Soluții parțiale online de ecuații diferențiale. Problema Cauchy și interpretarea ei geometrică

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale. Mulțumiri noastre serviciu online puteți rezolva ecuații diferențiale de orice fel și complexitate: neomogene, omogene, neliniare, liniare, de ordinul întâi, al doilea, cu sau fără variabile separabile etc. Obțineți soluția ecuațiilor diferențiale în formă analitică cu descriere detaliata. Mulți sunt interesați de: de ce este necesar să se rezolve ecuații diferențiale online? Acest tip de ecuații este foarte frecvent în matematică și fizică, unde va fi imposibil să rezolvi multe probleme fără a calcula ecuația diferențială. De asemenea, ecuațiile diferențiale sunt comune în economie, medicină, biologie, chimie și alte științe. Rezolvarea unei astfel de ecuații online vă facilitează foarte mult sarcinile, face posibilă înțelegerea mai bună a materialului și testarea dvs. Beneficiile rezolvării ecuațiilor diferențiale online. Un site modern de servicii matematice vă permite să rezolvați ecuații diferențiale online de orice complexitate. După cum știți, există un număr mare de tipuri de ecuații diferențiale și fiecare dintre ele are propriile soluții. Pe serviciul nostru puteți găsi online soluția ecuațiilor diferențiale de orice ordine și tip. Pentru a obține o soluție, vă sugerăm să completați datele inițiale și să faceți clic pe butonul „Soluție”. Sunt excluse erorile în funcționarea serviciului, astfel încât puteți fi 100% sigur că ați primit răspunsul corect. Rezolvați ecuații diferențiale cu serviciul nostru. Rezolvați ecuații diferențiale online. În mod implicit, într-o astfel de ecuație, funcția y este o funcție a variabilei x. Dar vă puteți seta, de asemenea, propria desemnare a variabilei. De exemplu, dacă specificați y(t) într-o ecuație diferențială, atunci serviciul nostru va determina automat că y este o funcție a variabilei t. Ordinea întregii ecuații diferențiale va depinde de ordinea maximă a derivatei funcției prezente în ecuație. A rezolva o astfel de ecuație înseamnă a găsi funcția necesară. Serviciul nostru vă va ajuta să rezolvați ecuații diferențiale online. Nu este nevoie de mult efort din partea ta pentru a rezolva ecuația. Trebuie doar să introduceți părțile din stânga și din dreapta ale ecuației în câmpurile necesare și să faceți clic pe butonul „Soluție”. Când introduceți derivata unei funcții, este necesar să o notați cu un apostrof. În câteva secunde vei avea solutie detaliata ecuație diferențială. Serviciul nostru este absolut gratuit. Ecuatii diferentiale cu variabile partajate. Dacă într-o ecuație diferențială din stânga există o expresie care depinde de y, iar pe partea dreaptă există o expresie care depinde de x, atunci o astfel de ecuație diferențială se numește cu variabile separabile. Pe partea stângă poate exista o derivată a lui y, soluția ecuațiilor diferențiale de acest fel va fi sub forma unei funcții a lui y, exprimată prin integrala părții drepte a ecuației. Dacă există o diferență a unei funcții a lui y în partea stângă, atunci ambele părți ale ecuației sunt integrate. Când variabilele dintr-o ecuație diferențială nu sunt separate, ele vor trebui împărțite pentru a obține o ecuație diferențială separată. Ecuație diferențială liniară. O ecuație diferențială se numește liniară dacă funcția și toate derivatele ei sunt de gradul întâi. Forma generală a ecuației: y'+a1(x)y=f(x). f(x) și a1(x) sunt funcții continue ale lui x. Soluția ecuațiilor diferențiale de acest tip se reduce la integrarea a două ecuații diferențiale cu variabile separate. Ordinea ecuației diferențiale. Ecuația diferențială poate fi de ordinul întâi, al doilea, al n-a. Ordinea unei ecuații diferențiale determină ordinea celei mai mari derivate conținute în ea. În serviciul nostru puteți rezolva ecuații diferențiale online ale primului, al doilea, al treilea etc. Ordin. Soluția ecuației va fi orice funcție y=f(x), înlocuind-o în ecuație, veți obține o identitate. Procesul de găsire a unei soluții la o ecuație diferențială se numește integrare. Problema Cauchy. Dacă, pe lângă ecuația diferențială în sine, este specificată condiția inițială y(x0)=y0, atunci aceasta se numește problema Cauchy. Indicatorii y0 și x0 se adaugă la soluția ecuației și se determină valoarea unei constante arbitrare C și apoi o soluție particulară a ecuației pentru această valoare a lui C. Aceasta este soluția problemei Cauchy. Problema Cauchy se mai numește și o problemă cu condiții la limită, care este foarte comună în fizică și mecanică. Aveți și posibilitatea de a stabili problema Cauchy, adică din toate soluțiile posibile ale ecuației, alegeți una anume care îndeplinește condițiile inițiale date.

Rezolvarea diferitelor probleme geometrice, fizice și de inginerie duce adesea la ecuații care relaționează variabile independente care caracterizează o anumită problemă cu o anumită funcție a acestor variabile și derivate ale acestei funcții de diferite ordine.

Ca exemplu, putem considera cel mai simplu caz de mișcare uniform accelerată a unui punct material.

Se știe că deplasarea unui punct material în timpul mișcării uniform accelerate este o funcție a timpului și este exprimată prin formula:

La rândul său, accelerația A este derivata timpului t din viteza V, care este şi o derivată în raport cu timpul t de la mutare S. Acestea.

Atunci obținem:
- ecuația raportează funcția f(t) la variabila independentă t și derivata de ordinul doi a funcției f(t).

Definiție. ecuație diferențială numită ecuație care raportează variabilele independente, funcțiile acestora și derivatele (sau diferențiale) ale acestei funcții.

Definiție. Dacă o ecuație diferențială are o variabilă independentă, atunci se numește ecuație diferențială obișnuită , dacă există două sau mai multe variabile independente, atunci se numește o astfel de ecuație diferențială ecuație cu diferență parțială.

Definiție. Cel mai înalt ordin al derivatelor dintr-o ecuație se numește ordinea ecuației diferențiale .

Exemplu.

- ecuație diferențială ordinară de ordinul I. În general, este scris
.

- ecuație diferențială ordinară de ordinul 2. În general, este scris

- ecuație diferențială în derivate parțiale de ordinul întâi.

Definiție. Soluție generală ecuația diferențială este o astfel de funcție diferențiabilă y = (x, C), care, atunci când este înlocuită în ecuația originală în loc de o funcție necunoscută, transformă ecuația într-o identitate

Proprietățile soluției generale.

1) Pentru că Deoarece constanta C este o valoare arbitrară, atunci, în general, ecuația diferențială are un număr infinit de soluții.

2) În orice condiții inițiale x \u003d x 0, y (x 0) \u003d y 0, există o astfel de valoare C \u003d C 0 pentru care soluția ecuației diferențiale este funcția y \u003d  (x, C 0).

Definiție. Se numește o soluție de forma y \u003d  (x, C 0). decizie privată ecuație diferențială.

Definiție. Problema Cauchy (Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - matematician francez) se numește găsirea oricărei soluții particulare a unei ecuații diferențiale de forma y \u003d  (x, C 0) care îndeplinește condițiile inițiale y (x 0) \u003d y 0 .

teorema lui Cauchy. (teorema privind existența și unicitatea soluției ecuației diferențiale de ordinul I)

Dacă funcţiaf(X, y) este continuă într-un anumit domeniuDin avionXOYși are o derivată parțială continuă în această regiune
, atunci indiferent de punctul (x 0 , y 0 ) în zonaD, există o singură soluție
ecuații
, definit într-un interval care conține punctul x 0 , acceptând la x = x 0 sens (X 0 ) = y 0 , adică există o soluție unică a ecuației diferențiale.

Definiție. integrală ecuație diferențială este orice ecuație care nu conține derivate, pentru care această ecuație diferențială este o consecință.

Exemplu. Aflați soluția generală a ecuației diferențiale
.

Decizie comună se caută ecuația diferențială prin integrarea părților din stânga și din dreapta ale ecuației, care se transformă preliminar după cum urmează:

Acum să integrăm:

este soluția generală a ecuației diferențiale inițiale.

Să presupunem că sunt date câteva condiții inițiale: x 0 = 1; y 0 = 2, atunci avem

Prin substituirea valorii obținute a constantei în soluția generală, obținem o soluție particulară pentru condiții inițiale date (soluția problemei Cauchy).

Definiție. curba integrala graficul y = (x) al soluției unei ecuații diferențiale pe planul XOY se numește.

Definiție. decizie specială a unei ecuații diferențiale este o astfel de soluție, în toate punctele cărora se numește condiția de unicitate Cauchy (cf. teorema lui Cauchy.) nu este mulțumit, adică într-o vecinătate a unui punct (x, y) există cel puțin două curbe integrale.

Soluțiile singulare nu depind de constanta C.

Din soluția generală nu se pot obține soluții speciale pentru orice valoare a constantei C. Dacă construim o familie de curbe integrale pentru o ecuație diferențială, atunci soluția specială va fi reprezentată printr-o linie care atinge cel puțin o curbă integrală la fiecare dintre punctele sale.

Rețineți că nu orice ecuație diferențială are soluții singulare.

Exemplu. Aflați soluția generală a ecuației diferențiale:
Găsiți o soluție specială dacă există.

Această ecuație diferențială are și o soluție specială la= 0. Această soluție nu poate fi obținută din cea generală, totuși, la substituirea în ecuația originală, obținem o identitate. parerea ca solutia y = 0 se poate obtine din solutia generala pt DIN 1 = 0 greșit, pentru că C 1 = e C  0.

Instituția de învățământ „Statul Belarus

Academia Agricolă"

Catedra de Matematică Superioară

ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN I

Rezumatul cursului pentru studenții contabili

formă de educație prin corespondență (NISPO)

Gorki, 2013

Ecuații diferențiale de ordinul întâi

Conceptul de ecuație diferențială. Soluții generale și particulare

Când se studiază diverse fenomene, adesea nu este posibil să se găsească o lege care să conecteze direct variabila independentă și funcția dorită, dar este posibil să se stabilească o legătură între funcția dorită și derivatele acesteia.

Se numește relația care leagă variabila independentă, funcția dorită și derivatele acesteia ecuație diferențială :

Aici X este o variabilă independentă, y este funcția dorită,
sunt derivatele funcției dorite. În acest caz, relația (1) necesită prezența a cel puțin unei derivate.

Ordinea ecuației diferențiale este ordinul celei mai mari derivate din ecuație.

Luați în considerare ecuația diferențială

. (2)

Deoarece această ecuație include o derivată doar de ordinul întâi, atunci se numește este o ecuație diferențială de ordinul întâi.

Dacă ecuația (2) poate fi rezolvată în raport cu derivata și scrisă ca

, (3)

atunci o astfel de ecuație se numește ecuație diferențială de ordinul întâi în formă normală.

În multe cazuri, este oportun să se ia în considerare o ecuație de formă

Care e numit o ecuație diferențială de ordinul întâi scrisă sub formă diferențială.

pentru că
, atunci ecuația (3) poate fi scrisă ca
sau
, unde se poate număra
și
. Aceasta înseamnă că ecuația (3) a fost convertită în ecuația (4).

Scriem ecuația (4) sub forma
. Apoi
,
,
, unde se poate număra
, adică se obţine o ecuaţie de forma (3). Astfel, ecuațiile (3) și (4) sunt echivalente.

Prin rezolvarea ecuației diferențiale (2) sau (3) se apelează orice funcție
, care, la substituirea lui în ecuația (2) sau (3), o transformă într-o identitate:

sau
.

Procesul de găsire a tuturor soluțiilor unei ecuații diferențiale se numește ei integrare , și graficul soluției
se numește ecuație diferențială curba integrala această ecuație.

Dacă soluţia ecuaţiei diferenţiale se obţine sub formă implicită
, atunci se numește integrală ecuație diferențială dată.

Soluție generală ecuația diferențială de ordinul întâi este o familie de funcții de forma
, în funcție de o constantă arbitrară DIN, fiecare dintre acestea fiind o soluție a ecuației diferențiale date pentru orice valoare admisibilă a unei constante arbitrare DIN. Astfel, ecuația diferențială are un număr infinit de soluții.

Decizie privată ecuația diferențială se numește soluție obținută din formula soluției generale pentru o anumită valoare a unei constante arbitrare DIN, inclusiv
.

Problema Cauchy și interpretarea ei geometrică

Ecuația (2) are un număr infinit de soluții. Pentru a identifica o soluție din acest set, care se numește o soluție particulară, trebuie specificate câteva condiții suplimentare.

Se numește problema găsirii unei anumite soluții la ecuația (2) în condiții date Problema Cauchy . Această problemă este una dintre cele mai importante în teoria ecuațiilor diferențiale.

Problema Cauchy este formulată astfel: dintre toate soluțiile ecuației (2) găsiți o astfel de soluție
, în care funcția
ia o valoare numerică dată dacă variabila independentă X ia o valoare numerică dată , adică

,
, (5)

Unde D este domeniul funcției
.

Sens numit valoarea inițială a funcției , A – valoarea initiala a variabilei independente . Se numește condiția (5). condiția inițială sau Starea Cauchy .

Din punct de vedere geometric, problema Cauchy pentru ecuația diferențială (2) poate fi formulată după cum urmează: din multimea curbelor integrale ale ecuatiei (2) selectati-o pe cea care trece printr-un punct dat
.

Ecuații diferențiale cu variabile separabile

Unul dintre cele mai simple tipuri de ecuații diferențiale este o ecuație diferențială de ordinul întâi care nu conține funcția dorită:

. (6)

Dat fiind
, scriem ecuația sub forma
sau
. Integrând ambele părți ale ultimei ecuații, obținem:
sau

. (7)

Astfel, (7) este o soluție generală a ecuației (6).

Exemplul 1 . Aflați soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie . Scriem ecuația sub forma
sau
. Integram ambele părți ale ecuației rezultate:
,
. Să scriem în sfârșit
.

Exemplul 2 . Găsiți o soluție pentru ecuație
cu conditia
.

Soluţie . Să găsim soluția generală a ecuației:
,
,
,
. După condiție
,
. Înlocuiți în soluția generală:
sau
. Inlocuim valoarea gasita a unei constante arbitrare in formula solutiei generale:
. Aceasta este soluția particulară a ecuației diferențiale care satisface condiția dată.

Ecuația

(8)

numit o ecuație diferențială de ordinul întâi care nu conține o variabilă independentă . O scriem sub formă
sau
. Integram ambele părți ale ultimei ecuații:
sau
- soluția generală a ecuației (8).

Exemplu . Găsiți o soluție generală a ecuației
.

Soluţie . Scriem această ecuație sub forma:
sau
. Apoi
,
,
,
. În acest fel,
este soluția generală a acestei ecuații.

Tip ecuație

(9)

integrat folosind separarea variabilelor. Pentru a face acest lucru, scriem ecuația sub forma
, iar apoi, folosind operațiile de înmulțire și împărțire, o aducem într-o astfel de formă încât o parte include doar funcția de X si diferential dx, iar în a doua parte - o funcție de la si diferential dy. Pentru a face acest lucru, ambele părți ale ecuației trebuie înmulțite cu dxși împărțiți la
. Ca rezultat, obținem ecuația

, (10)

în care variabilele Xși la separat. Integram ambele părți ale ecuației (10):
. Relația rezultată este integrala generală a ecuației (9).

Exemplul 3 . Ecuația de integrare
.

Soluţie . Transformați ecuația și separați variabilele:
,
. Să integrăm:
,
sau este integrala generală a acestei ecuații.
.

Fie dată ecuația sub forma

O astfel de ecuație se numește ecuație diferențială de ordinul întâi cu variabile separabile în formă simetrică.

Pentru a separa variabilele, ambele părți ale ecuației trebuie împărțite la
:

. (12)

Ecuația rezultată se numește ecuație diferențială separată . Integram ecuația (12):

.(13)

Relația (13) este o integrală generală a ecuației diferențiale (11).

Exemplul 4 . Integrați ecuația diferențială.

Soluţie . Scriem ecuația sub forma

și împărțiți ambele părți în
,
. Ecuația rezultată:
este o ecuație variabilă separată. Să-l integrăm:

,
,

,
. Ultima egalitate este integrala generală a ecuației diferențiale date.

Exemplul 5 . Găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale
, îndeplinind condiția
.

Soluţie . Dat fiind
, scriem ecuația sub forma
sau
. Să separăm variabilele:
. Să integrăm această ecuație:
,
,
. Relația rezultată este integrala generală a acestei ecuații. După condiție
. Înlocuiți în integrala generală și găsiți DIN:
,DIN=1. Apoi expresia
este o soluție particulară a ecuației diferențiale date, scrisă ca o integrală particulară.

Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

Ecuația

(14)

numit ecuație diferențială liniară de ordinul întâi . functie necunoscuta
iar derivata ei intră liniar în această ecuație, iar funcțiile
și
continuu.

În cazul în care un
, apoi ecuația

(15)

numit liniar omogen . În cazul în care un
, atunci se numește ecuația (14). liniar neomogen .

Pentru a găsi o soluție la ecuația (14), se folosește de obicei metoda de substituție (Bernoulli) , a cărui esență este următoarea.

Soluția ecuației (14) va fi căutată sub forma unui produs a două funcții

, (16)

Unde
și
- unele functii continue. Substitui
și derivată
în ecuația (14):

Funcţie v vor fi alese în aşa fel încât condiţia
. Apoi
. Astfel, pentru a găsi o soluție la ecuația (14), este necesar să se rezolve sistemul de ecuații diferențiale

Prima ecuație a sistemului este o ecuație liniară omogenă și poate fi rezolvată prin metoda separării variabilelor:
,
,
,
,
. Ca o funcție
se poate lua una dintre soluțiile particulare ale ecuației omogene, adică. la DIN=1:
. Înlocuiți în a doua ecuație a sistemului:
sau
.Apoi
. Astfel, soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi are forma
.

Exemplul 6 . rezolva ecuatia
.

Soluţie . Vom căuta soluția ecuației sub forma
. Apoi
. Înlocuiți în ecuație:

sau
. Funcţie v alege în așa fel încât egalitatea
. Apoi
. Rezolvăm prima dintre aceste ecuații prin metoda separării variabilelor:
,
,
,
,. Funcţie vÎnlocuiți în a doua ecuație:
,
,
,
. Soluția generală a acestei ecuații este
.

Întrebări pentru autocontrolul cunoștințelor

Ce este o ecuație diferențială?

Care este ordinea unei ecuații diferențiale?

Ce ecuație diferențială se numește ecuație diferențială de ordinul întâi?

Cum se scrie o ecuație diferențială de ordinul întâi în formă diferențială?

Care este soluția unei ecuații diferențiale?

Ce este o curbă integrală?

Care este soluția generală a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi?

Care este o soluție particulară a unei ecuații diferențiale?

Cum este formulată problema Cauchy pentru o ecuație diferențială de ordinul întâi?

Care este interpretarea geometrică a problemei Cauchy?

Cum se scrie o ecuație diferențială cu variabile separabile în formă simetrică?

Care ecuație se numește ecuație diferențială liniară de ordinul întâi?

Ce metodă poate fi folosită pentru a rezolva o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi și care este esența acestei metode?

Sarcini pentru munca independentă

Rezolvați ecuații diferențiale cu variabile separabile:

A)
; b)
;

în)
; G)
.

2. Rezolvați ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi:

A)
; b)
; în)
;

G)
; e)
.

Aplicație

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale online pe site pentru ca elevii să consolideze materialul pe care l-au studiat. Și exersează-ți abilitățile practice. Ecuații diferențiale online. Difuras online, soluție de matematică online. Rezolvarea pas cu pas a problemelor matematice online. Ordinea sau gradul unei ecuații diferențiale este ordinul cel mai înalt al derivatelor incluse în ea. Ecuații diferențiale online. Procesul de rezolvare a unei ecuații diferențiale se numește integrare. Problema integrării unei ecuații diferențiale se consideră rezolvată dacă funcția necunoscută poate fi cuadraturată, indiferent dacă integrala rezultată este exprimată în forma finală în termeni de funcții cunoscute sau nu. Rezolvarea pas cu pas a ecuațiilor diferențiale online. Toate ecuațiile diferențiale pot fi împărțite în ecuații diferențiale obișnuite (ODE), care includ numai funcții (și derivatele lor) ale unui argument și ecuații diferențiale parțiale (PDE), în care funcțiile de intrare depind de multe variabile. Ecuații diferențiale online. Există, de asemenea, ecuații diferențiale stocastice (SDE) care implică procese aleatorii. Rezolvarea pas cu pas a ecuațiilor diferențiale online. În funcție de combinațiile de derivate, funcții, variabile independente, ecuațiile diferențiale se împart în liniare și neliniare, cu coeficienți constanți sau variabili, omogene sau neomogene. Datorită importanței aplicațiilor, ecuațiile cu diferențe parțiale cvasiliniare (liniare în raport cu derivatele superioare) sunt evidențiate într-o clasă separată. Soluțiile ecuațiilor diferențiale sunt împărțite în soluții generale și soluții particulare. Ecuații diferențiale online. Soluțiile generale includ constante incerte, iar pentru ecuațiile diferențiale parțiale - funcții arbitrare ale variabilelor independente, care pot fi rafinate din condiții suplimentare de integrare (condiții inițiale pentru ecuațiile diferențiale obișnuite, condiții inițiale și la limită pentru ecuațiile diferențiale parțiale). Rezolvarea pas cu pas a ecuațiilor diferențiale online. După determinarea formei acestor funcții constante și nedefinite, soluțiile devin particulare. Căutarea de soluții la ecuațiile diferențiale obișnuite a condus la stabilirea unei clase de funcții speciale - funcții des întâlnite în aplicații care nu sunt exprimate în termeni de funcții elementare cunoscute. Ecuații diferențiale online. Proprietățile lor au fost studiate în detaliu, au fost întocmite tabele de valori, au fost determinate interconexiuni etc. . Setul de numere enumerate poate fi explorat. Cel mai bun răspuns la problema dată. Cum să găsiți în prima aproximare vectorul de ieșire către regiunea de convergență despre ecuații diferențiale fără a clarifica limita superioară găsită. Alegerea este evidentă pentru creșterea funcțiilor matematice. Există o metodă progresivă peste nivelul cercetării. Pentru a se alinia cu condiția inițială a problemei, soluția diferenţialului va ajuta la găsirea unei valori alese cu o singură valoare. S-ar putea ca el să poată determina imediat necunoscutul. Ca și în exemplul anterior de indicare a unei soluții la o problemă matematică, ecuațiile diferențiale liniare sunt răspunsul la o problemă specifică într-un interval de timp specificat. Menținerea procedurii de studiu nu este definită la nivel local. Se va face astfel încât să existe un exemplu pentru fiecare elev și soluția ecuațiilor diferențiale va fi determinată de persoana desemnată executorului responsabil din cel puțin două valori. Luați o funcție de valoare generală pe un anumit segment și avertizați de-a lungul cărei axe va exista un decalaj. După ce am studiat ecuațiile diferențiale online, este posibil să arătăm fără ambiguitate cât de important este rezultatul, dacă se oferă unul din condițiile inițiale. Decuparea unei regiuni dintr-o definiție de funcție este imposibilă, deoarece nu există o definiție de sarcină la nivel local. Fiind găsit din sistemul de ecuații, răspunsul conține o variabilă care poate fi calculată în sens general, dar în mod firesc se va putea rezolva ecuația diferențială online fără această acțiune de determinare a condiției menționate. Aproape de intervalul segmentului, se poate observa cum soluția ecuațiilor diferențiale online este capabilă să avanseze rezultatul cercetării într-o direcție pozitivă la momentul limitării cunoștințelor elevilor. Cel mai bun nu se obține întotdeauna prin abordarea general acceptată a afacerilor. La nivelul 2x, se pot vizualiza în mod util toate ecuațiile diferențiale liniare naturale necesare, dar capacitatea de a calcula o valoare numerică va duce la o creștere a cunoștințelor. Conform oricărei tehnici din matematică, există ecuații diferențiale care sunt prezentate în expresii esențial diferite, cum ar fi omogene sau complexe. După ce am efectuat o analiză generală a studiului funcției, va deveni clar că soluția diferențială ca set de posibilități reprezintă o eroare clară a valorilor. Adevărul în ea constă în spațiul de deasupra liniilor de abscisă. Undeva în domeniul unei funcții complexe, la un moment dat în definiția acesteia, ecuațiile diferențiale liniare vor putea reprezenta răspunsul într-o formă analitică. adică, în termeni generali, ca esenţă. Nu se va schimba nimic la schimbarea variabilei. Cu toate acestea, este necesar să privim răspunsul cu un interes deosebit. De fapt, calculatorul schimbă raportul în final, adică modul în care soluția ecuațiilor diferențiale este proporțională cu valoarea globală este indicat în soluția dorită. În unele cazuri, un avertisment de eroare în masă este inevitabil. Ecuațiile diferențiale online implementează o idee generală a problemei, dar în cele din urmă, trebuie să asigurați aspectele pozitive ale produsului încrucișat cât mai curând posibil. În matematică, cazurile de eroare în teoria numerelor nu sunt neobișnuite. Neapărat trebuie verificat. Desigur, este mai bine să acordați acest drept profesioniștilor din domeniul lor și ei sunt cei care vor ajuta la rezolvarea ecuației diferențiale online, deoarece experiența lor este colosală și pozitivă. Diferența de pe suprafețele figurilor și a zonei este de așa natură încât nu soluția ecuațiilor diferențiale online vă va permite să vedeți, dar setul de obiecte care nu se intersectează este astfel încât linia este paralelă cu axa. Drept urmare, puteți obține valori de două ori mai multe. Fiind implicită, noțiunea noastră de corectitudine a notației formale prevede ecuații diferențiale liniare atât în zona de vizualizare, cât și în raport cu supraestimarea deliberată a calității rezultatului. O discuție pe un subiect care este interesant pentru toți studenții este publicată de mai multe ori în recenzie. Pe tot parcursul studiului curs complet prelegeri, ne vom concentra atenția asupra ecuațiilor diferențiale și a domeniilor conexe de studiu științific, dacă acest lucru nu contrazice adevărul. Multe etape pot fi evitate la începutul călătoriei. Dacă soluția diferențială este încă în mod fundamental ceva nou pentru studenți, atunci vechiul nu este deloc uitat, ci progresează în viitor cu o rată ridicată de dezvoltare. Inițial, condițiile pentru o problemă de matematică diferă, dar acest lucru este indicat în paragraful din dreapta. După expirarea timpului specificat prin definiție, nu este exclusă posibilitatea unui rezultat dependent proporțional pe diferite planuri de mișcare ale vectorului. Un astfel de caz simplu este corectat în același mod în care ecuațiile diferențiale liniare sunt descrise pe un calculator într-o formă generală, astfel încât va fi mai rapid și compensarea calculelor nu va duce la o opinie eronată. Doar cinci cazuri numite conform teoriei pot depăși granițele a ceea ce se întâmplă. Soluția noastră de ecuații diferențiale va ajuta la calcularea manuală a valorii în numere deja la primele etape de descompunere a spațiului funcțional. În locurile potrivite, este necesar să se prezinte punctul de contact al celor patru linii în sens general. Dar dacă trebuie să forțați sarcina, atunci va fi ușor să echivalați complexitatea. Datele inițiale sunt suficiente pentru a proiecta piciorul adiacent, iar ecuațiile diferențiale online arată aliniate la stânga, iar suprafața unilaterală este îndreptată către rotorul vectorial. Peste limita superioară, sunt posibile valori numerice care depășesc condiția indicată. Este posibil să se țină cont de formula matematică și să se rezolve online ecuația diferențială datorită a trei necunoscute în valoarea generală a proporției. Metoda locală de calcul este recunoscută ca fiind valabilă. Sistemul de coordonate este dreptunghiular în mișcare relativă a planului. Soluția generală online a ecuațiilor diferențiale face posibilă tragerea fără ambiguitate a unei concluzii în favoarea unei analize computaționale prin definițiile matricei pe întreaga linie dreaptă situată deasupra graficului unei funcții specificate în mod explicit. Soluția este vizibilă dacă aplicați vectorul de mișcare la punctul de contact al celor trei emisfere. Cilindrul se obține prin rotirea dreptunghiului în jurul laturii și ecuațiile diferențiale liniare pot arăta direcția de mișcare a punctului conform expresiilor date ale legii sale de mișcare. Datele inițiale sunt corecte și problema de matematică este interschimbabilă într-o singură condiție. Cu toate acestea, din cauza circumstanțelor, având în vedere complexitatea subproblemei de setare, ecuațiile diferențiale simplifică procesul de spații numerice calculate la nivelul spațiului tridimensional. Este ușor să demonstrezi contrariul, dar se poate evita, ca în exemplul de mai sus. În matematica superioară, sunt prevăzute următoarele puncte: atunci când o problemă este redusă la o formă simplificată, ar trebui extinsă la ea cât mai mult posibil. mai mult efort de către elevi. Liniile suprapuse una peste alta cad în offset. Soluția diferențială pro reia avantajul metodei menționate pe o linie curbă. Dacă la început cineva nu recunoaște ceea ce este necesar, atunci formula matematica constituie noua valoare a expresiei. Scopul este abordarea optimă a rezolvării sarcinilor stabilite de profesor. Nu trebuie să presupuneți că ecuațiile diferențiale liniare într-o formă simplificată vor depăși rezultatul așteptat. Amplasăm trei vectori pe o suprafață compusă finit. ortogonale între ele. Să calculăm produsul. Să efectuăm adăugarea unui număr mai mare de simboluri și să scriem toate variabilele funcției din expresia rezultată. Există o proporție. Câteva acțiuni care preced sfârșitul calculului nu vor da un răspuns fără ambiguitate la soluția ecuațiilor diferențiale imediat, ci numai după ce timpul alocat a trecut de-a lungul axei y. În stânga punctului de discontinuitate, dat implicit din funcție, desenăm o axă ortogonală cu cel mai bun vector crescător și plasăm ecuațiile diferențiale online de-a lungul celei mai mici valori la limită a limitei inferioare a obiectului matematic. Să adăugăm un argument suplimentar în zona de pauză a funcției. În dreapta punctelor dreptei curbe, formulele scrise de noi pentru reducerea la un numitor comun vor ajuta la rezolvarea ecuației diferențiale online. Vom adopta singura abordare corectă care va face lumină asupra problemelor nerezolvate de la teorie la practică, în caz general clar. Liniile în direcția coordonatelor punctelor date nu au închis niciodată poziția extremă a pătratului, totuși, rezolvarea ecuațiilor diferențiale online ne va ajuta atât studenții, cât și pe noi, și doar începătorii în acest domeniu, să studiem matematica. Vorbim despre posibilitatea substituirii argumentului valorii în toate subliniile semnificative ale unui câmp. În principiu, așa cum ar fi de așteptat, ecuațiile noastre diferențiale liniare sunt ceva izolat într-un singur concept al sensului redus. Pentru a ajuta studenții, unul dintre cele mai bune servicii similare este un calculator. Parcurgeți toate cursurile și alegeți-l pe cel mai potrivit pentru dvs.

O ecuație diferențială este o ecuație care include o funcție și una sau mai multe dintre derivatele acesteia. În majoritatea problemelor practice, funcțiile sunt mărimi fizice, derivatele corespund ratelor de modificare a acestor mărimi, iar ecuația determină relația dintre ele.

Acest articol discută metode de rezolvare a unor tipuri de ecuații diferențiale obișnuite, ale căror soluții pot fi scrise sub forma functii elementare, adică funcții polinomiale, exponențiale, logaritmice și trigonometrice, precum și funcțiile lor inverse. Multe dintre aceste ecuații apar în viața reală, deși majoritatea celorlalte ecuații diferențiale nu pot fi rezolvate prin aceste metode, iar pentru ele răspunsul este scris ca funcții speciale sau serii de puteri, sau găsit prin metode numerice.

Pentru a înțelege acest articol, trebuie să cunoașteți calculul diferențial și integral, precum și să aveți o anumită înțelegere a derivatelor parțiale. De asemenea, se recomandă cunoașterea elementelor de bază ale algebrei liniare aplicate ecuațiilor diferențiale, în special ecuațiilor diferențiale de ordinul doi, deși cunoașterea calculului diferențial și integral este suficientă pentru a le rezolva.

Informații preliminare

Ecuațiile diferențiale au o clasificare extinsă. Acest articol vorbește despre ecuații diferențiale obișnuite, adică despre ecuații care includ o funcție a unei variabile și derivatele acesteia. Ecuațiile diferențiale obișnuite sunt mult mai ușor de înțeles și de rezolvat decât ecuații cu diferențe parțiale, care includ funcții ale mai multor variabile. Acest articol nu ia în considerare ecuațiile diferențiale parțiale, deoarece metodele de rezolvare a acestor ecuații sunt de obicei determinate de forma lor specifică.
- Mai jos sunt câteva exemple de ecuații diferențiale obișnuite.
  - d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
  - d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
- Mai jos sunt câteva exemple de ecuații cu diferențe parțiale.
  - ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\partial y^(2)))=0)
  - ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
Ordin ecuația diferențială este determinată de ordinea celei mai mari derivate incluse în această ecuație. Prima dintre ecuațiile diferențiale obișnuite de mai sus este de ordinul întâi, în timp ce a doua este de ordinul al doilea. grad a unei ecuații diferențiale se numește puterea cea mai mare la care se ridică unul dintre termenii acestei ecuații.
- De exemplu, ecuația de mai jos este de ordinul trei și puterea a doua.
  - (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d)) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ dreapta)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
Ecuația diferențială este ecuație diferențială liniară dacă funcția și toate derivatele ei sunt în prima putere. În caz contrar, ecuația este ecuație diferențială neliniară. Ecuațiile diferențiale liniare sunt remarcabile prin faptul că se pot face combinații liniare din soluțiile lor, care vor fi, de asemenea, soluții ale acestei ecuații.
- Mai jos sunt câteva exemple de ecuații diferențiale liniare.
- Mai jos sunt câteva exemple de ecuații diferențiale neliniare. Prima ecuație este neliniară datorită termenului sinus.
  - d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
  - d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
Decizie comună ecuația diferențială obișnuită nu este unică, ea include constante arbitrare de integrare. În cele mai multe cazuri, numărul de constante arbitrare este egal cu ordinea ecuației. În practică, valorile acestor constante sunt determinate de date condiții inițiale, adică prin valorile funcției și derivatelor sale la x = 0. (\displaystyle x=0.) Numărul de condiții inițiale care sunt necesare pentru a găsi decizie privată ecuație diferențială, în cele mai multe cazuri este, de asemenea, egală cu ordinea acestei ecuații.
- De exemplu, acest articol va analiza rezolvarea ecuației de mai jos. Aceasta este o ecuație diferențială liniară de ordinul doi. Soluția sa generală conține două constante arbitrare. Pentru a găsi aceste constante, este necesar să se cunoască condițiile inițiale la x (0) (\displaystyle x(0))și x′ (0) . (\displaystyle x"(0).) De obicei, condițiile inițiale sunt date la punct x = 0 , (\displaystyle x=0,), deși acest lucru nu este necesar. Acest articol va analiza, de asemenea, cum să găsiți soluții speciale pentru condiții inițiale date.
  - d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
  - x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Pași

Partea 1

Ecuații de ordinul întâi

Când utilizați acest serviciu, unele informații pot fi transferate pe YouTube.

Ecuații liniare de ordinul întâi. Această secțiune discută metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale liniare de ordinul întâi în cazuri generale și speciale, când unii termeni sunt egali cu zero. Să ne prefacem că y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))și q (x) (\displaystyle q(x)) sunt functii X . (\displaystyle x.)
D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Conform uneia dintre principalele teoreme ale analizei matematice, integrala derivatei unei funcții este de asemenea o funcție. Astfel, este suficient să integrezi ecuația pentru a-i găsi soluția. În acest caz, trebuie luat în considerare faptul că la calcularea integralei nedefinite apare o constantă arbitrară.
- y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)
Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Folosim metoda separarea variabilelor. În acest caz, sunt transferate diverse variabile laturi diferite ecuații. De exemplu, puteți transfera toți membrii de la y (\displaystyle y)într-unul, și toți membrii cu x (\displaystyle x) de cealaltă parte a ecuației. De asemenea, membrii pot fi mutați d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)și d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), care sunt incluse în expresii derivate, cu toate acestea, trebuie amintit că aceasta este doar o convenție, care este convenabilă atunci când diferențiem o funcție complexă. O discuție despre acești termeni, care se numesc diferențiale, este în afara domeniului de aplicare al acestui articol.
- Mai întâi, trebuie să mutați variabilele pe părțile opuse ale semnului egal.
  - 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
- Integram ambele părți ale ecuației. După integrare, constantele arbitrare apar pe ambele părți, care pot fi transferate partea dreapta ecuații.
  - ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
  - y (x) = e - ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Exemplul 1.1. Pe ultimul pas am folosit regula e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) si inlocuit e C (\displaystyle e^(C)) pe C (\displaystyle C), deoarece este și o constantă arbitrară a integrării.
  - d y d x - 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
  - 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aliniat)))
P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\q(x)\neq 0.) Pentru a găsi soluția generală, am introdus factor integrator ca o funcție a x (\displaystyle x) pentru a reduce partea stângă la o derivată comună și a rezolva astfel ecuația.
- Înmulțiți ambele părți cu μ (x) (\displaystyle \mu (x))
  - μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
- Pentru a reduce partea stângă la o derivată comună, trebuie făcute următoarele transformări:
  - d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
- Ultima egalitate înseamnă că d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Acesta este un factor de integrare care este suficient pentru a rezolva orice ecuație liniară de ordinul întâi. Acum putem deriva o formulă pentru rezolvarea acestei ecuații cu privire la µ , (\displaystyle \mu ,) deși pentru antrenament este util să se facă toate calculele intermediare.
  - μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Exemplul 1.2.În acest exemplu, luăm în considerare cum să găsim o anumită soluție a unei ecuații diferențiale cu data condiții inițiale.
  - t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
  - d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
  - μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
  - d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d))) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aliniat)))
  - 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
  - y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
Rezolvarea ecuațiilor liniare de ordinul întâi (înregistrate de Intuit - National Open University).
Ecuații neliniare de ordinul întâi. În această secțiune sunt luate în considerare metode de rezolvare a unor ecuații diferențiale neliniare de ordinul întâi. Deși nu există o metodă generală de rezolvare a unor astfel de ecuații, unele dintre ele pot fi rezolvate folosind metodele de mai jos.
D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Dacă funcţia f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) poate fi împărțit în funcții ale unei variabile, se numește o astfel de ecuație ecuație diferențială separabilă. În acest caz, puteți utiliza metoda de mai sus:
- ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )X)
- Exemplul 1.3.
  - d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
  - ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ începe(aliniat)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(aliniat)))
D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Să ne prefacem că g (x , y) (\displaystyle g(x, y))și h (x , y) (\displaystyle h(x, y)) sunt functii x (\displaystyle x)și y . (\displaystyle y.) Apoi ecuație diferențială omogenă este o ecuaţie în care g (\displaystyle g)și h (\displaystyle h) sunteți funcții omogene acelasi grad. Adică, funcțiile trebuie să îndeplinească condiția g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Unde k (\displaystyle k) se numeste grad de omogenitate. Orice ecuație diferențială omogenă poate fi dată de un adecvat modificarea variabilelor (v = y / x (\displaystyle v=y/x) sau v = x / y (\displaystyle v=x/y)) pentru a converti într-o ecuație cu variabile separabile.
- Exemplul 1.4. Descrierea de mai sus a omogenității poate părea obscură. Să ne uităm la acest concept cu un exemplu.
  - d y d x = y 3 - x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
  - Pentru început, trebuie remarcat faptul că această ecuație este neliniară în raport cu y . (\displaystyle y.) De asemenea, vedem că în acest caz este imposibilă separarea variabilelor. Cu toate acestea, această ecuație diferențială este omogenă, deoarece atât numărătorul, cât și numitorul sunt omogene cu o putere de 3. Prin urmare, putem face o schimbare de variabile v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
  - d y d x = y x - x 2 y 2 = v - 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
  - y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
  - d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Ca rezultat, avem o ecuație pentru v (\displaystyle v) cu variabile partajate.
  - v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
  - y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) aceasta Ecuația diferențială Bernoulli- un tip special de ecuație neliniară de gradul I, a cărei soluție poate fi scrisă folosind funcții elementare.
- Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu (1 - n) y - n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
  - (1 - n) y - n d y d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
- Folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe din partea stângă și transformăm ecuația într-o ecuație liniară în raport cu y 1 - n , (\displaystyle y^(1-n),) care poate fi rezolvată prin metodele de mai sus.
  - d y 1 - n d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm) (d) )x))=0.) aceasta ecuație în diferențiale totale . Este necesar să găsiți așa-numitul funcție potențială φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), care îndeplinește condiția d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)
- Pentru a îndeplini această condiție, este necesar să aveți derivat total. Derivata totală ia în considerare dependența de alte variabile. Pentru a calcula derivata totală φ (\displaystyle \varphi ) pe x , (\displaystyle x,) presupunem că y (\displaystyle y) poate depinde și de X . (\displaystyle x.)
  - d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi) )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
- Compararea termenilor ne oferă M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial x)))și N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y)).) Acesta este un rezultat tipic pentru ecuațiile cu mai multe variabile, unde derivatele mixte ale funcțiilor netede sunt egale între ele. Uneori se numește acest caz teorema lui Clairaut. În acest caz, ecuația diferențială este o ecuație în diferențiale totale dacă este îndeplinită următoarea condiție:
  - ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
- Metoda de rezolvare a ecuațiilor în diferențiale totale este similară cu găsirea de funcții potențiale în prezența mai multor derivate, pe care le vom discuta pe scurt. Mai întâi ne integrăm M (\displaystyle M) pe X . (\displaystyle x.) Pentru că M (\displaystyle M) este o funcţie şi x (\displaystyle x), și y , (\displaystyle y,) la integrare, obținem o funcție incompletă φ , (\displaystyle \varphi ,) etichetat ca φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Rezultatul include și dependența de y (\displaystyle y) constanta de integrare.
  - φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
- După aceea, pentru a obține c (y) (\displaystyle c(y)) puteți lua derivata parțială a funcției rezultate în raport cu y , (\displaystyle y,) egalează rezultatul N (x, y) (\displaystyle N(x, y))și să integreze. De asemenea, se poate integra primul N (\displaystyle N), și apoi luați derivata parțială în raport cu x (\displaystyle x), care vă va permite să găsiți funcţie arbitrară d(x). (\displaystyle d(x).) Ambele metode sunt potrivite și, de obicei, funcția mai simplă este aleasă pentru integrare.
  - N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y))=(\frac (\ parțial (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
- Exemplul 1.5. Puteți lua derivate parțiale și puteți verifica dacă ecuația de mai jos este o ecuație diferențială totală.
  - 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
  - φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi) &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial) \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
  - d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
  - x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
- Dacă ecuația diferențială nu este o ecuație diferențială totală, în unele cazuri puteți găsi un factor de integrare care vă va permite să o convertiți într-o ecuație diferențială totală. Cu toate acestea, astfel de ecuații sunt rareori utilizate în practică, și deși factorul de integrare există, află că se întâmplă nu este usor, deci aceste ecuații nu sunt luate în considerare în acest articol.

Partea 2

Ecuații de ordinul doi

Ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți. Aceste ecuații sunt utilizate pe scară largă în practică, astfel încât soluția lor este de o importanță capitală. În acest caz, nu vorbim despre funcții omogene, ci despre faptul că în partea dreaptă a ecuației există 0. În secțiunea următoare, vom arăta cum corespunzătoare eterogen ecuatii diferentiale. De mai jos a (\displaystyle a)și b (\displaystyle b) sunt constante.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Ecuație caracteristică. Această ecuație diferențială este remarcabilă prin faptul că poate fi rezolvată foarte ușor dacă acordați atenție proprietăților soluțiilor sale. Din ecuație se poate observa că y (\displaystyle y) iar derivatele sale sunt proporționale între ele. Din exemplele anterioare, care au fost luate în considerare în secțiunea privind ecuațiile de ordinul întâi, știm că numai funcția exponențială are această proprietate. Prin urmare, este posibil să se prezinte ansatz(o presupunere educată) despre care va fi soluția ecuației date.
- Soluția va lua forma unei funcții exponențiale e r x , (\displaystyle e^(rx),) Unde r (\displaystyle r) este o constantă a cărei valoare trebuie găsită. Înlocuiți această funcție în ecuație și obțineți următoarea expresie
  - e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
- Această ecuație indică faptul că produsul dintre o funcție exponențială și un polinom trebuie să fie zero. Se știe că exponentul nu poate fi egal cu zero pentru nicio valoare a gradului. Prin urmare, concluzionăm că polinomul este egal cu zero. Astfel, am redus problema rezolvării unei ecuații diferențiale la o problemă mult mai simplă de rezolvare a unei ecuații algebrice, care se numește ecuație caracteristică pentru o ecuație diferențială dată.
  - r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
  - r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
- Avem două rădăcini. Deoarece această ecuație diferențială este liniară, soluția ei generală este o combinație liniară de soluții parțiale. Deoarece aceasta este o ecuație de ordinul doi, știm că aceasta este într-adevăr soluție generală și nu există altele. O justificare mai riguroasă pentru aceasta constă în teoremele privind existența și unicitatea soluției, care pot fi găsite în manuale.
- O modalitate utilă de a verifica dacă două soluții sunt liniar independente este de a calcula Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- acesta este determinantul matricei, în coloanele căreia se află funcții și derivatele lor succesive. Teorema algebrei liniare afirmă că funcțiile din Wronskian sunt liniar dependente dacă Wronskianul este egal cu zero. În această secțiune, putem testa dacă două soluții sunt liniar independente, asigurându-ne că Wronskianul este diferit de zero. Wronskianul este important în rezolvarea ecuațiilor diferențiale neomogene cu coeficienți constanți prin metoda variației parametrilor.
  - w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
- În ceea ce privește algebra liniară, se formează mulțimea tuturor soluțiilor unei ecuații diferențiale date spațiu vectorial, a cărui dimensiune este egală cu ordinea ecuației diferențiale. În acest spațiu, se poate alege o bază din liniar independent decizii unul de la celălalt. Acest lucru este posibil datorită faptului că funcția y (x) (\displaystyle y(x)) valabil operator liniar. Derivat este operator liniar, deoarece transformă spațiul funcțiilor diferențiabile în spațiul tuturor funcțiilor. Ecuațiile sunt numite omogene în cazurile în care pentru un operator liniar L (\displaystyle L) este necesar să se găsească o soluție la ecuație L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)
Să ne întoarcem acum la câteva exemple concrete. Cazul rădăcinilor multiple ale ecuației caracteristice va fi luat în considerare puțin mai târziu, în secțiunea privind reducerea ordinii.
Dacă rădăcinile r ± (\displaystyle r_(\pm )) sunt numere reale diferite, ecuația diferențială are următoarea soluție
- y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))
Două rădăcini complexe. Din teorema fundamentală a algebrei rezultă că soluțiile ecuațiilor polinomiale cu coeficienți reali au rădăcini care sunt reale sau formează perechi conjugate. Prin urmare, dacă numărul complex r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta) este rădăcina ecuației caracteristice, atunci r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta) este și rădăcina acestei ecuații. Astfel, soluția poate fi scrisă sub formă c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α - i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) cu toate acestea, acesta este un număr complex și este nedorit în rezolvarea problemelor practice.
- În schimb, puteți folosi Formula lui Euler e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), care vă permite să scrieți soluția sub formă de funcții trigonometrice:
  - e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
- Acum poți în loc să fii constant c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) scrie c 1 (\displaystyle c_(1)), și expresia i (c 1 - c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) inlocuit de c 2 . (\displaystyle c_(2).) După aceea, obținem următoarea soluție:
  - y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
- Există o altă modalitate de a scrie soluția în termeni de amplitudine și fază, care este mai potrivită pentru problemele fizice.
- Exemplul 2.1. Să găsim soluția ecuației diferențiale prezentate mai jos cu condiții inițiale date. Pentru aceasta, este necesar să luați soluția obținută, precum și derivatul său, și înlocuiți-le în condițiile inițiale, ceea ce ne va permite să determinăm constante arbitrare.
  - d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
  - r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
  - x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
  - x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
  - x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
  - x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
  - x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\dreapta))
Rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordinul al n-lea cu coeficienți constanți (înregistrate de Intuit - National Open University).
Comanda de retrogradare. Reducerea ordinului este o metodă de rezolvare a ecuațiilor diferențiale atunci când se cunoaște o soluție liniar independentă. Această metodă constă în scăderea ordinii ecuației cu una, ceea ce permite rezolvarea ecuației folosind metodele descrise în secțiunea anterioară. Să fie cunoscută soluția. Ideea principală de scădere a comenzii este să găsiți o soluție în formularul de mai jos, unde este necesar să definiți funcția v (x) (\displaystyle v(x)), substituindu-l în ecuația diferențială și găsirea v(x). (\displaystyle v(x).) Să luăm în considerare modul în care reducerea ordinii poate fi utilizată pentru a rezolva o ecuație diferențială cu coeficienți constanți și rădăcini multiple.

Rădăcini multiple ecuație diferențială omogenă cu coeficienți constanți. Reamintim că o ecuație de ordinul doi trebuie să aibă două soluții liniar independente. Dacă ecuația caracteristică are mai multe rădăcini, mulțimea soluțiilor nu formează un spațiu deoarece aceste soluții sunt dependente liniar. În acest caz, reducerea ordinului trebuie utilizată pentru a găsi o a doua soluție liniar independentă.
- Fie ca ecuația caracteristică să aibă mai multe rădăcini r (\displaystyle r). Presupunem că a doua soluție poate fi scrisă ca y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), și înlocuiți-l în ecuația diferențială. În acest caz, majoritatea termenilor, cu excepția termenului cu derivata a doua a funcției v , (\displaystyle v,) vor fi reduse.
  - v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
- Exemplul 2.2. Având în vedere următoarea ecuație, care are mai multe rădăcini r = − 4. (\displaystyle r=-4.) La înlocuire, majoritatea termenilor sunt anulați.
  - d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
  - y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(aliniat)))
  - v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned) )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
- Ca și ansatz-ul nostru pentru o ecuație diferențială cu coeficienți constanți, în acest caz numai derivata a doua poate fi egală cu zero. Integram de doua ori si obtinem expresia dorita pt v (\displaystyle v):
  - v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
- Atunci soluția generală a unei ecuații diferențiale cu coeficienți constanți, dacă ecuația caracteristică are mai multe rădăcini, se poate scrie în forma următoare. Pentru comoditate, vă puteți aminti că pentru a obține independența liniară, este suficient să înmulțiți pur și simplu al doilea termen cu x (\displaystyle x). Acest set de soluții este liniar independent și astfel am găsit toate soluțiile acestei ecuații.
  - y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))
D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Reducerea comenzii este aplicabilă dacă soluția este cunoscută y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), care poate fi găsit sau dat în enunțul problemei.
- Cautam o solutie in formular y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))și conectați-l în această ecuație:
  - v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
- Pentru că y 1 (\displaystyle y_(1)) este o soluție a ecuației diferențiale, toți termenii cu v (\displaystyle v) se micsoreaza. Drept urmare, rămâne ecuație liniară de ordinul întâi. Pentru a vedea acest lucru mai clar, haideți să schimbăm variabilele w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
  - y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
  - w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\dreapta)(\mathrm (d) )x\dreapta))
  - v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
- Dacă integralele pot fi calculate, obținem soluția generală ca o combinație de funcții elementare. În caz contrar, soluția poate fi lăsată în formă integrală.
Ecuația Cauchy-Euler. Ecuația Cauchy-Euler este un exemplu de ecuație diferențială de ordinul doi cu variabile coeficienți, care are soluții exacte. Această ecuație este folosită în practică, de exemplu, pentru a rezolva ecuația Laplace în coordonate sferice.
X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Ecuație caracteristică. După cum puteți vedea, în această ecuație diferențială, fiecare termen conține un factor de putere, al cărui grad este egal cu ordinul derivatei corespunzătoare.
- Astfel, se poate încerca să caute o soluție în formă y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) unde să se definească n (\displaystyle n), așa cum căutam o soluție sub forma unei funcții exponențiale pentru o ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți. După diferențiere și înlocuire, obținem
  - x n (n 2 + (a - 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
- Pentru a folosi ecuația caracteristică, trebuie să presupunem că x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Punct x = 0 (\displaystyle x=0) numit punct singular regulat ecuație diferențială. Astfel de puncte sunt importante atunci când se rezolvă ecuații diferențiale folosind serii de puteri. Această ecuație are două rădăcini, care pot fi diferite și reale, multiple sau complexe conjugate.
  - n ± = 1 - a ± (a - 1) 2 - 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))
Două rădăcini reale diferite. Dacă rădăcinile n ± (\displaystyle n_(\pm )) sunt reale și diferite, atunci soluția ecuației diferențiale are următoarea formă:
- y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))
Două rădăcini complexe. Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcini n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), soluția este o funcție complexă.
- Pentru a transforma soluția într-o funcție reală, facem o schimbare de variabile x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) acesta este t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)și folosiți formula lui Euler. Acțiuni similare au fost efectuate mai devreme la definirea constantelor arbitrare.
  - y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e - β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
- Atunci soluția generală poate fi scrisă ca
  - y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))
Rădăcini multiple. Pentru a obține o a doua soluție liniar independentă, este necesar să reduceți din nou ordinea.
- Este nevoie de un pic de calcul, dar principiul este același: înlocuim y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))într-o ecuație a cărei primă soluție este y 1 (\displaystyle y_(1)). După reduceri, se obține următoarea ecuație:
  - v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
- Aceasta este o ecuație liniară de ordinul întâi în raport cu v′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Soluția lui este v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Astfel, soluția poate fi scrisă în forma următoare. Este destul de ușor de reținut - pentru a obține a doua soluție liniar independentă, aveți nevoie doar de un termen suplimentar cu ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
  - y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))
Ecuații diferențiale liniare neomogene cu coeficienți constanți. Ecuațiile neomogene au forma L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Unde f (x) (\displaystyle f(x))- așa-zisul membru liber. Conform teoriei ecuațiilor diferențiale, soluția generală a acestei ecuații este o suprapunere decizie privată y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))și solutie suplimentara y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Totuși, în acest caz, o soluție anume nu înseamnă o soluție dată de condițiile inițiale, ci mai degrabă o soluție care se datorează prezenței neomogenității (membru liber). O decizie suplimentară este decizia corespondentului ecuație omogenă, în care f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Soluția generală este o suprapunere a acestor două soluții, deoarece L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), și de când L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) o astfel de suprapunere este într-adevăr o soluție generală.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
Metoda coeficienților nedeterminați. Metoda coeficienților nedeterminați este utilizată în cazurile în care termenul liber este o combinație de funcții exponențiale, trigonometrice, hiperbolice sau de putere. Doar aceste funcții sunt garantate a avea un număr finit de derivate liniar independente. În această secțiune, vom găsi o soluție particulară a ecuației.
- Comparați termenii din f (x) (\displaystyle f(x)) cu termeni în ignorarea factorilor constanţi. Sunt posibile trei cazuri.
  - Nu există membri identici.În acest caz, o soluție specială y p (\displaystyle y_(p)) va fi o combinație liniară de termeni din y p (\displaystyle y_(p))
  - f (x) (\displaystyle f(x)) conţine membru x n (\displaystyle x^(n)) și un membru din y c , (\displaystyle y_(c),) Unde n (\displaystyle n) este zero sau un întreg pozitiv, iar acest termen corespunde unei singure rădăcini a ecuației caracteristice.În acest caz y p (\displaystyle y_(p)) va consta dintr-o combinație a funcției x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) derivatele sale liniar independente, precum și alți termeni f (x) (\displaystyle f(x))și derivatele lor liniar independente.
  - f (x) (\displaystyle f(x)) conţine membru h (x) , (\displaystyle h(x),) care este o lucrare x n (\displaystyle x^(n)) și un membru din y c , (\displaystyle y_(c),) Unde n (\displaystyle n) este egal cu 0 sau un număr întreg pozitiv, iar acestui termen îi corespunde multiplu rădăcina ecuației caracteristice.În acest caz y p (\displaystyle y_(p)) este o combinație liniară a funcției x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Unde s (\displaystyle s)- multiplicitatea rădăcinii) și derivatele sale liniar independente, precum și alți membri ai funcției f (x) (\displaystyle f(x))și derivatele sale liniar independente.
- Să scriem y p (\displaystyle y_(p)) ca o combinație liniară a termenilor de mai sus. Datorită acestor coeficienți într-o combinație liniară aceasta metoda numită metoda coeficienților nedeterminați. La apariţia celor cuprinse în y c (\displaystyle y_(c)) membrii lor pot fi aruncați din cauza prezenței constantelor arbitrare în Y c . (\displaystyle y_(c).) După aceea înlocuim y p (\displaystyle y_(p))într-o ecuație și echivalează termeni similari.
- Determinăm coeficienții. Pe această etapă se dovedește că sistemul ecuații algebrice, care de obicei poate fi rezolvată fără probleme. Soluția acestui sistem face posibilă obținerea y p (\displaystyle y_(p))și astfel rezolvăți ecuația.
- Exemplul 2.3. Considerăm o ecuație diferențială neomogenă al cărei termen liber conține un număr finit de derivate liniar independente. O soluție particulară a unei astfel de ecuații poate fi găsită prin metoda coeficienților nedeterminați.
  - d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
  - y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
  - y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
  - 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(aliniat)))
  - ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ sfârșitul (cazurile)))
  - y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)
Metoda Lagrange. Metoda Lagrange, sau metoda de variație a constantelor arbitrare, este o metodă mai generală de rezolvare a ecuațiilor diferențiale neomogene, mai ales în cazurile în care termenul liber nu conține un număr finit de derivate liniar independente. De exemplu, cu membri gratuiti bronz ⁡ x (\displaystyle \tan x) sau x − n (\displaystyle x^(-n)) pentru a găsi o anumită soluție, este necesar să folosiți metoda Lagrange. Metoda Lagrange poate fi folosită chiar și pentru a rezolva ecuații diferențiale cu coeficienți variabili, deși în acest caz, cu excepția ecuației Cauchy-Euler, este mai rar utilizată, deoarece soluția suplimentară nu este de obicei exprimată în termeni de funcții elementare.
- Să presupunem că soluția are următoarea formă. Derivata sa este dată în a doua linie.
  - y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
  - y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) „+v_(2)”y_(2)+v_(2)y_(2)”)
- Întrucât soluția propusă conține Două cantități necunoscute, este necesar să se impună adiţional condiție. Alegem această condiție suplimentară în următoarea formă:
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
  - y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
  - y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
- Acum putem obține a doua ecuație. După înlocuirea și redistribuirea membrilor, puteți grupa membrii cu v 1 (\displaystyle v_(1)) si membrii din v 2 (\displaystyle v_(2)). Acești termeni sunt anulați deoarece y 1 (\displaystyle y_(1))și y 2 (\displaystyle y_(2)) sunt soluții ale ecuației omogene corespunzătoare. Ca rezultat, obținem următorul sistem de ecuații
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1))"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(aliniat)))
- Acest sistem poate fi transformat într-o ecuație matriceală de formă A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) a cărui soluție este x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Pentru matrice 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) matrice inversă se găsește prin împărțirea la determinant, permutarea elementelor diagonale și schimbarea semnului elementelor în afara diagonalei. De fapt, determinantul acestei matrice este un Wronskian.
  - (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
- Expresii pentru v 1 (\displaystyle v_(1))și v 2 (\displaystyle v_(2)) sunt enumerate mai jos. Ca și în metoda reducerii ordinului, în acest caz apare o constantă arbitrară în timpul integrării, care include o soluție suplimentară în soluția generală a ecuației diferențiale.
  - v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
  - v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
Prelegerea Universității Naționale Deschise Intuit intitulată „Ecuații diferențiale lineare de ordinul n-a cu coeficienți constanți”.

Uz practic

Ecuațiile diferențiale stabilesc o relație între o funcție și una sau mai multe dintre derivatele sale. Deoarece astfel de relații sunt atât de comune, ecuațiile diferențiale au găsit o aplicație largă într-o mare varietate de domenii și, deoarece trăim în patru dimensiuni, aceste ecuații sunt adesea ecuații diferențiale în privat derivate. Această secțiune discută unele dintre cele mai importante ecuații de acest tip.

Creștere și decădere exponențială. dezintegrare radioactivă. Interes compus. Viteză reacții chimice. Concentrația de medicamente în sânge. Creștere nelimitată a populației. Legea Newton-Richmann. LA lumea reala există multe sisteme în care rata de creștere sau decădere în orice moment în timp este proporțională cu cantitatea la acel moment în timp sau poate fi bine aproximată printr-un model. Acest lucru se datorează faptului că soluția acestei ecuații diferențiale, funcția exponențială, este una dintre cele mai importante funcții din matematică și alte științe. Mai general, în condiții de creștere controlată a populației, sistemul poate include termeni suplimentari care limitează creșterea. În ecuația de mai jos, constanta k (\displaystyle k) poate fi mai mare sau mai mică decât zero.
- d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
Vibrații armonice. Atât în mecanica clasică, cât și în mecanica cuantică, oscilatorul armonic este unul dintre cele mai importante sisteme fizice datorită simplității și utilizare pe scară largă pentru a aproxima sisteme mai complexe precum un pendul simplu. În mecanica clasică vibratii armonice sunt descrise printr-o ecuație care leagă poziția unui punct material de accelerația sa prin legea lui Hooke. În acest caz, pot fi luate în considerare și forțele de amortizare și de antrenare. În expresia de mai jos x ˙ (\displaystyle (\punct (x)))- derivată în timp a x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta) este un parametru care descrie forța de amortizare, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- frecvența unghiulară a sistemului, F (t) (\displaystyle F(t)) este o forță motrice dependentă de timp. Oscilator armonic este prezent și în circuitele oscilatoare electromagnetice, unde poate fi implementat cu o precizie mai mare decât în sistemele mecanice.
- x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
Ecuația Bessel. Ecuația diferențială Bessel este utilizată în multe domenii ale fizicii, inclusiv soluția ecuației de undă, ecuația Laplace și ecuația Schrödinger, în special în prezența simetriei cilindrice sau sferice. Această ecuație diferențială de ordinul doi cu coeficienți variabili nu este o ecuație Cauchy-Euler, deci soluțiile sale nu pot fi scrise ca funcții elementare. Soluțiile ecuației Bessel sunt funcțiile Bessel, care sunt bine studiate datorită faptului că sunt utilizate în multe domenii. În expresia de mai jos α (\displaystyle \alpha) este o constantă care se potrivește Ordin Funcțiile Bessel.
- x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
Ecuațiile lui Maxwell. Alături de forța Lorentz, ecuațiile lui Maxwell formează baza electrodinamicii clasice. Acestea sunt patru ecuații diferențiale parțiale pentru electric E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))și magnetice B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) câmpuri. În expresiile de mai jos ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- densitatea de încărcare, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) este densitatea de curent și ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))și μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) sunt constantele electrice și respectiv magnetice.
- ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
Ecuația Schrödinger.În mecanica cuantică, ecuația Schrödinger este ecuația de bază a mișcării care descrie mișcarea particulelor în conformitate cu schimbarea funcției de undă. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) cu timpul. Ecuația mișcării este descrisă de comportament Hamiltonian H ^ (\displaystyle (\pălărie(H))) - operator, care descrie energia sistemului. Unul dintre exemplele binecunoscute ale ecuației Schrödinger în fizică este ecuația pentru o particulă non-relativistă, care este supusă potențialului V (r, t) (\displaystyle V((\mathbf (r)),t)). Multe sisteme sunt descrise de ecuația Schrödinger dependentă de timp, cu ecuația în partea stângă E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Unde E (\displaystyle E) este energia particulei. În expresiile de mai jos ℏ (\displaystyle \hbar ) este constanta Planck redusă.
- eu ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
ecuația de undă. Este imposibil să ne imaginăm fizica și tehnologia fără valuri, ele sunt prezente în toate tipurile de sisteme. În general, undele sunt descrise de ecuația de mai jos, în care u = u (r, t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r)),t)) este funcția dorită și c (\displaystyle c)- constantă determinată experimental. d'Alembert a fost primul care a descoperit că pentru cazul unidimensional soluția ecuației de undă este orice funcția cu argument x − c t (\displaystyle x-ct), care descrie o undă arbitrară care se propagă spre dreapta. Soluția generală pentru cazul unidimensional este o combinație liniară a acestei funcții cu o a doua funcție cu un argument x + c t (\displaystyle x+ct), care descrie o undă care se propagă spre stânga. Această soluție este prezentată în a doua linie.
- ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
- u (x , t) = f (x - c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
Ecuații Navier-Stokes. Ecuațiile Navier-Stokes descriu mișcarea fluidelor. Deoarece fluidele sunt prezente practic în fiecare domeniu al științei și tehnologiei, aceste ecuații sunt extrem de importante pentru predicția vremii, proiectarea aeronavelor, curenții oceanici și multe alte aplicații. Ecuațiile Navier-Stokes sunt ecuații diferențiale parțiale neliniare, iar în majoritatea cazurilor este foarte dificil de rezolvat, deoarece neliniaritatea duce la turbulențe, iar pentru a obține o soluție stabilă prin metode numerice, împărțirea în foarte mici. celulele este necesară, ceea ce necesită o putere de calcul semnificativă. În scopuri practice în hidrodinamică, metode precum media timpului sunt folosite pentru a modela curgerile turbulente. Chiar și mai multe întrebări de bază, cum ar fi existența și unicitatea soluțiilor pentru ecuațiile diferențiale parțiale neliniare, sunt probleme complexe, iar demonstrarea existenței și unicității soluțiilor pentru ecuațiile Navier-Stokes în trei dimensiuni este printre problemele matematice ale mileniului. . Mai jos sunt ecuația de curgere a fluidului incompresibil și ecuația de continuitate.
- ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u)))) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

Multe ecuații diferențiale pur și simplu nu pot fi rezolvate prin metodele de mai sus, în special cele menționate în ultima secțiune. Acest lucru se aplică atunci când ecuația conține coeficienți variabili și nu este o ecuație Cauchy-Euler sau când ecuația este neliniară, cu excepția câtorva cazuri foarte rare. Cu toate acestea, metodele de mai sus vă permit să rezolvați multe ecuații diferențiale importante care sunt adesea întâlnite în diferite domenii ale științei.
Spre deosebire de diferențiere, care vă permite să găsiți derivata oricărei funcții, integrala multor expresii nu poate fi exprimată în funcții elementare. Prin urmare, nu pierdeți timpul încercând să calculați integrala acolo unde este imposibil. Uită-te la tabelul integralelor. Dacă soluția unei ecuații diferențiale nu poate fi exprimată în termeni de funcții elementare, uneori poate fi reprezentată în formă integrală, iar în acest caz nu contează dacă această integrală poate fi calculată analitic.

Avertizări

Aspect ecuația diferențială poate induce în eroare. De exemplu, mai jos sunt două ecuații diferențiale de ordinul întâi. Prima ecuație este ușor de rezolvat folosind metodele descrise în acest articol. La prima vedere, o schimbare minoră y (\displaystyle y) pe y 2 (\displaystyle y^(2))în a doua ecuație o face neliniară și devine foarte greu de rezolvat.
- d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
- d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))