PANTALONI PITAGOREI PE TOATE PARTELE SUNT EGAI

Această remarcă caustică (care are o continuare integrală: pentru a o dovedi, trebuie să o îndepărtezi și să arăți), inventată de cineva, aparent șocat de conținutul interior al unei teoreme importante a geometriei euclidiene, dezvăluie perfect punctul de plecare de la care lanțul. reflecțiile complet simple duc rapid la demonstrarea teoremei, precum și la rezultate și mai semnificative. Această teoremă, atribuită matematicianului grec antic Pitagora din Samos (secolul al VI-lea î.Hr.), este cunoscută de aproape fiecare școlar și sună astfel: pătratul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor catetelor. Poate că mulți vor fi de acord cu asta figură geometrică , numită criptare „Pantalonii pitagoreici sunt egali pe toate părțile”, se numește pătrat. Ei bine, cu zâmbetul pe buze, să adăugăm o glumă inofensivă de dragul a ceea ce s-a vrut în continuarea sarcasmului criptat. Deci, „pentru a dovedi, trebuie să eliminați și să arătați”. Este clar că „acest” - pronumele însemna direct teorema, „elimină” - ​​aceasta este pentru a intra în mână, luați figura numită, „arată” - însemna cuvântul „atinge”, aduce unele părți ale figurii în contact. În general, „pantalonii lui Pitagora” au fost denumiți o construcție grafică care arăta ca niște pantaloni, care a fost obținută pe desenul lui Euclid în timpul unei dovezi foarte dificile a teoremei lui Pitagora. Când s-a găsit o dovadă mai simplă, poate că vreun rhymer a alcătuit acest indiciu de răsucitori de limbi pentru a nu uita începutul abordării dovezii, iar zvonurile populare l-au răspândit deja în întreaga lume ca o vorbă goală. Deci, dacă luați un pătrat și plasați un pătrat mai mic în interiorul acestuia, astfel încât centrele lor să coincidă și rotiți pătratul mai mic până când colțurile lui ating laturile pătratului mai mare, atunci pe figura mai mare vor fi evidențiate 4 triunghiuri dreptunghiulare identice. de laturile pătratului mai mic.De aici, există deja o linie dreaptă o modalitate de a demonstra o teoremă binecunoscută. Fie ca latura pătratului mai mic să fie notată cu c. Latura pătratului mai mare este a + b, iar apoi aria sa este (a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2. Aceeași zonă poate fi definită ca suma ariei \u200b\ u200bpătratul mai mic și ariile a 4 triunghiuri dreptunghiulare identice, adică ca 4 ab/2+c 2 =2ab+c 2. Punem un semn egal între două calcule de aceeași arie: a 2 +2ab+b 2 = 2ab+c 2. După reducerea termenilor 2ab, obținem concluzia: pătratul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor catetelor, adică a 2 + b 2 \u003d c 2. Nu toată lumea va înțelege imediat ce folos are această teoremă. Din punct de vedere practic, valoarea sa constă în a servi drept bază pentru multe calcule geometrice, cum ar fi determinarea distanței dintre punctele dintr-un plan de coordonate. Unele formule valoroase sunt derivate din teoremă, iar generalizările ei conduc la noi teoreme care reduc decalajul dintre calculele în plan și calculele în spațiu. Consecințele teoremei pătrund în teoria numerelor, dezvăluind detalii individuale ale structurii unei serii de numere. Și multe altele, nu le poți enumera pe toate. O viziune din punctul de vedere al curiozității inactive demonstrează prezentarea de către teoremă a unor probleme distractive, care sunt formulate la extrem de ușor de înțeles, dar uneori sunt nebuni dure. Ca exemplu, este suficient să o cităm pe cea mai simplă dintre ele, așa-numita întrebare a numerelor pitagorice, care este pusă în termeni de zi cu zi după cum urmează: este posibil să se construiască o cameră, a cărei lungime, lățime și diagonală pe podeaua ar fi măsurat simultan numai în valori întregi, să zicem, în pași? Doar cea mai mică schimbare în această întrebare poate face sarcina extrem de dificilă. Și, în consecință, există cei care doresc, pur din entuziasm științific, să se testeze în împărțirea următoarei puzzle-uri matematice. O altă schimbare la întrebare - și un alt puzzle. Adesea, în cursul căutării răspunsurilor la astfel de probleme, matematica evoluează, dobândește opinii noi asupra conceptelor vechi, dobândește noi abordări sistematice și așa mai departe, ceea ce înseamnă că teorema lui Pitagora, totuși, ca orice altă doctrină valoroasă, nu este mai puțin util din acest punct de vedere. Matematica din vremea lui Pitagora nu recunoștea alte numere decât cele raționale (numere naturale sau fracții cu numărător și numitor natural). Totul a fost măsurat în valori întregi sau părți de întregi. Prin urmare, dorința de a face calcule geometrice, de a rezolva ecuații din ce în ce mai mult în numere naturale este atât de înțeleasă. Dependența de ele deschide calea către lumea incredibilă a misterului numerelor, dintre care un număr în interpretare geometrică apare inițial ca o linie dreaptă cu un număr infinit de marcaje. Uneori relația dintre unele numere din serie, „distanța liniară” dintre ele, proporția atrage imediat atenția, iar uneori structurile mentale cele mai complexe nu ne permit să stabilim la ce legi se supune distribuția anumitor numere. Se dovedește că în lumea nouă, în această „geometrie unidimensională”, vechile probleme rămân valabile, doar formularea lor se schimbă. De exemplu, o variantă a sarcinii despre numerele pitagorice: „De acasă, tatăl face x pași de x centimetri fiecare, apoi merge cu pași de y centimetri. Fiul merge în spatele lui z pași de z centimetri fiecare. Ce ar trebui să fie mărimea pașilor lor pentru ca la pasul z a pășit copilul în amprenta tatălui? De dragul corectitudinii, este necesar să remarcăm o anumită dificultate pentru un matematician începător al metodei pitagoreice de dezvoltare a gândirii. Acesta este un stil special de gândire matematică, trebuie să te obișnuiești cu el. Un punct este interesant. Matematicienii statului babilonian (a apărut cu mult înainte de nașterea lui Pitagora, cu aproape o mie și jumătate de ani înaintea lui) se pare că cunoșteau și unele metode de găsire a numerelor, care mai târziu au devenit cunoscute drept pitagoreice. Au fost găsite tăblițe cuneiforme, unde înțelepții babilonieni notau triplele unor astfel de numere pe care le identificau. Unele triple constau în numere prea mari, în legătură cu care contemporanii noștri au început să presupună că babilonienii aveau moduri bune, și probabil chiar simple, de a le calcula. Din păcate, nu se știe nimic despre metodele în sine, sau despre existența lor.

Pantaloni pitagoreici Numele comic al teoremei lui Pitagora, care a apărut datorită faptului că pătratele construite pe laturile unui dreptunghi și divergente în direcții diferite seamănă cu croiala pantalonilor. Mi-a plăcut geometria... și la examenul de admitere la universitate chiar am primit laude de la Chumakov, profesor de matematică, pentru că a explicat proprietățile liniilor paralele și a pantalonilor pitagoreici fără tablă, desenând cu mâinile în aer(N. Pirogov. Jurnalul unui medic bătrân).

Dicționar frazeologic al limbii literare ruse. - M.: Astrel, AST. A. I. Fedorov. 2008 .

Vedeți ce sunt „pantaloni pitagoreici” în alte dicționare:

pantaloni pitagoreici- ... Wikipedia

pantaloni pitagoreici- Zharg. şcoală Navetă. Teorema lui Pitagora, care stabilește relația dintre ariile pătratelor construite pe ipotenuză și catetele unui triunghi dreptunghic. BTS, 835... Marele dicționar de zicale rusești

pantaloni pitagoreici- Un nume jucăuș pentru teorema lui Pitagora, care stabilește raportul dintre ariile pătratelor construite pe ipotenuză și picioarele unui triunghi dreptunghic, care arată ca tăietura pantalonilor în desene ... Dicționar cu multe expresii

pantaloni pitagoreici (inventați)- străin: despre o persoană dotată Cf. Aceasta este certitudinea înțeleptului. În antichitate, probabil că ar fi inventat pantalonii pitagoreici... Saltykov. Litere pestrițe. Pantaloni pitagoreici (geom.): într-un dreptunghi, pătratul ipotenuzei este egal cu pătratele picioarelor (predare ... ... Marele dicționar frazeologic explicativ al lui Michelson

Pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile- Numărul de butoane este cunoscut. De ce este pula înghesuită? (aproximativ) despre pantaloni și organul sexual masculin. Pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile. Pentru a demonstra acest lucru, este necesar să înlăturăm și să arătăm 1) despre teorema lui Pitagora; 2) despre pantaloni largi... Discurs viu. Dicţionar de expresii colocviale

Pantalonii pitagoreici inventează- pantaloni pitagoreici (inventează) străin. despre o persoană talentată. mier Acesta este înțeleptul fără îndoială. În antichitate, probabil că ar fi inventat pantalonii pitagoreici... Saltykov. Litere pestrițe. Pantaloni pitagoreici (geom.): într-un dreptunghi, pătratul ipotenuzei ...... Marele dicționar frazeologic explicativ al lui Michelson (ortografia originală)

Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile- Dovada în glumă a teoremei lui Pitagora; de asemenea, în glumă despre pantalonii largi ai prietenului... Dicţionar de frazeologie populară

Adj., nepoliticos...

PANTALONI PITAGOREI SUNT EGAI PE TOATE PARTELE (SE CUNOSC NUMĂRUL DE NASTURĂ. DE CE ESTE APROAPE? / PENTRU A DEMONSTRA ASTA, ESTE NECESAR SĂ ÎNCĂRTAREAȚI ȘI AFIȚIȚI)- adj., nepoliticos... Dicţionar unități și proverbe frazeologice colocviale moderne

pantaloni- substantiv, pl., folosire comp. adesea Morfologie: pl. ce? pantaloni, (nu) ce? pantaloni pentru ce? pantaloni, (vezi) ce? pantaloni ce? pantaloni, ce? despre pantaloni 1. Pantalonii sunt o piesă vestimentară care are două picioare scurte sau lungi și acoperă partea de jos ...... Dicționarul lui Dmitriev

Cărți

• Cum a fost descoperit Pământul Svyatoslav Vladimirovici Saharnov. Cum au călătorit fenicienii? Pe ce nave navigau vikingii? Cine a descoperit America și cine a făcut pentru prima dată ocolul lumii? Cine a alcătuit primul atlas al Antarcticii din lume și cine a inventat...

celebru teorema lui Pitagora - „Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor”- toată lumea știe de pe banca școlii.

Ei bine, îți amintești „Pantaloni pitagoreici”, care „egale în toate direcțiile”- un desen schematic care explică teorema omului de știință grec.

Aici Ași b- picioare, și Cu- ipotenuza:

Acum vă voi spune despre o demonstrație originală a acestei teoreme, despre care poate nu știați...

Dar mai întâi, să ne uităm la unul lema- o afirmație dovedită care este utilă nu în sine, ci pentru demonstrarea altor enunțuri (teoreme).

Luați un triunghi dreptunghic cu vârfuri X, Yși Z, Unde Z- unghi drept și aruncați perpendiculara din unghiul drept Z la ipotenuză. Aici W- punctul în care altitudinea intersectează ipotenuza.

Această linie (perpendiculară) ZWîmparte triunghiul în copii similare ale lui însuși.

Permiteți-mi să vă reamintesc că se numesc triunghiuri similare, ale căror unghiuri sunt, respectiv, egale, iar laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile similare ale celuilalt triunghi.

În exemplul nostru, triunghiurile formate XWZși YWZ sunt asemănătoare între ele și, de asemenea, asemănătoare cu triunghiul original XYZ.

Este ușor să demonstrezi acest lucru.

Începând cu triunghiul XWZ, rețineți că ∠XWZ = 90 și deci ∠XZW = 180-90-∠X. Dar 180–90-∠X -  este exact ceea ce este ∠Y, deci triunghiul XWZ trebuie să fie similar (toate unghiurile egale) cu triunghiul XYZ. Același exercițiu poate fi făcut și pentru triunghiul YWZ.

Lema dovedit! Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea (perpendiculară) scăzută la ipotenuză împarte triunghiul în două similare, care la rândul lor sunt similare cu triunghiul original.

Dar, revenind la „pantalonii pitagoreici”...

Scade perpendiculara pe ipotenuza c. Ca rezultat, avem două triunghiuri dreptunghiulare în interiorul triunghiului nostru dreptunghic. Să notăm aceste triunghiuri (în imaginea de mai sus în verde) litere Ași B, și triunghiul - litera originală DIN.

Desigur, aria triunghiului DIN este egală cu suma ariilor triunghiurilor Ași B.

Acestea. DAR+ B= DIN

Acum să despărțim figura din partea de sus („Pantaloni pitagoreici”) în trei figuri de casă:

După cum știm deja din lemă, triunghiuri A, Bși C sunt similare între ele, prin urmare figurile casei rezultate sunt, de asemenea, similare și sunt versiuni la scară una ale celeilalte.

Aceasta înseamnă că raportul de suprafață Ași a², -  este același cu raportul ariei Bși b², precum și Cși c².

Astfel avem A / a² = B / b² = C / c² .

Să notăm cu literă acest raport dintre ariile triunghiului și pătratului din figura-casă k.

Acestea. k- acesta este un anumit coeficient care leagă aria triunghiului (acoperișul casei) cu aria pătratului de sub acesta:
k = A / a² = B / b² = C / c²

Rezultă că ariile triunghiurilor pot fi exprimate în termeni de ariile pătratelor de sub ele în acest fel:
A = ka², B = kb², și C = kc²

Dar ne amintim asta A+B=C, care înseamnă ka² + kb² = kc²

Sau a² + b² = c²

Și asta este demonstrarea teoremei lui Pitagora!

Potențialul de creativitate este de obicei atribuit umaniste, firesc științific lăsând analiza, abordarea practică și limbajul sec al formulelor și cifrelor. Matematica nu poate fi clasificată ca materie umaniste. Dar fără creativitate în „regina tuturor științelor” nu vei ajunge departe - oamenii știu despre asta de mult timp. De pe vremea lui Pitagora, de exemplu.

Manualele școlare, din păcate, de obicei nu explică faptul că în matematică este important nu numai să înghesuim teoreme, axiome și formule. Este important să înțelegeți și să simțiți principiile sale fundamentale. Și, în același timp, încearcă să-ți eliberezi mintea de clișee și adevăruri elementare - numai în astfel de condiții se nasc toate marile descoperiri.

Astfel de descoperiri o includ pe cea pe care astăzi o cunoaștem ca teorema lui Pitagora. Cu ajutorul ei, vom încerca să arătăm că matematica nu numai că poate, dar ar trebui să fie distractivă. Și că această aventură este potrivită nu numai pentru tocilari cu pahare groase, ci pentru toți cei care sunt puternici la minte și puternici la spirit.

Din istoria problemei

Strict vorbind, deși teorema este numită „teorema lui Pitagora”, Pitagora însuși nu a descoperit-o. Triunghiul dreptunghic și proprietățile sale speciale au fost studiate cu mult înaintea lui. Există două puncte de vedere polare asupra acestei probleme. Potrivit unei versiuni, Pitagora a fost primul care a găsit o demonstrație completă a teoremei. Potrivit altuia, dovada nu aparține paternului lui Pitagora.

Astăzi nu mai poți verifica cine are dreptate și cine greșește. Se știe doar că dovada lui Pitagora, dacă a existat vreodată, nu a supraviețuit. Cu toate acestea, există sugestii că faimoasa dovadă din Elementele lui Euclid ar putea aparține lui Pitagora, iar Euclid a înregistrat-o doar.

De asemenea, se știe astăzi că probleme legate de un triunghi dreptunghic se găsesc în sursele egiptene din vremea faraonului Amenemhet I, pe tăblițele de lut babiloniene din timpul domniei regelui Hammurabi, în vechiul tratat indian Sulva Sutra și în lucrarea antică chineză Zhou. -bi suan jin.

După cum puteți vedea, teorema lui Pitagora a ocupat mințile matematicienilor din cele mai vechi timpuri. Aproximativ 367 de dovezi diferite care există astăzi servesc drept confirmare. Nicio altă teoremă nu poate concura cu ea în acest sens. Printre autori importanți se numără Leonardo da Vinci și al 20-lea președinte al Statelor Unite, James Garfield. Toate acestea vorbesc despre importanța extremă a acestei teoreme pentru matematică: majoritatea teoremelor de geometrie sunt derivate din ea sau, într-un fel sau altul, sunt legate de ea.

Demonstrații ale teoremei lui Pitagora

LA manualele școlare oferă în principal dovezi algebrice. Dar esența teoremei este în geometrie, așa că să luăm în considerare în primul rând acele dovezi ale celebrei teoreme care se bazează pe această știință.

Dovada 1

Pentru cea mai simplă demonstrație a teoremei lui Pitagora pentru un triunghi dreptunghic, trebuie să setați conditii ideale: să fie triunghiul nu numai dreptunghiular, ci și isoscel. Există motive să credem că a fost un astfel de triunghi care a fost considerat inițial de matematicienii antici.

Afirmație „un pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor construite pe catetele sale” poate fi ilustrat cu următorul desen:

Priviți triunghiul dreptunghic isoscel ABC: pe ipotenuza AC, puteți construi un pătrat format din patru triunghiuri egale cu ABC original. Și pe picioarele AB și BC construite pe un pătrat, fiecare dintre ele conține două triunghiuri similare.

Apropo, acest desen a stat la baza a numeroase anecdote și desene animate dedicate teoremei lui Pitagora. Poate cel mai faimos este „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”:

Dovada 2

Această metodă combină algebra și geometria și poate fi văzută ca o variantă a vechii dovezi indiene a matematicianului Bhaskari.

Construiți un triunghi dreptunghic cu laturile a, b și c(Fig. 1). Apoi construiți două pătrate cu laturile egale cu suma lungimilor celor două picioare - (a+b). În fiecare dintre pătrate, faceți construcții, ca în figurile 2 și 3.

În primul pătrat, construiți patru din aceleași triunghiuri ca în figura 1. Ca rezultat, se obțin două pătrate: unul cu latura a, al doilea cu latura b.

În al doilea pătrat, patru triunghiuri similare construite formează un pătrat cu latura egală cu ipotenuza c.

Suma ariilor pătratelor construite din Fig. 2 este egală cu aria pătratului pe care l-am construit cu latura c în Fig. 3. Acest lucru poate fi verificat cu ușurință prin calcularea ariilor pătratelor din Fig. 2 conform formulei. Și aria pătratului înscris în figura 3. scăzând ariile a patru triunghiuri dreptunghiulare egale înscrise în pătrat din aria unui pătrat mare cu o latură (a+b).

Punând toate acestea jos, avem: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Extindeți parantezele, faceți toate calculele algebrice necesare și obțineți asta a 2 + b 2 = a 2 + b 2. În același timp, aria celor înscrise în Fig.3. pătratul poate fi calculat și folosind formula tradițională S=c2. Acestea. a2+b2=c2 Ai demonstrat teorema lui Pitagora.

Dovada 3

Aceeași dovadă indiană antică este descrisă în secolul al XII-lea în tratatul „Coroana Cunoașterii” („Siddhanta Shiromani”), iar ca argument principal autorul folosește un apel adresat talentelor matematice și puterilor de observare ale studenților și urmași: „Uite!”.

Dar vom analiza această dovadă mai detaliat:

În interiorul pătratului, construiți patru triunghiuri dreptunghiulare, așa cum este indicat în desen. Se notează latura pătratului mare, care este și ipotenuza Cu. Să numim catetele triunghiului Ași b. Conform desenului, latura pătratului interior este (a-b).

Utilizați formula suprafeței pătrate S=c2 pentru a calcula aria pătratului exterior. Și, în același timp, calculați aceeași valoare adunând aria pătratului interior și ariile tuturor celor patru triunghiuri dreptunghiulare: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Puteți folosi ambele opțiuni pentru a calcula aria unui pătrat pentru a vă asigura că dau același rezultat. Și asta îți dă dreptul să scrii asta c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Ca rezultat al soluției, veți obține formula teoremei lui Pitagora c2=a2+b2. Teorema a fost demonstrată.

Dovada 4

Această curioasă dovadă chineză antică se numește „Scaunul miresei” - din cauza figurii asemănătoare unui scaun care rezultă din toate construcțiile:

Folosește desenul pe care l-am văzut deja în Figura 3 în a doua dovadă. Și pătratul interior cu latura c este construit în același mod ca în vechea demonstrație indiană dată mai sus.

Dacă tăiați mental două triunghiuri dreptunghiulare verzi din desenul din fig. 1, transferați-le în laturile opuse ale pătratului cu latura c și atașați ipotenuzele la ipotenuzele triunghiurilor liliac, veți obține o figură numită „mireasa”. scaun” (Fig. 2). Pentru claritate, puteți face același lucru cu pătratele și triunghiurile din hârtie. Veți vedea că „scaunul miresei” este format din două pătrate: mici cu o latură bși mare cu o latură A.

Aceste construcţii le-au permis matematicienilor chinezi antici şi nouă, care le urmăm, să ajungem la concluzia că c2=a2+b2.

Dovada 5

Aceasta este o altă modalitate de a găsi o soluție la teorema lui Pitagora bazată pe geometrie. Se numește Metoda Garfield.

Construiți un triunghi dreptunghic ABC. Trebuie să dovedim asta BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Pentru a face acest lucru, continuați piciorul ACși construiți un segment CD, care este egal cu piciorul AB. Perpendiculară inferioară ANUNȚ segment de linie ED. Segmente EDși AC sunt egale. uneste punctele Eși LA, precum și Eși DINși obțineți un desen ca în imaginea de mai jos:

Pentru a demonstra turnul, recurgem din nou la metoda pe care am testat-o ​​deja: găsim aria figurii rezultate în două moduri și echivalăm expresiile una cu cealaltă.

Găsiți aria unui poligon UN PAT se poate realiza prin adăugarea ariilor celor trei triunghiuri care o formează. Și unul dintre ei ERU, nu este doar dreptunghiular, ci și isoscel. Să nu uităm nici asta AB=CD, AC=EDși BC=CE- acest lucru ne va permite să simplificăm înregistrarea și să nu o supraîncărcăm. Asa de, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

În același timp, este evident că UN PAT este un trapez. Prin urmare, calculăm aria sa folosind formula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Pentru calculele noastre, este mai convenabil și mai clar să reprezentăm segmentul ANUNȚ ca suma segmentelor ACși CD.

Să scriem ambele moduri de a calcula aria unei figuri punând un semn egal între ele: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Folosim egalitatea segmentelor deja cunoscute nouă și descrise mai sus pentru a simplifica partea dreapta intrari: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Și acum deschidem parantezele și transformăm egalitatea: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. După ce am terminat toate transformările, obținem exact ceea ce ne trebuie: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Am demonstrat teorema.

Desigur, această listă de dovezi este departe de a fi completă. Teorema lui Pitagora poate fi demonstrată și folosind vectori, numere complexe, ecuatii diferentiale, stereometria etc. Și chiar și fizicienii: dacă, de exemplu, lichidul este turnat în volume pătrate și triunghiulare similare cu cele prezentate în desene. Prin turnarea lichidului, este posibil să se demonstreze egalitatea ariilor și ca rezultat teorema în sine.

Câteva cuvinte despre tripleții pitagoreici

Această problemă este puțin sau nu studiată în programa școlară. Între timp, este foarte interesant și are mare importanțăîn geometrie. Triplele pitagorice sunt folosite pentru a rezolva multe probleme matematice. Ideea acestora vă poate fi utilă în educația ulterioară.

Deci, ce sunt tripleții pitagoreici? Așa-numitele numere naturale, adunate în trei, suma pătratelor a două dintre ele este egală cu al treilea număr la pătrat.

Triplele pitagorice pot fi:

• primitive (toate cele trei numere sunt relativ prime);
• non-primitiv (dacă fiecare număr al unui triplu este înmulțit cu același număr, obțineți un nou triplu care nu este primitiv).

Chiar înainte de epoca noastră, egiptenii antici erau fascinați de mania pentru numerele de tripleți pitagoreici: în sarcini considerau un triunghi dreptunghic cu laturile de 3,4 și 5 unități. Apropo, orice triunghi ale cărui laturi sunt egale cu numerele din triplul lui Pitagora este implicit dreptunghiular.

Exemple de triple pitagorice: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) etc.

Aplicarea practică a teoremei

Teorema lui Pitagora își găsește aplicație nu numai în matematică, ci și în arhitectură și construcții, astronomie și chiar literatură.

Mai întâi despre construcție: teorema lui Pitagora se găsește în ea aplicare largăîn sarcini de diferite niveluri de complexitate. De exemplu, uitați-vă la fereastra romanică:

Să notăm lățimea ferestrei ca b, atunci raza semicercului mare poate fi notată ca Rși exprimați prin b: R=b/2. Raza semicercurilor mai mici poate fi exprimată și în termeni de b: r=b/4. În această problemă, ne interesează raza cercului interior al ferestrei (să-i spunem p).

Teorema lui Pitagora este utilă de calculat R. Pentru a face acest lucru, folosim un triunghi dreptunghic, care este indicat printr-o linie punctată în figură. Ipotenuza unui triunghi este formată din două raze: b/4+p. Un picior este o rază b/4, o alta b/2-p. Folosind teorema lui Pitagora, scriem: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Apoi, deschidem parantezele și obținem b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Să transformăm această expresie în bp/2=b2/4-bp. Și apoi împărțim toți termenii în b, le dăm similare pentru a obține 3/2*p=b/4. Și până la urmă găsim asta p=b/6- care este ceea ce aveam nevoie.

Folosind teorema, puteți calcula lungimea căpriorii pt acoperiș în fronton. Determinați cât de înalt este necesar un turn mobil pentru ca semnalul să ajungă la o anumită așezare. Și chiar și instalați în mod constant un brad de Crăciun în piața orașului. După cum puteți vedea, această teoremă trăiește nu numai pe paginile manualelor, ci este adesea utilă în viața reală.

În ceea ce privește literatura, teorema lui Pitagora a inspirat scriitori încă din antichitate și continuă să o facă și astăzi. De exemplu, scriitorul german din secolul al XIX-lea Adelbert von Chamisso a fost inspirat de ea să scrie un sonet:

Lumina adevărului nu se va risipi curând,
Dar, după ce a strălucit, este puțin probabil să se risipească
Și, ca acum mii de ani,
Nu va provoca îndoieli și dispute.

Cel mai înțelept când atinge ochiul
Lumină a adevărului, mulțumesc zeilor;
Și o sută de tauri, înjunghiați, mint -
Darul de întoarcere al norocosului Pitagora.

De atunci, taurii urlă disperați:
A trezit pentru totdeauna tribul taurului
eveniment menționat aici.

Ei cred că e timpul
Și din nou vor fi sacrificați
O teoremă grozavă.

(traducere de Viktor Toporov)

Și în secolul al XX-lea, scriitorul sovietic Evgheni Veltistov în cartea sa „Aventurile electronice” a dedicat un întreg capitol dovezilor teoremei lui Pitagora. Și jumătate de capitol dintr-o poveste despre o lume bidimensională care ar putea exista dacă teorema lui Pitagora ar deveni legea fundamentală și chiar religia pentru o singură lume. Ar fi mult mai ușor să trăiești în ea, dar și mult mai plictisitor: de exemplu, nimeni acolo nu înțelege sensul cuvintelor „rotund” și „pufos”.

Iar în cartea „Aventurile electronicii”, autorul, prin gura profesorului de matematică Taratara, spune: „Principalul lucru în matematică este mișcarea gândirii, ideile noi”. Acest zbor creativ al gândirii este cel care generează teorema lui Pitagora - nu degeaba are atât de multe dovezi diverse. Ajută să depășești ceea ce este obișnuit și să privești lucrurile familiare într-un mod nou.

Concluzie

Acest articol a fost creat astfel încât să puteți privi dincolo de programa școlară în matematică și să învățați nu numai acele dovezi ale teoremei lui Pitagora care sunt date în manualele „Geometrie 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) și „Geometrie 7 -11”. ” (A.V. Pogorelov), dar și alte modalități curioase de a demonstra celebra teoremă. Și vedeți, de asemenea, exemple despre cum poate fi aplicată teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi.

În primul rând, aceste informații vă vor permite să obțineți scoruri mai mari la cursurile de matematică - informațiile despre subiect din surse suplimentare sunt întotdeauna foarte apreciate.

În al doilea rând, am vrut să vă ajutăm să vă simțiți cât de interesantă este matematica. Să te convingi prin exemple concrete că există întotdeauna un loc pentru creativitate în ea. Sperăm că teorema lui Pitagora și acest articol vă vor inspira să faceți propriile cercetări și descoperiri interesante în matematică și alte științe.

Spune-ne în comentarii dacă ai găsit interesante dovezile prezentate în articol. Ți s-au părut utile aceste informații în studiile tale? Spune-ne ce părere ai despre teorema lui Pitagora și despre acest articol - vom fi bucuroși să discutăm despre toate acestea cu tine.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

O demonstrație jucăușă a teoremei lui Pitagora; tot în glumă despre pantalonii largi ai unui prieten.

• - triplete de numere întregi pozitive x, y, z care satisfac ecuația x2+y 2=z2...

  Enciclopedie matematică

• - triple de numere naturale astfel încât un triunghi, ale cărui lungimi ale laturilor sunt proporționale cu aceste numere, să fie dreptunghiular, de exemplu. triplu de numere: 3, 4, 5...

  Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

• - vezi Racheta de salvare...

  Vocabular marin

• - triple ale numerelor naturale astfel încât un triunghi ale cărui lungimi ale laturilor sunt proporționale cu aceste numere este dreptunghic...

  Marea Enciclopedie Sovietică

• - mil. Neschimbat O expresie folosită atunci când enumerează sau contrastează două fapte, fenomene, circumstanțe...

  Dicţionar frazeologic educaţional

• - Din romanul distopic „Ferma animalelor” al scriitorului englez George Orwell...
• - Pentru prima dată se găsește în satira „Jurnalul unui liberal din Sankt Petersburg” a lui Mihail Evgrafovich Saltykov-Shchedrin, care a descris atât de viu poziția ambivalentă și lașă a liberalilor ruși - lor ...

  Dicţionar cuvinte înaripateși expresii

• - Se spune în cazul în care interlocutorul a încercat să spună ceva timp îndelungat și neclar, aglomerat ideea principală cu detalii minore...

  Dicţionar de frazeologie populară

• - Numărul de butoane este cunoscut. De ce este pula înghesuită? - despre pantaloni si organul genital masculin. . Pentru a demonstra acest lucru, este necesar să înlăturăm și să arătăm 1) despre teorema lui Pitagora; 2) despre pantaloni largi...

  Discurs viu. Dicţionar de expresii colocviale

• - Mier. Nu există nemurire a sufletului, deci nu există virtute, „asta înseamnă că totul este permis”... O teorie seducătoare pentru ticăloși... Un lăudăros, dar esența este întregul: pe de o parte, nu se poate decât mărturisesc, iar pe de altă parte, nu se poate decât să mărturisească...

  Dicționar explicativ-frazeologic al lui Michelson

• - Pantaloni pitagoreici străin. despre o persoană talentată. mier Acesta este înțeleptul fără îndoială. În antichitate, probabil că ar fi inventat pantalonii pitagoreici... Saltykov. Litere pestrițe...
• - Dintr-o parte - din cealaltă parte. mier Nu există nemurirea sufletului, deci nu există virtute, „înseamnă că totul este permis”... O teorie seducătoare pentru ticăloși.....

  Dicționar frazeologic explicativ Michelson (original orf.)

• - Denumirea comică a teoremei lui Pitagora, care a apărut datorită faptului că pătratele construite pe laturile unui dreptunghi și divergente în direcții diferite seamănă cu tăietura pantalonilor ...
• - PE O PARTE PE CEALALTA MÂNĂ. Carte...

  Dicționar frazeologic al limbii literare ruse

• - Vezi RANGURI -...

  IN SI. Dal. Proverbe ale poporului rus

• - Zharg. şcoală Navetă. Pitagora. ...

  Marele dicționar de zicale rusești

„Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile” în cărți

11. Pantaloni pitagoreici