Такива пръти и прътови системи се наричат ​​статично неопределени, при които реактивните фактори и вътрешните сили не могат да се определят само от уравненията на равновесието. Тези системи се класифицират според степента на статична неопределеност. Степента на статична неопределеност е разликата между броя на неизвестните реакции и броя на уравненията на равновесието. Степента на статична неопределеност на системата определя броя на допълнителните уравнения (уравнения на преместване), които трябва да бъдат съставени при разкриване на статична неопределеност.

В статично определени прътови системи силите възникват само от действието на външно натоварване. В статично неопределените прътови системи силите възникват не само от външни натоварвания, но и в резултат на неточности в производството на отделни елементи на системата, промени в температурата на елементите на системата и др. Когато действителните надлъжни размери на прътите се отклоняват от номиналните (изчислени) по време на монтажа на статично неопределени системи, възникват допълнителни, така наречените монтажни сили и напрежения. Когато температурата на статично неопределена прътова система се промени, в нейните елементи възникват допълнителни, така наречените топлинни напрежения и напрежения.

Изчисляването на статически неопределени пръти и прътови системи се извършва по следния метод.

1. Извършва се анализ на схемата на закрепване и се определя степента на статична неопределеност на прътовата система.

2. Разглежда се статичната страна на проблема, т.е. съставят се уравнения на равновесие.

3. Анализира се геометричната страна на проблема. Системата се разглежда в деформирано състояние, установява се връзката между деформациите или преместванията на отделните елементи на системата. Получените уравнения са уравненията на съвместимостта на преместванията (деформациите). Броят на уравненията за съвместимост на преместването (деформацията) е равен на степента на статична неопределеност на системата.

4. Разглежда се физическата страна на проблема. Въз основа на закона на Р. Хук преместванията или деформациите на елементите на системата се изразяват чрез действащите в тях вътрешни сили и като се има предвид това, уравненията на съвместимостта на преместванията се записват в разширен вид.

5. Решавайки заедно уравненията на равновесието и съвместимостта на преместванията в разширена форма, се определят неизвестни реакции, т.е. разкрива се статичната неопределеност на прътовата система.

6. По-нататъшното изчисляване на якостта и твърдостта е подобно на изчисляването на статично определени системи.

Техниката за решаване на статически неопределени пръти и прътови системи е показана на примери за решаване на различни задачи.

Пример 1Стъпала прът, захванат от двете страни, натоварен със сили Е(Фиг. 10, а). Необходимо е да се разкрие статичната неопределеност на пръта и да се определи площта на напречното сечение.

Първоначални данни: дължина на секцията на пръта л , площта на напречното сечение на пръта НОмодул на еластичност на материала на пръта д, допустимо напрежение .

Специфицирана прътова система.

1. В резултат на действието на външни сили върху пръта възникват две опорни реакции R 1 и R 2. Уравненията на равновесието за система с плосък прът могат да бъдат съставени, следователно прътът веднъж е статично неопределен (фиг. 10.6).

2. Разглежда се статичната страна на проблема. Избира се проектна схема (фиг. 10.6) и се съставя уравнение на равновесие:

3. Анализира се състоянието на деформация на пръта и геометричната страна на проблема, съставя се уравнението за съвместимост на преместванията.

4. Разглежда се физическата страна на проблема. Условно приемайки, че реакциите R 1 и R 2 са известни, нормалните сили се определят в секциите

Въз основа на закона на Р. Хук във всеки раздел се записват изрази за премествания, след което се съставя уравнение за съвместимостта на преместванията в разширен вид:

Фиг.10. Определен прът, конструктивна схема на пръта, диаграми на нормална сила, нормално напрежение и премествания

5. Съвместното решение на уравнението на равновесието и уравнението на съвместимостта на преместванията в разширена форма ни позволява да определим неизвестни реакции Разкрива се статичната неопределеност на пръта.

6. Построени са диаграми N z , σ z , δ (фиг. 10). Написано е условието за якост

и се определя площта на напречното сечение на пръта

Пример 2Абсолютно твърда щанга е шарнирно закрепена към прътите и лежи върху шарнирно фиксирана опора (фиг. 11, а). Към пръта се прилага сила F. Тя е необходима за разкриване на статичната неопределеност на прътовата система и определяне на стойността на допустимата сила [F].

Първоначални данни: дължините на прътите и дължините на секциите на гредата са дадени дробно а, площта на напречното сечение на прътите A 1 \u003d 2A и A 2 \u003d A, модулът на еластичност на материала на прътите E, допустимото напрежение.

Фиг.11,а 11б

1. Дадена прътова система веднъж е статично неопределена, тъй като има четири неизвестни реакции - H, R, R 1, R 2 и има три уравнения на равновесие за плоска система от сили.

2. Разглежда се статичната страна на проблема (фиг. 11.6). Съставят се уравнения на равновесието

3. Анализира се геометричната страна на проблема (фиг. 11, в) и се съставя уравнение за съвместимост на преместванията. От подобието на триъгълниците имаме:

4. Разглежда се физическата страна на проблема. Въз основа на закона на Р. Хук се определят изразите на деформациите , а след това уравнението за съвместимост на изместването се записва в разширена форма:

5. Съвместното решение на уравненията на равновесието и разширеното уравнение на съвместимостта на преместванията ни позволява да определим големината на силите в прътите чрез външно натоварване N 1=0,442P, N 2= 0,552R. Разкрита е статичната неопределеност на системата.

От якостното състояние I на пръта

допустимото натоварване е

От якостното състояние на пръта II

допустимото натоварване е

Накрая приемаме по-малка стойност за прътовата система. В този случай работните напрежения във втория прът ще бъдат равни на допустимите, а първият ще бъде недотоварен.

Въпроси и задачи за самопроверка,

1. Какви пръти и системи от пръти се наричат ​​статично неопределени?

2. Как се определя степента на статична неопределеност?

3. Какви са уравненията за съвместимост на изместването?

4. Какви сили и напрежения се наричат ​​монтажни?

5. Какви усилия и напрежения се наричат ​​температура?

6. Избройте основните етапи на изчисленията за якост и твърдост на статично неопределени системи при напрежение (компресия).

ВАРИАНТИ ЗА ИЗЧИСЛЯВАНЕ И ПРОЕКТИРАНЕ

ИЗЧИСЛЕНИЯ НА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕНИ ПРЪТОВЕ И ПРЪТОВОВИ СИСТЕМИ ЗА ЯКОСТ И КОРАВИНА ПРИ ОПЪН (КОМПРЕСИЯ)

Абсолютно твърда греда K, натоварена със сили F;, се поддържа в равновесие от стоманени пръти с дължина schи закрепени с помощта на поддържащи устройства. Необходимо е да се извърши проектно изчисление (намерете площите на напречното сечение на прътите).

Последната цифра съответства на номера на схемата (фиг. 12 ... 14).

Данните за вариантите са показани в таблица 3.

При изчисленията вземете: P \u003d 10 kN.

Таблица 3. Данни за задачата RPR

За да могат прътовите системи (греди, рамки и др.) да служат като конструкции и да издържат на външни натоварвания, е необходимо да се наложат определени връзки върху тях, които ги разделят на външни и вътрешни връзки. Под връзка обикновено се разбират тела (препятствия), които ограничават движението на други тела, точки или участъци от структура. На практика такива тела се наричат ​​опорни устройства, фундаменти и др. В инженерните изчисления се въвежда понятието идеални връзки. Ако например на левия край на гредата (фиг. 1.1, а) е наложено условие, което забранява вертикалното движение, тогава те казват, че в тази точка има една външна връзка. Условно се изобразява като пръчка с две панти. Ако вертикалните и хоризонталните премествания са забранени, тогава върху системата се налагат две външни връзки (фиг. 1.1, b). Вграждането в плоска система дава три външни връзки (фиг. 1.1, c), които предотвратяват вертикални, хоризонтални премествания и въртене на секцията за вграждане. ld Фиг. 1.1 За да се фиксира тялото (пръчката) върху равнината и да се осигури неговата геометрична неизменност, е необходимо и достатъчно да се наложат три връзки върху него (фиг. 1.2), като и трите връзки не трябва да са взаимно успоредни и не трябва да се пресичат на една точка. По-нататък като необходими връзки ще се разбират връзките, които осигуряват геометричната неизменност на системата и нейната статична определимост. Геометрично непроменлива система е система, която може да промени формата си само поради деформация на нейните елементи (фиг. 1.2), докато геометрично променлива система може да позволи движение дори при липса на деформация (фиг. 1.3). Такава система е механизъм (фиг. 1.3, а). 5 Фиг. 1.2 Наред с посочените съществуват и моментни системи, под които се разбират системи, които позволяват безкрайно малки премествания без деформация на елементите си (фиг. 1.4). Ориз. 1.3 Така, например, под действието на сила P, приложена в пантата D (фиг. 1.4, а), прътите DV и DS без деформация ще се въртят спрямо пантите B и C през безкрайно малък ъгъл d. Тогава, от условието за равновесие, изрязано при малка стойност на силата P, силите в прътите на DW и DS ще се стремят към безкрайност, причинявайки аксиална деформация на прътите и променяйки позицията на системата. 6 Фиг. 1.4 За рамката на фиг. 1.4, b, когато се разглежда уравнението на статиката, моментът на сила P не е балансиран (реакцията R1 не може да предизвика момент спрямо разглежданата точка, тъй като линията на нейното действие минава през тази точка). Подобна характеристика се проявява и за системата, показана на фиг. 1.4, c. Моментът на сила P спрямо точката k не е балансиран. По този начин тези системи позволяват и безкрайно малки премествания (спрямо моментната точка) без деформация на техните елементи. В сгради и конструкции такива системи са неприемливи. Ако една геометрично непроменлива система има освен необходимите допълнителни връзки, тогава независимите уравнения на статиката не са достатъчни за определяне на неизвестните сили (реакции на връзките) и такава система се нарича статично неопределена. Разликата между броя на неизвестните сили, които трябва да бъдат определени, и броя на независимите уравнения на статиката характеризира степента на статична неопределеност, която обикновено се обозначава със символа n. Така гредата и рамката, показани на фиг. 1.5 са два пъти (два пъти) статично неопределени. В тези схеми броят на неизвестните реакции е пет, а броят на независимите статични уравнения, които могат да се напишат за всяка от тях, е три. Всяка затворена верига е система три пъти статично неопределена (фиг. 1.6). Ориз. 1.6 Задаването на една панта намалява степента на статична неопределеност на системата с една (фиг. 1.7, а), тъй като в пантата няма момент на огъване. Единична панта се разбира като панта, свързваща краищата на два пръта. Ориз. 1.7 Панта, включена във възел, където краищата на няколко пръта се събират, намалява степента на статична неопределеност на системата с броя на единичните панти, определени по формулата O=C–1. Тук C се разбира като броя на прътите, събиращи се във възел. Например в рамка (фиг. 1.7, b) броят на единичните панти е O=C–1=3-1=2, така че степента на статична неопределеност се намалява с две единици и става равна на n4.

Изчисляване на статично детерминирани рамки

Основни понятия Рамката е прътова система, в която всички или някои от възловите връзки са твърди (фиг. 1.8 а). Твърдият възел се характеризира с факта, че ъгълът между осите на прътите, които го образуват, не се променя под действието на натоварване (фиг. 1.8 а). Ъгълът между допирателните към еластичните линии на напречната греда и наклонената стойка във възел B остава непроменен α, а ъгълът между допирателните към еластичните линии на същата напречна греда и десния стълб във възел D запазва същата стойност β. Рамките могат да бъдат плоски, когато всички оси на прътите лежат в една и съща равнина (фиг. 1.8 a, b, c) и пространствени (фиг. 1.8 d). Хоризонталната пръчка на рамката се нарича напречна греда, а прътите, които я поддържат, се наричат ​​стелаж. Лявата стойка е наклонена, а дясната е вертикална. Рамките могат да бъдат прости, състоящи се от три пръта (Фигура 1.8), сложни, многослойни (Фигура 1.8 b) и многостепенни (Фигура 1.8 c). Те също се разделят на статично детерминирани (Фигура 1.8 b), когато броят на неизвестните реакции, усилията е по-малък или равен на броя на независимите статични уравнения, които могат да бъдат съставени за даден кадър, и статично неопределени, ако това условие не е met (Фигура 1.8 a, c, d) Това ще бъде обсъдено по-късно. За разлика от гредите, в напречните сечения на рамките, наред с огъващите моменти, напречната сила, има и надлъжна сила. Ориз. 1.8 Определянето на силите (M, Q, N) се извършва по същия начин, както в гредите, използвайки метода на сечението (ROSE). В този случай знаковото правило за огъващия момент M и напречната сила Q е същото като за гредите, а за надлъжната сила N, както при 9 пръта при опън - натиск. Определянето на нормалните n и напрежения на срязване се извършва съгласно същите зависимости, както в гредите, ако прътът е огънат. В случай на комплексно съпротивление, когато заедно с огъващия момент в пръта възниква и надлъжна сила, тогава изчислението се извършва както при огъване с опън - натиск, описано в раздела "Комплексно съпротивление". Пример 1.1 За дадена рамка (фиг. 1.9), начертайте диаграми на вътрешните сили и намерете големината и посоката на пълното изместване на сечението K, ако P = 5 kN; q = 10 kN/m; EIz = const; сечения на стълбове и напречни греди са еднакви I = 8000 cm4: 1. Намерете опорните реакции: а) вертикални реакции V1, V2: б) хоризонтални реакции H1 и H2: 2. Изграждаме диаграми на вътрешните сили M, Q, N. a. Построяване на диаграма на огъващите моменти M.

Изчисляване на статически неопределени прътови системи по силов метод

Избираме точката за наблюдение, като приемем, че е вътре в контура. В този случай полетата, разположени над секции 1-3, 3-4, 4-K, 4-2, се считат за външни, а вътре в контура - вътрешни. Когато определяме моментите на огъване, ние следваме същите правила като в гредите. Изчисляваме моментите в характерните сечения на всяка от секциите на рамката. Парцел 1-3. Моментът в края от страната на опората е 1, M13 = 0. Моментът във възела е 3, знакът е минус, тъй като в сечение 1-3 долната срязана част е огъната нагоре с изпъкналост към наблюдател. Парцел 3-4 (напречна греда). Момент в началото на секцията (в секцията на възел 3) M34, същият като на стелажа 1 - Момент В пантата моментът е нула. Секция 2-4 (наклонена стойка) Секция 4-K В началото на секцията моментът MK4 = 0. В края на секцията кривата на огъващите моменти е показана на (фиг. 1.10, а) 1.10 Проверяваме правилността на конструкцията на диаграмата M. Ако диаграмата M е изградена правилно, тогава всеки възел извън опората или която и да е част от рамката под действието на външни и вътрешни сили трябва да бъде в баланс. Нека изрежем от рамката секции безкрайно близо до възела, например възел (4) и разгледаме неговото равновесие. Вземаме стойностите на моментите в съответните секции от диаграмата M (фиг. 1.10, b). Уравненията на възловия момент (4) имат формата

Характеристики на изчислението по метода на силите на многопролетни непрекъснати греди

Условието е изпълнено, което означава, че в участъците, съседни на възела (4), моментите са определени правилно. По същия начин се извършва проверка във възела (3) и т.н. Забележка Ако във възела се прилагат концентрирани външни сили (момент или сили), те трябва да се вземат предвид при проверката. Разпределеният товар не е показан, тъй като dx е малка стойност. b. Изграждане на диаграма на напречните сили Q. Придържаме се към същото правило за знака, както при гредите: ако резултантната на външните сили отляво на сечението е насочена нагоре, а отдясно надолу, напречната сила Q> 0, ако обратно - m Раздел 1–3. При разглеждане на лявата отсечена част 10 kN (минус, защото лявата отсечена част е под въздействието на сила H1 12, насочена надолу, ако гледате отсечената част от точката на наблюдателя). Напречната сила е постоянна по дължината на този участък (фиг. 1.11, а) 1.11 Разрез 3-4 Силата на срязване във всяко сечение, взето на разстояние x от възела (3), когато се вземат предвид силите, действащи от сечението вляво, е равно на 103 01QV xqx. При x = 0 получаваме напречната сила в сечението отляво на възела (3), т.е. Q34 30kN; при x = 3 m получаваме напречната сила Q, т.е. в сечението отляво на възела (4). Напречната сила в сечение 3-4 се променя по линеен закон (фиг. 1.11, а). Парцел 4-К. В сечение на разстояние x от десния край на сечението (фиг. 1.11, а) напречната сила е равна на (линеен закон). При x = 0 получаваме, а при x = 3 m получаваме сечение 2–4. Получаваме напречната сила в участъка на този участък чрез проектиране на външните сили H2, V2, приложени в точка 2 (фиг. 1.11, а) върху оста Y, перпендикулярна на надлъжната ос на пръта. По дължината на участък 3–4 напречната сила е постоянна. Диаграмата на напречните сили е показана на (фиг. 1.11, а).

Използването на свойствата на симетрия при разкриването на статичната неопределеност на прътовите системи

в. Изграждане на диаграма на надлъжни сили N. Изчисляваме надлъжната сила в сечението на всяка секция. Парцел 1–3. Разглеждаме долната част (фиг. 1.12). Минусът се взема, тъй като надлъжната сила, балансираща реакцията V1, е насочена към сечението, т.е. към реакцията V1, което означава, че секцията на прекъсване е под натиск. Ако надлъжната сила е насочена встрани от сечението, тогава знакът на N е положителен. Парцел 3-4 (на напречната греда). Надлъжна сила N30 kN, отрицателна, като натиск. В сечение x (фиг. 1.12, b) в сечение 4-K: перпендикулярно на надлъжната ос на сечението. Парцел 2–4. Ориз. 1.12 На наклонена стойка в сечение x намираме надлъжната сила чрез проектиране на външни сили V2 и H2 върху оста X, съвпадаща с оста на пръта (фиг. 1.12): 34 5 4 (компресия), следователно присвояваме знак минус N24 kN. 14 Диаграмата на надлъжните сили е показана на (фиг. 1.11, b). 3. Определяме преместванията на сечението K. За това използваме интеграла на Мор, формулите на A.K. Vereshchagin, Simpson, (виж раздел "Директно огъване"). Определяме вертикалното изместване на сечение K. За да направим това, освобождаваме рамката от всички външни натоварвания (q, P) и прилагаме една безразмерна сила в този участък (фиг. 1.13, а) Посока, която приемаме сами силите, например към дъното.

Изчисляване по метода на силите на статично неопределени системи, работещи на опън или натиск

Ориз. 1.13 На фиг. 1.13 е представена графика на огъващите моменти M1 от тази сила. Умножаваме диаграмите M и M1 по метода на Верешчагин, намираме вертикалното изместване на участъка К. В участъка 4-K е използвана формулата на Симпсън, а в участъка 2-4 - формулата на Верещагин. Определяме хоризонталното изместване на сечението K. За да направите това, освобождаваме рамката от външни натоварвания, натоварваме я с една безразмерна сила, приложена хоризонтално (фиг. 1.13, b). Графиката на тази сила е показана на фиг. 1.13б. Изчисляваме хоризонталното изместване по формулите на Верещагин и Симпсън. Знакът минус показва, че действителното хоризонтално изместване е насочено в посока, обратна на прилагането на единична сила, т.е. наляво. 15 Намираме общото преместване на сечението K като геометрична сума от намерените премествания. Посоката на пълното движение се определя от ъгъла (Фигура 1.14, b). Определяме ъгъла на въртене на сечението K. Прилагаме един безразмерен момент в сечението K (фиг. 1.14, а) и изграждаме диаграма на огъващите моменти от него.

Изчисляване на статически неопределени прътови системи по силов метод в матрична форма

Ориз. 1.14 Умножаваме диаграмите M и M3, използвайки формулата на Vereshchagin, намираме ъгъла на завъртане на сечението K: 16 1.3. Изчисляване на статически неопределени прътови системи по метода на силите Най-широко използваният метод за разкриване на статичната неопределеност на прътовите системи е методът на силите. Той се състои в това, че дадена статично неопределена система се освобождава от допълнителни (извънредни) връзки, както външни, така и вътрешни, и тяхното действие се заменя със сили и моменти. Тяхната стойност се определя допълнително, така че преместванията да съответстват на ограниченията, които се налагат на системата от изхвърлените връзки. По този начин, с посочения метод на решение, силите или моментите, действащи в местата на изхвърлени или отрязани връзки, са неизвестни. Оттук и името "метод на силите". Нека разгледаме същността на силовия метод, като използваме примера за изчисляване на статично неопределена рамка, показана на фиг. 1.15. Приемаме, че външното натоварване, размерите и твърдостта на прътите са известни. Изчислителна процедура 2.1. Задаваме степента на статична неопределеност, за което използваме израза, където X е броят на неизвестните (има 5 външни връзки); Y е броят на независимите статични уравнения, които могат да бъдат съставени за разглежданата система. За дадена рамка броят на неизвестните реакции е пет, а броят на независимите уравнения е три, тъй като системата от сили е плоска и произволно разположена, следователно системата е два пъти статично неопределена. 2.2. Да се ​​трансформираме за тази системав статично определена, геометрично неизменна и еквивалентна на дадена система, тоест образуваме основната система. За да направите това, премахваме ненужните връзки, като ги изхвърляме или отрязваме. На фиг. 1.15 показва основната система, получена чрез изхвърляне на ненужните връзки за поддръжка, а на фиг. 1.16 основните системи се формират чрез изхвърляне и рязане на връзки. Например (фиг. 1.16, а) в опора А се изхвърля хоризонтална връзка, а в опора С се изрязва връзка, която предотвратява въртенето на секцията. Така за всяка статически неопределена прътова система може 1.15 17 изберете няколко опции за основните системи (фиг. 1.15, 1.16). Необходимо е да се обърне специално внимание на факта, че при формирането на основната система на метода на силите въвеждането на нови връзки е неприемливо. Желателно е основната система да е рационална, т.е. такава, за която е по-лесно да се изградят диаграми на вътрешните силови фактори и количеството на изчисленията е най-малко. Такава система е показана на фиг. 1.15 (вариант I). Тук няма нужда да определяте опорните реакции, ако изграждате диаграми от свободния (свободен) край на рамката. Ориз. 1.16 2.3. Формираме еквивалентна система, като натоварваме основната система с външни сили и силите на изхвърлени (разрязани) връзки (фиг. 1.17). Неизвестните силови фактори ще бъдат обозначени със символа Xi, където i е числото на неизвестното. Ако отхвърлените ограничения забраняват линейните премествания, тогава неизвестните са силите, ако ъгловите премествания са забранени, моментите. Ако основната система е получена чрез разрязване на допълнителните връзки, тогава сили и моменти, равни и противоположни един на друг, се прилагат както към дясната, така и към лявата част на разчленената система в местата на срязване. В разглеждания пример X1 и X2 представляват вертикалните и хоризонталните компоненти на реакцията на шарнирната опора A. 2.4. Съставяме каноничните уравнения на силовия метод, които изразяват в математическа форма условията за еквивалентност на основната и дадените системи. В противен случай те изразяват условия, които означават, че относителните премествания по посока на отдалечените излишни връзки от съвместното действие на външен товар и неизвестни сили трябва да бъдат равни на нула. За еквивалентната система на разглеждания пример, основана на принципа на независимостта на действието на силите и фиг. 1.18 каноничните уравнения ще бъдат записани във формата

Фермата с резервация може да включва греди, които са комбинация от непрекъсната греда с два или три обхвата и пружинно сцепление; типични са за стоманени и дървени конструкции, с горна обшивка от непрекъснат валцован профил (нарязан дървен материал или слепени плоскости). Може да има и стоманобетонни ферми с малки разстояния.

От Уикипедия, свободната енциклопедия

където 11 е относителното изместване в основната система по посока на допълнителното неизвестно X1, причинено от същата сила; 12 - относително движение по посока на допълнителната неизвестна X1, причинено от силата X2; 1P - относително изместване по посока на действие на неизвестното X1, причинено от дадено натоварване. Ориз. 1.18 Физическо значение на тези уравнения. Първото уравнение отрича възможността за вертикално движение на опорния участък A в посока на допълнителното неизвестно X1 от комбинираното действие на даден товар P и пълни стойностинеизвестни X1 и X2. Второто уравнение има подобно значение. В тази форма (1.1) използването на уравнения в инженерните изчисления е трудно, така че ще ги трансформираме в нова форма. Като се има предвид, че за линейни системи изразът може да бъде правилно написан: където 11 е относителното изместване в основната система по посока на силата X1 от действието на силата X1 1 (фиг. 1.19); 21 е относителното изместване в основната система по посока на силата X2 от силата X1 1. Тук X1 и X2 са действителните стойности на реакциите на изпуснатите връзки. Тогава каноничните уравнения на силовия метод (1.1) могат да бъдат записани във формата По аналогия за n пъти статично неопределени системи каноничните уравнения имат формата Водещите коефициенти винаги са положителни. Страничните фактори могат да бъдат положителни, отрицателни или нулеви. 1P  - наричат ​​се коефициенти на свободно или натоварване. 2.5. Определяме коефициентите на каноничните уравнения. Тези коефициенти представляват преместванията на точките на системата по посока на спуснатите връзки, следователно те могат да бъдат намерени с помощта на интеграла на Мор: Процедурата за определяне на коефициентите: Фиг. 1.19 20 а) изграждаме диаграми на огъващия момент за основната система от дадено външно натоварване P и от единични сили на паднали връзки X11 (фиг. 1.20); Ориз. 1.20 б) изчисляваме коефициентите на каноничните уравнения. Тъй като разглежданата система се състои само от праволинейни пръти и твърдостта на прътите в техните дължини е постоянна, тогава изчисляването на интеграла на Мор се извършва съгласно метода на A.K. Верещагин чрез умножаване на съответните диаграми с помощта на формулите на Симпсън и трапеца: 2.6. Записваме системата от канонични уравнения. След като заместим намерените коефициенти в уравнение (1.3), получаваме: Решаваме системата от уравнения и намираме неизвестните сили, kN: Забележка. Ако знакът на силата се оказа отрицателен, това означава, че действителната сила (реакция) е насочена в обратна посока от силата Xi, приета в еквивалентната система. Така се разкрива статичната неопределимост на системата. 2.7. Изграждаме крайните (реални) диаграми на вътрешните силови фактори за дадена система. Графирането може да се извърши по два начина. Първият начин Натоварваме основната система с даден товар и намерените сили X1 и X2 (фиг. 1.17), след което изграждаме диаграми M, Q и N по същия начин, както за конвенционална статично определена система. Построените по този начин диаграми са показани на фиг. 1.21, където ординатите на диаграмата на огъващия момент са нанесени от страната на опънатите влакна. Този метод е най-удобен за прости системи. Вторият начин Изчисляваме стойностите на огъващите моменти във всеки (обикновено характерен) участък въз основа на принципа на независимост от действието на силите съгласно формулата 22 където k е номерът на участъка, за който стойността на огъване моментът е определен; n е степента на статична неопределеност на системата. Ориз. 1.21 В този случай, ако намерената сила Xi има отрицателен знак , тогава съответната диаграма Mi трябва да бъде огледална по отношение на осите на прътите. При определяне на действителните стойности на моментите на огъване, ординатите на моментите в изчислените секции се вземат от диаграмите M1, M2 и MP, като се вземат предвид техните знаци. Знаците на моментите в разглеждания участък се определят в зависимост от това от коя страна на основната линия са разположени ординатите на моментите и от положението на точката на наблюдателя. В нашия случай приемаме, че точката на наблюдателя се намира вътре в контура, следователно положителните стойности на моментите се приемат като моменти, които причиняват напрежение в изчисления участък на вътрешните влакна, а отрицателните стойности на външните влакна на контура. Например, за секция D на рамката, получаваме Аналогично за други секции. Крайната диаграма на огъващите моменти за дадена система е показана на фиг. 1.21 а. 23 2.8. Извършваме деформационна проверка на правилността на конструирането на реална диаграма на огъващите моменти. Смисълът на теста за деформация е да се потвърди липсата на премествания в основната система в посока на изхвърлените (отрязани) връзки при установените стойности на неизвестните сили. Така че, ако неизвестните сили са намерени правилно, тогава за разглеждания пример трябва да бъдат изпълнени равенствата: Ако изградим диаграма на единични моменти 2, тогава проверката се нарича проверка за групово изместване (фиг. 1.22): Липсата на преместване потвърждава правилността на решението на проблема. Ако извършените изчисления не потвърдят липсата на премествания на точките на основната система в посоката на изхвърлените връзки, тогава, за да се идентифицира грешката в изчислението, е необходимо да се провери правилността на определяне на коефициентите на каноничните уравнения по формулата Ако в това уравнение няма равенство, се извършва поредна проверка на коефициентите на каноничните уравнения. Първа линия: . Ако в този ред няма грешка в изчислението, трябва да е изпълнено условието: По същия начин можете да проверите 2-ри и други редове. Когато извършвате тези проверки, трябва да проверите правилността на изчисляването на коефициентите на натоварване: 2.9. Изграждаме диаграма на напречните сили Q според диаграмата на огъващите моменти M, като последователно изрязваме прътите от дадена система и ги разглеждаме като шарнирни статично детерминирани греди. Прилагаме моменти в краищата на прътите, чиито стойности и посоки са избрани от диаграмата M в съответните раздели. При наличие на външни сили ги прилагаме в съответните зони. Определяме опорните реакции от условието за статично равновесие и начертаваме Q както обикновено за статично детерминирани греди. За дадена рамка (фиг. 1.15), когато конструираме диаграма на напречните сили за стелаж, изрязваме сечение AB и прилагаме момент B 3, 56 M P, взет от диаграмата на реалните моменти M (фиг. 1.21, b) в раздел Б. Определяме опорните реакции от разглеждането на равновесието 3 P и изграждаме диаграма на напречните сили Q (фиг. 1.23). Ориз. 1.22 25 По подобен начин изрязваме хоризонталния прът (напречна греда) BC, разглеждаме баланса му и начертаваме Q за тази секция на рамката (фиг. 1.24). Прехвърляме Q диаграми за отделни пръти към дадена система. Крайната диаграма на напречните сили за дадена рамка е показана на фигура 7.14, b. Изграждането на диаграма на напречните сили според диаграмата на огъващите моменти също е възможно въз основа на диференциална зависимост: където α е ъгълът на наклона на правата линия, очертаваща диаграмата на огъващите моменти към основната линия (ос на лъча ). Напречната сила се счита за положителна, ако огъващият момент нараства по посока на оста. За разглеждания пример: 2.10. Изграждаме диаграма на надлъжните сили N.
Ориз. 7.16 Фиг. 1.24 26 За да направим това, ние използваме метода на рязане на възли (изрязваме само възли извън опора със секции, безкрайно близо до възела) и разглеждаме тяхното равновесие под действието на външно натоварване (ако има такова към възлите) и сили в изхвърлени (отрязани) връзки. Изрязваме възел B. Прилагаме към него напречни сили, взети в съответните секции от диаграма Q (фиг. 1.23, b). Възелът трябва да е в равновесие (фиг. 1.25) под действието на напречни и надлъжни сили (неизвестни). Определяме неизвестните надлъжни сили от условието за статично равновесие. Диаграмата на надлъжните сили е показана на фиг. 1.23, c. 2.11. Извършваме окончателна проверка на правилността на решението на проблема. Системата (рамката), неподпорната единица или някаква част от системата трябва да бъде в равновесие под действието на външно натоварване и силите на изхвърлените (отрязани) връзки. За даден пример разглеждаме баланса на рамката, използвайки уравненията на статиката (фиг. 1.26):

Условието за равновесие е изпълнено. Бележки. 1. Ако рамката има няколко възела извън опората, тогава всички възли са обхванати от проверката.

Библиографски списък

Ориз. 1.25 Фиг. 1.26 27 2. При проверка на баланса на възел извън опора е необходимо освен вътрешните сили (M, Q, N), взети в съответните секции, да се прилагат и външни сили (концентрирана сила и момент), ако има такива, се прилагат във възела. В нашия случай няма натоварване във възела.

Указания за изпълнение на разчетна и графична работа за студенти от специалности 2903, 2906,2907, 2908, 2910

Казан, 2006

Съставител: Р. А. Каюмов

UDC 539.3

Изчисляване на статически неопределена прътова система, съдържаща абсолютно твърд елемент; Указания за изпълнение на сетълмент и графична работа за студенти от специалности 2903, 2906, 2907, 2908, 2910 / KazGASU; комп. Р.А. Каюмов. Казан, 2005, 24 с.

Тези насоки очертават накратко методологията за изчисляване на най-простите фермови конструкции с твърд елемент и дават пример за изчисление.

Фиг.6.

Рецензент кандидат по физика и математика науки, проф. Столове теоретична механика KSUAE Shigabutdinov F.G.

ã Казански държавен университет по архитектура и строителство

ЗАДАЧА №3

ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕНА ШАРНИРНО-ПРАТОВА СИСТЕМА

За дадена система от шарнирни пръти (виж диаграмата), състояща се от абсолютно твърда греда и еластични пръти с дадени съотношения на площите на напречното сечение, се изисква:

1. Задайте степента на статична неопределеност.

2. Намерете силите в прътите.

3. Запишете условията на якост на прътите от силови ефекти и изберете напречните сечения на прътите, като вземете предвид дадените съотношения на площите. Материал St-3, граница на провлачване, взета равна на 240 MPa = 24 kN/cm 2 , коефициент на безопасност k = 1,5.

4. Намерете напреженията в прътите от неточността на производството на прътите д 1 = д 2 = д 3 = (виж таблица 3). Ако има знак плюс, тогава прътът е направен по-дълъг; ако минус - по-кратък.

5. Намерете напреженията в прътите от промяната на температурата в прътите по Dt° (вижте таблица 3). Коефициент на линейно разширение за стомана 1/град.

6. Проверете здравината на системата при различни опциисилови и несилови въздействия: 1) конструкцията е сглобена, все още не е натоварена, но е възникнала температурна разлика; 2) случаят, когато няма температурна разлика и конструкцията е сглобена и натоварена. 3) случаят, когато конструкцията е сглобена, натоварена и има температурна разлика.

7. Определете крайната товароносимост на системата и истинския коефициент на безопасност, като приемете постоянно съотношение между и .

Задачата се изпълнява изцяло от студенти от специалностите ПГС и АД. Студентите от други специалности извършват изчислението на системата само за външно натоварване според допустимите напрежения и допустимото натоварване, с изключение на прът 3.

Изходните данни за извършване на сетълмент и графична работа се избират според кода, издаден от учителя.

Схеми за задача номер 3

таблица 3

	НО	б	AT	Ж	б	в	AT
, kN	, kN/m	, м	, м	, м	, м	, м		, мм
									0.3	3/2
								-30	-0.4	1/2
									0.5		3/2
								-25	-0.6	3/4	3/2
									0.7	5/4	1/2
								-35	-0.4	1/2	4/5
									0.5	2/3	1/2
									-0.7	1/2	4/5
								-20	-0.3	3/2	2/3
									0.6	2/3	5/4

ФОРМУЛИРАНЕ НА ПРОБЛЕМА

Разгледана е шарнирно-пръчкова система (фиг. 1), състояща се от твърда греда и деформируеми пръти, изработени с дадено съотношение на площите на напречните сечения, което е посочено в заданието. Известни проектни натоварвания Е , р ; строителни размери ч 1 , ч 2 , Л 1 , Л 2 , Л 3; проектни температурни колебания: д T 1 - в първия прът, д T 2 - във втория, д T 3 - в третата; неточности при производството на пръти, а именно д 1 - разлика от проектната дължина в първата лента, д 2 - във втория, д 3 - в третата. известен механични характеристикиматериал: модул на еластичност д \u003d 2 × 10 4 kN / cm 2, граница на провлачване s t\u003d 24 kN / cm 2, коефициент на топлинно разширение а=125×10 -7 1/град. фактор на безопасност к за този дизайн се приема равен на 1,5.

Необходимо е да се решат 3 задачи:

1. Изберете секциите на прътите за производството на тази система от условието за якост на тези пръти по отношение на допустимите напрежения при проектни натоварвания.

2. Направете заключение за допустимостта на проектни температурни колебания и неточности при производството на пръти.

3. Намерете максималната товароносимост на конструкцията, допустими натоварванияи истинска граница на безопасност.

По този начин работата се състои от проектно изчисление, изчисление за проверка, изчисляване на граничните натоварвания за системата.

RGR трябва да съдържа 3 чертежа (начертани в мащаб): първоначалната диаграма на прътовата система, силовата диаграма и кинематичната диаграма на деформацията на конструкцията.

2. Метод на секциите.

3. Закон на Хук.

4. Удължение от температурни промени.

5. Якост на опън, допустимо напрежение, състояние на якост.

6. Пластично течение, граница на провлачване.

7. Статична неопределимост.

8. Условие за съвместимост на деформациите.

9. Изчисляване на допустимите напрежения.

10. Изчисление по теорията на граничното равновесие.

ГЕНЕРАЛЕН ПРОЕКТЕН ИЗЧИСЛИТЕЛЕН ПЛАН

Първо, структурата се освобождава от връзки, заменяйки ги с реакции. Методът на сеченията въвежда под внимание вътрешните надлъжни сили (нормални сили), възникващи в прътите. В този случай те трябва да бъдат насочени от секцията, т.е. условно считайте пръчките за опънати. Не е възможно да се определят реакциите и надлъжните сили от уравненията на равновесието, т.к в равнинна задача на статиката е възможно да се съставят 3 независими уравнения на равновесие, докато броят на неизвестните силови фактори (реакции и надлъжни сили) е повече от три. Следователно е необходимо да се съставят допълнителни уравнения, произтичащи от предположението за деформируемост на прътите (уравнения на съвместимостта на деформациите, които свързват удълженията на прътите един към друг). Те следват от геометрични съображения. В този случай се използва предположението за малки деформации. Освен това трябва да се вземе предвид следното правило за знаци. Общата разлика между проектната дължина на пръта л и окончателна истинска дължина лконобозначен с д л . Следователно, ако прътът се удължи, тогава , ако се съкрати, тогава .

Както се вижда от фиг.2, изменението на дължината на пръта д л съставен от разширение д л (н) , причинени от силата на аксиалното напрежение н , удължение д л(T)причинени от температурни промени и неточности при производството д.

Ако температурата падне, тогава д T < 0, то длина стержня уменьшается, т.е. ; если стержень сделан короче проектного, то д< 0. С учетом закона Гука это соотношение примет вид:

Тъй като удълженията се изразяват чрез надлъжни сили съгласно формули (1), тогава от уравненията за съвместимост следват връзките, които свързват желаните усилия. Тук и по-долу, за опростяване на нотацията, се използват следните обозначения: надлъжна сила и напрежение в пръта с числото аз .

В разглеждания RGR не се изисква търсене на реакции. Следователно от 3-те уравнения на равновесието е достатъчно да се остави едно - условието за равенство на нула на моментите на всички външни и вътрешни сили спрямо оста, минаваща през центъра на шарнира D (фиг. 1). Решението на получената система (уравнения на равновесие и съвместимост на деформациите) позволява да се намерят силите в пръти.

Освен това се извършват изчисления за проектиране (задача 1) и проверка (задача 2), като се използва методът на допустимото напрежение. Границата на провлачване се приема като опасно напрежение s t. Според метода на допустимото напрежение, дизайнът считан за неправиленако напрежението е достигнало опасна стойност в поне един прът, т.е. се оказаха унищожени поне единот пръти:

За да се гарантира безопасността на конструкцията, е необходим резерв на безопасност, т.е. трябва да се извърши якостно състояниемил

, (3)

където к - коефициент на безопасност, [ с] - допустимо напрежение.

Разрушаването на един структурен елемент не винаги означава загуба на неговите експлоатационни свойства (т.е. срутване). Други елементи могат да поемат товара или част от него, който е трябвало да носи разрушеният елемент. Това съображение се използва в задача 3, която е решена метод на гранично равновесие,също наричан метод на допустимо натоварване.

При постановката на задачата се приема, че силите Р и Q увеличете пропорционално ( Р / Q = const), площите на напречните сечения на прътите са известни от решението на задача 1, материалът на прътите е еластично-идеално-пластмасов. С увеличаване на натоварването един прът първо ще "тече", напрежението в него няма да се увеличи с по-нататъшна деформация и ще остане равно на модула на границата на провлачване s t(виж фиг. 3). Последващото увеличаване на натоварванията ще доведе до факта, че първо във втория, а след това в третия прът ще започне пластичен поток, т.е. напрежението е достигнало границата на провлачване. Очевидно, без значение какви са инсталационните или температурните напрежения в началото на процеса, най-накрая идва моментът, когато напреженията достигнат границата на провлачване във всички пръти (тъй като те не могат да приемат големи стойности, според диаграмата на деформация на фиг. 3) . Постигнати стойности на сила Е = Еи т.ни Q = Qи т.нсе наричат ​​ограничаващи, т.к тяхното увеличаване е невъзможно и системата ще започне да се деформира за неопределено време. От усилията N i в граничното състояние са известни (тъй като са изразени чрез напрежения), тогава от уравнението на равновесието се определя Еи т.н. От условието за безопасност на натоварването се намират допустимите натоварвания

Както се вижда от разсъжденията при решаването на задача 3, наличието на температурни промени или неточности при производството на пръти не намалява товароносимостта на конструкцията, ако прътите са направени от еластичен - идеално пластичен материал.

ЗАБЕЛЕЖКИ

1. Учителят може да уточни задачата за избор на пръти, като изисква използването на асортимент от валцована стомана, например за избор на композитна секция от ъгли според таблиците за асортимент (вижте примера за изчисление).

2. При изчисляване е достатъчно да оставите 3 значещи цифри.

3. При избор на размерите на прътите се допуска 5% претоварване.

Пример за изчисление

Нека е дадена шарнирно-щангова система (фиг. 4). Известно е, че

E \u003d 2 × 10 4 kN / cm 2, с t \u003d 24 kN / cm 2, a \u003d 125 × 10 -7 1 / град. (5)

Задача.Определете напрежението в стоманени пръти, поддържащи абсолютно твърда греда. Материал - стомана St3, α=60°, [σ]=160MPa.

1. Начертаваме схемата да се мащабира. Номерираме пръчките.

В шарнирно фиксирана опора НО възникват реакции Р А и НА . В пръти 1 и 2 възникват усилия н 1 и н 2 . Приложимо. Изрязва се със затворен разрез средатачаст от системата. Ще покажем схематично твърда греда - чрез линия, усилия н 1 и н 2 изпрати от раздел.

Компилиране уравнения на равновесие

Брой неизвестни надвишаваброй уравнения на статиката на 1 . Следователно системата , а за нейното решение е необходима едно допълнително уравнение. Да композирам допълнителенуравнение за разглеждане схема на деформация на системата. Шарнирно фиксирана опора НО остава на място и пръчките се деформират под действието на сила.

Схема на деформациите

Според схемата на деформация ще съставим условие за съвместимост на деформациятаот разглеждане на подобието на триъгълниците ACC 1 и ABB 1 . От подобието на триъгълниците ABB 1 и ACC 1 напишете съотношението:

, където BB 1=∆ ℓ 1 (удължаване на първия прът)

Сега изразяваме СС 1 чрез деформация второпрът. Нека увеличим фрагмент от схемата.

От фигурата се вижда, че СС 2 = ССедин · cos(90º- α )= ССедин · sinα.

Но СС 2 = ∆ ℓ 2 , тогава Δ ℓ 2 = ССедин · sinα , където:

Да се ​​обърнем условие за съвместимост на деформацията(4) в уравнение за съвместимост на деформациитекато се използва . При това трябва да вземем предвид характер на деформации(съкращаването се изписва със знак „-“, удължаването със знак „+“).

Тогава ще бъде:

Съкращаваме двете части с д , заменете числови стойности и изразете н 1 през н 2

Заместете релацията (6) в уравнението (3) от където намираме:

н 1 = 7,12kN (разтегнат),

н 2 = -20,35kN (компресиран).

Да дефинираме волтажв пръти.

Изчисляване на греда с междина. За статично неопределена стоманена стъпаловидна греда изградете диаграми на надлъжни сили, нормални напрежения и премествания. Проверете здравината на гредата. Преди натоварването имаше празнина Δ=0,1 mm между горния край и опората. Материал - стомана St 3, модул на надлъжна еластичност E=2·10 5 MPa, допустимо напрежение [σ]=160 MPa.

1. След зареждане празнината ще се затвории реакциивъзникват и на дъното, и в Горна частподдържа. Нека им покажем произволно, това са реакции Р А и Р Б . Да композираме уравнение на статиката.

∑при=0 Р А- Е 1 + Е 2 - Р Б=0

В уравнението 2 неизвестни и уравнението един, така че задачата 1 веднъж статически неопределени, а решението му изисква 1 допълнително уравнение.

то уравнение за съвместимост на деформациите. В този случай съвместимостта на деформациите на сеченията на гредата е такава промяната в дължината на гредата (удължението) не може да надвишава празнината, т.е. Δ ℓ =Δ , това е условие за съвместимост на деформацията.

1. Сега ще разделим гредата на секции и ще начертаем секции върху тях - техните 4 в брой Характеристикапарцели. Всеки раздел се разглежда отделно, движещ се в една посока- от долната опора нагоре. Във всеки раздел изразяваме силата н през неизвестна реакция. Режисура нот раздел.

Изписваме отделно стойностите надлъжни сили в сечения:

н 1 = -Р А

н 2 = 120 -Р А

н 3 = 120 -Р А

н 4 = 30-Р А

3. Обратно към компилирането условия за деформационна съвместимост. Ние имаме 4 площ, което означава

Δ ℓ 1 + ∆ ℓ 2+∆ ℓ 3+∆ ℓ 4 = Δ (размер на междината).

Използване на формулата заопределение за абсолютна деформация композирайте уравнение за съвместимост на деформациите, е точно това допълнителенуравнение, което е необходимо за решаване на проблема.

Да опитаме опростявамуравнението. Не забравяйте, че размерът на празнината Δ=0,1 mm = 0,1·10 -3 м

д- модул на еластичност, д\u003d 2 10 5 MPa \u003d 2 10 8 kPa.

Вместо това заместваме н техните стойности, записани чрез реакцията на подкрепа Р А .

4. Изчислете ни изградете диаграма на надлъжна сила.

н 1 =-R A =-47,5kN

н 2 =120 -R A = 72,5kN

н 3 =120 -R A = 72,5kN

н 4 =30-R A =-17,5kN.

5. Дефинирайте нормални напрежения σпо формулата и построете техните диаграми

Ние строим диаграманормални напрежения.

Проверка сила.

σ макс= 90,63 MPa< [σ]=160МПа.

Гарантирана здравина.

1. Изчисли денивелация, използвайки формулата за деформации.

Да тръгваме от стената НОдо празнината.

Разбрах стойността ω 4 равно на празнината, това е проверка на коректността на дефиницията на преместванията.

Ние строим диаграма на преместване.

Върху стоманения прът действа надлъжна сила P и собственото му тегло (γ = 78 kN / m 3). Намерете преместването на сечението 1 –1.

Дадено: E = 2 10 5 MPa, A = 11 cm 2, a = 3,0 m, b = 3,0 m, c = 1,3 m, P = 2 kN.

Изместване на сечението 1–1ще се състои от изместване от действието на силата R,от действието на собственото си тегло горния раздели от действието на собственото си тегло раздел по-долу. движещ се от действието на силата Rще бъде равно на удължението на сечението на пръта дължина b+aразположен над раздел 1–1. Натоварването P причинява удължение само зона а,тъй като има само надлъжна силаот това натоварване. Според Закон на Хукудължението от действието на силата P ще бъде равно на: Определете удължение от собственото тегло на пръта под сечението 1–1.

Нека го обозначим като. Ще се нарича собствено тегло на парцела си теглото на пръта в сечението a + b

Да дефинираме удължение от собственото тегло на пръта над сечението 1–1.

Нека го обозначим така, както ще се нарича собствено тегло на сечение a+b

Тогава пълно изместване на секция 1-1:

Тези, секция 1-1 ще падне с 0,022 mm.

Абсолютно твърда греда лежи върху шарнирно фиксирана опора и е прикрепена към два пръта с помощта на панти. Изисква се: 1) да се намерят силите и напреженията в прътите, като се изразят чрез силата Q; 2) Намерете допустимото натоварване Q add, като приравните по-голямото от напреженията в двата пръта към допустимото напрежение ; 3) намерете крайната товароносимост на системата, ако границата на провлачане 4) сравнете двете стойности, получени при изчисляването на допустимите напрежения и крайните натоварвания. Размери: a=2,1 m, b=3,0 m, c=1,8 m, площ на напречното сечение A=20 cm 2

Тази система веднъж статично неопределен. За разкриване на статична неопределеност необходимо е да се реши съвместно уравнението на равновесието и уравнението на съвместимостта на деформациите на пръта.

(1) -уравнение на равновесието

Да композираме схема на деформация- виж фиг. След това от схемата: (2)

от Закон на Хукние имаме:

Дължини на пръти:Тогава получаваме:

Заместете получената връзка в уравнението (1):

Ние определяме волтажв пръти:

В гранично състояние:Заместваме получените отношения в уравнението (1):

При сравнение виждаме увеличение на натоварването:

Колона, състояща се от стоманен прът и медна тръба, се притиска от сила P. Дължината на колоната е ℓ. Изразете силите и напреженията, възникващи в стоманен прът и медна тръба.
Нека начертаем разрез 1 - 1 и разгледаме равновесието на отсечената част

Да композираме статично уравнение: N C + N M - P= 0, N C + N M = P (1)

Проблемът е статично неопределен. Уравнение за съвместимост на деформациитенапишете от условието, че удълженията на стоманения прът и медната тръба са еднакви:(2) илиНека съкратим двете части с дължината на пръта и изразим сила в медна тръба през сила в стоманен прът:

(3) Заместете намерената стойност в уравнението (1), получаваме:

Винаги работим заедно елементът, изработен от материал с висок модул на еластичност, се натоварва по-силно. При E C \u003d 2 10 5 MPa, E M = 1 10 5 MPa:

За колоната определете напреженията във всички секции. След прилагане на силата P, празнината се затваря, P = 200 kN, E = 2. 10 5 MPa, A \u003d 25 cm 2 След прилагане на силата P ще има усилия за прищипване. Нека ги наречем C и B.

Да композираме статично уравнение: ∑y = 0; C + B - P \u003d 0; (един)

Допълнителен уравнение за съвместимост на деформацията: ∆ℓ 1 +∆ℓ 2 =0,3 mm (2);

Да намеря абсолютна деформация, трябва да знаеш надлъжна силаМестоположение на. На първисечение, надлъжната сила е равна на ОТ, на второразличия (S-R). Нека заместим тези стойности в изразите за абсолютни деформации: (3)

Заменяме израза (3 ) в израз ( 2) и намери: C = 150 kN, и от (1) B = 50 kN .

Тогава волтажв области:

Твърда греда е окачена на три стоманени пръта; прът 2 е направен по-къс от проектния. Определете напреженията в прътите след сглобяването на системата. дадени:

След завършване на монтажа в тази система, твърдата греда ще се обърнеи вземете нова позиция.

точки C, Dи Да сепреместете се на позиции С 1 , D 1и К 1

Според модела на деформация SS 1 =Δℓ 1, DD 1 =Δ−D 1 D 2 = Δ−Δℓ 2, KK 1 \u003d ℓ 3,докато пръчките 1 и 3преживяване компресия, и пръчката 2 – разтягане.

Според схемата на деформация уравнение на равновесиетоще приеме формата:

Допълнителни уравнения могат да бъдат получени въз основа на анализ на деформационната схема;от подобни триъгълници VSS 1и BDD 1, триъгълници VSS 1и BKK 1следва:

Според Абсолютни деформации по закона на Хук:

Тогава допълнителните уравнения ще бъдат записани, както следва: Решавайки заедно тази система от получени допълнителни уравнения и уравнението на равновесието, получаваме:

N 1 = 14,3 kN (пръчката е компресирана), N 2 = 71,5 kN (пръчката е опъната), N 3 = 42,9 kN (пръчката е компресирана).

По този начин желаното напрежения в прътитеимат значения:
Проблема решен.

Стъпаловидният меден прът се нагрява от температура t H =20ºС до t К =50ºС. Проверете здравината на пръта. дадени:

Да композираме уравнение за баланс на прътакато се приеме замяната на външни връзки от реактивни сили: Както можете да видите, системата е статично неопределена и е необходимо допълнително уравнение за нейното решаване.

Уравнението за съвместимост на деформациите следва от условието, че преместванията на външните връзки са равни на 0 - W B =0 или W K =0. По този начин:

Където:

Като резултат R B \u003d 20723N.

Нормални сили и напреженияв области:

Според резултатите от изчисленията σ max =│69,1│MPa, при което σмакс< σ adm , (69,1<80). Следователно, условието за якост на пръта е изпълнено.

Изчисляване на бар с празнина. За стоманен стъпаловиден прът с празнина между долния край и опората се изисква: да се изградят диаграми на нормални сили и напрежения, премествания; проверете силата. дадени:

Да композираме уравнение на равновесиетопрът:

В него двенеизвестен, система веднъж статично неопределен, задължително допълнителното уравнение е уравнението на деформация.

Може да се напише допълнително уравнение от условието за затваряне на празнината в процеса на деформация на пръта:

За разглежданите области абсолютни деформации:

Да дефинираме нормални (надлъжни) сили, преминете от стената към пролуката:

Заменете всички намерени стойности в допълнително уравнение:

След замяна на първоначалните данни и съкращенията:

от уравнения на равновесиеполучаваме:

По този начин, R B \u003d 40,74 kN, R K = 9,26 kN.

Изчисляване нормални сили:
Ние строим парцел Н

Изчисляване нормални напрежения:
Ние строим диаграма на нормално напрежение

Изчисляване движенияхарактерни участъци.

Възприема се правилото на знаците за премествания: надолу - положително, нагоре - отрицателно.
Ние строим диаграма на движение.

Дадена е статически неопределена прътова система (частта BCD е твърда). Необходимо е да изберете площите на напречното сечение на пръти 1 и 2.

Обозначете усилияв пръти 1 и 2, съответно N 1 и N 2.

Нека да покажем схемата на системата с усилия N 1 и N 2

Композирайте за тази система уравнение на баланса,като изключим от разглеждане реактивните сили в опората C Това уравнение съдържа две неизвестни: N 1 и N 2.Следователно системата веднъж статично неопределен,и за неговото решаване е необходимо допълнително уравнение.то уравнение на деформация.Нека покажем системата деформируемо състояниепод товар :

от анализ на системата в деформируемо състояниеследва, че:

Тъй като и като се има предвид, че можем да напишем: Последният запис е необходимото допълнително уравнение на деформация.

Нека запишем стойностите на абсолютните деформации на прътите:

След това, като се вземат предвид първоначалните данни допълнително уравнениеще приеме формата:

Обърни внимание на уравнение на равновесието, получаваме системата:

От решението на тази система от уравнения следва:

N 1 \u003d 48kN (опъната пръчка), N 2 \u003d -36,31kN (пръчка компресирана).

Според състояние на якост на пръта 1:

след това, като се вземе предвид условието A 1 \u003d 1,5A 2предвид заданието, получаваме

Според якостно състояние на пръта 2:Тогава

Най-накрая приемаме:

Пръти и системи с шарнирни пръти, в които вътрешните сили от даден товар могат да бъдат определени с помощта на уравнения за равновесие (статични уравнения), се наричат ​​статично детерминирани.

За разлика от тях прътите и системите се наричат ​​статично неопределени, вътрешните сили в които не могат да бъдат определени само с помощта на уравненията за равновесие. Следователно, когато ги изчислявате, е необходимо да съставите допълнителни уравнения (уравнения на преместване, които отчитат естеството на деформацията на системата. Броят на допълнителните уравнения, необходими за изчисляване на системата, характеризира степента на нейната статична неопределеност. Можете да съставите толкова допълнителни уравнения, колкото са необходими за решаване на проблема.

Силите в елементите на статично определени системи възникват само от действието на външно натоварване (включително собственото тегло на конструкцията). В елементите на статично неопределени системи могат да възникнат сили и при липса на външно натоварване - в резултат например на температурни промени, изместване на опорни крепежни елементи и неточности при производството на отделни конструктивни елементи.

Най-важната стъпка в изчисляването на статично неопределени системи е съставянето на допълнителни (към уравненията на равновесието) уравнения на преместването. Ще разгледаме методите за тяхното компилиране, като използваме примери за решаване на различни проблеми за изчисляване на статично неопределени системи.

Помислете за прът, притиснат (вграден) в двата края и натоварен със сила P (фиг. 26.2, а). Под действието на силата P възникват реакции в уплътненията и е необходимо да се определи големината на тези сили. За този случай (когато всички сили действат по една права линия), статиката ви позволява да създадете само едно уравнение на равновесие:

Следователно, за да се определят двете неизвестни, е необходимо да се състави допълнително едно уравнение. Следователно, разглежданият прът е веднъж статично неопределен (т.е. степента на неговата статична неопределеност е равна на единица). За да изготвим допълнително уравнение, изхвърляме долното вграждане и заместваме ефекта му върху пръта с реакция (фиг. 26.2, b). Да предположим, че действа само една сила P и няма сила. Под действието на силата R се деформира само горната част на пръта с дължина a, в резултат на което секцията, към която се прилага силата P, се премества надолу със стойността Долната част на пръта с дължина b не се деформира, но се движи надолу, подобно на твърдо тяло, със същото количество, с което сечение се движи, където се прилага силата P. По-специално, долният край на пръта също се движи надолу със същото количество.

Нека сега приемем, че действа само силата и силата P отсъства.

Под действието на силата целият прът се деформира, в резултат на което долният край на пръта се измества нагоре със стойността .

Всъщност долният край на пръта, като е вграден, не получава движение. Следователно преместването му надолу, причинено от силата P, трябва да бъде равно на придвижването нагоре, причинено от силата, откъдето може да се намери стойността от уравнение (46.2).

След определяне на реакциите, предизвикани от действието на силата P, се извършва начертаване на надлъжните сили и изчисление на якост, както при статично определима задача.

Трябва да се отбележи, че посоките на неизвестни реакции, премествания и т.н. могат да бъдат взети доста произволно. В разглеждания пример се приема посоката нагоре за реакциите. В резултат на изчислението, стойностите на двете реакции бяха третирани като положителни; това означава, че действителните им посоки съвпадат с приетите по-рано. Ако, например, вземем посоката надолу за реакцията, тогава в резултат на решаването на допълнителното уравнение получаваме знака „минус“, което показва, че действителната посока на реакцията на долното уплътнение е противоположна на приетата посока , т.е. че е насочена нагоре. По този начин крайният резултат от изчислението не зависи от това коя посока на реакцията е взета предварително.

Нека разгледаме статически неопределена плоска шарнирно-прътова система, състояща се от три пръта, долните краища на които са свързани с обща панта D (фиг. 27.2). Площта на напречното сечение на средния прът е равна на a на външните пръти

Към шарнира D се прилага вертикална сила P. Необходимо е да се определят силите в прътите от действието на тази сила.

Тъй като ставите на всички краища на прътите са шарнирни, реакциите на пантите A, B и C са насочени по осите на прътите и следователно се пресичат в точка D.

Броят на реакциите е три. Но тъй като системата и товарът са симетрични спрямо вертикалната ос, реакциите RA и са равни една на друга и следователно, за да се реши задачата, е достатъчно да се определят две реакции RA и

За плоска система от сили, пресичащи се в една точка, е известно, че могат да бъдат съставени две уравнения на равновесие: и Тези две уравнения обаче не са достатъчни за определяне на реакциите и RB, тъй като условието за симетрия вече е използвано и това е еквивалентно на използването на уравнението за равновесие Остава само едно уравнение за равновесие и броят на неизвестните сили е две. По този начин, за да се реши проблемът, е необходимо да се състави едно допълнително уравнение и следователно проблемът веднъж е статично неопределен.

Уравнението на равновесието има формата

За да съставите допълнително уравнение, разгледайте преместванията на системата.

В прътите AD, BD и CD възникват съответно надлъжни сили Лентата BD под действието на надлъжната сила ще се удължи със стойността Лентата AD ще се удължи със стойността Като се има предвид, че получаваме

Панта D ще се спусне със стойност и ще заеме позиция D (фиг. 27.2).

За да се изрази удължението на пръта AD като преместване, е необходимо това изместване да се проектира по посока на оста на пръта:

Тук, поради факта, че преместването е малко в сравнение с дължините на прътите, ъгълът ADB (фиг. 27.2) се приема равен на a, т.е. ъгълът ADB (между осите на прътите AD и BD в недеформирана структура).

Заместваме в уравнение (48.2) изразите и DB, получени по-горе:

Решавайки това уравнение заедно с уравнението на равновесието (47.2), получаваме

От изразите (49.2) се вижда, че с увеличаване на площта на напречното сечение на прътите AD и CD (т.е. с увеличаване на ), силите в тях се увеличават, а силата в пръта BD намалява.

Този резултат отразява характеристиките на статически неопределените системи, при които увеличаването на твърдостта на някои елементи води до увеличаване на силите в тях и обикновено до намаляване на силите в останалите елементи. В статично детерминираните системи разпределението на силите в конструкцията не зависи от коравината на нейните елементи.

Помислете за система, състояща се от три пръта: алуминиева тръба от стоманена тръба 2, вкарана в алуминиева, и чугунен твърд прът 3, разположен вътре в стоманената тръба (фиг. 28.2, а).

И двете тръби и чугунен прът са поставени между абсолютно твърди плочи и са компресирани от силата P. Необходимо е да се определят напреженията в напречните сечения на всеки от прътите, причинени от силата P.

Нека начертаем хоризонтален разрез и съставим уравнение на равновесие за горната част на системата (фиг. 28.2, b):

където са нормалните напрежения в напречните сечения съответно на алуминиеви, стоманени и чугунени пръти (тук се приема, че нормалните напрежения на натиск са положителни); са площите на напречните сечения на тези пръти.

Продуктите представляват надлъжните сили в напречните сечения на прътите.

Други уравнения на равновесие за разглежданата система от успоредни сили не могат да бъдат съставени и следователно, за да се определят трите неизвестни напрежения, в допълнение към уравнението на равновесието (50.2), е необходимо да се съставят две допълнителни уравнения. Съответно, разглежданата система е два пъти (два пъти) статически неопределена.

За да съставим допълнителни уравнения, използваме факта, че и трите пръта са захванати между две твърди плочи и следователно надлъжните деформации на всички пръти са еднакви. Нека обозначим относителната надлъжна деформация на прътите.

Въз основа на закона на Хук

където са еластичните модули на материалите на пръта.

От това равенство получаваме две допълнителни уравнения:

Замествайки стойностите от уравнения (52.2) в уравнение (50.2), намираме

където е площта на напречното сечение на целия композитен прът, намалена до алуминий:

На фиг. 28.2, b показва диаграмата на нормалните напрежения в разглежданата система със съотношение между модулите на еластичност, равно на 1:3:2.

Дадените области се използват при проектирането на пръти с разнородна еластичност, например стоманобетонни колони, състоящи се от стоманени пръти (арматурни пръти), разположени в бетон. Връзката между армировката и бетона предотвратява движението на армировката спрямо околния бетон. Следователно надлъжните деформации на бетона и армировката са еднакви, а съотношението на нормалните напрежения в армировката към напреженията в бетона е равно на съотношението на модулите на еластичност на тези материали.

Помислете сега за системата, показана на фиг. 29.2, а, състоящ се от абсолютно твърда щанга, поддържана върху шарнирна опора и закрепена към два пръта AAX и CCX (изработени от пластична стомана) с помощта на панти.

Нека определим от условието за якост на стоманените пръти допустимото натоварване, максималното натоварване и максимално допустимото натоварване.

Реакциите и прътите, шарнирно закрепени в краищата, са насочени по осите на тези пръти. Реакцията на опората B има хоризонтална компонента и вертикална компонента, тъй като тази опора предотвратява хоризонталните и вертикалните движения на точка B на гредата.

По този начин има общо четири неизвестни реакции (фиг. 29.2, b) и могат да бъдат съставени само три уравнения на равновесие за плоска система от сили. Следователно тази система веднъж е статично неопределена и за нейното решение е необходимо да се състави едно допълнително уравнение.

Според условието на проблема е необходимо да се определят реакциите на стоманени пръти AAX и SCX (равни на надлъжните сили в напречните сечения на тези пръти) и няма нужда да се определят реакциите. Следователно е достатъчно да се използва едно от трите възможни уравнения на равновесие, което не включва реакциите и .

Това е уравнението под формата на сумата от моментите на всички сили спрямо шарнира B:

За да съставите допълнително уравнение, разгледайте деформацията на системата. На фиг. 29.2, б, пунктираната линия показва оста на гредата след деформацията на системата. Тази ос остава праволинейна, тъй като лентата е абсолютно твърда и следователно не се деформира, а може да се върти само около точка B. След деформация пантите A и C отиват съответно в позиции A и C, т.е. те се движат вертикално по стойности. От подобието на триъгълници AAB и CCB намираме

Изразяваме удължението на пръта, а удължението на пръта чрез премествания. За да направите това, ние проектираме измествания в посоките на прътите:

или, като се вземе предвид равенството (56.2)

Но според закона на Хук [съгласно формулата (13.2)]

и следователно на базата на равенство (57.2)

След като решихме уравнение (58.2) заедно с уравнението на равновесието (55.2), намираме стойностите на надлъжните сили, изразени чрез натоварването Q. Разделяйки силите съответно на площите на напречното сечение, определяме нормалните напрежения в стоманата пръти. След това приравнявайки по-голямото от тези напрежения с допустимото напрежение, намираме стойността на Q, равна на допустимото натоварване

Когато натоварването Q се увеличи над стойността на напрежението в двата пръта, те първо се увеличават правопропорционално на натоварването. Ако, например, и следователно стойността се намира от условието тогава, когато натоварването се увеличи до определена стойност, напреженията в първия прът достигат границата на провлачване.В този случай напреженията във втория прът остават по-малко

В процеса на по-нататъшно увеличаване на натоварването напреженията в първия прът остават постоянни, равни на границата на провлачване, а във втория нарастват, докато също се изравнят.Това състояние на системата се нарича гранично състояние, съответстващо на изчерпване на неговата носеща способност; Освен това, дори леко увеличение на натоварването е свързано с много големи деформации на системата. Стойността на Q, която предизвиква граничното състояние, се обозначава и нарича гранично натоварване.

За да определим стойността, съставяме уравнение на равновесие под формата на сумата от моментите (спрямо шарнира B) на всички сили, действащи върху твърда щанга в гранично състояние, когато

Разделяйки на стандартния коефициент на безопасност на носещата способност, получаваме стойността на максимално допустимото натоварване:

Ако стойността във формулата (59.2) се приеме равна на стойността [виж. формула (42.2)], тогава стойността на максимално допустимото натоварване ще бъде по-голяма от стойността на допустимото натоварване, получено чрез изчисляване на допустимите напрежения.

По-подробно въпросите за определяне на максималните и максимално допустимите натоварвания са разгледани в гл. 17.

Нека сега установим метод за определяне на монтажните напрежения в статично неопределена конструкция, причинени от неточности в производството на нейните елементи. Помислете например за конструкция, състояща се от три стоманени пръта с напречно сечение, чиито краища са шарнирно закрепени към две твърди плочи (фиг. 30.2, а). Всички пръти трябваше да имат еднаква дължина l, но първият прът беше направен по-дълъг, а вторият 68 по-къс от проекта, много малък в сравнение с I). В тази връзка, след монтажа, в прътите възникнаха така наречените първоначални (или монтажни) напрежения. Нека дефинираме тези напрежения.

Да приемем, че след монтажа на конструкцията долната плоча е заела позицията, показана на фиг. 30.2, но с прекъсната линия, т.е. че по време на монтажа всички пръти са се удължили и следователно всички са опънати.

Нека начертаем разрез през прътите (фиг. 30.2, o) и съставим условията на равновесие за долната (отрязана) част на конструкцията (фиг. 30.2, b):

а) сумата от проекциите на силите върху вертикалата

б) сумата от моментите на силите спрямо долната лява панта А

Уравнение (61.2) показва, че силите във втория и третия прът имат различни знаци, т.е. единият от тях е разтегнат, а другият е компресиран.

Следователно, направеното предположение, че всички пръти са опънати, е неправилно; въпреки това, той опростява по-нататъшните разсъждения и не въвежда грешки в резултатите от изчисленията.

Двете уравнения на равновесие (60.2) и (61.2) включват три неизвестни сили. Следователно, разглежданата конструкция веднъж е статически неопределена.

За да съставите допълнително уравнение, помислете за удължението на прътите по време на монтажа. Нека обозначим удълженията съответно на първия, втория и третия прът (фиг. 30.2, а). Въз основа на предположението за абсолютна твърдост на плочите заключаваме, че и трите долни панти са разположени на една и съща права линия. Това ни позволява да съставим за подобни триъгълници ACE и BCD (фиг. 30.2, а) следната връзка:

Но от фиг. 30.2 и следва това

Въз основа на закона на Хук