Със стандартната форма $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, в която лявата страна е общият диференциал на някаква функция $F \left( x,y\right)$ се нарича уравнение в общите диференциали.

Общото диференциално уравнение винаги може да бъде пренаписано като $dF\left(x,y\right)=0$, където $F\left(x,y\right)$ е функция, такава че $dF\left(x, y \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Ние интегрираме двете страни на уравнението $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; интегралът на нулевата дясна страна е равен на произволна константа $C$. По този начин, общо решениена това уравнение в неявна форма има формата $F\left(x,y\right)=C$.

За да бъде дадено диференциално уравнение уравнение в общите диференциали, е необходимо и достатъчно условието $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ да бъде изпълнено . Ако това условие е изпълнено, тогава съществува функция $F\left(x,y\right)$, за която можем да запишем: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, откъдето получаваме две отношения: $\ frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ и $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$.

Интегрираме първото отношение $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ върху $x$ и получаваме $F\left(x,y\right)=\int P\ ляво(x,y\дясно)\cdot dx +U\ляво(y\дясно)$ където $U\ляво(y\дясно)$ -- произволна функцияот $y$.

Нека го изберем така, че второто отношение $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ да е изпълнено. За да направим това, диференцираме получената връзка за $F\left(x,y\right)$ по отношение на $y$ и приравняваме резултата към $Q\left(x,y\right)$. Получаваме: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\надясно)$.

Следващото решение е:

• от последното равенство намираме $U"\left(y\right)$;
• интегрирайте $U"\left(y\right)$ и намерете $U\left(y\right)$;
• заместете $U\left(y\right)$ в $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ и накрая получаваме функцията $F\left(x,y\right)$.

\

Откриваме разликата:

Интегрираме $U"\left(y\right)$ върху $y$ и намираме $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Намерете резултата: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Записваме общото решение като $F\left(x,y\right)=C$, а именно:

Намерете конкретно решение $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, където $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Конкретно решение има формата: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

някои функции. Ако възстановим функцията от нейния пълен диференциал, тогава намираме общия интеграл диференциално уравнение. По-долу ще говорим за методът за възстановяване на функция от нейния пълен диференциал.

Лявата страна на диференциалното уравнение е общият диференциал на някаква функция U(x, y) = 0ако условието е изпълнено.

защото пълен диференциал на функция U(x, y) = 0това е , което означава, че при условията, които казват, че .

Тогава, .

От първото уравнение на системата получаваме . Намираме функцията, използвайки второто уравнение на системата:

Така ще намерим желаната функция U(x, y) = 0.

Пример.

Нека намерим общото решение на DE .

Решение.

В нашия пример. Условието е изпълнено, защото:

Тогава лявата страна на началния DE е общият диференциал на някаква функция U(x, y) = 0. Трябва да намерим тази функция.

защото е общият диференциал на функцията U(x, y) = 0, означава:

.

Интегриране над х 1-во уравнение на системата и диференцируемо по отношение на грезултат:

.

От второто уравнение на системата получаваме . означава:

Където ОТе произволна константа.

По този начин и общият интеграл на даденото уравнение ще бъде .

Има и втори метод за изчисляване на функция от нейния пълен диференциал. Състои се във вземане на криволинейния интеграл на фиксирана точка (x0, y0)до точка с променливи координати (x, y): . В този случай стойността на интеграла не зависи от пътя на интегриране. Удобно е да се вземе като път на интегриране прекъсната линия, чиито връзки са успоредни на координатните оси.

Пример.

Нека намерим общото решение на DE .

Решение.

Проверяваме изпълнението на условието:

Така лявата страна на DE е общият диференциал на някаква функция U(x, y) = 0. Намираме тази функция чрез изчисляване на криволинейния интеграл на точката (1; 1) преди (x, y). Приемаме полилиния като интеграционен път: ще преминем през първия участък на полилинията по права линия y=1от точката (1, 1) преди (x, 1), като втори участък от пътя вземаме права отсечка от точката (x, 1)преди (x, y):

Така общото решение на DE изглежда така: .

Пример.

Нека дефинираме общото решение на DE.

Решение.

защото , тогава условието не е изпълнено, тогава лявата страна на DE няма да бъде общият диференциал на функцията и трябва да използвате втория метод на решение (това уравнение е диференциално уравнение с разделими променливи).

Показва как да разпознаете диференциално уравнение в общите диференциали. Дадени са методи за неговото решаване. Даден е пример за решаване на уравнение в общи диференциали по два начина.

Съдържание

Въведение

Диференциално уравнение от първи ред в общите диференциали е уравнение от формата:
(1) ,
където лявата страна на уравнението е общият диференциал на някаква функция U (x, y)върху променливи x, y:
.
При което .

Ако такава функция U (x, y), тогава уравнението приема формата:
dU (x, y) = 0.
Неговият общ интеграл:
U (x, y) = C,
където C е константа.

Ако диференциалното уравнение от първи ред е написано по отношение на производната:
,
след това е лесно да го приведете във формата (1) . За да направите това, умножете уравнението по dx. Тогава . В резултат на това получаваме уравнение, изразено чрез диференциали:
(1) .

Свойство на диференциалното уравнение в общите диференциали

За да уравнението (1) е уравнение в общите диференциали, е необходимо и достатъчно да е изпълнено следното отношение:
(2) .

Доказателство

Освен това приемаме, че всички функции, използвани в доказателството, са дефинирани и имат съответните производни в някакъв диапазон от x и y. точка х 0, y0също принадлежи към тази област.

Нека докажем необходимостта от условие (2).
Нека лявата страна на уравнението (1) е диференциалът на някаква функция U (x, y):
.
Тогава
;
.
Тъй като втората производна не зависи от реда на диференциране, тогава
;
.
Оттук следва, че. Условие на необходимост (2) доказано.

Нека докажем достатъчността на условие (2).
Нека условието (2) :
(2) .
Нека покажем, че е възможно да се намери такава функция U (x, y)че неговият диференциал е:
.
Това означава, че има такава функция U (x, y), което удовлетворява уравненията:
(3) ;
(4) .
Нека намерим такава функция. Интегрираме уравнението (3) от x от x 0 към x, като приемем, че y е константа:
;
;
(5) .
Диференцирайте по отношение на y, като приемете, че x е константа и приложете (2) :

.
Уравнението (4) ще бъде изпълнено, ако
.
Интегриране върху y от y 0 играчка :
;
;
.
Заместник в (5) :
(6) .
Така че намерихме функция, чийто диференциал е
.
Достатъчността е доказана.

Във формулата (6) , У (x0, y0)е константа - стойността на функцията U (x, y)в точка х 0, y0. Може да му се присвои произволна стойност.

Как да разпознаем диференциално уравнение в общите диференциали

Разгледайте диференциалното уравнение:
(1) .
За да определите дали това уравнение е в пълни диференциали, трябва да проверите условието (2) :
(2) .
Ако е валидно, тогава това е уравнение в общите диференциали. Ако не, тогава това не е уравнение в общите диференциали.

Пример

Проверете дали уравнението е в общи диференциали:
.

Тук
, .
Диференцирайте по отношение на y, като приемете, че x е константа:


.
Разграничаване


.
Тъй като:
,
тогава даденото уравнение е в общи диференциали.

Методи за решаване на диференциални уравнения в тотални диференциали

Метод на последователна диференциална екстракция

Повечето прост методрешаването на уравнението в общи диференциали е методът на последователно извличане на диференциала. За да направим това, използваме формули за диференциране, написани в диференциална форма:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
В тези формули u и v са произволни изрази, съставени от произволна комбинация от променливи.

Пример 1

Решете уравнението:
.

По-рано открихме, че това уравнение е в общи диференциали. Нека го трансформираме:
(P1) .
Решаваме уравнението, като последователно маркираме диференциала.
;
;
;
;

.
Заместник в (P1):
;
.

Метод на последователно интегриране

В този метод търсим функцията U (x, y), удовлетворяващи уравненията:
(3) ;
(4) .

Интегрираме уравнението (3) в x, ако приемем, че y е константа:
.
Тук φ (y)е произволна функция на y, която трябва да бъде дефинирана. Това е константа на интеграцията. Заместваме в уравнението (4) :
.
Оттук:
.
Интегрирайки, намираме φ (y)и по този начин U (x, y).

Пример 2

Решете уравнението в общи диференциали:
.

По-рано открихме, че това уравнение е в общи диференциали. Нека въведем обозначението:
, .
Търся функция U (x, y), чийто диференциал е лявата страна на уравнението:
.
Тогава:
(3) ;
(4) .
Интегрираме уравнението (3) в x, ако приемем, че y е константа:
(P2)
.
Разграничете по отношение на y:

.
Заместник в (4) :
;
.
Ние интегрираме:
.
Заместник в (P2):

.
Общ интеграл на уравнението:
U (x, y) = const.
Комбинираме две константи в една.

Метод на интегриране по крива

Функцията U, дефинирана от отношението:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
може да се намери чрез интегриране на това уравнение по кривата, свързваща точките (x0, y0)и (x, y):
(7) .
Тъй като
(8) ,
тогава интегралът зависи само от координатите на началната (x0, y0)и окончателно (x, y)точки и не зависи от формата на кривата. от (7) и (8) намираме:
(9) .
Тук x 0 и y 0 - постоянен. Следователно U (x0, y0)също е постоянен.

Пример за такова определение на U беше получен в доказателството:
(6) .
Тук интегрирането се извършва първо по сегмент, успореден на оста y от точката (x 0, y 0)към основния въпрос (x0, y). След това интегрирането се извършва по отсечка, успоредна на оста x от точката (x0, y)към основния въпрос (x, y) .

В повече общ случай, трябва да представите уравнението на кривата, свързваща точките (x 0, y 0)и (x, y)в параметрична форма:
х 1 = s(t1); г 1 = r(t1);
х 0 = s(t0); г 0 = r(t0);
x = s (T); y=r (T);
и интегрира върху t 1 от т 0 към t.

Най-простото интегриране е върху отсечката, свързваща точките (x 0, y 0)и (x, y). В такъв случай:
х 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; г 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
T 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
След заместването получаваме интеграла върху t от 0 преди 1 .
Този метод, обаче, води до доста тромави изчисления.

Препратки:
В.В. Степанов, Курс диференциални уравнения, ЛКИ, 2015г.

Определение 8.4.Диференциално уравнение на формата

където
се нарича пълно диференциално уравнение.

Обърнете внимание, че лявата страна на такова уравнение е общият диференциал на някаква функция
.

В общия случай уравнение (8.4) може да бъде представено като

Вместо уравнение (8.5) може да се разгледа уравнението

,

чието решение е общият интеграл на уравнение (8.4). По този начин, за да се реши уравнение (8.4), е необходимо да се намери функцията
. В съответствие с дефиницията на уравнение (8.4) имаме

(8.6)

функция
ще търсим като функция, която удовлетворява едно от тези условия (8.6):

където е произволна функция, независима от .

функция
се дефинира така, че да е изпълнено второто условие на израз (8.6).

(8.7)

От израз (8.7) се определя функцията
. Замествайки го в израза за
и вземете общия интеграл на първоначалното уравнение.

Задача 8.3.Интегриране на уравнение

Тук
.

Следователно това уравнение принадлежи към типа диференциални уравнения в общите диференциали. функция
ще търсим във формата

.

От друга страна,

.

В някои случаи състоянието
може да не се изпълнява.

След това такива уравнения се свеждат до разглеждания тип чрез умножаване по така наречения интегриращ фактор, който в общия случай е функция само на или .

Ако някое уравнение има интегриращ фактор, който зависи само от , тогава се определя по формулата

къде е съотношението трябва да бъде само функция .

По същия начин, интегриращ фактор, зависим само от , се определя по формулата

къде е съотношението
трябва да бъде само функция .

Липсата в горните съотношения, в първия случай, на променливата , а във втория - променлива , са знак за съществуването на интегриращ фактор за дадено уравнение.

Задача 8.4.Преведете това уравнение до уравнение в общите диференциали.

.

Помислете за връзката:

.

Тема 8.2. Линейни диференциални уравнения

Определение 8.5. Диференциално уравнение
се нарича линейна, ако е линейна по отношение на желаната функция , негова производна и не съдържа произведението на търсената функция и нейната производна.

Общата форма на линейно диференциално уравнение е представена от следната връзка:

(8.8)

Ако във връзка (8.8) дясната страна
, тогава такова уравнение се нарича линейно хомогенно. В случай, че дясната страна
, тогава такова уравнение се нарича линейно нехомогенно.

Нека покажем, че уравнение (8.8) е интегрируемо в квадратури.

На първия етап разглеждаме линейно хомогенно уравнение.

Такова уравнение е уравнение с разделими променливи. Наистина ли,

;

/

Последната връзка определя общото решение на линейната хомогенно уравнение.

За намиране на общо решение на линейно нехомогенно уравнение се използва методът на вариация на производната на константа. Идеята на метода е, че общото решение на линейно нехомогенно уравнение в същата форма като решението на съответното хомогенно уравнение, но произволна константа заменен с някаква функция
да се определи. Така че имаме:

(8.9)

Замествайки във връзка (8.8) изразите, съответстващи на
и
, получаваме

Замествайки последния израз във връзка (8.9), се получава общият интеграл на линейно нехомогенно уравнение.

По този начин общото решение на линейно нехомогенно уравнение се определя от две квадратури: общо решение на линейно хомогенно уравнение и конкретно решение на линейно нехомогенно уравнение.

Задача 8.5.Интегриране на уравнение

По този начин изходното уравнение принадлежи към типа линейни нехомогенни диференциални уравнения.

На първия етап намираме общото решение на линейното хомогенно уравнение.

;

На втория етап определяме общото решение на линейното нехомогенно уравнение, което се търси във формата

,

където
е функцията, която трябва да бъде дефинирана.

Така че имаме:

Заместване на съотношенията за и в първоначалното линейно нехомогенно уравнение получаваме:

;

;

.

Общото решение на линейно нехомогенно уравнение ще изглежда така:

.

Диференциал се нарича уравнение от вида

П(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 ,

където лявата страна е общият диференциал на някаква функция на две променливи.

Означаваме неизвестната функция на две променливи (това е, което трябва да намерим, когато решаваме уравнения в общите диференциали) чрез Еи скоро ще се върнем към него.

Първото нещо, на което трябва да обърнете внимание е, че от дясната страна на уравнението трябва да има нула, а знакът, свързващ двата члена от лявата страна, трябва да е плюс.

Второ, трябва да се спазва известно равенство, което е потвърждение, че даденото диференциално уравнение е уравнение в общите диференциали. Тази проверка е задължителна част от алгоритъма за решаване на уравнения в общи диференциали (тя е във втория параграф на този урок), така че процесът на намиране на функция Едоста отнема много време и е важно в началния етап да се уверим, че не губим време напразно.

И така, неизвестната функция, която трябва да се намери, се означава с Е. Сумата от частичните диференциали върху всички независими променливи дава общия диференциал. Следователно, ако уравнението е общо диференциално уравнение, лявата страна на уравнението е сумата от частичните диференциали. Тогава по дефиниция

dF = П(x,y)dx + Q(x,y)dy .

Спомняме си формулата за изчисляване на общия диференциал на функция от две променливи:

Решавайки последните две равенства, можем да напишем

.

Първото равенство е диференцируемо по отношение на променливата "y", второто - по отношение на променливата "x":

.

което е условието даденото диференциално уравнение наистина да е уравнение в общите диференциали.

Алгоритъм за решаване на диференциални уравнения в тотални диференциали

Етап 1.Уверете се, че уравнението е уравнение в общите диференциали. За да се изрази беше общият диференциал на някаква функция Е(x, y), е необходимо и достатъчно . С други думи, трябва да вземем частната производна по отношение на хи частната производна по отношение на гдруг член и ако тези производни са равни, тогава уравнението е уравнение в общите диференциали.

Стъпка 2Запишете системата от частични диференциални уравнения, които съставят функцията Е:

Стъпка 3Интегрира се първото уравнение на системата - край х (г Е:

,
г.

Алтернативен вариант (ако е по-лесно да се намери интегралът по този начин) е да се интегрира второто уравнение на системата - чрез г (хостава постоянен и се изважда от интегралния знак). Така се възстановява и функцията Е:

,
откъде е неизвестна функция х.

Стъпка 4Резултатът от стъпка 3 (намереният общ интеграл) се диференцира с г(алтернативно, от х) и се приравнява към второто уравнение на системата:

,

и алтернативно, към първото уравнение на системата:

.

От полученото уравнение определяме (в алтернативна версия)

Стъпка 5Резултатът от стъпка 4 се интегрира и намира (алтернативно намиране).

Стъпка 6Заместете резултата от стъпка 5 в резултата от стъпка 3 - във функцията, възстановена чрез частично интегриране Е. Произволна константа ° Спо-често се записва след знака за равенство - от дясната страна на уравнението. Така получаваме общото решение на диференциалното уравнение в общи диференциали. Той, както вече беше споменато, има формата Е(x, y) = ° С.

Примери за решения на диференциални уравнения в общи диференциали

Пример 1

Етап 1. уравнение в общи диференциали хедин термин от лявата страна на израза

и частната производна по отношение на гдруг термин
уравнение в общи диференциали .

Стъпка 2 Е:

Стъпка 3На х (гостава постоянен и се изважда от интегралния знак). Така възстановяваме функцията Е:

откъде е неизвестна функция г.

Стъпка 4 г

.

.

Стъпка 5

Стъпка 6 Е. Произволна константа ° С :
.

Каква е най-вероятната грешка тук? Най-честите грешки са да се вземе частичният интеграл върху една от променливите за обичайния интеграл на произведението на функциите и да се опита да се интегрира по части или заместваща променлива, а също и да се вземе частната производна на два фактора като производна на произведение на функции и потърсете производната, използвайки подходящата формула.

Това трябва да се помни: когато се изчислява частичен интеграл по отношение на една от променливите, другата е константа и се изважда от знака на интеграла, а когато се изчислява частична производна по отношение на една от променливите, другата също е константа и производната на израза се намира като производна на "действащата" променлива, умножена по константа.

Между уравнения в общи диференциали не рядкост - примери със степенен показател. Това е следващият пример. Забележително е също така, че в решението му се използва алтернативен вариант.

Пример 2Решете диференциално уравнение

.

Етап 1.Уверете се, че уравнението е уравнение в общи диференциали . За да направим това, намираме частната производна по отношение на хедин термин от лявата страна на израза

и частната производна по отношение на гдруг термин
. Тези производни са равни, така че уравнението е уравнение в общи диференциали .

Стъпка 2Записваме системата от частични диференциални уравнения, които съставят функцията Е:

Стъпка 3Интегрираме второто уравнение на системата - над г (хостава постоянен и се изважда от интегралния знак). Така възстановяваме функцията Е:

откъде е неизвестна функция х.

Стъпка 4Резултатът от стъпка 3 (намерен общ интеграл) е диференцируем по отношение на х

и се приравнява към първото уравнение на системата:

От полученото уравнение определяме:
.

Стъпка 5Интегрираме резултата от стъпка 4 и намираме:
.

Стъпка 6Заместваме резултата от стъпка 5 в резултата от стъпка 3 - във функцията, възстановена чрез частично интегриране Е. Произволна константа ° Спишете след знака за равенство. Така получаваме генерала решение на диференциално уравнение в общи диференциали :
.

В следващия пример се връщаме от алтернативата към основната.

Пример 3Решете диференциално уравнение

Етап 1.Уверете се, че уравнението е уравнение в общи диференциали . За да направим това, намираме частната производна по отношение на гедин термин от лявата страна на израза

и частната производна по отношение на хдруг термин
. Тези производни са равни, така че уравнението е уравнение в общи диференциали .

Стъпка 2Записваме системата от частични диференциални уравнения, които съставят функцията Е:

Стъпка 3Интегрираме първото уравнение на системата - На х (гостава постоянен и се изважда от интегралния знак). Така възстановяваме функцията Е:

откъде е неизвестна функция г.

Стъпка 4Резултатът от стъпка 3 (намерен общ интеграл) е диференцируем по отношение на г

и се приравнява към второто уравнение на системата:

От полученото уравнение определяме:
.

Стъпка 5Интегрираме резултата от стъпка 4 и намираме:

Стъпка 6Заместваме резултата от стъпка 5 в резултата от стъпка 3 - във функцията, възстановена чрез частично интегриране Е. Произволна константа ° Спишете след знака за равенство. Така получаваме генерала решение на диференциално уравнение в общи диференциали :
.

Пример 4Решете диференциално уравнение

Етап 1.Уверете се, че уравнението е уравнение в общи диференциали . За да направим това, намираме частната производна по отношение на гедин термин от лявата страна на израза

и частната производна по отношение на хдруг термин
. Тези производни са равни, което означава, че уравнението е уравнение в общите диференциали.

Стъпка 2Записваме системата от частични диференциални уравнения, които съставят функцията Е:

Стъпка 3Интегрираме първото уравнение на системата - На х (гостава постоянен и се изважда от интегралния знак). Така възстановяваме функцията Е:

откъде е неизвестна функция г.

Стъпка 4Резултатът от стъпка 3 (намерен общ интеграл) е диференцируем по отношение на г

и се приравнява към второто уравнение на системата:

От полученото уравнение определяме:
.

Стъпка 5Интегрираме резултата от стъпка 4 и намираме:

Стъпка 6Заместваме резултата от стъпка 5 в резултата от стъпка 3 - във функцията, възстановена чрез частично интегриране Е. Произволна константа ° Спишете след знака за равенство. Така получаваме генерала решение на диференциално уравнение в общи диференциали :
.

Пример 5Решете диференциално уравнение

.

Етап 1.Уверете се, че уравнението е уравнение в общи диференциали . За да направим това, намираме частната производна по отношение на гедин термин от лявата страна на израза

и частната производна по отношение на хдруг термин
. Тези производни са равни, така че уравнението е уравнение в общи диференциали .