Luați în considerare oscilațiile unei greutăți m pe un arc cu coeficientul de rigiditate k, care se află pe o masă plată orizontală, presupunând că nu există frecare a greutății pe suprafața mesei. Dacă greutatea este îndepărtată din poziția de echilibru, aceasta va oscila în jurul acestei poziții. Vom descrie aceste oscilații printr-o funcție dependentă de timp, presupunând că aceasta determină abaterea greutății de la poziția sa de echilibru la momentul t.

În direcția orizontală, asupra greutății acționează o singură forță - forța elastică a arcului, determinată de binecunoscuta lege lui Hooke

Deformarea arcului este o funcție de timp, motiv pentru care este și o variabilă.

Din a doua lege a lui Newton avem

deoarece acceleraţia este derivata a doua a deplasării: .

Ecuația (9) poate fi rescrisă sub forma

Unde. Această ecuație se numește ecuația oscilatorului armonic.

Cometariu. În literatura matematică, atunci când se scrie o ecuație diferențială, de obicei nu se indică argumentul (t) lângă toate funcțiile care depind de el. Această dependență este asumată în mod implicit. Când se utilizează pachetul matematic Maple în (10), este necesar să se indice dependența explicită a funcției.

Spre deosebire de exemplul anterior de mișcare a corpului sub acțiunea unei forțe constante, în cazul nostru forța se modifică în timp, iar ecuația (10) nu mai poate fi rezolvată folosind procedura obișnuită de integrare. Să încercăm să ghicim soluția acestei ecuații, știind că ea descrie un proces oscilator. Ca una dintre soluțiile posibile ale ecuației (10), putem alege următoarea funcție:

Funcția de diferențiere (11), avem

Înlocuind expresia (12) în ecuația (10), ne asigurăm că este satisfăcută identic pentru orice valoare a lui t.

Cu toate acestea, funcția (11) nu este singura soluție a ecuației oscilatorului armonic. De exemplu, se poate alege o funcție ca altă soluție, care este, de asemenea, ușor de verificat într-un mod similar. Mai mult, se poate verifica dacă orice combinație liniară a acestor două soluții numite aleatoriu

cu coeficienți constanți A și B este, de asemenea, o soluție a ecuației oscilatorului armonic.

Se poate demonstra că soluția cu două constante (13) este soluția generală a ecuației oscilatorului armonic (10). Aceasta înseamnă că formula (13) epuizează toate soluțiile posibile ale acestei ecuații. Cu alte cuvinte, ecuația oscilatorului armonic nu are alte soluții particulare, cu excepția celor obținute din formula (13) prin fixarea constantelor arbitrare A și B.

Rețineți că în fizică este cel mai adesea necesar să căutați doar câteva soluții particulare ale ODE-urilor individuale sau ale sistemelor acestora. Să luăm în considerare această întrebare mai detaliat.

Este posibil să excităm oscilații în sistemul de greutate pe un arc pe care îl luăm în considerare căi diferite. Să stabilim următoarele condiții inițiale

Aceasta înseamnă că în momentul inițial de timp, greutatea a fost scoasă din poziția de echilibru cu o valoare a și eliberată liber (adică își începe mișcarea cu viteza inițială zero). Se pot imagina multe alte moduri de excitare, de exemplu, unei greutăți în poziția de echilibru i se dă o anumită viteză inițială printr-un „clic” etc. [ caz general, ].

Considerăm condițiile inițiale (14) ca niște condiții suplimentare pentru separarea de soluția generală (13) a unei soluții particulare corespunzătoare metodei noastre de excitare a oscilațiilor de greutate.

Presupunând t=0 în expresia (13), avem, de unde rezultă că B=a. Astfel, am găsit una dintre constantele arbitrare anterior în soluția (13). În plus, diferențiind în formula (13), avem

Presupunând t=0 în această expresie și ținând cont de a doua condiție inițială din (14), obținem, deci rezultă că A=0 și, astfel, soluția particulară inițială are forma

Descrie modul oscilator al sistemului mecanic considerat, care este determinat de condițiile excitației inițiale (14).

Se știe de la cursul școlii de fizică că în formula (16) a este amplitudinea oscilațiilor (se stabilește abaterea maximă a greutății de la poziția sa de echilibru), este frecvența ciclică și este faza oscilațiilor (cel faza inițială se dovedește a fi egală cu zero).

Ecuația oscilatorului armonic (10) este un exemplu de ODE liniară. Aceasta înseamnă că funcția necunoscută și toate derivatele ei sunt incluse în fiecare termen al ecuației până la primul grad. Ecuațiile diferențiale liniare au o proprietate distinctivă extrem de importantă: ele satisfac principiul suprapunerii. Aceasta înseamnă că orice combinație liniară a oricăror două soluții ale unei EDO liniare este, de asemenea, soluția sa.

În exemplul ecuației oscilatorului armonic pe care îl luăm în considerare, o combinație liniară arbitrară a două soluții particulare nu este doar o soluție nouă, ci o soluție generală a acestei ecuații (epuizează toate soluțiile posibile).

În general, acesta nu este cazul. De exemplu, dacă am avea de-a face cu o ecuație diferențială liniară de ordinul trei (adică, dacă ecuația include o derivată a treia), atunci o combinație liniară a oricăror două dintre soluțiile sale particulare ar fi, de asemenea, o soluție pentru această ecuație, dar nu ar fi să-l reprezinte decizie comună.

În cursul ecuațiilor diferențiale, se demonstrează o teoremă că soluția generală a unei EDO de ordinul N (liniară sau neliniară) depinde de N constante arbitrare. În cazul unei ecuații neliniare, aceste constante arbitrare pot intra în soluția generală (spre deosebire de (13)), într-o manieră neliniară.

Principiul suprapunerii joacă un rol extrem de important în teoria ODE, deoarece poate fi folosit pentru a construi o soluție generală a unei ecuații diferențiale sub forma unei suprapuneri a soluțiilor sale particulare. De exemplu, pentru cazul ODE-urilor liniare cu coeficienți constanți și sistemele acestora (ecuația oscilatorului armonic aparține tocmai acestui tip de ecuații), în teoria ecuațiilor diferențiale a fost dezvoltată o metodă de soluție generală. Esența sa este următoarea. Căutăm o soluție specială în formular Ca urmare a substituirii sale în ecuația originală, toți factorii dependenți de timp se anulează și ajungem la o ecuație caracteristică, care pentru EDO de ordinul N este ecuație algebrică Gradul al N-lea. Rezolvând-o, găsim, prin urmare, toate soluțiile particulare posibile, o combinație liniară arbitrară a cărora dă soluția generală a EDO inițială. Nu ne vom opri mai mult asupra acestei chestiuni, adresând cititorul la manualele adecvate despre teoria ecuațiilor diferențiale, unde pot fi găsite detalii suplimentare, în special, cazul când ecuația caracteristică conține mai multe rădăcini.

Dacă se consideră o EDO liniară cu coeficienți variabili (coeficienții săi depind de timp), atunci este valabil și principiul suprapunerii, dar nu mai este posibil să se construiască o soluție generală a acestei ecuații într-o formă explicită prin orice metodă standard. Vom reveni asupra acestei probleme mai târziu, discutând fenomenul rezonanței parametrice și ecuația Mathieu aferentă studiului acesteia.

Poate cel mai simplu sistem mecanic a cărui mișcare este descrisă de o ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți este o masă pe un arc. După ce o greutate este atârnată de arc, aceasta se va întinde puțin pentru a echilibra forța gravitațională. Să urmărim acum abaterile verticale ale masei de la poziţia de echilibru (Fig. 21.1). Notăm abaterile în sus de la poziția de echilibru și presupunem că avem de-a face cu un arc perfect elastic. În acest caz, forțele care se opun întinderii sunt direct proporționale cu întinderea. Aceasta înseamnă că forța este egală (semnul minus ne amintește că forța se opune deplasărilor). Astfel, accelerația înmulțită cu masa ar trebui să fie egală cu

Pentru simplitate, să presupunem că s-a întâmplat (sau am schimbat sistemul de unități după caz) că . Trebuie să rezolvăm ecuația

Smochin. 21.1. O greutate suspendată pe un arc. Un exemplu simplu de oscilator armonic.

După aceea, revenim la ecuația (21.2), în care și sunt conținute în mod explicit.

Am întâlnit deja ecuația (21.3) când am început să studiem mecanica. Am rezolvat-o numeric pentru a găsi mișcarea. Prin integrare numerică, am găsit o curbă care arată că, dacă particula este inițial dezechilibrată, dar în repaus, atunci revine în poziția de echilibru. Nu am urmărit particula după ce a ajuns în poziția de echilibru, dar este clar că nu se va opri acolo, ci va oscila (oscila). Cu integrarea numerică, am găsit timpul pentru a reveni la punctul de echilibru: . Durata unui ciclu complet este de patru ori mai mare: „sec”. Toate acestea le-am găsit prin integrare numerică, pentru că nu am știut să le rezolvăm mai bine. Dar matematicienii ne-au dat o anumită funcție, care, dacă este diferențiată de două ori, intră în sine, înmulțită cu . (Puteți, desigur, să faceți calculul direct al unor astfel de funcții, dar acest lucru este mult mai dificil decât să aflați răspunsul.)

Această funcție este: . Să o diferențiem: , a . În momentul inițial , , și viteza inițială este egală cu zero; acestea sunt exact ipotezele pe care le-am făcut în integrarea numerică. Acum, știind că , găsim valoarea exactă a timpului la care . Răspuns: sau 1.57108. Am greșit mai devreme în ultimul semn, pentru că integrarea numerică a fost aproximativă, dar eroarea este foarte mică!

Pentru a merge mai departe, să revenim la sistemul de unități, unde timpul este măsurat în secunde reale. Care va fi soluția în acest caz? Poate vom lua în considerare constantele și prin înmulțirea cu factorul corespunzător? Sa incercam. Lasă atunci și . Spre supărarea noastră, nu am reușit să rezolvăm ecuația (21.2), dar am revenit din nou la (21.3). Dar am descoperit cea mai importantă proprietate a ecuațiilor diferențiale liniare: dacă înmulțim soluția ecuației cu o constantă, atunci obținem din nou soluția. Este clar din punct de vedere matematic de ce. Dacă există o soluție pentru ecuație, atunci după înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu derivate, acestea vor fi, de asemenea, înmulțite cu și, prin urmare, vor satisface ecuația la fel de bine ca și . Să auzim ce are de spus fizicianul despre asta. Dacă greutatea întinde arcul de două ori mai mult decât înainte, atunci forța se va dubla, accelerația se va dubla, viteza dobândită va fi de două ori viteza anterioară și, în același timp, greutatea va acoperi de două ori distanța. Dar aceasta este de două ori distanța - exact aceeași distanță de care are nevoie greutatea pentru a ajunge în poziția de echilibru. Astfel, este nevoie de aceeași perioadă de timp pentru a ajunge la echilibru și nu depinde de părtinirea inițială. Cu alte cuvinte, dacă este descrisă mișcarea ecuație liniară, atunci indiferent de „forța” se va dezvolta în timp în același mod.

Greșeala ne-a făcut bine - am învățat că înmulțind soluția cu o constantă, obținem soluția ecuației anterioare. După câteva încercări și erori, puteți ajunge la concluzia că, în loc să manipulați, trebuie să schimbați scala de timp. Cu alte cuvinte, ecuația (21.2) trebuie să aibă o soluție de forma

(Aici - nu este deloc viteza unghiulară a unui corp care se rotește, dar nu vom avea suficiente alfabete dacă fiecare valoare este notă cu o literă specială.) Am furnizat aici indicele 0, pentru că mai avem încă multe omegas de îndeplinit: amintiți-vă ce corespunde mișcării naturale a oscilatorului. O încercare de a folosi (21.4) ca soluție are mai mult succes deoarece și . Am rezolvat în sfârșit ecuația pe care am vrut să o rezolvăm. Această ecuație coincide cu (21.2) dacă .

Acum trebuie să înțelegem sensul fizic. Știm că cosinusul „se repetă” după ce unghiul se schimbă în . Prin urmare, va fi mișcare periodică; unui ciclu complet al acestei mișcări corespunde unei modificări a „unghiului” cu . Mărimea este adesea denumită fază de mișcare. Pentru a trece la , trebuie să treceți la (perioada completă de evoluție); desigur, se găsește din ecuația . Aceasta înseamnă că trebuie să calculați pentru un ciclu și totul se va repeta dacă creșteți cu ; în acest caz vom mări faza cu . În acest fel,

. (21.5)

Aceasta înseamnă că, cu cât greutatea este mai mare, cu atât arcul va oscila mai lent înainte și înapoi. Inerția în acest caz va fi mai mare, iar dacă forța nu se schimbă, atunci va dura mai mult timp pentru a accelera și decelera sarcina. Dacă luați un arc mai rigid, atunci mișcarea ar trebui să fie mai rapidă; și într-adevăr, perioada scade odată cu creșterea constantă a resortului.

Rețineți acum că perioada de oscilație a masei pe arc nu depinde de modul în care încep oscilațiile. Pentru primavara pare a fi indiferent cat de mult il intindem. Ecuația mișcării (21.2) determină perioada de oscilație, dar nu spune nimic despre amplitudinea oscilației. Desigur, amplitudinea oscilației poate fi determinată și acum ne vom ocupa de ea, dar pentru aceasta este necesar să se stabilească condițiile inițiale.

Ideea este că nu am găsit încă soluția cea mai generală a ecuației (21.2). Există mai multe tipuri de soluții. Soluția corespunde cazului în care în momentul inițial arcul este întins și viteza lui este egală cu zero. Puteți face arcul să se miște într-un alt mod, de exemplu, profitați de momentul în care arcul echilibrat este în repaus și loviți puternic greutatea; aceasta va însemna că în momentul de față se raportează la izvor o oarecare viteză. O astfel de mișcare va corespunde unei alte soluții (21.2) - cosinusul trebuie înlocuit cu un sinus. Să mai aruncăm o piatră în cosinus: dacă - soluție, atunci, intrând în camera în care se balansează arcul, în momentul de față (să-i spunem „”), când greutatea trece prin poziția de echilibru, vom fi nevoiți să înlocuim aceasta solutie cu alta. Prin urmare, nu poate exista o soluție generală; soluţia generală trebuie să permită, ca să spunem aşa, deplasarea originii timpului. O astfel de proprietate are, de exemplu, soluția , unde este o constantă. Mai mult, se poate descompune numită frecvență unghiulară; este numărul de radiani cu care faza se schimbă într-o secundă. Este determinată de o ecuație diferențială. Alte mărimi nu sunt determinate de ecuație, ci depind de condiții inițiale. Constanta servește ca măsură a abaterii maxime a sarcinii și se numește amplitudine de oscilație. Constanta se numește uneori faza oscilației, dar aici pot exista neînțelegeri, pentru că alții numesc faza și spun că faza depinde de timp. Putem spune că - aceasta este o schimbare de fază în comparație cu unele, luate ca zero. Să nu ne certăm despre cuvinte. Diferite corespund mișcărilor cu faze diferite. Acest lucru este adevărat, dar dacă să numim sau nu o fază este o altă întrebare.

Descoperiri în domeniul cuantic și în alte domenii. În același timp, sunt inventate noi dispozitive și dispozitive, prin care este posibil să se efectueze diverse studii și să se explice fenomenele microlumii. Unul dintre aceste mecanisme este oscilatorul armonic, al cărui principiu era cunoscut chiar și de reprezentanții civilizațiilor antice.

Dispozitivul și tipurile sale

Un oscilator armonic este un sistem mecanic în mișcare, care este descris printr-o diferență cu coeficienți de valoare constantă. Cel mai exemple simple astfel de dispozitive - o sarcină pe un arc, un pendul, sisteme acustice, mișcarea particulelor moleculare etc.

În mod convențional, se pot distinge următoarele tipuri de acest dispozitiv:

Aplicația dispozitivului

Acest dispozitiv este utilizat în domenii diverse, în principal pentru a studia natura sistemelor oscilatorii. Oscilatorul armonic cuantic este folosit pentru a studia comportamentul elementelor fotonice. Rezultatele experimentelor pot fi utilizate în diferite domenii. Așadar, fizicienii de la Institutul American au descoperit că atomii de beriliu, aflați la distanțe destul de mari unul de celălalt, pot interacționa la nivel cuantic. În același timp, comportamentul acestor particule este similar cu corpurile (bile de metal) din macrocosmos, mișcându-se într-o ordine înainte-întoarcere, similară unui oscilator armonic. Ioni de beriliu, în ciuda faptului că sunt fizic distante lungi, a schimbat cele mai mici unități de energie (cuante). Această descoperire permite avansarea semnificativă a tehnologiilor IT și oferă, de asemenea, o nouă soluție în producția de echipamente informatice și electronice.

Oscilatorul armonic este utilizat în evaluarea lucrărilor muzicale. Această metodă se numește examinare spectroscopică. În același timp, s-a constatat că cel mai stabil sistem este o compoziție de patru muzicieni (un cvartet). Și lucrările moderne sunt în mare parte anarmonice.

OSCILAȚII ARMONICE

Cursul 1

VASCULAREA

VASCULAREA. VALURI. OPTICA

Oscilația este unul dintre cele mai comune procese din natură și tehnologie. Fluctuațiile sunt procese care se repetă în timp. Clădirile înalte și firele de înaltă tensiune oscilează sub influența vântului, a pendulului unui ceas ranit și a unei mașini pe izvoare în timpul mișcării, a nivelului râului în timpul anului și a temperaturii corpului uman în timpul bolii. Sunetul este fluctuațiile presiunii aerului, undele radio sunt modificări periodice ale puterii electrice și camp magnetic, lumina este de asemenea oscilații electromagnetice. Cutremurele - vibrații ale solului, fluxuri și refluxuri - modificări ale nivelurilor mărilor și oceanelor cauzate de atracția lunii etc.

Oscilațiile sunt mecanice, electromagnetice, chimice, termodinamice etc. În ciuda unei astfel de varietăți, toate oscilațiile sunt descrise de aceleași ecuații diferențiale.

Primii oameni de știință care au studiat vibrațiile au fost Galileo Galilei și Christian Huygens. Galileo a stabilit independența perioadei de oscilații față de amplitudine. Huygens a inventat ceasul cu pendul.

Orice sistem care, atunci când este ușor dezechilibrat, oscilează constant se numește oscilator armonic. În fizica clasică, astfel de sisteme sunt un pendul matematic în unghiuri mici de deviere, o sarcină în amplitudini mici de oscilație, un circuit electric format din elemente de capacitate și inductanță liniare.

Un oscilator armonic poate fi considerat liniar dacă deplasarea din poziția de echilibru este direct proporțională cu forța perturbatoare. Frecvența de oscilație a unui oscilator armonic nu depinde de amplitudine. Pentru oscilator, principiul suprapunerii este îndeplinit - dacă acționează mai multe forțe perturbatoare, atunci efectul acțiunii lor totale se poate obține ca urmare a adunării efectelor din forte active separat.

Oscilațiile armonice sunt descrise de ecuație (Fig. 1.1.1)

(1.1.1)

Unde X- deplasarea valorii oscilante din poziția de echilibru, DAR– amplitudinea oscilațiilor egală cu valoarea deplasării maxime, - faza de oscilații, care determină deplasarea în timp , - faza inițială, care determină mărimea deplasării în momentul inițial de timp, - frecvența ciclică a oscilațiilor.

Timpul unei oscilații complete se numește perioadă, unde este numărul de oscilații finalizate în timpul respectiv.

Frecvența de oscilație determină numărul de oscilații pe unitatea de timp, este legată de frecvența ciclică prin raport, apoi perioada.

Viteza unui punct material oscilant

accelerare

Astfel, viteza și accelerația oscilatorului armonic se modifică de asemenea conform legii armonice cu amplitudini și respectiv. În acest caz, viteza este înaintea deplasării de fază cu , iar accelerația - cu (Fig. 1.1.2).

Dintr-o comparație a ecuațiilor de mișcare ale unui oscilator armonic (1.1.1) și (1.1.2) rezultă că , sau

aceasta ecuație diferențială de ordinul doi se numește ecuația oscilatorului armonic. Soluția lui conține două constante Ași , care sunt determinate prin stabilirea condițiilor inițiale

.

Dacă un proces care se repetă periodic este descris prin ecuații care nu coincid cu (1.1.1), acesta se numește anarmonic. Un sistem care efectuează oscilații anarmonice se numește oscilator anarmonic.

1.1.2 . Oscilații libere ale sistemelor cu un grad de libertate. formă complexă reprezentări ale vibraţiilor armonice

În natură, micile oscilații pe care le face un sistem în apropierea poziției sale de echilibru sunt foarte frecvente. Dacă un sistem scos din echilibru este lăsat singur, adică forțele externe nu acționează asupra lui, atunci un astfel de sistem va efectua oscilații libere neamortizate. Luați în considerare un sistem cu un grad de libertate.

Un echilibru stabil corespunde unei poziții a sistemului în care energia sa potențială are un minim ( q este coordonata generalizată a sistemului). Abaterea sistemului de la poziția de echilibru duce la apariția unei forțe care tinde să readucă sistemul. Notăm valoarea coordonatei generalizate corespunzătoare poziţiei de echilibru, apoi abaterea de la poziţia de echilibru

Vom număra energia potențială de la valoarea minimă. Să luăm funcția rezultată, să o extindem într-o serie Maclaurin și să lăsăm primul termen al expansiunii, avem: o

VASCULAREA. VALURI. OPTICA

VASCULAREA

Cursul 1

OSCILAȚII ARMONICE

Oscilator armonic ideal. Ecuația oscilator ideal si decizia lui. Amplitudinea, frecventa si faza oscilatiilor

Oscilația este unul dintre cele mai comune procese din natură și tehnologie. Fluctuațiile sunt procese care se repetă în timp. Clădirile înalte și firele de înaltă tensiune oscilează sub influența vântului, a pendulului unui ceas ranit și a unei mașini pe izvoare în timpul mișcării, a nivelului râului în timpul anului și a temperaturii corpului uman în timpul bolii. Sunetul este fluctuații ale presiunii aerului, undele radio sunt modificări periodice ale intensității câmpurilor electrice și magnetice, lumina este și vibrații electromagnetice. Cutremurele - vibrații ale solului, fluxuri și refluxuri - modificări ale nivelurilor mărilor și oceanelor cauzate de atracția lunii etc.

Oscilațiile sunt mecanice, electromagnetice, chimice, termodinamice etc. În ciuda unei astfel de varietăți, toate oscilațiile sunt descrise de aceleași ecuații diferențiale.

Primii oameni de știință care au studiat vibrațiile au fost Galileo Galilei și Christian Huygens. Galileo a stabilit independența perioadei de oscilații față de amplitudine. Huygens a inventat ceasul cu pendul.

Orice sistem care, atunci când este ușor dezechilibrat, oscilează constant se numește oscilator armonic. În fizica clasică, astfel de sisteme sunt un pendul matematic în unghiuri mici de deviere, o sarcină în amplitudini mici de oscilație, un circuit electric format din elemente de capacitate și inductanță liniare.

Un oscilator armonic poate fi considerat liniar dacă deplasarea din poziția de echilibru este direct proporțională cu forța perturbatoare. Frecvența de oscilație a unui oscilator armonic nu depinde de amplitudine. Pentru oscilator, principiul suprapunerii este îndeplinit - dacă acționează mai multe forțe perturbatoare, atunci efectul acțiunii lor totale poate fi obținut ca urmare a adunării efectelor forțelor care acționează separat.

Oscilațiile armonice sunt descrise de ecuație (Fig. 1.1.1)

(1.1.1)

Unde X- deplasarea valorii oscilante din poziția de echilibru, DAR– amplitudinea oscilațiilor egală cu valoarea deplasării maxime, - faza de oscilații, care determină deplasarea în timp , - faza inițială, care determină mărimea deplasării în momentul inițial de timp, - frecvența ciclică a oscilațiilor.

Timpul unei oscilații complete se numește perioadă, unde este numărul de oscilații finalizate în timpul respectiv.

Frecvența de oscilație determină numărul de oscilații pe unitatea de timp, este legată de frecvența ciclică prin raport, apoi perioada.

Viteza unui punct material oscilant

accelerare

Astfel, viteza și accelerația oscilatorului armonic se modifică de asemenea conform legii armonice cu amplitudini și respectiv. În acest caz, viteza este înaintea deplasării de fază cu , iar accelerația - cu (Fig. 1.1.2).

Dintr-o comparație a ecuațiilor de mișcare ale unui oscilator armonic (1.1.1) și (1.1.2) rezultă că , sau

Această ecuație diferențială de ordinul doi se numește ecuația oscilatorului armonic. Soluția lui conține două constante Ași , care sunt determinate prin stabilirea condițiilor inițiale

.

Dacă un proces care se repetă periodic este descris prin ecuații care nu coincid cu (1.1.1), acesta se numește anarmonic. Un sistem care efectuează oscilații anarmonice se numește oscilator anarmonic.

1.1.2 . Oscilații libere ale sistemelor cu un grad de libertate. Formă complexă de reprezentare a oscilațiilor armonice

În natură, micile oscilații pe care le face un sistem în apropierea poziției sale de echilibru sunt foarte frecvente. Dacă un sistem scos din echilibru este lăsat singur, adică forțele externe nu acționează asupra lui, atunci un astfel de sistem va efectua oscilații libere neamortizate. Luați în considerare un sistem cu un grad de libertate.

Un echilibru stabil corespunde unei poziții a sistemului în care energia sa potențială are un minim ( q este coordonata generalizată a sistemului). Abaterea sistemului de la poziția de echilibru duce la apariția unei forțe care tinde să readucă sistemul. Notăm valoarea coordonatei generalizate corespunzătoare poziţiei de echilibru, apoi abaterea de la poziţia de echilibru

Vom număra energia potențială de la valoarea minimă. Să luăm funcția rezultată, să o extindem într-o serie Maclaurin și să lăsăm primul termen al expansiunii, avem: o

,

Unde . Apoi, ținând cont de notația introdusă:

, (1.1.4)

Ținând cont de expresia (1.1.4) pentru forța care acționează asupra sistemului, obținem:

Conform celei de-a doua legi a lui Newton, ecuația de mișcare a sistemului are forma:

Expresia (1.1.5) coincide cu ecuația (1.1.3) a oscilațiilor armonice libere, cu condiția ca

și are două soluții independente: și , deci soluția generală este:

,

Din formula (1.1.6) rezultă că frecvența este determinată numai de proprietățile intrinseci ale sistemului mecanic și nu depinde de amplitudine și de condițiile inițiale de mișcare.

Dependența coordonatei sistemului oscilant de timp poate fi determinată ca parte reală a expresiei complexe , Unde A=Xe-iα este o amplitudine complexă, modulul său coincide cu amplitudinea obișnuită, iar argumentul său coincide cu faza inițială.

1.1.3 . Exemple de mișcări oscilatorii de natură fizică variată

Fluctuații ale sarcinii asupra arcului

Luați în considerare oscilațiile unei sarcini pe un arc, cu condiția ca arcul să nu fie deformat dincolo de limitele elasticității. Vom arăta că o astfel de sarcină va efectua oscilații armonice în raport cu poziția de echilibru (Fig. 1.1.3). Într-adevăr, conform legii lui Hooke, un arc comprimat sau întins creează o forță armonică:

Unde - coeficientul de rigiditate a arcului, este coordonata pozitiei de echilibru, X este coordonata sarcinii (punctul material) în momentul de timp, este deplasarea de la poziția de echilibru.

Să plasăm originea coordonatei în poziția de echilibru a sistemului. În acest caz .

Dacă arcul este întins de X, apoi eliberați la timp t=0, atunci ecuația de mișcare a sarcinii conform celei de-a doua legi a lui Newton va lua forma -kx=ma, sau , și

(1.1.6)

Această ecuație coincide ca formă cu ecuația de mișcare (1.1.3) a unui sistem care efectuează oscilații armonice, vom căuta soluția ei sub forma:

. (1.1.7)

Inlocuim (1.17) in (1.1.6), avem: adică, expresia (1.1.7) este o soluție a ecuației (1.1.6) cu condiția ca

Dacă la momentul inițial de timp poziția sarcinii a fost arbitrară, atunci ecuația mișcării va lua forma:

.

Să considerăm cum se modifică energia sarcinii, făcând oscilații armonice în absența forțelor externe (Fig. 1.14). Dacă la momentul respectiv t=0 trimite offset la marfă x=A, atunci energia sa totală va deveni egală cu energia potențială a arcului deformat, energie kinetică este egal cu zero (punctul 1).

Forța care acționează asupra sarcinii F= -kx, căutând să-l readucă în poziția de echilibru, astfel încât sarcina se mișcă cu accelerație și își mărește viteza și, în consecință, energia cinetică. Această forță reduce deplasarea sarcinii X, energia potenţială a sarcinii scade, transformându-se în cinetică. Sistemul „sarcină – arc” este închis, astfel încât energia sa totală este conservată, adică:

. (1.1.8)

În momentul de timp, sarcina este în echilibru (punctul 2), energia sa potențială este zero, iar energia sa cinetică este maximă. Găsim viteza maximă a sarcinii din legea conservării energiei (1.1.8):

Datorită stocului de energie cinetică, sarcina lucrează împotriva forței elastice – şi trece prin poziţia de echilibru. Energia cinetică se transformă treptat în potențial. Când sarcina are o deplasare negativă maximă - DAR, energie kinetică saptamana=0, sarcina se oprește și începe să se deplaseze în poziția de echilibru sub acțiunea unei forțe elastice F= -kx. Mișcarea ulterioară este similară.

Pendule

Un pendul este un corp rigid care oscilează în jurul unui punct fix sau a unei axe sub acțiunea gravitației. Există pendule fizice și matematice.

Un pendul matematic este un sistem idealizat format dintr-un fir inextensibil fără greutate pe care este suspendată o masă concentrată într-un punct material.

Un pendul matematic, de exemplu, este o minge pe un fir lung și subțire.

Abaterea pendulului de la poziția de echilibru este caracterizată de unghi φ , care formează un fir cu o verticală (Fig. 1.15). Când pendulul se abate de la poziția de echilibru, apare un moment al forțelor externe (gravitația): , Unde m- greutate, - lungimea pendulului

Acest moment tinde să readucă pendulul în poziția de echilibru (similar forței cvasi-elastice) și este îndreptat opus deplasării φ , deci există un semn minus în formulă.

Ecuația dinamicii mișcare de rotație căci un pendul are forma: Iε=,

.

Vom lua în considerare, așadar, cazul micilor fluctuații sin φ ≈φ, denota ,

avem: , sau , și, în sfârșit

Aceasta este ecuația oscilațiilor armonice, soluția ei:

.

Frecvența de oscilație a unui pendul matematic este determinată numai de lungimea sa și de accelerația gravitației și nu depinde de masa pendulului. Perioada este:

Dacă corpul oscilant nu poate fi reprezentat ca punct material, atunci pendulul se numește fizic (Fig. 1.1.6). Scriem ecuația mișcării sale sub forma:

.

În cazul fluctuaţiilor mici , sau =0, unde . Aceasta este ecuația de mișcare a unui corp care efectuează oscilații armonice. Frecvența de oscilație a unui pendul fizic depinde de masa, lungimea și momentul de inerție a acestuia în jurul axei care trece prin punctul de suspensie.

Să notăm. Valoare se numește lungimea redusă a pendulului fizic. Aceasta este lungimea unui pendul matematic a cărui perioadă de oscilație coincide cu perioada unui pendul fizic dat. Un punct de pe o linie dreaptă care leagă punctul de suspensie cu centrul de masă, situat la o distanță de lungime redusă față de axa de rotație, se numește centrul de balansare al unui pendul fizic ( O). Dacă pendulul este suspendat în centrul balansării, atunci lungimea redusă și perioada de oscilație vor fi aceleași ca în punctul O. Astfel, punctul de suspensie și centrul de balansare au proprietăți de reciprocitate: atunci când punctul de suspensie este transferat în centrul de balansare, vechiul punct de suspensie devine noul centru de balansare.

Un pendul matematic care oscilează cu aceeași perioadă cu cel fizic luat în considerare este numit izocron cu pendulul fizic dat.

1.1.4. Adăugarea de vibrații (bătăi, figuri Lissajous). Descriere vectorială a adăugării oscilației

Adunarea oscilațiilor în mod egal direcționat poate fi realizată folosind metoda diagramelor vectoriale. Orice oscilație armonică poate fi reprezentată ca un vector după cum urmează. Să alegem o axă X cu originea la punct O(fig.1.1.7)

De la un punct O construiți un vector care formează unghiul cu ax X. Lăsați acest vector să se rotească cu viteza unghiulară. Proiecția unui vector pe o axă X este egal cu:

adică execută oscilaţii armonice cu o amplitudine A.

Se consideră două oscilații armonice de aceeași direcție și aceeași ciclică mici, date de vectorii și . Decalaje de-a lungul axei X sunt egale:

vectorul rezultat are o proiecție și reprezintă oscilația rezultată (Fig. 1.1.8), conform teoremei cosinusului Astfel, adunarea oscilațiilor armonice se realizează prin adăugarea vectorilor.

Să efectuăm adăugarea de oscilații reciproc perpendiculare. Punctul material să facă două oscilații reciproc perpendiculare cu o frecvență:

.

Punctul material în sine se va deplasa apoi de-a lungul unei traiectorii curbilinii.

Din ecuația mișcării rezultă: ,

. (1.1.9)

Din ecuația (1.1.9) puteți obține ecuația elipsei (Fig.1.1.9):

Luați în considerare cazuri speciale ale acestei ecuații:

1. Diferența de fază de oscilație α= 0. În același timp acestea. sau Aceasta este ecuația unei drepte, iar oscilația rezultată are loc de-a lungul acestei drepte cu amplitudine (Fig. 1.1.10).

accelerația sa este egală cu derivata a doua a deplasării în raport cu timpul atunci forța care acționează asupra punctului oscilant, conform celei de-a doua legi a lui Newton, este egală cu

Adică, forța este proporțională cu deplasarea X si este indreptata impotriva deplasarii catre pozitia de echilibru. Această forță se numește forță de restabilire. În cazul unei sarcini pe un arc, forța de restabilire este forța elastică, în cazul unui pendul matematic, este componenta gravitației.

Forța restauratoare prin natură se supune legii lui Hooke F= -kx, Unde

este coeficientul forței de restabilire. Atunci energia potențială a punctului oscilant este:

(constanta de integrare este aleasă egală cu zero, astfel încât când X).

Oscilator anarmonic