Faptul 1.
\(\bullet\) Luați un număr nenegativ \(a\) (adică \(a\geqslant 0\) ). Apoi (aritmetică) rădăcină pătrată din numărul \(a\) se numește un astfel de număr nenegativ \(b\), la pătrat obținem numărul \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(la fel ca )\quad a=b^2\] Din definiţie rezultă că \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Aceste restricții sunt o condiție importantă pentru existența unei rădăcini pătrate și trebuie reținute!
Amintiți-vă că orice număr la pătrat dă un rezultat nenegativ. Adică \(100^2=10000\geqslant 0\) și \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Ce este \(\sqrt(25)\)? Știm că \(5^2=25\) și \((-5)^2=25\) . Deoarece prin definiție trebuie să găsim un număr nenegativ, \(-5\) nu este potrivit, deci \(\sqrt(25)=5\) (deoarece \(25=5^2\) ).
Găsirea valorii \(\sqrt a\) se numește luarea rădăcinii pătrate a numărului \(a\) , iar numărul \(a\) se numește expresie rădăcină.
\(\bullet\) Pe baza definiției, expresiile \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , etc. nu au sens.

Faptul 2.
Pentru calcule rapide, va fi util să înveți tabelul de pătrate ale numerelor naturale de la \(1\) la \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(matrice)\]

Faptul 3.
Ce se poate face cu rădăcini pătrate?
\(\glonţ\) Suma sau diferența rădăcinilor pătrate NU este EGALĂ cu rădăcina pătrată a sumei sau diferenței, adică \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Astfel, dacă trebuie să calculați, de exemplu, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , atunci inițial trebuie să găsiți valorile \(\sqrt(25)\) și \(\sqrt (49)\ ) și apoi adună-le. Prin urmare, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Dacă valorile \(\sqrt a\) sau \(\sqrt b\) nu pot fi găsite la adăugarea \(\sqrt a+\sqrt b\), atunci o astfel de expresie nu este convertită și rămâne așa cum este. De exemplu, în suma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) putem găsi \(\sqrt(49)\) - aceasta este \(7\) , dar \(\sqrt 2\) nu poate fi convertit în orice fel, de aceea \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). În plus, această expresie, din păcate, nu poate fi simplificată în niciun fel.\(\bullet\) Produsul/coeficientul rădăcinilor pătrate este egal cu rădăcina pătrată a produsului/coeficientului, adică. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (cu condiția ca ambele părți ale egalităților să aibă sens)
Exemplu: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Folosind aceste proprietăți, este convenabil să găsiți rădăcinile pătrate ale numerelor mari prin factorizarea acestora.
Luați în considerare un exemplu. Găsiți \(\sqrt(44100)\) . Deoarece \(44100:100=441\) , atunci \(44100=100\cdot 441\) . Conform criteriului divizibilității, numărul \(441\) este divizibil cu \(9\) (deoarece suma cifrelor sale este 9 și este divizibil cu 9), prin urmare, \(441:9=49\) , adică \(441=9\ cdot 49\) .
Astfel, avem: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Să ne uităm la un alt exemplu: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Să arătăm cum să introduceți numere sub semnul rădăcinii pătrate folosind exemplul expresiei \(5\sqrt2\) (prescurtarea expresiei \(5\cdot \sqrt2\) ). Deoarece \(5=\sqrt(25)\) , atunci \ De asemenea, rețineți că, de exemplu,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

De ce este asta? Să explicăm cu exemplul 1). După cum ați înțeles deja, nu putem converti cumva numărul \(\sqrt2\) . Imaginează-ți că \(\sqrt2\) este un număr \(a\) . În consecință, expresia \(\sqrt2+3\sqrt2\) nu este altceva decât \(a+3a\) (un număr \(a\) plus încă trei numere identice \(a\) ). Și știm că aceasta este egală cu patru astfel de numere \(a\) , adică \(4\sqrt2\) .

Faptul 4.
\(\bullet\) Se spune adesea „nu se poate extrage rădăcina” atunci când nu se poate scăpa de semnul \(\sqrt () \ \) al rădăcinii (radicalului) atunci când se află valoarea unui număr. De exemplu, puteți înrădăcina numărul \(16\) deoarece \(16=4^2\) , deci \(\sqrt(16)=4\) . Dar să extragi rădăcina din numărul \(3\) , adică să găsești \(\sqrt3\) , este imposibil, deoarece nu există un astfel de număr care la pătrat să dea \(3\) .
Astfel de numere (sau expresii cu astfel de numere) sunt iraționale. De exemplu, numerele \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. sunt iraționale.
De asemenea, sunt iraționale numerele \(\pi\) (numărul „pi”, aproximativ egal cu \(3,14\) ), \(e\) (acest număr se numește numărul Euler, aproximativ egal cu \(2). ,7\) ) etc.
\(\bullet\) Vă rugăm să rețineți că orice număr va fi rațional sau irațional. Și împreună toate numerele raționale și toate numerele iraționale formează o mulțime numită set de numere reale (reale). Această mulțime este notă cu litera \(\mathbb(R)\) .
Aceasta înseamnă că toate numerele pe care le cunoaștem în prezent se numesc numere reale.

Faptul 5.
\(\bullet\) Modulul unui număr real \(a\) este un număr nenegativ \(|a|\) egal cu distanța de la punctul \(a\) la \(0\) pe real linia. De exemplu, \(|3|\) și \(|-3|\) sunt egale cu 3, deoarece distanțele de la punctele \(3\) și \(-3\) la \(0\) sunt același și egal cu \(3 \) .
\(\bullet\) Dacă \(a\) este un număr nenegativ, atunci \(|a|=a\) .
Exemplu: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Dacă \(a\) este un număr negativ, atunci \(|a|=-a\) .
Exemplu: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ei spun că pentru numerele negative, modulul „mâncă” minusul, iar numerele pozitive, precum și numărul \(0\) , modulul lasă neschimbat.
DAR această regulă se aplică numai numerelor. Dacă aveți o necunoscută \(x\) (sau o altă necunoscută) sub semnul modulului, de exemplu, \(|x|\) , despre care nu știm dacă este pozitiv, egal cu zero sau negativ, atunci scăpam de modulul nu putem. În acest caz, această expresie rămâne astfel: \(|x|\) . \(\bullet\) Următoarele formule sunt valabile: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( furnizat ) a\geqslant 0\] Următoarea greșeală este adesea făcută: ei spun că \(\sqrt(a^2)\) și \((\sqrt a)^2\) sunt același lucru. Acest lucru este adevărat numai atunci când \(a\) este un număr pozitiv sau zero. Dar dacă \(a\) este un număr negativ, atunci acest lucru nu este adevărat. Este suficient să luăm în considerare un astfel de exemplu. Să luăm numărul \(-1\) în loc de \(a\). Atunci \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , dar expresia \((\sqrt (-1))^2\) nu există deloc (pentru că este imposibil sub semnul rădăcinii pune numere negative!).
Prin urmare, vă atragem atenția asupra faptului că \(\sqrt(a^2)\) nu este egal cu \((\sqrt a)^2\) ! Exemplu: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), deoarece \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Deoarece \(\sqrt(a^2)=|a|\) , atunci \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (expresia \(2n\) denotă un număr par)
Adică, atunci când extrageți rădăcina dintr-un număr care este într-o anumită măsură, acest grad este înjumătățit.
Exemplu:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (rețineți că, dacă modulul nu este setat, atunci se dovedește că rădăcina numărului este egală cu \(-25) \) ; dar ne amintim, care, prin definiția rădăcinii, aceasta nu poate fi: atunci când extragem rădăcina, ar trebui să obținem întotdeauna un număr pozitiv sau zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (deoarece orice număr la o putere pară este nenegativ)

Faptul 6.
Cum se compară două rădăcini pătrate?
\(\bullet\) Adevărat pentru rădăcini pătrate: dacă \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aExemplu:
1) comparați \(\sqrt(50)\) și \(6\sqrt2\) . În primul rând, transformăm a doua expresie în \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Astfel, deoarece \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Între care numere întregi se află \(\sqrt(50)\) ?
Deoarece \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) și \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Comparați \(\sqrt 2-1\) și \(0,5\) . Să presupunem că \(\sqrt2-1>0,5\): \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((adăugați unul pe ambele părți))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((pătrat ambele părți))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vedem că am obținut o inegalitate incorectă. Prin urmare, presupunerea noastră a fost greșită și \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Rețineți că adăugarea unui anumit număr de ambele părți ale inegalității nu afectează semnul acestuia. Înmulțirea/împărțirea ambelor părți ale unei inegalități cu un număr pozitiv, de asemenea, nu îi schimbă semnul, dar înmulțirea/împărțirea cu un număr negativ inversează semnul inegalității!
Ambele părți ale unei ecuații/inegalități pot fi la pătrat NUMAI DACĂ ambele părți sunt nenegative. De exemplu, în inegalitatea din exemplul anterior, puteți pătra ambele părți, în inegalitatea \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Rețineți că \[\begin(aliniat) &\sqrt 2\aproximativ 1,4\\ &\sqrt 3\aproximativ 1,7 \end(aliniat)\] Cunoașterea semnificației aproximative a acestor numere vă va ajuta atunci când comparați numerele! \(\bullet\) Pentru a extrage rădăcina (dacă este extrasă) dintr-un număr mare care nu se află în tabelul de pătrate, trebuie mai întâi să determinați între ce „sute” este, apoi între ce „zeci”, și apoi determinați ultima cifră a acestui număr. Să arătăm cum funcționează cu un exemplu.
Luați \(\sqrt(28224)\) . Știm că \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) și așa mai departe. Rețineți că \(28224\) este între \(10\,000\) și \(40\,000\) . Prin urmare, \(\sqrt(28224)\) este între \(100\) și \(200\) .
Acum să stabilim între care „zeci” este numărul nostru (adică, de exemplu, între \(120\) și \(130\) ). De asemenea, știm din tabelul pătratelor că \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., apoi \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Deci vedem că \(28224\) este între \(160^2\) și \(170^2\) . Prin urmare, numărul \(\sqrt(28224)\) este între \(160\) și \(170\) .
Să încercăm să determinăm ultima cifră. Să ne amintim ce numere cu o singură cifră dau la pătrat la sfârșitul \ (4 \) ? Acestea sunt \(2^2\) și \(8^2\) . Prin urmare, \(\sqrt(28224)\) se va termina fie cu 2, fie cu 8. Să verificăm acest lucru. Găsiți \(162^2\) și \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Prin urmare, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Pentru rezolvarea adecvată a examenului de matematică, în primul rând, este necesară studierea materialului teoretic, care introduce numeroase teoreme, formule, algoritmi etc. La prima vedere, poate părea că acest lucru este destul de simplu. Totuși, găsirea unei surse în care teoria pentru examenul unificat de stat la matematică să fie prezentată într-un mod ușor și ușor de înțeles pentru elevii cu orice nivel de pregătire este, de fapt, o sarcină destul de dificilă. Manualele școlare nu pot fi ținute întotdeauna la îndemână. Iar găsirea formulelor de bază pentru examenul la matematică poate fi dificilă chiar și pe Internet.

De ce este atât de important să studiezi teoria la matematică, nu doar pentru cei care susțin examenul?

1. Pentru că îți lărgește orizonturile. Studiul materialului teoretic în matematică este util pentru oricine dorește să obțină răspunsuri la o gamă largă de întrebări legate de cunoașterea lumii. Totul în natură este ordonat și are o logică clară. Acesta este exact ceea ce se reflectă în știință, prin care este posibil să înțelegem lumea.
2. Pentru că dezvoltă intelectul. Studiind materialele de referință pentru examenul de matematică, precum și rezolvarea diferitelor probleme, o persoană învață să gândească și să raționeze logic, să formuleze gândurile corect și clar. Își dezvoltă capacitatea de a analiza, generaliza, trage concluzii.

Vă invităm să evaluați personal toate avantajele abordării noastre de sistematizare și prezentare a materialelor educaționale.

Elevii întreabă mereu: „De ce nu pot folosi un calculator la un examen de matematică? Cum se extrage rădăcina pătrată a unui număr fără un calculator? Să încercăm să răspundem la această întrebare.

Cum se extrage rădăcina pătrată a unui număr fără ajutorul unui calculator?

Acțiune extragerea rădăcinii pătrate opusul pătrarii.

√81= 9 9 2 =81

Dacă luăm rădăcina pătrată a unui număr pozitiv și rezultatul la pătrat, obținem același număr.

Din numere mici care sunt pătrate exacte ale numerelor naturale, de exemplu 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, rădăcinile pătrate pot fi extrase verbal. De obicei, la școală se preda un tabel cu pătrate de numere naturale până la douăzeci. Cunoscând acest tabel, este ușor să extragi rădăcinile pătrate din numerele 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Din numerele mai mari de 400, poți extrage folosind metoda de selecție folosind câteva sfaturi. Să încercăm un exemplu pentru a lua în considerare această metodă.

Exemplu: Extrageți rădăcina numărului 676.

Observăm că 20 2 \u003d 400 și 30 2 \u003d 900, ceea ce înseamnă 20< √676 < 900.

Pătratele exacte ale numerelor naturale se termină cu 0; unu; patru; 5; 6; 9.
Numărul 6 este dat de 4 2 și 6 2 .
Deci, dacă rădăcina este luată de la 676, atunci este fie 24, fie 26.

Rămâne de verificat: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Răspuns: √676 = 26 .

Mai mult exemplu: √6889 .

Deoarece 80 2 \u003d 6400 și 90 2 \u003d 8100, apoi 80< √6889 < 90.
Numărul 9 este dat de 3 2 și 7 2, atunci √6889 este fie 83, fie 87.

Verificați: 83 2 = 6889.

Răspuns: √6889 = 83 .

Dacă vi se pare dificil de rezolvat prin metoda de selecție, atunci puteți factoriza expresia rădăcină.

De exemplu, găsiți √893025.

Să factorizăm numărul 893025, ține minte, ai făcut-o în clasa a șasea.

Se obține: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Mai mult exemplu: √20736. Să factorizăm numărul 20736:

Se obține √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Desigur, factoring necesită cunoașterea criteriilor de divizibilitate și abilități de factoring.

Și, în sfârșit, există regula rădăcinii pătrate. Să ne uităm la această regulă cu un exemplu.

Calculați √279841.

Pentru a extrage rădăcina unui număr întreg cu mai multe cifre, îl împărțim de la dreapta la stânga în fețe care conțin câte 2 cifre fiecare (poate fi o cifră în fața extremă din stânga). Scrie asa 27'98'41

Pentru a obține prima cifră a rădăcinii (5), extragem rădăcina pătrată a celui mai mare pătrat exact conținut în prima față din stânga (27).
Apoi pătratul primei cifre a rădăcinii (25) este scăzut din prima față și următoarea față (98) este atribuită (demolată) diferenței.
În stânga numărului primit 298, ei scriu cifra dublă a rădăcinii (10), împart la ea numărul tuturor zecilor din numărul obținut anterior (29/2 ≈ 2), experimentează câtul (102 ∙ 2 = 204 nu trebuie să fie mai mare de 298) și scrieți (2) după prima cifră a rădăcinii.
Apoi, coeficientul rezultat 204 este scăzut din 298, iar următoarea fațetă (41) este atribuită (demolată) diferenței (94).
În stânga numărului rezultat 9441, ei scriu produsul dublu al cifrelor rădăcinii (52 ∙ 2 = 104), împarte la acest produs numărul tuturor zecilor numărului 9441 (944/104 ≈ 9), experiență câtul (1049 ∙ 9 = 9441) ar trebui să fie 9441 și scrieți-l (9) după a doua cifră a rădăcinii.

Am primit răspunsul √279841 = 529.

În mod similar, extrageți rădăcinile zecimalelor. Numai numărul radical trebuie împărțit în fețe, astfel încât virgula să fie între fețe.

Exemplu. Găsiți valoarea √0,00956484.

Nu uitați că, dacă fracția zecimală are un număr impar de zecimale, rădăcina pătrată nu este extrasă exact din ea.

Deci, acum ați văzut trei moduri de a extrage rădăcina. Alege-l pe cel care ti se potriveste cel mai bine si exerseaza-te. Pentru a învăța cum să rezolvi problemele, trebuie să le rezolvi. Și dacă aveți întrebări, înscrieți-vă la lecțiile mele.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Atunci când rezolvă diverse probleme de la cursul de matematică și fizică, elevii și studenții se confruntă adesea cu nevoia de a extrage rădăcini de gradul doi, trei sau al n-lea. Desigur, în sec tehnologia Informatiei Nu va fi dificil să rezolvi o astfel de problemă folosind un calculator. Cu toate acestea, există situații în care este imposibil să folosești un asistent electronic.

De exemplu, este interzis să aduceți electronice la multe examene. În plus, este posibil ca calculatorul să nu fie la îndemână. În astfel de cazuri, este util să cunoașteți cel puțin câteva metode pentru calcularea manuală a radicalilor.

Una dintre cele mai simple moduri de a calcula rădăcinile este să folosind o masă specială. Ce este și cum să-l folosești corect?

Folosind tabelul, puteți găsi pătratul oricărui număr de la 10 la 99. În același timp, rândurile tabelului conțin zeci de valori, iar coloanele conțin valori unitare. Celula de la intersecția unui rând și a unei coloane conține un pătrat număr din două cifre. Pentru a calcula pătratul lui 63, trebuie să găsiți un rând cu valoarea 6 și o coloană cu valoarea 3. La intersecție, găsim o celulă cu numărul 3969.

Deoarece extragerea rădăcinii este operația inversă de pătrat, pentru a efectua această acțiune, trebuie să faceți invers: mai întâi găsiți celula cu numărul al cărui radical doriți să îl calculați, apoi determinați răspunsul din valorile coloanei și rândului. Ca exemplu, luați în considerare calculul rădăcinii pătrate a lui 169.

Găsim o celulă cu acest număr în tabel, pe orizontală determinăm zecile - 1, pe verticală pe cele - 3. Răspuns: √169 = 13.

În mod similar, puteți calcula rădăcinile gradului cubic și al n-lea, folosind tabelele corespunzătoare.

Avantajul metodei este simplitatea ei și absența calculelor suplimentare. Dezavantajele sunt evidente: metoda poate fi folosită doar pentru o gamă limitată de numere (numărul pentru care se găsește rădăcina trebuie să fie între 100 și 9801). În plus, nu va funcționa dacă numărul dat nu este în tabel.

factorizare primara

Dacă tabelul de pătrate nu este la îndemână sau cu ajutorul lui a fost imposibil să găsiți rădăcina, puteți încerca descompuneți numărul de sub rădăcină în factori primi. Factorii primi sunt cei care pot fi împărțiți complet (fără rest) doar de ei înșiși sau de unul singur. Exemplele ar fi 2, 3, 5, 7, 11, 13 etc.

Luați în considerare calculul rădăcinii folosind exemplul √576. Să-l descompunem în factori simpli. Obținem următorul rezultat: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Folosind proprietatea principală a rădăcinilor √a² = a, scăpăm de rădăcini și pătrate, după care calculăm răspunsul: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Ce să faci dacă vreunul dintre factori nu are propria sa pereche? De exemplu, luați în considerare calculul lui √54. După factorizare, obținem rezultatul sub următoarea formă: Partea nedemontabilă poate fi lăsată sub rădăcină. Pentru majoritatea problemelor de geometrie și algebră, un astfel de răspuns va fi considerat ca fiind cel final. Dar dacă este nevoie să calculați valori aproximative, puteți utiliza metodele care vor fi discutate mai târziu.

metoda lui Heron

Ce să faci când trebuie să știi cel puțin aproximativ care este rădăcina extrasă (dacă este imposibil să obții o valoare întreagă)? Un rezultat rapid și destul de precis se obține prin aplicarea metodei Heron.. Esența sa constă în utilizarea unei formule aproximative:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

unde R este numărul a cărui rădăcină urmează să fie calculată, a este cel mai apropiat număr a cărui rădăcină este cunoscută.

Să vedem cum funcționează metoda în practică și să evaluăm cât de precisă este. Să calculăm cu ce este egal √111. Cel mai apropiat număr de 111, a cărui rădăcină este cunoscută, este 121. Astfel, R = 111, a = 121. Înlocuiți valorile în formula:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Acum să verificăm acuratețea metodei:

10,55² = 111,3025.

Eroarea metodei a fost de aproximativ 0,3. Dacă trebuie îmbunătățită acuratețea metodei, puteți repeta pașii descriși mai devreme:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Să verificăm exactitatea calculului:

10,536² = 111,0073.

După aplicarea repetată a formulei, eroarea a devenit destul de nesemnificativă.

Calculul rădăcinii prin împărțirea într-o coloană

Această metodă de a găsi valoarea rădăcinii pătrate este puțin mai complicată decât cele anterioare. Cu toate acestea, este cea mai precisă dintre alte metode de calcul fără calculator..

Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcina pătrată cu o precizie de 4 zecimale. Să analizăm algoritmul de calcul folosind exemplul unui număr arbitrar 1308.1912.

1. Împărțiți foaia de hârtie în 2 părți cu o linie verticală, apoi trageți o altă linie din ea spre dreapta, puțin sub marginea de sus. Scriem numărul în partea stângă, împărțindu-l în grupuri de 2 cifre, deplasându-ne la dreapta și la stânga punctului zecimal. Prima cifră din stânga poate fi fără o pereche. Dacă semnul lipsește în partea dreaptă a numărului, atunci trebuie adăugat 0. În cazul nostru, obținem 13 08.19 12.
2. Să selectăm cel mai mare număr al cărui pătrat va fi mai mic sau egal cu primul grup de cifre. În cazul nostru, acesta este 3. Să-l scriem în dreapta sus; 3 este prima cifră a rezultatului. În dreapta jos, indicăm 3 × 3 = 9; acest lucru va fi necesar pentru calculele ulterioare. Scădeți 9 din 13 într-o coloană, obținem restul 4.
3. Să adăugăm următoarea pereche de numere la restul 4; obținem 408.
4. Înmulțiți numărul din dreapta sus cu 2 și scrieți-l în dreapta jos, adăugând _ x _ = la el. Obținem 6_ x _ =.
5. În loc de liniuțe, trebuie să înlocuiți același număr, mai mic sau egal cu 408. Obținem 66 × 6 \u003d 396. Să scriem 6 în dreapta sus, deoarece aceasta este a doua cifră a rezultatului. Scădeți 396 din 408, obținem 12.
6. Să repetăm ​​pașii 3-6. Deoarece cifrele deduse în jos sunt în partea fracționară a numărului, este necesar să puneți o virgulă zecimală în dreapta sus după 6. Să scriem rezultatul dublat cu liniuțe: 72_ x _ =. Un număr potrivit ar fi 1: 721 × 1 = 721. Să-l notăm ca răspuns. Să scădem 1219 - 721 = 498.
7. Să executăm secvența de acțiuni prezentată în paragraful anterior de încă trei ori pentru a obține numărul necesar de zecimale. Dacă nu există suficiente semne pentru calcule ulterioare, două zerouri trebuie adăugate la numărul curent din stânga.

Ca rezultat, obținem răspunsul: √1308,1912 ≈ 36,1689. Dacă verificați acțiunea cu un calculator, vă puteți asigura că toate caracterele au fost determinate corect.

Calculul pe biți al valorii rădăcinii pătrate

Metoda este foarte precisă. În plus, este destul de înțeles și nu necesită memorare formule sau un algoritm complex de acțiuni, deoarece esența metodei este selectarea rezultatului corect.

Să extragem rădăcina din numărul 781. Să luăm în considerare în detaliu succesiunea acțiunilor.

1. Aflați care cifră a valorii rădăcinii pătrate va fi cea mai mare. Pentru a face acest lucru, să pătratăm 0, 10, 100, 1000 etc. și să aflăm între care dintre ele se află numărul rădăcinii. Primim acel 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Să luăm valoarea zecilor. Pentru a face acest lucru, vom ridica pe rând la puterea lui 10, 20, ..., 90, până când obținem un număr mai mare decât 781. În cazul nostru, obținem 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Valoarea rezultatului n va fi în 20< n <30.
3. Similar cu pasul anterior, este selectată valoarea cifrei unităților. Pătratăm alternativ 21,22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 7827.< n < 28.
4. Fiecare cifră ulterioară (zecimi, sutimi etc.) este calculată în același mod ca cel prezentat mai sus. Calculele sunt efectuate până când se obține precizia necesară.

Extragerea unei rădăcini dintr-un număr mare. Dragi prieteni!În acest articol, vă vom arăta cum să luați rădăcina unui număr mare fără un calculator. Acest lucru este necesar nu numai pentru rezolvarea anumitor tipuri de probleme de USE (există cele pentru mișcare), ci și pentru dezvoltarea generală a matematicii, este de dorit să cunoaștem această tehnică analitică.

S-ar părea că totul este simplu: factorizați și extrageți. Nu e nicio problema. De exemplu, numărul 291600, când este extins, va da produsul:

Noi calculăm:

Există un DAR! Metoda este bună dacă divizorii 2, 3, 4 și așa mai departe sunt ușor de determinat. Dar dacă numărul din care extragem rădăcina este un produs al numerelor prime? De exemplu, 152881 este produsul numerelor 17, 17, 23, 23. Încercați să găsiți imediat acești divizori.

Esența metodei pe care o luăm în considerare- aceasta este o analiză pură. Rădăcina cu îndemânarea acumulată se găsește rapid. Dacă abilitate nu este dezvoltată, dar abordarea este pur și simplu înțeleasă, atunci este puțin mai lent, dar totuși determinat.

Să luăm rădăcina lui 190969.

Mai întâi, să stabilim între ce numere (multiplii de o sută) se află rezultatul nostru.

Evident, rezultatul rădăcinii unui număr dat se află în intervalul de la 400 la 500, deoarece

400 2 =160000 și 500 2 =250000

Într-adevăr:

la mijloc, mai aproape de 160.000 sau 250.000?

Numărul 190969 este undeva la mijloc, dar încă mai aproape de 160000. Putem concluziona că rezultatul rădăcinii noastre va fi mai mic de 450. Să verificăm:

Într-adevăr, este mai puțin de 450, din 190.969< 202 500.

Acum să verificăm numărul 440:

Deci rezultatul nostru este mai mic de 440, din moment ce 190 969 < 193 600.

Verificarea numarului 430:

Am stabilit că rezultatul acestei rădăcini se află în intervalul de la 430 la 440.

Produsul numerelor care se termină cu 1 sau 9 dă un număr care se termină cu 1. De exemplu, 21 de ori 21 este egal cu 441.

Produsul numerelor care se termină cu 2 sau 8 dă un număr care se termină cu 4. De exemplu, 18 ori 18 este egal cu 324.

Produsul numerelor care se termină cu 5 dă un număr care se termină cu 5. De exemplu, 25 ori 25 este egal cu 625.

Produsul numerelor care se termină cu 4 sau 6 dă un număr care se termină cu 6. De exemplu, 26 de ori 26 este egal cu 676.

Produsul numerelor care se termină cu 3 sau 7 dă un număr care se termină cu 9. De exemplu, 17 ori 17 este egal cu 289.

Deoarece numărul 190969 se termină cu numărul 9, atunci acest produs este fie numărul 433, fie numărul 437.

*Doar ei, la pătrat, pot da 9 la final.

Verificăm:

Deci rezultatul rădăcinii va fi 437.

Adică am cam „simțit” răspunsul corect.

După cum puteți vedea, maximul necesar este să efectuați 5 acțiuni într-o coloană. Poate vei ajunge imediat la subiect, sau vei face doar trei acțiuni. Totul depinde de cât de precis faceți estimarea inițială a numărului.

Extrageți propria rădăcină din 148996

Un astfel de discriminant se obține în problema:

Autonava trece de-a lungul raului pana la destinatia 336 km si dupa parcare se intoarce la punctul de plecare. Găsiți viteza navei în apă nemișcată, dacă viteza curentului este de 5 km/h, parcarea durează 10 ore, iar nava se întoarce la punctul de plecare la 48 de ore după părăsirea acestuia. Dati raspunsul in km/h.

Vizualizați soluția

Rezultatul rădăcinii este între numerele 300 și 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Într-adevăr, 90000<148996<160000.

Esența raționamentului suplimentar este de a determina modul în care numărul 148996 este situat (distanțat) în raport cu aceste numere.

Calculați diferențele 148996 - 90000=58996 și 160000 - 148996=11004.

Se pare că 148996 este aproape (mult mai aproape) de 160000. Prin urmare, rezultatul rădăcinii va fi cu siguranță mai mare decât 350 și chiar 360.

Putem concluziona că rezultatul nostru este mai mare decât 370. În plus, este clar: deoarece 148996 se termină cu numărul 6, aceasta înseamnă că trebuie să pătrați numărul care se termină fie cu 4, fie cu 6. *Numai aceste numere, la pătrat, dau în sfarsitul 6.

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.