ВИДОВЕ УРАВНЕНИЯ

Алгебрични уравнения.Уравнения на формата f n= 0, където f n- полином на една или повече променливи се наричат ​​алгебрични уравнения. Полиномът е израз на формата

f n = а 0 x i y j ... v k + a 1 хл y m ... v n +¼ + a s x p y q ... v r,

където х, г, ..., vса променливи и аз, й, ..., rса експоненти (цели неотрицателни числа). Полином в една променлива се записва така:

f(х) = а 0 x n + а 1 x n – 1 + ... + a n – 1 х + a n

или, в конкретен случай, 3 х 4 – х 3 + 2х 2 + 4х– 1. Алгебрично уравнение с едно неизвестно е всяко уравнение от вида f(х) = 0. Ако а 0 ¹ 0, тогава нсе нарича степен на уравнението. Например, 2 х+ 3 = 0 – уравнение от първа степен; уравнения от първа степен се наричат ​​линейни, тъй като графиката на функцията y=ax+bизглежда като права линия. Уравненията от втора степен се наричат ​​квадратни, а уравненията от трета степен - кубични. Уравненията от по-високи степени имат подобни имена.

Трансцендентни уравнения.Уравнения, съдържащи трансцендентални функции, като логаритмични, експоненциални или тригонометрични функции, се наричат ​​трансцендентални. Следните уравнения са пример:

където lg е логаритъм при основа 10.

Диференциални уравнения.Така наречените уравнения, съдържащи една или повече функции и техните производни или диференциали. Диференциалните уравнения са доказали, че са изключително ценно средство за точно формулиране на законите на природата.

Интегрални уравнения.Уравнения, съдържащи неизвестна функция под знака на интеграла, напр. f (с) = ò К (s, t) f(T) дт, където f(с) и К(с,T) са дадени и f(T) трябва да се намери.

Диофантови уравнения.Диофантово уравнение е алгебрично уравнение с две или повече неизвестни с цели коефициенти, чието решение се търси в цели или рационални числа. Например уравнение 3 х – 5г= 1 има решение х = 7, г= 4; като цяло неговите решения са цели числа от формата х = 7 + 5н, г = 4 + 3н.

РЕШЕНИЕ НА АЛГЕБРИЧНИ УРАВНЕНИЯ

За всички типове уравнения, изброени по-горе, няма общи методи за решаване. И все пак в много случаи, особено за алгебрични уравненияот определен тип, има доста пълна теория за тяхното решение.

Линейни уравнения.Тези прости уравнения се решават чрез редуцирането им до еквивалентно уравнение, което директно показва стойността на неизвестното. Например уравнението х+ 2 = 7 може да се сведе до еквивалентното уравнение х= 5 чрез изваждане на числото 2 от дясната и лявата страна. Стъпките, включени в редуцирането на просто уравнение, като напр х+ 2 = 7, до еквивалента, се основават на използването на четири аксиоми.

1. Ако равните стойности се увеличат с едно и също число, тогава резултатите ще бъдат равни.

2. Ако едно и също число се извади от равни стойности, тогава резултатите ще бъдат равни.

3. Ако еднакви стойности се умножат по едно и също число, тогава резултатите ще бъдат равни.

4. Ако еднакви стойности се разделят на едно и също число, тогава резултатите ще бъдат равни.

Например, за да решите уравнение 2 х+ 5 = 15, използваме аксиома 2 и изваждаме числото 5 от дясната и лявата страна, което води до еквивалентното уравнение 2 х= 10. След това използваме аксиома 4 и разделяме двете страни на полученото уравнение на 2, в резултат на което първоначалното уравнение се редуцира до формата х= 5, което е желаното решение.

Квадратни уравнения.Решения на общото квадратно уравнение брадва 2 + bx + c= 0 може да се получи с помощта на формулата

Така има две решения, които в конкретен случай могат да съвпадат.

Други алгебрични уравнения.Явни формули, подобни на формулата за решаване на квадратно уравнение, могат да бъдат написани само за уравнения от трета и четвърта степен. Но дори тези формули са сложни и не винаги помагат за лесно намиране на корените. Що се отнася до уравненията от пета или по-висока степен, за тях, както Н. Абел доказа през 1824 г., е невъзможно да се посочи обща формула, която да изрази корените на уравнението чрез неговите коефициенти, използвайки радикали. В някои специални случаи уравненията от по-високи степени могат лесно да бъдат решени чрез факторизиране на лявата им страна, т.е. факторизиране.

Например уравнението х 3 + 1 = 0 може да бъде записано в факторизирана форма ( х + 1)(х 2 – х+ 1) = 0. Намираме решения, като зададем всеки от факторите равен на нула:

Така че корените са х= –1, , т.е. само 3 корена.

Ако уравнението не може да се факторизира, трябва да се използват приблизителни решения. Основните методи за намиране на приблизителни решения са разработени от Хорнер, Нютон и Грефе. Във всички случаи обаче има силно убеждение, че решението съществува: алгебричното уравнение нта степен има точно нкорени.

Системи линейни уравнения.Две линейни уравнения с две неизвестни могат да бъдат записани като

Решението на такава система се намира с помощта на детерминантите

Има смисъл, ако Ако д= 0, тогава са възможни два случая. (1) Поне една от детерминантите и е различна от нула. В този случай няма решение на уравненията; уравненията са непоследователни. Числен пример за такава ситуация е системата

(2) И двете детерминанти са равни на нула. В този случай второто уравнение е просто кратно на първото и има безкраен брой решения.

Обща теориясчита млинейни уравнения с нпроменливи:

Ако m = nи матрица ( aij) е неизродено, тогава решението е уникално и може да се намери по правилото на Крамър:

където А джи– алгебрично допълнение на елемент aijв матрица ( aij). В по-общ план съществуват следните теореми. Позволявам rе рангът на матрицата ( aij), се рангът на оградената матрица ( aij; b i), който се получава от aijдобавяне на колона с числа b i. Тогава: (1) ако r = s, тогава съществува n–rлинейно независими решения; (2) ако r< s , тогава уравненията са непоследователни и няма решения.

, ФГГУ,

, математически лицей

Алгебрични уравнения и методи за тяхното решаване

A.1 Полином и неговите корени

Помислете за набор от (n+1) реални числа, полином (полином) от степен нс горните коефициенти се нарича израз на формата:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image003_38.gif" width="257" height="25 src="> (2)

се нарича алгебрично уравнение на степен н.

Корените на уравнение (2) се наричат ​​още корени на полинома.

Ето някои факти за корените на полиномите.

Факт 1. Всеки полином от нечетна степен има поне един реален корен.

Коментирайте. Дори да знаем, че уравнението има корен, намирането на този корен може да бъде много трудно.

Пример 1Уравнението очевидно има корени 0 и p.

Пример 2Установяването на корените на уравнението, които със сигурност съществуват, е доста трудна задача.

Факт 2. Ако коефициентите на полинома са цели числа, тогава рационалните корени на това уравнение (ако има такива) имат формата, където числата k и m са естествени, а k е делителя на свободния член, m е делителя на главния коефициент.

Пример 3 https://pandia.ru/text/78/119/images/image010_16.gif" width="348" height="41 src="> (повтарящите се номера са съкратени).

Проверката показва, че числата 2 и са подходящи.

Задачата за разделяне на рационални корени е значително опростена, ако водещият коефициент в полинома е равен на единица. В този случай възможните рационални корени на уравнението могат да бъдат само цели числа, които разделят свободния член на полинома.

Пример 4Полиномът има следните цели числа: . Проверка на възможни корени (това може да се направи доста бързо с Схеми на Хорнер) се уверяваме, че единственият корен на уравнението е 2.

Факт 3. Ако числото е корен на полином, тогава този полином може да бъде представен като продукт метод на деление на "ъгъл", много подобен на този, който се прилага за обикновените числа.

Да вземем пример.

Пример 5Нека разделим на:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image021_6.gif" width="177" height="25"> Обърнете внимание, че първият фактор има отрицателен дискриминант, така че той (и оригиналният полином) е по-голям от корените няма.

Факт 4.Всеки полином с реални коефициенти може да бъде представен като:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image023_6.gif" width="16 height=24" height="24"> - множественост на корена, - квадратни триноми, които нямат реални корени (те се наричат ​​нередуцируеми).

Коментирайте.При решаване на уравнения и неравенства може да се сведе до нередуцируеми триноми.

P.2. Групирането като начин за намиране на корените на полином

За съжаление (и това е доказано), няма универсален алгоритъм, който позволява (като квадратен трином) да се намерят корените на всеки полином. Има специални формули за решаване на уравнения от трета и четвърта степен, но те са трудоемки и не се изучават в училищния курс. Поради това често се използват други методи, като коренно разделяне (обсъдено в първия параграф), методът на групиране и неговият частен случай - изборът на пълни квадрати.

Същността на метода на групиране е следната: членовете на полинома се разделят на групи (оттук и името), така че след редуциране на подобни, всяка група ще бъде разложена на фактори и един от факторите ще се съдържа във всеки група. Този общ множител е изваден от скоби и оригиналният полином се разлага на произведението на два полинома с по-ниска степен.

Помислете за пример.

Пример 6Факторизиране на полином чрез метод на групиране

https://pandia.ru/text/78/119/images/image027_3.gif" width="272" height="24 src=">

(https://pandia.ru/text/78/119/images/image029_3.gif" width="64" height="21">, ще включим първия член в първата група, втория термин в третата ).

https://pandia.ru/text/78/119/images/image031_4.gif" width="51" height="24"> намираме разлагането:

.

И двата квадратни тричлена имат отрицателни дискриминанти, така че по-нататъшното им разлагане е невъзможно.

Пример 7Факторизиране на полинома:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image034_3.gif" width="35" height="21"> трябва да облечете част, която е кратна на 14: например 70-1 , 84-15, 98-29 или 42 + 27. Първият вариант води до задънена улица. Помислете за втория вариант. Получаваме:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image036_2.gif" width="603" height="24">.

По този начин,

P.3. Примери за решаване на най-простите алгебрични уравнения

Полиномите са най-простите алгебрични уравнения. В този подраздел разглеждаме някои примери за решаване на такива уравнения.

Пример 8Намерете корените на уравнението

https://pandia.ru/text/78/119/images/image041_2.gif" width="89" height="19 src=">.

Да започнем с най-малкото число - три.

https://pandia.ru/text/78/119/images/image043_2.gif" width="40 height=23" height="23"> е един от корените на уравнението. За да намерим другите корени, ние разделете лявата страна на уравнението на:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image046_2.gif" width="107" height="21"> Използвайки, например, формулите на Vieta, получаваме два други корена: .

Отговор: https://pandia.ru/text/78/119/images/image049_2.gif" width="124" height="21 src=">.

Решение.Задачата може да се сведе до биквадратно уравнение, но ние ще се опитаме да използваме факторизация..gif" width="616" height="24 src=">.

Корените на първия фактор: https://pandia.ru/text/78/119/images/image052_2.gif" width="63" height="41 src=">.

След това разгледайте пример за уравнение, което се свежда до рационално. Характеристика на такива уравнения е задължителното изискване за проверка на намерените корени от областта на допустимите стойности. Например на Единния държавен изпит преди няколко години беше предложена „проста“ задача.

Пример 10реши уравнението

DIV_ADBLOCK37">

С. 4. Дробни алгебрични уравнения

Най-простият дробен алгебричен израз има формата:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image055_2.gif" width="40" height="23 src=">.gif" width="111" height="41 src=">.

Решение:Нека сведем дробите до общ знаменател:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image059_2.gif" width="207" height="41">.

И двата корена на числителя не са корени на знаменателя (проверете това, като директно заместите двата корена в знаменателя), така че те са решения на разглежданото уравнение.

Ако едно дробно-рационално уравнение съдържа много елементарни изрази, тогава след трансформации в числителя може да се образува доста тромав израз, намирането на корените на който ще бъде много трудно. Но в някои случаи е възможно да се намали сложно уравнение до по-просто, като се използва например промяна на променливи. Помислете за пример.

Пример 12.реши уравнението

https://pandia.ru/text/78/119/images/image061_0.gif" width="81" height="41"> са взаимно обратни (произведението им е равно на единица). Нека въведем следната замяна: , Оригиналното уравнение ще изглежда:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image064_0.gif" height="16">, получаваме квадратно уравнение:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image066_0.gif" width="93" height="23">. Нека извършим обратното заместване. Вземете и решете набор от две уравнения: 2. Индекс , адрес на живеене, имейл (ако има), телефон (домашен или мобилен)

3. Училищни данни (например: МБОУ № 1 с. Бикин)

4. Фамилия, I. O. учител по математика (например: учител по математика)

М 10.2.1.Решете уравнението, като разложите полинома на множители:

М 10.2.2.Решаване на дробно рационално уравнение

а) https://pandia.ru/text/78/119/images/image082_0.gif" width="209" height="21 src=">. ( Забележка: умножете първо първия множител с четвъртия и втория с третия. Етикетирайте първото парчег, тогава вторият продукт ще бъде представен като г+2. Решете полученото квадратно уравнение и направете обратното заместване.)

в) https://pandia.ru/text/78/119/images/image084_0.gif" width="165" height="41 src=">. ( Забележка: опитайте да добавите някакво число към първите два члена, така че сборът да се окаже реципрочен на този на трето място с коефициент -10. Вижте примери 12 и 13 по-долу..)

Алгебрични уравнения. Определение

Нека функциите f(x) и u(x) са дефинирани на някакъв набор A. И нека е необходимо да се намери наборът X, на който тези функции приемат равни стойности, с други думи, намерете всички стойности на x, за които равенството е в сила: f(x)= c(x).

В тази формулировка това равенство се нарича уравнение с неизвестно x.

Уравнението се нарича алгебрично, ако върху неизвестното се извършват само алгебрични операции - събиране, изваждане, умножение, деление, издигане на степен и извличане на корен с естествен показател.

Алгебричните уравнения съдържат само алгебрични функции (цяло, рационално, ирационално). Алгебрично уравнение в общ вид може да бъде представено чрез полином от n-та степен с реални коефициенти:

Например,

Множеството А се нарича набор (област) от допустимите стойности на неизвестното за даденото уравнение.

Множеството X се нарича множество от решения, а всяко негово решение x=a се нарича корен на това уравнение. Решаването на уравнение означава намиране на множеството от всички негови решения или доказване, че няма такива.

Методи за решаване на алгебрични уравнения

В много научни и инженерни проблеми се изисква да се реши уравнение от формата

където f(x) е дадена непрекъсната нелинейна функция.

Аналитично е възможно да се намери решение само за най-простите уравнения. В повечето случаи е необходимо да се реши уравнение от вида (1) чрез числени методи.

Численото решение на уравнение (1) обикновено се извършва на два етапа. На първия етап трябва да намерите такива интервали на промяна на променливата x, където се намира само един корен. Този проблем обикновено се решава графично. На втория етап отделните корени се пречистват. За това се използват различни методи.

Методите за решаване на нелинейни уравнения се делят на директни и итеративни. Директните методи ви позволяват да напишете корените под формата на формула. Въпреки това уравненията, които се срещат на практика, не винаги са възможни за решаване. прости методи. За решаването им се използват итеративни методи, т.е. методи на последователни приближения.

Директни методи - решението се намира в предварително известен брой аритметични операции, решението е строго. Примери: метод на Гаус, метод на квадратен корен, правило на Крамер и др.

Итеративните методи са методи на последователни приближения, при които е невъзможно да се предвиди броят на аритметичните операции, които ще бъдат необходими за решаване на уравнение (система) с дадена точност. Примери: методът на простите итерации, методът на Гаус-Зайдел, методът за разделяне на сегмент наполовина и др.

В тази статия ние изучаваме и сравняваме метода на простите итерации и метода на разделяне на половина на сегмент.

препис

1 Алгебрични уравнения, където Определение. Алгебричното е уравнение във формата 0, P () 0, някои реални числа. 0 0 В този случай променливата се нарича неизвестна, а числата 0 са коефициентите на уравнението (), редът (или степента) на уравнението. Определение. Число се нарича решение (или корен) на уравнението (), ако, когато числото се замести в уравнението 0 P вместо това, се получава правилното равенство 0 P. В зависимост от коефициентите, уравнението () може да има единичен истински корен, няколко корена или никакви реални корени. Да решиш уравнение означава да намериш всичките му корени (в училищния курс се разглеждат само реални решения) или да докажеш, че уравнението няма решения. и Ще разгледаме уравнението () при. За (кубично уравнение) има формули за корените на уравнението 0 P в радикали, известни като формули на Кордано. Когато уравнение () е неразрешимо в радикали, т.е. решението на уравнението 0 P at не може да бъде изразено чрез неговите коефициенти 0, като се използват краен брой аритметични операции (операции събиране, изваждане, умножение, деление и извличане на аритметичния корен). Доказателството за това твърдение е получено за първи път от норвежкия математик Абел през 6-та година. В някои случаи решението на алгебрични уравнения от по-високи степени, включително трета и четвърта, може да се намери доста просто. Такава възможност е напълно определена от коефициентите 0 на полинома P. Следствие от теоремата на Bezout. Ако е коренът на полинома (P 0), то полиномът P се дели на бинома без остатък, т.е. съществува полином, такъв че P F F. P

2 "ъгъл". Уравнение () в този случай е еквивалентно на набор от уравнения. Разделяйки един полином Уравнение 0, F 0. P на друг Q m, m, можете да произведете P степен може да има не повече от реални корени, като се вземе предвид множествеността. Освен това уравнение с нечетна степен винаги има поне един реален корен. Ако реалните числа ... са корените на уравнението 0, тогава идентичността P е валидна, За уравнения от по-високи степени () е валидна теоремата на Vieta, която формулираме в случай на и. Ако реалните числа и са корените на кубичното уравнение 0, 0, тогава те отговарят на условията: b c d d, c, b. Ако реалните числа и са корените на уравнението от четвърта степен 0, 0, тогава те отговарят на условията: b c d e Ако рационалното число е 0 e, d, b. p, където p q q c, несъкратима дроб, е коренът на уравнение с цели коефициенти, тогава p трябва да бъде делител на постоянния член

3, а q е делител на коефициента 0 на най-висока степен. По-специално, целите корени 0 p на редуцираното уравнение 0 с цели коефициенти са делители на свободния член. Това твърдение следва от последното равенство в (.7) Ако сумата от всички коефициенти на уравнение 0 има корен. P е нула, тогава уравнението Например сумата от коефициентите на уравнението е нула, така че то има корен. Ако в уравнението сборът от коефициентите при нечетни степени е равен на сбора от свободния член и коефициентите при четни степени, тогава уравнението има корен. Например в уравнението имаме 6 7, така че коренът на това уравнение. Нека разгледаме отделни класове алгебрични уравнения от по-високи степени и методи за изследване на тяхното решаване. Биквадратни уравнения. Определение. Биквадратното уравнение е уравнение във формата където 0. b c 0, () За решаването на това уравнение се използва промяна на променливи y, където y 0. В този случай се получава квадратно уравнение y чрез c 0. Тъй като уравнение () е уравнение от четвърта степен, то има не повече от четири реални корена. Ако y и y са неговите решения, тогава оригиналното биквадратно уравнение ще бъде еквивалентно на набора: Методът за избор на корен (корени). 0 г г. Ако даденото алгебрично уравнение () с цели коефициенти има цели корени, тогава те трябва да се търсят сред делителите на свободния член

4 уравнения (). Рационалните корени p 0 на уравнението () с цели коефициенти q p трябва да се търсят сред числа, така че p да е делител на свободния член, q и q да е делител на коефициента 0 на най-високата степен в уравнението (). Тези свойства са в основата на метода за избор на корените на алгебричното уравнение. Пример. Решете уравнение 0. Решение. Това уравнение е намалено и има цели коефициенти. Следователно целочислените корени на това уравнение (ако има такива) се съдържат сред делителите на свободния член:,. Лесно е да се види, че това е коренът на уравнението. За да намерим останалите корени, разделяме полинома на бином „ъгъл“: 0. За уравнение 0 отново намираме корена чрез селекция и след това разделяме полинома на бином: 0, Уравнение 0 няма реални корени. По този начин,

Уравнението от 5-та степен има два реални корена. Отговор.,. Метод на промяна на променливите. Ако при промяна на променливи първоначалното уравнение се опростява (например степента му се намалява), тогава смело въвеждаме нова променлива. Пример. Решете уравнението. Решение. Ако отворите скобите и въведете подобни членове, ще получите уравнението 6 0, което е много трудно за решаване. Въпреки че е уравнение с цели коефициенти, но както ще видим по-долу, то няма цяло число корени. Затова ще използваме друг метод: въвеждаме нова променлива y и решаваме квадратното уравнение y y. Корените му са у и у. Съответно първоначалното уравнение ще бъде еквивалентно на комбинацията от две уравнения. Решаваме получените квадратни уравнения.,. 0,D0,. или 0, D 7 0, няма решения. По този начин първоначалното уравнение на степен th има два корена и. Отговор.,. Пример. Намерете най-големия отрицателен корен на уравнение 0. Решение. Много е трудно да се намерят корените на това уравнение, затова ще използваме следния трик: умножете (или разделете) това уравнение по определено число, така че най-големият член на уравнението да стане куб на някакъв израз

6 Обърнете внимание на това и въведете нова променлива y. В резултат на това получаваме уравнението y y y 6 0, което е еквивалентно на първоначалното. Чрез селекция намираме неговите корени y, y и y, които ще съответстват на корените на първоначалното уравнение и. Най-големият отрицателен корен е . Отговор. Най-големият отрицателен корен. Можете да въведете друга променлива и да разгледате квадратно уравнение по отношение на една от получените („стари“ или „нови“) променливи. Пример. Намерете най-малкия корен на уравнението 6 0. Решение. Нека преобразуваме първоначалното уравнение по следния начин: Нека въведем нова променлива y 6 и да получим уравнението 6 y y 0. Нека решим полученото уравнение като квадратно по отношение на y. y или y. D 6 y y 0, y, Нека се върнем към променливата, получаваме две квадратни уравнения.

7 6, 9 0, D 0 0, 9 0, 9 0, 9 0 6, 0, D 9 Избираме най-малкия от тях. Тъй като 0 0, след това 9., така че най-малкото решение. 9 0 Отговор. Най-малкото решение.. Дефиниция на уравнения за връщане. Уравнения от формата 0 0 се наричат ​​рекурентни или симетрични, за които коефициентите в симетрични позиции са равни, т.е. за k 0,. k k Например, то е рекурентно, тъй като 0, 9, 6. Следните твърдения са верни за реципрочни уравнения. Реципрочно уравнение с нечетна степен винаги има корен и след разделяне на бином се редуцира до реципрочно уравнение с четна степен. Реципрочно уравнение с четна степен може да се сведе до уравнение с половин степен чрез въвеждане на променливата y. Нека илюстрираме тези твърдения с примери. Пример. Решете уравнението Решение. Лесно се вижда, че това уравнение е реципрочно с нечетна степен и следователно има корен. Разделяме полинома на бином:

8 Остава да решим реципрочното уравнение от та степен. Тъй като 0 не е коренът на това уравнение, можем да разделим и двете части на това уравнение на Нека направим промяна на променливите, т.е. y.. Вземете y. Тогава y, Получаваме уравнението y 0y 6 0 (степента на уравнението е наполовина!) Нека решим квадратното уравнение y 0y 0. Според теоремата на Виета, числата y и y 6 са неговите корени. Имаме още

9 0,6 0, D 0,6 0,9,. По този начин първоначалното уравнение на степен th има корени: и. Отговор., и. D Използване на монотонност на функции и други специални техники За решаване на нестандартни алгебрични уравнения трябва да се използват различни техники за преобразуване на уравнението в еквивалентна форма, въвеждане на нови променливи, изучаване на функцията Решаване на уравнения от вида g f като част от уравнението 0 f и т.н. f понякога е удобно да се надгради върху използването на свойството монотонност на функциите. Тази техника се основава на следната теорема. Теорема. Нека уравнението f g е дефинирано върху множеството X R ; функцията f монотонно нараства (намалява) на X, а g монотонно намалява (нараства). Ако и двете E f, E g са диапазони на f g в множеството X и E f Eg, тогава има уникална точка 0 X, така че g f, т.е. уравнението 0 0 f g има единствено решение. Тази теорема е валидна за всякакви уравнения от вида g за алгебричните. Пример 6. Решете уравнение 96 E f. y f Например 0 X g f, а не само Решение. Степенната функция y, N, е дефинирана на цялата реална права и е строго нарастваща функция на R. Следователно лявата страна на дадената

10 на уравнението f е строго нарастваща функция върху R като сбор от две строго нарастващи функции. Дясна част 96 g е идентична константа. Следователно, в съответствие с теорема 6, уравнението има единствено решение. Лесно е да се види какво е то. Отговор.. Пример 7. Решете уравнението. Решение Y. Но Y за всяко R, и следователно уравнението 0 Y, а оттам и оригиналът (.), няма решение. Отговор.

МИНИСТЕРСТВО НА НАУКАТА И ОБРАЗОВАНИЕТО НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ РЯЗАНСКА ДЪРЖАВНА РАДИОТЕХНИЧЕСКА АКАДЕМИЯ Г. С. ЛУКЯНОВА АЙНОВИКОВ РАЦИОНАЛНИ И ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Рязанско министерство

АГЕНЦИЯ ПО ОБРАЗОВАНИЕТО НА АДМИНИСТРАЦИЯТА НА КРАСНОЯРСКИ ОБЛАСТ КРАСНОЯРСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ ЗАДОЧНО УЧИЛИЩЕ ПО ПРИРОДНИ НАУКИ към Красноярския държавен университет ДОПЪЛНИТЕЛНИ ГЛАВИ ПО МАТЕМАТИКА 10 клас Модул 4 МЕТОДИ НА РЕШЕНИЕ

Тема 14 "Алгебрични уравнения и системи от нелинейни уравнения" Полином от степен n е полином от вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, където a 0, a 1 , a n-1, a n дадени числа, a 0,

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ НОВОСИБИРСК ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРАН ОБРАЗОВАТЕЛЕН И НАУЧЕН ЦЕНТЪР Математика 8 клас Полиноми Новосибирск Полиноми Рационални

Ирационални уравнения и неравенства Съдържание Ирационални уравнения Методът за повдигане на двете страни на уравнение на еднаква степен

Трансформации на идентичност на алгебрични изрази Алгебрични изрази Изрази, съдържащи числа и букви, свързани с алгебрични операции: събиране, изваждане, умножение, деление и конструиране

4.. Метод на промяна на променливата за решаване на алгебрични уравнения. В предишния параграф методът за промяна на променливата беше използван за факторизиране на полином. Този методшироко използвани за

Тема 5 Рационални системи от уравнения F (x, x,...,) 0, F (x, x,...,) 0, Система от уравнения от вида където... Fk (x, x,.. .,) 0 , F i(x, x,...,), i,..., k, някои полиноми, се нарича система от рационални

Министерство на образованието и науката Руска федерацияМосковски физико-технологичен институт ( Държавен университет) Задочна физико-техническа гимназия МАТЕМАТИКА Полиноми. Най-простите уравнения и

Глава 7 Квадратни уравнения Разговор 8 Как са били решавани квадратните уравнения в древността. Всъщност вавилонският метод дава решение на системата + y =, което е запис на задачата за намиране на y = q, страни

Програма по алгебра за 7 клас на общообразователна институция. Обяснителна бележка Структура на програмата Програмата включва три раздела: 1. Планирани резултати от усвояването на алгебра в 7 клас 2. Съдържание

И. В. Яковлев Материали по математика MathUs.ru root ............................................

Министерство на образованието на Московска област образователна институцияпо-висок професионално образованиеМосковска област „Международен университет по природа, общество и

Указания, решения, отговори УРАВНЕНИЯ В ЦЯЛО ЧИСЛО. Уравнение с едно неизвестно Решение. Нека го поставим в уравнението. Получаваме равенството (4a b 4) (a b 8) 0. Равенството A B 0, където A и B са цели числа, е изпълнено,

Уравнения В алгебрата се разглеждат два вида равенства - идентичности и уравнения. Идентичността е равенство, което е валидно за всички допустими) стойности на включените в него букви. За идентичностите се използват знаци

Задочен физико-математически лицей "Авангард" Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Експериментален учебник Част МОСКВА 06 Задочен физико-математически лицей "Авангард" Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Експериментален

Тема 1 Реални числа и действия върху тях 4 часа 11 Развитие на понятието число 1 Първоначално числата се разбираха само като естествени числа, които са достатъчни за преброяване на отделни обекти.

АЛГЕБРИЧНИ УРАВНЕНИЯ ОТ НАЙ-ВИСОКИ СТЕПЕНИ

МАТЕМАТИКА Корени квадратни Задача за 8 клас (006-00 академична година) 4 Въведение Мили деца! Получихте още една задача по математика. В тази задача ви запознаваме с една важна математическа концепция.

8.3 клас, Математика (учебник Макаричев) 2016-2017 учебна година Тема на модул 5 „Корен квадратен. Степен с целочислен показател ”В теста се проверяват теоретичната и практическата част. ТЕМА Да знаеш Да можеш да Знаеш

Физико-математически факултет на Пензенския държавен университет "Задочна физико-математическа школа" МАТЕМАТИКА Трансформации на идентичността. Решение на уравнения. Триъгълници Задача 1 за

0 клас, Математика (профил) 0-08 уч.г. Тема на модула „Корени, степени, логаритми” Знае понятията реално число, множество от числа, свойства на реалните числа, делимост на цели числа ****, свойства

8 клас, Математика (учебник Макаричев) 07-08 уч.г. Тема от модула „Корен квадратен. Степен с целочислен показател ”В теста се проверяват теоретичната и практическата част. ТЕМА Знай Бъди способен да знаеш определение

РЕШЕНИЕ НА РЕКУРЕНТНИ УРАВНЕНИЯ Означаваме със стойността на някакъв израз, когато в него се замества цяло число Тогава зависимостта на член на последователност от членовете на редицата F F със стойности

Глава Степен с рационален показател Степенна функция Степен с цяло число Припомнете си дефиницията и основните свойства на степен с цяло число За ​​всяко реално число a задаваме a

Http://vk.ucoz.et/ Операции върху полиноми k a k Полином (полином) от степен k е функция от вида a, където променлива, a са числени коефициенти (=,.k) и. Всяко различно от нула число може да се вземе предвид

Аналитично решение на алгебрични уравнения от степен 3 и 4 Съдържание 1 Въведение 1 2 Уравнения от трета степен 3 3 Уравнения от четвърта степен 7 1 Въведение Този ръкопис съдържа формули за

Професия. Степен с произволен реален показател, нейните свойства. Степенна функция, нейните свойства, графики .. Припомнете си свойствата на степен с рационален показател. a a a a a за естествени времена

ПРЕПОРЪЧКА Някои признаци за делимост на естествените числа Естествените числа са числа, използвани за броене: Естествените числа образуват множество, наречено множество от естествени числа Множество

Глава 9 Степени Степен с цяло число. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0; > >.. >. Ако е дори, тогава ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). Например () => = = (), така че

Статус на документа Обяснителна бележка

МОДУЛ 7 "Експоненциални и логаритмични функции". Обобщение на понятието степен. Коренът на степента и неговите свойства.. Ирационални уравнения.. Степен с рационален показател.. Показателна функция..

Урал федерален университет, Институт по математика и компютърни науки, Департамент по алгебра и дискретна математика Концепцията за полином Дефиниции Полином в една променлива е израз на формата

Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "Тверски държавен университет" А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С К А

Лекция Глава Множества и операции върху тях Понятието за множество Понятието за множество се отнася до най-първичните понятия на математиката, които не са дефинирани чрез по-прости.

0.5 Логаритмични уравнения и неравенства. Използвани книги:. Алгебра и началото на анализа 0 - под редакцията на А. Н. Колмогоров. Независими и тестови работипо алгебра 0 - под редакцията на Е. П. Ершов

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ

Съдържание Уравнение.................................. Целочислени изрази.. ......... ........................ Изрази със степени............. ........ ......... 3 Моном ............................... ........ ......

Действия с дроби: Електронни Инструментариумда пиша домашните Домашна работа. „Трансформациите са сила и ирационални изрази. Изчисляване на стойностите на числови изрази » Формули

Обяснителна записка Работна програма по алгебра за 8 клас ( задълбочено проучване) е съставен в съответствие с федералния компонент на държавния образователен стандарт, програмата по алгебра

И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка за изпит по математика. Материали на сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрични уравнения В тази статия ще говорим за основните видове тригонометрични уравнения

Лекция 7 Комплексни числа и тяхното представяне на равнината Алгебрични операции върху комплексни числа Комплексно спрежение Модул и аргумент на комплексно число Алгебрични и тригонометрични форми

Календарно-тематично планиране с дефиниране на основните видове образователни дейности на урока Дата Раздел Тема на урока Характеристики на основните дейности на учениците 1 половина на годината 65 урока; 1 четвърт

Държавна бюджетна образователна институция на Република Хакасия „Хакаска национална гимназия интернат на името на. N.F.Katanova ""СЪГЛАСОВАНИ" на заседанието на катедра Математика и информатика Протокол

Глава 1. История на квадратните уравнения и уравненията от по-висок ред 1.1 Уравненията в алгебрата на Древен Вавилон възникват във връзка с решаването на различни задачи с помощта на уравнения. Задачите обикновено изискват

Програма по математика На изпита по математика кандидатите трябва да покажат: 1. Ясно познаване на математически дефинициии теореми, основните формули на алгебрата и геометрията, способността да се доказват теореми и да се извеждат

Лекция ИНТЕГРИРАНЕ НА РАЦИОНАЛНИ ДРОБИ Рационални дроби Интегриране на най-простите рационални дроби Разлагане рационална дробв прости дроби Интегриране на рационални дроби Рационални

МАТЕМАТИКА Рационални уравнения Системи от уравнения Уравнения, съдържащи модул Задача за 9 клас 0-04 академична година Съставител: cps, доцент Марина Е. В. Пенза, 0 Въведение Да си припомним някои понятия

Типичен вариант „Комплексни числа Полиноми и рационални дроби“ Задача Дадени са две комплексни числа и cos sn Намерете и запишете резултата в алгебрична форма запишете резултата в тригонометрична

Приложение към „Основна образователна програма на осн общо образованиеМБОУ СОШ 5 „РАБОТНА ПРОГРАМА по предмета „Алгебра“ за 7. 8. клас Програма: Програми. Математика. 5-6 клас.

2.22. Извадете общия множител (n е естествено число) извън скобите: 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5n + 4 + 2 5n + 2-3 5n + 1. 2.23. Всеки номер беше определен

Обяснителна бележка Работната програма на избираемия предмет „Алгебра плюс: Алгебра от гледна точка на висшата математика“ за ученици от 0 клас е съставена въз основа на примерен работна програмаучители

3.. Методи за решаване на рационални неравенства 3..1. Числени неравенства Първо, нека дефинираме какво имаме предвид под твърдението a > b. Определение 3..1. Числото a е по-голямо от числото b, ако разликата между тях е положителна.

Календарно-тематично планиране Алгебра 8б клас Степен на обучение: напреднали 4 часа седмично / 144 часа годишно Съдържание на темата курс на обучение 1. Повторение на материала от 7 клас (6 часа). Алгебрични

Изпитен билет 1 1. Преобразуване на обикновени дроби в десетични и обратно. Действия с дроби. 2. Дефиниране на функция. Начини на задаване, област на дефиниране, област на стойности на функция. 2 x 1 x x 1

7 Коментар на тригонометрични уравнения и неравенства

57 Да разгледаме интегрирането на най-простата рационална дроб от четвърти тип (M N) d () p q p Нека направим промяна на променлива, като зададем d. където a p q. Тогава интегралът M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

Диференциални уравнения от по-висок ред. Конев В.В. Конспекти на лекции. Съдържание 1. Основни понятия 1 2. Уравнения, които позволяват намаляване на реда 2 3. Линейни диференциални уравненияпо-висок ред

Повторение Алгебра 7 8. Въпроси Отваряне на скоби. Умножение на полиноми Графика на линейна функция. 4. Разлагане на полином на множители. 5. Свойство на степен с натурален показател. 6. Съкратени формули

Решаване на уравнения в цели числа. Линейни уравнения. Метод на директно изброяване Пример. Зайци и фазани седят в клетка. Те имат общо 8 крака. Разберете колко от тези и другите са в клетката. Избройте всички решения. Решение.

НАУЧНОИЗСЛЕДОВАТЕЛСКИ УНИВЕРСИТЕТ ВИСШЕ ИКОНОМИЧЕСКО УЧИЛИЩЕ МАТЕМАТИКА Програма "11 клас" 2013-2014 учебна година Част 1, алгебра и началото на анализа Съдържание Глава 1. Съдържание на курса и тестове ...

Глава I Алгебрични дроби 18 Глава II Квадратична функция. функция. 14 Глава III Функция y = x. Свойства на квадратния корен 12 Глава IV Квадратни уравнения 22 Глава V Реални числа 11 Глава VI

Използването на уравнения е широко разпространено в живота ни. Те се използват в много изчисления, изграждане на конструкции и дори спорт. Уравненията са били използвани от човека от древни времена и оттогава употребата им само се е увеличила.

Уравнения, съдържащи символа \[\sqrtx\], се наричат ​​уравнения с корен квадратен. Корен квадратен от неотрицателно число \ е неотрицателно число, чийто квадрат е равен на \. \[(\sqrt a=x, x_2=a; x, a\pm0)\]. Числото или изразът под знака за корен винаги трябва да е неотрицателен.

Съществуват различни начинирешения на такива уравнения:

Поставяне на число на квадрат чрез умножаване на числото по себе си;

Опростяване на корените, ако е възможно, чрез премахване на пълните корени от него;

Използване на въображаеми числа за получаване на корен от отрицателни числа;

Приложение на алгоритъма за деление в колона;

И други.

За по-голяма яснота решаваме следното уравнение с квадратен корен:

\[\sqrt(x-5)=3\]

Умножаваме всяка страна на уравнението сама по себе си, за да се отървем от радикалите:

Сега имаме най-простото линейно уравнение, което се решава по следния начин:

Къде мога да реша онлайн алгебрично уравнение?

Можете да решите алгебричното уравнение на нашия уебсайт https: // site. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решите онлайн уравнение с всякаква сложност за секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също така да гледате видео инструкцията и да научите как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, винаги се радваме да ви помогнем.