TIPURI DE ECUATII

Ecuații algebrice. Ecuații de formă f n= 0, unde f n- un polinom în una sau mai multe variabile, se numesc ecuații algebrice. Un polinom este o expresie a formei

f n = A 0 x i y j ... v k + a 1 X l y m ... v n +¼ + a s x p y q ... v r,

Unde X, y, ..., v sunt variabile și i, j, ..., r sunt exponenți (numere întregi nenegative). Un polinom dintr-o variabilă se scrie astfel:

f(X) = A 0 x n + A 1 x n – 1 + ... + un n – 1 X + un n

sau, într-un anumit caz, 3 X 4 – X 3 + 2X 2 + 4X– 1. O ecuație algebrică cu o necunoscută este orice ecuație de formă f(X) = 0. Dacă A 0 ¹ 0, atunci n se numește gradul ecuației. De exemplu, 2 X+ 3 = 0 – ecuația gradului I; ecuațiile de gradul întâi se numesc liniare, deoarece graficul funcției y=ax+b arată ca o linie dreaptă. Ecuațiile de gradul doi se numesc pătratice, iar ecuațiile de gradul trei se numesc cubice. Ecuațiile de grade superioare au denumiri similare.

Ecuații transcendentale. Ecuațiile care conțin funcții transcendentale, cum ar fi funcțiile logaritmice, exponențiale sau trigonometrice, sunt numite transcendentale. Următoarele ecuații sunt un exemplu:

unde lg este logaritmul de bază 10.

Ecuatii diferentiale. Așa-numitele ecuații care conțin una sau mai multe funcții și derivatele sau diferențiale ale acestora. Ecuațiile diferențiale s-au dovedit a fi un mijloc excepțional de valoros de a formula cu acuratețe legile naturii.

Ecuații integrale. Ecuații care conțin o funcție necunoscută sub semnul integral, de exemplu, f (s) = ò K (s, t) f(t) dt, Unde f(s) Și K(s,t) sunt date și f(t) este de găsit.

Ecuații diofantine. O ecuație diofantină este o ecuație algebrică cu două sau mai multe necunoscute cu coeficienți întregi, a cărei soluție este căutată în numere întregi sau raționale. De exemplu, ecuația 3 X – 5y= 1 are o soluție X = 7, y= 4; în general, soluțiile sale sunt numere întregi de forma X = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

REzolvarea ecuațiilor algebrice

Pentru toate tipurile de ecuații enumerate mai sus, nu există metode generale de rezolvare. Cu toate acestea, în multe cazuri, mai ales pentru ecuații algebrice de un anumit tip, există o teorie destul de completă a soluției lor.

Ecuatii lineare. Aceste ecuații simple sunt rezolvate prin reducerea lor la o ecuație echivalentă care arată direct valoarea necunoscutului. De exemplu, ecuația X+ 2 = 7 poate fi redus la ecuația echivalentă X= 5 scăzând numărul 2 din partea dreaptă și stângă. Pașii implicați în reducerea unei ecuații simple, cum ar fi X+ 2 = 7, la echivalentul, se bazează pe utilizarea a patru axiome.

1. Dacă valorile egale sunt crescute cu același număr, atunci rezultatele vor fi egale.

2. Dacă același număr este scăzut din valori egale, atunci rezultatele vor fi egale.

3. Dacă valorile egale sunt înmulțite cu același număr, atunci rezultatele vor fi egale.

4. Dacă valori egale sunt împărțite la același număr, atunci rezultatele vor fi egale.

De exemplu, pentru a rezolva ecuația 2 X+ 5 = 15, folosim Axioma 2 și scadem numărul 5 din partea dreaptă și stângă, rezultând ecuația echivalentă 2 X= 10. Apoi folosim Axioma 4 și împărțim ambele părți ale ecuației rezultate la 2, în urma căreia ecuația inițială se reduce la forma X= 5, care este soluția dorită.

Ecuații cuadratice. Soluții la ecuația generală pătratică topor 2 + bx + c= 0 poate fi obținut folosind formula

Astfel, există două soluții, care într-un anumit caz pot coincide.

Alte ecuații algebrice. Formulele explicite, similare cu formula pentru rezolvarea unei ecuații pătratice, pot fi scrise doar pentru ecuațiile de gradul al treilea și al patrulea. Dar chiar și aceste formule sunt complexe și nu ajută întotdeauna la găsirea cu ușurință a rădăcinilor. În ceea ce privește ecuațiile de gradul al cincilea sau mai mare, pentru ele, așa cum a demonstrat N. Abel în 1824, este imposibil să se indice o formulă generală care să exprime rădăcinile ecuației prin coeficienții ei folosind radicali. În unele cazuri speciale, ecuațiile de grade superioare pot fi rezolvate cu ușurință prin factorizarea părții lor din stânga, adică factoring-o.

De exemplu, ecuația X 3 + 1 = 0 poate fi scris în formă factorizată ( X + 1)(X 2 – X+ 1) = 0. Găsim soluții stabilind fiecare dintre factori egal cu zero:

Deci rădăcinile sunt X= –1, , adică doar 3 rădăcini.

Dacă ecuația nu este factorizabilă, atunci trebuie utilizate soluții aproximative. Principalele metode de găsire a soluțiilor aproximative au fost dezvoltate de Horner, Newton și Greffe. Cu toate acestea, în toate cazurile există o credință puternică că soluția există: ecuația algebrică n gradul are exact n rădăcini.

Sisteme de ecuații liniare. Două ecuații liniare cu două necunoscute pot fi scrise ca

Soluția unui astfel de sistem se găsește folosind determinanții

Are sens dacă Dacă D= 0, atunci sunt posibile două cazuri. (1) Cel puțin unul dintre determinanți și este diferit de zero. În acest caz, nu există o soluție pentru ecuații; ecuațiile sunt inconsistente. Un exemplu numeric al unei astfel de situații este sistemul

(2) Ambii determinanți sunt egali cu zero. În acest caz, a doua ecuație este pur și simplu un multiplu al primei și există un număr infinit de soluții.

Teoria generala consideră m ecuații liniare cu n variabile:

Dacă m = nși matrice ( aij) este nedegenerată, atunci soluția este unică și poate fi găsită prin regula lui Cramer:

Unde A ji– complement algebric al unui element aijîn matrice ( aij). Mai general, există următoarele teoreme. Lăsa r este rangul matricei ( aij), s este rangul matricei marginite ( aij; b i), care se obține din aij adăugarea unei coloane de numere b i. Atunci: (1) dacă r = s, atunci există n–r soluții liniar independente; (2) dacă r< s , atunci ecuațiile sunt inconsistente și nu există soluții.

, FGGU,

, Liceul de matematică

Ecuații algebrice și metode de rezolvare a acestora

A.1 Polinomul și rădăcinile sale

Se consideră o mulțime de (n+1) numere reale, un polinom (polinom) de grad n cu coeficienții de mai sus, o expresie a formei se numește:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image003_38.gif" width="257" height="25 src="> (2)

se numește ecuație algebrică a gradului n.

Rădăcinile ecuației (2) se mai numesc și rădăcinile polinomului.

Iată câteva fapte despre rădăcinile polinoamelor.

Faptul 1. Orice polinom de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.

Cometariu. Chiar și știind că ecuația are o rădăcină, găsirea acestei rădăcini poate fi foarte dificilă.

Exemplul 1 Ecuația are evident rădăcinile 0 și p.

Exemplul 2 Stabilirea rădăcinilor ecuației, care cu siguranță există, este o sarcină destul de dificilă.

Faptul 2. Dacă coeficienții polinomului sunt numere întregi, atunci rădăcinile raționale ale acestei ecuații (dacă există) au forma, unde numerele k și m sunt naturale și k este divizorul termenului liber, m este divizorul principalului coeficient.

Exemplul 3 https://pandia.ru/text/78/119/images/image010_16.gif" width="348" height="41 src="> (numerele repetitive au fost scurtate).

Verificarea arată că numerele 2 și sunt potrivite.

Sarcina de a separa rădăcinile raționale este mult simplificată dacă coeficientul de conducere din polinom este egal cu unu. În acest caz, posibilele rădăcini raționale ale ecuației pot fi numai numere întregi care împart termenul liber al polinomului.

Exemplul 4 Polinomul are următoarele rădăcini întregi: . Verificarea posibilelor rădăcini (acest lucru se poate face destul de repede cu Schemele lui Horner) ne asigurăm că singura rădăcină întreagă a ecuației este 2.

Faptul 3. Dacă numărul este rădăcina unui polinom, atunci acest polinom poate fi reprezentat ca produs o metodă de împărțire printr-un „colț”, foarte asemănătoare cu cea care se aplică numerelor obișnuite.

Să luăm un exemplu.

Exemplul 5 Să împărțim la:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image021_6.gif" width="177" height="25">. Rețineți că primul factor are un discriminant negativ, deci acesta (și polinomul original) este mai mare decât nu are rădăcinile.

Faptul 4.Orice polinom cu coeficienți reali poate fi reprezentat astfel:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image023_6.gif" width="16 height=24" height="24"> - multiplicitatea rădăcinilor, - trinoame pătrate care nu au rădăcini reale (se numesc ireductibile).

Cometariu. Când rezolvăm ecuații și inegalități, se pot reduce la trinoame ireductibile.

P.2. Gruparea ca modalitate de a găsi rădăcinile unui polinom

Din păcate (și acest lucru a fost dovedit), nu există un algoritm universal care să permită (ca un trinom pătrat) să găsească rădăcinile oricărui polinom. Există formule speciale pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul III și IV, dar sunt laborioase și nu sunt studiate la cursul școlar. Prin urmare, sunt adesea folosite și alte metode, cum ar fi separarea rădăcinilor (discutată în primul paragraf), metoda grupării și cazul său special - selectarea pătratelor întregi.

Esența metodei de grupare este următoarea: membrii polinomului sunt împărțiți în grupuri (de unde și numele), astfel încât, după reducerea celor similare, fiecare grup va fi descompus în factori, iar unul dintre factori va fi conținut în fiecare. grup. Acest factor comun este scos din paranteze și polinomul original este descompus în produsul a două polinoame de grad inferior.

Luați în considerare un exemplu.

Exemplul 6 Factorizarea polinomului prin metoda grupării

https://pandia.ru/text/78/119/images/image027_3.gif" width="272" height="24 src=">

(https://pandia.ru/text/78/119/images/image029_3.gif" width="64" height="21">, vom include primul termen în primul grup, al doilea termen în al treilea ).

https://pandia.ru/text/78/119/images/image031_4.gif" width="51" height="24">, găsim extinderea:

.

Ambele trinoame pătrate au discriminanți negativi, deci descompunerea lor ulterioară este imposibilă.

Exemplul 7 Factorizați polinomul:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image034_3.gif" width="35" height="21"> trebuie să îmbrăcați o parte care este multiplu de 14: de exemplu, 70-1 , 84-15, 98-29 sau 42 + 27. Prima opțiune duce la o fundătură. Luați în considerare a doua opțiune. Obținem:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image036_2.gif" width="603" height="24">.

Prin urmare,

P.3. Exemple de rezolvare a celor mai simple ecuații algebrice

Polinoamele sunt cele mai simple ecuații algebrice. În această subsecțiune, luăm în considerare câteva exemple de rezolvare a unor astfel de ecuații.

Exemplul 8 Găsiți rădăcinile ecuației

https://pandia.ru/text/78/119/images/image041_2.gif" width="89" height="19 src=">.

Să începem cu cel mai mic număr - trei.

https://pandia.ru/text/78/119/images/image043_2.gif" width="40 height=23" height="23"> este una dintre rădăcinile ecuației. Pentru a găsi celelalte rădăcini, vom împărțiți partea stângă a ecuației la:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image046_2.gif" width="107" height="21">. Folosind, de exemplu, formulele lui Vieta, obținem alte două rădăcini: .

Răspuns: https://pandia.ru/text/78/119/images/image049_2.gif" width="124" height="21 src=">.

Soluţie. Problema poate fi redusă la o ecuație biquadratică, dar vom încerca să folosim factorization..gif" width="616" height="24 src=">.

Rădăcinile primului factor: https://pandia.ru/text/78/119/images/image052_2.gif" width="63" height="41 src=">.

În continuare, luați în considerare un exemplu de ecuație care se reduce la una rațională. O caracteristică a unor astfel de ecuații este cerința obligatorie de a verifica rădăcinile găsite ale regiunii valorilor admisibile. De exemplu, la examenul de stat unificat de acum câțiva ani, a fost propusă o sarcină „simple”.

Exemplul 10 rezolva ecuatia

DIV_ADBLOCK37">

P. 4. Ecuații algebrice fracționale

Cea mai simplă expresie algebrică fracțională are forma:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image055_2.gif" width="40" height="23 src=">.gif" width="111" height="41 src=">.

Soluţie: Să aducem fracțiile la un numitor comun:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image059_2.gif" width="207" height="41">.

Ambele rădăcini ale numărătorului nu sunt rădăcini ale numitorului (verificați acest lucru prin înlocuirea directă a ambelor rădăcini în numitor), deci sunt soluții ale ecuației luate în considerare.

Dacă o ecuație fracționară-rațională conține multe expresii elementare, atunci, după transformări, în numărător se poate forma o expresie destul de greoaie, a cărei rădăcini va fi foarte dificilă. Dar în unele cazuri este posibil să se reducă o ecuație complexă la una mai simplă, folosind, de exemplu, o schimbare de variabile. Luați în considerare un exemplu.

Exemplul 12. rezolva ecuatia

https://pandia.ru/text/78/119/images/image061_0.gif" width="81" height="41"> sunt reciproc inverse (produsul lor este egal cu unu). Să introducem următoarea înlocuire: . Ecuația inițială va lua în considerare:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image064_0.gif" height="16">, obținem o ecuație pătratică:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image066_0.gif" width="93" height="23">. Să efectuăm înlocuirea inversă. Obțineți și rezolvați setul de două ecuații: 2. Index , adresa de domiciliu , e-mail (dacă există), telefon (acasa sau mobil)

3. Date școlare (de exemplu: MBOU Nr 1 Bikin village)

4. Prenume, I. O. profesor de matematică (de exemplu: profesor de matematică)

M 10.2.1. Rezolvați ecuația factorizând polinomul:

M 10.2.2. Rezolvați ecuația rațională fracțională

a) https://pandia.ru/text/78/119/images/image082_0.gif" width="209" height="21 src=">. ( Notă: înmulți mai întâi primul factor cu al patrulea și al doilea cu al treilea. Etichetați prima piesăy, al doilea produs va fi apoi reprezentat ca y+2. Rezolvați ecuația pătratică rezultată și efectuați înlocuirea inversă.)

c) https://pandia.ru/text/78/119/images/image084_0.gif" width="165" height="41 src=">. ( Notă: încercați să adăugați un număr la primii doi termeni, astfel încât suma să se dovedească a fi reciproca celui de pe locul trei cu un factor de -10. Vezi exemplele 12 și 13 de mai jos..)

Ecuații algebrice. Definiție

Să fie definite funcțiile f(x) și u(x) pe o mulțime A. Și să fie necesar să găsim mulțimea X pe care aceste funcții iau valori egale, cu alte cuvinte, să găsim toate valorile lui x pentru care egalitatea este valabilă: f(x)= c(x).

În această formulare, această egalitate se numește ecuație cu x necunoscut.

O ecuație se numește algebrică dacă se efectuează numai operații algebrice asupra necunoscutului - adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere și extragerea unei rădăcini cu exponent natural.

Ecuațiile algebrice conțin numai funcții algebrice (întregi, raționale, iraționale). O ecuație algebrică în formă generală poate fi reprezentată printr-un polinom de gradul al n-lea cu coeficienți reali:

De exemplu,

Mulțimea A se numește mulțimea (regiunea) valorilor admisibile ale necunoscutului pentru ecuația dată.

Mulțimea X se numește mulțime de soluții, iar orice soluție x=a se numește rădăcina acestei ecuații. Rezolvarea unei ecuații înseamnă a găsi mulțimea tuturor soluțiilor ei sau a demonstra că nu există.

Metode de rezolvare a ecuaţiilor algebrice

În multe probleme științifice și de inginerie, este necesar să se rezolve o ecuație de formă

unde f(x) este o funcție neliniară continuă dată.

Analitic este posibil să se găsească o soluție doar pentru cele mai simple ecuații. În cele mai multe cazuri, este necesară rezolvarea unei ecuații de forma (1) prin metode numerice.

Rezolvarea numerică a ecuației (1) se realizează de obicei în două etape. În prima etapă, trebuie să găsiți astfel de intervale de schimbare a variabilei x, unde se află o singură rădăcină. Această problemă este de obicei rezolvată grafic. În a doua etapă, rădăcinile individuale sunt rafinate. Pentru aceasta sunt folosite diferite metode.

Metodele de rezolvare a ecuațiilor neliniare sunt împărțite în directe și iterative. Metodele directe vă permit să scrieți rădăcinile sub forma unei formule. Cu toate acestea, ecuațiile întâlnite în practică nu sunt întotdeauna posibil de rezolvat. metode simple. Pentru rezolvarea acestora se folosesc metode iterative, i.e. metode de aproximări succesive.

Metode directe - soluția se găsește într-un număr cunoscut anterior de operații aritmetice, soluția este strictă. Exemple: metoda Gauss, metoda rădăcinii pătrate, regula lui Cramer etc.

Metodele iterative sunt metode de aproximări succesive în care este imposibil de prezis numărul de operații aritmetice care vor fi necesare pentru a rezolva o ecuație (sistem) cu o precizie dată. Exemple: metoda iterațiilor simple, metoda Gauss-Seidel, metoda împărțirii unui segment la jumătate etc.

În această lucrare, studiem și comparăm metoda iterațiilor simple și metoda divizării pe jumătate a unui segment.

transcriere

1 Ecuații algebrice unde Definiție. Algebric este o ecuație de forma 0, P () 0, unele numere reale. 0 0 În acest caz, variabila se numește necunoscută, iar numerele 0 sunt coeficienții ecuației (), ordinea (sau gradul) ecuației. Definiție. Un număr se numește soluție (sau rădăcină) a ecuației () dacă, atunci când numărul este substituit în ecuația 0 P, se obține egalitatea corectă 0 P. În funcție de coeficienți, ecuația () poate avea un singur număr. rădăcină reală, mai multe rădăcini sau nicio rădăcină reală. A rezolva o ecuație înseamnă a-i găsi toate rădăcinile (la cursul școlar sunt luate în considerare doar soluții reale) sau a demonstra că ecuația nu are soluții. și Vom lua în considerare ecuația () la. Pentru (ecuația cubică) există formule pentru rădăcinile ecuației 0 P în radicali, cunoscute sub numele de formulele lui Cordano. Când ecuația () este de nerezolvat în radicali, adică soluția ecuației 0 P at nu poate fi exprimată în termeni de coeficienții ei 0, folosind un număr finit de operații aritmetice (operații de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și extragere a rădăcinii aritmetice). Dovada acestei afirmații a fost obținută pentru prima dată de matematicianul norvegian Abel în anul 6. În unele cazuri, soluția ecuațiilor algebrice de grade superioare, inclusiv a treia și a patra, poate fi găsită destul de simplu. O astfel de posibilitate este complet determinată de coeficienții, 0, ai polinomului P. Corolar din teorema lui Bezout. Dacă este rădăcina polinomului (P 0), atunci polinomul P este divizibil cu binomul fără rest, i.e. există un polinom astfel încât P F F. P

2 „colț”. Ecuația () în acest caz este echivalentă cu un set de ecuații Împărțind un polinom Ecuația 0, F 0. P la un alt Q m, m, puteți produce gradul P nu poate avea mai mult decât rădăcini reale, ținând cont de multiplicitatea. Mai mult, o ecuație de grad impar are întotdeauna cel puțin o rădăcină reală. Dacă numerele reale ..., sunt rădăcinile ecuației 0, atunci identitatea P este valabilă, Pentru ecuațiile de grade superioare (), este valabilă teorema Vieta, pe care o formulăm în cazul și. Dacă numerele reale și sunt rădăcinile ecuației cubice 0, 0, atunci ele îndeplinesc condițiile: b c d d, c, b. Dacă numerele reale, și sunt rădăcinile ecuației de gradul al patrulea 0, 0, atunci ele îndeplinesc condițiile: b c d e Dacă numărul rațional este 0 e, d, b. p, unde p q q c, o fracție ireductibilă, este rădăcina unei ecuații cu coeficienți întregi, atunci p trebuie să fie un divizor al termenului constant

3 și q este un divizor al coeficientului 0 la cel mai înalt grad. În special, rădăcinile întregi 0 p ale ecuației reduse 0 cu coeficienți întregi sunt divizori ai termenului liber. Această afirmație decurge din ultima egalitate din (.7) Dacă suma tuturor coeficienților ecuației 0 are rădăcină. P este zero, atunci ecuația De exemplu, suma coeficienților ecuației este zero, deci are rădăcină. Dacă în ecuație suma coeficienților la puteri impare este egală cu suma termenului liber și a coeficienților la puteri pare, atunci ecuația are rădăcină. De exemplu, în ecuație avem 6 7, deci rădăcina acestei ecuații. Să luăm în considerare clase separate de ecuații algebrice de grade superioare și metode de studiu pentru rezolvarea lor. Ecuații biquadratice. Definiție. O ecuație biquadratică este o ecuație de forma în care 0. b c 0, () Pentru a rezolva această ecuație se folosește o modificare a variabilelor y, unde y 0. În acest caz, se obține o ecuație pătratică y cu c 0. Deoarece ecuația () este o ecuație de gradul al patrulea, nu are mai mult de patru rădăcini reale. Dacă y și y sunt soluțiile sale, atunci ecuația biquadratică originală va fi echivalentă cu mulțimea: Metoda de selectare a rădăcinii (rădăcinilor). 0 y y. Dacă ecuația algebrică dată () cu coeficienți întregi are rădăcini întregi, atunci acestea trebuie căutate printre divizorii termenului liber

4 ecuații (). Rădăcinile raționale p 0 ale ecuației () cu coeficienți întregi q p ar trebui căutate printre numere astfel încât p este un divizor al termenului liber, q și q este divizorul coeficientului 0 la cel mai înalt grad în ecuația (). Aceste proprietăți stau la baza metodei de selectare a rădăcinilor unei ecuații algebrice. Exemplu. Rezolvați ecuația 0. Rezolvare. Această ecuație este redusă și are coeficienți întregi. Prin urmare, rădăcinile întregi ale acestei ecuații (dacă există) sunt conținute printre divizorii termenului liber:,. Este ușor de văzut că aceasta este rădăcina ecuației. Pentru a găsi rădăcinile rămase, împărțim polinomul într-un „colț” binom: 0. Pentru ecuația 0, găsim din nou rădăcina prin selecție, apoi împărțim polinomul într-un binom: 0, Ecuația 0 nu are rădăcini reale. Astfel, cel

Ecuația de gradul 5 are două rădăcini reale. Răspuns.,. Metoda schimbării variabilelor. Dacă, la schimbarea variabilelor, ecuația inițială este simplificată (de exemplu, gradul ei este redus), atunci introducem cu îndrăzneală o nouă variabilă. Exemplu. Rezolvați ecuația. Soluţie. Dacă deschideți parantezele și aduceți termeni similari, obțineți ecuația 6 0, care este foarte greu de rezolvat. Deși este o ecuație cu coeficienți întregi, dar așa cum vom vedea mai jos, nu are rădăcini întregi. Prin urmare, vom folosi o altă metodă: introducem o nouă variabilă y și rezolvăm ecuația pătratică y y. Rădăcinile sale sunt y și y. În consecință, ecuația inițială va fi echivalentă cu combinația a două ecuații. Rezolvam ecuatiile patratice obtinute.,. 0,D0,. sau 0, D 7 0, nu există soluții. Astfel, ecuația originală a gradului al treilea are două rădăcini și. Răspuns.,. Exemplu. Găsiți cea mai mare rădăcină negativă a ecuației 0. Rezolvare. Este foarte greu de găsit rădăcinile acestei ecuații, așa că vom folosi următorul truc: înmulțiți (sau împărțiți) această ecuație cu un anumit număr, astfel încât cel mai mare termen al ecuației să devină cubul unei expresii.

6 Rețineți că și introduceți o nouă variabilă y. Ca rezultat, obținem ecuația y y y 6 0, care este echivalentă cu cea inițială. Prin selecție, găsim rădăcinile sale y, y și y, care vor corespunde rădăcinilor ecuației originale și. Cea mai mare rădăcină negativă este . Răspuns. Cea mai mare rădăcină negativă. Puteți introduce o altă variabilă și luați în considerare o ecuație pătratică în raport cu una dintre variabilele obținute ("vechi" sau "nou"). Exemplu. Aflați cea mai mică rădăcină a ecuației 6 0. Rezolvare. Să transformăm ecuația inițială după cum urmează: Să introducem o nouă variabilă y 6 și să obținem ecuația 6 y y 0. Să rezolvăm ecuația rezultată ca una pătratică în raport cu y. y sau y. D 6 y y 0, y, Să revenim la variabilă, obținem două ecuații pătratice.

7 6, 9 0, D 0 0, 9 0, 9 0, 9 0 6, 0, D 9 Îl alegem pe cel mai mic dintre ei. De la 0 0, apoi 9., deci cea mai mică soluție. 9 0 Răspunde. Cea mai mică soluție.. Definiția ecuațiilor de returnare. Ecuațiile de forma 0 0 se numesc recurente sau simetrice, pentru care coeficienții în poziții simetrice sunt egali, adică pentru k 0,. k k De exemplu, este recurent, deoarece 0, 9, 6. Următoarele afirmații sunt adevărate pentru ecuațiile reciproce. O ecuație reciprocă de grad impar are întotdeauna o rădăcină și, după împărțirea cu un binom, se reduce la o ecuație reciprocă de grad par. O ecuație reciprocă de grad par poate fi redusă la o ecuație de jumătate de grad prin introducerea variabilei y. Să ilustrăm aceste afirmații cu exemple. Exemplu. Rezolvați ecuația Soluție. Este ușor de observat că această ecuație este reciprocă de un grad impar și, prin urmare, are o rădăcină. Împărțim polinomul într-un binom:

8 Rămâne de rezolvat ecuația reciprocă de gradul al treilea Deoarece 0 nu este rădăcina acestei ecuații, putem împărți ambele părți ale acestei ecuații la Să facem o schimbare de variabile i.e. y.. Ia y. Atunci y, Obținem ecuația y 0y 6 0 (gradul ecuației este înjumătățit!) Să rezolvăm ecuația pătratică y 0y 0. Conform teoremei lui Vieta, numerele y și y 6 sunt rădăcinile sale. Mai avem

9 0,6 0, D 0,6 0,9,. Astfel, ecuația originală a gradului al treilea are rădăcini:, și. Raspunde., si. D Utilizarea monotonității funcțiilor și a altor tehnici speciale Pentru a rezolva ecuații algebrice non-standard, trebuie să folosiți diverse tehnici pentru a transforma ecuația într-o formă echivalentă, introduceți noi variabile, studiați funcția Rezolvarea ecuațiilor de forma g f ca parte a ecuației 0 f etc. f este uneori convenabil să se bazeze pe utilizarea proprietății de monotonitate a funcțiilor. Această tehnică se bazează pe următoarea teoremă. Teorema. Fie definită ecuația f g pe mulțimea X R ; funcția f este monoton în creștere (scădere) pe X, iar g este monoton în creștere (în creștere). Dacă ambele E f, E g sunt intervale de f g pe mulțimea X și E f Eg, atunci există un punct unic 0 X astfel încât g f, i.e. ecuaţia 0 0 f g are o soluţie unică. Această teoremă este valabilă pentru orice ecuații de forma g pentru cele algebrice. Exemplul 6. Rezolvați ecuația 96 E f. y f De exemplu 0 X g f, și nu doar Soluție. Funcția de putere y, N, este definită pe întreaga linie reală și este o funcție strict crescătoare pe R. Prin urmare, partea stângă a datei

10 din ecuația f este o funcție strict crescătoare pe R ca suma a două funcții strict crescătoare. Partea dreaptă 96 g este identic constant. Prin urmare, în conformitate cu teorema 6, ecuația are o soluție unică. Este ușor să vezi ce este. Răspuns.. Exemplul 7. Rezolvați ecuația. Soluția Y. Dar Y pentru orice R și, prin urmare, ecuația 0 Y și, prin urmare, originalul (.), nu are soluție. Răspuns.

MINISTERUL ȘTIINȚEI ȘI EDUCAȚIEI AL FEDERĂȚIA RUSĂ ACADEMIA DE INGINERI DE RADIO DE STAT RYAZAN GS LUKYANOVA AINOVIKOV ECUAȚII ȘI INEGAȚIUNI RAȚIONALE ȘI IRAȚIONALE Ministerul Ryazan

AGENȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNT A ADMINISTRAȚII REGIUNII KRASNOYARSK UNIVERSITATEA DE STAT KRASNOYARSK ȘCOALA DE CORESPONDENȚĂ DE ȘTIINȚELE NATURII din cadrul Universității de Stat din Krasnoyarsk CAPITOLULE SUPLIMENTARE DE MATEMATICĂ Clasa a 10-a Modulul 4 METODE DE SOLUȚIE

Tema 14 „Ecuații algebrice și sisteme de ecuații neliniare” Un polinom de grad n este un polinom de forma P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, unde a 0, a 1 , a n-1, a n numere date, a 0,

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL FEDERĂȚIA RUSĂ UNIVERSITATEA DE STAT NOVOSIBIRSK CENTRUL DE ÎNVĂȚĂMÂNT ȘI ȘTIINȚIFICI DE SPECIALIZARE Matematică Clasa a VIII-a Polinoame Novosibirsk Polinoame Raționale

Ecuații și inegalități iraționale Cuprins Ecuații iraționale Metoda de ridicare a ambelor părți ale unei ecuații la aceeași putere

Transformări de identitate ale expresiilor algebrice Expresii algebrice expresii care conțin numere și litere legate prin operații algebrice: adunare, scădere, înmulțire, împărțire și construcție

4.. Metoda schimbării variabile pentru rezolvarea ecuațiilor algebrice. În paragraful anterior, metoda schimbării variabile a fost folosită pentru factorizarea unui polinom. Aceasta metoda utilizat pe scară largă pentru

Tema 5 Sisteme raționale de ecuații F (x, x,...,) 0, F (x, x,...,) 0, Sistem de ecuații de forma în care... Fk (x, x,.. .,) 0 , F i(x, x,...,), i,..., k, unele polinoame, se numește sistem de rațional

Ministerul Educației și Științei Federația Rusă Institutul de Fizică și Tehnologie din Moscova ( Universitate de stat) Corespondenta scoala fizica si tehnica MATEMATICA Polinoame. Cele mai simple ecuații și

Capitolul 7 Ecuații patratice Conversație 8 Cum au fost rezolvate ecuațiile patratice în antichitate. De fapt, metoda babiloniană oferă o soluție sistemului + y =, care este o înregistrare a problemei găsirii y = q, laturi

Program de algebră pentru clasa a VII-a a unei instituții de învățământ general. Notă explicativă Structura programului Programul cuprinde trei secțiuni: 1. Rezultatele planificate ale stăpânirii algebrei în clasa a VII-a 2. Conținutul

I. V. Yakovlev Materiale de matematică rădăcină MathUs.ru ........................................

Ministerul Educației din Regiunea Moscova instituție educațională superior învăţământul profesional Regiunea Moscova „Universitatea Internațională a Naturii, Societății și

Instrucțiuni, soluții, răspunsuri ECUAȚII ÎN INTEGER. Ecuație cu o necunoscută Soluție. Să o punem în ecuație. Obținem egalitatea (4a b 4) (a b 8) 0. Egalitatea A B 0, unde A și B sunt numere întregi, este satisfăcută,

Ecuații În algebră, sunt considerate două tipuri de egalități - identități și ecuații. Identitatea este o egalitate care este valabilă pentru toate valorile admisibile ale literelor incluse în ea. Pentru identități se folosesc semne.

Corespondenta fizica si matematica liceul "Avangard" E. N. FILATOV ALGEBRA 8 Manual experimental Partea MOSCOVA 06 Corespondenta fizica si matematica liceul "Avangard" E. N. Filatov ALGEBRA 8 Experimental

Tema 1 Numere reale și acțiuni asupra lor 4 ore 11 Dezvoltarea conceptului de număr 1 Inițial, numerele erau înțelese doar ca numere naturale, care sunt suficiente pentru a număra obiectele individuale.

ECUAȚII ALGEBRICE CU CELE MAI MARE GRADE

MATEMATICĂ Rădăcini pătrate Sarcină pentru clasa a VIII-a (006-00 an academic) 4 Introducere Dragi copii! Ai primit o altă temă de matematică. În această sarcină, vă prezentăm un concept matematic important.

Nota 8.3, Matematică (manual Makarychev) Anul universitar 2016-2017 Tema modulului 5 „Rădăcină pătrată. Gradul cu un indicator întreg ”Părțile teoretice și practice sunt verificate în test. TEMA A ști A putea ști

Universitatea de Stat Penza Facultatea de Fizică și Matematică „Școala de fizică și matematică prin corespondență” MATEMATICĂ Transformări identitare. Rezolvarea ecuațiilor. Triunghiuri Sarcina 1 pentru

Clasa 0, Matematică (profil) anul universitar 0-08 Tema modulului „Rădăcini, puteri, logaritmi” Cunoașterea conceptelor de număr real, mulțime de numere, proprietăți ale numerelor reale, divizibilitate a numerelor întregi ****, proprietăți

Clasa a VIII-a, Matematică (manual Makarychev) Anul universitar 07-08 Tema modulului „Rădăcină pătrată. Gradul cu un indicator întreg ”Părțile teoretice și practice sunt verificate în test. Subiect Cunoașteți Fiți capabili să cunoașteți definiția

SOLUȚIA ECUATIILOR RECURENTE Se notează cu valoarea unei expresii atunci când un număr întreg este substituit în ea Apoi dependența unui membru al secvenței de membrii șirului F F cu valori

Capitolul Grad cu un exponent rațional Funcție de putere Grad cu un exponent întreg Reamintim definiția și proprietățile de bază ale unui grad cu un exponent întreg Pentru orice număr real a, se stabilește un

Http://vk.ucoz.et/ Operații pe polinoame k a k Un polinom (polinom) de gradul k este o funcție de forma a, unde variabile, a sunt coeficienți numerici (=,.k), și. Orice număr diferit de zero poate fi luat în considerare

Rezolvarea analitică a ecuațiilor algebrice de gradele 3 și 4 Cuprins 1 Introducere 1 2 Ecuații de gradul III 3 3 Ecuații de gradul IV 7 1 Introducere Acest manuscris conține formule pentru

Clasă. Gradul cu exponent real arbitrar, proprietățile sale. Funcția de putere, proprietățile sale, grafica .. Amintiți-vă proprietățile unui grad cu un exponent rațional. a a a a a pentru vremuri naturale

REFERINȚĂ Câteva semne de divizibilitate a numerelor naturale Numerele naturale sunt numere folosite pentru numărare: Numerele naturale formează o mulțime numită mulțime de numere naturale Mulțimea

Capitolul 9 Grade Un grad cu un exponent întreg. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0; >>.. >. Dacă chiar, atunci ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). De exemplu, () => = = (), deci

Starea documentului Notă explicativă

MODULUL 7 „Funcții exponențiale și logaritmice”. Generalizarea conceptului de grad. Rădăcina gradului și proprietățile sale.. Ecuații iraționale.. Gradul cu exponent rațional.. Funcție exponențială..

Ural universitate federală, Institutul de Matematică și Informatică, Departamentul de Algebră și Matematică Discretă Conceptul de polinom Definiții Un polinom dintr-o variabilă este o expresie a formei

Instituția de învățământ de la bugetul de stat federal de învățământ profesional superior „Universitatea de stat din Tver” A A G O L U B E V, T A S P A S K A

Prelegere Capitolul Mulțimi și operații asupra lor Conceptul de mulțime Conceptul de mulțime se referă la cele mai primare concepte ale matematicii care nu sunt definite prin altele mai simple.

0.5 Ecuații și inegalități logaritmice. Cărți uzate:. Algebra și începutul analizei 0 - editat de A.N.Kolmogorov. Independentă şi hârtii de testîn algebră 0 - editat de E.P.Ershov

ECUAȚII CADRATICE

Cuprins Ecuație................................... Expresii întregi.. ......... .......................... Expresii cu puteri............. ........ ......... 3 Monomial ................................ ........ ......

Acțiuni cu fracții: electronice Trusa de instrumente a face temele Teme pentru acasă. „Transformările sunt putere și expresii iraționale. Calcularea valorilor expresiilor numerice » Formule

Notă explicativă Program de lucru algebră pentru clasa a VIII-a ( studiu aprofundat) este întocmită în conformitate cu componenta federală a standardului educațional de stat, programul de algebră

I. V. Yakovlev, A. G. Malkova. Pregătirea pentru examenul la matematică. Materiale site http://www.ege-study.ru Ecuații trigonometrice În acest articol vom vorbi despre principalele tipuri de ecuații trigonometrice

Cursul 7 Numere complexe și reprezentarea lor în plan Operații algebrice pe numere complexe Conjugare complexă Modulul și argumentul unui număr complex Forme algebrice și trigonometrice

Calendar-planificare tematică cu definirea principalelor tipuri de activități educaționale ale lecției Data Secțiunea Tema lecției Caracteristicile principalelor activități ale elevilor 1 jumătate a anului 65 de lecții; 1 sfert

Instituția de învățământ bugetară de stat a Republicii Khakassia „Internat Gimnazial Național Khakassian numit după. N.F.Katanova „ACCORD” la ședința Departamentului de Matematică și Informatică Protocol

Capitolul 1. Istoria ecuațiilor pătratice și de ordin superior 1.1 Ecuațiile din vechiul Babilon Algebra au apărut în legătură cu rezolvarea diferitelor probleme folosind ecuații. Sarcinile necesită de obicei

Programul de matematică La examenul de matematică, solicitanții trebuie să demonstreze: 1. Cunoștințe clare despre definiții matematiceși teoreme, formulele de bază ale algebrei și geometriei, capacitatea de a demonstra teoreme și de a deriva

Curs INTEGRAREA fracțiilor raționale Fracții raționale Integrarea celor mai simple fracții raționale Descompunere fracție raționalăîn fracţii simple Integrarea fracţiilor raţionale Raţional

MATEMATICĂ Ecuații raționale Sisteme de ecuații Ecuații care conțin un modul Temă pentru clasele 9 0-04 Anul universitar Alcătuit de: cps, conf. univ. Marina EV Penza, 0 Introducere Să reamintim câteva concepte

Varianta tipică „Numere complexe Polinoame și fracții raționale” Sarcină Având în vedere două numere complexe și cos sn Găsiți și scrieți rezultatul în formă algebrică scrieți rezultatul în trigonometric

Anexa la „De bază program educațional principal educatie generala MBOU SOSH 5 „PROGRAM DE LUCRU pe tema „Algebră” pentru clasele a VII-a a VIII-a Program: Programe. Matematică. 5-6 clase.

2.22. Scoateți din paranteze factorul comun (n este un număr natural): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5n + 4 + 2 5n + 2-3 5n + 1. 2.23. Fiecare număr a fost atribuit

Notă explicativă Programul de lucru al disciplinei opționale „Algebra Plus: Algebra din punctul de vedere al matematicii superioare” pentru elevii claselor 0 este întocmit pe baza unui exemplar exemplar. program de lucru profesori

3.. Metode de rezolvare a inegalităţilor raţionale 3..1. Inegalități numerice În primul rând, să definim ce înțelegem prin afirmația a > b. Definiția 3..1. Numărul a este mai mare decât numărul b dacă diferența dintre ele este pozitivă.

Calendar-planificare tematică Algebră clasa 8b Nivel de studiu: avansat 4 ore pe săptămână / 144 ore pe an Conținutul subiectului curs de pregatire 1. Repetarea materialului de nota 7 (6 ore). Algebric

Biletul de examen 1 1. Conversia fracțiilor obișnuite în zecimale și invers. Acțiuni cu fracții. 2. Definirea funcției. Modalități de setare, domeniul de definire, domeniul valorilor funcției. 2 x 1 x x 1

7 Ecuații trigonometrice și inegalități Comentariu

57 Considerăm integrarea celei mai simple fracții raționale de al patrulea tip (M N) d () p q p Să facem o schimbare de variabilă setând d. unde a p q. Atunci integrala M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

Ecuații diferențiale de ordin superior. Konev V.V. Planuri de prelegere. Cuprins 1. Concepte de bază 1 2. Ecuații care permit reducerea ordinii 2 3. Linear ecuatii diferentiale de ordin superior

Repetiție Algebră 7 8. Întrebări.Paranteze de deschidere. Înmulțirea polinoamelor Graficul unei funcții liniare. 4. Descompunerea unui polinom în factori. 5. Proprietatea unui grad cu indicator natural. 6. Formule prescurtate

Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi Ecuații liniare. Metoda de enumerare directă Exemplu. Iepurii și fazanii stau într-o cușcă. Au 8 picioare în total. Aflați câte dintre acestea și altele sunt în celulă. Enumerați toate soluțiile. Soluţie.

UNIVERSITATEA DE CERCETARE ŞTIINŢIFICĂ ŞCOALA SUPERIORĂ DE ECONOMIE MATEMATICĂ Programul „Clasa a 11-a” Anul universitar 2013-2014 Partea 1, algebră şi începutul analizei Cuprins Capitolul 1. Conţinutul cursului şi testelor...

Capitolul I Fracții algebrice 18 Capitolul II Funcția pătratică. Funcţie. 14 Capitolul III Funcția y = x. Proprietățile rădăcinii pătrate 12 Capitolul IV Ecuații pătratice 22 Capitolul V Numerele reale 11 Capitolul VI

Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Ecuațiile au fost folosite de om din cele mai vechi timpuri și de atunci utilizarea lor a crescut.

Ecuațiile care conțin simbolul \[\sqrtx\] se numesc ecuații cu rădăcină pătrată. Rădăcina pătrată a unui număr nenegativ \ este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu \. \[(\sqrt a=x, x_2=a; x, a\pm0)\]. Numărul sau expresia de sub semnul rădăcinii trebuie să fie întotdeauna nenegativ.

Exista căi diferite soluții ale unor astfel de ecuații:

Pătratarea unui număr prin înmulțirea numărului cu el însuși;

Simplificarea rădăcinilor, dacă este posibil, prin îndepărtarea rădăcinilor complete din acesta;

Utilizarea numerelor imaginare pentru a obține rădăcina numerelor negative;

Aplicarea algoritmului de împărțire într-o coloană;

Si altii.

Pentru claritate, rezolvăm următoarea ecuație cu rădăcină pătrată:

\[\sqrt(x-5)=3\]

Înmulțim fiecare parte a ecuației de la sine pentru a scăpa de radicali:

Acum avem cel mai simplu ecuație liniară, care se rezolva astfel:

Unde pot rezolva o ecuație algebrică online?

Puteți rezolva ecuația algebrică pe site-ul nostru https: // site-ul. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați o ecuație online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faci este să introduci datele în solutor. De asemenea, puteți viziona instrucțiunile video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Alătură-te grupului nostru, suntem mereu bucuroși să te ajutăm.