Analiza dimensiunilor mărimilor fizice. Analiza dimensionala

Mărimile fizice, a căror valoare numerică nu depinde de scara aleasă a unităților, se numesc adimensionale. Exemple de mărimi adimensionale sunt unghiul (raportul dintre lungimea arcului și raza), indicele de refracție al materiei (raportul dintre viteza luminii în vid și viteza luminii în materie).

Mărimile fizice care își schimbă valoarea numerică atunci când scara unităților este modificată se numesc dimensionale. Exemple de mărimi dimensionale sunt lungimea, forța etc. Expresia unei unități a unei mărimi fizice în termeni de unități de bază se numește dimensiunea (sau formula dimensiunii). De exemplu, dimensiunea forței în sistemele CGS și SI este exprimată prin formula

Considerațiile de dimensiune pot fi folosite pentru a verifica corectitudinea răspunsurilor obținute la rezolvarea problemelor fizice: părțile din dreapta și din stânga expresiilor obținute, precum și termenii individuali din fiecare dintre părți, trebuie să aibă aceeași dimensiune.

Metoda dimensiunilor poate fi folosită și pentru a obține formule și ecuații, atunci când știm de ce parametri fizici poate depinde valoarea dorită. Esența metodei este cel mai ușor de înțeles cu exemple concrete.

Aplicatii ale metodei dimensiunilor. Luați în considerare o problemă pentru care răspunsul ne este bine cunoscut: cu ce viteză va cădea un corp la pământ, căzând liber, fără o viteză inițială de la înălțime, dacă rezistența aerului poate fi neglijată? În loc de un calcul direct bazat pe legile mișcării, vom argumenta după cum urmează.

Să ne gândim de ce poate depinde viteza dorită. Este evident că trebuie să depindă de înălțimea inițială și de accelerația căderii libere Se poate presupune, urmând Aristotel, că depinde și de masă. Deoarece pot fi adăugate numai valori de aceeași dimensiune, se poate propune următoarea formulă pentru viteza dorită:

unde C este o constantă adimensională (coeficient numeric), iar x, y și z sunt numere necunoscute, care ar trebui determinat.

Dimensiunile părților din dreapta și din stânga acestei egalități trebuie să fie aceleași, iar această condiție poate fi utilizată pentru a determina exponenții x, y, z în (2). Dimensiunea vitezei este dimensiunea înălțimii, dimensiunea accelerației în cădere liberă este , iar în sfârșit, dimensiunea masei este M. Deoarece constanta C este adimensională, formula (2) corespunde următoarei egalități de dimensiuni:

Această egalitate trebuie să fie valabilă indiferent de valorile numerice. Prin urmare, este necesar să se echivaleze exponenții la și M în părțile din stânga și din dreapta ale egalității (3):

Din acest sistem de ecuații, obținem Prin urmare, formula (2) ia forma

Valoarea adevărată a vitezei, după cum se știe, este egală cu

Deci, abordarea utilizată a făcut posibilă determinarea corectă a dependenței de și și nu a făcut posibilă găsirea valorii

constanta adimensională C. Deși nu am reușit să obținem un răspuns exhaustiv, s-au obținut totuși informații foarte semnificative. De exemplu, putem afirma cu deplină certitudine că dacă înălțimea inițială este de patru ori, viteza în momentul căderii se va dubla și că, contrar părerii lui Aristotel, această viteză nu depinde de masa corpului în cădere.

Alegerea opțiunilor. Atunci când se utilizează metoda dimensiunilor, trebuie în primul rând identificați parametrii care determină fenomenul luat în considerare. Acest lucru este ușor de făcut dacă sunt cunoscute legile fizice care îl descriu. Într-o serie de cazuri, parametrii care determină fenomenul pot fi specificați chiar și atunci când legile fizice sunt necunoscute. De regulă, trebuie să știți mai puțin pentru a utiliza metoda analizei dimensionale decât pentru a scrie ecuații de mișcare.

Dacă numărul de parametri care determină fenomenul studiat este mai mare decât numărul de unități de bază pe care este construit sistemul de unități ales, atunci, desigur, toți exponenții din formula propusă pentru valoarea căutată nu pot fi determinați. În acest caz, este util în primul rând să se determine toate combinațiile independente adimensionale ale parametrilor aleși. Apoi, mărimea fizică dorită va fi determinată nu de o formulă de tip (2), ci de produsul unei combinații (cea mai simplă) de parametri care are dimensiunea dorită (adică dimensiunea mărimii dorite) printr-o funcție de parametrii adimensionali găsiți.

Este ușor de observat că în exemplul de mai sus al unui corp care cade de la înălțime, este imposibil să se formeze o combinație adimensională din cantități și combinația fără dimensiuni. Prin urmare, formula (2) epuizează toate cazurile posibile.

Parametru fără dimensiune. Să luăm acum în considerare următoarea problemă: determinăm intervalul zborului orizontal al unui proiectil tras în direcție orizontală cu o viteză inițială de la un tun situat pe un munte de înălțime.

În absența rezistenței aerului, numărul de parametri de care poate depinde intervalul dorit este egal cu patru: și m. Deoarece numărul de unități de bază este egal cu trei, o soluție completă a problemei prin metoda dimensiunilor este imposibilă . Să găsim mai întâi toți parametrii independenți adimensionali y care pot fi alcătuiți din și

Această expresie corespunde următoarei egalități de dimensiuni:

De aici obținem sistemul de ecuații

care dă şi pentru parametrul adimensional dorit obţinem

Se poate observa că singurul parametru independent adimensional din problema luată în considerare este .

unde este funcţia încă necunoscută a parametrului adimensional.Metoda dimensiunilor (în versiunea prezentată) nu permite determinarea acestei funcţii. Dar dacă știm de undeva, de exemplu, din experiență, că intervalul dorit este proporțional cu viteza orizontală a proiectilului, atunci forma funcției este imediat determinată: viteza trebuie să intre în ea la prima putere, adică.

Acum de la (5) pentru raza de acțiune a proiectilului obținem

care se potrivește cu răspunsul corect

Subliniem că, prin această metodă de determinare a tipului de funcție, este suficient să cunoaștem natura dependenței stabilite experimental a intervalului de zbor nu de toți parametrii, ci doar de unul dintre ei.

Unități vectoriale de lungime. Dar este posibil să se determine intervalul (7) doar din considerente dimensionale, dacă creștem la patru numărul de unități de bază prin care se exprimă parametrii etc. Până acum, la scrierea formulelor de dimensiuni, nu se făcea distincție între unitățile de lungime în direcțiile orizontale și verticale. Cu toate acestea, o astfel de distincție poate fi introdusă pe baza faptului că gravitația acționează doar pe verticală.

Să notăm dimensiunea lungimii în direcția orizontală și în direcția verticală - prin Atunci dimensiunea intervalului de zbor în direcția orizontală va fi dimensiunea înălțimii va fi dimensiunea vitezei orizontale va fi și pentru accelerație

cădere liberă obținem Acum, privind formula (5), vedem că singura modalitate de a obține dimensiunea corectă pe partea dreaptă este să o considerăm proporțională. Ajungem din nou la formula (7).

Desigur, având patru unități de bază și M, se poate construi direct valoarea dimensiunii necesare din patru parametri și

Egalitatea dimensiunilor stângi şi părțile potrivite are forma

Sistemul de ecuații pentru x, y, z și și dă valorile și ajungem din nou la formula (7).

Diferitele unități de lungime utilizate aici în direcții reciproc perpendiculare sunt uneori denumite unități vectoriale de lungime. Aplicarea lor extinde semnificativ posibilitățile metodei de analiză dimensională.

Când utilizați metoda analizei dimensionale, este util să dezvoltați abilități în așa măsură încât să nu faceți un sistem de ecuații pentru exponenții din formula dorită, ci să le selectați direct. Să ilustrăm acest lucru în următoarea problemă.

O sarcină

Raza maximă. În ce unghi față de orizontală trebuie aruncată o piatră pentru a maximiza raza de zbor orizontală?

Soluţie. Să presupunem că am „uitat” toate formulele cinematice și să încercăm să obținem un răspuns din considerente dimensionale. La prima vedere, poate părea că metoda dimensiunilor nu este deloc aplicabilă aici, deoarece o funcție trigonometrică a unghiului de aruncare trebuie să intre în răspuns. Prin urmare, în loc de unghiul a în sine, vom încerca să căutăm o expresie pentru interval.Este clar că nu ne putem lipsi de unități vectoriale de lungime.

Trebuie subliniat că scopul final în cazul în cauză rămâne același: găsirea numerelor de similaritate pentru care ar trebui efectuată modelarea, dar este rezolvată cu o cantitate semnificativ mai mică de informații despre natura procesului.

Pentru a clarifica ceea ce urmează, vom trece în revistă pe scurt câteva dintre conceptele fundamentale. O prezentare detaliată poate fi găsită în cartea lui A.N. Lebedev „Modelarea în cercetarea științifică și tehnică”. - M.: Radio și comunicații. 1989. -224 p.

Orice obiect material are o serie de proprietăți care permit exprimarea cantitativă. Mai mult, fiecare dintre proprietăți este caracterizată de mărimea unei anumite cantități fizice. Unitățile unor mărimi fizice pot fi alese în mod arbitrar, iar cu ajutorul lor reprezintă unitățile tuturor celorlalte. Unitățile fizice alese în mod arbitrar sunt numite principal. În sistemul internațional (așa cum se aplică mecanicii), acesta este kilogramul, metrul și secunda. Restul cantităților exprimate în termenii acestor trei sunt numite derivate.

Unitatea de bază poate fi indicată fie prin simbolul cantității corespunzătoare, fie printr-un simbol special. De exemplu, unitățile de lungime sunt L, unități de masă - M, unitate de timp - T. Sau, unitatea de lungime este metrul (m), unitatea de masă este kilogramul (kg), unitatea de timp este secunda (s).

Dimensiunea este înțeleasă ca o expresie simbolică (numită uneori formulă) sub forma unui monom de putere, conectând valoarea derivată cu cele principale. Forma generală a acestei regularități are forma

Unde X, y, z- Indicatori de dimensiune.

De exemplu, dimensiunea vitezei

Pentru o cantitate adimensională, toți indicatorii , și, prin urmare .

Următoarele două afirmații sunt destul de clare și nu au nevoie de dovezi speciale.

Raportul dintre dimensiunile a două obiecte este o valoare constantă, indiferent de unitățile în care sunt exprimate. Deci, de exemplu, dacă raportul dintre suprafața ocupată de ferestre și suprafața pereților este de 0,2, atunci acest rezultat va rămâne neschimbat dacă zonele în sine sunt exprimate în mm2, m2 sau km2.

A doua poziție poate fi formulată după cum urmează. Orice relație fizică corectă trebuie să fie uniformă dimensional. Aceasta înseamnă că toți termenii incluși atât în partea dreaptă cât și în partea stângă a acestuia trebuie să aibă aceeași dimensiune. Această regulă simplă este clar implementată în viața de zi cu zi. Toată lumea realizează că metrii pot fi adăugați doar la metri și nu la kilograme sau secunde. Trebuie să se înțeleagă clar că regula rămâne valabilă și atunci când se consideră chiar și cele mai complexe ecuații.

Metoda analizei dimensionale se bazează pe așa-numita teoremă (a se citi: teorema pi). -teorema stabilește o legătură între o funcție exprimată în termeni de parametri dimensionali și o funcție într-o formă adimensională. Teorema poate fi formulată mai complet după cum urmează:

Orice relație funcțională între mărimile dimensionale poate fi reprezentată ca o relație între N complexe (numere) adimensionale compuse din aceste mărimi. Numărul acestor complexe , Unde n- numărul de unități de bază. După cum sa menționat mai sus, în hidromecanică (kg, m, s).

Să fie, de exemplu, valoarea DAR este o funcție a mărimii cu cinci dimensiuni (), adică

(13.12)

Din teorema - rezultă că această dependență poate fi transformată într-o dependență care conține două numere ( )

(13.13)

unde si sunt complexe adimensionale compuse din marimi dimensionale.

Această teoremă este uneori atribuită lui Buckingham și se numește - teorema lui Buckingham. De fapt, mulți oameni de știință proeminenți au contribuit la dezvoltarea sa, inclusiv Fourier, Ryabushinsky și Rayleigh.

Dovada teoremei depășește domeniul de aplicare al cursului. Dacă este necesar, poate fi găsit în cartea lui L.I. Sedov „Metode de similaritate și dimensiuni în mecanică” - M .: Nauka, 1972. - 440 p. O justificare detaliată a metodei este dată și în cartea lui V.A.Venikov și G.V.Venikov „Teoria asemănării și modelării” - M.: Higher school, 1984. -439 p. O caracteristică a acestei cărți este că, pe lângă aspectele legate de similitudine, include informații despre metodologia de înființare a unui experiment și de procesare a rezultatelor acestuia.

Utilizarea analizei dimensionale pentru rezolvarea unor probleme practice specifice este asociată cu necesitatea compilării unei dependențe funcționale a formei (13.12), care în etapa următoare este prelucrată prin tehnici speciale care duc în cele din urmă la obținerea numerelor (numere de similaritate).

Etapa principală de creație este prima etapă, deoarece rezultatele obținute depind de cât de corectă și completă este înțelegerea de către cercetător a naturii fizice a procesului. Cu alte cuvinte, modul în care dependența funcțională (13.12) ia în considerare corect și pe deplin toți parametrii care afectează procesul studiat. Orice greșeală aici duce inevitabil la concluzii eronate. Așa-numita „eroare Rayleigh” este cunoscută în istoria științei. Esența sa este că atunci când a studiat problema transferului de căldură în flux turbulent, Rayleigh nu a ținut cont de influența vâscozității curgerii, adică. nu a inclus-o în dependență (13.12). Ca urmare, rapoartele finale obținute de el nu au inclus numărul de similitudine Reynolds, care joacă un rol extrem de important în transferul de căldură.

Pentru a înțelege esența metodei, luați în considerare un exemplu, ilustrând atât abordarea generală a problemei cât şi metoda de obţinere a numerelor de asemănare.

Este necesar să se stabilească tipul de dependență care face posibilă determinarea pierderii de presiune sau a pierderii de sarcină în debit turbulent în țevi rotunde.

Amintiți-vă că această problemă a fost deja luată în considerare în Secțiunea 12.6. Prin urmare, este de neîndoielnic interes să se stabilească cum poate fi rezolvată folosind analiza dimensională și dacă această soluție oferă informații noi.

Este clar că căderea de presiune de-a lungul țevii, din cauza energiei cheltuite pentru a depăși forțele de frecare vâscoasă, este invers proporțională cu lungimea acesteia, prin urmare, pentru a reduce numărul de variabile, este recomandabil să luați în considerare nu , ci , adică pierderea de presiune pe unitatea de lungime a conductei. Reamintim că raportul , unde este pierderea de presiune, se numește pantă hidraulică.

Din conceptul de natura fizică a procesului, se poate presupune că pierderile rezultate ar trebui să depindă de: debitul mediu al mediului de lucru (v); pe dimensiunea conductei, determinată de diametrul acesteia ( d); din proprietăți fizice mediu transportat, caracterizat prin densitatea () și vâscozitatea (); și, în sfârșit, este rezonabil să presupunem că pierderile trebuie să fie oarecum legate de starea suprafeței interioare a conductei, adică. cu rugozitate ( k) a pereților săi. Astfel, dependența (13.12) în cazul în cauză are forma

(13.14)

Acesta este sfârșitul primului și, trebuie subliniat, cel mai important pas în analiza dimensiunilor.

În conformitate cu teorema -, numărul de parametri de influență incluși în dependență este . În consecință, numărul de complexe adimensionale, i.e. după prelucrarea corespunzătoare (13.14) ar trebui să ia forma

(13.15)

Există mai multe moduri de a găsi numere. Vom folosi metoda propusă de Rayleigh.

Principalul său avantaj este că este un fel de algoritm care duce la rezolvarea problemei.

Dintre parametrii incluși în (13.15) este necesar să alegeți oricare trei, dar astfel încât să includă unitățile de bază, i.e. metru, kilogram și secundă. Să fie v, d, . Este ușor de verificat dacă îndeplinesc cerințele menționate.

Numerele sunt formate sub formă de monomii de putere din parametrii selectați înmulțiți cu unul dintre cei rămași în (13.14)

; (13.16)

; (13.17)

; (13.18)

Acum problema se reduce la găsirea tuturor exponenților. În același timp, acestea trebuie selectate astfel încât numerele să fie adimensionale.

Pentru a rezolva această problemă, determinăm mai întâi dimensiunile tuturor parametrilor:

; ;

Viscozitate , adică .

Parametru , și .

Și, în sfârșit, .

Astfel, dimensiunile numerelor vor fi

La fel, celelalte două

La începutul Secțiunii 13.3, sa remarcat deja că pentru orice mărime adimensională, exponenții dimensionali . Prin urmare, de exemplu, pentru un număr putem scrie

Echivalând exponenții, obținem trei ecuații cu trei necunoscute

Unde găsim; ; .

Înlocuind aceste valori în (13.6), obținem

(13.19)

Procedând în mod similar, este ușor să arătăm asta

și .

Astfel, dependența (13.15) ia forma

(13.20)

Deoarece există un număr de similaritate nedefinitiv (numărul Euler), atunci (13.20) poate fi scris ca o dependență funcțională

(13.21)

Trebuie avut în vedere că analiza dimensiunilor nu oferă și, în principiu, nu poate da nicio valoare numerică în rapoartele obținute cu ajutorul ei. Prin urmare, ar trebui să se încheie cu o analiză a rezultatelor și, dacă este necesar, corectarea acestora pe baza unor concepte fizice generale. Să luăm în considerare expresia (13.21) din aceste poziții. Partea sa dreaptă include pătratul vitezei, dar această intrare nu exprimă altceva decât faptul că viteza este la pătrat. Totuși, dacă împărțim această valoare la două, adică , apoi, după cum se știe din hidromecanică, capătă o semnificație fizică importantă: specificul energie kinetică, a - presiunea dinamică datorită vitezei medii. Ținând cont de acest lucru, este oportun să scrieți (13.21) sub formă

(13.22)

Dacă acum, ca în (12.26), notăm cu litera , atunci ajungem la formula Darcy

(13.23)

(13.24)

unde este coeficientul hidraulic de frecare, care, după cum reiese din (13.22), este o funcție a numărului Reynolds și a rugozității relative ( k/d). Forma acestei dependențe poate fi găsită doar experimental.

LITERATURĂ

1. Kalnitsky L.A., Dobrotin D.A., Zheverzheev V.F. Curs special de matematică superioară pentru instituțiile de învățământ superior. M.: Liceu, 1976. - 389s.

2. Astarita J., Marruchi J. Fundamentals of hydromechanics of non-newtonian fluids. - M.: Mir, 1978.-307p.

3. Fedyaevsky K.K., Faddeev Yu.I. Hidromecanica. - M.: Construcţii navale, 1968. - 567 p.

4. Fabricant N.Ya. Aerodinamica. - M.: Nauka, 1964. - 814 p.

5. Arzhanikov N.S. și Maltsev V.N. Aerodinamica. - M.: Oborongiz, 1956 - 483 p.

6. Filchakov P.F. Metode aproximative de mapări conforme. - K .: Naukova Dumka, 1964. - 530 p.

7. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Metode ale teoriei funcțiilor unei variabile complexe. - M.: Nauka, 1987. - 688 p.

8. Daly J., Harleman D. Mecanica fluidelor. -M.: Energie, 1971. - 480 p.

9. LA FEL DE. Monin, A.M. Yaglom „Hidromecanică statistică” (partea 1. - M .: Nauka, 1968. - 639 p.)

10. Schlichting G. Teoria stratului limită. - M.: Nauka, 1974. - 711 p.

11. Pavlenko V.G. Fundamentele mecanicii fluidelor. - L.: Construcţii navale, 1988. - 240 p.

12. Altshul A.D. rezistenta hidraulica. - M.: Nedra, 1970. - 215 p.

13. A.A. Gukhman „Introducere în teoria similitudinii”. - M.: Şcoala superioară, 1963. - 253 p.

14. S. Kline „Similitudini și metode aproximative”. - M.: Mir, 1968. - 302 p.

15. A.A. Gukhman „Aplicarea teoriei similitudinii la studiul proceselor de transfer de căldură și masă. Procesele de transfer într-un mediu în mișcare. - M.: Scară superioară, 1967. - 302 p.

16. A.N. Lebedev „Modelarea în cercetarea științifică și tehnică”. - M.: Radio și comunicații. 1989. -224 p.

17. L.I. Sedov „Metode de similitudine și dimensiuni în mecanică” - M .: Nauka, 1972. - 440 p.

18. V.A.Venikov și G.V.Venikov „Teoria similarității și modelării” - M.: Școala superioară, 1984. -439 p.

1. APARATURĂ MATEMATICĂ FOLOSITĂ ÎN MECANICA FLUIIDELOR .......................................... ............................. ................................. ................... ..... 3

1.1. Vectori și operații asupra acestora ................................................. ................. ...... patru

1.2. Operații de ordinul întâi (caracteristicile diferențiale ale câmpului). ................................................. . ................................................ .. ... 5

1.3. Operații de ordinul al doilea.................................................................. .............. ......... 6

1.4. Relații integrale ale teoriei câmpului............................................................. .. 7

1.4.1. Fluxul câmpului vectorial ................................................. ............... ... 7

1.4.2. Circulația vectorului câmp ............................................. .. 7

1.4.3. Formula Stokes ................................................. .. ............. 7

1.4.4. Formula Gauss-Ostrogradsky............................. 7

2. PROPRIETĂȚI FIZICE DE BAZĂ ȘI PARAMETRI AI LICHIDULUI. FORȚE ȘI TENSURI .................................................. ................ ............................ opt

2.1. Densitate................................................. ................................... opt

2.2. Viscozitate................................................. ............................................. 9

2.3. Clasificarea forțelor ............................................................. ...................... 12

2.3.1. Forțele de masă ............................................................. ............. ............. 12

2.3.2. Forțele de suprafață ............................................................. .............. .... 12

2.3.3. Tensorul de stres ............................................................. .............. ...... 13

2.3.4. Ecuația mișcării în tensiuni .................................. 16

3. HIDROSTATICA................................................... ................................. optsprezece

3.1. Ecuația de echilibru al fluidului.................................................. 18

3.2. Ecuația de bază a hidrostaticii în formă diferențială. ................................................. . ................................................ .. ... 19

3.3. Suprafețe echipotențiale și suprafețe de presiune egală. ................................................. . ................................................ .. ... douăzeci

3.4. Echilibrul unui fluid incompresibil omogen în câmpul gravitațional. legea lui Pascal. Legea hidrostatică a distribuției presiunii... 20

3.5. Determinarea forței presiunii lichidului pe suprafața corpurilor .... 22

3.5.1. Suprafață plană................................................ .... 24

4. CINEMATICA................................................... ............................................. 26

4.1. Mișcarea constantă și instabilă a unui fluid ...... 26

4.2. Ecuația de continuitate (continuitate)............................................. .. 27

4.3. Linii și traiectorii ............................................................. ............. ........... 29

4.4. Tub de curgere (suprafața curentului) ................................................. ...... ... 29

4.5. Model de flux cu jet ................................................ ............. ........... 29

4.6. Ecuația de continuitate pentru un filtru ................................................ .. 30

4.7. Accelerarea unei particule lichide ............................................. .............. ...... 31

4.8. Analiza mișcării unei particule lichide ................................................ .... 32

4.8.1. Deformații unghiulare ............................................................. .............. ... 32

4.8.2. Deformații liniare ............................................................. .............. .36

5. MIȘCAREA VORTEXULUI A UNUI LICHID .................................................. ................... .38

5.1. Cinematica mișcării vortexului.................................................. 38

5.2. Intensitatea vortexului ................................................. ............. ................ 39

5.3. Viteza de circulație ............................................................. ............................. 41

5.4. Teorema lui Stokes.................................................. .... ......................... 42

6. MIȘCAREA POTENȚIALĂ A LICHIDului ................................................ .44

6.1. Potențial de viteză ................................................. ................ ................. 44

6.2. Ecuația Laplace ................................................. .. ................... 46

6.3. Circulația vitezei într-un câmp potențial.................................. 47

6.4. Funcția curentului de curgere plană ............................................. .................... .47

6.5. Semnificaţia hidromecanica a funcţiei curente .............................. 49

6.6. Relația dintre potențialul de viteză și funcția de curent ............................. 49

6.7. Metode de calcul a fluxurilor potențiale ................................................ .50

6.8. Suprapunerea fluxurilor potențiale.................................................. ...... 54

6.9. Curge necirculantă pe lângă un cilindru circular .................. 58

6.10. Aplicarea teoriei funcțiilor unei variabile complexe la studiul fluxurilor plane ale unui fluid ideal ..... 60

6.11. Mapări conforme ............................................................. .............. ..... 62

7. HIDRODINAMICA UNUI LICHID IDEAL .............................. 65

7.1. Ecuațiile mișcării pentru un fluid ideal.................................. 65

7.2. Transformarea Gromeka-Miel.............................................. 66

7.3. Ecuația mișcării sub forma Gromeka-Lamb .............................. 67

7.4. Integrarea ecuației de mișcare pentru un flux constant........................................... .......................... ................................ ......................... ........... 68

7.5. Derivarea simplificată a ecuației lui Bernoulli.................................. 69

7.6. Semnificația energetică a ecuației Bernoulli ................................. 70

7.7. Ecuația lui Bernoulli sub formă de capete........................................... .... 71

8. HIDRODINAMICA UNUI LICHID VÂSCOS ............................................. ... 72

8.1. Modelul unui fluid vâscos ............................................................. .............. ........... 72

8.1.1. Ipoteza liniarității ............................................................. .............. ... 72

8.1.2. Ipoteza omogenității ............................................................. .............. 74

8.1.3. Ipoteza izotropiei ............................................................. ............... .74

8.2 Ecuația mișcării unui fluid vâscos. (ecuația Navier-Stokes) ............................................. ................................................... .. ........... 74

9. DEBURĂRI UNIDIMENSIONALE DE LICHID INCOMPRESIBIL (fundamente ale hidraulicii) .............................. ............................. ................................. ................... ................. 77

9.1. Debitul și viteza medie............................................................. ................. 77

9.2. Curgeri slab deformate și proprietățile lor....................... 78

9.3. Ecuația lui Bernoulli pentru curgerea unui fluid vâscos .................................. 79

9.4. Semnificația fizică a coeficientului Coriolis .............................. 82

10. CLASIFICAREA DEBITĂRILOR DE LICHIDE. STABILITATEA MIȘCĂRII .................................................. .................................................. ........... 84

11. REGULARITĂȚI ALE DEBITULUI LAMINAR ÎN Țevile rotunde ........................................... ....................... ................................. ...................... .......... 86

12. PRINCIPALE REGULARITĂȚI ALE MIȘCĂRII TURBULENTE. ................................................. . ................................................ .. ........... 90

12.1. Informatii generale................................................ ... ....................... 90

12.2. Ecuațiile lui Reynolds.............................................................. ............ 92

12.3. Teoriile semi-empirice ale turbulenței.................................................. ... 93

12.4. Debit turbulent în conducte ................................................. 95

12.5. Legile puterii de distribuție a vitezei....................... 100

12.6. Pierderea de presiune (presiune) în timpul curgerii turbulente în conducte. ................................................. . ................................................ .. ... 100

13. FUNDAMENTELE ALE TEORIEI ASEMĂNĂRII ȘI A MODELĂRII .......... 102

13.1. Analiza de inspecție a ecuațiilor diferențiale..... 106

13.2. Conceptul de auto-asemănare ............................................................. ................... .110

13.3. Analiza dimensionala ................................................ .............. ............ 111

Literatură …………………………………………………………………..118

CU MOTIVE CREDIBILE „DE LA sfârșit până la început” ÎN EVALUAREA FACTORILOR DE PROCES TEHNOLOGIC

Informații generale despre metoda analizei dimensionale

Când studiezi fenomene mecanice sunt introduse o serie de concepte, de exemplu, energie, viteză, tensiune etc., care caracterizează fenomenul luat în considerare și pot fi date și determinate cu ajutorul unui număr. Toate întrebările despre mișcare și echilibru sunt formulate ca probleme de determinare a anumitor funcții și valori numerice pentru cantități care caracterizează fenomenul, iar la rezolvarea unor astfel de probleme în studii pur teoretice, legile naturii și diferitele relații geometrice (spațiale) sunt prezentate în formă de ecuații funcționale – de obicei diferențiale.

De foarte multe ori, nu avem posibilitatea de a formula problema într-o formă matematică, deoarece fenomenul mecanic studiat este atât de complex încât nu există încă o schemă acceptabilă pentru el și nu există încă ecuații de mișcare. O astfel de situație o întâlnim atunci când rezolvăm probleme din domeniul mecanicii aeronavelor, hidromecanicii, în problemele studierii rezistenței și deformațiilor etc. În aceste cazuri, rolul principal îl au metodele de cercetare experimentală, care fac posibilă stabilirea celor mai simple date experimentale, care ulterior formează baza unor teorii coerente cu un aparat matematic strict. Cu toate acestea, experimentele în sine pot fi efectuate numai pe baza unei analize teoretice preliminare. Contradicția este rezolvată în timpul procesului iterativ de cercetare, propunând ipoteze și ipoteze și testându-le experimental. În același timp, ele se bazează pe prezența asemănării fenomenelor naturale, ca lege generală. Teoria asemănării și dimensiunilor este într-o anumită măsură „gramatica” experimentului.

Dimensiunea cantităților

Unitățile de măsură ale diferitelor mărimi fizice, combinate pe baza consistenței lor, formează un sistem de unități. În prezent, se utilizează Sistemul Internațional de Unități (SI). În SI, independent unele de altele, sunt alese unitățile de măsură ale așa-numitelor mărimi primare - masa (kilogram, kg), lungime (metru, m), timp (secundă, sec, s), puterea curentului (amperi). , a), temperatura (grad Kelvin, K) și puterea luminii (lumânare, sv). Ele sunt numite unități de bază. Unitățile de măsură ale cantităților rămase, secundare, sunt exprimate în termenii celor principale. Formula care indică dependența unității de măsură a unei mărimi secundare de unitățile principale de măsură se numește dimensiunea acestei mărimi.

Dimensiunea unei marimi secundare se gaseste folosind ecuatia definitorie, care serveste drept definitie a acestei marimi in forma matematica. De exemplu, ecuația definitorie pentru viteza este

Vom indica dimensiunea unei marimi folosind simbolul acestei marimi luate intre paranteze drepte, apoi

, sau
,

unde [L], [T] sunt dimensiunile lungimii și, respectiv, timpului.

Ecuația definitorie a forței poate fi considerată a doua lege a lui Newton

Atunci dimensiunea forței va avea următoarea formă

[F]=[M][L][T] .

Ecuația definitorie și respectiv formula pentru dimensiunea muncii vor avea forma

A=Fs și [A]=[M][L] [T] .

În cazul general, vom avea relația

[Q] =[M] [L] [T] (1).

Să fim atenți la înregistrarea relației de dimensiuni, ne va fi totuși util.

Teoreme de similitudine

Formarea teoriei asemănării în aspectul istoric se caracterizează prin cele trei teoreme principale ale sale.

Prima teoremă a asemănării formulează condițiile și proprietățile necesare ale unor astfel de sisteme, afirmând că fenomenele similare au aceleași criterii de similitudine sub formă de expresii adimensionale, care sunt o măsură a raportului dintre intensitatea a două efecte fizice care sunt esențiale pentru procesul studiat.

A doua teoremă a asemănării(P-teorema) demonstrează posibilitatea reducerii ecuației la o formă de criteriu fără a determina suficiența condițiilor pentru existența asemănării.

A treia teoremă a asemănării indică limitele distribuției regulate a unei singure experiențe, deoarece fenomenele similare vor fi cele care au condiții similare de unicitate și aceleași criterii definitorii.

Astfel, esența metodologică a teoriei dimensiunilor constă în faptul că orice sistem de ecuații care conține o înregistrare matematică a legilor care guvernează fenomenul poate fi formulat ca o relație între mărimi adimensionale. Criteriile determinante sunt compuse din mărimi independente reciproc care sunt incluse în condițiile de unicitate: relații geometrice, parametri fizici, condiții la limită (inițiale și limită). Sistemul de definire a parametrilor trebuie să aibă proprietăți de completitudine. Unii dintre parametrii definitori pot fi constante dimensionale fizice, le vom numi variabile fundamentale, spre deosebire de altele - variabile controlate. Un exemplu este accelerația gravitației. Ea este o variabilă fundamentală. În condiții terestre constantși este o variabilă în condiții de spațiu.

Pentru aplicarea corectă a analizei dimensionale, cercetătorul trebuie să cunoască natura și numărul variabilelor fundamentale și controlate din experimentul său.

În acest caz, există o concluzie practică din teoria analizei dimensionale și constă în faptul că, dacă experimentatorul cunoaște cu adevărat toate variabilele procesului studiat și nu există încă o înregistrare matematică a legii sub forma o ecuație, atunci are dreptul să le transforme prin aplicarea primei părți teoremele lui Buckingham: „Dacă orice ecuație nu este ambiguă în ceea ce privește dimensiunile, atunci poate fi convertită într-o relație care conține un set de combinații adimensionale de mărimi.”

Omogenă în raport cu dimensiunile este o ecuație a cărei formă nu depinde de alegerea unităților de bază.

PS. Modelele empirice sunt de obicei aproximative. Acestea sunt descrieri sub formă de ecuații neomogene. În proiectarea lor, au coeficienți dimensionali care „funcționează” doar într-un anumit sistem de unități de măsură. Ulterior, odată cu acumularea datelor, ajungem la o descriere sub formă de ecuații omogene, adică independente de sistemul de unități de măsură.

Combinații fără dimensiuni, în cauză, sunt produse sau rapoarte de cantități, întocmite în așa fel încât în fiecare combinație de dimensiuni să fie reduse. În acest caz, se formează produsele mai multor cantități dimensionale de natură fizică diferită complexe, raportul dintre mărimile bidimensionale de aceeași natură fizică - simplexe.

În loc să variem fiecare dintre variabile pe rând,iar schimbarea unora dintre ele poate provocadificultăți, cercetătorul nu poate decât să variezecombinatii. Această împrejurare simplifică foarte mult experimentul și face posibilă prezentarea în formă grafică și analizarea datelor obținute mult mai rapid și cu o mai mare acuratețe.

Folosind metoda analizei dimensionale, organizarea raționamentelor plauzibile „de la sfârșit până la început”.

Familiarizându-se cu informatii generale, trebuie acordată o atenție deosebită următoarelor puncte.

Cea mai eficientă utilizare a analizei dimensionale este în prezența unei combinații fără dimensiuni. În acest caz, este suficient să determinați experimental doar coeficientul de potrivire (este suficient să configurați un experiment pentru a compila și rezolva o ecuație). Sarcina devine mai complicată odată cu creșterea numărului de combinații adimensionale. Respectarea cerinței unei descrieri complete a sistemului fizic, de regulă, este posibilă (sau poate ei cred așa) cu o creștere a numărului de variabile luate în considerare. Dar, în același timp, probabilitatea de complicare a formei funcției crește și, cel mai important, cantitatea de muncă experimentală crește brusc. Introducerea unor unități de bază suplimentare ameliorează cumva problema, dar nu întotdeauna și nu complet. Faptul că teoria analizei dimensionale se dezvoltă în timp este foarte încurajator și se orientează către căutarea de noi posibilități.

Ei bine, ce se întâmplă dacă, atunci când căutăm și formăm un set de factori care trebuie luați în considerare, adică, de fapt, recreând structura sistemului fizic studiat, vom folosi organizarea raționamentului plauzibil „de la capăt la început” conform Pappus?

Pentru a înțelege propunerea de mai sus și a consolida bazele metodei analizei dimensionale, ne propunem să analizăm un exemplu de stabilire a relației factorilor care determină eficiența spargerii explozive în timpul exploatării subterane a zăcămintelor de minereu.

Luând în considerare principiile abordării sistemelor, putem judeca pe bună dreptate că două obiecte sistemice care interacționează formează un nou sistem dinamic. În activitățile de producție, aceste obiecte sunt obiectul transformării și instrumentul subiect al transformării.

La spargerea minereului pe baza distrugerii explozive, putem considera masivul minereu și sistemul de încărcături explozive (puțuri) ca atare.

Când se folosesc principiile analizei dimensionale cu organizarea raționamentului plauzibil „de la capăt la început”, obținem următoarea linie de raționament și un sistem de interrelații între parametrii complexului exploziv și caracteristicile matricei.

d m = f 1 (W,I 0 ,t adjunct , s)	d m = k 1 W(st adjunct ¤ eu 0 W) n (1)
eu 0 = f 2 (I c ,V boer ,K și )	eu 0 = k 2 eu c V boer K și (2)
eu c = f 3 (t adjunct ,Q ,A)	eu Cu = k 3 t aer 2/3 Q 2/3 A 1/3 (3)
t aer = f 4 (r zab ,P Max l bine )	t aer = k 4 r zab 1/2 P Max –1/2 l bine (4)
P Max = f 5 (r zar D)	P Max = k 5 r zar D 2 (5)

Denumirile și formulele pentru dimensiunile variabilelor utilizate sunt date în Tabel.

VARIABILE	Desemnare	dimensiuni
Diametrul maxim de concasare	d m	[ L]
Linie de cea mai mică rezistență		[ L]
Rezistența la compresiune a rocilor
Perioada (interval) de decelerare a sablare	t adjunct	[ T]
Impulsul de explozie pe 1 m 3 din matrice	eu 0
Consumul specific de foraj, m/m 3	V boer	[ L -2 ]
Rata de utilizare a puțurilor în sarcină	La este
Impulsul de explozie la 1 m de puț	eu c
Energia de explozie pe 1 m de sarcină
Duritatea acustică a mediului (A=gC)
Timpul de impact al exploziei în puț	t aer	[ T]
densitatea de tulpină	r zab	[ L -3 M]
Lungimea bine	l bine	[ L]
Presiune maximă inițială în puț		[ L -1 M T -2 ]
Densitatea de încărcare în puț	r zar	[ L -3 M]
Viteza de detonare explozivă		[ L T -1 ]

Trecerea de la formula (5) la formula (1), dezvăluind relațiile stabilite, și ținând cont și de relația stabilită anterior între diametrul mediei și diametrul piesei maxime în ceea ce privește prăbușirea

d mier = k 6 d m 2/3 , (6)

obținem ecuația generală pentru relația factorilor care determină calitatea zdrobirii:

d mier = kW 2/3 [ s t adjunct / r zab 1/3 D -2/3 l bine 2/3 M zar 2|3 U secole 2/3 DAR 1/3 V boer La este W] n (7)

Să transformăm ultima expresie pentru a crea complexe adimensionale, ținând cont de:

Q= M zar U secole ; q secole =M zar V boer La este ; M zab =0.25 p r zab d bine 2 ;

Unde M zar este masa sarcinii explozive la 1 m din lungimea sondei, kg/m;

M zab – masa tulpinii în 1 m tulpini, kg/m;

U secole – puterea calorică a explozivilor, kcal/kg.

În numărător și numitor folosim [M zar 1/3 U secole 1/3 (0.25 pd bine 2 ) 1/3 ] . În sfârșit vom obține

Toate complexele și simplexurile au o semnificație fizică. Conform datelor experimentale și a datelor practice, exponentul de putere n=1/3, și coeficient k se determină în funcţie de scara de simplificare a expresiei (8).

Deși succesul analizei dimensionale depinde de o înțelegere corectă a semnificației fizice a unei anumite probleme, după alegerea variabilelor și dimensiunilor de bază, această metodă poate fi aplicată complet automat. Prin urmare, această metodă poate fi enunțată cu ușurință sub formă de prescripție, ținând cont, totuși, de faptul că o astfel de „rețetă” impune cercetătorului să selecteze corect componentele constitutive. Singurul lucru pe care îl putem face aici este să dăm niște sfaturi generale.

Etapa 1. Selectați variabile independente care afectează sistemul. Coeficienții dimensionali și constantele fizice ar trebui, de asemenea, luate în considerare dacă joacă un rol important. Acesta este cel mai responsabilorice etapă a întregii lucrări.

Etapa 2. Alegeți un sistem de dimensiuni de bază prin care puteți exprima unitățile tuturor variabilelor selectate. Următoarele sisteme sunt utilizate în mod obișnuit: în mecanică și dinamica fluidelor MLq(uneori FLq), în termodinamica MLqT sau MLqTH; în inginerie electrică și fizică nucleară MLqLa sau MLqm., în acest caz, temperatura poate fi considerată fie o mărime de bază, fie exprimată în termeni de energie cinetică moleculară.

Etapa 3. Notați dimensiunile variabilelor independente selectate și faceți combinații fără dimensiuni. Soluția va fi corectă dacă: 1) fiecare combinație este adimensională; 2) numărul de combinații nu este mai mic decât cel prezis de teorema p; 3) fiecare variabilă apare în combinații cel puțin o dată.

Etapa 4. Examinați combinațiile rezultate în ceea ce privește acceptabilitatea lor, semnificația fizică și (dacă se utilizează metoda celor mai mici pătrate) concentrația incertitudinii într-o combinație, dacă este posibil. Dacă combinațiile nu îndeplinesc aceste criterii, atunci se poate: 1) obține o altă soluție a ecuațiilor pentru exponenți pentru a găsi cel mai bun set de combinații; 2) alegeți un alt sistem de dimensiuni de bază și faceți toată munca de la bun început; 3) se verifică corectitudinea alegerii variabilelor independente.

Etapă 5. Când se obține un set satisfăcător de combinații adimensionale, cercetătorul poate planifica modificarea combinațiilor prin variarea valorilor variabilelor selectate în echipamentul său. Ar trebui să se acorde o atenție specială proiectării experimentelor.

Atunci când se utilizează metoda analizei dimensionale cu organizarea raționamentului plauzibil „de la sfârșit până la început”, este necesar să se introducă corecții serioase, și mai ales la prima etapă.

Concluzii scurte

Astăzi este posibil să se formeze prevederile conceptuale ale muncii de cercetare conform algoritmului normativ deja stabilit. Urmărirea pas cu pas vă permite să simplificați căutarea unui subiect și să determinați etapele sale de implementare cu acces la prevederi și recomandări științifice. Cunoașterea conținutului procedurilor individuale contribuie la evaluarea lor de către experți și la selectarea celor mai adecvate și eficiente.

Progresul cercetării științifice poate fi prezentată sub forma unei scheme logice, determinată în procesul de realizare a cercetării, evidențiind trei etape care sunt caracteristice oricărei activități:

Etapa pregătitoare: Se mai poate numi etapa de pregătire metodologică a cercetării și formarea suportului metodologic pentru cercetare. Domeniul de activitate este următorul. Definirea problemei, elaborarea unei descrieri conceptuale a subiectului de cercetare și definirea (formularea) temei de cercetare. Întocmirea unui program de cercetare cu formularea sarcinilor și elaborarea unui plan de rezolvare a acestora. Alegerea rezonabilă a metodelor de cercetare. Elaborarea unei metodologii de lucru experimental.

Scena principală: - executiv (tehnologic), implementare program și plan de cercetare.

stadiu final: - prelucrarea rezultatelor cercetării, formularea principalelor prevederi, recomandări, expertize.

Prevederile științifice sunt un nou adevăr științific - acesta este ceea ce trebuie și poate fi apărat. Formularea prevederilor științifice poate fi matematică sau logică. Prevederile științifice ajută la cauza, la rezolvarea problemei. Dispozițiile științifice ar trebui să fie vizate, de ex. reflectă (conțin) tema pentru care au fost rezolvate. Pentru a realiza o legătură generală a conținutului cercetării și dezvoltării cu strategia de implementare a acesteia, se recomandă să se lucreze la structura raportului de cercetare și dezvoltare înainte și (sau) după elaborarea acestor prevederi. În primul caz, lucrul la structura raportului are chiar potențial euristic, contribuie la înțelegerea ideilor de cercetare și dezvoltare, în al doilea caz, acționează ca un fel de testare a strategiei și feedback al managementului cercetării și dezvoltării.

Să ne amintim că există o logică a căutării, a muncii și iată prezentare geek. Prima este dialectică - dinamică, cu cicluri, întoarceri, greu de formalizat, a doua este logica unei stări statice, formale, adică. având o formă strict definită.

Drept concluzie este de dorit să nu încetăm să lucrăm la structura raportului pe toată durata cercetării și astfel episodic „verificați ceasurile DOUĂ LOGICI”.

Sistematizarea problemelor moderne ale mineritului la nivel administrativ contribuie la creșterea eficienței lucrării asupra conceptului.

În sprijinul metodologic al muncii de cercetare, întâlnim adesea situații în care prevederile teoretice privind o anumită problemă nu au fost încă pe deplin dezvoltate. Este oportun să se folosească „leasing” metodologic. Ca exemplu de astfel de abordare și posibilă utilizare a acesteia, prezintă interes metoda analizei dimensionale cu organizarea raționamentului plauzibil „de la capăt la început”.

Termeni și concepte de bază

Obiectul și subiectul activității	Relevanţă	tehnologie minieră
Concept		Unitate de tehnologie minieră
Scopul și stabilirea scopului		Instrumente tehnologice miniere
situație problemă problemă	Structura	Efect fizic și tehnic
Etapele și etapele cercetării		Poziția științifică
Teoreme de similitudine	Dimensiune	Unități de bază

Experiența este exploratorul naturii. Nu înșală niciodată... Trebuie să facem experimente, schimbând circumstanțele, până când extragem din ele reguli generale, pentru că experiența oferă adevăratele reguli.

Leonardo da Vinci

În fizică... nu există loc pentru gânduri confuze...
Cu adevărat înțelegerea naturii
Acest fenomen ar trebui să primească principalul
Legi din considerente de dimensiune. E. Fermi

Descrierea acestei sau aceleia probleme, discutarea problemelor teoretice și experimentale începe cu o descriere calitativă și evaluarea efectului pe care îl dă această lucrare.

Când se descrie o problemă, este necesar, în primul rând, să se evalueze ordinul de mărime al efectului așteptat, cazuri limitative simple și natura relației funcționale a cantităților care descriu acest fenomen. Aceste întrebări se numesc descrierea calitativă a situației fizice.

Una dintre cele mai metode eficiente o astfel de analiză este metoda dimensiunilor.

Iată câteva avantaje și aplicații ale metodei dimensionale:

evaluarea rapidă a amplorii fenomenelor studiate;
obținerea de dependențe calitative și funcționale;
refacerea formulelor uitate la examene;
îndeplinirea unor sarcini ale examenului;
verificarea corectitudinii soluționării problemelor.

Analiza dimensională a fost folosită în fizică încă de pe vremea lui Newton. Newton a fost cel care a formulat, strâns legat de metoda dimensiunilor, principiul asemănării (analogiei).

Elevii întâlnesc pentru prima dată metoda dimensională atunci când studiază radiația termică la cursul de fizică de clasa a XI-a:

Caracteristica spectrală a radiației termice a unui corp este densitatea spectrală a luminozității energetice r v - energia radiației electromagnetice emisă pe unitatea de timp pe unitatea de suprafață a suprafeței corpului într-un interval de frecvență unitar.

Unitatea de măsură a densității spectrale a luminozității energiei este joule pe metru patrat(1 J/m2). Energia radiației termice a unui corp negru depinde de temperatură și lungimea de undă. Singura combinație a acestor mărimi cu dimensiunea lui J/m 2 este kT/ 2 ( = c/v). Calculul exact făcut de Rayleigh și Jeans în 1900, în cadrul teoriei clasice a valurilor, a dat următorul rezultat:

unde k este constanta Boltzmann.

După cum a arătat experiența, această expresie este în concordanță cu datele experimentale numai în regiunea frecvențelor suficient de joase. Pentru frecvențele înalte, în special în regiunea ultravioletă a spectrului, formula Rayleigh-Jeans este incorectă: diferă puternic de experiment. Metodele fizicii clasice s-au dovedit a fi insuficiente pentru a explica caracteristicile radiației corpului negru. Prin urmare, discrepanța dintre rezultatele teoriei valurilor clasice și ale experimentului la sfârșitul secolului al XIX-lea numită „catastrofa ultravioletă”.

Să arătăm aplicarea metodei dimensiunii pe un exemplu simplu și bine înțeles.

Poza 1

Radiația termică a unui corp negru: catastrofă ultravioletă - discrepanță între teoria clasică a radiației termice și experiență.

Imaginează-ți că un corp de masă m se mișcă în linie dreaptă sub acțiunea unei forțe constante F. Dacă viteza inițială a corpului este zero, iar viteza la sfârșitul secțiunii parcurse a traseului de lungime s este egală cu v, atunci putem scrie teorema energiei cinetice: Între valorile F, m, v și s există o legătură funcțională.

Să presupunem că teorema energiei cinetice este uitată, dar înțelegem că dependența funcțională dintre v, F, m și s există și are o lege de putere.

Aici x, y, z sunt câteva numere. Să le definim. Semnul ~ înseamnă că partea stângă a formulei este proporțională cu partea dreaptă, adică unde k este un coeficient numeric, nu are unități de măsură și nu este determinată prin metoda dimensională.

Părțile din stânga și din dreapta ale relației (1) au aceleași dimensiuni. Dimensiunile lui v, F, m și s sunt: [v] = m/c = ms -1 , [F] = H = kgms -2 , [m] = kg, [s] = m. (Simbol [A ] denotă dimensiunea lui A.) Să scriem egalitatea dimensiunilor în părțile din stânga și din dreapta relației (1):

m c -1 = kg x m x c -2x kg y m Z = kg x+y m x+z c -2x .

Nu există kilograme deloc în partea stângă a ecuației, așa că nici în dreapta nu ar trebui să existe.

Înseamnă că

În dreapta, metrii sunt incluși în puterile lui x + z, iar în stânga, în puterile lui 1, deci

În mod similar, dintr-o comparație a exponenților în secunde, rezultă

Din ecuațiile obținute găsim numerele x, y, z:

x=1/2, y=-1/2, z=1/2.

Formula finală arată ca

Prin pătrarea părților stânga și dreaptă ale acestei relații, obținem asta

Ultima formulă este o notație matematică a teoremei energiei cinetice, deși fără un coeficient numeric.

Principiul asemănării, formulat de Newton, este că raportul v 2 /s este direct proporțional cu raportul F/m. De exemplu, două corpuri cu mase diferite m 1 și m 2 ; vom acţiona asupra lor cu forţe diferite F 1 şi F 2 , dar în aşa fel încât rapoartele F 1 / m 1 şi F 2 / m 2 să fie aceleaşi. Sub influența acestor forțe, corpurile vor începe să se miște. Dacă vitezele inițiale sunt egale cu zero, atunci vitezele dobândite de corpurile pe un segment al traseului de lungimea s vor fi egale. Aceasta este legea asemănării, la care am ajuns cu ajutorul ideii de egalitate a dimensiunilor părților din dreapta și din stânga ale formulei, care descrie relația putere-lege a valorii vitezei finale cu valorile forței, masei și lungimii drumului.

Metoda dimensiunilor a fost introdusă la construirea bazelor mecanicii clasice, dar aplicarea sa eficientă pentru rezolvarea problemelor fizice a început la sfârșitul trecutului - la începutul secolului nostru. Un mare merit în promovarea acestei metode și rezolvarea problemelor interesante și importante cu ajutorul ei îi aparține remarcabilului fizician Lord Rayleigh. Rayleigh a scris în 1915: Sunt adesea surprins de puțina atenție care se acordă marelui principiu al similitudinii, chiar și din partea unor oameni de știință foarte eminenți. Se întâmplă adesea ca rezultatele unor cercetări minuțioase să fie prezentate ca „legi” nou descoperite, care, totuși, ar putea fi obținute a priori în câteva minute.

În zilele noastre, fizicienilor nu li se mai poate reproșa o atitudine disprețuitoare sau o atenție insuficientă la principiul asemănării și la metoda dimensiunilor. Luați în considerare una dintre problemele clasice Rayleigh.

Problema lui Rayleigh privind vibrațiile unei mingi pe o sfoară.

Să fie întins un șir între punctele A și B. Forța de întindere a șirului F. În mijlocul acestui șir în punctul C se află o minge grea. Lungimea segmentului AC (și, în consecință, CB) este egală cu 1. Masa M a mingii este mult mai mare decât masa șirului în sine. Sforul este tras și eliberat. Este destul de clar că mingea va oscila. Dacă amplitudinea acestor x oscilații este mult mai mică decât lungimea șirului, atunci procesul va fi armonic.

Să determinăm frecvența vibrațiilor mingii pe sfoară. Fie mărimile , F, M și 1 legate printr-o lege a puterii:

Exponenții x, y, z sunt numerele pe care trebuie să le determinăm.

Să scriem dimensiunile cantităților care ne interesează în sistemul SI:

C -1, [F] = kgm s -2, [M] = kg, = m.

Dacă formula (2) exprimă o regularitate fizică reală, atunci dimensiunile părților din dreapta și din stânga acestei formule trebuie să se potrivească, adică egalitatea

c -1 = kg x m x c -2x kg y m z = kg x + y m x + z c -2x

Partea stângă a acestei ecuații nu include deloc metri și kilograme, iar secundele sunt incluse în puterile - 1. Aceasta înseamnă că pentru x, y și z ecuațiile sunt îndeplinite:

x+y=0, x+z=0, -2x= -1

Rezolvând acest sistem, găsim:

x=1/2, y= -1/2, z= -1/2

Prin urmare,

~F 1/2 M -1/2 1 -1/2

Formula exactă pentru frecvență diferă de cea găsită doar printr-un factor de ( 2 = 2F/(M1)).

Astfel, a fost obținută nu numai o estimare calitativă, ci și o estimare cantitativă a dependenței de valorile lui F, M și 1. În ordinea mărimii, combinația de putere găsită oferă valoarea corectă a frecvenței. Evaluarea este întotdeauna de interes în ordinea mărimii. În problemele simple, coeficienții care nu sunt determinați prin metoda dimensiunilor pot fi adesea considerați numere de ordinul unității. Aceasta nu este o regulă strictă.

Când studiez undele, iau în considerare predicția calitativă a vitezei sunetului prin metoda analizei dimensionale. Căutăm viteza sunetului ca viteză de propagare a unei unde de compresie și rarefacție într-un gaz. Elevii nu au nicio îndoială cu privire la dependența vitezei sunetului într-un gaz de densitatea gazului și presiunea acestuia p.

Căutăm răspunsul sub forma:

unde С este un factor adimensional, a cărui valoare numerică nu poate fi găsită din analiza dimensiunilor. Trecând în (1) la egalitatea dimensiunilor.

m / s \u003d (kg / m 3) x Pa y,

m / s \u003d (kg / m 3) x (kg m / (s 2 m 2)) y,

m 1 s -1 \u003d kg x m -3x kg y m y c -2y m -2y,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x + y-2y c -2y,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x-y c -2y.

Egalitatea dimensiunilor din partea stângă și dreaptă a egalității dă:

x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,

x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,

x = -1/2 , y = 1/2 .

Deci viteza sunetului într-un gaz

Formula (2) la C=1 a fost obținută mai întâi de I. Newton. Dar derivațiile cantitative ale acestei formule au fost foarte dificile.

O determinare experimentală a vitezei sunetului în aer a fost efectuată într-o lucrare colectivă a membrilor Academiei de Științe din Paris în 1738, care a măsurat timpul necesar sunetului unei împușcături de tun pentru a parcurge o distanță de 30 km.

Repetând acest material în clasa a XI-a, se atrage atenția elevilor asupra faptului că rezultatul (2) poate fi obținut pentru modelul procesului izoterm de propagare a sunetului folosind ecuația Mendeleev-Clapeyron și conceptul de densitate:

este viteza de propagare a sunetului.

După ce i-am introdus pe studenți în metoda dimensiunilor, le ofer această metodă pentru a deriva ecuația de bază MKT pentru un gaz ideal.

Elevii înțeleg că presiunea unui gaz ideal depinde de masa moleculelor individuale ale unui gaz ideal, de numărul de molecule pe unitatea de volum - n (concentrația moleculelor de gaz) și de viteza de mișcare a moleculelor -.

Cunoscând dimensiunile mărimilor incluse în această ecuație, avem:

Comparând dimensiunile părților din stânga și din dreapta ale acestei egalități, avem:

Prin urmare, ecuația de bază a MKT are următoarea formă:

- asta implică

Din triunghiul umbrit se vede că

Raspuns: B).

Am folosit metoda dimensiunii.

Metoda dimensiunilor, pe lângă efectuarea verificării tradiționale a corectitudinii rezolvării problemelor, îndeplinirea unor sarcini ale examenului unificat de stat, ajută la găsirea unor relații funcționale între diferitele mărimi fizice, dar numai pentru acele situații în care aceste dependențe sunt de putere- lege. Există multe astfel de dependențe în natură, iar metoda dimensiunilor este un bun ajutor în rezolvarea unor astfel de probleme.

În cazurile în care procesele studiate nu sunt descrise ecuatii diferentiale, una dintre modalitățile de a le analiza este un experiment, ale cărui rezultate sunt cel mai bine prezentate într-o formă generalizată (sub formă de complexe adimensionale). Metoda de compilare a unor astfel de complexe este metoda analizei dimensionale.

Dimensiunea oricărei mărimi fizice este determinată de raportul dintre aceasta și acele mărimi fizice care sunt luate ca principale (primare). Fiecare sistem de unități are propriile sale unități de bază. De exemplu, în Sistemul Internațional de Unități SI, unitățile de lungime, masă și timp sunt luate ca fiind metrul (m), kilogram (kg), secundă (s). Unitățile de măsură pentru alte mărimi fizice, așa-numitele mărimi derivate (secundare), sunt adoptate pe baza unor legi care stabilesc o relație între aceste unități. Această relație poate fi reprezentată sub forma așa-numitei formule de dimensiune.

Teoria dimensiunilor se bazează pe două ipoteze.

1. Raportul dintre două valori numerice ale oricărei mărimi nu depinde de alegerea scalelor pentru principalele unități de măsură (de exemplu, raportul dintre două dimensiuni liniare nu depinde de unitățile în care vor fi măsurate) .
2. Orice relație între mărimile dimensionale poate fi formulată ca o relație între mărimile adimensionale. Această afirmație reprezintă așa-numitul P-teorema în teoria dimensiunilor.

Din prima poziție rezultă că formulele pentru dimensiunea mărimilor fizice ar trebui să aibă forma dependențelor de putere

unde sunt dimensiunile unităţilor de bază.

Expresia matematică a teoremei P poate fi obținută pe baza următoarelor considerații. Lasă o cantitate dimensională A 1 este o funcție a mai multor mărimi dimensionale independente, adică

De aici rezultă că

Să presupunem că numărul de unități dimensionale de bază prin care toate pot fi exprimate P variabile, este egal cu t. Teorema P afirmă că dacă toate P variabile exprimate în termeni de unități de bază, apoi pot fi grupate în termeni P adimensionali, i.e.

În acest caz, fiecare termen P va conține o variabilă.

În problemele de hidromecanică, numărul de variabile incluse în termenii P trebuie să fie de patru. Trei dintre ele vor fi decisive (de obicei este lungimea caracteristică, viteza curgerii fluidului și densitatea acestuia) - sunt incluse în fiecare dintre termenii P. Una dintre aceste variabile (a patra) este diferită la trecerea de la un termen P la altul. Indicatori de grad de definire a criteriilor (să le notăm prin X y , z ) sunt necunoscute. Pentru comoditate, luăm exponentul celei de-a patra variabile egal cu -1.

Relațiile pentru termenii P vor arăta ca

Variabilele incluse în termenii P pot fi exprimate în termeni de dimensiuni de bază. Deoarece acești termeni sunt adimensionali, exponenții fiecăreia dintre dimensiunile de bază trebuie să fie egali cu zero. Ca urmare, pentru fiecare dintre termenii P, este posibil să se compună trei ecuații independente (una pentru fiecare dimensiune) care relaționează exponenții variabilelor incluse în ei. Rezolvarea sistemului de ecuații rezultat face posibilă găsirea valorilor numerice ale exponenților necunoscuți X , la , z. Ca urmare, fiecare dintre termenii P este determinat sub forma unei formule compuse din cantități specifice (parametri de mediu) în gradul corespunzător.

Ca exemplu specific, vom găsi o soluție la problema determinării pierderii de presiune din cauza frecării într-un flux de fluid turbulent.

Din considerente generale, putem concluziona că pierderea de presiune în conductă depinde de următorii factori principali: diametrul d , lungime l , rugozitatea peretelui k, densitatea ρ și vâscozitatea µ a mediului, viteza medie de curgere v , efortul de forfecare inițial, de ex.

(5.8)

Ecuația (5.8) conține n=7 membri și numărul de unități dimensionale de bază. Conform teoremei P, obținem o ecuație formată din termeni P adimensionali:

(5.9)

Fiecare astfel de termen P conține 4 variabile. Luând ca variabile principale diametrul d , viteza v , densitate și combinându-le cu restul variabilelor din ecuația (5.8), obținem