Se arată cum se recunoaște o ecuație diferențială omogenă generalizată. Se are în vedere o metodă de rezolvare a unei ecuații diferențiale omogene generalizate de ordinul întâi. Este dat un exemplu de soluție detaliată a unei astfel de ecuații.

Conţinut

Definiție

O ecuație diferențială omogenă generalizată de ordinul întâi este o ecuație de forma:
, unde ≠ 0 , α ≠ 1 , f - funcție.

Cum se determină dacă o ecuație diferențială este omogenă generalizată

Pentru a determina dacă o ecuație diferențială este una omogenă generalizată, trebuie să introducem o constantă t și să facem substituția:
y → t α y , x → t x .
Dacă reușim să alegem o astfel de valoare α la care constanta t va scădea, atunci aceasta este - ecuație diferențială omogenă generalizată. Modificarea derivatei y′ în cadrul unei astfel de înlocuiri are forma:
.

Exemplu

Determinați dacă ecuația dată este omogenă generalizată:
.

Facem schimbarea y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 y′:
;
.
Împărțirea la t α+ 5 :
;
.
Ecuația nu va conține t dacă
4α - 6 = 0, α = 3/2 .
Deoarece pentru α = 3/2 , t este redus, atunci aceasta este o ecuație omogenă generalizată.

Metoda de rezolvare

Luați în considerare ecuația diferențială omogenă generalizată de ordinul întâi:
(1) .
Să arătăm că poate fi redusă la o ecuație omogenă prin substituție:
t = xα .
Într-adevăr,
.
De aici
; .
(1) :
;
.

Aceasta este o ecuație omogenă. Se rezolvă prin înlocuire:
y = z t,
unde z este o funcție a lui t.
Când rezolvați probleme, este mai ușor să aplicați imediat înlocuirea:
y = z x α ,
unde z este o funcție a lui x.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale omogene generalizate de ordinul întâi

Rezolvați ecuația diferențială
(P.1) .

Să verificăm dacă ecuația dată este una omogenă generalizată. Pentru aceasta in (P.1) efectuarea unei înlocuiri:
y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 y′.
.
Împărțirea la t α :
.
t va scadea daca punem α = - 1 . Deci aceasta este o ecuație omogenă generalizată.

Facem o înlocuire:
y = z x α = z x - 1 ,
unde z este o funcție a lui x.
.
Inlocuim in ecuatia initiala (P.1):
(P.1) ;
;
.
Înmulțiți cu x și deschideți parantezele:
;
;
.
Împărțiți variabile - înmulțiți cu dx și împărțiți cu x z 2 . Pentru z ≠ 0 avem:
.
Integram folosind tabelul de integrale:
;
;
;
.
Potențiați:
.
Înlocuim constanta e C → C și eliminăm semnul modulului, deoarece alegerea semnului dorit este determinată de alegerea semnului constantei C:
.

Revenim la variabila y . Înlocuiește z = xy :
.
Împărțire cu x:
(P.2) .

Când împărțim la z 2 , am presupus că z ≠ 0 . Acum considerăm soluția z = xy = 0 , sau y = 0 .
Deoarece pentru y = 0 , partea stângă a expresiei (P.2) nu este definită, apoi la integrala generală obținută se adaugă soluția y = 0 .

;
.

Referinte:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, Lan, 2003.

Făcând clic pe butonul „Descărcați arhiva”, veți descărca gratuit fișierul de care aveți nevoie.
Înainte de a descărca acest fișier, amintiți-vă acele eseuri bune, control, referate, teze, articole și alte documente care se află nerevendicate pe computerul dvs. Aceasta este munca ta, ar trebui să participe la dezvoltarea societății și să beneficieze oamenii. Găsiți aceste lucrări și trimiteți-le la baza de cunoștințe.
Noi și toți studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vom fi foarte recunoscători.

Pentru a descărca o arhivă cu un document, introduceți un număr de cinci cifre în câmpul de mai jos și faceți clic pe butonul „Descărcați arhiva”

Documente similare

Probleme Cauchy pentru ecuații diferențiale. Graficul soluției ecuației diferențiale de ordinul întâi. Ecuații cu variabile separabile și reducătoare la omogene. Ecuații liniare omogene și neomogene de ordinul întâi. ecuația lui Bernoulli.

prelegere, adăugată 18.08.2012


Concepte de bază ale teoriei ecuațiilor diferențiale ordinare. Semnul ecuației în diferențiale totale, construcția integralei generale. Cele mai simple cazuri de găsire a factorului integrator. Cazul unui multiplicator care depinde numai de X și numai de Y.

lucrare de termen, adăugată 24.12.2014


Particularități ale ecuațiilor diferențiale ca relații între funcții și derivatele lor. Dovada teoremei existenței și unicității soluției. Exemple și algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor în diferențiale totale. Factorul de integrare în exemple.

lucrare de termen, adăugată 02.11.2014


Ecuatii diferentiale Riccati. Rezolvarea generală a unei ecuații liniare. Găsirea tuturor soluțiilor posibile ale ecuației diferențiale a lui Bernoulli. Rezolvarea ecuațiilor cu variabile separabile. Soluții generale și speciale ale ecuației diferențiale Clairaut.

lucrare de termen, adăugată 26.01.2015


O ecuație cu variabile separabile. Ecuații diferențiale omogene și liniare. Proprietățile geometrice ale curbelor integrale. Diferenţial total al unei funcţii a două variabile. Determinarea integralei prin metodele Bernoulli și variațiile unei constante arbitrare.

rezumat, adăugat 24.08.2015


Concepte și soluții ale celor mai simple ecuații diferențiale și ecuații diferențiale de ordin arbitrar, inclusiv cele cu coeficienți analitici constanți. Sisteme de ecuații liniare. Comportamentul asimptotic al soluțiilor unor sisteme liniare.

teză, adăugată 06.10.2010


Integrală generală a ecuației, aplicarea metodei Lagrange pentru rezolvarea unei ecuații liniare neomogene cu funcție necunoscută. Rezolvarea unei ecuații diferențiale în formă parametrică. Condiția Euler, ecuație de ordinul întâi în diferențiale totale.

lucrare de control, adaugat 11.02.2011

def 1 control de tip

numit ecuație diferențială omogenă de ordinul întâi(ODĂ).

Th1 Să fie îndeplinite următoarele condiții pentru funcție:

1) continuu la

Atunci ODE (1) are o integrală comună, care este dată de formula:

unde este o antiderivată a funcției Cu este o constantă arbitrară.

Observația 1 Dacă, pentru unii, condiția este îndeplinită, atunci în procesul de rezolvare a ODE (1), soluțiile formei pot fi pierdute; astfel de cazuri ar trebui tratate cu mai multă atenție și fiecare dintre ele ar trebui verificată separat.

Astfel din teoremă Th1 ar trebui să algoritm general pentru rezolvarea ODE (1):

1) Faceți o înlocuire:

2) Astfel, se va obține un DE cu variabile separabile, care ar trebui integrat;

3) Revenirea la vechile variabile g;

4) Verificați valorile pentru implicarea lor în soluție telecomanda originala, în care condiția

5) Notează răspunsul.

Exemplul 1 Rezolvați DE (4).

Soluţie: DE (4) este o ecuație diferențială omogenă, deoarece are forma (1). Să facem înlocuirea (3), aceasta va aduce ecuația (4) la forma:

Ecuația (5) este integrala generală a lui DE (4).

Rețineți că la separarea variabilelor și împărțirea la, soluțiile ar putea fi pierdute, dar nu este o soluție pentru DE (4), care este ușor de verificat prin substituție directă în egalitate (4), deoarece această valoare nu este inclusă în domeniul definiției. din DE inițial.

Răspuns:

Observația 2 Uneori se pot scrie ODE-uri în termeni de diferențe de variabile XȘi y. Se recomandă trecerea de la această notație DE la expresia prin derivată și abia apoi efectuarea înlocuirii (3).

Ecuații diferențiale reducându-se la omogene.

def 2 Funcția este numită funcţie omogenă de gradul k în zonă, pentru care se va îndeplini egalitatea:

Iată cele mai comune tipuri de DE care pot fi reduse la forma (1) după diferite transformări.

1) unde este functia este omogen, grad zero, adică următoarea egalitate este adevărată: DE (6) poate fi ușor redusă la forma (1) dacă punem , care este integrată în continuare folosind înlocuirea (3).

2) (7), unde funcțiile sunt omogene de același grad k . DE-ul formularului (7) este de asemenea integrat folosind modificarea (3).

Exemplul 2 Rezolvați DE (8).

Soluţie: Să arătăm că DE (8) este omogen. Împărțim la ceea ce este posibil, deoarece nu este o soluție a ecuației diferențiale (8).

Să facem înlocuirea (3), aceasta va aduce ecuația (9) la forma:

Ecuația (10) este integrala generală a lui DE (8).

Rețineți că la separarea variabilelor și împărțirea la , soluțiile corespunzătoare valorilor lui și ar putea fi pierdute. Să verificăm aceste expresii. Să le înlocuim în DE (8):

Răspuns:

Este interesant de observat că la rezolvarea acestui exemplu apare o funcție numită „semnul” numărului X(citit " semnum x”), definită prin expresia:

Observația 3 Nu este necesar să aduceți DE (6) sau (7) la forma (1), dacă este evident că DE este omogen, atunci este posibil să înlocuiți imediat

3) DE al formei (11) este integrat ca ODE dacă , în timp ce înlocuirea este efectuată inițial:

(12), unde este soluția sistemului: (13), și apoi folosiți înlocuirea (3) pentru funcție După obținerea integralei generale, reveniți la variabile XȘi la.

Dacă , atunci, presupunând în ecuația (11), obținem un DE cu variabile separabile.

Exemplul 3 Rezolvați problema Cauchy (14).

Soluţie: Să arătăm că DE (14) este redus la un DE omogen și integrat conform schemei de mai sus:

Vom rezolva un sistem neomogen de liniar ecuații algebrice(15) Metoda lui Cramer:

Facem o schimbare de variabile și integrăm ecuația rezultată:

(16) – Integrala generală a DE (14). La împărțirea variabilelor, soluțiile pot fi pierdute la împărțirea la o expresie, care poate fi obținută în mod explicit după rezolvarea unei ecuații pătratice. Ele sunt însă luate în considerare în integrala generală (16) la

Să găsim o soluție la problema Cauchy: înlocuim valorile și în integrala generală (16) și găsim Cu.

Astfel, integrala parțială va fi dată de formula:

Răspuns:

4) Unele DE pot fi făcute omogene pentru o funcție nouă, dar necunoscută, dacă aplicăm o înlocuire a formei:

În același timp, numărul m este selectat din condiția ca ecuația rezultată, dacă este posibil, să devină omogenă într-o oarecare măsură. Totuși, dacă acest lucru nu se poate face, atunci DE considerat nu poate fi redus în acest fel la unul omogen.

Exemplul 4 Rezolvați DU. (18)

Soluţie: Să arătăm că DE (18) este redus la un DE omogen folosind substituția (17) și apoi integrat folosind înlocuirea (3):

Sa gasim Cu:

Astfel, o soluție particulară a lui DE (24) are forma

.
Ecuatii diferentiale.

§ 1. Concepte de bază ale ecuaţiilor diferenţiale obişnuite.

Definiția 1. Ecuație diferențială obișnuită n-a ordinea pentru funcție y argument X se numește relație de formă

Unde F este o funcție dată a argumentelor sale. În numele acestei clase de ecuații matematice, termenul „diferențial” subliniază faptul că ele includ derivate
(funcții formate ca urmare a diferențierii); termenul – „obișnuit” spune că funcția dorită depinde doar de un singur argument real.

O ecuație diferențială obișnuită poate să nu conțină în mod explicit un argument X, funcția dorită
și oricare dintre derivatele sale, dar cea mai mare derivată
trebuie incluse în ecuație n- Ordin. De exemplu

A)
este ecuația de ordinul întâi;

b)
este o ecuație de ordinul trei.

Când se scriu ecuații diferențiale obișnuite, se folosește adesea notația derivatelor prin diferențiale:

V)
este o ecuație de ordinul doi;

G)
este ecuația de ordinul întâi,

formându-se după împărțire prin dx forma echivalenta a ecuatiei:
.

Funcţie
se numește soluție a unei ecuații diferențiale obișnuite dacă, atunci când este substituită în ea, devine o identitate.

De exemplu, ecuația de ordinul 3

Are o solutie
.

A găsi printr-o metodă sau alta, de exemplu, selecția, o funcție care satisface o ecuație nu înseamnă rezolvarea acesteia. A rezolva o ecuație diferențială obișnuită înseamnă a găsi Toate funcții care formează o identitate atunci când sunt substituite în ecuație. Pentru ecuația (1.1), familia unor astfel de funcții se formează cu ajutorul constantelor arbitrare și se numește soluția generală a ecuației diferențiale ordinare n al-lea, iar numărul de constante coincide cu ordinea ecuației: y(X) : În acest caz, soluția se numește integrala generală a ecuației (1.1).

De exemplu, soluția generală a ecuației diferențiale
este următoarea expresie: , iar al doilea termen poate fi scris și ca
, deoarece o constantă arbitrară împărțit la 2 poate fi înlocuit cu o nouă constantă arbitrară .

Prin stabilirea unor valori admisibile pentru toate constantele arbitrare în soluția generală sau în integrala generală, obținem o anumită funcție care nu mai conține constante arbitrare. Această funcție se numește o soluție particulară sau o integrală particulară a ecuației (1.1). Pentru a găsi valorile constantelor arbitrare și, prin urmare, soluția particulară, sunt utilizate diferite condiții suplimentare la ecuația (1.1). De exemplu, pot fi date așa-numitele condiții inițiale pentru (1.2).

În părțile din dreapta condițiilor inițiale (1.2), sunt date valorile numerice ale funcției și derivatelor, iar numărul total de condiții inițiale este egal cu numărul de constante arbitrare definite.

Problema găsirii unei anumite soluții a ecuației (1.1) din condiții inițiale se numește problema Cauchy.

§ 2. Ecuaţii diferenţiale obişnuite de ordinul I - concepte de bază.

Ecuație diferențială obișnuită de ordinul I ( n=1) are forma:
sau, dacă poate fi rezolvată cu privire la derivată:
. Decizie comună y= y(X,CU) sau integrală generală
Ecuațiile de ordinul 1 conțin o constantă arbitrară. Singura condiție inițială pentru ecuația de ordinul 1
vă permite să determinați valoarea constantei din soluția generală sau din integrala generală. Astfel, se va găsi o soluție anume sau, care este și problema Cauchy, se va rezolva. Întrebarea existenței și unicității unei soluții la problema Cauchy este una dintre întrebările centrale în teorie generală ecuații diferențiale obișnuite. Pentru o ecuație de ordinul întâi, în special, este validă teorema, care este acceptată aici fără dovezi.

Teorema 2.1. Dacă în ecuaţie funcţia
și derivata sa parțială
continuă într-o anumită zonă D avion XOY, iar un punct este dat în acest domeniu
, atunci există și, în plus, o soluție unică care satisface atât ecuația cât și condiția inițială
.

Geometric decizie comună Ecuațiile de ordinul I sunt o familie de curbe în plan XOY, care nu au puncte comuneși diferă unul de celălalt printr-un parametru - valoarea constantei C. Aceste curbe se numesc curbe integrale pentru ecuația dată. Curbele integrale ale ecuației au o proprietate geometrică evidentă: în fiecare punct, tangenta pantei tangentei la curbă este egală cu valoarea laturii drepte a ecuației în acel punct:
. Cu alte cuvinte, ecuația este dată în plan XOY câmpul direcțiilor tangentelor la curbele integrale. Cometariu: Trebuie remarcat faptul că pentru ecuație
sunt date ecuația și așa-numita ecuație în formă simetrică
.

§ 3. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi cu variabile separabile.

Definiție. O ecuație diferențială cu variabile separabile este o ecuație de formă
(3.1)

sau o ecuație de forma (3.2)

Pentru a separa variabilele din ecuația (3.1), i.e. reduceți această ecuație la așa-numita ecuație cu variabile separate, efectuați următoarele acțiuni:

;

Acum trebuie să rezolvăm ecuația g(y)= 0 . Daca are o solutie reala y= A, Acea y= A va fi și o soluție a ecuației (3.1).

Ecuația (3.2) se reduce la o ecuație variabilă separată prin împărțirea la produs
:

, ceea ce ne permite să obținem integrala generală a ecuației (3.2):
. (3.3)

Curbele integrale (3.3) vor fi completate de soluții
daca astfel de solutii exista.

Rezolvați ecuația: .

Separarea variabilelor:

.

Integrarea, obținem

Mai departe de ecuații
Și
găsi X=1, y=-1. Aceste decizii sunt decizii private.

§ 4. Ecuaţii diferenţiale omogene de ordinul întâi.

Definiția 1. O ecuație de ordinul 1 se numește omogenă dacă pentru partea sa dreaptă pentru oricare
raportul
, numită condiția de omogenitate a unei funcții a două variabile dimensiune zero.

Exemplul 1 Arată această funcție
- măsurarea zero omogenă.

Soluţie.

,

Q.E.D.

Teorema. Orice funcție
este omogenă și, invers, orice funcție omogenă
dimensiunea zero este redusă la formă
.

Dovada.

Prima afirmație a teoremei este evidentă, deoarece
. Să demonstrăm a doua afirmație. Sa punem
, apoi pentru o funcție omogenă
, ceea ce urma să fie dovedit.

Definiția 2. Ecuația (4.1)

in care MȘi N sunt funcții omogene de același grad, adică. au proprietatea pentru toți , se numește omogen.

Evident, această ecuație poate fi întotdeauna redusă la forma
(4.2) , deși acest lucru nu poate fi făcut pentru a o rezolva.

O ecuație omogenă se reduce la o ecuație cu variabile separabile prin înlocuirea funcției dorite y conform formulei y= zx, Unde z(X) este noua funcție dorită. După efectuarea acestei înlocuiri în ecuația (4.2), obținem:
sau
sau
.

Integrand se obtine integrala generala a ecuatiei fata de functie z(X)
, care după înlocuirea repetată
dă integrala generală a ecuației inițiale. În plus, dacă - rădăcinile ecuației
, apoi funcțiile
- soluţii ale unei ecuaţii date omogene. Dacă
, atunci ecuația (4.2) ia forma

și devine o ecuație cu variabile separabile. Soluțiile sale sunt semi-directe:
.

Cometariu. Uneori este recomandabil să folosiți înlocuirea în locul substituției de mai sus X= zy.

§ 5. Ecuaţii diferenţiale reducându-se la omogene.

Luați în considerare o ecuație de formă
. (5.1)

Dacă
, atunci aceasta este ecuația care utilizează substituția , unde Și sunt variabile noi și - niste numere constante determinate din sistem

Redus la o ecuație omogenă

Dacă
, atunci ecuația (5.1) ia forma

.

Presupunând z= topor+ de, ajungem la o ecuație care nu conține o variabilă independentă.

Luați în considerare exemple.

Exemplul 1

Ecuația de integrare

si evidentiati curba integrala care trece prin punctele: a) (2;2); b) (1;-1).

Soluţie.

Sa punem y= zx. Apoi dy= xdz+ zdxȘi

Să o scurtăm cu si aduna membrii la dxȘi dz:

Să separăm variabilele:

.

Integrând, obținem ;

sau
,
.

Înlocuind aici z pe , obținem integrala generală a ecuației date în forma (5.2)
sau

.

Această familie de cercuri
, ale căror centre se află pe o linie dreaptă y = X si care la origine sunt tangente la dreapta y + X = 0. Acest drepty = - X la rândul său, o soluție particulară a ecuației.

Acum, modul de activitate Cauchy:

A) presupunând în integrala generală X=2, y=2, găsi C=2, deci solutia dorita este
.

B) niciunul dintre cercurile (5.2) nu trece prin punctul (1;-1). Dar jumătate de linie y = - X,
trece prin punct și dă soluția dorită.

Exemplul 2 Rezolvați ecuația: .

Soluţie.

Ecuația este un caz special al ecuației (5.1).

Determinant
în acest exemplu
, deci trebuie să rezolvăm următorul sistem

Rezolvând, obținem asta
. Efectuarea substituției în ecuația dată
, obținem o ecuație omogenă . Integrarea acestuia cu o substituție
, găsim
.

Revenind la vechile variabile XȘi y formule
, avem .

§ 6. Ecuaţia omogenă generalizată.

Ecuația M(X, y) dx+ N(X, y) dy=0 se numește omogen generalizat dacă este posibil să se aleagă un astfel de număr k că partea stângă a acestei ecuații devine o funcție omogenă într-un anumit grad m relativ X, y, dxȘi dy cu conditia ca X este considerată valoarea primei măsurători, y – k a-a măsurare , dxȘi dy – zero și (k-1) măsurătorile. De exemplu, aceasta ar fi ecuația
. (6.1)

Valabil în ipoteza făcută despre măsurători

X, y, dxȘi dy membrii din partea stângă
Și dy vor avea, respectiv, dimensiunile -2, 2 kȘi k-1. Echivalându-le, obținem condiția pe care trebuie să o îndeplinească numărul dorit k: -2 = 2k=k-1. Această condiție este îndeplinită atunci când k= -1 (cu astfel k toți termenii din partea stângă a ecuației luate în considerare vor avea dimensiunea -2). În consecință, ecuația (6.1) este generalizată omogenă.

Ecuația omogenă generalizată este redusă la o ecuație cu variabile separabile folosind substituția
, Unde z este o nouă funcție necunoscută. Să integrăm ecuația (6.1) prin metoda indicată. Deoarece k= -1, atunci
, după care obținem ecuația .

Integrându-l, găsim
, Unde
. Aceasta este soluția generală a ecuației (6.1).

§ 7. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi.

O ecuație liniară de ordinul 1 este o ecuație liniară în raport cu funcția dorită și derivata acesteia. Arată ca:

, (7.1)

Unde P(X) Și Q(X) li se dau funcţii continue de X. Dacă funcţia
, atunci ecuația (7.1) are forma:
(7.2)

și se numește ecuație liniară omogenă, în caz contrar
se numește ecuație liniară neomogenă.

Ecuația diferențială liniară omogenă (7.2) este o ecuație cu variabile separabile:

(7.3)

Expresia (7.3) este soluția generală a ecuației (7.2). Pentru a găsi o soluție generală a ecuației (7.1) în care funcția P(X) denotă aceeași funcție ca în ecuația (7.2), aplicăm metoda numită metoda variației unei constante arbitrare și constă în următoarele: vom încerca să alegem funcția C=C(X) astfel încât soluția generală a ecuației liniare omogene (7.2) ar fi soluția ecuației liniare neomogene (7.1). Atunci pentru derivata funcției (7.3) obținem:

.

Înlocuind derivata găsită în ecuația (7.1), vom avea:

sau
.

Unde
, unde este o constantă arbitrară. Ca urmare, soluția generală a ecuației liniare neomogene (7.1) va fi (7.4)

Primul termen din această formulă reprezintă soluția generală (7.3) a ecuației diferențiale liniare omogene (7.2), iar al doilea termen din formula (7.4) este o soluție particulară a ecuației liniare neomogene (7.1) obținută din general (7.4). ) cu
. Să evidențiem această concluzie importantă sub forma unei teoreme.

Teorema. Dacă se cunoaşte o soluţie particulară a unei ecuaţii diferenţiale liniare neomogene
, atunci toate celelalte soluții au forma
, Unde
este soluția generală a ecuației diferențiale liniare omogene corespunzătoare.

Cu toate acestea, trebuie remarcat că o altă metodă, uneori numită metoda Bernoulli, este mai des folosită pentru a rezolva ecuația diferențială neomogenă liniară de ordinul I (7.1). Vom căuta o soluție la ecuația (7.1) sub forma
. Apoi
. Inlocuim derivata gasita in ecuatia originala:
.

Să combinăm, de exemplu, al doilea și al treilea termen din ultima expresie și să scoatem funcția u(X) pentru paranteze:
(7.5)

Solicităm ca paranteza să dispară:
.

Rezolvăm această ecuație setând o constantă arbitrară C egal cu zero:
. Cu funcția găsită v(X) înapoi la ecuația (7.5):
.

Rezolvând-o, obținem:
.

Prin urmare, soluția generală a ecuației (7.1) are forma:

§ 8. Ecuaţia lui Bernoulli.

Definiție.

Ecuația diferențială a formei
, Unde
, se numește ecuația Bernoulli.

Asumand
, împărțim ambele părți ale ecuației Bernoulli la . Ca rezultat, obținem:
(8.1)

Introducem o nouă funcție
. Apoi
. Înmulțim ecuația (8.1) cu
și treceți în el la funcție z(X) :
, adică pentru functie z(X) a obţinut o ecuaţie liniară neomogenă de ordinul I. Această ecuație este rezolvată prin metodele discutate în paragraful anterior. Să substituim în soluția sa generală în loc de z(X) expresie
, obținem integrala generală a ecuației lui Bernoulli, care se rezolvă ușor în raport cu y. La
se adauga solutia y(X)=0 . Ecuația Bernoulli poate fi de asemenea rezolvată fără a face tranziția la ecuație liniară prin substituire
, și aplicând metoda Bernoulli, discutată în detaliu în § 7. Luați în considerare aplicarea acestei metode pentru rezolvarea ecuației Bernoulli folosind un exemplu specific.

Exemplu. Aflați soluția generală a ecuației:
(8.2)

Soluţie.

Prin urmare, soluția generală a acestei ecuații are forma:
, y(X)=0.

§ 9. Ecuaţii diferenţiale în diferenţiale totale.

Definiție. Dacă în ecuație M(X, y) dx+ N(X, y) dy=0 (9.1) partea stângă este diferența totală a unei funcții U(X, y) , atunci se numește ecuație în diferențiale totale. Această ecuație poate fi rescrisă ca du(X, y)=0 , prin urmare, integrala sa generală este u(X, y)= c.

De exemplu, ecuația xdy+ ydx=0 este o ecuație în diferențiale totale, deoarece poate fi rescrisă sub forma d(X y)=0. Integrala generală va fi X y= c este o funcție diferențiabilă arbitrară. Diferențiem (9.3) față de u
§ 10. Factorul integrator.

Dacă ecuaţia M(X, y) dx + N(X, y) dy = 0 nu este o ecuație în diferențiale totale și există o funcție µ = µ(X, y) , astfel încât după înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu aceasta, obținem ecuația

µ(Mdx + Ndy) = 0în diferenţiale totale, adică µ(Mdx + Ndy)du, apoi funcția µ(X, y) se numește factor de integrare al ecuației. În cazul în care ecuația este deja o ecuație în diferențiale totale, presupunem µ = 1.

Dacă se găseşte un factor integrator µ , atunci integrarea acestei ecuații se reduce la înmulțirea ambelor părți cu µ și găsirea integralei generale a ecuației rezultate în diferențiale totale.

Dacă µ este o funcţie continuu diferenţiabilă a XȘi y, Acea
.

Rezultă că factorul integrator µ satisface următoarele PDE de ordinul 1:

(10.1).

Dacă se știe dinainte că µ= µ(ω) , Unde ω este o funcție dată de la XȘi y, atunci ecuația (10.1) se reduce la o ecuație obișnuită (și, în plus, liniară) cu o funcție necunoscută µ din variabila independentă ω :

(10.2),

Unde
, adică fracția este doar o funcție a ω .

Rezolvând ecuația (10.2), găsim factorul de integrare

, Cu = 1.

În special, ecuația M(X, y) dx + N(X, y) dy = 0 are un factor integrator care depinde numai de X(ω = X) sau numai din y(ω = y) dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii, respectiv:

,

,
.

Ecuații diferențiale de ordinul întâi cu variabile separabile.

Definiție. O ecuație diferențială cu variabile separabile este o ecuație de forma (3.1) sau o ecuație de forma (3.2)

Pentru a separa variabilele din ecuația (3.1), i.e. reduceți această ecuație la așa-numita ecuație cu variabile separate, efectuați următoarele acțiuni: ;

Acum trebuie să rezolvăm ecuația g(y)=0. Daca are o solutie reala y=a, Acea y=a va fi și o soluție a ecuației (3.1).

Ecuația (3.2) se reduce la o ecuație cu variabile separate prin împărțirea la produsul:

, ceea ce ne permite să obținem integrala generală a ecuației (3.2): . (3.3)

Curbele integrale (3.3) vor fi completate de soluții daca astfel de solutii exista.

Ecuații diferențiale omogene de ordinul I.

Definiția 1. O ecuație de ordinul I se numește omogenă dacă relația , numită condiția de omogenitate pentru o funcție a două variabile de dimensiune zero.

Exemplul 1 Arătați că funcția este omogenă de dimensiune zero.

Soluţie. ,

Q.E.D.

Teorema. Orice funcție este omogenă și, invers, orice funcție omogenă de dimensiune zero este redusă la forma .

Dovada. Prima afirmație a teoremei este evidentă, deoarece . Să demonstrăm a doua afirmație. Fie , atunci pentru o funcție omogenă , ceea ce urma să fie dovedit.

Definiția 2. Ecuația (4.1) în care MȘi N sunt funcții omogene de același grad, adică. au proprietatea pentru toate , se numește omogen. Evident, această ecuație poate fi întotdeauna redusă la forma (4.2) , deși acest lucru nu poate fi făcut pentru a o rezolva. O ecuație omogenă se reduce la o ecuație cu variabile separabile prin înlocuirea funcției dorite y conform formulei y=zx, Unde z(x) este noua funcție dorită. După ce am efectuat această înlocuire în ecuația (4.2), obținem: sau sau .

Integrand se obtine integrala generala a ecuatiei fata de functie z(x) , care după înlocuirea repetată dă integrala generală a ecuației inițiale. În plus, dacă sunt rădăcinile ecuației , atunci funcțiile sunt soluții ale unei ecuații date omogene. Dacă , atunci ecuația (4.2) ia forma

Și devine o ecuație cu variabile separabile. Soluțiile sale sunt semilinii: .

Cometariu. Uneori este recomandabil să folosiți înlocuirea în locul substituției de mai sus x=zy.

Ecuație omogenă generalizată.

Ecuația M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 se numește omogen generalizat dacă este posibil să se aleagă un astfel de număr k că partea stângă a acestei ecuații devine o funcție omogenă într-un anumit grad m relativ x, y, dxȘi dy cu conditia ca X este considerată valoarea primei măsurători, y – k- a-a măsurare , dxȘi mor- zero și (k-1) măsurătorile. De exemplu, aceasta ar fi ecuația . (6.1) Într-adevăr, sub ipoteza făcută despre măsurători x, y, dxȘi dy membri ai părţii stângi şi dy vor avea, respectiv, dimensiunile -2, 2 kȘi k-1. Echivalându-le, obținem condiția pe care trebuie să o îndeplinească numărul dorit k: -2 = 2k=k-1. Această condiție este îndeplinită atunci când k= -1 (cu astfel k toți termenii din partea stângă a ecuației luate în considerare vor avea dimensiunea -2). În consecință, ecuația (6.1) este generalizată omogenă.