Metode Kramerși gaussian una dintre cele mai populare soluții SLAU. În plus, în unele cazuri este indicat să folosiți metode specifice. Sesiunea este aproape, iar acum este momentul să le repetați sau să le stăpâniți de la zero. Astăzi ne ocupăm de soluția prin metoda Cramer. La urma urmei, soluția sistemului ecuatii lineare Metoda lui Cramer este o abilitate foarte utilă.

Sisteme de ecuații algebrice liniare

Sistemul de ecuații algebrice liniare este un sistem de ecuații de forma:

Valoare setată X , la care ecuațiile sistemului se transformă în identități, se numește soluția sistemului, A și b sunt coeficienți reali. Un sistem simplu format din două ecuații cu două necunoscute poate fi rezolvat mental sau prin exprimarea unei variabile în termenii celeilalte. Dar pot exista mult mai mult de două variabile (x) în SLAE, iar manipulările școlare simple sunt indispensabile aici. Ce să fac? De exemplu, rezolvați SLAE prin metoda lui Cramer!

Deci, lasă sistemul să fie n ecuatii cu n necunoscut.

Un astfel de sistem poate fi rescris sub formă de matrice

Aici A este matricea principală a sistemului, X și B , respectiv, matrice coloane de variabile necunoscute și membri liberi.

Soluție SLAE prin metoda lui Cramer

Dacă determinantul matricei principale nu este egal cu zero (matricea este nesingulară), sistemul poate fi rezolvat folosind metoda Cramer.

Conform metodei Cramer, soluția se găsește prin formulele:

Aici delta este determinantul matricei principale și delta x n-a - determinantul obținut din determinantul matricei principale prin înlocuirea coloanei a n-a cu o coloană de termeni liberi.

Acesta este scopul metodei lui Cramer. Înlocuind valorile găsite cu formulele de mai sus X în sistemul dorit, suntem convinși de corectitudinea (sau invers) soluției noastre. Pentru a vă fi mai ușor să înțelegeți ideea, iată un exemplu. solutie detaliata SLAE prin metoda lui Cramer:

Chiar dacă nu reușești prima dată, nu te descuraja! Cu puțină exersare, vei începe să treci SLOW-uri ca nucile. Mai mult decât atât, acum nu este absolut necesar să studiezi un caiet, rezolvând calcule greoaie și scriind pe tijă. Este ușor să rezolvi SLAE prin metoda Cramer online, doar prin înlocuirea coeficienților în forma finită. încearcă calculator online soluțiile prin metoda Cramer pot fi, de exemplu, pe acest site.

Și dacă sistemul s-a dovedit a fi încăpățânat și nu renunță, puteți oricând să cereți ajutor autorilor noștri, de exemplu, pentru a cumpăra un rezumat. Dacă există cel puțin 100 de necunoscute în sistem, cu siguranță o vom rezolva corect și la timp!

Să fie dat un sistem de trei ecuații liniare:

Pentru a rezolva un sistem de ecuații liniare prin metoda Cramer, determinantul principal al sistemului  este alcătuit din coeficienții necunoscutelor. Pentru sistemul (1), determinantul principal are forma
.

În continuare, determinanții sunt compilați în raport cu variabilele
,,. Pentru a face acest lucru, în determinantul principal, în loc de o coloană de coeficienți pentru variabila corespunzătoare, se scrie o coloană de membri liberi, adică

,
,
.

Apoi soluția sistemului se găsește prin formulele Cramer

,
,

Trebuie remarcat faptul că sistemul are o soluție unică
dacă principalul determinant
. Dacă
și
= 0,= 0,= 0, atunci sistemul are un număr infinit de soluții, care nu pot fi găsite prin formulele lui Cramer. Dacă
și
0, sau 0, sau 0, atunci sistemul de ecuații este inconsecvent, adică nu are soluții.

Exemplu

Soluţie:

1) Compuneți și calculați determinantul principal al sistemului, format din coeficienți pentru necunoscute.

.

Prin urmare, sistemul are o soluție unică.

2) Compuneți și calculați determinanții auxiliari, înlocuind coloana corespunzătoare din  cu o coloană de termeni liberi.

Folosind formulele lui Cramer, găsim necunoscutele:

,
,
.

Vom verifica pentru a ne asigura că soluția este corectă

Acestea.
.

, adică

, adică

Răspuns: .

Exemplu

Rezolvați sistemul de ecuații prin metoda lui Cramer:

Soluţie:

1) Compuneți și calculați principalul determinant al sistemului din coeficienții necunoscutelor:

.

Prin urmare, sistemul nu are o soluție unică.

2) Compuneți și calculați determinanții auxiliari, înlocuind coloana corespunzătoare din  cu o coloană de termeni liberi:

,
, prin urmare sistemul este inconsecvent.

Răspuns: sistemul este inconsecvent.

metoda Gauss

Metoda Gauss constă din două etape. Prima etapă constă în eliminarea succesivă a variabilelor din ecuațiile sistemului folosind acțiuni care nu încalcă echivalența sistemului. De exemplu, luați în considerare primele două ecuații ale sistemului (1).

(1)

Este necesar prin adăugarea acestor două ecuații pentru a obține o ecuație în care nu există nicio variabilă . Înmulțiți prima ecuație cu , iar al doilea pe (
) și se adună ecuațiile rezultate

Înlocuim coeficientul înainte y, zși un membru gratuit pe ,și în consecință, obținem o nouă pereche de ecuații

Rețineți că nu există nicio variabilă în a doua ecuație X.

După ce am efectuat acțiuni similare asupra primei și a treia ecuații ale sistemului (1), apoi asupra celei de-a doua și a treia ecuații obținute ca urmare a adunării, transformăm sistemul (1) în forma

(2)

Acest rezultat este posibil dacă sistemul are o soluție unică. În acest caz, soluția se găsește folosind metoda Gauss inversă (a doua etapă). Din ultima ecuație a sistemului (2) găsim variabila necunoscută z, apoi din a doua ecuație găsim y, A X respectiv din prima, substituind în ele necunoscute deja găsite.

Uneori, ca urmare a adunării a două ecuații, ecuația totală poate lua una dintre următoarele forme:

DAR)
, Unde
. Aceasta înseamnă că sistemul care se rezolvă este inconsecvent.

B), adică
. O astfel de ecuație este exclusă din sistem, ca urmare, numărul de ecuații din sistem devine mai mic decât numărul de variabile, iar sistemul are un număr infinit de soluții, a căror constatare va fi prezentată printr-un exemplu.

Exemplu

Soluţie:

Luați în considerare următoarea metodă pentru implementarea primei etape a soluției prin metoda Gauss. Să notăm trei rânduri de coeficienți pentru termenii necunoscuți și liberi corespunzători celor trei ecuații ale sistemului. Separăm termenii liberi de coeficienți cu o linie verticală și trasăm o linie orizontală sub a treia linie.

Încercuim prima linie, care corespunde primei ecuații a sistemului - coeficienții din această ecuație vor rămâne neschimbați. În loc de a doua linie (ecuație), trebuie să obțineți o linie (ecuație), unde coeficientul la este egal cu zero. Pentru a face acest lucru, înmulțim toate numerele din primul rând cu (-2) și le adăugăm la numerele corespunzătoare din al doilea rând. Sumele rezultate le scriem sub linia orizontală (a patra linie). Pentru a obține în loc de a treia linie (ecuație) și o linie (ecuație) în care coeficientul la egal cu zero, înmulțim toate numerele din primul rând cu (-5) și le adăugăm la numerele corespunzătoare din al treilea rând. Scriem sumele rezultate pe a cincea linie și desenăm o nouă linie orizontală sub ea. A patra linie (sau a cincea - opțional) va fi încercuită. Este selectat rândul cu coeficienți mai mici. În această linie, coeficienții vor rămâne neschimbați. În loc de a cincea linie, trebuie să obțineți o linie în care doi coeficienți sunt deja egali cu zero. Înmulțiți al patrulea rând cu 3 și adăugați-l la al cincilea. Scriem suma sub linia orizontală (a șasea linie) și o încercuim.

Toate acțiunile descrise sunt prezentate în Tabelul 1 folosind semne aritmetice și săgeți. Scriem din nou rândurile încercuite în tabel sub forma ecuațiilor (3) și, folosind mișcarea inversă a metodei Gauss, găsim valorile variabilelor X, yși z.

tabelul 1

Restabilim sistemul de ecuații obținut ca urmare a transformărilor noastre:

(3)

Metoda Gauss invers

Din a treia ecuație
găsi
.

În a doua ecuație a sistemului
înlocuiți valoarea găsită
, primim
sau
.

Din prima ecuație
, înlocuind valorile deja găsite ale variabilelor, obținem
, acesta este
.

Pentru a vă asigura că soluția este corectă, trebuie efectuată o verificare în toate cele trei ecuații ale sistemului.

Examinare:

, primim

obține

obține

Aceasta înseamnă că sistemul este corect.

Răspuns:
,
,
.

Exemplu

Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss:

Soluţie:

Ordinea acțiunilor din acest exemplu este similară cu ordinea din exemplul anterior, iar acțiunile specifice sunt indicate în Tabelul 2.

Ca rezultat al transformărilor, obținem o ecuație de forma , prin urmare, sistemul dat este inconsecvent.

Răspuns: sistemul este inconsecvent.

Exemplu

Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss:

Soluţie:

Tabelul 3

Ca rezultat al transformărilor, obținem o ecuație de forma , care este exclusă din considerare. Astfel, avem un sistem de ecuații în care numărul de necunoscute este 3, iar numărul de ecuații este 2.

Sistemul are un număr infinit de soluții. Pentru a găsi aceste soluții, introducem o variabilă liberă. (Numărul de variabile libere este întotdeauna egal cu diferența dintre numărul de necunoscute și numărul de ecuații rămase după transformarea sistemului. În cazul nostru, 3 - 2 = 1).

Lăsa
este o variabilă liberă.

Apoi din a doua ecuație găsim
, Unde
și apoi găsiți X din prima ecuație
sau
.

În acest fel,
;
;
.

Să facem o verificare a ecuațiilor care nu au fost implicate în găsirea și , adică în a doua și a treia ecuație a sistemului original.

Examinare:

sau, primim
.

sau, primim
.

Sistemul este corect. Oferind o constantă arbitrară diverse sensuri, vom obține valori diferite X, y și z.

Răspuns:
;
;
.

2. Rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda matricei (folosind matricea inversă).
3. Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații.

metoda lui Cramer.

Metoda lui Cramer este folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare ( SLAU).

Formule pe exemplul unui sistem de două ecuații cu două variabile.
Dat: Rezolvați sistemul prin metoda lui Cramer

Referitor la variabile Xși la.
Soluţie:
Aflați determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului Calculul determinanților. :

Să aplicăm formulele lui Cramer și să găsim valorile variabilelor:
și .
Exemplul 1:
Rezolvați sistemul de ecuații:

referitor la variabile Xși la.
Soluţie:


Să înlocuim prima coloană din acest determinant cu o coloană de coeficienți din partea dreaptă a sistemului și să găsim valoarea acesteia:

Să facem o acțiune similară, înlocuind a doua coloană în primul determinant:

Aplicabil formulele lui Cramerși găsiți valorile variabilelor:
și .
Răspuns:
Cometariu: Această metodă poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de dimensiuni mai mari.

Cometariu: Dacă se dovedește că și este imposibil de împărțit la zero, atunci ei spun că sistemul nu are o soluție unică. În acest caz, sistemul are fie infinite de soluții, fie nicio soluție.

Exemplul 2(un număr infinit de soluții):

Rezolvați sistemul de ecuații:

referitor la variabile Xși la.
Soluţie:
Aflați determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului:

Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției.

Prima dintre ecuațiile sistemului este o egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor (deoarece 4 este întotdeauna egal cu 4). Deci a mai rămas o singură ecuație. Aceasta este o ecuație de relație între variabile.
Am obținut că soluția sistemului este orice pereche de valori ale variabilelor legate de egalitate.
Soluția generală este scrisă astfel:
Soluții particulare pot fi determinate prin alegerea unei valori arbitrare a lui y și calculând x din această ecuație de relație.

etc.
Există o infinitate de astfel de soluții.
Răspuns: decizie comună
Soluții private:

Exemplul 3(fără soluții, sistemul este inconsecvent):

Rezolvați sistemul de ecuații:

Soluţie:
Aflați determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului:

Nu poți folosi formulele lui Cramer. Să rezolvăm acest sistem prin metoda substituției

A doua ecuație a sistemului este o egalitate care nu este valabilă pentru nicio valoare a variabilelor (desigur, deoarece -15 nu este egal cu 2). Dacă una dintre ecuațiile sistemului nu este adevărată pentru nicio valoare a variabilelor, atunci întregul sistem nu are soluții.
Răspuns: fara solutii

În prima parte, ne-am uitat la unele material teoretic, metoda substituției și metoda adunării termen cu termen a ecuațiilor de sistem. Tuturor celor care au venit pe site prin această pagină, le recomand să citiți prima parte. Poate că unii vizitatori vor găsi materialul prea simplu, dar în cursul rezolvării sistemelor de ecuații liniare, am făcut o serie de observații și concluzii foarte importante cu privire la rezolvarea problemelor matematice în general.

Și acum vom analiza regula lui Cramer, precum și soluția unui sistem de ecuații liniare folosind matricea inversă (metoda matricei). Toate materialele sunt prezentate simplu, detaliat și clar, aproape toți cititorii vor putea învăța cum să rezolve sisteme folosind metodele de mai sus.

Mai întâi luăm în considerare regula lui Cramer în detaliu pentru un sistem de două ecuații liniare în două necunoscute. Pentru ce? „La urma urmei, cel mai simplu sistem se poate rezolva prin metoda școlii, prin adunare trimestrial!

Faptul este că, chiar dacă uneori, dar există o astfel de sarcină - să rezolvi un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute folosind formulele lui Cramer. În al doilea rând, un exemplu mai simplu vă va ajuta să înțelegeți cum să utilizați regula lui Cramer pentru un caz mai complex - un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute.

In plus, exista sisteme de ecuatii liniare cu doua variabile, pe care este indicat sa le rezolvi exact dupa regula lui Cramer!

Luați în considerare sistemul de ecuații

La primul pas, calculăm determinantul , se numește principalul determinant al sistemului.

metoda Gauss.

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică, iar pentru a găsi rădăcinile, trebuie să calculăm încă doi determinanți:
și

În practică, calificativele de mai sus pot fi notate și prin litera latină.

Rădăcinile ecuației se găsesc prin formulele:
,

Exemplul 7

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Soluţie: Vedem că coeficienții ecuației sunt destul de mari, în partea dreaptă sunt fracții zecimale cu virgulă. Virgula este un oaspete destul de rar în sarcini practice la matematică, am luat acest sistem dintr-o problemă econometrică.

Cum se rezolvă un astfel de sistem? Puteți încerca să exprimați o variabilă în termenii alteia, dar în acest caz, cu siguranță veți obține fracții fanteziste groaznice, cu care sunt extrem de incomod de lucrat, iar designul soluției va arăta doar îngrozitor. Puteți înmulți a doua ecuație cu 6 și scădeți termen cu termen, dar aceleași fracții vor apărea aici.

Ce să fac? În astfel de cazuri, formulele lui Cramer vin în ajutor.

;

;

Răspuns: ,

Ambele rădăcini au cozi infinite și se găsesc aproximativ, ceea ce este destul de acceptabil (și chiar banal) pentru problemele de econometrie.

Nu sunt necesare comentarii aici, deoarece sarcina este rezolvată conform formulelor gata făcute, totuși, există o avertizare. Când utilizați această metodă, obligatoriu Fragmentul sarcinii este următorul fragment: „deci sistemul are o soluție unică”. În caz contrar, recenzentul vă poate pedepsi pentru nerespectarea teoremei lui Cramer.

Nu va fi de prisos să verificați, ceea ce este convenabil de efectuat cu un calculator: înlocuim valorile aproximative în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului. Ca rezultat, cu o mică eroare, ar trebui să se obțină numerele care sunt în partea dreaptă.

Exemplul 8

Exprimați-vă răspunsul în fracții improprii obișnuite. Faceți o verificare.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (exemplu de design fin și răspuns la sfârșitul lecției).

Ne întoarcem la considerarea regulii lui Cramer pentru un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:

Găsim principalul determinant al sistemului:

Dacă , atunci sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent (nu are soluții). În acest caz, regula lui Cramer nu va ajuta, trebuie să utilizați metoda Gauss.

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică, iar pentru a găsi rădăcinile, trebuie să calculăm încă trei determinanți:
, ,

Și în sfârșit, răspunsul este calculat prin formulele:

După cum puteți vedea, cazul „trei câte trei” nu este în mod fundamental diferit de cazul „două câte doi”, coloana de termeni liberi „se plimbă” secvenţial de la stânga la dreapta de-a lungul coloanelor determinantului principal.

Exemplul 9

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Soluţie: Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer.

, astfel încât sistemul are o soluție unică.

Răspuns: .

De fapt, nu este nimic special de comentat din nou aici, având în vedere că decizia se ia după formule gata făcute. Dar există câteva note.

Se întâmplă ca în urma calculelor să se obțină fracții ireductibile „rele”, de exemplu: .
Recomand următorul algoritm de „tratament”. Dacă nu există computer la îndemână, facem acest lucru:

1) Poate fi o greșeală în calcule. De îndată ce întâlniți o lovitură „rea”, trebuie să verificați imediat dacă este condiția rescrisă corect. Dacă condiția este rescrisă fără erori, atunci trebuie să recalculați determinanții folosind expansiunea într-un alt rând (coloană).

2) Dacă nu au fost găsite erori în urma verificării, atunci cel mai probabil a fost făcută o greșeală de scriere în starea sarcinii. În acest caz, rezolvați cu calm și ATENȚIE sarcina până la capăt și apoi asigurați-vă că verificațiși întocmește-l pe o copie curată după hotărâre. Desigur, verificarea unui răspuns fracționat este o sarcină neplăcută, dar va fi un argument dezarmant pentru profesor, căruia îi place foarte mult să pună un minus pentru orice lucru rău ca. Cum să tratați fracțiile este detaliat în răspunsul pentru Exemplul 8.

Dacă aveți un computer la îndemână, atunci utilizați un program automat pentru a-l verifica, care poate fi descărcat gratuit chiar la începutul lecției. Apropo, cel mai avantajos este să folosești programul imediat (chiar înainte de a începe soluția), vei vedea imediat pasul intermediar la care ai greșit! Același calculator calculează automat soluția sistemului folosind metoda matricei.

A doua remarcă. Din când în când există sisteme din ecuațiile cărora lipsesc unele variabile, de exemplu:

Aici în prima ecuație nu există variabilă, în a doua nu există variabilă. În astfel de cazuri, este foarte important să scrieți corect și CU ATENȚIE principalul determinant:
– zerouri sunt puse în locul variabilelor lipsă.
Apropo, este rațional să deschideți determinanții cu zerouri în rândul (coloana) în care se află zero, deoarece există considerabil mai puține calcule.

Exemplul 10

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (finalizarea eșantionului și răspunsul la sfârșitul lecției).

Pentru cazul unui sistem de 4 ecuații cu 4 necunoscute, formulele lui Cramer sunt scrise după principii similare. Puteți vedea un exemplu live în lecția Proprietăți determinante. Reducerea ordinului determinantului - cinci determinanți de ordinul 4 sunt destul de rezolvabili. Deși sarcina amintește deja foarte mult de pantoful unui profesor pe pieptul unui student norocos.

Rezolvarea sistemului folosind matricea inversă

Metoda matricei inverse este în esență un caz special ecuația matriceală(Vezi Exemplul nr. 3 al lecției specificate).

Pentru a studia această secțiune, trebuie să fiți capabil să extindeți determinanții, să găsiți matricea inversă și să efectuați înmulțirea matricei. Link-urile relevante vor fi date pe măsură ce explicația progresează.

Exemplul 11

Rezolvați sistemul cu metoda matricei

Soluţie: Scriem sistemul sub formă de matrice:
, Unde

Vă rugăm să priviți sistemul de ecuații și matricele. După ce principiu scriem elemente în matrice, cred că toată lumea înțelege. Singurul comentariu: dacă unele variabile lipsesc în ecuații, atunci ar trebui puse zerouri în locurile corespunzătoare din matrice.

Găsim matricea inversă prin formula:
, unde este matricea transpusă a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei .

În primul rând, să ne ocupăm de determinantul:

Aici determinantul este extins cu prima linie.

Atenţie! Dacă , atunci matricea inversă nu există și este imposibil să se rezolve sistemul prin metoda matricei. În acest caz, sistemul se rezolvă prin eliminarea necunoscutelor (metoda Gauss).

Acum trebuie să calculați 9 minori și să le scrieți în matricea minorilor

Referinţă: Este util să cunoaștem semnificația indicelor duble în algebra liniară. Prima cifră este numărul liniei în care se află elementul. A doua cifră este numărul coloanei în care se află elementul:

Adică, un indice dublu indică faptul că elementul se află în primul rând, a treia coloană, în timp ce, de exemplu, elementul este în al treilea rând, a doua coloană

Fie că sistemul de ecuații liniare conține tot atâtea ecuații cât numărul de variabile independente, adică. are forma

Astfel de sisteme de ecuații liniare se numesc pătratice. Determinantul compus din coeficienții variabilelor independente ale sistemului (1.5) se numește determinant principal al sistemului. O vom nota cu litera greacă D. Astfel,

Dacă în determinantul principal un arbitrar ( j a), înlocuiți-o cu coloana de membri liberi ai sistemului (1.5), apoi putem obține mai multe n determinanti auxiliari:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

regula lui Cramer rezolvarea sistemelor pătratice de ecuații liniare este după cum urmează. Dacă determinantul principal D al sistemului (1.5) este diferit de zero, atunci sistemul are o soluție unică, care poate fi găsită prin formulele:

Exemplul 1.5. Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda lui Cramer

Să calculăm principalul determinant al sistemului:

De la D¹0, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită folosind formulele (1.8):

În acest fel,

Acțiuni Matrice

1. Înmulțirea unei matrice cu un număr. Operația de înmulțire a unei matrice cu un număr este definită după cum urmează.

2. Pentru a înmulți o matrice cu un număr, trebuie să înmulți toate elementele acesteia cu acest număr. Acesta este

Exemplul 1.6. .

Adăugarea matricei.

Această operație este introdusă numai pentru matrice de același ordin.

Pentru a adăuga două matrice, este necesar să adăugați elementele corespunzătoare ale celeilalte matrice la elementele unei matrice:

(1.10)
Operația de adunare a matricei are proprietățile asociativității și comutativității.

Exemplul 1.7. .

Înmulțirea matricei.

Dacă numărul coloanelor matricei DAR se potrivește cu numărul de rânduri ale matricei LA, atunci pentru astfel de matrici se introduce operația de înmulțire:

Astfel, la înmulțirea matricei DAR dimensiuni m´ n la matrice LA dimensiuni n´ k obținem o matrice DIN dimensiuni m´ k. În acest caz, elementele matricei DIN se calculează după următoarele formule:

Problema 1.8. Găsiți, dacă este posibil, produsul matricelor ABși BA:

Soluţie. 1) Pentru a găsi o muncă AB, aveți nevoie de rânduri matrice Aînmulțiți cu coloanele matricei B:

2) Opera de artă BA nu există, deoarece numărul de coloane ale matricei B nu se potrivește cu numărul de rânduri ale matricei A.

Matrice inversă. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare într-un mod matricial

Matrice A- 1 se numește inversul unei matrice pătrate DAR dacă egalitatea este valabilă:

unde prin eu denotă matricea de identitate de același ordin ca și matricea DAR:

Pentru ca o matrice pătrată să aibă inversă, este necesar și suficient ca determinantul său să fie diferit de zero. Matricea inversă se găsește prin formula:

Unde A ij- adunări algebrice la elemente aij matrici DAR(rețineți că adunările algebrice la rândurile matricei DAR sunt dispuse în matrice inversă sub formă de coloane corespunzătoare).

Exemplul 1.9. Găsiți matricea inversă A- 1 la matrice

Găsim matricea inversă prin formula (1.13), care pentru cazul n= 3 arată astfel:

Să găsim det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Deoarece determinantul matricei originale este diferit de zero, atunci există matricea inversă.

1) Găsiți adunări algebrice A ij:

Pentru comoditatea găsirii matricei inverse, am plasat adunările algebrice la rândurile matricei originale în coloanele corespunzătoare.

Din adunările algebrice obținute, compunem o nouă matrice și o împărțim la determinantul det A. Astfel, vom obține matricea inversă:

Sistemele pătratice de ecuații liniare cu un determinant principal diferit de zero pot fi rezolvate folosind o matrice inversă. Pentru aceasta, sistemul (1.5) este scris sub formă de matrice:

Înmulțirea ambelor părți ale egalității (1.14) din stânga cu A- 1, obținem soluția sistemului:

Astfel, pentru a găsi o soluție la un sistem pătrat, trebuie să găsiți matricea inversă a matricei principale a sistemului și să o înmulțiți în dreapta cu matricea coloanei de termeni liberi.

Problema 1.10. Rezolvați un sistem de ecuații liniare

folosind o matrice inversă.

Soluţie. Scriem sistemul sub formă de matrice: ,

unde este matricea principală a sistemului, este coloana de necunoscute și este coloana de termeni liberi. Deoarece principalul determinant al sistemului este , atunci matricea principală a sistemului DAR are o matrice inversă DAR-unu . Pentru a găsi matricea inversă DAR-1 , se calculează complementele algebrice ale tuturor elementelor matricei DAR:

Din numerele obţinute compunem o matrice (mai mult, adunări algebrice la rândurile matricei DAR scrieți în coloanele corespunzătoare) și împărțiți-l la determinantul D. Astfel, am găsit matricea inversă:

Soluția sistemului se găsește prin formula (1.15):

În acest fel,

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin excepții obișnuite Jordan

Să fie dat un sistem arbitrar (nu neapărat pătrat) de ecuații liniare:

Este necesar să se găsească o soluție la sistem, de ex. un astfel de set de variabile care satisface toate egalitățile sistemului (1.16). LA caz general sistemul (1.16) poate avea nu numai o soluție, ci și un număr infinit de soluții. De asemenea, poate să nu aibă deloc soluții.

La rezolvarea unor astfel de probleme, se folosește metoda binecunoscută de eliminare a necunoscutelor din cursul școlar, numită și metoda eliminărilor obișnuite iordaniene. esență aceasta metoda constă în faptul că într-una din ecuaţiile sistemului (1.16) una dintre variabile este exprimată în termenii altor variabile. Apoi această variabilă este înlocuită în alte ecuații ale sistemului. Rezultatul este un sistem care conține o ecuație și o variabilă mai puțin decât sistemul original. Se reține ecuația din care a fost exprimată variabila.

Acest proces se repetă până când rămâne o ultimă ecuație în sistem. În procesul de eliminare a necunoscutelor, unele ecuații se pot transforma în identități adevărate, de exemplu. Astfel de ecuații sunt excluse din sistem, deoarece sunt valabile pentru orice valoare a variabilelor și, prin urmare, nu afectează soluția sistemului. Dacă, în procesul de eliminare a necunoscutelor, cel puțin o ecuație devine o egalitate care nu poate fi satisfăcută pentru nicio valoare a variabilelor (de exemplu, ), atunci concluzionăm că sistemul nu are soluție.

Dacă în cursul rezolvării ecuațiilor inconsistente nu au apărut, atunci una dintre variabilele rămase din aceasta se găsește din ultima ecuație. Dacă în ultima ecuație rămâne o singură variabilă, atunci aceasta este exprimată ca număr. Dacă în ultima ecuație rămân alte variabile, atunci ele sunt considerate parametri, iar variabila exprimată prin intermediul acestora va fi o funcție a acestor parametri. Apoi se face așa-numita „mișcare inversă”. Variabila găsită este înlocuită în ultima ecuație memorată și este găsită a doua variabilă. Apoi cele două variabile găsite sunt substituite în penultima ecuație memorată și se găsește a treia variabilă și așa mai departe, până la prima ecuație memorată.

Ca rezultat, obținem soluția sistemului. Această soluție va fi singura dacă variabilele găsite sunt numere. Dacă prima variabilă găsită și apoi toate celelalte depind de parametri, atunci sistemul va avea un număr infinit de soluții (fiecărui set de parametri îi corespunde o nouă soluție). Formulele care permit găsirea unei soluții la sistem în funcție de un anumit set de parametri se numesc soluția generală a sistemului.

Exemplul 1.11.

X

După ce am memorat prima ecuație și am adus termeni similari în a doua și a treia ecuație, ajungem la sistemul:

Expres y din a doua ecuație și înlocuiți-o în prima ecuație:

Amintiți-vă de a doua ecuație, iar din prima găsim z:

Făcând mișcarea inversă, găsim succesiv yși z. Pentru a face acest lucru, înlocuim mai întâi în ultima ecuație memorată, din care găsim y:

Apoi înlocuim și în prima ecuație memorată, din care găsim X:

Problema 1.12. Rezolvați un sistem de ecuații liniare eliminând necunoscute:

Soluţie. Să exprimăm variabila din prima ecuație Xși înlocuiți-l în a doua și a treia ecuație:

În acest sistem, prima și a doua ecuație se contrazic reciproc. Într-adevăr, exprimând y din prima ecuație și înlocuind-o în a doua ecuație, obținem că 14 = 17. Această egalitate nu este satisfăcută, pentru nicio valoare a variabilelor X, y, și z. În consecință, sistemul (1.17) este inconsecvent, adică nu are solutie.

Cititorii sunt invitați să verifice în mod independent dacă determinantul principal al sistemului original (1.17) este egal cu zero.

Luați în considerare un sistem care diferă de sistemul (1.17) printr-un singur termen liber.

Problema 1.13. Rezolvați un sistem de ecuații liniare eliminând necunoscute:

Soluţie. Ca și mai înainte, exprimăm variabila din prima ecuație Xși înlocuiți-l în a doua și a treia ecuație:

Amintiți-vă de prima ecuație și dați termeni similari în a doua și a treia ecuație. Ajungem la sistem:

exprimând y din prima ecuație și substituind-o în a doua ecuație, obținem identitatea 14 = 14, care nu afectează soluția sistemului și, prin urmare, poate fi exclusă din sistem.

În ultima egalitate memorată, variabila z va fi considerat ca un parametru. Noi credem . Apoi

Substitui yși zîn prima egalitate memorată și găsiți X:

Astfel, sistemul (1.18) are un set infinit de soluții, iar orice soluție poate fi găsită prin formulele (1.19) prin alegerea unei valori arbitrare a parametrului t:

(1.19)
Astfel, soluțiile sistemului, de exemplu, sunt următoarele seturi de variabile (1; 2; 0), (2; 26; 14), etc. Formulele (1.19) exprimă soluția generală (orice) a sistemului (1.18). ).

În cazul în care sistemul original (1.16) are un număr suficient de mare de ecuații și necunoscute, metoda indicată de eliminări obișnuite Jordan pare greoaie. Cu toate acestea, nu este. Este suficient să derivăm algoritmul de recalculare a coeficienților sistemului la un pas într-o formă generală și să formalizezi soluția problemei sub forma unor tabele speciale Jordan.

Fie dat un sistem de forme liniare (ecuații):

, (1.20)
Unde x j- variabile independente (dorite), aij- coeficienți constanți
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Componentele corecte ale sistemului y eu (i = 1, 2,…, m) pot fi atât variabile (dependente) cât și constante. Este necesar să se găsească soluții la acest sistem prin eliminarea necunoscutelor.

Să luăm în considerare următoarea operațiune, denumită în continuare „un pas al excepțiilor obișnuite ale Iordaniei”. Dintr-un arbitrar ( r e) egalitate, exprimăm o variabilă arbitrară ( x s) și înlocuiți în toate celelalte egalități. Desigur, acest lucru este posibil doar dacă a rs¹ 0. Coeficient a rs se numește elementul de rezolvare (uneori de ghidare sau principal).

Vom obține următorul sistem:

Din s egalitatea sistemului (1.21), vom găsi ulterior variabila x s(după ce se găsesc alte variabile). S A treia linie este memorată și ulterior exclusă din sistem. Sistemul rămas va conține o ecuație și o variabilă independentă mai puțin decât sistemul original.

Să calculăm coeficienții sistemului rezultat (1.21) în funcție de coeficienții sistemului original (1.20). Sa incepem cu r ecuația, care, după exprimarea variabilei x s prin restul variabilelor va arăta astfel:

Astfel, noii coeficienți r ecuația se calculează prin următoarele formule:

(1.23)
Să calculăm acum noii coeficienți b ij(i¹ r) a unei ecuații arbitrare. Pentru a face acest lucru, înlocuim variabila exprimată în (1.22) x sîn i a-a ecuație a sistemului (1.20):

După ce aducem condiții similare, obținem:

(1.24)
Din egalitatea (1.24) obținem formule prin care se calculează coeficienții rămași ai sistemului (1.21) (cu excepția lui r ecuația):

(1.25)
Transformarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda eliminărilor obișnuite iordaniene este prezentată sub formă de tabele (matrici). Aceste mese se numesc „mesele Jordan”.

Astfel, problema (1.20) este asociată cu următorul tabel Jordan:

Tabelul 1.1

	X 1	X 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	A 11	A 12		A 1j		A 1s		A 1n
…………………………………………………………………..
y eu=	un i 1	un i 2		aij		a este		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		un mj		o ms		amn

Tabelul Jordan 1.1 conține coloana de cap din stânga, în care sunt scrise părțile din dreapta ale sistemului (1.20) și linia de cap de sus, în care sunt scrise variabilele independente.

Elementele rămase ale tabelului formează matricea principală a coeficienților sistemului (1.20). Dacă înmulțim matricea DAR la matricea formată din elementele rândului antet superior, apoi obținem matricea formată din elementele coloanei antet din stânga. Adică, în esență, tabelul Jordan este o formă matriceală de scriere a unui sistem de ecuații liniare: . În acest caz, următorul tabel Jordan corespunde sistemului (1.21):

Tabelul 1.2

	X 1	X 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b este		cos
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Element permisiv a rs vom evidenția cu caractere aldine. Amintiți-vă că pentru a implementa un pas al excepțiilor iordaniene, elementul de rezolvare trebuie să fie diferit de zero. Un rând de tabel care conține un element permisiv se numește rând permisiv. Coloana care conține elementul de activare se numește coloana de activare. Când treceți de la un tabel dat la următorul tabel, o variabilă ( x s) din rândul antet de sus al tabelului este mutat în coloana antet din stânga și, invers, unul dintre membrii liberi ai sistemului ( y r) este mutat din coloana de antet din stânga a tabelului în rândul de antet de sus.

Să descriem algoritmul de recalculare a coeficienților în trecerea de la tabelul Jordan (1.1) la tabelul (1.2), care rezultă din formulele (1.23) și (1.25).

1. Elementul de activare se înlocuiește cu numărul invers:

2. Elementele rămase ale liniei permisive sunt împărțite la elementul permisiv și schimbă semnul invers:

3. Elementele rămase ale coloanei de activare sunt împărțite în elementul de activare:

4. Elementele care nu sunt incluse în rândul de rezolvare și coloana de rezolvare sunt recalculate după formulele:

Ultima formulă este ușor de reținut dacă observi că elementele care alcătuiesc fracția se află la intersecție i-Oh si r-lea rânduri și j th și s-coloanele (rândul de rezoluție, coloana de rezoluție și rândul și coloana la intersecția cărora se află elementul de recalculat). Mai precis, la memorarea formulei, puteți folosi următoarea diagramă:

-21 -26 -13 -37

Efectuând primul pas al excepțiilor iordaniene, orice element din Tabelul 1.3 situat în coloane X 1 ,…, X 5 (toate elementele specificate nu sunt egale cu zero). Nu ar trebui să selectați doar elementul de activare din ultima coloană, deoarece trebuie să găsiți variabile independente X 1 ,…, X 5 . Alegem, de exemplu, coeficientul 1 cu o variabilă X 3 din al treilea rând al tabelului 1.3 (elementul de activare este prezentat cu caractere aldine). Când treceți la tabelul 1.4, variabila X 3 din rândul antetului de sus este schimbat cu constanta 0 a coloanei antet din stânga (al treilea rând). În același timp, variabila X 3 este exprimat în termenii variabilelor rămase.

şir X 3 (Tabelul 1.4) poate fi exclus din Tabelul 1.4. Tabelul 1.4 exclude, de asemenea, a treia coloană cu un zero în linia de antet superioară. Ideea este că, indiferent de coeficienții acestei coloane b i 3 toți termenii corespunzători fiecărei ecuații 0 b i 3 sisteme vor fi egale cu zero. Prin urmare, acești coeficienți nu pot fi calculați. Eliminarea unei variabile X 3 și amintindu-ne una dintre ecuații, ajungem la un sistem corespunzător tabelului 1.4 (cu linia tăiată X 3). Alegerea din tabelul 1.4 ca element de rezolvare b 14 = -5, mergeți la tabelul 1.5. În tabelul 1.5, ne amintim primul rând și îl excludem din tabel împreună cu a patra coloană (cu zero în partea de sus).

Tabelul 1.5 Tabelul 1.6

Din ultimul tabel 1.7 găsim: X 1 = - 3 + 2X 5 .

Substituind secvenţial variabilele deja găsite în liniile memorate, găsim variabilele rămase:

Astfel, sistemul are un număr infinit de soluții. variabil X 5, puteți atribui valori arbitrare. Această variabilă acționează ca un parametru X 5 = t. Am demonstrat compatibilitatea sistemului și am găsit soluția generală a acestuia:

X 1 = - 3 + 2t

X 2 = - 1 - 3t

X 3 = - 2 + 4t . (1.27)
X 4 = 4 + 5t

X 5 = t

Dând parametru t valori diferite, obținem un număr infinit de soluții la sistemul original. Deci, de exemplu, soluția sistemului este următorul set de variabile (- 3; - 1; - 2; 4; 0).