Разглежда се метод за решаване на диференциални уравнения с разделими променливи. Даден е пример подробно решениедиференциално уравнение с разделими променливи.

Съдържание

Определение

Нека да (х), q (х)- функции на променливата x ;
стр (y), r (y)- функции на променливата y .

Диференциално уравнение с разделими променливи е уравнение на формата

Метод за решаване на диференциално уравнение с разделими променливи

Разгледайте уравнението:
(i) .
Изразяваме производната y чрез диференциали.
;
.
Умножете по dx.
(ii)
Разделете уравнението на s (x)r(y). Това може да стане, ако s (x) r(y) ≠ 0. За s (x) r(y) ≠ 0ние имаме
.
Интегрирайки, получаваме общия интеграл в квадратури
(iii) .

Тъй като разделихме на s (x)r(y), тогава получаваме интеграла на уравнението за s (x) ≠ 0и r (y) ≠ 0. След това трябва да решите уравнението
r (y) = 0.
Ако това уравнение има корени, тогава те също са решения на уравнение (i). Нека уравнението r (y) = 0. има n корена a i , r (a i ) = 0, i = 1, 2, ... , н. Тогава константите y = a i са решения на уравнение (i). Някои от тези решения може вече да се съдържат в общия интеграл (iii).

Обърнете внимание, че ако първоначалното уравнение е дадено във формата (ii), то уравнението също трябва да бъде решено
с (x) = 0.
Неговите корени b j , s (b j ) = 0, j = 1, 2, ... , м. дават решения x = b j .

Пример за решаване на диференциално уравнение с разделими променливи

реши уравнението

Изразяваме производната чрез диференциали:

Умножете по dx и разделете на . За y ≠ 0 имаме:

Да се интегрираме.

Изчисляваме интегралите по формулата.

Замествайки, получаваме общия интеграл на уравнението
.

Сега разгледайте случая, y = 0 .
Очевидно е, че y = 0 е решение на първоначалното уравнение. Не се включва в общия интеграл.
Така че нека го добавим към крайния резултат.

; y= 0 .

Препратки:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, Lan, 2003.

Разглежда се метод за решаване на диференциални уравнения, свеждащ се до уравнения с разделими променливи. Даден е пример за подробно решение на диференциално уравнение, което се свежда до уравнение с разделими променливи.

Съдържание

Формулиране на проблема

Разгледайте диференциалното уравнение
(i) ,
където f е функция, a, b, c са константи, b ≠ 0 .
Това уравнение се свежда до уравнение с разделими променливи.

Метод на решение

Правим замяна:
u = брадва + by + c
Тук y е функция на x. Следователно u също е функция на x.
Разграничете по отношение на x
u′ = (ax + by + c)′ = a + by′
Заместител (i)
u′ = a + by′ = a + b f(ax + by + c) = a + b f (ф)
Или:
(ii)
Отделни променливи. Умножете по dx и разделете на a + b f (ф). Ако a + b f (u) ≠ 0, тогава

Чрез интегриране получаваме общия интеграл на първоначалното уравнение (i)в квадрати:
(iii) .

И накрая, разгледайте случая
(iv) a + b f (u) = 0.
Да предположим, че това уравнение има n корена u = r i , a + b f (r i ) = 0, i = 1, 2, ...н. Тъй като функцията u = r i е постоянна, нейната производна по x е равна на нула. Следователно u = r i е решение на уравнението (ii).
Въпреки това, уравнението (ii)не съвпада с оригиналното уравнение (i)и може би не всички решения u = r i , изразени чрез променливите x и y , удовлетворяват първоначалното уравнение (i).

По този начин решението на първоначалното уравнение е общият интеграл (iii)и някои корени на уравнението (iv).

Пример за решаване на диференциално уравнение, което се свежда до уравнение с разделими променливи

реши уравнението
(1)

Правим замяна:
u = x - y
Диференцирайте по отношение на x и извършете трансформации:
;

Умножете по dx и разделете на u 2 .

Ако u ≠ 0, тогава получаваме:

Ние интегрираме:

Прилагаме формулата от таблицата на интегралите:

Изчисляваме интеграла

Тогава
;
, или

Общо решение:
.

Сега разгледайте случая u = 0 , или u = x - y = 0 , или
y=x.
Тъй като y′ = (x)′ = 1, тогава y = x е решение на първоначалното уравнение (1) .

;
.

Препратки:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, Lan, 2003.

Диференциални уравненияпърва поръчка. Примери за решения.
Диференциални уравнения с разделими променливи

Диференциални уравнения (DE). Тези две думи обикновено ужасяват средния лаик. Диференциалните уравнения изглеждат нещо скандално и трудно за овладяване за много ученици. Уууууу… диференциални уравнения, как щях да преживея всичко това?!

Такова мнение и такова отношение е коренно погрешно, тъй като в действителност ДИФЕРЕНЦИАЛНИТЕ УРАВНЕНИЯ СА ПРОСТИ И ДОРИ ЗАБАВНИ. Какво трябва да знаете и да можете да научите за решаване на диференциални уравнения? За да изучавате успешно различията, трябва да сте добри в интегрирането и диференцирането. Колкото по-добре се изучават темите Производна на функция на една променливаи Неопределен интеграл, толкова по-лесно ще бъде разбирането на диференциалните уравнения. Ще кажа повече, ако имате повече или по-малко прилични умения за интеграция, тогава темата е практически овладяна! Колкото повече интеграли различни видовезнаеш как да решиш - толкова по-добре. Защо? Трябва да интегрирате много. И разграничете. Също горещо препоръчвамнаучете се да намирате.

В 95% от случаите в контролна работаима 3 вида диференциални уравнения от първи ред: разделими уравнения, които ще разгледаме в този урок; хомогенни уравненияи линейни нееднородни уравнения. За начинаещи да изучават дифузори, съветвам ви да прочетете уроците в тази последователност и след като изучите първите две статии, няма да ви навреди да консолидирате уменията си в допълнителен семинар - уравнения, които се свеждат до хомогенни.

Има още по-редки видове диференциални уравнения: уравнения в тотални диференциали, уравнения на Бернули и някои други. Най-важният от последните два типа са уравненията в общи диференциали, защото освен този DE обмислям нов материал - частична интеграция.

Ако ви остават само ден-два, тогава за ултра бързо приготвянеима блиц курсв pdf формат.

И така, ориентирите са поставени - да тръгваме:

Нека първо си припомним обичайните алгебрични уравнения. Те съдържат променливи и числа. Най-простият пример: . Какво означава да решиш обикновено уравнение? Това означава да намериш набор от числакоито удовлетворяват това уравнение. Лесно е да се види, че уравнението на децата има един корен: . За забавление, нека направим проверка, замествайки намерения корен в нашето уравнение:

- получава се правилното равенство, което означава, че решението е намерено правилно.

Дифузите са подредени почти по същия начин!

Диференциално уравнение първа поръчкав общ случай съдържа:
1) независима променлива;
2) зависима променлива (функция);
3) първата производна на функцията: .

В някои уравнения от първи ред може да няма "x" или (и) "y", но това не е от съществено значение - важнотака че в DU бешепърва производна и не са ималипроизводни от по-високи разряди - и др.

Какво означава ?Да се реши диференциално уравнение означава да се намери набор от всички функциикоито удовлетворяват това уравнение. Такъв набор от функции често има формата (– произволна константа), която се нарича общо решение на диференциалното уравнение.

Пример 1

Решете диференциално уравнение

Пълни боеприпаси. Откъде да започна решение?

Първо, трябва да пренапишете производната в малко по-различна форма. Припомняме тромавата нотация, която сигурно мнозина от вас смятаха за нелепа и ненужна. Именно то властва в дифузьорите!

Във втората стъпка нека да видим дали е възможно разделяне на променливи?Какво означава да се разделят променливите? Грубо казано, отлявотрябва да си тръгваме само "игри", а от дясната странаорганизирам само х-ове. Разделянето на променливи се извършва с помощта на "училищни" манипулации: скоби, прехвърляне на термини от част към част с промяна на знака, прехвърляне на фактори от част към част според правилото за пропорцията и др.

Диференциали и са пълни умножители и активни участници във военните действия. В този пример променливите лесно се разделят чрез обръщане на коефициенти според правилото за пропорцията:

Променливите са разделени. От лявата страна - само "Игра", от дясната страна - само "X".

Следващ етап - интегриране на диференциално уравнение. Просто е, окачваме интеграли на двете части:

Разбира се, трябва да се вземат интеграли. В този случай те са таблични:

Както си спомняме, константа се присвоява на всяка антипроизводна. Тук има два интеграла, но е достатъчно да напишете константата веднъж (тъй като константа + константа все още е равна на друга константа). В повечето случаи се поставя в правилната страна.

Строго погледнато, след като се вземат интегралите, диференциалното уравнение се счита за решено. Единственото нещо е, че нашето "y" не се изразява чрез "x", тоест решението е представено в имплицитнотоформа. Неявното решение на диференциално уравнение се нарича общ интеграл на диференциалното уравнение. Това е общият интеграл.

Отговор в тази форма е напълно приемлив, но има ли по-добър вариант? Нека се опитаме да получим общо решение.

Моля те, запомнете първата техника, той е много разпространен и често се използва в практически задачи: ако след интегрирането от дясната страна се появи логаритъм, тогава в много случаи (но в никакъв случай не винаги!) е препоръчително да напишете константата също под логаритъма. И пишете ВИНАГИ, ако се получават само логаритми (както в разглеждания пример).

Това е, ВМЕСТОобикновено се записват записи .

Защо е необходимо това? И за да се изрази по-лесно "у". Използваме свойството на логаритмите . В такъв случай:

Сега логаритмите и модулите могат да бъдат премахнати:

Функцията е представена изрично. Това е общото решение.

Отговор: общо решение: .

Отговорите на много диференциални уравнения са доста лесни за проверка. В нашия случай това се прави съвсем просто, ние вземаме намереното решение и го диференцираме:

След това заместваме производната в оригиналното уравнение:

- получено е правилното равенство, което означава, че общото решение удовлетворява уравнението, което трябваше да се провери.

Даване на константа различни значения, можете да получите безкрайно много частни решениядиференциално уравнение. Ясно е, че всяка от функциите , и т.н. удовлетворява диференциалното уравнение.

Понякога се извиква общото решение семейство от функции. В този пример общото решение е семейство от линейни функции или по-скоро семейство от преки пропорционалности.

След подробно обсъждане на първия пример е подходящо да отговорите на няколко наивни въпроса относно диференциалните уравнения:

1)В този пример успяхме да разделим променливите. Винаги ли е възможно да се направи това?Не винаги. И още по-често променливите не могат да бъдат разделени. Например в хомогенни уравнения от първи редпърво трябва да се смени. В други видове уравнения, например в линейно нехомогенно уравнение от първи ред, трябва да използвате различни трикове и методи, за да намерите общо решение. Уравненията с отделими променливи, които разглеждаме в първия урок, са най-простият тип диференциални уравнения.

2) Винаги ли е възможно да се интегрира диференциално уравнение?Не винаги. Много е лесно да се излезе с "фантастично" уравнение, което не може да бъде интегрирано, освен това има интеграли, които не могат да бъдат взети. Но такива DE могат да бъдат решени приблизително с помощта на специални методи. Д'Аламбер и Коши гарантират... ...уф, lurkmore.to Току що четох много, почти добавих "от онзи свят."

3) В този пример получихме решение под формата на общ интеграл . Винаги ли е възможно да се намери общо решение от общия интеграл, тоест да се изрази "y" в ясна форма?Не винаги. Например: . Е, как мога да изразя "у" тук?! В такива случаи отговорът трябва да се запише като общ интеграл. Освен това понякога е възможно да се намери общо решение, но то е написано толкова тромаво и тромаво, че е по-добре да оставим отговора под формата на общ интеграл

4) ...може би достатъчно за сега. В първия пример се срещнахме друг важен момент , но за да не покривам "манекените" с лавина от нова информация, ще го оставя за следващия урок.

Да не бързаме. Друго просто дистанционно управление и друго типично решение:

Пример 2

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява начално състояние

Решение: според състоянието, което се изисква да се намери частно решение DE, който отговаря на дадено начално условие. Този вид разпит се нарича още Проблем с Коши.

Първо намираме общо решение. В уравнението няма променлива „x“, но това не трябва да е смущаващо, основното е, че има първата производна.

Пренаписваме производната в желаната форма:

Очевидно променливите могат да бъдат разделени, момчета отляво, момичета отдясно:

Интегрираме уравнението:

Получава се общият интеграл. Тук нарисувах константа с акцентираща звезда, факт е, че много скоро тя ще се превърне в друга константа.

Сега се опитваме да преобразуваме общия интеграл в общо решение (изразете "y" изрично). Спомняме си старото, добро училище: . В такъв случай:

Константата в индикатора изглежда някак не кошерна, така че обикновено се спуска от небето на земята. В детайли това се случва така. Използвайки свойството на степените, пренаписваме функцията, както следва:

Ако е константа, тогава е и някаква константа, преозначете я с буквата:
- в същото време премахваме модула, след което константата "ce" може да приеме както положителни, така и отрицателни стойности

Не забравяйте, че "разрушаването" на константа е втора техника, който често се използва в хода на решаване на диференциални уравнения. На чисто копие можете веднага да преминете от до , но винаги бъдете готови да обясните този преход.

Така че общото решение е: Толкова хубаво семейство от експоненциални функции.

На последния етап трябва да намерите конкретно решение, което да отговаря на даденото начално условие. Също така е просто.

Каква е задачата? Трябва да вземете такивастойността на константата да отговаря на условието.

Можете да го подредите по различни начини, но най-разбираемият може би ще бъде така. В общото решение вместо "x" заместваме нула, а вместо "y" две:

Това е,

Стандартна версия на дизайна:

Сега заместваме намерената стойност на константата в общото решение:
– това е конкретното решение, от което се нуждаем.

Отговор: лично решение:

Да направим проверка. Проверката на конкретно решение включва два етапа:

Първо, необходимо е да се провери дали намереното конкретно решение наистина удовлетворява първоначалното условие? Вместо "x" заместваме нула и вижте какво се случва:
- да, наистина се получи двойка, което означава, че първоначалното условие е изпълнено.

Вторият етап вече е познат. Взимаме полученото конкретно решение и намираме производната:

Заместете в оригиналното уравнение:

- получава се правилното равенство.

Заключение: конкретното решение е намерено правилно.

Да преминем към по-смислени примери.

Пример 3

Решете диференциално уравнение

Решение:Пренаписваме производната във формата, от която се нуждаем:

Оценяване дали променливите могат да бъдат разделени? Мога. Прехвърляме втория член от дясната страна с промяна на знака:

И обръщаме факторите според правилото на пропорцията:

Променливите са разделени, нека интегрираме двете части:

Трябва да ви предупредя, денят на страшния съд идва. Ако не сте научили добре неопределени интеграли, решени няколко примера, тогава няма къде да отидете - трябва да ги овладеете сега.

Интегралът на лявата страна е лесен за намиране, с интеграла на котангенса се занимаваме със стандартната техника, която разгледахме в урока Интегриране на тригонометрични функцииПрез изминалата година:

В резултат на това получихме само логаритми и, според първата ми техническа препоръка, ние също определяме константата под логаритъм.

Сега се опитваме да опростим общия интеграл. Тъй като имаме само логаритми, е напълно възможно (и необходимо) да се отървем от тях. Като се използва известни свойствамаксимално "пакетирайте" логаритмите. Ще пиша много подробно:

Опаковката е пълна, за да бъде варварски оръфана:
, и веднага-незабавно давам общ интегрална ума, възможно най-скоро:

Най-общо казано, не е необходимо да се прави това, но винаги е полезно да се угоди на професора ;-)

По принцип този шедьовър може да се напише като отговор, но тук все пак е уместно да поставим на квадрат двете части и да предефинираме константата:

Отговор:общ интеграл:

! Забележка: общият интеграл често може да бъде написан по повече от един начин. По този начин, ако вашият резултат не съвпада с предварително известен отговор, това не означава, че сте решили уравнението неправилно.

Може ли да се изрази "y"? Мога. Нека изразим общото решение:

Разбира се, полученият резултат е подходящ за отговор, но имайте предвид, че общият интеграл изглежда по-компактен, а решението се оказа по-кратко.

Трети технически съвет:ако трябва да се извършат значителен брой действия, за да се получи общо решение, тогава в повечето случаи е по-добре да се въздържате от тези действия и да оставите отговора под формата на общ интеграл. Същото важи и за „лошите“ действия, когато се изисква да се изрази обратна функция, да се повдигне на степен, да се вземе корен и т.н.Факт е, че общото решение ще изглежда претенциозно и тромаво - с големи корени, знаци и други математически боклуци.

Как да проверя? Проверката може да се извърши по два начина. Първи метод: вземете общото решение , намираме производната и ги заместете в първоначалното уравнение. Опитайте сами!

Вторият начин е да се диференцира общият интеграл. Това е доста лесно, основното е да можете да намерите производна на функция, дефинирана имплицитно:

разделете всеки член на:

и на:

Оригиналното диференциално уравнение е получено точно, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 4

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие. Пуснете проверка.

Това е пример за „направи си сам“.

Напомням ви, че алгоритъмът се състои от два етапа:
1) намиране на общо решение;
2) намиране на необходимото конкретно решение.

Проверката също се извършва на две стъпки (вижте примера в Пример № 2), трябва:
1) уверете се, че конкретното намерено решение отговаря на първоначалното условие;
2) проверете дали определено решение като цяло удовлетворява диференциалното уравнение.

Пълно решение и отговор в края на урока.

Пример 5

Намерете конкретно решение на диференциално уравнение , удовлетворяващи началното условие . Пуснете проверка.

Решение:Първо, нека намерим общо решение.Това уравнение вече съдържа готови диференциали и , което означава, че решението е опростено. Разделяне на променливи:

Интегрираме уравнението:

Интегралът отляво е табличен, интегралът отдясно е взет методът за сумиране на функцията под знака на диференциала:

Общият интеграл е получен, възможно ли е успешно да се изрази общото решение? Мога. Закачаме логаритми от двете страни. Тъй като са положителни, модулните знаци са излишни:

(Надявам се всички да разберат трансформацията, такива неща вече трябва да се знаят)

Така че общото решение е:

Нека намерим конкретно решение, съответстващо на даденото начално условие.
В общото решение вместо "x" заместваме нулата, а вместо "y" логаритъма от две:

По-познат дизайн:

Заместваме намерената стойност на константата в общото решение.

Отговор:лично решение:

Проверка: Първо проверете дали е изпълнено първоначалното условие:
- всичко е наред.

Сега нека проверим дали намереното конкретно решение изобщо удовлетворява диференциалното уравнение. Намираме производната:

Нека да разгледаме оригиналното уравнение: – представя се в диференциали. Има два начина за проверка. Възможно е да се изрази диференциала от намерената производна:

Заместваме намереното конкретно решение и получения диференциал в оригиналното уравнение :

Използваме основната логаритмична идентичност:

Получава се правилното равенство, което означава, че конкретното решение е намерено правилно.

Вторият начин за проверка е огледален и по-познат: от уравнението изразяваме производната, за това разделяме всички части на:

И в преобразуваното DE заместваме полученото частно решение и намерената производна. В резултат на опростявания трябва да се получи и правилното равенство.

Пример 6

Намерете общия интеграл на уравнението, представете отговора като.

Това е пример за самостоятелно решаване, пълно решение и отговор в края на урока.

Какви трудности очакват при решаването на диференциални уравнения с разделими променливи?

1) Не винаги е очевидно (особено за чайник), че променливите могат да бъдат разделени. Помислете за условен пример: . Тук трябва да извадите факторите от скоби: и да разделите корените:. Как да продължим е ясно.

2) Трудности при самата интеграция. Интегралите често възникват не от най-простите и ако има недостатъци в уменията за намиране неопределен интеграл, тогава ще е трудно с много дифузори. В допълнение, логиката „тъй като диференциалното уравнение е просто, тогава нека интегралите са по-сложни“ е популярна сред съставителите на сборници и ръководства.

3) Трансформации с константа. Както всички са забелязали, с константа в диференциалните уравнения може да се работи доста свободно и някои трансформации не винаги са ясни за начинаещ. Нека да разгледаме друг хипотетичен пример: . В него е препоръчително да умножите всички термини по 2: . Получената константа също е някакъв вид константа, която може да бъде означена с: . Да, и тъй като имаме еднакви логаритми, препоръчително е да пренапишем константата като друга константа: .

Проблемът е, че те често не се занимават с индекси и използват една и съща буква. В резултат на това записът на решението приема следната форма:

Какво за Бога?! Ето ги грешките! Строго погледнато, да. Но от гледна точка на съдържанието грешки няма, тъй като в резултат на преобразуването на променлива константа се получава еквивалентна променлива константа.

Или друг пример, да предположим, че в хода на решаването на уравнението се получава общ интеграл. Този отговор изглежда грозен, така че е препоръчително да промените знака на всеки термин: . Формално пак има грешка - вдясно трябва да пише . Но неофициално се подразбира, че „минус ce“ все още е константа, която също така приема същия набор от стойности и следователно поставянето на „минус“ няма смисъл.

Ще се опитам да избегна небрежния подход и все пак ще поставя различни индекси за константи, когато ги конвертирам. Което ви съветвам да направите.

Пример 7

Решете диференциалното уравнение. Пуснете проверка.

Решение:Това уравнение допуска разделяне на променливи. Разделяне на променливи:

Ние интегрираме:

Константата тук не трябва да се дефинира под логаритъм, тъй като нищо добро няма да излезе от това.

Отговор:общ интеграл:

И, разбира се, тук НЕ Е НЕОБХОДИМО да изразявате изрично „y“, защото ще се окаже боклук (запомнете третия технически съвет).

Преглед: Диференцирайте отговора (имплицитна функция):

Отърваваме се от дроби, за това умножаваме двата члена по:

Получено е оригиналното диференциално уравнение, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 8

Намерете конкретно решение на DE.
,

Определение 7.Уравнение от формата се нарича уравнение с разделими променливи.

Това уравнение може да се редуцира до формата, като се разделят всички членове на уравнението на произведението.

Например, решете уравнението

Решение. Производната е равна на

Разделяйки променливите, получаваме:

Сега нека интегрираме:

Решете диференциално уравнение

Решение. Това е уравнение от първи ред с разделими променливи. За да разделим променливите на това уравнение във формата и го разделете термин по термин в продукта. В резултат на това получаваме или

интегрирайки двете части на последното уравнение, получаваме общото решение

arcsin y = arcsin x + C

Нека сега намерим конкретно решение, което удовлетворява началните условия. Замествайки началните условия в общото решение, получаваме

; откъдето C=0

Следователно конкретно решение има формата arc sin y \u003d arc sin x, но синусите на равни дъги са равни една на друга

sin (arcsin y) = sin (arcsin x).

Откъдето, по дефиниция на арксинуса, следва, че y = x.

Хомогенни диференциални уравнения

Определение 8.Диференциално уравнение на формата, което може да се сведе до формата, се нарича хомогенен.

За да се интегрират такива уравнения, се прави промяна на променливите, като се приеме . Това заместване води до диференциално уравнение за x и t, в което променливите са разделени, след което уравнението може да бъде интегрирано. За да получите окончателния отговор, трябва да замените променливата t с .

Например,реши уравнението

Решение. Нека пренапишем уравнението така:

получаваме:

След намаляване с x 2 имаме:

Нека заменим t с:

Въпроси за преглед

1 Какво е диференциално уравнение?

2 Назовете видовете диференциални уравнения.

3 Кажете алгоритмите за решаване на всички тези уравнения.

Пример 3

Решение:Пренаписваме производната във формата, от която се нуждаем:

И обръщаме факторите според правилото на пропорцията:

Променливите са разделени, нека интегрираме двете части:

От дясната страна имаме логаритъм, според първата ми техническа препоръка, в този случай константата също трябва да бъде записана под логаритъма.

Сега се опитваме да опростим общия интеграл. Тъй като имаме само логаритми, е напълно възможно (и необходимо) да се отървем от тях. „Паковаме“ логаритмите колкото е възможно повече. Опаковането се извършва с помощта на три свойства:

Моля, препишете си тези три формули работна книга, те се използват много често при решаване на дифузи.

Ще напиша решението много подробно:

Опаковането е завършено, премахнете логаритмите:

Може ли да се изрази "y"? Мога. И двете части трябва да бъдат поставени на квадрат. Но не е нужно.

Трети технически съвет:Ако, за да получите общо решение, трябва да повдигнете на степен или да вземете корени, тогава В повечето случаитрябва да се въздържате от тези действия и да оставите отговора под формата на общ интеграл. Факт е, че общото решение ще изглежда претенциозно и ужасно - с големи корени, знаци.

Затова записваме отговора като общ интеграл. Счита се за добра форма да представите общия интеграл във формата, тоест от дясната страна, ако е възможно, оставете само константа. Не е необходимо да правите това, но винаги е полезно да угодите на професора ;-)

Отговор:общ интеграл:

Забележка: общият интеграл на всяко уравнение може да бъде записан по повече от един начин. По този начин, ако вашият резултат не съвпада с предварително известен отговор, това не означава, че сте решили уравнението неправилно.

Общият интеграл също се проверява доста лесно, основното е да можете да намерите производни на функция, дефинирана имплицитно. Нека разграничим отговора:

Умножаваме двата члена по:

И разделяме на:

Пример 4

Това е пример за „направи си сам“. Напомням ви, че проблемът на Коши се състои от два етапа:
1) Намиране на общо решение.
2) Намиране на конкретно решение.

Проверката също се извършва на два етапа (вижте също примера от Пример 2), трябва:
1) Уверете се, че конкретното намерено решение наистина удовлетворява първоначалното условие.
2) Проверете дали определено решение като цяло удовлетворява диференциалното уравнение.

Пълно решение и отговор в края на урока.

Пример 5

Интегрираме уравнението:

Общият интеграл е получен, възможно ли е успешно да се изрази общото решение? Мога. Ние окачваме логаритми:

(Надявам се всички да разберат трансформацията, такива неща вече трябва да се знаят)

Така че общото решение е:

Нека намерим конкретно решение, съответстващо на даденото начално условие. В общото решение вместо "x" заместваме нулата, а вместо "y" логаритъма от две:

По-познат дизайн:

Заместваме намерената стойност на константата в общото решение.

Отговор:лично решение:

Проверка: Първо проверете дали е изпълнено първоначалното условие:
- всичко е наред.

Пример 6

Решете диференциалното уравнение. Изразете отговора като общ интеграл.

Това е пример за самостоятелно решаване, пълно решение и отговор в края на урока.

Какви трудности очакват при решаването на диференциални уравнения с разделими променливи?

3) Трансформации с константа. Както всички са забелязали, с константа в диференциалните уравнения можете да правите почти всичко. И не винаги такива трансформации са ясни за начинаещ. Помислете за друг условен пример: . В него е препоръчително да умножите всички термини по 2: . Получената константа също е някакъв вид константа, която може да бъде означена с: . Да, и тъй като има логаритъм от дясната страна, препоръчително е да пренапишете константата като друга константа: .

Проблемът е, че те често не се занимават с индекси и използват една и съща буква. И в резултат записът на решението приема следната форма:

Какво по дяволите? Ето ги грешките. Формално, да. И неофициално - грешка няма, разбира се, че при преобразуване на константа пак се получава някаква друга константа.

Или такъв пример, да предположим, че в хода на решаването на уравнението се получава общ интеграл. Този отговор изглежда грозен, така че е препоръчително да промените знаците на всички множители: . Формално според записа пак има грешка, трябваше да се пише. Но неофициално се подразбира, че - все още е някаква друга константа (още повече, че може да приеме всякаква стойност), така че промяната на знака на константата няма смисъл и можете да използвате същата буква.

Ще се опитам да избегна небрежния подход и все пак ще поставя различни индекси за константи, когато ги конвертирам.

Пример 7

Решете диференциалното уравнение. Пуснете проверка.

Решение:Това уравнение допуска разделяне на променливи. Разделяне на променливи:

Отговор:общ интеграл:

Проверка: Разграничете отговора (имплицитна функция):

Отърваваме се от дроби, за това умножаваме двата члена по:

Получено е оригиналното диференциално уравнение, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 8

Намерете конкретно решение на DE.
,

Това е пример за „направи си сам“. Единственият коментар, тук получавате общ интеграл и, по-правилно, трябва да се опитате да намерите не конкретно решение, а частен интеграл. Пълно решение и отговор в края на урока.

Както вече беше отбелязано, в дифури с разделими променливи често се появяват не най-простите интеграли. И ето няколко такива примера за самостоятелно решение. Препоръчвам на всеки да реши примери № 9-10, независимо от нивото на обучение, това ще актуализира уменията за намиране на интеграли или ще запълни празнини в знанията.

Пример 9

Решете диференциално уравнение

Пример 10

Решете диференциално уравнение

Не забравяйте, че общият интеграл може да бъде записан по повече от един начин и външният вид на вашите отговори може да се различава външен видмоите отговори. Кратко решение и отговори в края на урока.

Успешна промоция!

Решения и отговори:

Пример 4:Решение: Нека намерим общо решение. Разделяне на променливи:

Ние интегрираме:

Общият интеграл е получен, опитваме се да го опростим. Опаковаме логаритмите и се отърваваме от тях:

Ние изразяваме функцията изрично с помощта на .
Общо решение:

Намерете конкретно решение, което удовлетворява началното условие .
Метод първи, вместо "x" заместваме 1, вместо "y" - "e":
.
Метод втори:

Заменяме намерената стойност на константата в общо решение.
Отговор: лично решение:

Проверка: Проверете дали първоначалното условие наистина е вярно:
, да, първоначално състояние изпълнени.
Проверяваме дали конкретното решение изобщо удовлетворява диференциално уравнение. Първо намираме производната:

Заменяме полученото конкретно решение и намери производно в първоначалното уравнение :

Получава се правилното равенство, което означава, че решението е намерено правилно.

Пример 6:Решение: Това уравнение допуска разделяне на променливи. Разделяме променливите и интегрираме:

Отговор: общ интеграл:

Забележка: тук можете да получите общо решение:

Но според третия ми технически съвет не е желателно да се прави това, тъй като такъв отговор изглежда доста зле.

Пример 8:Решение: Това дистанционно управление позволява разделяне на променливи. Разделяне на променливи:

Ние интегрираме:

Общ интеграл:
Намерете конкретно решение (частичен интеграл), съответстващо на даденото начално условие . Заместваме в общото решение и :

Отговор: Частен интеграл:
По принцип отговорът може да бъде сресан и да получите нещо по-компактно. .

Диференциални уравнения.

Основни понятия за обикновените диференциални уравнения.

Определение 1.Обикновено диференциално уравнение н-та поръчка за функцията г аргумент х се нарича отношение на формата

където Е е дадена функция на своите аргументи. В името на този клас математически уравнения терминът "диференциал" подчертава, че те включват производни (функции, образувани в резултат на диференциация); терминът - "обикновен" казва, че желаната функция зависи само от един реален аргумент.

Едно обикновено диференциално уравнение може да не съдържа изрично аргумент х, желаната функция и всяка от нейните производни, но най-голямата производна трябва да бъде включена в уравнението н-поръчка. Например

а) е уравнение от първи ред;

б) е уравнение от трети ред.

При писане на обикновени диференциални уравнения често се използва нотацията на производни чрез диференциали:

в) е уравнение от втори ред;

d) е уравнение от първи ред,

образуване след разделяне на dxеквивалентна форма на уравнението: .

Функция се нарича решение на обикновено диференциално уравнение, ако, когато се замести в него, тя се превръща в идентичност.

Например уравнението от 3-ти ред

Има решение .

Да се намери по един или друг метод, например селекция, една функция, която удовлетворява дадено уравнение, не означава да се реши. Да се реши обикновено диференциално уравнение означава да се намери всичкофункции, които образуват идентичност, когато се заместват в уравнението. За уравнение (1.1) семейството от такива функции се формира с помощта на произволни константи и се нарича общо решение на обикновеното диференциално уравнение нти ред, а броят на константите съвпада с реда на уравнението: y(x): В този случай решението се нарича общ интеграл на уравнение (1.1).

Например, следният израз е общо решение на диференциално уравнение: , а вторият член може да бъде записан като , тъй като произволна константа, разделена на 2, може да бъде заменена с нова произволна константа.

Като зададем някои допустими стойности за всички произволни константи в общото решение или в общия интеграл, получаваме определена функция, която вече не съдържа произволни константи. Тази функция се нарича частно решение или конкретен интеграл на уравнение (1.1). За да се намерят стойностите на произволни константи, а оттам и конкретното решение, се използват различни допълнителни условия към уравнение (1.1). Например, могат да се дадат така наречените начални условия за (1.2).

В десните части на началните условия (1.2) са дадени числените стойности на функцията и производните, а общият брой на началните условия е равен на броя на произволните константи, които се определят.

Проблемът за намиране на определено решение на уравнение (1.1) от началните условия се нарича проблем на Коши.

§ 2. Обикновени диференциални уравнения от 1-ви ред - основни понятия.

Обикновено диференциално уравнение от 1-ви ред ( н=1) има формата: или, ако може да се разреши по отношение на производната: . Общо решение y=y(x, C) или общият интеграл на уравненията от 1-ви ред съдържат една произволна константа. Единственото начално условие за уравнение от 1-ви ред ви позволява да определите стойността на константата от общото решение или от общия интеграл. Така ще бъде намерено конкретно решение или, което също е проблемът на Коши, ще бъде решен. Въпросът за съществуването и уникалността на решение на проблема на Коши е един от централните въпроси в обща теорияобикновени диференциални уравнения. По-специално за уравнение от първи ред е валидна теоремата, която тук се приема без доказателство.

Теорема 2.1.Ако в уравнение функция и нейната частна производна са непрекъснати в дадена област д самолет XOY , и в тази област е дадена точка, тогава съществува и, освен това, уникално решение, което удовлетворява както уравнението, така и началното условие.

Геометрично общото решение на уравнение от 1-ви ред е семейство от криви в равнината XOY, които нямат общи точкии се различават един от друг по един параметър - стойността на константата ° С. Тези криви се наричат интегрални криви за даденото уравнение. Интегралните криви на уравнението имат очевидно геометрично свойство: във всяка точка тангенсът на наклона на допирателната към кривата е равен на стойността на дясната страна на уравнението в тази точка: . С други думи, уравнението е дадено в равнината XOYполе от посоки на допирателни към интегрални криви. коментар:Трябва да се отбележи, че за уравнението дадено е уравнението и т. нар. уравнение в симетрична форма .

Диференциални уравнения от първи ред с разделими променливи.

Определение.Диференциално уравнение с разделими променливи е уравнение на формата (3.1)

или уравнение от вида (3.2)

За да се разделят променливите в уравнение (3.1), т.е. редуцирайте това уравнение до така нареченото уравнение с разделени променливи, изпълнете следните действия:

;