Se are în vedere o metodă de rezolvare a ecuațiilor diferențiale cu variabile separabile. Se dă un exemplu solutie detaliata ecuație diferențială cu variabile separabile.

Conţinut

Definiție

Să s (X), q (X)- funcţiile variabilei x ;
p (y), r (y)- funcţiile variabilei y .

O ecuație diferențială cu variabile separabile este o ecuație de formă

Metodă de rezolvare a unei ecuații diferențiale cu variabile separabile

Luați în considerare ecuația:
(i).
Exprimăm derivata y în termeni de diferenţiale.
;
.
Înmulțiți cu dx.
(ii)
Împărțiți ecuația la s (x)r(y). Acest lucru se poate face dacă s (x) r(y) ≠ 0. Pentru s (x) r(y) ≠ 0 avem
.
Integrând, obținem integrala generală în cuadraturi
(iii) .

Întrucât am împărțit la s (x)r(y), atunci obținem integrala ecuației pentru s (x) ≠ 0și r (y) ≠ 0. În continuare, trebuie să rezolvați ecuația
r (y) = 0.
Dacă această ecuație are rădăcini, atunci ele sunt și soluții ale ecuației (i). Fie ecuația r (y) = 0. are n rădăcini a i , r (a i ) = 0, i = 1, 2, ... , n. Atunci constantele y = a i sunt soluții ale ecuației (i). Unele dintre aceste soluții pot fi deja conținute în integrala generală (iii).

Rețineți că dacă ecuația inițială este dată în forma (ii), atunci și ecuația ar trebui rezolvată
s (x) = 0.
Rădăcinile sale b j , s (b j ) = 0, j = 1, 2, ... , m. dați soluții x = b j .

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale cu variabile separabile

rezolva ecuatia

Exprimăm derivata în termeni de diferențe:


Înmulțiți cu dx și împărțiți cu . Pentru y ≠ 0 avem:

Să ne integrăm.

Calculăm integralele folosind formula.



Înlocuind, obținem integrala generală a ecuației
.

Acum luați în considerare cazul, y = 0 .
Este evident că y = 0 este o soluție a ecuației inițiale. Nu este inclusă în integrala generală.
Așa că să-l adăugăm la rezultatul final.

; y= 0 .

Referinte:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, Lan, 2003.

Se are în vedere o metodă de rezolvare a ecuațiilor diferențiale care se reduc la ecuații cu variabile separabile. Este dat un exemplu de soluție detaliată a unei ecuații diferențiale care se reduce la o ecuație cu variabile separabile.

Conţinut

Formularea problemei

Luați în considerare ecuația diferențială
(i) ,
unde f este o funcție, a, b, c sunt constante, b ≠ 0 .
Această ecuație este redusă la o ecuație cu variabile separabile.

Metoda de rezolvare

Facem o înlocuire:
u = ax + by + c
Aici y este o funcție a lui x. Prin urmare, u este și o funcție a lui x.
Diferențierea față de x
u′ = (ax + by + c)′ = a + by′
Substitui (i)
u′ = a + by′ = a + b f(ax + by + c) = a + b f (u)
Sau:
(ii)
Variabile separate. Înmulțiți cu dx și împărțiți cu a + b f (u). Dacă a + b f (u) ≠ 0, apoi

Prin integrare, obținem integrala generală a ecuației inițiale (i)în pătrate:
(iii) .

În cele din urmă, luați în considerare cazul
(iv) a + b f (u) = 0.
Să presupunem că această ecuație are n rădăcini u = r i , a + b f (r i ) = 0, i = 1, 2, ...n. Deoarece funcția u = r i este constantă, derivata ei față de x este egală cu zero. Prin urmare, u = r i este o soluție a ecuației (ii).
Cu toate acestea, ecuația (ii) nu se potrivește cu ecuația inițială (i)și, poate, nu toate soluțiile u = r i , exprimate în termenii variabilelor x și y , satisfac ecuația inițială (i).

Astfel, soluția ecuației inițiale este integrala generală (iii)și unele rădăcini ale ecuației (iv).

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale care se reduce la o ecuație cu variabile separabile

rezolva ecuatia
(1)

Facem o înlocuire:
u = x - y
Diferențierea față de x și efectuarea transformărilor:
;

Înmulțiți cu dx și împărțiți cu u 2 .

Dacă u ≠ 0, atunci obținem:

Integram:

Aplicam formula din tabelul de integrale:

Calculăm integrala

Apoi
;
, sau

Decizie comună:
.

Acum luați în considerare cazul u = 0 , sau u = x - y = 0 , sau
y=x.
Deoarece y′ = (x)′ = 1, atunci y = x este o soluție a ecuației inițiale (1) .

;
.

Referinte:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, Lan, 2003.

Ecuatii diferentiale prima comanda. Exemple de soluții.
Ecuații diferențiale cu variabile separabile

Ecuații diferențiale (DE). Aceste două cuvinte îl îngrozesc de obicei pe laicul obișnuit. Ecuațiile diferențiale par a fi ceva scandalos și greu de stăpânit pentru mulți studenți. Uuuuuu... ecuații diferențiale, cum aș supraviețui la toate astea?!

O astfel de opinie și o astfel de atitudine este fundamental greșită, pentru că de fapt ECUATIILE DIFERENTIALE SUNT SIMPLE SI CHIAR DISTRACTIVE. Ce trebuie să știți și să puteți învăța să rezolvați ecuații diferențiale? Pentru a studia cu succes diferențele, trebuie să fii bun la integrare și diferențiere. Cu cât subiectele sunt mai bine studiate Derivată a unei funcții a unei variabileși Integrală nedefinită, cu atât va fi mai ușor de înțeles ecuațiile diferențiale. Voi spune mai multe, dacă ai abilități de integrare mai mult sau mai puțin decente, atunci subiectul este practic stăpânit! Cu cât mai multe integrale tipuri variateștii să te decizi – cu atât mai bine. De ce? Trebuie să te integrezi mult. Și diferențiați. De asemenea recomand cu caldura invata sa gasesti.

În 95% din cazuri în munca de control Există 3 tipuri de ecuații diferențiale de ordinul întâi: ecuații separabile, pe care o vom trata în această lecție; ecuații omogeneși ecuații liniare neomogene. Pentru începătorii să studieze difuzoarele, vă sfătuiesc să citiți lecțiile din această secvență, iar după ce ați studiat primele două articole, nu va strica să vă consolidați abilitățile într-un atelier suplimentar - ecuaţii care se reduc la omogene.

Există și mai rare tipuri de ecuații diferențiale: ecuații în diferențiale totale, ecuații lui Bernoulli și altele. Cele mai importante dintre ultimele două tipuri sunt ecuațiile din diferențiale totale, pentru că pe lângă acest DE, am în vedere un nou material - integrare parțială.

Dacă mai ai doar o zi sau două, apoi pentru preparare ultra-rapidă există curs blitzîn format pdf.

Deci, reperele sunt setate - să mergem:

Să ne amintim mai întâi ecuațiile algebrice obișnuite. Acestea conțin variabile și numere. Cel mai simplu exemplu: . Ce înseamnă să rezolvi o ecuație obișnuită? Aceasta înseamnă să găsești set de numere care satisfac această ecuație. Este ușor de observat că ecuația copiilor are o singură rădăcină: . Pentru distracție, să facem o verificare, să înlocuim rădăcina găsită în ecuația noastră:

- se obtine egalitatea corecta, ceea ce inseamna ca solutia este gasita corect.

Difuzele sunt aranjate aproape în același mod!

Ecuație diferențială prima comandaîn caz general conţine:
1) variabilă independentă;
2) variabilă dependentă (funcție);
3) derivata întâi a funcției: .

În unele ecuații de ordinul 1, este posibil să nu existe „x” sau (și) „y”, dar acest lucru nu este esențial - important astfel încât în ​​DU a fost prima derivată și nu a avut derivate de ordin superior - , etc.

Ce înseamnă ? A rezolva o ecuație diferențială înseamnă a găsi set de toate funcțiile care satisfac această ecuație. Un astfel de set de funcții are adesea forma ( este o constantă arbitrară), care este numită soluție generală a ecuației diferențiale.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația diferențială

Muniție completă. Unde sa încep soluţie?

În primul rând, trebuie să rescrieți derivatul într-o formă ușor diferită. Reamintim notația greoaie, pe care mulți dintre voi probabil l-au considerat ridicolă și inutilă. Acesta este cel care domnește în difuzoare!

În al doilea pas, să vedem dacă se poate divizarea variabilelor? Ce înseamnă separarea variabilelor? Aproximativ vorbind, pe partea stângă a trebuie să plecăm doar "jocuri", A pe drumul cel bun organiza doar x-uri. Separarea variabilelor se realizează cu ajutorul manipulărilor „școlare”: paranteze, transfer de termeni dintr-o parte în parte cu o schimbare de semn, transfer de factori de la o parte la alta conform regulii proporției etc.

Diferențiale și sunt multiplicatori completi și participanți activi la ostilități. În acest exemplu, variabilele sunt ușor separate prin factori de inversare conform regulii proporției:

Variabilele sunt separate. În partea stângă - doar "Joc", în partea dreaptă - doar "X".

Etapa urmatoare - integrarea ecuațiilor diferențiale. Este simplu, agățăm integrale pe ambele părți:

Desigur, trebuie luate integrale. În acest caz, acestea sunt tabelare:

După cum ne amintim, o constantă este atribuită oricărei antiderivate. Există două integrale aici, dar este suficient să scrieți constanta o dată (deoarece o constantă + o constantă este încă egală cu o altă constantă). În cele mai multe cazuri, este plasat în partea dreapta.

Strict vorbind, după ce integralele sunt luate, ecuația diferențială este considerată rezolvată. Singurul lucru este că „y”-ul nostru nu este exprimat prin „x”, adică soluția este prezentată în implicit formă. Soluția implicită a unei ecuații diferențiale se numește integrala generala a ecuatiei diferentiale. Adică este integrala generală.

Un răspuns în această formă este destul de acceptabil, dar există o opțiune mai bună? Să încercăm să obținem decizie comună.

Vă rog, amintiți-vă prima tehnică, este foarte comun și des folosit în sarcini practice: dacă un logaritm apare în partea dreaptă după integrare, atunci în multe cazuri (dar în niciun caz întotdeauna!) este recomandabil să scrieți constanta și sub logaritm. Și scrieți ÎNTOTDEAUNA dacă se obțin numai logaritmi (ca în exemplul luat în considerare).

Acesta este, ÎN LOC DEînregistrările sunt de obicei scrise .

De ce este nevoie de asta? Și pentru a facilita exprimarea „y”. Folosim proprietatea logaritmilor . În acest caz:

Acum logaritmii și modulele pot fi eliminate:

Funcția este prezentată explicit. Aceasta este soluția generală.

Răspuns: decizie comună: .

Răspunsurile la multe ecuații diferențiale sunt destul de ușor de verificat. În cazul nostru, acest lucru se face destul de simplu, luăm soluția găsită și o diferențiem:

Apoi înlocuim derivata în ecuația originală:

- se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția generală satisface ecuația , care trebuia verificată.

Dând o constantă diverse sensuri, puteți obține infinit de multe decizii private ecuație diferențială. Este clar că oricare dintre funcțiile , etc. satisface ecuatia diferentiala .

Uneori se numește soluția generală familie de funcții. În acest exemplu, soluția generală este o familie de funcții liniare, sau mai bine zis, o familie de proporționalități directe.

După o discuție detaliată a primului exemplu, este potrivit să răspundem la câteva întrebări naive despre ecuațiile diferențiale:

1)În acest exemplu, am reușit să separăm variabilele. Este întotdeauna posibil să faci asta? Nu, nu întotdeauna. Și chiar mai des variabilele nu pot fi separate. De exemplu, în ecuații omogene de ordinul întâi trebuie înlocuit mai întâi. În alte tipuri de ecuații, de exemplu, într-o ecuație liniară neomogenă de ordinul întâi, trebuie să utilizați diverse trucuri și metode pentru a găsi o soluție generală. Ecuațiile variabile separabile pe care le considerăm în prima lecție sunt cel mai simplu tip de ecuații diferențiale.

2) Este întotdeauna posibil să se integreze o ecuație diferențială? Nu, nu întotdeauna. Este foarte ușor să vii cu o ecuație „fantezică” care nu poate fi integrată, în plus, există integrale care nu pot fi luate. Dar astfel de DE pot fi rezolvate aproximativ folosind metode speciale. D'Alembert și Cauchy garantează... ... ugh, lurkmore. Tocmai am citit multe, aproape că am adăugat "din cealaltă lume".

3) În acest exemplu, am obținut o soluție sub forma unei integrale generale . Este întotdeauna posibil să găsim o soluție generală din integrala generală, adică să exprimăm „y” într-o formă explicită? Nu, nu întotdeauna. De exemplu: . Ei bine, cum pot exprima „y” aici?! În astfel de cazuri, răspunsul trebuie scris ca o integrală generală. În plus, uneori se poate găsi o soluție generală, dar este scrisă atât de greoaie și stângace încât este mai bine să lăsați răspunsul sub forma unei integrale generale

4) ...poate suficient pentru moment. În primul exemplu, ne-am întâlnit o alta punct important , dar pentru a nu acoperi „manențele” cu o avalanșă de informații noi, o las până la următoarea lecție.

Să nu ne grăbim. O altă telecomandă simplă și o altă soluție tipică:

Exemplul 2

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială

Soluţie: după condiţia pe care se cere să se găsească soluție privată DE care satisface o condiție inițială dată. Acest tip de interogare se mai numește Problema Cauchy.

În primul rând, găsim o soluție generală. Nu există o variabilă „x” în ecuație, dar acest lucru nu ar trebui să fie jenant, principalul lucru este că are prima derivată.

Rescriem derivata în forma dorita:

Evident, variabilele pot fi împărțite, băieții la stânga, fetele la dreapta:

Integram ecuatia:

Se obține integrala generală. Aici am desenat o constantă cu o stea de accent, fapt este că foarte curând se va transforma într-o altă constantă.

Acum încercăm să convertim integrala generală într-o soluție generală (exprimați „y” în mod explicit). Ne amintim de școala veche, bună: . În acest caz:

Constanta din indicator pare cumva nu cușer, deci este de obicei coborâtă din cer pe pământ. În detaliu, se întâmplă așa. Folosind proprietatea gradelor, rescriem funcția după cum urmează:

Dacă este o constantă, atunci este și o constantă, redesemnați-o cu litera:
- în același timp, scoatem modulul, după care constanta „ce” poate lua atât valori pozitive, cât și negative

Amintiți-vă că „demolarea” unei constante este a doua tehnică, care este adesea folosit în cursul rezolvării ecuațiilor diferențiale. Pe o copie curată, puteți trece imediat de la la , dar fiți întotdeauna pregătiți să explicați această tranziție.

Deci solutia generala este: O familie atât de frumoasă de funcții exponențiale.

În etapa finală, trebuie să găsiți o anumită soluție care să satisfacă condiția inițială dată. Este si simplu.

Care este sarcina? Trebuie să ridic astfel de valoarea constantei pentru a satisface condiţia .

Îl poți aranja în moduri diferite, dar cel mai de înțeles, poate, va fi așa. În soluția generală, în loc de „x”, înlocuim zero, iar în loc de „y”, doi:



Acesta este,

Versiune standard de design:

Acum înlocuim valoarea găsită a constantei în soluția generală:
– aceasta este soluția specială de care avem nevoie.

Răspuns: solutie privata:

Hai să facem o verificare. Verificarea unei anumite soluții include două etape:

În primul rând, este necesar să se verifice dacă soluția particulară găsită într-adevăr satisface condiția inițială? În loc de „x” înlocuim zero și vedem ce se întâmplă:
- da, într-adevăr, s-a obținut un deuce, ceea ce înseamnă că condiția inițială este îndeplinită.

A doua etapă este deja familiară. Luăm soluția particulară rezultată și găsim derivata:

Înlocuiți în ecuația inițială:

- se obţine egalitatea corectă.

Concluzie: soluția particulară este găsită corect.

Să trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 3

Rezolvați ecuația diferențială

Soluţie: Rescriem derivata sub forma de care avem nevoie:

Evaluarea dacă variabilele pot fi separate? Poate sa. Transferăm al doilea termen în partea dreaptă cu o schimbare de semn:

Și inversăm factorii conform regulii proporției:

Variabilele sunt separate, să integrăm ambele părți:

Trebuie să te avertizez că vine ziua judecății. Daca nu ai invatat bine integrale nedefinite, a rezolvat câteva exemple, apoi nu este încotro - trebuie să le stăpânești acum.

Integrala laturii stângi este ușor de găsit, cu integrala cotangentei ne ocupăm de tehnica standard pe care am considerat-o în lecție Integrarea funcţiilor trigonometriceÎn ultimul an:

Ca rezultat, am obținut doar logaritmi și, conform primei mele recomandări tehnice, definim și constanta sub logaritm.

Acum încercăm să simplificăm integrala generală. Deoarece avem doar logaritmi, este foarte posibil (și necesar) să scăpăm de ei. Prin utilizarea proprietăți cunoscute„împachetează” maxim logaritmii. Voi scrie cu mare detaliu:

Ambalajul este complet pentru a fi zdrențuit barbar:
, și da imediat-imediat integrală generală la minte, cât mai curând posibil:

În general, nu este necesar să faceți acest lucru, dar este întotdeauna benefic să-l faceți pe plac profesorului ;-)

În principiu, această capodoperă poate fi scrisă ca răspuns, dar aici este încă potrivit să pătrați ambele părți și să redefiniți constanta:

Răspuns: integrala generala:

! Notă: integrala generală poate fi adesea scrisă în mai multe moduri. Astfel, dacă rezultatul tău nu a coincis cu un răspuns cunoscut anterior, atunci asta nu înseamnă că ai rezolvat incorect ecuația.

Este posibil să exprimați „y”? Poate sa. Să exprimăm soluția generală:

Desigur, rezultatul obținut este potrivit pentru un răspuns, dar rețineți că integrala generală pare mai compactă, iar soluția s-a dovedit a fi mai scurtă.

Al treilea sfat tehnic:dacă trebuie efectuat un număr semnificativ de acțiuni pentru a obține o soluție generală, atunci în majoritatea cazurilor este mai bine să vă abțineți de la aceste acțiuni și să lăsați răspunsul sub forma unei integrale generale. Același lucru este valabil și pentru acțiunile „rele” atunci când este necesar să exprimați o funcție inversă, să ridicați la o putere, să luați o rădăcină etc. Faptul este că soluția generală va părea pretențioasă și greoaie - cu rădăcini mari, semne și alte gunoi matematice.

Cum se verifică? Verificarea se poate face în două moduri. Metoda unu: luați soluția generală , găsim derivata și înlocuiți-le în ecuația originală. Incearca-l tu insuti!

A doua modalitate este de a diferenția integrala generală. Este destul de ușor, principalul lucru este să poți găsi derivata unei functii definita implicit:

împărțiți fiecare termen la:

și pe :

Ecuația diferențială inițială a fost obținută exact, ceea ce înseamnă că integrala generală a fost găsită corect.

Exemplul 4

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială. Efectuați o verificare.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself.

Vă reamintesc că algoritmul constă din două etape:
1) găsirea unei soluții generale;
2) găsirea soluției particulare necesare.

Verificarea se efectuează și în doi pași (vezi eșantionul din Exemplul nr. 2), aveți nevoie de:
1) asigurați-vă că soluția particulară găsită satisface condiția inițială;
2) verificați dacă o anumită soluție satisface în general ecuația diferențială.

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Exemplul 5

Găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale , satisfacand conditia initiala . Efectuați o verificare.

Soluţie: Mai întâi, să găsim o soluție generală.Această ecuație conține deja diferențiale gata făcute și , ceea ce înseamnă că soluția este simplificată. Separarea variabilelor:

Integram ecuatia:

Integrala din stânga este tabelară, integrala din dreapta este luată metoda de însumare a funcţiei sub semnul diferenţialului:

Integrala generală a fost obținută, este posibilă exprimarea cu succes a soluției generale? Poate sa. Atârnăm logaritmi pe ambele părți. Deoarece sunt pozitive, semnele modulo sunt redundante:

(Sper că toată lumea înțelege transformarea, astfel de lucruri ar trebui deja cunoscute)

Deci solutia generala este:

Să găsim o anumită soluție corespunzătoare condiției inițiale date.
În soluția generală, în loc de „x”, înlocuim zero și în loc de „y”, logaritmul a doi:

Design mai familiar:

Inlocuim valoarea gasita a constantei in solutia generala.

Răspuns: solutie privata:

Verificați: În primul rând, verificați dacă condiția inițială este îndeplinită:
- totul este bine.

Acum să verificăm dacă soluția particulară găsită satisface ecuația diferențială. Găsim derivata:

Să ne uităm la ecuația inițială: – se prezintă în diferențiale. Există două moduri de a verifica. Este posibil să exprimăm diferența față de derivata găsită:

Înlocuim soluția particulară găsită și diferența rezultată în ecuația originală :

Folosim identitatea logaritmică de bază:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția particulară este găsită corect.

A doua modalitate de verificare este oglindită și mai familiară: din ecuație exprimă derivata, pentru aceasta împărțim toate piesele la:

Și în DE transformat înlocuim soluția particulară obținută și derivata găsită. Ca urmare a simplificărilor, ar trebui să se obțină și egalitatea corectă.

Exemplul 6

Aflați integrala generală a ecuației , prezentați răspunsul ca .

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare, soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Ce dificultăți așteaptă în rezolvarea ecuațiilor diferențiale cu variabile separabile?

1) Nu este întotdeauna evident (în special pentru un ceainic) că variabilele pot fi separate. Luați în considerare un exemplu condiționat: . Aici trebuie să scoateți factorii din paranteze: și să separați rădăcinile:. Cum să procedați în continuare este clar.

2) Dificultăți în integrarea în sine. Integrale apar adesea nu sunt cele mai simple și dacă există defecte în abilitățile de a găsi integrală nedefinită, atunci va fi dificil cu multe difuzoare. În plus, compilatorii de colecții și manuale sunt populari cu logica „deoarece ecuația diferențială este simplă, atunci cel puțin integralele vor fi mai complicate”.

3) Transformări cu o constantă. După cum toată lumea a observat, o constantă în ecuațiile diferențiale poate fi gestionată destul de liber, iar unele transformări nu sunt întotdeauna clare pentru un începător. Să ne uităm la un alt exemplu ipotetic: . În ea, este recomandabil să înmulțiți toți termenii cu 2: . Constanta rezultată este, de asemenea, un fel de constantă, care poate fi notată prin: . Da, și din moment ce avem aceleași logaritmi, este recomandabil să rescriem constanta ca o altă constantă: .

Problema este că adesea nu se deranjează cu indici și folosesc aceeași literă. Ca urmare, procesul-verbal de decizie ia următoarea formă:

Ce naiba?! Iată erorile! Strict vorbind, da. Totuși, din punct de vedere de fond, nu există erori, deoarece în urma transformării unei constante variabile se obține o constantă variabilă echivalentă.

Sau alt exemplu, să presupunem că în cursul rezolvării ecuației se obține o integrală generală. Acest răspuns arată urât, așa că este recomandabil să schimbați semnul fiecărui termen: . Formal, există din nou o eroare - în dreapta, ar trebui să fie scrisă . Dar se presupune în mod informal că „minus ce” este încă o constantă care la fel de bine ia același set de valori și, prin urmare, punerea „minus” nu are sens.

Voi încerca să evit o abordare neglijentă și, totuși, voi pune diferiți indici pentru constante atunci când le convertesc. Ceea ce te sfătuiesc să faci.

Exemplul 7

Rezolvați ecuația diferențială. Efectuați o verificare.

Soluţie: Această ecuație admite separarea variabilelor. Separarea variabilelor:

Integram:

Constanta de aici nu trebuie definită sub logaritm, deoarece nu va ieși nimic bun din ea.

Răspuns: integrala generala:

Și, bineînțeles, aici NU ESTE NECESAR să exprimăm „y” în mod explicit, deoarece se va dovedi a fi un gunoi (rețineți al treilea sfat tehnic).

Examinare: Diferențiați răspunsul (funcție implicită):

Scăpăm de fracții, pentru aceasta înmulțim ambii termeni cu:

S-a obținut ecuația diferențială inițială, ceea ce înseamnă că integrala generală a fost găsită corect.

Exemplul 8

Găsiți o anumită soluție pentru DE.
,

Definiția 7. O ecuație de formă se numește ecuație cu variabile separabile.

Această ecuație poate fi redusă la forma prin împărțirea tuturor termenilor ecuației la produs.

De exemplu, rezolvați ecuația

Soluţie. Derivata este egala cu

Separând variabilele, obținem:

.

Acum să integrăm:

Rezolvați ecuația diferențială

Soluţie. Aceasta este o ecuație de ordinul întâi cu variabile separabile. Pentru a separa variabilele acestei ecuații în forma și împărțiți-l termen cu termen în produs . Drept urmare, obținem sau

integrând ambele părți ale ultimei ecuații, obținem soluția generală

arcsin y = arcsin x + C

Să găsim acum o soluție particulară care să satisfacă condițiile inițiale. Înlocuind condițiile inițiale în soluția generală, obținem

; de unde C=0

Prin urmare, o anumită soluție are forma arc sin y = arc sin x, dar sinusurile arcelor egale sunt egale între ele

sin (arcsin y) = sin (arcsin x).

De unde, prin definiția arcsinusului, rezultă că y = x.

Ecuații diferențiale omogene

Definiția 8. Se numește o ecuație diferențială a formei care poate fi redusă la forma omogen.

Pentru integrarea unor astfel de ecuații se face o schimbare de variabile, presupunând . Această substituție are ca rezultat o ecuație diferențială pentru x și t în care variabilele sunt separate, după care ecuația poate fi integrată. Pentru a obține răspunsul final, trebuie să înlocuiți variabila t cu .

De exemplu, rezolva ecuatia

Soluţie. Să rescriem ecuația astfel:

primim:

După reducerea cu x 2 avem:

Să înlocuim t cu:

Întrebări de revizuire

1 Ce este o ecuație diferențială?

2 Numiți tipurile de ecuații diferențiale.

3 Spuneți algoritmii pentru rezolvarea tuturor acestor ecuații.

Exemplul 3

Soluţie: Rescriem derivata sub forma de care avem nevoie:

Evaluarea dacă variabilele pot fi separate? Poate sa. Transferăm al doilea termen în partea dreaptă cu o schimbare de semn:

Și inversăm factorii conform regulii proporției:

Variabilele sunt separate, să integrăm ambele părți:

Trebuie să te avertizez că vine ziua judecății. Daca nu ai invatat bine integrale nedefinite, a rezolvat câteva exemple, apoi nu este încotro - trebuie să le stăpânești acum.

Integrala laturii stângi este ușor de găsit, cu integrala cotangentei ne ocupăm de tehnica standard pe care am considerat-o în lecție Integrarea funcţiilor trigonometriceÎn ultimul an:

În partea dreaptă, am primit un logaritm, conform primei mele recomandări tehnice, în acest caz, constanta ar trebui să fie scrisă și sub logaritm.

Acum încercăm să simplificăm integrala generală. Deoarece avem doar logaritmi, este foarte posibil (și necesar) să scăpăm de ei. „Ambalăm” logaritmii cât mai mult posibil. Ambalarea se realizează folosind trei proprietăți:

Vă rugăm să rescrieți aceste trei formule pentru dvs registrul de lucru, sunt folosite foarte des la rezolvarea difuzelor.

Voi scrie soluția în detaliu:

Ambalajul este complet, eliminați logaritmii:

Este posibil să exprimați „y”? Poate sa. Ambele părți trebuie să fie pătrate. Dar nu trebuie.

Al treilea sfat tehnic: Dacă, pentru a obține o soluție generală, trebuie să ridici la o putere sau să prinzi rădăcini, atunci În cele mai multe cazuri ar trebui să vă abțineți de la aceste acțiuni și să lăsați răspunsul sub forma unei integrale generale. Faptul este că soluția generală va arăta pretențioasă și îngrozitoare - cu rădăcini mari, semne.

Prin urmare, scriem răspunsul ca o integrală generală. Este considerată o formă bună de a prezenta integrala generală în formă, adică în partea dreaptă, dacă este posibil, lăsați doar o constantă. Nu este necesar să faceți acest lucru, dar este întotdeauna benefic să-i faceți pe plac profesorului ;-)

Răspuns: integrala generala:

Notă: integrala generală a oricărei ecuații poate fi scrisă în mai multe moduri. Astfel, dacă rezultatul dvs. nu a coincis cu un răspuns cunoscut anterior, atunci aceasta nu înseamnă că ați rezolvat incorect ecuația.

Integrala generală este de asemenea verificată destul de ușor, principalul lucru este să poți găsi derivate ale unei funcţii definite implicit. Să diferențiem răspunsul:

Înmulțim ambii termeni cu:

Și împărțim la:

Ecuația diferențială inițială a fost obținută exact, ceea ce înseamnă că integrala generală a fost găsită corect.

Exemplul 4

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială. Efectuați o verificare.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Vă reamintesc că problema Cauchy constă în două etape:
1) Găsirea unei soluții generale.
2) Găsirea unei anumite soluții.

Verificarea se realizează și în două etape (vezi și eșantionul din Exemplul 2), aveți nevoie de:
1) Asigurați-vă că soluția particulară găsită într-adevăr satisface condiția inițială.
2) Verificați dacă o anumită soluție satisface în general ecuația diferențială.

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Exemplul 5

Găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale , satisfacand conditia initiala . Efectuați o verificare.

Soluţie: Mai întâi, să găsim o soluție generală.Această ecuație conține deja diferențiale gata făcute și , ceea ce înseamnă că soluția este simplificată. Separarea variabilelor:

Integram ecuatia:

Integrala din stânga este tabelară, integrala din dreapta este luată metoda de însumare a funcţiei sub semnul diferenţialului:

Integrala generală a fost obținută, este posibilă exprimarea cu succes a soluției generale? Poate sa. Agățăm logaritmi:

(Sper că toată lumea înțelege transformarea, astfel de lucruri ar trebui deja cunoscute)

Deci solutia generala este:

Să găsim o anumită soluție corespunzătoare condiției inițiale date. În soluția generală, în loc de „x”, înlocuim zero și în loc de „y”, logaritmul a doi:

Design mai familiar:

Inlocuim valoarea gasita a constantei in solutia generala.

Răspuns: solutie privata:

Verificați: În primul rând, verificați dacă condiția inițială este îndeplinită:
- totul este bine.

Acum să verificăm dacă soluția particulară găsită satisface ecuația diferențială. Găsim derivata:

Să ne uităm la ecuația inițială: – se prezintă în diferențiale. Există două moduri de a verifica. Este posibil să exprimăm diferența față de derivata găsită:

Înlocuim soluția particulară găsită și diferența rezultată în ecuația originală :

Folosim identitatea logaritmică de bază:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția particulară este găsită corect.

A doua modalitate de verificare este oglindită și mai familiară: din ecuație exprimă derivata, pentru aceasta împărțim toate piesele la:

Și în DE transformat înlocuim soluția particulară obținută și derivata găsită. Ca urmare a simplificărilor, ar trebui să se obțină și egalitatea corectă.

Exemplul 6

Rezolvați ecuația diferențială. Exprimați răspunsul ca o integrală generală.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare, soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Ce dificultăți așteaptă în rezolvarea ecuațiilor diferențiale cu variabile separabile?

1) Nu este întotdeauna evident (în special pentru un ceainic) că variabilele pot fi separate. Luați în considerare un exemplu condiționat: . Aici trebuie să scoateți factorii din paranteze: și să separați rădăcinile:. Cum să procedați în continuare este clar.

2) Dificultăți în integrarea în sine. Integrale apar adesea nu sunt cele mai simple și dacă există defecte în abilitățile de a găsi integrală nedefinită, atunci va fi dificil cu multe difuzoare. În plus, logica „deoarece ecuația diferențială este simplă, atunci integralele să fie mai complicate” este populară printre compilatorii de colecții și manuale.

3) Transformări cu o constantă. După cum toată lumea a observat, cu o constantă în ecuații diferențiale, puteți face aproape orice. Și nu întotdeauna astfel de transformări sunt clare pentru un începător. Luați în considerare un alt exemplu condiționat: . În ea, este recomandabil să înmulțiți toți termenii cu 2: . Constanta rezultată este, de asemenea, un fel de constantă, care poate fi notată prin: . Da, și deoarece există un logaritm în partea dreaptă, este recomandabil să rescrieți constanta ca o altă constantă: .

Problema este că adesea nu se deranjează cu indici și folosesc aceeași literă. Și, ca urmare, procesul-verbal de decizie ia următoarea formă:

Ce naiba? Iată erorile. Formal, da. Și informal - nu există nicio eroare, se înțelege că la conversia unei constante, se obține încă o altă constantă.

Sau un astfel de exemplu, să presupunem că în cursul rezolvării ecuației se obține o integrală generală. Acest răspuns arată urât, așa că este recomandabil să schimbați semnele tuturor multiplicatorilor: . Formal, conform procesului verbal, există din nou o eroare, ar fi trebuit scrisă. Dar se implică informal că - este încă o altă constantă (cu atât mai mult poate lua orice valoare), așa că schimbarea semnului constantei nu are niciun sens și puteți folosi aceeași literă.

Voi încerca să evit o abordare neglijentă și, totuși, voi pune diferiți indici pentru constante atunci când le convertesc.

Exemplul 7

Rezolvați ecuația diferențială. Efectuați o verificare.

Soluţie: Această ecuație admite separarea variabilelor. Separarea variabilelor:

Integram:

Constanta de aici nu trebuie definită sub logaritm, deoarece nu va ieși nimic bun din ea.

Răspuns: integrala generala:

Verificați: diferențiați răspunsul (funcție implicită):

Scăpăm de fracții, pentru aceasta înmulțim ambii termeni cu:

S-a obținut ecuația diferențială inițială, ceea ce înseamnă că integrala generală a fost găsită corect.

Exemplul 8

Găsiți o anumită soluție pentru DE.
,

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Singurul comentariu, aici obțineți o integrală generală și, mai corect, trebuie să încercați să găsiți nu o soluție anume, ci integrală privată. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

După cum sa menționat deja, în difuzoarele cu variabile separabile, nu apar adesea integralele cele mai simple. Și iată câteva astfel de exemple pentru o decizie independentă. Recomand tuturor să rezolve exemplele nr. 9-10, indiferent de nivelul de pregătire, acest lucru vă va permite să actualizați abilitățile de a găsi integrale sau să completați golurile de cunoștințe.

Exemplul 9

Rezolvați ecuația diferențială

Exemplul 10

Rezolvați ecuația diferențială

Amintiți-vă că integrala generală poate fi scrisă în mai multe moduri, iar aspectul răspunsurilor dvs. poate diferi de aspect raspunsurile mele. Scurtă soluție și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Promovare reușită!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 4:Soluţie: Să găsim o soluție generală. Separarea variabilelor:


Integram:



Integrala generală a fost obținută, încercăm să o simplificăm. Împachetăm logaritmii și scăpăm de ei:

Exprimăm funcția în mod explicit folosind .
Decizie comună:

Găsiți o anumită soluție care satisface condiția inițială .
Metoda unu, în loc de "x" înlocuim 1, în loc de "y" - "e":
.
Metoda a doua:

Inlocuim valoarea gasita a constantei într-o soluție generală.
Răspuns: solutie privata:

Verificați: verificați dacă condiția inițială este într-adevăr adevărată:
, da, starea initiala efectuat.
Verificăm dacă soluția particulară satisface deloc ecuație diferențială. Mai întâi găsim derivata:

Inlocuim solutia particulara obtinuta și a găsit derivat în ecuația originală :

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția este găsită corect.

Exemplul 6:Soluţie: Această ecuație admite separarea variabilelor. Separăm variabilele și integrăm:




Răspuns: integrala generala:

Notă: aici puteți obține o soluție generală:

Dar, conform celui de-al treilea sfat tehnic, nu este de dorit să faceți acest lucru, deoarece un astfel de răspuns arată destul de rău.

Exemplul 8:Soluţie: Această telecomandă permite separarea variabilelor. Separarea variabilelor:



Integram:


integrala generala:
Găsiți o anumită soluție (integrală parțială) corespunzătoare condiției inițiale date . Inlocuim in solutia generala și :

Răspuns: integrală privată:
În principiu, răspunsul poate fi pieptănat și obține ceva mai compact. .

Ecuatii diferentiale.

Concepte de bază despre ecuații diferențiale obișnuite.

Definiția 1. Ecuație diferențială obișnuită n-a ordinea pentru funcție y argument X se numește relație de formă

Unde F este o funcție dată a argumentelor sale. În numele acestei clase de ecuații matematice, termenul „diferențial” subliniază faptul că ele includ derivate (funcții formate ca urmare a diferențierii); termenul – „obișnuit” spune că funcția dorită depinde doar de un singur argument real.

O ecuație diferențială obișnuită poate să nu conțină în mod explicit un argument X, funcția dorită și oricare dintre derivatele sale, dar derivata cea mai mare trebuie inclusă în ecuație n- Ordin. De exemplu

a) este o ecuație de ordinul întâi;

b) este o ecuație de ordinul trei.

Când se scriu ecuații diferențiale obișnuite, se folosește adesea notația derivatelor prin diferențiale:

în) este o ecuație de ordinul doi;

d) este o ecuație de ordinul întâi,

formându-se după împărțire prin dx forma echivalenta a ecuatiei: .

O funcție se numește soluție a unei ecuații diferențiale obișnuite dacă, atunci când este substituită în ea, devine o identitate.

De exemplu, ecuația de ordinul 3

Are o solutie .

A găsi printr-o metodă sau alta, de exemplu, selecția, o funcție care satisface o ecuație nu înseamnă rezolvarea acesteia. A rezolva o ecuație diferențială obișnuită înseamnă a găsi toate funcții care formează o identitate atunci când sunt substituite în ecuație. Pentru ecuația (1.1), familia unor astfel de funcții se formează cu ajutorul constantelor arbitrare și se numește soluția generală a ecuației diferențiale ordinare n al-lea, iar numărul de constante coincide cu ordinea ecuației: y(x): În acest caz, soluția se numește integrala generală a ecuației (1.1).

De exemplu, următoarea expresie este o soluție generală a unei ecuații diferențiale: , iar al doilea termen poate fi scris ca , deoarece o constantă arbitrară împărțită la 2 poate fi înlocuită cu o nouă constantă arbitrară .

Prin stabilirea unor valori admisibile pentru toate constantele arbitrare în soluția generală sau în integrala generală, obținem o anumită funcție care nu mai conține constante arbitrare. Această funcție se numește o soluție particulară sau o integrală particulară a ecuației (1.1). Pentru a găsi valorile constantelor arbitrare și, prin urmare, soluția particulară, sunt utilizate diferite condiții suplimentare la ecuația (1.1). De exemplu, pot fi date așa-numitele condiții inițiale pentru (1.2).

În părțile din dreapta condițiilor inițiale (1.2), sunt date valorile numerice ale funcției și derivatelor, iar numărul total de condiții inițiale este egal cu numărul de constante arbitrare care se determină.

Problema găsirii unei anumite soluții a ecuației (1.1) din condiții inițiale se numește problema Cauchy.

§ 2. Ecuaţii diferenţiale obişnuite de ordinul I - concepte de bază.

Ecuație diferențială obișnuită de ordinul I ( n=1) are forma: sau, dacă se poate rezolva în raport cu derivata: . Decizie comună y=y(x, C) sau integrala generală a ecuațiilor de ordinul I conține o constantă arbitrară. Singura condiție inițială pentru ecuația de ordinul 1 vă permite să determinați valoarea constantei din soluția generală sau din integrala generală. Astfel, se va găsi o soluție anume sau, care este și problema Cauchy, se va rezolva. Întrebarea existenței și unicității unei soluții la problema Cauchy este una dintre întrebările centrale în teorie generală ecuații diferențiale obișnuite. Pentru o ecuație de ordinul întâi, în special, este validă teorema, care este acceptată aici fără dovezi.

Teorema 2.1. Dacă într-o ecuație o funcție și derivata ei parțială sunt continue într-o regiune D avion XOY , si se da un punct in aceasta regiune, atunci exista si, in plus, o solutie unica care satisface atat ecuatia cat si conditia initiala.

Soluția generală geometrică a ecuației de ordinul I este o familie de curbe în plan XOY, care nu au puncte comuneși diferă unul de celălalt printr-un parametru - valoarea constantei C. Aceste curbe se numesc curbe integrale pentru ecuația dată. Curbele integrale ale ecuației au o proprietate geometrică evidentă: în fiecare punct, tangenta pantei tangentei la curbă este egală cu valoarea laturii drepte a ecuației în acel punct: . Cu alte cuvinte, ecuația este dată în plan XOY câmpul direcțiilor tangentelor la curbele integrale. Cometariu: Trebuie remarcat faptul că pentru ecuație sunt date ecuația și așa-numita ecuație în formă simetrică .

Ecuații diferențiale de ordinul întâi cu variabile separabile.

Definiție. O ecuație diferențială cu variabile separabile este o ecuație de formă (3.1)

sau o ecuație de forma (3.2)

Pentru a separa variabilele din ecuația (3.1), i.e. reduceți această ecuație la așa-numita ecuație cu variabile separate, efectuați următoarele acțiuni:

;

Acum trebuie să rezolvăm ecuația g(y)=0. Dacă are o soluție reală y=a, apoi y=a va fi și o soluție a ecuației (3.1).

Ecuația (3.2) se reduce la o ecuație cu variabile separate prin împărțirea la produsul:

, ceea ce ne permite să obținem integrala generală a ecuației (3.2): . (3.3)

Curbele integrale (3.3) vor fi completate cu soluții dacă astfel de soluții există.

Rezolvați ecuația: .

Separarea variabilelor:

.

Integrarea, obținem