Решение на диференциални уравнения. Благодарение на нашите онлайн услугаможете да решавате диференциални уравнения от всякакъв вид и сложност: нехомогенни, хомогенни, нелинейни, линейни, от първи, втори ред, със или без разделими променливи и т.н. Получавате решението на диференциалните уравнения в аналитична форма с Подробно описание. Мнозина се интересуват от: защо е необходимо да се решават диференциални уравнения онлайн? Този тип уравнения са много често срещани в математиката и физиката, където ще бъде невъзможно да се решат много проблеми без изчисляване на диференциалното уравнение. Също така диференциалните уравнения са често срещани в икономиката, медицината, биологията, химията и други науки. Решаването на такова уравнение онлайн значително улеснява вашите задачи, дава възможност да разберете по-добре материала и да се тествате. Ползи от решаването на диференциални уравнения онлайн. Модерен сайт за математически услуги ви позволява да решавате диференциални уравнения онлайн с всякаква сложност. Както знаете, има голям брой видове диференциални уравнения и всяко от тях има свои собствени решения. В нашата услуга можете да намерите онлайн решението на диференциални уравнения от всякакъв ред и тип. За да получите решение, предлагаме да попълните първоначалните данни и да натиснете бутона "Решение". Грешки в работата на услугата са изключени, така че можете да сте 100% сигурни, че сте получили правилния отговор. Решете диференциални уравнения с нашата услуга. Решете диференциални уравнения онлайн. По подразбиране в такова уравнение функцията y е функция на променливата x. Но можете също да зададете свое собствено обозначение на променлива. Например, ако посочите y(t) в диференциално уравнение, тогава нашата услуга автоматично ще определи, че y е функция на променливата t. Редът на цялото диференциално уравнение ще зависи от максималния ред на производната на функцията, присъстваща в уравнението. Да се ​​реши такова уравнение означава да се намери търсената функция. Нашата услуга ще ви помогне да решавате диференциални уравнения онлайн. Не са необходими много усилия от ваша страна, за да решите уравнението. Просто трябва да въведете лявата и дясната част на вашето уравнение в задължителните полета и да щракнете върху бутона "Решение". При въвеждане на производна на функция е необходимо да се обозначи с апостроф. След няколко секунди ще имате подробно решениедиференциално уравнение. Нашата услуга е абсолютно безплатна. Диференциални уравнениясъс споделени променливи. Ако в диференциалното уравнение от лявата страна има израз, който зависи от y, а от дясната страна има израз, който зависи от x, тогава такова диференциално уравнение се нарича с разделими променливи. От лявата страна може да има производна на y, решението на диференциални уравнения от този вид ще бъде под формата на функция на y, изразена чрез интеграла от дясната страна на уравнението. Ако има диференциал на функция от y от лявата страна, тогава и двете части на уравнението са интегрирани. Когато променливите в диференциалното уравнение не са разделени, те ще трябва да бъдат разделени, за да се получи отделно диференциално уравнение. Линейно диференциално уравнение. Диференциалното уравнение се нарича линейно, ако функцията и всичките й производни са на първа степен. Общ вид на уравнението: y'+a1(x)y=f(x). f(x) и a1(x) са непрекъснати функции на x. Решаването на диференциални уравнения от този тип се свежда до интегриране на две диференциални уравнения с разделени променливи. Редът на диференциалното уравнение. Диференциалното уравнение може да бъде от първи, втори, n-ти ред. Редът на диференциалното уравнение определя реда на най-високата производна, съдържаща се в него. В нашата услуга можете да решавате онлайн диференциални уравнения на първо, второ, трето и т.н. поръчка. Решението на уравнението ще бъде всяка функция y=f(x), замествайки която в уравнението, ще получите идентичност. Процесът на намиране на решение на диференциално уравнение се нарича интегриране. Проблем с Коши. Ако в допълнение към самото диференциално уравнение е определено началното условие y(x0)=y0, тогава това се нарича проблем на Коши. Индикаторите y0 и x0 се добавят към решението на уравнението и се определя стойността на произволна константа C, а след това конкретно решение на уравнението за тази стойност на C. Това е решението на задачата на Коши. Задачата на Коши се нарича още задача с гранични условия, която е много разпространена във физиката и механиката. Също така имате възможност да зададете задачата на Коши, тоест от всички възможни решения на уравнението да изберете конкретно, което отговаря на дадените начални условия.

Решаването на различни геометрични, физически и инженерни проблеми често води до уравнения, които свързват независими променливи, които характеризират конкретен проблем с някаква функция на тези променливи и производни на тази функция от различен порядък.

Като пример можем да разгледаме най-простия случай на равномерно ускорено движение на материална точка.

Известно е, че преместването на материална точка при равномерно ускорено движение е функция на времето и се изразява с формулата:

От своя страна ускорението ае производната на времето Tот скоростта V, което също е производна по отношение на времето Tот движение С. Тези.

Тогава получаваме:
- уравнението свързва функцията f(t) с независимата променлива t и производната от втори ред на функцията f(t).

Определение. диференциално уравнение наречено уравнение, свързващо независими променливи, техните функции и производни (или диференциали) на тази функция.

Определение. Ако диференциалното уравнение има една независима променлива, тогава тя се извиква обикновено диференциално уравнение , ако има две или повече независими променливи, тогава се нарича такова диференциално уравнение частично диференциално уравнение.

Определение. Най-високият порядък на производните в уравнението се нарича реда на диференциалното уравнение .

Пример.

- обикновено диференциално уравнение от 1-ви ред. В общи линии е писано
.

- обикновено диференциално уравнение от 2-ри ред. В общи линии е писано

- диференциално уравнение в частни производни от първи ред.

Определение. Общо решение диференциалното уравнение е такава диференцируема функция y = (x, C), която, когато се замести в оригиналното уравнение вместо неизвестна функция, превръща уравнението в идентичност

Свойства на общото решение.

1) Защото Тъй като константата C е произволна стойност, тогава като цяло диференциалното уравнение има безкраен брой решения.

2) При всякакви начални условия x \u003d x 0, y (x 0) \u003d y 0, има такава стойност C \u003d C 0, за която решението на диференциалното уравнение е функцията y \u003d  (x, C 0).

Определение. Извиква се решение под формата y \u003d  (x, C 0). частно решение диференциално уравнение.

Определение. Проблем с Коши (Огюстин Луи Коши (1789-1857) - френски математик) се нарича намиране на всяко конкретно решение на диференциално уравнение под формата y \u003d  (x, C 0), което отговаря на началните условия y (x 0) \u003d y 0 .

Теорема на Коши. (теорема за съществуването и единствеността на решението на диференциалното уравнение от 1-ви ред)

Ако функциятаf(х, г) е непрекъсната в някаква областдв самолетаXOYи има непрекъсната частна производна в тази област
, тогава каквато и да е точката (x 0 , г 0 ) в района над, има само едно решение
уравнения
, определени в някакъв интервал, съдържащ точката x 0 , приемайки при x = x 0 значение (Х 0 ) = y 0 , т.е. има уникално решение на диференциалното уравнение.

Определение. интегрална диференциално уравнение е всяко уравнение, което не съдържа производни, за което това диференциално уравнение е следствие.

Пример.Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Общо решениедиференциалното уравнение се търси чрез интегриране на лявата и дясната част на уравнението, което предварително се трансформира, както следва:

Сега нека интегрираме:

е общото решение на първоначалното диференциално уравнение.

Да предположим, че са дадени някои начални условия: x 0 = 1; y 0 = 2, тогава имаме

Като заместим получената стойност на константата в общото решение, получаваме частно решение за дадени начални условия (решението на задачата на Коши).

Определение. интегрална крива се нарича графиката y = (x) на решението на диференциално уравнение в равнината XOY.

Определение. специално решение на диференциално уравнение е такова решение, във всички точки на което се нарича условие за уникалност на Коши (вж. Теорема на Коши.) не е изпълнено, т.е. в околност на някаква точка (x, y) има поне две интегрални криви.

Сингулярните решения не зависят от константата C.

Специални решения не могат да бъдат получени от общото решение за никакви стойности на константата C. Ако конструираме семейство от интегрални криви за диференциално уравнение, тогава специалното решение ще бъде представено от линия, която докосва поне една интегрална крива при всяка негова точка.

Имайте предвид, че не всяко диференциално уравнение има сингулярни решения.

Пример.Намерете общото решение на диференциалното уравнение:
Намерете специално решение, ако съществува.

Това диференциално уравнение също има специално решение при= 0. Това решение не може да бъде получено от общото, но при заместване в оригиналното уравнение получаваме идентичност. мнение, че решението г = 0 може да се получи от общото решение за ОТ 1 = 0 грешно, защото ° С 1 = д ° С  0.

Образователна институция „Беларуска държава

селскостопанска академия"

Катедра Висша математика

ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ОТ ПЪРВИ РЯД

Конспект на лекция за студенти по счетоводство

задочна форма на обучение (НИСПО)

Горки, 2013 г

Диференциални уравнения от първи ред

Концепцията за диференциално уравнение. Общи и частни решения

При изучаване на различни явления често не е възможно да се намери закон, който директно да свързва независимата променлива и желаната функция, но е възможно да се установи връзка между желаната функция и нейните производни.

Отношението, свързващо независимата променлива, търсената функция и нейните производни се нарича диференциално уравнение :

Тук хе независима променлива, ге желаната функция,
са производните на търсената функция. В този случай връзката (1) изисква наличието на поне една производна.

Редът на диференциалното уравнение е порядъкът на най-високата производна в уравнението.

Разгледайте диференциалното уравнение

. (2)

Тъй като това уравнение включва производна само от първи ред, то се нарича е диференциално уравнение от първи ред.

Ако уравнение (2) може да бъде решено по отношение на производната и записано като

, (3)

тогава такова уравнение се нарича диференциално уравнение от първи ред в нормална форма.

В много случаи е целесъобразно да се разглежда уравнение на формата

което се нарича диференциално уравнение от първи ред, написано в диференциална форма.

защото
, тогава уравнение (3) може да бъде написано като
или
, където човек може да разчита
и
. Това означава, че уравнение (3) е преобразувано в уравнение (4).

Записваме уравнение (4) във формата
. Тогава
,
,
, където човек може да разчита
, т.е. се получава уравнение от вида (3). Следователно уравнения (3) и (4) са еквивалентни.

Чрез решаване на диференциалното уравнение (2) или (3) произволна функция се извиква
, което при заместването му в уравнение (2) или (3) го превръща в идентичност:

или
.

Процесът на намиране на всички решения на диференциално уравнение се нарича негов интеграция и графиката на решението
се нарича диференциално уравнение интегрална крива това уравнение.

Ако решението на диференциалното уравнение се получи в неявна форма
, тогава се нарича интегрална дадено диференциално уравнение.

Общо решение диференциално уравнение от първи ред е семейство от функции на формата
, в зависимост от произволна константа ОТ, всяко от които е решение на дадено диференциално уравнение за всяка допустима стойност на произволна константа ОТ. По този начин диференциалното уравнение има безкраен брой решения.

Частно решение диференциално уравнение се нарича решението, получено от общата формула за решение за конкретна стойност на произволна константа ОТ, включително
.

Проблемът на Коши и неговата геометрична интерпретация

Уравнение (2) има безкраен брой решения. За да се отдели едно решение от това множество, което се нарича частно решение, трябва да бъдат посочени някои допълнителни условия.

Задачата за намиране на конкретно решение на уравнение (2) при дадени условия се нарича Проблем с Коши . Този проблем е един от най-важните в теорията на диференциалните уравнения.

Проблемът на Коши се формулира по следния начин: сред всички решения на уравнение (2) намерете такова решение
, в която функцията
приема дадена числова стойност ако независимата променлива х приема дадена числова стойност , т.е.

,
, (5)

където де областта на функцията
.

Значение Наречен началната стойност на функцията , а – начална стойност на независимата променлива . Извиква се условие (5). начално състояние или Състояние на Коши .

От геометрична гледна точка проблемът на Коши за диференциалното уравнение (2) може да се формулира, както следва: от множеството интегрални криви на уравнение (2) изберете тази, която минава през дадена точка
.

Диференциални уравнения с разделими променливи

Един от най-простите видове диференциални уравнения е диференциално уравнение от първи ред, което не съдържа желаната функция:

. (6)

Като се има предвид това
, записваме уравнението във формата
или
. Интегрирайки двете страни на последното уравнение, получаваме:
или

. (7)

Така (7) е общо решение на уравнение (6).

Пример 1 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение . Записваме уравнението във формата
или
. Интегрираме двете части на полученото уравнение:
,
. Хайде най-накрая да запишем
.

Пример 2 . Намерете решение на уравнението
в състояние
.

Решение . Нека намерим общото решение на уравнението:
,
,
,
. По условие
,
. Заместител в общия разтвор:
или
. Заместваме намерената стойност на произволна константа във формулата за общото решение:
. Това е конкретното решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява даденото условие.

Уравнението

(8)

Наречен диференциално уравнение от първи ред, което не съдържа независима променлива . Записваме го във формата
или
. Интегрираме двете части на последното уравнение:
или
- общо решение на уравнение (8).

Пример . Намерете общо решение на уравнението
.

Решение . Записваме това уравнение във формата:
или
. Тогава
,
,
,
. По този начин,
е общото решение на това уравнение.

Типово уравнение

(9)

интегриран чрез разделяне на променливи. За да направим това, записваме уравнението във формата
и след това, използвайки операциите умножение и деление, го довеждаме до такава форма, че една част включва само функцията на хи диференциал dx, а във втората част - функция на прии диференциал dy. За да направите това, двете страни на уравнението трябва да бъдат умножени по dxи разделете на
. В резултат на това получаваме уравнението

, (10)

в които променливите хи приразделени. Ние интегрираме двете части на уравнение (10):
. Получената връзка е общият интеграл на уравнение (9).

Пример 3 . Интегриране на уравнение
.

Решение . Трансформирайте уравнението и разделете променливите:
,
. Нека интегрираме:
,
или е общият интеграл на това уравнение.
.

Нека уравнението е дадено във формата

Такова уравнение се нарича диференциално уравнение от първи ред с разделими променливи в симетрична форма.

За да се разделят променливите, двете страни на уравнението трябва да се разделят на
:

. (12)

Полученото уравнение се нарича отделено диференциално уравнение . Интегрираме уравнение (12):

.(13)

Съотношението (13) е общ интеграл на диференциалното уравнение (11).

Пример 4 . Интегрирайте диференциалното уравнение.

Решение . Записваме уравнението във формата

и разделете двете части на
,
. Полученото уравнение:
е уравнение с отделена променлива. Нека го интегрираме:

,
,

,
. Последното равенство е общият интеграл на даденото диференциално уравнение.

Пример 5 . Намерете конкретно решение на диференциално уравнение
, отговарящи на условието
.

Решение . Като се има предвид това
, записваме уравнението във формата
или
. Нека разделим променливите:
. Нека интегрираме това уравнение:
,
,
. Получената връзка е общият интеграл на това уравнение. По условие
. Заместете в общия интеграл и намерете ОТ:
,ОТ=1. Тогава изразът
е частно решение на даденото диференциално уравнение, записано като конкретен интеграл.

Линейни диференциални уравнения от първи ред

Уравнението

(14)

Наречен линейно диференциално уравнение от първи ред . неизвестна функция
и неговата производна влизат линейно в това уравнение, а функциите
и
непрекъснато.

Ако
, тогава уравнението

(15)

Наречен линеен хомогенен . Ако
, тогава се извиква уравнение (14). линейни нехомогенни .

За да се намери решение на уравнение (14), обикновено се използва метод на заместване (Бернули) , чиято същност е следната.

Решението на уравнение (14) ще се търси под формата на произведение на две функции

, (16)

където
и
- някои непрекъснати функции. Заместител
и производна
в уравнение (14):

функция vще бъдат избрани по такъв начин, че условието
. Тогава
. Следователно, за да се намери решение на уравнение (14), е необходимо да се реши системата от диференциални уравнения

Първото уравнение на системата е линейно хомогенно уравнение и може да се реши чрез метода на разделяне на променливите:
,
,
,
,
. Като функция
може да се вземе едно от частните решения на хомогенното уравнение, т.е. при ОТ=1:
. Заместете във второто уравнение на системата:
или
.Тогава
. По този начин общото решение на линейно диференциално уравнение от първи ред има формата
.

Пример 6 . реши уравнението
.

Решение . Ще търсим решението на уравнението във вида
. Тогава
. Заместете в уравнението:

или
. функция vизберете по такъв начин, че равенството
. Тогава
. Решаваме първото от тези уравнения чрез метода на разделяне на променливи:
,
,
,
,. функция vЗаместете във второто уравнение:
,
,
,
. Общото решение на това уравнение е
.

Въпроси за самоконтрол на знанията

Какво е диференциално уравнение?

Какъв е редът на диференциалното уравнение?

Кое диференциално уравнение се нарича диференциално уравнение от първи ред?

Как се записва диференциално уравнение от първи ред в диференциална форма?

Какво е решението на диференциално уравнение?

Какво е интегрална крива?

Какво е общото решение на диференциално уравнение от първи ред?

Какво е конкретно решение на диференциално уравнение?

Как се формулира проблемът на Коши за диференциално уравнение от първи ред?

Каква е геометричната интерпретация на проблема на Коши?

Как се записва диференциално уравнение с разделими променливи в симетрична форма?

Кое уравнение се нарича линейно диференциално уравнение от първи ред?

Какъв метод може да се използва за решаване на линейно диференциално уравнение от първи ред и каква е същността на този метод?

Задачи за самостоятелна работа

Решаване на диференциални уравнения с разделими променливи:

а)
; б)
;

в)
; G)
.

2. Решете линейни диференциални уравнения от първи ред:

а)
; б)
; в)
;

G)
; д)
.

Диференциалното уравнение е уравнение, което включва функция и една или повече от нейните производни. В повечето практически задачи функциите са физични величини, производните съответстват на скоростите на изменение на тези величини, а уравнението определя връзката между тях.

Тази статия обсъжда методи за решаване на някои видове обикновени диференциални уравнения, чиито решения могат да бъдат записани във формата елементарни функции, тоест полиномни, експоненциални, логаритмични и тригонометрични функции, както и техните обратни функции. Много от тези уравнения се срещат в реалния живот, въпреки че повечето други диференциални уравнения не могат да бъдат решени с тези методи и за тях отговорът се записва като специални функции или степенни редове, или се намира чрез числени методи.

За да разберете тази статия, трябва да знаете диференциалното и интегралното смятане, както и да имате известна представа за частните производни. Препоръчва се също така да се познават основите на линейната алгебра, приложена към диференциалните уравнения, особено диференциалните уравнения от втори ред, въпреки че познаването на диференциалното и интегралното смятане е достатъчно за решаването им.

Предварителна информация

• Диференциалните уравнения имат обширна класификация. Тази статия говори за обикновени диференциални уравнения, тоест за уравнения, които включват функция на една променлива и нейните производни. Обикновените диференциални уравнения са много по-лесни за разбиране и решаване от частични диференциални уравнения, които включват функции на няколко променливи. Тази статия не разглежда частични диференциални уравнения, тъй като методите за решаване на тези уравнения обикновено се определят от тяхната специфична форма.
  • По-долу са някои примери за обикновени диференциални уравнения.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • По-долу са някои примери за частични диференциални уравнения.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Поръчкадиференциалното уравнение се определя от порядъка на най-високата производна, включена в това уравнение. Първото от горните обикновени диференциални уравнения е от първи ред, докато второто е от втори ред. Степенна диференциално уравнение се нарича най-високата степен, на която е повдигнат един от членовете на това уравнение.
  • Например уравнението по-долу е от трети ред и втора степен.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ надясно)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Диференциалното уравнение е линейно диференциално уравнениеако функцията и всички нейни производни са на първа степен. В противен случай уравнението е нелинейно диференциално уравнение. Линейните диференциални уравнения са забележителни с това, че от техните решения могат да бъдат направени линейни комбинации, които също ще бъдат решения на това уравнение.
  • По-долу са някои примери за линейни диференциални уравнения.
  • По-долу са някои примери за нелинейни диференциални уравнения. Първото уравнение е нелинейно поради синуса.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Общо решениеобикновеното диференциално уравнение не е уникално, то включва произволни константи на интегриране. В повечето случаи броят на произволните константи е равен на реда на уравнението. На практика стойностите на тези константи се определят от дадените начални условия, тоест по стойностите на функцията и нейните производни при x = 0. (\displaystyle x=0.)Броят на началните условия, които са необходими за намиране частно решениедиференциално уравнение, в повечето случаи също е равно на реда на това уравнение.
  • Например тази статия ще разгледа решаването на уравнението по-долу. Това е линейно диференциално уравнение от втори ред. Неговото общо решение съдържа две произволни константи. За да се намерят тези константи, е необходимо да се знаят началните условия при x (0) (\displaystyle x(0))и x′ (0) . (\displaystyle x"(0).)Обикновено началните условия се дават в точката x = 0, (\displaystyle x=0,), въпреки че това не е задължително. Тази статия също ще разгледа как да намерим конкретни решения за дадени начални условия.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

стъпки

Част 1

Когато използвате тази услуга, част от информацията може да бъде прехвърлена към YouTube.

1. Линейни уравнения от първи ред.Този раздел разглежда методите за решаване на линейни диференциални уравнения от първи ред в общи и специални случаи, когато някои членове са равни на нула. Нека се преструваме, че y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))и q (x) (\displaystyle q(x))са функции х . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)Според една от основните теореми на математическия анализ, интегралът на производната на функция също е функция. По този начин е достатъчно просто да интегрирате уравнението, за да намерите неговото решение. В този случай трябва да се има предвид, че при изчисляване на неопределения интеграл се появява произволна константа.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)Използваме метода разделяне на променливи. В този случай различни променливи се прехвърлят към различни страниуравнения. Например, можете да прехвърлите всички членове от y (\displaystyle y)в едно и всички членове с x (\displaystyle x)от другата страна на уравнението. Членовете също могат да бъдат премествани d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)и d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), които са включени в производни изрази, но трябва да се помни, че това е само конвенция, която е удобна при диференциране на сложна функция. Обсъждане на тези термини, които се наричат диференциали, е извън обхвата на тази статия.

   • Първо, трябва да преместите променливите от противоположните страни на знака за равенство.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Ние интегрираме двете страни на уравнението. След интегрирането от двете страни се появяват произволни константи, които могат да бъдат прехвърлени към правилната странауравнения.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Пример 1.1.На последна стъпкаизползвахме правилото e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))и заменен e C (\displaystyle e^(C))на C (\displaystyle C), защото също е произволна константа на интегриране.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(подравнено)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)За да намерим общото решение, въведохме интегриращ факторкато функция на x (\displaystyle x)да редуцираме лявата страна до обща производна и по този начин да решим уравнението.

   • Умножете двете страни по μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • За да се намали лявата страна до обща производна, трябва да се направят следните трансформации:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Последното равенство означава това d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Това е интегриращ фактор, който е достатъчен за решаване на всяко линейно уравнение от първи ред. Сега можем да изведем формула за решаване на това уравнение по отношение на µ , (\displaystyle \mu ,)въпреки че за обучение е полезно да се направят всички междинни изчисления.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Пример 1.2.В този пример разглеждаме как да намерим конкретно решение на диференциално уравнение с дадено начални условия.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Решаване на линейни уравнения от първи ред (записано от Intuit – Национален Отворен Университет).

2. Нелинейни уравнения от първи ред. В този раздел се разглеждат методите за решаване на някои нелинейни диференциални уравнения от първи ред. Въпреки че няма общ метод за решаване на такива уравнения, някои от тях могат да бъдат решени с помощта на методите по-долу.

   D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)Ако функцията f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))може да се раздели на функции на една променлива, такова уравнение се нарича разделимо диференциално уравнение. В този случай можете да използвате горния метод:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )х)
   • Пример 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ начало (подравнено)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(подравнено)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).)Нека се преструваме, че g (x, y) (\displaystyle g(x, y))и h (x, y) (\displaystyle h(x, y))са функции x (\displaystyle x)и y . (\displaystyle y.)Тогава хомогенно диференциално уравнениее уравнение, в което g (\displaystyle g)и h (\displaystyle h)са хомогенни функциисъщата степен. Тоест функциите трябва да отговарят на условието g (α x, α y) = α k g (x, y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)където k (\displaystyle k)се нарича степен на хомогенност. Всяко хомогенно диференциално уравнение може да бъде дадено чрез подходящо промяна на променливите (v = y / x (\displaystyle v=y/x)или v = x / y (\displaystyle v=x/y)), за да преобразувате в уравнение с разделими променливи.

   • Пример 1.4.Горното описание на хомогенността може да изглежда неясно. Нека разгледаме тази концепция с пример.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Като начало трябва да се отбележи, че това уравнение е нелинейно по отношение на y . (\displaystyle y.)Виждаме също, че в този случай е невъзможно да се разделят променливите. Това диференциално уравнение обаче е хомогенно, тъй като и числителят, и знаменателят са хомогенни със степен 3. Следователно можем да направим промяна на променливите v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x, d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)В резултат на това имаме уравнение за v (\displaystyle v)със споделени променливи.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)то Диференциално уравнение на Бернули- специален вид нелинейно уравнение от първа степен, чието решение може да бъде написано с помощта на елементарни функции.

   • Умножете двете страни на уравнението по (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Използваме правилото за диференциране на сложна функция от лявата страна и трансформираме уравнението в линейно уравнение по отношение на y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)които могат да бъдат решени с горните методи.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.)то уравнение в общи диференциали . Необходимо е да се намери т.нар потенциална функция φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), което отговаря на условието d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • За да се изпълни това условие е необходимо да има тотална производна. Общата производна отчита зависимостта от други променливи. За изчисляване на общата производна φ (\displaystyle \varphi )На x , (\displaystyle x,)предполагаме, че y (\displaystyle y)може също да зависи от х . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Сравняването на термини ни дава M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))и N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).)Това е типичен резултат за уравнения с няколко променливи, където смесените производни на гладки функции са равни една на друга. Понякога този случай се нарича Теорема на Клеро. В този случай диференциалното уравнение е уравнение в общите диференциали, ако е изпълнено следното условие:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Методът за решаване на уравнения в общите диференциали е подобен на намирането на потенциални функции при наличието на няколко производни, които ще обсъдим накратко. Първо се интегрираме M (\displaystyle M)На х . (\displaystyle x.)Тъй като M (\displaystyle M)е функция и x (\displaystyle x), и y , (\displaystyle y,)при интегриране получаваме непълна функция φ , (\displaystyle \varphi ,)етикетиран като φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Резултатът включва и зависимите от y (\displaystyle y)константа на интеграция.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • След това, за да получите c (y) (\displaystyle c(y))можете да вземете частната производна на получената функция по отношение на y , (\displaystyle y,)приравнете резултата N (x, y) (\displaystyle N(x, y))и интегрирайте. Човек също може да се интегрира първо N (\displaystyle N), и след това вземете частичната производна по отношение на x (\displaystyle x), което ще ви позволи да намерите произволна функция d(x). (\displaystyle d(x).)И двата метода са подходящи и обикновено за интегриране се избира по-простата функция.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ частично (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Пример 1.5.Можете да вземете частни производни и да проверите дали уравнението по-долу е общо диференциално уравнение.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Ако диференциалното уравнение не е общо диференциално уравнение, в някои случаи можете да намерите интегриращ фактор, който ще ви позволи да го преобразувате в общо диференциално уравнение. Въпреки това, такива уравнения рядко се използват на практика, въпреки че интегриращият фактор съществува, разберете, че се случва Не е лесно, така че тези уравнения не се разглеждат в тази статия.

Част 2

1. Хомогенни линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.Тези уравнения се използват широко в практиката, така че тяхното решаване е от първостепенно значение. В този случай не говорим за хомогенни функции, а за факта, че от дясната страна на уравнението има 0. В следващия раздел ще покажем как съответните разнороднидиференциални уравнения. По-долу a (\displaystyle a)и b (\displaystyle b)са константи.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Характеристично уравнение. Това диференциално уравнение е забележително с това, че може да бъде решено много лесно, ако обърнете внимание какви свойства трябва да притежават неговите решения. От уравнението се вижда, че y (\displaystyle y)и неговите производни са пропорционални една на друга. От предишните примери, които бяха разгледани в раздела за уравнения от първи ред, знаем, че само експоненциалната функция има това свойство. Следователно е възможно да се изложи анзац(обосновано предположение) какво ще бъде решението на даденото уравнение.

   • Решението ще бъде под формата на експоненциална функция e r x , (\displaystyle e^(rx),)където r (\displaystyle r)е константа, чиято стойност трябва да се намери. Заместете тази функция в уравнението и получете следния израз
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Това уравнение показва, че произведението на експоненциална функция и полином трябва да бъде нула. Известно е, че показателят не може да бъде равен на нула за никакви стойности на степента. Оттук заключаваме, че полиномът е равен на нула. Така сведохме проблема за решаване на диференциално уравнение до много по-прост проблем за решаване на алгебрично уравнение, което се нарича характеристично уравнение за дадено диференциално уравнение.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Имаме два корена. Тъй като това диференциално уравнение е линейно, общото му решение е линейна комбинация от частични решения. Тъй като това е уравнение от втори ред, знаем, че това е наистина лиобщо решение и няма други. По-строгата обосновка за това е в теоремите за съществуването и уникалността на решението, които могат да бъдат намерени в учебниците.
   • Полезен начин да проверите дали две решения са линейно независими е да изчислите Вронскиан. Вронскиан W (\displaystyle W)- това е детерминантата на матрицата, в колоните на която има функции и техните последователни производни. Теоремата за линейната алгебра гласи, че функциите във Wronskian са линейно зависими, ако Wronskian е равен на нула. В този раздел можем да проверим дали две решения са линейно независими, като се уверим, че Wronskian не е нула. Wronskian е важен при решаването на нехомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти чрез метода на вариация на параметрите.
     • w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • От гледна точка на линейната алгебра се образува множеството от всички решения на дадено диференциално уравнение векторно пространство, чиято размерност е равна на реда на диференциалното уравнение. В това пространство може да се избере основа от линейно независимирешения един от друг. Това е възможно поради факта, че функцията y (x) (\displaystyle y(x))валиден линеен оператор. Производна елинеен оператор, тъй като трансформира пространството на диференцируемите функции в пространството на всички функции. Уравненията се наричат ​​хомогенни в случаите, когато за някой линеен оператор L (\displaystyle L)изисква се да се намери решение на уравнението L [y] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Нека сега се обърнем към няколко конкретни примера. Случаят на множество корени на характеристичното уравнение ще бъде разгледан малко по-късно, в раздела за намаляване на реда.

   Ако корените r ± (\displaystyle r_(\pm ))са различни реални числа, диференциалното уравнение има следното решение

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Два сложни корена.От основната теорема на алгебрата следва, че решенията на полиномиални уравнения с реални коефициенти имат корени, които са реални или образуват спрегнати двойки. Следователно, ако комплексното число r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )тогава е коренът на характеристичното уравнение r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )също е коренът на това уравнение. По този начин решението може да бъде записано във формата c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)това обаче е комплексно число и е нежелателно при решаването на практически проблеми.

   • Вместо това можете да използвате Формула на Ойлер e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), което ви позволява да напишете решението под формата на тригонометрични функции:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Сега можете вместо постоянно c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))записвам c 1 (\displaystyle c_(1)), и изразът i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))заменен от c 2 . (\displaystyle c_(2).)След това получаваме следното решение:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • Има друг начин да напишете решението по отношение на амплитудата и фазата, който е по-подходящ за физически проблеми.
   • Пример 2.1.Нека намерим решението на даденото по-долу диференциално уравнение с дадени начални условия. За това е необходимо да вземете получения разтвор, както и неговата производна, и ги заместваме в началните условия, което ще ни позволи да определим произволни константи.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )и)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Решаване на диференциални уравнения от n-ти ред с постоянни коефициенти (записано от Intuit - Национален Отворен Университет).

2. Ред за понижаване.Намаляването на реда е метод за решаване на диференциални уравнения, когато е известно едно линейно независимо решение. Този метод се състои в понижаване на реда на уравнението с единица, което позволява уравнението да бъде решено с помощта на методите, описани в предишния раздел. Нека решението е известно. Основната идея за намаляване на поръчката е да се намери решение във формата по-долу, където е необходимо да се дефинира функцията v (x) (\displaystyle v(x)), замествайки го в диференциалното уравнение и намирайки v(x). (\displaystyle v(x).)Нека разгледаме как може да се използва намаляване на реда за решаване на диференциално уравнение с постоянни коефициенти и множество корени.

   
   

   Множество коренихомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. Спомнете си, че уравнение от втори ред трябва да има две линейно независими решения. Ако характеристичното уравнение има множество корени, множеството от решения необразува пространство, тъй като тези решения са линейно зависими. В този случай трябва да се използва намаляване на реда, за да се намери второ линейно независимо решение.

   • Нека характеристичното уравнение има множество корени r (\displaystyle r). Предполагаме, че второто решение може да бъде написано като y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), и го заместете в диференциалното уравнение. В този случай повечето от членовете, с изключение на члена с втората производна на функцията v, (\displaystyle v,)ще бъдат намалени.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Пример 2.2.Дадено е следното уравнение, което има множество корени r = − 4. (\displaystyle r=-4.)При заместване повечето термини се анулират.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\край (подравнено)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
   • Подобно на нашия анзац за диференциално уравнение с постоянни коефициенти, в този случай само втората производна може да бъде равна на нула. Интегрираме два пъти и получаваме желания израз за v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Тогава общото решение на диференциално уравнение с постоянни коефициенти, ако характеристичното уравнение има множество корени, може да се запише в следната форма. За удобство можете да запомните, че за да получите линейна независимост, е достатъчно просто да умножите втория член по x (\displaystyle x). Този набор от решения е линейно независим и по този начин намерихме всички решения на това уравнение.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)Намаляването на поръчката е приложимо, ако решението е известно y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), които могат да бъдат намерени или дадени в формулировката на проблема.

   • Търсим решение във формата y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))и го включете в това уравнение:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Тъй като y 1 (\displaystyle y_(1))е решение на диференциалното уравнение, всички членове с v (\displaystyle v)се свиват. В резултат на това остава линейно уравнение от първи ред. За да видим това по-ясно, нека променим променливите w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Ако интегралите могат да бъдат изчислени, получаваме общото решение като комбинация от елементарни функции. В противен случай решението може да се остави в интегрална форма.

3. Уравнение на Коши-Ойлер.Уравнението на Коши-Ойлер е пример за диференциално уравнение от втори ред с променливикоефициенти, който има точни решения. Това уравнение се използва на практика, например, за решаване на уравнението на Лаплас в сферични координати.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Характеристично уравнение.Както можете да видите, в това диференциално уравнение всеки член съдържа фактор на мощността, чиято степен е равна на порядъка на съответната производна.

   • Така може да се опита да се търси решение във формуляра y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)къде да се определи n (\displaystyle n), точно както търсихме решение под формата на експоненциална функция за линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. След диференциране и заместване получаваме
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • За да използваме характеристичното уравнение, трябва да приемем, че x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Точка x = 0 (\displaystyle x=0)Наречен правилна особена точкадиференциално уравнение. Такива точки са важни при решаване на диференциални уравнения с помощта на степенни редове. Това уравнение има два корена, които могат да бъдат различни и реални, многократно или комплексно спрегнати.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   Два различни реални корена.Ако корените n ± (\displaystyle n_(\pm ))са реални и различни, тогава решението на диференциалното уравнение има следния вид:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Два сложни корена.Ако характеристичното уравнение има корени n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), решението е сложна функция.

   • За да трансформираме решението в реална функция, правим промяна на променливите x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)това е t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)и използвайте формулата на Ойлер. Подобни действия бяха извършени по-рано при дефиниране на произволни константи.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Тогава общото решение може да бъде написано като
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Множество корени.За да се получи второ линейно независимо решение, е необходимо редуцирането отново.

   • Необходими са доста изчисления, но принципът е същият: ние заместваме y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))в уравнение, чието първо решение е y 1 (\displaystyle y_(1)). След редукции се получава следното уравнение:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Това е линейно уравнение от първи ред по отношение на v′ (x) . (\displaystyle v"(x).)Неговото решение е v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)Така решението може да се запише в следната форма. Доста лесно е да запомните - за да получите второто линейно независимо решение, просто ви трябва допълнителен член с ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Нееднородни линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.Нехомогенните уравнения имат формата L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)където f (x) (\displaystyle f(x))- т.нар безплатен член. Според теорията на диференциалните уравнения общото решение на това уравнение е суперпозиция частно решение y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))и допълнително решение y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).)В този случай обаче конкретно решение не означава решение, дадено от началните условия, а по-скоро решение, което се дължи на наличието на нехомогенност (свободен член). Допълнително решение е решението на съответния хомогенно уравнение, при което f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)Общото решение е суперпозиция на тези две решения, т.к L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), и оттогава L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,)такава суперпозиция е наистина общо решение.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Метод на неопределените коефициенти.Методът на неопределените коефициенти се използва в случаите, когато свободният член е комбинация от експоненциални, тригонометрични, хиперболични или степенни функции. Гарантирано е, че само тези функции имат краен брой линейно независими производни. В този раздел ще намерим конкретно решение на уравнението.

   • Сравнете термините в f (x) (\displaystyle f(x))с термини при игнориране на постоянни фактори. Възможни са три случая.
     • Няма идентични членове.В този случай конкретно решение y p (\displaystyle y_(p))ще бъде линейна комбинация от членове от y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) съдържа член x n (\displaystyle x^(n)) и член от y c , (\displaystyle y_(c),) където n (\displaystyle n) е нула или положително цяло число и този член съответства на единствен корен от характеристичното уравнение.В такъв случай y p (\displaystyle y_(p))ще се състои от комбинация от функцията x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)неговите линейно независими производни, както и други термини f (x) (\displaystyle f(x))и техните линейно независими производни.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) съдържа член h (x) , (\displaystyle h(x),) което е произведение x n (\displaystyle x^(n)) и член от y c , (\displaystyle y_(c),) където n (\displaystyle n) е равно на 0 или положително цяло число и този член съответства на многократникорен на характеристичното уравнение.В такъв случай y p (\displaystyle y_(p))е линейна комбинация от функцията x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(където s (\displaystyle s)- кратност на корена) и неговите линейно независими производни, както и други членове на функцията f (x) (\displaystyle f(x))и неговите линейно независими производни.
   • Нека запишем y p (\displaystyle y_(p))като линейна комбинация от горните термини. Благодарение на тези коефициенти в линейна комбинация този методнаречен метод на неопределените коефициенти. При поява на съдържащите се в y c (\displaystyle y_(c))техните членове могат да бъдат отхвърлени поради наличието на произволни константи в y c . (\displaystyle y_(c).)След това заместваме y p (\displaystyle y_(p))в уравнение и приравняване на подобни членове.
   • Ние определяме коефициентите. На този етапоказва се системата алгебрични уравнения, което обикновено може да бъде разрешено без проблеми. Решението на тази система дава възможност да се получи y p (\displaystyle y_(p))и по този начин да реши уравнението.
   • Пример 2.3.Да разгледаме нехомогенно диференциално уравнение, чийто свободен член съдържа краен брой линейно независими производни. Конкретно решение на такова уравнение може да се намери чрез метода на неопределените коефициенти.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(подравнено)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ край (случаи)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Метод на Лагранж.Методът на Лагранж или методът на вариация на произволни константи е по-общ метод за решаване на нехомогенни диференциални уравнения, особено в случаите, когато свободният член не съдържа краен брой линейно независими производни. Например с безплатни членове tan ⁡ x (\displaystyle \tan x)или x − n (\displaystyle x^(-n))за да се намери конкретно решение, е необходимо да се използва методът на Лагранж. Методът на Лагранж може дори да се използва за решаване на диференциални уравнения с променливи коефициенти, въпреки че в този случай, с изключение на уравнението на Коши-Ойлер, той се използва по-рядко, тъй като допълнителното решение обикновено не се изразява чрез елементарни функции.

   • Да приемем, че решението има следния вид. Производната му е дадена във втория ред.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Тъй като предложеното решение съдържа двенеизвестни количества, е необходимо да се наложи допълнителенсъстояние. Избираме това допълнително условие в следната форма:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Сега можем да получим второто уравнение. След като замените и преразпределите членове, можете да групирате заедно членове с v 1 (\displaystyle v_(1))и членове от v 2 (\displaystyle v_(2)). Тези условия са отменени, защото y 1 (\displaystyle y_(1))и y 2 (\displaystyle y_(2))са решения на съответното хомогенно уравнение. В резултат на това получаваме следната система от уравнения
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(aligned)))
   • Тази система може да се трансформира в матрично уравнение от вида A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)чието решение е x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)За матрица 2 × 2 (\displaystyle 2\пъти 2) обратна матрицасе намира чрез разделяне на детерминантата, пермутиране на диагоналните елементи и промяна на знака на недиагоналните елементи. Всъщност детерминантата на тази матрица е Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Изрази за v 1 (\displaystyle v_(1))и v 2 (\displaystyle v_(2))са изброени по-долу. Както при метода на редукция, и в този случай по време на интегрирането се появява произволна константа, която включва допълнително решение в общото решение на диференциалното уравнение.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Лекция на Национален отворен университет Интуит на тема "Линейни диференциални уравнения от n-ти ред с постоянни коефициенти".

Практическа употреба

Диференциалните уравнения установяват връзка между функция и една или повече от нейните производни. Тъй като такива връзки са толкова често срещани, диференциалните уравнения са намерили широко приложение в голямо разнообразие от области и тъй като живеем в четири измерения, тези уравнения често са диференциални уравнения в частенпроизводни. Този раздел обсъжда някои от най-важните уравнения от този тип.

• Експоненциален растеж и разпад.радиоактивно разпадане. Сложна лихва. Скорост химична реакция. Концентрацията на лекарства в кръвта. Неограничен растеж на населението. Закон на Нютон-Рихман. AT реалния святима много системи, в които скоростта на растеж или разпад във всеки момент от времето е пропорционална на количеството в този момент от времето или може да бъде добре приближена от модел. Това е така, защото решението на това диференциално уравнение, експоненциалната функция, е една от най-важните функции в математиката и други науки. По-общо, при контролиран растеж на населението, системата може да включва допълнителни условия, които ограничават растежа. В уравнението по-долу, константата k (\displaystyle k)може да бъде по-голямо или по-малко от нула.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Хармонични вибрации.Както в класическата, така и в квантовата механика, хармоничният осцилатор е една от най-важните физически системи поради своята простота и широко използванеза апроксимиране на по-сложни системи като обикновено махало. В класическата механика хармонични вибрациисе описват с уравнение, което свързва позицията на материална точка с нейното ускорение чрез закона на Хук. В този случай могат да се вземат предвид и затихването и движещите сили. В израза по-долу x ˙ (\displaystyle (\точка (x)))- времева производна на x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )е параметър, който описва силата на затихване, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- ъглова честота на системата, F (t) (\displaystyle F(t))е движеща сила, зависима от времето. Хармоничен осцилаторприсъства и в електромагнитните осцилационни вериги, където може да се реализира с по-голяма точност, отколкото в механичните системи.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\бета (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Уравнение на Бесел.Диференциалното уравнение на Бесел се използва в много области на физиката, включително решението на уравнението на вълната, уравнението на Лаплас и уравнението на Шрьодингер, особено при наличието на цилиндрична или сферична симетрия. Това диференциално уравнение от втори ред с променливи коефициенти не е уравнение на Коши-Ойлер, така че неговите решения не могат да бъдат записани като елементарни функции. Решенията на уравнението на Бесел са функциите на Бесел, които са добре проучени поради факта, че се използват в много области. В израза по-долу α (\displaystyle \alpha )е константа, която съвпада поръчкаФункции на Бесел.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Уравнения на Максуел.Заедно със силата на Лоренц, уравненията на Максуел формират основата на класическата електродинамика. Това са четири частични диференциални уравнения за електричеството E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))и магнитни B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))полета. В изразите по-долу ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- плътност на заряда, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))е плътността на тока, и ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))и μ 0 (\displaystyle \mu _(0))са съответно електрическата и магнитната константи.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Уравнение на Шрьодингер.В квантовата механика уравнението на Шрьодингер е основното уравнение на движението, което описва движението на частиците в съответствие с промяната на вълновата функция Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))с време. Уравнението на движението се описва от поведението Хамилтонов H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - оператор, който описва енергията на системата. Един от добре познатите примери за уравнението на Шрьодингер във физиката е уравнението за една нерелативистична частица, която е подложена на потенциала V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Много системи се описват от зависимото от времето уравнение на Шрьодингер, като уравнението е от лявата страна E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,)където E (\displaystyle E)е енергията на частицата. В изразите по-долу ℏ (\displaystyle \hbar )е намалената константа на Планк.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• вълново уравнение.Невъзможно е да си представим физиката и техниката без вълни, те присъстват във всички видове системи. Като цяло вълните се описват с уравнението по-долу, в което u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))е желаната функция и c (\displaystyle c)- експериментално определена константа. d'Alembert беше първият, който откри, че за едномерния случай решението на вълновото уравнение е всякаквифункция с аргумент x − c t (\displaystyle x-ct), който описва произволна вълна, разпространяваща се надясно. Общото решение за едномерния случай е линейна комбинация от тази функция с втора функция с аргумент x + c t (\displaystyle x+ct), което описва вълна, разпространяваща се наляво. Това решение е представено във втория ред.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Уравнения на Навие-Стокс.Уравненията на Навие-Стокс описват движението на течности. Тъй като течностите присъстват в почти всяка област на науката и технологиите, тези уравнения са изключително важни за прогнозиране на времето, дизайн на самолети, океански течения и много други приложения. Уравненията на Навие-Стокс са нелинейни частични диференциални уравнения и в повечето случаи е много трудно да се решат, тъй като нелинейността води до турбулентност и за да се получи стабилно решение чрез числени методи, разделяне на много малки клетки е необходимо, което изисква значителна изчислителна мощност. За практически цели в хидродинамиката се използват методи като усредняване на времето за моделиране на турбулентни потоци. Дори по-основните въпроси, като съществуването и уникалността на решенията за нелинейни частични диференциални уравнения, са сложни проблеми, а доказването на съществуването и уникалността на решенията на уравненията на Навие-Стокс в три измерения е сред математическите проблеми на хилядолетието . По-долу са уравнението на потока на несвиваем флуид и уравнението за непрекъснатост.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u) ) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Много диференциални уравнения просто не могат да бъдат решени с горните методи, особено тези, споменати в последния раздел. Това се прилага, когато уравнението съдържа променливи коефициенти и не е уравнение на Коши-Ойлер, или когато уравнението е нелинейно, освен в няколко много редки случая. Горните методи обаче ви позволяват да решавате много важни диференциални уравнения, които често се срещат в различни области на науката.
• За разлика от диференцирането, което ви позволява да намерите производната на всяка функция, интегралът на много изрази не може да бъде изразен в елементарни функции. Затова не губете време в опити да изчислите интеграла там, където е невъзможно. Вижте таблицата с интегралите. Ако решението на диференциално уравнение не може да бъде изразено чрез елементарни функции, понякога то може да бъде представено в интегрална форма и в този случай няма значение дали този интеграл може да бъде изчислен аналитично.

Предупреждения

• Външен виддиференциалното уравнение може да бъде подвеждащо. Например, по-долу са две диференциални уравнения от първи ред. Първото уравнение се решава лесно с помощта на методите, описани в тази статия. На пръв поглед незначителна промяна y (\displaystyle y)на y 2 (\displaystyle y^(2))във второто уравнение го прави нелинейно и става много трудно за решаване.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))