vector(sau liniar) spaţiu- o structură matematică, care este un set de elemente, numite vectori, pentru care se definesc operațiile de adunare între ele și de înmulțire cu un număr - un scalar. Aceste operații sunt supuse opt axiome. Scalarii pot fi elemente ale unui câmp real, complex sau al oricărui alt câmp numeric. Un caz special al unui astfel de spațiu este spațiul euclidian tridimensional obișnuit, ai cărui vectori sunt utilizați, de exemplu, pentru a reprezenta forțele fizice. Trebuie remarcat faptul că un vector, ca element al unui spațiu vectorial, nu trebuie să fie specificat ca segment direcționat. Generalizarea conceptului de „vector” la un element al unui spațiu vectorial de orice natură nu numai că nu provoacă confuzii de termeni, dar ne permite și să înțelegem sau chiar să anticipăm o serie de rezultate care sunt valabile pentru spații de natură arbitrară. .

Spațiile vectoriale sunt obiectul de studiu în algebra liniară. Una dintre principalele caracteristici ale unui spațiu vectorial este dimensiunea acestuia. Dimensiunea este numărul maxim de elemente liniar independente ale spațiului, adică recurgând la un brut interpretare geometrică, numărul de direcții inexprimabile între ele numai prin intermediul operațiilor de adunare și înmulțire cu un scalar. Spațiul vectorial poate fi dotat cu structuri suplimentare, cum ar fi norma sau produsul punctual. Astfel de spații apar în mod natural în calcul, predominant sub formă de infinit-dimensional (Engleză), unde vectorii sunt funcțiile . Multe probleme în analiză necesită a afla dacă o secvență de vectori converge către vector dat. Luarea în considerare a unor astfel de întrebări este posibilă în spații vectoriale cu structură suplimentară, în cele mai multe cazuri o topologie adecvată, care permite definirea conceptelor de proximitate și continuitate. Astfel de spații vectoriale topologice, în special spațiile Banach și Hilbert, permit un studiu mai profund.

Primele lucrări care au anticipat introducerea conceptului de spațiu vectorial datează din secolul al XVII-lea. Atunci geometria analitică, doctrina matricelor, sistemele de ecuații liniare și vectorii euclidieni și-au primit dezvoltarea.

Definiție [ | ]

Liniar, sau spațiu vectorial V (F) (\displaystyle V\stanga(F\dreapta)) peste câmp F (\displaystyle F) este un cvadruplu ordonat (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), Unde

• V (\displaystyle V)- un set nevid de elemente de natură arbitrară, care sunt numite vectori;
• F (\displaystyle F)- un câmp ale cărui elemente sunt numite scalari;
• Operațiune definită adaosuri vectori V × V → V (\displaystyle V\times V\to V), potrivirea fiecărei perechi de elemente x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) ) seturi V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) chemându-i sumăși notat x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Operațiune definită multiplicarea vectorilor cu scalari F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), care se potrivește cu fiecare element λ (\displaystyle \lambda ) câmpuri F (\displaystyle F)și fiecare element x (\displaystyle \mathbf (x) ) seturi V (\displaystyle V) singurul element al setului V (\displaystyle V), notat λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) sau λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Spațiile vectoriale definite pe același set de elemente, dar peste câmpuri diferite vor fi spații vectoriale diferite (de exemplu, setul de perechi de numere reale R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) poate fi un spațiu vectorial bidimensional peste câmpul numerelor reale sau unidimensional - peste câmpul numerelor complexe).

Cele mai simple proprietăți[ | ]

1. Spațiul vectorial este un grup abelian prin adunare.
2. element neutru 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) pentru oricine .
4. Pentru oricine x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) element opus − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) este singurul care rezultă din proprietățile grupului.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) pentru oricine x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) pentru orice și x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) pentru oricine α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Definiții și proprietăți înrudite[ | ]

subspațiu[ | ]

Definiție algebrică: Subspațiu liniar sau subspațiu vectorial este un submult nevid K (\displaystyle K) spațiu liniar V (\displaystyle V) astfel încât K (\displaystyle K) este el însuși un spațiu liniar în raport cu cele definite în V (\displaystyle V) operatiile de adunare si inmultire cu un scalar. Setul tuturor subspațiilor este de obicei notat ca L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Pentru ca o submulțime să fie un subspațiu, este necesar și suficient ca

Ultimele două afirmații sunt echivalente cu următoarele:

Pentru orice vector x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K) vector α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) a aparținut și K (\displaystyle K) pentru orice α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

În particular, un spațiu vectorial format dintr-un singur vector zero este un subspațiu al oricărui spațiu; orice spațiu este un subspațiu al lui însuși. Subspațiile care nu coincid cu aceste două sunt numite proprii sau nebanală.

Proprietăți subspațiu[ | ]

Combinații liniare[ | ]

Suma finală a vederii

Combinația liniară se numește:

Bază. Dimensiune[ | ]

Vectori x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) numit dependent liniar, dacă există o combinație liniară non-trivială a acestora egală cu zero:

În caz contrar, acești vectori sunt numiți liniar independent.

Această definiție permite următoarea generalizare: un set infinit de vectori din V (\displaystyle V) numit dependent liniar, dacă unele final subsetul său și liniar independent, dacă este cazul final submulțimea este liniar independentă.

Proprietăți de bază:

Înveliș liniar[ | ]

Înveliș liniar subseturi X (\displaystyle X) spațiu liniar V (\displaystyle V)- intersecția tuturor subspațiilor V (\displaystyle V) conținând X (\displaystyle X).

Învelișul liniar este un subspațiu V (\displaystyle V).

Înveliș liniar este, de asemenea, numit subspațiul generat X (\displaystyle X). Se mai spune că intervalul liniar V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- spatiu, întins peste Multe X (\displaystyle X).

Înveliș liniar V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X)) constă din toate combinațiile liniare posibile ale diferitelor subsisteme finite de elemente din X (\displaystyle X). În special, dacă X (\displaystyle X) este o mulțime finită, atunci V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X)) constă din toate combinațiile liniare de elemente X (\displaystyle X). Astfel, vectorul nul aparține întotdeauna intervalului liniar.

În cazul în care un X (\displaystyle X) este o mulțime liniar independentă, atunci este o bază V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X)), 1980. - 454 p.

Se numește o submulțime L nevidă a unui spațiu liniar V subspațiu liniar spaţiul V dacă

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\în L~~\forall \mathbf(u,v)\în L(subspațiul este închis în raport cu operația de adunare);

2) \lambda \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(v)\in Lși orice număr \lambda (subspațiul este închis în raport cu operația de înmulțire a unui vector cu un număr).

Pentru a indica un subspațiu liniar, vom folosi notația L\triangleleft V și vom omite cuvântul „liniar” pentru concizie.

Observații 8.7

1. Condițiile 1, 2 din definiție pot fi înlocuite cu o singură condiție: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in Lși orice numere \lambda și \mu . Desigur, aici și în definiție vorbim despre numere arbitrare din câmpul numeric peste care este definit spațiul V.

2. În orice spațiu liniar V există două subspații liniare:

a) însuși spațiul V, adică V\triunghileft V ;

b) subspațiu zero \(\mathbf(o)\) , constând dintr-un vector zero al spațiului V , i.e. . Aceste subspații sunt numite improprii, iar restul sunt numite proprii.

3. Orice subspațiu L al unui spațiu liniar V este submulțimea acestuia: L\triunghileft V~\Rightarrow~L\subset V, dar nu fiecare submulțime din M\subset V este un subspațiu liniar, deoarece se poate dovedi a fi neînchis în raport cu operațiile liniare.

4. Subspațiul L al spațiului liniar V este el însuși un spațiu liniar cu aceleași operații de adunare a vectorilor și înmulțire a unui vector cu un număr ca în spațiul V , deoarece axiomele 1-8 sunt valabile pentru ei. Prin urmare, putem vorbi despre dimensiunea unui subspațiu, baza acestuia și așa mai departe.

5. Dimensiunea oricărui subspațiu L al spațiului liniar V nu depășește dimensiunea spațiului V\colon\,\dim(L)\leqslant \dim(V). Dacă dimensiunea subspațiului L\triangleleft V este egală cu dimensiunea spațiului finit-dimensional V (\dim(L)=\dim(V)) , atunci subspațiul coincide cu spațiul însuși: L=V .

Aceasta rezultă din teorema 8.2 (cu privire la finalizarea unui sistem de vectori la o bază). Într-adevăr, luând baza subspațiului L , îl vom completa cu baza spațiului V . Dacă este posibil, atunci \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. Pentru orice submulțime M a unui spațiu liniar V, intervalul liniar este un subspațiu al lui V și M\subset\operatorname(Lin)(M)\triangleleft V.

Într-adevăr, dacă M=\varnothing (mulțimea goală), atunci prin definiție \operatorname(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\), adică este subspațiul nul și \varnothing\subset\(\mathbf(o)\)\triangleleft V. Fie M\ne\varnothing . Trebuie să dovedim că setul \operatorname(Lin)(M) este închisă sub operațiunile de adunare a elementelor sale și de înmulțire a elementelor sale cu un număr. Amintiți-vă că elementele intervalului liniar \operatorname(Lin)(M) servesc ca combinații liniare de vectori din M . Deoarece o combinație liniară de combinații liniare de vectori este combinația lor liniară, atunci, ținând cont de punctul 1, concluzionăm că \operatorname(Lin)(M) este un subspațiu al lui V , i.e. \operatorname(Lin)(M)\triangleleft V. Includere M\subset\nume operator(Lin)(M)- evident, deoarece orice vector \mathbf(v)\în M poate fi reprezentat ca o combinație liniară 1\cdot\mathbf(v) , i.e. ca element al unui set \operatorname(Lin)(M).

7. Înveliș liniar \operatorname(Lin)(L) subspațiul L\triunghileft V coincide cu subspațiul L , adică. .

Într-adevăr, deoarece subspațiul liniar L conține toate combinațiile liniare posibile ale vectorilor săi, atunci \operatorname(Lin)(L)\subset L. Opus incluziunii (L\subset\nume operator(Lin)(L)) rezultă de la punctul 6. Prin urmare, \operatorname(Lin)(L)=L.

Exemple de subspații liniare

Indicăm câteva subspații ale spațiilor liniare, exemple ale cărora au fost luate în considerare mai devreme. Este imposibil să enumerați toate subspațiile unui spațiu liniar, cu excepția cazurilor triviale.

1. Spațiul \(\mathbf(o)\) , format dintr-un vector zero al spațiului V , este un subspațiu, i.e. \(\mathbf(o)\)\triangleleft V.

2. Fie, ca mai înainte, V_1,\,V_2,\,V_3 mulţimi de vectori (segmente direcţionate) pe o dreaptă, pe un plan, respectiv în spaţiu. Dacă linia aparține planului, atunci V_1\triangleleft V_2\triangleleft V_3. Dimpotrivă, mulțimea vectorilor unitari nu este un subspațiu liniar, deoarece la înmulțirea unui vector cu un număr care nu este egal cu unu, obținem un vector care nu aparține mulțimii.

3. În spațiul aritmetic n-dimensional \mathbb(R)^n, se consideră mulțimea L de coloane „semi-zero” de forma x=\begin(pmatrix) x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end(pmatrix)^T cu ultimele (n-m) elemente egale cu zero. Suma coloanelor „semi-zero” este o coloană de același fel, adică. operația de adunare este închisă în L . Înmulțirea unei coloane „semi-zero” cu un număr dă o coloană „semi-zero”, adică operația de înmulțire cu un număr este închisă în L . De aceea L\triangleleft \mathbb(R)^n, și \dim(L)=m . Dimpotrivă, submulțimea coloanelor nenule \mathbb(R)^n nu este un subspațiu liniar, deoarece înmulțit cu zero se obține o coloană zero, care nu aparține mulțimii luate în considerare. Exemple de alte subspații \mathbb(R)^n sunt date în subsecțiunea următoare.

4. Spațiul \(Ax=o\) al soluțiilor unui sistem omogen de ecuații cu n necunoscute este un subspațiu al spațiului aritmetic n-dimensional \mathbb(R)^n . Dimensiunea acestui subspațiu este determinată de matricea sistemului: \dim\(Ax=o\)=n-\operatorname(rg)A.

Mulțimea \(Ax=b\) soluțiilor unui sistem neomogen (pentru b\ne o ) nu este un subspațiu al lui \mathbb(R)^n , deoarece suma a două soluții este neomogenă; sistemul nu va fi soluția aceluiași sistem.

5. În spațiul M_(n\x n) al matricelor pătrate de ordinul l, se consideră două submulțimi: mulțimea matricelor simetrice și mulțimea M_(n\times n)^(\text(kos)) matrici oblic-simetrice. Suma matricelor simetrice este o matrice simetrică, adică. operațiunea de adăugare este închisă în M_(n\times n)^(\text(sim)). Înmulțirea unei matrice simetrice cu un număr, de asemenea, nu rupe simetria, adică. operația de înmulțire a unei matrice cu un număr este închisă în M_(n\times n)^(\text(sim)). Prin urmare, mulțimea matricelor simetrice este un subspațiu al spațiului matricelor pătrate, adică. M_(n\times n)^(\text(sim))\triangleleft M_(n\times n). Este ușor de găsit dimensiunea acestui subspațiu. Baza standard este formată din: l matrice cu un singur element diferit de zero (egal cu unul) pe diagonala principală: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, precum și matrici cu două elemente nenule (egale cu unu) simetrice față de diagonala principală: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i,i+1 ,\ldots, n. Total în bază va fi (n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac(n(n+1))(2)) matrici. Prin urmare, \dim(M_(n\times n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). În mod similar, obținem asta M_(n\times n)^(\text(kos))\triangleleft M_(n\times n)și \dim(M_(n\times n)^(\text(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

Mulțimea matricelor pătrate degenerate de ordinul al n-lea nu este un subspațiu al lui M_(n\times n) , deoarece suma a două matrici degenerate se poate dovedi a fi o matrice nedegenerată, de exemplu, în spațiul M_(2). \times2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

6. În spațiul polinoamelor P(\mathbb(R)) cu coeficienți reali, se poate specifica un lanț natural de subspații

P_0(\mathbb(R))\triangleleft P_1(\mathbb(R))\triangleleft P_2(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P( \mathbb(R)).

Mulțimea polinoamelor pare (p(-x)=p(x)) este un subspațiu liniar al lui P(\mathbb(R)) , deoarece suma polinoamelor pare și produsul unui polinom par cu un număr va fi par polinomiale. Mulțimea de polinoame impare (p(-x)=-p(x)) este, de asemenea, un spațiu liniar. Mulțimea de polinoame cu rădăcini reale nu este un subspațiu liniar, deoarece adăugarea acestor două polinoame poate duce la un polinom care nu are rădăcini reale, de exemplu, (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. În spațiul C(\mathbb(R)) se poate specifica un lanț natural de subspații:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ldots

Polinoamele din P(\mathbb(R)) pot fi privite ca funcții definite pe \mathbb(R) . Deoarece polinomul este o funcție continuă împreună cu derivatele sale de orice ordin, putem scrie: P(\mathbb(R))\triangleleft C(\mathbb(R))și P_n(\mathbb(R))\triangleleft C^m(\mathbb(R)) \forall m,n\in\mathbb(N). Spațiul binoamelor trigonometrice T_(\omega) (\mathbb(R)) este un subspațiu ×

Definiție 6.1. subspațiu L n-spaţiul dimensional R se numește mulțime de vectori care formează un spațiu liniar în raport cu acțiunile care sunt definite în R.

Cu alte cuvinte, L se numește subspațiu al spațiului R dacă de la X y∈L urmează că x+y∈L si daca X∈L, apoi λ X∈L, Unde λ - orice număr real.

Cel mai simplu exemplu de subspațiu este subspațiul nul, adică. subset al spațiului R, constând dintr-un singur element zero. Întregul spațiu poate fi și un subspațiu. R. Aceste subspații sunt numite banal sau neproprie.

subspațiu n spatiul -dimensional este finit-dimensional si dimensiunea lui nu depaseste n: dim L≤ dim R.

Suma și intersecția subspațiilor

Lăsa Lși M- două subspații ale spațiului R.

Cantitate L+M se numeste multimea vectorilor x+y, Unde X∈Lși y∈M. Evident, orice combinație liniară de vectori din L+M aparține L+M, Prin urmare L+M este un subspațiu al spațiului R(poate coincide cu spațiul R).

trecere L∩M subspații Lși M este mulţimea vectorilor care aparţin simultan subspaţiilor Lși M(poate consta doar dintr-un vector nul).

Teorema 6.1. Suma dimensiunilor subspațiilor arbitrare Lși M spațiu liniar finit-dimensional R este egală cu dimensiunea sumei acestor subspații și dimensiunea intersecției acestor subspații:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Dovada. Denota F=L+Mși G=L∩M. Lăsa G g-subspațiu dimensional. Alegem o bază în ea. pentru că G⊂Lși G⊂M, de aici baza G poate fi adăugat la bază L iar la bază M. Fie baza subspațiului Lși lasă baza subspațiului M. Să arătăm că vectorii

aparține subspațiului G=L∩M. Pe de altă parte, vectorul v poate fi reprezentat printr-o combinație liniară a vectorilor de bază ai subspațiului G:

Din ecuațiile (6.4) și (6.5) avem:

Datorită independenței liniare a bazei subspațiului L avem:

sunt liniar independente. Dar orice vector z din F(prin definiția sumei subspațiilor) poate fi reprezentată prin sumă x+y, Unde X∈L, y∈M. La randul lui X este reprezentată printr-o combinație liniară de vectori a y- o combinație liniară de vectori. Prin urmare, vectorii (6.10) generează un subspațiu F. Am constatat că vectorii (6.10) formează o bază F=L+M.

Studierea bazelor subspațiilor Lși Mși baza subspațială F=L+M(6.10), avem: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Prin urmare:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Suma directă a subspațiilor

Definiție 6.2. Spaţiu F este o sumă directă a subspațiilor Lși M, dacă fiecare vector X spaţiu F poate fi reprezentat doar ca o sumă x=y+z, Unde y∈ Teren z∈M.

Se notează suma directă L⊕M. Ei spun că dacă F=L⊕M, apoi F se descompune într-o sumă directă a subspațiilor sale Lși M.

Teorema 6.2. La n-spațiul dimensional R a fost o sumă directă de subspații Lși M, este suficient ca intersectia Lși M conține doar elementul zero și că dimensiunea lui R este egală cu suma dimensiunilor subspațiilor Lși M.

Dovada. Să alegem o bază în subspațiul L și o bază în subspațiul M. Să demonstrăm că

Deoarece partea stângă a (6.13) este un vector al subspațiului L, iar partea dreaptă este vectorul subspațial Mși L∩M=0 , apoi

În orice spațiu liniar este posibil să se selecteze un astfel de subset vectori, care sub operaţii din este el însuşi un spaţiu liniar. Acest lucru se poate face într-o varietate de moduri, iar structura unor astfel de submulțimi conține informații importante despre spațiul liniar însuși.

Definiție 2.1. Subset de spațiu liniar numit subspațiu liniar, dacă sunt îndeplinite următoarele două condiții:

Definiția 2.1 spune de fapt că un subspațiu liniar este oricare subset dat spațiu liniar, închis sub operațiuni liniare, acestea. aplicarea operațiilor liniare la vectorii aparținând acestei submulțimi nu scoate rezultatul din submulțime. Să arătăm că subspațiul liniar H ca obiect independent este un spațiu liniar în raport cu operațiile date în spațiul liniar ambiental. Într-adevăr, aceste operații sunt definite pentru orice elemente ale mulțimii și, prin urmare, pentru elementele submulțimii H. Definiția 2.1 cere de fapt că pentru elementele din H i-a aparținut și rezultatul operațiunilor H. Prin urmare, operațiunile specificate în pot fi considerate operații pe un set mai restrâns H. Pentru aceste operațiuni pe platou H axiomele de spațiu liniar a)-b) și e)-h) sunt satisfăcute datorită faptului că sunt valabile în . În plus, sunt satisfăcute și celelalte două axiome, deoarece, conform Definiției 2.1, dacă atunci:

1) și 0- vector nul în H;

2) .

În orice spațiu liniar există întotdeauna două subspații liniare: spațiul liniar însuși și subspațiu nul {0}, un singur element 0. Aceste subspații liniare se numesc nu propriu, în timp ce toate celelalte subspații liniare sunt numite proprii. Să dăm exemple de subspații liniare adecvate.

Exemplul 2.1.În spațiul liniar al vectorilor liberi ai spațiului tridimensional, un subspațiu liniar este format din:

a) toți vectorii paraleli cu planul dat;

b) toți vectorii paraleli cu dreapta dată.

Aceasta rezultă din următoarele considerații. Din definiția sumei vectorilor liberi rezultă că doi vectori și suma lor sunt coplanari (Fig. 2.1, a). Prin urmare, dacă și sunt paralele cu un plan dat, atunci suma lor va fi paralelă cu același plan. Astfel, se stabilește că pentru cazul a) condiția 1) din Definiția 2.1 este îndeplinită. Dacă vectorul este înmulțit cu un număr, obțineți un vector coliniar cu cel original (Fig. 2.1.6). Aceasta dovedește îndeplinirea condiției 2) din Definiția 2.1. Cazul b) este justificat în mod similar.

Spațiul liniar oferă o reprezentare vizuală a ceea ce este un subspațiu liniar. Într-adevăr, fixăm un punct din spațiu. Apoi diferite plane și diferite drepte care trec prin acest punct vor corespunde diferitelor subspații liniare din (Fig. 2.2).

Nu este atât de evident că nu există alte subspații proprii în . Dacă într-un subspaţiu liniar H atunci nu există vectori nenuli H - subspațiu liniar zero, care este impropriu. Dacă în H este un vector diferit de zero și oricare doi vectori din H sunt coliniari, atunci toți vectorii acestui subspațiu liniar sunt paraleli cu o linie dreaptă care trece printr-un punct fix. Prin urmare, H coincide cu unul dintre subspațiile liniare descrise în cazul b). Dacă în H există doi vectori necoliniari și oricare trei vectori sunt coplanari, atunci toți vectorii unui astfel de subspațiu liniar sunt paraleli cu un plan care trece printr-un punct fix. Acesta este cazul a). Lăsați un subspațiu liniar H există trei vectori necoplanari. Apoi se formează bază în . Orice vector liber poate fi reprezentat ca combinație liniară acești vectori. Prin urmare, toți vectorii liberi cad în subspațiul liniar H, şi de aceea este la fel ca . În acest caz, obținem un subspațiu liniar impropriu. Deci, toate subspațiile proprii pot fi reprezentate ca plane sau drepte care trec printr-un punct fix.

Exemplul 2.2. Orice soluție a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (SLAE) din P variabilele pot fi privite ca un vector în spații aritmetice liniare . Mulțimea tuturor acestor vectori este un subspațiu liniar în . Într-adevăr, soluțiile unui SLAE omogen pot fi adăugate componentă cu componentă și înmulțite cu numere reale, i.e. conform regulilor de adunare a vectorilor din . Rezultatul operației va fi din nou soluția unui SLAE omogen. Prin urmare, ambele condiții pentru definirea unui subspațiu liniar sunt îndeplinite.

Ecuația are un set de soluții, care este un subspațiu liniar. Dar aceeași ecuație poate fi considerată ca o ecuație a unui plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Planul trece prin origine, iar vectorii de rază ai tuturor punctelor planului formează un subspațiu bidimensional în spațiul liniar

Ansamblul soluțiilor unui SLAE omogen

formează și un subspațiu liniar în . În același timp, acest sistem poate fi considerat ca ecuații generale ale unei linii drepte în spațiu, dat într-un sistem de coordonate dreptunghiular .. Această linie trece prin origine, iar mulțimea vectorilor cu rază a tuturor punctelor sale formează un subspațiu unidimensional în .

Exemplul 2.3.În spațiul liniar al matricelor pătrate de ordin P un subspațiu liniar este format din:

a) toate matricele simetrice;

b) toate matricele skew-simetrice;

c) toate matricele triunghiulare superioare (inferioare).

Când adunăm astfel de matrici sau înmulțim cu un număr, obținem o matrice de același fel. În schimb, un subset de matrici degenerate nu este un subspațiu liniar, deoarece suma a două matrici degenerate poate fi o matrice nedegenerată:

Exemplul 2.4.În spațiul liniar al funcțiilor care sunt continue pe segmentul , se pot distinge următoarele subspații liniare:

a) mulţimea funcţiilor care sunt continue pe un interval şi diferenţiabile continuu în intervalul (0,1) (această afirmaţie se bazează pe proprietăţile funcţiilor diferenţiabile: suma funcţiilor diferenţiabile este o funcţie diferenţiabilă, produsul unui diferenţiabil funcția printr-un număr este o funcție diferențiabilă);

b) mulţimea tuturor polinoamelor;

c) set cel mult toate polinoamele de grad n.

Se numește o submulțime L nevidă a unui spațiu liniar V subspațiu liniar spaţiul V dacă

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\în L~~\forall \mathbf(u,v)\în L(subspațiul este închis în raport cu operația de adunare);

2) \lambda \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(v)\in Lși orice număr \lambda (subspațiul este închis în raport cu operația de înmulțire a unui vector cu un număr).

Pentru a indica un subspațiu liniar, vom folosi notația L\triangleleft V și vom omite cuvântul „liniar” pentru concizie.

Observații 8.7

1. Condițiile 1, 2 din definiție pot fi înlocuite cu o singură condiție: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in Lși orice numere \lambda și \mu . Desigur, aici și în definiție vorbim despre numere arbitrare din câmpul numeric peste care este definit spațiul V.

2. În orice spațiu liniar V există două subspații liniare:

a) însuși spațiul V, adică V\triunghileft V ;

b) subspațiu zero \(\mathbf(o)\) , constând dintr-un vector zero al spațiului V , i.e. . Aceste subspații sunt numite improprii, iar restul sunt numite proprii.

3. Orice subspațiu L al unui spațiu liniar V este submulțimea acestuia: L\triunghileft V~\Rightarrow~L\subset V, dar nu fiecare submulțime din M\subset V este un subspațiu liniar, deoarece se poate dovedi a fi neînchis în raport cu operațiile liniare.

4. Subspațiul L al spațiului liniar V este el însuși un spațiu liniar cu aceleași operații de adunare a vectorilor și înmulțire a unui vector cu un număr ca în spațiul V , deoarece axiomele 1-8 sunt valabile pentru ei. Prin urmare, putem vorbi despre dimensiunea unui subspațiu, baza acestuia și așa mai departe.

5. Dimensiunea oricărui subspațiu L al spațiului liniar V nu depășește dimensiunea spațiului V\colon\,\dim(L)\leqslant \dim(V). Dacă dimensiunea subspațiului L\triangleleft V este egală cu dimensiunea spațiului finit-dimensional V (\dim(L)=\dim(V)), atunci subspațiul coincide cu spațiul însuși: L=V .

Aceasta rezultă din teorema 8.2 (cu privire la finalizarea unui sistem de vectori la o bază). Într-adevăr, luând baza subspațiului L , îl vom completa cu baza spațiului V . Dacă este posibil, atunci \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. Pentru orice submulțime M a unui spațiu liniar V, intervalul liniar este un subspațiu al lui V și M\subset\operatorname(Lin)(M)\triangleleft V.

Într-adevăr, dacă M=\varnothing (mulțimea goală), atunci prin definiție \operatorname(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\), adică este subspațiul nul și \varnothing\subset\(\mathbf(o)\)\triangleleft V. Fie M\ne\varnothing . Trebuie să dovedim că setul \operatorname(Lin)(M) este închisă sub operațiunile de adunare a elementelor sale și de înmulțire a elementelor sale cu un număr. Amintiți-vă că elementele intervalului liniar \operatorname(Lin)(M) servesc ca combinații liniare de vectori din M . Deoarece o combinație liniară de combinații liniare de vectori este combinația lor liniară, atunci, ținând cont de punctul 1, concluzionăm că \operatorname(Lin)(M) este un subspațiu al lui V , i.e. \operatorname(Lin)(M)\triangleleft V. Includere M\subset\nume operator(Lin)(M)- evident, deoarece orice vector \mathbf(v)\în M poate fi reprezentat ca o combinație liniară 1\cdot\mathbf(v) , i.e. ca element al unui set \operatorname(Lin)(M).

7. Înveliș liniar \operatorname(Lin)(L) subspațiul L\triunghileft V coincide cu subspațiul L , adică. .

Într-adevăr, deoarece subspațiul liniar L conține toate combinațiile liniare posibile ale vectorilor săi, atunci \operatorname(Lin)(L)\subset L. Opus incluziunii (L\subset\nume operator(Lin)(L)) rezultă de la punctul 6. Prin urmare, \operatorname(Lin)(L)=L.

Exemple de subspații liniare

Indicăm câteva subspații ale spațiilor liniare, exemple ale cărora au fost luate în considerare mai devreme. Este imposibil să enumerați toate subspațiile unui spațiu liniar, cu excepția cazurilor triviale.

1. Spațiul \(\mathbf(o)\) , format dintr-un vector zero al spațiului V , este un subspațiu, i.e. \(\mathbf(o)\)\triangleleft V.

2. Fie, ca mai înainte, V_1,\,V_2,\,V_3 mulţimi de vectori (segmente direcţionate) pe o dreaptă, pe un plan, respectiv în spaţiu. Dacă linia aparține planului, atunci V_1\triangleleft V_2\triangleleft V_3. Dimpotrivă, mulțimea vectorilor unitari nu este un subspațiu liniar, deoarece la înmulțirea unui vector cu un număr care nu este egal cu unu, obținem un vector care nu aparține mulțimii.

3. În spațiul aritmetic n-dimensional \mathbb(R)^n, se consideră mulțimea L de coloane „semi-zero” de forma x=\begin(pmatrix) x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end(pmatrix)^T cu ultimele (n-m) elemente egale cu zero. Suma coloanelor „semi-zero” este o coloană de același fel, adică. operația de adunare este închisă în L . Înmulțirea unei coloane „semi-zero” cu un număr dă o coloană „semi-zero”, adică operația de înmulțire cu un număr este închisă în L . De aceea L\triangleleft \mathbb(R)^n, și \dim(L)=m . Dimpotrivă, submulțimea coloanelor nenule \mathbb(R)^n nu este un subspațiu liniar, deoarece înmulțit cu zero se obține o coloană zero, care nu aparține mulțimii luate în considerare. Exemple de alte subspații \mathbb(R)^n sunt date în subsecțiunea următoare.

4. Spațiul \(Ax=o\) al soluțiilor unui sistem omogen de ecuații cu n necunoscute este un subspațiu al spațiului aritmetic n-dimensional \mathbb(R)^n . Dimensiunea acestui subspațiu este determinată de matricea sistemului: \dim\(Ax=o\)=n-\operatorname(rg)A.

Mulțimea \(Ax=b\) soluțiilor unui sistem neomogen (pentru b\ne o ) nu este un subspațiu al lui \mathbb(R)^n , deoarece suma a două soluții este neomogenă; sistemul nu va fi soluția aceluiași sistem.

5. În spațiul M_(n\x n) al matricelor pătrate de ordinul l, se consideră două submulțimi: mulțimea matricelor simetrice și mulțimea M_(n\times n)^(\text(kos)) matrici oblic-simetrice. Suma matricelor simetrice este o matrice simetrică, adică. operațiunea de adăugare este închisă în M_(n\times n)^(\text(sim)). Înmulțirea unei matrice simetrice cu un număr, de asemenea, nu rupe simetria, adică. operația de înmulțire a unei matrice cu un număr este închisă în M_(n\times n)^(\text(sim)). Prin urmare, mulțimea matricelor simetrice este un subspațiu al spațiului matricelor pătrate, adică. M_(n\times n)^(\text(sim))\triangleleft M_(n\times n). Este ușor de găsit dimensiunea acestui subspațiu. Baza standard este formată din: l matrice cu un singur element diferit de zero (egal cu unul) pe diagonala principală: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, precum și matrici cu două elemente nenule (egale cu unu) simetrice față de diagonala principală: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i,i+1 ,\ldots, n. Total în bază va fi (n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac(n(n+1))(2)) matrici. Prin urmare, \dim(M_(n\times n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). În mod similar, obținem asta M_(n\times n)^(\text(kos))\triangleleft M_(n\times n)și \dim(M_(n\times n)^(\text(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

Mulțimea matricelor pătrate degenerate de ordinul al n-lea nu este un subspațiu al lui M_(n\times n) , deoarece suma a două matrici degenerate se poate dovedi a fi o matrice nedegenerată, de exemplu, în spațiul M_(2). \times2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

6. În spațiul polinoamelor P(\mathbb(R)) cu coeficienți reali, se poate specifica un lanț natural de subspații

P_0(\mathbb(R))\triangleleft P_1(\mathbb(R))\triangleleft P_2(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P( \mathbb(R)).

Mulțimea polinoamelor pare (p(-x)=p(x)) este un subspațiu liniar al lui P(\mathbb(R)) , deoarece suma polinoamelor pare și produsul unui polinom par cu un număr va fi par polinomiale. Mulțimea de polinoame impare (p(-x)=-p(x)) este, de asemenea, un spațiu liniar. Mulțimea de polinoame cu rădăcini reale nu este un subspațiu liniar, deoarece adăugarea acestor două polinoame poate duce la un polinom care nu are rădăcini reale, de exemplu, (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. În spațiul C(\mathbb(R)) se poate specifica un lanț natural de subspații:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ldots

Polinoamele din P(\mathbb(R)) pot fi privite ca funcții definite pe \mathbb(R) . Deoarece polinomul este o funcție continuă împreună cu derivatele sale de orice ordin, putem scrie: P(\mathbb(R))\triangleleft C(\mathbb(R))și P_n(\mathbb(R))\triangleleft C^m(\mathbb(R)) \forall m,n\in\mathbb(N). Spațiul binoamelor trigonometrice T_(\omega) (\mathbb(R)) este un subspațiu al lui C^m(\mathbb(R)) , deoarece derivatele oricărui ordin al funcției f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t continuu, adica T_(\omega)(\mathbb(R))\triangleleft C^m(\mathbb(R)) \forall m\in \mathbb(N). Mulțimea funcțiilor periodice continue nu este un subspațiu al lui C(\mathbb(R)), deoarece suma a două funcții periodice se poate dovedi a fi o funcție neperiodică, de exemplu, \sin(t)+\sin(\pi t).