Metoda Gauss, numită și metoda eliminării succesive a necunoscutelor, constă în următoarele. Folosind transformări elementare, sistemul de ecuații liniare este adus într-o astfel de formă încât matricea sa de coeficienți se dovedește a fi trapezoidal (la fel ca triunghiular sau în trepte) sau aproape de trapezoidal (cursul direct al metodei Gauss, atunci - doar o mișcare directă). Un exemplu de astfel de sistem și soluția acestuia sunt prezentate în figura de mai sus.

Într-un astfel de sistem, ultima ecuație conține o singură variabilă și valoarea acesteia poate fi găsită în mod unic. Apoi valoarea acestei variabile este înlocuită în ecuația anterioară ( Revers gaussian , apoi - doar o mișcare inversă), din care se găsește variabila anterioară și așa mai departe.

Într-un sistem trapezoidal (triunghiular), după cum vedem, a treia ecuație nu mai conține variabile yși X, iar a doua ecuație - variabilă X .

După ce matricea sistemului a luat o formă trapezoidală, nu mai este dificil să rezolvați problema compatibilității sistemului, să determinați numărul de soluții și să găsiți soluțiile în sine.

Avantajele metodei:

1. la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu mai mult de trei ecuații și necunoscute, metoda Gauss nu este la fel de greoaie ca metoda Cramer, deoarece sunt necesare mai puține calcule la rezolvarea metodei Gauss;
2. folosind metoda Gauss, poți rezolva sisteme nedefinite de ecuații liniare, adică având o soluție comună (și le vom analiza în această lecție), iar folosind metoda Cramer, poți afirma doar că sistemul este incert;
3. poți rezolva sisteme de ecuații liniare în care numărul de necunoscute nu este egal cu numărul de ecuații (le vom analiza și în această lecție);
4. metoda se bazează pe metode elementare (școlare) - metoda de substituire a necunoscutelor și metoda de adunare a ecuațiilor, pe care am atins-o în articolul corespunzător.

Pentru ca toată lumea să fie impregnată de simplitatea cu care se rezolvă sistemele de ecuații liniare trapezoidale (triunghiulare, trepte), prezentăm soluția unui astfel de sistem folosind cursa inversă. O soluție rapidă la acest sistem a fost prezentată în imaginea de la începutul lecției.

Exemplul 1 Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind mișcarea inversă:

Soluţie. În acest sistem trapezoidal, variabila z se găsește în mod unic din a treia ecuație. Inlocuim valoarea acesteia in a doua ecuatie si obtinem valoarea variabilei y:

Acum știm valorile a două variabile - zși y. Le înlocuim în prima ecuație și obținem valoarea variabilei X:

Din pașii anteriori, scriem soluția sistemului de ecuații:

Pentru a obține un astfel de sistem trapezoidal de ecuații liniare, pe care l-am rezolvat foarte simplu, este necesară aplicarea unei mișcări directe asociate transformărilor elementare ale sistemului de ecuații liniare. De asemenea, nu este foarte greu.

Transformări elementare ale unui sistem de ecuații liniare

Repetând metoda școlară de adunare algebrică a ecuațiilor sistemului, am aflat că la una dintre ecuațiile sistemului se poate adăuga o altă ecuație a sistemului, iar fiecare dintre ecuații poate fi înmulțită cu câteva numere. Ca rezultat, obținem un sistem de ecuații liniare echivalent cu cel dat. În ea, o ecuație conținea deja o singură variabilă, înlocuind valoarea căreia în alte ecuații, ajungem la o soluție. O astfel de adăugare este unul dintre tipurile de transformare elementară a sistemului. Când folosim metoda Gauss, putem folosi mai multe tipuri de transformări.

Animația de mai sus arată cum sistemul de ecuații se transformă treptat într-unul trapezoidal. Adică, cel pe care l-ați văzut la prima animație și v-ați asigurat că este ușor să găsiți valorile tuturor necunoscutelor din ea. Cum să efectuați o astfel de transformare și, desigur, exemple, vor fi discutate în continuare.

La rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu orice număr de ecuații și necunoscute în sistemul de ecuații și în matricea extinsă a sistemului poate sa:

1. linii de schimb (acesta a fost menționat chiar la începutul acestui articol);
2. dacă în urma altor transformări au apărut linii egale sau proporționale, acestea pot fi șterse, cu excepția uneia;
3. ștergeți rândurile „nule”, unde toți coeficienții sunt egali cu zero;
4. înmulțiți sau împărțiți orice șir cu un număr;
5. adăugați la orice linie o altă linie înmulțită cu un număr.

În urma transformărilor, obținem un sistem de ecuații liniare echivalent cu cel dat.

Algoritm și exemple de rezolvare prin metoda Gauss a unui sistem de ecuații liniare cu o matrice pătrată a sistemului

Luați în considerare mai întâi soluția sistemelor de ecuații liniare în care numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuații. Matricea unui astfel de sistem este pătrată, adică numărul de rânduri din acesta este egal cu numărul de coloane.

Exemplul 2 Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Rezolvând sisteme de ecuații liniare folosind metode școlare, am înmulțit termen cu termen una dintre ecuații cu un anumit număr, astfel încât coeficienții primei variabile din cele două ecuații să fie numere opuse. Când se adună ecuații, această variabilă este eliminată. Metoda Gauss funcționează într-un mod similar.

A simplifica aspect solutii compune matricea augmentată a sistemului:

În această matrice, coeficienții necunoscutelor sunt situați în stânga înaintea barei verticale, iar membrii liberi sunt în dreapta după bara verticală.

Pentru comoditatea împărțirii coeficienților variabilelor (pentru a obține o împărțire la unu) schimbați primul și al doilea rând din matricea sistemului. Obținem un sistem echivalent cu cel dat, deoarece în sistemul de ecuații liniare se pot rearanja ecuațiile:

Cu noua prima ecuație elimina variabila X din a doua și din toate ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, adăugați primul rând înmulțit cu (în cazul nostru cu ) la al doilea rând al matricei, iar primul rând înmulțit cu (în cazul nostru cu ) la al treilea rând.

Acest lucru este posibil pentru că

Dacă au existat mai mult de trei ecuații în sistemul nostru, atunci prima linie ar trebui adăugată la toate ecuațiile ulterioare, înmulțită cu raportul coeficienților corespunzători, luați cu semnul minus.

Ca rezultat, obținem o matrice echivalentă cu sistemul dat al unui nou sistem de ecuații, în care toate ecuațiile, începând cu a doua nu conțin o variabilă X :

Pentru a simplifica al doilea rând al sistemului rezultat, îl înmulțim cu și obținem din nou matricea sistemului de ecuații echivalent cu acest sistem:

Acum, păstrând prima ecuație a sistemului rezultat neschimbată, folosind a doua ecuație, eliminăm variabila y din toate ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, adăugați al doilea rând înmulțit cu (în cazul nostru, cu ) la al treilea rând al matricei sistemului.

Dacă au existat mai mult de trei ecuații în sistemul nostru, atunci a doua linie ar trebui adăugată la toate ecuațiile ulterioare, înmulțită cu raportul coeficienților corespunzători, luați cu semnul minus.

Ca rezultat, obținem din nou matricea sistemului echivalent cu sistemul dat de ecuații liniare:

Am obținut un sistem trapezoidal de ecuații liniare echivalent cu cel dat:

Dacă numărul de ecuații și variabile este mai mare decât în ​​exemplul nostru, atunci procesul de eliminare secvențială a variabilelor continuă până când matricea sistemului devine trapezoidală, ca în exemplul nostru demonstrativ.

Vom găsi soluția „de la capăt” - invers. Pentru asta din ultima ecuație pe care o determinăm z:
.
Înlocuind această valoare în ecuația anterioară, găsi y:

Din prima ecuație găsi X:

Răspuns: soluția acestui sistem de ecuații - .

: în acest caz, același răspuns va fi dat dacă sistemul are o soluție unică. Dacă sistemul are un număr infinit de soluții, atunci va fi și răspunsul, iar acesta este subiectul celei de-a cincea părți a acestei lecții.

Rezolvați singur un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss și apoi uitați-vă la soluție

În fața noastră este din nou un exemplu de sistem consistent și definit de ecuații liniare, în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute. Diferența față de exemplul nostru demonstrativ de la algoritm este că există deja patru ecuații și patru necunoscute.

Exemplul 4 Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss:

Acum trebuie să utilizați a doua ecuație pentru a exclude variabila din ecuațiile ulterioare. Să cheltuim munca pregatitoare. Pentru a face mai convenabil raportul dintre coeficienți, trebuie să obțineți o unitate în a doua coloană a celui de-al doilea rând. Pentru a face acest lucru, scădeți al treilea rând din al doilea rând și înmulțiți al doilea rând rezultat cu -1.

Să efectuăm acum eliminarea efectivă a variabilei din a treia și a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, adăugați al doilea, înmulțit cu , la a treia linie, iar al doilea, înmulțit cu , la a patra.

Acum, folosind a treia ecuație, eliminăm variabila din a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, la a patra linie, adăugați a treia, înmulțit cu . Obținem o matrice extinsă de formă trapezoidală.

Am obținut un sistem de ecuații, care este echivalent cu sistemul dat:

Prin urmare, sistemele rezultate și date sunt consistente și definite. Găsim soluția finală „de la capăt”. Din a patra ecuație, putem exprima direct valoarea variabilei „x patrulea”:

Inlocuim aceasta valoare in a treia ecuatie a sistemului si obtinem

,

,

În sfârșit, înlocuirea valorii

În prima ecuație dă

,

unde găsim "x primul":

Răspuns: Acest sistem de ecuații are o soluție unică. .

De asemenea, puteți verifica soluția sistemului pe un calculator care rezolvă prin metoda lui Cramer: în acest caz, același răspuns va fi dat dacă sistemul are o soluție unică.

Rezolvarea prin metoda Gauss a problemelor aplicate pe exemplul unei probleme pentru aliaje

Sistemele de ecuații liniare sunt folosite pentru a modela obiecte reale ale lumii fizice. Să rezolvăm una dintre aceste probleme - pentru aliaje. Sarcini similare - sarcini pentru amestecuri, costul sau greutatea specifică a mărfurilor individuale dintr-un grup de mărfuri și altele asemenea.

Exemplul 5 Trei bucăți de aliaj au o masă totală de 150 kg. Primul aliaj conține 60% cupru, al doilea - 30%, al treilea - 10%. În același timp, în al doilea și al treilea aliaj luate împreună, cuprul este cu 28,4 kg mai puțin decât în ​​primul aliaj, iar în al treilea aliaj, cuprul este cu 6,2 kg mai puțin decât în ​​al doilea. Aflați masa fiecărei piese de aliaj.

Soluţie. Compunem un sistem de ecuații liniare:

Înmulțind a doua și a treia ecuație cu 10, obținem un sistem echivalent de ecuații liniare:

Compunem matricea extinsă a sistemului:

Atenție, mișcare directă. Adunând (în cazul nostru, scăzând) un rând, înmulțit cu un număr (se aplică de două ori), cu matricea extinsă a sistemului au loc următoarele transformări:

Cursa dreaptă s-a încheiat. Am obținut o matrice extinsă de formă trapezoidală.

Să folosim inversul. Găsim o soluție de la final. Vedem asta .

Din a doua ecuație găsim

Din a treia ecuație -

De asemenea, puteți verifica soluția sistemului pe un calculator care rezolvă prin metoda lui Cramer: în acest caz, același răspuns va fi dat dacă sistemul are o soluție unică.

Simplitatea metodei Gauss este dovedită de faptul că matematicianul german Carl Friedrich Gauss i-a luat doar 15 minute pentru ao inventa. Pe lângă metoda numelui său, din opera lui Gauss, dictonul „Nu trebuie să confundăm ceea ce ni se pare incredibil și nefiresc cu absolut imposibil” este un fel de scurtă instrucțiune pentru a face descoperiri.

În multe probleme aplicate, poate să nu existe o a treia restricție, adică o a treia ecuație, atunci este necesar să se rezolve un sistem de două ecuații cu trei necunoscute folosind metoda Gauss sau, dimpotrivă, există mai puține necunoscute decât ecuații. Acum începem să rezolvăm astfel de sisteme de ecuații.

Folosind metoda Gauss, puteți determina dacă orice sistem este consecvent sau inconsecvent n ecuații liniare cu n variabile.

Metoda Gauss și sisteme de ecuații liniare cu un număr infinit de soluții

Următorul exemplu este comun, dar sistem nedefinit ecuații liniare, adică având un număr infinit de soluții.

După efectuarea transformărilor în matricea extinsă a sistemului (permutarea rândurilor, înmulțirea și împărțirea rândurilor cu un anumit număr, adăugarea unui rând la altul), rânduri de formă

Dacă în toate ecuaţiile având forma

Membrii liberi sunt egali cu zero, asta înseamnă că sistemul este nedefinit, adică are un număr infinit de soluții, iar ecuațiile de acest tip sunt „de prisos” și sunt excluse din sistem.

Exemplul 6

Soluţie. Să compunem matricea extinsă a sistemului. Apoi, folosind prima ecuație, eliminăm variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, la al doilea, al treilea și al patrulea rând, adăugați primul, înmulțit cu , respectiv:

Acum să adăugăm al doilea rând la al treilea și al patrulea rând.

Ca urmare, ajungem la sistem

Ultimele două ecuații au devenit ecuații de forma . Aceste ecuații sunt satisfăcute pentru orice valoare a necunoscutelor și pot fi aruncate.

Pentru a satisface a doua ecuație, putem alege valori arbitrare pentru și , apoi valoarea pentru va fi determinată fără ambiguitate: . Din prima ecuație, valoarea pentru este, de asemenea, găsită în mod unic: .

Atât sistemul dat, cât și ultimul sunt compatibile, dar nedefinite, iar formulele

pentru arbitrare și să ne dea toate soluțiile sistemului dat.

Metoda Gauss și sisteme de ecuații liniare care nu au soluții

Următorul exemplu este un sistem inconsecvent de ecuații liniare, adică nu are soluții. Răspunsul la astfel de probleme este formulat astfel: sistemul nu are soluții.

După cum sa menționat deja în legătură cu primul exemplu, după efectuarea transformărilor în matricea extinsă a sistemului, liniile de formă

corespunzătoare unei ecuaţii de formă

Dacă printre ele există cel puțin o ecuație cu un termen liber diferit de zero (adică ), atunci acest sistem de ecuații este inconsecvent, adică nu are soluții, iar aceasta își completează soluția.

Exemplul 7 Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss:

Soluţie. Compunem matricea extinsă a sistemului. Folosind prima ecuație, excludem variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, adăugați primul înmulțit cu la al doilea rând, primul înmulțit cu al treilea rând și primul înmulțit cu al patrulea rând.

Acum trebuie să utilizați a doua ecuație pentru a exclude variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a obține rapoarte întregi ale coeficienților, schimbăm al doilea și al treilea rând din matricea extinsă a sistemului.

Pentru a exclude din a treia și a patra ecuație, adăugați a doua, înmulțită cu , la al treilea rând, iar a doua, înmulțită cu , la al patrulea.

Acum, folosind a treia ecuație, eliminăm variabila din a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, la a patra linie, adăugați a treia, înmulțit cu .

Sistemul dat este astfel echivalent cu următorul:

Sistemul rezultat este inconsecvent, deoarece ultima sa ecuație nu poate fi satisfăcută de nicio valoare a necunoscutelor. Prin urmare, acest sistem nu are soluții.

Continuăm să luăm în considerare sistemele de ecuații liniare. Această lecție este a treia pe această temă. Dacă aveți o idee vagă despre ce este un sistem de ecuații liniare în general, vă simțiți ca un ceainic, atunci vă recomand să începeți cu elementele de bază de la Pagina următoare, este util să studiați lecția.

Metoda Gauss este ușoară! De ce? Celebrul matematician german Johann Carl Friedrich Gauss, în timpul vieții, a primit recunoașterea drept cel mai mare matematician al tuturor timpurilor, un geniu și chiar porecla de „Regele matematicii”. Și totul ingenios, după cum știți, este simplu! Apropo, în bani cad în bani nu numai frații, ci și genii - portretul lui Gauss a fost etalat pe o bancnotă de 10 mărci germane (înainte de introducerea euro), iar Gauss încă le zâmbește misterios nemților din mărcile poștale obișnuite.

Metoda Gauss este simplă prin faptul că ESTE SUFICIENTĂ CUNOAȘTEREA UNUI ELEV DE CLASA A V-A pentru a o stăpâni. Trebuie să poată adăuga și înmulți! Nu întâmplător metoda eliminării succesive a necunoscutelor este adesea luată în considerare de profesorii de la opțiunile de matematică ale școlii. Este un paradox, dar metoda Gauss provoacă cele mai mari dificultăți studenților. Nimic surprinzător - totul este despre metodologie și voi încerca să povestesc într-o formă accesibilă despre algoritmul metodei.

În primul rând, sistematizăm puțin cunoștințele despre sistemele de ecuații liniare. Un sistem de ecuații liniare poate:

1) Aveți o soluție unică. 2) Au infinit de soluții. 3) Nu au soluții (fi incompatibil).

Metoda Gauss este cel mai puternic și versatil instrument pentru găsirea unei soluții orice sisteme de ecuații liniare. După cum ne amintim Regula lui Cramer și metoda matricei sunt nepotrivite în cazurile în care sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent. O metodă de eliminare succesivă a necunoscutelor oricum conduce-ne la raspuns! În această lecție, vom lua în considerare din nou metoda Gauss pentru cazul nr. 1 (singura soluție a sistemului), un articol este rezervat situațiilor de la punctele nr. 2-3. Observ că algoritmul metodei în sine funcționează în același mod în toate cele trei cazuri.

Să revenim la cel mai simplu sistem din lecție Cum se rezolvă un sistem de ecuații liniare?și rezolvați-l folosind metoda Gaussiană.

Primul pas este să scrii sistem de matrice extinsă: . După ce principiu se înregistrează coeficienții, cred că toată lumea poate vedea. Linia verticală din interiorul matricei nu are nicio semnificație matematică - este doar un baraj pentru ușurință de proiectare.

Referinţă : Recomand să vă amintiți termeni algebră liniară. Matricea sistemului este o matrice compusă numai din coeficienți pentru necunoscute, în acest exemplu, matricea sistemului: . Matrice de sistem extinsă este aceeași matrice a sistemului plus o coloană de membri liberi, în acest caz: . Oricare dintre matrice poate fi numită pur și simplu o matrice pentru concizie.

După ce matricea extinsă a sistemului este scrisă, este necesar să se efectueze unele acțiuni cu aceasta, care sunt și numite transformări elementare.

Există următoarele transformări elementare:

1) Siruri de caractere matrici poate sa rearanja locuri. De exemplu, în matricea luată în considerare, puteți rearanja în siguranță primul și al doilea rând:

2) Dacă există (sau au apărut) rânduri proporționale (ca caz special - identice) în matrice, atunci urmează șterge din matrice, toate aceste rânduri cu excepția unuia. Luați în considerare, de exemplu, matricea . În această matrice, ultimele trei rânduri sunt proporționale, deci este suficient să lăsați doar unul dintre ele: .

3) Dacă în matrice a apărut un rând zero în timpul transformărilor, atunci urmează și acesta șterge. Nu voi desena, desigur, linia zero este linia în care doar zerouri.

4) Rândul matricei poate fi înmulțire (împărțire) pentru orice număr diferit de zero. Luați în considerare, de exemplu, matricea . Aici este recomandabil să împărțiți prima linie cu -3 și să înmulțiți a doua linie cu 2: . Această acțiune este foarte utilă, deoarece simplifică transformările ulterioare ale matricei.

5) Această transformare provoacă cele mai multe dificultăți, dar de fapt nici nu este nimic complicat. La rândul matricei, puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero. Luați în considerare matricea noastră dintr-un exemplu practic: . În primul rând, voi descrie transformarea în detaliu. Înmulțiți primul rând cu -2: , și la a doua linie adăugăm prima linie înmulțită cu -2: . Acum prima linie poate fi împărțită „înapoi” cu -2: . După cum puteți vedea, linia care este ADAUGĂ LI – nu s-a schimbat. Este mereu linia este schimbată, LA CARE SE ADAUGĂ UT.

În practică, desigur, ei nu pictează atât de detaliat, ci scriu mai scurt: Încă o dată: la a doua linie a adăugat primul rând înmulțit cu -2. Linia este de obicei înmulțită oral sau pe o ciornă, în timp ce cursul mental al calculelor este cam așa:

„Rescriu matricea și rescriu primul rând: »

Prima coloană mai întâi. Mai jos trebuie să obțin zero. Prin urmare, înmulțesc unitatea de mai sus cu -2: și adaug prima la a doua linie: 2 + (-2) = 0. Scriu rezultatul în a doua linie: »

„Acum a doua coloană. Peste -1 ori -2: . Adaug primul la a doua linie: 1 + 2 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

„Și a treia coloană. Peste -5 ori -2: . Adaug prima linie la a doua linie: -7 + 10 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

Vă rugăm să vă gândiți cu atenție la acest exemplu și să înțelegeți algoritmul de calcul secvenţial, dacă înțelegeți acest lucru, atunci metoda Gauss este practic „în buzunar”. Dar, desigur, încă lucrăm la această transformare.

Transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații

! ATENŢIE: manipulări considerate Nu pot folosi, dacă vi se oferă o sarcină în care matricele sunt date „de la sine”. De exemplu, cu „clasic” matriciîn niciun caz nu trebuie să rearanjați ceva în interiorul matricelor! Să revenim la sistemul nostru. E practic ruptă în bucăți.

Să scriem matricea augmentată a sistemului și, folosind transformări elementare, să o reducem la vedere în trepte:

(1) Primul rând a fost adăugat celui de-al doilea rând, înmulțit cu -2. Și din nou: de ce înmulțim primul rând cu -2? Pentru a obține zero în partea de jos, ceea ce înseamnă a scăpa de o variabilă din a doua linie.

(2) Împărțiți al doilea rând la 3.

Scopul transformărilor elementare – convertiți matricea în formă de pas: . În proiectarea sarcinii, ei desenează direct „scara” cu un creion simplu și, de asemenea, încercuiesc numerele care se află pe „trepte”. Termenul „vedere în trepte” în sine nu este în întregime teoretic; în literatura științifică și educațională, este adesea numit vedere trapezoidală sau vedere triunghiulară.

Ca urmare a unor transformări elementare, am obţinut echivalent sistemul original de ecuații:

Acum, sistemul trebuie să fie „destors” în direcția opusă - de jos în sus, acest proces este numit metoda Gauss inversă.

În ecuația inferioară, avem deja rezultatul final: .

Luați în considerare prima ecuație a sistemului și înlocuiți valoarea deja cunoscută a lui „y” în ea:

Să luăm în considerare cea mai comună situație, când metoda Gaussiană este necesară pentru a rezolva un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.

Exemplul 1

Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda Gauss:

Să scriem matricea augmentată a sistemului:

Acum voi desena imediat rezultatul la care vom ajunge în cursul soluției: Și repet, scopul nostru este să aducem matricea într-o formă în trepte folosind transformări elementare. De unde să începeți să luați măsuri?

Mai întâi, uită-te la numărul din stânga sus: Ar trebui să fie aproape întotdeauna aici unitate. În general, -1 (și uneori și alte numere) se potrivește, dar cumva s-a întâmplat în mod tradițional ca o unitate să fie de obicei plasată acolo. Cum se organizează o unitate? Ne uităm la prima coloană - avem o unitate terminată! Transformarea unu: schimbați prima și a treia linie:

Acum prima linie va rămâne neschimbată până la sfârșitul soluției. Acum bine.

Unitatea din stânga sus este organizată. Acum trebuie să obțineți zerouri în aceste locuri:

Zerourile se obțin doar cu ajutorul unei transformări „dificile”. În primul rând, ne ocupăm de a doua linie (2, -1, 3, 13). Ce trebuie făcut pentru a obține zero în prima poziție? Nevoie la a doua linie se adaugă prima linie înmulțită cu -2. Mental sau pe ciornă, înmulțim prima linie cu -2: (-2, -4, 2, -18). Și efectuăm în mod constant (din nou mental sau pe o schiță) adăugare, la a doua linie adăugăm prima linie, deja înmulțită cu -2:

Rezultatul este scris pe a doua linie:

În mod similar, avem de-a face cu a treia linie (3, 2, -5, -1). Pentru a obține zero în prima poziție, aveți nevoie la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu -3. Mental sau pe ciornă, înmulțim prima linie cu -3: (-3, -6, 3, -27). Și la a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu -3:

Rezultatul este scris pe a treia linie:

În practică, aceste acțiuni sunt de obicei efectuate verbal și scrise într-un singur pas:

Nu este nevoie să numărați totul deodată și în același timp. Ordinea calculelor și „inserarea” rezultatelor consistentși, de obicei, așa: mai întâi rescriem prima linie și ne umflam în liniște - CONSECUT și CU GRIJA:
Și am luat deja în considerare cursul mental al calculelor de mai sus.

În acest exemplu, acest lucru este ușor de făcut, împărțim a doua linie la -5 (deoarece toate numerele de acolo sunt divizibile cu 5 fără rest). În același timp, împărțim a treia linie la -2, deoarece cu cât numărul este mai mic, cu atât soluția este mai simplă:

În etapa finală a transformărilor elementare, trebuie să se obțină încă un zero aici:

Pentru asta la a treia linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu -2:
Încercați să analizați singur această acțiune - înmulțiți mental a doua linie cu -2 și efectuați adunarea.

Ultima acțiune efectuată este coafura rezultatului, împărțiți a treia linie la 3.

Ca rezultat al transformărilor elementare, s-a obținut un sistem inițial echivalent de ecuații liniare: Rece.

Acum intră în joc cursul invers al metodei gaussiene. Ecuațiile se „desfășoară” de jos în sus.

În a treia ecuație, avem deja rezultatul final:

Să ne uităm la a doua ecuație: . Semnificația lui „z” este deja cunoscută, astfel:

Și în sfârșit, prima ecuație: . „Y” și „Z” sunt cunoscute, problema este mică:

Răspuns:

După cum s-a remarcat în mod repetat, pentru orice sistem de ecuații, este posibil și necesar să se verifice soluția găsită, din fericire, aceasta nu este dificilă și rapidă.

Exemplul 2

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare, o mostră de finisare și un răspuns la sfârșitul lecției.

Trebuie remarcat faptul că dvs curs de acțiune poate să nu coincidă cu cursul meu de acțiune, și aceasta este o caracteristică a metodei Gauss. Dar răspunsurile trebuie să fie aceleași!

Exemplul 3

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Acolo ar trebui să avem o unitate. Problema este că nu sunt deloc nimeni în prima coloană, așa că nimic nu poate fi rezolvat prin rearanjarea rândurilor. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Am facut asta: (1) La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu -1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu -1 și am efectuat adăugarea primei și a doua rânduri, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus „minus unu”, care ni se potrivește perfect. Cine vrea să obțină +1 poate efectua un gest suplimentar: înmulțiți prima linie cu -1 (schimbați-i semnul).

(2) Primul rând înmulțit cu 5 a fost adăugat celui de-al doilea rând, primul rând înmulțit cu 3 a fost adăugat celui de-al treilea rând.

(3) Prima linie a fost înmulțită cu -1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și a fost mutat pe locul doi, astfel, la a doua „treaptă, am avut unitatea dorită.

(4) A doua linie înmulțită cu 2 a fost adăugată la a treia linie.

(5) Al treilea rând a fost împărțit la 3.

Un semn rău care indică o eroare de calcul (mai rar o greșeală de scriere) este un rezultat „reu”. Adică, dacă avem ceva ca mai jos și, în consecință, , apoi cu un grad mare de probabilitate se poate susține că s-a făcut o eroare în cursul transformărilor elementare.

Încărcăm mișcarea inversă, în proiectarea exemplelor, sistemul în sine nu este adesea rescris, iar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Mișcarea inversă, vă reamintesc, funcționează de jos în sus. Da, iată un cadou:

Răspuns: .

Exemplul 4

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, este ceva mai complicat. Este în regulă dacă cineva se încurcă. Soluție completă și eșantion de proiectare la sfârșitul lecției. Soluția ta poate diferi de a mea.

În ultima parte, luăm în considerare câteva caracteristici ale algoritmului Gauss. Prima caracteristică este că uneori unele variabile lipsesc din ecuațiile sistemului, de exemplu: Cum se scrie corect matricea augmentată a sistemului? Am vorbit deja despre acest moment în lecție. regula lui Cramer. Metoda matricei. În matricea extinsă a sistemului, punem zerouri în locul variabilelor lipsă: Apropo, acesta este un exemplu destul de ușor, deoarece există deja un zero în prima coloană și sunt mai puține transformări elementare de efectuat.

A doua caracteristică este aceasta. În toate exemplele luate în considerare, am plasat fie –1, fie +1 pe „trepte”. Ar putea fi alte numere? În unele cazuri pot. Luați în considerare sistemul: .

Aici, în „treapta” din stânga sus avem un deuce. Dar observăm faptul că toate numerele din prima coloană sunt divizibile cu 2 fără rest - și alte două și șase. Iar zeul din stânga sus ni se va potrivi! La primul pas, trebuie să efectuați următoarele transformări: adăugați prima linie înmulțită cu -1 la a doua linie; la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu -3. Astfel, vom obține zerourile dorite în prima coloană.

Sau un alt exemplu ipotetic: . Aici, triplul de pe al doilea „trep” ni se potrivește și el, deoarece 12 (locul în care trebuie să obținem zero) este divizibil cu 3 fără rest. Este necesar să se efectueze următoarea transformare: la a treia linie, se adaugă a doua linie, înmulțită cu -4, în urma căreia se va obține zeroul de care avem nevoie.

Metoda Gauss este universală, dar există o particularitate. Puteți învăța cu încredere cum să rezolvați sisteme prin alte metode (metoda lui Cramer, metoda matricei) literalmente de la prima dată - există un algoritm foarte rigid. Dar pentru a vă simți încrezători în metoda Gauss, ar trebui să vă „umpleți mâna” și să rezolvați cel puțin 5-10 zece sisteme. Prin urmare, la început pot exista confuzii, erori în calcule și nu este nimic neobișnuit sau tragic în asta.

Vreme ploioasă de toamnă în afara ferestrei .... Prin urmare, pentru toată lumea, un exemplu mai complex pentru o soluție independentă:

Exemplul 5

Rezolvați un sistem de 4 ecuații liniare cu patru necunoscute folosind metoda Gauss.

O astfel de sarcină în practică nu este atât de rară. Cred că până și un ceainic care a studiat această pagină în detaliu înțelege algoritmul pentru rezolvarea unui astfel de sistem în mod intuitiv. Practic la fel - doar mai multă acțiune.

Cazurile în care sistemul nu are soluții (inconsecvente) sau are infinit de soluții sunt luate în considerare în lecție. Sisteme incompatibile și sisteme cu o soluție comună. Acolo puteți repara algoritmul considerat al metodei Gauss.

Îți doresc succes!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluţie : Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte.
Transformări elementare efectuate: (1) Primul rând a fost adăugat celui de-al doilea rând, înmulțit cu -2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -1. Atenţie! Aici poate fi tentant să scădem prima din a treia linie, nu recomand insistent scăderea - riscul de eroare crește foarte mult. Doar ne pliăm! (2) Semnul celei de-a doua rânduri a fost schimbat (înmulțit cu -1). A doua și a treia linie au fost schimbate. Notă că pe „trepte” ne mulțumim nu numai cu unul, ci și cu -1, ceea ce este și mai convenabil. (3) La a treia linie, adăugați a doua linie, înmulțită cu 5. (4) Semnul celei de-a doua linii a fost schimbat (înmulțit cu -1). A treia linie a fost împărțită la 14.

Mișcare inversă:

Răspuns : .

Exemplul 4: Soluţie : Scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem la o formă de pas:

Conversii efectuate: (1) A doua linie a fost adăugată la prima linie. Astfel, unitatea dorită este organizată în „treapta” din stânga sus. (2) Primul rând înmulțit cu 7 a fost adăugat celui de-al doilea rând, primul rând înmulțit cu 6 a fost adăugat celui de-al treilea rând.

Cu al doilea „pas” totul este mai rău , „candidații” pentru acesta sunt numerele 17 și 23 și avem nevoie fie de unul, fie de -1. Transformările (3) și (4) vor avea ca scop obținerea unității dorite (3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -1. (4) A treia linie, înmulțită cu -3, a fost adăugată la a doua linie. Lucrul necesar de pe a doua treaptă este primit . (5) La al treilea rând se adaugă al doilea, înmulțit cu 6. (6) Al doilea rând a fost înmulțit cu -1, al treilea rând a fost împărțit cu -83.

Mișcare inversă:

Răspuns :

Exemplul 5: Soluţie : Să notăm matricea sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă treptat:

Conversii efectuate: (1) Prima și a doua linie au fost schimbate. (2) Primul rând a fost adăugat celui de-al doilea rând, înmulțit cu -2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -2. Prima linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu -3. (3) A doua linie înmulțită cu 4 a fost adăugată la a treia linie, a doua linie înmulțită cu -1 a fost adăugată la a patra linie. (4) Semnul celui de-al doilea rând a fost schimbat. A patra linie a fost împărțită la 3 și plasată în locul celei de-a treia linie. (5) A treia linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu -5.

Mișcare inversă:

Răspuns :

Încă de la începutul secolelor XVI-XVIII, matematicienii au început să studieze intens funcțiile, datorită cărora s-au schimbat atât de multe în viața noastră. Tehnologia informatică fără aceste cunoștințe pur și simplu nu ar exista. Pentru a rezolva probleme complexe, ecuații și funcții liniare, au fost create diverse concepte, teoreme și tehnici de rezolvare. Una dintre astfel de metode și tehnici universale și raționale de rezolvare a ecuațiilor liniare și a sistemelor lor a fost metoda Gauss. Matrici, rangul lor, determinant - totul poate fi calculat fără a utiliza operații complexe.

Ce este SLAU

În matematică, există conceptul de SLAE - un sistem liniar ecuații algebrice. Ce reprezintă ea? Acesta este un set de m ecuații cu n necunoscute necesare, de obicei notate ca x, y, z sau x 1 , x 2 ... x n sau alte simboluri. Rezolvare prin metoda Gauss acest sistem- înseamnă a găsi toate necunoscutele necesare. Dacă sistemul are acelasi numar necunoscute și ecuații, atunci se numește sistem de ordin al n-lea.

Cele mai populare metode de rezolvare a SLAE

LA institutii de invatamantînvăţământul secundar studiază diverse tehnici de rezolvare a unor astfel de sisteme. Cel mai adesea acestea sunt ecuații simple formate din două necunoscute, deci oricare metoda existenta nu va dura mult pentru a găsi răspunsuri la ele. Poate fi ca o metodă de substituție, când o altă ecuație este derivată dintr-o ecuație și substituită în cea originală. Sau scădere și adunare termen cu termen. Dar metoda Gauss este considerată cea mai ușoară și universală. Face posibilă rezolvarea ecuațiilor cu orice număr de necunoscute. De ce această tehnică este considerată rațională? Totul este simplu. Metoda matricei este bună pentru că nu necesită de mai multe ori să rescrieți caractere inutile sub formă de necunoscute, este suficient să faceți operații aritmetice pe coeficienți - și veți obține un rezultat fiabil.

Unde sunt utilizate SLAE-urile în practică?

Soluția SLAE sunt punctele de intersecție a dreptelor de pe graficele funcțiilor. În era noastră de computere de înaltă tehnologie, oamenii care sunt implicați îndeaproape în dezvoltarea de jocuri și alte programe trebuie să știe cum să rezolve astfel de sisteme, ce reprezintă acestea și cum să verifice corectitudinea rezultatului rezultat. Cel mai adesea, programatorii dezvoltă calculatoare speciale de algebră liniară, care include un sistem de ecuații liniare. Metoda Gauss vă permite să calculați toate soluțiile existente. Sunt utilizate și alte formule și tehnici simplificate.

Criteriul de compatibilitate SLAE

Un astfel de sistem poate fi rezolvat doar dacă este compatibil. Pentru claritate, prezentăm SLAE sub forma Ax=b. Are o soluție dacă rang(A) este egal cu rang(A,b). În acest caz, (A,b) este o matrice de formă extinsă care poate fi obținută din matricea A prin rescrierea ei cu termeni liberi. Se pare că rezolvarea ecuațiilor liniare folosind metoda Gauss este destul de ușoară.

Poate că o anumită notație nu este complet clară, așa că este necesar să luăm în considerare totul cu un exemplu. Să presupunem că există un sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Este format din doar două ecuații în care există 2 necunoscute. Sistemul va avea o soluție numai dacă rangul matricei sale este egal cu rangul matricei augmentate. Ce este un rang? Acesta este numărul de linii independente ale sistemului. În cazul nostru, rangul matricei este 2. Matricea A va consta din coeficienții aflați în apropierea necunoscutelor, iar coeficienții din spatele semnului „=” se vor potrivi, de asemenea, în matricea extinsă.

De ce SLAE poate fi reprezentat sub formă de matrice

Pe baza criteriului de compatibilitate conform teoremei dovedite Kronecker-Capelli, sistemul de ecuații algebrice liniare poate fi reprezentat sub formă de matrice. Folosind metoda cascadei Gauss, puteți rezolva matricea și puteți obține singurul răspuns de încredere pentru întregul sistem. Dacă rangul unei matrice obișnuite este egal cu rangul matricei sale extinse, dar mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de răspunsuri.

Transformări de matrice

Înainte de a trece la rezolvarea matricelor, este necesar să știm ce acțiuni pot fi efectuate asupra elementelor acestora. Există mai multe transformări elementare:

• Prin rescrierea sistemului într-o formă de matrice și efectuând soluția acestuia, este posibil să se înmulțească toate elementele seriei cu același coeficient.
• Pentru a converti o matrice în formă canonică, două rânduri paralele pot fi schimbate. Forma canonică implică faptul că toate elementele matricei care sunt situate de-a lungul diagonalei principale devin una, iar cele rămase devin zerouri.
• Elementele corespunzătoare ale rândurilor paralele ale matricei pot fi adăugate una la alta.

metoda Jordan-Gauss

Esența rezolvării sistemelor de ecuații liniare omogene și neomogene prin metoda Gauss este eliminarea treptat a necunoscutelor. Să presupunem că avem un sistem de două ecuații în care există două necunoscute. Pentru a le găsi, trebuie să verificați compatibilitatea sistemului. Ecuația lui Gauss este rezolvată foarte simplu. Este necesar să scrieți coeficienții aflați lângă fiecare necunoscută într-o formă de matrice. Pentru a rezolva sistemul, trebuie să scrieți matricea augmentată. Dacă una dintre ecuații conține un număr mai mic de necunoscute, atunci trebuie pus „0” în locul elementului lipsă. Toate metodele de transformare cunoscute sunt aplicate matricei: înmulțirea, împărțirea cu un număr, adăugarea elementelor corespunzătoare ale rândurilor între ele și altele. Se pare că în fiecare rând este necesar să lăsați o variabilă cu valoarea „1”, restul ar trebui redus la zero. Pentru o înțelegere mai precisă, este necesar să luăm în considerare metoda Gauss cu exemple.

Un exemplu simplu de rezolvare a unui sistem 2x2

Pentru început, să luăm un sistem simplu de ecuații algebrice, în care vor exista 2 necunoscute.

Să-l rescriem într-o matrice augmentată.

Pentru a rezolva acest sistem de ecuații liniare sunt necesare doar două operații. Trebuie să aducem matricea la forma canonică, astfel încât să existe unități de-a lungul diagonalei principale. Deci, transpunând din forma matricei înapoi în sistem, obținem ecuațiile: 1x+0y=b1 și 0x+1y=b2, unde b1 și b2 sunt răspunsurile obținute în procesul de rezolvare.

1. Primul pas în rezolvarea matricei augmentate va fi următorul: primul rând trebuie înmulțit cu -7 și, respectiv, elementele corespunzătoare adăugate celui de-al doilea rând, pentru a scăpa de o necunoscută din a doua ecuație.
2. Deoarece rezolvarea ecuațiilor prin metoda Gauss presupune aducerea matricei la forma canonică, atunci este necesar să se facă aceleași operații cu prima ecuație și să se elimine a doua variabilă. Pentru a face acest lucru, scădem a doua linie din prima și obținem răspunsul necesar - soluția SLAE. Sau, așa cum se arată în figură, înmulțim al doilea rând cu un factor de -1 și adăugăm elementele celui de-al doilea rând la primul rând. Asta e lafel.

După cum puteți vedea, sistemul nostru este rezolvat prin metoda Jordan-Gauss. O rescriem în forma cerută: x=-5, y=7.

Un exemplu de rezolvare a SLAE 3x3

Să presupunem că avem un sistem mai complex de ecuații liniare. Metoda Gauss face posibilă calcularea răspunsului chiar și pentru sistemul cel mai aparent confuz. Prin urmare, pentru a aprofunda metodologia de calcul, putem trece la un exemplu mai complex cu trei necunoscute.

Ca și în exemplul anterior, rescriem sistemul sub forma unei matrice extinse și începem să-l aducem la forma canonică.

Pentru a rezolva acest sistem, va trebui să efectuați mult mai multe acțiuni decât în ​​exemplul anterior.

1. Mai întâi trebuie să faceți în prima coloană un singur element și restul zerouri. Pentru a face acest lucru, înmulțiți prima ecuație cu -1 și adăugați a doua ecuație la ea. Este important să ne amintim că rescriem prima linie în forma sa originală, iar a doua - deja într-o formă modificată.
2. În continuare, eliminăm aceeași primă necunoscută din a treia ecuație. Pentru a face acest lucru, înmulțim elementele primului rând cu -2 și le adăugăm la al treilea rând. Acum, prima și a doua linie sunt rescrise în forma lor originală, iar a treia - deja cu modificări. După cum puteți vedea din rezultat, am primit primul la începutul diagonalei principale a matricei, iar restul sunt zerouri. Încă câteva acțiuni și sistemul de ecuații prin metoda Gauss va fi rezolvat în mod fiabil.
3. Acum trebuie să faceți operații pe alte elemente ale rândurilor. Al treilea și al patrulea pas pot fi combinați într-unul singur. Trebuie să împărțim a doua și a treia linie la -1 pentru a scăpa de cele negative de pe diagonală. Am adus deja a treia linie la forma necesară.
4. În continuare, canonizăm a doua linie. Pentru a face acest lucru, înmulțim elementele celui de-al treilea rând cu -3 și le adăugăm la a doua linie a matricei. Din rezultat se vede că a doua linie se reduce și la forma de care avem nevoie. Rămâne să mai faci câteva operații și să scoți coeficienții necunoscutelor din primul rând.
5. Pentru a face 0 din al doilea element al rândului, trebuie să înmulțiți al treilea rând cu -3 și să îl adăugați la primul rând.
6. Următorul pas decisiv este să adăugați la prima linie elementele necesare al doilea rând. Deci obținem forma canonică a matricei și, în consecință, răspunsul.

După cum puteți vedea, soluția ecuațiilor prin metoda Gauss este destul de simplă.

Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații 4x4

Unele sisteme de ecuații mai complexe pot fi rezolvate prin metoda Gaussiană folosind programe de calculator. Este necesar să introduceți coeficienți pentru necunoscute în celulele goale existente, iar programul va calcula rezultatul necesar pas cu pas, descriind fiecare acțiune în detaliu.

Descris mai jos instrucțiuni pas cu pas soluții la acest exemplu.

În primul pas, coeficienții liberi și numerele pentru necunoscute sunt introduse în celulele goale. Astfel, obținem aceeași matrice augmentată pe care o scriem manual.

Și toate operațiile aritmetice necesare sunt efectuate pentru a aduce matricea extinsă la forma canonică. Trebuie înțeles că răspunsul la un sistem de ecuații nu este întotdeauna numere întregi. Uneori, soluția poate fi din numere fracționale.

Verificarea corectitudinii solutiei

Metoda Jordan-Gauss prevede verificarea corectitudinii rezultatului. Pentru a afla dacă coeficienții sunt calculați corect, trebuie doar să înlocuiți rezultatul în sistemul original de ecuații. Partea stângă a ecuației trebuie să se potrivească cu partea dreaptă, care se află în spatele semnului egal. Dacă răspunsurile nu se potrivesc, atunci trebuie să recalculați sistemul sau să încercați să aplicați o altă metodă de rezolvare a SLAE cunoscută de dvs., cum ar fi înlocuirea sau scăderea și adunarea termen cu termen. La urma urmei, matematica este o știință care are un număr mare de metode diferite de rezolvare. Dar rețineți: rezultatul ar trebui să fie întotdeauna același, indiferent de metoda de soluție pe care ați folosit-o.

Metoda Gauss: cele mai frecvente erori în rezolvarea SLAE

În timpul deciziei sisteme liniare ecuații, erori, cum ar fi transferul incorect al coeficienților în formă de matrice, apar cel mai adesea. Există sisteme în care unele necunoscute lipsesc într-una dintre ecuații, apoi, transferând datele în matricea extinsă, acestea se pot pierde. Ca urmare, la rezolvarea acestui sistem, rezultatul poate să nu corespundă cu cel real.

O altă greșeală principală poate fi scrierea incorectă a rezultatului final. Trebuie să se înțeleagă clar că primul coeficient va corespunde primei necunoscute din sistem, al doilea - celui de-al doilea și așa mai departe.

Metoda Gauss descrie în detaliu soluția ecuațiilor liniare. Datorită lui, este ușor să efectuați operațiunile necesare și să găsiți rezultatul potrivit. În plus, acesta este un instrument universal pentru a găsi un răspuns de încredere la ecuații de orice complexitate. Poate de aceea este atât de des folosit în rezolvarea SLAE.

Astăzi ne ocupăm de metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare. Puteți citi despre ce sunt aceste sisteme în articolul anterior dedicat rezolvării aceluiași SLAE prin metoda Cramer. Metoda Gauss nu necesită cunoștințe specifice, sunt necesare doar grijă și consecvență. În ciuda faptului că din punct de vedere al matematicii, pregătirea școlară este suficientă pentru aplicarea ei, stăpânirea acestei metode provoacă adesea dificultăți elevilor. În acest articol, vom încerca să le reducem la nimic!

metoda Gauss

M metoda Gauss este cea mai universală metodă de rezolvare a SLAE (cu excepția, ei bine, foarte sisteme mari). Spre deosebire de cel discutat mai devreme, este potrivit nu numai pentru sistemele care au o soluție unică, ci și pentru sistemele care au un număr infinit de soluții. Există trei opțiuni aici.

1. Sistemul are o soluție unică (determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero);
2. Sistemul are un număr infinit de soluții;
3. Nu există soluții, sistemul este inconsecvent.

Deci, avem un sistem (lăsați-l să aibă o soluție) și îl vom rezolva folosind metoda Gaussiană. Cum functioneaza?

Metoda Gaussiană constă din două etape - directă și inversă.

Metoda Gauss directă

Mai întâi, scriem matricea augmentată a sistemului. Pentru a face acest lucru, adăugăm o coloană de membri liberi la matricea principală.

Întreaga esență a metodei gaussiene este reducerea acestei matrice la o formă în trepte (sau, după cum se spune, triunghiulară) prin intermediul transformărilor elementare. În această formă, ar trebui să existe doar zerouri sub (sau deasupra) diagonalei principale a matricei.

Ce se poate face:

1. Puteți rearanja rândurile matricei;
2. Dacă există rânduri identice (sau proporționale) în matrice, puteți șterge toate, cu excepția unuia;
3. Puteți înmulți sau împărți un șir cu orice număr (cu excepția zero);
4. Liniile zero sunt eliminate;
5. Puteți adăuga un șir înmulțit cu un număr diferit de zero la un șir.

Metoda Gauss invers

După ce transformăm sistemul în acest fel, unul necunoscut xn devine cunoscut și este posibil să găsim toate necunoscutele rămase în ordine inversă, substituind x-urile deja cunoscute în ecuațiile sistemului, până la prima.

Când internetul este întotdeauna la îndemână, puteți rezolva sistemul de ecuații folosind metoda Gauss pe net . Tot ce trebuie să faceți este să introduceți cotele în calculatorul online. Dar trebuie să recunoști, este mult mai plăcut să realizezi că exemplul a fost rezolvat nu de un program de calculator, ci de propriul tău creier.

Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații folosind metoda Gauss

Și acum - un exemplu, astfel încât totul să devină clar și de înțeles. Să fie dat un sistem de ecuații liniare și este necesar să-l rezolvăm prin metoda Gauss:

Mai întâi, să scriem matricea augmentată:

Acum să aruncăm o privire asupra transformărilor. Amintiți-vă că trebuie să obținem o formă triunghiulară a matricei. Înmulțiți primul rând cu (3). Înmulțiți al 2-lea rând cu (-1). Să adăugăm al 2-lea rând la primul și să obținem:

Apoi înmulțiți al treilea rând cu (-1). Să adăugăm a treia linie la a doua:

Înmulțiți primul rând cu (6). Înmulțiți al 2-lea rând cu (13). Să adăugăm a doua linie la prima:

Voila - sistemul este adus la forma corespunzătoare. Rămâne de găsit necunoscutele:

Sistemul din acest exemplu are o soluție unică. Vom lua în considerare soluția sistemelor cu un set infinit de soluții într-un articol separat. Poate că la început nu veți ști de unde să începeți cu transformările matriceale, dar după o practică adecvată veți pune mâna pe ea și veți face clic pe SLAE gaussian ca pe nuci. Și dacă dați brusc peste un SLAU, care se dovedește a fi o nucă prea dură de spart, contactați autorii noștri! puteți lăsând o cerere în Corespondență. Împreună vom rezolva orice problemă!

Să luăm în considerare metode exacte de rezolvare a sistemului; aici este matricea dimensiunilor

O metodă de rezolvare a unei probleme este clasificată drept exactă dacă, în ipoteza că nu există rotunjiri, oferă o soluție exactă problemei după un număr finit de operații aritmetice și logice. Dacă numărul de elemente nenule ale matricei sistemului este de ordinul , atunci pentru majoritatea metodelor exacte utilizate în prezent pentru rezolvarea unor astfel de sisteme, numărul necesar de operații este de ordinul . Prin urmare, pentru aplicabilitatea metodelor exacte, este necesar ca o astfel de ordine a numărului de operații să fie acceptabilă pentru un computer dat; alte restricții sunt impuse de volumul și structura memoriei computerului.

Clauza despre „metodele utilizate în prezent” are următorul sens. Există metode de rezolvare a unor astfel de sisteme cu un număr mai mic de operații, dar nu sunt utilizate în mod activ din cauza sensibilității puternice a rezultatului la eroarea de calcul.

Cea mai cunoscută dintre metodele exacte de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare este metoda eliminării lui Gauss. Să luăm în considerare una dintre posibilele sale implementări. Presupunând că , prima ecuație a sistemului

împărțim cu coeficientul , ca rezultat obținem ecuația

Apoi, din fiecare dintre ecuațiile rămase, prima ecuație este scăzută, înmulțită cu coeficientul corespunzător . Ca rezultat, aceste ecuații sunt transformate în formă

Prima necunoscută sa dovedit a fi exclusă din toate ecuațiile, cu excepția primei. În plus, în ipoteza că , împărțim a doua ecuație la coeficient și excludem necunoscuta din toate ecuațiile, începând de la a doua și așa mai departe.Ca urmare a eliminării succesive a necunoscutelor, sistemul de ecuații este transformat într-un sistem de ecuații cu o matrice triunghiulară

Setul de calcule efectuate, în timpul cărora problema inițială a fost transformată în forma (2), se numește curs direct al metodei Gauss.

Din ecuația sistemului (2) determinăm , de la , etc până la . Totalitatea acestor calcule se numește curs invers al metodei Gauss.

Este ușor de verificat că implementarea mișcării înainte a metodei Gauss necesită operații aritmetice, iar rularea inversă necesită operații aritmetice.

Excepția apare ca urmare a următoarelor operații: 1) împărțirea ecuației la , 2) scăderea ecuației obținute după o astfel de împărțire, înmulțită cu , din ecuațiile cu numere k . Prima operație este echivalentă cu înmulțirea sistemului de ecuații din stânga cu matricea diagonală

a doua operație este echivalentă cu înmulțirea din stânga cu matricea

Astfel, sistemul (2) obținut în urma acestor transformări poate fi scris ca

Produsul matricelor triunghiulare stânga (dreapta) este o matrice triunghiulară stângă (dreapta), deci C este o matrice triunghiulară stângă. Din formula pentru elementele matricei inverse

rezultă că matricea inversă uneia triunghiulare stânga (dreapta) este una triunghiulară stânga (dreapta). Prin urmare, matricea este triunghiulară stângă.

Să introducem notația . Conform construcției, totul și matricea D sunt triunghiulare dreptunghiulare. De aici obținem reprezentarea matricei A ca produs al matricelor triunghiulare stânga și dreapta:

Egalitatea, împreună cu condiția , formează un sistem de ecuații față de elementele matricelor triunghiulare B și : . Deoarece pentru și pentru , acest sistem poate fi scris ca

(3)

sau, ceea ce este la fel,

Folosind condiția ca toți obținem un sistem de relații de recurență pentru determinarea elementelor și:

Calculele sunt efectuate secvenţial pentru mulţimi. Aici și mai jos, în cazul în care limita superioară de însumare este mai mică decât cea inferioară, se presupune că întreaga sumă este egală cu zero.

Astfel, în loc de transformări succesive ale sistemului (1) în forma (2), se pot calcula direct matricele B și folosind formulele (4). Aceste calcule pot fi efectuate numai dacă toate elementele sunt diferite de zero. Fie matrici de minore principale de ordinul matricelor A, B, D. Conform (3) . Pentru că atunci . Prin urmare,

Deci, pentru a efectua calcule conform formulelor (4), este necesar și suficient să se îndeplinească condițiile

În unele cazuri, se știe dinainte că condiția (5) este îndeplinită. De exemplu, multe probleme de fizică matematică se reduc la rezolvarea sistemelor cu o matrice definită pozitivă A. Cu toate acestea, în caz general acest lucru nu poate fi spus în avans. Un astfel de caz este, de asemenea, posibil: totul, dar printre cantități există unele foarte mici, iar atunci când sunt împărțite la ele, se vor obține numere mari cu erori absolute mari. Ca urmare, soluția va fi puternic distorsionată.

Să notăm. Din moment ce și , atunci egalitățile sunt valabile. Astfel, după descompunerea matricei sistemului original în produsul matricelor triunghiulare stânga și dreapta, soluția sistemului original se reduce la soluția secvențială a două sisteme cu matrici triunghiulare; aceasta ar necesita operatii aritmetice.

Este adesea convenabil să se combine succesiunea de operații pentru descompunerea matricei A în produsul matricelor triunghiulare și pentru determinarea vectorului d. Ecuații

sistemele pot fi scrise ca

Prin urmare, valorile pot fi calculate simultan cu restul valorilor folosind formulele (4).

Când se rezolvă probleme practice, adesea devine necesar să se rezolve sisteme de ecuații cu o matrice care conține un număr mare de elemente zero.

De obicei, aceste matrici au o așa-numită structură de bandă. Mai precis, matricea A se numește -diagonală sau are o structură de bandă, dacă la . Numărul se numește lățimea benzii. Se dovedește că atunci când se rezolvă un sistem de ecuații cu o matrice de bandă prin metoda Gauss, numărul de operații aritmetice și cantitatea necesară de memorie de calculator pot fi reduse semnificativ.

Sarcina 1. Investigați caracteristicile metodei Gauss și metoda de rezolvare a sistemului utilizând descompunerea matricei benzi A în produsul matricelor triunghiulare stânga și dreapta. Arătați că sunt necesare operații aritmetice pentru a găsi soluția (pentru ). Găsiți membrul principal al numărului de operații sub condiția .

Sarcina 2. Estimați cantitatea de memorie încărcată a computerului în metoda Gauss pentru matrice de bandă.

Când se calculează fără ajutorul unui computer, există o probabilitate mare erori aleatorii. Pentru a elimina astfel de erori, uneori se introduce un sistem de control, format din elemente de control ale ecuațiilor sistemului

La transformarea ecuațiilor se efectuează aceleași operații asupra elementelor de control ca și asupra membrilor liberi ai ecuațiilor. Ca urmare, elementul de control al fiecărei noi ecuații trebuie să fie egal cu suma coeficienților acestei ecuații. O mare discrepanță între ele indică erori în calcule sau instabilitatea algoritmului de calcul în raport cu eroarea de calcul.

De exemplu, în cazul aducerii sistemului de ecuații la forma folosind formulele (4), elementul de control al fiecăreia dintre ecuațiile sistemului se calculează folosind aceleași formule (4). După calcularea tuturor elementelor la un control fix se efectuează prin verificarea egalității

Cursul invers al metodei Gauss este, de asemenea, însoțit de calculul elementelor de control ale rândurilor sistemului.

Pentru a evita influența catastrofală a erorii de calcul, se folosește metoda Gaussiană cu alegerea elementului principal.

Diferența sa față de schema metodei gaussiene descrisă mai sus este următoarea. Fie, în cursul eliminării necunoscutelor, sistemul de ecuații

Să găsim astfel încât și re-dentă și ; apoi vom elimina necunoscuta din toate ecuațiile, începând cu . O astfel de redenumire duce la o modificare a ordinii eliminării necunoscutelor și, în multe cazuri, reduce semnificativ sensibilitatea soluției la erorile de rotunjire în calcule.

Adesea se cere rezolvarea mai multor sisteme de ecuații , cu aceeași matrice A. Este convenabil să se procedeze astfel: prin introducerea notației

Să efectuăm calcule folosind formulele (4) și să calculăm elementele la . Ca urmare, se vor obține p sisteme de ecuații cu matrice triunghiulară, corespunzătoare problemei inițiale

Rezolvăm aceste sisteme fiecare separat. Rezultă că numărul total de operații aritmetice în rezolvarea p sisteme de ecuații în acest mod este .

Tehnica descrisă mai sus este uneori folosită pentru a obține o judecată asupra erorii soluției, care este o consecință a erorilor de rotunjire în calcule, fără costuri suplimentare semnificative. Ele sunt date de vectorul z cu componente având, dacă este posibil, aceeași ordine și semn ca și componentele soluției dorite; adesea din cauza lipsei de informații suficiente pe care le preiau . Se calculează vectorul și, împreună cu sistemul original de ecuații, sistemul este rezolvat.

Fie și z sunt de fapt soluții obținute ale acestor sisteme. Judecata despre eroarea soluției dorite poate fi obținută pe baza ipotezei: erorile relative în rezolvarea prin metoda de eliminare a sistemelor cu aceeași matrice și părți din dreapta diferite, care sunt, respectiv, valorile și , diferă nu de un număr foarte mare de ori.

O altă tehnică de obținere a unei judecăți cu privire la valoarea reală a erorii care apare din cauza rotunjirii în calcule este modificarea scalei, ceea ce schimbă imaginea cumulării erorii de calcul.

Alături de sistemul original, sistemul este rezolvat prin aceeași metodă

Pentru și , care nu sunt puteri întregi de doi, compararea vectorilor și oferă o idee despre mărimea erorii de calcul. De exemplu, puteți lua.

Studiul multor probleme conduce la necesitatea rezolvării sistemelor de ecuații liniare cu o matrice definită pozitivă simetrică. Astfel de sisteme apar, de exemplu, la rezolvare ecuatii diferentiale metoda elementelor finite sau metodele cu diferențe finite. În aceste cazuri, matricea sistemului are și o structură de bandă.

Metoda rădăcină pătrată(metoda Cholesky). Matricea A este reprezentată ca

unde S este o matrice triunghiulara dreptunghiulara, este conjugatul acesteia, i.e.

toate fiind o matrice diagonală cu elemente egale cu sau -1. Egalitatea de matrice (6) formează un sistem de ecuații

Ecuațiile similare pentru sunt eliminate, deoarece ecuațiile corespunzătoare perechilor și sunt echivalente. De aici obținem formule recurente pentru determinarea elementelor și:

Matricea S este triunghiulara dreptunghiulara, si astfel, dupa obtinerea reprezentarii (6), solutia sistemului original se reduce si la Solutia secventiala a doua sisteme cu matrici triunghiulare. Rețineți că în cazul tuturor și .

Sarcina 3. Estimați numărul de operații aritmetice și încărcarea memoriei computerului (presupunând că cantitatea de memorie necesară pentru stocarea matricei A scade) atunci când rezolvați un sistem cu o matrice definită pozitivă reală A prin metoda rădăcinii pătrate.

Multe pachete software pentru rezolvarea problemelor cu valori la limită ale fizicii matematice prin metoda elementelor finite sunt organizate după următoarea schemă. După ce matricea sistemului A este formată prin rearanjarea rândurilor și coloanelor (atât rândurile, cât și coloanele sunt rearanjate simultan), sistemul este convertit în forma cu cea mai mică lățime a benzii. În continuare, se aplică metoda rădăcinii pătrate. În același timp, pentru a reduce cantitatea de calcule la rezolvarea unui sistem cu alte părți din dreapta, matricea S este memorată.