Методи Крамери Гауседно от най-популярните решения СЛАУ. Освен това в някои случаи е препоръчително да се използват специфични методи. Сесията е близо и сега е моментът да ги повторите или овладеете от нулата. Днес се занимаваме с решението по метода на Крамер. В крайна сметка решението на системата линейни уравненияМетодът на Крамър е много полезно умение.

Системи линейни алгебрични уравнения

Системата от линейни алгебрични уравнения е система от уравнения от вида:

Задаване на стойност х , при което уравненията на системата се превръщат в тъждества, се нарича решение на системата, а и b са реални коефициенти. Една проста система, състояща се от две уравнения с две неизвестни, може да бъде решена мислено или чрез изразяване на една променлива по отношение на другата. Но може да има много повече от две променливи (x) в SLAE и простите училищни манипулации са незаменими тук. Какво да правя? Например, решете SLAE по метода на Cramer!

Така че нека бъде системата н уравнения с н неизвестен.

Такава система може да бъде пренаписана в матрична форма

Тук А е основната матрица на системата, х и б , съответно колонни матрици на неизвестни променливи и свободни членове.

Решение на SLAE по метода на Крамер

Ако детерминантата на основната матрица не е равна на нула (матрицата е неособена), системата може да бъде решена с помощта на метода на Крамер.

Според метода на Крамер решението се намира по формулите:

Тук делта е детерминантата на основната матрица и делта х n-та - детерминантата, получена от детерминантата на основната матрица чрез замяна на n-та колона с колона от свободни членове.

Това е целият смисъл на метода на Крамър. Заместване на стойностите, намерени от горните формули х в желаната система, ние сме убедени в правилността (или обратното) на нашето решение. За да ви е по-лесно да схванете мисълта, ето един пример. подробно решение SLAE по метода на Cramer:

Дори и да не успеете от първия път, не се обезсърчавайте! С малко практика ще започнете да пукате БАВНО като ядки. Освен това сега абсолютно не е необходимо да се ровите в тетрадка, да решавате тромави изчисления и да пишете на пръта. Лесно е да се реши SLAE по метода на Cramer онлайн, просто като се заменят коефициентите в готовата форма. опитай онлайн калкулаторрешения по метода на Cramer могат да бъдат например на този сайт.

И ако системата се окаже упорита и не се отказва, винаги можете да помолите нашите автори за помощ, например да закупите синопсис. Ако има поне 100 неизвестни в системата, ние със сигурност ще го разрешим правилно и точно навреме!

Нека е дадена система от три линейни уравнения:

За решаване на система от линейни уравнения по метода на Крамер, основният детерминант на системата  се компилира от коефициентите на неизвестните. За система (1) основната детерминанта има формата
.

След това детерминантите се компилират по отношение на променливите
,,. За целта в главната детерминанта вместо колона с коефициенти за съответната променлива се записва колона със свободни членове, т.е.

,
,
.

Тогава решението на системата се намира по формулите на Крамер

,
,

Трябва да се отбележи, че системата има уникално решение
ако основната детерминанта
. Ако
и
= 0,= 0,= 0, тогава системата има безкраен брой решения, които не могат да бъдат намерени по формулите на Крамер. Ако
и
0, или 0, или 0, тогава системата от уравнения е непоследователна, тоест няма решения.

Пример

Решение:

1) Съставете и изчислете основната детерминанта на системата, състояща се от коефициенти за неизвестни.

.

Следователно системата има уникално решение.

2) Съставете и изчислете спомагателни детерминанти, като замените съответната колона в  с колона от свободни членове.

Използвайки формулите на Cramer, намираме неизвестните:

,
,
.

Ще проверим дали решението е правилно

Тези.
.

, т.е.

, т.е.

Отговор: .

Пример

Решете системата от уравнения по метода на Крамер:

Решение:

1) Съставете и изчислете главния детерминант на системата от коефициентите на неизвестните:

.

Следователно системата няма уникално решение.

2) Съставете и изчислете спомагателни детерминанти, като замените съответната колона в  с колона от свободни членове:

,
, следователно системата е непоследователна.

Отговор: системата е непоследователна.

Метод на Гаус

Методът на Гаус се състои от два етапа. Първият етап се състои в последователно елиминиране на променливи от уравненията на системата, като се използват действия, които не нарушават еквивалентността на системата. Например, разгледайте първите две уравнения на система (1).

(1)

Необходимо е чрез добавяне на тези две уравнения да се получи уравнение, в което няма променлива . Умножете първото уравнение по , а вторият на (
) и добавете получените уравнения

Заменяме коефициента преди г, zи безплатен член на ,и съответно получаваме нова двойка уравнения

Обърнете внимание, че във второто уравнение няма променлива х.

След като извършихме подобни действия върху първото и третото уравнение на системата (1), а след това върху второто и третото уравнения, получени в резултат на добавяне, преобразуваме системата (1) във формата

(2)

Този резултат е възможен, ако системата има уникално решение. В този случай решението се намира с помощта на обратния метод на Гаус (втори етап). От последното уравнение на системата (2) намираме неизвестната променлива z, тогава от второто уравнение намираме г, а хсъответно от първите, замествайки в тях вече намерени неизвестни.

Понякога, в резултат на добавяне на две уравнения, общото уравнение може да приеме една от следните форми:

НО)
, където
. Това означава, че системата, която се решава, е непоследователна.

Б), т.е
. Такова уравнение се изключва от системата, в резултат на това броят на уравненията в системата става по-малък от броя на променливите и системата има безкраен брой решения, намирането на които ще бъде показано чрез пример.

Пример

Решение:

Разгледайте следния метод за прилагане на първия етап от решението по метода на Гаус. Нека запишем три реда от коефициенти за неизвестните и свободните членове, съответстващи на трите уравнения на системата. Разделяме свободните членове от коефициентите с вертикална линия и начертаваме хоризонтална линия под третия ред.

Ограждаме първия ред, който съответства на първото уравнение на системата - коефициентите в това уравнение ще останат непроменени. Вместо втория ред (уравнение), трябва да получите ред (уравнение), където коефициентът при е равно на нула. За целта умножаваме всички числа от първия ред по (-2) и ги добавяме към съответните числа от втория ред. Записваме получените суми под хоризонталната линия (четвърти ред). За да получите вместо третия ред (уравнение) също ред (уравнение), в който коефициентът при е равно на нула, умножаваме всички числа в първия ред по (-5) и ги добавяме към съответните числа в третия ред. Записваме получените суми в петия ред и начертаваме нова хоризонтална линия под него. Четвъртият ред (или петият - по избор) ще бъде ограден. Избира се редът с по-малки коефициенти. В този ред коефициентите ще останат непроменени. Вместо петия ред, трябва да получите ред, където два коефициента вече са равни на нула. Умножете четвъртия ред по 3 и го добавете към петия. Записваме сумата под хоризонталната линия (шести ред) и я ограждаме.

Всички описани действия са показани в таблица 1 с помощта на аритметични знаци и стрелки. Записваме отново редовете, оградени в таблицата, под формата на уравнения (3) и, използвайки обратното движение на метода на Гаус, намираме стойностите на променливите х, ги z.

маса 1

Възстановяваме системата от уравнения, получена в резултат на нашите трансформации:

(3)

Метод на обратен Гаус

От третото уравнение
намирам
.

Във второто уравнение на системата
заменете намерената стойност
, получаваме
или
.

От първото уравнение
, замествайки вече намерените стойности на променливите, получаваме
, това е
.

За да се уверите, че решението е правилно, трябва да се направи проверка и в трите уравнения на системата.

Преглед:

, получаваме

Вземете

Вземете

Това означава, че системата е правилна.

Отговор:
,
,
.

Пример

Решете системата по метода на Гаус:

Решение:

Редът на действията в този пример е подобен на реда в предишния пример, а конкретните действия са посочени в таблица 2.

В резултат на трансформациите получаваме уравнение от вида , следователно дадената система е непоследователна.

Отговор: системата е непоследователна.

Пример

Решете системата по метода на Гаус:

Решение:

Таблица 3

В резултат на трансформациите получаваме уравнение от вида , което е изключено от разглеждане. Така имаме система от уравнения, в която броят на неизвестните е 3, а броят на уравненията е 2.

Системата има безкраен брой решения. За да намерим тези решения, въвеждаме една свободна променлива. (Броят на свободните променливи винаги е равен на разликата между броя на неизвестните и броя на уравненията, останали след трансформацията на системата. В нашия случай 3 - 2 = 1).

Позволявам
е свободна променлива.

Тогава от второто уравнение намираме
, където
и след това намерете хот първото уравнение
или
.

По този начин,
;
;
.

Нека направим проверка в уравненията, които не бяха включени в намирането и , тоест във второто и третото уравнение на оригиналната система.

Преглед:

или , получаваме
.

или , получаваме
.

Системата е правилна. Даване на произволна константа различни значения, ще получим различни стойности х, г и z.

Отговор:
;
;
.

2. Решаване на системи от уравнения по матричния метод (с помощта на обратната матрица).
3. Метод на Гаус за решаване на системи от уравнения.

Методът на Крамер.

Методът на Крамер се използва за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения ( СЛАУ).

Формули на примера на система от две уравнения с две променливи.
дадени:Решете системата по метода на Крамер

Относно променливите хи при.
Решение:
Намерете детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на системата Изчисляване на детерминантите. :

Нека приложим формулите на Cramer и да намерим стойностите на променливите:
и .
Пример 1:
Решете системата от уравнения:

по отношение на променливите хи при.
Решение:


Нека заменим първата колона в тази детерминанта с колона с коефициенти от дясната страна на системата и да намерим нейната стойност:

Нека направим подобно действие, като заменим втората колона в първата детерминанта:

Приложимо Формули на Крамери намерете стойностите на променливите:
и .
Отговор:
коментар:Този метод може да се използва за решаване на системи с по-високи измерения.

коментар:Ако се окаже, че , и е невъзможно да се раздели на нула, тогава те казват, че системата няма уникално решение. В този случай системата има или безкрайно много решения, или изобщо няма решения.

Пример 2(безкраен брой решения):

Решете системата от уравнения:

по отношение на променливите хи при.
Решение:
Намерете детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на системата:

Решаване на системи чрез метода на заместване.

Първото от уравненията на системата е равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите (защото 4 винаги е равно на 4). Така че остава само едно уравнение. Това е уравнение на връзка между променливи.
Получихме, че решението на системата е всяка двойка стойности на променливи, свързани с равенство.
Общото решение е написано така:
Конкретни решения могат да бъдат определени чрез избиране на произволна стойност на y и изчисляване на x от това уравнение на връзката.

и т.н.
Има безкрайно много такива решения.
Отговор: общо решение
Частни решения:

Пример 3(няма решения, системата е непоследователна):

Решете системата от уравнения:

Решение:
Намерете детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на системата:

Не можете да използвате формулите на Креймър. Нека решим тази система чрез метода на заместване

Второто уравнение на системата е равенство, което не е валидно за никакви стойности на променливите (разбира се, тъй като -15 не е равно на 2). Ако едно от уравненията на системата не е вярно за никакви стойности на променливите, тогава цялата система няма решения.
Отговор:няма решения

В първата част разгледахме някои теоретичен материал, методът на заместване и методът на добавяне член по член на уравнения на системата. На всички, които са попаднали на сайта през тази страница, препоръчвам да прочетат първата част. Може би някои посетители ще намерят материала за твърде прост, но в хода на решаването на системи от линейни уравнения направих редица много важни забележки и заключения относно решаването на математическите задачи като цяло.

А сега ще анализираме правилото на Крамър, както и решението на система от линейни уравнения с помощта на обратната матрица (матричен метод). Всички материали са представени просто, подробно и ясно, почти всички читатели ще могат да се научат как да решават системи, използвайки горните методи.

Първо разглеждаме подробно правилото на Крамър за система от две линейни уравнения с две неизвестни. За какво? „В края на краищата най-простата система може да бъде решена по училищния метод, чрез добавяне на член по термин!

Факт е, че дори понякога, но има такава задача - да се реши система от две линейни уравнения с две неизвестни, използвайки формулите на Крамер. Второ, един по-прост пример ще ви помогне да разберете как да използвате правилото на Крамър за по-сложен случай - система от три уравнения с три неизвестни.

Освен това има системи от линейни уравнения с две променливи, които е препоръчително да се решават точно по правилото на Крамър!

Разгледайте системата от уравнения

На първата стъпка изчисляваме детерминантата, тя се нарича основният детерминант на системата.

Метод на Гаус.

Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още две детерминанти:
и

На практика горните квалификатори могат да се означават и с латинската буква.

Корените на уравнението се намират по формулите:
,

Пример 7

Решете система от линейни уравнения

Решение: Виждаме, че коефициентите на уравнението са доста големи, от дясната страна има десетични дроби със запетая. Запетаята е доста рядък гост в практически задачив математиката взех тази система от иконометричен проблем.

Как да се реши такава система? Можете да опитате да изразите една променлива чрез друга, но в този случай със сигурност ще получите ужасни фантастични дроби, с които е изключително неудобно да се работи, а дизайнът на решението ще изглежда просто ужасно. Можете да умножите второто уравнение по 6 и да извадите член по член, но същите дроби ще се появят тук.

Какво да правя? В такива случаи на помощ идват формулите на Креймър.

;

;

Отговор: ,

И двата корена имат безкрайни опашки и се намират приблизително, което е доста приемливо (и дори обичайно) за иконометрични проблеми.

Тук не са необходими коментари, тъй като задачата се решава по готови формули, но има едно предупреждение. Когато използвате този метод, задължителноФрагментът на заданието е следният фрагмент: "така че системата има уникално решение". В противен случай рецензентът може да ви накаже за неуважение към теоремата на Крамър.

Няма да е излишно да проверите, което е удобно да се извърши на калкулатор: заместваме приблизителните стойности в лявата страна на всяко уравнение на системата. В резултат на това с малка грешка трябва да се получат числа, които са от дясната страна.

Пример 8

Изразете отговора си с обикновени неправилни дроби. Направете проверка.

Това е пример за самостоятелно решение (пример за фин дизайн и отговор в края на урока).

Обръщаме се към разглеждането на правилото на Крамър за система от три уравнения с три неизвестни:

Намираме основната детерминанта на системата:

Ако , тогава системата има безкрайно много решения или е непоследователна (няма решения). В този случай правилото на Крамер няма да помогне, трябва да използвате метода на Гаус.

Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още три детерминанти:
, ,

И накрая, отговорът се изчислява по формулите:

Както можете да видите, случаят „три по три“ по същество не се различава от случая „два по два“, колоната от свободни термини последователно „ходи“ отляво надясно по колоните на основната детерминанта.

Пример 9

Решете системата с помощта на формулите на Крамер.

Решение: Нека решим системата с помощта на формулите на Крамър.

, така че системата има уникално решение.

Отговор: .

Всъщност и тук няма какво специално да коментираме, предвид факта, че решението се взема по готови формули. Но има няколко бележки.

Случва се в резултат на изчисления да се получат „лоши“ нередуцируеми дроби, например: .
Препоръчвам следния алгоритъм за "лечение". Ако няма компютър под ръка, правим следното:

1) Възможно е да има грешка в изчисленията. Веднага щом срещнете „лош“ изстрел, трябва незабавно да проверите дали дали условието е пренаписано правилно. Ако условието е пренаписано без грешки, тогава трябва да преизчислите детерминантите, като използвате разширението в друг ред (колона).

2) Ако в резултат на проверката не са открити грешки, тогава най-вероятно е направена печатна грешка в условието на заданието. В този случай спокойно и ВНИМАТЕЛНО решете задачата докрай, а след това не забравяйте да проверитеи го съставя на чисто копие след решението. Разбира се, проверката на дробен отговор е неприятна задача, но ще бъде обезоръжаващ аргумент за учителя, който наистина обича да поставя минус за всяко лошо нещо като. Как да се справяте с дроби е подробно описано в отговора за пример 8.

Ако имате компютър под ръка, използвайте автоматизирана програма, за да го проверите, която можете да изтеглите безплатно в самото начало на урока. Между другото, най-изгодно е да използвате програмата веднага (дори преди да започнете решението), веднага ще видите междинната стъпка, на която сте направили грешка! Същият калкулатор автоматично изчислява решението на системата, като използва матричния метод.

Втора забележка. От време на време има системи, в уравненията на които липсват някои променливи, например:

Тук в първото уравнение няма променлива, във второто няма променлива. В такива случаи е много важно правилно и ВНИМАТЕЛНО да запишете основната детерминанта:
– на мястото на липсващите променливи се поставят нули.
Между другото, рационално е да се отварят детерминанти с нули в реда (колоната), в който се намира нулата, тъй като има значително по-малко изчисления.

Пример 10

Решете системата с помощта на формулите на Крамер.

Това е пример за самостоятелно решаване (завършване на пример и отговор в края на урока).

За случай на система от 4 уравнения с 4 неизвестни, формулите на Крамър са написани съгласно подобни принципи. Можете да видите пример на живо в урока за детерминантни свойства. Намаляване на реда на детерминантата - пет детерминанта от 4-ти ред са доста разрешими. Въпреки че задачата вече много напомня на професорска обувка върху гърдите на късметлия студент.

Решение на системата с помощта на обратната матрица

Методът на обратната матрица е по същество специален случай матрично уравнение(Виж Пример № 3 от посочения урок).

За да изучавате този раздел, трябва да можете да разширите детерминантите, да намерите обратната матрица и да извършите матрично умножение. С напредването на обяснението ще бъдат дадени подходящи връзки.

Пример 11

Решете системата с матричния метод

Решение: Записваме системата в матрична форма:
, където

Моля, погледнете системата от уравнения и матриците. По какъв принцип записваме елементи в матрици, мисля, че всеки разбира. Единственият коментар: ако някои променливи липсват в уравненията, тогава трябва да се поставят нули на съответните места в матрицата.

Намираме обратната матрица по формулата:
, където е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата .

Първо, нека се справим с детерминантата:

Тук детерминантата се разширява от първия ред.

внимание! Ако , тогава обратната матрица не съществува и е невъзможно системата да се реши по матричния метод. В този случай системата се решава чрез елиминиране на неизвестни (метод на Гаус).

Сега трябва да изчислите 9 минори и да ги запишете в матрицата на минори

Справка:Полезно е да знаете значението на двойните индекси в линейната алгебра. Първата цифра е номерът на реда, в който се намира елементът. Втората цифра е номерът на колоната, в която се намира елементът:

Тоест, двойният долен индекс показва, че елементът е в първия ред, трета колона, докато например елементът е в 3-ти ред, 2-ра колона

Нека системата от линейни уравнения съдържа толкова уравнения, колкото е броят на независимите променливи, т.е. изглежда като

Такива системи от линейни уравнения се наричат ​​квадратни. Детерминантата, съставена от коефициентите на независимите променливи на системата (1.5), се нарича основна детерминанта на системата. Ще го обозначим с гръцката буква D. Така,

Ако в основната детерминанта произволна ( й th) колона, заменете я с колоната на свободните членове на системата (1.5), тогава можем да получим повече нспомагателни детерминанти:

(й = 1, 2, …, н). (1.7)

Правилото на Крамъррешаването на квадратни системи от линейни уравнения е както следва. Ако главната детерминанта D на система (1.5) е различна от нула, тогава системата има единствено решение, което може да се намери по формулите:

Пример 1.5.Решете системата от уравнения по метода на Крамер

Нека изчислим основната детерминанта на системата:

От D¹0 системата има уникално решение, което може да се намери с помощта на формули (1.8):

По този начин,

Матрични действия

1. Умножение на матрица с число.Операцията за умножаване на матрица по число се дефинира по следния начин.

2. За да умножите една матрица по число, трябва да умножите всички нейни елементи по това число. Това е

Пример 1.6. .

Събиране на матрица.

Тази операция се въвежда само за матрици от същия ред.

За да се съберат две матрици, е необходимо към елементите на едната матрица да се добавят съответните елементи от другата матрица:

(1.10)
Операцията на събиране на матрици има свойствата на асоциативност и комутативност.

Пример 1.7. .

Матрично умножение.

Ако броят на колоните на матрицата НОсъвпада с броя на редовете на матрицата AT, тогава за такива матрици се въвежда операцията на умножение:

Така при умножаване на матрицата НОразмери м´ нда се матрица ATразмери н´ кполучаваме матрица ОТразмери м´ к. В този случай елементите на матрицата ОТсе изчисляват по следните формули:

Задача 1.8.Намерете, ако е възможно, произведението на матриците ABи BA:

Решение. 1) Да си намеря работа AB, имате нужда от матрични редове Аумножете по матрични колони б:

2) Произведения на изкуството BAне съществува, тъй като броят на колоните на матрицата бне съвпада с броя на редовете на матрицата А.

Обратна матрица. Решаване на системи от линейни уравнения по матричен начин

Матрица а- 1 се нарича обратна на квадратна матрица НОако е изпълнено равенството:

къде през азобозначава матрицата на идентичност от същия ред като матрицата НО:

За да има обратна квадратна матрица, е необходимо и достатъчно нейният детерминант да е различен от нула. Обратната матрица се намира по формулата:

където A ij- алгебрични добавки към елементите aijматрици НО(обърнете внимание, че алгебричните добавки към редовете на матрицата НОса подредени в обратната матрица под формата на съответни колони).

Пример 1.9.Намерете обратна матрица а- 1 към матрицата

Намираме обратната матрица по формула (1.13), която за случая н= 3 изглежда така:

Да намерим дет А = | А| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Тъй като детерминантата на оригиналната матрица е различна от нула, тогава обратната матрица съществува.

1) Намерете алгебрични добавки A ij:

За удобство при намиране на обратната матрица, ние поставихме алгебричните добавки към редовете на оригиналната матрица в съответните колони.

От получените алгебрични добавки съставяме нова матрица и я разделяме на детерминантата det А. Така ще получим обратната матрица:

Квадратни системи от линейни уравнения с ненулева главна детерминанта могат да бъдат решени с помощта на обратна матрица. За това системата (1.5) се записва в матрична форма:

Умножение на двете страни на равенството (1.14) отляво по а- 1, получаваме решението на системата:

По този начин, за да намерите решение на квадратна система, трябва да намерите обратната матрица на основната матрица на системата и да я умножите вдясно по колонната матрица на свободните членове.

Задача 1.10.Решете система от линейни уравнения

с помощта на обратна матрица.

Решение.Записваме системата в матрична форма: ,

където е основната матрица на системата, е колоната с неизвестни и е колоната със свободни членове. Тъй като основната детерминанта на системата е , тогава основната матрица на системата НОима обратна матрица НО-едно. За намиране на обратната матрица НО-1 , изчислете алгебричните допълнения към всички елементи на матрицата НО:

От получените числа съставяме матрица (освен това алгебрични добавки към редовете на матрицата НОнапишете в съответните колони) и го разделете на детерминанта D. Така намерихме обратната матрица:

Решението на системата се намира по формулата (1.15):

По този начин,

Решаване на системи от линейни уравнения чрез обикновени изключения на Йордан

Нека е дадена произволна (не непременно квадратна) система от линейни уравнения:

Изисква се да се намери решение на системата, т.е. такъв набор от променливи, който удовлетворява всички равенства на системата (1.16). AT общ случайсистема (1.16) може да има не само едно решение, но и безкраен брой решения. Може също да няма никакви решения.

При решаването на такива задачи се използва методът за елиминиране на неизвестни, добре познат от училищния курс, който също се нарича метод на обикновените елиминации на Йордан. същност този методсе крие във факта, че в едно от уравненията на системата (1.16) една от променливите е изразена чрез други променливи. След това тази променлива се замества в други уравнения на системата. Резултатът е система, която съдържа едно уравнение и една променлива по-малко от оригиналната система. Запомня се уравнението, от което е изразена променливата.

Този процес се повтаря, докато в системата остане едно последно уравнение. В процеса на елиминиране на неизвестни, някои уравнения могат да се превърнат в истински идентичности, например. Такива уравнения са изключени от системата, тъй като те са валидни за всякакви стойности на променливите и следователно не влияят на решението на системата. Ако в процеса на елиминиране на неизвестни поне едно уравнение се превърне в равенство, което не може да бъде изпълнено за никакви стойности на променливите (например ), тогава заключаваме, че системата няма решение.

Ако по време на решаването на непоследователни уравнения не са възникнали, тогава една от останалите променливи в него се намира от последното уравнение. Ако в последното уравнение остане само една променлива, тя се изразява като число. Ако в последното уравнение останат други променливи, тогава те се считат за параметри и променливата, изразена чрез тях, ще бъде функция на тези параметри. Тогава се прави т. нар. „обратен ход“. Намерената променлива се замества в последното запаметено уравнение и се намира втората променлива. След това двете намерени променливи се заместват в предпоследното запаметено уравнение и се намира третата променлива и така нататък до първото запаметено уравнение.

В резултат на това получаваме решението на системата. Това решение ще бъде единственото, ако намерените променливи са числа. Ако първата намерена променлива и след това всички останали зависят от параметрите, тогава системата ще има безкраен брой решения (всеки набор от параметри съответства на ново решение). Формулите, които позволяват да се намери решение на системата в зависимост от определен набор от параметри, се наричат ​​общо решение на системата.

Пример 1.11.

х

След като запомним първото уравнение и въведем подобни членове във второто и третото уравнение, стигаме до системата:

Експрес гот второто уравнение и го заместете в първото уравнение:

Спомнете си второто уравнение и от първото намираме z:

Правейки обратното движение, последователно намираме ги z. За да направим това, първо заместваме в последното запаметено уравнение , от което намираме г:

След това заместваме и в първото запаметено уравнение , от което намираме х:

Задача 1.12.Решете система от линейни уравнения, като елиминирате неизвестните:

Решение.Нека изразим променливата от първото уравнение хи го заместете във второто и третото уравнения:

В тази система първото и второто уравнения си противоречат. Наистина, изразяване гот първото уравнение и замествайки го във второто уравнение, получаваме, че 14 = 17. Това равенство не е изпълнено за никакви стойности на променливите х, г, и z. Следователно системата (1.17) е непоследователна, т.е. няма решение.

Читателите се приканват независимо да проверят дали основната детерминанта на оригиналната система (1.17) е равна на нула.

Да разгледаме система, която се различава от системата (1.17) само с един свободен член.

Задача 1.13.Решете система от линейни уравнения, като елиминирате неизвестните:

Решение.Както преди, изразяваме променливата от първото уравнение хи го заместете във второто и третото уравнения:

Запомнете първото уравнение и дайте подобни членове във второто и третото уравнение. Стигаме до системата:

изразяване гот първото уравнение и замествайки го във второто уравнение, получаваме идентичността 14 = 14, която не влияе на решението на системата и следователно може да бъде изключена от системата.

В последното запомнено равенство, променливата zще се счита за параметър. Ние вярваме . Тогава

Заместител ги zв първото запомнено равенство и намерете х:

Така системата (1.18) има безкраен набор от решения и всяко решение може да бъде намерено от формули (1.19), като се избере произволна стойност на параметъра T:

(1.19)
По този начин решенията на системата, например, са следните набори от променливи (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т.н. Формулите (1.19) изразяват общото (всяко) решение на системата (1.18 ).

В случай, че първоначалната система (1.16) има достатъчно голям брой уравнения и неизвестни, посоченият метод на обикновените йорданови елиминации изглежда тромав. Обаче не е така. Достатъчно е да се изведе алгоритъм за преизчисляване на коефициентите на системата на една стъпка в общ вид и формализиране на решението на проблема под формата на специални таблици на Йордан.

Нека е дадена система от линейни форми (уравнения):

, (1.20)
където xj- независими (желани) променливи, aij- постоянни коефициенти
(аз = 1, 2,…, м; й = 1, 2,…, н). Десните части на системата y i (аз = 1, 2,…, м) могат да бъдат както променливи (зависими), така и константи. Изисква се да се намерят решения на тази система чрез елиминиране на неизвестни.

Нека разгледаме следната операция, наричана по-нататък "една стъпка от обикновени изключения на Jordan". От произволен ( r th) равенство, ние изразяваме произволна променлива ( x s) и заменете във всички други равенства. Разбира се, това е възможно само ако a rs№ 0. Коеф a rsсе нарича разрешаващ (понякога ръководен или основен) елемент.

Ще получим следната система:

от сто равенство на системата (1.21), впоследствие ще намерим променливата x s(след като бъдат намерени други променливи). СРедът се запомня и впоследствие се изключва от системата. Останалата система ще съдържа едно уравнение и една по-малко независима променлива от оригиналната система.

Нека изчислим коефициентите на получената система (1.21) по отношение на коефициентите на оригиналната система (1.20). Да започнем с rто уравнение, което след изразяване на променливата x sпрез останалите променливи ще изглежда така:

Така новите коеф rто уравнение се изчисляват по следните формули:

(1.23)
Нека сега изчислим новите коефициенти b ij(аз¹ r) на произволно уравнение. За да направим това, заместваме променливата, изразена в (1.22) x sв азтото уравнение на системата (1.20):

След като приведем подобни условия, получаваме:

(1.24)
От равенството (1.24) получаваме формули, по които се изчисляват останалите коефициенти на системата (1.21) (с изключение на rто уравнение):

(1.25)
Преобразуването на системи от линейни уравнения по метода на обикновените жорданови елиминации е представено под формата на таблици (матрици). Тези таблици се наричат ​​"Йордански таблици".

Така проблемът (1.20) е свързан със следната таблица на Йордан:

Таблица 1.1

	х 1	х 2	…	xj	…	x s	…	x n
г 1 =	а 11	а 12		а 1й		а 1с		а 1н
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		aij		а е		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		rn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		една мс		amn

Таблица 1.1 на Jordan съдържа лявата заглавна колона, в която са записани десните части на системата (1.20), и горният заглавен ред, в който са записани независимите променливи.

Останалите елементи на таблицата образуват основната матрица на коефициентите на системата (1.20). Ако умножим матрицата НОкъм матрицата, състояща се от елементите на горния заглавен ред, тогава получаваме матрицата, състояща се от елементите на лявата заглавна колона. Тоест по същество Йордановата таблица е матрична форма на запис на система от линейни уравнения: . В този случай следната таблица на Йордания съответства на система (1.21):

Таблица 1.2

	х 1	х 2	…	xj	…	y r	…	x n
г 1 =	b 11	b 12		b 1 й		b 1 с		b 1 н
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b е		б в
…………………………………………………………………..
x s =	бр 1	бр 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		б мс		bmn

Разрешителен елемент a rs ще подчертаем с удебелен шрифт. Спомнете си, че за да се приложи една стъпка от изключения на Jordan, разрешаващият елемент трябва да е различен от нула. Ред на таблица, съдържащ разрешаващ елемент, се нарича разрешаващ ред. Колоната, съдържаща елемента за активиране, се нарича колона за активиране. При преминаване от дадена таблица към следващата таблица, една променлива ( x s) от горния заглавен ред на таблицата се премества в лявата заглавна колона и, обратно, един от свободните членове на системата ( y r) се премества от лявата заглавна колона на таблицата в горния заглавен ред.

Нека опишем алгоритъма за преизчисляване на коефициентите при преминаване от таблицата на Йордан (1.1) към таблицата (1.2), който следва от формули (1.23) и (1.25).

1. Разрешаващият елемент се заменя с обратното число:

2. Останалите елементи на разрешителната линия са разделени от разрешителния елемент и променят знака на противоположния:

3. Останалите елементи на колоната за разрешаване са разделени на елемент за разрешаване:

4. Елементите, които не са включени в разрешаващия ред и разрешаващата колона, се преизчисляват по формулите:

Последната формула е лесна за запомняне, ако забележите, че елементите, които съставят фракцията, са в пресечната точка аз- о и r-ти редове и йта и с-ти колони (разрешаващ ред, разрешаваща колона и реда и колоната, в пресечната точка на които се намира елементът, който трябва да се преизчисли). По-точно, когато запомняте формулата, можете да използвате следната диаграма:

-21 -26 -13 -37

Изпълнение на първата стъпка от йорданските изключения, всеки елемент от таблица 1.3, разположен в колоните х 1 ,…, х 5 (всички посочени елементи не са равни на нула). Не трябва да избирате само активиращия елемент в последната колона, т.к трябва да се намерят независими променливи х 1 ,…, х 5. Избираме например коефициента 1 с променлива х 3 в третия ред на таблица 1.3 (активиращият елемент е показан с удебелен шрифт). При преминаване към таблица 1.4, променливата х 3 от горния заглавен ред се заменя с константата 0 от лявата заглавна колона (трети ред). В същото време променливата х 3 се изразява чрез останалите променливи.

низ х 3 (Таблица 1.4) може, след като си спомни предварително, да бъде изключен от Таблица 1.4. Таблица 1.4 също изключва третата колона с нула в горния ред на заглавието. Въпросът е, че независимо от коефициентите на тази колона b i 3 всички съответстващи му членове на всяко уравнение 0 b i 3 системи ще бъдат равни на нула. Следователно тези коефициенти не могат да бъдат изчислени. Елиминиране на една променлива х 3 и запомняйки едно от уравненията, стигаме до система, съответстваща на таблица 1.4 (със зачертана линия х 3). Избор в таблица 1.4 като разрешаващ елемент b 14 = -5, отидете на таблица 1.5. В таблица 1.5 запомняме първия ред и го изключваме от таблицата заедно с четвъртата колона (с нула в горната част).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

От последната таблица 1.7 намираме: х 1 = - 3 + 2х 5 .

Последователно замествайки вече намерените променливи в запаметените редове, намираме останалите променливи:

Така системата има безкраен брой решения. променлива х 5 можете да задавате произволни стойности. Тази променлива действа като параметър х 5 = t. Доказахме съвместимостта на системата и намерихме нейното общо решение:

х 1 = - 3 + 2T

х 2 = - 1 - 3T

х 3 = - 2 + 4T . (1.27)
х 4 = 4 + 5T

х 5 = T

Даващ параметър Tразлични стойности, получаваме безкраен брой решения на оригиналната система. Така, например, решението на системата е следният набор от променливи (- 3; - 1; - 2; 4; 0).