Pendul cu arc oscilator armonic. Oscilator armonic ideal

F, proporțional cu deplasarea X :

În cazul în care un F- singura forță care acționează asupra sistemului, atunci sistemul este numit simplu sau oscilator armonic conservator. Oscilațiile libere ale unui astfel de sistem reprezintă o mișcare periodică în jurul poziției de echilibru (oscilații armonice). Frecvența și amplitudinea sunt constante, iar frecvența nu depinde de amplitudine.

Exemple mecanice de oscilator armonic sunt pendulul matematic (cu unghiuri mici de deformare), o greutate pe un arc, un pendul de torsiune și sistemele acustice. Printre analogii nemecanici ai unui oscilator armonic, se poate evidenția un oscilator armonic electric (vezi circuitul LC).

Lăsa X- deplasarea unui punct material în raport cu poziţia sa de echilibru, şi F- acționând asupra unui punct restabilind forța de orice natură a formei

Unde k= const. Apoi, folosind a doua lege a lui Newton, se poate scrie accelerația ca

Amplitudinea este redusă. Aceasta înseamnă că poate avea orice valoare (inclusiv zero - aceasta înseamnă că punctul material este în repaus în poziția de echilibru). Sinusul poate fi, de asemenea, redus, deoarece egalitatea trebuie să se mențină în orice moment t. Astfel, condiția pentru frecvența de oscilație rămâne:

Simplu mișcare armonică stă la baza unor moduri de analiză a unor tipuri mai complexe de mişcare. Una dintre aceste metode se bazează pe transformata Fourier, a cărei esență este descompunerea unui tip mai complex de mișcare într-o serie de mișcări armonice simple.

Orice sistem în care apare o mișcare armonică simplă are două proprietăți cheie:

Un exemplu tipic de sistem în care apare o mișcare armonică simplă este sistemul idealizat de masă-arc, în care o masă este atașată de un arc și este plasată pe o suprafață orizontală. Dacă arcul nu este comprimat și nu este întins, atunci nicio forță variabilă nu acționează asupra sarcinii și se află într-o stare de echilibru mecanic. Totuși, dacă sarcina este îndepărtată din poziția de echilibru, arcul este deformat și o forță va acționa din partea sa, având tendința de a readuce sarcina în poziția de echilibru. În cazul unui sistem sarcină-arc, o astfel de forță este forța elastică a arcului, care respectă legea lui Hooke:

Unde k are o semnificație foarte specifică - acesta este coeficientul rigidității arcului.

Odată ce sarcina deplasată este supusă acțiunii unei forțe de restabilire, accelerând-o și având tendința de a o întoarce la punctul de plecare, adică la poziția de echilibru. Pe măsură ce sarcina se apropie de poziția de echilibru, forța de restabilire scade și tinde spre zero. Totuși, în poziție X = 0 sarcina are o anumită mișcare (impuls), dobândită datorită acțiunii forței de restabilire. Prin urmare, sarcina omite poziția de echilibru, începând din nou să deformeze arcul (dar în direcția opusă). Forța de restabilire va tinde să o încetinească până când viteza este zero; iar forța va căuta din nou să readucă sarcina în poziția sa de echilibru.

Dacă nu există pierderi de energie, sarcina va oscila așa cum este descris mai sus; această mișcare este periodică.

Mișcarea armonică simplă afișată simultan în spațiul real și spațiul fazelor. Spațiu real - spațiu real; Phase Space - spațiu de fază; viteza - viteza; poziție - poziție (poziție).

În cazul unei sarcini suspendate vertical pe un arc, împreună cu forța elastică, acționează gravitația, adică forța totală va fi

Măsurătorile frecvenței (sau perioadei) oscilațiilor unei sarcini pe un arc sunt utilizate în dispozitivele pentru determinarea masei corporale - așa-numitele contoare de masă, utilizate pe stații spațiale când balanța nu poate funcționa din cauza imponderabilității.

Mișcarea armonică simplă poate fi considerată în unele cazuri ca o proiecție unidimensională a mișcării circulare universale.

Dacă un obiect se mișcă cu o viteză unghiulară constantă ω de-a lungul unui cerc de rază r, al cărui centru este originea planului x − y, atunci o astfel de mișcare de-a lungul fiecărei axe de coordonate este simplă armonică cu amplitudinea rşi frecvenţa circulară ω .

În aproximarea unghiurilor mici, mișcarea unui pendul simplu este aproape de armonică simplă. Perioada de oscilație a unui astfel de pendul atașat la o tijă de lungime ℓ , este dat de formula

Unde g- accelerarea gravitației. Aceasta arată că perioada de oscilație nu depinde de amplitudinea și masa pendulului, ci depinde de g, prin urmare, cu aceeași lungime a pendulului, pe Lună se va oscila mai lent, deoarece acolo gravitația este mai slabă și valoarea accelerației de cădere liberă este mai mică.

Aproximația specificată este corectă numai la unghiuri mici de deviere, deoarece expresia accelerației unghiulare este proporțională cu sinusul coordonatei:

Unde eu- moment de inerție ; în acest caz eu = mℓ 2. Unghiurile mici sunt realizate în condițiile în care amplitudinea oscilației este mult mai mică decât lungimea tijei.

ceea ce face ca accelerația unghiulară să fie direct proporțională cu unghiul θ și aceasta satisface definiția mișcării armonice simple.

Când se consideră un oscilator amortizat, se ia ca bază modelul unui oscilator conservator, la care se adaugă forța de frecare vâscoasă. Forța de frecare vâscoasă este îndreptată împotriva vitezei sarcinii față de mediu și este direct proporțională cu această viteză. Apoi, forța totală care acționează asupra sarcinii se scrie după cum urmează:

Folosind a doua lege a lui Newton, obținem ecuație diferențială descriind oscilatorul amortizat:

Prin urmare, în indicatorii indicatori (de exemplu, în ampermetre), de obicei încearcă să introducă o atenuare critică precisă, astfel încât săgeata să se calmeze cât mai repede posibil pentru a-și citi citirile.

Un oscilator cu amortizare critică are un factor de calitate de 0,5. În consecință, factorul de calitate indică natura comportamentului oscilatorului. Dacă factorul de calitate este mai mare de 0,5, atunci mișcarea liberă a oscilatorului este o oscilație; teoretic, în timp, va traversa poziţia de echilibru de un număr nelimitat de ori. Un factor de calitate mai mic sau egal cu 0,5 corespunde mișcării neoscilatorii a oscilatorului; în mișcare liberă, va traversa poziția de echilibru cel mult o dată.

În cazul mișcării oscilatorii, atenuarea este caracterizată și de parametri precum:

Acest timp este considerat ca fiind timpul necesar pentru amortizarea (încetarea) oscilațiilor (deși, formal, oscilațiile libere continuă la nesfârșit).

Oscilațiile unui oscilator se numesc forțate atunci când se exercită o influență externă suplimentară asupra acestuia. Aceasta influenta poate fi produsa prin diverse mijloace si dupa diverse legi. De exemplu, excitația forței este efectul asupra sarcinii de către o forță care depinde numai de timp conform unei anumite legi. Excitația cinematică este acțiunea asupra oscilatorului prin mișcarea punctului de fixare a arcului conform unei legi date. Efectul frecării este posibil și atunci când, de exemplu, mediul cu care sarcina suferă frecare se mișcă conform unei legi date.

Luați în considerare oscilațiile unei greutăți m pe un arc cu coeficientul de rigiditate k, care se află pe o masă plată orizontală, presupunând că nu există frecare a greutății pe suprafața mesei. Dacă greutatea este îndepărtată din poziția de echilibru, aceasta va oscila în jurul acestei poziții. Vom descrie aceste oscilații printr-o funcție dependentă de timp, presupunând că aceasta determină abaterea greutății de la poziția sa de echilibru la momentul t.

În direcția orizontală, asupra greutății acționează o singură forță - forța elastică a arcului, determinată de binecunoscuta lege lui Hooke

Deformarea arcului este o funcție de timp, motiv pentru care este și o variabilă.

Din a doua lege a lui Newton avem

deoarece acceleraţia este derivata a doua a deplasării: .

Ecuația (9) poate fi rescrisă sub forma

Unde. Această ecuație se numește ecuația oscilatorului armonic.

Cometariu. În literatura matematică, atunci când se scrie o ecuație diferențială, de obicei nu se indică argumentul (t) lângă toate funcțiile care depind de el. Această dependență este asumată în mod implicit. Când se utilizează pachetul matematic Maple în (10), este necesar să se indice dependența explicită a funcției.

Spre deosebire de exemplul anterior de mișcare a corpului sub acțiunea unei forțe constante, în cazul nostru forța se modifică în timp, iar ecuația (10) nu mai poate fi rezolvată folosind procedura obișnuită de integrare. Să încercăm să ghicim soluția acestei ecuații, știind că ea descrie un proces oscilator. Ca una dintre soluțiile posibile ale ecuației (10), putem alege următoarea funcție:

Funcția de diferențiere (11), avem

Înlocuind expresia (12) în ecuația (10), ne asigurăm că este satisfăcută identic pentru orice valoare a lui t.

Cu toate acestea, funcția (11) nu este singura soluție a ecuației oscilatorului armonic. De exemplu, se poate alege o funcție ca altă soluție, care este, de asemenea, ușor de verificat într-un mod similar. Mai mult, se poate verifica dacă orice combinație liniară a acestor două soluții numite aleatoriu

cu coeficienți constanți A și B este, de asemenea, o soluție a ecuației oscilatorului armonic.

Se poate demonstra că soluția cu două constante (13) este soluția generală a ecuației oscilatorului armonic (10). Aceasta înseamnă că formula (13) epuizează toate soluțiile posibile ale acestei ecuații. Cu alte cuvinte, ecuația oscilatorului armonic nu are alte soluții particulare, cu excepția celor obținute din formula (13) prin fixarea constantelor arbitrare A și B.

Rețineți că în fizică este cel mai adesea necesar să căutați doar câteva soluții particulare ale ODE-urilor individuale sau ale sistemelor acestora. Să luăm în considerare această întrebare mai detaliat.

Este posibil să excităm oscilații în sistemul de greutate pe un arc pe care îl luăm în considerare căi diferite. Să stabilim următoarele condiții inițiale

Aceasta înseamnă că în momentul inițial de timp, greutatea a fost scoasă din poziția de echilibru cu o valoare a și eliberată liber (adică își începe mișcarea cu viteza inițială zero). Se pot imagina multe alte moduri de excitare, de exemplu, unei greutăți în poziția de echilibru i se dă o anumită viteză inițială printr-un „clic” etc. [ caz general, ].

Considerăm condițiile inițiale (14) ca niște condiții suplimentare pentru separarea de soluția generală (13) a unei soluții particulare corespunzătoare metodei noastre de excitare a oscilațiilor de greutate.

Presupunând t=0 în expresia (13), avem, de unde rezultă că B=a. Astfel, am găsit una dintre constantele arbitrare anterior în soluția (13). În plus, diferențiind în formula (13), avem

Presupunând t=0 în această expresie și ținând cont de a doua condiție inițială din (14), obținem, deci rezultă că A=0 și, astfel, soluția particulară inițială are forma

Descrie modul oscilator al celui considerat sistem mecanic, care este determinată de condițiile inițiale de excitație (14).

Se știe de la cursul școlii de fizică că în formula (16) a este amplitudinea oscilațiilor (se stabilește abaterea maximă a greutății de la poziția sa de echilibru), este frecvența ciclică și este faza oscilațiilor (cel faza inițială se dovedește a fi egală cu zero).

Ecuația oscilatorului armonic (10) este un exemplu de ODE liniară. Aceasta înseamnă că funcția necunoscută și toate derivatele ei sunt incluse în fiecare termen al ecuației până la primul grad. Ecuațiile diferențiale liniare au o proprietate distinctivă extrem de importantă: ele satisfac principiul suprapunerii. Aceasta înseamnă că orice combinație liniară a oricăror două soluții ale unei EDO liniare este, de asemenea, soluția sa.

În exemplul ecuației oscilatorului armonic pe care îl luăm în considerare, o combinație liniară arbitrară a două soluții particulare nu este doar o soluție nouă, ci o soluție generală a acestei ecuații (epuizează toate soluțiile posibile).

În general, acesta nu este cazul. De exemplu, dacă am avea de-a face cu o ecuație diferențială liniară de ordinul trei (adică, dacă ecuația include o derivată a treia), atunci o combinație liniară a oricăror două dintre soluțiile sale particulare ar fi, de asemenea, o soluție pentru această ecuație, dar nu ar fi să-l reprezinte decizie comună.

În cursul ecuațiilor diferențiale, se demonstrează o teoremă că soluția generală a unei EDO de ordinul N (liniară sau neliniară) depinde de N constante arbitrare. În cazul unei ecuații neliniare, aceste constante arbitrare pot intra în soluția generală (spre deosebire de (13)), într-o manieră neliniară.

Principiul suprapunerii joacă un rol extrem de important în teoria ODE, deoarece poate fi folosit pentru a construi o soluție generală a unei ecuații diferențiale sub forma unei suprapuneri a soluțiilor sale particulare. De exemplu, pentru cazul ODE-urilor liniare cu coeficienți constanți și sistemele acestora (ecuația oscilatorului armonic aparține tocmai acestui tip de ecuații), în teoria ecuațiilor diferențiale a fost dezvoltată o metodă de soluție generală. Esența sa este următoarea. Căutăm o soluție specială în formular Ca urmare a substituirii sale în ecuația originală, toți factorii dependenți de timp se anulează și ajungem la o ecuație caracteristică, care pentru EDO de ordinul N este ecuație algebrică Gradul al N-lea. Rezolvând-o, găsim, prin urmare, toate soluțiile particulare posibile, o combinație liniară arbitrară a cărora dă soluția generală a EDO inițială. Nu ne vom opri mai mult asupra acestei chestiuni, adresând cititorul la manualele adecvate despre teoria ecuațiilor diferențiale, unde pot fi găsite detalii suplimentare, în special, cazul când ecuația caracteristică conține mai multe rădăcini.

Dacă se consideră o EDO liniară cu coeficienți variabili (coeficienții săi depind de timp), atunci este valabil și principiul suprapunerii, dar nu mai este posibil să se construiască o soluție generală a acestei ecuații într-o formă explicită prin orice metodă standard. Vom reveni asupra acestei probleme mai târziu, discutând fenomenul rezonanței parametrice și ecuația Mathieu aferentă studiului acesteia.

VASCULAREA. VALURI. OPTICA

VASCULAREA

Cursul 1

OSCILAȚII ARMONICE

Oscilator armonic ideal. Ecuația oscilatorului ideal și soluția acesteia. Amplitudinea, frecventa si faza oscilatiilor

Oscilația este unul dintre cele mai comune procese din natură și tehnologie. Fluctuațiile sunt procese care se repetă în timp. Clădirile înalte și firele de înaltă tensiune oscilează sub influența vântului, a pendulului unui ceas ranit și a unei mașini pe izvoare în timpul mișcării, a nivelului râului în timpul anului și a temperaturii corpului uman în timpul bolii. Sunetul este fluctuațiile presiunii aerului, undele radio sunt modificări periodice ale puterii electrice și camp magnetic, lumina este de asemenea oscilații electromagnetice. Cutremurele - vibrații ale solului, fluxuri și refluxuri - modificări ale nivelurilor mărilor și oceanelor cauzate de atracția lunii etc.

Oscilațiile sunt mecanice, electromagnetice, chimice, termodinamice etc. În ciuda unei astfel de varietăți, toate oscilațiile sunt descrise de aceleași ecuații diferențiale.

Primii oameni de știință care au studiat vibrațiile au fost Galileo Galilei și Christian Huygens. Galileo a stabilit independența perioadei de oscilații față de amplitudine. Huygens a inventat ceasul cu pendul.

Orice sistem care, atunci când este ușor dezechilibrat, oscilează constant se numește oscilator armonic. În fizica clasică, astfel de sisteme sunt un pendul matematic în unghiuri mici de deviere, o sarcină în amplitudini mici de oscilație, un circuit electric format din elemente de capacitate și inductanță liniare.

Un oscilator armonic poate fi considerat liniar dacă deplasarea din poziția de echilibru este direct proporțională cu forța perturbatoare. Frecvența de oscilație a unui oscilator armonic nu depinde de amplitudine. Pentru oscilator, principiul suprapunerii este îndeplinit - dacă acționează mai multe forțe perturbatoare, atunci efectul acțiunii lor totale se poate obține ca urmare a adunării efectelor din forte active separat.

Oscilațiile armonice sunt descrise de ecuație (Fig. 1.1.1)

(1.1.1)

Unde X- deplasarea valorii oscilante din poziția de echilibru, DAR– amplitudinea oscilațiilor egală cu valoarea deplasării maxime, - faza de oscilații, care determină deplasarea în timp , - faza inițială, care determină mărimea deplasării în momentul inițial de timp, - frecvența ciclică a oscilațiilor.

Timpul unei oscilații complete se numește perioadă, unde este numărul de oscilații finalizate în timpul respectiv.

Frecvența de oscilație determină numărul de oscilații pe unitatea de timp, este legată de frecvența ciclică prin raport, apoi perioada.

Viteza unui punct material oscilant

accelerare

Astfel, viteza și accelerația oscilatorului armonic se modifică de asemenea conform legii armonice cu amplitudini și respectiv. În acest caz, viteza este înaintea deplasării de fază cu , iar accelerația - cu (Fig. 1.1.2).

Dintr-o comparație a ecuațiilor de mișcare ale unui oscilator armonic (1.1.1) și (1.1.2) rezultă că , sau

Această ecuație diferențială de ordinul doi se numește ecuația oscilatorului armonic. Soluția lui conține două constante Ași , care sunt determinate de sarcină condiții inițiale

Dacă un proces care se repetă periodic este descris prin ecuații care nu coincid cu (1.1.1), acesta se numește anarmonic. Un sistem care efectuează oscilații anarmonice se numește oscilator anarmonic.

1.1.2 . Oscilații libere ale sistemelor cu un grad de libertate. formă complexă reprezentări ale vibraţiilor armonice

În natură, micile oscilații pe care le face un sistem în apropierea poziției sale de echilibru sunt foarte frecvente. Dacă un sistem scos din echilibru este lăsat singur, adică forțele externe nu acționează asupra lui, atunci un astfel de sistem va efectua oscilații libere neamortizate. Luați în considerare un sistem cu un grad de libertate.

Un echilibru stabil corespunde unei poziții a sistemului în care energia sa potențială are un minim ( q este coordonata generalizată a sistemului). Abaterea sistemului de la poziția de echilibru duce la apariția unei forțe care tinde să readucă sistemul. Notăm valoarea coordonatei generalizate corespunzătoare poziţiei de echilibru, apoi abaterea de la poziţia de echilibru

Vom număra energia potențială de la valoarea minimă. Să luăm funcția rezultată, să o extindem într-o serie Maclaurin și să lăsăm primul termen al expansiunii, avem: o

Unde . Apoi, ținând cont de notația introdusă:

, (1.1.4)

Ținând cont de expresia (1.1.4) pentru forța care acționează asupra sistemului, obținem:

Conform celei de-a doua legi a lui Newton, ecuația de mișcare a sistemului are forma:

Expresia (1.1.5) coincide cu ecuația (1.1.3) a oscilațiilor armonice libere, cu condiția ca

și are două soluții independente: și , deci soluția generală este:

Din formula (1.1.6) rezultă că frecvența este determinată numai de proprietățile intrinseci ale sistemului mecanic și nu depinde de amplitudine și de condițiile inițiale de mișcare.

Dependența coordonatei sistemului oscilant de timp poate fi determinată ca parte reală a expresiei complexe , Unde A=Xe-iα este o amplitudine complexă, modulul său coincide cu amplitudinea obișnuită, iar argumentul său coincide cu faza inițială.

1.1.3 . Exemple de mișcări oscilatorii de natură fizică variată

Fluctuații ale sarcinii asupra arcului

Luați în considerare oscilațiile unei sarcini pe un arc, cu condiția ca arcul să nu fie deformat dincolo de limitele elasticității. Vom arăta că o astfel de sarcină va efectua oscilații armonice în raport cu poziția de echilibru (Fig. 1.1.3). Într-adevăr, conform legii lui Hooke, un arc comprimat sau întins creează o forță armonică:

Unde - coeficientul de rigiditate a arcului, este coordonata pozitiei de echilibru, X este coordonata sarcinii (punctul material) în momentul de timp, este deplasarea de la poziția de echilibru.

Să plasăm originea coordonatei în poziția de echilibru a sistemului. În acest caz .

Dacă arcul este întins de X, apoi eliberați la timp t=0, atunci ecuația de mișcare a sarcinii conform celei de-a doua legi a lui Newton va lua forma -kx=ma, sau , și

(1.1.6)

Această ecuație coincide ca formă cu ecuația de mișcare (1.1.3) a unui sistem care efectuează oscilații armonice, vom căuta soluția ei sub forma:

. (1.1.7)

Inlocuim (1.17) in (1.1.6), avem: adică, expresia (1.1.7) este o soluție a ecuației (1.1.6) cu condiția ca

Dacă la momentul inițial de timp poziția sarcinii a fost arbitrară, atunci ecuația mișcării va lua forma:

Să considerăm cum se modifică energia sarcinii, făcând oscilații armonice în absența forțelor externe (Fig. 1.14). Dacă la momentul respectiv t=0 trimite offset la marfă x=A, atunci energia sa totală va deveni egală cu energia potențială a arcului deformat, energia cinetică este egală cu zero (punctul 1).

Forța care acționează asupra sarcinii F= -kx, căutând să-l readucă în poziția de echilibru, astfel încât sarcina se mișcă cu accelerație și își mărește viteza și, în consecință, energia cinetică. Această forță reduce deplasarea sarcinii X, energia potenţială a sarcinii scade, transformându-se în cinetică. Sistemul „sarcină – arc” este închis, astfel încât energia sa totală este conservată, adică:

. (1.1.8)

În momentul de timp, sarcina este în echilibru (punctul 2), energia sa potențială este zero, iar energia sa cinetică este maximă. Găsim viteza maximă a sarcinii din legea conservării energiei (1.1.8):

Datorită stocului de energie cinetică, sarcina lucrează împotriva forței elastice – şi trece prin poziţia de echilibru. Energia cinetică se transformă treptat în potențial. Când sarcina are o deplasare negativă maximă - DAR, energie kinetică saptamana=0, sarcina se oprește și începe să se deplaseze în poziția de echilibru sub acțiunea unei forțe elastice F= -kx. Mișcarea ulterioară este similară.

Pendule

Sub pendul înțelege solid care, sub acţiunea gravitaţiei, oscilează în jurul unui punct sau axă fixă. Există pendule fizice și matematice.

Un pendul matematic este un sistem idealizat format dintr-un fir inextensibil fără greutate pe care este suspendată o masă concentrată într-un punct material.

Un pendul matematic, de exemplu, este o minge pe un fir lung și subțire.

Abaterea pendulului de la poziția de echilibru este caracterizată de unghi φ , care formează un fir cu o verticală (Fig. 1.15). Când pendulul se abate de la poziția de echilibru, apare un moment al forțelor externe (gravitația): , Unde m- greutate, - lungimea pendulului

Acest moment tinde să readucă pendulul în poziția de echilibru (similar forței cvasi-elastice) și este îndreptat opus deplasării φ , deci există un semn minus în formulă.

Ecuația pentru dinamica mișcării de rotație pentru un pendul are forma: Iε=,

Vom lua în considerare, așadar, cazul micilor fluctuații sin φ ≈φ, denota ,

avem: , sau , și, în sfârșit

Aceasta este ecuația oscilațiilor armonice, soluția ei:

Frecvența de oscilație a unui pendul matematic este determinată numai de lungimea sa și de accelerația gravitației și nu depinde de masa pendulului. Perioada este:

Dacă corpul oscilant nu poate fi reprezentat ca punct material, atunci pendulul se numește fizic (Fig. 1.1.6). Scriem ecuația mișcării sale sub forma:

În cazul fluctuaţiilor mici , sau =0, unde . Aceasta este ecuația de mișcare a unui corp care efectuează oscilații armonice. Frecvența de oscilație a unui pendul fizic depinde de masa, lungimea și momentul de inerție a acestuia în jurul axei care trece prin punctul de suspensie.

Să notăm. Valoare se numește lungimea redusă a pendulului fizic. Aceasta este lungimea unui pendul matematic a cărui perioadă de oscilație coincide cu perioada unui pendul fizic dat. Un punct de pe o linie dreaptă care leagă punctul de suspensie cu centrul de masă, situat la o distanță de lungime redusă față de axa de rotație, se numește centrul de balansare al unui pendul fizic ( O). Dacă pendulul este suspendat în centrul balansării, atunci lungimea redusă și perioada de oscilație vor fi aceleași ca în punctul O. Astfel, punctul de suspensie și centrul de balansare au proprietăți de reciprocitate: atunci când punctul de suspensie este transferat în centrul de balansare, vechiul punct de suspensie devine noul centru de balansare.

Un pendul matematic care oscilează cu aceeași perioadă cu cel fizic luat în considerare este numit izocron cu pendulul fizic dat.

1.1.4. Adăugarea de vibrații (bătăi, figuri Lissajous). Descriere vectorială a adăugării vibrațiilor

Adunarea oscilațiilor în mod egal direcționat poate fi realizată folosind metoda diagramelor vectoriale. Orice oscilație armonică poate fi reprezentată ca un vector după cum urmează. Să alegem o axă X cu originea la punct O(fig.1.1.7)

De la un punct O construiți un vector care formează unghiul cu ax X. Lăsați acest vector să se rotească cu viteza unghiulară. Proiecția unui vector pe o axă X este egal cu:

adică execută oscilaţii armonice cu o amplitudine A.

Se consideră două oscilații armonice de aceeași direcție și aceeași ciclică mici, date de vectorii și . Decalaje de-a lungul axei X sunt egale:

vectorul rezultat are o proiecție și reprezintă oscilația rezultată (Fig. 1.1.8), conform teoremei cosinusului Astfel, adunarea oscilațiilor armonice se realizează prin adăugarea vectorilor.

Să efectuăm adăugarea de oscilații reciproc perpendiculare. Punctul material să facă două oscilații reciproc perpendiculare cu o frecvență:

Punctul material în sine se va deplasa apoi de-a lungul unei traiectorii curbilinii.

Din ecuația mișcării rezultă: ,

. (1.1.9)

Din ecuația (1.1.9) puteți obține ecuația elipsei (Fig.1.1.9):

Luați în considerare cazuri speciale ale acestei ecuații:

1. Diferența de fază de oscilație α= 0. În același timp acestea. sau Aceasta este ecuația unei drepte, iar oscilația rezultată are loc de-a lungul acestei drepte cu amplitudine (Fig. 1.1.10).

accelerația sa este egală cu derivata a doua a deplasării în raport cu timpul atunci forța care acționează asupra punctului oscilant, conform celei de-a doua legi a lui Newton, este egală cu

Adică, forța este proporțională cu deplasarea X si este indreptata impotriva deplasarii catre pozitia de echilibru. Această forță se numește forță de restabilire. În cazul unei sarcini pe un arc, forța de restabilire este forța elastică, în cazul unui pendul matematic, este componenta gravitației.

Forța restauratoare prin natură se supune legii lui Hooke F=-kx, Unde

este coeficientul forței de restabilire. Atunci energia potențială a punctului oscilant este:

(constanta de integrare este aleasă egală cu zero, astfel încât când X).

Oscilator anarmonic

OSCILAȚII ARMONICE

Cursul 1

VASCULAREA

VASCULAREA. VALURI. OPTICA

Oscilația este unul dintre cele mai comune procese din natură și tehnologie. Fluctuațiile sunt procese care se repetă în timp. Clădirile înalte și firele de înaltă tensiune oscilează sub influența vântului, a pendulului unui ceas ranit și a unei mașini pe izvoare în timpul mișcării, a nivelului râului în timpul anului și a temperaturii corpului uman în timpul bolii. Sunetul este fluctuații ale presiunii aerului, undele radio sunt modificări periodice ale intensității câmpurilor electrice și magnetice, lumina este și vibrații electromagnetice. Cutremurele - vibrații ale solului, fluxuri și refluxuri - modificări ale nivelurilor mărilor și oceanelor cauzate de atracția lunii etc.

Oscilațiile sunt mecanice, electromagnetice, chimice, termodinamice etc. În ciuda unei astfel de varietăți, toate oscilațiile sunt descrise de aceleași ecuații diferențiale.

Un oscilator armonic poate fi considerat liniar dacă deplasarea din poziția de echilibru este direct proporțională cu forța perturbatoare. Frecvența de oscilație a unui oscilator armonic nu depinde de amplitudine. Pentru oscilator, principiul suprapunerii este îndeplinit - dacă acționează mai multe forțe perturbatoare, atunci efectul acțiunii lor totale poate fi obținut ca urmare a adunării efectelor forțelor care acționează separat.

Oscilațiile armonice sunt descrise de ecuație (Fig. 1.1.1)

(1.1.1)

Timpul unei oscilații complete se numește perioadă, unde este numărul de oscilații finalizate în timpul respectiv.

Frecvența de oscilație determină numărul de oscilații pe unitatea de timp, este legată de frecvența ciclică prin raport, apoi perioada.

Viteza unui punct material oscilant

accelerare

Dintr-o comparație a ecuațiilor de mișcare ale unui oscilator armonic (1.1.1) și (1.1.2) rezultă că , sau

Această ecuație diferențială de ordinul doi se numește ecuația oscilatorului armonic. Soluția lui conține două constante Ași , care sunt determinate prin stabilirea condițiilor inițiale

1.1.2 . Oscilații libere ale sistemelor cu un grad de libertate. Formă complexă de reprezentare a oscilațiilor armonice

Vom număra energia potențială de la valoarea minimă. Să luăm funcția rezultată, să o extindem într-o serie Maclaurin și să lăsăm primul termen al expansiunii, avem: o

Oscilator armonic(în mecanica clasică) - un sistem care, atunci când este deplasat dintr-o poziție de echilibru, experimentează acțiunea unei forțe de restabilire F, proporțional cu deplasarea X(conform legii lui Hooke):

F = − k x (\displaystyle F=-kx)

Unde k- coeficient rigiditatea sistemului.

Exemple mecanice de oscilator armonic sunt un pendul matematic (cu unghiuri mici de deviere), un pendul de torsiune și sistemele acustice. Printre alți analogi ai oscilatorului armonic, merită evidențiat oscilatorul armonic electric (vezi circuitul LC).

YouTube enciclopedic

1 / 5

Particule elementare | teoria cuantică a câmpurilor | studiu numărul 6 | oscilator cuantic

Oscilații forțate ale unui oscilator liniar | Fizică generală. Mecanica | Evgheniei Butikov

Particule elementare | teoria cuantică a câmpurilor | studiu numărul 5 | oscilator clasic

Oscilatoare: ce sunt și cum să le folosești? Educație pentru comercianți de la I-TT.RU

Sytrus 01 din 16 Lucrul cu forma oscilatorului

Subtitrări

Vibrații libere

Oscilator armonic conservator

Ca model al unui oscilator armonic conservator, luăm sarcina de masă m, fixat pe un arc cu rigiditate k .

Lăsa X- deplasarea sarcinii fata de pozitia de echilibru. Apoi, conform legii lui Hooke, forța restauratoare va acționa asupra ei:

F = − k x . (\displaystyle F=-kx.)

Inlocuim in ecuatia diferentiala.

x ¨ (t) = − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) , (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi) ,) − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A sin ⁡ (ω t + φ) = 0. (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\ omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0.)

Amplitudinea este redusă. Aceasta înseamnă că poate avea orice valoare (inclusiv zero - aceasta înseamnă că sarcina este în repaus în poziția de echilibru). Sinusul poate fi, de asemenea, redus, deoarece egalitatea trebuie să se mențină în orice moment t. Astfel, condiția pentru frecvența de oscilație rămâne:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).) U = 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 sin 2 ⁡ (ω 0 t + φ) , (\displaystyle U=(\frac (1)(2))kx^(2)=(\frac (1) (2))kA^(2)\sin ^(2)(\omega _(0)t+\varphi),)

atunci energia totală este constantă

E = 1 2 k A 2 . (\displaystyle E=(\frac (1)(2))kA^(2).)

Mișcare armonică simplă este o mișcare simplă oscilator armonic, o mișcare periodică care nu este nici forțată, nici amortizată. Un corp aflat în mișcare armonică simplă este supus unei singure forțe variabile care este direct proporțională în valoare absolută cu deplasarea X din poziţia de echilibru şi este îndreptată în sens opus.

Această mișcare este periodică: corpul oscilează în jurul poziției de echilibru conform unei legi sinusoidale. Fiecare oscilație ulterioară este aceeași cu cea anterioară, iar perioada, frecvența și amplitudinea oscilațiilor rămân constante. Dacă presupunem că poziţia de echilibru este într-un punct cu coordonata egală cu zero, atunci deplasarea X corpul din poziția de echilibru în orice moment este dat de formula:

x (t) = A cos ⁡ (2 π f t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos \left(2\pi \!ft+\varphi \right),)

Unde A- amplitudinea oscilatiei, f- frecventa, φ - faza initiala.

Frecvența mișcării este determinată de proprietățile caracteristice ale sistemului (de exemplu, masa corpului în mișcare), în timp ce amplitudinea și faza inițială sunt determinate de condițiile inițiale - mișcarea și viteza corpului în momentul oscilațiilor. ÎNCEPE. De aceste proprietăți și condiții depind și energiile cinetice și potențiale ale sistemului.

Mișcarea armonică simplă poate fi privită ca un model matematic diferite feluri mișcare, cum ar fi oscilația unui arc. Alte cazuri care pot fi considerate în general mișcări armonice simple sunt mișcarea unui pendul și vibrațiile moleculelor.

Mișcarea armonică simplă stă la baza unor moduri de analiză a unor tipuri mai complexe de mișcare. Una dintre aceste metode se bazează pe transformata Fourier, a cărei esență este descompunerea unui tip mai complex de mișcare într-o serie de mișcări armonice simple.

Un exemplu tipic de sistem în care apare o mișcare armonică simplă este un sistem idealizat de masă-arc în care o masă este atașată la un arc. Dacă arcul nu este comprimat și nu este întins, atunci nicio forță variabilă nu acționează asupra sarcinii, iar sarcina este într-o stare de echilibru mecanic. Totuși, dacă sarcina este îndepărtată din poziția de echilibru, arcul este deformat, iar din partea sa va acționa o forță asupra sarcinii, care va tinde să readucă sarcina în poziția de echilibru. În cazul unui sistem sarcină-arc, o astfel de forță este forța elastică a arcului, care respectă legea lui Hooke:

F = - k x , (\displaystyle F=-kx,) F- restabilirea forţei X- deplasarea sarcinii (deformarea arcului), k- coeficientul de rigiditate al arcului.

Orice sistem în care apare o mișcare armonică simplă are două proprietăți cheie:

Când un sistem este în dezechilibru, trebuie să existe o forță de restabilire care tinde să readucă sistemul în echilibru.
Forța de restabilire trebuie să fie exact sau aproximativ proporțională cu deplasarea.

Sistemul greutate-arcuri satisface ambele condiții.

Odată ce sarcina deplasată este supusă acțiunii unei forțe de restabilire, accelerând-o și având tendința de a reveni la punctul de plecare, adică la poziția de echilibru. Pe măsură ce sarcina se apropie de poziția de echilibru, forța de restabilire scade și tinde spre zero. Totuși, în poziție X = 0 sarcina are o anumită mișcare (impuls), dobândită datorită acțiunii forței de restabilire. Prin urmare, sarcina omite poziția de echilibru, începând din nou să deformeze arcul (dar în direcția opusă). Forța de restabilire va tinde să o încetinească până când viteza este zero; iar forța va căuta din nou să readucă sarcina în poziția sa de echilibru.

Atâta timp cât nu există pierderi de energie în sistem, sarcina va oscila așa cum este descris mai sus; o astfel de mişcare se numeşte periodică.

O analiză ulterioară va arăta că, în cazul unui sistem masa-arc, mișcarea este armonică simplă.

Dinamica mișcării armonice simple

Pentru o oscilatie in spatiul unidimensional, tinand cont de a doua Lege a lui Newton( F= m d² X/d t² ) și legea lui Hooke ( F = −kx, așa cum este descris mai sus), avem o ecuație diferențială liniară de ordinul doi:

m re 2 x d t 2 = - k x , (\displaystyle m(\frac (\mathrm (d) ^(2)x)(\mathrm (d) t^(2)))=-kx,) m- masa corpului, X- deplasarea acestuia în raport cu poziția de echilibru, k- constantă (factor de rigiditate a arcului).

Soluția acestei ecuații diferențiale este sinusoidală; o solutie este aceasta:

x (t) = A cos ⁡ (ω t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),)

Unde A, ω și φ - constante, iar poziția de echilibru este luată ca fiind cea inițială. Fiecare dintre aceste constante este importantă proprietate fizică miscari: A este amplitudinea, ω = 2π f este frecvența circulară și φ este faza inițială.

U (t) = 1 2 k x (t) 2 = 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ (ω t + φ) . (\displaystyle U(t)=(\frac (1)(2))kx(t)^(2)=(\frac (1)(2))kA^(2)\cos ^(2)(\ omega t+\varphi).)

Mișcare circulară universală

Mișcarea armonică simplă poate fi considerată în unele cazuri ca o proiecție unidimensională a mișcării circulare universale.

Dacă un obiect se mișcă cu o viteză unghiulară constantă ω de-a lungul unui cerc de rază r, al cărui centru este originea a coordonatelor planului x − y, atunci o astfel de mișcare de-a lungul fiecărei axe de coordonate este simplă armonică cu amplitudinea rşi frecvenţa circulară ω .

Greutate ca un simplu pendul

În aproximarea unghiurilor mici, mișcarea unui pendul simplu este aproape de armonică simplă. Perioada de oscilație a unui astfel de pendul atașat la o tijă de lungime ℓ cu accelerare în cădere liberă g este dat de formula

T = 2πℓg. (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell)(g))).)

Aceasta arată că perioada de oscilație nu depinde de amplitudinea și masa pendulului, ci depinde de accelerația în cădere liberă. g, prin urmare, cu aceeași lungime a pendulului, pe Lună se va oscila mai lent, deoarece acolo gravitația este mai slabă și valoarea accelerației de cădere liberă este mai mică.

Aproximația indicată este corectă numai la unghiuri mici de deviere, deoarece expresia accelerației unghiulare este proporțională cu sinusul coordonatei:

ℓ m g sin ⁡ θ = I α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)

Unde eu- moment de inerție ; în acest caz eu = mℓ 2 .

ℓ m g θ = I α (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha),

ceea ce face ca accelerația unghiulară să fie direct proporțională cu unghiul θ și aceasta satisface definiția mișcării armonice simple.

Oscilator armonic amortizat

Luând ca bază același model, îi adăugăm forța de frecare vâscoasă. Forța de frecare vâscoasă este îndreptată împotriva vitezei sarcinii față de mediu și este direct proporțională cu această viteză. Apoi, forța totală care acționează asupra sarcinii se scrie după cum urmează:

F = - k x - α v (\displaystyle F=-kx-\alpha v)

Efectuând acțiuni similare, obținem o ecuație diferențială care descrie un oscilator amortizat:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x=0)

Iată notația: 2 γ = α m (\displaystyle 2\gamma =(\frac (\alpha )(m))). Coeficient γ (\displaystyle \gamma ) se numește constantă de amortizare. Are și dimensiunea frecvenței.

Soluția se încadrează în trei cazuri.

x (t) = A e - γ t s i n (ω f t + φ) (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi)),

Unde ω f = ω 0 2 - γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- frecvenţa oscilaţiilor libere.

x (t) = (A + B t) e - γ t (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t)) x (t) = A e - β 1 t + B e - β 2 t (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2)t )),

Unde β 1 , 2 = γ ± γ 2 - ω 0 2 (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2)) ))).

Amortizarea critică se remarcă prin faptul că în timpul amortizarii critice oscilatorul tinde cel mai rapid către poziția de echilibru. Dacă frecarea este mai mică decât cea critică, va ajunge mai repede în poziția de echilibru, totuși, va „aluneca” prin ea prin inerție și va oscila. Dacă frecarea este mai mare decât cea critică, atunci oscilatorul va tinde exponențial către poziția de echilibru, dar cu cât este mai lentă, cu atât frecarea este mai mare.

Amortizarea unui oscilator este adesea caracterizată de un parametru adimensional numit factor de calitate. Factorul de calitate este de obicei indicat prin literă Q (\displaystyle Q). Prin definiție, factorul de calitate este:

Q = ω 0 2 γ (\displaystyle Q=(\frac (\omega _(0))(2\gamma )))

Cu cât factorul de calitate este mai mare, cu atât oscilațiile oscilatorului sunt mai lente.

Factorul de calitate este uneori numit câștigul oscilatorului, deoarece cu unele metode de excitare, atunci când frecvența de excitare coincide cu frecvența de rezonanță a oscilațiilor, amplitudinea lor este setată la aproximativ Q (\displaystyle Q) ori mai mare decât atunci când este excitat cu aceeași intensitate la o frecvență joasă.

De asemenea, factorul de calitate este aproximativ egal cu numărul de cicluri oscilatorii, în timpul cărora amplitudinea oscilației scade în e (\displaystyle e) ori multiplicat cu π (\displaystyle \pi ).

În cazul mișcării oscilatorii, atenuarea este caracterizată și de parametri precum:

Durata de viață fluctuații (aka timpul de dezintegrare, este timp de relaxare) τ este timpul în care amplitudinea oscilației va scădea în e o singura data.

τ = 1 / γ . (\displaystyle \tau =1/\gamma.) Acest timp este considerat ca fiind timpul necesar pentru amortizarea (încetarea) oscilațiilor (deși oscilațiile formal libere continuă la nesfârșit).