Din cele peste 500 de mii de tăblițe de lut găsite de arheologi în timpul săpăturilor din Mesopotamia antică, aproximativ 400 conțin informații matematice. Cele mai multe dintre ele au fost descifrate și permit să ne facem o idee destul de clară despre realizările uimitoare algebrice și geometrice ale oamenilor de știință babilonieni.

Părerile diferă cu privire la momentul și locul nașterii matematicii. Numeroși cercetători ai acestei probleme atribuie creația sa diverselor popoare și o datează în epoci diferite. Grecii antici nu aveau încă un punct de vedere unificat asupra acestei chestiuni, printre care versiunea a fost în special răspândită că egiptenii au inventat geometria și negustorii fenicieni care aveau nevoie de astfel de cunoștințe pentru tranzacționarea calculelor și aritmeticii. Herodot în „Istorie” și Strabon în „Geografie” au dat prioritate fenicienilor. Platon și Diogenes Laertius considerau Egiptul ca fiind locul de naștere atât al aritmeticii, cât și al geometriei. Aceasta este și părerea lui Aristotel, care credea că matematica s-a născut datorită prezenței petrecerii timpului liber printre preoții locali.

Această remarcă urmează pasajul că în fiecare civilizație se nasc mai întâi meșteșugurile practice, apoi artele pentru plăcere și abia apoi științele care vizează cunoaștere. Eudemus, un student al lui Aristotel, la fel ca majoritatea predecesorilor săi, a considerat Egiptul locul de naștere al geometriei, iar nevoile practice ale topografiei au fost motivul apariției sale. Potrivit lui Eudemus, în perfecționarea sa, geometria parcurge trei etape: apariția abilităților practice în topografie, apariția unei discipline aplicate orientate practic și transformarea acesteia în stiinta teoretica. După toate aparențele, Eudemus a atribuit primele două etape Egiptului, iar a treia matematicii grecești. Adevărat, el a recunoscut totuși că teoria calculării suprafețelor a apărut din soluția ecuațiilor pătratice, care erau de origine babiloniană.

Plăcile mici de lut găsite în Iran au fost folosite pentru a înregistra măsurătorile cerealelor din anul 8000 î.Hr. Institutul Norvegian de Paleografie și Istorie,
Oslo.

Istoricul Joseph Flavius ​​​​(„Iudeea antică”, cartea 1, cap. 8) are propria sa părere. Deși îi numește pe egipteni primii, este sigur că aceștia au fost învățați aritmetica și astronomia de către strămoșul evreilor, Avraam, care a fugit în Egipt în timpul foametei care a lovit țara Canaan. Ei bine, influența egipteană în Grecia a fost suficient de puternică pentru a impune grecilor o opinie similară, care cu mana usoara este încă în circulație în literatura istorică. Tăblițe de lut bine conservate acoperite cu texte cuneiforme găsite în Mesopotamia și datate din 2000 î.Hr. și înainte de 300 d.Hr., mărturisesc atât o stare de lucruri oarecum diferită, cât și cum era matematica în Babilonul antic. A fost un aliaj destul de complex de aritmetică, algebră, geometrie și chiar rudimente de trigonometrie.

Matematica era predată în școlile de scriitori și fiecare absolvent avea o cantitate destul de serioasă de cunoștințe pentru acea perioadă. Aparent, exact despre asta vorbește Asurbanipal, regele Asiriei în secolul al VII-lea. î.Hr., într-una dintre inscripțiile sale, spunând că a învățat să găsească „reciprocuri complexe și să se înmulțească”. Pentru a recurge la calcule, viața i-a forțat pe babilonieni la fiecare pas. Era nevoie de aritmetică și algebră simplă în gospodărie, la schimbul de bani și la decontarea bunurilor, la calcularea dobânzilor simple și compuse, a impozitelor și a cotei din recoltă predată statului, templului sau proprietarului pământului. Calculele matematice, și mai degrabă complexe, au necesitat proiecte de arhitectură la scară largă, lucrări de inginerie în timpul construcției sistemului de irigare, balistică, astronomie și astrologie.

O sarcină importantă a matematicii a fost să determine momentul în care se desfășoară lucrările agricole, sărbătorile religioase și alte nevoi calendaristice. Cât de înalte au fost realizările în orașele-stat antice dintre Tigru și Eufrat în ceea ce grecii vor numi mai târziu mathema („cunoaștere”) atât de surprinzător de precis, să judecăm descifrarea cuneiformelor mesopotamiene de lut. Apropo, la greci, termenul de matematică a desemnat la început o listă de patru științe: aritmetică, geometrie, astronomie și armonice, a început să desemneze matematica însăși mult mai târziu. În Mesopotamia, arheologii au găsit deja și continuă să găsească tăblițe cuneiforme cu înregistrări de natură matematică, parțial în akkadiană, parțial în sumeriană, precum și tabele de referință matematică. Acesta din urmă a facilitat foarte mult calculele care trebuiau făcute zilnic, așa că o serie de texte descifrate conțin destul de des calcule de dobândă.

Numele operațiilor aritmetice ale perioadei sumeriene anterioare a istoriei mesopotamiene au fost păstrate. Deci, operația de adunare a fost numită „acumulare” sau „adunare”, la scădere se folosea verbul „extrage”, iar termenul de înmulțire însemna „mâncă”. Este interesant că în Babilon au folosit o masă de înmulțire mai extinsă - de la 1 la 180.000 decât cea pe care trebuia să o învățăm la școală, adică. calculat pentru numere de la 1 la 100. În Mesopotamia antică, regulile uniforme pentru operațiile aritmetice erau create nu numai cu numere întregi, ci și cu fracții, în arta de a opera cu care babilonienii erau semnificativ superiori egiptenilor. În Egipt, de exemplu, operațiunile cu fracții au continuat să rămână primitive mult timp, deoarece cunoșteau doar fracții alicote (adică fracții cu un numărător egal cu 1). Încă din vremea sumerienilor din Mesopotamia, principala unitate de numărare în toate afacerile economice a fost numărul 60, deși era cunoscut și sistemul numeric zecimal, care era folosit în rândul akkadienilor.

Cea mai faimoasă dintre tăblițele matematice din perioada vechi babiloniană, păstrată în biblioteca Universității Columbia (SUA). Conține o listă de triunghiuri dreptunghiulare cu laturile raționale, adică triple ale numerelor pitagorice x2 + y2 = z2 și indică faptul că teorema lui Pitagora era cunoscută babilonienilor cu cel puțin o mie de ani înainte de nașterea autorului ei. 1900 - 1600 î.Hr.

În sarcinile care duceau la o ecuație cubică, a existat o a treia cantitate necunoscută - „adâncime”, iar produsul a trei necunoscute a fost numit „volum”. Mai târziu, odată cu dezvoltarea gândirii algebrice, necunoscutele au început să fie înțelese mai abstract. Uneori, ca o ilustrare a relațiilor algebrice din Babilon, erau folosite desene geometrice. Mai târziu, în Grecia antică au devenit elementul principal al algebrei, în timp ce pentru babilonieni, care gândeau în primul rând algebric, desenele erau doar un mijloc de vizualizare, iar termenii „linie” și „zonă” însemnau cel mai adesea numere fără dimensiune. De aceea au existat soluții la problemele în care „zona” se adaugă la „lateral” sau se scădea din „volum” etc. De o importanță deosebită în antichitate a fost măsurarea exactă a câmpurilor, grădinilor, clădirilor - inundațiile anuale ale râurilor au adus o cantitate mare de nămol care a acoperit câmpurile și a distrus granițele dintre ele, iar după scăderea apei, geodezii, la ordinul proprietarilor lor, de multe ori au fost nevoiți să remăsoare alocațiile. În arhivele cuneiforme s-au păstrat multe astfel de hărți de topografie, întocmite cu peste 4 mii de ani în urmă.

Inițial, unitățile de măsură nu erau foarte precise, deoarece lungimea era măsurată cu degete, palme, coate, ceea ce oameni diferiti variat. Situația a fost mai bună la cantități mari, pentru măsurarea cărora s-a folosit o trestie și o frânghie de anumite dimensiuni. Dar și aici, rezultatele măsurătorilor au fost adesea diferite unele de altele, în funcție de cine a măsurat și unde. Prin urmare, au fost adoptate diferite măsuri de lungime în diferite orașe ale Babiloniei. De exemplu, în orașul Lagash, „cotul” era de 400 mm, iar în Nippur și Babilonul însuși - 518 mm. Multe materiale cuneiforme supraviețuitoare au fost ghiduri de studiu pentru școlari babilonieni, care au oferit soluții la diverse probleme simple care se întâlneau adesea în viața practică. Nu este clar, însă, dacă elevul le-a rezolvat în minte sau a făcut calcule preliminare cu o crenguță pe pământ - doar condițiile problemelor matematice și soluția lor sunt scrise pe tăblițe.

Probleme geometrice cu desene de trapeze și triunghiuri și rezolvarea teoremei lui Pitagora. Dimensiuni placa: 21,0x8,2. secolul al 19-lea î.Hr. Muzeu britanic

Partea principală a cursului de matematică de la școală a fost ocupată de rezolvarea problemelor aritmetice, algebrice și geometrice, în formularea cărora se obișnuia să se opereze cu obiecte, zone și volume specifice. Pe una dintre tăblițele cuneiforme s-a păstrat următoarea problemă: „În câte zile se poate face o bucată de țesătură de o anumită lungime dacă știm că atât de mulți coți (o măsură de lungime) din această țesătură se fac zilnic?” Celălalt prezintă sarcini legate de lucrările de construcții. De exemplu, „Cât pământ va fi necesar pentru un terasament, ale cărui dimensiuni sunt cunoscute și cât pământ trebuie să mute fiecare muncitor, dacă numărul total este cunoscut?” sau „Câtă lut ar trebui să se pregătească fiecare muncitor pentru a construi un zid de o anumită dimensiune?”

De asemenea, elevul trebuia să fie capabil să calculeze coeficienți, să calculeze totaluri, să rezolve probleme privind măsurarea unghiurilor, calcularea suprafețelor și volumelor figurilor rectilinii - acesta era un set comun pentru geometria elementară. Sunt interesante numele figurilor geometrice păstrate din vremea sumerienilor. Triunghiul a fost numit „pană”, trapezul a fost numit „fruntea taurului”, cercul a fost numit „cerc”, recipientul a fost notat cu termenul „apă”, volumul a fost „pământ, nisip”, zona a fost numită „câmp”. Unul dintre textele cuneiforme conține 16 probleme cu soluții care se referă la baraje, metereze, fântâni, ceasuri cu apă și terasamente. O problemă este prevăzută cu un desen referitor la un arbore circular, alta consideră un trunchi de con, determinându-i volumul prin înmulțirea înălțimii cu jumătate din suma suprafețelor bazelor superioare și inferioare.

Matematicienii babilonieni au rezolvat și probleme planimetrice folosind proprietățile triunghiurilor dreptunghiulare, formulate ulterior de Pitagora sub forma unei teoreme asupra egalității într-un triunghi dreptunghic a pătratului ipotenuzei cu suma pătratelor catetelor. Cu alte cuvinte, celebra teoremă a lui Pitagora era cunoscută babilonienilor cu cel puțin o mie de ani înainte de Pitagora. Pe lângă problemele planimetrice, au rezolvat și probleme stereometrice legate de determinarea volumului diferitelor tipuri de spații, corpuri și planuri de desen practicate pe scară largă pentru câmpuri, zone, clădiri individuale, dar de obicei nu la scară. Cea mai semnificativă realizare a matematicii a fost descoperirea faptului că raportul dintre diagonală și latura unui pătrat nu poate fi exprimat ca număr întreg sau ca o simplă fracție. Astfel, conceptul de iraționalitate a fost introdus în matematică.

Se crede că descoperirea unuia dintre cele mai importante numere iraționale - numărul π, care exprimă raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său și egal cu o fracție infinită ≈ 3,14 ..., îi aparține lui Pitagora. Conform unei alte versiuni, pentru numărul π, valoarea 3,14 a fost propusă pentru prima dată de Arhimede 300 de ani mai târziu, în secolul al III-lea î.Hr. î.Hr. Potrivit altuia, Omar Khayyam a fost primul care a calculat-o, acesta este, în general, secolul al XI-lea - al XII-lea. ANUNȚ Se știe doar cu siguranță că litera greacă π a fost desemnată pentru prima dată de matematicianul englez William Jones în 1706 și abia după ce matematicianul elvețian Leonhard Euler a împrumutat această denumire în 1737 a devenit general acceptată. Numărul π este cea mai veche ghicitoare matematică, această descoperire ar trebui căutată și în Mesopotamia antică.

Matematicienii babilonieni cunoșteau bine cele mai importante numere iraționale, iar soluția la problema calculării ariei unui cerc poate fi găsită și în decodificarea tăblițelor cuneiforme de lut cu conținut matematic. Conform acestor date, π a fost considerat egal cu 3, ceea ce, totuși, a fost destul de suficient pentru scopuri practice de topografie a terenurilor. Cercetătorii cred că sistemul sexagesimal a fost ales în Babilonul antic din motive metrologice: numărul 60 are mulți divizori. Notarea hexazecimală a numerelor întregi nu a devenit larg răspândită în afara Mesopotamiei, ci în Europa până în secolul al XVII-lea. atât fracțiile sexagesimale cât și împărțirea obișnuită a cercului în 360 de grade au fost utilizate pe scară largă. Ora și minutele, împărțite în 60 de părți, provin și ele din Babilon.

Ideea ingenioasă a babilonienilor de a folosi numărul minim de caractere digitale pentru a scrie numere este remarcabilă. Romanii, de exemplu, nici nu credeau că același număr poate desemna cantități diferite! Pentru a face acest lucru, au folosit literele alfabetului lor. Ca rezultat, un număr din patru cifre, de exemplu, 2737, conținea până la unsprezece litere: MMDCCXXXVII. Și, deși în timpul nostru există matematicieni extremi care pot împărți LXXVIII cu CLXVI într-o coloană sau pot înmulți CLIX cu LXXIV, nu se poate decât să-i pară rău pentru acei locuitori ai Orașului Etern care au fost nevoiți să efectueze calcule calendaristice și astronomice complexe cu ajutorul unor astfel de calcule. act de echilibrare matematică sau proiecte de arhitectură la scară largă calculate și diverse obiecte de inginerie.

Sistemul de numere grecești s-a bazat și pe utilizarea literelor alfabetului. Inițial, în Grecia a fost adoptat sistemul Attic, care folosea o linie verticală pentru a desemna o unitate, iar pentru numerele 5, 10, 100, 1000, 10.000 (în esență era un sistem zecimal) - literele inițiale ale numelor lor grecești. Mai târziu, în jurul secolului al III-lea. î.Hr., s-a răspândit sistemul de numere ionice, în care 24 de litere ale alfabetului grecesc și trei litere arhaice au fost folosite pentru a desemna numere. Și pentru a distinge numerele de cuvinte, grecii au plasat o linie orizontală peste litera corespunzătoare. În acest sens, știința matematică babiloniană s-a situat deasupra ultimei grecești sau romane, deoarece ea este cea care deține una dintre cele mai remarcabile realizări în dezvoltarea sistemelor de notație numerică - principiul poziționalității, conform căruia același semn numeric (simbol ) are diverse sensuri in functie de locul in care se afla. Apropo, sistemul de numere egiptean era inferior sistemului de numere babilonian și egiptean modern.

Egiptenii foloseau un sistem zecimal non-pozițional, în care numerele de la 1 la 9 erau notate cu numărul corespunzător de linii verticale, iar simbolurile hieroglifice individuale au fost introduse pentru puterile succesive de 10. Pentru numerele mici, sistemul numeric babilonian în termeni generali semăna cu cel egiptean. O linie verticală în formă de pană (în tăblițele sumeriene timpurii - un semicerc mic) însemna o unitate; repetat de numărul necesar de ori, acest semn a servit pentru a scrie numere mai mici de zece; pentru a desemna numărul 10, babilonienii, ca și egiptenii, au introdus un nou simbol - un semn larg în formă de pană, cu un punct îndreptat spre stânga, care seamănă cu o paranteză unghiulară (în textele sumeriene timpurii - un cerc mic). Repetat de un număr adecvat de ori, acest semn a servit pentru a reprezenta numerele 20, 30, 40 și 50. Majoritatea istoricilor moderni cred că vechiul cunoștințe științifice au fost pur empirice.

În ceea ce privește fizica, chimia, filosofia naturii, care se bazau pe observații, pare să fie adevărat. Dar noțiunea de experiență senzorială ca sursă de cunoaștere se confruntă cu o întrebare insolubilă atunci când vine vorba de o știință atât de abstractă precum matematica care operează cu simboluri. Deosebit de semnificative au fost realizările astronomiei matematice babiloniene. Dar dacă saltul brusc i-a ridicat pe matematicienii mesopotamien de la nivelul practicii utilitariste la o vastă cunoaștere, permițându-le să aplice metode matematice pentru a prezice pozițiile Soarelui, Lunii și planetelor, eclipsele și alte fenomene cerești, sau dacă dezvoltarea a decurs treptat , din păcate nu știm. Istoria cunoștințelor matematice în general pare ciudată.

Știm cum strămoșii noștri au învățat să numere pe degetele de la mâini și de la picioare, făcând înregistrări numerice primitive sub formă de crestături pe un băț, noduri pe o frânghie sau pietricele așezate pe rând. Și apoi – fără vreo legătură de tranziție – deodată informații despre realizările matematice ale babilonienilor, egiptenilor, chinezii, hindușilor și altor oameni de știință antici, atât de solide încât metodele lor matematice au rezistat testului timpului până la mijlocul mileniului II recent încheiat, adică. de mai bine de trei mii de ani...

Ce se ascunde între aceste legături? De ce înțelepții antici, pe lângă semnificația practică, venerau matematica ca cunoștințe sacre și au dat nume de zei numerelor și figurilor geometrice? Este doar în spatele acestui lucru o atitudine reverentă față de Cunoaștere ca atare? Poate că va veni vremea când arheologii vor găsi răspunsuri la aceste întrebări. Între timp, să nu uităm ce spunea oxfordianul Thomas Bradwardine în urmă cu 700 de ani: „Cel care are nerușinarea de a nega matematica ar fi trebuit să știe de la bun început că nu va intra niciodată pe porțile înțelepciunii”.

Cu aritmetica, știința numerelor, începe cunoașterea noastră cu matematica. Unul dintre primele manuale de aritmetică rusă, scris de L. F. Magnitsky în 1703, începea cu cuvintele: „Aritmetica sau numărătorul, este o artă cinstită, de neinvidiat și ușor de înțeles pentru toată lumea, cea mai utilă și cea mai lăudată, de la cele mai vechi și cel mai nou, care a trăit în diferite vremuri ale celor mai buni aritmeticieni, a inventat și a expus. Cu aritmetica, intrăm, așa cum a spus M. V. Lomonosov, în „porțile învățării” și începem călătoria noastră lungă și dificilă, dar fascinantă, de cunoaștere a lumii.

Cuvântul „aritmetică” provine din grecescul arithmos, care înseamnă „număr”. Această știință studiază operațiile asupra numerelor, diverse reguli de manipulare a acestora, te învață cum să rezolvi probleme care se rezumă la adunare, scădere, înmulțire și împărțire a numerelor. Aritmetica este adesea imaginată ca un prim pas în matematică, pe baza căruia este posibil să se studieze secțiunile sale mai complexe - algebră, analiză matematică etc. Chiar și numerele întregi - obiectul de bază al aritmeticii - sunt referite atunci când sunt luate în considerare proprietăți generaleși modele, la aritmetică superioară sau teoria numerelor. O astfel de vedere a aritmeticii, desigur, are temeiuri - rămâne într-adevăr „alfabetul numărării”, dar alfabetul este „cel mai util” și „confortabil”.

Aritmetica și geometria sunt vechi însoțitori ai omului. Aceste științe au apărut când a devenit necesară numărarea obiectelor, măsurarea pământului, împărțirea pradă, ținerea evidenței timpului.

Aritmetica își are originea în țările din Orientul Antic: Babilon, China, India, Egipt. De exemplu, papirusul egiptean Rinda (numit după proprietarul său G. Rinda) datează din secolul al XX-lea. î.Hr. Printre alte informații, conține expansiuni ale unei fracții în suma fracțiilor cu un numărător egal cu unu, de exemplu:

Comorile de cunoștințe matematice acumulate în țările din Orientul Antic au fost dezvoltate și continuate de oamenii de știință din Grecia Antică. Multe nume de oameni de știință implicați în aritmetică în lumea antica, istoria ne-a păstrat - Anaxagoras și Zenon, Euclid (vezi Euclid și „Începuturile sale”), Arhimede, Eratostene și Diofantus. Numele lui Pitagora (sec. VI î.Hr.) scânteie aici ca o stea strălucitoare. Pitagorei (discipolii și adepții lui Pitagora) se închinau numerelor, crezând că acestea conțin toată armonia lumii. Numerelor individuale și perechilor de numere li s-au atribuit proprietăți speciale. Numerele 7 și 36 erau la mare cinste, în același timp s-a acordat atenție așa-ziselor numere perfecte, numere prietenoase etc.

În Evul Mediu, dezvoltarea aritmeticii este asociată și cu Orientul: India, țările lumii arabe și Asia Centrală. De la indieni au venit la noi numerele pe care le folosim, zero și sistemul de numere pozițional; de la al-Kashi (secolul al XV-lea), care a lucrat la observatorul din Samarkand Ulugbek, - fracții zecimale.

Datorită dezvoltării comerțului și influenței culturii orientale încă din secolul al XIII-lea. interes crescând pentru aritmetică în Europa. Ar trebui să ne amintim numele omului de știință italian Leonardo din Pisa (Fibonacci), a cărui lucrare „Cartea Abacului” ia introdus pe europeni în principalele realizări ale matematicii din Orient și a fost începutul multor studii în aritmetică și algebră.

Odată cu inventarea tiparului (mijlocul secolului al XV-lea) au apărut primele cărți de matematică tipărite. Prima carte tipărită despre aritmetică a fost publicată în Italia în 1478. Aritmetica completă a matematicianului german M. Stiefel (începutul secolului al XVI-lea) conține deja numere negative și chiar ideea de a lua un logaritm.

Pe la secolul al XVI-lea dezvoltarea întrebărilor pur aritmetice s-a revărsat în curentul principal al algebrei - ca o piatră de hotar semnificativă, se poate remarca apariția lucrărilor omului de știință francez F. Vieta, în care numerele sunt indicate prin litere. De atunci, regulile de bază aritmetice au fost pe deplin înțelese din punctul de vedere al algebrei.

Obiectul de bază al aritmeticii este numărul. Numerele naturale, de ex. numerele 1, 2, 3, 4, ... etc., au apărut din numărarea elementelor specifice. Au trecut multe milenii înainte ca omul să învețe că doi fazani, două mâini, doi oameni etc. poate fi numit același cuvânt „doi”. O sarcină importantă a aritmeticii este să înveți să depășești semnificația specifică a numelor obiectelor numărate, să faci abstracție de la forma, dimensiunea, culoarea lor etc. Fibonacci are deja o sarcină: „Șapte bătrâne merg la Roma. Fiecare are 7 catîri, fiecare catîr poartă 7 pungi, fiecare pungă are 7 pâini, fiecare pâine are 7 cuțite, fiecare cuțit are 7 teci. Câți? Pentru a rezolva problema, va trebui să puneți împreună bătrâne, catâri, pungi și pâine.

Dezvoltarea conceptului de număr - apariția numerelor zero și negative, fracțiilor ordinare și zecimale, modalități de scriere a numerelor (numere, simboluri, sisteme numerice) - toate acestea au o istorie bogată și interesantă.

„Știința numerelor înseamnă două științe: practică și teoretică. Studiază practice numerele în măsura în care vorbim de numere numărabile. Această știință este folosită în afaceri și afaceri civile. Știința teoretică a numerelor studiază numerele în sens absolut, abstrase de minte din corpuri și tot ce poate fi numărat în ele. al-Farabi

În aritmetică, numerele se adună, se scad, se înmulțesc și se împart. Arta de a efectua rapid și precis aceste operații pe orice numere a fost mult timp considerată cea mai importantă sarcină a aritmeticii. Acum, în mintea noastră sau pe o bucată de hârtie, facem doar cele mai simple calcule, încredințând din ce în ce mai des lucrări de calcul mai complexe microcalculatoarelor, care înlocuiesc treptat dispozitive precum abacul, mașina de adăugare (vezi Calcul), rigla de calcul. Cu toate acestea, funcționarea tuturor calculatoarelor - simple și complexe - se bazează pe cea mai simplă operație - adunarea numerelor naturale. Rezultă că cele mai complexe calcule pot fi reduse la adunare, doar că această operație trebuie făcută de multe milioane de ori. Dar aici invadăm o altă zonă a matematicii care își are originea în aritmetică - matematica computațională.

Operațiile aritmetice pe numere au o varietate de proprietăți. Aceste proprietăți pot fi descrise în cuvinte, de exemplu: „Suma nu se modifică de la o modificare a locurilor termenilor”, poate fi scris cu litere:, poate fi exprimat în termeni speciali.

De exemplu, această proprietate a adunării se numește lege comutativă sau comutativă. Aplicam legile aritmeticii adesea din obisnuinta, fara sa ne dam seama. Adesea, elevii de la școală întreabă: „De ce să înveți toate aceste legi de deplasare și combinare, pentru că este atât de clar cum să adunăm și să înmulțim numere?” În secolul 19 matematica a făcut un pas important - a început să adauge și să înmulțească în mod sistematic nu numai numere, ci și vectori, funcții, deplasări, tabele de numere, matrice și multe altele, și chiar doar litere, simboluri, fără să-i pese cu adevărat de sensul lor specific. Și aici s-a dovedit că cel mai important lucru este ce legi respectă aceste operațiuni. Studiul operațiilor date pe obiecte arbitrare (nu neapărat pe numere) este deja domeniul algebrei, deși această sarcină se bazează pe aritmetică și legile ei.

Aritmetica conține multe reguli pentru rezolvarea problemelor. În cărțile vechi poți găsi probleme pentru „regula triplă”, pentru „împărțirea proporțională”, pentru „metoda greutăților”, pentru „regula falsă”, etc. Majoritatea acestor reguli sunt acum învechite, deși sarcinile care au fost rezolvate cu ajutorul lor nu pot fi în niciun caz considerate învechite. Celebra problemă a unui bazin care este umplut cu mai multe țevi este veche de cel puțin două mii de ani și încă nu este ușor pentru școlari. Dar dacă mai devreme, pentru a rezolva această problemă, era necesar să se cunoască o regulă specială, atunci și astăzi elevii mai tineri sunt învățați să rezolve o astfel de problemă prin introducerea literei de desemnare a valorii dorite. Astfel, problemele aritmetice au dus la necesitatea rezolvării ecuațiilor, iar aceasta este din nou sarcina algebrei.

Dintre conceptele importante introduse de aritmetică, trebuie remarcate proporțiile și procentele. Majoritatea conceptelor și metodelor de aritmetică se bazează pe compararea diferitelor relații dintre numere. În istoria matematicii, procesul de îmbinare a aritmeticii și geometriei a avut loc de-a lungul mai multor secole.

Se poate urmări clar „geometrizarea” aritmeticii: regulile complexe și modelele exprimate prin formule devin mai clare dacă le putem reprezenta geometric. Un rol important în matematică în sine și în aplicațiile sale este jucat de procesul invers - traducerea informațiilor vizuale, geometrice în limbajul numerelor (vezi Calcule grafice). Această traducere se bazează pe ideea filozofului și matematicianului francez R. Descartes privind definirea punctelor din plan prin coordonate. Desigur, această idee fusese deja folosită înaintea lui, de exemplu, în afacerile maritime, când era necesar să se determine locația navei, precum și în astronomie și geodezie. Dar tocmai de la Descartes și studenții săi vine utilizarea consecventă a limbajului coordonatelor în matematică. Și în timpul nostru, atunci când gestionează procese complexe (de exemplu, zborul unei nave spațiale), ei preferă să aibă toate informațiile sub formă de numere, care sunt procesate de un computer. Dacă este necesar, mașina ajută o persoană să traducă informațiile numerice acumulate în limba desenului.

Vedeți că, vorbind despre aritmetică, depășim întotdeauna limitele ei - în algebră, geometrie și alte ramuri ale matematicii.

Cum să delimităm limitele aritmeticii în sine?

În ce sens este folosit acest cuvânt?

Cuvântul „aritmetică” poate fi înțeles astfel:

o disciplină academică care tratează în primul rând numerele raționale (numere întregi și fracții), operații asupra acestora și probleme rezolvate cu ajutorul acestor operații;

parte a clădirii istorice a matematicii, care a acumulat diverse informații despre calcule;

"aritmetică teoretică" - o parte a matematicii moderne care se ocupă cu construcția diferitelor sisteme numerice (naturale, întregi, raționale, reale, numere complexe și generalizările acestora);

„aritmetică formală” - o parte a logicii matematice (vezi. Logica matematică), care se ocupă cu analiza teoriei axiomatice a aritmeticii;

„aritmetică superioară” sau teoria numerelor, o parte a matematicii care se dezvoltă independent.

18

la favorite la favorite din favorite 7

Prefață editorială: Din cele peste 500 de mii de tăblițe de lut găsite de arheologi în timpul săpăturilor din Mesopotamia antică, aproximativ 400 conțin informații matematice. Cele mai multe dintre ele au fost descifrate și permit să ne facem o idee destul de clară despre realizările uimitoare algebrice și geometrice ale oamenilor de știință babilonieni.

Părerile diferă cu privire la momentul și locul nașterii matematicii. Numeroși cercetători ai acestei probleme atribuie creația sa diverselor popoare și o datează în epoci diferite. Grecii antici nu aveau încă un singur punct de vedere asupra acestei chestiuni, printre care versiunea a fost în mod special răspândită că egiptenii au venit cu geometria și comercianții fenicieni care aveau nevoie de astfel de cunoștințe pentru calcule comerciale și aritmetică.

Herodot în „Istorie” și Strabon în „Geografie” au dat prioritate fenicienilor. Platon și Diogenes Laertius considerau Egiptul ca fiind locul de naștere atât al aritmeticii, cât și al geometriei. Aceasta este și părerea lui Aristotel, care credea că matematica s-a născut datorită prezenței petrecerii timpului liber printre preoții locali. Această remarcă urmează pasajul că în fiecare civilizație se nasc mai întâi meșteșugurile practice, apoi artele pentru plăcere și abia apoi științele care vizează cunoaștere.

Eudemus, un student al lui Aristotel, la fel ca majoritatea predecesorilor săi, a considerat Egiptul ca fiind locul de naștere al geometriei, iar motivul apariției sale au fost nevoile practice ale topografiei terenurilor. Potrivit lui Evdem, geometria parcurge trei etape în perfecționarea sa: apariția abilităților practice în topografia terenurilor, apariția unei discipline aplicate orientate practic și transformarea ei într-o știință teoretică. Aparent, primele două etape ale lui Eudemus atribuite Egiptului, iar a treia - matematicii grecești. Adevărat, el a recunoscut totuși că teoria calculării suprafețelor a apărut din soluția ecuațiilor pătratice, care erau de origine babiloniană.

Istoricul Joseph Flavius ​​​​(„Iudeea antică”, cartea 1, cap. 8) are propria sa părere. Deși îi numește pe egipteni primii, este sigur că aceștia au fost învățați aritmetica și astronomia de către strămoșul evreilor, Avraam, care a fugit în Egipt în timpul foametei care a lovit țara Canaan. Ei bine, influența egipteană în Grecia a fost suficient de puternică pentru a impune grecilor o părere asemănătoare, care, cu mâna lor ușoară, se află încă în circulație în literatura istorică. Tăblițe de lut bine conservate acoperite cu texte cuneiforme găsite în Mesopotamia și datate din 2000 î.Hr. și înainte de 300 d.Hr., mărturisesc atât o stare de lucruri oarecum diferită, cât și cum era matematica în Babilonul antic. A fost un aliaj destul de complex de aritmetică, algebră, geometrie și chiar rudimente de trigonometrie.

Matematica era predată în școlile de scriitori și fiecare absolvent avea o cantitate destul de serioasă de cunoștințe pentru acea perioadă. Aparent, exact despre asta vorbește Asurbanipal, regele Asiriei în secolul al VII-lea. î.Hr., într-una din inscripțiile sale, spunând că a învățat să găsească

„reciprocuri complexe și înmulțire”.

Pentru a recurge la calcule, viața i-a forțat pe babilonieni la fiecare pas. Era nevoie de aritmetică și algebră simplă în gospodărie, la schimbul de bani și la decontarea bunurilor, la calcularea dobânzilor simple și compuse, a impozitelor și a cotei din recoltă predată statului, templului sau proprietarului pământului. Calculele matematice, și mai degrabă complexe, au necesitat proiecte de arhitectură la scară largă, lucrări de inginerie în timpul construcției sistemului de irigare, balistică, astronomie și astrologie. O sarcină importantă a matematicii a fost să determine momentul în care se desfășoară lucrările agricole, sărbătorile religioase și alte nevoi calendaristice. Cât de sus au fost realizările în vechile orașe-stat dintre Tigru și Eufrat în ceea ce grecii vor numi mai târziu atât de surprinzător de precis μαθημα („cunoaștere”), putem judeca descifrarea cuneiformelor mesopotamiene de lut. Apropo, în rândul grecilor, termenul μαθημα a desemnat la început o listă de patru științe: aritmetică, geometrie, astronomie și armonice, el a început să desemneze matematica propriu-zisă mult mai târziu.

În Mesopotamia, arheologii au găsit deja și continuă să găsească tăblițe cuneiforme cu înregistrări de natură matematică, parțial în akkadiană, parțial în sumeriană, precum și tabele de referință matematică. Acesta din urmă a facilitat foarte mult calculele care trebuiau făcute zilnic, așa că o serie de texte descifrate conțin destul de des calcule de dobândă. Numele operațiilor aritmetice ale perioadei sumeriene anterioare a istoriei mesopotamiene au fost păstrate. Deci, operația de adunare a fost numită „acumulare” sau „adunare”, la scădere se folosea verbul „extrage”, iar termenul de înmulțire însemna „mâncă”.

Este interesant că în Babilon au folosit o masă de înmulțire mai extinsă - de la 1 la 180.000 decât cea pe care trebuia să o învățăm la școală, adică. calculat pe numere de la 1 la 100.

În Mesopotamia antică, regulile uniforme pentru operațiile aritmetice erau create nu numai cu numere întregi, ci și cu fracții, în arta de a opera cu care babilonienii erau semnificativ superiori egiptenilor. În Egipt, de exemplu, operațiunile cu fracții au continuat să rămână primitive mult timp, deoarece cunoșteau doar fracții alicote (adică fracții cu un numărător egal cu 1). Încă din vremea sumerienilor din Mesopotamia, principala unitate de numărare în toate afacerile economice a fost numărul 60, deși era cunoscut și sistemul numeric zecimal, care era folosit în rândul akkadienilor. Matematicienii babilonieni au folosit pe scară largă sistemul de numărare pozițional sexagesimal (!). Pe baza acesteia, au fost întocmite diverse tabele de calcul. Pe lângă tabele de înmulțire și tabele de reciproce, cu care se făcea împărțirea, existau tabele de rădăcini pătrate și numere cubice.

Textele cuneiforme dedicate rezolvării problemelor algebrice și geometrice indică faptul că matematicienii babilonieni au fost capabili să rezolve unele probleme speciale, inclusiv până la zece ecuații cu zece necunoscute, precum și anumite varietăți de ecuații cubice și ecuații de gradul al patrulea. La început, ecuațiile pătratice au servit în principal scopurilor pur practice - măsurarea suprafețelor și a volumelor, ceea ce a fost reflectat în terminologie. De exemplu, atunci când se rezolvă ecuații cu două necunoscute, una se numea „lungime”, iar cealaltă – „lățime”. Produsul necunoscutelor a fost numit „zonă”. Exact ca acum! În sarcinile care duceau la o ecuație cubică, a existat o a treia cantitate necunoscută - „adâncime”, iar produsul a trei necunoscute a fost numit „volum”. Mai târziu, odată cu dezvoltarea gândirii algebrice, necunoscutele au început să fie înțelese mai abstract.

Uneori, ca o ilustrare a relațiilor algebrice din Babilon, erau folosite desene geometrice. Mai târziu, în Grecia antică, ele au devenit elementul principal al algebrei, în timp ce pentru babilonieni, care gândeau în primul rând algebric, desenele erau doar un mijloc de vizualizare, iar termenii „linie” și „zonă” însemnau cel mai adesea numere fără dimensiune. De aceea au existat soluții la problemele în care „zona” a fost adăugată la „lateral” sau scăzută din „volum” etc.

De o importanță deosebită în antichitate a fost măsurarea exactă a câmpurilor, grădinilor, clădirilor - inundațiile anuale ale râurilor au adus o cantitate mare de nămol care a acoperit câmpurile și a distrus granițele dintre ele, iar după scăderea apei, geodezii, la ordinul proprietarilor lor, de multe ori au fost nevoiți să remăsoare alocațiile. În arhivele cuneiforme s-au păstrat multe astfel de hărți de topografie, întocmite cu peste 4 mii de ani în urmă.

Inițial, unitățile de măsură nu erau foarte precise, deoarece lungimea a fost măsurată cu degete, palme, coate, care sunt diferite pentru diferite persoane. Situația a fost mai bună la cantități mari, pentru măsurarea cărora s-a folosit o trestie și o frânghie de anumite dimensiuni. Dar și aici, rezultatele măsurătorilor au fost adesea diferite unele de altele, în funcție de cine a măsurat și unde. Prin urmare, au fost adoptate diferite măsuri de lungime în diferite orașe ale Babiloniei. De exemplu, în orașul Lagash, „cotul” era de 400 mm, iar în Nippur și Babilonul însuși - 518 mm.

Multe materiale cuneiforme supraviețuitoare erau manuale pentru școlari babilonieni, care ofereau soluții la diferite probleme simple care se întâlneau adesea în viața practică. Nu este clar, însă, dacă elevul le-a rezolvat în minte sau a făcut calcule preliminare cu o crenguță pe pământ - doar condițiile problemelor matematice și soluția lor sunt scrise pe tăblițe.

Partea principală a cursului de matematică de la școală a fost ocupată de rezolvarea problemelor aritmetice, algebrice și geometrice, în formularea cărora se obișnuia să se opereze cu obiecte, zone și volume specifice. Pe una dintre tăblițele cuneiforme s-a păstrat următoarea problemă: „În câte zile se poate face o bucată de țesătură de o anumită lungime dacă știm că atât de mulți coți (o măsură de lungime) din această țesătură se fac zilnic?” Celălalt prezintă sarcini legate de lucrările de construcții. De exemplu, „Cât pământ va fi necesar pentru un terasament, ale cărui dimensiuni sunt cunoscute și cât pământ trebuie să mute fiecare muncitor, dacă numărul total este cunoscut?” sau „Câtă lut ar trebui să se pregătească fiecare muncitor pentru a construi un zid de o anumită dimensiune?”

De asemenea, elevul trebuia să fie capabil să calculeze coeficienți, să calculeze totaluri, să rezolve probleme privind măsurarea unghiurilor, calcularea suprafețelor și volumelor figurilor rectilinii - acesta era un set comun pentru geometria elementară.

Sunt interesante numele figurilor geometrice păstrate din vremea sumerienilor. Triunghiul a fost numit „pană”, trapezul - „fruntea taurului”, cercul - „cerc”, capacitatea a fost desemnată prin termenul „apă”, volumul - „pământ, nisip”, zona a fost numită "camp".

Unul dintre textele cuneiforme conține 16 probleme cu soluții care se referă la baraje, metereze, fântâni, ceasuri cu apă și terasamente. O problemă este prevăzută cu un desen referitor la un arbore circular, alta consideră un trunchi de con, determinându-i volumul prin înmulțirea înălțimii cu jumătate din suma suprafețelor bazelor superioare și inferioare. Matematicienii babilonieni au rezolvat și probleme planimetrice folosind proprietățile triunghiurilor dreptunghiulare, formulate ulterior de Pitagora sub forma unei teoreme asupra egalității într-un triunghi dreptunghic a pătratului ipotenuzei cu suma pătratelor catetelor. Cu alte cuvinte, celebra teoremă a lui Pitagora era cunoscută babilonienilor cu cel puțin o mie de ani înainte de Pitagora.

Pe lângă problemele planimetrice, au rezolvat și probleme stereometrice legate de determinarea volumului diferitelor tipuri de spații, corpuri și planuri de desen practicate pe scară largă pentru câmpuri, zone, clădiri individuale, dar de obicei nu la scară.

Cea mai semnificativă realizare a matematicii a fost descoperirea faptului că raportul dintre diagonală și latura unui pătrat nu poate fi exprimat ca număr întreg sau ca o simplă fracție. Astfel, conceptul de iraționalitate a fost introdus în matematică.

Se crede că descoperirea unuia dintre cele mai importante numere iraționale - numărul π, care exprimă raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său și egal cu o fracție infinită = 3,14 ..., îi aparține lui Pitagora. Conform unei alte versiuni, pentru numărul π, valoarea 3,14 a fost propusă pentru prima dată de Arhimede 300 de ani mai târziu, în secolul al III-lea î.Hr. î.Hr. Potrivit altuia, Omar Khayyam a fost primul care a calculat-o, acesta este în general de secole 11-12. D. Hr. Se știe doar cu siguranță că litera greacă π a indicat pentru prima dată acest raport în 1706 de către matematicianul englez William Jones și numai după ce matematicianul elvețian Leonard Euler a împrumutat această denumire în 1737, a devenit general acceptată.

Numărul π este cea mai veche ghicitoare matematică, această descoperire ar trebui căutată și în Mesopotamia Antică. Matematicienii babilonieni cunoșteau bine cele mai importante numere iraționale, iar soluția la problema calculării ariei unui cerc poate fi găsită și în decodificarea tăblițelor cuneiforme de lut cu conținut matematic. Conform acestor date, π a fost considerat egal cu 3, ceea ce, totuși, a fost destul de suficient pentru scopuri practice de topografie a terenurilor. Cercetătorii cred că sistemul sexagesimal a fost ales în Babilonul antic din motive metrologice: numărul 60 are mulți divizori. Notarea hexazecimală a numerelor întregi nu a devenit larg răspândită în afara Mesopotamiei, ci în Europa până în secolul al XVII-lea. atât fracțiile sexagesimale cât și împărțirea obișnuită a cercului în 360 de grade au fost utilizate pe scară largă. Ora și minutele, împărțite în 60 de părți, provin și ele din Babilon. Ideea ingenioasă a babilonienilor de a folosi numărul minim de caractere digitale pentru a scrie numere este remarcabilă. Romanii, de exemplu, nici nu credeau că același număr poate desemna cantități diferite! Pentru a face acest lucru, au folosit literele alfabetului lor. Ca rezultat, un număr din patru cifre, de exemplu, 2737, conținea până la unsprezece litere: MMDCCXXXVII. Și, deși în timpul nostru există matematicieni extremi care pot împărți LXXVIII cu CLXVI într-o coloană sau pot înmulți CLIX cu LXXIV, nu se poate decât să-i pară rău pentru acei locuitori ai Orașului Etern care au fost nevoiți să efectueze calcule calendaristice și astronomice complexe cu ajutorul unor astfel de calcule. act de echilibrare matematică sau proiecte de arhitectură la scară largă calculate și diverse obiecte de inginerie.

Sistemul de numere grecești s-a bazat și pe utilizarea literelor alfabetului. La început, în Grecia a fost adoptat sistemul Attic, care folosea o linie verticală pentru a desemna o unitate, iar pentru numerele 5, 10, 100, 1000, 10000 (în esență era un sistem zecimal) - literele inițiale ale numelor lor grecești. . Mai târziu, în jurul secolului al III-lea. î.Hr., s-a răspândit sistemul de numere ionice, în care 24 de litere ale alfabetului grecesc și trei litere arhaice au fost folosite pentru a desemna numere. Și pentru a distinge numerele de cuvinte, grecii au plasat o linie orizontală peste litera corespunzătoare.

În acest sens, știința matematică babiloniană s-a situat mai presus de greacă sau romană de mai târziu, deoarece ea este cea care deține una dintre cele mai remarcabile realizări în dezvoltarea sistemelor de notație numerică - principiul poziționalității, conform căruia același semn numeric (simbol) are semnificații diferite în funcție de locul în care se află.

Apropo, sistemul de numere egiptean era inferior sistemului de numere babilonian și egiptean modern. Egiptenii foloseau un sistem zecimal non-pozițional, în care numerele de la 1 la 9 erau notate cu numărul corespunzător de linii verticale, iar simbolurile hieroglifice individuale au fost introduse pentru puterile succesive de 10. Pentru numerele mici, sistemul numeric babilonian în termeni generali semăna cu cel egiptean. O linie verticală în formă de pană (în tăblițele sumeriene timpurii - un semicerc mic) însemna o unitate; repetat de numărul necesar de ori, acest semn a servit pentru a scrie numere mai mici de zece; pentru a desemna numărul 10, babilonienii, ca și egiptenii, au introdus un nou simbol - un semn larg în formă de pană, cu un punct îndreptat spre stânga, care seamănă cu o paranteză unghiulară (în textele sumeriene timpurii - un cerc mic). Repetat de un număr adecvat de ori, acest semn a servit pentru a reprezenta numerele 20, 30, 40 și 50.

Majoritatea istoricilor moderni cred că cunoștințele științifice antice erau de natură pur empirică. În ceea ce privește fizica, chimia, filosofia naturii, care se bazau pe observații, pare să fie adevărat. Dar noțiunea de experiență senzorială ca sursă de cunoaștere se confruntă cu o întrebare insolubilă atunci când vine vorba de o știință atât de abstractă precum matematica care operează cu simboluri.

Deosebit de semnificative au fost realizările astronomiei matematice babiloniene. Dar dacă saltul brusc i-a ridicat pe matematicienii mesopotamien de la nivelul practicii utilitariste la o vastă cunoaștere, permițându-le să aplice metode matematice pentru a prezice pozițiile Soarelui, Lunii și planetelor, eclipsele și alte fenomene cerești, sau dacă dezvoltarea a decurs treptat , din păcate nu știm.

Istoria cunoștințelor matematice în general pare ciudată. Știm cum strămoșii noștri au învățat să numere pe degetele de la mâini și de la picioare, făcând înregistrări numerice primitive sub formă de crestături pe un băț, noduri pe o frânghie sau pietricele așezate pe rând. Și apoi – fără vreo legătură de tranziție – deodată informații despre realizările matematice ale babilonienilor, egiptenilor, chinezii, hindușilor și altor oameni de știință antici, atât de solide încât metodele lor matematice au rezistat testului timpului până la mijlocul mileniului II recent încheiat, adică. de mai bine de trei mii de ani...

Ce se ascunde între aceste legături? De ce înțelepții antici, pe lângă semnificația practică, venerau matematica ca cunoștințe sacre și au dat nume de zei numerelor și figurilor geometrice? Este doar în spatele acestui lucru o atitudine reverentă față de Cunoaștere ca atare?

Poate că va veni vremea când arheologii vor găsi răspunsuri la aceste întrebări. Între timp, să nu uităm ce a spus oxfordianul Thomas Bradwardine acum 700 de ani:

„Cel care are neruşinaţia de a nega matematica ar fi trebuit să ştie de la bun început că nu va intra niciodată pe porţile înţelepciunii”.

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Utilizați formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

postat pe http://www.allbest.ru/

Introducere

1. Începutul matematicii în societatea primitivă

2. Originea matematicii în Orientul antic

2.1 Egipt

2.2 Babilonul

Concluzie

Bibliografie

Introducere

Matematică (greacă - cunoaștere, știință) - știința relațiilor cantitative și a formelor spațiale ale lumii reale.

O înțelegere clară a poziției independente a matematicii ca știință specială, care are propriul subiect și metodă, a devenit posibilă numai după acumularea unei cantități suficient de mari de material factual și a apărut pentru prima dată în Dr. Grecia în secolele VI-V. î.Hr. Dezvoltarea matematicii până în acest moment este în mod firesc atribuită perioadei de naștere a matematicienilor și secolelor VI-V. î.Hr. datează începutul perioadei de matematică elementară, care a durat până în secolul al XVI-lea. În aceste prime două perioade, cercetările matematice s-au ocupat în principal de un stoc foarte limitat de concepte de bază care au apărut chiar în stadii foarte timpurii ale dezvoltării istorice în legătură cu cele mai simple solicitări ale vieții economice, reduse la numărarea obiectelor, măsurarea cantității de produse, suprafețe. de teren, determinarea dimensiunilor părților individuale ale structurilor arhitecturale, măsurarea timpului, calculele comerciale, navigația etc. Primele probleme de mecanică și fizică, cu excepția studiilor individuale ale lui Arhimede (secolul al III-lea î.Hr.), care necesitau deja începuturile calculului infinitezimal, se puteau încă mulțumi cu același stoc de concepte matematice de bază. Singura știință care, cu mult înainte de dezvoltarea pe scară largă a studiului matematic al fenomenelor naturale în secolele 17-18. a prezentat sistematic cerințele sale speciale și foarte mari la matematică, a existat astronomia, care a determinat complet, de exemplu, dezvoltare timpurie trigonometrie.

În secolul al XVII-lea noile cerințe ale științelor naturii și tehnologiei îi obligă pe matematicieni să își concentreze atenția asupra creării de metode care să permită studierea matematică a mișcării, a proceselor de schimbare a cantităților și a transformării figurilor geometrice (în timpul proiectării etc.). Odată cu utilizarea variabilelor în geometria analitică a lui R. Descartes și crearea calculului diferențial și integral, începe perioada de matematică a variabilelor.

Extinderea în continuare a gamei de relații cantitative și forme spațiale studiate de matematică a condus la începutul secolului al XIX-lea. necesitatea de a trata procesul de extindere a subiectului cercetării matematice în mod conștient, punându-ne sarcina studiului sistematic cu suficient punct comun vedere a posibilelor tipuri de relaţii cantitative şi forme spaţiale. Crearea N.I. Lobaciovski din „geometria sa imaginară”, care mai târziu a primit aplicații destul de reale, a fost primul pas semnificativ în această direcție. Dezvoltarea acestui tip de cercetare a introdus în structura matematicii trăsături atât de importante, încât matematica în secolele XIX și XX. atribuită în mod firesc unei perioade speciale a matematicii moderne.

1. Începutul matematicii în societatea primitivă

Ideile noastre inițiale despre număr și formă aparțin unei epoci foarte îndepărtate a epocii antice de piatră - paleoliticul. Timp de sute de mii de ani din această perioadă, oamenii au trăit în peșteri, în condiții nu foarte diferite de viața animală, iar energia lor a fost cheltuită în principal pentru obținerea hranei în cel mai simplu mod - strângerea acesteia, oriunde era posibil. Oamenii au făcut unelte pentru vânătoare și pescuit, au dezvoltat un limbaj pentru comunicarea între ei, iar în epoca paleoliticului târziu și-au decorat existența creând opere de artă, figurine și desene. Poate că desenele din peșterile Franței și Spaniei (acum aproximativ 15 mii de ani) aveau o semnificație rituală, dar, fără îndoială, se găsește în ele un minunat simț al formei.

Până când a existat o tranziție de la simpla strângere de alimente la producția sa activă, de la vânătoare și pescuit la agricultură, oamenii au făcut puține progrese în înțelegerea valorilor numerice și a relațiilor spațiale. Abia odată cu debutul acestei schimbări fundamentale, o revoluție, când atitudinea pasivă a omului față de natură a fost înlocuită cu una activă, intrăm într-o nouă epocă de piatră, neoliticul.

Acest mare eveniment din istoria omenirii a avut loc în urmă cu aproximativ zece mii de ani, când calota de gheață din Europa și Asia a început să se topească și să cedeze loc pădurilor și deșerturilor. Rătăcirile nomade în căutarea hranei au încetat treptat. Pescarii și vânătorii au fost din ce în ce mai forțați să plece de fermierii primitivi. Astfel de fermieri, rămânând într-un singur loc în timp ce solul a rămas fertil, și-au construit locuințe concepute pentru mai mult termeni lungi. Au început să răsară sate pentru a le proteja de vreme rea și de dușmanii prădători. Multe astfel de așezări neolitice au fost excavate. Rămășițele lor arată cum s-au dezvoltat treptat meșteșuguri simple precum olăritul, țesutul și tâmplăria. Erau grânare pentru ca populația să poată, producând surplus, să depoziteze hrana pentru iarnă și în caz de eșec a recoltei. Pâinea a fost coaptă, berea a fost preparată, iar cuprul și bronzul au fost topite și prelucrate în neoliticul târziu. S-au făcut descoperiri, s-a inventat roata olarului și roata căruței, au fost îmbunătățite bărci și locuințe. Toate aceste inovații remarcabile au apărut doar într-o zonă sau alta și nu s-au răspândit întotdeauna în afara acesteia. De exemplu, indienii americani au aflat despre existența roții căruței abia după sosirea albilor. Cu toate acestea, ritmul progresului tehnologic s-a accelerat enorm în comparație cu epoca antică de piatră.

Satele au desfășurat comerț semnificativ între ele, care s-au dezvoltat atât de mult încât este posibil să se urmărească existența relațiilor comerciale între zone aflate la sute de kilometri distanță una de alta. Această activitate comercială a fost puternic stimulată de descoperirea tehnicii de topire a cuprului și a bronzului și fabricarea mai întâi a uneltelor și armelor din cupru și apoi din bronz. Aceasta, la rândul său, a contribuit la formarea ulterioară a limbilor. Cuvintele acestor limbi exprimau lucruri foarte concrete și foarte puține concepte abstracte, dar limbajele aveau deja un anumit vocabular pentru termeni numerici simpli și pentru unele imagini spațiale. Multe triburi din Australia, America și Africa se aflau la acest nivel atunci când au întâlnit prima dată oameni albi, iar unele triburi încă trăiesc în astfel de condiții, așa că este posibil să le studiem obiceiurile și modurile de exprimare a gândurilor.

Termeni numerici care exprimă unele dintre „cele mai abstracte concepte pe care mintea umană le poate crea”, după cum spunea Adam Smith D.Ya. Stroyk. Eseu scurt istoria matematicii.- M, 1984 .- P.23. , a intrat încet în uz. Pentru prima dată, ei apar ca termeni mai degrabă calitativi decât cantitativi, exprimând diferența dintre doar unul (sau mai degrabă „unii” - „unii” mai degrabă decât „o persoană”) și doi și mulți. Originea calitativă antică a conceptelor numerice este încă revelată în acei termeni binari speciali care există în unele limbi, cum ar fi, de exemplu, greacă și celtică. Odată cu extinderea conceptului de număr, numerele mari s-au format mai întâi prin adunare: 3 prin adunarea 2 și 1, 4 prin adunarea 2 și 2, 5 prin adunarea 2 și 3.

Iată exemple de numărare a unor triburi australiene:

Tribul Murray River: 1 = enea, 2 = petcheval, 3 = petcheval-enea, 4 = petcheval-petcheval.

Kamilaroi: 1 = mic, 2 = bulan, 3 = guliba, 4 = bulan-bulan, 5 = bulan-guliba, 6 = guliba-guliba.

Dezvoltarea meșteșugurilor și comerțului a contribuit la cristalizarea conceptului de număr. Numerele au fost grupate și combinate în unități mai mari, de obicei folosind degetele unei mâini sau ambelor mâini, o tehnică comună în tranzacționare. Acest lucru a dus la numărarea mai întâi până la baza cinci, apoi la baza zece, care a fost completată prin adunare și uneori prin scădere, astfel încât doisprezece a fost perceput ca 10 + 2, iar nouă ca 10 - I2). Uneori s-a luat ca bază 20 - numărul de degete de la mâini și de la picioare. Din cele 307 de popoare americane primitive studiate de Eales, 146 au fost zecimale, 106 au fost cinci și cinci zecimale, iar restul au fost douăzeci și cinci și douăzeci. În forma sa cea mai caracteristică, sistemul de bază douăzeci a existat printre mayașii din Mexic și printre celții din Europa. Înregistrările numerice se făceau cu mănunchiuri, crestături pe bețișoare, noduri pe frânghii, pietricele sau scoici stivuite în grămezi de cinci, tehnici foarte asemănătoare cu cele folosite în vechime de proprietarul hanului, care folosea etichete. Pentru a trece de la astfel de trucuri la caractere speciale pentru 5, 10, 20 etc. trebuia făcut un singur pas și tocmai astfel de simboluri le găsim în folosință la începutul istoriei consemnate, la așa-zisa zori a civilizației.

Cel mai vechi exemplu de utilizare a etichetelor datează din epoca paleolitică. Aceasta este o rază a unui tânăr lup, descoperită în 1937 la Vestonice (Moravia), lungă de aproximativ 17 centimetri și cu 55 de crestături adânci. Primele douăzeci și cinci de crestături sunt plasate în grupuri de cinci, urmate de o crestătură cu lungime dublă care se termină acest rând, iar apoi un nou rând de crestături începe cu o crestătură nouă cu lungime dublă). Așadar, este evident că vechea afirmație, pe care o găsim la Jacob Grimm și care s-a repetat adesea, că numărarea a apărut ca numărare pe degete, este greșită. Numărarea degetelor, adică numărarea cu tocuri și zeci, a apărut doar într-un anumit stadiu dezvoltarea comunității. Dar, din moment ce s-a ajuns la aceasta, a devenit posibilă exprimarea numerelor în sistemul numeric, ceea ce a făcut posibilă formarea de numere mari. Deci a apărut un tip primitiv de aritmetică. Paisprezece a fost exprimat ca 10 + 4, uneori ca 15--1. Înmulțirea a apărut atunci când 20 a fost exprimat nu ca 10 + 10, ci ca 2 x 10. Operații binare similare au fost efectuate timp de mii de ani, reprezentând o încrucișare între adunare și înmulțire, în special în Egipt și în cultura pre-ariană din Mohenjo- Daro pe Indus. Împărțirea a început cu faptul că 10 a început să fie exprimat ca „jumătate din corp”, deși utilizarea conștientă a fracțiilor a rămas extrem de rară. De exemplu, printre triburile nord-americane se cunosc doar câteva cazuri de utilizare a fracțiilor și aproape întotdeauna este doar o fracțiune, deși uneori

Este curios că au fost duși de un număr foarte mare, ceea ce, poate, a fost îndemnat de dorința universală de a exagera numărul de turme sau de dușmani uciși; vestigiile acestei părtiniri sunt vizibile în Biblie și în alte cărți religioase.

De asemenea, a fost nevoie să se măsoare lungimea și capacitatea obiectelor. Unitățile de măsură erau brute și adesea bazate pe dimensiunea corpului uman. Ne amintesc acest lucru de unități precum un deget, un picior (adică un picior), un cot. Când au început să construiască case precum cele ale fermierilor din India sau ale locuitorilor clădirilor îngrămădite din Europa Centrală, au început să fie elaborate reguli de construcție în linii drepte și în unghi drept. cuvânt englezesc„dreaptă” (dreaptă) este legată de verbul „întinde” (întinde), care indică folosirea unei frânghii). Cuvântul englezesc „line” (line) este înrudit cu cuvântul „linen” (pânză), care indică legătura dintre meșteșugul de țesut și nașterea geometriei. Aceasta a fost una dintre căile prin care a continuat dezvoltarea intereselor matematice.

Omul neolitic avea și un simț acut al formei geometrice. Arderea și colorarea vaselor de lut, fabricarea covorașelor, coșurilor și țesăturilor din stuf și mai târziu prelucrarea metalelor au dezvoltat o idee a relațiilor plane și spațiale.

Figurile de dans au trebuit să-și joace și rolul lor. Ornamentele neolitice erau plăcute ochiului, dezvăluind egalitatea, simetria și asemănarea figurilor. În aceste cifre pot apărea și rapoarte numerice, ca și în unele ornamente preistorice care înfățișează numere triunghiulare; în alte ornamente găsim numere „sacre”. Astfel de ornamente au rămas în uz în vremuri istorice. Vedem exemple frumoase pe vasele dipylon din perioada minoică și greacă timpurie, mai târziu în mozaicurile bizantine și arabe, în covoarele persane și chinezești. Inițial, ornamentele timpurii au avut o semnificație religioasă sau magică, dar scopul lor estetic a devenit treptat predominant.

În religia epocii de piatră putem surprinde primele încercări de a face față forțelor naturii. Riturile religioase erau complet pătrunse de magie, elementul magic făcea parte din reprezentările numerice și geometrice existente atunci, manifestându-se și în sculptură, muzică și desen.

Au existat numere magice precum 3, 4, 7 și figuri magice, cum ar fi steaua cu cinci colțuri și svastica; unii autori chiar cred că această latură a matematicii a fost un factor decisiv în dezvoltarea1), dar deși rădăcinile sociale ale matematicii în timpurile moderne au devenit mai puțin vizibile, ele sunt destul de evidente în perioada timpurie a istoriei omenirii. „Numerologia” modernă este o rămășiță de rituri magice care datează din neolitic și poate chiar din epoca paleolitică.

Chiar și printre cele mai înapoiate triburi găsim o anumită măsură a timpului și, în consecință, unele informații despre mișcarea soarelui, a lunii și a stelelor. Informațiile de acest fel au căpătat mai întâi un caracter mai științific atunci când agricultura și comerțul au început să se dezvolte. Utilizarea calendarului lunar datează de la o epocă foarte veche din istoria omenirii, deoarece schimbarea cursului creșterii plantelor a fost asociată cu fazele lunii. Popoarele primitive au acordat atenție atât solstițiului, cât și ridicării Pleiadelor la amurg. Cele mai vechi popoare civilizate au atribuit informațiile astronomice celei mai îndepărtate perioade preistorice a existenței lor. Alte popoare primitive au folosit constelațiile ca repere atunci când navigau. Această astronomie a oferit câteva informații despre proprietățile sferei, cercurilor și unghiurilor.

Această scurtă informație din epoca matematicii societate primitivă arata ca stiinta in dezvoltarea sa nu trece neaparat prin toate etapele care formeaza acum predarea ei. Doar recent oamenii de știință au acordat atenția cuvenită unora dintre cele mai vechi forme geometrice cunoscute de omenire, cum ar fi nodurile sau ornamentele. Pe de altă parte, unele dintre ramurile mai elementare ale matematicii noastre, cum ar fi graficul sau statica elementară, sunt de origine relativ recentă. A. Speiser a remarcat cu o anumită causticitate: „Originea târzie a matematicii elementare este evidențiată cel puțin de faptul că ea tinde în mod clar să fie plictisitoare - o proprietate care este aparent inerentă acesteia - în timp ce un matematician creativ va prefera întotdeauna să se ocupe de probleme interesante și frumoase” Kolmogorov A.N. Matematică // Marea Enciclopedie Rusă / Ed. B.A. Vvedensky.- M, 1998.- S.447. .

2. Originea matematicii în Orientul antic

2.1 Egipt

Numărarea obiectelor în primele etape ale dezvoltării culturii a condus la crearea celor mai simple concepte de aritmetică a numerelor naturale. Numai pe baza sistemului dezvoltat de numerație orală apar sisteme numerice scrise și se dezvoltă treptat metode pentru efectuarea a patru operații aritmetice asupra numerelor naturale (dintre care doar împărțirea a prezentat mari dificultăți pentru o lungă perioadă de timp). Nevoile de măsurare (cantitatea de cereale, lungimea drumului etc.) conduc la apariția denumirilor și simbolurilor pentru cele mai simple numere fracționale și la dezvoltarea metodelor de efectuare a operațiilor aritmetice pe fracții. În acest fel, s-a acumulat material care sa format treptat în cea mai veche știință matematică - aritmetica. Măsurarea suprafețelor și a volumelor, nevoile tehnologiei de construcție și puțin mai târziu - astronomia, provoacă dezvoltarea rudimentelor geometriei. Aceste procese s-au desfășurat între multe popoare în mare măsură independent și în paralel. De o importanță deosebită pentru dezvoltarea ulterioară a științei a fost acumularea de cunoștințe aritmetice și geometrice în Dr. Egipt și Babilon. În Babilon, pe baza tehnicii dezvoltate a calculelor aritmetice, au apărut și rudimentele algebrei, iar în legătură cu cerințele astronomiei, rudimentele trigonometriei.

Cele mai vechi texte matematice care au supraviețuit de Dr. Egipt, legat de începutul mileniului II î.Hr. e., constau în principal din exemple de rezolvare a problemelor individuale și, în cel mai bun caz, rețete de rezolvare a acestora, care uneori pot fi înțelese doar prin analiza exemplelor numerice date în texte; aceste decizii sunt adesea urmate de o verificare a răspunsului. Ar trebui să vorbim despre rețete pentru rezolvarea anumitor tipuri de probleme, pentru că teoria matematică în sensul unui sistem de teoreme generale interconectate și, în general, într-un fel sau altul dovedit, se pare că nu a existat deloc. Acest lucru este dovedit, de exemplu, de faptul că soluțiile exacte au fost folosite fără nicio diferență față de cele aproximative. Cu toate acestea, însuși stocul de fapte matematice stabilite era, în concordanță cu tehnologia înaltă a construcțiilor, complexitatea relațiilor funciare, necesitatea unui calendar precis etc., destul de mare. Conform papirusului etajul 1. mileniul II î.Hr Starea matematicii egiptene la acea vreme poate fi caracterizată în următorii termeni. Depășind dificultățile operațiilor cu numere întregi bazate pe un sistem numeric zecimal nepozițional, clar din exemplu.

Egiptenii au creat un aparat special și destul de complex pentru a trata fracțiile, care necesita tabele auxiliare speciale. Rolul principal în aceasta l-au jucat operațiile de dublare și împărțire a numerelor întregi, precum și reprezentarea fracțiilor ca sume de fracții de unu și, în plus, fracții 2/3. Dublarea și bifurcarea, ca tip special de acțiune, printr-o serie de verigi intermediare au ajuns în Europa Evului Mediu. Problemele au fost rezolvate sistematic pentru a găsi numere necunoscute, care acum ar fi scris ca o ecuație într-o necunoscută. Geometria a fost redusă la regulile de calcul a suprafețelor și volumelor. Au fost calculate corect ariile unui triunghi și ale unui trapez, volumele unui paralelipiped și ale unei piramide cu bază pătrată. Cea mai mare realizare cunoscută a egiptenilor în această direcție a fost descoperirea unei metode de calcul a volumului unei piramide trunchiate cu bază pătrată, corespunzătoare formulei

Regulile pentru calcularea ariei unui cerc și a volumelor unui cilindru și unui con corespund uneori unei valori aproximativ aproximative a numărului p = 3, uneori uneia mult mai precise.

Prezența unei reguli pentru calcularea volumului unei piramide trunchiate, instrucțiuni despre cum să se calculeze, de exemplu, aria unui trapez isoscel, transformându-l într-un dreptunghi de dimensiuni egale și o serie de alte circumstanțe indică faptul că formarea gândirii deductive matematice era deja planificată în matematica egipteană. Papirusurile antice în sine au avut un scop educațional și nu reflectau pe deplin cantitatea de cunoștințe și metode ale matematicienilor egipteni. fracție matematică

2.2 Babilonul

Există incomparabil mai multe texte matematice care permit cuiva să judeci matematica în Babilon decât cele egiptene. Textele matematice cuneiforme babiloniene acoperă perioada de la începutul mileniului II î.Hr. e. (epoca dinastiei Hammurabi și a kașiților) înainte de apariția și dezvoltarea matematicii grecești. Cu toate acestea, chiar și primul dintre aceste texte aparține perioadei de glorie a matematicii babiloniene, textele ulterioare, în ciuda prezenței unor puncte noi, mărturisesc, în ansamblu, mai degrabă stagnarea acesteia. Babilonienii dinastiei Hammurabi au primit din perioada sumeriană un sistem mixt de numerotare zecimal-hexazecimal dezvoltat, care conținea deja un principiu pozițional cu semne pentru 1 și 60, precum și 10 (aceleași semne denotă același număr de unități de diferite sexagesimale). cifre). De exemplu:

Fracțiile sexagezimale au fost, de asemenea, desemnate în mod similar. Acest lucru a făcut posibilă efectuarea de acțiuni cu numere întregi și cu fracții sexagesimale conform regulilor uniforme. Mai târziu, apare și un semn special pentru a indica absența cifrelor intermediare într-un anumit număr. Împărțirea folosind tabele de reciproce a fost redusă la înmulțire (această tehnică se găsește uneori în textele egiptene). În textele ulterioare, calculul reciprocelor altele decât 2 a , 3 b , 5 g , i.e. neexprimat printr-o fracție sexagesimală finală, uneori adusă la al optulea semn sexagesimal; este posibil ca în acest caz să fi fost descoperită periodicitatea unor astfel de fracții; de exemplu, în cazul 1 / 7 . Pe lângă tabelele de reciproce, există tabele de produse, pătrate, cuburi etc. Un număr mare de înregistrări economice dovedesc utilizarea pe scară largă a tuturor acestor mijloace în activitățile economice complexe ale palatului și templului. Calculul dobânzilor la datorii a fost, de asemenea, dezvoltat pe scară largă. Există și o serie de texte din dinastia Hammurabi dedicate rezolvării problemelor care, din punct de vedere modern, se reduc la ecuații de gradul I, II și chiar III. Problemele privind ecuațiile pătratice au apărut, probabil, prin inversarea problemelor geometrice pur practice, care în multe cazuri indică o dezvoltare semnificativă a gândirii matematice abstracte. Aceasta este, de exemplu, problema determinării laturii unui dreptunghi după aria și perimetrul acestuia. Cu toate acestea, această problemă nu a fost redusă la o ecuație pătratică cu trei termeni, ci a fost rezolvată aparent folosind o transformare pe care am scrie (x+y)2=(x-y)2+4xy, ceea ce duce aproape imediat la un sistem de doi ecuatii lineare cu două necunoscute. O altă problemă asociată cu așa-numita teoremă a lui Pitagora, cunoscută în Babilon încă din cele mai vechi timpuri, pentru determinarea catetelor în funcție de ipotenuză și zonă, a fost reprezentată de o ecuație cu trei termeni cu o singură rădăcină pozitivă. Sarcinile sunt selectate astfel încât rădăcinile să fie întotdeauna numere întregi pozitive și în cea mai mare parte la fel. Aceasta arată că tăblițele de lut supraviețuitoare sunt exerciții educaționale; predarea era aparent orală. Dar babilonienii cunoșteau și metodele de calcul aproximativ al rădăcinii pătrate, de exemplu, lungimea diagonalei unui pătrat cu o latură dată. Astfel, componenta algebrică a matematicii babiloniene a fost semnificativă și a atins un nivel ridicat. Odată cu aceasta, babilonienii știau cum să însumeze progresiile aritmetice, cel puțin cele mai simple progresii geometrice finite, și chiar cunoșteau regula pentru însumarea numerelor pătrate succesive, începând de la 1. Există o presupunere că interesele științifice atât de abstracte, nu se limitează la rețeta direct necesară în practică, dar care a condus la crearea unor metode algebrice generale de rezolvare a problemelor, a apărut în „școlile de scribi”, unde elevii se pregăteau pentru numărare și activități economice. Textele de acest fel dispar ulterior. Dar apoi tehnica de calcul cu numere cu mai multe cifre se dezvoltă în continuare în legătură cu dezvoltarea în mileniul I î.Hr. e. metode mai precise în astronomie. Pe baza astronomiei, apar primele tabele extinse de dependențe găsite empiric, în care se poate vedea prototipul ideii de funcție. Tradiția matematică cuneiformă babiloniană continuă în Asiria, statul persan și chiar în epoca elenistică până în secolul I î.Hr. î.Hr. Dintre realizările matematicii babiloniene în domeniul geometriei, care au depășit cunoștințele egiptenilor, trebuie remarcată măsurarea dezvoltată a unghiurilor și unele rudimente de trigonometrie, asociate evident cu dezvoltarea astronomiei; mai târziu, unele poligoane regulate apar în texte cuneiforme înscrise în cerc.

Dacă comparăm științele matematice din Egipt și Babilon în ceea ce privește modul de gândire, atunci nu va fi dificil să stabilim comunitatea lor în ceea ce privește caracteristicile precum autoritarismul, necriticitatea, respectarea tradiției și evoluția extrem de lentă a cunoașterii. Aceleași trăsături se regăsesc în filozofia, mitologia, religia Orientului. După cum scria E. Kolman despre aceasta, „în acest loc, unde voința despotului era considerată drept, nu era loc de gândire, de căutare a cauzelor și justificărilor fenomenelor, cu atât mai puțin de discuție liberă” Kolmogorov A.N. Matematică // Marea Enciclopedie Rusă / Ed. B.A. Vvedensky.- M, 1998.- S.447. .

Concluzie

După cum sa menționat deja, matematica este știința formelor spațiale (aspectul geometric) și a raporturilor cantitative (aspectul numeric) ale obiectelor studiate. În același timp, face abstracție din certitudinea calitativă a obiectelor, astfel încât rezultatele matematice sunt universale, aplicabile oricăror obiecte și oricăror probleme științifice. Numărul „20” poate însemna numărul de aminoacizi bazici (biochimie); vârsta Universului, miliarde de ani (cosmologie); durata epocii geologice, milioane de ani (geologie); vârsta umană, ani (antropologie); numărul de angajați ai companiei (management); numărul de neuroni din creierul uman; miliarde (fiziologie); procentul de rentabilitate a producţiei (economie), etc. Tocmai datorită universalității aplicării sale și, de asemenea, în legătură cu studiul celor mai importante aspecte cantitative ale oricăror procese, rolul matematicii în progresul tuturor științelor este extrem de ridicat. Acest lucru a fost mult timp evident pentru oamenii de știință eminenti.

De aceea, nivelul de dezvoltare al oricărei științe cunoscute poate fi stabilit în primul rând prin gradul de utilizare a matematicii în ea. În același timp, vorbim nu doar despre utilizarea numerelor (atunci istoria ar putea fi considerată cea mai dezvoltată știință), ci și despre nivelul de matematizare a realizărilor științifice specifice.

Metodologii interni (Akchurin A.I.) disting trei niveluri de matematizare a cunoștințelor:

1. Primul (cel mai jos) nivel este utilizarea matematicii în prelucrarea rezultatelor experimentelor cantitative.

2. Al doilea nivel (mediu) este dezvoltarea modelelor teoretice și matematice.

3. Al treilea nivel (cel mai înalt) este crearea unei teorii matematice a obiectelor studiate.

Diferite științe, atât naturale, cât și umanitare, și chiar secțiuni ale științelor individuale au un nivel diferit de matematizare:

1. Nivelul cel mai scăzut este tipic pentru științe precum jurisprudența, lingvistica (excluzând lingvistica matematică), istoriografia, pedagogia, psihologia, sociologia și altele.

2. Nivelul mediu este tipic pentru științe precum biofizica, genetica, ecologie, științe militare, economie, management, geologie, chimie etc.

3. Cel mai înalt nivel este tipic pentru științe precum astronomia, geodezia, fizica (în special mecanică, acustică, hidrodinamică, electrodinamică, optică) etc.

Științe care au în prezent cel mai inalt nivel matematizările se numesc exacte. Desigur, matematica în sine este și o știință exactă.

Astfel, modelarea matematică -- metoda eficienta cunoștințe, dar nu este aplicabilă în toate științele și secțiunile lor, ci doar în acelea în care utilizarea matematicii a avansat suficient.

Bibliografie

1. Besov K. Istoria științei și tehnologiei din cele mai vechi timpuri până la sfârșitul secolului al XX-lea.- M: UNITI, 1997.- P.14-16.

2. Kolmogorov A.N. Matematică // Marea Enciclopedie Rusă / Ed. B.A. Vvedensky.- M: TSB, 1998 .- S.446-449.

3. Conceptul de științe naturale moderne /Ed. SI. Samygina.- Rostov-pe-Don: Phoenix, 1997 .- P.8-12.

4. Lipovko P.O. Conceptul de științe naturale moderne.- Rostov n/D: Phoenix, 2004 .- P.41-45.

5. Polikarpov V.S. Istoria științei și tehnologiei.- Rostov-pe-Don: Phoenix, 1999 .- P.56-59.

6. Stroyk D.Ya. Un scurt eseu despre istoria matematicii.- M: Colegiul editorial principal de fizică și matematică, 1984 .- P.21-53.

Găzduit pe Allbest.ru

Documente similare

Studiul dezvoltării istorice a matematicii în Imperiul Rusîn perioada secolelor XVIII-XIX ca ştiinţă a relaţiilor cantitative şi a formelor spaţiale ale lumii reale. Analiza nivelului de educație matematică și dezvoltarea acestuia de către oamenii de știință ruși.

rezumat, adăugat 26.01.2012


Contextul originii matematicii în Egiptul antic. Sarcini pentru calcularea „aha”. Știința egiptenilor antici. Problemă de la Papirusul Rhind. Geometria în Egiptul Antic. Proverbe ale marilor oameni de știință despre importanța matematicii. Importanța matematicii egiptene în timpul nostru.

rezumat, adăugat 24.05.2012


Apariția și principalele etape în dezvoltarea matematicii ca știință a structurilor, ordinii și relațiilor bazate pe operațiile de numărare, măsurare și descriere a formelor obiectelor reale. Dezvoltarea cunoștințelor de aritmetică și geometrie în Orientul Antic, Babilon și Grecia Antică.

prezentare, adaugat 17.12.2010


Studiul apariției matematicii și utilizarea metodelor matematice în China antică. Particularități ale problemelor chinezești în rezolvarea numerică a ecuațiilor și problemelor geometrice care duc la ecuații de gradul trei. Matematicieni remarcabili ai Chinei antice.

rezumat, adăugat 09.11.2010


Caracteristici generale ale culturii matematice a civilizațiilor antice. Principalele perioade cronologice ale originii și dezvoltării matematicii. Caracteristici ale matematicii în Egipt, Babilon, India și China în antichitate. Cultura matematică a indienilor din Mesoamerica.

prezentare, adaugat 20.09.2015


Istoria formării matematicii ca știință. Perioada matematicii elementare. Perioada de creare a matematicii variabilelor. Crearea geometriei analitice, calcul diferenţial şi integral. Dezvoltarea matematicii în Rusia în secolele XVIII-XIX.

rezumat, adăugat 09.10.2008


Caracteristici ale apariției și utilizării fracțiilor în Egipt. Caracteristici ale utilizării fracțiilor sexagesimale la Babilon, matematicienii și astronomii greci și arabi. Trăsături distinctive fractii in Roma antică iar Rus. Numerele fracționale în lumea modernă.

prezentare, adaugat 29.04.2014


Lucrarea este dedicată importanței matematicii, onoarea acesteia printre diferite galerii științifice. Іnformatsija, yaka dopomozhe zatsіkaviti uchnіv la vyvchenni matematică. Etapi dezvoltarea matematicii. Filosofia numărului pitagoreenilor. Formule matematice în fizică, chimie, psihologie.

lucrare de termen, adăugată 09.12.2009


Perioada nașterii matematicii (până în secolele VII-V î.Hr.). Timp de matematică constante(secolele VII-V î.Hr. - secolul XVII d.Hr.). Matematica variabilelor (secolele XVII-XIX). Perioada modernă de dezvoltare a matematicii. Caracteristicile matematicii pe calculator.

prezentare, adaugat 20.09.2015


matematica greaca. Evul Mediu și Renaștere. Începuturile matematicii moderne. Matematica modernă. Matematica se bazează nu pe logică, ci pe intuiție solidă. Problemele fundamentelor matematicii sunt filozofice.

Matematica începe cu aritmetica. Cu aritmetica, intrăm, așa cum a spus M. V. Lomonosov, în „porțile învățării”.

Cuvântul „aritmetică” provine din grecescul arithmos, care înseamnă „număr”. Această știință studiază operațiile asupra numerelor, diverse reguli de manipulare a acestora, te învață cum să rezolvi probleme care se rezumă la adunare, scădere, înmulțire și împărțire a numerelor. Aritmetica este adesea imaginată ca un prim pas în matematică, pe baza căruia este posibil să se studieze secțiunile sale mai complexe - algebră, analiză matematică etc.Aritmetica își are originea în țările din Orientul Antic: Babilon, China, India, Egipt. De exemplu, papirusul egiptean Rinda (numit după proprietarul său G. Rinda) datează din secolul al XX-lea. î.Hr e.

Comorile de cunoștințe matematice acumulate în țările din Orientul Antic au fost dezvoltate și continuate de oamenii de știință din Grecia Antică. Multe nume de oameni de știință implicați în aritmetică în lumea antică ne-au fost păstrate de istorie - Anaxagoras și Zenon, Euclid, Arhimede, Eratosthenes și Diophantus. Numele lui Pitagora (sec. VI î.Hr.) scânteie aici ca o stea strălucitoare. Pitagorei se închinau numerelor, crezând că acestea conţin toată armonia lumii. Numerelor individuale și perechilor de numere li s-au atribuit proprietăți speciale. Numerele 7 și 36 erau la mare cinste, în același timp s-a acordat atenție așa-ziselor numere perfecte, numere prietenoase etc.

În Evul Mediu, dezvoltarea aritmeticii este asociată și cu Orientul: India, țările lumii arabe și Asia Centrală. De la indieni au venit la noi numerele pe care le folosim, zero și sistemul de numere pozițional; din al-Kashi (secolul al XV-lea), Ulugbek - fracții zecimale.

Datorită dezvoltării comerțului și influenței culturii orientale încă din secolul al XIII-lea. interes crescând pentru aritmetică în Europa. Ar trebui să ne amintim numele omului de știință italian Leonardo din Pisa (Fibonacci), a cărui lucrare „Cartea Abacului” ia introdus pe europeni în principalele realizări ale matematicii din Orient și a fost începutul multor studii în aritmetică și algebră.

Odată cu inventarea tiparului (mijlocul secolului al XV-lea) au apărut primele cărți de matematică tipărite. Prima carte tipărită despre aritmetică a fost publicată în Italia în 1478. Aritmetica completă a matematicianului german M. Stiefel (începutul secolului al XVI-lea) conține deja numere negative și chiar ideea de a lua un logaritm.

Pe la secolul al XVI-lea dezvoltarea întrebărilor pur aritmetice a revărsat în curentul principal al algebrei, ca o piatră de hotar semnificativă, se poate remarca apariția lucrărilor omului de știință francez F. Vieta, în care numerele sunt indicate prin litere. De atunci, regulile de bază aritmetice au fost pe deplin înțelese din punctul de vedere al algebrei.

Obiectul de bază al aritmeticii este numărul. Numerele naturale, de ex. numerele 1, 2, 3, 4, ... etc., au apărut din numărarea elementelor specifice. Au trecut multe milenii înainte ca omul să învețe că doi fazani, două mâini, doi oameni etc. poate fi numit același cuvânt „doi”. O sarcină importantă a aritmeticii este să înveți să depășești semnificația specifică a numelor obiectelor numărate, să fii distras de la forma, dimensiunea, culoarea lor etc. În aritmetică, numerele se adună, se scad, se înmulțesc și se împart. Arta de a efectua rapid și precis aceste operații pe orice numere a fost mult timp considerată cea mai importantă sarcină a aritmeticii.Operațiile aritmetice pe numere au o varietate de proprietăți. Aceste proprietăți pot fi descrise în cuvinte, de exemplu: „Suma nu se schimbă de la o modificare a locurilor termenilor”, poate fi scrisă cu litere: a + b \u003d b + a, poate fi exprimată în termeni speciali.

Dintre conceptele importante introduse de aritmetică, trebuie remarcate proporțiile și procentele. Majoritatea conceptelor și metodelor de aritmetică se bazează pe compararea diferitelor relații dintre numere. În istoria matematicii, procesul de îmbinare a aritmeticii și geometriei a avut loc de-a lungul mai multor secole.

Cuvântul „aritmetică” poate fi înțeles astfel:

o disciplină academică care tratează în primul rând numerele raționale (numere întregi și fracții), operații asupra acestora și probleme rezolvate cu ajutorul acestor operații;


parte a clădirii istorice a matematicii, care a acumulat diverse informații despre calcule;


"aritmetică teoretică" - o parte a matematicii moderne care se ocupă cu construcția diferitelor sisteme numerice (naturale, întregi, raționale, reale, numere complexe și generalizările acestora);


„aritmetică formală” - o parte a logicii matematice care se ocupă cu analiza teoriei axiomatice a aritmeticii;


„aritmetică superioară” sau teoria numerelor, o parte a matematicii care se dezvoltă independentși

/Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician, 1989/