Помислете за колебания на тежест m върху пружина с коефициент на твърдост k, която лежи върху плоска хоризонтална маса, като приемем, че няма триене на тежестта върху повърхността на масата. Ако тежестта се отстрани от равновесното положение, тя ще осцилира около това положение. Ще опишем тези колебания чрез функция, зависима от времето, като приемем, че тя определя отклонението на тежестта от нейното равновесно положение в момент t.

В хоризонтална посока върху тежестта действа само една сила - еластичната сила на пружината, определена от известния закон на Хук

Деформацията на пружината е функция на времето, поради което тя също е променлива.

От втория закон на Нютон имаме

тъй като ускорението е втората производна на преместването: .

Уравнение (9) може да бъде пренаписано във формата

където. Това уравнение се нарича уравнение на хармоничния осцилатор.

Коментирайте. В математическата литература, когато се пише диференциално уравнение, обикновено не се посочва аргументът (t) близо до всички функции, които зависят от него. Тази зависимост се приема по подразбиране. При използване на математическия пакет Maple в (10) е необходимо да се посочи изричната зависимост на функцията.

За разлика от предишния пример за движение на тялото под действието на постоянна сила, в нашия случай силата се променя с времето и уравнение (10) вече не може да бъде решено с помощта на обичайната процедура на интегриране. Нека се опитаме да отгатнем решението на това уравнение, като знаем, че то описва някакъв колебателен процес. Като едно от възможните решения на уравнение (10) можем да изберем следната функция:

Диференцираща функция (11) имаме

Замествайки израз (12) в уравнение (10), ние се уверяваме, че то е изпълнено еднакво за всяка стойност на t.

Функцията (11) обаче не е единственото решение на уравнението на хармоничния осцилатор. Например, може да се избере функция като друго решение, което също е лесно да се провери по подобен начин. Освен това може да се провери дали всяка линейна комбинация от тези две произволно именувани решения

с постоянни коефициенти A и B също е решение на уравнението на хармоничния осцилатор.

Може да се докаже, че двуконстантното решение (13) е общото решение на уравнението на хармоничния осцилатор (10). Това означава, че формула (13) изчерпва всички възможни решения на това уравнение. С други думи, уравнението на хармоничния осцилатор няма други конкретни решения, освен тези, получени от формула (13) чрез фиксиране на произволни константи A и B.

Забележете, че във физиката най-често се налага да се търсят само някои частни решения на отделни ОДУ или техните системи. Нека разгледаме този въпрос по-подробно.

Възможно е да се възбудят трептения в системата на тегло върху пружина, която разглеждаме различни начини. Нека зададем следните начални условия

Това означава, че в началния момент от време тежестта е била извадена от равновесното положение със стойност a и свободно освободена (т.е. тя започва своето движение с нулева начална скорост). Човек може да си представи много други начини за възбуждане, например на тежест в равновесно положение се дава някаква начална скорост чрез „щракване“ и т.н. [ общ случай, ].

Ние разглеждаме началните условия (14) като някои допълнителни условия за отделяне от общото решение (13) на някое конкретно решение, съответстващо на нашия метод за възбуждане на колебанията на теглото.

Приемайки t=0 в израз (13), имаме, откъдето следва, че B=a. Така намерихме една от предишните произволни константи в решението (13). Освен това, диференцирайки във формула (13), имаме

Приемайки t=0 в този израз и като вземем предвид второто начално условие от (14), получаваме, откъдето следва, че A=0 и следователно първоначалното частно решение има формата

Той описва режима на колебание на разглежданата механична система, който се определя от условията на първоначалното възбуждане (14).

От училищния курс по физика е известно, че във формула (16) a е амплитудата на трептенията (задава максималното отклонение на тежестта от равновесното й положение), е цикличната честота и е фазата на трептенията ( началната фаза се оказва равна на нула).

Уравнението на хармоничния осцилатор (10) е пример за линеен ODE. Това означава, че неизвестната функция и всички нейни производни са включени във всеки член на уравнението на първа степен. Линейните диференциални уравнения имат изключително важно отличително свойство: те отговарят на принципа на суперпозицията. Това означава, че всяка линейна комбинация от всеки две решения на линеен ODE също е негово решение.

В примера на уравнението на хармоничния осцилатор, който разглеждаме, произволна линейна комбинация от две конкретни решения не е просто някакво ново решение, а общо решение на това уравнение (то изчерпва всички негови възможни решения).

Като цяло това не е така. Например, ако имаме работа с линейно диференциално уравнение от трети ред (т.е. ако уравнението включва трета производна), тогава линейна комбинация от всеки две от неговите конкретни решения също би била решение на това уравнение, но не би представляват го общо решение.

В курса на диференциалните уравнения се доказва теорема, че общото решение на ОДУ от N-ти ред (линейно или нелинейно) зависи от N произволни константи. В случай на нелинейно уравнение тези произволни константи могат да влязат в общото решение (за разлика от (13)) по нелинеен начин.

Принципът на суперпозицията играе изключително важна роля в теорията на ODE, тъй като може да се използва за конструиране на общо решение на диференциално уравнение под формата на суперпозиция на частните му решения. Например за случая на линейни ОДУ с постоянни коефициенти и техните системи (уравнението на хармоничния осцилатор принадлежи именно към този тип уравнения) в теорията на диференциалните уравнения е разработен общ метод за решаване. Същността му е следната. Търсим конкретно решение във формата В резултат на заместването му в първоначалното уравнение всички зависещи от времето фактори се отменят и достигаме до някакво характеристично уравнение, което за ODE от N-ти ред е алгебрично уравнение N-та степен. Решавайки го, ние намираме по този начин всички възможни частни решения, произволна линейна комбинация от които дава общото решение на оригиналния ODE. Няма да се спираме на този въпрос допълнително, като препращаме читателя към подходящите учебници по теория на диференциалните уравнения, където могат да бъдат намерени допълнителни подробности, по-специално случаят, когато характеристичното уравнение съдържа множество корени.

Ако се разглежда линеен ODE с променливи коефициенти (коефициентите му зависят от времето), тогава принципът на суперпозицията също е валиден, но вече не е възможно да се конструира общо решение на това уравнение в ясна форма чрез който и да е стандартен метод. Ще се върнем към този въпрос по-късно, като обсъдим явлението параметричен резонанс и уравнението на Матийо, свързано с неговото изследване.

Може би най-простата механична система, чието движение се описва от линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти, е маса върху пружина. След като тежестта бъде окачена на пружината, тя ще се разтегне малко, за да балансира силата на гравитацията. Нека сега проследим вертикалните отклонения на масата от равновесното положение (фиг. 21.1). Отклоненията нагоре от равновесното положение означаваме с и приемаме, че имаме работа с идеално еластична пружина. В този случай силите, които се противопоставят на разтягането, са право пропорционални на разтягането. Това означава, че силата е равна (знакът минус ни напомня, че силата се противопоставя на преместванията). По този начин ускорението, умножено по масата, трябва да бъде равно на

За простота, нека приемем, че се е случило (или сме променили системата от единици, ако е необходимо), че . Трябва да решим уравнението

Фиг. 21.1. Тежест, окачена на пружина. Прост пример за хармоничен осцилатор.

След това се връщаме към уравнение (21.2), в което и се съдържат явно.

Вече се сблъскахме с уравнение (21.3), когато за първи път започнахме да изучаваме механиката. Решихме го числено, за да намерим движението. Чрез числено интегриране открихме крива, която показва, че ако частицата първоначално е небалансирана, но е в покой, след това тя се връща в равновесно положение. Не сме проследили частицата след като е достигнала равновесното положение, но е ясно, че тя няма да спре там, а ще трепти (осцилира). С числено интегриране намерихме времето за връщане към равновесната точка: . Продължителността на пълен цикъл е четири пъти по-голяма: "сек". Намерихме всичко това чрез числено интегриране, защото не знаехме как да го решим по-добре. Но математиците са ни дали определена функция, която, ако се диференцира два пъти, влиза в себе си, умножена по . (Можете, разбира се, да направите директно изчисление на такива функции, но това е много по-трудно, отколкото просто да намерите отговора.)

Тази функция е: . Нека го разграничим: , a . В началния момент , , и началната скорост е равна на нула; това са точно предположенията, които направихме при численото интегриране. Сега, знаейки това, намираме точната стойност на времето, в което . Отговор: , или 1,57108. Допуснахме грешка по-рано в последния знак, защото численото интегриране беше приблизително, но грешката е много малка!

За да продължим, нека се върнем към системата от единици, където времето се измерва в реални секунди. Какво ще е решението в този случай? Може би ще вземем предвид константите и като умножим по съответния фактор? Да опитаме. Нека тогава и . За наше съжаление не успяхме да решим уравнение (21.2), но отново се върнахме към (21.3). Но ние открихме най-важното свойство на линейните диференциални уравнения: ако умножим решението на уравнението по константа, тогава отново получаваме решението. Математически е ясно защо. Ако има решение на уравнението, тогава след умножаване на двете части на уравнението по производните, те също ще бъдат умножени по и следователно ще удовлетворят уравнението също толкова добре, колкото . Нека да чуем какво има да каже физикът за това. Ако тежестта разтегне пружината два пъти повече от преди, тогава силата ще се удвои, ускорението ще се удвои, придобитата скорост ще бъде два пъти по-голяма от предишната скорост и в същото време тежестта ще измине два пъти по-голямо разстояние. Но това е два пъти по-голямо разстояние - точно същото разстояние, от което тежестта трябва да стигне до равновесното положение. По този начин е необходимо същото време за достигане на равновесие и не зависи от първоначалното отклонение. С други думи, ако движението е описано линейно уравнение, то независимо от "силата" ще се развива във времето по един и същи начин.

Грешката ни се отрази добре - научихме, че като умножим решението по константа, получаваме решението на предишното уравнение. След някои проби и грешки може да стигнете до заключението, че вместо да манипулирате, трябва да промените времевата скала. С други думи, уравнение (21.2) трябва да има решение от вида

(Тук - изобщо не е ъгловата скорост на въртящо се тяло, но няма да имаме достатъчно азбуки, ако всяка стойност се обозначава със специална буква.) Тук сме предоставили индекс 0, защото имаме още много омеги, които трябва да изпълним: запомнете какво съответства на естественото движение на осцилатора. Опитът да се използва (21.4) като решение е по-успешен, защото и . Най-накрая решихме уравнението, което искахме да решим. Това уравнение съвпада с (21.2), ако .

Сега трябва да разберем физическия смисъл. Знаем, че косинусът се "повтаря", след като ъгълът се промени на . Следователно това ще бъде периодично движение; пълен цикъл на това движение съответства на промяна в "ъгъла" с . Количеството често се нарича фаза на движение. За да промените на , трябва да промените на (пълен период на размах); разбира се, се намира от уравнението . Това означава, че трябва да изчислите за един цикъл и всичко ще се повтори, ако увеличите с ; в този случай ще увеличим фазата с . По този начин,

. (21.5)

Това означава, че колкото по-голяма е тежестта, толкова по-бавно пружината ще се люлее напред-назад. Инерцията в този случай ще бъде по-голяма и ако силата не се промени, тогава ще отнеме повече време за ускоряване и забавяне на товара. Ако вземете по-твърда пружина, тогава движението трябва да бъде по-бързо; и наистина, периодът намалява с увеличаване на константата на пружината.

Забележете сега, че периодът на трептене на масата върху пружината не зависи от това как започват трептенията. За пролетта май е безразлично колко ще я опънем. Уравнението на движението (21.2) определя периода на трептене, но не казва нищо за амплитудата на трептенето. Разбира се, амплитудата на трептене може да бъде определена и сега ще се занимаем с нея, но за това е необходимо да зададем началните условия.

Въпросът е, че все още не сме намерили най-общото решение на уравнение (21.2). Има няколко вида решения. Решението отговаря на случая, когато в началния момент пружината е разтегната и нейната скорост е равна на нула. Можете да накарате пружината да се движи по друг начин, например да хванете момента, когато балансираната пружина е в покой, и да ударите рязко тежестта; това ще означава, че в момента някаква скорост се отчита на пружината. Такова движение ще съответства на друго решение (21.2) - косинусът трябва да бъде заменен със синус. Нека хвърлим още един камък в косинуса: ако - решение, тогава, влизайки в стаята, където пружината се люлее, в момента (да го наречем ""), когато тежестта преминава през равновесното положение, ще бъдем принудени да заменим това решение с друго. Следователно не може да има общо решение; общото решение трябва да позволява, така да се каже, изместването на произхода на времето. Такова свойство има например решението , където е някаква константа. Освен това може да се разложи, наречена ъглова честота; е броят радиани, с които фазата се променя за 1 секунда. Определя се чрез диференциално уравнение. Други величини не се определят от уравнението, а зависят от начални условия. Константата служи като мярка за максималното отклонение на товара и се нарича амплитуда на трептене. Константата понякога се нарича фаза на трептенето, но тук може да има недоразумения, защото други наричат ​​фаза и казват, че фазата зависи от времето. Можем да кажем, че това е фазово изместване спрямо някои, взети за нула. Нека не спорим за думите. Различните съответстват на движения с различни фази. Това е така, но дали да го наречем фаза или не е друг въпрос.

Открития в квантовата област и други области. В същото време се изобретяват нови устройства и устройства, чрез които е възможно да се провеждат различни изследвания и да се обясняват явленията на микросвета. Един от тези механизми е хармоничният осцилатор, чийто принцип е бил известен дори от представители на древни цивилизации.

Устройството и неговите видове

Хармоничният осцилатор е механична система в движение, която се описва от диференциал с коефициенти с постоянна стойност. Повечето прости примеритакива устройства - товар върху пружина, махало, акустични системи, движение на молекулни частици и др.

Условно могат да се разграничат следните видове това устройство:

Приложение на устройството

Това устройство се използва в различни полета, главно за изучаване на природата на осцилаторните системи. Квантовият хармоничен осцилатор се използва за изследване на поведението на фотонни елементи. Резултатите от експериментите могат да се използват в различни области. И така, физици от Американския институт установиха, че атомите на берилий, разположени на доста големи разстояния един от друг, могат да взаимодействат на квантово ниво. В същото време поведението на тези частици е подобно на телата (метални топки) в макрокосмоса, движещи се в ред напред-назад, подобно на хармоничен осцилатор. Берилиеви йони, въпреки че са физически дълги разстояния, обменят най-малките единици енергия (кванти). Това откритие позволява значително да се усъвършенстват ИТ технологиите, а също така предоставя ново решение в производството на компютърно оборудване и електроника.

Хармоничният осцилатор се използва при оценката на музикални произведения. Този метод се нарича спектроскопско изследване. В същото време се установи, че най-стабилната система е състав от четирима музиканти (квартет). А съвременните произведения са предимно анхармонични.

ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТИЯ

Лекция 1

ВАКУЛАЦИЯ

ВАКУЛАЦИЯ. ВЪЛНИ. ОПТИКА

Трептенията са един от най-разпространените процеси в природата и техниката. Флуктуациите са процеси, които се повтарят във времето. Високите сгради и проводниците с високо напрежение се колебаят под въздействието на вятъра, махалото на навит часовник и кола на пружини по време на движение, нивото на реката през годината и температурата на човешкото тяло по време на заболяване. Звукът е колебания във въздушното налягане, радиовълните са периодични промени в силата на електричеството и магнитно поле, светлината също е електромагнитни трептения. Земетресения - вибрации на земята, приливи и отливи - промени в нивата на моретата и океаните, причинени от привличането на луната и др.

Трептенията са механични, електромагнитни, химични, термодинамични и т.н. Въпреки това разнообразие, всички трептения се описват с едни и същи диференциални уравнения.

Първите учени, които изучават вибрациите, са Галилео Галилей и Кристиан Хюйгенс. Галилей установява независимостта на периода на трептене от амплитудата. Хюйгенс изобретил часовника с махало.

Всяка система, която, когато е леко дисбалансирана, осцилира стабилно, се нарича хармоничен осцилатор. В класическата физика такива системи са математическо махало в малки ъгли на отклонение, товар в малки амплитуди на трептене, електрическа верига, състояща се от елементи на линеен капацитет и индуктивност.

Хармоничният осцилатор може да се счита за линеен, ако изместването от равновесното положение е право пропорционално на смущаващата сила. Честотата на трептене на хармоничен осцилатор не зависи от амплитудата. За осцилатора е изпълнен принципът на суперпозицията - ако действат няколко смущаващи сили, то ефектът от тяхното общо действие може да се получи в резултат на сумирането на ефектите от активни силиотделно.

Хармоничните трептения се описват с уравнението (фиг. 1.1.1)

(1.1.1)

където х- изместване на осцилиращата стойност от равновесното положение, НО– амплитуда на трептенията, равна на стойността на максималното изместване, - фаза на трептения, която определя изместването в момента, - начална фаза, която определя големината на изместването в началния момент от време, - циклична честота на трептенията.

Времето на едно пълно трептене се нарича период, където е броят на осцилациите, извършени за времето.

Честотата на трептене определя броя на трептенията за единица време, тя е свързана с цикличната честота чрез съотношението, след това периода.

Скоростта на осцилираща материална точка

ускорение

По този начин скоростта и ускорението на хармоничния осцилатор също се променят по хармоничния закон с амплитуди и съответно. В този случай скоростта изпреварва фазовото отместване с , а ускорението - с (фиг. 1.1.2).

От сравнение на уравненията на движение на хармоничен осцилатор (1.1.1) и (1.1.2) следва, че , или

то диференциално уравнениевтори ред се нарича уравнение на хармоничния осцилатор. Неговото решение съдържа две константи аи , които се определят чрез задаване на началните условия

.

Ако периодично повтарящ се процес се описва с уравнения, които не съвпадат с (1.1.1), той се нарича анхармоничен. Система, която извършва анхармонични трептения, се нарича анхармоничен осцилатор.

1.1.2 . Свободни трептения на системи с една степен на свобода. сложна формапредставяне на хармонични вибрации

В природата малките колебания, които системата прави близо до равновесното си положение, са много чести. Ако системата, изведена от равновесие, бъде оставена сама на себе си, тоест върху нея не действат външни сили, тогава такава система ще извършва свободни незатихващи трептения. Да разгледаме система с една степен на свобода.

Стабилното равновесие съответства на положение на системата, при което нейната потенциална енергия има минимум ( ре обобщената координата на системата). Отклонението на системата от равновесното положение води до възникване на сила, която се стреми да върне системата обратно. Означаваме стойността на обобщената координата, съответстваща на равновесното положение, след това отклонението от равновесното положение

Ще броим потенциалната енергия от минималната стойност. Нека вземем получената функция, разширим я в серия на Маклорен и оставим първия член на разширението, имаме: o

ВАКУЛАЦИЯ. ВЪЛНИ. ОПТИКА

ВАКУЛАЦИЯ

Лекция 1

ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТИЯ

Идеален хармоничен осцилатор. Уравнението идеален осцилатори неговото решение. Амплитуда, честота и фаза на трептенията

Трептенията са един от най-разпространените процеси в природата и техниката. Флуктуациите са процеси, които се повтарят във времето. Високите сгради и проводниците с високо напрежение се колебаят под въздействието на вятъра, махалото на навит часовник и кола на пружини по време на движение, нивото на реката през годината и температурата на човешкото тяло по време на заболяване. Звукът е колебания във въздушното налягане, радиовълните са периодични промени в силата на електрическите и магнитните полета, светлината също е електромагнитни вибрации. Земетресения - вибрации на земята, приливи и отливи - промени в нивата на моретата и океаните, причинени от привличането на луната и др.

Трептенията са механични, електромагнитни, химични, термодинамични и т.н. Въпреки това разнообразие, всички трептения се описват с едни и същи диференциални уравнения.

Първите учени, които изучават вибрациите, са Галилео Галилей и Кристиан Хюйгенс. Галилей установява независимостта на периода на трептене от амплитудата. Хюйгенс изобретил часовника с махало.

Всяка система, която, когато е леко дисбалансирана, осцилира стабилно, се нарича хармоничен осцилатор. В класическата физика такива системи са математическо махало в малки ъгли на отклонение, товар в малки амплитуди на трептене, електрическа верига, състояща се от елементи на линеен капацитет и индуктивност.

Хармоничният осцилатор може да се счита за линеен, ако изместването от равновесното положение е право пропорционално на смущаващата сила. Честотата на трептене на хармоничен осцилатор не зависи от амплитудата. За осцилатора е изпълнен принципът на суперпозиция - ако действат няколко смущаващи сили, тогава ефектът от тяхното общо действие може да се получи в резултат на добавяне на ефектите на действащите сили поотделно.

Хармоничните трептения се описват с уравнението (фиг. 1.1.1)

(1.1.1)

където х- изместване на осцилиращата стойност от равновесното положение, НО– амплитуда на трептенията, равна на стойността на максималното изместване, - фаза на трептения, която определя изместването в момента, - начална фаза, която определя големината на изместването в началния момент от време, - циклична честота на трептенията.

Времето на едно пълно трептене се нарича период, където е броят на осцилациите, извършени за времето.

Честотата на трептене определя броя на трептенията за единица време, тя е свързана с цикличната честота чрез съотношението, след това периода.

Скоростта на осцилираща материална точка

ускорение

По този начин скоростта и ускорението на хармоничния осцилатор също се променят по хармоничния закон с амплитуди и съответно. В този случай скоростта изпреварва фазовото отместване с , а ускорението - с (фиг. 1.1.2).

От сравнение на уравненията на движение на хармоничен осцилатор (1.1.1) и (1.1.2) следва, че , или

Това диференциално уравнение от втори ред се нарича уравнение на хармоничния осцилатор. Неговото решение съдържа две константи аи , които се определят чрез задаване на началните условия

.

Ако периодично повтарящ се процес се описва с уравнения, които не съвпадат с (1.1.1), той се нарича анхармоничен. Система, която извършва анхармонични трептения, се нарича анхармоничен осцилатор.

1.1.2 . Свободни трептения на системи с една степен на свобода. Комплексна форма на представяне на хармонични трептения

В природата малките колебания, които системата прави близо до равновесното си положение, са много чести. Ако системата, изведена от равновесие, бъде оставена сама на себе си, тоест върху нея не действат външни сили, тогава такава система ще извършва свободни незатихващи трептения. Да разгледаме система с една степен на свобода.

Стабилното равновесие съответства на положение на системата, при което нейната потенциална енергия има минимум ( ре обобщената координата на системата). Отклонението на системата от равновесното положение води до възникване на сила, която се стреми да върне системата обратно. Означаваме стойността на обобщената координата, съответстваща на равновесното положение, след това отклонението от равновесното положение

Ще броим потенциалната енергия от минималната стойност. Нека вземем получената функция, разширим я в серия на Маклорен и оставим първия член на разширението, имаме: o

,

където . След това, като се вземе предвид въведената нотация:

, (1.1.4)

Като вземем предвид израза (1.1.4) за силата, действаща върху системата, получаваме:

Според втория закон на Нютон уравнението на движението на системата има формата:

Изразът (1.1.5) съвпада с уравнението (1.1.3) на свободните хармонични трептения, при условие че

и има две независими решения: и , така че общото решение е:

,

От формула (1.1.6) следва, че честотата се определя само от присъщите свойства на механичната система и не зависи от амплитудата и от началните условия на движение.

Зависимостта на координатата на трептящата система от времето може да се определи като реалната част на комплексния израз , където A=Xe-iαе комплексна амплитуда, нейният модул съвпада с обичайната амплитуда, а аргументът й съвпада с началната фаза.

1.1.3 . Примери за колебателни движения от различно физическо естество

Колебания на натоварването на пружината

Помислете за колебанията на товар върху пружина, при условие че пружината не е деформирана извън границите на еластичност. Ще покажем, че такъв товар ще извършва хармонични трептения спрямо равновесното положение (фиг. 1.1.3). Всъщност, според закона на Хук, компресирана или разтегната пружина създава хармонична сила:

където - коефициент на твърдост на пружината, е координатата на равновесното положение, хе координатата на товара (материална точка) в момента от време, е изместването от равновесното положение.

Нека поставим началото на координатата в равновесното положение на системата. В такъв случай .

Ако пружината е опъната от х, след което пуснете навреме T=0, тогава уравнението на движение на товара според втория закон на Нютон ще приеме формата -kx=ma, или , и

(1.1.6)

Това уравнение съвпада по форма с уравнението на движение (1.1.3) на система, извършваща хармонични трептения, ще търсим неговото решение във формата:

. (1.1.7)

Заменяме (1.17) в (1.1.6), имаме: т.е. израз (1.1.7) е решение на уравнение (1.1.6), при условие че

Ако в началния момент позицията на товара е произволна, тогава уравнението на движение ще приеме формата:

.

Нека разгледаме как се променя енергията на товара, правейки хармонични трептения при отсъствие на външни сили (фиг. 1.14). Ако по времето T=0 изпрати отместване към товара х=А, тогава неговата обща енергия ще стане равна на потенциалната енергия на деформираната пружина, кинетична енергияе равно на нула (точка 1).

Сила, действаща върху товара F= -kx, стремейки се да го върне в равновесно положение, така че товарът се движи с ускорение и увеличава скоростта си, а оттам и кинетичната си енергия. Тази сила намалява изместването на товара Х,потенциалната енергия на товара намалява, превръщайки се в кинетична. Системата "товар - пружина" е затворена, така че нейната обща енергия се запазва, тоест:

. (1.1.8)

В дадения момент товарът е в равновесие (точка 2), потенциалната му енергия е нула, а кинетичната му енергия е максимална. Намираме максималната скорост на товара от закона за запазване на енергията (1.1.8):

Поради запаса от кинетична енергия товарът извършва работа срещу еластичната сила – и преминава през равновесното положение. Кинетичната енергия постепенно се превръща в потенциална. Когато товарът има максимално отрицателно изместване - НО,кинетична енергия седмица=0, товарът спира и започва да се движи към равновесно положение под действието на еластична сила F= -kx. По-нататъшното движение е подобно.

Махала

Махалото е твърдо тяло, което се колебае около фиксирана точка или ос под действието на гравитацията. Има физически и математически махала.

Математическото махало е идеализирана система, състояща се от безтегловна неразтеглива нишка, върху която е окачена маса, концентрирана в една материална точка.

Математическото махало, например, е топка върху дълга тънка нишка.

Отклонението на махалото от равновесното положение се характеризира с ъгъла φ , която образува нишка с вертикала (фиг. 1.15). Когато махалото се отклони от равновесното положение, възниква момент на външни сили (гравитация): , където м- тегло, - дължина на махалото

Този момент се стреми да върне махалото в равновесно положение (подобно на квазиеластична сила) и е насочен противоположно на изместването φ , така че във формулата има знак минус.

Уравнение на динамиката въртеливо движениеза махало има формата: Iε=,

.

Следователно ще разгледаме случая на малки колебания sin φ ≈φ, означават ,

ние имаме: , или , и накрая

Това е уравнението на хармоничните трептения, неговото решение:

.

Честотата на трептене на математическото махало се определя само от неговата дължина и ускорението на гравитацията и не зависи от масата на махалото. Периодът е:

Ако трептящото тяло не може да бъде представено като материална точка, тогава махалото се нарича физическо (фиг. 1.1.6). Записваме уравнението на неговото движение във формата:

.

В случай на малки колебания , или =0 , където . Това е уравнението на движение на тяло, което извършва хармонични трептения. Честотата на трептене на физическо махало зависи от неговата маса, дължина и инерционен момент около оста, минаваща през точката на окачване.

Нека обозначим . Стойност се нарича редуцирана дължина на физическото махало. Това е дължината на математическо махало, чийто период на трептене съвпада с периода на дадено физическо махало. Точка на права линия, свързваща точката на окачване с центъра на масата, разположена на разстояние на намалената дължина от оста на въртене, се нарича център на люлеене на физическо махало ( О'). Ако махалото е окачено в центъра на люлеенето, тогава намалената дължина и период на трептене ще бъдат същите като в точката О. По този начин точката на окачване и центърът на люлеене имат свойствата на реципрочност: когато точката на окачване се прехвърли към центъра на люлеене, старата точка на окачване става новият център на люлеене.

Математическо махало, което се люлее със същия период като разглежданото физическо, се нарича изохронно на даденото физическо махало.

1.1.4. Добавяне на вибрации (удари, фигури на Лисажу). Векторно описание на добавяне на вибрации

Добавянето на еднакво насочени трептения може да се извърши с помощта на метода на векторните диаграми. Всяко хармонично трептене може да бъде представено като вектор, както следва. Да изберем ос хс произход в точката О(фиг.1.1.7)

От точка Оконструирайте вектор, който съставлява ъгъла с ос х. Нека този вектор се върти с ъглова скорост. Проекция на вектор върху ос хе равно на:

тоест извършва хармонични трептения с амплитуда а.

Разгледайте две хармонични трептения с една и съща посока и еднакви циклични малки , дадени от векторите и . Отмествания по оста хса равни:

резултантният вектор има проекция и представлява резултантното трептене (фиг. 1.1.8), съгласно косинусовата теорема. По този начин добавянето на хармоничните трептения се извършва чрез събиране на векторите.

Нека извършим добавянето на взаимно перпендикулярни трептения. Нека материалната точка извършва две взаимно перпендикулярни трептения с честота:

.

Тогава самата материална точка ще се движи по някаква криволинейна траектория.

От уравнението на движението следва: ,

. (1.1.9)

От уравнение (1.1.9) можете да получите уравнението на елипса (фиг.1.1.9):

Разгледайте специални случаи на това уравнение:

1. Разлика във фазите на трептенията α= 0. В същото време тези. или Това е уравнението на права линия и полученото трептене възниква по тази права линия с амплитуда (фиг. 1.1.10).

неговото ускорение е равно на втората производна на преместването по време тогава силата, действаща върху осцилиращата точка, съгласно втория закон на Нютон, е равна на

Тоест силата е пропорционална на преместването хи е насочен срещу преместването до равновесното положение. Тази сила се нарича възстановяваща сила. В случай на натоварване върху пружина, възстановяващата сила е еластичната сила, в случай на математическо махало, това е компонентът на гравитацията.

Възстановяващата сила по природа се подчинява на закона на Хук F=-kx,където

е коефициентът на възстановяващата сила. Тогава потенциалната енергия на осцилиращата точка е:

(интеграционната константа е избрана равна на нула, така че когато Х).

Анхармоничен осцилатор