вектор(или линеен) пространство- математическа структура, която представлява набор от елементи, наречени вектори, за които са дефинирани операциите събиране помежду си и умножение с число - скалар. Тези операции са предмет на осем аксиоми. Скаларите могат да бъдат елементи на реално, комплексно или друго числово поле. Специален случай на такова пространство е обичайното триизмерно евклидово пространство, чиито вектори се използват например за представяне на физически сили. Трябва да се отбележи, че векторът, като елемент от векторно пространство, не трябва да се определя като насочен сегмент. Обобщението на понятието „вектор“ към елемент от векторно пространство от всякакво естество не само не предизвиква объркване на термините, но също така ни позволява да разберем или дори да предвидим редица резултати, които са валидни за пространства от произволен характер .

Векторните пространства са обект на изучаване в линейната алгебра. Една от основните характеристики на векторното пространство е неговата размерност. Измерението е максималният брой линейно независими елементи на пространството, тоест прибягване до грубо геометрична интерпретация, броят на посоките, неизразими една спрямо друга само с помощта на операциите събиране и умножение със скалар. Векторното пространство може да бъде снабдено с допълнителни структури, като норма или точков продукт. Такива пространства естествено се появяват в смятането, предимно под формата на безкрайномерни (Английски), където векторите са функциите . Много проблеми в анализа изискват да се установи дали последователност от вектори се сближава към даден вектор. Разглеждането на такива въпроси е възможно във векторни пространства с допълнителна структура, в повечето случаи подходяща топология, която позволява да се дефинират понятията за близост и непрекъснатост. Такива топологични векторни пространства, по-специално пространствата на Банах и Хилберт, позволяват по-задълбочено изследване.

Първите произведения, които предвиждат въвеждането на концепцията за векторно пространство, датират от 17 век. Тогава получиха своето развитие аналитичната геометрия, учението за матриците, системите от линейни уравнения и евклидовите вектори.

Определение [ | ]

Линеен, или векторно пространство V (F) (\displaystyle V\left(F\right))над полето F (\displaystyle F)е подредена четворка (V, F, +, ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), където

• V (\displaystyle V)- непразно множество от елементи с произволен характер, които се наричат вектори;
• F (\displaystyle F)- поле, чиито елементи се наричат скалари;
• Дефинирана операция допълнениявектори V × V → V (\displaystyle V\times V\до V), съответстващи на всяка двойка елементи x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) )комплекти V (\displaystyle V) V (\displaystyle V)викайки ги сумаи означено x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Дефинирана операция умножение на вектори със скалари F × V → V (\displaystyle F\times V\до V), което съответства на всеки елемент λ (\displaystyle \lambda )полета F (\displaystyle F)и всеки елемент x (\displaystyle \mathbf (x) )комплекти V (\displaystyle V)единственият елемент от комплекта V (\displaystyle V), означено λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) )или λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Векторните пространства, дефинирани на един и същи набор от елементи, но над различни полета, ще бъдат различни векторни пространства (например набор от двойки реални числа R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2))може да бъде двумерно векторно пространство над полето на реалните числа или едномерно - над полето на комплексните числа).

Най-простите свойства[ | ]

1. Векторното пространство е абелева група чрез добавяне.
2. неутрален елемент 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) )за всеки .
4. За всеки x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V)противоположен елемент − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V)е единственото, което следва от груповите свойства.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) )за всеки x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x)))за всякакви и x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) )за всеки α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Свързани определения и свойства[ | ]

подпространство[ | ]

Алгебрична дефиниция: Линейно подпространствоили векторно подпространствое непразно подмножество K (\displaystyle K)линейно пространство V (\displaystyle V)такова, че K (\displaystyle K)само по себе си е линейно пространство по отношение на тези, дефинирани в V (\displaystyle V)операции събиране и умножение със скалар. Множеството от всички подпространства обикновено се означава като L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). За да бъде едно подмножество подпространство, е необходимо и достатъчно, че

Последните две твърдения са еквивалентни на следното:

За всякакви вектори x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K)вектор α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) )също принадлежеше K (\displaystyle K)за всякакви α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

По-специално, векторно пространство, състоящо се само от един нулев вектор, е подпространство на всяко пространство; всяко пространство е подпространство на себе си. Подпространствата, които не съвпадат с тези две, се наричат собственили нетривиален.

Свойства на подпространството[ | ]

Линейни комбинации[ | ]

Крайна сума на изгледа

Линейната комбинация се нарича:

Основа. Измерение[ | ]

Вектори x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n))Наречен линейно зависими, ако има нетривиална линейна комбинация от тях, равна на нула:

В противен случай тези вектори се наричат линейно независими.

Тази дефиниция позволява следното обобщение: безкраен набор от вектори от V (\displaystyle V)Наречен линейно зависими, ако някои финалнеговото подмножество и линейно независими, Ако някой финалподмножеството е линейно независимо.

Основни свойства:

Линейна обвивка[ | ]

Линейна обвивкаподмножества X (\displaystyle X)линейно пространство V (\displaystyle V)- пресичане на всички подпространства V (\displaystyle V)съдържащи X (\displaystyle X).

Линейната обвивка е подпространство V (\displaystyle V).

Линейна обвивка също се нарича генерирано подпространство X (\displaystyle X). Също така се казва, че линейният участък V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- пространство, опъната надМного X (\displaystyle X).

Линейна обвивка V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))се състои от всички възможни линейни комбинации от различни крайни подсистеми от елементи от X (\displaystyle X). По-специално, ако X (\displaystyle X)тогава е крайно множество V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))се състои от всички линейни комбинации от елементи X (\displaystyle X). По този начин нулевият вектор винаги принадлежи на линейния участък.

Ако X (\displaystyle X)е линейно независимо множество, тогава е базис V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X)), 1980. - 454 с.

Извиква се непразно подмножество L на линейно пространство V линейно подпространствоинтервал V ако

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\in L~~\forall \mathbf(u,v)\in L(подпространството е затворено по отношение на операцията събиране);

2) \lambda \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(v)\in Lи всяко число \lambda (подпространството е затворено по отношение на операцията за умножаване на вектор по число).

За да посочим линейно подпространство, ще използваме нотацията L\triangleleft V и ще пропуснем думата "линеен" за краткост.

Забележки 8.7

1. Условия 1, 2 в дефиницията могат да бъдат заменени с едно условие: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in Lи всякакви числа \lambda и \mu . Разбира се, тук и в дефиницията става дума за произволни числа от числовото поле, над което е дефинирано пространството V.

2. Във всяко линейно пространство V има две линейни подпространства:

а) самото пространство V, т.е. V\триъгълник вляво V ;

б) нулево подпространство \(\mathbf(o)\) , състоящо се от един нулев вектор на пространство V , т.е. . Тези подпространства се наричат ​​неправилни, а всички останали - собствени.

3. Всяко подпространство L на линейно пространство V е негово подмножество: L\triangleleft V~\Rightarrow~L\subset V, но не всяко подмножество на M\subset V е линейно подпространство, тъй като може да се окаже, че не е затворено по отношение на линейните операции.

4. Подпространството L на линейното пространство V само по себе си е линейно пространство със същите операции за добавяне на вектори и умножаване на вектор по число, както в пространството V , тъй като аксиоми 1-8 важат за тях. Следователно можем да говорим за размерността на подпространството, неговата основа и т.н.

5. Размерността на всяко подпространство L на линейното пространство V не надвишава размерността на пространството V\колония\,\dim(L)\leqslant \dim(V). Ако измерението на подпространството L\triangleleft V е равно на измерението на крайномерното пространство V (\dim(L)=\dim(V)), тогава подпространството съвпада със самото пространство: L=V .

Това следва от теорема 8.2 (за допълването на система от вектори до базис). Наистина, вземайки основата на подпространството L , ние ще го допълним до основата на пространството V . Ако е възможно, тогава \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. За всяко подмножество M на линейно пространство V, линейният обхват е подпространство на V и M\subset \operatorname(Lin)(M)\triangleleft V.

Наистина, ако M=\varnothing (празното множество), тогава по дефиниция \operatorname(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\), т.е. е нулевото подпространство и \varnothing\subset\(\mathbf(o)\)\triangleleft V. Нека M\ne\varnothing . Трябва да докажем, че множеството \име на оператора(Lin)(M)е затворен спрямо операциите на събиране на неговите елементи и умножаване на неговите елементи по число. Спомнете си, че елементите на линейния участък \име на оператора(Lin)(M)служат като линейни комбинации от вектори от M . Тъй като линейна комбинация от линейни комбинации от вектори е тяхната линейна комбинация, тогава, като вземем предвид точка 1, заключаваме, че \име на оператора(Lin)(M)е подпространство на V , т.е. \operatorname(Lin)(M)\triangleleft V. Включване M\подмножество\име на оператор(Lin)(M)- очевидно, тъй като всеки вектор \mathbf(v)\in M може да бъде представен като линейна комбинация 1\cdot\mathbf(v) , т.е. като елемент от набор \име на оператора(Lin)(M).

7. Линейна обвивка \operatorname(Lin)(L)подпространството L\triangleleft V съвпада с подпространството L , т.е. .

Наистина, тъй като линейното подпространство L съдържа всички възможни линейни комбинации от своите вектори, тогава \име на оператора(Lin)(L)\подмножество L. Противоположно включване (L\подмножество\име на оператор(Lin)(L))следва от точка 6. Следователно, \operatorname(Lin)(L)=L.

Примери за линейни подпространства

Посочваме някои подпространства на линейни пространства, примери за които бяха разгледани по-рано. Невъзможно е да се изброят всички подпространства на линейно пространство, освен в тривиални случаи.

1. Пространството \(\mathbf(o)\) , състоящо се от един нулев вектор на пространството V , е подпространство, т.е. \(\mathbf(o)\)\triangleleft V.

2. Нека, както преди, V_1,\,V_2,\,V_3 са набори от вектори (насочени сегменти) на права линия, на равнина, съответно в пространството. Ако правата принадлежи на равнината, тогава V_1\triangleleft V_2\triangleleft V_3. Напротив, множеството от единични вектори не е линейно подпространство, тъй като при умножаване на вектор по число, което не е равно на единица, получаваме вектор, който не принадлежи на множеството.

3. В n-мерното аритметично пространство \mathbb(R)^n, разгледайте набора L от колони "полунула" на формата x=\begin(pmatrix) x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end(pmatrix)^Tс последните (n-m) елементи, равни на нула. Сумата от колони "полунула" е колона от същия вид, т.е. операцията събиране е затворена в L . Умножаването на колона "полунула" по число дава колона "полунула", т.е. операцията умножение с число е затворена в L . Ето защо L\триъгълник вляво \mathbb(R)^nи \dim(L)=m. Напротив, подмножеството от ненулеви колони \mathbb(R)^n не е линейно подпространство, тъй като при умножаване по нула се получава нулева колона, която не принадлежи на разглежданото множество. Примери за други подпространства \mathbb(R)^n са дадени в следващия подраздел.

4. Пространството \(Ax=o\) от решения на хомогенна система от уравнения с n неизвестни е подпространство на n-мерното аритметично пространство \mathbb(R)^n . Размерността на това подпространство се определя от матрицата на системата: \dim\(Ax=o\)=n-\име на оператор(rg)A.

Множеството \(Ax=b\) от решения на нехомогенна система (за b\ne o ) не е подпространство на \mathbb(R)^n , тъй като сумата от две решения е нехомогенна; система няма да бъде решението на същата система.

5. В пространството M_(n\times n) от квадратни матрици от ред l, разгледайте две подмножества: множеството от симетрични матрици и множеството M_(n\пъти n)^(\текст(kos))косо-симетрични матрици. Сумата от симетрични матрици е симетрична матрица, т.е. операцията за добавяне е затворена M_(n\пъти n)^(\text(sim)). Умножението на симетрична матрица с число също не нарушава симетрията, т.е. операцията за умножаване на матрица по число е затворена M_(n\пъти n)^(\text(sim)). Следователно множеството от симетрични матрици е подпространство на пространството от квадратни матрици, т.е. M_(n\пъти n)^(\text(sim))\triangleleft M_(n\пъти n). Лесно е да се намери измерението на това подпространство. Стандартният базис се формира от: l матрици с един ненулев (равен на единица) елемент на главния диагонал: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, както и матрици с два ненулеви (равни на единица) елемента, симетрични спрямо главния диагонал: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i,i+1 ,\lточки, n. Общо в основата ще бъде (n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac(n(n+1))(2))матрици. Следователно, \dim(M_(n\пъти n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). По същия начин получаваме това M_(n\умножено по n)^(\текст(kos))\триъгълник вляво M_(n\умножено по n)и \dim(M_(n\пъти n)^(\текст(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

Наборът от изродени квадратни матрици от n-ти ред не е подпространство на M_(n\times n), тъй като сумата от две изродени матрици може да се окаже неизродена матрица, например в пространството M_(2 \times2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

6. В пространството на полиноми P(\mathbb(R)) с реални коефициенти може да се определи естествена верига от подпространства

P_0(\mathbb(R))\triangleleft P_1(\mathbb(R))\triangleleft P_2(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P( \mathbb(R)).

Множеството от четни полиноми (p(-x)=p(x)) е линейно подпространство на P(\mathbb(R)), тъй като сумата от четните полиноми и произведението на четен полином от число ще бъде четна полиноми. Наборът от нечетни полиноми (p(-x)=-p(x)) също е линейно пространство. Наборът от полиноми с реални корени не е линейно подпространство, тъй като добавянето на такива два полинома може да доведе до полином, който няма реални корени, например, (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. В пространството C(\mathbb(R)) може да се посочи естествена верига от подпространства:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \lточки

Полиномите в P(\mathbb(R)) могат да се разглеждат като функции, дефинирани в \mathbb(R) . Тъй като полиномът е непрекъсната функция заедно със своите производни от всякакъв ред, можем да запишем: P(\mathbb(R))\triangleleft C(\mathbb(R))и P_n(\mathbb(R))\triangleleft C^m(\mathbb(R)) \за всички m,n\in\mathbb(N). Пространството на тригонометричните биноми T_(\omega) (\mathbb(R))е подпространство ×

Определение 6.1. подпространство L n-измерно пространство Рсе нарича набор от вектори, които образуват линейно пространство по отношение на действията, които са дефинирани в Р.

С други думи, Лсе нарича подпространство на пространството Рако от x, y∈Лследва това x+y∈Ли ако х∈Л, тогава λ х∈Л, където λ - всяко реално число.

Най-простият пример за подпространство е нулевото подпространство, т.е. подмножество на пространството Р, състоящ се от един нулев елемент. Цялото пространство също може да бъде подпространство. Р. Тези подпространства се наричат тривиаленили несобствени.

подпространство н-мерното пространство е крайномерно и размерността му не превишава n: dim L≤ dim R.

Сума и пресечна точка на подпространства

Позволявам Ли М- две подпространства на пространството Р.

Количество Л+Мсе нарича набор от вектори x+y, където х∈Ли г∈М. Очевидно всяка линейна комбинация от вектори от L+Mпринадлежи L+M, Следователно L+Mе подпространство на пространството Р(може да съвпада с пространството Р).

пресичане Л∩Мподпространства Ли Ме набор от вектори, които едновременно принадлежат на подпространства Ли М(може да се състои само от нулев вектор).

Теорема 6.1.Сума от измеренията на произволни подпространства Ли Мкрайномерно линейно пространство Ре равно на размерността на сумата от тези подпространства и размерността на пресечната точка на тези подпространства:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказателство. Обозначете F=L+Mи G=L∩M. Позволявам G g-дименсионално подпространство. Избираме основа в него. защото Ж⊂Ли Ж⊂М, следователно основата Жможе да се добави към основата Ли към основата М. Нека основата на подпространството Ли нека основата на подпространството М. Нека покажем, че векторите

принадлежи към подпространството G=L∩M. От друга страна, векторът vможе да се представи чрез линейна комбинация от базисните вектори на подпространството Ж:

От уравнения (6.4) и (6.5) имаме:

Поради линейната независимост на основата на подпространството Лние имаме:

са линейно независими. Но всеки вектор zот Е(по дефиниция на сумата от подпространства) може да бъде представена чрез сумата x+y, където х∈L, г∈M. На свой ред хсе представя от линейна комбинация от вектори a г- линейна комбинация от вектори. Следователно векторите (6.10) генерират подпространство Е. Установихме, че векторите (6.10) формират базис F=L+M.

Изучаване на базисите на подпространствата Ли Ми подпространствена основа F=L+M(6.10), имаме: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следователно:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Директен сбор от подпространства

Определение 6.2.пространство Ее пряк сбор от подпространства Ли М, ако всеки вектор хпространство Еможе да се представи само като сума x=y+z, където г∈ Земя z∈М.

Означава се пряката сума Л⊕М. Казват, че ако F=L⊕М, тогава Есе разлага на пряка сума от своите подпространства Ли М.

Теорема 6.2.Да се н-измерно пространство Рбеше пряк сбор от подпространства Ли М, достатъчно е, че пресечката Ли Мсъдържа само нулевия елемент и че размерността на R е равна на сумата от размерите на подпространствата Ли М.

Доказателство. Нека изберем някакъв базис в подпространството L и някакъв базис в подпространството M. Нека докажем това

Тъй като лявата страна на (6.13) е вектор на подпространството Л, а дясната страна е подпространственият вектор Ми Л∩М=0 , тогава

Във всеки линейно пространство възможно е да изберете такова подмножество вектори, което при операции от само по себе си е линейно пространство. Това може да се направи по различни начини и структурата на такива подгрупи носи важна информация за самото линейно пространство.

Определение 2.1.Подмножество на линейно пространство Наречен линейно подпространство, ако са изпълнени следните две условия:

Дефиниция 2.1 всъщност казва, че линейно подпространство е всяко подмножество дадено линейно пространство, затворен при линейни операции, тези. прилагането на линейни операции към вектори, принадлежащи към това подмножество, не изважда резултата от подмножеството. Нека покажем, че линейното подпространство з като независим обект е линейно пространство по отношение на операциите, дадени в обкръжаващото линейно пространство. Наистина, тези операции са дефинирани за всеки елемент от множеството и следователно за елементи от подмножеството з. Дефиниция 2.1 всъщност изисква това за елементи от зрезултатът от операциите също принадлежеше на з. Следователно операциите, посочени в могат да се разглеждат като операции върху по-тясно множество з. За тези операции на снимачната площадка заксиомите за линейно пространство a)-b) и e)-h) са изпълнени поради факта, че са валидни в . В допълнение, останалите две аксиоми също са изпълнени, тъй като съгласно дефиниция 2.1, ако тогава:

1) и 0- нулев вектор в з;

2) .

Във всяко линейно пространство винаги има две линейни подпространства: самото линейно пространство и нулево подпространство {0}, единичен елемент 0. Тези линейни подпространства се наричат не притежавам, докато всички останали линейни подпространства се наричат собствен. Нека дадем примери за правилни линейни подпространства.

Пример 2.1.В линейното пространство на свободните вектори на триизмерното пространство линейното подпространство се формира от:

а) всички вектори, успоредни на дадената равнина;

б) всички вектори, успоредни на дадената права.

Това следва от следните съображения. От дефиницията на сумата от свободни вектори следва, че два вектора и тяхната сума са компланарни (фиг. 2.1, а). Следователно, ако и са успоредни на дадена равнина, тогава тяхната сума ще бъде успоредна на същата равнина. По този начин се установява, че за случай а) условие 1) от Дефиниция 2.1 е изпълнено. Ако векторът се умножи по число, се получава вектор, колинеарен на оригиналния (фиг. 2.1.6). Това доказва изпълнението на условие 2) от Определение 2.1. Случай b) е обоснован по подобен начин.

Линейното пространство дава визуално представяне на това какво е линейно подпространство. Наистина, ние фиксираме някаква точка в пространството. Тогава различни равнини и различни прави линии, минаващи през тази точка, ще съответстват на различни линейни подпространства от (фиг. 2.2).

Не е толкова очевидно, че няма други правилни подпространства в . Ако в линейно подпространство з тогава няма ненулеви вектори H - нулево линейно подпространство, което е неправилно. Ако в з е ненулев вектор и всеки два вектора от зса колинеарни, тогава всички вектори на това линейно подпространство са успоредни на някаква права линия, минаваща през фиксирана точка. Следователно, з съвпада с едно от линейните подпространства, описани в случай b). Ако в з има два неколинеарни вектора и всеки три вектора са компланарни, тогава всички вектори на такова линейно подпространство са успоредни на някаква равнина, минаваща през фиксирана точка. Това е случай а). Нека в линейно подпространство зима три некомпланарни вектора. След това се образуват база в. Всеки свободен вектор може да бъде представен като линейна комбинация тези вектори. Следователно всички свободни вектори попадат в линейното подпространство з, и следователно е същото като . В този случай получаваме неправилно линейно подпространство. Така че всички правилни подпространства могат да бъдат представени като равнини или прави линии, минаващи през фиксирана точка.

Пример 2.2.Всяко решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (SLAE) от П променливите могат да се разглеждат като вектор в линейни аритметични пространства . Наборът от всички такива вектори е линейно подпространство в . Наистина, решенията на хомогенен SLAE могат да се добавят компонент по компонент и да се умножат по реални числа, т.е. съгласно правилата за добавяне на вектори от . Резултатът от операцията отново ще бъде решението на хомогенен SLAE. Следователно и двете условия за дефиницията на линейно подпространство са изпълнени.

Уравнението има набор от решения, което е линейно подпространство в. Но същото уравнение може да се разглежда като уравнение на равнина в някаква правоъгълна координатна система. Равнината минава през началото и радиус векторите на всички точки на равнината образуват двумерно подпространство в линейното пространство

Множеството от решения на хомогенна СЛАУ

също образува линейно подпространство в . В същото време тази система може да се разглежда като общи уравнения на права линия в пространството, дадено в някаква правоъгълна координатна система .. Тази права минава през началото, а наборът от радиус-вектори на всички нейни точки образува едномерно подпространство в .

Пример 2.3.В линейното пространство на квадратни матрици от ред П линейно подпространство се образува от:

а) всички симетрични матрици;

б) всички косо симетрични матрици;

в) всички горни (долни) триъгълни матрици.

Когато събираме такива матрици или умножаваме по число, получаваме матрица от същия вид. За разлика от това, подмножество от изродени матрици не е линейно подпространство, тъй като сумата от две изродени матрици може да бъде неизродена матрица:

Пример 2.4.В линейното пространство на функциите, които са непрекъснати на сегмента, могат да се разграничат следните линейни подпространства:

а) набор от функции, които са непрекъснати на интервал и непрекъснато диференцируеми в интервала (0,1) (това твърдение се основава на свойствата на диференцируемите функции: сумата от диференцируеми функции е диференцируема функция, продуктът на диференцируема функция по число е диференцируема функция);

б) множеството от всички полиноми;

в) набор всички полиноми от най-много степен н.

Извиква се непразно подмножество L на линейно пространство V линейно подпространствоинтервал V ако

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\in L~~\forall \mathbf(u,v)\in L(подпространството е затворено по отношение на операцията събиране);

2) \lambda \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(v)\in Lи всяко число \lambda (подпространството е затворено по отношение на операцията за умножаване на вектор по число).

За да посочим линейно подпространство, ще използваме нотацията L\triangleleft V и ще пропуснем думата "линеен" за краткост.

Забележки 8.7

1. Условия 1, 2 в дефиницията могат да бъдат заменени с едно условие: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in Lи всякакви числа \lambda и \mu . Разбира се, тук и в дефиницията става дума за произволни числа от числовото поле, над което е дефинирано пространството V.

2. Във всяко линейно пространство V има две линейни подпространства:

а) самото пространство V, т.е. V\триъгълник вляво V ;

б) нулево подпространство \(\mathbf(o)\) , състоящо се от един нулев вектор на пространство V , т.е. . Тези подпространства се наричат ​​неправилни, а всички останали - собствени.

3. Всяко подпространство L на линейно пространство V е негово подмножество: L\triangleleft V~\Rightarrow~L\subset V, но не всяко подмножество на M\subset V е линейно подпространство, тъй като може да се окаже, че не е затворено по отношение на линейните операции.

4. Подпространството L на линейното пространство V само по себе си е линейно пространство със същите операции за добавяне на вектори и умножаване на вектор по число, както в пространството V , тъй като аксиоми 1-8 важат за тях. Следователно можем да говорим за размерността на подпространството, неговата основа и т.н.

5. Размерността на всяко подпространство L на линейното пространство V не надвишава размерността на пространството V\колония\,\dim(L)\leqslant \dim(V). Ако измерението на подпространството L\triangleleft V е равно на измерението на крайномерното пространство V (\dim(L)=\dim(V)), то подпространството съвпада със самото пространство: L=V .

Това следва от теорема 8.2 (за допълването на система от вектори до базис). Наистина, вземайки основата на подпространството L , ние ще го допълним до основата на пространството V . Ако е възможно, тогава \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. За всяко подмножество M на линейно пространство V, линейният обхват е подпространство на V и M\subset \operatorname(Lin)(M)\triangleleft V.

Наистина, ако M=\varnothing (празното множество), тогава по дефиниция \operatorname(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\), т.е. е нулевото подпространство и \varnothing\subset\(\mathbf(o)\)\triangleleft V. Нека M\ne\varnothing . Трябва да докажем, че множеството \име на оператора(Lin)(M)е затворен спрямо операциите на събиране на неговите елементи и умножаване на неговите елементи по число. Спомнете си, че елементите на линейния участък \име на оператора(Lin)(M)служат като линейни комбинации от вектори от M . Тъй като линейна комбинация от линейни комбинации от вектори е тяхната линейна комбинация, тогава, като вземем предвид точка 1, заключаваме, че \име на оператора(Lin)(M)е подпространство на V , т.е. \operatorname(Lin)(M)\triangleleft V. Включване M\подмножество\име на оператор(Lin)(M)- очевидно, тъй като всеки вектор \mathbf(v)\in M може да бъде представен като линейна комбинация 1\cdot\mathbf(v) , т.е. като елемент от набор \име на оператора(Lin)(M).

7. Линейна обвивка \operatorname(Lin)(L)подпространството L\triangleleft V съвпада с подпространството L , т.е. .

Наистина, тъй като линейното подпространство L съдържа всички възможни линейни комбинации от своите вектори, тогава \име на оператора(Lin)(L)\подмножество L. Противоположно включване (L\подмножество\име на оператор(Lin)(L))следва от точка 6. Следователно, \operatorname(Lin)(L)=L.

Примери за линейни подпространства

Посочваме някои подпространства на линейни пространства, примери за които бяха разгледани по-рано. Невъзможно е да се изброят всички подпространства на линейно пространство, освен в тривиални случаи.

1. Пространството \(\mathbf(o)\) , състоящо се от един нулев вектор на пространството V , е подпространство, т.е. \(\mathbf(o)\)\triangleleft V.

2. Нека, както преди, V_1,\,V_2,\,V_3 са набори от вектори (насочени сегменти) на права линия, на равнина, съответно в пространството. Ако правата принадлежи на равнината, тогава V_1\triangleleft V_2\triangleleft V_3. Напротив, множеството от единични вектори не е линейно подпространство, тъй като при умножаване на вектор по число, което не е равно на единица, получаваме вектор, който не принадлежи на множеството.

3. В n-мерното аритметично пространство \mathbb(R)^n, разгледайте набора L от колони "полунула" на формата x=\begin(pmatrix) x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end(pmatrix)^Tс последните (n-m) елементи, равни на нула. Сумата от колони "полунула" е колона от същия вид, т.е. операцията събиране е затворена в L . Умножаването на колона "полунула" по число дава колона "полунула", т.е. операцията умножение с число е затворена в L . Ето защо L\триъгълник вляво \mathbb(R)^nи \dim(L)=m. Напротив, подмножеството от ненулеви колони \mathbb(R)^n не е линейно подпространство, тъй като при умножаване по нула се получава нулева колона, която не принадлежи на разглежданото множество. Примери за други подпространства \mathbb(R)^n са дадени в следващия подраздел.

4. Пространството \(Ax=o\) от решения на хомогенна система от уравнения с n неизвестни е подпространство на n-мерното аритметично пространство \mathbb(R)^n . Размерността на това подпространство се определя от матрицата на системата: \dim\(Ax=o\)=n-\име на оператор(rg)A.

Множеството \(Ax=b\) от решения на нехомогенна система (за b\ne o ) не е подпространство на \mathbb(R)^n , тъй като сумата от две решения е нехомогенна; система няма да бъде решението на същата система.

5. В пространството M_(n\times n) от квадратни матрици от ред l, разгледайте две подмножества: множеството от симетрични матрици и множеството M_(n\пъти n)^(\текст(kos))косо-симетрични матрици. Сумата от симетрични матрици е симетрична матрица, т.е. операцията за добавяне е затворена M_(n\пъти n)^(\text(sim)). Умножението на симетрична матрица с число също не нарушава симетрията, т.е. операцията за умножаване на матрица по число е затворена M_(n\пъти n)^(\text(sim)). Следователно множеството от симетрични матрици е подпространство на пространството от квадратни матрици, т.е. M_(n\пъти n)^(\text(sim))\triangleleft M_(n\пъти n). Лесно е да се намери измерението на това подпространство. Стандартният базис се формира от: l матрици с един ненулев (равен на единица) елемент на главния диагонал: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, както и матрици с два ненулеви (равни на единица) елемента, симетрични спрямо главния диагонал: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i,i+1 ,\lточки, n. Общо в основата ще бъде (n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac(n(n+1))(2))матрици. Следователно, \dim(M_(n\пъти n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). По същия начин получаваме това M_(n\умножено по n)^(\текст(kos))\триъгълник вляво M_(n\умножено по n)и \dim(M_(n\пъти n)^(\текст(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

Наборът от изродени квадратни матрици от n-ти ред не е подпространство на M_(n\times n), тъй като сумата от две изродени матрици може да се окаже неизродена матрица, например в пространството M_(2 \times2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

6. В пространството на полиноми P(\mathbb(R)) с реални коефициенти може да се определи естествена верига от подпространства

P_0(\mathbb(R))\triangleleft P_1(\mathbb(R))\triangleleft P_2(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P( \mathbb(R)).

Множеството от четни полиноми (p(-x)=p(x)) е линейно подпространство на P(\mathbb(R)), тъй като сумата от четните полиноми и произведението на четен полином от число ще бъде четна полиноми. Наборът от нечетни полиноми (p(-x)=-p(x)) също е линейно пространство. Наборът от полиноми с реални корени не е линейно подпространство, тъй като добавянето на такива два полинома може да доведе до полином, който няма реални корени, например, (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. В пространството C(\mathbb(R)) може да се посочи естествена верига от подпространства:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \lточки

Полиномите в P(\mathbb(R)) могат да се разглеждат като функции, дефинирани в \mathbb(R) . Тъй като полиномът е непрекъсната функция заедно със своите производни от всякакъв ред, можем да запишем: P(\mathbb(R))\triangleleft C(\mathbb(R))и P_n(\mathbb(R))\triangleleft C^m(\mathbb(R)) \за всички m,n\in\mathbb(N). Пространството на тригонометричните биноми T_(\omega) (\mathbb(R))е подпространство на C^m(\mathbb(R)), тъй като производните на всеки ред на функцията f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega tнепрекъснато, т.е. T_(\omega)(\mathbb(R))\triangleleft C^m(\mathbb(R)) \forall m\in \mathbb(N). Наборът от непрекъснати периодични функции не е подпространство на C(\mathbb(R)), тъй като сумата от две периодични функции може да се окаже непериодична функция, например, \sin(t)+\sin(\pi t).