Sisteme de ecuații primite aplicare largăîn sectorul economic modelare matematică diverse procese. De exemplu, la rezolvarea problemelor de management și planificare a producției, rutele logistice ( sarcina de transport) sau amplasarea echipamentului.

Sistemele de ecuații sunt utilizate nu numai în domeniul matematicii, ci și în fizică, chimie și biologie, atunci când se rezolvă probleme de găsire a mărimii populației.

sistem ecuatii lineare numiți două sau mai multe ecuații cu mai multe variabile pentru care este necesar să găsiți o soluție comună. O astfel de succesiune de numere pentru care toate ecuațiile devin egalități adevărate sau dovedesc că șirul nu există.

Ecuație liniară

Ecuațiile de forma ax+by=c se numesc liniare. Denumirile x, y sunt necunoscutele, a căror valoare trebuie găsită, b, a sunt coeficienții variabilelor, c este termenul liber al ecuației.
Rezolvarea ecuației prin reprezentarea graficului acesteia va arăta ca o dreaptă, toate punctele căreia sunt soluția polinomului.

Tipuri de sisteme de ecuații liniare

Cele mai simple sunt exemplele de sisteme de ecuații liniare cu două variabile X și Y.

F1(x, y) = 0 și F2(x, y) = 0, unde F1,2 sunt funcții și (x, y) sunt variabile de funcție.

Rezolvați un sistem de ecuații - înseamnă să găsești astfel de valori (x, y) pentru care sistemul devine o egalitate adevărată sau să stabilești că nu există valori adecvate ale lui x și y.

O pereche de valori (x, y), scrise ca coordonate punctuale, se numește soluție a unui sistem de ecuații liniare.

Dacă sistemele au o soluție comună sau nu există nicio soluție, se numesc echivalente.

Sistemele omogene de ecuații liniare sunt sisteme a căror latură dreaptă este egală cu zero. Dacă partea dreaptă după semnul „egal” are o valoare sau este exprimată printr-o funcție, un astfel de sistem nu este omogen.

Numărul de variabile poate fi mult mai mare de două, atunci ar trebui să vorbim despre un exemplu de sistem de ecuații liniare cu trei sau mai multe variabile.

În fața sistemelor, școlarii presupun că numărul de ecuații trebuie să coincidă neapărat cu numărul de necunoscute, dar nu este așa. Numărul de ecuații din sistem nu depinde de variabile, poate exista un număr arbitrar de mare al acestora.

Metode simple și complexe de rezolvare a sistemelor de ecuații

Nu există o modalitate analitică generală de a rezolva astfel de sisteme, toate metodele se bazează pe soluții numerice. Cursul școlar de matematică descrie în detaliu metode precum permutarea, adunarea algebrică, substituția, precum și metoda grafică și matriceală, soluția prin metoda Gauss.

Sarcina principală în predarea metodelor de rezolvare este de a învăța cum să analizăm corect sistemul și să găsim algoritmul optim de soluție pentru fiecare exemplu. Principalul lucru nu este să memorați un sistem de reguli și acțiuni pentru fiecare metodă, ci să înțelegeți principiile aplicării unei anumite metode.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare din clasa a VII-a a programului școlar de învățământ general este destul de simplă și este explicată în detaliu. În orice manual de matematică, acestei secțiuni i se acordă suficientă atenție. Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare prin metoda lui Gauss și Cramer este studiată mai detaliat în primele cursuri ale instituțiilor de învățământ superior.

Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției

Acțiunile metodei substituției au ca scop exprimarea valorii unei variabile prin a doua. Expresia este substituită în ecuația rămasă, apoi este redusă la o singură formă variabilă. Acțiunea se repetă în funcție de numărul de necunoscute din sistem

Să dăm un exemplu de sistem de ecuații liniare din clasa a 7-a prin metoda substituției:

După cum se poate observa din exemplu, variabila x a fost exprimată prin F(X) = 7 + Y. Expresia rezultată, substituită în ecuația a 2-a a sistemului în locul lui X, a ajutat la obținerea unei variabile Y în a doua ecuație. . Soluția acestui exemplu nu provoacă dificultăți și vă permite să obțineți valoarea Y. Ultimul pas acesta este un test al valorilor primite.

Nu este întotdeauna posibil să se rezolve un exemplu de sistem de ecuații liniare prin substituție. Ecuațiile pot fi complexe și expresia variabilei în termenii celei de-a doua necunoscute va fi prea greoaie pentru calcule ulterioare. Când există mai mult de 3 necunoscute în sistem, soluția de substituție este, de asemenea, nepractică.

Rezolvarea unui exemplu de sistem de ecuații liniare neomogene:

Rezolvare folosind adunarea algebrică

La căutarea unei soluții la sisteme prin metoda adunării, se efectuează adunarea termen cu termen și înmulțirea ecuațiilor cu diverse numere. Scopul final al operațiilor matematice este o ecuație cu o variabilă.

Pentru aplicații aceasta metoda este nevoie de practică și observație. Nu este ușor să rezolvi un sistem de ecuații liniare folosind metoda adunării cu numărul de variabile 3 sau mai mult. Adunarea algebrică este utilă atunci când ecuațiile conțin fracții și numere zecimale.

Algoritm de acțiune a soluției:

1. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un număr. Ca rezultat al operației aritmetice, unul dintre coeficienții variabilei trebuie să devină egal cu 1.
2. Adăugați expresia rezultată termen cu termen și găsiți una dintre necunoscute.
3. Înlocuiți valoarea rezultată în a doua ecuație a sistemului pentru a găsi variabila rămasă.

Metoda de rezolvare prin introducerea unei noi variabile

O nouă variabilă poate fi introdusă dacă sistemul trebuie să găsească o soluție pentru nu mai mult de două ecuații, numărul de necunoscute ar trebui, de asemenea, să nu fie mai mare de două.

Metoda este folosită pentru a simplifica una dintre ecuații prin introducerea unei noi variabile. Noua ecuație este rezolvată în raport cu necunoscuta introdusă, iar valoarea rezultată este folosită pentru a determina variabila inițială.

Din exemplu se poate observa că prin introducerea unei noi variabile t a fost posibilă reducerea primei ecuații a sistemului la un trinom pătrat standard. Puteți rezolva un polinom găsind discriminantul.

Este necesar să se afle valoarea discriminantului folosind formula binecunoscută: D = b2 - 4*a*c, unde D este discriminantul dorit, b, a, c sunt multiplicatorii polinomului. În exemplul dat, a=1, b=16, c=39, deci D=100. Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci există două soluții: t = -b±√D / 2*a, dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci există o singură soluție: x= -b / 2*a.

Soluția pentru sistemele rezultate se găsește prin metoda adunării.

O metodă vizuală pentru rezolvarea sistemelor

Potrivit pentru sisteme cu 3 ecuații. Metoda constă în trasarea graficelor fiecărei ecuații incluse în sistem pe axa de coordonate. Coordonatele punctelor de intersecție ale curbelor și vor fi solutie comuna sisteme.

Metoda grafică are o serie de nuanțe. Luați în considerare câteva exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare într-un mod vizual.

După cum se poate vedea din exemplu, s-au construit două puncte pentru fiecare linie, valorile variabilei x au fost alese în mod arbitrar: 0 și 3. Pe baza valorilor lui x, s-au găsit valorile pentru y: 3 și 0. Punctele cu coordonatele (0, 3) și (3, 0) au fost marcate pe grafic și legate printr-o linie.

Pașii trebuie repetați pentru a doua ecuație. Punctul de intersecție al dreptelor este soluția sistemului.

În exemplul următor, este necesară găsirea unei soluții grafice a sistemului de ecuații liniare: 0,5x-y+2=0 și 0,5x-y-1=0.

După cum se poate observa din exemplu, sistemul nu are soluție, deoarece graficele sunt paralele și nu se intersectează pe toată lungimea lor.

Sistemele din exemplele 2 și 3 sunt similare, dar atunci când sunt construite, devine evident că soluțiile lor sunt diferite. Trebuie reținut că nu este întotdeauna posibil să spunem dacă sistemul are o soluție sau nu, este întotdeauna necesar să construim un grafic.

Matrix și soiurile sale

Matricele sunt folosite pentru a scrie pe scurt un sistem de ecuații liniare. O matrice este un tip special de tabel plin cu numere. n*m are n - rânduri și m - coloane.

O matrice este pătrată atunci când numărul de coloane și rânduri este egal. Un vector-matrice este o matrice cu o singură coloană cu un număr infinit posibil de rânduri. O matrice cu unități de-a lungul uneia dintre diagonale și alte elemente zero se numește identitate.

O matrice inversă este o astfel de matrice, atunci când este înmulțită cu care cea originală se transformă într-una unitară, o astfel de matrice există doar pentru cea pătrată originală.

Reguli pentru transformarea unui sistem de ecuații într-o matrice

În ceea ce privește sistemele de ecuații, coeficienții și membrii liberi ai ecuațiilor sunt scrise ca numere ale matricei, o ecuație este un rând al matricei.

Un rând de matrice este numit diferit de zero dacă cel puțin un element al rândului nu este egal cu zero. Prin urmare, dacă în oricare dintre ecuații numărul de variabile diferă, atunci este necesar să introduceți zero în locul necunoscutului lipsă.

Coloanele matricei trebuie să corespundă strict variabilelor. Aceasta înseamnă că coeficienții variabilei x pot fi scriși doar într-o coloană, de exemplu prima, coeficientul necunoscutului y - doar în a doua.

La înmulțirea unei matrice, toate elementele matricei sunt înmulțite succesiv cu un număr.

Opțiuni pentru găsirea matricei inverse

Formula pentru găsirea matricei inverse este destul de simplă: K -1 = 1 / |K|, unde K -1 este matricea inversă și |K| - determinant matriceal. |K| nu trebuie să fie egal cu zero, atunci sistemul are o soluție.

Determinantul se calculează cu ușurință pentru o matrice de două câte două, este necesar doar înmulțirea elementelor în diagonală între ele. Pentru opțiunea „trei cu trei”, există o formulă |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Puteți folosi formula sau vă puteți aminti că trebuie să luați câte un element din fiecare rând și fiecare coloană, astfel încât numerele coloanei și rândurilor elementelor să nu se repete în produs.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare prin metoda matricei

Metoda matriceală de găsire a unei soluții face posibilă reducerea intrărilor greoaie la rezolvarea sistemelor cu un număr mare de variabile și ecuații.

În exemplu, a nm sunt coeficienții ecuațiilor, matricea este un vector x n sunt variabilele, iar b n sunt termenii liberi.

Rezolvarea sistemelor prin metoda Gauss

În matematica superioară, metoda Gauss este studiată împreună cu metoda Cramer, iar procesul de găsire a unei soluții la sisteme se numește metoda Gauss-Cramer de rezolvare. Aceste metode sunt folosite pentru a găsi variabilele sistemelor cu un număr mare de ecuații liniare.

Metoda Gaussiană este foarte asemănătoare cu soluțiile de substituție și adiție algebrică, dar este mai sistematică. În cursul școlii, soluția Gauss este folosită pentru sistemele cu 3 și 4 ecuații. Scopul metodei este de a aduce sistemul la forma unui trapez inversat. Prin transformări și substituții algebrice, valoarea unei variabile se găsește într-una din ecuațiile sistemului. A doua ecuație este o expresie cu 2 necunoscute și 3 și 4 - cu 3 și, respectiv, 4 variabile.

După aducerea sistemului la forma descrisă, soluția ulterioară este redusă la înlocuirea secvențială a variabilelor cunoscute în ecuațiile sistemului.

LA manualele școlare pentru gradul 7, un exemplu de soluție prin metoda Gauss este descris după cum urmează:

După cum se poate observa din exemplu, la pasul (3) s-au obținut două ecuații 3x 3 -2x 4 =11 și 3x 3 +2x 4 =7. Rezolvarea oricăreia dintre ecuații vă va permite să aflați una dintre variabilele x n.

Teorema 5, care este menționată în text, afirmă că dacă una dintre ecuațiile sistemului este înlocuită cu una echivalentă, atunci și sistemul rezultat va fi echivalent cu cel original.

Metoda Gauss este greu de înțeles de către elevi liceu, dar este una dintre cele mai interesante modalități de a dezvolta ingeniozitatea copiilor înscriși în program studiu aprofundat la orele de matematică și fizică.

Pentru ușurința înregistrării calculelor, este obișnuit să faceți următoarele:

Coeficienții ecuației și termenii liberi se scriu sub forma unei matrice, unde fiecare rând al matricei corespunde uneia dintre ecuațiile sistemului. separă partea stângă a ecuației de partea dreaptă. Numerele romane denotă numerele de ecuații din sistem.

În primul rând, notează matricea cu care să lucreze, apoi toate acțiunile efectuate cu unul dintre rânduri. Matricea rezultată se scrie după semnul „săgeată” și se continuă operațiile algebrice necesare până la obținerea rezultatului.

Ca rezultat, ar trebui să se obțină o matrice în care una dintre diagonale este 1 și toți ceilalți coeficienți sunt egali cu zero, adică matricea este redusă la o singură formă. Nu trebuie să uităm să facem calcule cu numerele ambelor părți ale ecuației.

Această notație este mai puțin greoaie și vă permite să nu fiți distras prin enumerarea a numeroase necunoscute.

Aplicarea gratuită a oricărei metode de soluție va necesita îngrijire și o anumită experiență. Nu toate metodele sunt aplicate. Unele moduri de a găsi soluții sunt mai preferabile într-un anumit domeniu al activității umane, în timp ce altele există în scopul învățării.

Sisteme de ecuații liniare. Cursul 6

Sisteme de ecuații liniare.

Noțiuni de bază.

sistem de vizualizare

numit sistem - ecuații liniare cu necunoscute.

Numerele , , sunt numite coeficienții sistemului.

Se numesc numere membri liberi ai sistemului, – variabile de sistem. Matrice

numit matricea principală a sistemului, și matricea

– sistem de matrice extinsă. Matrici - coloane

Și în mod corespunzător matrici de membri liberi și necunoscute ale sistemului. Apoi, sub formă de matrice, sistemul de ecuații poate fi scris ca . Soluție de sistem se numește valorile variabilelor, la înlocuirea cărora, toate ecuațiile sistemului se transformă în adevărate egalități numerice. Orice soluție a sistemului poate fi reprezentată ca o coloană-matrice. Atunci egalitatea matricei este adevărată.

Sistemul de ecuații se numește comun dacă are cel puţin o soluţie şi incompatibil daca nu are solutie.

A rezolva un sistem de ecuații liniare înseamnă a afla dacă este compatibil și, dacă este compatibil, a-i găsi soluția generală.

Sistemul este numit omogen dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero. Un sistem omogen este întotdeauna compatibil pentru că are o soluție

Teorema Kronecker-Kopelli.

Răspunsul la întrebarea existenței soluțiilor sistemelor liniare și unicitatea acestora ne permite să obținem următorul rezultat, care poate fi formulat ca următoarele afirmații despre un sistem de ecuații liniare cu necunoscute

(1)

Teorema 2. Sistemul de ecuații liniare (1) este consistent dacă și numai dacă rangul matricei principale este egal cu rangul celei extinse (.

Teorema 3. Dacă rangul matricei principale a unui sistem comun de ecuații liniare este egal cu numărul de necunoscute, atunci sistemul are o soluție unică.

Teorema 4. Dacă rangul matricei principale a unui sistem comun este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de soluții.

Reguli pentru rezolvarea sistemelor.

3. Aflați expresia variabilelor principale în termenii celor libere și obțineți soluția generală a sistemului.

4. Prin acordarea de valori arbitrare variabilelor libere, se obțin toate valorile variabilelor principale.

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare.

Metoda matricei inverse.

și, adică sistemul are o soluție unică. Scriem sistemul sub formă de matrice

Unde , , .

Înmulțiți ambele părți ale ecuației matriceale din stânga cu matricea

Deoarece , obținem , din care obținem egalitate pentru găsirea necunoscutelor

Exemplul 27. Folosind metoda matricei inverse, rezolvați sistemul de ecuații liniare

Soluţie. Se notează prin matricea principală a sistemului

.

Fie , atunci găsim soluția prin formula .

Să calculăm.

Din , atunci sistemul are o soluție unică. Găsiți toate adunările algebrice

, ,

, ,

, ,

, ,

În acest fel

.

Sa verificam

.

Matricea inversă este găsită corect. De aici, folosind formula , găsim matricea variabilelor .

.

Comparând valorile matricelor, obținem răspunsul: .

metoda lui Cramer.

Să fie dat un sistem de ecuații liniare cu necunoscute

și, adică sistemul are o soluție unică. Scriem soluția sistemului sub formă de matrice sau

Denota

. . . . . . . . . . . . . . ,

Astfel, obținem formule pentru găsirea valorilor necunoscutelor, care sunt numite formulele lui Cramer.

Exemplul 28. Rezolvați următorul sistem de ecuații liniare folosind metoda lui Cramer .

Soluţie. Aflați determinantul matricei principale a sistemului

.

De atunci, sistemul are o soluție unică.

Găsiți determinanții rămași pentru formulele lui Cramer

,

,

.

Folosind formulele lui Cramer, găsim valorile variabilelor

metoda Gauss.

Metoda constă în excluderea secvenţială a variabilelor.

Să fie dat un sistem de ecuații liniare cu necunoscute.

Procesul de soluție Gaussian constă din două etape:

În prima etapă, matricea extinsă a sistemului este redusă la forma treptat cu ajutorul transformărilor elementare

,

unde , care corespunde sistemului

După aceea variabilele sunt considerate libere și în fiecare ecuație sunt transferate la partea dreapta.

În a doua etapă, variabila este exprimată din ultima ecuație, valoarea rezultată este înlocuită în ecuație. Din această ecuație

variabila este exprimata. Acest proces continuă până la prima ecuație. Rezultatul este o expresie a variabilelor principale în termeni de variabile libere .

Exemplul 29. Rezolvați următorul sistem folosind metoda Gaussiană

Soluţie. Să scriem matricea extinsă a sistemului și să o reducem la forma de pas

.

pentru că este mai mare decât numărul de necunoscute, atunci sistemul este compatibil și are un număr infinit de soluții. Să scriem sistemul pentru matricea pasilor

Determinantul matricei extinse a acestui sistem, compus din primele trei coloane, nu este egal cu zero, deci îl considerăm de bază. Variabile

Va fi de bază, iar variabila va fi liberă. Să-l mutăm în toate ecuațiile în partea stângă

Din ultima ecuație pe care o exprimăm

Înlocuind această valoare în penultima a doua ecuație, obținem

Unde . Înlocuind valorile variabilelor și în prima ecuație, găsim . Scriem răspunsul în forma următoare

Un sistem de ecuații liniare este o unire de n ecuații liniare, fiecare conținând k variabile. Este scris astfel:

Mulți, când se confruntă pentru prima dată cu algebra superioară, cred în mod eronat că numărul de ecuații trebuie să coincidă în mod necesar cu numărul de variabile. În algebra școlară, acesta este de obicei cazul, dar pentru algebra superioară acest lucru nu este, în general, adevărat.

Rezolvarea unui sistem de ecuații este o succesiune de numere (k 1 , k 2 , ..., k n ), care este soluția fiecărei ecuații a sistemului, adică. când înlocuiți în această ecuație în loc de variabile x 1 , x 2 , ..., x n dă egalitatea numerică corectă.

În consecință, a rezolva un sistem de ecuații înseamnă a găsi mulțimea tuturor soluțiilor sale sau a demonstra că această mulțime este goală. Deoarece numărul de ecuații și numărul de necunoscute pot să nu fie același, sunt posibile trei cazuri:

1. Sistemul este inconsecvent, adică setul tuturor soluțiilor este gol. Un caz destul de rar care este ușor de detectat indiferent de metoda de rezolvare a sistemului.
2. Sistemul este consistent și definit, adică are exact o solutie. Varianta clasică, bine cunoscută încă de la școală.
3. Sistemul este consistent și nedefinit, adică are o infinitate de solutii. Aceasta este varianta cea mai grea. Nu este suficient să afirmăm că „sistemul are un set infinit de soluții” - este necesar să descriem modul în care este aranjat acest set.

Variabila x i se numește permisă dacă este inclusă într-o singură ecuație a sistemului, și cu un coeficient de 1. Cu alte cuvinte, în celelalte ecuații, coeficientul pentru variabila x i trebuie să fie egal cu zero.

Dacă selectăm o variabilă permisă în fiecare ecuație, obținem un set de variabile permise pentru întregul sistem de ecuații. Sistemul în sine, scris în această formă, va fi numit și permis. În general, unul și același sistem inițial poate fi redus la diferite sisteme permise, dar acest lucru nu ne privește acum. Iată exemple de sisteme permise:

Ambele sisteme sunt permise cu privire la variabilele x 1 , x 3 şi x 4 . Totuși, cu același succes se poate argumenta că al doilea sistem este permis în raport cu x 1 , x 3 și x 5 . Este suficient să rescrieți cea mai recentă ecuație sub forma x 5 = x 4 .

Acum luați în considerare mai multe caz general. Să presupunem că avem k variabile în total, dintre care r sunt permise. Atunci sunt posibile două cazuri:

1. Numărul de variabile permise r este egal cu numărul total de variabile k : r = k . Obținem un sistem de k ecuații în care r = k variabile permise. Un astfel de sistem este colaborativ și definit, pentru că x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Numărul de variabile permise r este mai mic decât numărul total de variabile k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Deci, în sistemele de mai sus, variabilele x 2 , x 5 , x 6 (pentru primul sistem) și x 2 , x 5 (pentru al doilea) sunt libere. Cazul în care există variabile libere este mai bine formulat ca o teoremă:

Vă rugăm să rețineți: acest lucru este foarte punct important! În funcție de modul în care scrieți sistemul final, aceeași variabilă poate fi atât permisă, cât și liberă. Cei mai mulți profesori avansați de matematică recomandă să scrieți variabilele în ordine lexicografică, de exemplu. indice ascendent. Cu toate acestea, nu trebuie să urmați deloc acest sfat.

Teorema. Dacă într-un sistem de n ecuații variabilele x 1 , x 2 , ..., x r sunt permise și x r + 1 , x r + 2 , ..., x k sunt libere, atunci:

1. Dacă setăm valorile variabilelor libere (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), și apoi găsim valorile x 1 , x 2 , . .., x r , obținem una dintre soluții.
2. Dacă valorile variabilelor libere din două soluții sunt aceleași, atunci și valorile variabilelor permise sunt aceleași, adică. solutiile sunt egale.

Care este sensul acestei teoreme? Pentru a obține toate soluțiile sistemului de ecuații permis, este suficient să evidențiem variabilele libere. Apoi, atribuirea variabilelor libere sensuri diferite, vom primi solutii la cheie. Asta e tot - în acest fel poți obține toate soluțiile sistemului. Nu există alte soluții.

Concluzie: sistemul de ecuații permis este întotdeauna consistent. Dacă numărul de ecuații din sistemul permis este egal cu numărul de variabile, sistemul va fi definit; dacă este mai mic, va fi nedefinit.

Și totul ar fi în regulă, dar se pune întrebarea: cum să obțineți cel rezolvat din sistemul original de ecuații? Pentru asta există

Conținutul lecției

Ecuații liniare cu două variabile

Elevul are 200 de ruble pentru a lua prânzul la școală. Un tort costă 25 de ruble, iar o ceașcă de cafea costă 10 ruble. Câte prăjituri și cești de cafea poți cumpăra cu 200 de ruble?

Indicați numărul de prăjituri prin X, și numărul de cești de cafea prin y. Apoi costul prăjiturii va fi notat cu expresia 25 X, iar costul ceștilor de cafea în 10 y .

25X- Preț X prăjituri
10y- Preț y cesti de cafea

Suma totală ar trebui să fie de 200 de ruble. Apoi obținem o ecuație cu două variabile Xși y

25X+ 10y= 200

Câte rădăcini are această ecuație?

Totul depinde de apetitul elevului. Dacă cumpără 6 prăjituri și 5 căni de cafea, atunci rădăcinile ecuației vor fi numerele 6 și 5.

Se spune că perechea de valori 6 și 5 este rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 . Scris ca (6; 5) , primul număr fiind valoarea variabilei X, iar al doilea - valoarea variabilei y .

6 și 5 nu sunt singurele rădăcini care inversează ecuația 25 X+ 10y= 200 la identitate. Dacă doriți, pentru aceleași 200 de ruble, un student poate cumpăra 4 prăjituri și 10 căni de cafea:

În acest caz, rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 este perechea de valori (4; 10) .

În plus, un student poate să nu cumpere cafea deloc, ci să cumpere prăjituri pentru toate cele 200 de ruble. Apoi rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 vor fi valorile 8 și 0

Sau invers, nu cumpărați prăjituri, ci cumpărați cafea pentru toate cele 200 de ruble. Apoi rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 vor fi valorile 0 și 20

Să încercăm să enumerăm toate rădăcinile posibile ale ecuației 25 X+ 10y= 200 . Să fim de acord că valorile Xși y aparțin mulțimii numerelor întregi. Și să fie aceste valori mai mari sau egale cu zero:

X∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Deci, va fi convenabil pentru student însuși. Prăjiturile sunt mai convenabile de cumpărat întregi decât, de exemplu, mai multe prăjituri întregi și o jumătate de prăjitură. Cafeaua este, de asemenea, mai convenabil să luați în căni întregi decât, de exemplu, câteva căni întregi și o jumătate de ceașcă.

Rețineți că pentru ciudat X este imposibil să se obțină egalitatea sub niciuna y. Apoi valorile X vor fi următoarele numere 0, 2, 4, 6, 8. Și știind X poate fi ușor de determinat y

Astfel, am obținut următoarele perechi de valori (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Aceste perechi sunt soluții sau rădăcini ale ecuației 25 X+ 10y= 200. Ei transformă această ecuație într-o identitate.

Tip ecuație ax + by = c numit ecuație liniară cu două variabile. O soluție sau rădăcini ale acestei ecuații sunt o pereche de valori ( X; y), care o transformă într-o identitate.

De asemenea, rețineți că dacă o ecuație liniară cu două variabile este scrisă ca ax + b y = c , apoi spun că este scris în canonic formă (normală).

Unele ecuații liniare în două variabile pot fi reduse la formă canonică.

De exemplu, ecuația 2(16X+ 3y- 4) = 2(12 + 8X − y) poate fi adus în minte ax + by = c. Să deschidem parantezele din ambele părți ale acestei ecuații, obținem 32X + 6y − 8 = 24 + 16X − 2y . Termenii care conțin necunoscute sunt grupați în partea stângă a ecuației, iar termenii fără necunoscute sunt grupați în dreapta. Apoi primim 32X - 16X+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Aducem termeni similari în ambele părți, obținem ecuația 16 X+ 8y= 32. Această ecuație se reduce la forma ax + by = cși este canonică.

Ecuația 25 considerată mai devreme X+ 10y= 200 este, de asemenea, o ecuație liniară cu două variabile în formă canonică. În această ecuație, parametrii A , bși c sunt egale cu valorile 25, 10 și, respectiv, 200.

De fapt, ecuația ax + by = c are un număr infinit de soluții. Rezolvarea ecuației 25X+ 10y= 200, am căutat rădăcinile sale doar pe mulțimea numerelor întregi. Drept urmare, am obținut mai multe perechi de valori care au transformat această ecuație într-o identitate. Dar pe setul de numere raționale ecuația 25 X+ 10y= 200 va avea un număr infinit de soluții.

Pentru a obține perechi noi de valori, trebuie să luați o valoare arbitrară pentru X, apoi exprima y. De exemplu, să luăm o variabilă X valoarea 7. Apoi obținem o ecuație cu o variabilă 25×7 + 10y= 200 în care să se exprime y

Lăsa X= 15 . Apoi ecuația 25X+ 10y= 200 devine 25 × 15 + 10y= 200. De aici aflăm că y = −17,5

Lăsa X= −3 . Apoi ecuația 25X+ 10y= 200 devine 25 × (−3) + 10y= 200. De aici aflăm că y = −27,5

Sistem de două ecuații liniare cu două variabile

Pentru ecuație ax + by = c puteți lua de câte ori valori arbitrare pentru Xși găsiți valori pentru y. Luată separat, o astfel de ecuație va avea un număr infinit de soluții.

Dar se întâmplă și ca variabilele Xși y legate nu de una, ci de două ecuații. În acest caz, ele formează așa-numitul sistem de ecuații liniare cu două variabile. Un astfel de sistem de ecuații poate avea o pereche de valori (sau cu alte cuvinte: „o soluție”).

De asemenea, se poate întâmpla ca sistemul să nu aibă deloc soluții. Un sistem de ecuații liniare poate avea un număr infinit de soluții în cazuri rare și excepționale.

Două ecuații liniare formează un sistem atunci când valorile Xși y sunt incluse în fiecare dintre aceste ecuații.

Să revenim la prima ecuație 25 X+ 10y= 200 . Una dintre perechile de valori pentru această ecuație a fost perechea (6; 5) . Acesta este cazul când 200 de ruble ar putea cumpăra 6 prăjituri și 5 căni de cafea.

Compunem problema astfel încât perechea (6; 5) să devină singura soluție pentru ecuația 25 X+ 10y= 200 . Pentru a face acest lucru, compunem o altă ecuație care ar conecta la fel X prajituri si y cesti de cafea.

Să punem textul sarcinii după cum urmează:

„Un școlar a cumpărat mai multe prăjituri și câteva cești de cafea pentru 200 de ruble. Un tort costă 25 de ruble, iar o ceașcă de cafea costă 10 ruble. Câte prăjituri și cești de cafea a cumpărat elevul dacă se știe că numărul de prăjituri este cu unul mai mult decât numărul de cești de cafea?

Avem deja prima ecuație. Aceasta este ecuația 25 X+ 10y= 200 . Acum să scriem o ecuație pentru condiție „numărul de prăjituri este cu o unitate mai mult decât numărul de cești de cafea” .

Numărul de prăjituri este X, iar numărul de cești de cafea este y. Puteți scrie această expresie folosind ecuația x − y= 1. Această ecuație ar însemna că diferența dintre prăjituri și cafea este 1.

x=y+ 1 . Această ecuație înseamnă că numărul de prăjituri este cu unul mai mult decât numărul de cești de cafea. Prin urmare, pentru a obține egalitate, la numărul de cești de cafea se adaugă una. Acest lucru poate fi ușor de înțeles dacă folosim modelul de greutate pe care l-am luat în considerare atunci când studiem cele mai simple probleme:

Am două ecuații: 25 X+ 10y= 200 și x=y+ 1. Deoarece valorile Xși y, și anume 6 și 5 sunt incluse în fiecare dintre aceste ecuații, apoi împreună formează un sistem. Să scriem acest sistem. Dacă ecuațiile formează un sistem, atunci ele sunt încadrate de semnul sistemului. Semnul de sistem este o acoladă:

Să decidem acest sistem. Acest lucru ne va permite să vedem cum ajungem la valorile 6 și 5. Există multe metode de rezolvare a unor astfel de sisteme. Luați în considerare cele mai populare dintre ele.

Metoda de înlocuire

Numele acestei metode vorbește de la sine. Esența sa este de a substitui o ecuație în alta, după ce a exprimat anterior una dintre variabile.

În sistemul nostru, nimic nu trebuie exprimat. În a doua ecuație X = y+ 1 variabilă X deja exprimat. Această variabilă este egală cu expresia y+ 1 . Apoi puteți înlocui această expresie în prima ecuație în loc de variabilă X

După înlocuirea expresiei y+ 1 în prima ecuație X, obținem ecuația 25(y+ 1) + 10y= 200 . Aceasta este o ecuație liniară cu o variabilă. Această ecuație este destul de ușor de rezolvat:

Am găsit valoarea variabilei y. Acum înlocuim această valoare într-una dintre ecuații și găsim valoarea X. Pentru aceasta, este convenabil să folosiți a doua ecuație X = y+ 1 . Să punem valoare în ea y

Deci perechea (6; 5) este o soluție a sistemului de ecuații, așa cum ne-am propus. Verificăm și ne asigurăm că perechea (6; 5) satisface sistemul:

Exemplul 2

Înlocuiți prima ecuație X= 2 + yîn a doua ecuație 3 X - 2y= 9 . În prima ecuație, variabila X este egală cu expresia 2 + y. Înlocuim această expresie în a doua ecuație în loc de X

Acum să găsim valoarea X. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valoarea yîn prima ecuație X= 2 + y

Deci soluția sistemului este valoarea perechii (5; 3)

Exemplul 3. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda substituției:

Aici, spre deosebire de exemplele anterioare, una dintre variabile nu este exprimată în mod explicit.

Pentru a înlocui o ecuație în alta, mai întâi aveți nevoie de .

Este de dorit să se exprime variabila care are un coeficient de unu. Unitatea de coeficient are o variabilă X, care este cuprinsă în prima ecuație X+ 2y= 11 . Să exprimăm această variabilă.

După o expresie variabilă X, sistemul nostru va arăta astfel:

Acum înlocuim prima ecuație în a doua și găsim valoarea y

Substitui y X

Deci soluția sistemului este o pereche de valori (3; 4)

Desigur, puteți exprima și o variabilă y. Rădăcinile nu se vor schimba. Dar dacă exprimi y, rezultatul nu este o ecuație foarte simplă, a cărei soluție va dura mai mult timp. Va arăta astfel:

Vedem că în acest exemplu pentru a exprima X mult mai convenabil decât exprimarea y .

Exemplul 4. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda substituției:

Exprimați în prima ecuație X. Apoi sistemul va lua forma:

y

Substitui yîn prima ecuație și găsiți X. Puteți folosi ecuația originală 7 X+ 9y= 8 , sau utilizați ecuația în care este exprimată variabila X. Vom folosi această ecuație, deoarece este convenabil:

Deci soluția sistemului este perechea de valori (5; −3)

Metoda de adunare

Metoda adunării este de a adăuga termen cu termen ecuațiile incluse în sistem. Această adăugare are ca rezultat o nouă ecuație cu o singură variabilă. Și este destul de ușor să rezolvi această ecuație.

Să rezolvăm următorul sistem de ecuații:

Adăugați partea stângă a primei ecuații la partea stângă a celei de-a doua ecuații. Și partea dreaptă a primei ecuații cu partea dreaptă a celei de-a doua ecuații. Obținem următoarea egalitate:

Iată termeni similari:

Ca rezultat, am obținut cea mai simplă ecuație 3 X= 27 a cărui rădăcină este 9. Cunoscând valoarea X puteți găsi valoarea y. Înlocuiți valoarea Xîn a doua ecuație x − y= 3 . Obținem 9 − y= 3 . De aici y= 6 .

Deci soluția sistemului este o pereche de valori (9; 6)

Exemplul 2

Adăugați partea stângă a primei ecuații la partea stângă a celei de-a doua ecuații. Și partea dreaptă a primei ecuații cu partea dreaptă a celei de-a doua ecuații. În egalitatea rezultată, prezentăm termeni similari:

Ca rezultat, am obținut cea mai simplă ecuație 5 X= 20, a cărui rădăcină este 4. Cunoscând valoarea X puteți găsi valoarea y. Înlocuiți valoarea Xîn prima ecuație 2 x+y= 11 . Să obținem 8 + y= 11 . De aici y= 3 .

Deci soluția sistemului este perechea de valori (4;3)

Procesul de adăugare nu este descris în detaliu. Trebuie făcut în minte. Când se adună, ambele ecuații trebuie reduse la formă canonică. Adică ac+by=c .

Din exemplele luate în considerare, se poate observa că scopul principal al adunării ecuațiilor este acela de a scăpa de una dintre variabile. Dar nu este întotdeauna posibil să se rezolve imediat sistemul de ecuații prin metoda adunării. Cel mai adesea, sistemul este adus preliminar într-o formă în care este posibilă adăugarea ecuațiilor incluse în acest sistem.

De exemplu, sistemul poate fi rezolvată direct prin metoda adunării. Când se adună ambele ecuații, termenii yși −y dispar deoarece suma lor este zero. Ca rezultat, cea mai simplă ecuație este formată 11 X= 22 , a cărui rădăcină este 2. Atunci se va putea determina y egal cu 5.

Și sistemul de ecuații metoda adunării nu poate fi rezolvată imediat, deoarece aceasta nu va duce la dispariția uneia dintre variabile. Adunarea va rezulta în ecuația 8 X+ y= 28 , care are un număr infinit de soluții.

Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr care nu este egal cu zero, atunci se va obține o ecuație echivalentă cu cea dată. Această regulă este valabilă și pentru un sistem de ecuații liniare cu două variabile. Una dintre ecuații (sau ambele ecuații) poate fi înmulțită cu un număr. Rezultatul este un sistem echivalent, ale cărui rădăcini vor coincide cu cel anterior.

Să revenim la primul sistem, care descria câte prăjituri și cești de cafea a cumpărat studentul. Soluția acestui sistem a fost o pereche de valori (6; 5).

Înmulțim ambele ecuații incluse în acest sistem cu câteva numere. Să presupunem că înmulțim prima ecuație cu 2 și a doua cu 3

Rezultatul este un sistem
Soluția acestui sistem este încă perechea de valori (6; 5)

Aceasta înseamnă că ecuațiile incluse în sistem pot fi reduse la o formă adecvată pentru aplicarea metodei de adunare.

Înapoi la sistem , pe care nu l-am putut rezolva prin metoda adunării.

Înmulțiți prima ecuație cu 6 și a doua cu −2

Apoi obținem următorul sistem:

Adăugăm ecuațiile incluse în acest sistem. Adăugarea componentelor 12 Xși -12 X va rezulta 0, adunare 18 yși 4 y va da 22 y, iar adunând 108 și −20 dă 88. Apoi obțineți ecuația 22 y= 88, deci y = 4 .

Dacă la început este dificil să adăugați ecuații în mintea dvs., atunci puteți scrie cum partea stângă a primei ecuații este adăugată la partea stângă a celei de-a doua ecuații și partea dreaptă a primei ecuații în partea dreaptă a a doua ecuatie:

Știind că valoarea variabilei y este 4, puteți găsi valoarea X. Substitui yîntr-una dintre ecuații, de exemplu în prima ecuație 2 X+ 3y= 18 . Apoi obținem o ecuație cu o variabilă 2 X+ 12 = 18 . Transferăm 12 în partea dreaptă, schimbând semnul, obținem 2 X= 6, prin urmare X = 3 .

Exemplul 4. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Înmulțiți a doua ecuație cu −1. Apoi sistemul va lua următoarea formă:

Să adăugăm ambele ecuații. Adăugarea componentelor Xși −x va rezulta 0, adunare 5 yși 3 y va da 8 y, iar adunând 7 și 1 rezultă 8. Rezultatul este ecuația 8 y= 8 , a cărui rădăcină este 1. Știind că valoarea y este 1, puteți găsi valoarea X .

Substitui yîn prima ecuație, obținem X+ 5 = 7, prin urmare X= 2

Exemplul 5. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Este de dorit ca termenii care conțin aceleași variabile să fie amplasați unul sub celălalt. Prin urmare, în a doua ecuație, termenii 5 yși −2 X schimba locurile. Ca urmare, sistemul va lua forma:

Înmulțiți a doua ecuație cu 3. Apoi sistemul va lua forma:

Acum să adăugăm ambele ecuații. Ca rezultat al adunării, obținem ecuația 8 y= 16, a cărui rădăcină este 2.

Substitui yîn prima ecuație, obținem 6 X− 14 = 40 . Transferăm termenul −14 în partea dreaptă, schimbând semnul, obținem 6 X= 54 . De aici X= 9.

Exemplul 6. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Să scăpăm de fracții. Înmulțiți prima ecuație cu 36 și a doua cu 12

În sistemul rezultat prima ecuație poate fi înmulțită cu −5 și a doua cu 8

Să adăugăm ecuațiile din sistemul rezultat. Apoi obținem cea mai simplă ecuație −13 y= −156 . De aici y= 12 . Substitui yîn prima ecuație și găsiți X

Exemplul 7. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Aducem ambele ecuații la forma normală. Aici este convenabil să se aplice regula proporției în ambele ecuații. Dacă în prima ecuație partea dreaptă este reprezentată ca , iar partea dreaptă a celei de-a doua ecuații ca , atunci sistemul va lua forma:

Avem o proporție. Îi înmulțim termenii extremi și medii. Apoi sistemul va lua forma:

Înmulțim prima ecuație cu −3 și deschidem parantezele în a doua:

Acum să adăugăm ambele ecuații. Ca rezultat al adunării acestor ecuații, obținem o egalitate, în ambele părți din care va fi zero:

Se dovedește că sistemul are un număr infinit de soluții.

Dar nu putem lua pur și simplu valori arbitrare din cer pentru Xși y. Putem specifica una dintre valori, iar cealalta va fi determinata in functie de valoarea pe care o specificam. De exemplu, lasa X= 2 . Înlocuiți această valoare în sistem:

Ca urmare a rezolvării uneia dintre ecuații, valoarea pt y, care va satisface ambele ecuații:

Perechea de valori rezultată (2; −2) va satisface sistemul:

Să găsim o altă pereche de valori. Lăsa X= 4. Înlocuiți această valoare în sistem:

Se poate determina cu ochii că y este egal cu zero. Apoi obținem o pereche de valori (4; 0), care ne satisface sistemul:

Exemplul 8. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Înmulțiți prima ecuație cu 6 și a doua cu 12

Să rescriem ce a mai rămas:

Înmulțiți prima ecuație cu −1. Apoi sistemul va lua forma:

Acum să adăugăm ambele ecuații. Ca rezultat al adunării, se formează ecuația 6 b= 48 , a cărui rădăcină este 8. Înlocuiește bîn prima ecuație și găsiți A

Sistem de ecuații liniare cu trei variabile

O ecuație liniară cu trei variabile include trei variabile cu coeficienți, precum și o intersecție. În formă canonică, se poate scrie după cum urmează:

ax + by + cz = d

Această ecuație are un număr infinit de soluții. Dând două variabile diverse sensuri, puteți găsi a treia valoare. Soluția în acest caz este triplul valorilor ( X; y; z) care transformă ecuația într-o identitate.

Dacă variabile x, y, z sunt interconectate prin trei ecuații, apoi se formează un sistem de trei ecuații liniare cu trei variabile. Pentru a rezolva un astfel de sistem, puteți aplica aceleași metode care se aplică ecuațiilor liniare cu două variabile: metoda substituției și metoda adunării.

Exemplul 1. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda substituției:

Exprimăm în a treia ecuație X. Apoi sistemul va lua forma:

Acum să facem înlocuirea. Variabil X este egală cu expresia 3 − 2y − 2z . Înlocuiți această expresie în prima și a doua ecuație:

Să deschidem parantezele din ambele ecuații și să dăm termeni similari:

Am ajuns la un sistem de ecuații liniare cu două variabile. În acest caz, este convenabil să aplicați metoda de adăugare. Ca urmare, variabila y va dispărea și putem găsi valoarea variabilei z

Acum să găsim valoarea y. Pentru aceasta, este convenabil să folosiți ecuația − y+ z= 4. Înlocuiți valoarea z

Acum să găsim valoarea X. Pentru aceasta, este convenabil să folosiți ecuația X= 3 − 2y − 2z . Înlocuiți valorile în el yși z

Astfel, triplul valorilor (3; −2; 2) este soluția sistemului nostru. Prin verificare, ne asigurăm că aceste valori satisfac sistemul:

Exemplul 2. Rezolvați sistemul prin metoda adunării

Să adunăm prima ecuație cu a doua înmulțită cu −2.

Dacă a doua ecuație este înmulțită cu −2, atunci ea va lua forma −6X+ 6y- 4z = −4 . Acum adăugați-l la prima ecuație:

Vedem că în urma transformărilor elementare s-a determinat valoarea variabilei X. Este egal cu unu.

Să revenim la sistemul principal. Să adunăm a doua ecuație cu a treia înmulțită cu −1. Dacă a treia ecuație este înmulțită cu −1, atunci ea va lua forma −4X + 5y − 2z = −1 . Acum adăugați-l la a doua ecuație:

Am primit ecuația X - 2y= −1 . Înlocuiți valoarea în ea X pe care le-am găsit mai devreme. Apoi putem determina valoarea y

Acum cunoaștem valorile Xși y. Acest lucru vă permite să determinați valoarea z. Folosim una dintre ecuațiile incluse în sistem:

Astfel, triplul valorilor (1; 1; 1) este soluția sistemului nostru. Prin verificare, ne asigurăm că aceste valori satisfac sistemul:

Sarcini pentru compilarea sistemelor de ecuații liniare

Sarcina de compilare a sistemelor de ecuații este rezolvată prin introducerea mai multor variabile. În continuare, ecuațiile sunt compilate pe baza condițiilor problemei. Din ecuațiile compilate, ele formează un sistem și îl rezolvă. După rezolvarea sistemului, este necesar să se verifice dacă soluția acestuia îndeplinește condițiile problemei.

Sarcina 1. O mașină Volga a părăsit orașul spre ferma colectivă. S-a întors înapoi pe un alt drum, care era cu 5 km mai scurt decât primul. În total, mașina a parcurs 35 km în ambele sensuri. Câți kilometri are fiecare drum?

Soluţie

Lăsa X- lungimea primului drum, y- lungimea secundei. Dacă mașina a condus 35 km în ambele sensuri, atunci prima ecuație poate fi scrisă ca X+ y= 35. Această ecuație descrie suma lungimilor ambelor drumuri.

Se spune că mașina se întorcea înapoi pe drum, care era mai scurt decât primul cu 5 km. Atunci a doua ecuație poate fi scrisă ca X− y= 5. Această ecuație arată că diferența dintre lungimile drumurilor este de 5 km.

Sau a doua ecuație poate fi scrisă ca X= y+ 5 . Vom folosi această ecuație.

Din moment ce variabilele Xși yîn ambele ecuații notăm același număr, atunci putem forma un sistem din ele:

Să rezolvăm acest sistem folosind una dintre metodele studiate anterior. În acest caz, este convenabil să folosiți metoda substituției, deoarece în a doua ecuație variabila X deja exprimat.

Înlocuiți a doua ecuație în prima și găsiți y

Înlocuiți valoarea găsită yîn a doua ecuație X= y+ 5 și găsiți X

Lungimea primului drum a fost notata cu variabila X. Acum i-am găsit sensul. Variabil X este 20. Deci lungimea primului drum este de 20 km.

Iar lungimea celui de-al doilea drum era indicată de y. Valoarea acestei variabile este 15. Deci lungimea celui de-al doilea drum este de 15 km.

Hai să facem o verificare. Mai întâi, să ne asigurăm că sistemul este rezolvat corect:

Acum să verificăm dacă soluția (20; 15) satisface condițiile problemei.

Se spunea că în total mașina a parcurs 35 de km în ambele sensuri. Adunăm lungimile ambelor drumuri și ne asigurăm că soluția (20; 15) îndeplinește această condiție: 20 km + 15 km = 35 km

Următoarea condiție: mașina s-a întors înapoi pe un alt drum, care era cu 5 km mai scurt decât primul . Vedem că soluția (20; 15) îndeplinește și această condiție, deoarece 15 km este mai scurt decât 20 km cu 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

La compilarea unui sistem, este important ca variabilele să desemneze aceleași numere în toate ecuațiile incluse în acest sistem.

Deci sistemul nostru conține două ecuații. Aceste ecuații conțin la rândul lor variabilele Xși y, care denotă aceleași numere în ambele ecuații și anume lungimile drumurilor egale cu 20 km și 15 km.

Sarcina 2. Pe platformă au fost încărcate traverse din stejar și pin, în total 300 de traverse. Se știe că toate traversele de stejar cântăreau cu 1 tonă mai puțin decât toate traversele de pin. Stabiliți câte traverse de stejar și pin au fost separat, dacă fiecare traversă de stejar cântărea 46 kg și fiecare traversă de pin 28 kg.

Soluţie

Lăsa X stejar şi y traverse de pin au fost încărcate pe platformă. Dacă au fost 300 de traverse în total, atunci prima ecuație poate fi scrisă ca x+y = 300 .

Toate traversele de stejar cântăreau 46 X kg, iar pinul cântărea 28 y kg. Deoarece traversele de stejar cântăreau cu 1 tonă mai puțin decât traversele de pin, a doua ecuație poate fi scrisă ca 28y- 46X= 1000 . Această ecuație arată că diferența de masă dintre traversele de stejar și pin este de 1000 kg.

Tonele au fost convertite în kilograme deoarece masa traverselor de stejar și pin se măsoară în kilograme.

Ca rezultat, obținem două ecuații care formează sistemul

Să rezolvăm acest sistem. Exprimați în prima ecuație X. Apoi sistemul va lua forma:

Înlocuiți prima ecuație în a doua și găsiți y

Substitui yîn ecuație X= 300 − y si afla ce X

Aceasta înseamnă că 100 de traverse de stejar și 200 de pin au fost încărcate pe platformă.

Să verificăm dacă soluția (100; 200) satisface condițiile problemei. Mai întâi, să ne asigurăm că sistemul este rezolvat corect:

Se spunea că erau 300 de dormitoare în total. Adunăm numărul de traverse de stejar și pin și ne asigurăm că soluția (100; 200) îndeplinește această condiție: 100 + 200 = 300.

Următoarea condiție: toate traversele de stejar cântăreau cu 1 tonă mai puțin decât toți cei de pin . Vedem că soluția (100; 200) îndeplinește și această condiție, deoarece 46 × 100 kg de traverse de stejar sunt mai ușoare decât 28 × 200 kg de traverse de pin: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Sarcina 3. Am luat trei bucăți dintr-un aliaj de cupru și nichel în raporturi de 2: 1, 3: 1 și 5: 1 în greutate. Dintre acestea, o piesă cu greutatea de 12 kg a fost topită cu un raport de conținut de cupru și nichel de 4: 1. Aflați masa fiecărei piese originale dacă masa primei dintre ele este de două ori masa celei de-a doua.

Sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute numit un sistem al formei

Unde aijși b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sunt câteva numere cunoscute și x 1 ,…,x n- necunoscut. În notarea coeficienților aij primul indice i denotă numărul ecuației, iar al doilea j este numărul necunoscutului la care se află acest coeficient.

Coeficienții pentru necunoscute se vor scrie sub forma unei matrice , pe care o vom numi matricea sistemului.

Numerele din partea dreaptă a ecuațiilor b 1 ,…,b m numit membri liberi.

Agregat n numere c 1 ,…,c n numit decizie a acestui sistem, dacă fiecare ecuație a sistemului devine o egalitate după înlocuirea numerelor în ea c 1 ,…,c nîn locul necunoscutelor corespunzătoare x 1 ,…,x n.

Sarcina noastră va fi să găsim soluții pentru sistem. În acest caz, pot apărea trei situații:

Un sistem de ecuații liniare care are cel puțin o soluție se numește comun. Altfel, i.e. dacă sistemul nu are soluții, atunci este numit incompatibil.

Luați în considerare modalități de a găsi soluții pentru sistem.

METODĂ MATRIXĂ PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII LINARE

Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:

Luați în considerare matricea sistemului și coloane matrice de membri necunoscuți și liberi

Să găsim produsul

acestea. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi, folosind definiția egalității matriceale, acest sistem poate fi scris ca

sau mai scurt A∙X=B.

Aici matrice Ași B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Ea trebuie găsită, pentru că. elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.

Fie determinantul matricei diferit de zero | A| ≠ 0. Atunci ecuația matriceală se rezolvă după cum urmează. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A-1, inversul matricei A: . Pentru că A -1 A = Eși E∙X=X, apoi obținem soluția ecuației matriceale sub forma X = A -1 B .

Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsită numai pentru matrice pătrată, metoda matricei poate rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații este același cu numărul de necunoscute. Cu toate acestea, notația matriceală a sistemului este posibilă și în cazul în care numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, atunci matricea A nu este pătrat și, prin urmare, este imposibil să găsiți o soluție la sistem în formă X = A -1 B.

Exemple. Rezolvarea sistemelor de ecuații.

REGULA LUI CRAMER

Să considerăm un sistem de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute:

Determinant de ordinul trei corespunzător matricei sistemului, i.e. compus din coeficienți la necunoscute,

numit determinant de sistem.

Mai compunem trei determinanti astfel: inlocuim succesiv 1, 2 si 3 coloane in determinantul D cu o coloana de termeni liberi

Apoi putem demonstra următorul rezultat.

Teoremă (regula lui Cramer). Dacă determinantul sistemului este Δ ≠ 0, atunci sistemul luat în considerare are una și o singură soluție și

Dovada. Deci, luați în considerare un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute. Înmulțiți prima ecuație a sistemului cu complementul algebric A 11 element un 11, a 2-a ecuație - pe A21și al 3-lea - pe A 31:

Să adăugăm aceste ecuații:

Luați în considerare fiecare dintre paranteze și partea dreaptă a acestei ecuații. Prin teorema expansiunii determinantului în ceea ce privește elementele coloanei I

În mod similar, se poate demonstra că și .

În cele din urmă, este ușor să vezi asta

Astfel, obținem egalitatea: .

Prin urmare, .

Egalitățile și sunt derivate în mod similar, de unde urmează afirmația teoremei.

Astfel, observăm că dacă determinantul sistemului este Δ ≠ 0, atunci sistemul are o soluție unică și invers. Dacă determinantul sistemului este egal cu zero, atunci sistemul fie are un set infinit de soluții, fie nu are soluții, adică. incompatibil.

Exemple. Rezolvați un sistem de ecuații

METODA GAUSS

Metodele considerate anterior pot fi folosite pentru a rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute, iar determinantul sistemului trebuie să fie diferit de zero. Metoda Gaussiană este mai universală și este potrivită pentru sisteme cu orice număr de ecuații. Constă în eliminarea succesivă a necunoscutelor din ecuațiile sistemului.

Să considerăm din nou un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:

.

Lăsăm prima ecuație neschimbată, iar din a 2-a și a 3-a excludem termenii care conțin x 1. Pentru a face acest lucru, împărțim a doua ecuație la A 21 și înmulțiți cu - A 11 și apoi se adună cu prima ecuație. În mod similar, împărțim a treia ecuație în A 31 și înmulțiți cu - A 11 și apoi adăugați-l la primul. Ca rezultat, sistemul original va lua forma:

Acum, din ultima ecuație, eliminăm termenul care conține x2. Pentru a face acest lucru, împărțiți a treia ecuație cu , înmulțiți cu și adăugați-o la a doua. Atunci vom avea un sistem de ecuații:

Prin urmare, din ultima ecuație este ușor de găsit x 3, apoi din a 2-a ecuație x2 si in sfarsit de la 1 - x 1.

Când se folosește metoda Gaussiană, ecuațiile pot fi schimbate dacă este necesar.

Adesea, în loc să scrie un nou sistem de ecuații, ei se limitează la a scrie matricea extinsă a sistemului:

iar apoi aduceți-o într-o formă triunghiulară sau diagonală folosind transformări elementare.

La transformări elementare matricele includ următoarele transformări:

1. permutarea rândurilor sau coloanelor;
2. înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero;
3. adăugând la o linie alte linii.

Exemple: Rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gauss.

Astfel, sistemul are un număr infinit de soluții.