от първата индустрия от втората индустрия, - потребление на стоки от втората индустрия първа индустрия.

В бъдеще този модел ще бъде наричан „разширен протооперационен модел с логистично ограничение“.

1 Устойчивост на системите в първо приближение

Протооперационен модел с ограничение на Verhulst

Методите за анализиране на стабилността на системата бяха посочени в подобен раздел на предишната глава. Първо, намираме равновесни точки. Едно от тях, както винаги, е нула. Другото е точка с координати.

За нулевата точка λ1 = , λ2 = , тъй като и двата параметъра са неотрицателни, получаваме нестабилен възел.

Тъй като не е много удобно да се работи с втората точка, поради липсата на възможност за съкращаване на израза, ще оставим дефиницията на типа стабилност на фазовите диаграми, тъй като те ясно показват дали равновесната точка е стабилна или не.

Анализът на тази система е по-сложен от предишния поради факта, че се добавя факторът на насищане, като по този начин се появяват нови параметри и при намиране на равновесни точки ще е необходимо да се реши не линейно, а билинейно уравнение поради променливата в знаменателя. Следователно, както в предишния случай, оставяме дефиницията на типа стабилност на фазовите диаграми.

Въпреки появата на нови параметри, якобианът в нулевата точка, както и корените на характеристичното уравнение изглеждат подобно на предишния модел. По този начин, в нулевата точка, нестабилен възел.

Нека да преминем към напредналите модели. Първият от тях не съдържа никакви ограничения и е под формата на система (2.4)

Нека направим промяна на променливите, , и . Нова система:

(2.6)

В този случай получаваме две точки на равновесие, точка A(0,0), B(). Точка B се намира в първата четвърт, тъй като променливите имат неотрицателна стойност.

За точката на равновесие А получаваме:

. - нестабилен възел

. - седло,

. - седло,

. - стабилен възел

В точка B корените на характеристичното уравнение са комплексни числа: λ1 = , λ2 = . Не можем да определим типа стабилност, разчитайки на теоремите на Ляпунов, така че ще извършим числени симулации, които няма да покажат всички възможни състояния, но ще ни позволят да открием поне някои от тях.

Фигура 2.2. Числено симулиране на търсенето на типа устойчивост

Като се има предвид този модел, човек ще трябва да се сблъска с изчислителни трудности, тъй като има голям брой различни параметри, както и две ограничения.

Без да навлизаме в подробности за изчисленията, стигаме до следните точки на равновесие. Точка A(0,0) и точка B със следните координати:

(), където a =

За точка А определянето на типа устойчивост е тривиална задача. Корените на характеристичното уравнение са λ1 = , λ2 = . Така получаваме четири варианта:

1. λ1 > 0, λ2 > 0 - нестабилен възел.

2.λ1< 0, λ2 >0 - седло.

3. λ1 ​​​​> 0, λ2< 0 - седло.

4.λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

Говорейки за точка Б, струва си да се съгласим, че заместването на съкращения в израза за него ще усложни работата с Якобиан и намирането на корените на характеристичното уравнение. Например, след като се опитах да ги намеря с помощта на изчислителни инструменти WolframAlpha, изходът на корените отне около пет реда, което не позволява работа с тях в буквален смисъл. Разбира се, ако вече има съществуващи параметри, изглежда възможно бързо да се намери точка на равновесие, но това е специален случай, тъй като ние ще намерим състоянието на равновесие, ако има такова, само за тези параметри, което не е подходящо за решение поддържаща система, за която се планира да бъде създаден моделът.

Поради сложността на работата с корените на характеристичното уравнение, ние конструираме взаимното разположение на нулевите изоклини по аналогия със системата, анализирана в работата на Базикин (Базикин, 2003). Това ще ни позволи да разгледаме възможните състояния на системата и в бъдеще, когато конструираме фазови портрети, да намерим точки на равновесие и видове тяхната стабилност.

След някои изчисления нулевите изоклинни уравнения приемат следната форма:

(2.7)

Така изоклините имат формата на параболи.

Фигура 2.3. Възможно нулево изоклинно местоположение

Общо има четири възможни случая на тяхното взаимно подреждане по брой общи точкимежду параболите. Всеки от тях има свои собствени набори от параметри, а оттам и фазовите портрети на системата.

2 Фазови портрети на системи

Нека изградим фазов портрет на системата, при условие че а останалите параметри са равни на 1. В този случай един набор от променливи е достатъчен, тъй като качеството няма да се промени.

Както може да се види от фигурите по-долу, нулевата точка е нестабилен възел, а втората точка, ако заместим числените стойности на параметрите, получаваме (-1.5, -1.5) - седло.

Фигура 2.4. Фазов портрет за системата (2.2)

По този начин, тъй като не трябва да настъпват промени, тогава за тази система има само нестабилни състояния, което най-вероятно се дължи на възможността за неограничен растеж.

Протооперационен модел с две ограничения.

В тази система има допълнителен ограничаващ фактор, така че фазовите диаграми трябва да се различават от предишния случай, както може да се види на фигурата. Нулевата точка също е нестабилен възел, но в тази система се появява стабилна позиция, а именно стабилен възел. С тези параметри, неговите координати (5.5,5.5), е показано на фигурата.

Фигура 2.5. Фазов портрет за системата (2.3)

По този начин ограничението на всеки термин направи възможно получаването на стабилна позиция на системата.

Разширен протооперационен модел.

Нека изградим фазови портрети за разширения модел, но веднага използвайки неговата модифицирана форма:

Нека разгледаме четири набора от параметри, като например да разгледаме всички случаи с нулева равновесна точка, а също и да демонстрираме фазовите диаграми на числената симулация, използвана за ненулева равновесна точка: множеството A(1,0.5,0.5) съответства на държавата , набор B(1,0.5,-0.5) съответства на задайте C(-1.0.5,0.5) и задайте D(-1.0.5,-0.5) , тоест стабилен възел в нулевата точка. Първите два комплекта ще демонстрират фазовите портрети за параметрите, които разгледахме в числената симулация.

Фигура 2.6. Фазов портрет за система (2.4) с параметри А-D.

На фигурите е необходимо да се обърне внимание на точките (-1,2) и (1,-2), съответно, в тях се появява „седло“. За по-подробно представяне фигурата показва различен мащаб на фигурата със седлова точка (1,-2). На фигурата в точки (1,2) и (-1,-2) се вижда стабилен център. Що се отнася до нулевата точка, започвайки от фигура на фигура на фазовите диаграми, можем ясно да различим нестабилен възел, седло, седло и стабилен възел.

Разширен модел на прото-сътрудничество с логистично ограничение.

Както в предишния модел, ще демонстрираме фазови портрети за четири случая на нулева точка и ще се опитаме да отбележим ненулеви решения в тези диаграми. За да направите това, вземете следните набори от параметри с параметрите, посочени в следния ред (): A (2,1,2,1), B (2,1,1,2), C (1,2,2 ,1) и D (1,2,1,2). Останалите параметри за всички комплекти ще бъдат както следва: , .

На фигурите, представени по-долу, могат да се наблюдават четирите равновесни състояния на нулевата точка, описани в предишния раздел за тази динамична система. А също и на фигурите, стабилната позиция на точка с една ненулева координата.

Фигура 2.7. Фазов портрет за система (2.5) с параметри A-B

3 Интегрални траектории на системи

Протооперационен модел с ограничение на Verhulst

Както в предишната глава, ние решаваме всяко от диференциалните уравнения поотделно и изрично изразяваме зависимостта на променливите от времевия параметър.

(2.8)

(2.9)

От получените уравнения се вижда, че стойността на всяка от променливите нараства, което е демонстрирано в триизмерния модел по-долу.

Фигура 2.8. Триизмерен модел за уравнение (2.8)

Този тип графика първоначално прилича на ненаситения 3D малтусиански модел, обсъден в глава 1, тъй като има подобен бърз растеж, но по-късно можете да видите намаляване на скоростта на растеж, когато се достигне ограничението на изхода. Така финалът външен видинтегралните криви е подобна на графиката на логистичното уравнение, което беше използвано за ограничаване на един от членовете.

Протооперационен модел с две ограничения.

Решаваме всяко от уравненията с помощта на инструментите на Wolfram Alpha. Така зависимостта на функцията x(t) се свежда до следния вид:

(2.10)

За втората функция ситуацията е подобна, затова пропускаме нейното решение. Числените стойности се появяват поради замяната на параметрите с определени подходящи стойности, което не влияе върху качественото поведение на интегралните криви. Графиките по-долу показват използването на ограничения върху растежа, тъй като експоненциалният растеж става логаритмичен с течение на времето.

Фигура 2.9. Триизмерен модел за уравнение (2.10)

Разширен протооперационен модел

Почти подобно на моделите с мутуализъм. Единствената разлика е в по-бързия растеж спрямо тези модели, което може да се види от уравненията по-долу (ако погледнете степента на степента) и графиките. Интегралната крива трябва да има формата на експонента.

(2.11)

(2.12)

Разширен модел на прото-сътрудничество с логистично ограничение

Зависимостта x(t) изглежда така:

Без графика е трудно да се оцени поведението на функцията, така че с помощта на вече познатите ни инструменти ще я изградим.

Фигура 2.10 3D модел за уравнение

Стойността на функцията намалява за не-малки стойности на друга променлива, което се дължи на липсата на ограничения върху отрицателния билинеен термин и е очевиден резултат

4 Системна динамика на взаимодействащи компании

Протооперационен модел с ограничение на Verhulst.

Нека построим система (2.2). Използвайки вече познатите ни инструменти, изграждаме симулационен модел. Този път, за разлика от мутуалистичните модели, моделът ще има логистично ограничение.

Фигура 2.11. Системен динамичен модел за система (2.2)

Нека стартираме модела. В този модел си струва да се отбележи фактът, че растежът от връзката не е ограничен от нищо, а растежът на продукцията без влиянието на другия има специфично ограничение. Ако погледнете израза на самата логистична функция, можете да видите, че в случай, че променливата (брой стоки) надвишава максималния възможен обем на съхранение, терминът става отрицателен. В случай, че има само логистична функция, това е невъзможно, но с допълнителен винаги положителен растежен фактор е възможно. И сега е важно да се разбере, че логистичната функция ще се справи със ситуацията на не твърде бърз растеж на броя на продуктите, например линейни. Нека да разгледаме снимките по-долу.

Фигура 2.12. Пример за работа на системния динамичен модел за система (2.2)

Лявата фигура показва 5-та стъпка от програмата, съответстваща на предложения модел. Но в момента си струва да се обърне внимание на правилната фигура.

Първо, за един от входящите потоци за Y_stock, връзката към x, изразена чрез , е премахната. Това се прави, за да се покаже разликата в представянето на модела с линеен винаги положителен поток и билинеен растеж, който е представен за X_stock. При линейни неограничени потоци, след превишаване на параметъра K, системата в даден момент достига до равновесие (в този модел равновесното състояние е 200 хиляди единици стоки). Но много по-рано билинеарният растеж води до рязко увеличаване на количеството стоки, преминавайки в безкрайност. Ако оставим и десния, и левия постоянно положителни потоци билинеарни, тогава вече на около 20-30 стъпки стойността на акумулатора достига до разлика от две безкрайности.

Въз основа на горното е безопасно да се каже, че в случай на по-нататъшно използване на такива модели е необходимо да се ограничи всеки положителен растеж.

Протооперационен модел с две ограничения.

След като установихме недостатъците на предишния модел и въведохме ограничение на втория член чрез фактора на насищане, ще изградим и стартираме нов модел.

Фигура 2.13. Модел на динамиката на системата и пример за нейната работа за система (2.3)

Този модел в крайна сметка носи дългоочакваните резултати. Оказа се, че ограничава растежа на акумулаторните стойности. Както може да се види от дясната фигура, и за двете предприятия равновесието се достига с лек излишък на складов обем.

Разширен протооперационен модел.

При разглеждане на системната динамика на този модел ще бъдат демонстрирани възможностите на софтуерната среда AnyLogic за цветна визуализация на модели. Всички предишни модели са изградени само с елементи на системната динамика. Следователно самите модели изглеждаха ненатрапчиви, не позволяваха проследяване на динамиката на промените в количеството продукция във времето и промяна на параметрите, докато програмата работи. Когато работим с този и следващите модели, ще се опитаме да използваме по-широк набор от възможности на програмата, за да променим трите горни недостатъка.

Първо, в допълнение към раздела „системна динамика“, програмата съдържа и раздели „снимки“, „3D-обекти“, които позволяват разнообразяване на модела, което е полезно за по-нататъшното му представяне, тъй като прави модела изглеждат „по-приятни“.

Второ, за да проследите динамиката на промените в стойностите на модела, има раздел „статистика“, който ви позволява да добавяте диаграми и различни инструменти за събиране на данни, като ги свързвате с модела.

Трето, за промяна на параметри и други обекти по време на изпълнение на модела има раздел "контроли". Обектите в този раздел ви позволяват да променяте параметри, докато моделът работи (например „плъзгач“), да избирате различни състояния на обекта (например „превключване“) и да извършвате други действия, които променят първоначално зададените данни по време на работа .

Моделът е подходящ за преподаване на запознаване с динамиката на промените в производството на предприятията, но липсата на ограничения за растеж не позволява използването му на практика.

Разширен модел на прото-сътрудничество с логистично ограничение.

Използвайки вече подготвения предишен модел, ще добавим параметри от логистичното уравнение, за да ограничим растежа.

Пропускаме конструкцията на модела, тъй като предишните пет модела, представени в работата, вече са демонстрирали всички необходими инструментии принципите на работа с тях. Заслужава да се отбележи само, че поведението му е подобно на модела на прото-сътрудничество с ограничението на Verhulst. Тези. липсата на наситеност възпрепятства практическото му приложение.

След като анализираме моделите от гледна точка на прото-кооперация, ние дефинираме няколко основни момента:

Моделите, разгледани в тази глава на практика, са по-подходящи от мутуалистичните, тъй като имат ненулеви стабилни равновесни позиции дори при два члена. Нека ви напомня, че в моделите на мутуализъм успяхме да постигнем това само чрез добавяне на трети член.

Подходящите модели трябва да имат ограничения за всеки от членовете, тъй като в противен случай рязкото увеличение на билинейните фактори "унищожава" целия симулационен модел.

Въз основа на точка 2, при добавяне на протооперация с ограничение на Verhulst на фактора на насищане към разширения модел, както и добавяне на по-ниско критично количество производство, моделът трябва да стане възможно най-близък до реалното състояние на нещата. Но не забравяйте, че подобни манипулации на системата ще усложнят нейния анализ.

Заключение

В резултат на изследването е направен анализ на шест системи, които описват динамиката на производството на предприятия, които взаимно си влияят. В резултат на това се определят точките на равновесие и видовете на тяхната устойчивост по един от следните начини: аналитично или благодарение на построените фазови портрети в случаите, когато аналитичното решение не е възможно по някаква причина. За всяка от системите са изградени фазови диаграми, както и изградени тримерни модели, върху които при проектиране е възможно да се получат интегрални криви в равнините (x, t), (y, t). След това, използвайки средата за моделиране AnyLogic, всички модели бяха построени и техните опции за поведение бяха разгледани при определени параметри.

След анализ на системите и изграждане на техните симулационни модели, става очевидно, че тези модели могат да се разглеждат само като обучение или за описание на макроскопични системи, но не и като система за подпомагане на вземането на решения за отделни компании, поради тяхната ниска точност и на места не съвсем надеждно представяне на протичащите процеси. Но също така не забравяйте, че колкото и вярна да е динамичната система, описваща модела, всяка компания / организация / индустрия има свои собствени процеси и ограничения, така че не е възможно да се създаде и опише общ модел. Във всеки конкретен случай той ще бъде модифициран: да стане по-сложен или, напротив, да бъде опростен за по-нататъшна работа.

Правейки заключение от заключенията за всяка глава, струва си да се съсредоточим върху разкрития факт, че въвеждането на ограничения върху всеки от членовете на уравнението, въпреки че усложнява системата, но също така ви позволява да откриете стабилни позиции на системата, както и да го доближи до случващото се в реалността. И заслужава да се отбележи, че моделите на прото-сътрудничество са по-подходящи за изследване, тъй като имат ненулеви стабилни позиции, за разлика от двата модела на взаимно сътрудничество, които разгледахме.

Така целта на това изследване беше постигната, а задачите – изпълнени. В бъдеще, като продължение на тази работа, ще бъде разгледан разширен модел на взаимодействие на типа протооперация с три въведени ограничения върху него: логистика, фактор на насищане, по-нисък критичен номер, което трябва да позволи създаването на по-точна модел за система за подпомагане на вземането на решения, както и модел с три компании. Като продължение на работата можем да разгледаме два други вида взаимодействие освен симбиозата, които бяха споменати в работата.

Литература

1. Бхатия Нам Паршад; Szegh Giorgio P. (2002). Теория на устойчивостта на динамичните системи. Спрингър.

2. Бланчард П.; Devaney, R.L.; Хол, Г. Р. (2006). Диференциални уравнения. Лондон: Томпсън. стр. 96-111.

Boeing, G. (2016). Визуален анализ на нелинейни динамични системи: хаос, фрактали, самоподобие и граници на прогнозиране. системи. 4(4):37.

4. Кембъл, Дейвид К. (2004). Нелинейна физика: Свеж дъх. Природата. 432 (7016): 455-456.

Елтън К.С. (1968) препечатка. животинска екология. Великобритания: William Clowes and Sons Ltd.

7. Форестър Джей У. (1961). Индустриална динамика. MIT Press.

8. Гандолфо, Джанкарло (1996). Икономическа динамика (трето издание). Берлин: Springer. стр. 407-428.

9. Гершенфелд Нийл А. (1999). Природата на математическото моделиране. Кеймбридж, Великобритания: Cambridge University Press.

10 Гудман М. (1989). Учебни бележки по системна динамика. Пегас.

Grebogi C, Ott E и Yorke J. (1987). Хаос, странни атрактори и граници на фрактален басейн в нелинейната динамика. Science 238 (4827), стр. 632-638.

12 Hairer Ernst; Nørsett Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Решаване на обикновени диференциални уравнения I: Нетвърди проблеми, Берлин, Ню Йорк

Хански И. (1999) Метапопулационна екология. Oxford University Press, Оксфорд, стр. 43-46.

Хюз-Халет Дебора; Маккалъм, Уилям Г.; Глийсън, Андрю М. (2013). Смятане: единични и многовариантни (6 изд.). Джон Уайли.

15. Llibre J., Valls C. (2007). Глобални аналитични първи интеграли за реалната равнинна система на Лотка-Волтера, J. ​​Math. Phys.

16. Джордан Д.У.; Смит П. (2007). Нелинейни обикновени диференциални уравнения: Въведение за учени и инженери (4-то издание). Oxford University Press.

Халил Хасан К. (2001). нелинейни системи. Прентис Хол.

Университет Ламар, Онлайн бележки по математика - Фазова равнина, П. Докинс.

Университет Ламар, Онлайн бележки по математика - Системи от диференциални уравнения, П. Докинс.

Ланг Серж (1972). Диференциални колектори. Рединг, Масачузетс-Лондон-Дон Милс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.

Закон Аверил М. (2006). Симулационно моделиране и анализ със софтуер Expertfit. McGraw-Hill Science.

Лазард Д. (2009). Тридесет години решаване на полиномиална система, а сега? Journal of Symbolic Computation. 44(3):222-231.

24 Луис Марк Д. (2000). Обещанието за подходи на динамични системи за интегрирано отчитане на човешкото развитие. развитие на детето. 71 (1): 36-43.

25. Малтус Т.Р. (1798). Есе за принципа на населението, преиздание на Oxford World's Classics, стр. 61, края на глава VII

26. Моркрофт Джон (2007). Стратегическо моделиране и бизнес динамика: подход към системите за обратна връзка. Джон Уайли и синове.

27. Нолте Д.Д. (2015), Въведение в съвременната динамика: хаос, мрежи, пространство и време, Oxford University Press.

1

Целта на изследването е да се разработи суперкомпютърно ориентиран логически метод (метод на булевите ограничения) и ориентирана към услуги технология за създаване и прилагане компютърна системаза качествено изследване на динамиката на поведението на траектории на автономни бинарни динамични системи на краен интервал от време. Актуалността на темата се потвърждава от непрекъснато нарастващия диапазон от приложения на бинарните модели в научните и приложни изследвания, както и от необходимостта от качествен анализ на такива модели с голяма векторна размерност на състоянието. Представени са математически модел на автономна двоична система на краен интервал от време и еквивалентно на тази система булево уравнение. Предлага се спецификацията на динамично свойство да бъде написана на езика на логиката на предикатите, като се използват ограничени екзистенциални и универсални квантори. Получени са булеви уравнения за търсене на равновесни състояния и цикли на двоична система и условия за тяхното изолиране. Уточняват се основните свойства на типа достижимост (достижимост, безопасност, едновременна достижимост, достижимост при фазови ограничения, привличане, свързаност, пълна достижимост). За всяко свойство неговият модел е изграден под формата на булево ограничение (булево уравнение или количествено определена булева формула), което удовлетворява логическата спецификация на свойството и уравненията на динамиката на системата. По този начин проверката на осъществимостта на различни свойства на поведението на траекториите на автономни двоични динамични системи за краен интервал от време се свежда до проблема за осъществимостта на булеви ограничения с помощта на съвременни SAT и TQBF решаващи програми. Даден е демонстрационен пример за използване на тази технология за тестване на осъществимостта на някои от предварително дадените свойства. В заключение са изброени основните предимства на метода на булево ограничение, характеристиките на неговата софтуерна реализация в рамките на ориентиран към услуги подход и са посочени насоките за по-нататъшно развитие на метода за други класове бинарни динамични системи.

двоична динамична система

динамична собственост

качествен анализ

булеви ограничения

булев проблем за удовлетворяване

1. Biere A., Ganesh V., Grohe M., Nordstrom J., Williams R. Теория и практика на решаване на SAT. Доклади на Dagstuhl. 2015.том. 5. бр. 4. Р. 98–122.

2. Марин П., Пулина Л., Джунчилия Е., Нарицано М., Тачела А. Дванадесет години QBF оценки: QSAT е труден за PSPACE и си личи. фондам. информирам. 2016.том. 149. Р. 133–58.

3. Боман Д., Постхоф Х. Двоични динамични системи. М.: Енергоатомиздат, 1986. 400 с.

4. Маслов С.Ю. Теорията на дедуктивните системи и нейното приложение. Москва: Радио и комуникация, 1986. 133 с.

5. Jhala R., Majumdar R. Проверка на софтуерен модел. ACM Computing Surveys. 2009.том. 41 бр. 4 Р. 21:1–21:54.

6. Василиев С.Н. Редукционен метод и качествен анализ на динамични системи. I–II // Известия RAN. Теория и системи за управление. 2006. № 1. С. 21–29. № 2, стр. 5–17.

7. DIMACS формат [Електронен ресурс]. Режим на достъп: http://www.cs.utexas.edu/users/moore/acl2/manuals/current/manual/index-seo.php/SATLINK____DIMACS (достъп 24.07.2018 г.).

8. Стандарт QDIMACS [Електронен ресурс]. Режим на достъп: http://qbflib.org/qdimacs.html (посетен на 24.07.2018 г.).

9. Delgado-Eckert E., Reger J., Schmidt K. Дискретни времеви системи с динамика, базирана на събития: Последни разработки в методите за анализ и синтез. Марио Алберто Джордан (ред.). Системи с дискретно време. интех. 2011. Р. 447–476.

10. Василиев С.Н. Достъпност и свързаност в автоматизирана мрежа с общо правилопревключване на състоянието // Диференциални уравнения. 2002. Т. 38. № 11. С. 1533–1539.

11. Бичков И.В., Опарин Г.А., Богданова В.Г., Горски С.А., Пашинин А.А. Мултиагентна технология за автоматизиране на паралелното решение на булеви уравнения в разпределена изчислителна среда // Изчислителни технологии. 2016. Т. 21. № 3. С. 5–17.

12. Lonsing F., Biere A. DepQBF. Отчитащ зависимостта QBF решаващ инструмент. Журнал за задоволимост. Булево моделиране и изчисления. 2010. кн. 9. Р. 71–76.

13. Опарин Г.А., Богданова В.Г., Пашинин А.А., Горски С.А. Разпределени решения за приложни проблеми, базирани на микроуслуги и агентски мрежи. Proc. От 41-ви Междунар. Конвенция за информационни и комуникационни технологии, електроника и микроелектроника (MIPRO-2018). Р. 1643–1648.

14. Богданова В.Г., Горски С.А. Мащабируемо паралелно решаване на проблеми с булево удовлетворяване. Proc. От 41-ви Междунар. Конвенция за информационните и комуникационни технологии. Електроника и микроелектроника (МИПРО-2018). Р. 244–249.

15. Бичков И.В., Опарин Г.А., Богданова В.Г., Пашинин А.А. Технологията за приложно решаване на проблеми, базирана на модел на разпределена изчислителна предметна област: децентрализиран подход // Parallel Computing Technologies XII Международна конференция, PaVT’2018, Ростов на Дон, 2–6 април 2018 г. Кратки статии и описания на постери. Челябинск: Издателски център на SUSU, 2018. С. 34–48.

Обхватът на приложения на бинарните динамични модели е изключително широк и всяка година броят на обектите и задачите, при които е необходимо тяхното използване, само се увеличава. Класически пример е двоичен синхронен автомат, който е модел на много дискретни устройства в системите за управление, компютърната техника, телемеханиката. Съвременните приложения на бинарните динамични модели включват проблемите на биоинформатиката, икономиката, социологията и редица други области, които изглеждат далеч от използването на двузначни променливи. В това отношение значението на разработването на нови и подобряването съществуващи методикачествен анализ на поведението на траекториите на бинарни динамични системи (DDS).

Както е известно, целта на качествения анализ на динамична система (не само двоична) е да се получи положителен или отрицателен отговор на въпроса: Запазено ли е изискваното динамично свойство в дадена система? Нека преформулираме този въпрос по следния начин: поведението на траекториите на динамична система удовлетворява ли определен набор от ограничения, които характеризират свойството? Освен това ще използваме тази интерпретация на целта на качествен анализ на динамичните свойства на системата.

За DDS, чиято работа се разглежда на краен интервал от време, такива ограничения са булеви и са написани на езика на булеви уравнения или булеви формули с квантори. Първият тип ограничения води до необходимостта от решаване на проблема SAT (булев проблем за удовлетворяване); вторият тип ограничения е свързан с решението на проблема TQBF (проверка на истинността на количествено определени булеви формули). Първият проблем е типичен представител на класа на сложност NP, а вторият проблем е класът на сложност PSPACE. Както е известно, PSPACE-пълнотата на дискретен проблем дава по-силно доказателство за неговата неразрешимост, отколкото NP-пълнотата. Поради това намаляването на проблема за качествения анализ на DDS до проблема SAT е по-предпочитано от намаляването до проблема TQBF. В общия случай изследването на не всяко свойство на DDS може да бъде представено на езика на булевите уравнения.

Теоретичната възможност за използване на булеви ограничения (а именно булеви уравнения) в качествения анализ на DDS беше демонстрирана за първи път през. Все пак трябва да се отбележи, че прилагането на този подход на практика по това време беше ограничено от липсата на ефективни алгоритми и програми за решаване на булеви уравнения (особено с голям брой неизвестни променливи), което значително би намалило пространството за търсене. През последното десетилетие, в резултат на интензивни изследвания в тази област, се появиха достатъчен брой различни ефективни програми за решаване на булеви уравнения (SAT решаващи), които използват съвременни постижения (нови евристики, бързи структури от данни, паралелни изчисления и др.) при решаването на проблемът за булева задоволимост. Подобни процеси (но с известно закъснение) се наблюдават и в областта на създаването на все по-ефективни алгоритми и програми за решаване на проблема TQBF. По този начин към днешна дата са налице всички необходими предпоставки за системното развитие на метода на булевите ограничения в качествения анализ на DDS, неговата софтуерна реализация и приложение при решаване на научни и приложни проблеми.

В допълнение към метода на булево ограничение, други методи за качествен анализ също са приложими към DDS, които включват дедуктивен анализ, проверка на модела и метода на редукция. Всеки от тези методи (включително метода на булево ограничение) има своите ограничения, предимства и недостатъци. Общ недостатък е, че всички методи са изброяващи по природа и проблемът с намаляването на изброяването е основен за тези методи.

Значението на дедуктивния анализ, който включва прилагането на аксиоми и правила за извод за доказване на правилното функциониране на дадена система, се признава от широк кръг специалисти, но това е трудоемък и следователно рядко използван метод. В метода за проверка на модела необходимият език за спецификация на свойствата използва езика на темпоралната логика, което е необичайно за специалистите в динамиката на автоматите. Методът на редукция е свързан с изграждането на опростен (в известен смисъл) модел на оригиналната система, изследването на нейните свойства и условията за прехвърляне на тези свойства към оригиналната сложна система. Условията за прехвърляемост на имотите са достатъчни само в този случай. Простотата на идеята за метода на редукция при качествения анализ на DDS е изправена пред проблема с избора на опростена система, която да отговаря на всички условия на метода.

Практическото използване на метода на булево ограничение включва алгоритмизиране и автоматизиране на следните процеси:

1) разработване на логически език за спецификация на динамични свойства, фокусиран върху специалист по системна динамика;

2) изграждане на модел на динамично свойство под формата на булево ограничение от един или друг тип, което удовлетворява логическата спецификация на свойството и уравненията на динамиката на двоична система;

3) представяне на получения модел в международния формат DIMACS или QDIMACS;

4) избор (разработване) на ефективен паралелен (разпределен) решаващ проблем за изпълнимостта на булеви ограничения (SAT или TQBF решаващ);

5) разработване на инструменти за създаване на софтуерни услуги;

6) разработване на услуги за качествено изследване на различни динамични свойства на DDS.

целна настоящото изследване е решението само на първите два проблема във връзка с алгоритмизирането на качествени изследвания на автономни (без контролни входове) синхронни DDS. Такива системи в англоезични публикации се наричат ​​синхронни булеви мрежи (Boolean network). Други аспекти на прилагане на метода на булево ограничение (включително за DDS с контролни входове) са предмет на следващите публикации.

Математически модел на автономна DDS

Нека X = Bn (B = (0, 1) е множеството от двоични вектори с размерност n (пространството на състоянията на DDS). Нека t∈T = (1,…,k) обозначава дискретното време (номер на цикъл).

За всяко състояние x0∈X, наречено начално състояние, дефинираме траекторията x(t, x0) като крайна последователност от състояния x0, x1,…, xk от множеството X. Освен това ще разгледаме DDS, в която всяка двойка на съседни състояния xt, x(t - 1) (t∈T) траекториите са свързани с връзката

xt = F(xt - 1). (един)

Тук F:X>X е векторна функция на логическата алгебра, наречена преходна функция. По този начин, за всеки x0∈X, системата от булеви уравнения (1) представлява модел на динамиката на поведението на DDS траекториите в пространството на състоянията X на краен времеви интервал T = (1, 2,…,k). Тук и по-долу стойността k в дефиницията на множеството T се приема за предварително определена константа. Това ограничение е съвсем естествено. Въпросът е, че при качествен анализ на поведението на DDS траекториите, въпросът какво може да се каже за осъществимостта на някакво динамично свойство за фиксирано, не твърде голямо k, е от практически интерес. Изборът на стойността на k във всеки конкретен случай се основава на априорна информация за продължителността на процесите в симулираната дискретна система.

Известно е, че системата от булеви уравнения (1) с начално състояние x0∈X за T = (1, 2,…,k) е еквивалентна на едно булево уравнение от вида

За k = 1 (разглеждат се само едностъпкови преходи), уравнение (2) приема формата

(3)

Решенията на това уравнение дефинират насочен граф, състоящ се от 2n върха, маркирани с едно от 2n състояния на множеството X. Върховете x0 и x1 на графиката са свързани с дъга, насочена от състояние x0 към състояние x1. Такава графика в теорията на двоичните автомати се нарича диаграма на преход. Представянето на поведението на DDS под формата на преходна диаграма е много ясно както при конструиране на траектории, така и при изучаване на техните свойства, но е практически осъществимо само за малки размери n на вектора на състоянието x∈X.

Езикови средства за специфициране на динамични свойства

Най-удобно е спецификацията на динамично свойство да се зададе на езика на формалната логика. Следвайки статията, ние означаваме с X0∈X, X1∈X, X*∈X множествата от начални, допустими и целеви състояния.

Основните синтактични елементи на логическата формула на динамичното свойство са: 1) предметни променливи (компоненти на векторите x0, x1,…, xk, време t); 2) ограничени квантори на съществуване и универсалност; 3) логически съединители v, &; крайни формули. Последната формула представлява твърдението, че някои състояния на набора от траектории x(t, x0) (x0∈X0) принадлежат на множествата за оценка X* и X1.

Трябва да се отбележи, че използването на ограничени екзистенциални и универсални квантори осигурява начин за записване на динамично свойство, което е познато на специалист по динамика. В процеса на конструиране на булев модел, свойствата на системата (1) се заменят от ограничени квантори с обикновени, съгласно следните определения:

където A(y) е предикат, който ограничава стойността на променливата y.

Поради ограничеността на обхвата на променливата t, ограничените квантори на съществуване и универсалност по отношение на тази променлива се заменят с еквивалентни формули, които не съдържат квантори

По-нататък ще приемем, че елементите на множествата X0, X1, X* се определят съответно от нулите на следните булеви уравнения

или характерни функции на тези множества , .

Като вземем предвид ограничението за началните състояния G0(x) = 0, заедно с уравнения (2, 3), ще използваме следните булеви уравнения, за да съкратим нотацията:

(4)

Предварителен качествен анализ на автономна DDS

На етапа на предварителния анализ може да се разкрие (ако е необходимо) разклонението на състоянието (съвкупността от неговите непосредствени предшественици), наличието на равновесни състояния и затворени траектории (цикли).

Състоянието x1 в (3) ще се нарича наследник на състоянието x0, а x0 предшественик на състоянието x1. В автономна DDS всяко състояние има само един наследник и броят на предшествениците на дадено състояние може да варира от нула до 2n - 1. Всички непосредствени предшественици x0 на състояние s∈X са нули на булевото уравнение

Ако уравнение (6) няма решения, тогава няма предшественици на състоянието s.

Равновесните състояния (ако съществуват) са решения на булевото уравнение

Траекторията x0, x1,…, xk се нарича цикъл с дължина k, ако състоянията x0, x1,…, xk-1 са по двойки различни едно от друго и xk = x0. Циклична последователност с дължина k (ако съществува) е решение на булевото уравнение

където = 0 ( ) - двойни условия за разлика за множеството от състояния C на цикъл с дължина k. Ако нито едно от състоянията на цикъла няма предшественици, които не принадлежат на множеството C, тогава такъв цикъл се нарича изолиран. Нека елементите s на множеството C се определят от решението на булевото уравнение Gc(s) = 0. Тогава е лесно да се покаже, че условието за изолация на цикъла е еквивалентно на липсата на нули в следното булево уравнение:

Решенията на уравнение (7) (ако съществуват) определят състоянията на цикъла, които имат предшественици, които не принадлежат към множеството C.

Тъй като равновесното състояние е цикъл с дължина k = 1, неговото условие за изолация е подобно на условието за изолация с k ≥ 2, с тази разлика, че Gc(s) има формата на пълна дизюнкция, която определя това равновесно състояние.

По-нататък неизолираните равновесни състояния и цикли ще се наричат ​​атрактори.

Спецификация на динамични свойства от тип достижимост

Основното свойство на DDS, необходимостта от проверка на което най-често възниква на практика, е свойството на достижимост, традиционно изучавано в теорията на графите (в нашия случай такава графика е преходна диаграма) и нейните различни варианти. Достижимостта се определя като класически проблем за анализ на поведението на DDS траектории.

Дефинирането на това свойство е свързано с присвояването на въведените по-рано набори X0, X*, X1 (съответстващи на тези набори от булеви уравнения). Приема се, че множествата X0, X*, X1 удовлетворяват ограничението

Тъй като множеството T е крайно, свойството на достижимост и неговите вариации ще бъдат допълнително разбирани като свойство на практическа достижимост (достижимост в краен брой цикли). Разглеждат се следните свойства на типа на достижимост:

1. Основното свойство на достижимост на набор X* от набор X0 се формулира по следния начин: всяка траектория, стартирана от набора от начални състояния X0, достига целевия набор X*. Използвайки ограничените екзистенциални и универсални квантори, формулата за това свойство е:

2. Свойството за сигурност гарантира, че за всяка траектория, стартирана от X0, множеството X* е недостижимо:

3. Свойство на едновременна достижимост. В някои случаи може да бъде зададено по-строго изискване, което се състои в това, че всяка траектория достига зададената цел за точно k цикъла (k∈T):

4. Свойство на достижимост при фазови ограничения:

Това свойство гарантира, че всички траектории, излъчени от набора X0, докато достигнат целевия набор X*, са в набора X1.

5. Свойство на привличане. Нека X* е атрактор. Тогава логическата формула на свойството привличане съвпада с формулата на основното свойство на достижимост:

тези. за всяка траектория, освободена от множеството X0, има време t∈T, започвайки от което траекторията не излиза извън множеството X*. Множеството X0 в този случай принадлежи към част от зоната на привличане на множеството X*(X0∈Xa, където Xа е пълната площ на привличане (пул) на атрактора).

Имайте предвид, че всички променливи в горните формули на свойствата са всъщност свързани, тъй като траекторията x0, x1,…, xk е напълно определена от първоначалното състояние. Тъй като кванторите по отношение на променливата t се заменят с операции на многоместна дизюнкция или конюнкция на съответните предикати, във всяка от формулите остава единичен ограничен универсален квантор (), което ни позволява да напишем условията за осъществимостта на тези свойства на езика на булевите уравнения (под формата на SAT проблем).

Представяме две свойства, проверката на които води до необходимостта от решаване на проблема TQBF.

6. Свойство за свързване на целевия набор:

тези. има начално състояние x0∈X0, така че всяко целево състояние x*⊆X* е постижимо в някакъв момент t∈T, което означава, че съществува траектория, съответстваща на това състояние, така че всички целеви състояния x*∈X* принадлежат към тази траектория.

7. Свойство за пълна достижимост на множество X* от X0:

тези. всяко целево състояние е достъпно от X0.

Проверка на осъществимостта на динамични свойства

За свойства (1-5) проверката на тяхната осъществимост се свежда до намиране на нулите на булевото уравнение, чиято технология на формиране има стандартизиран характер и се разглежда подробно само за основното свойство на постижимост. Свойства (6, 7) водят до проблема с проверката на истинността на количествено определена булева формула.

1. Основното свойство на достижимостта. Логическата му формула е

Като вземем предвид (4), записваме формула (8) като

където е характеристичната функция на множеството състояния на траекторията, освободена от началното състояние x0∈X0. Нека се отървем от екзистенциалния квантор в (9). Тогава ще имаме

където е характеристичната функция на множеството X*. Заменяме ограничените универсални квантори с обикновени квантори. В резултат на това получаваме

Формула (10) е вярна тогава и само ако изразът на подквантора е идентично верен, т.е.

Идентичната истинност на импликацията означава, че булевата функция е логическо следствие от функцията , т.е. всяка траектория с начално състояние x0∈X0 достига целевия набор X*.

Удовлетворяването на идентичността (11) е еквивалентно на липсата на нули в булевото уравнение

При извеждането на (12) се отървахме от импликацията и заменихме ϕ*(x0, x1,..., xk) с . Ако уравнение (12) има поне едно решение, тогава свойството за достижимост не е валидно. Такова решение представлява (в известен смисъл) контрапример за проверяваното свойство и може да помогне на изследователя да идентифицира причината за грешката.

Освен това, за краткост, за всяко свойство (2-4) изписваме само уравнение от тип (12), предлагайки на читателя самостоятелно да възпроизведе необходимите аргументи, близки до тези, дадени за основното свойство на достижимост.

2. Свойство за безопасност

3. Свойство на едновременна достижимост

4. Свойство на достижимост при фазови ограничения

5. Свойство на привличане. Осъществимостта на този имот се проверява на два етапа. На първия етап се установява дали множеството X* е атрактор. Ако отговорът е да, тогава основното свойство на достижимост се проверява на втория етап. Ако X* е достижимо от X0, тогава всички условия на свойството за привличане са изпълнени.

6. Свойство за свързаност

7. Свойство пълна достижимост`

За свойства (6, 7) скаларната форма на равенството на два булеви вектора xt = x* има формата

Нека демонстрираме горната технология за качествен анализ на автономни DDS, използвайки метода на булево ограничение, когато проверяваме осъществимостта на някои от горните свойства за модел 3.2 от работа:

Означаваме с x0∈X = B3 началното състояние на модела (13). Нека T = (1, 2). Нека напишем функциите на едноетапни и двуетапни преходи на модел (13), необходими за спецификацията на свойствата:

(14)

където знакът "." обозначава операцията на свързване.

За да се провери изпълнимостта на всяко свойство, се задават началните (X0) и целевите (X*) набори, които се определят от нулите на уравненията G0(x) = 0, G*(x) = 0 или от характеристиката функции на тези множества (вижте раздел 2). Като SAT решаващ инструмент се използва REBUS инструментален комплекс (IC), а TQBF решаването е DepQBF. Кодирането на променливите в булевите модели на свойствата, разгледани по-долу за тези решаващи програми, е дадено в таблица. 1, булеви модели на тези свойства във формати DIMACS и QDIMACS са разположени в таблица. 2.

маса 1

Променливо кодиране

Променливо число в булев модел

Имот 1

Имот 2

Имот 3

Имот 4

Имот 5

таблица 2

Булеви модели на свойства

Имот 1	Имот 2	Имот 3	Свойство 4 (A)	Имот 4 (B)	Имот 5
					д 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0

1. Основното свойство на достижимост (k = 2). Нека X0 = (x∈X: x1 = 0), X*=(x∈X: x1 = 1). Първоначалният и целевият набор се определят съответно от уравненията G0(x) = x1 = 0 и . Булевото уравнение (12) в този случай приема формата

където функцията ϕ(x0, x1, x2) е дефинирана в (14). Решавателят IR REBUS дава отговор "незаситен" (уравнението няма нули), като по този начин свойството за постижимост X* от X0 е удовлетворено, което ясно се вижда от следващата диаграма на прехода, показана на фигурата.

2. Цикли с дължина k = 2. Циклична последователност с дължина 2 (ако съществува) е решение на булевото уравнение

Функцията изглежда така

Изразът R(x0, x1) не е включен в уравнението, когато е намерен цикълът, тъй като в модел (13) няма цикли с дължина k = 1 (равновесни състояния). С помощта на програмата за решаване на IR REBUS бяха получени два отговора (в изходния формат DIMACS): 1 2 3 4 5 -6 0 и 1 2 -3 4 5 6 0, съответстващи на циклични последователности (фигура): ((1 1 1) , (1 1 0)) и ((1 1 0), (1 1 1)). Наборите от състояния на двата цикъла съвпадат, което означава, че модел (13) има един цикъл с дължина k = 2.

Диаграма на системния преход (13)

3. Свойството на изолация на цикъла. Ако елементите s на набора от състояния C на цикъл с дължина k = 2 се определят от решението на булевото уравнение Gc(s) = 0, тогава условието за изолация на цикъла е еквивалентно на липсата на нули в следното булево уравнение:

Тъй като C = ((1 1 1), (1 1 0)), имаме

За това уравнение програмата за решаване на IR REBUS намира две решения: -1 2 3 4 5 -6 0 и -1 2 -3 4 5 -6 0 (в двоично представяне, според кодирането на променливите в таблица 1, това са двойки на състояния (0 1 1), (1 1 0) и ((0 1 0), (1 1 0)) Така състоянието на цикъла (1 1 0) има два предшественика, (0 1 1) и (0 1 0), които не принадлежат към цикъла на набор от състояния. Това означава, че изолиращото свойство на цикъла не е изпълнено, т.е. този цикъл е атрактор.

4. Свойство на привличане. Нека X* = C е атрактор. Логическата формула на свойството привличане е същата като формулата на основното свойство на достижимост

и съответното булево уравнение за нашия случай има формата

Нека запишем функциите G0(x0), ϕ(x0, x1, x2) и . Функцията ϕ(x0, x1, x2) е дадена в (14). За X* = C изразът е . Разгледайте два варианта за задаване на набор от начални състояния X0, за случаите на изпълнение (A) и неизпълнение (B) на свойството на привличане за k = 2 цикъла.

А. Нека . Тогава

В този случай за булевото уравнение (15) отговорът е „незаситен“. Свойството на привличане за дадено множество X0 е изпълнено.

Б. Нека . Тогава

В този случай IR REBUS за уравнение (15) намира решение: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0, което съответства на траекторията ((1 0 1),(1 0 0),(0 1 1)) . Тази траектория с начално състояние x0 = (1 0 1) не достига множеството X* = C за два цикъла, което означава, че свойството на привличане не може да бъде изпълнено за даден X0.

5. Свойство за свързаност. Логическата формула на свойството за свързаност има формата на следното твърдение:

За k = 2 ϕ*(x0, x1, x2) = G0(x0)∨ϕ(x0, x1, x2), където функцията ϕ(x0, x1, x2) е дадена в (14). Нека изберем състоянието (1 0 1) като начално. Тогава . Нека целевият набор X* = ((0 1 1), (1 0 0)). В този случай функцията G*(x*) има формата

Нека запишем G*(x*) във формат CNF:

Използвайки закона на Де-Морган, намираме отрицанието на функцията ϕ*(x0, x1, x2). Замествайки всички получени функции в (16) и като вземем предвид кодирането на булевите променливи (Таблица 1), получаваме булев модел във формат QDIMACS (Таблица 2). Решавателят DepQBF дава отговора "sat", което означава истинността на твърдението (16). Свойството за свързаност за дадените X0, X*, T = (1, 2) е изпълнено.

Заключение

Основните предимства на метода на булево ограничение при качественото изследване на DDS включват:

1. Логическият език, използван от специалист по динамика на автоматите за определяне на динамично свойство чрез използването на квантори за ограничено съществуване и универсалност.

2. Въз основа на формулата на свойствата и динамичните уравнения автоматично се извършва конструирането на съответното булево уравнение или количествена булева формула.

3. Доста лесно е да се автоматизира процесът на преобразуване на получените булеви изрази в конюнктивна нормална форма с по-нататъшно генериране на файл във форматите DIMAX и QDIMAX, които са вход за SAT решаващи и QBF решаващи програми.

4. Проблемът с намаляването на изброяването е до известна степен решен от разработчиците на тези решаващи програми и е защитен от специалисти по качествен анализ на DDS.

5. Осигурена е възможност за решаване на проблема за качествен анализ на DDS за големи размери на вектора на състоянието n на достатъчно дълъг интервал от време T. По отношение на броя на състоянията, методът на булево ограничение е количествено съизмерим с проверката на модела метод. Поради факта, че през последните години се наблюдава значително увеличение на производителността на специализирани алгоритми за решаване на проблеми SAT и TQBF, общият брой променливи в модела на булевите свойства за съвременните решаващи програми може да бъде измерен в хиляди.

Софтуерът за качествен анализ на DDS, базиран на метода на булевите ограничения, е реализиран в рамките на ориентиран към услугата подход с помощта на специализирани решаващи средства на булеви уравнения. Документът представя пример за прилагане на метода на булево ограничение, базиран на ориентиран към услуги подход за търсене на цикли и равновесни състояния в генни регулаторни мрежи.

Трябва да се отбележи, че методът на булево ограничение е доста общ метод за качествен анализ на DDS за краен интервал от време. Приложимо е не само за автономни системи, но и за системи с управляващи входове, за системи с дълбочина на паметта, по-голяма от единица, за общи DDS, когато преходната функция е неразрешима по отношение на състоянието xt и има формата F(xt , xt-1) = 0. За DDS с входове свойството управляемост и неговите различни вариации са от особено значение. В допълнение към проблемите на DDS анализа, методът на булево ограничение е приложим към проблемите на синтеза на обратна връзка (статична или динамична, по състояние или по вход), които осигуряват изпълнението на изискваното динамично свойство в синтезираната система.

Изследването е подкрепено от Руската фондация за фундаментални изследвания, проект № 18-07-00596/18.

Библиографска връзка

Опарин Г.А., Богданова В.Г., Пашинин А.А. БУЛЕВИ ОГРАНИЧЕНИЯ В КАЧЕСТВЕНИЯ АНАЛИЗ НА ДВОИЧНИ ДИНАМИЧНИ СИСТЕМИ // Международно списание за приложни и фундаментални изследвания. - 2018. - № 9. - С. 19-29;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12381 (дата на достъп: 18.03.2020 г.). Предлагаме на Вашето внимание списанията, издавани от издателство "Естествонаучна академия"