20-то изд. - М.: 2010.- 416 с.

Книгата излага основите на механиката на материалната точка, системата от материални точки и твърдото тяло в обем, съответстващ на програмите на техническите университети. Дадени са много примери и задачи, чиито решения са придружени с подходящи насоки. За студенти от редовни и задочни технически университети.

формат: pdf

Размерът: 14 MB

Гледайте, изтеглете: drive.google

СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор към тринадесетото издание 3
Въведение 5
РАЗДЕЛ ПЪРВИ СТАТИКА НА ТВЪРДО ТЯЛО
Глава I. Основни понятия Начални разпоредби на членове 9
41. Абсолютно твърдо тяло; сила. Задачи по статика 9
12. Първоначални положения на статиката » 11
$ 3. Връзки и техните реакции 15
Глава II. Състав на силите. Система от събиращи се сили 18
§ четири. Геометрично! Метод на обединяване на силите. Резултат от събиращите се сили, разлагане на силите 18
f 5. Проекции на сила върху оста и върху равнината, Аналитичен метод за задаване и добавяне на сили 20
16. Равновесие на системата от събиращи се сили_. . . 23
17. Решаване на задачи по статика. 25
Глава III. Силов момент около центъра. Силова двойка 31
i 8. Силов момент около центъра (или точката) 31
| 9. Няколко сили. двойка момент 33
f 10*. Теореми за еквивалентност и добавяне на двойки 35
Глава IV. Привеждане на системата от сили към центъра. Условия на равновесие... 37
f 11. Теорема 37 за паралелен пренос на сила
112. Привеждане на системата от сили към даден център - . .38
§ 13. Условия за равновесие на система от сили. Теорема за момента на резултантната 40
Глава V. Плоска система от сили 41
§ 14. Алгебрични моменти на сила и двойки 41
115. Намаляване на плоска система от сили до най-простата форма .... 44
§ 16. Равновесие на плоска система от сили. Случаят на успоредни сили. 46
§ 17. Решаване на задачи 48
118. Равновесие на системи от тела 63
§ 19*. статично определен и статично определен неопределими системитела (конструкции) 56"
f 20*. Определение за вътрешни сили. 57
§ 21*. Разпределени сили 58
E22*. Изчисляване на плоски ферми 61
Глава VI. Триене 64
! 23. Закони на триенето при плъзгане 64
: 24. Реакции на груби връзки. Ъгъл на триене 66
: 25. Равновесие при наличие на триене 66
(26*. Триене на резба върху цилиндрична повърхност 69
1 27*. Триене при търкаляне 71
Глава VII. Пространствена система от сили 72
§28. Силов момент около оста. Изчисляване на главен вектор
и главният момент на системата от сили 72
§ 29*. Намаляване на пространствената система от сили до най-проста форма 77
§тридесет. Равновесие на произволна пространствена система от сили. Случаят на успоредни сили
Глава VIII. Център на тежестта 86
§31. Център на паралелни сили 86
§ 32. Силово поле. Център на тежестта на твърдо тяло 88
§ 33. Координати на центровете на тежестта на еднородни тела 89
§ 34. Методи за определяне на координатите на центровете на тежестта на телата. 90
§ 35. Центрове на тежестта на някои еднородни тела 93
РАЗДЕЛ ВТОРИ КИНЕМАТИКА НА ТОЧКА И ТВЪРДО ТЯЛО
Глава IX. Точкова кинематика 95
§ 36. Въведение в кинематиката 95
§ 37. Методи за уточняване на движението на точка. . 96
§38. Вектор на точковата скорост,. 99
§ 39
§40. Определяне на скоростта и ускорението на точка с координатния метод за уточняване на движение 102
§41. Решаване на задачи по точкова кинематика 103
§ 42. Оси на естествен тристен. Числова стойност на скоростта 107
§ 43. Тангенса и нормално ускорение на точка 108
§44. Някои специални случаи на движение на точка в софтуера
§45. Графики на движение, скорост и ускорение на точка 112
§ 46. Решаване на задачи< 114
§47*. Скорост и ускорение на точка в полярни координати 116
Глава X. Постъпателни и въртеливи движения на твърдо тяло. . 117
§48. Транслационно движение 117
§ 49. Въртеливо движение на твърдо тяло около ос. Ъглова скорост и ъглово ускорение 119
§ петдесет. Равномерно и равномерно въртене 121
§51. Скорости и ускорения на точки на въртящо се тяло 122
Глава XI. Равнопаралелно движение на твърдо тяло 127
§52. Уравнения на плоскопаралелно движение (движение на равнинна фигура). Разлагане на движението на постъпателно и въртеливо 127
§53*. Определяне на траектории на точки от равнинна фигура 129
§54. Определяне на скоростите на точки на равнинна фигура 130
§ 55. Теоремата за проекциите на скоростите на две точки от тялото 131
§ 56. Определяне на скоростите на точки от плоска фигура с помощта на моментния център на скоростите. Концепцията за центроиди 132
§57. Решаване на проблеми 136
§58*. Определяне на ускоренията на точки от равнинна фигура 140
§59*. Моментален център на ускорение "*"*
Глава XII*. Движение на твърдо тяло около неподвижна точка и движение на свободно твърдо тяло 147
§ 60. Движение на твърдо тяло с една неподвижна точка. 147
§61. Кинематични уравнения на Ойлер 149
§62. Скорости и ускорения на точките на тялото 150
§ 63. Общ случай на движение на свободно твърдо тяло 153
Глава XIII. Сложно движение на точки 155
§ 64. Относителни, образни и абсолютни движения 155
§ 65, Теорема за добавяне на скорост » 156
§66. Теорема за добавяне на ускорения (теорема на Кориолс) 160
§67. Решаване на проблеми 16*
Глава XIV*. Сложно движение на твърдо тяло 169
§68. Добавяне на транслационни движения 169
§69. Събиране на ротации около две успоредни оси 169
§70. Цилиндрични зъбни колела 172
§ 71. Събиране на завъртания около пресичащи се оси 174
§72. Добавяне на транслационни и ротационни движения. Движение на винта 176
РАЗДЕЛ ТРЕТИ ДИНАМИКА НА ТОЧКА
Глава XV: Въведение в динамиката. Закони на динамиката 180
§ 73. Основни понятия и определения 180
§ 74. Закони на динамиката. Задачи на динамиката на материална точка 181
§ 75. Системи единици 183
§76. Основни видове сили 184
Глава XVI. Диференциални уравнения на движение на точка. Решаване на задачи от точкова динамика 186
§ 77. Диференциални уравнения, движения на материална точка № 6
§ 78. Решение на първата задача от динамиката (определяне на силите от дадено движение) 187
§ 79. Решение на основната задача за динамиката при праволинейното движение на точка 189
§ 80. Примери за решаване на задачи 191
§81*. Падане на тяло в съпротивителна среда (въздух) 196
§82. Решение на основната задача на динамиката, с криволинейно движение на точка 197
Глава XVII. Общи теореми на точковата динамика 201
§83. Количеството движение на точката. Силов импулс 201
§ S4. Теорема за промяната на импулса на точка 202
§ 85. Теоремата за промяната на ъгловия момент на точка (теорема за моментите) "204
§86*. Движение под действието на централна сила. Закон за областите.. 266
§ 8-7. Принудителна работа. Мощност 208
§88. Примери за изчисление на работа 210
§89. Теорема за изменението на кинетичната енергия на точка. „... 213J
Глава XVIII. Несвободно и относително движение на точка 219
§90. Несвободно движение на точка. 219
§91. Относително движение на точка 223
§ 92. Влияние на въртенето на Земята върху равновесието и движението на телата... 227
Раздел 93*. Отклонение на точката на падане от вертикалата поради въртенето на Земята “230
Глава XIX. Праволинейни флуктуации на точка. . . 232
§ 94. Свободни вибрации без отчитане на силите на съпротивление 232
§ 95. Свободни трептения с вискозно съпротивление (затихващи трептения) 238
§96. Принудителни вибрации. Резонанс 241
Глава XX*. Движение на тяло в полето на тежестта 250
§ 97. Движение на хвърлено тяло в гравитационното поле на Земята "250
§98. Изкуствени спътници на Земята. Елиптични траектории. 254
§ 99. Концепцията за безтегловност. "Местни референтни системи 257
ЧЕТВЪРТИ РАЗДЕЛ ДИНАМИКА НА СИСТЕМА И КВЪРДО ТЯЛО
G i a v a XXI. Въведение в системната динамика. моменти на инерция. 263
§ 100. Механична система. Външни и вътрешни сили 263
§ 101. Маса на системата. Център на тежестта 264
§ 102. Инерционен момент на тяло спрямо ос. Радиус на инерция. . 265
$ 103. Инерционни моменти на тяло спрямо успоредни оси. Теорема на Хюйгенс 268
§ 104*. центробежни инерционни моменти. Понятия за главните инерционни оси на тялото 269
$105*. Инерционният момент на тялото спрямо произволна ос. 271
Глава XXII. Теорема за движението на центъра на масата на системата 273
$ 106. Диференциални уравнения на движението на системата 273
§ 107. Теорема за движението на центъра на масата 274
$ 108. Закон за запазване на движението на центъра на масата 276
§ 109. Решаване на задачи 277
Глава XXIII. Теорема за изменението на количеството на подвижна система. . 280
$ НО. Номер на системата за движение 280
§111. Теорема за промяна на импулса 281
§ 112. Закон за запазване на импулса 282
$113*. Приложение на теоремата към движението на течност (газ) 284
§ 114*. Тяло с променлива маса. Ракетно движение 287
Гдава XXIV. Теоремата за промяната на момента на импулса на системата 290
§ 115. Основният момент на количествата на движение на системата 290
$ 116. Теорема за промяната на главния момент на импулса на системата (теорема за моментите) 292
$117. Законът за запазване на главния момент на импулса. . 294
$ 118. Решаване на проблеми 295
$119*. Приложение на теоремата за момента към движението на течност (газ) 298
§ 120. Условия на равновесие за механична система 300
Глава XXV. Теорема за изменението на кинетичната енергия на системата. . 301.
§ 121. Кинетична енергия на системата 301
$122. Някои случаи на изчисляване работят 305
$ 123. Теорема за промяната на кинетичната енергия на системата 307
$ 124. Решаване на проблеми 310
$125*. Смесени задачи „314
$ 126. Потенциално силово поле и силова функция 317
$127, потенциална енергия. Закон за запазване на механичната енергия 320
Глава XXVI. „Приложение на общи теореми към динамиката на твърдо тяло 323
$12&. Ротационно движение на твърдо тяло около фиксирана ос ". 323"
$ 129. Физическо махало. Експериментално определяне на инерционните моменти. 326
$130. Равнопаралелно движение на твърдо тяло 328
$131*. Елементарна теория на жироскопа 334
$132*. Движение на твърдо тяло около фиксирана точка и движение на свободно твърдо тяло 340
Глава XXVII. Принцип на д'Аламбер 344
$ 133. Принципът на д'Аламбер за точка и механична система. . 344
$ 134. Главен вектор и главен момент на инерционните сили 346
$ 135. Решаване на проблеми 348
$136*, Дидемични реакции, действащи върху оста на въртящо се тяло. Балансиране на въртящи се тела 352
Глава XXVIII. Принципът на възможните премествания и общото уравнение на динамиката 357
§ 137. Класификация на връзките 357
§ 138. Възможни премествания на системата. Брой степени на свобода. . 358
§ 139. Принципът на възможните движения 360
§ 140. Решаване на задачи 362
§ 141. Общо уравнение на динамиката 367
Глава XXIX. Условия на равновесие и уравнения на движение на системата в обобщени координати 369
§ 142. Обобщени координати и обобщени скорости. . . 369
§ 143. Обобщени сили 371
§ 144. Условия на равновесие на система в обобщени координати 375
§ 145. Уравнения на Лагранж 376
§ 146. Решаване на задачи 379
Глава XXX*. Малки колебания на системата около положението на устойчиво равновесие 387
§ 147. Концепцията за устойчивост на равновесие 387
§ 148. Малки свободни трептения на система с една степен на свобода 389
§ 149. Малки амортизирани и принудителни вибрациисистеми с една степен на свобода 392
§ 150. Малки сумарни трептения на система с две степени на свобода 394
Глава XXXI. Теория на елементарния удар 396
§ 151. Основно уравнение на теорията на удара 396
§ 152. Общи теореми на теорията на удара 397
§ 153. Коефициент на възстановяване на удара 399
§ 154. Удар на тялото върху неподвижна преграда 400
§ 155. Пряк централен удар на две тела (удар на топки) 401
§ 156. Загуба на кинетична енергия при нееластичен удар на две тела. Теорема на Карно 403
§ 157*. Удар във въртящо се тяло. Ударен център 405
Индекс 409

Точкова кинематика.

1. Предмет на теоретичната механика. Основни абстракции.

Теоретична механикае наука, в която се изучават общите закони механично движениеи механичното взаимодействие на материалните тела

Механично движениесе нарича движението на едно тяло по отношение на друго тяло, протичащо в пространството и времето.

Механично взаимодействие се нарича такова взаимодействие на материалните тела, което променя характера на тяхното механично движение.

Статика - Това е дял от теоретичната механика, който изучава методите за превръщане на системи от сили в еквивалентни системи и установява условията за равновесие на силите, приложени към твърдо тяло.

Кинематика - е разделът на теоретичната механика, който се занимава с движението на материалните тела в пространството от геометрична гледна точка, независимо от силите, действащи върху тях.

Динамика - Това е дял от механиката, който изучава движението на материалните тела в пространството в зависимост от силите, действащи върху тях.

Обекти на изучаване на теоретичната механика:

материална точка,

система от материални точки,

Абсолютно твърдо тяло.

Абсолютното пространство и абсолютното време са независими едно от друго. Абсолютно пространство - триизмерно, хомогенно, неподвижно евклидово пространство. Абсолютно време - тече от миналото към бъдещето непрекъснато, то е еднородно, еднакво във всички точки на пространството и не зависи от движението на материята.

2. Предмет на кинематиката.

Кинематика - това е дял от механиката, който изучава геометричните свойства на движението на телата, без да отчита тяхната инерция (т.е. маса) и силите, действащи върху тях

За да се определи положението на движещо се тяло (или точка) с тялото, спрямо което се изследва движението на това тяло, е свързана твърдо някаква координатна система, която заедно с тялото образува справочна система.

Основната задача на кинематиката е да, познавайки закона за движение на дадено тяло (точка), да определим всички кинематични величини, които характеризират неговото движение (скорост и ускорение).

3. Методи за уточняване на движението на точка

· естествен начин

Трябва да се знае:

Траектория на движение на точката;

Начало и посока на броене;

Законът за движение на точка по дадена траектория във формата (1.1)

· Координатен метод

Уравнения (1.2) са уравненията на движението на точка М.

Уравнението за траекторията на точка М може да се получи чрез елиминиране на времевия параметър « T » от уравнения (1.2)

· Векторен начин

(1.3) Връзка между координатни и векторни методи за уточняване на движението на точка (1.4)

Връзка между координата и естествени начинизадачи за движение на точки

Определете траекторията на точката, като изключите времето от уравнения (1.2);

-- намерете закона за движение на точка по траектория (използвайте израза за диференциала на дъгата)

След интегриране получаваме закона за движение на точка по дадена траектория:

Връзката между координатния и векторния метод за определяне на движението на точка се определя от уравнение (1.4)

4. Определяне на скоростта на точка с векторния метод за уточняване на движението.

Нека в моментаTпозицията на точката се определя от радиус вектора , и в момента на времеT 1 – радиус-вектор , след това за период от време точката ще се премести.

(1.5) точкова средна скорост, посоката на вектора е същата като вектора

Скоростта на точка в даден момент

За да получите скоростта на точка в даден момент от време, е необходимо да направите преминаване до границата

(1.6)

(1.7)

Векторът на скоростта на точка в даден момент е равна на първата производна на радиус-вектора по време и е насочена тангенциално към траекторията в дадена точка.

(мерна единица¾ m/s, km/h)

Вектор на средното ускорение има същата посока като вектораΔ v , тоест насочен към вдлъбнатината на траекторията.

Вектор на ускорението на точка в даден момент е равна на първата производна на вектора на скоростта или втората производна на радиус вектора на точката по отношение на времето.

(мерна единица - )

Как е разположен векторът спрямо траекторията на точката?

При праволинейно движение векторът е насочен по правата линия, по която се движи точката. Ако траекторията на точката е плоска крива, тогава векторът на ускорението , както и векторът cp, лежи в равнината на тази крива и е насочен към нейната вдлъбнатина. Ако траекторията не е равнинна крива, тогава векторът cp ще бъде насочен към вдлъбнатината на траекторията и ще лежи в равнината, минаваща през допирателната към траекторията в точкатаМ и права, успоредна на допирателната в съседна точкаМ 1 . AT граница, когато точкатаМ 1 има тенденция да М тази равнина заема позицията на така наречената съседна равнина. Следователно, в общ случайвекторът на ускорението лежи в съседната равнина и е насочен към вдлъбнатината на кривата.

Курсът обхваща: кинематиката на точка и твърдо тяло (и от различни гледни точки се предлага да се разгледа проблемът за ориентацията на твърдо тяло), класическите проблеми на динамиката на механичните системи и динамиката на твърдото тяло. тяло, елементи на небесната механика, движение на системи с променлив състав, теория на удара, диференциални уравненияаналитична динамика.

Курсът обхваща всички традиционни раздели на теоретичната механика, но специално внимание се отделя на най-смислените и ценни за теорията и приложенията раздели на динамиката и методите на аналитичната механика; статиката се изучава като раздел на динамиката, а в раздела на кинематиката се въвеждат подробно понятията, необходими за раздела на динамиката и математическия апарат.

Информационни ресурси

Gantmakher F.R. Лекции по аналитична механика. - 3-то изд. – М.: Физматлит, 2001.
Журавлев В.Ф. Основи на теоретичната механика. - 2-ро изд. - М.: Физматлит, 2001; 3-то изд. – М.: Физматлит, 2008.
Маркеев А.П. Теоретична механика. - Москва - Ижевск: Изследователски център "Регуларна и хаотична динамика", 2007 г.

Изисквания

Курсът е предназначен за студенти, които владеят апарата по аналитична геометрия и линейна алгебра в обхвата на програмата за първа година на технически университет.

Програма на курса

1. Кинематика на точка
1.1. Проблеми на кинематиката. Декартова координатна система. Разлагане на вектор в ортонормален базис. Радиус вектор и координати на точка. Точкова скорост и ускорение. Траектория на движение.
1.2. Естествена триъгълна. Разгъване на скоростта и ускорението по осите на естествен тристен (теорема на Хюйгенс).
1.3. Криволинейни координати на точки, примери: полярна, цилиндрична и сферична координатни системи. Компоненти на скоростта и проекции на ускорението върху осите на криволинейна координатна система.

2. Методи за определяне на ориентацията на твърдо тяло
2.1. Твърди. Неподвижни и свързани с тялото координатни системи.
2.2. Ортогонални ротационни матрици и техните свойства. Теорема за краен завой на Ойлер.
2.3. Активни и пасивни гледни точки върху ортогоналната трансформация. Добавяне на завои.
2.4. Крайни ъгли на завъртане: ъгли на Ойлер и "самолетни" ъгли. Изразяване на ортогонална матрица чрез крайни ъгли на завъртане.

3. Пространствено движение на твърдо тяло
3.1. Постъпателно и въртеливо движение на твърдо тяло. Ъглова скорост и ъглово ускорение.
3.2. Разпределение на скоростите (формула на Ойлер) и ускоренията (формула на Ривалс) на точки от твърдо тяло.
3.3. Кинематични инварианти. Кинематичен винт. Незабавна винтова ос.

4. Равнопаралелно движение
4.1. Концепцията за плоскопаралелно движение на тялото. Ъглова скорост и ъглово ускорение при плоскопаралелно движение. Моментален център на скоростта.

5. Сложно движение на точка и твърдо тяло
5.1. Неподвижни и подвижни координатни системи. Абсолютно, относително и образно движение на точка.
5.2. Теоремата за събирането на скоростите при сложно движение на точка, относителна и образна скорост на точка. Теорема на Кориолис за събиране на ускорения за сложно движение на точка, относителни, транслационни и кориолисови ускорения на точка.
5.3. Абсолютна, относителна и преносима ъглова скорост и ъглово ускорение на тяло.

6. Движение на твърдо тяло с фиксирана точка (кватернионно представяне)
6.1. Понятието комплексни и хиперкомплексни числа. Алгебра на кватернионите. Кватернионно произведение. Конюгиран и обратен кватернион, норма и модул.
6.2. Тригонометрично представяне на единицата кватернион. Кватернионен метод за определяне на въртенето на тялото. Теорема за краен завой на Ойлер.
6.3. Връзка между кватернионните компоненти в различни бази. Добавяне на завои. Параметри на Родригес-Хамилтън.

7. Изпитна работа

8. Основни понятия на динамиката.
8.1 Импулс, ъглов момент (кинетичен момент), кинетична енергия.
8.2 Мощност на силите, работа на силите, потенциална и пълна енергия.
8.3 Център на масата (център на инерцията) на системата. Инерционният момент на системата спрямо оста.
8.4 Инерционни моменти относно успоредни оси; теоремата на Хюйгенс-Щайнер.
8.5 Тензор и елипсоид на инерцията. Главни инерционни оси. Свойства на аксиалните инерционни моменти.
8.6 Изчисляване на ъгловия момент и кинетичната енергия на тялото с помощта на инерционния тензор.

9. Основни теореми на динамиката в инерциални и неинерциални отправни системи.
9.1 Теорема за промяната на импулса на системата в инерциална отправна система. Теорема за движението на центъра на масата.
9.2 Теорема за изменението на ъгловия момент на системата в инерциална отправна система.
9.3 Теорема за изменението на кинетичната енергия на системата в инерционна отправна система.
9.4 Потенциални, жироскопични и дисипативни сили.
9.5 Основни теореми на динамиката в неинерциални отправни системи.

10. Движение на твърдо тяло с неподвижна точка по инерция.
10.1 Динамични уравнения на Ойлер.
10.2 Случай на Ойлер, първи интеграли на динамични уравнения; постоянни ротации.
10.3 Тълкувания на Poinsot и Macculag.
10.4 Правилна прецесия при динамична симетрия на тялото.

11. Движение на тежко твърдо тяло с неподвижна точка.
11.1 Обща формулировка на задачата за движението на тежко твърдо тяло.
фиксирана точка. Динамични уравнения на Ойлер и техните първи интеграли.
11.2 Качествен анализдвижение на твърдо тяло в случая на Лагранж.
11.3 Принудителна правилна прецесия на динамично симетрично твърдо тяло.
11.4 Основната формула на жироскопията.
11.5 Концепцията за елементарната теория на жироскопите.

12. Динамика на точка в централното поле.
12.1 Уравнение на Бине.
12.2 Уравнение на орбитата. Законите на Кеплер.
12.3 Проблемът с разсейването.
12.4 Проблемът с две тела. Уравнения на движението. Интеграл на площта, интеграл на енергията, интеграл на Лаплас.

13. Динамика на системи с променлив състав.
13.1 Основни понятия и теореми за промяната на основните динамични величини в системи с променлив състав.
13.2 Движение на материална точка с променлива маса.
13.3 Уравнения на движение на тяло с променлив състав.

14. Теория на импулсивните движения.
14.1 Основни понятия и аксиоми на теорията на импулсните движения.
14.2 Теореми за промяна на основните динамични величини при импулсивно движение.
14.3 Импулсивно движение на твърдо тяло.
14.4 Сблъсък на две твърди тела.
14.5 Теореми на Карно.

15. Тест

Резултати от обучението

В резултат на усвояването на дисциплината студентът трябва:

• Зная:
  • основни понятия и теореми на механиката и произтичащите от тях методи за изследване на движението на механични системи;
• Умейте да:
  • правилно формулиране на задачи от гледна точка на теоретичната механика;
  • разработват механични и математически модели, които адекватно отразяват основните свойства на разглежданите явления;
  • прилагат придобитите знания за решаване на подходящи специфични проблеми;
• Собствен:
  • умения за решаване на класически задачи от теоретичната механика и математика;
  • уменията за изучаване на проблемите на механиката и изграждане на механични и математически модели, които адекватно описват различни механични явления;
  • умения за практическо използване на методите и принципите на теоретичната механика при решаване на проблеми: изчисление на силата, определяне на кинематичните характеристики на телата при различни начинизадачи на движението, определяне на закона за движение на материални тела и механични системи под действие на сили;
  • умения за самостоятелно усвояване на нова информация в процеса на производство и научна дейностизползване на съвременни образователни и информационни технологии;

Общи теореми за динамиката на система от тела. Теореми за движението на центъра на масата, за изменението на импулса, за изменението на главния момент на импулса, за изменението на кинетичната енергия. Принципи на д'Аламбер и възможни измествания. Общо уравнение на динамиката. Уравнения на Лагранж.

Съдържание

Работата, извършена от силата, е равно на скаларното произведение на векторите на силата и безкрайно малкото преместване на точката на нейното приложение:
,
т.е. произведението на модулите на векторите F и ds и косинуса на ъгъла между тях.

Работата, извършена от момента на силата, е равно на скаларното произведение на векторите на момента и безкрайно малкия ъгъл на завъртане:
.

принцип на д'Аламбер

Същността на принципа на д'Аламбер е да сведе проблемите на динамиката до проблемите на статиката. За целта се приема (или е известно предварително), че телата на системата имат определени (ъглови) ускорения. След това се въвеждат силите на инерцията и (или) моментите на инерционните сили, които са равни по големина и реципрочни по посока на силите и моментите на силите, които според законите на механиката биха създали дадени ускорения или ъглови ускорения

Помислете за пример. Пътят, по който тялото върви движение напреди върху него действат външни сили. Освен това приемаме, че тези сили създават ускорение на центъра на масата на системата. Според теоремата за движението на центъра на масата центърът на масата на тялото би имал същото ускорение, ако върху тялото действа сила. След това въвеждаме силата на инерцията:
.
След това задачата на динамиката е:
.
;
.

За въртеливото движение продължете по подобен начин. Нека тялото се върти около оста z и върху него действат външни моменти на сили M e zk. Приемаме, че тези моменти създават ъглово ускорение ε z . След това въвеждаме момента на инерционните сили M И = - J z ε z . След това задачата на динамиката е:
.
Превръща се в статична задача:
;
.

Принципът на възможните движения

Принципът на възможните премествания се използва за решаване на проблеми със статиката. В някои задачи дава по-кратко решение от писането на уравнения за равновесие. Това важи особено за системи с връзки (например системи от тела, свързани с нишки и блокове), състоящи се от много тела

Принципът на възможните движения.
За равновесието на механична система с идеални ограничения е необходимо и достатъчно сумата от елементарните работи на всички действащи върху нея активни сили за всяко възможно преместване на системата да бъде равна на нула.

Възможно преместване на системата- това е малко изместване, при което не се прекъсват връзките, наложени на системата.

Перфектни връзки- това са връзки, които не вършат работа при преместване на системата. По-точно сумата на работата, извършена от самите връзки при преместване на системата, е нула.

Общо уравнение на динамиката (принцип на Д'Аламбер - Лагранж)

Принципът на д'Аламбер-Лагранж е комбинация от принципа на д'Аламбер с принципа на възможните премествания. Тоест, когато решаваме проблема с динамиката, въвеждаме силите на инерцията и свеждаме проблема до проблема със статиката, който решаваме, използвайки принципа на възможните премествания.

принцип на д'Аламбер-Лагранж.
Когато една механична система се движи с идеални ограничения във всеки момент от времето, сумата от елементарните работи на всички приложени активни сили и всички инерционни сили върху всяко възможно изместване на системата е равна на нула:
.
Това уравнение се нарича общо уравнение на динамиката.

Уравнения на Лагранж

Обобщени координати q 1 , q 2 , ..., q n е набор от n стойности, които еднозначно определят позицията на системата.

Броят на обобщените координати n съвпада с броя на степените на свобода на системата.

Обобщени скоростиса производните на обобщените координати по време t.

Обобщени сили Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Да разгледаме възможно изместване на системата, при което координатата q k ще получи изместване δq k . Останалите координати остават непроменени. Нека δA k е работата, извършена от външни сили по време на такова преместване. Тогава
δA k = Q k δq k , или
.

Ако при възможно изместване на системата всички координати се променят, тогава работата, извършена от външни сили по време на такова изместване, има формата:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Тогава обобщените сили са частични производни на работата по изместване:
.

За потенциални силис потенциал Π,
.

Уравнения на Лагранжса уравненията на движение на механична система в обобщени координати:

Тук Т е кинетичната енергия. Това е функция на обобщени координати, скорости и вероятно време. Следователно неговата частна производна също е функция на обобщени координати, скорости и време. След това трябва да вземете предвид, че координатите и скоростите са функции на времето. Следователно, за да намерите производната на общото време, трябва да приложите правилото за диференциране на сложна функция:
.

Препратки:
С. М. Тарг, Кратък курсТеоретична механика, Висше училище, 2010г.

В рамките на всяка курс на обучениеИзучаването на физиката започва с механиката. Не от теоретична, не от приложна и не изчислителна, а от добрата стара класическа механика. Тази механика се нарича още Нютонова механика. Според легендата ученият се разхождал в градината, видял ябълка да пада и именно това явление го подтикнало да открие закона за всемирното привличане. Разбира се, законът винаги е съществувал и Нютон му е дал само разбираема за хората форма, но неговата заслуга е безценна. В тази статия няма да опишем законите на Нютоновата механика възможно най-подробно, но ще очертаем основите, основните знания, определенията и формулите, които винаги могат да ви помогнат.

Механиката е дял от физиката, наука, която изучава движението на материалните тела и взаимодействията между тях.

Самата дума е от гръцки произход и се превежда като "изкуството да се строят машини". Но преди да изградим машини, все още имаме да извървим дълъг път, така че нека следваме стъпките на нашите предци и ще изучаваме движението на камъни, хвърлени под ъгъл спрямо хоризонта, и ябълки, падащи върху глави от височина h.

Защо изучаването на физиката започва с механиката? Защото е напълно естествено, да не го тръгнем от термодинамичното равновесие?!

Механиката е една от най-старите науки и исторически изучаването на физиката започва именно с основите на механиката. Поставени в рамките на времето и пространството, хората всъщност не биха могли да започнат от нещо друго, колкото и да им се искаше. Движещите се тела са първото нещо, на което обръщаме внимание.

Какво е движение?

Механичното движение е промяна в положението на телата в пространството едно спрямо друго във времето.

След това определение съвсем естествено стигаме до понятието референтна рамка. Промяна на положението на телата в пространството едно спрямо друго.Ключови думи тук: един спрямо друг . В крайна сметка, пътник в кола се движи спрямо човек, стоящ отстрани на пътя, с определена скорост и почива спрямо съседа си на седалка наблизо и се движи с друга скорост спрямо пътник в кола, която ги изпреварва.

Ето защо, за да измерваме нормално параметрите на движещи се обекти и да не се объркаме, имаме нужда отправна система - твърдо свързани помежду си отправно тяло, координатна система и часовник. Например, земята се движи около слънцето в хелиоцентрична референтна система. В ежедневието ние извършваме почти всички наши измервания в геоцентрична референтна система, свързана със Земята. Земята е еталонно тяло, спрямо което се движат автомобили, самолети, хора, животни.

Механиката като наука има своя задача. Задачата на механиката е да знае положението на тялото в пространството по всяко време. С други думи, механиката изгражда математическо описание на движението и намира връзки между физични величинихарактеризирайки го.

За да продължим по-нататък, имаме нужда от понятието „ материална точка ". Казват, че физиката е точна наука, но физиците знаят колко много приближения и предположения трябва да се направят, за да се постигне съгласие относно точно тази точност. Никой никога не е виждал материална точка или е подушвал идеален газ, но те съществуват! Просто с тях се живее много по-лесно.

Материална точка е тяло, чийто размер и форма могат да бъдат пренебрегнати в контекста на тази задача.

Раздели на класическата механика

Механиката се състои от няколко раздела

• Кинематика
• Динамика
• Статика

Кинематикаот физическа гледна точка, изучава как точно се движи тялото. С други думи, този раздел се занимава с количествените характеристики на движението. Намерете скорост, път - типични задачи на кинематиката

Динамикарешава въпроса защо се движи по този начин. Тоест, той отчита силите, действащи върху тялото.

Статикаизучава равновесието на телата под действието на силите, тоест отговаря на въпроса: защо изобщо не пада?

Граници на приложимост на класическата механика

Класическата механика вече не претендира да бъде наука, която обяснява всичко (в началото на миналия век всичко беше съвсем различно) и има ясен обхват на приложимост. Като цяло законите на класическата механика са валидни за света, познат ни по размери (макросвят). Те престават да работят в случая със света на частиците, когато класическата механика е заменена от квантовата механика. Освен това класическата механика е неприложима за случаите, когато движението на телата се извършва със скорост, близка до скоростта на светлината. В такива случаи релативистките ефекти стават ясно изразени. Грубо казано, в рамките на квантовата и релативистката механика - класическата механика, това е частен случай, когато размерите на тялото са големи, а скоростта е малка.

Най-общо казано, квантовите и релативистичните ефекти никога не изчезват, те се проявяват и при обичайното движение на макроскопичните тела със скорост, много по-ниска от скоростта на светлината. Друго нещо е, че действието на тези ефекти е толкова малко, че не надхвърля най-точните измервания. По този начин класическата механика никога няма да загуби фундаменталното си значение.

Ще продължим да изучаваме физическите основи на механиката в бъдещи статии. За по-добро разбиране на механиката винаги можете да се обърнете към нашите автори, които поотделно хвърлят светлина върху тъмното петно ​​на най-трудната задача.