Ако изхождаме от връзката между желаното и данните на проблема, тогава условието на проблема за конструкцията може да бъде изразено аналитично.

Аналитичният израз на конструктивния проблем под формата на уравнение и неговите решения под формата на корените на това уравнение помагат да се намери геометрично решение, както и да се определи с какви инструменти може да се извърши.

Решаването на задачи по алгебричния метод се свежда до конструкцията:

• средно пропорционално на две дадени отсечки x = 4ab
• четвъртата пропорционална на дадените три отсечки, изразена

. „ пр.н.е

натиснат от формулата x \u003d -;

Чрез алгебричната сума на тези сегменти x = a±b, x-a + b-c + d,

x = 3a±2bи др.; _

Чрез формули като x = 1а + б.

Алгебричният метод за решаване на задачи за геометрична конструкция е следният:

• 1) неизвестните количества, фигуриращи в условието на проблема, се означават с буквите x, y, zи др.;
• 2) съставете уравнения, които свързват тези неизвестни със стойностите, дадени в проблема а, б, в, ...;
• 3) решаване на формулираните уравнения;
• 4) разглежда получените отговори;
• 5) изпълнява необходимата конструкция.

Преди да преминем към решаване на задачи за конструиране по алгебричен метод, нека разгледаме конструкцията на някои сегменти, дадени от съотношенията между дължините на други сегменти.

1. Понякога в задачите за геометрично конструиране съотношението на две величини се дава във формата а:б; a 3: b 3; а 4: b 4и т.н.

Нека покажем, че всяко от тези съотношения може да бъде заменено с отношението на два сегмента.

Задача 6.47. Построете отсечка, дадена от отношението a p: b p,където

p eН.

Решение

Начертайте две произволни взаимно перпендикулярни линии KLи MN(фиг. 6.52) и обозначават с буквата O точката на тяхното пресичане. На прави линии KLи MNот точка O отлагаме сегментите OA и оа х,съответно равни на дадени отсечки Комерсанти а.Чрез свързване на точки A и А бвъзстанови в точката A gперпендикулярно на AA X KLв някакъв момент L 2 . В точка A 2 възстановяваме перпендикуляра към A 2 A 1и го продължете, докато се пресече с линията MNв точка А 3 и т.н.

Нека определим стойността на всяко от следните съотношения: OA x: OA; ОА 2 : OA x; OA 3: OA gи т.н.

Тъй като правоъгълни триъгълници OAA x, OA, A 2, OA^A 3 ,... са подобни, което означава:

оа, и ,

По конструкция, - L = -, и следователно, по силата на равенствата (*), получаваме OA b

Нека определим стойността на съотношението. То няма да се промени, ако ние

всеки от неговите членове се разделя на една и съща сума OA bи следователно

t t OA, a O Ap a OA 2 a OA b

Но от равенствата -- = - и -- = - виждаме, че -- = - и -= -.

OAOA x bоа, Комерсантоа, а

По силата на последните две равенства можем да пренапишем равенството (**) както следва:

OA 2 _ a 2 OA ~ b 2 "

Можем да намерим други отношения чрез аналогични разсъждения.

2. Разгледайте задачата за конструиране на средната пропорционална на два дадени сегмента, т.е. сегмент -удар.

Задача 6.48.Постройте средната пропорционална на отсечките аи b. Решение

На една права линия нареждаме последователно сегментите AC = aи SW = b(Фиг. 6.53)

Ориз. 6.53

На сегмента ABкак да построим кръг от iC, 1 по диаметър.

В точка С възстановяваме перпендикуляра към правата AB.

Ние имаме NC = -яб.Наистина ли, AANB- правоъгълен.

Според известната теорема AACNподобен ANCB,което означава къде

NC 2 = AC CB,или в друга нотация NC 2=аб.Най-накрая имаме NC-Jab.

3. При решаване на конструктивни задачи много често се налага да се построи отсечка, която е четвърта пропорционална на три дадени отсечки. Нека разгледаме решение на този проблем.

Задача 6.49.Дадени са три сегмента коремни мускули.Изградете такава линия Х,

a cкакво - = -.

Решение

Вземете произволен ъгъл O. От едната страна на ъгъла оставете сегментите настрана ОА = аи OS = s,а от другата - сегмент ОБ-б(Фиг. 6.54)

Начертайте линия през точка С Р || AB.Тя ще пресече гредата OVв точката Д.Нека докажем това OD- желан сегмент Х.триъгълници OAB

и OCDса подобни. Следователно, т.е. OD = x.

Ориз. 6.54

В конкретен случай този проблем ни позволява да разделим сегмент на Правни части. Нека обозначим този сегмент като b.Вземете произволен сегмент с,остави а - пс(фиг. 6.55).

Ориз. 6.55

„ ac b b 1 .

Тъй като - = -, тогава x =- с = - c = - b. о, п.с

4. Помислете за по-сложно съотношение на сегменти.

Задача 6.50. Построете отсечка, дадена от отношението 2 [a: 2/б, където p eН.

Решение

Да приемем, че съотношението на количествата е дадено във формата [a: -Jb, където аи Комерсант- сегментни данни.

За да определим тези два сегмента, чието съотношение е равно на Va: Vb, процедираме по следния начин.

По произволна права линия от избрана точка Да сеНека оставим настрана два последователни сегмента: КН-аи NM = b(Фиг. 6.56)

Ориз. 6.56

На сегмента км,като на диаметъра, конструирайте полукръг KRM.

В точката ннека възстановим перпендикуляра NN"към сегмента КМ.Направо NN"пресича дъгата KRMв някакъв момент Л.

Свързване на точката LsKim.Сегменти KLи LM- желани, т.е.

Наистина, имаме -=--. Но А KLMподобен на А LMN,но-

KL LN KL 2 LN 2

това-=-и, следователно, -=--, но от последното равенство

LM NM LM NM 2

KN LN 2 KL 2 KN „

и равенство-=-- следва че-- =-. Извличане на квадрат

NM NM 2 LM 2 NM

корен на двете части на последното равенство, намираме:

За да получим два сегмента, чието отношение е [a: yfb,първо трябва да конструирате такива два сегмента тип,съотношението на

ryh се определя от равенството - = -j=,и след това през същото

строителство намери сегменти Ри q,които се определят от равенството p_yfm зВн

Подобни конструкции могат да се използват за намиране на сегменти, чието отношение е равно на 2 fa: 2 yх 2 + h h 2, тогава от равенството (*) получаваме

Строителство. 1. Изграждаме сегмент y \u003d yj (2h b) 2 - h a 2(фиг. 6.61).

Ориз. 6.61

2. Сграда x = ^^-(фиг. 6.62).

Ориз. 6.62

3. Накрая изграждаме желания равнобедрен триъгълник ABCпо разум AC \u003d 2hiвисочина DB = hb(фиг. 6.63).

Ориз. 6.63

Доказателство.Необходимо е да се докаже, че в построения равнобедрен триъгълник ABCвисочини BD-hbи AE- h a .Първото равенство е очевидно, а валидността на второто следва от обратимостта на всички формули, дадени в анализа. _

Проучване.Забелязваме, че сегментът y \u003d yl (.2h b) 2 -h 2може да се конструира само ако (2/i b) 2 -h a 2>0 или 2 h b > h a .

При това условие е възможно да се конструира сегмент x и следователно желаният триъгълник ABC.Тъй като два равнобедрени триъгълника с равни основи и равни височини са равни, задачата има единствено решение.

Коментирайте.Проблемът допуска по-просто решение по друг начин. Ако чрез точка дначертайте линия, успоредна на височината AEи пресичащата страна слънцев точката Е,след това триъгълник DFBможе да се изгради на крака 0,5 з аи хипотенуза h b,което ще доведе до построяването на желания триъгълник.

Задача 6.57. През дадена точка извън кръга НОначертайте секанс, който ще бъде разделен от тази окръжност в това отношение.

Решение

Анализ.Да кажем, че задачата е решена: секанс АЛудовлетворява условието на задачата (фиг. 6.64). Начертайте секанс от точка А AU,минаваща през центъра O на дадената окръжност. Тъй като точката A ни е дадена, това означава, че знаем отсечките ADи като. Означете с буквата х дължината на отсечката АК.Ако начертаем секанти от точка А, която е извън окръжността, тогава произведението на целия секанс от външната му част е постоянна стойност и следователно

Ориз. 6.64

От чертежа виждаме, че AL = x + ЛК.

аз тсс.. тел

И тъй като по условие x: LK=m : П,тези. bk =- това означава AL=x+ - -

= -(t + p). T

Следователно равенството (*) ще приеме следната форма: x-(m + n) = AD? AU,където

Строителство. 1. Въз основа на формулата (**), чрез добре позната конструкция, ние определяме сегмента x.

• 2. От точка НОнаправете прорез на този кръг Да сес радиус равен на намереното х.
• 3. Свързване на точките НОи Да сеи продължавайки тази линия, получаваме желания секанс.

Имайте предвид, че не сме дали разсъжденията, които се случват при решаването на този проблем на етапите на доказване и изследване (оставяме читателя сам да извърши тези етапи).

Задача 6.58. Намерете точка извън дадения кръг, така че допирателната, прекарана от нея към тази окръжност, да е половината от секанса, прекаран от същата точка през центъра.

Решение

Анализ(фиг. 6.65). Означаваме с буквата x разстоянието до желаната точка от центъра O на окръжността. Както е известно, AB 2 -DA? AC(1) но DA = x - z (2), AC = x + z(3) и следователно AB 2\u003d (x - g) (x + g) \u003d x 2 - g 2и AB \u003d 1x 2 -g 2 (4).

Ориз. 6.65

Тъй като според условието AC \u003d 2AB,тогава от формули (3) и (4) имаме x + r - \u003d 21x 2 - r 2, откъдето x 2 + 2rx + r 2 \u003d 4x 2 - 4r 2, или Zx 2 - 2rx - 5r 2 \u003d 0. Следователно,

тези. x a \u003d - g и x 2 \u003d - g.

В тази задача x не може да бъде отрицателна стойност и затова отхвърляме втория корен.

Строителство.Нека продължим един от диаметрите (CD)даден кръг

и върху него отделяме от точката длинейна отсечка Д.А.,равен -g (DA = AO - OD = 5 2 3

Г - г = -г (6)).

Точка НО- желан.

Доказателство. AC = x + z = -z + z,тези. ac=-g (7).

.- /2 8 4 AC

От формули (1), (6), (7) намираме: AB=y/DA-AC=J-r--r=-r=

което потвърждава правилността на извършената конструкция (каним читателя да извърши самостоятелно етапа на изследване).

1. Общи бележки за решаването на задачи по алгебричния метод.

2. Задачи за движение.

3. Задачи за работа.

4. Задачи за смеси и проценти.

Използване на алгебричния метод за намиране на аритметичен начин за решаване на текстови задачи.

1. При решаване на проблеми по алгебричния метод желаните количества или други количества, знаейки, че е възможно да се определят желаните, се означават с букви (обикновено x, y,z). Всички независими връзки между данни и неизвестни величини, които са или пряко формулирани в условието (в словесна форма), или следват от смисъла на задачата (например физическите закони, на които се подчиняват разглежданите величини), или следват от условие и някои разсъждения, са записани под формата на равенство на неравенства. В общия случай тези отношения образуват определена смесена система. В специални случаи тази система може да не съдържа неравенства или уравнения или може да се състои само от едно уравнение или неравенство.

Решаването на задачи по алгебричния метод не се подчинява на нито една, достатъчно универсална схема. Следователно всяка индикация, отнасяща се до всички задачи, е от най-общ характер. Задачите, които възникват при решаването на практически и теоретични въпроси, имат свои индивидуални характеристики. Поради това тяхното изследване и решаване са от най-разнообразен характер.

Нека се спрем на решаването на задачи, чийто математически модел е даден от уравнение с едно неизвестно.

Спомнете си, че дейността за решаване на проблема се състои от четири етапа. Работата на първия етап (анализ на съдържанието на проблема) не зависи от избрания метод за решение и няма фундаментални разлики. На втория етап (при търсене на начин за решаване на проблема и съставяне на план за решаването му), в случай на използване на алгебричния метод на решаване, се извършват: изборът на основното съотношение за съставяне на уравнение; изборът на неизвестното и въвеждането на обозначение за него; изразяване на количествата, включени в основното отношение, чрез неизвестните и данните. Третият етап (изпълнение на плана за решаване на задачата) включва съставянето на уравнение и неговото решение. Четвъртият етап (проверка на решението на задачата) се извършва по стандартния начин.

Обикновено при писане на уравнения с едно неизвестно хспазвайте следните две правила.

правило аз . Една от тези величини се изразява чрез неизвестното хи други данни (т.е. съставя се уравнение, в което една част съдържа дадена стойност, а другата съдържа същата стойност, изразена с хи други зададени количества).

правило II . За една и съща величина се съставят два алгебрични израза, които след това се приравняват един към друг.

Външно изглежда, че първото правило е по-просто от второто.

В първия случай винаги се изисква съставянето на един алгебричен израз, а във втория - два. Често обаче има задачи, при които е по-удобно да се съставят два алгебрични израза за една и съща величина, отколкото да се избере вече известен и да се състави един израз за него.

Процесът на решаване на текстови задачи по алгебричен начин се извършва съгласно следния алгоритъм:

1. Първо изберете съотношението, на базата на което ще бъде съставено уравнението. Ако проблемът съдържа повече от две съотношения, тогава съотношението, което установява някаква връзка между всички неизвестни, трябва да се вземе като основа за съставяне на уравнението.

След това се избира неизвестното, което се означава със съответната буква.

Всички неизвестни величини, включени в съотношението, избрано за съставяне на уравнението, трябва да бъдат изразени чрез избраното неизвестно въз основа на останалите съотношения, включени в проблема, с изключение на основното.

4. От тези три операции съставянето на уравнение следва директно като проектиране на словесен запис с помощта на математически символи.

Централно място сред изброените операции заема изборът на основната връзка за съставяне на уравнения. Разгледаните примери показват, че изборът на основното отношение е определящ при формулирането на уравненията, внася логическа хармония в понякога неясния словесен текст на задачата, дава увереност в ориентацията и предпазва от хаотични действия за изразяване на всички количества, включени в проблем чрез данните и желаните.

Алгебричният метод за решаване на проблеми е от голямо практическо значение. С негова помощ те решават голямо разнообразие от задачи от областта на техниката, селското стопанство и бита. вече в гимназияуравненията се използват от учениците при изучаването на физика, химия, астрономия. Там, където аритметиката се окаже безсилна или в най-добрия случай изисква изключително тромави разсъждения, там алгебричният метод води лесно и бързо до отговора. И дори в така наречените "типични" аритметични задачи, които са относително лесни за решаване чрез аритметика, алгебричното решение, като правило, е едновременно по-кратко и по-естествено.

Алгебричният метод за решаване на проблеми улеснява показването, че някои проблеми, които се различават един от друг само в графиката, имат не само същите връзки между данните и желаните стойности, но също така водят до типични разсъждения, чрез които тези връзки се установяват. Такива проблеми дават само различни специфични интерпретации на едни и същи математически разсъждения, едни и същи отношения, тоест имат един и същ математически модел.

2. Групата задачи за движение включва задачи, в които се говори за три величини: пътища (с), скорост ( v) и време ( T). По правило се говори за равномерно праволинейно движение, когато скоростта е постоянна по големина и посока. В този случай и трите количества са свързани със следната връзка: С = vt. Например, ако скоростта на велосипедист е 12 km/h, то за 1,5 часа той ще измине 12 km/h  1,5 h = 18 km. Има задачи, в които се разглежда равномерно ускорено праволинейно движение, тоест движение с постоянно ускорение (а).Изминато разстояние с в този случай се изчислява по формулата: С = v 0 T + при 2 /2, където v 0 – начална скорост. И така, за 10 s падане с начална скорост 5 m/s и ускорение на свободното падане 9,8 m 2 /s, тялото ще прелети разстояние, равно на 5 m/s  10s + 9,8 m 2 /s  10 2 s 2/2 = 50 m + 490 m = 540 m.

Както вече беше отбелязано, в хода на решаването на текстови задачи и на първо място в задачи, свързани с движение, е много полезно да се направи илюстративен чертеж (за изграждане на спомагателен графичен модел на проблема). Чертежът трябва да бъде направен по такъв начин, че да показва динамиката на движението с всички срещи, спирания и завои. Добре проектираният чертеж позволява не само по-задълбочено разбиране на съдържанието на проблема, но и улеснява съставянето на уравнения и неравенства. Примери за такива чертежи ще бъдат дадени по-долу.

Следните конвенции обикновено се приемат при проблеми с движението.

Ако не е изрично посочено в задачата, движението в отделните участъци се счита за равномерно (независимо дали е движение по права линия или в кръг).

Завоите на движещи се тела се считат за мигновени, т.е. възникват без време; скоростта също се променя моментално.

Тази група задачи от своя страна може да се раздели на задачи, в които се разглеждат движенията на телата: 1) едно към друго; 2) в една посока ("след"); 3) в противоположни посоки; 4) по затворена траектория; 5) покрай реката.

Ако разстоянието между телата е С, а скоростите на телата са равни v 1 и v 2 (фиг. 16 а), тогава, когато телата се движат едно към друго, времето, след което ще се срещнат, е равно на С/(v 1 + v 2).

2. Ако разстоянието между телата е С, а скоростите на телата са равни v 1 и v 2 (фиг. 16 b), тогава, когато телата се движат в една посока ( v 1 > v 2) времето, след което първото тяло изпреварва второто е С/(v 1 – v 2).

3. Ако разстоянието между телата е С, а скоростите на телата са равни v 1 и v 2 (фиг. 16 в), тогава, след като са тръгнали едновременно в противоположни посоки, телата ще бъдат във времето T бъдете на разстояние С 1 = С + (v 1 + v 2 ) T.

Ориз. 16

4. Ако телата се движат еднопосочно по затворена траектория на дълж с със скорости v 1 и v 2 , времето, след което телата ще се срещнат отново (едното тяло ще изпревари другото), тръгвайки едновременно от една точка, се намира по формулата T = С/(v 1 – v 2) при условие, че v 1 > v 2 .

Това следва от факта, че при едновременно стартиране по затворена траектория в една посока, тяло с по-висока скорост започва да настига тяло с по-ниска скорост. Първият път, когато го настига, след като е изминал разстояние от С повече от друго тяло. Ако го изпревари за втори, трети път и т.н., това означава, че изминава разстояние от 2 С, от 3 С и така нататък повече от друго тяло.

Ако телата се движат в различни посоки по затворен път с дължина С със скорости v 1 и v 2 , времето, след което те ще се срещнат, тръгвайки едновременно от една точка, се намира по формулата T = v(v 1 + v 2). В този случай веднага след началото на движението възниква ситуация, когато телата започват да се движат едно към друго.

5. Ако тялото се движи по течението на реката, тогава неговата скорост спрямо брега ие сумата от скоростта на тялото в неподвижна вода vи скоростта на реката w: и =v + w. Ако едно тяло се движи срещу течението на река, тогава неговата скорост е и =v – w. Например, ако скоростта на лодката v\u003d 12 км / ч и скоростта на реката w \u003d 3 км / ч, тогава след 3 часа лодката ще плава по реката (12 км / ч + 3 км / ч)  3 часа = 45 км, а срещу течението - (12 км / ч - 3 км / з)  3 часа = 27 км. Смята се, че скоростта на обекти с нулева скорост в неподвижна вода (сал, дънер и др.) е равна на скоростта на реката.

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример.От една точка в една посока на всеки 20 мин. колите си тръгват. Втората кола се движи със скорост 60 km/h, като скоростта на първата е с 50% по-голяма от скоростта на втората. Намерете скоростта на третия автомобил, ако е известно, че той е изпреварил първия с 5,5 часа по-късно от втория.

Решение. Нека x km/h е скоростта на третия автомобил. Скоростта на първата кола е с 50% по-голяма от скоростта на втората, така че е равна на

При движение в една посока времето за среща се намира като отношение на разстоянието между обектите към разликата в техните скорости. Първа кола след 40 мин. (2/3 h) изминава 90  (2/3) = 60 km. Следователно третият ще го изпревари (ще се срещнат) в 60/( х– 90) часа. Второ след 20 мин. (1/3 h) изминава 60  (1/3) = 20 km. Това означава, че третият ще го настигне (ще се срещнат) след 20/( х- 60) часа (фиг. 17).

П
за състоянието на проблема

Ориз. 17

След прости трансформации получаваме квадратно уравнение 11x 2 - 1730x + 63000 = 0, решавайки което намираме

Проверката показва, че вторият корен не отговаря на условието на проблема, тъй като в този случай третият автомобил няма да настигне други автомобили. Отговор: Скоростта на третия автомобил е 100 км/ч.

ПримерМоторният кораб измина 96 км по реката, върна се обратно и стоеше известно време под товар, прекарвайки 32 часа за всичко.Скоростта на реката е 2 км / ч. Определете скоростта на кораба в неподвижна вода, ако времето за товарене е 37,5% от времето, изразходвано за целия двупосочен курс.

Решение. Нека x km/h е скоростта на кораба в неподвижна вода. Тогава ( х+ 2) km/h - скоростта му по течението; (Х - 2) km/h - срещу течението; 96/( х+ 2) часове - времето на движение с потока; 96/( х- 2) часове - времето на движение срещу течението. Тъй като 37,5% от общото време корабът е бил натоварен, нетното време на движение е 62,5%  32/100% = 20 (часа). Следователно, според условието на задачата, имаме уравнението:

Трансформирайки го, получаваме: 24( х – 2 + х + 2) = 5(х + 2)(х – 2) => 5х 2 – 4х– 20 = 0. След като решихме квадратното уравнение, намираме: х 1 = 10; х 2 = -0,4. Вторият корен не отговаря на условието на задачата.

Отговор: 10 км/ч е скоростта на кораба в неподвижна вода.

Пример. Колата е излязла извън града НОдо град С през град ATБез спирки. Разстояние AB,равно на 120 км, той е изминал с постоянна скорост с 1 час по-бързо от разстоянието слънце,равно на 90 км. Определете средната скорост на автомобила от града НОдо град С, ако се знае, че скоростта на участъка AB 30 км/ч повече скорост на площадката слънце

Решение. Позволявам х km / h - скоростта на автомобила на сайта слънце

Тогава ( х+ 30) km/h – скорост в участъка AB, 120/(х+ 30) h, 90/ х h е времето, за което автомобилът пътува ABи слънцесъответно.

Следователно, според условието на задачата, имаме уравнението:

.

Нека го трансформираме:

120х+ 1(х + 30)х = 90(х + 30) => х 2 + 60х – 2700 = 0.

Решавайки квадратното уравнение, намираме: х 1 = 30, х 2 = -90. Вторият корен не отговаря на условието на задачата. Значи скоростта в участъка слънцеравна на 30 км/ч, на участъка AB - 60 км/ч От това следва, че разстоянието ABколата е изминала за 2 часа (120 км: 60 км/ч = 2 часа), а разстоянието слънце -за 3 часа (90 км: 30 км/ч = 3 часа), така че цялото разстояние ACтой е пътувал за 5 часа (3 часа + 2 часа = 5 часа). След това средната скорост на движение на сайта AU,чиято дължина е 210 км, е равна на 210 км: 5 часа \u003d 42 км / ч.

Отговор: 42 км / ч - средната скорост на автомобила на сайта КАТО.

Групата задачи за работа включва задачи, в които се говори за три величини: работа НО, време T, по време на които се извършва работа, производителност R -извършена работа за единица време. Тези три величини са свързани с уравнението НО = РT. Задачите за работа включват и задачи, свързани с пълнене и изпразване на резервоари (съдове, резервоари, басейни и др.) с помощта на тръби, помпи и други устройства. В този случай обемът на изпомпваната вода се счита за извършена работа.

Задачите за работа, най-общо казано, могат да бъдат приписани на групата задачи за движение, тъй като при задачи от този тип може да се счита, че цялата работа или общият обем на резервоара играе ролята на разстояние и производителността на обектите, които извършване на работа е подобно на скоростта на движение. Въпреки това, според сюжета, тези задачи естествено се различават, а някои задачи за работа имат свои специфични методи за решаване. Така че в тези задачи, в които количеството извършена работа не е посочено, цялата работа се приема като единица.

Пример.Два екипа трябваше да изпълнят поръчката за 12 дни. След 8 дни съвместна работа, първият екип получи нова задача, така че вторият екип завърши поръчката за още 7 дни. За колко дни всеки от екипите би могъл да изпълни поръчката, работейки поотделно?

Решение. Нека първа бригада изпълни задачата за хдни, втора бригада – за гдни. Нека приемем цялата работа като единица. След това 1/ Х -производителност на първа бригада, а 1/ г – второ. Тъй като два екипа трябва да изпълнят поръчката за 12 дни, получаваме първото уравнение 12(1/ х + 1/при) = 1.

От второто условие следва, че вторият екип е работил 15 дни, а първият - само 8 дни. Така че второто уравнение е:

8/х+ 15/при= 1.

Така имаме система:

Изваждайки първото уравнение от второто уравнение, получаваме:

21/г = 1 => y= 21.

След това 12/ х + 12/21 = 1 => 12/х – = 3/7 => x = 28.

Отговор: първата бригада ще изпълни поръчката за 28 дни, втората за 21 дни.

Пример. работник НОи работещ ATможе да завърши работата за 12 дни НОи работещ ОТ– за 9 дни, работещ ATи работна С - за 12 дни. Колко дни ще им отнеме да завършат работата, като работят заедно?

Решение. Нека работникът НОможе да свърши работата за хдни, работещи AT- пер придни, работещи ОТ- пер z дни. Нека приемем цялата работа като единица. След това 1/ х, 1/г и 1/ z – производителност на работниците А, Би ОТ съответно. Използвайки условието на задачата, стигаме до следната система от уравнения, представена в таблицата.

маса 1

След като преобразуваме уравненията, имаме система от три уравнения с три неизвестни:

Добавяйки уравненията на системата член по член, получаваме:

или

Сумата е общата производителност на работниците, така че времето, за което те извършват цялата работа, ще бъде равно на

Отговор: 7,2 дни.

Пример. В басейна са положени две тръби - захранваща и нагнетателна, като през първата тръба басейнът се пълни за 2 часа повече, отколкото през втората тръба се излива водата от басейна. Когато басейнът беше пълен на една трета, двете тръби бяха отворени и басейнът се оказа празен след 8 часа. Колко часа може да се напълни басейнът през една първа тръба и колко часа може да се оттича пълен басейн през една втора тръба ?

Решение. Позволявам V m 3 - обемът на басейна, х m 3 / h - производителността на захранващата тръба, при m 3 / h - изход. Тогава V/ х часове - времето, необходимо на захранващата тръба да напълни басейна, V/ г часа - времето, необходимо на изходната тръба за източване на басейна. Според задачата V/ х – V/ г = 2.

Тъй като производителността на изходящата тръба е по-голяма от производителността на тръбата за пълнене, когато и двете тръби са включени, басейнът ще изсъхне и една трета от басейна ще изсъхне навреме (V/3)/(г – х), което според условието на задачата е равно на 8 ч. Така условието на задачата може да се напише като система от две уравнения с три неизвестни:

Задачата е да се намери V/ х и V/ г. Нека отделим комбинация от неизвестни в уравненията V/ х и V/ г, запис на системата като:

Въвеждане на нови неизвестни V/ х= аи V/ г = b, получаваме следната система:

Заместване във второто уравнение на израза а= b + 2, имаме уравнение за b:

решавайки кое намираме b 1 = 6, b 2 = -осем. Условието на задачата е изпълнено от първия корен 6, = 6 (p.). От първото уравнение на последната система намираме а= 8 (h), т.е. първата тръба пълни басейна за 8 часа.

Отговор: през първата тръба басейнът ще се напълни за 8 часа, през втората тръба басейнът ще се източи след 6 часа.

Пример. Единият тракторен екип трябва да изоре 240 хектара, а другият с 35% повече от първия. Първата бригада, която всеки ден оре с 3 ха по-малко от втората, свърши работа 2 дни по-рано от втората бригада. Колко хектара е орала всяка бригада дневно?

Решение. Нека намерим 35% от 240 ха: 240 ха  35% / 100% = 84 ха.

Следователно вторият екип трябваше да изоре 240 ха + 84 ха = 324 ха. Нека първа бригада ежедневно оре хха Тогава втора бригада ореше ежедневно ( х+ 3) ха; 240/ х– работно време на първа бригада; 324/( х+ 3) - времето на втората бригада. Според условието на проблема първият екип е приключил работа 2 дни по-рано от втория, така че имаме уравнението

което след трансформации може да се запише по следния начин:

324х – 240Х - 720 = 2x 2 + 6x=> 2x 2 - 78x + 720 = 0 => x 2 - 39x + 360 = 0.

След като решихме квадратното уравнение, намираме x 1 \u003d 24, x 2 \u003d 15. Това е нормата на първата бригада.

Така втората бригада е изорала съответно 27 ха и 18 ха на ден. И двете решения удовлетворяват условието на задачата.

Отговор: 24 хектара на ден бяха изорани от първата бригада, 27 хектара от втората; 15 хектара на ден са изорани от първата бригада, 18 хектара от втората.

Пример. През май два цеха са произвели 1080 части. През юни първият цех увеличи производството на части с 15%, а вторият увеличи производството на части с 12%, така че и двата цеха са произвели 1224 части. Колко части е произвел всеки цех през юни?

Решение. Позволявам хчастите са направени през май от първия цех, приподробности - вторият. Тъй като през май са произведени 1080 части, според условието на задачата имаме уравнението х + г = 1080.

Намерете 15% отстъпка х:

И така, на 0,15 хчасти увеличи производството на първия цех, следователно, през юни той произвежда x + 0,15 х = 1,15 хподробности. По същия начин откриваме, че вторият магазин през юни е произвел 1,12 гподробности. Така че второто уравнение ще изглежда така: 1.15 х + 1,12 при= 1224. Така имаме системата:

от които намираме x = 480, y= 600. Следователно през юни цеховете са произвели съответно 552 части и 672 части.

Отговор: първата работилница е произвела 552 части, втората - 672 части.

4. Групата задачи за смеси и проценти включва задачи, в които става дума за смесване на различни вещества в определени пропорции, както и задачи за проценти.

Задачи за концентрация и процент

Нека изясним някои понятия. Нека има смес от Празлични вещества (компоненти) НО 1 НО 2 , ..., НО н съответно, чиито обеми са равни V 1 , V 2 , ..., V н . Смесете обем V 0 се състои от обемите чисти компоненти: V 0 = V 1 + V 2 + ... + V н .

Обемна концентрациявещества НО аз (аз = 1, 2, ..., П)в сместа се нарича количеството c аз, изчислено по формулата:

Обемно съдържание на вещество А аз (аз = 1, 2, ..., П)в сместа се нарича количеството стр аз , изчислено по формула Р аз = с аз ,  100%. Концентрации с 1, с 2 , ..., със н, които са безразмерни величини, са свързани с равенството с 1 + с 2 + ... + с н = 1 и отношенията

покажете каква част от общия обем на сместа е обемът на отделните компоненти.

Ако процентът е известен аз-ти компонент, тогава неговата концентрация се намира по формулата:

това е Пи – е концентрацията азвещество в сместа, изразено като процент. Например, ако процентното съдържание на дадено вещество е 70%, тогава съответната му концентрация е 0,7. Обратно, ако концентрацията е 0,33, тогава процентът е 33%. Така че сумата Р 1 + стр 2 + …+ стр н = 100%. Ако са известни концентрациите с 1 , с 2 , ..., с н компоненти, които изграждат тази смес от обем V 0 , тогава съответните обеми на компонентите се намират по формулите:

Концепциите тегло (маса) концентрализациякомпоненти на сместа и съответните проценти. Те се определят като съотношение на теглото (масата) на чисто вещество НО аз , в сплавта спрямо теглото (масата) на цялата сплав. Каква концентрация, обем или тегло, участва в конкретен проблем, винаги е ясно от неговите условия.

Има задачи, в които е необходимо обемната концентрация да се преизчисли към тегловната или обратно. За да направите това, е необходимо да знаете плътността (специфичното тегло) на компонентите, които изграждат разтвора или сплавта. Да разгледаме например двукомпонентна смес с обемни концентрации на компонентите с 1 и с 2 (С 1 + с 2 = 1) и специфичното тегло на компонентите д 1 и д 2 . Масата на сместа може да се намери по формулата:

при което V 1 и V 2 – обемите на компонентите, които съставят сместа. Тегловните концентрации на компонентите се намират от равенствата:

които определят връзката на тези количества с обемните концентрации.

По правило в текстовете на такива задачи се среща едно и също повтарящо се условие: от две или повече смеси, съдържащи компоненти А 1 , А 2 , НО 3 , ..., НО н , нова смес се съставя чрез смесване на първоначалните смеси, взети в определено съотношение. В този случай е необходимо да се намери в какво съотношение са компонентите НО 1, НО 2 , НО 3 , ..., НО н въведете получената смес. За да се реши този проблем, е удобно да се вземе предвид обемът или теглото на всяка смес, както и концентрациите на нейните съставни компоненти НО 1, НО 2 , НО 3 , ..., НО н . С помощта на концентрациите е необходимо всяка смес да се „раздели“ на отделни компоненти и след това по начина, посочен в условието на проблема, да се състави нова смес. В този случай е лесно да се изчисли колко от всеки компонент е включен в получената смес, както и общото количество на тази смес. След това се определят концентрациите на компонентите НО 1, НО 2 , НО 3 , ..., НО н в новия микс.

Пример.Има две части от медно-цинкова сплав с медно съдържание съответно 80% и 30%. В какво съотношение трябва да се вземат тези сплави, за да се получи сплав, съдържаща 60% мед, чрез стопяване на взетите парчета?

Решение. Нека се вземе първата сплав хкг, а вторият - прикилограма. По условие концентрацията на мед в първата сплав е 80/100 = 0,8, във втората - 30/100 = 0,3 (ясно е, че говорим за тегловни концентрации), което означава, че в първата сплав 0,8 хкг мед и (1 - 0,8) х = 0,2хкг цинк, във втория - 0,3 прикг мед и (1 - 0,3) г = 0,7прикг цинк. Количеството мед в получената сплав е (0,8  х + 0,3  y) kg, а масата на тази сплав ще бъде (x + y)килограма. Следователно новата концентрация на мед в сплавта, според определението, е равна на

Според условието на задачата тази концентрация трябва да е равна на 0,6. Следователно получаваме уравнението:

Това уравнение съдържа две неизвестни хи г.Според условието на задачата обаче не се изисква да се определят самите количества хи y,а само тяхното отношение. След прости трансформации получаваме

Отговор: сплавите трябва да се вземат в съотношение 3: 2.

Пример.Има два разтвора на сярна киселина във вода: първият е 40%, вторият е 60%. Тези два разтвора се смесват, след което се добавят 5 kg чиста вода и се получава 20% разтвор. Ако вместо 5 kg чиста вода се добавят 5 kg 80% разтвор, тогава ще се получи 70% разтвор. Колко бяха 40% и 60% разтвори?

Решение. Позволявам х kg е масата на първия разтвор, прикг - вторият. След това масата на 20% разтвор ( х + при+ 5) кг. Тъй като в х kg 40% разтвор съдържа 0,4 хкг киселина при kg 60% разтвор съдържа 0,6 гкг киселина и (x + y + 5) kg 20% ​​разтвор съдържа 0,2( х + y + 5) kg киселина, тогава по условие имаме първото уравнение 0,4 х + 0,6г = 0,2(х +y + 5).

Ако вместо 5 kg вода добавите 5 kg 80% разтвор, получавате разтвор с маса (x + y+ 5) kg, в които ще има (0,4 х + 0,6при+ 0,8  5) kg киселина, което ще бъде 70% от (x + y+ 5) кг.

Основните методи за решаване на геометрични задачи: геометрични - търсеното твърдение се извежда с помощта на логически разсъждения от редица добре известни теореми; алгебрични - желаната геометрична стойност се изчислява на базата на различни зависимости между елементите геометрични формидиректно или с помощта на уравнения; комбиниран - на някои етапи решението се извършва по геометричен метод, а на други по алгебричен.

Триъгълници Признаци за равенство на триъгълници, правоъгълни триъгълници. Свойства и признаци на равнобедрен триъгълник. Задача 1. Медианата AM на триъгълника ABC е равна на отсечката VM. Докажете, че един от ъглите на триъгълник ABC е равен на сбора от другите два ъгъла. Задача 2. Отсечките AB и CD се пресичат в общата си среда O. На AC и BD са отбелязани точки K 1 така, че AK=BK 1. Докажете, че а) OK=OK 1, б) точка O лежи на правата KK 1. Задача 3 (признак на равнобедрен триъгълник). Ако ъглополовящата на триъгълник е медианата, тогава триъгълникът е равнобедрен.

Задача 4 (признак на правоъгълен триъгълник по медиана). Докажете, че ако медианата на триъгълник е равна на половината от страната, към която е начертан, то триъгълникът е правоъгълен. Задача 5 (свойство на медианата на правоъгълен триъгълник). Докажете, че в правоъгълен триъгълник медианата, прекарана към хипотенузата, е равна на половината от нея. Задача 6. Докажете, че в правоъгълен триъгълник с неравни катети ъглополовящата прав ъгълразполовява ъгъла между височината и медианата, изтеглени от същия връх. Задача 7. Медианата и височината на триъгълник, прекарани от един връх, разделят този ъгъл на три равни части. Докажете, че триъгълникът е правоъгълен.

Имоти на площта. Площи на многоъгълници Следствие от теоремата за площта на триъгълника. Ако височините на два триъгълника са равни, тогава техните площи се отнасят като основи. Теорема за отношението на площите на триъгълници с равни ъгли. Ако ъгълът на един триъгълник е равен на ъгъла на друг триъгълник, тогава площите на тези триъгълници са свързани като произведенията на страните, съдържащи равни ъгли.

Теореми за пресечната точка на Cevian Теорема. Във всеки триъгълник медианите се пресичат в една точка (центъроид, център на тежестта) и се разделят от тази точка в съотношение 2:1, като се брои от върха. Свойства на медианата: 1. Медианата разделя триъгълника на два равни, тоест с еднаква площ. 2. Три медиани разделят триъгълника на шест равни. 3. Отсечките, свързващи центроида с върховете на триъгълника, разделят триъгълника на три равни части.

Един от основните методи за решаване на задачи, в които участват медианите на триъгълник, е методът "удвояване на медианата". Попълнете триъгълника до успоредник и използвайте теоремата за сумата от квадратите на неговите диагонали. Задача 8. Намерете отношението на сбора от квадратите на медианите на триъгълник към сбора от квадратите на всичките му страни.

Свойство на ъглополовяща на вътрешен ъгъл на триъгълник. Симетралата на вътрешния ъгъл на триъгълник разделя противоположната страна на части, пропорционални на ограждащите го страни. Теорема. Във всеки триъгълник ъглополовящите се пресичат в една точка (и център), която е центърът на вписаната в него окръжност. Забележка: Очевидно центроидът и центърът на триъгълник винаги лежат вътре в него.

. Решение. B A 1 1) В триъгълник ABC AA 1 е ъглополовящата на ъгъл A, следователно AB: AC = BA 1: CA 1 = BA 1: (BC - BA 1) I или C А B 1 2) В триъгълник ABA 1 BI е ъглополовящата на ъгъл B, така че AI: IA 1 = BA: BA 1 или

Теорема за ъглополовящата на отсечка. Всяка точка от перпендикулярната ъглополовяща към отсечка е на еднакво разстояние от краищата на тази отсечка. Обратно, всяка точка, еднакво отдалечена от краищата на сегмента, лежи върху перпендикулярната към него ъглополовяща. Теорема. Перпендикулярните ъглополовящи на страните на триъгълник се пресичат в една точка, която е центърът на описаната около него окръжност. Теорема. Във всеки триъгълник височините се пресичат в една точка (ортоцентър на триъгълника). Въпрос. Къде е ортоцентърът на остроъгълния, правилния, тъпоъгълния триъгълник?

Решение. B 1) Триъгълник BC 1 H е правоъгълен и C 1 H 2) Триъгълник BC 1 C е правоъгълен и A B 1 C

Използване на кастинг формули. Къде е бележката. Ако един от ъглите е тъп, тогава в (*) съответният косинус трябва да бъде взет по модул.

Интересни са задачите за намиране на разстоянието от произволен връх на триъгълник до една от неговите забележителни точки. Първо решаваме проблема с намирането на разстоянието от върха до ортоцентъра. Задача 11. В триъгълника ABC са пропуснати височини BB 1 и CC 1. Намерете дължината на отсечката HB, където H е пресечната точка на височините. B 1) триъгълник BC 1 Н е правоъгълен и Решение. C 1 H 2) триъгълник BC 1 C е правоъгълен триъгълник и A B 1 C

Задача 12. Намерете разстоянието от връх B на триъгълник ABC до ортоцентъра, ако Решение. По закона на косинусите Тогава

Задача 13. При ъгли A и B на триъгълник ABC (A

Задача 14. Кой от върховете на триъгълника е по-близо до центъра? Решение. C D I A Нека I е центърът, точката на пресичане на ъглополовящите на триъгълника ABC.Нека използваме факта, че по-големият ъгъл лежи срещу по-голямата страна на триъгълника. Ако AB > BC тогава A

Задача 15. Коя от височините на триъгълника е най-малка? Решение. C B 1 A 1 H A C 1 Нека H е пресечната точка на височините на триъгълник ABC. Ако AC B. Окръжност с диаметър BC минава през точките C 1 и B 1. B Като се има предвид, че по-малката от двете хорди е тази, върху която лежи по-малкият вписан ъгъл, получаваме, че CC 1

Задача 16. Отсечката AH е височината на триъгълника ABC. От върховете B и C са прекарани перпендикуляри BB 1 и CC 1 към правата, минаваща през точка A. Докажете, че триъгълниците ABC и HB 1 C 1 са подобни. Намерете площта на триъгълника HB 1 C 1, ако площта на триъгълника ABC е равна на S и AC: HC 1 =5: 3. Доказателство. Тъй като триъгълниците ANS и ACC 1 са правоъгълни, точките H и C 1 A лежат на окръжност с диаметър AC. C 1 B B 1 H По същия начин точките B 1 и H лежат на окръжност с диаметър AB. С триъгълник ACC 1

Следователно, Тъй като (1) и (2) са валидни, И тогава триъгълниците ABC и HB 1 C 1 са подобни. C 1 Коефициент на подобие B B 1 H C означава

Задача 17. Нека точките A 1, B 1, C 1 в остроъгълен триъгълник ABC са основи на височините. Докажете, че точката H - пресечната точка на височините на триъгълник ABC е пресечната точка на ъглополовящите на триъгълника A 1 B 1 C 1. Решение. Върху страни AC и BC B на триъгълник ABC, както върху диаметри C 1 A, построяваме окръжности. H Точки A 1, B 1, C 1 принадлежат на тези окръжности. 1 A B 1 C Следователно B 1 C 1 C = B 1 BC, като ъгли, базирани на една и съща кръгова дъга. B 1 BC = CAA 1, като ъгли с взаимно перпендикулярни страни.

CAA 1 = CC 1 A 1 като ъгли, базирани на една и съща кръгова дъга. Следователно B 1 C 1 C = CC 1 A 1, т.е. C 1 C е ъглополовящата на ъгъла B 1 C 1 A 1. По същия начин се показва, че AA 1 и BB 1 са ъглополовящи на ъглите B 1 A 1 C 1 и A 1 B 1 C 1. B C 1 A 1 H A B 1 C Разгледайте самостоятелно случаите на правоъгълен и тъп триъгълник.

Интегриране на алгебрични и геометрични методи при решаване на задачи

Един от неотложните проблеми на училищното математическо образование на съвременния етап е проблемът за интегрирането на математическите знания, формирането на цялостни идеи на учениците за математиката като наука. Решаването на този проблем е особено важно за основното училище, където се изучават две математически дисциплини: алгебра и геометрия.

Понятието „интеграция“ [лат. integratio - възстановяване, попълване; цяло число - цяло] се тълкува като възстановяване, обединяване в едно цяло на всякакви части, елементи; като състояние на свързаност в едно цяло на отделни обособени части, а също и като процес, водещ до такова състояние. В образованието интеграцията често се разбира като взаимно влияние, взаимопроникване и взаимовръзка на съдържанието на различни академични дисциплини.

Тъй като в обучението по математика основната дейност на учениците е решаването на задачи, препоръчително е да се интегрират алгебрата и геометрията по линия на техните методи. Алгебричният метод (по отношение на елементарната математика) се тълкува като метод, състоящ се в използването на букви и буквални изрази, които се трансформират по определени правила. Нарича се още метод на буквалните изчисления.

Геометричният метод се характеризира като метод, който идва от визуални представи. Основните характеристики на това понятие са геометричните (визуални) изображения и законите на геометрията, които отразяват свойствата на геометричните форми.

Ако вземем системата от знания, на която се основава методът, като основа за класификацията на алгебрични и геометрични методи, тогава получаваме следните методи.

1. Алгебричен:метод на тъждествените преобразувания; метод на уравненията и неравенствата; функционален метод; векторен метод; координатен метод.

2. Геометричен(ограничаваме се до планиметрията): метод на дължината; метод на триъгълника; метод на успоредните прави; метод за отношения между страни и ъгли на триъгълник; метод на четириъгълниците; площен метод; метод за подобие на триъгълник; тригонометричен метод (метод, базиран на съотношенията между страните и ъглите на триъгълник, изразени чрез тригонометрични функции); метод на геометричните трансформации; графичен метод (въпреки че този метод се изучава в курса по алгебра, той се основава на използването на геометрични представяния на функции и законите на геометрията, свързани с тях).

Ще приемем, че всеки метод се състои от определени техники, а всяка техника се състои от действия. Под интегриране на алгебрични и геометрични методи имаме предвид процеса на комбиниране на тези методи или свързване на техните техники в един метод.

В областта на преподаването на решаване на проблеми, интегрирането на методите включва паралелно (в един урок) решаване на задача чрез различни методи (алгебрични и геометрични) или решаване на алгебрична задача чрез геометричен метод и геометрична задача чрез алгебричен метод. Средствата за интегриране могат да бъдат специални блокове задачи, които включват както алгебрични, така и геометрични задачи. Да дадем примери.

7 клас

Тук можете да използвате текстови задачи от курса по алгебра и геометрични задачи, решени по метода на уравненията.

Задача 1. Единият елеватор имаше два пъти повече зърно от другия. От първия елеватор са извадени 750 тона зърно, във втория са докарани 350 тона, след което зърното се изравнява и в двата елеватора. Колко зърно е имало първоначално във всеки елеватор?

За решаването на тази задача използваме метода на уравненията и неравенствата от алгебрата и метода на дължините от геометрията, базиран на свойствата на дължината на отсечка.

Алгебричен метод. Нека първоначално x тона зърно са били във втория елеватор, тогава 2x тона зърно са били първоначално в първия елеватор; В първия елеватор останаха (2x – 750) тона зърно, а във втория елеватор станаха (x + 350) тона зърно. Тъй като зърното в двата елеватора стана равно, можем да направим уравнение

2x - 750 = x + 350, следователно x = 1100, 2x = 2 1100 = 2200.

Отговор: 2200 тона зърно имаше в първия елеватор и 1100 тона - във втория.

геометричен метод.Решаваме този проблем с помощта на линейна диаграма. Линейната диаграма обикновено представлява сегмент или няколко сегмента, чиято дължина съответства на числените стойности на въпросното количество. Решаваме проблема на етапи.

1-ви етап. Построяване на линейна диаграма. След като прочетат текста на задачата, учениците обсъждат следните въпроси (възможна е помощ от учителя).

1. Колко ситуации са разгледани в задачата?

[Две: начален и последен.]

2. От каква ситуация трябва да започнете изграждането на линейна диаграма?

[Можете да започнете да изграждате от първата ситуация и да преминете от нея към втората, или можете
първо изградете линейна диаграма на крайната ситуация и преминете от нея към
начален. Помислете за първата опция за изграждане на линейна диаграма.]

3. Каква е линейната диаграма на изходната ситуация?

[Два сегмента, единият от които е два пъти по-дълъг от другия. Първият сегмент представлява
количеството зърно в първия елеватор, а второто - във втория елеватор.]

След това учениците изграждат диаграма на изходната ситуация. След това дискусията продължава.

4. Как да преминете на диаграмата от първата ситуация към втората?

[Необходимо е да се извади от първия сегмент сегментът, който условно изобразява 750 тона, и
добавете сегмент, представляващ 350 тона към втория сегмент.]

5. Тези сегменти взети ли са произволно?

[Не, трябва да се има предвид, че новополучените сегменти трябва
да бъдат еднакви, тъй като зърното в двата елеватора стана равно.]

След извършване на действия с сегменти, учениците получават диаграма на крайната ситуация. Първият етап от работата по задачата завършва с обозначаване на сегменти и проектиране на записи на чертежа.

2-ри етап. Решение на получената геометрична задача. Построената линейна диаграма превръща алгебрична задача в геометрична, чието решение се основава на използването на свойствата на дължината на сегмента, а именно:

1) равни сегменти имат равни дължини; по-малък сегмент има по-къса дължина;
2) ако точка разделя сегмент на два сегмента, тогава дължината на целия сегмент е равна на сбора от дължините на тези два сегмента.

Учениците пишат решението на геометричен език, като използват нотацията на сегменти, а резултатът се превежда в естествен език. В този случай този превод се извършва автоматично поради трансфер на терминология (3-ти етап). Първо трябва да се направи подробен запис на решението, като се посочи какво представлява всеки сегмент. Постепенно можете да преминете към кратка бележка, тъй като някои факти са видими на фигурата.

Нека дадем подробен запис на решението на задача 1.

Решение. 1-ви етап. Нека сегмент AB представлява количеството зърно в първия елеватор (фиг. 1), тогава сегментът ще представлява количеството зърно във втория елеватор.

AB = 2CD - начално разпределение на зърното между елеваторите. 750 тона зърно бяха извадени от първия елеватор и 350 тона бяха докарани до втория елеватор, така че изваждаме сегмента BK, условно представляващ 750 тона, от сегмента AB и добавяме сегмента DE, представляващ 350 тона, към CD сегмента.

2-ри етап. Метод I. CD = AF = FB (по конструкция),

FB = FK + KB = 350 + 750 = 1100, така че CD = 1100, AB = 1100 2 = 2200.

3-ти етап. Отговор: в първия елеватор имаше 2200 тона зърно, във втория 1100 тона.

Учениците могат да направят кратка бележка за решението на проблема, например, може да бъде така.

Решение. AB = 2CD - начално разпределение на зърното между два елеватора; BK=750, DE=350.

AK = CE - окончателно разпределение на зърното между елеваторите.

CD = AF = FB (по конструкция), FB = 350 + 750 = 1100, тогава

CD = 1100, AB = 1100 2 = 2200.

Отговор: 2200 тона, 1100 тона.

Линейната диаграма ви позволява да правите различни уравнения за проблема, които учениците не могат да напишат без чертеж, тоест става възможно да се реши проблемът по различни алгебрични начини. Нека да разгледаме някои от тях.

Метод II. Нека AK = CE = x, тогава, тъй като AB = 2CD, получаваме x + 750 = 2 (x - 350),

откъдето x = 1450, CD = 1450 - 350 = 1100, AB = 1100 2 = 2200.

Отговор: 2200 тона, 1100 тона.

Метод III. Нека CD = x, тогава AB = 2x. Тъй като AK = CE, имаме 2x - 750 = x + 350

(Същото уравнение се получава при решаване на задачата без диаграма.)

Линейната диаграма позволява не само да се реши проблем без уравнение, но често отговорът може да се "види" направо на чертежа.

Задача 2. Един градински парцел има пет пъти повече малинови храсти от друг. След като 22 храста бяха трансплантирани от първия участък във втория, тогава и в двата участъка на малиновите храсти се раздели поравно. Колко малинови храсти имаше на всеки парцел?

Решение. 1-ви етап. Нека отсечката AB представлява броя на малиновите храсти в първата зона, а отсечката CD – броя на малиновите храсти във втората зона (фиг. 2). AB и 5CD - първоначално разпределение на малиновите храсти между парцелите.

Тъй като и двете секции на малиновите храсти станаха равни, разделяме сегмента BE наполовина (BF = FE) и изваждаме сегмента BF от сегмента AB и добавяме сегмента DK (DK = BF) към сегмента CD. AF = CK - крайно разпределение на малиновите храсти между парцелите.

2-ри етап. Според условието 22 храста са трансплантирани от първото място на второто, което означава BF = 22 = 2CD, след това CD = 11, AB = 5CD = 5 11 = 55.

Отговор: на първия обект имаше 55 малинови храсти, на втория 11 храсти.

Едно от предимствата на използването на геометричния метод при решаването на разглежданите проблеми е неговата яснота. Изграждането на линейна диаграма и преминаването от едно от нейните състояния към друго позволява на учениците да възприемат по-добре ситуациите, описани в проблема, и следователно помага да се намерят начини за решаването му. Понякога отговорът е почти очевиден на чертежа, това прави възможно използването на линейна диаграма за проверка на решението на проблема, което се извършва по алгебричен метод без чертеж.

На мотивационния етап от формирането на геометричния метод е препоръчително да се предложи решаване на проблема по два метода: алгебричен и геометричен. Задачата трябва да бъде избрана по такъв начин, че нейното решение с помощта на линейна диаграма да е по-рационално от решение без чертеж. Нека дадем пример за решаване на един от тези проблеми.

Задача 3. Първият резервоар съдържа четири пъти повече течност от втория. Когато 10 литра течност се изляха от първия резервоар във втория, се оказа, че това, което остана в първия, стана във втория резервоар. Колко литра течност е имало във всеки резервоар първоначално?

Решение. Алгебричен метод. Довеждаме до уравнението

където x l е първоначалното количество течност във втория резервоар.

Решавайки това уравнение, намираме х = 10, тогава

4x = 4 10 = 40.

И така, в първия резервоар имаше 40 литра, а във втория 10 литра.

Геометричен метод. Нека изградим линейна диаграма на първоначалното разпределение на течността между два резервоара. Нека сегментът AB представлява количеството течност (l) в първия резервоар (фиг. 3), тогава сегментът CD ще представлява количеството течност (l) във втория резервоар (конструкцията може да започне от сегмент CD). AB = 4CD - първоначално разпределение на течността между два резервоара.

Процесът на преливане на течност от един резервоар в друг ще бъде показан като изваждане на сегмент от сегмент AB и добавянето му към сегмент CD. За да разберете дължината на сегмента, който трябва да се извади от сегмента AB, е необходимо да се отбележи следното: в първия и втория резервоар имаше 5 части течност, а в първия резервоар имаше 4 части, а в втората 1 част.

След преливане общото количество течност (5 части) не се промени, но във втория резервоар стана 2 части, а в първия 3 части. Това означава, че сегментът BE трябва да се извади от сегмента AB (BE = CD), а сегментът DK (DK = BE) трябва да се добави към сегмента CD, след което , което съответства на преливането на течност. Следователно BE = 10, тогава

AB=40, CD=BE=10.

И така, в първия резервоар имаше 40 литра течност, а във втория 10 литра.

След като решите проблема, трябва да сравните двата метода за решение с учениците, да идентифицирате предимствата и недостатъците на всеки от тях.

Трябва да се отбележи, че с помощта на линейни диаграми се решават проблеми, в които са дадени съотношенията на стойностите на количествата (по-малко, повече, по, при, същото) и се разглеждат една или повече ситуации.

Текстовите задачи, в които една от величините е произведение на другите две, ни позволяват да интегрираме метода на площта, базиран на свойствата на площта, и метода на уравненията и неравенствата. Да дадем примери.

Задача 4. Екипът от дървосекачи дневно превишава нормата с 16 m 3, така че изпълнява седмичната норма (шест работни дни) за четири дни. Колко кубични метра дървен материал е добивала бригадата на ден?

Решение. Алгебричен метод. Стигаме до уравнението

където x m 3 е дневната норма на бригадата по план.

Геометричен метод. Тъй като задачата разглежда произведението на две величини (A = pn), за яснота я представяме под формата на двумерна диаграма. Двумерна диаграма е площта на един или повече правоъгълници, чиито страни представляват числените стойности на разглежданите количества (p и n), а площта на правоъгълника представлява техния продукт (S = А).

Решаването на проблема, както и в случая на линейна (едномерна) диаграма, протича на три етапа:

1) изграждане на двуизмерна диаграма, т.е. превеждане на проблема на езика на сегменти и области на фигури;
2) решаване на получения геометричен проблем чрез съставяне на уравнение, основано на използването на свойствата на площта на многоъгълни фигури;
3) превод на получения отговор от геометричен език на естествен език.

1-ви етап. Реализира се при анализ на текста на задачата. Учениците отговарят на следните въпроси.

1. Възможно ли е да се построи двумерна диаграма според условието на задачата?

[Възможно е, тъй като едно от количествата (седмичната норма на бригадата) е равно на
произведението на другите две: дневната норма на бригадата и броя на дните.]

2. Какво е 2D диаграма?

[Правоъгълник, едната страна на който определя
бригадни дневни пари, а другата - броя на дните.]

3. Колко правоъгълника трябва да се построят?

[Второ, техните области ще определят седмичната норма на бригадата
по план и реално свършена работа за четири дни.]

4. Какво може да се каже за площите на тези правоъгълници?

[Те са равни, тъй като са изпълнени в четири
работен ден е равен на седмичната ставка.]

След това учениците с помощта на учителя завършват конструкцията. Основата и височината на първия правоъгълник са взети произволно, вторият правоъгълник е равен на първия, а основите им са сегменти, лежащи на един и същ лъч с общ произход (фиг. 4). Първият етап завършва с обозначаване на правоъгълници и проектиране на записи в чертежа.

В началото на изучаването на геометричния метод се води подробен запис какво означава дължината, ширината и площта на всеки правоъгълник, тоест задачата се превежда на геометричен език.

2-ри етап. Етапът започва с разглеждане на площите на получените правоъгълници и установяване на връзки между тях (равенства, неравенства). На учениците се задава въпросът: назовете правоъгълниците с равни повърхнини. Съответният запис е:

S ABCD \u003d S AMNK \u003d S, S 1 \u003d S 2, тъй като S 1 + S 3 = S 2 + S 3.

Сред учениците може да има такива, които ще завършат чертежа с голяма неточност, т.е. в чертежа правоъгълниците BMNE и KECD очевидно няма да бъдат еднакви по размер. Трябва да се обърне внимание и да се отбележи, че правите KB и CN трябва да са успоредни.

Използвайки условието S 1 \u003d S 2, се съставя уравнение. Нека да дадем приблизителна нотация на решението на задача 4 по геометричния метод.

Решение. Нека S ABCD определя седмичната норма за екип дървосекачи. AB - производителност (m 3) на бригадата на ден според плана; AD - брой дни; S AMNK - количеството работа, извършена от екипа за четири дни.

SAMNK=SABCD=S;

S 1 \u003d S 2, тъй като S 1 + S 3 \u003d S 2 + S 3.

S 1 \u003d 2KE, S 2 \u003d 16 4 \u003d 64,

означава 2KE = 64, тогава KE = 32.

AB = KE = 32, AM = AB + BM = 32 + 16 = 48.

Отговор: бригадата е добивала 48 m 3 гора на ден.

С помощта на двуизмерна диаграма и геометрични връзки, по-специално равната площ на правоъгълниците ABCD и AMNK, може да се направи друго уравнение. Ако AB = x, тогава получаваме

(същото уравнение се получава при решаване на задачата без чертеж).

Задача 5. Заводът трябваше да изпълни поръчката за производство на автомобили за 15 дни. Но вече два дни преди крайния срок заводът не само изпълни плана, но и произведе още шест автомобила над плана, тъй като всеки ден произвеждаше по две коли над плана. Колко коли е трябвало да произведе заводът според плана?

Особеността на решаването на тази задача по геометричния метод, в сравнение с решението на предишната задача, е, че областите S 1 и S 2 (виж фиг. 4) не са равни, тъй като според условието растението не изпълни само плана, но и произведе над плана още шест автомобила. Учениците трябва да имат предвид това както при конструиране на чертеж, така и при съставяне на уравнение.

Решение. Нека AB представлява производствения капацитет на завода на ден по план (фиг. 5). АД - срок на изпълнение на поръчката по план. След това S ABCD определя цялата поръчка за производство на автомобили, AM представлява броя автомобили, които фабриката произвежда ежедневно, AP е времето за изпълнение, а S AMNP съответства на броя автомобили, които фабриката произвежда за 13 дни.

Според условията заводът произведе шест автомобила над плана, така че имаме

S 1 + S 3 + 6 \u003d S 3 + S 2 или S 1 + 6 \u003d S 2,

но S 2 = 2 13 = 26, следователно S 1 + 6 = 26, откъдето S 1 = 20. От друга страна, S 1 = 2AB, следователно 2AB = 20, тогава AB = 10, S ABCD = AB 15 = 10 15 = 150.

Отговор: по план заводът трябваше да произведе 150 коли.

Като средство за интегриране на методите в 7. клас могат да служат и геометричните задачи. Да дадем примери.

Задача 6. Точка A разделя отсечката CD наполовина, а точка B я разделя на неравни части. Докажете, че площта на правоъгълник с размери CB и BD е равна на разликата между площите на квадратите със страни AD и AB

Решение. Нека CD = x, BD = y. Тогава

Следователно, за да се реши проблемът, е необходимо да се докаже самоличността

Както можете да видите, методът на площите и методът на идентичните трансформации участват в решаването на този проблем.

Задача 7. AP = PQ = QR = RB = BC, AB = AC (фиг. 7). Намерете ъгъл А.

Решение. Нека Р A = x, тогава Р 1 = Р A = x. P 2 \u003d 2x (като външния ъгъл на триъгълника APQ), P 4 \u003d P 2 \u003d 2x.

P 3 \u003d 180 ° - (P 2 + P 4) \u003d 180 ° - 4x,

P 5 \u003d 180 ° - (P 1 + P 3) \u003d 3x,

P 6 = P 5 = 3x. P 7 = P B - P 6, но

Ето защо

Тъй като P 8 \u003d P C, тогава P C + P 8 + P 7 \u003d 2P C + P 7 \u003d 180 °, или

Решавайки това уравнение, получаваме, че х = 20°.

Отговор: P A \u003d 20 °.

При решаването на тази задача са използвани методът на триъгълниците и методът на уравненията и неравенствата. Подобни задачи се срещат в учебниците по геометрия.

Итеративни алгебрични методи за реконструкция на изображение

дипломна работа

4.1 Алгебричен метод

Нека функцията f(x) = f(x, y) описва някакво разпределение на плътността в избрана част от обекта. Основната задача на компютърната томография е да реконструира функцията f(x) от набор от експериментално получени проекции:

които са линейни интеграли от желаното разпределение по правата L:. Това е ъгълът на сканиране, това е делта функцията.

На практика, като правило, прогнозите не се задават за всички стойности и, а само за краен брой от тях. Има редица практически проблеми, за които броят на дискретизациите с 0 е много ограничен (от 3 до 5). Проблеми от този тип са свързани с проблемите на нискоъгълната томография и са сред най-трудните за решаване. Задачата може да се формулира по следния начин: за даден краен набор от проекции на функция на две променливи, да се получи най-добрата оценка на тази функция.

Нека формулираме обща постановка на задачата за възстановяване на решение на задача (4.1) с помощта на алгебрични методи и да конструираме итеративен алгоритъм за възстановяване на такива проблеми. Използването на алгебрични методи е фундаментално различно от метода на интегралните трансформации, тъй като включва дискретизация на изображението преди началото на алгоритъма за възстановяване. Изграждането на дискретен модел на проблема за възстановяване на изображението може да бъде описано по следния начин.

Нека се изисква възстановяване на двумерна функция f(x)=f(x,y), дефинирана в областта D R2. Да приемем, че зоната за възстановяване D е затворена в квадрат K, който е разделен на n равни малки квадрата, наречени elises. Нека номерираме всички елизи от 1 до n. В същото време ще приемем основното ограничение, което е, че възстановената функция f(x) приема постоянна стойност fj вътре в j-тата елиза, т.е. заместваме функцията f ( x) с дискретизирания израз

if (x) j-та елиза;

в противен случай. (4.3)

Да приемем, че ни е даден набор от линейни непрекъснати функционали, които представляват директното преобразуване на Радон по набор от някои линии:

Тогава е проекцията на функцията f(x) по лъча Li.

Прилагайки оператори към равенство (4.2) и като вземем предвид тяхната непрекъснатост и линейност, получаваме система от линейни алгебрични уравнения

където i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.

Ако семейството от базисни функции (bj) е дадено с формула (4.3), тогава

Дължината на пресечната точка на i-тия лъч с j-тия елиз.

Означаваме матрицата на коефициента A=(), вектора на изображението f=(f1, f2, ..., fn), проекционния вектор R=(R1, R1, ..., Rt). Тогава решението на проблема се свежда до решаване на система от линейни алгебрични уравнения от вида

В този случай векторът R е известен с известна грешка.

Трябва да се отбележи, че формата на системата (4.5) зависи от конкретния избор на системата от базисни функции bi и набора от функционали Ri. Има и други начини за избор на разделителната мрежа на домейна D (и, следователно, базисните функции bi). Функционалите се избират не само във формата (4.4), но и като се вземе предвид действителната дължина на лъчите и се използват частично постоянни функции. Освен това постановката на проблема не зависи от геометрията на лъчите и се формулира лесно за триизмерния случай.

4.2 Използване на оператори за подреждане

В този подраздел разглеждаме нов метод за представяне на приблизително решение на проблема с плоската компютърна томография (КТ) под формата на частично постоянни функции. Методът има по-висока точност от класическия метод за решаване на равнинна RKT задача с помощта на частично постоянни функции.

разделяне на E2 на четириъгълници. Нека въведем следната нотация.

Операторът О1 е операторът за приближаване на f(x,y) чрез частично постоянни функции по x. Ако y=const, то се намира от условието за най-доброто приближение f(x,y) в лентата, yE. Аналогично, операторът О2 е операторът за приближаване на f(x, y) чрез частично постоянни функции в y.

Ако x=const, тогава j(x) се намира от най-доброто съвпадение f(x,y) в лентата, xE.

Представяме ви следните оператори:

Намираме стойностите от условието за най-добро приближение на f с числото f(оij, ij) в

Лема 3.1 Нека функция, r=1,2 или и е функция с ограничена вариация. Тогава операторите Onm имат свойствата

Доказателство. Свойствата (3.25) и (3.26) следват от факта, че

Свойството (3.27) следва от факта, че

Свойствата (3.29) са валидни за всички диференцируеми функции и за непрекъснати функции с ограничена вариация.

Лема 1 е доказана.

Следствие 1. За и за непрекъснати функции с ограничена вариация получаваме следната оценка на грешката.

Следствие 2. Замяна на функции с частично постоянни функции на една променлива със същата оценка на грешката

получаваме оператора

Вземете стойности за gi (x)

Вземете стойности за Gi (y)

със следните свойства:

Следствие 3. Оператор

има следните свойства:

Ако r=1,2 или u е функция с ограничена вариация, тогава

Доказателство. За грешката можем да запишем равенството

Това предполага неравенството

Прилагайки оценките 3 и 4 към дясната страна на получения израз, стигаме до оценката (3.42).

Следствие 3 е доказано.

Ако m=n, тогава операторът има грешка (използва константи); приближението от оператора има грешка. Тоест операторът (използва константи) има същата грешка като оператора:

Следващите параграфи подчертават предимствата на този метод.

Брой неизвестни

Използването на интерлиниране на функции при конструирането на приблизително решение, а именно представянето на приблизително решение във формата:

доведе до появата на 2n3+n2 константи, които са неизвестни. Следователно операторът използва O(n3) константа-неизвестни. Операторът има грешка.

Използването на оператора - класическото представяне на приближеното решение - води до появата на n4 константи, които са неизвестни. Следователно операторът използва O(n4) константа-неизвестни. Операторът има грешка.

Обобщавайки горното, заключаваме, че използването на оператора изисква намиране на O(n3) неизвестни, докато използването на оператора изисква намиране на O(n4) неизвестни за приблизително решение със същата грешка.

Следователно използването на оператора дава значителни предимства по отношение на броя на аритметичните операции, тъй като за да се постигне същата точност, е необходимо да се реши система от линейни алгебрични уравнения с по-ниска размерност.

За да илюстрираме този факт, представяме следната таблица:

маса 1

	неизвестен	неизвестен	Грешка

Сравненията показват, че за да постигнете същата точност, когато използвате оператора, можете да вземете по-малко уравнения. Например при n=9 броят на неизвестните в класическия метод е 4 пъти по-голям.

Поради факта, че системата трябва да бъде свръхопределена и за n = 9 неизвестни 1539 (за случая с интерлинация) и 6561 (за класическия метод), а броят на уравненията трябва да се вземе повече от броя на неизвестните, то ясно е, че при метода с интерлинация тези уравнения ще бъдат по-малки.

Изчислителен експеримент, проведен с помощта на разработените алгоритми и програми, потвърди тези твърдения.

Регионална дискретизация

Използването на схеми за решаване на проблема с плоска компютърна томография, базирано на използването на и определя дискретизацията на зоната.

За - неправилна решетка: разбивка на квадрати със страна и правоъгълници със страни и, удължени съответно по оста Ox и Oy. Възлите на мрежата са разположени в центровете на квадрати и правоъгълници.

За - правилна мрежа: разбивка на квадрати със страна. Възлите на мрежата са разположени в центровете на квадратите.

Положителният ефект от прилагането на оператора се постига благодарение на различното разположение на възлите, което води до връзка между следната връзка:

Които съвпадат с възлите, разположени в центровете на съответните квадратни, вертикални и хоризонтални правоъгълници.

За тези точки, тъй като в тези центрове, тогава имаме точни решения.

Следователно, приблизителното решение, конструирано с помощта на е интерполационна формула. С негова помощ стойността на функцията се изчислява във всякакви точки от областта D, различни от посочените, в които има точно съвпадение

Относно точно съвпадение в посочените центрове. означава,

Антагонистична игра

Има два случая за решаване на задачи по алгебричния метод: 1. матрицата има седлова точка; 2. матрицата няма седлова точка. В първия случай решението е двойка стратегии, които формират седловината на играта. Да разгледаме втория случай...

Изчислителна математика

Методът за разделяне на сегмент наполовина е най-простият и надежден начин за решаване на нелинейно уравнение. Нека бъде известно от предварителен анализ, че коренът на уравнение (2.1) е в интервала, т.е. x*, така че f(x*) = 0...

Изчислителна математика

Методът на Нютон е най ефективен методрешения на нелинейни уравнения. Нека коренът е x*, така че f(a)f(b)< 0. Предполагаем, что функция f(x) непрерывна на отрезке и дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b). Положим x0 = b...

Изчислителна математика

В този и следващия раздел разглеждаме модификации на метода на Нютон. Както се вижда от формула (2.13), методът на Нютон изисква изчисляване на производна за неговото прилагане, което ограничава неговото приложение. Секантният метод няма този недостатък...

Итеративен алгебрични методиреконструкция на изображението

Нека функцията f(x) = f(x, y) описва някакво разпределение на плътността в избрана част от обекта. Основната задача на компютърната томография е да възстанови функцията f(x) от набор от експериментално получени проекции: (4...

x2, x4, x5, x6 - основни променливи, x1, x3 - свободни променливи x1?F? x3?F? Избирате x3? x4 x2, x3, x5, x6 - основни променливи, x1, x4 - свободни променливи x1?F? x4?F? Избор на x1? x5 x1, x2, x3, x6 - основни променливи, x4...

Линейно и нелинейно програмиране

Глобалният минимален метод за търсене, наречен метод за търсене в мрежата, е надежден, но приложим само за проблеми с ниска размерност (n<4). Неправильный выбор начального шага сетки может привести к тому...

Линейно и нелинейно програмиране

Итерация 1. Брой итерации k = 0 Итерация 2. Брой итерации k = 1 Търсенето е завършено 3.3...

Теоретична информация Нека функцията y = f(x) е непрекъсната на отсечката . Трябва да изчислим определения интеграл. Точно както при метода на параболата, ние разделяме сегментите. Същността на метода на правоъгълника е...

Математическо моделиране и числени методи при решаване на технически проблеми

Теоретична основа Да предположим, че трябва да изчислим определен интеграл, където y = f(x) е непрекъснат в интервала . Нека разделим отсечката на n равни интервала с дължина h по точки. В този случай стъпката на разделяне се определя по същия начин, както при метода на параболата...

Методи за решаване на диференциални уравнения

Методът на правоъгълниците е метод за числено интегриране на функция на една променлива, който се състои в замяна на интегранд с полином от нулева степен, тоест константа, на всеки елементарен сегмент ...

Системен анализ на групи трансформации на състояния на куба на Рубик

CFOP е името на четирите етапа на сглобяване (фигура 3.2): Cross, F2L, OLL, PLL: 1) Cross - кръстосано сглобяване ...

Системи линейни уравнения

Да разгледаме система от 3 линейни уравнения с три неизвестни: Детерминант от трети ред, съответстващ на матрицата на системата, т.е. съставена от коефициентите на неизвестните се нарича детерминанта на системата...

Системи линейни уравнения

Методът на Гаус се основава на следната теорема: елементарните трансформации на редовете на разширената матрица на системата съответстват на трансформацията на тази система в еквивалентна. С помощта на елементарни трансформации на редове на разширената матрица...

Числени методи за решаване на трансцендентни уравнения

Нека уравнение (1) има корен на сегмента и f (x) и f "(x) са непрекъснати и запазват постоянни знаци през целия интервал. Геометричният смисъл на метода на Нютон е, че дъгата на кривата y \u003d f (x) се заменя с допирателна...