Având forma standard $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, în care partea stângă este diferența totală a unei funcții $F \left(x,y\right)$ se numește ecuație în diferențiale totale.

Ecuația diferențială totală poate fi întotdeauna rescrisă ca $dF\left(x,y\right)=0$, unde $F\left(x,y\right)$ este o funcție astfel încât $dF\left(x, y \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Integram ambele laturi ale ecuatiei $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; integrala laturii din dreapta zero este egală cu o constantă arbitrară $C$. În acest fel, decizie comună a acestei ecuații în formă implicită are forma $F\left(x,y\right)=C$.

Pentru ca o ecuație diferențială dată să fie o ecuație în diferențiale totale, este necesar și suficient ca condiția $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ să fie îndeplinită . Dacă această condiție este îndeplinită, atunci există o funcție $F\left(x,y\right)$ pentru care putem scrie: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, de unde obținem două relații: $\ frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ și $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$.

Integram prima relatie $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ peste $x$ si obtinem $F\left(x,y\right)=\int P\ stânga(x,y\dreapta)\cdot dx +U\left(y\dreapta)$ unde $U\left(y\dreapta)$ -- funcţie arbitrară de la $y$.

Să o alegem astfel încât a doua relație $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ să fie satisfăcută. Pentru a face acest lucru, diferențiam relația rezultată pentru $F\left(x,y\right)$ față de $y$ și echivalăm rezultatul cu $Q\left(x,y\right)$. Se obține: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\dreapta)$.

Următoarea soluție este:

• din ultima egalitate găsim $U"\left(y\right)$;
• integrați $U"\left(y\right)$ și găsiți $U\left(y\right)$;
• înlocuiți $U\left(y\right)$ în $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ și în cele din urmă obținem funcția $F\left(x,y\right)$.

\

Găsim diferența:

Integram $U"\left(y\right)$ peste $y$ si gasim $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Găsiți rezultatul: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Scriem soluția generală ca $F\left(x,y\right)=C$, și anume:

Găsiți o anumită soluție $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, unde $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

O anumită soluție are forma: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

unele functii. Dacă restabilim funcția din diferenţialul ei total, atunci găsim integrala generală ecuație diferențială. Mai jos vom vorbi despre metoda de recuperare a unei funcţii din diferenţialul ei total.

Partea stângă a ecuației diferențiale este diferența totală a unei funcții U(x, y) = 0 dacă condiția este îndeplinită.

pentru că diferenţialul total al unei funcţii U(x, y) = 0 aceasta este , ceea ce înseamnă că în condiţiile ei spun că .

Apoi, .

Din prima ecuație a sistemului obținem . Găsim funcția folosind a doua ecuație a sistemului:

Astfel, vom găsi funcția dorită U(x, y) = 0.

Exemplu.

Să găsim soluția generală a DE .

Soluţie.

În exemplul nostru. Condiția este îndeplinită deoarece:

Apoi, partea stângă a DE inițială este diferența totală a unei funcții U(x, y) = 0. Trebuie să găsim această funcție.

pentru că este diferența totală a funcției U(x, y) = 0, mijloace:

.

Integrarea peste X Prima ecuație a sistemului și derivabilă în raport cu y rezultat:

.

Din ecuația a 2-a a sistemului obținem . Mijloace:

Unde DIN este o constantă arbitrară.

Astfel, și integrala generală a ecuației date va fi .

Există o secundă metoda de calcul a unei functii din diferenta sa totala. Constă în luarea integralei curbilinii a unui punct fix (x0, y0) până la un punct cu coordonate variabile (X y): . În acest caz, valoarea integralei este independentă de calea integrării. Este convenabil să luăm ca traseu de integrare o linie întreruptă ale cărei legături sunt paralele cu axele de coordonate.

Exemplu.

Să găsim soluția generală a DE .

Soluţie.

Verificăm îndeplinirea condiției:

Astfel, partea stângă a DE este diferența totală a unei anumite funcții U(x, y) = 0. Găsim această funcție calculând integrala curbilinie a punctului (1; 1) inainte de (X y). Luăm o polilinie ca cale de integrare: vom trece prin prima secțiune a poliliniei de-a lungul unei linii drepte y=1 din punct de vedere (1, 1) inainte de (x, 1), ca a doua secțiune a traseului luăm un segment de linie dreaptă din punct (x, 1) inainte de (X y):

Deci, soluția generală a DE arată astfel: .

Exemplu.

Să definim soluția generală a lui DE.

Soluţie.

pentru că , atunci condiția nu este îndeplinită, atunci partea stângă a DE nu va fi diferența totală a funcției și trebuie să utilizați metoda a doua soluție (această ecuație este o ecuație diferențială cu variabile separabile).

Arată cum se recunoaște o ecuație diferențială în diferențiale totale. Sunt prezentate metode de soluționare a acestuia. Este dat un exemplu de rezolvare a unei ecuații în diferențe totale în două moduri.

Conţinut

Introducere

O ecuație diferențială de ordinul întâi în diferențiale totale este o ecuație de forma:
(1) ,
unde partea stângă a ecuației este diferența totală a unei funcții U (X y) pe variabilele x, y:
.
în care .

Dacă o astfel de funcție U (X y), atunci ecuația ia forma:
dU (x, y) = 0.
Integrala sa generală:
U (x, y) = C,
unde C este o constantă.

Dacă ecuația diferențială de ordinul întâi este scrisă în termenii derivatei:
,
atunci este ușor să-l aduci la formă (1) . Pentru a face acest lucru, înmulțiți ecuația cu dx. Apoi . Ca rezultat, obținem o ecuație exprimată în termeni de diferențe:
(1) .

Proprietatea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale

Pentru ca ecuația (1) este o ecuație în diferențiale totale, este necesar și suficient ca următoarea relație să fie satisfăcută:
(2) .

Dovada

În plus, presupunem că toate funcțiile utilizate în demonstrație sunt definite și au derivate corespunzătoare într-un interval de x și y. punctul x 0, y0 aparține și acestei zone.

Să demonstrăm necesitatea condiției (2).
Lasă partea stângă a ecuației (1) este diferența unei funcții U (X y):
.
Apoi
;
.
Deoarece derivata a doua nu depinde de ordinea diferențierii, atunci
;
.
De aici rezultă că . Condiție de necesitate (2) dovedit.

Să demonstrăm suficiența condiției (2).
Lasă starea (2) :
(2) .
Să arătăm că este posibil să găsim o astfel de funcție U (X y) că diferența sa este:
.
Aceasta înseamnă că există o astfel de funcție U (X y), care satisface ecuațiile:
(3) ;
(4) .
Să găsim o astfel de funcție. Integram ecuatia (3) prin x din x 0 la x, presupunând că y este o constantă:
;
;
(5) .
Diferențiați față de y, presupunând că x este o constantă și aplicați (2) :

.
Ecuația (4) va fi executat dacă
.
Integrarea peste y de la y 0 la y:
;
;
.
Înlocuiește în (5) :
(6) .
Deci am găsit o funcție a cărei diferenţială este
.
Suficiența a fost dovedită.

În formulă (6) , U (x0, y0) este o constantă - valoarea funcției U (X y)în punctul x 0, y0. I se poate atribui orice valoare.

Cum se recunoaște o ecuație diferențială în diferențiale totale

Luați în considerare ecuația diferențială:
(1) .
Pentru a determina dacă această ecuație este în diferențe complete, trebuie să verificați condiția (2) :
(2) .
Dacă este valabil, atunci aceasta este o ecuație în diferențiale totale. Dacă nu, atunci aceasta nu este o ecuație în diferențiale totale.

Exemplu

Verificați dacă ecuația este în diferențe totale:
.

Aici
, .
Diferențierea față de y, presupunând că x este constant:


.
Diferențierea


.
Pentru că:
,
atunci ecuația dată este în diferențe totale.

Metode de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale în diferenţiale totale

Metoda de extracție diferențială secvenţială

Cel mai metoda simpla rezolvarea ecuaţiei în diferenţiale totale este metoda de extragere succesivă a diferenţialului. Pentru a face acest lucru, folosim formule de diferențiere scrise sub formă diferențială:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
În aceste formule, u și v sunt expresii arbitrare formate din orice combinație de variabile.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația:
.

Mai devreme am descoperit că această ecuație este în diferențe totale. Să-l transformăm:
(P1) .
Rezolvăm ecuația evidențiind succesiv diferențiala.
;
;
;
;

.
Înlocuiește în (P1):
;
.

Metoda de integrare secvențială

În această metodă, căutăm funcția U (X y), satisfacand ecuatiile:
(3) ;
(4) .

Integram ecuatia (3) în x, presupunând că y este constant:
.
Aici φ (y) este o funcție arbitrară a lui y care trebuie definită. Este o constantă a integrării. Inlocuim in ecuatie (4) :
.
De aici:
.
Integrând, găsim φ (y) si astfel U (X y).

Exemplul 2

Rezolvați ecuația în diferențiale totale:
.

Mai devreme am descoperit că această ecuație este în diferențe totale. Să introducem notația:
, .
Se caută funcția U (X y), a cărui diferenţială este partea stângă a ecuaţiei:
.
Apoi:
(3) ;
(4) .
Integram ecuatia (3) în x, presupunând că y este constant:
(P2)
.
Diferențierea față de y:

.
Înlocuiește în (4) :
;
.
Integram:
.
Înlocuiește în (P2):

.
Integrala generală a ecuației:
U (x, y) = const.
Combinăm două constante într-una singură.

Metoda de integrare de-a lungul unei curbe

Funcția U definită de relația:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
poate fi găsit prin integrarea acestei ecuații de-a lungul curbei care leagă punctele (x0, y0)și (X y):
(7) .
Pentru că
(8) ,
atunci integrala depinde doar de coordonatele initialei (x0, y0) si finala (X y) puncte și nu depinde de forma curbei. Din (7) și (8) găsim:
(9) .
Aici x 0 și y 0 - permanentă. Prin urmare U (x0, y0) este de asemenea constantă.

Un exemplu de astfel de definiție a lui U a fost obținut în demonstrație:
(6) .
Aici, integrarea este efectuată mai întâi de-a lungul unui segment paralel cu axa y din punct (x 0 , y 0 ) până la punctul (x0, y). Apoi integrarea se realizează de-a lungul unui segment paralel cu axa x din punct (x0, y) până la punctul (X y) .

În mai mult caz general, trebuie să reprezentați ecuația curbei care leagă punctele (x 0 , y 0 )și (X y) sub forma parametrica:
X 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
X 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
și integrează peste t 1 de la T 0 la t.

Cea mai simplă integrare este peste segmentul care leagă punctele (x 0 , y 0 )și (X y). În acest caz:
X 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
După înlocuire, obținem integrala peste t din 0 inainte de 1 .
Aceasta metoda, duce însă la calcule destul de greoaie.

Referinte:
V.V. Stepanov, Curs de ecuații diferențiale, LKI, 2015.

Definiție 8.4. Ecuația diferențială a formei

Unde
se numește ecuație diferențială totală.

Rețineți că partea stângă a unei astfel de ecuații este diferența totală a unei anumite funcții
.

În cazul general, ecuația (8.4) poate fi reprezentată ca

În loc de ecuația (8.5), se poate lua în considerare ecuația

,

a cărei soluție este integrala generală a ecuației (8.4). Astfel, pentru a rezolva ecuația (8.4) este necesar să găsim funcția
. În conformitate cu definiția ecuației (8.4), avem

(8.6)

Funcţie
vom căuta, ca funcție care îndeplinește una dintre aceste condiții (8.6):

Unde este o funcție arbitrară independentă de .

Funcţie
este definită astfel încât a doua condiție a expresiei (8.6) să fie îndeplinită

(8.7)

Din expresia (8.7) se determină funcția
. Înlocuindu-l în expresia pentru
și obțineți integrala generală a ecuației inițiale.

Problema 8.3. Ecuația de integrare

Aici
.

Prin urmare, această ecuație aparține tipului de ecuații diferențiale în diferențiale totale. Funcţie
vom cauta in formular

.

Pe de altă parte,

.

În unele cazuri, starea
nu poate fi efectuată.

Apoi astfel de ecuații sunt reduse la tipul luat în considerare prin înmulțirea cu așa-numitul factor de integrare, care, în cazul general, este o funcție doar de sau .

Dacă o ecuație are un factor de integrare care depinde numai de , atunci este determinat de formula

unde este raportul ar trebui să fie doar o funcție .

În mod similar, un factor integrator depinde doar de , este determinat de formula

unde este raportul
ar trebui să fie doar o funcție .

Absența în rapoartele de mai sus, în primul caz, a variabilei , iar în al doilea - o variabilă , sunt un semn al existenței unui factor integrator pentru o ecuație dată.

Problema 8.4. Aduceți această ecuație la o ecuație în diferențiale totale.

.

Luați în considerare relația:

.

Subiectul 8.2. Ecuații diferențiale liniare

Definiție 8.5. Ecuație diferențială
se numeste liniar daca este liniar fata de functia dorita , derivatul său și nu conține produsul funcției dorite și derivata acesteia.

Forma generală a unei ecuații diferențiale liniare este reprezentată de următoarea relație:

(8.8)

Dacă în relaţia (8.8) partea dreaptă
, atunci o astfel de ecuație se numește omogenă liniară. În cazul în care partea dreaptă
, atunci o astfel de ecuație se numește liniară neomogenă.

Să arătăm că ecuația (8.8) este integrabilă în cuadraturi.

În prima etapă, considerăm o ecuație liniară omogenă.

O astfel de ecuație este o ecuație cu variabile separabile. Într-adevăr,

;

/

Ultima relație determină soluția generală a liniarului ecuație omogenă.

Pentru a găsi o soluție generală a unei ecuații liniare neomogene, se utilizează metoda de variație a derivatei unei constante. Ideea metodei este că soluția generală a unei ecuații liniare neomogene în aceeași formă ca soluția ecuației omogene corespunzătoare, totuși, o constantă arbitrară înlocuit cu o anumită funcție
a fi determinat. Deci avem:

(8.9)

Inlocuind in relatia (8.8) expresiile corespunzatoare
și
, primim

Înlocuind ultima expresie în relația (8.9), se obține integrala generală a unei ecuații liniare neomogene.

Astfel, soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este determinată de două pătraturi: soluția generală a unei ecuații liniare omogene și o soluție particulară a unei ecuații liniare neomogene.

Problema 8.5. Ecuația de integrare

Astfel, ecuația originală aparține tipului de ecuații diferențiale liniare neomogene.

În prima etapă, găsim soluția generală a ecuației liniare omogene.

;

În a doua etapă, determinăm soluția generală a ecuației liniare neomogene, care se caută sub forma

,

Unde
este funcția care trebuie definită.

Deci avem:

Înlocuirea rapoartelor pentru și în ecuația liniară neomogenă inițială obținem:

;

;

.

Soluția generală a unei ecuații liniare neomogene va arăta astfel:

.

Diferenţial se numește ecuație de formă

P(X y)dx + Q(X y)dy = 0 ,

unde partea stângă este diferența totală a unei funcții a două variabile.

Să notăm funcția necunoscută a două variabile (este ceea ce trebuie să găsim atunci când rezolvăm ecuații în diferențiale totale) prin Fși vom reveni la el în curând.

Primul lucru la care trebuie să acordați atenție este că trebuie să existe zero în partea dreaptă a ecuației, iar semnul care leagă cei doi termeni din partea stângă trebuie să fie un plus.

În al doilea rând, trebuie observată o oarecare egalitate, ceea ce este o confirmare că ecuația diferențială dată este o ecuație în diferențiale complete. Această verificare este o parte obligatorie a algoritmului de rezolvare a ecuațiilor în diferențiale totale (este în al doilea paragraf al acestei lecții), deci procesul de găsire a unei funcții F destul de consumator de timp și este important în etapa inițială să ne asigurăm că nu pierdem timpul în zadar.

Deci, funcția necunoscută care trebuie găsită este notată cu F. Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Prin urmare, dacă ecuația este o ecuație în diferențe totale, partea stângă a ecuației este suma diferențialelor parțiale. Apoi, prin definiție

dF = P(X y)dx + Q(X y)dy .

Reamintim formula de calcul a diferenţialului total al unei funcţii a două variabile:

Rezolvând ultimele două egalități, putem scrie

.

Prima egalitate este diferențiabilă în raport cu variabila „y”, a doua - în raport cu variabila „x”:

.

care este condiția ca ecuația diferențială dată să fie într-adevăr o ecuație în diferențiale totale.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este o ecuație în diferențe totale. Pentru expresia a fost diferenţialul total al unei anumite funcţii F(X y) , este necesar şi suficient ca . Cu alte cuvinte, trebuie să luăm derivata parțială cu privire la X iar derivata parțială în raport cu y un alt termen și, dacă aceste derivate sunt egale, atunci ecuația este o ecuație în diferențiale totale.

Pasul 2 Scrieți sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3 Integrați prima ecuație a sistemului - peste X (y F:

,
y.

O opțiune alternativă (dacă este mai ușor să găsiți integrala în acest fel) este să integrați a doua ecuație a sistemului - prin y (X rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, funcția este de asemenea restabilită F:

,
de unde este o funcție necunoscută X.

Pasul 4 Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) se diferențiază prin y(alternativ, de către X) și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

,

și, alternativ, la prima ecuație a sistemului:

.

Din ecuația rezultată, determinăm (într-o versiune alternativă)

Pasul 5 Rezultatul pasului 4 este integrat și găsit (alternativ găsiți).

Pasul 6Înlocuiți rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F. O constantă arbitrară C scris mai des după semnul egal - în partea dreaptă a ecuației. Astfel, obținem soluția generală a ecuației diferențiale în diferențiale totale. După cum am menționat deja, are forma F(X y) = C.

Exemple de soluții ale ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Exemplul 1

Pasul 1. ecuație în diferențiale totale X un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu y alt termen
ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2 F:

Pasul 3 pe X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:

de unde este o funcție necunoscută y.

Pasul 4 y

.

.

Pasul 5

Pasul 6 F. O constantă arbitrară C :
.

Care este cea mai probabilă eroare aici? Cele mai frecvente greșeli sunt să luați integrala parțială peste una dintre variabile pentru integrala obișnuită a produsului de funcții și să încercați să integrați prin părți sau o variabilă de înlocuire și, de asemenea, să luați derivata parțială a doi factori ca derivată a produs al funcțiilor și căutați derivata folosind formula corespunzătoare.

Acest lucru trebuie reținut: atunci când se calculează o integrală parțială față de una dintre variabile, cealaltă este o constantă și este scoasă din semnul integral, iar când se calculează o derivată parțială față de una dintre variabile, cealaltă este, de asemenea, o constantă și derivata expresiei se găsește ca o derivată a variabilei „acționante” înmulțită cu o constantă.

Printre ecuații în diferențiale totale nu neobișnuit - exemple cu un exponent. Acesta este următorul exemplu. De asemenea, se remarcă prin faptul că în soluția sa este utilizată o opțiune alternativă.

Exemplul 2 Rezolvați ecuația diferențială

.

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la X un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu y alt termen
. Aceste derivate sunt egale, deci ecuația este ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2 Scriem sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3 Integram a doua ecuatie a sistemului - peste y (X rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:

de unde este o funcție necunoscută X.

Pasul 4 Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) este diferențiabil în raport cu X

și echivalează cu prima ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5 Integram rezultatul pasului 4 si gasim:
.

Pasul 6Înlocuim rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F. O constantă arbitrară C scrie după semnul egal. Așa obținem generalul rezolvarea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale :
.

În exemplul următor, ne întoarcem de la alternativă la cea principală.

Exemplul 3 Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu X alt termen
. Aceste derivate sunt egale, deci ecuația este ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2 Scriem sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3 Integram prima ecuatie a sistemului - pe X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:

de unde este o funcție necunoscută y.

Pasul 4 Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) este diferențiabil în raport cu y

și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5 Integram rezultatul pasului 4 si gasim:

Pasul 6Înlocuim rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F. O constantă arbitrară C scrie după semnul egal. Așa obținem generalul rezolvarea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale :
.

Exemplul 4 Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu X alt termen
. Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este o ecuație în diferențiale totale.

Pasul 2 Scriem sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3 Integram prima ecuatie a sistemului - pe X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:

de unde este o funcție necunoscută y.

Pasul 4 Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) este diferențiabil în raport cu y

și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5 Integram rezultatul pasului 4 si gasim:

Pasul 6Înlocuim rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F. O constantă arbitrară C scrie după semnul egal. Așa obținem generalul rezolvarea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale :
.

Exemplul 5 Rezolvați ecuația diferențială

.

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu X alt termen
. Aceste derivate sunt egale, deci ecuația este ecuație în diferențiale totale .