По-рано обсъдихме общите методи на интеграция. В този и следващите раздели ще говорим за интегрирането на специфични класове функции с помощта на разгледаните техники.

Интегриране на най-простите рационални функции

Помислете за интеграл на формата \textstyle(\int R(x)\,dx), където y=R(x) е рационална функция. Всеки рационален израз R(x) може да бъде представен като \frac(P(x))(Q(x)), където P(x) и Q(x) са полиноми. Ако тази дроб е неправилна, т.е. ако степента на числителя е по-голяма или равна на степента на знаменателя, тогава тя може да бъде представена като сбор от полином (цялата част) и правилна дроб. Следователно е достатъчно да разгледаме интегрирането на правилните дроби.

Нека покажем, че интегрирането на такива дроби се свежда до интегрирането прости дроби, т.е. изрази от формата:

\mathsf(1))~\frac(A)(x-a);\quad \mathsf(2))~\frac(A)((x-a)^n);\quad \mathsf(3))~ \frac( Ax+B)(x^2+px+q);\quad \mathsf(4))~\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n).

където A,\,B,\,a,\,p,\,qса реални числа, а квадратният трином x^2+px+q няма реални корени. Изразите от вида 1) и 2) се наричат ​​дроби от 1-ви род, а изразите от вида 3) и 4) се наричат ​​дроби от 2-ри род.

Интегралите на дроби от 1-ви род се изчисляват директно

\begin(aligned)\mathsf(1))&~\int\frac(A)(x-a)\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf(2))&~ \int\frac (A)((x-a)^n)\,dx= A\int(x-a)^(-n)\,dx= A\,\frac((x-a)^(-n+1))(-n+ 1 )+C~(n=2,3,4,\lточки). \край (подравнено)

Помислете за изчисляването на интеграли от дроби от 2-ри вид: \mathsf(3))~ \int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx\,.

Първо, нека отбележим това

\int\frac(dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(a)\име на оператор(arctg)\frac(t)(a)+C,\qquad \int\frac(t\ ,dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(2)\ln(t^2+a^2)+C.

За да намалим изчислението на интеграла 3) до тези два интеграла, трансформираме квадратния трином x^2+px+q, като извличаме пълен квадрат от него:

x^2+px+q= (\left(x+\frac(p)(2)\right)\^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

Тъй като по предположение този тричлен няма реални корени, тогава q-\frac(p^2)(4)>0и можем да сложим q-\frac(p^2)(4)=a^2. Заместване x+\frac(p)(2)=t,~ dx=dtпреобразува интеграла 3) в линейна комбинация от горните два интеграла:

\begin(aligned)\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx&= \int\frac(A\!\left(t-\frac(p)(2)\right) )+B)(t^2+a^2)\,dt= A\int\frac(t\,dt)(t^2+a^2)+ \left(B-\frac(Ap)(2 )\right)\!\int\frac(dt)(t^2+a^2)=\\ &=\frac(A)(2)\ln(t^2+a^2)+ \frac( 1)(a)\!\left(B-\frac(Ap)(2)\right)\!\ \operatorname(arctg)\frac(t)(a)+C. \край (подравнено)

В крайния отговор трябва само да замените (t) с x+\frac(p)(2) и (a) с \sqrt(q-\frac(p^2)(4)). Тъй като t^2+a^2=x^2+px+q , тогава

\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx= \frac(A)(2)\ln(x^2+px+q)+ \frac(B-\dfrac( Ap)(2))(\sqrt(q-\dfrac(p^2)(4))) \operatorname(arctg)\frac(x+\dfrac(p)(2))(\sqrt(q-\dfrac (p^2)(4)))+C.

Помислете за случая \mathsf(4))~ \int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx.

Както в предишния случай, задаваме x+\frac(p)(2)=t. Получаваме:

\int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx= A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n) + \left(B-\frac(Ap)(2)\right)\! \int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)\,.

Първият член се изчислява по следния начин:

A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n)= \frac(A)(2)\int(t^2+a^2)^(-n)\ ,d(t^2+a^2)= \frac(A)(2)\frac((t^2+a^2)^(-n+1))(-n+1)= \frac( A)(2(1-n)(t^2+a^2)^(n-1))\,.

Вторият интеграл се изчислява с помощта на рекурентната формула.

Пример 1Изчислете \int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx.

Решение.Ние имаме: x^2+2x+3=(x+1)^2+2. Нека x+1=t. Тогава dx=dt и 3x+2=3(t-1)+2=3t-1и следователно

\begin(aligned)\int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx&= \int\frac(3t-1)(t^2+2)\,dt= \frac( 3)(2)\int\frac(2t\,dt)(t^2+2)- \int\frac(dt)(t^2+(\sqrt(2))^2)=\\ &= \frac(3)(2)\ln(t^2+2)- \frac(1)(\sqrt(2))\име на оператор(arctg)\frac(t)(\sqrt(2))+C= \\ &=\frac(3)(2)\ln(x^2+2x+3)- \frac(1)(\sqrt(2))\име на оператор(arctg)\frac(x+1)(\ sqrt(2))+C. \край (подравнено)

Пример 2Изчислете \int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx.

Решение.Ние имаме: x^2+6x+10=(x+3)^2+1. Нека въведем нова променлива, като зададем x+3=t. Тогава dt=dx и x+2=t-1. Заменяйки променливата под интегралния знак, получаваме:

\begin(aligned)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&= \int\frac(t-1)((t^2+1)^2 )\,dt= \frac(1)(2)\int\frac(2t\,dt)((t^2+1)^2)-\int\frac(dt)((t^2+1) ^2)=\\ &=-\frac(1)(2(t^2+1))- \int\frac(dt)((t^2+1)^2)\,. \край (подравнено))

Да сложим I_2=\int\frac(dt)((t^2+1)^2). Ние имаме:

I_2=\frac(1)(2)I_1+\frac(1)(2)\frac(t)(t^2+1), но I_1=\int\frac(dt)(t^2+1)= \operatorname(arctg)tПо този начин, I_2= \frac(1)(2)\operatorname(arctg)t+ \frac(t)(2(t^2+1)).

Накрая получаваме:

\begin(aligned)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&=-\frac(1)(2(t^2+1))-\frac (1)(2)\име на оператор(arctg)t-\frac(t)(2(t^2+1))=\\ &=-\frac(1)(2(x^2+6x+10) )- \frac(1)(2)\име на оператор(arctg)(x+3)- \frac(x+3)(2(x^2+6x+10))+C=\\ &=\frac( -x-4)(2(x^2+6x+10))-\frac(1)(2)\operatorname(arctg)(x+3)+C \end(aligned)

Интегриране на правилни дроби

Помислете за правилна дроб R(x)=\frac(P(x))(Q(x)), където Q(x) е полином от степен n. Без загуба на общност можем да приемем, че водещият коефициент в Q(x) е равен на 1. В курса по алгебра се доказва, че такъв полином с реални коефициенти може да бъде разложен на фактори от първа и втора степен с реални коефициенти :

Q(x)= (x-x_1)^(\alpha)\ldots (x-x_k)^(\beta) (x^2+p\,x+q)^(\gamma)\ldots (x^2 +r\,x+s)^(\delta).

където x_1,\ldots,x_k са реални корени на полинома Q(x) и квадратните триноми нямат реални корени. Може да се докаже, че тогава R(x) е представено като сума от прости дроби под формата 1) -4):

\begin(aligned)R(x)=&\frac(P(x))(Q(x))= \frac(A_1)((x-x_1)^(\alpha))+ \frac(A_2)( (x-x_1)^(\alpha-1))+\ldots+ \frac(A_(\alpha))(x-x_1)\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(B_1)((x- x_k)^(\beta))+ \frac(B_2)((x-x_k)^(\beta-1))+\ldots+ \frac(B_(\beta))(x-x_k)+ \frac(M_1x+ N_1)((x^2+p\,x+q)^(\gamma))\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(M_(\gamma)+ N_(\gamma))(x^ 2+ p\,x+s)+ \frac(E_1x+F_1)((x^2+rx+s)^(\delta))+\ldots+ \frac(E_(\delta)x+F_(\delta ))(x^2+rx+s)\, \end(подравнено)

където показателите на знаменателите намаляват последователно от \alpha до 1, ..., от \beta до 1, от \gamma до 1, ..., от \delta до 1 и A_1,\lточки,F_(\делта)- неопределени коефициенти. За да се намерят тези коефициенти, е необходимо да се отървете от знаменателите и след като сте получили равенството на два полинома, използвайте метода на неопределените коефициенти.

Друг начин за определяне на коефициентите A_1,\ldots, A_(\alpha), \ldots, F_(\delta)се основава на заместване на стойностите на променливата x. Замествайки произволно число вместо x в равенството, получено от равенството (1) след освобождаване от знаменателите, стигаме до линейно уравнениепо отношение на желаните коефициенти. Чрез заместване на необходимия брой такива конкретни стойности на променливата, получаваме система от уравнения за намиране на коефициентите. Най-удобно е да изберете корените на знаменателя (реални и комплексни) като частни стойности на променливата. В този случай почти всички членове от дясната страна на равенството (което означава равенството на два полинома) изчезват, което улеснява намирането на останалите коефициенти. При заместване на комплексни стойности трябва да се има предвид, че две комплексни числа са равни тогава и само тогава, когато техните реална и имагинерна част са равни съответно. Следователно от всяко равенство, съдържащо комплексни числа, се получават две уравнения.

След намиране на неопределените коефициенти остава да се изчислят интегралите на получените прости дроби. Тъй като при интегрирането на най-простите дроби, както видяхме, се получават само рационални функции, арктангенси и логаритми, тогава интегралът на всяка рационална функция се изразява чрез рационална функция, арктангенси и логаритми.

Пример 3Изчислете интеграла на правилна рационална дроб \int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx.

Решение.Разлагаме знаменателя на интегранта на множители:

x^2+2x-3=(x-1)(x+3).

Изписваме интегранта и го представяме като сбор от прости дроби:

\frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(A)(x-1)+\frac(B)(B+3)\,.

След като се освободихме от знаменателите в това равенство, получаваме:

6x+1=A\cdot (x+3)+B\cdot (x-1)\,.

За да намерим коефициентите, използваме метода на заместване на частични стойности. За да намерим коефициента A, поставяме x=1. Тогава от равенство (2) получаваме 7=4A , откъдето A=7/4 . За да намерим коефициента B, задаваме x=-3 . Тогава от равенство (2) получаваме -17=-4B , откъдето B=17/4 .

Така, \frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(7)(4)\cdot\frac(1)(x-1)+ \frac(17)(4)\cdot\frac (1)(x+3). означава,

\int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx= \frac(7)(4)\int\frac(dx)(x-1)+ \frac(17)(4 )\int\frac(dx)(x+3)= \frac(7)(4)\ln|x-1|+ \frac(17)(4)\ln|x+3|+C.

Пример 4Изчислете \int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx.

Решение.Изписваме интегранта и го представяме като сбор от прости дроби. Знаменателят съдържа множителя x^2+2, който няма реални корени, той съответства на дроб от 2-ри род: \frac(Ax+B)(x^2+2)факторът (x-1)^2 съответства на сумата от две дроби от 1-ви вид: \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1); накрая, факторът x+2 съответства на една дроб от 1-ви вид \frac(E)(x+2) . Така ще представим интегранта като сбор от четири дроби:

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(Ax+B)(x^2+2 )+ \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)+ \frac(E)(x+2)\,.

Нека се отървем от знаменателите в това равенство. Получаваме:

\begin(aligned) x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\, +\\ &\фантом(=)+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end(подравнено)

Знаменателят на интегранта има два реални корена: x=1 и x=-2. При заместване на x=1 в равенство (4) получаваме 16=9C , от което намираме C=16/9 . Когато заместваме x=-2, получаваме 13=54E и съответно определяме E=13/54. Заместването на стойността x=i\,\sqrt(2) (коренът на полинома x^2+2 ) ни позволява да преминем към равенството

4-4+8\,i\,\sqrt(2)+5= (A\,i\,\sqrt(2)+B)\cdot (i\,\sqrt(2)-1)^2\ cdot(i\,\sqrt(2)+2).

Трансформира се в:

(10A+2B)+(2A-5B)\sqrt(2)\,i= 5+8\sqrt(2)\,i, откъдето 10A+2B=5 , и (2A-5B)\sqrt(2)=8\sqrt(2).

Решаване на система от две уравнения с две променливи \begin(cases)10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end(cases)намираме: A=\frac(41)(54),~ B=-\frac(35)(27).

Остава да се определи стойността на коефициента D . За да направим това, в равенство (4) отваряме скобите, даваме подобни членове и след това сравняваме коефициентите при x^4. Получаваме:

A+D+E=1, което е D=0.

Нека заместим намерените стойности на коефициентите в равенство (3):

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(\drac(41)(54)\, x- \dfrac(35)(27))(x^2+2)+ \frac(16)(9)\frac(1)((x-1)^2)+ \frac(13)(54) \frac(1)(x+2)\,

и след това преминете към интеграция:

\begin(aligned)\int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx&= \frac( 41)(54)\int\frac(x\,dx)(x^2+2)- \frac(35)(27)\int\frac(dx)(x^2+2)+ \frac(16 )(9) \int\frac(dx)((x-1)^2)+ \frac(13)(54)\int\frac(dx)(x+2)=\\ &=\frac(41) )(108)\ln(x^2+2)- \frac(35)(27\sqrt(2))\име на оператор(arctg)\frac(x)(\sqrt(2))- \frac(16) (9(x-1))+ \frac(13)(54) \ln|x+2|+C.\end(подравнено)

Интегриране на неправилни дроби

Нека е необходимо да се интегрира функцията y=\frac(f(x))(g(x)), където f(x) и g(x) са полиноми, а степента на полинома f(x) е по-голяма или равна на степента на полинома g(x) . В този случай, на първо място, е необходимо да изберете цялата част от неправилната дроб \frac(f(x))(g(x)), т.е. представя го във формата

\frac(f(x))(g(x))=s(x)+ \frac(r(x))(g(x))\,

където s(x) е полином със степен, равна на разликата на степените на полиномите f(x) и g(x) и \frac(r(x))(g(x))е правилна дроб.

Тогава имаме \int\frac(f(x))(g(x))\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac(r(x))(g(x))\,dx\, ..

Пример 5Изчислете интеграла на неправилна дроб \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx.

Решение.Ние имаме:

\begin(aligned)g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\ f(x)&=x^4 -4x^3+x^2+16x-11. \край (подравнено)

За да извлечем цялата част, разделяме f(x) на g(x): \frac(f(x))(g(x))= x-2+\frac(2x^2+1)(x^3-2x^2-5x+6)\,.

означава, \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx

Ние имаме: \int(x-2)dx=\frac(x^2)(2)-2x+C.

За изчисляване на интеграла \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dxприлага, както по-горе, метода на неопределените коефициенти. След изчисленията, които оставяме на читателя, получаваме.

ТЕМА: Интегриране на рационални дроби.

внимание! Когато се изучава един от основните методи на интегриране - интегрирането на рационални дроби - се изисква да се вземат предвид полиноми в комплексната област за строги доказателства. Следователно е необходимо проучете предварително някои свойства на комплексните числа и операциите върху тях.

Интегриране на най-простите рационални дроби.

Ако П(z) и Q(z) са полиноми в комплексната област, тогава е рационална дроб. Нарича се правилноако степента П(z) по-малко степен Q(z) , и грешноако степента Р не по-малка степен Q.

Всяка неправилна дроб може да бъде представена като: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

а Р(z) – полином, чиято степен е по-малка от степента Q(z).

По този начин интегрирането на рационални дроби се свежда до интегриране на полиноми, тоест степенни функции и правилни дроби, тъй като това е правилна дроб.

Определение 5. Най-простите (или елементарни) дроби са дроби от следните видове:

1) , 2) , 3) , 4) .

Нека разберем как са интегрирани.

3) (изследван по-рано).

Теорема 5. Всяка правилна дроб може да бъде представена като сбор от прости дроби (без доказателство).

Следствие 1. Ако е правилна рационална дроб и ако сред корените на многочлена има само прости реални корени, то при разлагането на дробта в сумата от прости дроби ще има само прости дроби от 1-ви тип:

Пример 1

Следствие 2. Ако е правилна рационална дроб и ако сред корените на многочлена има само множество реални корени, тогава при разлагането на дробта в сбора от прости дроби ще има само прости дроби от 1-ви и 2-ри тип :

Пример 2

Следствие 3. Ако е правилна рационална дроб и ако сред корените на многочлена има само прости комплексно спрегнати корени, то при разлагането на дробта в сбора от прости дроби ще има само прости дроби от 3-ти тип:

Пример 3

Следствие 4. Ако е правилна рационална дроб и ако сред корените на полинома има само множество комплексно спрегнати корени, тогава при разширяването на дробта в сбора от прости дроби ще има само прости дроби от 3-ти и 4-ти видове:

За да определите неизвестните коефициенти в горните разширения, продължете както следва. наляво и правилната странаразширение, съдържащо неизвестни коефициенти, умножени по Получава се равенството на два полинома. От него се получават уравнения за желаните коефициенти, като се използва това:

1. равенството е валидно за всякакви стойности на X (метод на частичните стойности). В този случай се получават произволен брой уравнения, всяко m от които ни позволява да намерим неизвестни коефициенти.

2. коефициентите съвпадат при еднакви степени на X (метод на неопределените коефициенти). В този случай се получава система от m - уравнения с m - неизвестни, от които се намират неизвестни коефициенти.

3. комбиниран метод.

Пример 5. Разгънете дроб до най-простите.

Решение:

Намерете коефициентите A и B.

1 начин - метод на частна стойност:

Метод 2 - методът на несигурните коефициенти:

Отговор:

Интегриране на рационални дроби.

Теорема 6. Неопределеният интеграл на всяка рационална дроб във всеки интервал, в който нейният знаменател не е равен на нула, съществува и се изразява чрез елементарни функции, а именно рационални дроби, логаритми и арктангенси.

Доказателство.

Представяме рационална дроб във формата: . Освен това, последният член е правилна дроб и чрез теорема 5 може да бъде представен като линейна комбинация от прости дроби. По този начин интегрирането на рационална дроб се свежда до интегриране на полином С(х) и най-простите дроби, чиито първоизводни, както беше показано, имат формата, посочена в теоремата.

Коментирайте. Основната трудност в този случай е разлагането на знаменателя на фактори, тоест търсенето на всичките му корени.

Пример 1. Намерете интеграла

Материалът, представен в тази тема, се основава на информацията, представена в темата "Рационални дроби. Разлагане на рационални дроби на елементарни (прости) дроби". Горещо ви съветвам поне да прегледате тази тема, преди да продължите с четенето на този материал. Освен това ще ни трябва таблица с неопределени интеграли.

Нека ви напомня за няколко термина. Те бяха обсъдени в съответната тема, затова тук ще се огранича с кратка формулировка.

Отношението на два полинома $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ се нарича рационална функция или рационална дроб. Рационалната дроб се нарича правилноако $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется грешно.

Елементарните (най-простите) рационални дроби са рационални дроби от четири вида:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Забележка (желателно за по-добро разбиране на текста): покажи\скрий

Защо условието $p^2-4q е необходимо?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Например за израза $x^2+5x+10$ получаваме: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Тъй като $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Между другото, за тази проверка не е необходимо коефициентът пред $x^2$ да е равен на 1. Например за $5x^2+7x-3=0$ получаваме: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Тъй като $D > 0$, изразът $5x^2+7x-3$ може да бъде факторизиран.

Могат да се намерят примери за рационални дроби (правилни и неправилни), както и примери за разлагане на рационална дроб на елементарни. Тук се интересуваме само от въпросите за тяхната интеграция. Да започнем с интегрирането на елементарни дроби. И така, всеки от четирите типа на горните елементарни дроби е лесен за интегриране с помощта на формулите по-долу. Нека ви напомня, че при интегриране на дроби от тип (2) и (4) се приема $n=2,3,4,\ldots$. Формули (3) и (4) изискват условието $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(уравнение) \begin(уравнение) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(уравнение)

За $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ се прави замяна $t=x+\frac(p)(2)$, след което полученият интеграл е разделен на две. Първото ще бъде изчислено чрез вмъкване под знака за разлика, а второто ще изглежда като $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Този интеграл се взема с помощта на рекурентната връзка

\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \край (уравнение)

Изчисляването на такъв интеграл е анализирано в пример № 7 (виж третата част).

Схема за изчисляване на интеграли от рационални функции (рационални дроби):

1. Ако интегралната функция е елементарна, тогава се прилагат формули (1)-(4).
2. Ако интеграндът не е елементарен, тогава го представете като сума от елементарни дроби и след това интегрирайте, като използвате формули (1)-(4).

Горният алгоритъм за интегриране на рационални дроби има неоспоримо предимство - той е универсален. Тези. Използвайки този алгоритъм, човек може да интегрира всякаквирационална дроб. Ето защо почти всички замени на променливи в неопределения интеграл (замествания на Ойлер, Чебишев, универсална тригонометрична замяна) се извършват по такъв начин, че след тази замяна да получим рационална дроб под интервала. И приложете алгоритъма към него. Ще анализираме директното приложение на този алгоритъм, използвайки примери, след като направим малка бележка.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

По принцип този интеграл се получава лесно без механично прилагане на формулата. Ако извадим константата $7$ от интегралния знак и вземем предвид, че $dx=d(x+9)$, тогава получаваме:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

За подробна информация препоръчвам да разгледате темата. Обяснява подробно как се решават такива интеграли. Между другото, формулата се доказва чрез същите трансформации, които бяха приложени в този параграф при решаване "ръчно".

2) Отново има два начина: да приложите готова формула или да се справите без нея. Ако прилагате формулата, трябва да имате предвид, че коефициентът пред $x$ (числото 4) ще трябва да бъде премахнат. За да направим това, просто изваждаме четирите от тях в скоби:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Сега е време да приложите формулата:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Можете да направите, без да използвате формулата. И дори без да изваждаме константата $4$ извън скобите. Ако вземем предвид, че $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, тогава получаваме:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Подробни обяснения за намирането на такива интеграли са дадени в темата "Интегриране чрез заместване (въведение под знака на диференциала)" .

3) Трябва да интегрираме дробта $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Тази дроб има структурата $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, където $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. За да се уверите обаче, че това наистина е елементарна дроб от трети тип, трябва да проверите условието $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Нека решим същия пример, но без да използваме готовата формула. Нека се опитаме да изолираме производната на знаменателя в числителя. Какво означава това? Знаем, че $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Това е изразът $2x+10$, който трябва да изолираме в числителя. Засега числителят съдържа само $4x+7$ , но това не е за дълго. Приложете следната трансформация към числителя:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Сега търсеният израз $2x+10$ се появи в числителя. И нашият интеграл може да бъде пренаписан както следва:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Нека разделим интегранта на две. Е, и съответно самият интеграл също е "разделен":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Нека първо поговорим за първия интеграл, т.е. около $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Тъй като $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, диференциалът на знаменателя се намира в числителя на интегранта. Накратко, вместо на израза $( 2x+10)dx$ записваме $d(x^2+10x+34)$.

Сега нека кажем няколко думи за втория интеграл. Нека отделим пълния квадрат в знаменателя: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Освен това вземаме предвид $dx=d(x+5)$. Сега сумата от интегралите, получени от нас по-рано, може да бъде пренаписана в малко по-различна форма:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Ако направим промяната $u=x^2+10x+34$ в първия интеграл, тогава той ще приеме формата $\int\frac(du)(u)$ и ще вземе просто приложениевтора формула от . Що се отнася до втория интеграл, за него е възможна замяната $u=x+5$, след което той приема формата $\int\frac(du)(u^2+9)$. Това е най-чистата вода, единадесетата формула от таблицата на неопределените интеграли. И така, връщайки се към сумата на интегралите, ще имаме:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Получихме същия отговор, както при прилагането на формулата, което всъщност не е изненадващо. Като цяло, формулата се доказва със същите методи, които използвахме, за да намерим този интеграл. Вярвам, че един внимателен читател може да има един въпрос тук, затова ще го формулирам:

Въпрос 1

Ако приложим втората формула от таблицата на неопределените интеграли към интеграла $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, тогава получаваме следното:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Защо модулът липсваше в решението?

Отговор на въпрос №1

Въпросът е напълно легитимен. Модулът отсъства само защото изразът $x^2+10x+34$ за всеки $x\in R$ е по-голям от нула. Това е доста лесно да се покаже по няколко начина. Например, тъй като $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ и $(x+5)^2 ≥ 0$, тогава $(x+5)^2+9 > 0$ . Възможно е да се прецени по различен начин, без да се включва избор на пълен квадрат. Тъй като $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ за всеки $x\in R$ (ако тази логическа верига е изненадваща, съветвам ви да погледнете графичния метод за решаване на квадратни неравенства). Във всеки случай, тъй като $x^2+10x+34 > 0$, тогава $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, т.е. можете да използвате нормални скоби вместо модул.

Всички точки от пример № 1 са решени, остава само да запишете отговора.

Отговор:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Пример #2

Намерете интеграла $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

На пръв поглед интеграндът $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ е много подобен на елементарна дроб от трети тип, т.е. до $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Изглежда, че единствената разлика е коефициентът $3$ пред $x^2$, но премахването на коефициента (извън скоби) няма да отнеме много време. Тази прилика обаче е очевидна. За дробта $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ условието $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Нашият коефициент пред $x^2$ не е равен на единица, така че проверете условието $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, така че изразът $3x^2-5x-2$ може да бъде факторизиран. А това означава, че дробта $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ не е елементарна дроб от трети тип и се прилага към интеграла $\int\frac(7x+12)( Формулата 3x^2- 5x-2)dx$ не е разрешена.

Е, ако дадената рационална дроб не е елементарна, тогава тя трябва да бъде представена като сбор от елементарни дроби и след това да се интегрира. Накратко, пътеката се възползва от . Как да разложим рационална дроб на елементарни е написано подробно. Нека започнем с разлагане на знаменателя на множители:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\наляво(x+\frac(1)(3)\надясно)(x-2). $$

Представяме подвътрешната фракция в следната форма:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Сега нека разгънем дробта $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ в елементарни:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\вдясно). $$

За намиране на коефициентите $A$ и $B$ има два стандартни начина: методът на неопределените коефициенти и методът на заместването на частични стойности. Нека приложим метода за заместване на частична стойност, като заместим $x=2$ и след това $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Тъй като коефициентите са намерени, остава само да запишем готовото разширение:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

По принцип можете да оставите този запис, но аз харесвам по-точна версия:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Връщайки се към първоначалния интеграл, ние заместваме полученото разширение в него. След това разделяме интеграла на две и прилагаме формулата към всяка. Предпочитам веднага да извадя константите извън интегралния знак:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Отговор: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Пример #3

Намерете интеграла $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Трябва да интегрираме дробта $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Числителят е полином от втора степен, а знаменателят е полином от трета степен. Тъй като степента на полинома в числителя е по-малка от степента на полинома в знаменателя, т.е. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Просто трябва да разделим дадения интеграл на три и да приложим формулата към всеки. Предпочитам веднага да извадя константите извън интегралния знак:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Отговор: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Продължение на анализа на примери по тази тема се намира във втората част.

Един от най-важните класове функции, чиито интеграли се изразяват чрез елементарни функции, е класът рационални функции.

Определение 1. Функция от формата where
- полиноми на степеннимнаречен рационален. Цяла рационална функция, т.е. полином, интегрира директно. Интегралът на дробно-рационална функция може да бъде намерен чрез разширяване на членове, които се преобразуват по стандартен начин в основните таблични интеграли.

Определение 2. Дроб
се нарича правилно, ако степента на числителянпо-малко от знаменателям. Дроб, чийто числител е по-голям или равен на знаменателя, се нарича неправилна дроб.

Всяка неправилна дроб може да бъде представена като сбор от полином и правилна дроб. Това се прави чрез разделяне на полином на полином "колона", подобно на деленето на числа.

Пример.

Представете си дроб
като сбор от полином и правилна дроб:

х - 1

3

3

3

Първи семестър
в частното се получава в резултат на разделянето на водещия член
, делим на водещия член хразделител. След това умножаваме
към делителя х-1и извадете резултата от дивидента; останалите членове на непълното частно се намират по подобен начин.

След като разделим полиномите, получаваме:

Това действие се нарича избор на цялата част.

Определение 3. Най-простите дроби са правилни рационални дроби от следните видове:

аз

II.
(K=2, 3, …).

III.
където е квадратният тричлен

IV.
където K=2, 3, …; квадратен тричлен
няма реални корени.

а) разгънете знаменателя
в най-простите реални фактори (според основната теорема на алгебрата това разлагане може да съдържа линейни биноми от вида
и квадратни тричлени
, без корени);

б) напишете схема за разгъване на дадена дроб в сбор от прости дроби. Освен това всеки фактор на формата
отговаря кусловия от типове I и II:

към всеки фактор на формата
съответства на e термини от типове III и IV:

Пример.

Запишете схема за разлагане на дроби
в сбора на най-простите.

в) извършете събиране на получените прости дроби. Запишете равенството на числителите на получените и началните дроби;

г) намерете коефициентите на съответното разширение:
(методите за решение ще бъдат разгледани по-долу);

д) Заменете намерените стойности на коефициентите в схемата за разлагане.

Интегрирането на всяка правилна рационална дроб след разлагане на прости термини се свежда до намиране на интеграли от един от видовете:

(ки д =2, 3, …).

Интегрално изчисление редуцира до формула III:

интегрална - към формула II:

интегрална може да се намери по правилото, определено в теорията на интегрирането на функции, съдържащи квадратен тричлен; - чрез трансформациите, показани по-долу в пример 4.

Пример 1

а) разложете на множители знаменателя:

б) напишете схема за разширяване на интегранта в членове:

в) извършете добавяне на прости дроби:

Записваме равенството на числителите на дробите:

г) има два метода за намиране на неизвестни коефициенти A, B, C.

Два полинома са равни тогава и само ако техните коефициенти са равни при еднакви степени х, така че можете да направите съответната система от уравнения. Това е едно от решенията.

Коефициенти при

безплатни членове (коефициент при ):4А=8.

Решавайки системата, получаваме А=2, B=1, C= - 10.

Друг метод - частни стойности ще бъдат обсъдени в следващия пример;

д) заменете намерените стойности в схемата за разширение:

Замествайки получената сума под интегралния знак и интегрирайки всеки член поотделно, намираме:

Пример 2

Идентичността е равенство, което е валидно за всякакви стойности на неизвестните, включени в него. Въз основа на това метод на частната стойност.Може да се прикачи хвсякакви ценности. По-удобно е за изчисленията да се вземат тези стойности, които изчезват всички членове от дясната страна на равенството.

Позволявам х = 0. Тогава 1 = А 0(0+2)+V 0 (0-1)+C (0-1)(0+2).

По същия начин, когато х = - 2ние имаме 1= - 2B*(-3), при х = 1ние имаме 1 = 3А.

Следователно,

Пример 3

г) Първо използваме метода на частичните стойности.

Позволявам х = 0, тогава 1 = А 1, А = 1.

При х = - 1ние имаме - 1+4+2+1 = - B(1+1+1)или 6 = - 3V, B = - 2.

За да намерите коефициентите C и D, трябва да съставите още две уравнения. За да направите това, можете да вземете всякакви други стойности х, например х = 1и х = 2. Можете да използвате първия метод, т.е. приравнете коефициентите при всякакви еднакви степени х, например когато и . Вземете

1 = A + B + C и 4 = C +д- AT.

знаейки А = 1, B = -2, намирам С = 2, д = 0 .

Така при изчисляване на коефициентите могат да се комбинират и двата метода.

Последен интеграл намираме отделно според правилото, посочено в метода за командване на нова променлива. Избираме пълния квадрат в знаменателя:

да речем
тогава
Получаваме:

=

Замествайки в предишното равенство, намираме

Пример 4

намирам

б)

д)

Интегрирайки, имаме:

Преобразуваме първия интеграл във формула III:

Преобразуваме втория интеграл във формула II:

В третия интеграл заместваме променливата:

(Когато извършвахме трансформации, използвахме тригонометричната формула

Намерете интеграли:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Въпроси за самопроверка.

Кои от дадените рационални дроби са правилни:

2. Правилно ли е написана схемата за разширяване на дроб в сбора на простите дроби?

2., 5.
,

3.
, 6.
.

В интеграли 1-3 ас u приемам . След това н-кратно прилагане на формула (19), стигаме до един от табличните интеграли

,
,
.

В интеграли 4-6 при диференциране трансцендентният фактор се опростява
,
или
, което трябва да се приема като u.

Изчислете следните интеграли.

Пример 7

Пример 8

Намаляване на интегралите до себе си

Ако подинтегралната функция
изглежда като:

,
,
и така нататък,

тогава след двойно интегриране по части получаваме израз, съдържащ първоначалния интеграл :

,

където
е някаква константа.

Решаване на полученото уравнение по отношение на , получаваме формула за изчисляване на първоначалния интеграл:

.

Този случай на прилагане на метода на интегриране по части се нарича " привеждане на интеграла към себе си».

Пример 9Изчислете интеграл
.

От дясната страна е оригиналният интеграл . Премествайки го вляво, получаваме:

.

Пример 10Изчислете интеграл
.

4.5. Интегриране на най-простите правилни рационални дроби

Определение.Най-простите правилни дроби аз , II и III видове се наричат ​​следните дроби:

аз. ;

II.
; (
е положително цяло число);

III.
; (корените на знаменателя са сложни, тоест:
.

Разгледайте интеграли на прости дроби.

аз.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Преобразуваме числителя на дробта по такъв начин, че да отделим члена в числителя
равно на производната на знаменателя.

Разгледайте първия от двата получени интеграла и направете промяна в него:

Във втория интеграл допълваме знаменателя до пълен квадрат:

И накрая, интегралът на дроб от трети тип е равен на:

=
+
. (22)

Така интегралът на най-простите фракции от тип I се изразява чрез логаритми, тип II - чрез рационални функции, тип III - чрез логаритми и арктангенси.

4.6 Интегриране на дробно-рационални функции

Един от класовете функции, които имат интеграл, изразен чрез елементарни функции, е класът на алгебрични рационални функции, тоест функции, произтичащи от краен брой алгебрични операции върху аргумент.

Всяка рационална функция
може да се представи като отношение на два полинома
и
:

. (23)

Ще приемем, че полиномите нямат общи корени.

Извиква се дроб от формата (23). правилно, ако степента на числителя е по-малка от степента на знаменателя, т.е. м< н. В противен случай - грешно.

Ако дробта е неправилна, тогава, разделяйки числителя на знаменателя (съгласно правилото за разделяне на полиноми), ние представяме дробта като сума от полином и правилна дроб:

, (24)

където
- полином, е правилна дроб и степента на полинома
- без по-висока степен ( н-1).

Пример.

Тъй като интегрирането на полином се свежда до сумата от таблични интеграли на степенна функция, основната трудност при интегрирането на рационални дроби е интегрирането на правилните рационални дроби.

Алгебрата доказва, че всяка правилна дроб се разлага на сумата от горното протозоидроби, чиято форма се определя от корените на знаменателя
.

Нека разгледаме три специални случая. Тук и по-долу ще приемем, че коефициентът на най-високата степен на знаменателя
равно на едно =1, т.енамален полином .

Случай 1Корените на знаменателя, тоест корените
уравнения
=0 са реални и различни. След това представяме знаменателя като произведение на линейни множители:

и правилната дроб се разлага на най-простите дроби от I-тип:

, (26)

където
- някои постоянни числа, които се намират по метода на неопределените коефициенти.

За целта са ви необходими:

1. Редуцирайте дясната страна на разширението (26) до общ знаменател.

2. Приравнете коефициентите при еднакви степени на еднаквите полиноми в числителя на лявата и дясната част. Получаваме система от линейни уравнения за определяне
.

3. Решете получената система и намерете несигурните коефициенти
.

Тогава интегралът на дробно-рационалната функция (26) ще бъде равен на сумата от интегралите на най-простите дроби от I-тип, изчислени по формула (20).

Пример.Изчислете интеграл
.

Решение.Нека разложим знаменателя на множители, използвайки теоремата на Виета:

След това подинтегралната функция се разширява в сбора от прости дроби:

.

х:

Нека напишем система от три уравнения за намиране
хот лявата и дясната страна:

.

Нека посочим по-прост метод за намиране на неопределени коефициенти, т.нар метод на частична стойност.

Приемайки равенство (27)
получаваме
, където
. Ако приемем
получаваме
. И накрая, ако приемем
получаваме
.

.

Случай 2знаменател корен
са реални, но сред тях има множество (равни) корени. След това представяме знаменателя като произведение на линейни множители, включени в произведението до степента, в която кратността на съответния корен е:

където
.

Правилна дроб сумата от дроби от I-ти и II-ти тип ще бъде разширена. нека например - корен от знаменателя на кратността к, и всички останали ( н- к) на корените са различни.

Тогава разлагането ще изглежда така:

По същия начин, ако има други множество корени. За некратни корени разширението (28) включва най-простите дроби от първия тип.

Пример.Изчислете интеграл
.

Решение.Нека представим дроб като сбор от прости дроби от първи и втори род с неопределени коефициенти:

.

Привеждаме дясната страна към общ знаменател и приравняваме полиномите в числителите на лявата и дясната страна:

От дясната страна даваме подобни с еднакви степени х:

Нека запишем системата от четири уравнения за намиране
и . За да направим това, приравняваме коефициентите при еднакви степени хот лявата и дясната страна

.

Случай 3Сред корените на знаменателя
имат сложни еднократни корени. Тоест, разширяването на знаменателя включва фактори от втора степен
, които не могат да бъдат разложени на реални линейни множители и не се повтарят.

Тогава, при разширяването на дробта, всеки такъв фактор ще съответства на най-простата фракция от тип III. Линейните коефициенти съответстват на най-простите дроби от I-ти и II-ти тип.

Пример.Изчислете интеграл
.

Решение.
.

.

.