Анализ на размерите на физическите величини. Анализ на размерите

Физическите величини, чиято числена стойност не зависи от избраната скала на единиците, се наричат безразмерни. Примери за безразмерни величини са ъгълът (съотношението на дължината на дъгата към радиуса), индексът на пречупване на материята (съотношението на скоростта на светлината във вакуум към скоростта на светлината в материята).

Физическите величини, които променят числовата си стойност при промяна на мащаба на единиците, се наричат размерни. Примери за размерни величини са дължина, сила и т.н. Изразяването на единица от физическа величина чрез основни единици се нарича нейна размерност (или формула за размерност). Например измерението на силата в системите CGS и SI се изразява с формулата

Съображенията за размерността могат да се използват за проверка на верността на отговорите, получени при решаване на физически задачи: дясната и лявата част на получените изрази, както и отделните членове във всяка от частите, трябва да имат еднаква размерност.

Методът на размерите може да се използва и за извеждане на формули и уравнения, когато знаем от какви физически параметри може да зависи желаната стойност. Същността на метода е най-лесно да се разбере с конкретни примери.

Приложения на метода на размерите.Да разгледаме задача, чийто отговор ни е добре известен: с каква скорост ще падне на земята свободно падащо без начална скорост от височина тяло, ако съпротивлението на въздуха може да се пренебрегне? Вместо директно изчисление, базирано на законите на движението, ще аргументираме следното.

Нека помислим от какво може да зависи желаната скорост. Очевидно е, че трябва да зависи от началната височина и от ускорението на свободното падане. Може да се предположи, следвайки Аристотел, че зависи и от масата. Тъй като могат да се добавят само стойности от едно и също измерение, може да се предложи следната формула за желаната скорост:

където C е някаква безразмерна константа (числов коефициент), а x, y и z са неизвестни числа, което следва да се определи.

Размерите на дясната и лявата част на това равенство трябва да са еднакви и именно това условие може да се използва за определяне на показателите x, y, z в (2). Размерността на скоростта е размерността на височината, размерността на ускорението на свободното падане е и накрая, размерността на масата е M. Тъй като константата C е безразмерна, формула (2) съответства на следното равенство на измеренията:

Това равенство трябва да е в сила независимо от това какви са числовите стойности. Следователно е необходимо да се приравнят показателите at и M в лявата и дясната част на равенството (3):

От тази система от уравнения получаваме Следователно формула (2) приема формата

Истинската стойност на скоростта, както е известно, е равна на

И така, използваният подход направи възможно правилното определяне на зависимостта от и и не направи възможно намирането на стойността

безразмерна константа C. Въпреки че не успяхме да получим изчерпателен отговор, все пак беше получена много важна информация. Например, можем да твърдим с пълна сигурност, че ако първоначалната височина се учетвори, скоростта в момента на падане ще се удвои и че, противно на мнението на Аристотел, тази скорост не зависи от масата на падащото тяло.

Избор на опции.Когато се използва методът на измеренията, първо трябва да се идентифицират параметрите, които определят разглежданото явление. Това е лесно да се направи, ако са известни физичните закони, които го описват. В редица случаи параметрите, определящи явлението, могат да бъдат уточнени дори когато физичните закони са неизвестни. Като правило трябва да знаете по-малко, за да използвате метода за анализ на размерите, отколкото да напишете уравнения на движение.

Ако броят на параметрите, които определят изследваното явление, е по-голям от броя на основните единици, върху които е изградена избраната система от единици, тогава, разбира се, всички показатели в предложената формула за търсената стойност не могат да бъдат определени. В този случай е полезно преди всичко да се определят всички независими безразмерни комбинации от избраните параметри. Тогава желаното физическо количество ще бъде определено не чрез формула от тип (2), а чрез произведението на някаква (най-проста) комбинация от параметри, която има желаното измерение (т.е. измерението на желаното количество) от някаква функция на намерените безразмерни параметри.

Лесно е да се види, че в горния пример на тяло, падащо от височина, е невъзможно да се образува безразмерна комбинация от количествата и безразмерната комбинация. Следователно формула (2) там изчерпва всички възможни случаи.

Безразмерен параметър.Нека сега разгледаме следната задача: определяме обхвата на хоризонталния полет на снаряд, изстрелян в хоризонтална посока с начална скорост от оръдие, разположено на планина с височина

При липса на въздушно съпротивление броят на параметрите, от които може да зависи желаният диапазон, е равен на четири: и т.н. Тъй като броят на основните единици е равен на три, пълното решение на проблема по метода на размерите е невъзможно . Нека първо намерим всички независими безразмерни параметри y, които могат да бъдат съставени от и

Този израз съответства на следното равенство на размерите:

От тук получаваме системата от уравнения

което дава и за търсения безразмерен параметър получаваме

Вижда се, че единственият независим безразмерен параметър в разглежданата задача е .

където е все още неизвестната функция на безразмерния параметър.Методът на размерите (в представената версия) не позволява да се определи тази функция. Но ако знаем от някъде, например от опит, че желаният диапазон е пропорционален на хоризонталната скорост на снаряда, тогава веднага се определя формата на функцията: скоростта трябва да влезе в нея на първа степен, т.е.

Сега от (5) за обхвата на снаряда получаваме

който отговаря на правилния отговор

Подчертаваме, че при този метод за определяне на вида на функцията е достатъчно да знаем характера на експериментално установената зависимост на обхвата на полета не от всички параметри, а само от един от тях.

Векторни единици за дължина.Но е възможно да се определи диапазонът (7) само от размерни съображения, ако увеличим до четири броя на основните единици, чрез които се изразяват параметрите и т.н. Досега при писане на размерни формули не се правеше разлика между единиците на дължина в хоризонтална и вертикална посока. Въпреки това, такова разграничение може да се въведе въз основа на факта, че гравитацията действа само вертикално.

Нека означим размерността на дължината в хоризонтална посока през и във вертикална посока - през Тогава размерността на обхвата на полета в хоризонтална посока ще бъде размерността на височината ще бъде размерността на хоризонталната скорост ще бъде и за ускорението

свободно падане, което получаваме. Сега, разглеждайки формула (5), виждаме, че единственият начин да получим правилното измерение от дясната страна е да вземем пропорционално. Отново стигаме до формула (7).

Разбира се, имайки четири основни единици и M, човек може директно да конструира стойността на изискваното измерение от четири параметъра и

Равенството на размерите на левия и десни частиима формата

Системата от уравнения за x, y, z и и дава стойностите и отново стигаме до формула (7).

Различните единици за дължина, използвани тук във взаимно перпендикулярни посоки, понякога се наричат векторни единици за дължина. Тяхното приложение значително разширява възможностите на метода за размерен анализ.

Когато използвате метода на размерен анализ, е полезно да развиете умения до такава степен, че да не правите система от уравнения за показателите в желаната формула, а да ги изберете директно. Нека илюстрираме това в следващата задача.

Задача

Максимален обхват. Под какъв ъгъл спрямо хоризонталата трябва да се хвърли камък, за да се увеличи максимално обхватът на хоризонталния полет?

Решение. Да приемем, че сме "забравили" всички кинематични формули и да се опитаме да получим отговор от съображения за размери. На пръв поглед може да изглежда, че методът на размерите изобщо не е приложим тук, тъй като някаква тригонометрична функция на ъгъла на хвърляне трябва да влезе в отговора. Затова вместо самия ъгъл a ще се опитаме да потърсим израз за обхвата.Ясно е, че не можем без векторни единици за дължина.

Трябва да се подчертае, че крайната цел в разглеждания случай остава същата: намиране на числа на подобие, за които да се извърши моделиране, но се решава със значително по-малко количество информация за същността на процеса.

За да изясним какво следва, ще прегледаме накратко някои от основните понятия. Подробно изложение може да се намери в книгата на А. Н. Лебедев "Моделиране в научно-техническите изследвания". - М.: Радио и комуникации. 1989. -224 с.

Всеки материален обект има редица свойства, които позволяват количествено изразяване. Освен това всяко от свойствата се характеризира с размера на определена физическа величина. Единиците на някои физични величини могат да се избират произволно и с тяхна помощ да се представят единиците на всички останали. Наричат се произволно избрани физически единици основен. В международната система (приложена към механиката) това е килограмът, метърът и секундата. Останалите количества, изразени чрез тези три, се наричат производни.

Базовата единица може да бъде обозначена или със символа на съответното количество, или със специален символ. Например единиците за дължина са Л, единици за маса - М, единица време - T. Или единицата за дължина е метър (m), единицата за маса е килограм (kg), единицата за време е секунда (s).

Измерението се разбира като символен израз (понякога наричан формула) под формата на степенен моном, свързващ получената стойност с основните. Общата форма на тази закономерност има формата

където х, г, z- Индикатори за размери.

Например измерението на скоростта

За безразмерна величина всички показатели , и следователно .

Следващите две твърдения са съвсем ясни и не се нуждаят от специални доказателства.

Съотношението на размерите на два обекта е постоянна величина, независимо от единиците, в които са изразени. Така например, ако съотношението на площта, заета от прозорците, към площта на стените е 0,2, тогава този резултат ще остане непроменен, ако самите площи са изразени в mm2, m2 или km2.

Втората позиция може да се формулира по следния начин. Всяка правилна физическа връзка трябва да бъде еднаква по размери. Това означава, че всички термини, включени както в дясната, така и в лявата му част, трябва да имат една и съща размерност. Това просто правило се прилага ясно в ежедневието. Всеки осъзнава, че метрите могат да се добавят само към метри, а не към килограми или секунди. Трябва ясно да се разбере, че правилото остава в сила, когато се разглеждат дори най-сложните уравнения.

Методът за анализ на размерите се основава на така наречената -теорема (да се чете: пи-теорема). -теорема установява връзка между функция, изразена чрез размерни параметри, и функция в безразмерна форма. Теоремата може да бъде формулирана по-пълно, както следва:

Всяка функционална връзка между размерните величини може да бъде представена като връзка между нбезразмерни комплекси (числа), съставени от тези величини. Броят на тези комплекси , където н- брой основни единици. Както беше отбелязано по-горе, в хидромеханиката (kg, m, s).

Нека, например, стойността НОе функция на петизмерни величини (), т.е.

(13.12)

От -теоремата следва, че тази зависимост може да се трансформира в зависимост, съдържаща две числа ( )

(13.13)

където и са безразмерни комплекси, съставени от размерни величини.

Тази теорема понякога се приписва на Бъкингам и се нарича теорема на Бъкингам. Всъщност много изтъкнати учени допринесоха за неговото развитие, включително Фурие, Рябушински и Рейли.

Доказателството на теоремата е извън обхвата на курса. Ако е необходимо, може да се намери в книгата на Л. И. Седов "Методи на подобие и размери в механиката" - М .: Наука, 1972. - 440 с. Подробна обосновка на метода е дадена и в книгата на В. А. Веников и Г. В. Веников "Теория на подобието и моделирането" - М.: Висше училище, 1984. -439 с. Особеност на тази книга е, че освен въпроси, свързани със сходството, тя включва информация за методологията за поставяне на експеримент и обработка на резултатите от него.

Използването на размерен анализ за решаване на конкретни практически проблеми е свързано с необходимостта от съставяне на функционална зависимост на формата (13.12), която на следващия етап се обработва със специални техники, които в крайна сметка водят до получаване на числа (числа на подобие).

Основният творчески етап е първият етап, тъй като получените резултати зависят от това колко правилно и пълно е разбирането на изследователя за физическата природа на процеса. С други думи, доколко функционалната зависимост (13.12) правилно и пълно отчита всички параметри, които влияят на изследвания процес. Всяка грешка тук неизбежно води до погрешни заключения. Така наречената „грешка на Рейли” е известна в историята на науката. Същността му е, че при изучаването на проблема за пренос на топлина в турбулентен поток, Rayleigh не е взел предвид влиянието на вискозитета на потока, т.е. не го включи в зависимостта (13.12). В резултат на това получените от него крайни съотношения не включват числото на подобие на Рейнолдс, което играе изключително важна роля в преноса на топлина.

За да разберете същността на метода, разгледайте пример, илюстриращ както общия подход към проблема, така и метода за получаване на числа на подобие.

Необходимо е да се установи вида на зависимостта, която позволява да се определи загубата на налягане или загубата на напор при турбулентен поток в кръгли тръби.

Спомнете си, че този проблем вече беше разгледан в раздел 12.6. Следователно е от несъмнен интерес да се установи как може да се реши с помощта на анализ на размерите и дали това решение дава някаква нова информация.

Ясно е, че спадът на налягането по дължината на тръбата, дължащ се на енергията, изразходвана за преодоляване на силите на вискозно триене, е обратно пропорционален на нейната дължина, следователно, за да се намали броят на променливите, е препоръчително да се вземе предвид не , а , т.е. загуба на налягане на единица дължина на тръбата. Спомнете си, че съотношението , където е загубата на налягане, се нарича хидравличен наклон.

От концепцията за физическата същност на процеса може да се приеме, че получените загуби трябва да зависят от: средния дебит на работната среда (v); върху размера на тръбопровода, определен от неговия диаметър ( д); от физични свойстватранспортирана среда, характеризираща се с нейната плътност () и вискозитет (); и накрая, разумно е да се приеме, че загубите трябва да бъдат по някакъв начин свързани със състоянието на вътрешната повърхност на тръбата, т.е. с грапавост ( к) от стените му. Така зависимостта (13.12) в разглеждания случай има формата

(13.14)

Това е краят на първата и, трябва да подчертаем, най-важната стъпка в анализа на измеренията.

В съответствие с -теоремата, броят на влияещите параметри, включени в зависимостта, е . Следователно броят на безразмерните комплекси, т.е. след подходяща обработка (13.14) трябва да приеме формата

(13.15)

Има няколко начина за намиране на числа. Ще използваме метода, предложен от Rayleigh.

Основното му предимство е, че е своеобразен алгоритъм, който води до решението на проблема.

От параметрите, включени в (13.15), е необходимо да изберете произволни три, но така, че да включват основните единици, т.е. метър, килограм и секунда. Нека бъдат v, д, . Лесно е да се провери дали те отговарят на посочените изисквания.

Числата се образуват под формата на степенни мономи от избраните параметри, умножени по един от останалите в (13.14)

; (13.16)

; (13.17)

; (13.18)

Сега проблемът се свежда до намиране на всички степени. В същото време те трябва да бъдат избрани така, че числата да са безразмерни.

За да разрешим този проблем, първо определяме размерите на всички параметри:

; ;

Вискозитет , т.е. .

Параметър , и .

И накрая, .

Така размерите на числата ще бъдат

По същия начин и другите две

В началото на раздел 13.3 вече беше отбелязано, че за всяка безразмерна величина размерните експоненти . Следователно, например, за число можем да напишем

Приравнявайки показателите, получаваме три уравнения с три неизвестни

Къде намираме; ; .

Замествайки тези стойности в (13.6), получаваме

(13.19)

Продължавайки по подобен начин, лесно е да се покаже това

и .

Така зависимостта (13.15) приема формата

(13.20)

Тъй като има недефиниращо число на подобие (число на Ойлер), тогава (13.20) може да се запише като функционална зависимост

(13.21)

Трябва да се има предвид, че анализът на размерите не дава и по принцип не може да даде никакви числени стойности в съотношенията, получени с негова помощ. Следователно трябва да завърши с анализ на резултатите и, ако е необходимо, тяхната корекция въз основа на общи физични концепции. Нека разгледаме израза (13.21) от тези позиции. Дясната му страна включва квадрата на скоростта, но този запис не изразява нищо друго освен факта, че скоростта е на квадрат. Ако обаче разделим тази стойност на две, т.е. , тогава, както е известно от хидромеханиката, той придобива важно физическо значение: специфичното кинетична енергия, a - динамично налягане, дължащо се на средната скорост. Като се има предвид това, е целесъобразно да се запише (13.21) във формата

(13.22)

Ако сега, както в (12.26), означим с буквата , тогава стигаме до формулата на Дарси

(13.23)

(13.24)

където е хидравличният коефициент на триене, който, както следва от (13.22), е функция на числото на Рейнолдс и относителната грапавост ( к/д). Формата на тази зависимост може да се установи само експериментално.

ЛИТЕРАТУРА

1. Калницки Л.А., Добротин Д.А., Жевержеев В.Ф. Специален курс по висша математика за висши учебни заведения. М.: Висше училище, 1976. - 389s.

2. Astarita J., Marruchi J. Основи на хидромеханиката на ненютонови течности. - М.: Мир, 1978.-307с.

3. Федяевски К.К., Фаддеев Ю.И. Хидромеханика. - М.: Корабостроене, 1968. - 567 с.

4. Фабрикант Н.Я. Аеродинамика. - М.: Наука, 1964. - 814 с.

5. Аржаников Н.С. и Малцев В.Н. Аеродинамика. - М .: Оборонгиз, 1956 - 483 с.

6. Филчаков П.Ф. Приближени методи на конформни преобразувания. - К .: Наукова думка, 1964. - 530 с.

7. Лаврентиев М.А., Шабат Б.В. Методи на теорията на функциите на комплексна променлива. - М.: Наука, 1987. - 688 с.

8. Daly J., Harleman D. Механика на флуидите. -М .: Енергия, 1971. - 480 с.

9. КАТО. Монин, А.М. Яглом "Статистическа хидромеханика" (част 1. - М .: Наука, 1968. - 639 с.)

10. Шлихтинг Г. Теория на граничния слой. - М.: Наука, 1974. - 711 с.

11. Павленко В.Г. Основи на механиката на течностите. - Л.: Корабостроене, 1988. - 240 с.

12. Алтшул А.Д. хидравлично съпротивление. - М.: Недра, 1970. - 215 с.

13. А. А. Гухман "Въведение в теорията на подобието". - М.: Висше училище, 1963. - 253 с.

14. С. Клайн "Сходства и приблизителни методи". - М.: Мир, 1968. - 302 с.

15. A.A. Gukhman „Приложение на теорията на подобието към изследването на процесите на пренос на топлина и маса. Трансферни процеси в движеща се среда. - М.: Висша скала, 1967. - 302 стр.

16. А. Н. Лебедев "Моделиране в научните и технически изследвания". - М.: Радио и комуникации. 1989. -224 с.

17. L.I. Седов "Методи на подобие и размери в механиката" - М .: Наука, 1972. - 440 с.

18. V.A.Venikov и G.V.Venikov "Теория на подобието и моделирането" - М.: Висше училище, 1984. -439 с.

1. МАТЕМАТИЧЕСКИ АПАРАТ, ИЗПОЛЗВАН В МЕХАНИКАТА НА ТЕЧНОСТИТЕ .............................................. .................... .............................. ................... ..... 3

1.1. Вектори и операции върху тях ............................................. ................. ...... четири

1.2. Операции от първи ред (диференциални характеристики на полето). ................................................. . ................................................ .. ... 5

1.3. Операции от втори ред................................................. .................. ......... 6

1.4. Интегрални връзки на теорията на полето..................................... .. 7

1.4.1. Поток на векторно поле .............................................. ............... 7

1.4.2. Циркулация на вектора на полето ............................................. .. 7

1.4.3. Формула на Стокс ................................................. .. ............. 7

1.4.4. Формула на Гаус-Остроградски............................. 7

2. ОСНОВНИ ФИЗИЧНИ СВОЙСТВА И ПАРАМЕТРИ НА ТЕЧНОСТТА. СИЛИ И НАПРЕЖЕНИЯ ............................................... ................ ............................ осем

2.1. Плътност................................................. ................................... осем

2.2. Вискозитет ................................................. ...................................... 9

2.3. Класификация на силите ............................................. ... 12

2.3.1. Масови сили ................................................. .................. 12

2.3.2. Повърхностни сили ................................................. .................. .... 12

2.3.3. Тензор на напрежението ................................................. ............ 13

2.3.4. Уравнение на движението при напрежения ................................. 16

3. ХИДРОСТАТИКА............................................. .................................. осемнадесет

3.1. Уравнение на равновесието на флуида............................................. 18

3.2. Основно уравнение на хидростатиката в диференциална форма. ................................................. . ................................................ .. ... 19

3.3. Еквипотенциални повърхности и повърхности на равно налягане. ................................................. . ................................................ .. ... двадесет

3.4. Равновесие на хомогенна несвиваема течност в полето на гравитацията. Закон на Паскал. Хидростатичен закон за разпределение на налягането... 20

3.5. Определяне на силата на налягането на течността върху повърхността на телата .... 22

3.5.1. Плоска повърхност................................................ .... 24

4. КИНЕМАТИКА............................................. ............................................ 26

4.1. Равномерно и неравномерно движение на течност ...... 26

4.2. Уравнение на непрекъснатост (непрекъснатост)............................................. .. 27

4.3. Токови линии и траектории ............................................. ............ 29

4.4. Поточна тръба (повърхност на потока) ............................................ ......... 29

4.5. Модел на струен поток ................................................. ............ 29

4.6. Уравнение на непрекъснатост за струйка ............................................. .. 30

4.7. Ускорение на течна частица ............................................. .................. ...... 31

4.8. Анализ на движението на течна частица ............................................ .... 32

4.8.1. Ъглови деформации ................................................. .................. ... 32

4.8.2. Линейни деформации ................................................. .................. .36

5. ВИХРОВО ДВИЖЕНИЕ НА ТЕЧНОСТ .................................................. ................... .38

5.1. Кинематика на вихровото движение.................................................. 38

5.2. Интензивност на вихъра ................................................. .............. ................ 39

5.3. Скорост на циркулация ................................................. ................................. 41

5.4. Теорема на Стокс..................................................... .... ......................... 42

6. ПОТЕНЦИАЛНО ДВИЖЕНИЕ НА ТЕЧНОСТ .................................................. 44

6.1. Потенциал за скорост ............................................. ................ ................. 44

6.2. Уравнение на Лаплас ................................................. .. ................... 46

6.3. Циркулация на скоростта в потенциално поле.................................. 47

6.4. Токова функция на равнинния поток .............................................. .................. .47

6.5. Хидромеханично значение на текущата функция ................................. 49

6.6. Връзка между потенциала на скоростта и функцията на тока ................................ 49

6.7. Методи за изчисляване на потенциални потоци ............................................ 50

6.8. Суперпозиция на потенциални потоци ............................................. ...... 54

6.9. Нециркулиращ поток покрай кръгъл цилиндър .................. 58

6.10. Приложение на теорията на функциите на комплексна променлива за изследване на равнинни потоци на идеална течност ..... 60

6.11. Конформни преобразувания ................................................. .................. ..... 62

7. ХИДРОДИНАМИКА НА ИДЕАЛНА ТЕЧНОСТ .............................. 65

7.1. Уравнения на движение на идеален флуид..................................... 65

7.2. Трансформация на Громека-Ламб............................................. 66

7.3. Уравнение на движението във формата на Громека-Лам ................................ 67

7.4. Интегриране на уравнението на движението за постоянен поток..................................... ........................ ........................ ......................... 68

7.5. Опростено извеждане на уравнението на Бернули.................................. 69

7.6. Енергийно значение на уравнението на Бернули ................................. 70

7.7. Уравнение на Бернули под формата на глави.................................................. .... 71

8. ХИДРОДИНАМИКА НА ВИСКОЗНА ТЕЧНОСТ .................................................. ... 72

8.1. Модел на вискозна течност ............................................. .................. ........... 72

8.1.1. Хипотеза за линейност ................................................. .................. ... 72

8.1.2. Хипотеза за хомогенност ................................................. .................. 74

8.1.3. Хипотеза за изотропията ............................................. ............... .74

8.2 Уравнение на движение на вискозен флуид. (Уравнение на Навие-Стокс) ............................................ ... ................................................ .. ........... 74

9. ЕДНОМЕРНИ ПОТОЦИ НА НЕКОМПРЕСОВАНА ТЕЧНОСТ (основи на хидравликата) ................................. .................... .............................. ................... ................. 77

9.1. Дебит и средна скорост ............................................. ................. 77

9.2. Слабо деформирани течения и техните свойства.......................78

9.3. Уравнение на Бернули за потока на вискозен флуид .................................. 79

9.4. Физическото значение на коефициента на Кориолис ................................ 82

10. КЛАСИФИКАЦИЯ НА ТЕЧНИТЕ ПОТОЦИ. СТАБИЛНОСТ НА ДВИЖЕНИЕТО............................................. ................ ................................. ........... 84

11. ЗАКОНОМЕННОСТИ НА ЛАМИНАРНИЯ ПОТОК В КРЪГЛИ ТРЪБИ ............................................ ........................ ........................ ...................... 86

12. ОСНОВНИ ЗАКОНОМЕННОСТИ НА ТУРБУЛЕНТНОТО ДВИЖЕНИЕ. ................................................. . ................................................ .. ............ 90

12.1. Главна информация................................................ ......................... 90

12.2. Уравнения на Рейнолдс ................................................. ... ............ 92

12.3. Полуемпирични теории за турбулентността..................................... ... 93

12.4. Турбулентен поток в тръбите ................................................. 95

12.5. Силови закони на разпределението на скоростта....................... 100

12.6. Загуба на налягане (налягане) по време на турбулентен поток в тръбите. ................................................. . ................................................ .. ... 100

13. ОСНОВИ НА ТЕОРИЯТА ЗА ПОДОБСТВОТО И МОДЕЛИРАНЕТО .......... 102

13.1. Инспекционен анализ на диференциални уравнения..... 106

13.2. Концепцията за самоподобие ............................................. ................... .110

13.3. Анализ на размерите ................................................. .................. 111

Литература ……………………………………………………………………..118

С ВЕРОЯДНИ ПРИЧИНИ "ОТ КРАЙ КЪМ НАЧАЛО" В ОЦЕНКАТА НА ФАКТОРИТЕ НА ТЕХНОЛОГИЧНИЯ ПРОЦЕС

Обща информация за метода за размерен анализ

При учене механични явлениявъвеждат се редица понятия, например енергия, скорост, напрежение и др., които характеризират разглежданото явление и могат да бъдат дадени и определени с помощта на число. Всички въпроси за движението и равновесието се формулират като проблеми за определяне на определени функции и числени стойности за величини, характеризиращи явлението, а при решаването на такива проблеми в чисто теоретични изследвания законите на природата и различните геометрични (пространствени) отношения са представени в форма на функционални уравнения - обикновено диференциални.

Много често нямаме възможност да формулираме проблема в математическа форма, тъй като изучаваното механично явление е толкова сложно, че все още няма приемлива схема за него и все още няма уравнения на движението. С такава ситуация се сблъскваме при решаване на задачи в областта на авиомеханиката, хидромеханиката, в задачи за изучаване на якост и деформации и т.н. В тези случаи основната роля играят експерименталните методи на изследване, които позволяват да се установят най-простите експериментални данни, които впоследствие формират основата на последователни теории със строг математически апарат. Самите експерименти обаче могат да бъдат проведени само на базата на предварителен теоретичен анализ. Противоречието се разрешава по време на итеративния процес на изследване, като се излагат предположения и хипотези и се проверяват експериментално. В същото време те се основават на наличието на сходство на природните явления като общ закон. Теорията за подобието и измеренията е до известна степен "граматиката" на експеримента.

Измерение на количествата

Единиците за измерване на различни физични величини, комбинирани въз основа на тяхната последователност, образуват система от единици. В момента се използва Международната система единици (SI). В SI независимо една от друга са избрани мерните единици на така наречените първични величини - маса (килограм, kg), дължина (метър, m), време (секунда, sec, s), сила на тока (ампер , a), температура (градус Келвин, K) и силата на светлината (свещ, sv). Те се наричат основни единици. Мерните единици на останалите второстепенни величини се изразяват чрез основните. Формулата, която показва зависимостта на единицата за измерване на второстепенна величина от основните единици за измерване, се нарича размерност на тази величина.

Размерът на вторично количество се намира с помощта на дефиниращото уравнение, което служи като дефиниция на това количество в математическа форма. Например определящото уравнение за скоростта е

Ще посочим размерността на дадено количество, като използваме символа на това количество, взет в квадратни скоби, след което

, или
,

където [L], [T] са съответно размерите на дължината и времето.

Определящото уравнение за сила може да се счита за втория закон на Нютон

Тогава размерността на силата ще има следния вид

[F]=[M][L][T] .

Определящото уравнение и съответно формулата за размерността на работата ще имат формата

A=Fs и [A]=[M][L] [T] .

В общия случай ще имаме отношението

[Q] =[M] [L] [T] (1).

Нека обърнем внимание на записа на връзката на размерите, той все още ще ни бъде полезен.

Теореми за подобие

Формирането на теорията за подобието в исторически аспект се характеризира с нейните три основни теореми.

Първа теорема за подобиеформулира необходимите условия и свойства на такива системи, заявявайки, че подобни явления имат едни и същи критерии за сходство под формата на безразмерни изрази, които са мярка за съотношението на интензитета на два физически ефекта, които са от съществено значение за процеса, който се изследва.

Втора теорема за подобие(P-теорема) доказва възможността за редуциране на уравнение до критериална форма без определяне на достатъчността на условията за съществуване на подобие.

Трета теорема за подобиепосочва границите на редовното разпространение на единичен опит, тъй като такива явления ще бъдат тези, които имат сходни условия за уникалност и същите определящи критерии.

По този начин методологичната същност на теорията на измеренията се състои в това, че всяка система от уравнения, която съдържа математически запис на законите, управляващи явлението, може да бъде формулирана като връзка между безразмерни величини. Определящите критерии са съставени от взаимно независими величини, които са включени в условията за уникалност: геометрични връзки, физически параметри, гранични (начални и гранични) условия. Системата за определяне на параметри трябва да притежава свойствата на пълнота. Някои от дефиниращите параметри могат да бъдат физически размерни константи, ще ги наричаме фундаментални променливи, за разлика от други - контролирани променливи. Пример е ускорението на гравитацията. Тя е фундаментална променлива. В земни условия постоянени е променлива в космическите условия.

За правилното прилагане на дименсионалния анализ, изследователят трябва да знае естеството и броя на фундаменталните и контролираните променливи в неговия експеримент.

В този случай има практически извод от теорията на дименсионалния анализ и той се крие във факта, че ако експериментаторът наистина знае всички променливи на процеса, който се изследва, и все още няма математически запис на закона под формата на уравнение, тогава той има право да ги трансформира, като приложи първата част Теореми на Бъкингам: "Ако някое уравнение е недвусмислено по отношение на измеренията, тогава то може да бъде преобразувано в релация, съдържаща набор от безразмерни комбинации от величини."

Хомогенно по отношение на размерите е уравнение, чиято форма не зависи от избора на основни единици.

PS. Емпиричните модели обикновено са приблизителни. Това са описания под формата на нехомогенни уравнения. В своя дизайн те имат размерни коефициенти, които "работят" само в определена система от мерни единици. Впоследствие с натрупването на данни се стига до описание под формата на хомогенни уравнения, т.е. независещи от системата от мерни единици.

Безразмерни комбинации, за които става дума, са продукти или съотношения на количества, съставени по такъв начин, че във всяка комбинация от размери се намаляват. В този случай се образуват продуктите на многомерни величини с различно физическо естество комплекси, съотношението на двуизмерни величини от една и съща физическа природа - прости.

Вместо да променяте всяка от променливите на свой ред,и промяната на някои от тях може да причинитрудности, изследователят може само да вариракомбинации. Това обстоятелство значително опростява експеримента и дава възможност за много по-бързо и по-точно представяне в графичен вид и анализ на получените данни.

Използване на метода на размерен анализ, организиране на правдоподобни разсъждения "от края към началото".

Запознавайки се с Главна информация, трябва да се обърне специално внимание на следните точки.

Най-ефективното използване на размерния анализ е при наличието на една безразмерна комбинация. В този случай е достатъчно експериментално да се определи само коефициентът на съвпадение (достатъчно е да се постави един експеримент за съставяне и решаване на едно уравнение). Задачата става по-сложна с увеличаване на броя на безразмерните комбинации. Съответствието с изискването за пълно описание на физическата система по правило е възможно (или може би се счита за такова) с увеличаване на броя на променливите, които се вземат предвид. Но в същото време вероятността от усложняване на формата на функцията се увеличава и, най-важното, обемът на експерименталната работа рязко се увеличава. Въвеждането на допълнителни основни единици някак облекчава проблема, но не винаги и не напълно. Фактът, че теорията за дименсионалния анализ се развива във времето, е много обнадеждаващ и ориентиращ към търсене на нови възможности.

Е, какво ще стане, ако при търсенето и формирането на съвкупност от фактори, които трябва да се вземат предвид, т.е. всъщност пресъздавайки структурата на изследваната физическа система, използваме организацията на правдоподобните разсъждения „от край до начало“ според Папус?

За да разберем горното предложение и да консолидираме основите на метода за анализ на размерите, предлагаме да анализираме пример за установяване на връзката на факторите, които определят ефективността на експлозивното разрушаване по време на подземно копаене на рудни находища.

Като се вземат предвид принципите на системния подход, можем с право да преценим, че два системни взаимодействащи обекта образуват нова динамична система. В производствените дейности тези обекти са обект на трансформация и субект инструмент на трансформация.

При разбиване на руда на базата на експлозивно унищожаване можем да разглеждаме рудния масив и системата от взривни заряди (кладенци) като такива.

Когато използваме принципите на размерния анализ с организирането на правдоподобни разсъждения "от край до начало", получаваме следната линия на разсъждения и система от взаимовръзки между параметрите на експлозивния комплекс и характеристиките на масива.

д м = f 1 (W, I 0 ,T депутат , с)	д м = k 1 W(сT депутат ¤ аз 0 W) н (1)
аз 0 = f 2 (аз ° С ,В Бур ,К и )	аз 0 = k 2 аз ° С V Бур К и (2)
аз ° С = f 3 (T депутат ,Q ,A)	аз с = k 3 T въздух 2/3 Q 2/3 А 1/3 (3)
T въздух = f 4 (r заб ,P Макс л добре )	T въздух = k 4 r заб 1/2 П Макс –1/2 л добре (4)
П Макс = f 5 (r зар Д)	П Макс = к 5 r зар д 2 (5)

Обозначенията и формулите за размерите на използваните променливи са дадени в таблицата.

ПРОМЕНЛИВИ	Обозначаване	размери
Максимален диаметър на смачкване	д м	[ Л]
Линия на най-малкото съпротивление		[ Л]
Якост на натиск на скалите
Период (интервал) на забавяне на взривяването	T депутат	[ T]
Импулс на експлозия на 1 m 3 от масива	аз 0
Специфична консумация на пробиване, m / m 3	V Бур	[ Л -2 ]
Степента на използване на заредените кладенци	Да се е
Импулс на експлозия на 1 m кладенец	аз ° С
Енергия на експлозия на 1 m заряд
Акустична твърдост на средата (A=gC)
Времето на въздействие на експлозията в кладенеца	T въздух	[ T]
плътност на стъблото	r заб	[ Л -3 М]
Дължина на кладенеца	л добре	[ Л]
Максимално начално налягане в кладенеца		[ Л -1 М Т -2 ]
Плътност на заряда в кладенеца	r зар	[ Л -3 М]
Скорост на експлозивна детонация		[ Л Т -1 ]

Преминаване от формула (5) към формула (1), разкриване на установените връзки и също така като се има предвид установената по-рано връзка между диаметъра на средния и диаметъра на максималното парче по отношение на колапса

д ср = к 6 д м 2/3 , (6)

получаваме общото уравнение за връзката на факторите, които определят качеството на раздробяване:

д ср = kW 2/3 [ с T депутат / r заб 1/3 д -2/3 л добре 2/3 М зар 2|3 U векове 2/3 НО 1/3 V Бур Да се е У] н (7)

Нека трансформираме последния израз, за да създадем безразмерни комплекси, като имаме предвид:

Q= М зар U векове ; р векове =М зар V Бур Да се е ; М заб =0.25 стр r заб д добре 2 ;

където М зар е масата на взривния заряд в 1 m от дължината на сондажа, kg/m;

М заб – маса на стеблото в 1 m стебло, kg/m;

U векове – калоричност на взривните вещества, kcal/kg.

В числителя и знаменателя използваме [М зар 1/3 U векове 1/3 (0.25 стрд добре 2 ) 1/3 ] . Най-накрая ще получим

Всички комплекси и простотии имат физически смисъл. Според експериментални данни и данни от практиката степенният показател н=1/3, и коеф ксе определя в зависимост от мащаба на опростяване на израза (8).

Въпреки че успехът на дименсионалния анализ зависи от правилното разбиране на физическия смисъл на конкретен проблем, след избора на променливи и основни размери, този метод може да се приложи напълно автоматично. Следователно, този метод може лесно да бъде формулиран под формата на рецепта, като се има предвид обаче, че подобна "рецепта" изисква от изследователя правилен подбор на съставните компоненти. Единственото, което можем да направим тук, е да дадем някои общи съвети.

Етап 1.Изберете независими променливи, които влияят на системата. Размерните коефициенти и физическите константи също трябва да се вземат предвид, ако играят важна роля. Това е най-отговорнотовсеки етап от цялата работа.

Етап 2.Изберете система от основни измерения, чрез която можете да изразите единиците на всички избрани променливи. Обикновено се използват следните системи: в механиката и динамиката на флуидите МЛр(понякога ЕТр), в термодинамика МЛрТ или МЛрTH; по електротехника и ядрена физика МЛрДа сеили МЛqm., в този случай температурата може или да се разглежда като основно количество, или да се изрази като молекулярна кинетична енергия.

Етап 3.Запишете размерите на избраните независими променливи и направете безразмерни комбинации. Решението ще бъде правилно, ако: 1) всяка комбинация е безразмерна; 2) броят на комбинациите не е по-малък от предвидения от p-теоремата; 3) всяка променлива се среща в комбинации поне веднъж.

Етап 4.Проучете получените комбинации по отношение на тяхната приемливост, физическо значение и (ако трябва да се използва методът на най-малките квадрати) концентрация на несигурност в една комбинация, ако е възможно. Ако комбинациите не отговарят на тези критерии, тогава човек може: 1) да получи друго решение на уравненията за показателите, за да намери най-добрия набор от комбинации; 2) изберете друга система от основни размери и свършете цялата работа от самото начало; 3) проверете правилността на избора на независими променливи.

сцена 5. Когато се получи задоволителен набор от безразмерни комбинации, изследователят може да планира да промени комбинациите чрез промяна на стойностите на избраните променливи в своето оборудване. На дизайна на експериментите трябва да се обърне специално внимание.

Когато се използва методът на размерния анализ с организирането на правдоподобни разсъждения "от края към началото", е необходимо да се въведат сериозни корекции, особено на първия етап.

Кратки изводи

Днес е възможно да се формират концептуалните разпоредби на изследователската работа според вече установения нормативен алгоритъм. Следването стъпка по стъпка ви позволява да рационализирате търсенето на тема и да определите нейните етапи на изпълнение с достъп до научни разпоредби и препоръки. Познаването на съдържанието на отделните процедури допринася за тяхната експертна оценка и избор на най-подходящите и ефективни.

Напредък на научните изследвания може да се представи под формата на логическа схема, определена в процеса на извършване на изследване, като се подчертаят три етапа, които са характерни за всяка дейност:

Подготвителен етап: Може да се нарече още етап на методологическа подготовка на изследването и формиране на методологична подкрепа за изследване. Обхватът на работата е както следва. Дефиниране на проблема, разработване на концептуално описание на предмета на изследване и дефиниране (формулиране) на темата на изследването. Съставяне на изследователска програма с формулиране на задачи и разработване на план за тяхното решаване. Разумен избор на методи за изследване. Разработване на методика за експериментална работа.

Главна сцена: - изпълнителски (технологичен), изпълнение на програмата и изследователския план.

финален етап: - обработка на резултатите от изследванията, формулиране на основните положения, препоръки, експертиза.

Научните разпоредби са нова научна истина - това е, което трябва и може да бъде защитено. Формулирането на научните положения може да бъде математическо или логическо. Научните разпоредби помагат за каузата, за решаването на проблема. Научните разпоредби трябва да бъдат насочени, т.е. отразяват (съдържат) темата, за която са решени. За да се осъществи обща връзка на съдържанието на НИРД със стратегията за неговото прилагане, се препоръчва да се работи върху структурата на доклада за НИРД преди и (или) след разработването на тези разпоредби. В първия случай работата по структурата на доклада дори има евристичен потенциал, допринася за разбирането на идеите на R&D, във втория случай тя действа като вид стратегически тест и обратна връзка на ръководството на R&D.

Нека помним, че има логика на търсене, извършване на работа и ето гийк презентация. Първата е диалектическа - динамична, с цикли, възвръщаемост, трудна за формализиране, втората е логиката на статично състояние, формална, т.е. имащи строго определена форма.

Като заключение желателно е да не спирате да работите върху структурата на доклада през цялото време на изследването и по този начин епизодично да "сверявате часовниците на ДВЕ ЛОГИКИ".

Систематизирането на съвременните проблеми на минното дело на административно ниво допринася за повишаване на ефективността на работата по концепцията.

В методологическата подкрепа на изследователската работа често се сблъскваме със ситуации, при които теоретичните положения по конкретен проблем все още не са напълно разработени. Уместно е да се използва методологичен „лизинг“. Като пример за такъв подход и неговото възможно използване представлява интерес методът на дименсионалния анализ с организирането на правдоподобни разсъждения „от край до начало“.

Основни термини и понятия

Обект и предмет на дейност	Уместност	минна технология
Концепция		Съоръжение за минни технологии
Цел и целеполагане		Инструменти за минна технология
проблемна проблемна ситуация	Структура	Физически и технически ефект
Етапи и етапи на изследване		Научна позиция
Теореми за подобие	Измерение	Основни единици

Опитът е изследователят на природата. Той никога не заблуждава ... Трябва да правим експерименти, променяйки обстоятелствата, докато не извлечем от тях Общи правила, защото опитът дава истинските правила.

Леонардо да Винчи

Във физиката...няма място за объркани мисли...
Наистина разбиращ природата
Това или онова явление трябва да получи основното
Закони от съображения за измерение. Е. Ферми

Описанието на този или онзи проблем, обсъждането на теоретични и експериментални въпроси започва с качествено описание и оценка на ефекта, който тази работа дава.

Когато се описва проблем, е необходимо преди всичко да се оцени порядъкът на големината на очаквания ефект, простите ограничаващи случаи и естеството на функционалната връзка на величините, описващи това явление. Тези въпроси се наричат качествено описание на физическата ситуация.

Един от най ефективни методитакъв анализ е методът на размерите.

Ето някои предимства и приложения на дименсионалния метод:

бърза оценка на мащаба на изследваните явления;
получаване на качествени и функционални зависимости;
възстановяване на забравени формули на изпити;
изпълнение на някои задачи от изпита;
проверка на правилността на решението на проблемите.

Анализът на размерите се използва във физиката от времето на Нютон. Нютон е този, който формулира, тясно свързано с метода на измеренията, принципът на подобието (аналогия).

Учениците за първи път се сблъскват с размерния метод при изучаване на топлинното излъчване в курса по физика за 11 клас:

Спектралната характеристика на топлинното излъчване на тялото е спектрална плътност на енергийната светимост r v - енергията на електромагнитното излъчване, излъчвана за единица време на единица площ от повърхността на тялото в единичен честотен интервал.

Единицата за спектрална плътност на енергийната светимост е джаул на квадратен метър(1 J / m 2). Енергията на топлинното излъчване на черно тяло зависи от температурата и дължината на вълната. Единствената комбинация от тези величини с размерността на J/m 2 е kT/ 2 ( = c/v). Точното изчисление, направено от Rayleigh и Jeans през 1900 г., в рамките на класическата вълнова теория, дава следния резултат:

където k е константата на Болцман.

Както показва опитът, този израз е в съответствие с експерименталните данни само в областта на достатъчно ниски честоти. За високите честоти, особено в ултравиолетовата област на спектъра, формулата на Rayleigh-Jeans е неправилна: тя се различава рязко от експеримента. Методите на класическата физика се оказаха недостатъчни, за да обяснят характеристиките на излъчването на черното тяло. Следователно несъответствието между резултатите от класическата вълнова теория и експеримента в края на 19 век наречена "ултравиолетова катастрофа".

Нека покажем приложението на метода на размерите на прост и добре разбираем пример.

Снимка 1

Топлинно излъчване на черно тяло: ултравиолетова катастрофа - несъответствие между класическата теория за топлинното излъчване и опита.

Да си представим, че тяло с маса m се движи праволинейно под действието на постоянна сила F. Ако началната скорост на тялото е нула, а скоростта в края на изминатия участък от пътя с дължина s е равна на v, тогава можем да напишем теоремата за кинетичната енергия: Между стойностите F, m, v и s има функционална връзка.

Нека приемем, че теоремата за кинетичната енергия е забравена, но разбираме, че функционалната зависимост между v, F, m и s съществува и има степенен закон.

Тук x, y, z са някои числа. Нека ги дефинираме. Знакът ~ означава, че лявата страна на формулата е пропорционална на дясната страна, т.е. където k е числов коефициент, няма мерни единици и не се определя чрез метода на размерите.

Лявата и дясната част на релацията (1) имат еднакви размери. Размерите на v, F, m и s са: [v] = m/c = ms -1 , [F] = H = kgms -2 , [m] = kg, [s] = m. (Символ [A ] обозначава размерността на A.) Нека запишем равенството на размерностите в лявата и дясната част на връзката (1):

m c -1 = kg x m x c -2x kg y m Z = kg x+y m x+z c -2x .

От лявата страна на уравнението изобщо няма килограми, така че не трябва да има и отдясно.

Означава, че

Отдясно метрите са включени в степените на x + z, а отляво в степените на 1, така че

По същия начин, от сравнение на експонентите в секунди следва

От получените уравнения намираме числата x, y, z:

x=1/2, y=-1/2, z=1/2.

Крайната формула изглежда така

Като повдигаме на квадрат лявата и дясната страна на тази връзка, получаваме това

Последната формула е математическа нотация на теоремата за кинетичната енергия, но без числен коефициент.

Принципът на подобието, формулиран от Нютон, е, че съотношението v 2 /s е правопропорционално на отношението F/m. Например две тела с различни маси m 1 и m 2 ; ще им въздействаме с различни сили F 1 и F 2 , но така, че съотношенията F 1 / m 1 и F 2 / m 2 да бъдат еднакви. Под въздействието на тези сили телата ще започнат да се движат. Ако началните скорости са равни на нула, то скоростите, придобити от телата на отрязък от пътя с дължина s, ще бъдат равни. Това е законът на подобието, до който стигнахме с помощта на идеята за равенството на размерите на дясната и лявата част на формулата, която описва степенната връзка на стойността на крайната скорост с стойностите на силата, масата и дължината на пътя.

Методът на размерите е въведен при изграждането на основите на класическата механика, но ефективното му приложение за решаване на физични задачи започва в края на миналия - началото на нашия век. Голяма заслуга за популяризирането на този метод и решаването на интересни и важни проблеми с негова помощ принадлежи на изключителния физик лорд Рейли. Рейли пише през 1915 г.: Често съм изненадан от малкото внимание, отделено на великия принцип на подобието, дори от много велики учени. Често се случва резултатите от старателни изследвания да се представят като новооткрити „закони“, които въпреки това биха могли да бъдат получени априори в рамките на няколко минути.

В наши дни физиците вече не могат да бъдат упреквани в пренебрежително отношение или недостатъчно внимание към принципа на подобието и към метода на измеренията. Помислете за един от класическите проблеми на Рейли.

Задачата на Рейли за вибрациите на топка върху струна.

Нека между точките A и B е опъната струна. Силата на опън на струната F. В средата на тази струна в точка С има тежка топка. Дължината на сегмента AC (и съответно CB) е равна на 1. Масата M на топката е много по-голяма от масата на самата струна. Връвта се издърпва и освобождава. Съвсем ясно е, че топката ще осцилира. Ако амплитудата на тези x трептения е много по-малка от дължината на струната, тогава процесът ще бъде хармоничен.

Нека определим честотата на вибрациите на топката върху струната. Нека величините , F, M и 1 са свързани със степенен закон:

Показателите x, y, z са числата, които трябва да определим.

Нека напишем размерите на количествата, които ни интересуват в системата SI:

C -1, [F] = kgm s -2, [M] = kg, = m.

Ако формула (2) изразява реална физическа закономерност, тогава размерите на дясната и лявата част на тази формула трябва да съвпадат, т.е. равенството

c -1 = kg x m x c -2x kg y m z = kg x + y m x + z c -2x

Лявата страна на това уравнение изобщо не включва метри и килограми, а секундите са включени в степените - 1. Това означава, че за x, y и z уравненията са изпълнени:

x+y=0, x+z=0, -2x= -1

Решавайки тази система, намираме:

x=1/2, y= -1/2, z= -1/2

Следователно,

~F 1/2 M -1/2 1 -1/2

Точната формула за честотата се различава от намерената само с фактор ( 2 = 2F/(M1)).

По този начин беше получена не само качествена, но и количествена оценка на зависимостта на от стойностите на F, M и 1. По ред на величината намерената комбинация от мощности дава правилната стойност на честотата. Оценката винаги представлява интерес в порядъка на величината. В прости задачи коефициентите, които не се определят чрез метода на размерите, често могат да се считат за числа от порядъка на единица. Това не е строго правило.

Когато изучавам вълните, разглеждам качественото предсказване на скоростта на звука чрез метода на размерния анализ. Ние търсим скоростта на звука като скоростта на разпространение на вълна на компресия и разреждане в газ. Учениците нямат съмнения относно зависимостта на скоростта на звука в газ от плътността на газа и неговото налягане p.

Търсим отговора във формата:

където С е безразмерен фактор, числената стойност на който не може да бъде намерена от анализа на размерите. Преминавайки в (1) към равенството на размерите.

m / s \u003d (kg / m 3) x Pa y,

m / s \u003d (kg / m 3) x (kg m / (s 2 m 2)) y,

m 1 s -1 \u003d kg x m -3x kg y m y c -2y m -2y,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x + y-2y c -2y,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x-y c -2y.

Равенството на размерите от лявата и дясната страна на равенството дава:

x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,

x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,

x = -1/2, y = 1/2.

Скоростта на звука в газ

Формула (2) при C=1 е получена за първи път от I. Newton. Но количествените изводи на тази формула бяха много трудни.

Експериментално определяне на скоростта на звука във въздуха е извършено в колективен труд на членове на Парижката академия на науките през 1738 г., който измерва времето, необходимо на звука от топовен изстрел да измине разстояние от 30 км.

Повтаряйки този материал в 11 клас, вниманието на учениците се насочва към факта, че резултатът (2) може да бъде получен за модела на изотермичния процес на разпространение на звука, като се използва уравнението на Менделеев-Клапейрон и концепцията за плътност:

е скоростта на разпространение на звука.

След като запознах учениците с метода на размерите, аз им давам този метод за извличане на основното уравнение MKT за идеален газ.

Учениците разбират, че налягането на идеалния газ зависи от масата на отделните молекули на идеалния газ, броя на молекулите в единица обем - n (концентрацията на газовите молекули) и скоростта на движение на молекулите -.

Познавайки размерите на количествата, включени в това уравнение, имаме:

Сравнявайки размерите на лявата и дясната част на това равенство, имаме:

Следователно основното уравнение на MKT има следната форма:

- това предполага

От защрихования триъгълник се вижда, че

Отговор: Б).

Използвахме метода на размерите.

Методът на размерите, в допълнение към извършването на традиционната проверка на правилността на решаването на задачи, изпълнявайки някои задачи на Единния държавен изпит, помага да се намерят функционални връзки между различни физически величини, но само за онези ситуации, когато тези зависимости са мощност- закон. В природата има много такива зависимости и методът на измеренията е добър помощник при решаването на подобни проблеми.

В случаите, когато процесите, които се изследват, не са описани диференциални уравнения, един от начините за анализирането им е експеримент, резултатите от който най-добре се представят в обобщен вид (под формата на безразмерни комплекси). Методът за съставяне на такива комплекси е метод за анализ на размерите.

Размерът на всяка физическа величина се определя от съотношението между нея и онези физични величини, които се приемат за основни (основни). Всяка система от единици има свои собствени основни единици. Например в Международната система от единици SI мерните единици за дължина, маса и време са съответно метър (m), килограм (kg), секунда (s). Мерните единици за други физични величини, т. нар. производни величини (вторични), се приемат въз основа на закони, които установяват връзка между тези единици. Тази връзка може да бъде представена под формата на така наречената формула за размерност.

Теорията на размерите се основава на две предположения.

1. Съотношението на две числени стойности на всяко количество не зависи от избора на скали за основните мерни единици (например съотношението на две линейни измерения не зависи от единиците, в които ще бъдат измерени) .
2. Всяка връзка между размерните величини може да се формулира като връзка между безразмерните величини. Това твърдение представлява т.нар P-теорема в теорията на измеренията.

От първото положение следва, че формулите за размерността на физическите величини трябва да имат формата на степенни зависимости

къде са размерите на основните единици.

Математическият израз на P-теоремата може да бъде получен въз основа на следните съображения. Нека някакво размерно количество а 1 е функция на няколко независими размерни величини, т.е.

Оттук следва, че

Нека приемем, че броят на основните мерни единици, чрез които всичко може да бъде изразено П променливи, е равно на T. P-теоремата гласи, че ако всички П променливи, изразени чрез основни единици, тогава те могат да бъдат групирани в безразмерни P-членове, т.е.

В този случай всеки P-член ще съдържа променлива.

В проблемите на хидромеханиката броят на променливите, включени в P-членовете, трябва да бъде четири. Три от тях ще бъдат решаващи (обикновено това са характерната дължина, скоростта на потока на флуида и неговата плътност) - те са включени във всеки от P-членовете. Една от тези променливи (четвъртата) е различна при преминаване от един P-член към друг. Индикатори за степен на определяне на критерии (нека ги обозначим с x, y , z ) са неизвестни. За удобство приемаме експонентата на четвъртата променлива равна на -1.

Отношенията за P-термовете ще изглеждат така

Променливите, включени в P-членовете, могат да бъдат изразени по отношение на основните измерения. Тъй като тези членове са безразмерни, показателите на всяко от основните измерения трябва да бъдат равни на нула. В резултат на това за всеки от P-членовете е възможно да се съставят три независими уравнения (по едно за всяко измерение), които свързват показателите на променливите, включени в тях. Решението на получената система от уравнения дава възможност да се намерят числените стойности на неизвестни показатели х , при , z. В резултат на това всеки от P-членовете се определя под формата на формула, съставена от конкретни величини (параметри на околната среда) в подходяща степен.

Като конкретен пример ще намерим решение на проблема за определяне на загубата на налягане поради триене в турбулентен флуиден поток.

От общи съображения можем да заключим, че загубата на налягане в тръбопровода зависи от следните основни фактори: диаметър д , дължина л , грапавост на стената к, плътност ρ и вискозитет µ на средата, средна скорост на потока v , начално напрежение на срязване, т.е.

(5.8)

Уравнение (5.8) съдържа n=7 членове и броя на основните размерни единици. Съгласно P-теоремата получаваме уравнение, състоящо се от безразмерни P-членове:

(5.9)

Всеки такъв P-член съдържа 4 променливи. Вземайки като основни променливи диаметъра д , скорост v , плътност и комбинирайки ги с останалите променливи в уравнение (5.8), получаваме

Съставяйки размерното уравнение за първия П-член, ще имаме

Събирайки степените със същите основи, намираме

С цел за измерението П 1 беше равно на 1 ( П 1 е безразмерна величина), необходимо е да се изисква всички експоненти да бъдат равни на нула, т.е.

(5.10)

Система алгебрични уравнения(5.10) съдържа три неизвестни величини х 1, г 1,z 1. От решението на тази система от уравнения намираме х 1 = 1; при 1=1; z 1= 1.