Получени системи уравнения широко приложениев икономическия сектор математическо моделиране различни процеси. Например, при решаване на проблеми с управлението и планирането на производството, логистичните маршрути ( транспортна задача) или разположение на оборудването.

Системите от уравнения се използват не само в областта на математиката, но и във физиката, химията и биологията, когато се решават задачи за намиране на размера на популацията.

система линейни уравненияназовава две или повече уравнения с няколко променливи, за които е необходимо да се намери общо решение. Такава последователност от числа, за която всички уравнения стават истински равенства или доказват, че последователността не съществува.

Линейно уравнение

Уравнения от вида ax+by=c се наричат ​​линейни. Обозначенията x, y са неизвестните, чиято стойност трябва да се намери, b, a са коефициентите на променливите, c е свободният член на уравнението.
Решаването на уравнението чрез начертаване на неговата графика ще изглежда като права линия, всички точки на която са решението на полинома.

Видове системи линейни уравнения

Най-простите са примери за системи от линейни уравнения с две променливи X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, където F1,2 са функции и (x, y) са функционални променливи.

Решете система от уравнения - това означава да се намерят такива стойности (x, y), за които системата става истинско равенство, или да се установи, че няма подходящи стойности на x и y.

Двойка стойности (x, y), записана като координати на точка, се нарича решение на система от линейни уравнения.

Ако системите имат едно общо решение или няма решение, те се наричат ​​еквивалентни.

Хомогенни системи от линейни уравнения са системи, чиято дясна страна е равна на нула. Ако дясната част след знака "равно" има стойност или е изразена от функция, такава система не е хомогенна.

Броят на променливите може да бъде много повече от две, тогава трябва да говорим за пример на система от линейни уравнения с три или повече променливи.

Изправени пред системи, учениците приемат, че броят на уравненията трябва задължително да съвпада с броя на неизвестните, но това не е така. Броят на уравненията в системата не зависи от променливите, може да има произволно голям брой от тях.

Прости и сложни методи за решаване на системи от уравнения

Няма общ аналитичен начин за решаване на такива системи, всички методи се основават на числени решения. Училищният курс по математика описва подробно такива методи като пермутация, алгебрично добавяне, заместване, както и графичен и матричен метод, решение по метода на Гаус.

Основната задача при преподаването на методи за решаване е да научите как правилно да анализирате системата и да намерите оптималния алгоритъм за решение за всеки пример. Основното нещо е да не запомните система от правила и действия за всеки метод, а да разберете принципите на прилагане на конкретен метод.

Решаването на примери за системи от линейни уравнения от 7 клас на общообразователната училищна програма е доста просто и е обяснено много подробно. Във всеки учебник по математика на този раздел се отделя достатъчно внимание. Решаването на примери за системи от линейни уравнения по метода на Гаус и Крамер се изучава по-подробно в първите курсове на висшите учебни заведения.

Решаване на системи чрез метода на заместване

Действията на метода на заместване са насочени към изразяване на стойността на една променлива чрез втората. Изразът се замества в останалото уравнение, след което се редуцира до форма с една променлива. Действието се повтаря в зависимост от броя на неизвестните в системата

Да дадем пример за система от линейни уравнения от 7-ми клас по метода на заместване:

Както може да се види от примера, променливата x беше изразена чрез F(X) = 7 + Y. Полученият израз, заместен във второто уравнение на системата на мястото на X, помогна да се получи една променлива Y във второто уравнение . Решението на този пример не създава затруднения и ви позволява да получите стойността Y. Последна стъпкатова е тест на получените стойности.

Не винаги е възможно да се реши пример на система от линейни уравнения чрез заместване. Уравненията могат да бъдат сложни и изразяването на променливата по отношение на второто неизвестно ще бъде твърде тромаво за по-нататъшни изчисления. Когато в системата има повече от 3 неизвестни, заместващото решение също е непрактично.

Решение на пример на система от линейни нехомогенни уравнения:

Решение чрез алгебрично събиране

При търсене на решение на системи чрез метода на събиране се извършва почленно събиране и умножение на уравнения с различни числа. Крайната цел на математическите операции е уравнение с една променлива.

За приложения този методизисква практика и наблюдение. Не е лесно да се реши система от линейни уравнения с помощта на метода на събиране с брой променливи 3 или повече. Алгебричното добавяне е полезно, когато уравненията съдържат дроби и десетични числа.

Алгоритъм за действие на решението:

1. Умножете двете страни на уравнението по някакво число. В резултат на аритметичната операция един от коефициентите на променливата трябва да стане равен на 1.
2. Съберете получения израз член по член и намерете едно от неизвестните.
3. Заместете получената стойност във второто уравнение на системата, за да намерите оставащата променлива.

Метод на решение чрез въвеждане на нова променлива

Може да се въведе нова променлива, ако системата трябва да намери решение за не повече от две уравнения, броят на неизвестните също трябва да бъде не повече от две.

Методът се използва за опростяване на едно от уравненията чрез въвеждане на нова променлива. Новото уравнение се решава по отношение на въведеното неизвестно и получената стойност се използва за определяне на оригиналната променлива.

От примера може да се види, че чрез въвеждане на нова променлива t е възможно да се намали първото уравнение на системата до стандартен квадратен трином. Можете да разрешите полином, като намерите дискриминанта.

Необходимо е да се намери стойността на дискриминанта, като се използва добре известната формула: D = b2 - 4*a*c, където D е желаният дискриминант, b, a, c са множителите на полинома. В дадения пример a=1, b=16, c=39, следователно D=100. Ако дискриминантът е по-голям от нула, тогава има две решения: t = -b±√D / 2*a, ако дискриминантът е по-малък от нула, тогава има само едно решение: x= -b / 2*a.

Решението за получените системи се намира по метода на добавяне.

Визуален метод за решаване на системи

Подходящ за системи с 3 уравнения. Методът се състои в начертаване на графики на всяко уравнение, включено в системата върху координатната ос. Координатите на точките на пресичане на кривите и ще бъдат общо решениесистеми.

Графичният метод има редица нюанси. Разгледайте няколко примера за решаване на системи от линейни уравнения по визуален начин.

Както може да се види от примера, две точки бяха конструирани за всяка линия, стойностите на променливата x бяха избрани произволно: 0 и 3. Въз основа на стойностите на x бяха намерени стойностите за y: 3 и 0. На графиката са отбелязани точки с координати (0, 3) и (3, 0) и свързани с линия.

Стъпките трябва да се повторят за второто уравнение. Пресечната точка на правите е решението на системата.

В следния пример се изисква да се намери графично решение на системата от линейни уравнения: 0.5x-y+2=0 и 0.5x-y-1=0.

Както се вижда от примера, системата няма решение, тъй като графиките са успоредни и не се пресичат по цялата си дължина.

Системите от примери 2 и 3 са сходни, но когато се конструират, става очевидно, че техните решения са различни. Трябва да се помни, че не винаги е възможно да се каже дали системата има решение или не, винаги е необходимо да се изгради графика.

Матрицата и нейните разновидности

Матриците се използват за кратко записване на система от линейни уравнения. Матрицата е специален вид таблица, пълна с числа. n*m има n - редове и m - колони.

Матрицата е квадратна, когато броят на колоните и редовете е равен. Матрица-вектор е матрица с една колона с безкраен възможен брой редове. Матрица с единици по един от диагоналите и други нулеви елементи се нарича идентичност.

Обратната матрица е такава матрица, когато се умножи, по която оригиналната се превръща в единична, такава матрица съществува само за оригиналната квадратна.

Правила за преобразуване на система от уравнения в матрица

По отношение на системите от уравнения коефициентите и свободните членове на уравненията се записват като числа на матрицата, едно уравнение е един ред от матрицата.

Матричен ред се нарича ненулев, ако поне един елемент от реда не е равен на нула. Следователно, ако в някое от уравненията броят на променливите е различен, тогава е необходимо да въведете нула на мястото на липсващото неизвестно.

Колоните на матрицата трябва стриктно да съответстват на променливите. Това означава, че коефициентите на променливата x могат да бъдат записани само в една колона, например първата, коефициентът на неизвестното y - само във втората.

При умножаване на матрица всички елементи на матрицата се умножават последователно по число.

Опции за намиране на обратната матрица

Формулата за намиране на обратната матрица е доста проста: K -1 = 1 / |K|, където K -1 е обратната матрица и |K| - матричен детерминант. |K| не трябва да е равно на нула, тогава системата има решение.

Детерминантата се изчислява лесно за матрица две по две, необходимо е само елементите да се умножат диагонално един с друг. За опцията "три по три" има формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можете да използвате формулата или можете да запомните, че трябва да вземете по един елемент от всеки ред и всяка колона, така че номерата на колоните и редовете на елементите да не се повтарят в продукта.

Решаване на примери на системи от линейни уравнения по матричния метод

Матричният метод за намиране на решение прави възможно намаляването на тромавите записи при решаване на системи с голям брой променливи и уравнения.

В примера a nm са коефициентите на уравненията, матрицата е вектор, x n са променливите, а b n са свободните членове.

Решаване на системи по метода на Гаус

Във висшата математика методът на Гаус се изучава заедно с метода на Крамер, а процесът на намиране на решение на системи се нарича метод на решаване на Гаус-Крамър. Тези методи се използват за намиране на променливите на системи с голям брой линейни уравнения.

Методът на Гаус е много подобен на решенията за заместване и алгебрично добавяне, но е по-систематичен. В училищния курс се използва решението на Гаус за системи от 3 и 4 уравнения. Целта на метода е да доведе системата до формата на обърнат трапец. Чрез алгебрични трансформации и замествания стойността на една променлива се намира в едно от уравненията на системата. Второто уравнение е израз с 2 неизвестни, а 3 и 4 - съответно с 3 и 4 променливи.

След привеждане на системата до описания вид, по-нататъшното решение се свежда до последователно заместване на известни променливи в уравненията на системата.

AT училищни учебнициза 7 клас е описан пример за решение по метода на Гаус, както следва:

Както може да се види от примера, на стъпка (3) са получени две уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решението на всяко от уравненията ще ви позволи да намерите една от променливите x n.

Теорема 5, която се споменава в текста, гласи, че ако едно от уравненията на системата се замени с еквивалентно, то получената система също ще бъде еквивалентна на оригиналната.

Методът на Гаус е труден за разбиране от учениците гимназия, но е един от най-интересните начини за развитие на изобретателността на децата, записани в програмата задълбочено проучванев часовете по математика и физика.

За по-лесно записване на изчисленията е обичайно да се прави следното:

Коефициентите на уравнението и свободните членове се записват под формата на матрица, където всеки ред от матрицата съответства на едно от уравненията на системата. разделя лявата страна на уравнението от дясната страна. Римските цифри означават номерата на уравненията в системата.

Първо те записват матрицата, с която да работят, след това всички действия, извършени с един от редовете. Получената матрица се записва след знака "стрелка" и продължава да извършва необходимите алгебрични операции, докато се постигне резултатът.

В резултат на това трябва да се получи матрица, в която един от диагоналите е 1, а всички други коефициенти са равни на нула, т.е. матрицата се редуцира до една форма. Не трябва да забравяме да правим изчисления с числата от двете страни на уравнението.

Тази нотация е по-малко тромава и ви позволява да не се разсейвате от изброяване на множество неизвестни.

Безплатното прилагане на всеки метод на решение ще изисква внимание и известен опит. Не всички методи се прилагат. Някои начини за намиране на решения са по-предпочитани в определена област на човешката дейност, докато други съществуват с цел обучение.

Системи линейни уравнения. Лекция 6

Системи линейни уравнения.

Основни понятия.

система за преглед

Наречен система - линейни уравнения с неизвестни.

Числата , , се наричат системни коефициенти.

Извикват се номера безплатни членове на системата, – системни променливи. Матрица

Наречен основната матрица на системата, и матрицата

– разширена матрична система. Матрици - колони

И съответно матрици на свободни членове и неизвестни на системата. Тогава, в матрична форма, системата от уравнения може да бъде записана като . Системно решениесе наричат ​​стойностите на променливите, при заместването на които всички уравнения на системата се превръщат в истински числени равенства. Всяко решение на системата може да бъде представено като матрица-колона. Тогава матричното равенство е вярно.

Системата от уравнения се нарича ставаако има поне едно решение и несъвместимиако няма решение.

Да се ​​реши система от линейни уравнения означава да се установи дали тя е съвместима и ако е съвместима, да се намери нейното общо решение.

Системата се нарича хомогененако всички негови свободни членове са равни на нула. Една хомогенна система винаги е съвместима, защото има решение

Теоремата на Кронекер-Копели.

Отговорът на въпроса за съществуването на решения на линейни системи и тяхната уникалност ни позволява да получим следния резултат, който може да бъде формулиран като следните твърдения за система от линейни уравнения с неизвестни

(1)

Теорема 2. Системата от линейни уравнения (1) е последователна тогава и само ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената (.

Теорема 3. Ако рангът на основната матрица на обща система от линейни уравнения е равен на броя на неизвестните, тогава системата има уникално решение.

Теорема 4. Ако рангът на основната матрица на съвместна система е по-малък от броя на неизвестните, тогава системата има безкраен брой решения.

Правила за решаване на системи.

3. Намерете израза на главните променливи през свободните и получете общото решение на системата.

4. Чрез даване на произволни стойности на свободни променливи се получават всички стойности на основните променливи.

Методи за решаване на системи от линейни уравнения.

Метод на обратната матрица.

и , т.е. системата има уникално решение. Записваме системата в матрична форма

където , , .

Умножете двете страни на матричното уравнение отляво по матрицата

Тъй като , получаваме , от което получаваме равенство за намиране на неизвестни

Пример 27.Използвайки метода на обратната матрица, решете системата от линейни уравнения

Решение. Означаваме с главната матрица на системата

.

Нека , тогава намираме решението по формулата .

Нека изчислим.

Тъй като , тогава системата има уникално решение. Намерете всички алгебрични допълнения

, ,

, ,

, ,

, ,

По този начин

.

Да проверим

.

Обратната матрица е намерена правилно. От тук, използвайки формулата, намираме матрицата на променливите.

.

Сравнявайки стойностите на матриците, получаваме отговора: .

Методът на Крамер.

Нека е дадена система от линейни уравнения с неизвестни

и , т.е. системата има уникално решение. Записваме решението на системата в матрична форма или

Обозначете

. . . . . . . . . . . . . . ,

Така получаваме формули за намиране на стойностите на неизвестните, които се наричат Формули на Крамер.

Пример 28.Решете следната система от линейни уравнения, като използвате метода на Крамер .

Решение. Намерете детерминантата на основната матрица на системата

.

Тъй като , тогава системата има уникално решение.

Намерете останалите детерминанти за формулите на Крамър

,

,

.

Използвайки формулите на Cramer, намираме стойностите на променливите

Метод на Гаус.

Методът се състои в последователно изключване на променливи.

Нека е дадена система от линейни уравнения с неизвестни.

Процесът на решаване на Гаус се състои от две стъпки:

На първия етап разширената матрица на системата се редуцира до стъпаловидна форма с помощта на елементарни трансформации

,

където , което съответства на системата

След това променливите се считат за безплатни и във всяко уравнение се прехвърлят към правилната страна.

На втория етап променливата се изразява от последното уравнение, получената стойност се замества в уравнението. От това уравнение

променливата е изразена. Този процес продължава до първото уравнение. Резултатът е израз на главните променливи по отношение на свободните променливи .

Пример 29.Решете следната система, като използвате метода на Гаус

Решение. Нека напишем разширената матрица на системата и я редуцираме до стъпкова форма

.

защото е по-голямо от броя на неизвестните, тогава системата е съвместима и има безкраен брой решения. Нека напишем системата за стъпковата матрица

Детерминантата на разширената матрица на тази система, съставена от първите три колони, не е равна на нула, затова я считаме за основна. Променливи

Ще бъде основен и променливата ще бъде безплатна. Нека го преместим във всички уравнения наляво

От последното уравнение изразяваме

Замествайки тази стойност в предпоследното второ уравнение, получаваме

където . Замествайки стойностите на променливите и в първото уравнение, намираме . Пишем отговора в следната форма

Система от линейни уравнения е обединение от n линейни уравнения, всяко от които съдържа k променливи. Написано е така:

Мнозина, когато се сблъскат с по-висока алгебра за първи път, погрешно смятат, че броят на уравненията задължително трябва да съвпада с броя на променливите. В училищната алгебра това обикновено е така, но за висшата алгебра това, общо казано, не е вярно.

Решението на система от уравнения е поредица от числа (k 1 , k 2 , ..., k n ), която е решението на всяко уравнение на системата, т.е. при заместване в това уравнение вместо променливи x 1 , x 2 , ..., x n дава правилното числово равенство.

Съответно, да се реши система от уравнения означава да се намери множеството от всички нейни решения или да се докаже, че това множество е празно. Тъй като броят на уравненията и броят на неизвестните може да не са еднакви, възможни са три случая:

1. Системата е непоследователна, т.е. множеството от всички решения е празно. Доста рядък случай, който лесно се открива, независимо от метода за решаване на системата.
2. Системата е последователна и дефинирана, т.е. има точно едно решение. Класическата версия, добре позната от училище.
3. Системата е последователна и недефинирана, т.е. има безкрайно много решения. Това е най-трудният вариант. Не е достатъчно да се каже, че "системата има безкраен набор от решения" - необходимо е да се опише как е подредено това множество.

Променливата x i се нарича разрешена, ако е включена само в едно уравнение на системата и с коефициент 1. С други думи, в останалите уравнения коефициентът за променливата x i трябва да бъде равен на нула.

Ако изберем една разрешена променлива във всяко уравнение, получаваме набор от разрешени променливи за цялата система от уравнения. Самата система, написана в тази форма, също ще се нарича разрешена. Най-общо казано, една и съща изходна система може да се сведе до различни разрешени системи, но това сега не ни засяга. Ето примери за разрешени системи:

И двете системи са разрешени по отношение на променливите x 1 , x 3 и x 4 . Със същия успех обаче може да се твърди, че втората система е разрешена по отношение на x 1 , x 3 и x 5 . Достатъчно е да пренапишете последното уравнение във формата x 5 = x 4 .

Сега помислете повече общ случай. Да предположим, че имаме общо k променливи, от които r са разрешени. Тогава са възможни два случая:

1. Броят на разрешените променливи r е равен на общия брой на променливите k : r = k . Получаваме система от k уравнения, в която r = k разрешени променливи. Такава система е съвместна и категорична, т.к x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Броят на разрешените променливи r е по-малък от общия брой на променливите k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

И така, в горните системи променливите x 2 , x 5 , x 6 (за първата система) и x 2 , x 5 (за втората) са свободни. Случаят, когато има свободни променливи, е по-добре формулиран като теорема:

Моля, обърнете внимание: това е много важен момент! В зависимост от начина, по който пишете окончателната система, една и съща променлива може да бъде едновременно разрешена и свободна. Повечето напреднали учители по математика препоръчват изписване на променливи в лексикографски ред, т.е. възходящ индекс. Въпреки това, изобщо не е нужно да следвате този съвет.

Теорема. Ако в система от n уравнения променливите x 1 , x 2 , ..., x r са разрешени и x r + 1 , x r + 2 , ..., x k са свободни, тогава:

1. Ако зададем стойностите на свободните променливи (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), и след това намерим стойностите x 1, x 2, . .., x r , получаваме едно от решенията.
2. Ако стойностите на свободните променливи в две решения са еднакви, тогава стойностите на разрешените променливи също са еднакви, т.е. решенията са равни.

Какъв е смисълът на тази теорема? За да се получат всички решения на разрешената система от уравнения, е достатъчно да се отделят свободните променливи. След това присвояване на свободни променливи различни значения, ще получим решения до ключ. Това е всичко - по този начин можете да получите всички решения на системата. Няма други решения.

Извод: разрешената система от уравнения винаги е съвместима. Ако броят на уравненията в разрешената система е равен на броя на променливите, системата ще бъде определена; ако е по-малко, тя ще бъде неопределена.

И всичко би било наред, но възниква въпросът: как да се получи разрешеното от оригиналната система от уравнения? За това има

Съдържание на урока

Линейни уравнения с две променливи

Ученикът има 200 рубли за обяд в училище. Торта струва 25 рубли, а чаша кафе - 10 рубли. Колко торти и чаши кафе можете да купите за 200 рубли?

Означете броя на тортите хи броя чаши кафе г. Тогава цената на тортите ще бъде означена с израза 25 х, а цената на чашите кафе в 10 г .

25х-цена хторти
10д-цена гчаши кафе

Общата сума трябва да бъде 200 рубли. Тогава получаваме уравнение с две променливи хи г

25х+ 10г= 200

Колко корена има това уравнение?

Всичко зависи от апетита на ученика. Ако той купи 6 торти и 5 чаши кафе, тогава корените на уравнението ще бъдат числата 6 и 5.

Твърди се, че двойката стойности 6 и 5 са ​​корените на уравнение 25 х+ 10г= 200. Записано като (6; 5), като първото число е стойността на променливата х, а втората - стойността на променливата г .

6 и 5 не са единствените корени, които обръщат Уравнение 25 х+ 10г= 200 за самоличност. Ако желаете, за същите 200 рубли студентът може да купи 4 торти и 10 чаши кафе:

В този случай корените на уравнение 25 х+ 10г= 200 е двойката стойности (4; 10).

Освен това студентът може изобщо да не купува кафе, но да купува торти за всичките 200 рубли. Тогава корените на уравнение 25 х+ 10г= 200 ще бъдат стойностите 8 и 0

Или обратното, не купувайте торти, а купете кафе за всичките 200 рубли. Тогава корените на уравнение 25 х+ 10г= 200 ще бъдат стойностите 0 и 20

Нека се опитаме да изброим всички възможни корени на уравнение 25 х+ 10г= 200. Нека се съгласим, че ценностите хи гпринадлежат на множеството от цели числа. И нека тези стойности са по-големи или равни на нула:

х∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Така ще бъде удобно и за самия ученик. Тортите са по-удобни за закупуване цели, отколкото например няколко цели торти и половин торта. Освен това кафето е по-удобно да се приема в цели чаши, отколкото например няколко цели чаши и половин чаша.

Имайте предвид, че за странно хневъзможно е да се постигне равенство при никакви обстоятелства г. След това стойностите хще има следните числа 0, 2, 4, 6, 8. И знаейки хможе лесно да се определи г

Така получихме следните двойки стойности (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Тези двойки са решения или корени на уравнение 25 х+ 10г= 200. Те превръщат това уравнение в тъждество.

Типово уравнение брадва + от = cНаречен линейно уравнение с две променливи. Решение или корени на това уравнение е двойка стойности ( х; г), което го превръща в идентичност.

Обърнете внимание също, че ако линейно уравнение с две променливи е написано като ax + b y = c,тогава казват, че е написано в каноничен(нормална) форма.

Някои линейни уравнения с две променливи могат да бъдат редуцирани до канонична форма.

Например уравнението 2(16х+ 3д- 4) = 2(12 + 8х − г) може да се доведе до ума брадва + от = c. Нека отворим скобите в двете части на това уравнение, получаваме 32х + 6г − 8 = 24 + 16х − 2г . Членовете, съдържащи неизвестни, са групирани от лявата страна на уравнението, а термините без неизвестни са групирани отдясно. Тогава получаваме 32х - 16х+ 6г+ 2г = 24 + 8 . Внасяме подобни членове в двете части, получаваме уравнение 16 х+ 8г= 32. Това уравнение се свежда до формата брадва + от = cи е каноничен.

Уравнение 25, разгледано по-рано х+ 10г= 200 също е линейно уравнение с две променливи в канонична форма. В това уравнение параметрите а , bи ° Сса равни на стойностите съответно 25, 10 и 200.

Всъщност уравнението брадва + от = cима безкраен брой решения. Решаване на уравнението 25х+ 10г= 200, търсихме неговите корени само в множеството от цели числа. В резултат на това получихме няколко двойки стойности, които превърнаха това уравнение в идентичност. Но на набор от рационални числа уравнение 25 х+ 10г= 200 ще има безкраен брой решения.

За да получите нови двойки стойности, трябва да вземете произволна стойност за х, след това изразете г. Например, нека вземем променлива хстойност 7. След това получаваме уравнение с една променлива 25×7 + 10г= 200 в който да изразя г

Позволявам х= 15. Тогава уравнението 25х+ 10г= 200 става 25 × 15 + 10г= 200. От тук намираме това г = −17,5

Позволявам х= −3 . Тогава уравнението 25х+ 10г= 200 става 25 × (−3) + 10г= 200. От тук намираме това г = −27,5

Система от две линейни уравнения с две променливи

За уравнението брадва + от = cможете да вземете произволен брой произволни стойности за хи намерете стойности за г. Взето отделно, такова уравнение ще има безкраен брой решения.

Но също така се случва, че променливите хи гсвързани не с едно, а с две уравнения. В този случай те образуват т.нар система от линейни уравнения с две променливи. Такава система от уравнения може да има една двойка стойности (или с други думи: „едно решение“).

Възможно е също така системата да няма никакви решения. Система от линейни уравнения може да има безкраен брой решения в редки и изключителни случаи.

Две линейни уравнения образуват система, когато стойностите хи гса включени във всяко от тези уравнения.

Нека се върнем към първото уравнение 25 х+ 10г= 200. Една от двойките стойности за това уравнение беше двойката (6; 5) . Такъв е случаят, когато за 200 рубли могат да се купят 6 торти и 5 чаши кафе.

Съставяме задачата така, че двойката (6; 5) да стане единственото решение за уравнение 25 х+ 10г= 200. За да направим това, ние съставяме друго уравнение, което ще свърже същото хторти и гчаши кафе.

Нека поставим текста на задачата по следния начин:

„Един ученик купи няколко торти и няколко чаши кафе за 200 рубли. Торта струва 25 рубли, а чаша кафе - 10 рубли. Колко торти и чаши кафе е купил ученикът, ако се знае, че броят на тортите е с една повече от броя на чашите кафе?

Вече имаме първото уравнение. Това е уравнение 25 х+ 10г= 200. Сега нека напишем уравнение за условието "броят на тортите е с една единица повече от броя на чашите кафе" .

Броят на тортите е х, а броят на чашите кафе е г. Можете да напишете тази фраза, като използвате уравнението x − y= 1. Това уравнение би означавало, че разликата между сладкиши и кафе е 1.

x=y+ 1 . Това уравнение означава, че броят на тортите е с едно повече от броя на чашите кафе. Следователно, за да се получи равенство, към броя на чашите кафе се добавя единица. Това може лесно да се разбере, ако използваме тегловния модел, който разгледахме при изучаването на най-простите задачи:

Получих две уравнения: 25 х+ 10г= 200 и x=y+ 1. Тъй като стойностите хи г, а именно 6 и 5 са ​​включени във всяко от тези уравнения, тогава заедно те образуват система. Нека запишем тази система. Ако уравненията образуват система, тогава те са рамкирани със знака на системата. Системният знак е фигурна скоба:

Нека решим тази система. Това ще ни позволи да видим как стигаме до стойностите 6 и 5. Има много методи за решаване на такива системи. Помислете за най-популярните от тях.

Метод на заместване

Името на този метод говори само за себе си. Същността му е да замести едно уравнение в друго, като предварително е изразила една от променливите.

В нашата система нищо не трябва да се изразява. Във второто уравнение х = г+ 1 променлива хвече изразени. Тази променлива е равна на израза г+ 1 . След това можете да замените този израз в първото уравнение вместо променливата х

След заместване на израза гВместо това + 1 в първото уравнение х, получаваме уравнението 25(г+ 1) + 10г= 200 . Това е линейно уравнение с една променлива. Това уравнение е доста лесно за решаване:

Намерихме стойността на променливата г. Сега заместваме тази стойност в едно от уравненията и намираме стойността х. За това е удобно да се използва второто уравнение х = г+ 1 . Нека поставим стойността в него г

Така че двойката (6; 5) е решение на системата от уравнения, както възнамерявахме. Проверяваме и се уверяваме, че двойката (6; 5) удовлетворява системата:

Пример 2

Заместете първото уравнение х= 2 + гвъв второто уравнение 3 х - 2г= 9 . В първото уравнение променливата хе равно на израза 2 + г. Вместо това заместваме този израз във второто уравнение х

Сега нека намерим стойността х. За да направите това, заменете стойността гв първото уравнение х= 2 + г

Така че решението на системата е стойността на двойката (5; 3)

Пример 3. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на заместване:

Тук, за разлика от предишните примери, една от променливите не е изрично изразена.

За да замените едно уравнение в друго, първо трябва .

Желателно е да се изрази променливата с коефициент единица. Коефициентната единица има променлива х, който се съдържа в първото уравнение х+ 2г= 11. Нека изразим тази променлива.

След променлив израз х, нашата система ще изглежда така:

Сега заместваме първото уравнение във второто и намираме стойността г

Заместител г х

Така че решението на системата е двойка стойности (3; 4)

Разбира се, можете също да изразите променлива г. Корените няма да се променят. Но ако изразите y,резултатът не е много просто уравнение, чието решение ще отнеме повече време. Ще изглежда така:

Виждаме, че в този пример за изразяване хмного по-удобно от изразяването г .

Пример 4. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на заместване:

Изразете в първото уравнение х. Тогава системата ще приеме формата:

г

Заместител гв първото уравнение и намерете х. Можете да използвате оригиналното уравнение 7 х+ 9г= 8 или използвайте уравнението, в което е изразена променливата х. Ще използваме това уравнение, тъй като е удобно:

Така че решението на системата е двойката стойности (5; −3)

Метод на добавяне

Методът на добавяне е да се добавят член по член уравненията, включени в системата. Това добавяне води до ново уравнение с една променлива. И е доста лесно да се реши това уравнение.

Нека решим следната система от уравнения:

Добавете лявата страна на първото уравнение към лявата страна на второто уравнение. И дясната страна на първото уравнение с дясната страна на второто уравнение. Получаваме следното равенство:

Ето подобни термини:

В резултат получихме най-простото уравнение 3 х= 27, чийто корен е 9. Знаейки стойността хможете да намерите стойността г. Заместете стойността хвъв второто уравнение x − y= 3 . Получаваме 9 − г= 3 . Оттук г= 6 .

Така че решението на системата е двойка стойности (9; 6)

Пример 2

Добавете лявата страна на първото уравнение към лявата страна на второто уравнение. И дясната страна на първото уравнение с дясната страна на второто уравнение. В полученото равенство представяме подобни термини:

В резултат на това получихме най-простото уравнение 5 х= 20, чийто корен е 4. Знаейки стойността хможете да намерите стойността г. Заместете стойността хв първото уравнение 2 x+y= 11. Да вземем 8 + г= 11. Оттук г= 3 .

Така че решението на системата е двойката стойности (4;3)

Процесът на добавяне не е описан подробно. Трябва да се направи в ума. При събиране и двете уравнения трябва да бъдат приведени до канонична форма. Това ще рече ac+от=c .

От разгледаните примери се вижда, че основната цел на добавянето на уравнения е да се отървем от една от променливите. Но не винаги е възможно веднага да се реши системата от уравнения чрез метода на добавяне. Най-често системата е предварително доведена до форма, в която е възможно да се добавят уравненията, включени в тази система.

Например системата може да се реши директно чрез метода на добавяне. При добавяне на двете уравнения, членовете ги −yизчезват, защото сборът им е нула. В резултат на това се формира най-простото уравнение 11 х= 22 , чийто корен е 2. Тогава ще бъде възможно да се определи гравно на 5.

И системата от уравнения методът на добавяне не може да бъде решен веднага, тъй като това няма да доведе до изчезване на една от променливите. Добавянето ще доведе до Уравнение 8 х+ г= 28 , което има безкраен брой решения.

Ако двете части на уравнението се умножат или разделят на едно и също число, което не е равно на нула, тогава ще се получи уравнение, еквивалентно на даденото. Това правило е валидно и за система от линейни уравнения с две променливи. Едно от уравненията (или и двете уравнения) може да се умножи по някакво число. Резултатът е еквивалентна система, чиито корени ще съвпадат с предишната.

Да се ​​върнем към първата система, която описва колко торти и чаши кафе е купил ученикът. Решението на тази система беше двойка стойности (6; 5).

Ние умножаваме двете уравнения, включени в тази система, с някои числа. Да кажем, че умножаваме първото уравнение по 2 и второто по 3

Резултатът е система
Решението на тази система все още е двойката стойности (6; 5)

Това означава, че уравненията, включени в системата, могат да бъдат приведени до форма, подходяща за прилагане на метода на добавяне.

Обратно към системата , което не можахме да решим чрез метода на добавяне.

Умножете първото уравнение по 6 и второто по −2

Тогава получаваме следната система:

Добавяме уравненията, включени в тази система. Добавяне на компоненти 12 хи -12 хще доведе до 0, добавяне 18 ги 4 гще даде 22 ги добавянето на 108 и −20 дава 88. След това получавате уравнението 22 г= 88, следователно г = 4 .

Ако в началото ви е трудно да добавите уравнения наум, тогава можете да запишете как лявата страна на първото уравнение се добавя към лявата страна на второто уравнение и дясната страна на първото уравнение към дясната страна на второто уравнение:

Знаейки, че стойността на променливата ге 4, можете да намерите стойността х. Заместител гв едно от уравненията, например в първото уравнение 2 х+ 3г= 18. Тогава получаваме уравнение с една променлива 2 х+ 12 = 18 . Прехвърляме 12 от дясната страна, променяйки знака, получаваме 2 х= 6, следователно х = 3 .

Пример 4. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:

Умножете второто уравнение по −1. Тогава системата ще приеме следния вид:

Нека съберем и двете уравнения. Добавяне на компоненти хи −xще доведе до 0, добавяне 5 ги 3 гще даде 8 ги добавянето на 7 и 1 дава 8. Резултатът е уравнение 8 г= 8 , чийто корен е 1. Знаейки, че стойността ге 1, можете да намерите стойността х .

Заместител гв първото уравнение, получаваме х+ 5 = 7, следователно х= 2

Пример 5. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:

Желателно е термините, съдържащи еднакви променливи, да са разположени един под друг. Следователно във второто уравнение членовете 5 ги −2 хсменят местата. В резултат на това системата ще приеме формата:

Умножете второто уравнение по 3. Тогава системата ще приеме формата:

Сега нека съберем двете уравнения. В резултат на събирането получаваме уравнение 8 г= 16, чийто корен е 2.

Заместител гв първото уравнение получаваме 6 х− 14 = 40 . Прехвърляме термина −14 от дясната страна, променяйки знака, получаваме 6 х= 54 . Оттук х= 9.

Пример 6. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:

Да се ​​отървем от дробите. Умножете първото уравнение по 36, а второто по 12

В получената система първото уравнение може да се умножи по −5, а второто по 8

Нека добавим уравненията в получената система. Тогава получаваме най-простото уравнение −13 г= −156 . Оттук г= 12. Заместител гв първото уравнение и намерете х

Пример 7. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:

Привеждаме двете уравнения в нормална форма. Тук е удобно да се приложи правилото за пропорцията и в двете уравнения. Ако в първото уравнение дясната страна е представена като , а дясната страна на второто уравнение като , тогава системата ще приеме формата:

Имаме пропорция. Умножаваме неговите крайни и средни членове. Тогава системата ще приеме формата:

Умножаваме първото уравнение по −3 и отваряме скобите във второто:

Сега нека съберем двете уравнения. В резултат на добавянето на тези уравнения получаваме равенство, в двете части на което ще има нула:

Оказва се, че системата има безкраен брой решения.

Но не можем просто да вземем произволни стойности от небето за хи г. Можем да посочим една от стойностите, а другата ще се определи в зависимост от стойността, която сме посочили. Например, нека х= 2. Заменете тази стойност в системата:

В резултат на решаването на едно от уравненията стойността за г, което ще задоволи и двете уравнения:

Получената двойка стойности (2; −2) ще задоволи системата:

Нека намерим друга двойка стойности. Позволявам х= 4. Заместете тази стойност в системата:

Може да се определи на око, че ге равно на нула. След това получаваме двойка стойности (4; 0), която удовлетворява нашата система:

Пример 8. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:

Умножете първото уравнение по 6, а второто по 12

Нека пренапишем това, което е останало:

Умножете първото уравнение по −1. Тогава системата ще приеме формата:

Сега нека съберем двете уравнения. В резултат на събирането се образува уравнение 6 b= 48 , чийто корен е 8. Заместете bв първото уравнение и намерете а

Система от линейни уравнения с три променливи

Линейно уравнение с три променливи включва три променливи с коефициенти, както и пресечна точка. В канонична форма може да се напише по следния начин:

брадва + от + cz = d

Това уравнение има безкраен брой решения. Даване на две променливи различни значения, можете да намерите третата стойност. Решението в този случай е тройната стойност ( х; y; z), което превръща уравнението в идентичност.

Ако променливите x, y, zса свързани помежду си с три уравнения, тогава се образува система от три линейни уравнения с три променливи. За да решите такава система, можете да приложите същите методи, които се прилагат за линейни уравнения с две променливи: метод на заместване и метод на добавяне.

Пример 1. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на заместване:

Изразяваме в третото уравнение х. Тогава системата ще приеме формата:

Сега нека направим замяната. Променлива хе равно на израза 3 − 2г − 2z . Заместете този израз в първото и второто уравнения:

Нека отворим скобите в двете уравнения и да дадем подобни термини:

Стигнахме до система от линейни уравнения с две променливи. В този случай е удобно да се приложи методът на добавяне. В резултат на това променливата гще изчезне и можем да намерим стойността на променливата z

Сега нека намерим стойността г. За това е удобно да се използва уравнението − г+ z= 4. Заместете стойността z

Сега нека намерим стойността х. За това е удобно да използвате уравнението х= 3 − 2г − 2z . Заменете стойностите в него ги z

По този начин тройката от стойности (3; −2; 2) е решението на нашата система. Чрез проверка се уверяваме, че тези стойности задоволяват системата:

Пример 2. Решете системата чрез събиране

Нека съберем първото уравнение с второто, умножено по −2.

Ако второто уравнение се умножи по −2, то ще приеме формата −6х+ 6д- 4z = −4 . Сега го добавете към първото уравнение:

Виждаме, че в резултат на елементарни трансформации се определя стойността на променливата х. То е равно на едно.

Да се ​​върнем към основната система. Нека съберем второто уравнение с третото, умножено по −1. Ако третото уравнение се умножи по −1, то ще приеме формата −4х + 5г − 2z = −1 . Сега го добавете към второто уравнение:

Разбрах уравнението х - 2г= −1 . Заместете стойността в него хкоито открихме по-рано. Тогава можем да определим стойността г

Вече знаем стойностите хи г. Това ви позволява да определите стойността z. Използваме едно от уравненията, включени в системата:

По този начин тройната стойност (1; 1; 1) е решението на нашата система. Чрез проверка се уверяваме, че тези стойности задоволяват системата:

Задачи за съставяне на системи линейни уравнения

Задачата за съставяне на системи от уравнения се решава чрез въвеждане на няколко променливи. След това се съставят уравнения въз основа на условията на проблема. От съставените уравнения съставят система и я решават. След решаването на системата е необходимо да се провери дали нейното решение отговаря на условията на проблема.

Задача 1. Кола Волга напусна града за колхоза. Тя се върна обратно по друг път, който беше с 5 км по-къс от първия. Общо колата е изминала 35 км в двете посоки. Колко километра е дълъг всеки път?

Решение

Позволявам х-дължина на първия път, г- дължината на втория. Ако колата е изминала 35 км в двете посоки, тогава първото уравнение може да бъде написано като х+ г= 35. Това уравнение описва сумата от дължините на двата пътя.

Говори се, че колата се връщала обратно по пътя, който бил по-къс от първия с 5 км. Тогава второто уравнение може да бъде написано като х− г= 5. Това уравнение показва, че разликата между дължините на пътищата е 5 км.

Или второто уравнение може да бъде написано като х= г+ 5 . Ще използваме това уравнение.

Тъй като променливите хи гв двете уравнения означават едно и също число, тогава можем да формираме система от тях:

Нека решим тази система, като използваме един от предварително изучените методи. В този случай е удобно да се използва методът на заместване, тъй като във второто уравнение променливата хвече изразени.

Заместете второто уравнение в първото и намерете г

Заместете намерената стойност гвъв второто уравнение х= г+ 5 и намерете х

Дължината на първия път беше означена с променливата х. Сега открихме значението му. Променлива хе 20. Така че дължината на първия път е 20 км.

И дължината на втория път беше обозначена с г. Стойността на тази променлива е 15. Така че дължината на втория път е 15 км.

Да направим проверка. Първо, нека се уверим, че системата е решена правилно:

Сега нека проверим дали решението (20; 15) удовлетворява условията на задачата.

Беше казано, че общо колата е изминала 35 км в двете посоки. Събираме дължините на двата пътя и се уверяваме, че решението (20; 15) удовлетворява това условие: 20 км + 15 км = 35 км

Следващото условие: колата се върна обратно по друг път, който беше с 5 км по-къс от първия . Виждаме, че решението (20; 15) също удовлетворява това условие, тъй като 15 km е по-късо от 20 km с 5 km: 20 км − 15 км = 5 км

При компилирането на система е важно променливите да означават едни и същи числа във всички уравнения, включени в тази система.

Така че нашата система съдържа две уравнения. Тези уравнения от своя страна съдържат променливите хи г, които означават едни и същи числа в двете уравнения, а именно дължините на пътищата, равни на 20 km и 15 km.

Задача 2. На платформата бяха натоварени дъбови и чамови траверси, общо 300 бр. Известно е, че всички дъбови траверси са тежали с 1 тон по-малко от всички борови траверси. Определете колко дъбови и борови траверси са били поотделно, ако всеки дъбов траверс е тежал 46 kg, а всеки чамов траверс е 28 kg.

Решение

Позволявам хдъб и гчамови траверси бяха натоварени на платформата. Ако имаше общо 300 траверси, тогава първото уравнение може да бъде написано като x+y = 300 .

Всички дъбови траверси тежаха 46 хкг, а борът тежеше 28 гкилограма. Тъй като дъбовите траверси тежаха с 1 тон по-малко от боровите траверси, второто уравнение може да бъде написано като 28д- 46х= 1000 . Това уравнение показва, че масовата разлика между дъбови и борови траверси е 1000 kg.

Тоновете са превърнати в килограми, тъй като масата на дъбовите и борови траверси се измерва в килограми.

В резултат на това получаваме две уравнения, които образуват системата

Нека решим тази система. Изразете в първото уравнение х. Тогава системата ще приеме формата:

Заместете първото уравнение във второто и намерете г

Заместител гв уравнението х= 300 − ги разберете какво х

Това означава, че на платформата са натоварени 100 дъбови и 200 чамови траверси.

Нека проверим дали решението (100; 200) удовлетворява условията на задачата. Първо, нека се уверим, че системата е решена правилно:

Говореше се, че имало общо 300 спящи. Събираме броя на дъбовите и борови траверси и се уверяваме, че решението (100; 200) отговаря на това условие: 100 + 200 = 300.

Следващото условие: всички дъбови траверси тежаха с 1 тон по-малко от всички борови . Виждаме, че решението (100; 200) също удовлетворява това условие, тъй като 46 × 100 kg дъбови траверси са по-леки от 28 × 200 kg борови траверси: 5600 кг − 4600 кг = 1000 кг.

Задача 3. Взехме три парчета от сплав от мед и никел в съотношения 2: 1, 3: 1 и 5: 1 по тегло. От тях парче с тегло 12 kg беше слято със съотношение на съдържание на мед и никел 4:1. Намерете масата на всяка оригинална част, ако масата на първата от тях е два пъти по-голяма от масата на втората.

Система от m линейни уравнения с n неизвестнинаречена система на формата

където aijи b i (аз=1,…,м; b=1,…,н) са някои известни числа и x 1 ,…,x n- неизвестен. В означенията на коефициентите aijпърви индекс азобозначава номера на уравнението, а второто йе числото на неизвестното, на което стои този коефициент.

Коефициентите за неизвестните ще бъдат записани под формата на матрица , който ще наречем системна матрица.

Числата от дясната страна на уравненията b 1 ,…,b mНаречен безплатни членове.

Агрегат нчисла c 1 ,…,c nНаречен решениена тази система, ако всяко уравнение на системата стане равенство след заместване на числа в него c 1 ,…,c nвместо съответните неизвестни x 1 ,…,x n.

Нашата задача ще бъде да намерим решения на системата. В този случай могат да възникнат три ситуации:

Нарича се система от линейни уравнения, която има поне едно решение става. В противен случай, т.е. ако системата няма решения, тогава тя се извиква несъвместими.

Обмислете начини за намиране на решения на системата.

МАТРИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА СИСТЕМИ ОТ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ

Матриците позволяват накратко да се напише система от линейни уравнения. Нека е дадена система от 3 уравнения с три неизвестни:

Помислете за матрицата на системата и матрични колони от неизвестни и свободни членове

Да намерим продукта

тези. в резултат на произведението получаваме лявата страна на уравненията на тази система. След това, използвайки дефиницията за равенство на матрицата, тази система може да бъде записана като

или по-кратко А∙X=B.

Ето матрици Аи бса известни, а матрицата хнеизвестен. Тя трябва да бъде намерена, защото. нейните елементи са решението на тази система. Това уравнение се нарича матрично уравнение.

Нека детерминантата на матрицата е различна от нула | А| ≠ 0. Тогава матричното уравнение се решава по следния начин. Умножете двете страни на уравнението отляво по матрицата А-1, обратната на матрицата А: . Тъй като A -1 A = Eи д∙X=X, тогава получаваме решението на матричното уравнение във формата X = A -1 B .

Имайте предвид, че тъй като обратната матрица може да бъде намерена само за квадратни матрици, матричният метод може да реши само онези системи, в които броят на уравненията е същият като броя на неизвестните. Но матричната нотация на системата е възможна и в случай, че броят на уравненията не е равен на броя на неизвестните, тогава матрицата Ане е квадрат и следователно е невъзможно да се намери решение на системата във формата X = A -1 B.

Примери.Решаване на системи от уравнения.

ПРАВИЛОТО НА КРЕЙМЪР

Да разгледаме система от 3 линейни уравнения с три неизвестни:

Детерминант от трети ред, съответстващ на матрицата на системата, т.е. съставен от коефициенти при неизвестни,

Наречен системна детерминанта.

Съставяме още три детерминанти, както следва: заместваме последователно 1, 2 и 3 колони в детерминанта D с колона от свободни членове

Тогава можем да докажем следния резултат.

Теорема (правило на Крамер).Ако детерминантата на системата е Δ ≠ 0, тогава разглежданата система има едно и само едно решение и

Доказателство. И така, разгледайте система от 3 уравнения с три неизвестни. Умножете първото уравнение на системата по алгебричното допълнение А 11елемент а 11, 2-ро уравнение - на А21и 3-ти - на А 31:

Нека добавим тези уравнения:

Разгледайте всяка от скобите и дясната страна на това уравнение. По теоремата за разширяването на детерминантата по елементите на 1-ва колона

По същия начин може да се покаже, че и .

И накрая, лесно е да се види това

Така получаваме равенството: .

Следователно,.

Равенствата и се извеждат аналогично, откъдето следва твърдението на теоремата.

По този начин отбелязваме, че ако детерминантата на системата е Δ ≠ 0, тогава системата има уникално решение и обратно. Ако детерминантата на системата е равна на нула, тогава системата или има безкраен набор от решения, или няма решения, т.е. несъвместими.

Примери.Решете система от уравнения

МЕТОД НА ГАУС

Разгледаните по-рано методи могат да се използват за решаване само на онези системи, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните, а детерминантата на системата трябва да е различна от нула. Методът на Гаус е по-универсален и е подходящ за системи с произволен брой уравнения. Състои се в последователно елиминиране на неизвестни от уравненията на системата.

Разгледайте отново система от три уравнения с три неизвестни:

.

Оставяме първото уравнение непроменено, а от 2-ро и 3-то изключваме членовете, съдържащи х 1. За да направим това, разделяме второто уравнение на а 21 и умножете по - а 11 и след това съберете с първото уравнение. По същия начин разделяме третото уравнение на а 31 и умножете по - а 11 и след това го добавете към първия. В резултат на това оригиналната система ще приеме формата:

Сега от последното уравнение елиминираме члена, съдържащ x2. За да направите това, разделете третото уравнение на , умножете по и го добавете към второто. Тогава ще имаме система от уравнения:

Следователно от последното уравнение е лесно да се намери х 3, след това от 2-ро уравнение x2и накрая от 1-ви - х 1.

Когато се използва методът на Гаус, уравненията могат да се сменят, ако е необходимо.

Често, вместо да напишат нова система от уравнения, те се ограничават до написването на разширената матрица на системата:

и след това го приведете в триъгълна или диагонална форма с помощта на елементарни трансформации.

Да се елементарни трансформацииматриците включват следните трансформации:

1. пермутация на редове или колони;
2. умножаване на низ с различно от нула число;
3. добавяне към един ред други редове.

Примери:Решаване на системи от уравнения по метода на Гаус.

Така системата има безкраен брой решения.