Potrivit manualului lui Sovetov și Yakovlev: „un model (lat. modul - măsură) este un obiect-substitut al obiectului original, care oferă studiul unor proprietăți ale originalului.” (p. 6) „Înlocuirea unui obiect cu altul pentru a obține informații despre cele mai importante proprietăți ale obiectului original folosind obiectul model se numește modelare.” (p. 6) „În modelarea matematică vom înțelege procesul de stabilire a corespondenței unui obiect real dat a unui obiect matematic, numit model matematic, și studiul acestui model, care permite obținerea caracteristicilor obiectului real luat în considerare. . Tipul de model matematic depinde atât de natura obiectului real, cât și de sarcinile de studiu ale obiectului, precum și de fiabilitatea și acuratețea necesară pentru rezolvarea acestei probleme.”

În cele din urmă, cea mai concisă definiție a unui model matematic: „O ecuație care exprimă o idee."

Clasificarea modelului

Clasificarea formală a modelelor

Clasificarea formală a modelelor se bazează pe clasificarea instrumentelor matematice utilizate. Adesea construită sub formă de dihotomii. De exemplu, unul dintre seturile populare de dihotomii este:

si asa mai departe. Fiecare model construit este liniar sau neliniar, determinist sau stocastic,... Desigur, sunt posibile și tipuri mixte: concentrate într-o privință (din punct de vedere al parametrilor), modele distribuite în alta etc.

Clasificarea după modul în care este reprezentat obiectul

Alături de clasificarea formală, modelele diferă prin modul în care reprezintă obiectul:

• Modele structurale sau funcționale

Modelele structurale reprezintă un obiect ca sistem cu propriul dispozitiv și mecanism de funcționare. Modelele funcționale nu folosesc astfel de reprezentări și reflectă doar comportamentul (funcționarea) perceput extern al obiectului. În expresia lor extremă, ele mai sunt numite modele „cutie neagră” Sunt posibile și tipuri combinate de modele, care sunt uneori numite modele „cutie gri”.

Conținut și modele formale

Aproape toți autorii care descriu procesul de modelare matematică indică faptul că mai întâi se construiește o construcție ideală specială, model de conținut. Nu există o terminologie stabilită aici, iar alți autori numesc acest obiect ideal model conceptual , model speculativ sau premodel. În acest caz, se numește construcția matematică finală model formal sau doar un model matematic obţinut ca urmare a formalizării acestui model de conţinut (pre-model). Construcția unui model semnificativ poate fi realizată folosind un set de idealizări gata făcute, ca în mecanică, unde arcuri ideale, corpuri solide, pendulele ideale, mediile elastice etc. oferă elemente structurale gata făcute pentru modelare semnificativă. Cu toate acestea, în domeniile de cunoaștere în care nu există teorii formalizate complet finalizate (de vârf în fizică, biologie, economie, sociologie, psihologie și majoritatea altor domenii), crearea de modele semnificative este dramatic mai complicată.

Clasificarea semnificativă a modelelor

Nicio ipoteză în știință nu poate fi dovedită o dată pentru totdeauna. Richard Feynman a spus foarte clar:

„Avem întotdeauna capacitatea de a infirma o teorie, dar rețineți că nu putem dovedi niciodată că este corectă. Să presupunem că ați înaintat o ipoteză de succes, că calculați unde duce aceasta și că găsiți că toate consecințele ei sunt confirmate experimental. Înseamnă asta că teoria ta este corectă? Nu, înseamnă pur și simplu că nu ai reușit să o infirmi.

Dacă se construiește un model de primul tip, atunci aceasta înseamnă că este recunoscut temporar ca adevărat și se poate concentra asupra altor probleme. Totuși, acesta nu poate fi un punct în cercetare, ci doar o pauză temporară: statutul modelului de primul tip poate fi doar temporar.

Tip 2: Model fenomenologic (se comportă de parcă…)

Modelul fenomenologic conține un mecanism de descriere a fenomenului. Cu toate acestea, acest mecanism nu este suficient de convingător, nu poate fi suficient confirmat de datele disponibile sau nu este de acord cu teoriile disponibile și cunoștințele acumulate despre obiect. Prin urmare, modelele fenomenologice au statut de soluții temporare. Se crede că răspunsul este încă necunoscut și este necesar să se continue căutarea „mecanismelor adevărate”. Peierls se referă, de exemplu, modelul caloric și modelul cuarc al particulelor elementare la al doilea tip.

Rolul modelului în cercetare se poate schimba în timp, se poate întâmpla ca noi date și teorii să confirme modelele fenomenologice și să fie promovate la statutul de ipoteză. De asemenea, noile cunoștințe pot intra treptat în conflict cu modelele-ipoteze de primul tip și pot fi transferate la al doilea. Astfel, modelul cuarcilor trece treptat în categoria ipotezelor; atomismul în fizică a apărut ca o soluție temporară, dar odată cu cursul istoriei a trecut în primul tip. Dar modelele eterice au trecut de la tipul 1 la tipul 2, iar acum sunt în afara științei.

Ideea simplificării este foarte populară atunci când construiești modele. Dar simplificarea este diferită. Peierls distinge trei tipuri de simplificări în modelare.

Tip 3: Apropiere (ceva este considerat foarte mare sau foarte mic)

Dacă este posibil să se construiască ecuații care să descrie sistemul studiat, aceasta nu înseamnă că acestea pot fi rezolvate chiar și cu ajutorul unui calculator. O tehnică comună în acest caz este utilizarea aproximărilor (modele de tip 3). Printre ei modele de răspuns liniar. Ecuațiile sunt înlocuite cu unele liniare. Exemplul standard este legea lui Ohm.

Și aici este tipul 8, care este utilizat pe scară largă în modelele matematice ale sistemelor biologice.

Tip 8: Demonstrație de posibilitate (principalul lucru este de a arăta consistența internă a posibilității)

Acestea sunt, de asemenea, experimente gândite cu entități imaginare, care demonstrează asta presupus fenomenîn concordanță cu principiile de bază și consecventă intern. Aceasta este principala diferență față de modelele de tip 7, care dezvăluie contradicții ascunse.

Unul dintre cele mai faimoase dintre aceste experimente este geometria lui Lobachevsky (Lobachevsky a numit-o „geometrie imaginară”). Un alt exemplu este producția în masă de modele formal cinetice de oscilații chimice și biologice, unde auto, etc. Paradoxul Einstein-Podolsky-Rosen a fost conceput ca un model de tip 7 pentru a demonstra inconsecvența mecanicii cuantice. Într-un mod complet neplanificat, s-a transformat în cele din urmă într-un model de tip 8 - o demonstrație a posibilității de teleportare cuantică a informațiilor.

Exemplu

Considera sistem mecanic, format dintr-un arc fixat la un capăt și o sarcină de masă m atașat la capătul liber al arcului. Vom presupune că sarcina se poate deplasa numai în direcția axei arcului (de exemplu, mișcarea are loc de-a lungul tijei). Să construim un model matematic al acestui sistem. Vom descrie starea sistemului prin distanță X de la centrul sarcinii până la poziția sa de echilibru. Să descriem interacțiunea dintre un arc și o sarcină folosind legea lui Hooke (F = − kX ) după care folosim a doua lege a lui Newton pentru a o exprima sub forma unei ecuații diferențiale:

unde înseamnă derivata a doua a X cu timpul: .

Ecuația rezultată descrie modelul matematic al sistemului fizic considerat. Acest model este numit „oscilator armonic”.

Conform clasificării formale, acest model este liniar, determinist, dinamic, concentrat, continuu. În procesul de construire a acestuia, am făcut multe presupuneri (despre absența forțelor externe, absența frecării, micimea abaterilor etc.), care în realitate ar putea să nu fie îndeplinite.

În raport cu realitatea, acesta este cel mai adesea un model de tip 4. simplificare(„omitem unele detalii pentru claritate”), deoarece unele caracteristici universale esențiale (de exemplu, disiparea) sunt omise. Într-o anumită aproximare (să zicem, atâta timp cât abaterea sarcinii de la echilibru este mică, cu frecare mică, pentru un timp nu prea lung și supus unor alte condiții), un astfel de model descrie destul de bine un sistem mecanic real, deoarece factorii aruncați au un efect neglijabil asupra comportamentului său . Cu toate acestea, modelul poate fi rafinat luând în considerare unii dintre acești factori. Acest lucru va duce la un nou model, cu un domeniu de aplicare mai larg (deși din nou limitat).

Cu toate acestea, atunci când modelul este rafinat, complexitatea studiului său matematic poate crește semnificativ și poate face modelul practic inutil. Adesea mai mult model simplu vă permite să explorați mai bine și mai profund sistemul real decât unul mai complex (și, formal, „mai corect”).

Dacă aplicăm modelul oscilator armonic la obiecte departe de fizică, statutul său de fond poate fi diferit. De exemplu, atunci când se aplică acest model populațiilor biologice, cel mai probabil ar trebui să fie atribuit tipului 6 analogie(„Să luăm în considerare doar câteva caracteristici”).

Modele dure și moi

Oscilatorul armonic este un exemplu de așa-numit model „hard”. Se obține ca urmare a unei puternice idealizări a unui sistem fizic real. Pentru a rezolva problema aplicabilității sale, este necesar să înțelegem cât de importanți sunt factorii pe care i-am neglijat. Cu alte cuvinte, este necesar să se investigheze modelul „moale”, care se obține printr-o mică perturbare a celui „dur”. Poate fi dat, de exemplu, de următoarea ecuație:

Aici - o funcție, care poate lua în considerare forța de frecare sau dependența coeficientului de rigiditate al arcului de gradul de întindere a acestuia - un parametru mic. Forma explicită a unei funcții f nu ne intereseaza momentan. Dacă demonstrăm că comportamentul unui model soft nu diferă fundamental de comportamentul unui model dur (indiferent de forma explicită a factorilor perturbatori, dacă aceștia sunt suficient de mici), problema se va reduce la studierea modelului dur. În caz contrar, aplicarea rezultatelor obținute în studiul modelului rigid va necesita cercetări suplimentare. De exemplu, soluția ecuației unui oscilator armonic sunt funcții de forma , adică oscilații cu amplitudine constantă. Rezultă de aici că un oscilator real va oscila la nesfârșit cu o amplitudine constantă? Nu, pentru că luând în considerare un sistem cu o frecare arbitrar mică (prezentă întotdeauna într-un sistem real), obținem oscilații amortizate. Comportamentul sistemului s-a schimbat calitativ.

Dacă un sistem își păstrează comportamentul calitativ sub o mică perturbare, se spune că este stabil din punct de vedere structural. Oscilatorul armonic este un exemplu de sistem instabil din punct de vedere structural (negru). Cu toate acestea, acest model poate fi folosit pentru a studia procese pe intervale de timp limitate.

Universalitatea modelelor

Cele mai importante modele matematice au de obicei proprietatea importantă universalitate: fenomene reale fundamental diferite pot fi descrise de același model matematic. De exemplu, un oscilator armonic descrie nu numai comportamentul unei sarcini pe un arc, ci și alte procese oscilatorii, adesea de o natură complet diferită: mici oscilații ale unui pendul, fluctuații ale nivelului lichidului în U-vas în formă sau o modificare a puterii curentului în circuitul oscilator. Astfel, studiind un model matematic, studiem deodată o întreagă clasă de fenomene descrise de acesta. Acest izomorfism al legilor exprimat de modelele matematice în diferite segmente ale cunoștințelor științifice este cel care l-a determinat pe Ludwig von Bertalanffy să creeze „Teoria generală a sistemelor”.

Probleme directe și inverse de modelare matematică

Există multe probleme asociate modelării matematice. În primul rând, este necesar să se vină cu schema de bază a obiectului modelat, să o reproducă în cadrul idealizărilor acestei științe. Deci, un vagon se transformă într-un sistem de plăci și corpuri mai complexe din materiale diferite, fiecare material este specificat ca idealizare mecanică standard (densitate, module elastice, caracteristici standard de rezistență), după care se întocmesc ecuații, pe parcurs se aruncă unele detalii ca nesemnificative, se fac calcule, se raportează cu măsurători, se perfecționează modelul, si asa mai departe. Cu toate acestea, pentru dezvoltarea tehnologiilor de modelare matematică, este utilă dezasamblarea acestui proces în principalele sale elemente constitutive.

În mod tradițional, există două clase principale de probleme asociate modelelor matematice: directe și inverse.

Problemă directă: structura modelului și toți parametrii acestuia sunt considerați cunoscuți, sarcina principală este studierea modelului pentru a extrage cunoștințe utile despre obiect. Ce sarcină statică poate rezista podul? Cum va reacționa la o sarcină dinamică (de exemplu, la marșul unei companii de soldați sau la trecerea unui tren cu viteze diferite), cum va depăși avionul bariera sonoră, dacă se va destrăma de flutter - acestea sunt exemple tipice de sarcină directă. Stabilirea corectă a problemei directe (a pune întrebarea corectă) necesită abilități speciale. Dacă nu sunt puse întrebările potrivite, podul se poate prăbuși chiar dacă a fost construit. model bun pentru comportamentul lui. Deci, în 1879, în Anglia, un pod metalic peste râul Tey s-a prăbușit, ai cărui proiectanți au construit un model al podului, l-au calculat pentru o marjă de siguranță de 20 de ori pentru sarcina utilă, dar au uitat de vânturile care suflau constant în acelea. locuri. Și după un an și jumătate s-a prăbușit.

În cel mai simplu caz (ecuația unui oscilator, de exemplu), problema directă este foarte simplă și se reduce la o soluție explicită a acestei ecuații.

Problemă inversă: sunt cunoscute multe modele posibile, este necesar să alegeți un model anume pe baza unor date suplimentare despre obiect. Cel mai adesea, structura modelului este cunoscută și trebuie determinați niște parametri necunoscuți. Informații suplimentare poate consta în date empirice suplimentare sau în cerințele pentru obiect ( sarcina de proiectare). Date suplimentare pot veni indiferent de procesul de rezolvare a problemei inverse ( observație pasivă) sau să fie rezultatul unui experiment special planificat în cursul rezolvării ( supraveghere activă).

Unul dintre primele exemple de soluție virtuoasă a unei probleme inverse cu utilizarea cât mai deplină posibilă a datelor disponibile a fost metoda construită de I. Newton pentru reconstrucția forțelor de frecare din oscilațiile amortizate observate.

Exemple suplimentare

Unde X s- dimensiunea populației „de echilibru”, la care natalitatea este exact compensată de rata mortalității. Mărimea populației într-un astfel de model tinde spre valoarea de echilibru X s, iar acest comportament este stabil din punct de vedere structural.

Acest sistem are o stare de echilibru în care numărul de iepuri și vulpi este constant. Abaterea de la această stare duce la fluctuații ale numărului de iepuri și vulpi, similare cu fluctuațiile oscilatorului armonic. Ca și în cazul oscilatorului armonic, acest comportament nu este stabil din punct de vedere structural: o mică modificare a modelului (de exemplu, ținând cont de resursele limitate necesare iepurilor) poate duce la o schimbare calitativă a comportamentului. De exemplu, starea de echilibru poate deveni stabilă, iar fluctuațiile populației se vor estompa. Este posibilă și situația inversă, când orice mică abatere de la poziția de echilibru va duce la consecințe catastrofale, până la dispariția completă a uneia dintre specii. La întrebarea care dintre aceste scenarii se realizează, modelul Volterra-Lotka nu oferă un răspuns: aici sunt necesare cercetări suplimentare.

Note

1. „O reprezentare matematică a realității” (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I.B., Despre chestiuni filozofice ale modelării cibernetice. M., Cunoașterea, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelare sisteme: Proc. pentru universități - ed. a III-a, revizuită. si suplimentare - M.: Mai sus. şcoală, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mihailov A. P. Modelare matematică. Idei. Metode. Exemple. . - Ed. a II-a, Rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Elemente de teoria modelelor matematice. - Ed. a 3-a, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 cu ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wikționar: modele matematice
7. Cliffs Note
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomenas, Springer, seria Complexity, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. „O teorie este considerată a fi liniară sau neliniară, în funcție de ce - liniar sau neliniar - aparat matematic, ce - liniare sau neliniare - modele matematice folosește. ... fără a nega aceasta din urmă. Un fizician modern, dacă s-ar întâmpla să redefinească o entitate atât de importantă ca neliniaritate, cel mai probabil ar acționa diferit și, preferând neliniaritatea ca fiind cea mai importantă și comună dintre cele două opuse, ar defini liniaritatea ca „non-non- liniaritate”. Danilov Yu. A., Prelegeri despre dinamica neliniară. Introducere elementară. Sinergetice: de la trecut la seria viitor. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
10. « Sisteme dinamice, modelat printr-un număr finit de ordinare ecuatii diferentiale, se numesc concentrate sau sisteme de puncte. Ele sunt descrise folosind un spațiu de fază cu dimensiuni finite și sunt caracterizate de un număr finit de grade de libertate. Același sistem în diverse conditii poate fi considerat fie concentrat, fie distribuit. Modelele matematice ale sistemelor distribuite sunt ecuații diferențiale parțiale, ecuații integrale sau ecuații de întârziere obișnuite. Numărul de grade de libertate ale unui sistem distribuit este infinit și este necesar un număr infinit de date pentru a determina starea acestuia. Anishchenko V.S., Sisteme dinamice, Jurnalul Educațional Soros, 1997, nr. 11, p. 77-84.
11. „În funcție de natura proceselor studiate în sistemul S, toate tipurile de modelare pot fi împărțite în deterministă și stocastică, statică și dinamică, discretă, continuă și discret-continuă. Modelarea deterministă prezintă procese deterministe, adică procese în care se presupune absența oricăror influențe aleatorii; modelarea stocastică afișează procese și evenimente probabilistice. … Modelarea statică este folosită pentru a descrie comportamentul unui obiect în orice moment în timp, în timp ce modelarea dinamică reflectă comportamentul unui obiect în timp. Modelarea discretă servește pentru a descrie procesele care se presupune că sunt discrete, respectiv, modelarea continuă vă permite să reflectați procesele continue în sisteme, iar modelarea discret-continuă este utilizată pentru cazurile în care doriți să evidențiați prezența atât a proceselor discrete, cât și a celor continue. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelare sisteme: Proc. pentru universități - ed. a III-a, revizuită. si suplimentare - M.: Mai sus. şcoală, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
12. De obicei, modelul matematic reflectă structura (dispozitivul) obiectului care se modelează, proprietățile și interconexiunile componentelor acestui obiect care sunt esențiale pentru scopurile studiului; un astfel de model se numește structural. Dacă modelul reflectă doar modul în care funcționează obiectul - de exemplu, cum reacționează la influențele externe - atunci se numește o cutie funcțională sau, la figurat, o cutie neagră. Sunt posibile și modele combinate. Myshkis A.D., Elemente de teoria modelelor matematice. - Ed. a 3-a, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 cu ISBN 978-5-484-00953-4
13. „Evident, dar cea mai importantă etapă inițială a construirii sau alegerii unui model matematic este obținerea unei idei cât mai clare despre obiectul modelat și rafinarea modelului său de conținut pe baza discuțiilor informale. Timpul și eforturile nu trebuie cruțate în această etapă; succesul întregului studiu depinde în mare măsură de acesta. Nu o dată s-a întâmplat ca munca considerabilă petrecută pentru rezolvarea unei probleme matematice să se dovedească a fi ineficientă sau chiar irosită din cauza atenției insuficiente acordate acestei părți a problemei. Myshkis A.D., Elemente de teoria modelelor matematice. - Ed. a 3-a, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 cu ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
14. « Descrierea modelului conceptual al sistemului. La această sub-etapă a construirii unui model de sistem: a) modelul conceptual M este descris în termeni și concepte abstracte; b) se face o descriere a modelului folosind scheme matematice tipice; c) ipotezele și ipotezele sunt în cele din urmă acceptate; d) este fundamentată alegerea unei proceduri de aproximare a proceselor reale la construirea unui model. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelare sisteme: Proc. pentru universități - ed. a III-a, revizuită. si suplimentare - M.: Mai sus. şcoală, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.

Un model matematic al unui obiect tehnic este un set de obiecte matematice și relații dintre ele care reflectă în mod adecvat proprietățile obiectului studiat care sunt de interes pentru cercetător (inginer).

Modelul poate fi reprezentat în diferite moduri.

Forme de reprezentare model:

invariant - înregistrarea relațiilor modelului folosind un limbaj matematic tradițional, indiferent de metoda de rezolvare a ecuațiilor modelului;

analitic - înregistrarea modelului sub forma rezultatului unei soluții analitice a ecuațiilor inițiale ale modelului;

algoritmic - înregistrarea relațiilor modelului și a metodei numerice selectate de soluție sub forma unui algoritm.

schematică (grafică) - reprezentarea modelului într-un limbaj grafic (de exemplu, limbajul graficelor, circuitelor echivalente, diagramelor etc.);

fizic

analogic

Cea mai universală este descrierea matematică a proceselor - modelare matematică.

Conceptul de modelare matematică include și procesul de rezolvare a unei probleme pe un computer.

Modelul matematic generalizat

Modelul matematic descrie relația dintre datele inițiale și valorile dorite.

Elementele modelului matematic generalizat sunt (Fig. 1): un set de date de intrare (variabile) X,Y;

X - set de variabile variabile; Y - variabile independente (constante);

operator matematic L care definește operații asupra acestor date; care este înțeles ca un sistem complet de operații matematice care descriu relații numerice sau logice între seturi de date de intrare și de ieșire (variabile);

set de date de ieșire (variabile) G(X,Y); este un set de funcții criteriale, inclusiv (dacă este necesar) funcția obiectiv.

Modelul matematic este un analog matematic al obiectului proiectat. Gradul de adecvare a obiectului său este determinat de formularea și corectitudinea soluțiilor la problema de proiectare.

Setul de parametri variabili (variabile) X formează spațiul parametrilor variabili Rx (spațiul de căutare), care este metrică cu dimensiunea n egală cu numărul de parametri variabili.

Setul de variabile independente Y formează spațiul metric al datelor de intrare Ry. În cazul în care fiecare componentă a spațiului Ry este dată de un interval de valori posibile, setul de variabile independente este mapat la un subspațiu limitat al spațiului Ry.

Setul de variabile independente Y determină mediul de funcționare a obiectului, adică. condiţiile externe în care va funcţiona obiectul proiectat

Poate fi:

• - specificatii tehnice un obiect care nu este supus modificării în timpul procesului de proiectare;
• - perturbaţii fizice ale mediului cu care interacţionează obiectul de proiectare;
• - parametrii tactici pe care trebuie să-i realizeze obiectul de proiectare.

Datele de ieșire ale modelului generalizat considerat formează un spațiu metric al indicatorilor criterii RG.

Schema de utilizare a unui model matematic într-un sistem de proiectare asistată de calculator este prezentată în Fig.2.

Cerințe pentru modelul matematic

Principalele cerințe pentru modelele matematice sunt cerințele de adecvare, universalitate și economie.

Adecvarea. Modelul este considerat adecvat dacă reflectă proprietățile date cu o acuratețe acceptabilă. Precizia este definită ca gradul de acord între valorile parametrilor de ieșire ai modelului și obiectului.

Precizia modelului este diferită în conditii diferite functionarea obiectului. Aceste condiții sunt caracterizate de parametri externi. În spațiul parametrilor externi, selectați regiunea de adecvare a modelului, unde eroarea este mai mică decât eroarea maximă admisă specificată. Determinarea domeniului adecvării modelului este o procedură complexă care necesită costuri de calcul mari, care cresc rapid odată cu creșterea dimensiunii spațiului parametrilor externi. Această sarcină poate depăși semnificativ sarcina de optimizare parametrică a modelului în sine în volum, prin urmare, este posibil să nu fie rezolvată pentru obiectele nou proiectate.

Universalitatea – este determinată în principal de numărul și compoziția parametrilor externi și de ieșire luați în considerare în model.

Economia modelului este caracterizată de costul resurselor de calcul pentru implementarea acestuia - costul timpului și al memoriei computerului.

Cerințele contradictorii ca un model să aibă o gamă largă de adecvare, un grad ridicat de universalitate și eficiență ridicată determină utilizarea unui număr de modele pentru obiecte de același tip.

Metode de recuperare a modelului

Obțineți modele caz general- procedura neformalizata. Principalele decizii privind alegerea tipului de relații matematice, natura variabilelor și parametrilor utilizați, sunt luate de proiectant. În același timp, operațiuni precum calculul valorilor numerice ale parametrilor modelului, determinarea zonelor de adecvare și altele sunt algoritmizate și rezolvate pe computer. Prin urmare, modelarea elementelor sistemului proiectat este realizată de obicei de către specialiști în domenii tehnice specifice folosind studii experimentale tradiționale.

Metodele de obținere a modelelor funcționale ale elementelor sunt împărțite în teoretice și experimentale.

Metodele teoretice se bazează pe studiul regularităților fizice ale proceselor care au loc în obiect, determinarea descrierii matematice corespunzătoare acestor regularități, fundamentarea și acceptarea ipotezelor simplificatoare, efectuarea calculelor necesare și aducerea rezultatului la forma acceptată de reprezentare a modelului.

Metodele experimentale se bazează pe utilizare manifestări externe proprietățile obiectului, înregistrate în timpul funcționării aceluiași tip de obiecte sau în timpul experimentelor vizate.

În ciuda naturii euristice a multor operații, modelarea are o serie de prevederi și tehnici comune pentru obținerea de modele ale diferitelor obiecte. Ele sunt destul de generale în natură.

tehnica de macro modelare,

metode matematice pentru planificarea experimentelor,

algoritmi pentru operații formalizate pentru calcularea valorilor numerice ale parametrilor și determinarea zonelor de adecvare.

Utilizarea modelelor matematice

Puterea de calcul a computerelor moderne, combinată cu furnizarea tuturor resurselor de sistem către utilizator, posibilitatea unui mod interactiv atunci când se rezolvă o problemă și se analizează rezultatele, fac posibilă reducerea la minimum a timpului de rezolvare a unei probleme.

Atunci când elaborează un model matematic, cercetătorul trebuie să:

studiază proprietățile obiectului studiat;

capacitatea de a separa proprietățile principale ale obiectului de cele secundare;

evaluează ipotezele făcute.

Modelul descrie relația dintre datele de intrare și valorile dorite. Secvența de acțiuni care trebuie efectuată pentru a trece de la datele inițiale la valorile dorite se numește algoritm.

Algoritmul pentru rezolvarea problemei pe un computer este asociat cu alegerea unei metode numerice. In functie de forma de reprezentare a modelului matematic (forma algebrica sau diferentiala) se folosesc diverse metode numerice.

Esența modelării economice și matematice constă în descrierea sistemelor și proceselor socio-economice sub formă de modele economice și matematice.

Să luăm în considerare întrebările de clasificare a metodelor economice și matematice. Aceste metode, după cum sa menționat mai sus, sunt un complex de discipline economice și matematice care sunt un aliaj de economie, matematică și cibernetică.

Prin urmare, clasificarea metodelor economice și matematice se reduce la clasificarea disciplinelor științifice incluse în componența acestora. Deși clasificarea general acceptată a acestor discipline nu a fost încă elaborată, cu un anumit grad de aproximare, în alcătuirea metodelor economice și matematice se pot distinge următoarele secțiuni:

• * cibernetica economică: analiza de sistem a economiei, teoria informaţiei economice şi teoria sistemelor de control;
• * statistica matematica: aplicatii economice ale acestei discipline - metoda de esantionare, analiza variantei, analiza corelatiei, analiza regresiei, analiza statistica multivariata, analiza factorilor, teoria indicilor etc.;
• * Economie matematică și econometrie care studiază aceleași probleme din punct de vedere cantitativ: teoria creșterii economice, teoria funcțiilor de producție, bilanțele intersectoriale, conturile naționale, analiza cererii și consumului, analiza regională și spațială, modelarea globală etc. .;
• * metode de luare a deciziilor optime, inclusiv studiul operațiunilor din economie. Aceasta este cea mai voluminoasă secțiune, care include următoarele discipline și metode: programare optimă (matematică), inclusiv metode ramificate și legate, metode de planificare și control al rețelei, metode de planificare și control orientate pe programe, teoria și metodele de gestionare a stocurilor, teoria cozilor de așteptare , teoria jocurilor, teoria și metodele deciziei, teoria programării. Programarea optimă (matematică) include, la rândul său, programarea liniară, programarea neliniară, programarea dinamică, programarea discretă (întreg), programarea liniară fracțională, programarea parametrică, programarea separabilă, programarea stocastică, programarea geometrică;
• * Metode și discipline care sunt specifice atât unei economii planificate la nivel central, cât și unei economii de piață (competitivă). Primele includ teoria funcționării optime a economiei, planificarea optimă, teoria prețului optim, modele de logistică etc. Cele din urmă includ metode care permit dezvoltarea modelelor de concurență liberă, modele ale ciclului capitalist, modele de monopol, modele. de planificare orientativă, modele ale teoriei firmei etc.

Multe dintre metodele dezvoltate pentru o economie planificată central pot fi utile și în modelarea economică și matematică într-o economie de piață;

* metode de studiu experimental al fenomenelor economice. Acestea includ, de regulă, metode matematice de analiză și planificare a experimentelor economice, metode de simulare a mașinilor (modelare prin simulare), jocuri de afaceri. Aceasta include, de asemenea, metode de evaluări experți dezvoltate pentru a evalua fenomene care nu pot fi măsurate direct.

Să ne întoarcem acum la întrebările clasificării modelelor economice și matematice, cu alte cuvinte, modelelor matematice ale sistemelor și proceselor socio-economice.

În prezent, nici un sistem de clasificare unificat pentru astfel de modele nu există, cu toate acestea, de obicei se disting mai mult de zece caracteristici principale ale clasificării lor sau titluri de clasificare. Să aruncăm o privire la unele dintre aceste secțiuni.

În funcție de scopul general, modelele economice și matematice sunt împărțite în teoretice și analitice, utilizate în studiu. proprietăți comuneși legile proceselor economice, și aplicate, utilizate în rezolvarea problemelor economice specifice de analiză, prognoză și management. tipuri diferite modelele economice și matematice aplicate sunt doar luate în considerare în acest tutorial.

În funcție de gradul de agregare al obiectelor de modelare, modelele sunt împărțite în macroeconomice și microeconomice. Deși nu există o distincție clară între ele, primul dintre ele include modele care reflectă funcționarea economiei în ansamblu, în timp ce modelele microeconomice sunt asociate, de regulă, cu părți ale economiei precum întreprinderile și firmele.

După un scop specific, adică după scopul creării și aplicării, se disting modele de echilibru, exprimând cerința ca disponibilitatea resurselor să corespundă utilizării acestora; modele de trend, în care dezvoltarea sistemului economic modelat se reflectă prin tendința (tendința pe termen lung) a principalilor săi indicatori; modele de optimizare concepute pentru selecție cea mai bună opțiune dintr-un anumit număr de opțiuni de producție, distribuție sau consum; modele de simulare destinate utilizării în procesul de simulare automată a sistemelor sau proceselor aflate în studiu etc.

După tipul de informații utilizate în model, modelele economico-matematice se împart în analitice, construite pe informații a priori, și identificabile, construite pe informații a posteriori.

Luând în considerare factorul timp, modelele sunt împărțite în statice, în care toate dependențele sunt legate de un moment în timp, și dinamice, care descriu sistemele economice în dezvoltare.

Luând în considerare factorul de incertitudine, modelele sunt împărțite în unele deterministe, dacă rezultatele rezultate în ele sunt determinate în mod unic de acțiuni de control și stocastice (probabilistice), dacă atunci când un anumit set de valori este specificat la intrarea modelului , ieșirea sa poate produce rezultate diferite în funcție de acțiunea unui factor aleator.

Modelele economice și matematice pot fi clasificate și în funcție de caracteristicile obiectelor matematice incluse în model, cu alte cuvinte, după tipul de aparate matematice utilizate în model. Pe această bază, modele matriceale, modele de programare liniară și neliniară, modele de corelație-regresie,

Concepte de bază de modelare matematică a modelului teoriei cozilor, modelului de planificare și control al rețelei, model al teoriei jocurilor etc.

În sfârșit, după tipul de abordare a sistemelor socio-economice studiate, se disting modele descriptive și normative. Cu o abordare descriptivă (descriptivă) se obțin modele care sunt menite să descrie și să explice fenomenele observate efectiv sau să prezică aceste fenomene; Ca exemplu de modele descriptive, putem cita modelele de echilibru și tendințe denumite anterior. Cu o abordare normativă, nu sunt interesați de modul în care se organizează și se dezvoltă economia. sistem economic, ci cum ar trebui amenajat si cum ar trebui sa actioneze in sensul anumitor criterii. În special, toate modelele de optimizare sunt de tip normativ; modelele normative ale nivelului de trai pot servi drept un alt exemplu.

Să luăm ca exemplu modelul economico-matematic al balanței intrare-ieșire (EMM IOB). Ținând cont de rubricile de clasificare de mai sus, acesta este un model aplicat, macroeconomic, analitic, descriptiv, determinist, de echilibru, matriceal; în timp ce ele există ca metode statice cât şi dinamică

Programarea liniară este o ramură specială a programării optime. La rândul său, programarea optimă (matematică) este o ramură a matematicii aplicate care studiază problemele de optimizare condiționată. În economie, astfel de probleme apar în implementarea practică a principiului optimității în planificare și management.

O condiție necesară pentru utilizarea abordării optime a planificării și managementului (principiul optimității) este flexibilitatea, alternativitatea producției și situațiile economice în care trebuie luate decizii de planificare și management. Aceste situații sunt, de regulă, cele care alcătuiesc practica zilnică a unei entități economice (alegerea unui program de producție, atașarea la furnizori, rutarea, tăierea materialelor, pregătirea amestecurilor etc.).

Esența principiului optimității constă în dorința de a alege o astfel de decizie de planificare și management cel mai bun mod ar lua în considerare capacitățile interne și condițiile externe ale activității de producție a unei entități economice.

Cuvintele „în cel mai bun mod” înseamnă aici alegerea unui criteriu de optimitate, i.e. vreun indicator economic care vă permite să comparați eficacitatea anumitor decizii de planificare și management. Criterii tradiționale de optimitate: „profit maxim”, „costuri minime”, „profitabilitate maximă”, etc. Cuvintele „ar ține cont de capacitățile interne și de condițiile externe ale activității de producție” înseamnă că se impun o serie de condiții pentru alegerea o decizie de planificare și management (comportament), t .e. alegerea lui X se realizează dintr-o anumită regiune de soluții posibile (admisibile) D; această zonă se mai numește și zonă de definire a problemei. o problemă generală de programare optimă (matematică), în rest, un model matematic al unei probleme de programare optimă, a cărei construcție (dezvoltare) se bazează pe principiile optimității și consistenței.

Un vector X (un set de variabile de control Xj, j = 1, n) se numește o soluție fezabilă, sau un plan optim al problemei de programare, dacă satisface sistemul de constrângeri. Iar planul X (soluția admisibilă) care furnizează maximul sau minimul funcției obiectiv f(xi, *2, ..., xn) se numește planul optim (comportamentul optim, sau pur și simplu soluția) a problemei de programare optimă.

Astfel, alegerea unui comportament managerial optim într-o situație specifică de producție este asociată cu realizarea modelării economice și matematice din punct de vedere al consistenței și optimității și cu rezolvarea problemei programării optime. Problemele de programare optimă în forma cea mai generală sunt clasificate după următoarele criterii.

• 1. După natura relației dintre variabile -
• a) liniară
• b) neliniară.

În cazul a) toate conexiunile funcționale din sistemul de restricții și funcția scop sunt funcții liniare; prezenţa unei neliniarităţi în cel puţin unul dintre elementele menţionate duce la cazul b).

• 2. Prin natura modificării variabilelor --
• a) continuu
• b) discret.

În cazul a) valorile fiecăreia dintre variabilele de control pot umple complet o anumită zonă de numere reale; în cazul b) toată sau cel puţin o variabilă poate lua numai valori întregi.

• 3. Luând în considerare factorul timp -
• a) static
• b) dinamic.

În sarcinile a), modelarea și luarea deciziilor sunt efectuate sub ipoteza că elementele modelului sunt independente de timp în perioada de timp pentru care se ia o decizie de planificare și management. În cazul b), o astfel de presupunere nu poate fi acceptată cu un motiv suficient și trebuie luat în considerare factorul timp.

• 4. În funcție de disponibilitatea informațiilor despre variabile --
• a) sarcini în condiții de certitudine deplină (deterministă),
• b) sarcini în condiții de informare incompletă,
• c) sarcini în condiţii de incertitudine.

În problemele b), elementele individuale sunt mărimi probabilistice, dar legile lor de distribuție sunt cunoscute sau se pot stabili studii statistice suplimentare. În cazul c), se poate face o presupunere cu privire la posibilele rezultate ale elementelor aleatorii, dar nu este posibil să se tragă o concluzie despre probabilitățile rezultatelor.

• 5. După numărul de criterii de evaluare a alternativelor -
• a) sarcini simple, cu un singur criteriu,
• b) sarcini complexe, multicriteriale.

În sarcinile a) este acceptabil din punct de vedere economic să se utilizeze un criteriu de optimitate sau este posibil prin proceduri speciale (de exemplu, „ponderare prioritară”)

INTRODUCERE

Este imposibil să ne imaginăm știința modernă fără aplicare largă modelare matematică. Esența acestei metodologii este înlocuirea obiectului original cu „imaginea” acestuia – un model matematic – și studierea în continuare a modelului folosind algoritmi logici computaționali implementați pe computere. Această „a treia metodă” de cunoaștere, design, design combină multe avantaje atât ale teoriei, cât și ale experimentului. Lucrul nu cu obiectul în sine (fenomen, proces), ci cu modelul său face posibilă studierea proprietăților și comportamentului acestuia fără durere, relativ rapid și fără costuri semnificative în orice situații imaginabile (avantajele teoriei). În același timp, experimentele de calcul (calculator, simulare, simulare) cu modele de obiecte fac posibilă, bazându-se pe puterea metodelor de calcul moderne și a instrumentelor tehnice ale informaticii, studierea obiectelor suficient de detaliat și în profunzime, într-un mod suficient de complet, inaccesibil. la abordări pur teoretice (avantaje experimentale). Nu este surprinzător faptul că metodologia modelării matematice se dezvoltă rapid, acoperind toate domeniile noi - de la dezvoltarea sisteme tehniceşi managementul acestora la analiza celor mai complexe procese economice şi sociale.

Elemente de modelare matematică au fost folosite încă de la începutul apariției științelor exacte și nu este o coincidență faptul că unele metode de calcul poartă numele unor lumini ai științei precum Newton și Euler, iar cuvântul „algoritm” provine din numele savantului arab medieval Al-Khwarizmi. A doua „naștere” a acestei metodologii a avut loc la sfârșitul anilor 1940 și începutul anilor 1950 și sa datorat a cel puțin două motive. Prima dintre acestea este apariția computerelor (calculatoarelor), deși modeste în raport cu standardele actuale, dar cu toate acestea i-a salvat pe oamenii de știință de la o cantitate imensă de muncă de calcul de rutină. A doua este o ordine socială fără precedent - punerea în aplicare a programelor naționale ale URSS și ale SUA pentru a crea un scut antirachetă nuclear, care nu a putut fi implementat prin metode tradiționale. Modelarea matematică a făcut față acestei sarcini: exploziile nucleare și zborurile de rachete și sateliți au fost anterior „efectuate” în adâncurile computerelor cu ajutorul modelelor matematice și abia apoi puse în practică. Acest succes a determinat în mare măsură realizările ulterioare ale metodologiei, fără aplicarea căreia niciun proiect tehnologic, de mediu sau economic de amploare nu este acum serios luat în considerare în țările dezvoltate (acesta este valabil și în legătură cu unele proiecte socio-politice).

Acum modelarea matematică intră în a treia etapă fundamental importantă a dezvoltării sale, „integrandu-se” în structurile așa-numitei societăți informaționale. Progresul impresionant în mijloacele de procesare, transmitere și stocare a informațiilor corespunde tendințelor globale de complicare și penetrare reciprocă diverse zone activitate umana. Fără deținerea de „resurse” informaționale este imposibil să ne gândim măcar la rezolvarea problemelor din ce în ce mai mari și mai diverse cu care se confruntă comunitatea mondială. Cu toate acestea, informațiile ca atare deseori nu contribuie la analiză și prognoză, la luarea deciziilor și la monitorizarea implementării acestora. Avem nevoie de modalități fiabile de procesare a informațiilor „materii prime” într-un „produs” finit, adică în cunoștințe exacte. Istoria metodologiei modelării matematice convinge: poate și trebuie să fie nucleul intelectual tehnologia Informatiei, întregul proces de informatizare a societăţii.

Sisteme tehnice, ecologice, economice și de altă natură studiate stiinta moderna, nu mai pot fi investigate (cu caracterul complet și cu acuratețea cerute) prin metode teoretice convenționale. Un experiment direct la scară largă asupra lor este lung, costisitor, adesea fie periculos, fie pur și simplu imposibil, deoarece multe dintre aceste sisteme există într-o „copie unică”. Prețul greșelilor și calculelor greșite în gestionarea acestora este inacceptabil de mare. Prin urmare, modelarea matematică (mai larg - informațională) este o componentă inevitabilă a progresului științific și tehnologic.

Având în vedere problema mai larg, reamintim că modelarea este prezentă în aproape toate tipurile de activitate creativă a oamenilor de diverse „specialități” – cercetători și antreprenori, politicieni și lideri militari. Introducerea cunoștințelor exacte în aceste sfere ajută la limitarea „modelării” speculative intuitive, extinde domeniul de aplicare al metodelor raționale. Desigur, modelarea matematică este fructuoasă numai atunci când sunt îndeplinite cerințe profesionale binecunoscute: o formulare clară a conceptelor și ipotezelor de bază, analiza a posteriori a adecvării modelelor utilizate, acuratețea garantată a algoritmilor de calcul etc. Dacă vorbim despre sisteme de modelare cu participarea „factorului uman”, adică obiecte care sunt greu de formalizat, apoi la aceste cerințe este necesar să se adauge o distincție precisă între termenii matematici și cei de zi cu zi (sunând la fel, dar având un sens diferit), aplicarea atentă a unui aparat matematic gata făcut la studiul fenomenelor și proceselor (calea „de la problemă la metodă” este de preferat și nu invers) și o serie de altele.

Rezolvând problemele societății informaționale, ar fi naiv să ne bazăm doar pe puterea computerelor și a altor instrumente informatice. Îmbunătățirea continuă a triadei modelării matematice și implementarea acesteia în sistemele moderne de modelare informațională este un imperativ metodologic. Doar implementarea sa face posibilă obținerea materialelor și a produselor intelectuale de înaltă tehnologie, competitive și diverse de care avem atâta nevoie.

Tema pe care am ales-o este relevantă în matematica modernă și în aplicațiile acesteia. În abordarea științifică modernă a studiului obiectelor naturale, tehnice și socio-economice, importanța modelării matematice a proceselor care au loc în acestea este din ce în ce mai mare. Studiul natural al comportamentului obiectelor și sistemelor în astfel de moduri și condiții este imposibil sau dificil, ceea ce obligă la utilizarea metodelor de modelare matematică.

Scopul acestui curs este de a învăța cum să folosești metodele de modelare matematică pentru a studia diferite procese sociale naturale.

Sarcini stabilite pentru atingerea scopului:

n Să studieze întrebări teoretice de modelare matematică, clasificare a modelelor.

CONCEPTE DE BAZĂ DE MODELARE MATEMATICĂ

Modelare- o metodă de cercetare științifică a fenomenelor, proceselor, obiectelor, dispozitivelor sau sistemelor (în general - obiecte de cercetare), bazată pe construcția și studiul modelelor în scopul obținerii de noi cunoștințe, îmbunătățirii caracteristicilor obiectelor de cercetare sau gestionării acestora.

Model- un obiect sau o imagine material (mental sau condiționat: ipoteză, idee, abstractizare, imagine, descriere, diagramă, formulă, desen, plan, hartă, diagramă algoritmică, note etc.), care afișează pur și simplu cele mai esențiale proprietăți ale obiectului cercetare.

Orice model este întotdeauna mai simplu decât un obiect real și afișează doar o parte din cele mai esențiale caracteristici, elemente principale și conexiuni. Din acest motiv, pentru un obiect de studiu, există multe modele diferite. Tipul de model depinde de scopul ales al modelării.

Termenul „model” se bazează pe cuvântul latin modulus - măsură, probă. Modelul este un substitut pentru obiectul real de studiu. Modelul este întotdeauna mai simplu decât obiectul studiat. Când se studiază fenomene, procese, obiecte complexe, nu este posibil să se ia în considerare totalitatea tuturor elementelor și relațiilor care le determină proprietățile.

Dar toate elementele și conexiunile din modelul creat nu trebuie luate în considerare. Este necesar doar să evidențiem componentele cele mai caracteristice, dominante, care determină în mod covârșitor principalele proprietăți ale obiectului de studiu. Ca urmare, obiectul de studiu este înlocuit cu o oarecare similitudine simplificată, dar cu proprietăți caracteristice, principale, similare cu cele ale obiectului de studiu. Un nou obiect (sau abstracție) care a apărut ca urmare a substituției este de obicei numit model al obiectului de studiu.

Pentru a compila modele matematice, puteți folosi orice mijloace matematice - calcul diferențial și integral, analiză de regresie, teoria probabilității, statistică matematică etc. Un model matematic este un set de formule, ecuații, inegalități, condiții logice etc. Relațiile matematice utilizate în modelarea matematică determină procesul de modificare a stării obiectului de studiu în funcție de parametrii acestuia, semnalele de intrare, condiții inițiale si timpul. În esență, toată matematica este concepută pentru a forma modele matematice.

O mare importanță matematica pentru toate celelalte științe (inclusiv modelare) spune următorul fapt. Marele fizician englez I. Newton (1643-1727) la mijlocul secolului al XVII-lea a făcut cunoștință cu lucrările lui Rene Descartes și Pierre Gassendi. Aceste lucrări afirmau că întreaga structură a lumii poate fi descrisă prin formule matematice. Sub influența acestor lucrări, I. Newton a început să studieze intens matematica. Contribuția sa la fizică și matematică este cunoscută pe scară largă.

Modelarea matematică este o metodă de studiu a unui obiect de studiu bazată pe crearea modelului său matematic și utilizarea acestuia pentru a obține noi cunoștințe, a îmbunătăți obiectul de studiu sau a gestiona obiectul.

Pentru modelarea matematica, este caracteristic ca procesele de functionare a obiectului sa fie scrise sub forma unor relatii matematice (algebrice, integrale), scrise sub forma unor conditii logice.

Ecuațiile diferențiale sunt unul dintre principalele mijloace de compilare a modelelor matematice care sunt cele mai utilizate pe scară largă în rezolvarea problemelor matematice. La studierea proceselor fizice, la rezolvarea diferitelor probleme aplicate, de regulă, nu este posibil să se găsească direct legile care leagă mărimile care caracterizează fenomenele studiate. De obicei, este mai ușor să se stabilească relații între aceleași cantități și derivatele sau diferențiale ale acestora. Relațiile de acest fel se numesc ecuații diferențiale. Posibilitățile și regulile de compilare a ecuațiilor diferențiale sunt determinate de cunoașterea legilor domeniului științei cu care este asociată natura problemei studiate. Deci, de exemplu, legile lui Newton pot fi folosite în mecanică, în teoria vitezelor reacții chimice- legea acţiunii în masă etc. Cu toate acestea, în practică există adesea cazuri în care nu se cunosc legile care ar putea face posibilă întocmirea unei ecuații diferențiale. Apoi se recurge la diverse ipoteze simplificatoare privind cursul procesului cu mici modificări ale parametrilor-variabile. În acest caz, trecerea la limită duce la ecuații diferențiale. Problema corespondenței dintre modelul matematic și fenomenul real este rezolvată pe baza analizei rezultatelor, experimentelor și comparării acestora cu comportamentul soluției ecuației diferențiale obținute.

Modele matematice

Model matematic - opi aproximativădescrierea obiectului modelării, exprimată folosindschyu simbolism matematic.

Modelele matematice au apărut împreună cu matematica cu multe secole în urmă. Un impuls uriaș pentru dezvoltarea modelării matematice a fost dat de apariția computerelor. Utilizarea computerelor a făcut posibilă analizarea și punerea în practică a multor modele matematice care anterior nu fuseseră susceptibile de cercetare analitică. Matematică implementată pe calculatormodel de cer numit model matematic pe calculator, A efectuarea de calcule țintite folosind un model computerizat numit experiment de calcul.

Etape ale calculatorului matematic moştergere prezentată în figură. Primuletapă - definirea obiectivelor de modelare. Aceste obiective pot fi diferite:

1. este necesar un model pentru a înțelege cum funcționează un anumit obiect, care este structura lui, proprietățile de bază, legile dezvoltării și interacțiunii
   cu lumea exterioară (înțelegerea);
2. este necesar un model pentru a învăța cum să controlezi un obiect (sau un proces) și să determini cele mai bune moduri management cu obiective și criterii date (management);
3. modelul este necesar pentru a prezice consecințele directe și indirecte ale implementării metodelor și formelor de impact specificate asupra obiectului (prognoza).

Să explicăm cu exemple. Fie ca obiectul de studiu interacțiunea unui flux lichid sau gazos cu un corp care reprezintă un obstacol în calea acestui flux. Experiența arată că forța de rezistență la curgere din partea laterală a corpului crește odată cu creșterea vitezei de curgere, dar la o viteză suficient de mare, această forță scade brusc pentru a crește din nou cu o creștere suplimentară a vitezei. Ce a cauzat scăderea forței de rezistență? Modelarea matematică ne permite să obținem un răspuns clar: în momentul unei scăderi bruște a rezistenței, vârtejurile formate în fluxul de lichid sau gaz în spatele corpului aerodinamic încep să se desprindă de acesta și sunt purtate de flux.

Un exemplu dintr-o zonă complet diferită: coexistând pașnic cu un număr stabil de populații a două specii de indivizi cu o bază comună de hrană, „brusc” încep să-și schimbe dramatic numărul. Și aici modelarea matematică permite (cu un anumit grad de certitudine) să se stabilească cauza (sau cel puțin să infirme o anumită ipoteză).

Dezvoltarea conceptului de management al obiectelor este un alt obiectiv posibil al modelării. Ce mod de zbor ar trebui ales pentru ca zborul să fie sigur și cel mai avantajos din punct de vedere economic? Cum să programați sute de tipuri de lucrări la construcția unei facilități mari, astfel încât să se termine cât mai curând posibil? Multe astfel de probleme apar sistematic în fața economiștilor, designerilor și oamenilor de știință.

În fine, prezicerea consecințelor anumitor impacturi asupra unui obiect poate fi atât o chestiune relativ simplă în sistemele fizice simple, cât și extrem de complexă - în pragul fezabilității - în sistemele biologice, economice, sociale. Dacă este relativ ușor să răspunzi la întrebarea despre schimbarea modului de propagare a căldurii într-o tijă subțire cu modificări ale aliajului său constitutiv, atunci este incomparabil mai dificil să urmărești (prevăd) consecințele de mediu și climatice ale construcției unui hidrocentrală mare sau consecințele sociale ale modificărilor în legislația fiscală. Poate că și aici metodele de modelare matematică vor oferi o asistență mai semnificativă în viitor.

Faza a doua: definirea parametrilor de intrare și de ieșire ai modelului; împărțirea parametrilor de intrare în funcție de gradul de importanță a impactului modificărilor acestora asupra ieșirii. Acest proces se numește clasare sau împărțire după rang (vezi mai jos). „Formalisație și modelare").

Etapa a treia: construirea unui model matematic. În această etapă, are loc o tranziție de la formularea abstractă a modelului la o formulare care are o reprezentare matematică specifică. Un model matematic este ecuații, sisteme de ecuații, sisteme de inegalități, ecuații diferențiale sau sisteme de astfel de ecuații etc.

Etapa a patra: alegerea metodei de studiu a modelului matematic. Cel mai adesea, aici sunt folosite metode numerice, care se pretează bine la programare. De regulă, mai multe metode sunt potrivite pentru rezolvarea aceleiași probleme, care diferă în precizie, stabilitate etc. Succesul întregului proces de modelare depinde adesea de alegerea corectă a metodei.

Etapa a cincea: dezvoltarea unui algoritm, compilarea și depanarea unui program de calculator este un proces greu de formalizat. Dintre limbajele de programare, mulți profesioniști pentru modelarea matematică preferă FORTRAN: atât datorită tradiției, cât și datorită eficienței de neegalat a compilatoarelor (pentru munca de calcul) și prezenței unor biblioteci imense, atent depanate și optimizate de programe standard de metode matematice scrise în aceasta. Limbaje precum PASCAL, BASIC, C sunt de asemenea utilizate, în funcție de natura sarcinii și de înclinațiile programatorului.

A șasea etapă: testarea programului. Se verifică funcționarea programului sarcina de testare cu un răspuns cunoscut. Acesta este doar începutul unei proceduri de testare care este dificil de descris într-un mod formal exhaustiv. De obicei, testarea se termină atunci când utilizatorul, conform caracteristicilor sale profesionale, consideră că programul este corect.

A șaptea etapă: experiment de calcul real, în timpul căruia devine clar dacă modelul corespunde unui obiect (proces) real. Modelul este suficient de adecvat procesului real dacă unele caracteristici ale procesului obţinute pe calculator coincid cu caracteristicile obţinute experimental cu un anumit grad de acurateţe. Dacă modelul nu corespunde procesului real, revenim la una din etapele anterioare.

Clasificarea modelelor matematice

Clasificarea modelelor matematice se poate baza pe diverse principii. Este posibilă clasificarea modelelor pe ramuri ale științei (modele matematice din fizică, biologie, sociologie etc.). Poate fi clasificat în funcție de aparatul matematic aplicat (modele bazate pe utilizarea ecuațiilor diferențiale obișnuite, ecuațiilor diferențiale parțiale, metode stocastice, transformări algebrice discrete etc.). În cele din urmă, pe baza sarcini comune modelarea în diferite științe, indiferent de aparatul matematic, următoarea clasificare este cea mai firească:

• modele descriptive (descriptive);
• modele de optimizare;
• modele multicriteriale;
• modele de jocuri.

Să explicăm acest lucru cu exemple.

Modele descriptive (descriptive).. De exemplu, modelarea mișcării unei comete care a invadat sistem solar, se realizează cu scopul de a prezice traiectoria zborului său, distanța la care va trece de Pământ etc. În acest caz, obiectivele modelării sunt descriptive, deoarece nu există nicio modalitate de a influența mișcarea cometei, de a schimba ceva în ea.

Modele de optimizare sunt folosite pentru a descrie procesele care pot fi influențate în încercarea de a atinge un obiectiv dat. În acest caz, modelul include unul sau mai mulți parametri care pot fi influențați. De exemplu, prin schimbarea regimului termic într-un hambar, se poate stabili un obiectiv de a alege un astfel de regim pentru a realiza o conservare maximă a cerealelor, adică. optimizarea procesului de stocare.

Modele multicriteriale. Adesea este necesară optimizarea procesului în mai mulți parametri în același timp, iar obiectivele pot fi foarte contradictorii. De exemplu, cunoscând prețurile la alimente și nevoia de hrană a unei persoane, este necesar să se organizeze mesele pentru grupuri mari de oameni (în armată, tabără de vară pentru copii etc.) corect fiziologic și, în același timp, cât mai ieftin. Este clar că aceste obiective nu coincid deloc; la modelare se vor folosi mai multe criterii intre care trebuie sa se caute un echilibru.

Modele de jocuri poate fi legat nu numai de jocuri pe calculator dar si la lucruri foarte serioase. De exemplu, înainte de o luptă, în prezența unor informații incomplete despre armata adversă, un comandant trebuie să elaboreze un plan: în ce ordine să aducă anumite unități în luptă etc., ținând cont de posibila reacție a inamicului. Există o secțiune specială a matematicii moderne - teoria jocurilor - care studiază metodele de luare a deciziilor în condițiile unei informații incomplete.

În cursul școlar de informatică, elevii primesc o idee inițială despre modelarea matematică pe computer în cadrul curs de bază. În liceu, modelarea matematică poate fi studiată profund într-un curs de educație generală pentru orele de fizică și matematică, precum și în cadrul unui curs opțional de specialitate.

Principalele forme de predare a modelării matematice pe calculator în liceu sunt cursurile, cursurile de laborator și creditele. De obicei, munca de creare și pregătire pentru studiul fiecărui model nou durează 3-4 lecții. În cursul prezentării materialului sunt stabilite sarcini, care în viitor ar trebui rezolvate de către elevi singuri, în termeni generali, sunt schițate modalități de rezolvare a acestora. Sunt formulate întrebări, răspunsurile la care ar trebui să fie obținute în timpul îndeplinirii sarcinilor. Este indicată literatura suplimentară, care permite obținerea de informații auxiliare pentru îndeplinirea cu succes a sarcinilor.

Forma de organizare a cursurilor în studiul materialelor noi este de obicei o prelegere. După finalizarea discuţiei despre următorul model elevi au la dispoziție informațiile teoretice necesare și un set de sarcini pentru lucrări ulterioare. În pregătirea sarcinii, elevii aleg metoda de rezolvare adecvată, folosind o soluție privată cunoscută, testează programul dezvoltat. În cazul unor dificultăți destul de posibile în îndeplinirea sarcinilor, se acordă consultanță, se propune elaborarea mai detaliată a acestor secțiuni în literatura de specialitate.

Cea mai relevantă pentru partea practică a predării modelării computerizate este metoda proiectelor. Sarcina este formulată pentru elev sub forma unui proiect educațional și se finalizează pe parcursul mai multor lecții, cu principalele forma organizatoricaîn timp ce lucrați în laboratorul de calculatoare. Învățarea modelării folosind metoda proiectului de învățare poate fi implementată la diferite niveluri. Prima este o enunțare a problemei procesului de implementare a proiectului, care este condusă de profesor. Al doilea este implementarea proiectului de către elevi sub îndrumarea unui profesor. Al treilea este implementarea independentă de către studenți a unui proiect de cercetare educațională.

Rezultatele lucrării trebuie prezentate sub formă numerică, sub formă de grafice, diagrame. Dacă este posibil, procesul este prezentat pe ecranul computerului în dinamică. După finalizarea calculelor și primirea rezultatelor, acestea sunt analizate, comparate cu faptele cunoscute din teorie, fiabilitatea este confirmată și se efectuează o interpretare semnificativă, care este reflectată ulterior într-un raport scris.

Dacă rezultatele mulțumesc elevul și profesorul, atunci munca conteaza finalizat, iar etapa sa finală este pregătirea unui raport. Raportul include scurte informații teoretice despre tema studiată, o formulare matematică a problemei, un algoritm de soluție și justificarea acestuia, un program de calculator, rezultatele programului, analiza rezultatelor și concluziilor, o listă de referințe.

Când toate referatele au fost întocmite, la sesiunea de teste, elevii întocmesc scurte rapoarte despre munca depusă, își apără proiectul. Aceasta este o formă eficientă de raportare de către echipa de proiect către clasă, inclusiv stabilirea problemei, construirea unui model formal, alegerea metodelor de lucru cu modelul, implementarea modelului pe computer, lucrul cu modelul finit, interpretarea rezultatelor, prognoza. Drept urmare, elevii pot primi două note: prima - pentru elaborarea proiectului și succesul apărării acestuia, a doua - pentru program, optimitatea algoritmului acestuia, interfață etc. De asemenea, studenții primesc note în cadrul sondajelor de teorie.

O întrebare esențială este ce fel de instrumente să folosești la cursul de informatică școlară pentru modelare matematică? Implementarea pe computer a modelelor poate fi realizată:

• utilizarea unei foi de calcul (de obicei MS Excel);
• prin crearea de programe în limbaje tradiționale de programare (Pascal, BASIC etc.), precum și în versiunile lor moderne (Delphi, Visual
  Basic for Application, etc.);
• folosind pachete software speciale pentru rezolvarea problemelor matematice (MathCAD etc.).

La nivelul școlii elementare, primul remediu pare a fi cel preferat. Cu toate acestea, în liceu, când programarea este, alături de modelare, o temă cheie a informaticii, este de dorit să o implicăm ca instrument de modelare. În procesul de programare, detaliile procedurilor matematice devin disponibile elevilor; în plus, pur și simplu sunt forțați să le stăpânească, iar acest lucru contribuie și la educația matematică. În ceea ce privește utilizarea pachetelor software speciale, aceasta este adecvată într-un curs de profil de informatică ca supliment la alte instrumente.

Exercițiu :

• Schițați conceptele cheie.

PRELEZA 4

Definiția și scopul modelării matematice

Sub model(din latinescul modul - măsură, eșantion, normă) vom înțelege un astfel de obiect reprezentat material sau mental care, în procesul de cunoaștere (studiu), înlocuiește obiectul original, păstrând unele dintre trăsăturile sale tipice care sunt importante pentru acest studiu. . Procesul de construire și utilizare a unui model se numește modelare.

esență modelare matematică (MM) constă în înlocuirea obiectului (procesului) studiat cu un model matematic adecvat și studierea ulterioară a proprietăților acestui model folosind fie metode analitice, fie experimente de calcul.

Uneori este mai util, în loc să dai definiții stricte, să descrii un anumit concept cu un exemplu specific. Prin urmare, ilustrăm definițiile de mai sus ale MM folosind exemplul problemei calculării impulsului specific. La începutul anilor 1960, oamenii de știință s-au confruntat cu sarcina de a dezvolta combustibil pentru rachete cu cel mai mare impuls specific. Principiul mișcării rachetei este următorul: combustibilul lichid și oxidantul din rezervoarele rachetei sunt introduse în motor, unde sunt arse, iar produsele de ardere sunt eliberate în atmosferă. Din legea conservării impulsului rezultă că în acest caz racheta se va deplasa cu viteză.

Impulsul specific al unui combustibil este impulsul rezultat împărțit la masa combustibilului. Experimentele au fost foarte costisitoare și au dus la deteriorarea sistematică a echipamentului. S-a dovedit că este mai ușor și mai ieftin să calculezi funcțiile termodinamice ale gazelor ideale, să calculezi cu ajutorul lor compoziția gazelor emise și temperatura plasmei, iar apoi impulsul specific. Adică pentru a efectua MM-ul procesului de ardere a combustibilului.

Conceptul de modelare matematică (MM) astăzi este unul dintre cele mai comune în literatura științifică. Marea majoritate a tezelor și dizertațiilor moderne sunt asociate cu dezvoltarea și utilizarea modelelor matematice adecvate. Calculatorul MM astăzi este o parte integrantă a multor domenii ale activității umane (știință, tehnologie, economie, sociologie etc.). Acesta este unul dintre motivele deficitului de specialişti în domeniul tehnologiei informaţiei în prezent.

Creșterea rapidă a modelării matematice se datorează îmbunătățirii rapide a tehnologiei informatice. Dacă chiar și în urmă cu 20 de ani doar un număr mic de programatori erau angajați în calcule numerice, acum cantitatea de memorie și viteza computerelor moderne, care fac posibilă rezolvarea problemelor de modelare matematică, sunt la îndemâna tuturor specialiștilor, inclusiv a studenților.

În orice disciplină, se oferă mai întâi o descriere calitativă a fenomenelor. Și apoi - cantitativ, formulat sub forma unor legi care stabilesc relații între diverse cantități (intensitatea câmpului, intensitatea împrăștierii, sarcina electronilor, ...) sub formă de ecuații matematice. Prin urmare, putem spune că în fiecare disciplină există atâta știință câte matematicieni sunt în ea, iar acest fapt ne permite să rezolvăm cu succes multe probleme folosind metode de modelare matematică.

Acest curs este conceput pentru studenții cu specializare în matematică aplicată care își finalizează teza sub supravegherea unor oameni de știință de frunte care lucrează în diferite domenii. Prin urmare, acest curs este necesar nu numai ca material educațional dar şi ca pregătire pentru teza. Pentru studiu acest curs vom avea nevoie de următoarele secțiuni de matematică:

1. Ecuații ale fizicii matematice (mecanica kantiană, gaz și hidrodinamică)

2. Algebra liniară (teoria elasticității)

3. Câmpuri scalare și vectoriale (teoria câmpurilor)

4. Teoria probabilității (mecanica cuantică, fizică statistică, cinetică fizică)

5. Caracteristici speciale.

6. Analiza tensorială (teoria elasticității)

7. Analiza matematică

MM în științe naturale, inginerie și economie

Să luăm în considerare mai întâi diferitele ramuri ale științelor naturale, tehnologiei, economiei, în care sunt utilizate modelele matematice.

științele naturii

Fizica, care stabilește legile de bază ale științelor naturale, a fost mult timp împărțită în teoretice și experimentale. Fizica teoretică se ocupă cu derivarea ecuațiilor care descriu fenomene fizice. Astfel, fizica teoretică poate fi considerată și una dintre domeniile modelării matematice. (Reamintim că titlul primei cărți de fizică – „Principiile matematice ale filosofiei naturale” de I. Newton poate fi tradus în limbaj modern ca „Modele matematice ale științelor naturii.”) Pe baza legilor obținute se efectuează calcule inginerești, care se efectuează în diverse institute, firme, birouri de proiectare. Aceste organizații dezvoltă tehnologii pentru fabricarea de produse moderne care sunt intensive în știință.Astfel, conceptul de tehnologii intensive în știință include calcule folosind modele matematice adecvate.

Una dintre cele mai extinse ramuri ale fizicii - mecanica clasica(uneori această secțiune se numește mecanică teoretică sau analitică). Această secțiune a fizicii teoretice studiază mișcarea și interacțiunea corpurilor. Calculele folosind formulele mecanicii teoretice sunt necesare atunci când se studiază rotația corpurilor (calcularea momentelor de inerție, girostatele - dispozitive care mențin axele de rotație staționare), analizarea mișcării unui corp în vid etc. Una dintre secțiuni. a mecanicii teoretice se numește teoria stabilității și stă la baza multor modele matematice care descriu mișcarea aeronavelor, navelor, rachetelor. Secțiunile de mecanică practică - cursurile „Teoria mașinilor și mecanismelor”, „Piese de mașini”, sunt studiate de studenții aproape tuturor universităților tehnice (inclusiv MGIU).

Teoria elasticității- parte a unei secțiuni mecanica continuului, care presupune că materialul corpului elastic este omogen și distribuit continuu pe întregul volum al corpului, astfel încât cel mai mic element decupat din corp are același proprietăți fizice, care este întregul corp. Aplicarea teoriei elasticității - cursul „rezistența materialelor”, este studiată de studenții tuturor universităților tehnice (inclusiv MGIU). Această secțiune este necesară pentru toate calculele de rezistență. Iată calculul rezistenței corpului navelor, aeronavelor, rachetelor, calculul rezistenței structurilor din oțel și beton armat ale clădirilor și multe altele.

Gaze și hidrodinamică, precum și teoria elasticității - parte a secțiunii mecanica continuului, ia în considerare legile mișcării lichidului și gazului. Ecuațiile de gaz și hidrodinamică sunt necesare atunci când se analizează mișcarea corpurilor într-un mediu lichid și gazos (sateliți, submarine, rachete, obuze, mașini), atunci când se calculează debitul de gaz din duzele motoarelor de rachete și avioane. Aplicarea practică a dinamicii fluidelor – hidraulice (frână, cârmă,…)

Secțiunile anterioare ale mecanicii au considerat mișcarea corpurilor în macrocosmos, iar legile fizice ale macrocosmosului nu sunt aplicabile în microcosmos, în care particulele de materie se mișcă - protoni, neutroni, electroni. Aici funcționează principii complet diferite și pentru a descrie microlume, este necesar mecanica cuantică. Ecuația de bază care descrie comportamentul microparticulelor este ecuația Schrödinger: . Aici, este operatorul hamiltonian (Hamiltonian). Pentru o ecuație de mișcare a particulelor unidimensionale https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-energie potențială. Soluția acestei ecuații este un set de valori proprii de energie și funcții proprii..gif" width="55" height="24 src=">– densitatea de probabilitate. Calculele mecanice cuantice sunt necesare pentru dezvoltarea de noi materiale (microcircuite), crearea de lasere, dezvoltarea metodelor de analiză spectrală etc.

Un număr mare de sarcini sunt rezolvate cinetica descriind mișcarea și interacțiunea particulelor. Aici și difuzia, transferul de căldură, teoria plasmei - a patra stare a materiei.

fizica statistica ia în considerare ansambluri de particule, vă permite să spuneți despre parametrii ansamblului, pe baza proprietăților particulelor individuale. Dacă ansamblul este format din molecule de gaz, atunci proprietățile ansamblului derivate prin metodele fizicii statistice sunt ecuațiile stării gazului bine cunoscute din liceu: https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-greutatea moleculară a gazului. K este constanta Rydberg. metode statistice se calculează și proprietățile soluțiilor, cristalelor și electronilor din metale. MM fizica statistica - baza teoretica termodinamica, care stă la baza calculului motoarelor, rețelelor de încălzire și stațiilor.

Teoria câmpului descrie prin metode MM una dintre principalele forme de materie – câmpul. În acest caz, câmpurile electromagnetice sunt de interes primordial. Ecuațiile câmpului electromagnetic (electrodinamică) au fost derivate de Maxwell: , , , . Aici și https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - densitatea de sarcină, - densitatea de curent. Ecuațiile electrodinamicii stau la baza calculelor propagarea undelor electromagnetice necesare descrierii propagarii undelor radio (radio, televiziune, comunicatii celulare), explicati functionarea statiilor radar.

Chimia poate fi reprezentată sub două aspecte, evidențiind chimia descriptivă - descoperirea factorilor chimici și descrierea acestora - și chimia teoretică - dezvoltarea unor teorii care permit generalizarea factorilor stabiliți și prezentarea acestora sub forma unui sistem specific (L. Pauling) . Chimia teoretică este numită și chimie fizică și este, în esență, o ramură a fizicii care studiază substanțele și interacțiunile lor. Prin urmare, tot ceea ce s-a spus despre fizică se aplică pe deplin chimiei. Secțiunile de chimie fizică vor fi termochimia, care studiază efectele termice ale reacțiilor, cinetica chimică (viteze de reacție), chimia cuantică (structura moleculelor). În același timp, problemele chimiei sunt extrem de complexe. Deci, de exemplu, pentru a rezolva problemele chimiei cuantice - știința structurii atomilor și moleculelor, se folosesc programe care sunt comparabile ca volum cu programele de apărare aeriană ale țării. De exemplu, pentru a descrie o moleculă UCl4, constând din 5 nuclee atomice și +17 * 4) electroni, trebuie să scrieți ecuația mișcării - ecuații în derivate parțiale.

Biologie

Matematica a intrat cu adevărat în biologie abia în a doua jumătate a secolului XX. Primele încercări de a descrie matematic procesele biologice sunt legate de modele de dinamică a populației. O populație este o comunitate de indivizi din aceeași specie care ocupă o anumită zonă a spațiului de pe Pământ. Această zonă a biologiei matematice, care studiază schimbarea dimensiunii populației în diferite condiții (prezența speciilor concurente, prădători, boli etc.), a continuat să servească drept teren de testare matematică pe care au fost „efectuate” modele matematice în diverse domenii ale biologiei. Inclusiv modele de evoluție, microbiologie, imunologie și alte domenii legate de populațiile celulare.
Primul model cunoscut formulat într-un cadru biologic este celebra serie Fibonacci (fiecare număr următor este suma celor două precedente), care este citată în lucrarea sa de Leonardo din Pisa în secolul al XIII-lea. Aceasta este o serie de numere care descriu numărul de perechi de iepuri care se nasc în fiecare lună, dacă iepurii încep să se înmulțească din a doua lună și produc o pereche de iepuri în fiecare lună. Rândul reprezintă o succesiune de numere: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

1,

2 ,

3,

5,

8, 13, …

Un alt exemplu este studiul proceselor de transport ionic transmembranar pe o membrană artificială cu două straturi. Aici, pentru a studia legile de formare a unui por prin care un ion trece prin membrană în celulă, este necesar să se creeze un sistem model care să poată fi studiat experimental și pentru care se poate face o descriere fizică bine dezvoltată. folosit.

Un exemplu clasic de MM este și populația Drosophila. Un model și mai convenabil sunt virușii, care pot fi propagați într-o eprubetă. Metodele de modelare în biologie sunt metodele teoriei sistemelor dinamice, iar mijloacele sunt ecuații diferențiale și diferențiale, metode ale teoriei calitative a ecuațiilor diferențiale, modelarea prin simulare.
Obiectivele modelării în biologie:
3. Elucidarea mecanismelor de interacțiune între elementele sistemului
4. Identificarea și verificarea parametrilor modelului folosind date experimentale.
5. Evaluarea stabilității sistemului (modelului).

6. Predicția comportamentului sistemului sub diferite influențe externe, diferite căi management și așa mai departe.
7. Controlul optim al sistemului în conformitate cu criteriul de optimitate ales.

Tehnică

Un număr mare de specialiști sunt angajați în îmbunătățirea tehnologiei, care în munca lor se bazează pe rezultate cercetare științifică. Prin urmare, MM în tehnologie sunt aceleași cu MM în științe naturale, care au fost discutate mai sus.

Economie și procese sociale

Este în general acceptat că modelarea matematică ca metodă de analiză a proceselor macroeconomice a fost folosită pentru prima dată de medicul regelui Ludovic al XV-lea, dr. François Quesnay, care în 1758 a publicat lucrarea „Tabelul economic”. În această lucrare s-a făcut prima încercare de a descrie cantitativ economia națională. Iar în 1838 în carte O. Cournot Metodele cantitative „Investigarea principiilor matematice ale teoriei bogăției” au fost utilizate pentru prima dată pentru a analiza concurența pe piața mărfurilor în diferite situații de piață.

Este cunoscută și teoria populației a lui Malthus, în care acesta a propus ideea că creșterea populației este departe de a fi întotdeauna dezirabilă, iar această creștere este mai rapidă decât posibilitățile crescânde de a asigura populația cu hrană. Modelul matematic al unui astfel de proces este destul de simplu: Să - creșterea populației în timp https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> numărul a fost egal cu .și sunt coeficienții luând în considerare ratele natalității și mortalității (pers./an).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Metode instrumentale și matematice" href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">metode matematice de analiză (de exemplu, în ultimele decenii, în științe umaniste au apărut teorii matematice ale dezvoltării culturale, modele matematice de mobilizare, dezvoltarea ciclică a proceselor socioculturale, un model de interacțiune între oameni și guvern, un model de arme. model de rasă etc.) au fost construite și studiate.

În termeni cei mai generali, procesul MM al proceselor socio-economice poate fi împărțit condiționat în patru etape:

formularea unui sistem de ipoteze și elaborarea unui model conceptual; dezvoltarea unui model matematic; analiza rezultatelor calculelor modelului, care include compararea acestora cu practica; formularea de noi ipoteze și rafinarea modelului în caz de discrepanță între rezultatele calculelor și datele practice.

Rețineți că, de regulă, procesul de modelare matematică este ciclic, deoarece chiar și atunci când se studiază procese relativ simple, rareori este posibil să se construiască un model matematic adecvat din primul pas și să se selecteze parametrii exacti ai acestuia.

În prezent, economia este considerată ca un sistem complex în curs de dezvoltare, pentru descrierea cantitativă a căruia se folosesc modele matematice dinamice de diferite grade de complexitate. Una dintre domeniile de cercetare a dinamicii macroeconomice este asociată cu construirea și analiza unor modele de simulare neliniare relativ simple care reflectă interacțiunea diferitelor subsisteme - piața muncii, piața bunurilor, sistemul financiar, mediul natural etc.

Teoria catastrofelor se dezvoltă cu succes. Această teorie ia în considerare problema condițiilor în care o modificare a parametrilor unui sistem neliniar face ca un punct din spațiul fazelor care caracterizează starea sistemului să se deplaseze din regiunea de atracție la poziția inițială de echilibru către regiunea de atracție. într-o altă poziţie de echilibru. Acesta din urmă este foarte important nu numai pentru analiza sistemelor tehnice, ci și pentru înțelegerea durabilității proceselor socio-economice. În acest sens, constatările despre semnificația studiului modelelor neliniare pentru management. În cartea „Teoria catastrofelor”, publicată în 1990, el scrie, în special: „... restructurarea actuală se datorează în mare măsură faptului că măcar unele mecanisme de feedback (teama de distrugere personală) au început să funcționeze. "

(parametrii modelului)

Când construim modele de obiecte și fenomene reale, se întâlnește adesea o lipsă de informații. Pentru obiectul studiat, distribuția proprietăților, parametrii impactului și starea inițială sunt cunoscute cu diferite grade de incertitudine. La construirea unui model, sunt posibile următoarele opțiuni pentru descrierea parametrilor nesiguri:

Clasificarea modelelor matematice

(metode de implementare)

Metodele de implementare a MM pot fi clasificate conform tabelului de mai jos.

Metode de implementare a MM Foarte des, soluția analitică pentru model este prezentată sub formă de funcții. Pentru a obține valorile acestor funcții pentru valori specifice ale parametrilor de intrare, se utilizează extinderea lor în serie (de exemplu, Taylor), iar valoarea funcției pentru fiecare valoare a argumentului este determinată aproximativ. Modelele care folosesc această tehnică sunt numite aproximativ. La abordare numerică mulţimea relaţiilor matematice ale modelului este înlocuită cu un analog finit-dimensional. Acest lucru se realizează cel mai adesea prin discretizarea relațiilor inițiale, adică prin trecerea de la funcțiile unui argument continuu la funcțiile unui argument discret (metode grilă). Soluția găsită în urma calculelor pe calculator este luată ca o soluție aproximativă a problemei inițiale. Majoritatea sistemelor existente sunt foarte complexe și este imposibil să se creeze un model real pentru ele, descris analitic. Astfel de sisteme ar trebui studiate folosind modelare prin simulare. Una dintre principalele metode de modelare prin simulare este asociată cu utilizarea unui generator de numere aleatorii. Deoarece un număr mare de probleme sunt rezolvate prin metode MM, metodele de implementare a MM sunt studiate în mai mult de o curs de pregatire. Aici sunt ecuații cu diferențe parțiale, metode numerice de rezolvare a acestor ecuații, matematică computațională, simulare pe calculator etc. PAULING, Linus Carl (Pauling, Linus Carl) (), chimist și fizician american, premiat în 1954 Premiul Nobelîn chimie pentru studii naturii legătură chimicăși determinarea structurii proteinelor. Născut la 28 februarie 1901 în Portland, Oregon. El a dezvoltat o metodă mecanică cuantică pentru studierea structurii moleculelor (împreună cu fizicianul american J. Slayer) - metoda legăturilor de valență, precum și teoria rezonanței, care face posibilă explicarea structurii compușilor care conțin carbon. , în primul rând compuși din seria aromatică. În perioada cultului personalității din URSS, oamenii de știință implicați în chimia cuantică au fost persecutați și acuzați de „polingism”. MALTHUS, THOMAS ROBERT (Malthus, Thomas Robert) (), economist englez. Născut la Rookery, lângă Dorking, în Surrey, la 15 sau 17 februarie 1766. În 1798 a publicat anonim Un experiment asupra legii populației.În 1819, Malthus a fost ales membru al Societății Regale.