Mai devreme, am discutat despre metodele generale de integrare. În aceasta și în următoarele secțiuni, vom vorbi despre integrarea unor clase specifice de funcții cu ajutorul tehnicilor luate în considerare.

Integrarea celor mai simple funcții raționale

Luați în considerare o integrală a formei \textstyle(\int R(x)\,dx), unde y=R(x) este o funcție rațională. Orice expresie rațională R(x) poate fi reprezentată ca \frac(P(x))(Q(x)), unde P(x) și Q(x) sunt polinoame. Dacă această fracție este incorectă, adică dacă gradul numărătorului este mai mare sau egal cu gradul numitorului, atunci ea poate fi reprezentată ca suma unui polinom (partea întreagă) și a unei fracții proprii. Prin urmare, este suficient să luăm în considerare integrarea fracțiilor proprii.

Să arătăm că integrarea unor astfel de fracții se reduce la integrare fracții simple, adică expresii de forma:

\mathsf(1))~\frac(A)(x-a);\quad \mathsf(2))~\frac(A)((x-a)^n);\quad \mathsf(3))~ \frac( Ax+B)(x^2+px+q);\quad \mathsf(4))~\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n).

Unde A,\,B,\,a,\,p,\,q sunt numere reale, iar trinomul pătrat x^2+px+q nu are rădăcini reale. Expresiile de forma 1) și 2) se numesc fracții de primul fel, iar expresiile de forma 3) și 4) se numesc fracții de al 2-lea fel.

Integralele fracțiilor de primul fel se calculează direct

\begin(aligned)\mathsf(1))&~\int\frac(A)(x-a)\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf(2))&~ \int\frac (A)((x-a)^n)\,dx= A\int(x-a)^(-n)\,dx= A\,\frac((x-a)^(-n+1))(-n+ 1 )+C~(n=2,3,4,\ldots). \end(aliniat)

Luați în considerare calculul integralelor din fracții de al 2-lea fel: \mathsf(3))~ \int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx\,.

În primul rând, să observăm asta

\int\frac(dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(a)\operatorname(arctg)\frac(t)(a)+C,\qquad \int\frac(t\ ,dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(2)\ln(t^2+a^2)+C.

Pentru a reduce calculul integralei 3) la aceste două integrale, transformăm trinomul pătrat x^2+px+q prin extragerea unui pătrat complet din acesta:

x^2+px+q= (\stanga(x+\frac(p)(2)\dreapta)\^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

Deoarece prin presupunere acest trinom nu are rădăcini reale, atunci q-\frac(p^2)(4)>0 si putem pune q-\frac(p^2)(4)=a^2. Substituţie x+\frac(p)(2)=t,~ dx=dt transformă integrala 3) într-o combinație liniară a celor două integrale de mai sus:

\begin(aligned)\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx&= \int\frac(A\!\left(t-\frac(p)(2))\right )+B)(t^2+a^2)\,dt= A\int\frac(t\,dt)(t^2+a^2)+ \left(B-\frac(Ap)(2 )\right)\!\int\frac(dt)(t^2+a^2)=\\ &=\frac(A)(2)\ln(t^2+a^2)+ \frac( 1)(a)\!\left(B-\frac(Ap)(2)\right)\!\ \operatorname(arctg)\frac(t)(a)+C. \end(aliniat)

În răspunsul final, trebuie doar să înlocuiți (t) cu x+\frac(p)(2) și (a) cu \sqrt(q-\frac(p^2)(4)). Deoarece t^2+a^2=x^2+px+q , atunci

\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx= \frac(A)(2)\ln(x^2+px+q)+ \frac(B-\dfrac( Ap)(2))(\sqrt(q-\dfrac(p^2)(4))) \operatorname(arctg)\frac(x+\dfrac(p)(2))(\sqrt(q-\dfrac) (p^2)(4)))+C.

Luați în considerare cazul \mathsf(4))~ \int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx.

Ca și în cazul precedent, setăm x+\frac(p)(2)=t . Primim:

\int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx= A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n) + \left(B-\frac(Ap)(2)\dreapta)\! \int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)\,.

Primul termen se calculează astfel:

A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n)= \frac(A)(2)\int(t^2+a^2)^(-n)\ ,d(t^2+a^2)= \frac(A)(2)\frac((t^2+a^2)^(-n+1))(-n+1)= \frac( A)(2(1-n)(t^2+a^2)^(n-1))\,.

A doua integrală se calculează folosind formula recurentă.

Exemplul 1 Calcula \int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx.

Decizie. Avem: x^2+2x+3=(x+1)^2+2. Fie x+1=t . Atunci dx=dt și 3x+2=3(t-1)+2=3t-1și, prin urmare

\begin(aligned)\int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx&= \int\frac(3t-1)(t^2+2)\,dt= \frac( 3)(2)\int\frac(2t\,dt)(t^2+2)- \int\frac(dt)(t^2+(\sqrt(2))^2)=\\ &= \frac(3)(2)\ln(t^2+2)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(t)(\sqrt(2))+C= \\ &=\frac(3)(2)\ln(x^2+2x+3)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(x+1)(\ sqrt(2))+C. \end(aliniat)

Exemplul 2 Calcula \int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx.

Decizie. Avem: x^2+6x+10=(x+3)^2+1. Să introducem o nouă variabilă setând x+3=t . Atunci dt=dx și x+2=t-1 . Înlocuind variabila sub semnul integral, obținem:

\begin(aligned)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&= \int\frac(t-1)((t^2+1)^2 )\,dt= \frac(1)(2)\int\frac(2t\,dt)((t^2+1)^2)-\int\frac(dt)((t^2+1) ^2)=\\ &=-\frac(1)(2(t^2+1))- \int\frac(dt)((t^2+1)^2)\,. \end(aliniat))

Sa punem I_2=\int\frac(dt)((t^2+1)^2). Avem:

I_2=\frac(1)(2)I_1+\frac(1)(2)\frac(t)(t^2+1), dar I_1=\int\frac(dt)(t^2+1)= \operatorname(arctg)tÎn acest fel, I_2= \frac(1)(2)\operatorname(arctg)t+ \frac(t)(2(t^2+1)).

În sfârșit obținem:

\begin(aligned)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&=-\frac(1)(2(t^2+1))-\frac (1)(2)\operatorname(arctg)t-\frac(t)(2(t^2+1))=\\ &=-\frac(1)(2(x^2+6x+10) )- \frac(1)(2)\operatorname(arctg)(x+3)- \frac(x+3)(2(x^2+6x+10))+C=\\ &=\frac( -x-4)(2(x^2+6x+10))-\frac(1)(2)\operatorname(arctg)(x+3)+C \end(aligned)

Integrarea fracțiilor proprii

Luați în considerare o fracție adecvată R(x)=\frac(P(x))(Q(x)), unde Q(x) este un polinom de grad n . Fără pierderea generalității, putem presupune că coeficientul principal în Q(x) este egal cu 1. În cursul algebrei, se demonstrează că un astfel de polinom cu coeficienți reali poate fi factorizat în factori de gradul I și II cu coeficienți reali. :

Q(x)= (x-x_1)^(\alpha)\ldots (x-x_k)^(\beta) (x^2+p\,x+q)^(\gamma)\ldots (x^2 +r\,x+s)^(\delta).

unde x_1,\ldots,x_k sunt rădăcini reale ale polinomului Q(x) și trinoamele pătrate nu au rădăcini reale. Se poate dovedi că atunci R(x) este reprezentat ca o sumă de fracții simple de forma 1) -4):

\begin(aligned)R(x)=&\frac(P(x))(Q(x))= \frac(A_1)((x-x_1)^(\alpha))+ \frac(A_2)( (x-x_1)^(\alpha-1))+\ldots+ \frac(A_(\alpha))(x-x_1)\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(B_1)((x- x_k)^(\beta))+ \frac(B_2)((x-x_k)^(\beta-1))+\ldots+ \frac(B_(\beta))(x-x_k)+ \frac(M_1x+ N_1)((x^2+p\,x+q)^(\gamma))\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(M_(\gamma)+ N_(\gamma))(x^ 2+ p\,x+s)+ \frac(E_1x+F_1)((x^2+rx+s)^(\delta))+\ldots+ \frac(E_(\delta)x+F_(\delta) ))(x^2+rx+s)\, \end(aliniat)

unde exponenții numitorilor scad succesiv de la \alpha la 1, ..., de la \beta la 1, de la \gamma la 1, ..., de la \delta la 1 și A_1,\ldots,F_(\delta)- coeficienți nedefiniti. Pentru a găsi acești coeficienți, este necesar să scăpăm de numitori și, obținând egalitatea a două polinoame, să folosiți metoda coeficienților nedeterminați.

O altă modalitate de a determina coeficienți A_1,\ldots, A_(\alpha), \ldots, F_(\delta) se bazează pe înlocuirea valorilor variabilei x. Înlocuind orice număr în loc de x în egalitatea obținută din egalitatea (1) după eliberarea de numitori, ajungem la ecuație liniarăîn raport cu coeficienţii doriti. Prin înlocuirea numărului necesar de astfel de valori particulare ale variabilei, obținem un sistem de ecuații pentru găsirea coeficienților. Cel mai convenabil este să alegeți rădăcinile numitorului (atât reale, cât și complexe) ca valori private ale variabilei. În acest caz, aproape toți termenii din partea dreaptă a egalității (adică egalitatea a două polinoame) dispar, ceea ce facilitează găsirea coeficienților rămași. Când înlocuiți valori complexe, trebuie avut în vedere că două numere complexe sunt egale dacă și numai dacă părțile lor reale și, respectiv, imaginare sunt egale. Prin urmare, din fiecare egalitate care conține numere complexe se obțin două ecuații.

După găsirea coeficienților nedeterminați, rămâne de calculat integralele fracțiilor simple obținute. Deoarece la integrarea celor mai simple fracții, după cum am văzut, se obțin numai funcții raționale, arctangente și logaritmi, atunci integrala oricărei funcții raționale este exprimată în termenii funcției raționale, arctangente și logaritmi.

Exemplul 3 Calculați integrala unei fracții raționale adecvate \int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx.

Decizie. Descompunem numitorul integrandului în factori:

x^2+2x-3=(x-1)(x+3).

Scriem integralul și îl reprezentăm ca o sumă de fracții simple:

\frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(A)(x-1)+\frac(B)(B+3)\,.

După ce ne-am eliberat de numitorii din această egalitate, obținem:

6x+1=A\cdot (x+3)+B\cdot (x-1)\,.

Pentru a afla coeficienții, folosim metoda de substituție a valorilor parțiale. Pentru a afla coeficientul A punem x=1 . Apoi din egalitatea (2) obținem 7=4A , de unde A=7/4 . Pentru a găsi coeficientul B punem x=-3 . Apoi din egalitatea (2) obținem -17=-4B , de unde B=17/4 .

Asa de, \frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(7)(4)\cdot\frac(1)(x-1)+ \frac(17)(4)\cdot\frac (1)(x+3). Mijloace,

\int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx= \frac(7)(4)\int\frac(dx)(x-1)+ \frac(17)(4) )\int\frac(dx)(x+3)= \frac(7)(4)\ln|x-1|+ \frac(17)(4)\ln|x+3|+C.

Exemplul 4 Calcula \int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx.

Decizie. Scriem integrandul și îl reprezentăm ca o sumă de fracții simple. Numitorul conține factorul x^2+2, care nu are rădăcini reale, corespunde unei fracțiuni de al 2-lea fel: \frac(Ax+B)(x^2+2) factorul (x-1)^2 corespunde sumei a două fracții de primul fel: \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1); în cele din urmă, factorul x+2 corespunde unei fracții de primul fel \frac(E)(x+2) . Astfel, vom reprezenta integralul ca o sumă a patru fracții:

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(Ax+B)(x^2+2 )+ \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)+ \frac(E)(x+2)\,.

Să scăpăm de numitorii din această egalitate. Primim:

\begin(aligned) x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\, +\\ &\phantom(=)+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end(aligned)

Numitorul integrandului are două rădăcini reale: x=1 și x=-2 . Când înlocuim x=1 în egalitatea (4), obținem 16=9C , din care găsim C=16/9 . Când înlocuim x=-2, obținem 13=54E și determinăm E=13/54 în consecință. Înlocuirea valorii x=i\,\sqrt(2) (rădăcina polinomului x^2+2 ) ne permite să trecem la egalitate

4-4+8\,i\,\sqrt(2)+5= (A\,i\,\sqrt(2)+B)\cdot (i\,\sqrt(2)-1)^2\ cdot(i\,\sqrt(2)+2).

Se transformă în:

(10A+2B)+(2A-5B)\sqrt(2)\,i= 5+8\sqrt(2)\,i, de unde 10A+2B=5, şi (2A-5B)\sqrt(2)=8\sqrt(2).

Rezolvarea unui sistem de două ecuații cu două variabile \begin(cases)10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end(cases) găsim: A=\frac(41)(54),~ B=-\frac(35)(27).

Rămâne de determinat valoarea coeficientului D . Pentru a face acest lucru, în egalitatea (4) deschidem parantezele, dăm termeni similari și apoi comparăm coeficienții la x^4. Primim:

A+D+E=1, adică D=0.

Să substituim valorile găsite ale coeficienților în egalitate (3):

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(\drac(41)(54)\, x- \dfrac(35)(27))(x^2+2)+ \frac(16)(9)\frac(1)((x-1)^2)+ \frac(13)(54) \frac(1)(x+2)\,

și apoi treceți la integrare:

\begin(aligned)\int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx&= \frac( 41)(54)\int\frac(x\,dx)(x^2+2)- \frac(35)(27)\int\frac(dx)(x^2+2)+ \frac(16) )(9) \int\frac(dx)((x-1)^2)+ \frac(13)(54)\int\frac(dx)(x+2)=\\ &=\frac(41) )(108)\ln(x^2+2)- \frac(35)(27\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(x)(\sqrt(2))- \frac(16) (9(x-1))+ \frac(13)(54) \ln|x+2|+C.\end(aligned)

Integrarea fracțiilor improprii

Să fie necesar să se integreze funcția y=\frac(f(x))(g(x)), unde f(x) și g(x) sunt polinoame, iar gradul polinomului f(x) este mai mare sau egal cu gradul polinomului g(x) . În acest caz, în primul rând, este necesar să selectați partea întreagă a fracției necorespunzătoare \frac(f(x))(g(x)), adică reprezentați-l sub formă

\frac(f(x))(g(x))=s(x)+ \frac(r(x))(g(x))\,

unde s(x) este un polinom de grad egal cu diferența gradelor polinoamelor f(x) și g(x) și \frac(r(x))(g(x)) este o fracție adecvată.

Atunci noi avem \int\frac(f(x))(g(x))\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac(r(x))(g(x))\,dx\, ..

Exemplul 5 Calculați integrala unei fracții improprie \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx.

Decizie. Avem:

\begin(aligned)g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\ f(x)&=x^4 -4x^3+x^2+16x-11. \end(aliniat)

Pentru a extrage partea întreagă, împărțim f(x) la g(x): \frac(f(x))(g(x))= x-2+\frac(2x^2+1)(x^3-2x^2-5x+6)\,.

Mijloace, \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx

Avem: \int(x-2)dx=\frac(x^2)(2)-2x+C.

Pentru a calcula integrala \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx a aplicat, ca mai sus, metoda coeficienților nedeterminați. După calcule, pe care le lăsăm cititorului, obținem.

TEMA: Integrare fracții raționale.

Atenţie! Când se studiază una dintre principalele metode de integrare - integrarea fracțiilor raționale - se cere să se ia în considerare polinoamele din domeniul complex pentru demonstrații riguroase. Prin urmare, este necesar studiază în prealabil unele proprietăţi ale numerelor complexe şi operaţii asupra acestora.

Integrarea celor mai simple fracții raționale.

Dacă P(z) și Q(z) sunt polinoame în domeniul complex, atunci este o fracție rațională. Se numeste corect dacă gradul P(z) grad mai mic Q(z) , și gresit dacă gradul R nu mai puțin grad Q.

Orice fracție improprie poate fi reprezentată ca: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

A R(z) – polinom al cărui grad este mai mic decât gradul Q(z).

Astfel, integrarea fracțiilor raționale se reduce la integrarea polinoamelor, adică a funcțiilor de putere și a fracțiilor proprii, deoarece este o fracție proprie.

Definiție 5. Cele mai simple (sau elementare) fracții sunt fracții de următoarele tipuri:

1) , 2) , 3) , 4) .

Să aflăm cum sunt integrate.

3) (explorat mai devreme).

Teorema 5. Orice fracție proprie poate fi reprezentată ca o sumă de fracții simple (fără dovezi).

Corolarul 1. Dacă este o fracție rațională proprie și dacă printre rădăcinile polinomului există doar rădăcini reale simple, atunci în extinderea fracției în suma fracțiilor simple vor exista doar fracții simple de primul tip:

Exemplul 1

Corolarul 2. Dacă este o fracție rațională proprie și dacă printre rădăcinile polinomului există doar mai multe rădăcini reale, atunci în extinderea fracției în suma fracțiilor simple vor exista doar fracții simple de tipul I și II. :

Exemplul 2

Corolarul 3. Dacă este o fracție rațională proprie și dacă printre rădăcinile polinomului există doar rădăcini simple complexe conjugate, atunci în extinderea fracției în suma fracțiilor simple vor exista doar fracții simple de al 3-lea tip:

Exemplul 3

Corolarul 4. Dacă este o fracție rațională proprie și dacă printre rădăcinile polinomului există doar rădăcini conjugate complexe multiple, atunci în extinderea fracției în suma fracțiilor simple vor exista doar fracții simple ale celei de-a 3-a și a 4-a tipuri:

Pentru a determina coeficienții necunoscuți în expansiunile de mai sus, procedați după cum urmează. stânga şi partea dreapta expansiune care conține coeficienți necunoscuți, înmulțit cu Rezultă egalitatea a două polinoame. Din aceasta se obțin ecuații pentru coeficienții doriti, folosind următoarele:

1. egalitatea este valabilă pentru orice valori ale lui X (metoda valorilor parțiale). În acest caz, se obține orice număr de ecuații, dintre care orice m ne permit să găsim coeficienți necunoscuți.

2. coeficienții coincid la aceleași puteri ale lui X (metoda coeficienților nedeterminați). În acest caz, se obține un sistem de m - ecuații cu m - necunoscute, din care se găsesc coeficienți necunoscuti.

3. metoda combinata.

Exemplul 5. Extindeți o fracție la cel mai simplu.

Decizie:

Aflați coeficienții A și B.

1 cale - metoda valorii private:

Metoda 2 - metoda coeficienților nesiguri:

Răspuns:

Integrarea fracțiilor raționale.

Teorema 6. Integrala nedefinită a oricărei fracții raționale pe orice interval la care numitorul său nu este egal cu zero există și se exprimă în termeni de funcții elementare, și anume fracții raționale, logaritmi și arctangente.

Dovada.

Reprezentăm o fracție rațională sub forma: . Mai mult, ultimul termen este o fracție proprie, iar prin Teorema 5 poate fi reprezentat ca o combinație liniară de fracții simple. Astfel, integrarea unei fracții raționale se reduce la integrarea unui polinom S(X) iar cele mai simple fracții, ale căror antiderivate, după cum sa arătat, au forma indicată în teoremă.

Cometariu. Principala dificultate în acest caz este descompunerea numitorului în factori, adică căutarea tuturor rădăcinilor sale.

Exemplul 1. Aflați integrala

Materialul prezentat în această temă se bazează pe informațiile prezentate la tema „Fracțiuni raționale. Descompunerea fracțiilor raționale în fracții elementare (simple)”. Vă sfătuiesc cu tărie să răsfoiți cel puțin acest subiect înainte de a continua să citiți acest material. În plus, vom avea nevoie de un tabel de integrale nedefinite.

Permiteți-mi să vă reamintesc câțiva termeni. Au fost discutate în subiectul relevant, așa că aici mă voi limita la o scurtă formulare.

Raportul a două polinoame $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ se numește funcție rațională sau fracție rațională. Fracția rațională se numește corect dacă $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется gresit.

Fracțiile raționale elementare (cele mai simple) sunt fracții raționale de patru tipuri:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q)< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Notă (de dorit pentru o mai bună înțelegere a textului): show\hide

De ce este necesară condiția $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

De exemplu, pentru expresia $x^2+5x+10$ obținem: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Deoarece $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Apropo, pentru această verificare nu este necesar ca coeficientul din fața lui $x^2$ să fie egal cu 1. De exemplu, pentru $5x^2+7x-3=0$ obținem: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Deoarece $D > 0$, expresia $5x^2+7x-3$ este factorizabilă.

Pot fi găsite exemple de fracții raționale (regulate și improprii), precum și exemple de descompunere a unei fracții raționale în fracții elementare. Aici ne interesează doar întrebările legate de integrarea lor. Să începem cu integrarea fracțiilor elementare. Deci, fiecare dintre cele patru tipuri de fracții elementare de mai sus este ușor de integrat folosind formulele de mai jos. Permiteți-mi să vă reamintesc că la integrarea fracțiilor de tip (2) și (4) se presupune $n=2,3,4,\ldots$. Formulele (3) și (4) necesită condiția $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(ecuație)

Pentru $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ se face înlocuirea $t=x+\frac(p)(2)$, după care integrala rezultată este împărțit în două. Primul va fi calculat prin introducerea lui sub semnul diferenţial, iar al doilea va arăta ca $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Această integrală este luată folosind relația de recurență

\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\în N \end(ecuație)

Calculul unei astfel de integrale este analizat în exemplul nr. 7 (vezi partea a treia).

Schema de calcul a integralelor din funcții raționale (fracții raționale):

1. Dacă integrandul este elementar, atunci se aplică formulele (1)-(4).
2. Dacă integrandul nu este elementar, atunci reprezentați-l ca o sumă de fracții elementare și apoi integrați folosind formulele (1)-(4).

Algoritmul de mai sus pentru integrarea fracțiilor raționale are un avantaj incontestabil - este universal. Acestea. Folosind acest algoritm, se poate integra orice fracție rațională. De aceea aproape toate înlocuirile de variabile în integrala nedefinită (substituții Euler, Chebyshev, substituție trigonometrică universală) se fac în așa fel încât după această înlocuire să obținem o fracție rațională sub interval. Și aplicați algoritmul. Vom analiza aplicarea directă a acestui algoritm folosind exemple, după ce facem o mică notă.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

În principiu, această integrală este ușor de obținut fără aplicarea mecanică a formulei. Dacă scoatem constanta $7$ din semnul integral și luăm în considerare că $dx=d(x+9)$, atunci obținem:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Pentru informatii detaliate recomand sa te uiti la subiect. Acesta explică în detaliu cum se rezolvă astfel de integrale. Apropo, formula este dovedită prin aceleași transformări care au fost aplicate în acest paragraf la rezolvarea „manual”.

2) Din nou, există două moduri: să aplici o formulă gata făcută sau să te descurci fără ea. Dacă aplicați formula, atunci ar trebui să țineți cont de faptul că va trebui eliminat coeficientul din fața lui $x$ (numărul 4). Pentru a face acest lucru, pur și simplu le scoatem pe cele patru dintre paranteze:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Acum este timpul să aplicați formula:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Puteți face fără a utiliza formula. Și chiar și fără a scoate constanta $4$ din paranteze. Dacă luăm în considerare că $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, atunci obținem:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Explicații detaliate despre găsirea unor astfel de integrale sunt oferite în subiectul „Integrare prin substituție (introducere sub semnul diferențial)” .

3) Trebuie să integrăm fracția $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Această fracție are structura $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, unde $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Cu toate acestea, pentru a vă asigura că aceasta este într-adevăr o fracțiune elementară a celui de-al treilea tip, trebuie să verificați condiția $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Să rezolvăm același exemplu, dar fără a folosi formula gata făcută. Să încercăm să izolăm derivata numitorului în numărător. Ce inseamna asta? Știm că $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Este expresia $2x+10$ pe care trebuie să o izolăm în numărător. Până acum, numărătorul conține doar $4x+7$ , dar acest lucru nu este pentru mult timp. Aplicați următoarea transformare numărătorului:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Acum expresia necesară $2x+10$ a apărut în numărător. Și integrala noastră poate fi rescrisă după cum urmează:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Să despărțim integrandu-ul în două. Ei bine, și, în consecință, integrala în sine este, de asemenea, „divizată”:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Să vorbim mai întâi despre prima integrală, adică. aproximativ $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Deoarece $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, atunci diferenţialul numitorului este situat în numărătorul integrandului. Pe scurt, în schimb din expresia $( 2x+10)dx$ scriem $d(x^2+10x+34)$.

Acum să spunem câteva cuvinte despre a doua integrală. Să evidențiem pătratul complet la numitor: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. În plus, luăm în considerare $dx=d(x+5)$. Acum, suma integralelor obținute de noi mai devreme poate fi rescrisă într-o formă ușor diferită:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ nouă). $$

Dacă facem schimbarea $u=x^2+10x+34$ în prima integrală, atunci aceasta va lua forma $\int\frac(du)(u)$ și va lua aplicare simplă a doua formulă din . În ceea ce privește integrala a doua, înlocuirea $u=x+5$ este fezabilă pentru aceasta, după care ia forma $\int\frac(du)(u^2+9)$. Aceasta este cea mai pură apă, a unsprezecea formulă din tabelul integralelor nedefinite. Deci, revenind la suma integralelor, vom avea:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Am primit același răspuns ca atunci când am aplicat formula , ceea ce, de fapt, nu este surprinzător. În general, formula este dovedită prin aceleași metode pe care le-am folosit pentru a găsi această integrală. Cred că un cititor atent poate avea o întrebare aici, de aceea o voi formula:

Intrebarea 1

Dacă aplicăm a doua formulă din tabelul de integrale nedefinite la integrala $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, atunci obținem următoarele:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

De ce a lipsit modulul din soluție?

Răspuns la întrebarea #1

Întrebarea este complet legitimă. Modulul a lipsit doar pentru că expresia $x^2+10x+34$ pentru orice $x\în R$ este mai mare decât zero. Acest lucru este destul de ușor de arătat în mai multe moduri. De exemplu, deoarece $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ și $(x+5)^2 ≥ 0$, atunci $(x+5)^2+9 > 0$ . Este posibil să judeci într-un mod diferit, fără a implica selecția unui pătrat complet. Deoarece $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ pentru orice $x\in R$ (dacă acest lanț logic este surprinzător, vă sfătuiesc să vă uitați la metoda grafică de rezolvare a inegalităților pătrate). În orice caz, deoarece $x^2+10x+34 > 0$, atunci $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, adică. puteți folosi paranteze normale în locul unui modul.

Toate punctele exemplului nr. 1 sunt rezolvate, rămâne doar să notăm răspunsul.

Răspuns:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Exemplul #2

Aflați integrala $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

La prima vedere, integrandul $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ este foarte asemănător cu o fracție elementară de al treilea tip, adică. la $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Se pare că singura diferență este coeficientul $3$ în fața lui $x^2$, dar nu va dura mult pentru a elimina coeficientul (din paranteze). Cu toate acestea, această asemănare este evidentă. Pentru fracția $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ condiția $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Coeficientul nostru în fața lui $x^2$ nu este egal cu unul, așa că verificați condiția $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, deci expresia $3x^2-5x-2$ poate fi factorizată. Și aceasta înseamnă că fracția $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nu este o fracție elementară de al treilea tip și se aplică integralului $\int\frac(7x+12)( Formula 3x^2- 5x-2)dx$ nu este permisă.

Ei bine, dacă fracția rațională dată nu este elementară, atunci trebuie reprezentată ca o sumă de fracții elementare și apoi integrată. Pe scurt, traseu profitați de . Cum se descompune o fracție rațională în fracțiuni elementare este scris în detaliu. Să începem prin factorizarea numitorului:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(aliniat)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Reprezentăm fracția subinternă în următoarea formă:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Acum să extindem fracția $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ în fracția elementară:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\ dreapta). $$

Pentru a afla coeficienții $A$ și $B$ există două modalități standard: metoda coeficienților nedeterminați și metoda substituției valorilor parțiale. Să aplicăm metoda de substituție a valorii parțiale prin înlocuirea $x=2$ și apoi $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\dreapta); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Deoarece au fost găsiți coeficienții, rămâne doar să notăm expansiunea finală:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

În principiu, puteți lăsa această intrare, dar îmi place o versiune mai exactă:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Revenind la integrala originală, înlocuim expansiunea rezultată în ea. Apoi împărțim integrala în două și aplicăm formula fiecăruia. Prefer să scot imediat constantele din afara semnului integral:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Răspuns: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Exemplul #3

Aflați integrala $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Trebuie să integrăm fracția $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Numătorul este un polinom de gradul doi, iar numitorul este un polinom de gradul trei. Deoarece gradul polinomului din numărător este mai mic decât gradul polinomului din numitor, i.e. 2 dolari< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Trebuie doar să împărțim integrala dată în trei și să aplicăm formula fiecăruia. Prefer să scot imediat constantele din afara semnului integral:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Răspuns: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

O continuare a analizei exemplelor acestui subiect se află în partea a doua.

Una dintre cele mai importante clase de funcții ale căror integrale sunt exprimate în termeni de funcții elementare este clasa funcțiilor raționale.

Definiție 1. O funcție a formei unde
- polinoame de gradnșimnumită rațională. O întreagă funcție rațională, adică polinom, se integrează direct. Integrala unei funcții fracționale-raționale poate fi găsită prin extinderea în termeni, care sunt convertiți într-un mod standard în integralele tabelului principal.

Definiție 2. Fracție
se numește corect dacă gradul numărătoruluinmai mic decât numitorulm. O fracție al cărei numărător este mai mare sau egal cu numitorul se numește fracție improprie.

Orice fracție improprie poate fi reprezentată ca suma unui polinom și a unei fracții proprii. Acest lucru se face prin împărțirea unui polinom la un polinom „coloană”, similar cu împărțirea numerelor.

Exemplu.

Imaginați-vă o fracțiune
ca sumă a unui polinom și a unei fracții proprii:

x - 1

3

3

3

Primul termen
în coeficient se obţine ca urmare a împărţirii termenului conducător
, divizibil cu termenul conducător X separator. Apoi ne înmulțim
la divizor x-1și scade rezultatul din dividend; termenii rămași ai coeficientului incomplet se găsesc în mod similar.

După împărțirea polinoamelor, obținem:

Această acțiune se numește selecția întregii părți.

Definiție 3. Cele mai simple fracții sunt fracții raționale proprii de următoarele tipuri:

eu.

II.
(K=2, 3, …).

III.
unde este trinomul pătrat

IV.
unde K=2, 3, …; trinom pătrat
nu are rădăcini reale.

a) extindeți numitorul
în cei mai simpli factori reali (conform teoremei fundamentale a algebrei, această descompunere poate conține binoame liniare de forma
și trinoame pătrate
, neavând rădăcini);

b) scrieți o schemă de extindere a unei fracții date într-o sumă de fracții simple. Mai mult, fiecare factor al formei
corespunde k termenii tipurilor I și II:

la fiecare factor al formei
corespunde termenilor e de tipurile III și IV:

Exemplu.

Scrieți o schemă de descompunere a fracțiilor
în suma celor mai simple.

c) efectuaţi adunarea fracţiilor simple obţinute. Notează egalitatea numărătorilor fracțiilor primite și inițiale;

d) găsiți coeficienții expansiunii corespunzătoare:
(metodele de rezolvare vor fi discutate mai jos);

e) Înlocuiți valorile găsite ale coeficienților în schema de descompunere.

Integrarea oricărei fracții raționale adecvate după descompunere în termeni simpli se reduce la găsirea integralelor unuia dintre tipurile:

(kși e =2, 3, …).

Calcul integral se reduce la formula III:

integrală - la formula II:

integrală poate fi găsită după regula specificată în teoria integrării funcțiilor care conțin un trinom pătrat; - prin transformările prezentate mai jos în exemplul 4.

Exemplul 1

a) factorizați numitorul:

b) scrieți o schemă de extindere a integrandului în termeni:

c) efectuați adunarea fracțiilor simple:

Scriem egalitatea numărătorilor fracțiilor:

d) există două metode pentru găsirea coeficienților necunoscuți A, B, C.

Două polinoame sunt egale dacă și numai dacă coeficienții lor sunt egali la aceleași puteri X, astfel încât să puteți face sistemul de ecuații corespunzător. Aceasta este una dintre soluții.

Coeficienți la

membri liberi (coeficient at ):4A=8.

Rezolvând sistemul, obținem A=2, B=1, C=-10.

O altă metodă - valorile private vor fi discutate în exemplul următor;

e) înlocuiți valorile găsite în schema de extindere:

Înlocuind suma rezultată sub semnul integral și integrând fiecare termen separat, găsim:

Exemplul 2

O identitate este o egalitate care este valabilă pentru orice valori ale necunoscutelor incluse în ea. Bazat pe acest lucru metoda valorii private. Poate fi atașat X orice valori. Este mai convenabil ca calculele să ia acele valori care dispar orice termen din partea dreaptă a egalității.

Lăsa x = 0. Apoi 1 = A 0(0+2)+B 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).

La fel, când x = - 2 avem 1= - 2B*(-3), la x = 1 avem 1 = 3A.

Prin urmare,

Exemplul 3

d) Mai întâi folosim metoda valorilor parțiale.

Lăsa x = 0, apoi 1 = A 1, A = 1.

La x = - 1 avem - 1+4+2+1 = - B(1+1+1) sau 6 = - 3V, B = - 2.

Pentru a găsi coeficienții C și D, trebuie să compuneți încă două ecuații. Pentru a face acest lucru, puteți lua orice alte valori X, de exemplu x = 1și x = 2. Puteți folosi prima metodă, adică egalați coeficienții la orice puteri identice X, de exemplu când și . obține

1 = A + B + C și 4 = C +D- AT.

știind A = 1, B = -2, găsi C = 2, D = 0 .

Astfel, la calcularea coeficienților, ambele metode pot fi combinate.

Ultima integrală găsim separat după regula specificată în metoda de comandă a unei noi variabile. Selectăm pătratul complet la numitor:

sa spunem
apoi
Primim:

=

Înlocuind în egalitatea anterioară, găsim

Exemplul 4

Găsi

b)

e)

Integrand, avem:

Transformăm prima integrală în formula III:

Transformăm integrala a doua în formula II:

În a treia integrală, înlocuim variabila:

(La efectuarea transformărilor, am folosit formula de trigonometrie

Găsiți integrale:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Întrebări pentru autoexaminare.

Care dintre fracțiile raționale date sunt corecte:

2. Este corect scrisă schema de extindere a unei fracții în suma fracțiilor simple?

2., 5.
,

3.
, 6.
.

În integralele 1-3 ca u Accept . Apoi n-plierea formulei (19), ajungem la una din integralele tabelului

,
,
.

În integralele 4-6, la diferențiere, factorul transcendental este simplificat
,
sau
, care ar trebui luat ca u.

Calculați următoarele integrale.

Exemplul 7

Exemplul 8

Reducerea integralelor la sine

Dacă integrand
se pare ca:

,
,
si asa mai departe,

apoi după dubla integrare pe părți obținem o expresie care conține integrala inițială :

,

Unde
este o constantă.

Rezolvarea ecuației rezultate în raport cu , obținem o formulă de calcul a integralei inițiale:

.

Acest caz de aplicare a metodei de integrare pe părți se numește „ aducând integrala în sine».

Exemplul 9 Calculați integrala
.

În partea dreaptă este integrala originală . Mutându-l în partea stângă, obținem:

.

Exemplul 10 Calculați integrala
.

4.5. Integrarea celor mai simple fracții raționale proprii

Definiție.Cele mai simple fracții proprii eu , II și III tipuri se numesc urmatoarele fractii:

eu. ;

II.
; (
este un întreg pozitiv);

III.
; (rădăcinile numitorului sunt complexe, adică:
.

Luați în considerare integralele fracțiilor simple.

eu.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Transformăm numărătorul fracției în așa fel încât să evidențiem termenul din numărător
egal cu derivata numitorului.

Luați în considerare prima dintre cele două integrale obținute și faceți o modificare în ea:

În a doua integrală, completăm numitorul la un pătrat complet:

În cele din urmă, integrala unei fracții de al treilea tip este egală cu:

=
+
. (22)

Astfel, integrala celor mai simple fracții de tip I se exprimă în termeni de logaritmi, tipul II - în termeni de funcții raționale, tipul III - în termeni de logaritmi și arctangente.

4.6 Integrarea funcţiilor fracţionale-raţionale

Una dintre clasele de funcții care au o integrală exprimată în termeni de funcții elementare este clasa funcțiilor raționale algebrice, adică funcții rezultate dintr-un număr finit de operații algebrice asupra unui argument.

Fiecare funcție rațională
poate fi reprezentat ca raport a două polinoame
și
:

. (23)

Vom presupune că polinoamele nu au rădăcini comune.

O fracție din forma (23) se numește corect, dacă gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului, adică m< n. In caz contrar - gresit.

Dacă fracția este incorectă, atunci, împărțind numărătorul la numitor (după regula împărțirii polinoamelor), reprezentăm fracția ca sumă a unui polinom și a unei fracții proprii:

, (24)

Unde
- polinom, este o fracție proprie și gradul polinomului
- fara grad superior ( n-1).

Exemplu.

Deoarece integrarea unui polinom se reduce la suma integralelor tabulare ale unei funcții de putere, principala dificultate în integrarea fracțiilor raționale este integrarea fracțiilor raționale proprii.

Algebra demonstrează că fiecare fracție proprie se descompune în suma celor de mai sus protozoare fracții, a căror formă este determinată de rădăcinile numitorului
.

Să luăm în considerare trei cazuri speciale. Aici și mai jos, vom presupune că coeficientul la cel mai înalt grad al numitorului
egal cu unu =1, adicăpolinom redus .

Cazul 1 Rădăcinile numitorului, adică rădăcinile
ecuații
=0 sunt reale și distincte. Apoi reprezentăm numitorul ca produs al factorilor liniari:

iar fracția adecvată se descompune în cele mai simple fracții ale tipului I:

, (26)

Unde
- niste numere constante, care se găsesc prin metoda coeficienților nedeterminați.

Pentru asta ai nevoie de:

1. Reduceți partea dreaptă a expansiunii (26) la un numitor comun.

2. Echivalează coeficienții la aceleași puteri ale polinoamelor identice din numărătorul părților din stânga și din dreapta. Obținem un sistem de ecuații liniare de determinare
.

3. Rezolvați sistemul rezultat și găsiți coeficienții nesiguri
.

Atunci integrala funcției fracționale-raționale (26) va fi egală cu suma integralelor celor mai simple fracții de tip I, calculată prin formula (20).

Exemplu. Calculați integrala
.

Decizie. Să factorizăm numitorul folosind teorema lui Vieta:

Apoi, integrandul se extinde în suma fracțiilor simple:

.

X:

Să scriem un sistem de trei ecuații pentru a găsi
X pe partea stanga si dreapta:

.

Să indicăm o metodă mai simplă de găsire a coeficienților nedeterminați, numită metoda valorii parțiale.

Presupunând în egalitate (27)
primim
, Unde
. Presupunând
primim
. În fine, presupunând
primim
.

.

Cazul 2 rădăcina numitorului
sunt reale, dar printre ele există rădăcini multiple (egale). Apoi reprezentăm numitorul ca un produs al factorilor liniari incluși în produs în măsura în care multiplicitatea rădăcinii corespunzătoare este:

Unde
.

Fracțiunea corespunzătoare se va extinde suma fracțiilor de tipul I și II. Să, de exemplu, - rădăcina numitorului multiplicității k, și toate celelalte ( n- k) de rădăcini sunt diferite.

Apoi descompunerea va arăta astfel:

În mod similar, dacă există alte rădăcini multiple. Pentru rădăcini nemultiple, expansiunea (28) include cele mai simple fracții ale primului tip.

Exemplu. Calculați integrala
.

Decizie. Să reprezentăm o fracție ca o sumă de fracții simple de primul și al doilea fel cu coeficienți nedeterminați:

.

Aducem partea dreaptă la un numitor comun și echivalăm polinoamele din numărătorii părților stângi și drepte:

În partea dreaptă, dăm altele similare cu aceleași grade X:

Să scriem sistemul de patru ecuații pentru a găsi
și . Pentru a face acest lucru, echivalăm coeficienții la aceleași puteri X pe partea stanga si dreapta

.

Cazul 3 Printre rădăcinile numitorului
au rădăcini complexe unice. Adică, extinderea numitorului include factori de gradul doi
, care nu pot fi descompuse în factori liniari reali și nu se repetă.

Apoi, în expansiunea fracției, fiecărui astfel de factor va corespunde celei mai simple fracții de tip III. Factorii liniari corespund celor mai simple fracții ale tipurilor I și II.

Exemplu. Calculați integrala
.

Decizie.
.

.

.