Astfel de tije și sisteme de tije sunt numite static nedeterminate, în care factorii reactivi și forțele interne nu pot fi determinați numai din ecuațiile de echilibru. Aceste sisteme sunt clasificate în funcție de gradul de indeterminare statică. Gradul de indeterminare statică este diferența dintre numărul de reacții necunoscute și numărul de ecuații de echilibru. Gradul de indeterminare statică a sistemului determină numărul de ecuații suplimentare (ecuații de deplasare) care trebuie compilate atunci când se dezvăluie indeterminarea statică.

În sistemele de bare determinate static, forțele apar numai din acțiunea unei sarcini externe. În sistemele de tije static nedeterminate, forțele apar nu numai din sarcinile externe, ci și ca urmare a inexactităților în fabricarea elementelor individuale ale sistemului, modificări ale temperaturii elementelor sistemului etc. Atunci când dimensiunile longitudinale reale ale tijelor se abat de la nominale (calculate) în timpul asamblării sistemelor static nedeterminate, apar așa-numitele forțe și tensiuni suplimentare de montaj. Când temperatura unui sistem de tije static nedeterminat se modifică, în elementele sale apar tensiuni și solicitări termice suplimentare, așa-numitele.

Calculul tijelor și sistemelor de tije static nedeterminate se efectuează conform următoarei metode.

1. Se efectuează o analiză a schemei de prindere și se determină gradul de indeterminare statică a sistemului de tije.

2. Se ia în considerare latura statică a problemei, adică. se întocmesc ecuaţiile de echilibru.

3. Se analizează latura geometrică a problemei. Sistemul este considerat în stare deformată, se stabilește relația dintre deformațiile sau deplasările elementelor individuale ale sistemului. Ecuațiile rezultate sunt ecuațiile de compatibilitate a deplasărilor (deformațiilor). Numărul de ecuații de compatibilitate de deplasare (deformare) este egal cu gradul de indeterminare statică a sistemului.

4. Se ia în considerare latura fizică a problemei. Pe baza legii lui R. Hooke, deplasările sau deformațiile elementelor sistemului sunt exprimate prin forțele interne care acționează în ele, iar ținând cont de acest lucru, ecuațiile de compatibilitate a deplasărilor sunt scrise în formă extinsă.

5. Rezolvând împreună ecuațiile de echilibru și compatibilitate a deplasărilor în formă extinsă, se determină reacții necunoscute, i.e. se relevă indeterminarea statică a sistemului de tije.

6. Calculul suplimentar pentru rezistență și rigiditate este similar cu calculul sistemelor determinate static.

Tehnica de rezolvare a tijelor și sistemelor de tije static nedeterminate este prezentată pe exemple de rezolvare a diferitelor probleme.

Exemplul 1 Tijă în trepte, prinsă pe ambele părți, încărcată cu forțe F(Fig. 10, a). Este necesar să se dezvăluie indeterminarea statică a tijei și să se determine aria secțiunii transversale.

Date inițiale: lungimea secțiunii tijei l , aria secțiunii transversale a tijei DAR modulul de elasticitate al materialului tijei E, tensiune admisibilă .

Sistem de tije specificat.

1. Ca urmare a acțiunii forțelor exterioare asupra tijei, apar două reacții de sprijin R 1 și R 2. Ecuațiile de echilibru pentru un sistem de tijă plată pot fi compuse una, prin urmare, tija este odată nedeterminată static (Fig. 10.6).

2. Se ia în considerare partea statică a problemei. Se selectează o schemă de proiectare (Fig. 10.6) și se întocmește o ecuație de echilibru:

3. Se analizează starea deformației tijei și latura geometrică a problemei, se întocmește ecuația de compatibilitate a deplasărilor.

4. Se ia în considerare latura fizică a problemei. Presupunând condiționat că reacțiile R 1 și R 2 sunt cunoscute, forțele normale sunt determinate în secțiuni

Pe baza legii lui R. Hooke, în fiecare secțiune sunt scrise expresii pentru deplasări, iar apoi este compilată o ecuație pentru compatibilitatea deplasărilor într-o formă extinsă:

Fig.10. Bară specificată, schema de proiectare a barei, diagrame de forță normală, tensiuni normale și deplasări

5. Soluția comună a ecuației de echilibru și a ecuației de compatibilitate a deplasărilor într-o formă extinsă ne permite să determinăm reacții necunoscute Se dezvăluie indeterminarea statică a tijei.

6. Sunt construite diagramele N z , σ z , δ (Fig. 10). Condiția de forță este scrisă

și se determină aria secțiunii transversale a tijei

Exemplul 2 O bară absolut rigidă este atașată pivotant de tije și se sprijină pe un suport fixat pivotant (Fig. 11, a). Pe bară se aplică forța F. Este necesar să se dezvăluie indeterminarea statică a sistemului de tije și să se determine valoarea forței admisibile [F].

Date inițiale: lungimile tijelor și lungimile secțiunilor grinzilor sunt date în fracții A, aria secțiunii transversale a tijelor A 1 \u003d 2A și A 2 \u003d A, modulul de elasticitate al materialului tijelor E, efortul admisibil.

Fig.11,a 11b

1. Un anumit sistem de tije este odată nedeterminat static, deoarece există patru reacții necunoscute - H, R, R 1, R 2 și există trei ecuații de echilibru pentru un sistem plat de forțe.

2. Se ia în considerare partea statică a problemei (Fig. 11.6). Ecuațiile de echilibru sunt compilate

3. Se analizează latura geometrică a problemei (Fig. 11, c) și se întocmește o ecuație pentru compatibilitatea deplasărilor. Din asemănarea triunghiurilor avem:

4. Se ia în considerare latura fizică a problemei. Pe baza legii lui R. Hooke se determină expresii ale deformărilor , iar apoi ecuația de compatibilitate a deplasării este scrisă în formă extinsă:

5. Rezolvarea comună a ecuațiilor de echilibru și ecuația extinsă a compatibilității deplasărilor ne permite să determinăm mărimea forțelor din tije printr-o sarcină externă N 1=0,442P, N 2= 0,552R. Este dezvăluită indeterminarea statică a sistemului.

Din starea de forță I a tijei

sarcina admisibila este

Din starea de forță a tijei II

sarcina admisibila este

În cele din urmă, acceptăm o valoare mai mică pentru sistemul de tije. În acest caz, tensiunile de funcționare în a doua tijă vor fi egale cu cele admisibile, iar prima tijă va fi subîncărcată.

Întrebări și sarcini pentru autoexaminare,

1. Ce tije și sisteme de tije sunt numite static nedeterminate?

2. Cum se determină gradul de indeterminare statică?

3. Care sunt ecuațiile de compatibilitate a deplasării?

4. Ce forțe și tensiuni se numesc montare?

5. Ce eforturi și solicitări se numesc temperatură?

6. Enumeraţi principalele etape ale calculelor pentru rezistenţa şi rigiditatea sistemelor static nedeterminate în tensiune (compresie).

OPTIUNI DE LUCRARE DE CALCUL SI PROIECTARE

CALCULE ALE TIJEI ȘI SISTEMELOR DE TIJEI STATIC NEDETERMINATE PENTRU RAZĂ ȘI RIGIDITATE SUB TENSIUNE (COMPRESIUNE)

O grindă K absolut rigidă, încărcată cu forțele F;, este ținută în echilibru prin tije de oțel de lungime schși fixate cu ajutorul dispozitivelor de susținere. Este necesar să se efectueze un calcul de proiectare (găsiți zonele secțiunii transversale ale tijelor).

Ultima cifră corespunde numărului schemei (Fig. 12 ... 14).

Datele variantelor sunt prezentate în Tabelul 3.

În calcule, luați: P \u003d 10 kN.

Tabelul 3. Date pentru sarcina RPR

Pentru ca sistemele de tije (grinzi, cadre etc.) sa serveasca ca structuri si sa reziste la sarcini exterioare, este necesar sa se impuna asupra lor anumite legaturi, care le impart in legaturi externe si interne. O conexiune este de obicei înțeleasă ca corpuri (obstacole) care restricționează mișcarea altor corpuri, puncte sau secțiuni ale unei structuri. În practică, astfel de corpuri sunt numite dispozitive de susținere, fundații etc. În calculele inginerești, este introdus conceptul de conexiuni ideale. Dacă, de exemplu, se impune o condiție la capătul stâng al grinzii (Fig. 1.1, a), care interzice mișcarea verticală, atunci ei spun că există o conexiune externă în acest punct. În mod convențional, este descris ca o tijă cu două balamale. Dacă deplasările verticale și orizontale sunt interzise, ​​atunci sistemului sunt impuse două legături externe (Fig. 1.1, b). Încorporarea într-un sistem plat oferă trei conexiuni externe (Fig. 1.1, c), care împiedică deplasările verticale, orizontale și rotația secțiunii de încorporare. ld Fig. 1.1 Pentru a fixa corpul (tija) pe plan și pentru a-i asigura invariabilitatea geometrică, este necesar și suficient să-i impunem trei legături (Fig. 1.2), iar toate cele trei legături să nu fie reciproc paralele și să nu se intersecteze la un punct. În cele ce urmează, legăturile care asigură imuabilitatea geometrică a sistemului și definibilitatea sa statică vor fi înțelese ca conexiuni necesare. Un sistem geometric invariabil este un sistem care își poate schimba forma numai datorită deformării elementelor sale (fig. 1.2), în timp ce un sistem variabil geometric poate permite mișcarea chiar și în absența deformării (fig. 1.3). Un astfel de sistem este un mecanism (Fig. 1.3, a). 5 Fig. 1.2 Alături de cele notate, există și sisteme instantanee, care sunt înțelese ca sisteme care permit deplasări infinitezimale fără deformarea elementelor sale (Fig. 1.4). Orez. 1.3 Deci, de exemplu, sub acțiunea unei forțe P aplicată în balamaua D (Fig. 1.4, a), tijele DV și DS fără deformare se vor roti față de balamalele B și C printr-un unghi infinit de mic d. Apoi, din starea de echilibru decupată la o valoare mică a forței P, forțele din tijele DW și DS vor tinde spre infinit, provocând deformarea axială a tijelor și modificând poziția sistemului. 6 Fig. 1.4 Pentru cadrul din fig. 1.4, b, când se consideră ecuația staticii, momentul forței P nu este echilibrat (reacția R1, nu poate provoca un moment relativ la punctul luat în considerare, întrucât linia de acțiune a acesteia trece prin acest punct). O caracteristică similară se manifestă și pentru sistemul prezentat în Fig. 1.4, c. Momentul forței P relativ la punctul k nu este echilibrat. Astfel, aceste sisteme permit și deplasări infinitezimale (față de punctul momentului) fără deformarea elementelor lor. În clădiri și structuri, astfel de sisteme sunt inacceptabile. Dacă un sistem geometric invariabil are constrângeri suplimentare pe lângă cele necesare, atunci ecuațiile independente ale staticii nu sunt suficiente pentru a determina forțele necunoscute (reacțiile constrângerilor) și un astfel de sistem se numește nedeterminat static. Diferența dintre numărul de forțe necunoscute de determinat și numărul de ecuații independente de statică caracterizează gradul de indeterminare statică, care este de obicei notat cu simbolul n. Astfel, grinda și cadrul prezentate în Fig. 1,5 sunt de două ori (de două ori) nedeterminate static. În aceste scheme, numărul de reacții necunoscute este de cinci, iar numărul de ecuații statice independente care pot fi scrise pentru fiecare dintre ele este de trei. Orice circuit închis este un sistem de trei ori nedeterminat static (Fig. 1.6). Orez. 1.6 Setarea unei singure balamale reduce gradul de indeterminare statică a sistemului cu unul (Fig. 1.7, a), deoarece nu există moment încovoietor în balama. Prin o singură balama se înțelege o balama care leagă capetele a două tije. Orez. 1.7 O balama inclusa intr-un nod in care capetele mai multor tije converg reduce gradul de indeterminare statica a sistemului cu numarul de balamale simple, determinat de formula O=C–1. Aici, C este înțeles ca numărul de tije care converg la un nod. De exemplu, într-un cadru (Fig. 1.7, b) numărul de balamale simple este O=C–1=3-1=2, deci gradul de incertitudine statică se reduce cu două unități și devine egal cu n4.

Calculul cadrelor determinate static

Concepte de bază Un cadru este un sistem de tije în care toate sau unele dintre conexiunile nodale sunt rigide (Fig. 1.8 a). Un nod rigid se caracterizează prin faptul că unghiul dintre axele tijelor care îl formează nu se modifică sub acţiunea unei sarcini (Fig. 1.8 a). Unghiul dintre tangentele la liniile elastice ale traversei și stâlpul înclinat la nodul B rămâne neschimbat α, iar unghiul dintre tangentele la liniile elastice ale aceleiași traverse și stâlpul din dreapta la nodul D păstrează aceeași valoare β. Cadrele pot fi plate, atunci când toate axele tijelor se află în același plan (Fig. 1.8 a, b, c) și spațial (Fig. 1.8 d). Tija orizontală a cadrului se numește bară transversală, iar tijele care o susțin se numesc suport. Poziția stângă este înclinată, iar cea dreaptă este verticală. Cadrele pot fi simple, constând din trei tije (Figura 1.8), complexe, cu mai multe trave (Figura 1.8 b) și cu mai multe niveluri (Figura 1.8 c). Ele sunt, de asemenea, împărțite în determinate static (Figura 1.8 b), când numărul de reacții necunoscute, eforturile este mai mic sau egal cu numărul de ecuații statice independente care pot fi compilate pentru un cadru dat și nedeterminate static dacă această condiție nu este îndeplinite (Figura 1.8 a, c, d) Acest lucru va fi discutat mai târziu. Spre deosebire de grinzi, în secțiunile transversale ale cadrelor, alături de momentele încovoietoare, forța transversală, există și o forță longitudinală. Orez. 1.8 Determinarea forțelor (M, Q, N) se efectuează în același mod ca la grinzi folosind metoda secțiunii (ROSE). În acest caz, regula semnului pentru momentul încovoietor M și forța transversală Q este aceeași ca pentru grinzi, iar pentru forța longitudinală N, ca la 9 tije în tensiune - compresie. Determinarea tensiunilor normale n și de forfecare se efectuează conform acelorași dependențe ca și în grinzi, dacă tija este îndoită. În cazul rezistenței complexe, când, împreună cu momentul încovoietor, apare și o forță longitudinală în tijă, atunci calculul se efectuează ca în încovoiere cu tensiune - compresie, descris în secțiunea „Rezistența complexă”. Exemplul 1.1 Pentru un cadru dat (Fig. 1.9), se trasează diagramele forțelor interne și se află mărimea și direcția deplasării totale a secțiunii K, dacă P = 5 kN, q = 10 kN/m, EIz = const, secțiunile stâlpilor iar bara transversală sunt aceleași I = 8000 cm4: 1. Aflați reacțiile de sprijin: a) reacții verticale V1, V2: b) reacții orizontale H1 și H2: 2. Construim diagrame ale forțelor interne M, Q, N. a. Construcția unei diagrame a momentelor încovoietoare M.

Calculul sistemelor de bare static nedeterminate prin metoda forței

Selectăm punctul de observație, presupunând că acesta se află în interiorul conturului. În acest caz, câmpurile sunt situate deasupra secțiunilor 1-3, 3-4, 4-K, 4-2, sunt considerate externe, iar în interiorul conturului - interne. La determinarea momentelor încovoietoare, respectăm aceleași reguli ca la grinzi. Calculăm momentele în secțiunile caracteristice fiecăreia dintre secțiunile cadrului. Parcela 1-3. Momentul de la capătul din lateralul suportului este 1, M13 = 0. Momentul de la nod este 3, Semnul este minus deoarece în secțiunea 1-3 partea inferioară tăiată este îndoită în sus cu o convexitate spre observator. Plot 3-4 (bară transversală). Moment la începutul secțiunii (în secțiunea nodului 3) M34, la fel ca pe rack 1 - Moment În balama, momentul este zero. Secțiunea 2-4 (stâlp înclinat) Secțiunea 4-K La începutul secțiunii, momentul MK4 = 0. La sfârșitul secțiunii, curba momentelor încovoietoare este prezentată în (Fig. 1.10, a) 1.10 Verificăm corectitudinea construcției diagramei M. Dacă diagrama M este construită corect, atunci orice nod de sprijin sau orice parte a cadrului sub acțiunea forțelor externe și interne trebuie să fie în echilibru. Să tăiem din cadrul secțiunilor infinit apropiate de nod, de exemplu, nodul (4) și să luăm în considerare echilibrul acestuia. Luăm valorile momentelor din secțiunile corespunzătoare din diagrama M (Fig. 1.10, b). Ecuațiile momentului nodului (4) au forma

Caracteristici ale calculului prin metoda forțelor grinzilor continue cu mai multe trave

Condiția este îndeplinită, ceea ce înseamnă că în secțiunile adiacente nodului (4) momentele sunt determinate corect. În mod similar, se efectuează o verificare în nod (3), etc. Notă Dacă în nod se aplică forțe externe concentrate (moment sau forțe), atunci acestea trebuie luate în considerare la verificare. Sarcina distribuită nu este afișată deoarece dx este o valoare mică. b. Construirea unei diagrame a forțelor transversale Q. Respectăm aceeași regulă de semn ca și pentru grinzi: dacă rezultanta forțelor exterioare din stânga secțiunii este îndreptată în sus, iar spre dreapta în jos, forța transversală Q > 0, dacă invers - m Secțiunea 1–3. Când luăm în considerare partea stângă tăiată de 10 kN (minus deoarece partea stângă tăiată este sub influența forței H1 12 îndreptată în jos, dacă priviți partea tăiată din punctul observatorului). Forța transversală este constantă pe lungimea acestei secțiuni (Fig. 1.11, a) 1.11 Secțiunea 3-4 Forța tăietoare în orice secțiune, luată la distanța x de nodul (3), când se consideră forțele care acționează din secțiune spre stânga, este egală cu 103 01QV xqx. La x = 0, obținem forța transversală în secțiunea din stânga nodului (3), adică Q34 30kN; la x = 3 m, se obține forța transversală Q, adică în secțiunea din stânga nodului (4). Forța transversală din secțiunea 3-4 se modifică conform unei legi liniare (Fig. 1.11, a). Parcela 4-K. Într-o secțiune aflată la distanța x de capătul drept al secțiunii (Fig. 1.11, a), forța transversală este egală cu (legea liniară). La x = 0, obținem, iar la x = 3 m, obținem Secțiunea 2–4. Forța transversală în secțiunea acestei secțiuni se obține prin proiectarea forțelor exterioare H2, V2 aplicate în punctul 2 (Fig. 1.11, a) pe axa Y, perpendicular pe axa longitudinală a tijei. Pe lungimea secțiunii 3–4, forța transversală este constantă. Diagrama forțelor transversale este prezentată în (Fig. 1.11, a).

Utilizarea proprietăților de simetrie în dezvăluirea indeterminației statice a sistemelor de tije

în. Construirea unei diagrame a forțelor longitudinale N. Se calculează forța longitudinală în secțiunea fiecărei secțiuni. Graficul 1–3. Considerăm partea inferioară (Fig. 1.12) Minusul se ia deoarece forța longitudinală care echilibrează reacția V1 este îndreptată spre secțiune, adică spre reacția V1, ceea ce înseamnă că secțiunea tăiată este sub compresie. Dacă forța longitudinală a fost îndreptată departe de secțiune, atunci semnul lui N este pozitiv. Plot 3-4 (pe bara transversală). Forța longitudinală N30 kN, negativă, ca compresiune. În secțiunea x (Fig. 1.12, b) în secțiunea 4-K: perpendicular pe axa longitudinală a secțiunii. Graficul 2–4. Orez. 1.12 Pe un stâlp înclinat din secțiunea x, găsim forța longitudinală prin proiectarea forțelor exterioare V2 și H2 pe axa X, coincizând cu axa tijei (Fig. 1.12): 34 5 4 (compresie). Prin urmare, atribuim un semn minus N24 kN. 14 Diagrama forțelor longitudinale este prezentată în (Fig. 1.11, b). 3. Determinăm deplasările secțiunii K. Pentru aceasta, folosim integrala Mohr, formulele lui A.K. Vereshchagin, Simpson, (a se vedea secțiunea „Îndoire directă”). Determinăm deplasarea verticală a secțiunii K. Pentru a face acest lucru, eliberăm cadrul de toate sarcinile externe (q, P) și aplicăm o singură forță adimensională în această secțiune (Fig. 1.13, a) Direcția în care acceptăm forțele noi înșine, de exemplu, până jos.

Calculul prin metoda forțelor sistemelor static nedeterminate care funcționează în tracțiune sau compresie

Orez. 1.13 În fig. 1.13, este prezentată o diagramă a momentelor încovoietoare M1 din această forță. Înmulțim diagramele M și M1 după metoda Vereshchagin, găsim deplasarea verticală a secțiunii K. În secțiunea 4-K s-a folosit formula Simpson, iar în secțiunea 2-4, formula Vereshchagin. Determinăm deplasarea orizontală a secțiunii K. Pentru a face acest lucru, eliberăm cadrul de sarcini externe, îl încărcăm cu o singură forță adimensională aplicată orizontal (Fig. 1.13, b). Graficul acestei forțe este prezentat în Fig. 1.13b. Calculăm deplasarea orizontală folosind formulele lui Vereshchagin și Simpson. Semnul minus indică faptul că deplasarea orizontală reală este îndreptată în direcția opusă aplicării unei forțe unitare, adică spre stânga. 15 Găsim deplasarea totală a secțiunii K ca sumă geometrică a deplasărilor găsite. Direcția mișcării complete este determinată de unghi (Figura 1.14, b). Determinăm unghiul de rotație al secțiunii K. Aplicăm un singur moment adimensional în secțiunea K (Fig. 1.14, a) și construim o diagramă a momentelor încovoietoare din acesta.

Calculul sistemelor de bare static nedeterminate prin metoda forței sub formă de matrice

Orez. 1.14 Înmulțim diagramele M și M3, folosind formula Vereshchagin, găsim unghiul de rotație al secțiunii K: 16 1.3. Calculul sistemelor de tije static nedeterminate prin metoda forțelor Cea mai utilizată metodă de dezvăluire a nedeterminarii statice a sistemelor de tije este metoda forțelor. Constă în faptul că un sistem dat static nedeterminat este eliberat de conexiuni suplimentare (extra), atât externe, cât și interne, iar acțiunea lor este înlocuită cu forțe și momente. Valoarea lor este determinată în continuare astfel încât deplasările să corespundă restricțiilor care sunt impuse sistemului de către legăturile aruncate. Astfel, cu metoda de soluţionare indicată, forţele sau momentele care acţionează în locurile legăturilor aruncate sau tăiate sunt necunoscute. De aici și denumirea de „metodă a forțelor”. Să luăm în considerare esența metodei forței folosind exemplul de calcul al unui cadru static nedeterminat prezentat în Fig. 1.15. Presupunem că sarcina exterioară, dimensiunile și rigiditatea tijelor sunt cunoscute. Procedura de calcul 2.1. Setăm gradul de indeterminare statică, pentru care folosim expresia, unde X este numărul de necunoscute (există 5 legături externe); Y este numărul de ecuații statice independente care pot fi compilate pentru sistemul luat în considerare. Pentru un cadru dat, numărul de reacții necunoscute este cinci, iar numărul de ecuații independente este de trei, deoarece sistemul de forțe este plat și situat în mod arbitrar, prin urmare sistemul este de două ori nedeterminat static. 2.2. Să ne transformăm pentru acest sistemîntr-un sistem determinat static, geometric invariabil și echivalent cu un sistem dat, adică formăm sistemul principal. Pentru a face acest lucru, eliminăm conexiunile inutile, aruncându-le sau tăindu-le. Pe fig. 1.15 prezintă sistemul principal obţinut prin eliminarea legăturilor de sprijin inutile, iar în fig. 1.16 sistemele principale sunt formate prin aruncarea și tăierea legăturilor. De exemplu, (Fig. 1.16, a) în suportul A se aruncă o legătură orizontală iar în suportul C se decupează o legătură care împiedică rotirea secțiunii. Astfel, pentru fiecare sistem de tije static nedeterminat, se poate 1.15 17 selectați mai multe opțiuni pentru sistemele principale (Fig. 1.15, 1.16). Este necesar să se acorde o atenție deosebită faptului că în formarea sistemului principal al metodei de forțe, introducerea de noi conexiuni este inacceptabilă. Este de dorit ca sistemul principal să fie rațional, adică unul pentru care este mai ușor să construiți diagrame ale factorilor de forță interni și cantitatea de calcule este cea mai mică. Un astfel de sistem este prezentat în Fig. 1.15 (opțiunea I). Nu este nevoie să determinați aici reacțiile de sprijin dacă construiți diagrame de la capătul liber (liber) al cadrului. Orez. 1.16 2.3. Formăm un sistem echivalent prin încărcarea sistemului principal cu forțe externe și forțele legăturilor aruncate (tăiate) (Fig. 1.17). Factorii de forță necunoscuți vor fi notați cu simbolul Xi, unde i este numărul necunoscutului. Dacă constrângerile respinse interzic deplasările liniare, atunci necunoscutele sunt forțele, dacă deplasările unghiulare sunt interzise, ​​momentele. Dacă sistemul principal a fost obținut prin tăierea conexiunilor suplimentare, atunci forțele și momentele egale și opuse unul față de celălalt se aplică atât părților din dreapta cât și din stânga sistemului disecat în locurile de tăiere. În exemplul luat în considerare, X1 și X2 reprezintă componentele verticale și orizontale ale reacției suportului pivot A. 2.4. Compunem ecuațiile canonice ale metodei forței, care exprimă în formă matematică condițiile de echivalență a sistemelor principale și date. În caz contrar, ele exprimă condiții care indică faptul că deplasările relative în direcția legăturilor superflue îndepărtate din acțiunea comună a unei sarcini externe și a forțelor necunoscute trebuie să fie egale cu zero. Pentru sistemul echivalent al exemplului considerat, bazat pe principiul independenței acțiunii forțelor și fig. 1.18 ecuațiile canonice se vor scrie sub forma

Grinzile cu rezerve includ grinzile ferme, care sunt o combinație între grinda continuă cu două sau trei trave și tracțiune cu arc; sunt tipice pentru structurile din oțel și lemn, cu o coardă superioară a unui profil rulat continuu (cheresteaua sau pachetele de plăci lipite). Pot exista și ferme din beton armat cu deschideri mici.

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

unde 11 este deplasarea relativă în sistemul principal în direcția extra-necunoscutei X1, cauzată de aceeași forță; 12 - mişcare relativă în direcţia extranecunoscutului X1, cauzată de forţa X2; 1P - deplasarea relativă în direcția de acțiune a necunoscutului X1, cauzată de o sarcină dată. Orez. 1.18 Sensul fizic al acestor ecuații. Prima ecuație neagă posibilitatea deplasării verticale a secțiunii de sprijin A în direcția excesului necunoscut X1 din acțiunea combinată a unei sarcini date P și valori complete X1 și X2 necunoscute. A doua ecuație are un sens similar. În această formă (1.1), utilizarea ecuațiilor în calculele inginerești este dificilă, așa că le vom transforma într-o formă nouă. Avand in vedere ca pt sisteme liniare expresia poate fi scrisă pe bună dreptate: unde 11 este deplasarea relativă în sistemul principal în direcția forței X1 din acțiunea forței X1 1 (Fig. 1.19); 21 este deplasarea relativă în sistemul principal în direcția forței X2 față de forța X1 1. Aici X1 și X2 sunt valorile reale ale reacțiilor legăturilor căzute. Atunci ecuațiile canonice ale metodei forței (1.1) pot fi scrise sub forma Prin analogie, de n ori sisteme static nedeterminate, ecuațiile canonice au forma Coeficienții conducători sunt întotdeauna pozitivi. Factorii secundari pot fi pozitivi, negativi sau zero. 1P  - se numesc coeficienţi liberi sau de sarcină. 2.5. Determinăm coeficienții ecuațiilor canonice. Acești coeficienți reprezintă deplasările punctelor sistemului în direcția legăturilor căzute, prin urmare, se pot găsi prin intermediul integralei Mohr: Procedura de determinare a coeficienților: Fig. 1.19 20 a) trasăm diagramele momentului încovoietor pentru sistemul principal dintr-o sarcină externă dată P și din forțele unitare ale legăturilor căzute X11 (Fig. 1.20); Orez. 1.20 b) calculăm coeficienții ecuațiilor canonice. Deoarece sistemul luat în considerare este format numai din tije rectilinii, iar rigiditatea tijelor în lungimile lor este constantă, atunci calculul integralei Mohr se efectuează conform metodei lui A.K. Vereshchagin prin înmulțirea diagramelor corespunzătoare folosind formulele lui Simpson și trapezele: 2.6. Scriem sistemul de ecuații canonice. După înlocuirea coeficienților aflați în ecuația (1.3), obținem: Rezolvăm sistemul de ecuații și găsim forțele necunoscute, kN: Notă. Dacă semnul forței s-a dovedit a fi negativ, atunci aceasta înseamnă că forța reală (reacția) este direcționată în direcția opusă forței Xi adoptată în sistemul echivalent. Astfel, se dezvăluie indefinibilitatea statică a sistemului. 2.7. Construim diagramele finale (reale) ale factorilor de forță interni pentru un sistem dat. Trasarea se poate face în două moduri. Prima modalitate Încărcăm sistemul principal cu o sarcină dată și cu forțele găsite X1 și X2 (Fig. 1.17), după care construim diagramele M, Q și N în același mod ca pentru un sistem convențional determinat static. Diagramele astfel construite sunt prezentate în Fig. 1.21, unde ordonatele diagramei momentului încovoietor sunt trasate din partea fibrelor întinse. Această metodă este cea mai convenabilă pentru sistemele simple. A doua modalitate Calculăm valorile momentelor încovoietoare în orice secțiune (de obicei caracteristică) pe baza principiului independenței acțiunii forțelor conform formulei 22, unde k este numărul secțiunii pentru care valoarea încovoierii momentul este determinat; n este gradul de indeterminare statică a sistemului. Orez. 1.21 În acest caz, dacă forța găsită Xi are semn negativ , atunci trebuie oglindită diagrama corespunzătoare Mi în raport cu axele tijelor. La determinarea valorilor reale ale momentelor încovoietoare, ordonatele momentelor din secțiunile calculate sunt luate din diagramele M1, M2 și MP, ținând cont de semnele acestora. Semnele momentelor din secțiunea luată în considerare sunt determinate în funcție de ce parte a liniei de bază sunt situate ordonatele momentelor și de poziția punctului observatorului. În cazul nostru, presupunem că punctul observatorului este situat în interiorul conturului, prin urmare, valorile pozitive ale momentelor sunt considerate momentele care provoacă tensiune în secțiunea calculată a fibrelor interne, iar valorile negative a fibrelor externe ale conturului. De exemplu, pentru secțiunea D a cadrului, obținem Similar și pentru alte secțiuni. Diagrama finală a momentelor încovoietoare pentru un sistem dat este prezentată în fig. 1.21 a. 23 2.8. Efectuăm o verificare de deformare a corectitudinii construirii unei diagrame reale a momentelor încovoietoare. Sensul testului de deformare este de a confirma absența deplasărilor în sistemul principal în direcția legăturilor aruncate (tăiate) la valorile găsite ale forțelor necunoscute. Deci, dacă forțele necunoscute sunt găsite corect, atunci pentru exemplul luat în considerare trebuie îndeplinite egalitățile: Dacă construim o diagramă de momente simple 2, atunci verificarea se numește verificare pentru deplasarea grupului (Fig. 1.22): Absența de deplasare confirmă corectitudinea soluționării problemei. Dacă calculele efectuate nu confirmă absența deplasărilor punctelor sistemului principal în direcția legăturilor aruncate, atunci pentru a identifica eroarea de calcul este necesar să se verifice corectitudinea determinării coeficienților ecuațiilor canonice. după formula Dacă nu există egalitate în această ecuaţie, se efectuează o verificare linie cu linie a coeficienţilor ecuaţiilor canonice. Prima linie: . Dacă nu există nicio eroare de calcul în această linie, atunci trebuie îndeplinită condiția: În mod similar, puteți verifica a 2-a și alte linii. La efectuarea acestor verificări, ar trebui să verificați corectitudinea calculului coeficienților de sarcină: 2.9. Construim o diagramă a forțelor transversale Q conform diagramei momentelor încovoietoare M prin tăierea secvențială a tijelor dintr-un sistem dat și considerându-le ca grinzi articulate determinate static. Aplicăm momente la capetele tijelor, ale căror valori și direcții sunt selectate din diagrama M în secțiunile corespunzătoare. În prezența forțelor externe, le aplicăm în zonele corespunzătoare. Determinăm reacțiile de susținere din starea de echilibru static și diagramăm Q ca de obicei pentru grinzi determinate static. Pentru un cadru dat (Fig. 1.15), atunci când construim o diagramă a forțelor transversale pentru un rack, tăiem secțiunea AB și în secțiunea B aplicăm un moment B 3, 56 M P luat din diagrama momentelor reale M (Fig. 1.21, b). Determinăm reacțiile de sprijin din luarea în considerare a echilibrului 3 P și construim o diagramă a forțelor transversale Q (Fig. 1.23). Orez. 1.22 25 În mod similar, tăiem tija orizontală (bara transversală) BC, luăm în considerare echilibrul acesteia și trasăm Q pentru această secțiune a cadrului (Fig. 1.24). Transferăm diagramele Q pentru tije individuale într-un sistem dat. Diagrama finală a forțelor transversale pentru un cadru dat este prezentată în Figura 7.14, b. Construirea unei diagrame a forțelor transversale conform diagramei momentelor încovoietoare este posibilă și pe baza unei dependențe diferențiale: unde α este unghiul de înclinare al dreptei care conturează diagrama momentelor încovoietoare față de linia de bază (axa grinzii). ). Forța transversală este considerată pozitivă dacă momentul încovoietor crește pe direcția axei. Pentru exemplul considerat: 2.10. Construim o diagramă a forțelor longitudinale N.
Orez. 7.16 Fig. 1.24 26 Pentru a face acest lucru, folosim metoda de tăiere a nodurilor (decupăm numai noduri în afara suportului cu secțiuni infinit aproape de nod) și luăm în considerare echilibrul lor sub acțiunea unei sarcini externe (dacă se aplică nodurilor) și forțe în legăturile aruncate (tăiate). Decupăm nodul B. Îi aplicăm forțe transversale luate în secțiunile corespunzătoare din diagrama Q (Fig. 1.23, b). Nodul trebuie să fie în echilibru (Fig. 1.25) sub acțiunea forțelor transversale și longitudinale (necunoscute). Determinăm forțele longitudinale necunoscute din starea de echilibru static. Diagrama forțelor longitudinale este prezentată în fig. 1.23, c. 2.11. Efectuăm o verificare finală a corectitudinii soluționării problemei. Sistemul (cadru), o unitate de sprijin sau o parte a sistemului trebuie să fie în echilibru sub acțiunea unei sarcini externe și a forțelor legăturilor aruncate (tăiate). Pentru un exemplu dat, luăm în considerare echilibrul cadrului folosind ecuațiile staticii (Fig. 1.26):

Condiția de echilibru este îndeplinită. Note. 1. Dacă cadrul are mai multe noduri off-support, atunci toate nodurile sunt acoperite de verificare.

Lista bibliografică

Orez. 1.25 Fig. 1.26 27 2. La verificarea echilibrului unui nod în afara sprijinului, este necesar ca, pe lângă forțele interne (M, Q, N), luate în secțiunile corespunzătoare, să se aplice și forțe externe (forța concentrată și momentul), dacă există, sunt aplicate în nod. În cazul nostru, nu există încărcare în nod.

Orientări pentru implementarea lucrărilor de decontare și grafică pentru studenții specialităților 2903, 2906,2907, 2908, 2910

Kazan, 2006

Alcătuit de: R.A. Kayumov

UDC 539.3

Calculul unui sistem de tije static nedeterminat care conține un element absolut rigid; Orientări pentru implementarea lucrărilor de decontare și grafică pentru studenții specialităților 2903, 2906, 2907, 2908, 2910 / KazGASU; comp. R.A. Kayumov. Kazan, 2005, 24 p.

Aceste linii directoare subliniază pe scurt metodologia de calcul a celor mai simple structuri de ferme cu un element rigid și oferă un exemplu de calcul.

Fig.6.

Referent Candidat la Fizică și Matematică științe, prof. Scaune mecanică teoretică KSUAE Shigabutdinov F.G.

ã Universitatea de Stat de Arhitectură și Inginerie Civilă din Kazan

SARCINA #3

CALCULUL UNUI SISTEM STATIC NEDETERMINAT DE BALAMĂ-TIJA

Pentru un anumit sistem de tijă balama (vezi diagrama), constând dintr-o grindă absolut rigidă și tije elastice cu rapoarte date ale ariei secțiunii transversale, este necesar:

1. Setați gradul de indeterminare statică.

2. Găsiți forțele în tije.

3. Notați condițiile de rezistență pentru tije din efectele forței și selectați secțiunile transversale ale tijelor, ținând cont de rapoartele de suprafață date. Material St-3, limita de curgere luată egală cu 240 MPa = 24 kN/cm2, factor de siguranță k = 1,5.

4. Găsiți tensiunile din tijă din inexactitatea fabricării tijelor d 1 = d 2 = d 3 = (vezi Tabelul 3). Dacă are semnul plus, atunci tija este mai lungă; dacă minus - mai scurt.

5. Găsiți tensiunile din tije din modificarea temperaturii în tijele cu Dt° (vezi Tabelul 3). Coeficientul de dilatare liniar pentru oțel 1/grad.

6. Verificați puterea sistemului la diverse opțiuni impacturi de forță și fără forță: 1) structura este asamblată, încă neîncărcată, dar a apărut o diferență de temperatură; 2) cazul în care nu există diferență de temperatură, iar structura este asamblată și încărcată. 3) cazul când structura este asamblată, încărcată și există o diferență de temperatură.

7. Determinați capacitatea de încărcare finală a sistemului și factorul de siguranță real presupunând un raport constant între și .

Sarcina este îndeplinită integral de studenții specialităților PGS și AD. Studenții altor specialități efectuează calculul sistemului numai pentru încărcare externă în funcție de tensiunile admisibile și sarcina admisă, excluzând tija 3.

Datele inițiale pentru efectuarea lucrărilor de decontare și grafică sunt selectate conform codului emis de profesor.

Scheme pentru sarcina numărul 3

tabelul 3

	DAR	B	LA	G	B	în	LA
, kN	, kN/m	, m	, m	, m	, m	, m		, mm
									0.3	3/2
								-30	-0.4	1/2
									0.5		3/2
								-25	-0.6	3/4	3/2
									0.7	5/4	1/2
								-35	-0.4	1/2	4/5
									0.5	2/3	1/2
									-0.7	1/2	4/5
								-20	-0.3	3/2	2/3
									0.6	2/3	5/4

FORMULAREA PROBLEMEI

Se are în vedere un sistem balama-tijă (Fig. 1), constând dintr-o grindă rigidă și tije deformabile realizate cu un raport dat de zone de secțiune transversală, care este indicat în sarcină. Încărcări de proiectare cunoscute F , q ; dimensiunile constructiei h 1 , h 2 , L 1 , L 2 , L 3; fluctuații ale temperaturii de proiectare: D t 1 - în prima tijă, D t 2 - în al doilea, D t 3 - în a treia; inexactități în fabricarea tijelor și anume d 1 - diferență față de lungimea de proiectare în prima bară, d 2 - în al doilea, d 3 - în al treilea. cunoscut caracteristici mecanice material: modulul de elasticitate E \u003d 2 × 10 4 kN / cm 2, limită de curgere s t\u003d 24 kN / cm 2, coeficient de dilatare termică A=125×10 -7 1/grad. factor de securitate k pentru acest design se ia egal cu 1,5.

Este necesar să rezolvați 3 sarcini:

1. Selectați secțiunile tijelor pentru fabricarea acestui sistem din starea rezistenței acestor tije în ceea ce privește tensiunile admisibile la sarcinile de proiectare.

2. Faceți o concluzie despre admisibilitatea fluctuațiilor de temperatură de proiectare și a inexactităților în fabricarea tijelor.

3. Găsiți capacitatea maximă de încărcare a structurii, sarcini admisibileși adevărată marjă de siguranță.

Astfel, lucrarea constă în calcul de proiectare, calcul de verificare, calcul de sarcini limită pentru sistem.

RGR ar trebui să conțină 3 desene (desenate la scară): diagrama inițială a sistemului de tije, diagrama puterii și diagrama cinematică a deformării structurii.

2. Metoda secțiunilor.

3. Legea lui Hooke.

4. Alungirea de la schimbarea temperaturii.

5. Rezistență la tracțiune, efort admisibil, stare de rezistență.

6. Curgerea plasticului, limita de curgere.

7. Indefinibilitate statică.

8. Condiția de compatibilitate a deformațiilor.

9. Calculul tensiunilor admisibile.

10. Calcul după teoria echilibrului limită.

PLAN GENERAL DE CALCUL DE PROIECTARE

În primul rând, structura este eliberată de legături, înlocuindu-le cu reacții. Metoda secțiunilor introduce în considerare forțele longitudinale interne (forțe normale) care apar în tije. În acest caz, ele trebuie direcționate din secțiune, adică. considerați condiționat tijele a fi întinse. Nu este posibil să se determine reacțiile și forțele longitudinale din ecuațiile de echilibru, deoarece într-o problemă plană de statică, este posibil să se compună 3 ecuații de echilibru independente, în timp ce numărul de factori de forță necunoscuți (reacții și forțe longitudinale) este mai mare de trei. Prin urmare, este necesar să se compună ecuații suplimentare care decurg din ipoteza deformabilității tijelor (ecuații de compatibilitate a deformațiilor care raportează alungirile tijelor între ele). Ele decurg din considerente geometrice. În acest caz, se utilizează ipoteza micșorării deformațiilor. În plus, trebuie luată în considerare următoarea regulă a semnelor. Diferența totală dintre lungimea de proiectare a tijei l și lungimea adevărată finală l con notat cu D l . Prin urmare, dacă tija se prelungește, atunci , dacă este scurtat, atunci .

După cum se poate observa din Fig. 2, modificarea lungimii tijei D l alcatuit din extensie D l (N) , cauzată de forța tensiunii axiale N , alungire D l(t) cauzate de schimbările de temperatură și inexactitățile de fabricație d.

Dacă temperatura scade, atunci D t < 0, то длина стержня уменьшается, т.е. ; если стержень сделан короче проектного, то d< 0. С учетом закона Гука это соотношение примет вид:

Întrucât alungirile sunt exprimate în termeni de forțe longitudinale conform formulelor (1), apoi din ecuațiile de compatibilitate urmează relațiile care leagă eforturile dorite. Aici și mai jos, pentru a simplifica notația, se folosesc următoarele denumiri: forța longitudinală și solicitarea în tijă cu numărul i .

În RGR considerat, nu este necesară căutarea reacțiilor. Prin urmare, din cele 3 ecuații de echilibru, este suficient să lăsați una - condiția egalității la zero a momentelor tuturor forțelor externe și interne în raport cu axa care trece prin centrul balamalei D (Fig. 1). Rezolvarea sistemului rezultat (ecuațiile de echilibru și compatibilitatea deformațiilor) face posibilă găsirea forțelor în tije.

În plus, calculele de proiectare (sarcina 1) și verificare (sarcina 2) sunt efectuate folosind metoda tensiunii admisibile. Stresul de curgere este considerat stres periculos s t. Conform metodei de stres admisibil, proiectarea considerată neregulată dacă tensiunea a atins o valoare periculoasă în cel puțin o tijă, adică. s-a dovedit a fi distrus cel puțin unul din tije:

Pentru a asigura siguranța structurii, este necesară o marjă de siguranță, adică. trebuie efectuată stare de forță drăguț

, (3)

Unde k - factor de securitate, [ s] - tensiune admisibilă.

Distrugerea unui element structural nu înseamnă întotdeauna pierderea proprietăților sale operaționale (adică prăbușirea). Alte elemente pot prelua sarcina, sau o parte a acesteia, pe care ar fi trebuit să o transporte elementul distrus. Această considerație este folosită în problema 3, care este rezolvată metoda echilibrului limită, numit si metoda de încărcare admisă.

În formularea problemei se presupune că forţele R și Q crește proporțional ( R / Q = const), ariile secțiunii transversale ale tijelor sunt cunoscute din soluția problemei 1, materialul tijelor este elastic-ideal-plastic. Când sarcina crește, o tijă va „curge” mai întâi, tensiunea din ea nu va crește odată cu deformarea ulterioară și va rămâne egală ca modul cu forța de curgere s t(vezi fig. 3). Creșterea ulterioară a sarcinilor va duce la faptul că, mai întâi, în a doua și apoi în a treia tije va începe curgerea de plastic, adică. stresul a atins punctul de curgere. Evident, indiferent care au fost tensiunile de instalare sau de temperatură la începutul procesului, vine în sfârșit momentul în care tensiunile ating limita de curgere la toate tijele (deoarece nu pot lua valori mari, conform diagramei de deformare din Fig. 3) . Valori de forță atinse F = F etcși Q = Q etc sunt numite limitative, deoarece creșterea lor este imposibilă, iar sistemul va începe să se deformeze la infinit. De la eforturi N i în stare limită sunt cunoscute (deoarece sunt exprimate în termeni de tensiuni), apoi din ecuația de echilibru se determină F etc. Din starea de siguranță la încărcare se găsesc sarcinile admisibile

După cum se poate observa din raționamentul în rezolvarea problemei 3, prezența modificărilor de temperatură sau a inexactităților în fabricarea tijelor nu reduce capacitatea de încărcare a structurii dacă tijele sunt realizate dintr-un material elastic-ideal plastic.

NOTE

1. Profesorul poate specifica sarcina de selectare a tijelor solicitând utilizarea unui sortiment de oțel laminat, de exemplu, pentru a selecta o secțiune compozită din unghiuri conform tabelelor de sortiment (vezi exemplul de calcul).

2. La calcul, este suficient să lăsați 3 cifre semnificative.

3. La selectarea dimensiunilor tijelor este permisă suprasarcină de 5%.

Exemplu de calcul

Să fie dat un sistem balama-tijă (Fig. 4). Se știe că

E \u003d 2 × 10 4 kN / cm 2, s t \u003d 24 kN / cm 2, a \u003d 125 × 10 -7 1 / grad. (5)

O sarcină. Determinați efortul în barele de oțel care susțin o grindă absolut rigidă. Material - otel St3, α=60°, [σ]=160MPa.

1. Desenăm schema a masura. Numerotăm tijele.

Într-un suport articulat-fix DAR apar reactii R A și PE . În tije 1 și 2 apar eforturi N 1 și N 2 . Aplicabil . Tăiați cu o tăietură închisă mijloc parte a sistemului. Vom arăta schematic o grindă rigidă - printr-o linie, eforturi N 1 și N 2 trimite din sectiune.

Compilarea ecuații de echilibru

Număr de necunoscute depaseste numărul de ecuații de statică per 1 . Prin urmare, sistemul și pentru soluția lui este necesar o ecuație suplimentară. a compune adiţional ecuație de luat în considerare diagrama deformarii sistemului. Suport fixat cu balamale DAR rămâne pe loc și tijele se deformează sub acţiunea forţei.

Schema deformarilor

Conform schemei de deformare vom compune condiție de compatibilitate cu deformarea din luarea în considerare a asemănării triunghiurilor ACC 1 și ABB 1 . Din asemănarea triunghiurilor ABB 1 și ACC 1 scrieti raportul:

, Unde BB 1=∆ ℓ 1 (extensia primei tije)

Acum ne exprimăm SS 1 prin deformare al doilea tijă. Să mărim un fragment al schemei.

Din figură se poate observa că SS 2 = SS unu · cos(90º- α )= SS unu · sinα.

Dar SS 2 = ∆ ℓ 2 , apoi Δ ℓ 2 = SS unu · sinα , Unde:

Să ne întoarcem condiție de compatibilitate cu deformarea(4) în ecuația de compatibilitate a deformațiilor prin utilizarea . În acest sens, trebuie să luăm în considerare caracterul deformarilor(scurtarea se scrie cu semnul „-”, prelungirea cu semnul „+”).

Atunci va fi:

Scurtăm ambele părți cu E , înlocuiți valorile numerice și exprimați N 1 prin N 2

Înlocuiește relația (6) în ecuație (3) de unde gasim:

N 1 = 7,12 kN (întins),

N 2 = -20,35kN (comprimat).

Să definim Voltajîn tije.

Calculul unui fascicul cu un gol. Pentru o grindă în trepte din oțel nedeterminată static, construiți diagrame ale forțelor longitudinale, tensiunilor normale și deplasărilor. Verificați puterea fasciculului. Înainte de încărcare, a existat un spațiu Δ=0,1 mm între capătul superior și suport. Material - otel St 3, modul de elasticitate longitudinal E=2·10 5 MPa, efort admisibil [σ]=160 MPa.

1. După încărcare decalajul se va închideși reactii apărea iar în partea de jos, si in top a sustine. Să le arătăm arbitrar, acestea sunt reacții R A și R B . Să compunem ecuația staticii.

∑la=0 R A- F 1 + F 2 - R B=0

În ecuație 2 necunoscute și ecuația unu, deci sarcina 1 o singura data static nedeterminat, iar soluția sa necesită 1 ecuație suplimentară.

aceasta ecuația de compatibilitate a deformațiilor. În acest caz, compatibilitatea deformațiilor secțiunilor grinzii este aceea modificarea lungimii grinzii (alungirea) nu poate depăși golul, adică Δ ℓ =Δ , aceasta este condiție de compatibilitate cu deformarea.

1. Acum vom împărți fasciculul în secțiuni și vom desena secțiuni pe ele - lor 4 în număr caracteristică parcele. Fiecare secțiune este luată în considerare separat, in miscare într-o singură direcție- de la suport inferior în sus. În fiecare secțiune exprimăm forța N prin reacție necunoscută. Regia N din sectiune.

Scriem separat valorile forțe longitudinale în secțiuni:

N 1 = -R A

N 2 = 120 -R A

N 3 = 120 -R A

N 4 = 30-R A

3. Înapoi la compilare condiții de compatibilitate cu deformarea. Avem 4 zonă, ceea ce înseamnă

Δ ℓ 1 + ∆ ℓ 2+∆ ℓ 3+∆ ℓ 4 = Δ (dimensiunea golului).

Folosind formula pentru definiția deformării absolute Compune ecuația de compatibilitate a deformațiilor, este exact asta adiţional ecuația necesară pentru a rezolva problema.

Sa incercam simplifica ecuația. Amintiți-vă că dimensiunea decalajului Δ=0,1 mm = 0,1 10 -3 m

E- modul elastic, E\u003d 2 10 5 MPa \u003d 2 10 8 kPa.

Inlocuim in schimb N valorile lor, scrise prin reacția de sprijin R A .

4. Calculați Nși construiește diagrama forțelor longitudinale.

N 1 =-R A =-47,5 kN

N 2 =120 -R A = 72,5 kN

N 3 =120 -R A = 72,5 kN

N 4 =30-R A =-17,5 kN.

5. Definiți tensiuni normale σ conform formulei și construiți diagramele lor

Construim diagramă tensiuni normale.

Control putere.

σ max= 90,63 MPa< [σ]=160МПа.

Putere garantata.

1. calculati deplasare, folosind formula deformărilor.

Sa mergem din perete DAR la gol.

Am primit valoarea ω 4 egal cu decalajul, aceasta este o verificare a corectitudinii definiției deplasărilor.

Construim diagrama de deplasare.

Asupra tijei de oțel acționează o forță longitudinală P și propria sa greutate (γ = 78 kN/m 3). Aflați deplasarea secțiunii 1 –1.

Având în vedere: E \u003d 2 10 5 MPa, A \u003d 11 cm 2, a \u003d 3,0 m, b \u003d 3,0 m, c \u003d 1,3 m, P \u003d 2 kN.

Deplasarea secțiunii 1–1 va fi alcătuit din deplasare din acțiunea forței R, din acţiunea propriei greutăţi secțiunea de mai sus iar din acţiunea propriei greutăţi secțiunea de mai jos. in miscare din acțiunea forței R va fi egală cu alungirea secțiunii tijei lungimea b+a situat de mai sus secțiunea 1–1. Sarcina P determină alungirea numai zona a,întrucât are doar forță longitudinală din această încărcătură. Conform legea lui Hooke alungirea de la acţiunea forţei P va fi egală cu: Definiţi alungirea din greutatea proprie a tijei de sub secțiunea 1–1.

Să-l notăm ca . Se va numi greutatea proprie a parcelei cuși greutatea tijei în secțiunea a + b

Să definim alungirea din greutatea proprie a tijei deasupra secțiunii 1–1.

Să o notăm așa cum se va numi greutatea proprie a secțiunii a+b

Apoi deplasarea completă a secțiunii 1-1:

Acestea, secțiunea 1-1 va scădea cu 0,022 mm.

O grindă absolut rigidă se sprijină pe un suport fixat pivotant și este atașată de două tije cu ajutorul balamalelor. Se cere: 1) să se afle forţele şi tensiunile din tije, exprimându-le în termeni de forţă Q; 2) Găsiți sarcina admisibilă Q adăugând echivalentul dintre tensiunile mai mari din cele două tije cu efortul admisibil ; 3) găsiți capacitatea de încărcare finală a sistemului dacă limita de curgere 4) comparați ambele valori obținute în calculul tensiunilor admisibile și al sarcinilor finale. Dimensiuni: a=2,1 m, b=3,0 m, c=1,8 m, aria secțiunii transversale A=20 cm 2

Acest sistem odată nedeterminată static. Pentru dezvăluirea indeterminației statice este necesar să se rezolve împreună ecuația de echilibru și ecuația de compatibilitate a deformațiilor tijei.

(1) -ecuația de echilibru

Să compunem schema de deformare- vezi fig. Apoi din schema: (2)

De legea lui Hooke avem:

Lungimile tijei:Atunci obținem:

Înlocuiți relația rezultată în ecuație (1):

Noi definim Voltaj in tije:

În stare limită: Inlocuim relatiile obtinute in ecuatie (1):

În comparație, vedem o creștere a încărcăturii:

O coloană formată dintr-o tijă de oțel și o țeavă de cupru este comprimată de o forță P. Lungimea coloanei este ℓ. Exprimați forțele și tensiunile care apar într-o tijă de oțel și o țeavă de cupru.
Să desenăm o secțiune 1 - 1 și să luăm în considerare echilibrul părții tăiate

Să compunem ecuație statică: N C + N M - P= 0 , N C + N M = P (1)

Problema este static nedeterminată. Ecuația de compatibilitate a deformațiilor scrie din conditia ca alungirile tijei de oțel și ale țevii de cupru sunt aceleași:(2) sauSă anulăm ambele părți după lungimea tijei și să exprimăm forța într-o țeavă de cupru prin forța într-o tijă de oțel:

(3) Înlocuiți valoarea găsită în ecuație (1), obținem:

Lucrând mereu împreună elementul dintr-un material cu un modul mare de elasticitate este solicitat mai puternic. La E C \u003d 2 10 5 MPa, E M \u003d 1 10 5 MPa:

Pentru stâlp, determinați tensiunile în toate secțiunile. După aplicarea forței P, golul se închide, P = 200 kN, E = 2. 10 5 MPa, A \u003d 25 cm 2 După aplicarea forței P, va exista eforturi de ciupire. Să le numim C și B.

Să compunem ecuația statică: ∑y = 0; C + B - P \u003d 0; (unu)

Adiţional ecuația de compatibilitate a deformației: ∆ℓ 1 +∆ℓ 2 =0,3 mm (2);

A găsi deformare absolută, trebuie să știți forță longitudinală Locația activată. Pe primul secțiune, forța longitudinală este egală cu DIN, pe al doilea diferențe (S-R). Să substituim aceste valori în expresiile pentru deformații absolute: (3)

Inlocuim expresia (3 ) în exprimare ( 2) si gaseste: C = 150 kN, și de la (1) B = 50 kN .

Apoi Voltaj in zone:

O grindă rigidă este suspendată pe trei tije de oțel; tija 2 este mai scurtă decât cea de proiectare. Determinați tensiunile din tije după asamblarea sistemului. Dat:

După finalizarea asamblarii în acest sistem, grinda rigidă Se va intoarceși ia Pozitie noua.

puncte C, Dși La trece la poziții C1, D1și K 1

Conform modelului de deformare SS 1 =Δℓ 1, DD 1 =Δ−D 1 D 2 = Δ−Δℓ 2, KK 1 \u003d ℓ 3,în timp ce tijele 1 și 3 trăind comprimare, și tija 2 – întinderea.

Conform schemei de deformare ecuația de echilibru va lua forma:

Ecuații suplimentare pot fi obținute pe baza analiza schemei de deformare; din triunghiuri similare VSS 1și BDD 1, triunghiuri VSS 1și BKK 1 urmează:

Conform Deformații absolute ale legii lui Hooke:

Apoi ecuațiile suplimentare se vor scrie după cum urmează: Rezolvând împreună acest sistem de ecuații suplimentare obținute și ecuația de echilibru, obținem:

N 1 \u003d 14,3 kN (tija este comprimată), N 2 \u003d 71,5 kN (tija este întinsă), N 3 \u003d 42,9 kN (tija este comprimată).

Astfel, cel dorit tensiuni în tije au semnificatii:
Problema rezolvata.

Tija de cupru în trepte este încălzită de la temperatura t H =20ºС la t К =50ºС. Verificați rezistența tijei. Dat:

Să compunem ecuația de echilibrare a tijei presupunând înlocuirea legăturilor externe cu forțe reactive: După cum puteți vedea, sistemul este static nedeterminat și este necesară o ecuație suplimentară pentru a-l rezolva.

Ecuația de compatibilitate a deformarii rezultă din condiția ca deplasările legăturilor externe să fie egale cu 0 - W B = 0 sau W K = 0. În acest fel:

Unde:

Ca urmare R B \u003d 20723N.

Forțe și stres normale in zone:

Conform rezultatelor calculelor σ max =│69,1│MPa, în care σmax< σ adm , (69,1<80). Prin urmare, condiția de rezistență a tijei este îndeplinită.

Calculul unei bare cu un decalaj. Pentru o bară în trepte din oțel cu un spațiu între capătul inferior și suport, este necesar: să se construiască diagrame de forțe și tensiuni normale, deplasări; verifica puterea. Dat:

Să compunem ecuația de echilibru tijă:

În el Două necunoscut, sistem odată nedeterminată static,necesar ecuația suplimentară este ecuația deformarii.

Se poate scrie o ecuație suplimentară din starea de închidere a golului în procesul de deformare a tijei:

Pentru zonele luate în considerare deformatii absolute:

Să definim forțe normale (longitudinale)., mergi de la perete la gol:

Înlocuiți toate valorile găsite în ecuație suplimentară:

După înlocuirea datelor inițiale și a abrevierilor:

Din ecuații de echilibru primim:

În acest fel, R B \u003d 40,74 kN, R K \u003d 9,26 kN.

Calcul forte normale:
Construim parcela N

Calcul tensiuni normale:
Construim diagrama tensiunilor normale

Calcul miscarile secţiuni caracteristice.

Se adoptă regula semnelor pentru deplasări: jos - pozitiv, sus - negativ.
Construim diagrama de miscare.

Este dat un sistem de tije static nedeterminat (piesa BCD este rigidă). Este necesar să selectați zonele de secțiune transversală ale barelor 1 și 2.

Denota eforturiîn tijele 1 și, respectiv, 2 N 1 și N 2.

Să arătăm schema sistemului cu eforturi N 1 și N 2

Compune pentru acest sistem ecuația de echilibru, excluzând din considerare forţele reactive în sprijinul C Această ecuaţie conţine două necunoscute: N 1 și N 2. Prin urmare, sistemul odată nedeterminată static, iar pentru rezolvarea lui se cere ecuație suplimentară. aceasta ecuația deformarii. Să arătăm sistemul în stare deformabila sub sarcină :

Din analiza sistemului în stare deformabilă urmează că:

Din moment ce , și având în vedere că putem scrie: Ultima intrare este suplimentară necesară ecuația deformarii.

Să notăm valorile deformațiilor absolute ale tijelor:

Apoi, ținând cont de datele inițiale ecuație suplimentară va lua forma:

Fi atent la ecuația de echilibru, obținem sistemul:

Din soluția acestui sistem de ecuații rezultă:

N 1 \u003d 48kN (tijă întinsă), N 2 \u003d -36,31 kN (tijă comprimată).

Conform starea de rezistență a tijei 1:

apoi, ținând cont de starea A 1 \u003d 1,5A 2 având în vedere misiunea, primim

Conform starea de rezistență a tijei 2:Apoi

În sfârșit acceptăm:

Barele și sistemele cu tije articulate în care forțele interne de la o sarcină dată pot fi determinate folosind ecuații de echilibru (ecuații statice) sunt numite determinate static.

Spre deosebire de acestea, barele și sistemele sunt numite static nedeterminate, forțele interne în care nu pot fi determinate numai folosind ecuațiile de echilibru. Prin urmare, la calcularea acestora, este necesar să se compună ecuații suplimentare (ecuații de deplasare care țin cont de natura deformării sistemului. Numărul de ecuații suplimentare necesare calculării sistemului caracterizează gradul de indeterminare statică a acestuia. Puteți compune câte ecuații suplimentare sunt necesare pentru a rezolva problema.

Forțele din elementele sistemelor static determinate apar numai din acțiunea unei sarcini externe (inclusiv greutatea proprie a structurii). În elementele sistemelor static nedeterminate, forțele pot apărea și în absența unei sarcini externe - ca urmare, de exemplu, a schimbărilor de temperatură, a deplasării elementelor de fixare a suportului și a inexactităților în fabricarea elementelor structurale individuale.

Cel mai important pas în calculul sistemelor static nedeterminate este compilarea ecuațiilor de deplasare suplimentare (la ecuațiile de echilibru). Vom lua în considerare metodele de compilare a acestora folosind exemple de rezolvare a diferitelor probleme de calcul a sistemelor static nedeterminate.

Să considerăm o tijă strânsă (încastrate) la ambele capete și încărcată cu o forță P (Fig. 26.2, a). Sub acțiunea forței P au loc reacții în garnituri și este necesară determinarea mărimii acestor forțe. În acest caz (când toate forțele acționează de-a lungul unei linii drepte), statica vă permite să creați o singură ecuație de echilibru:

Prin urmare, pentru a determina cele două necunoscute, este necesar să se compună o ecuație suplimentară. Prin urmare, tija luată în considerare este odată nedeterminată static (adică, gradul de indeterminare statică a acesteia este egal cu unu). Pentru a întocmi o ecuație suplimentară, aruncăm înglobarea inferioară și înlocuim efectul său asupra tijei cu o reacție (Fig. 26.2, b). Să presupunem că o singură forță P acționează și nu există nicio forță. Sub acțiunea forței R se deformează doar secțiunea superioară a tijei de lungimea a, în urma căreia secțiunea în care se aplică forța P se deplasează în jos cu valoarea Secțiunea inferioară a tijei de lungime b. nu se deformează, ci se mișcă în jos, ca un corp rigid, cu aceeași cantitate, cu aceeași secțiune se mișcă acolo unde se aplică forța P. În special, capătul inferior al tijei se mișcă în jos cu aceeași cantitate.

Să presupunem acum că doar forța acționează și forța P este absentă.

Sub acțiunea forței, întreaga tijă este deformată, în urma căreia capătul inferior al tijei se mișcă în sus cu valoarea .

De fapt, capătul inferior al tijei, fiind încorporat, nu primește mișcare. Prin urmare, deplasarea lui în jos, cauzată de forța P, trebuie să fie egală cu deplasarea în sus, cauzată de forța de unde se poate afla Cunoașterea valorii din ecuația (46.2).

După determinarea reacțiilor cauzate de acțiunea forței P se realizează reprezentarea grafică a forțelor longitudinale și calculul rezistenței, ca în cazul unei probleme determinabile static.

Trebuie remarcat faptul că direcțiile reacțiilor necunoscute, deplasărilor etc. pot fi luate destul de arbitrar. În exemplul considerat, direcția ascendentă este presupusă pentru reacții. Ca rezultat al calculului, valorile ambelor reacții au fost tratate pozitiv; aceasta înseamnă că direcțiile lor reale coincid cu cele acceptate anterior. Dacă, de exemplu, luăm direcția descendentă pentru reacție, atunci, ca urmare a rezolvării ecuației suplimentare, obținem semnul „minus” care indică faptul că direcția reală a reacției etanșării inferioare este opusă direcției acceptate. , adică că este îndreptat în sus. Astfel, rezultatul final al calculului nu depinde de ce direcție a reacției este luată preliminar.

Să luăm în considerare un sistem plat balama-tilă static nedeterminat format din trei tije, ale căror capete inferioare sunt conectate printr-o balama comună D (Fig. 27.2). Aria secțiunii transversale a tijei din mijloc este egală cu una dintre tijele exterioare

Pe balamaua D i se aplică o forță verticală P. Este necesară determinarea forțelor din tije din acțiunea acestei forțe.

Deoarece îmbinările tuturor capetelor tijelor sunt articulate, reacțiile balamalelor A, B și C sunt direcționate de-a lungul axelor tijelor și, prin urmare, se intersectează în punctul D.

Numărul de reacții este de trei. Dar, deoarece sistemul și sarcina sunt simetrice față de axa verticală, reacțiile RA și sunt egale între ele și, prin urmare, pentru a rezolva problema, este suficient să se determine două reacții RA și

Pentru un sistem plat de forțe care se intersectează într-un punct, se știe că două ecuații de echilibru pot fi compuse: și Cu toate acestea, aceste două ecuații nu sunt suficiente pentru a determina reacțiile și RB, deoarece condiția de simetrie a fost deja utilizată și aceasta este echivalent cu utilizarea ecuației de echilibru, rămâne o singură ecuație de echilibru, iar numărul de forțe necunoscute este două. Astfel, pentru a rezolva problema, este necesar să se compună o ecuație suplimentară și, prin urmare, problema este odată nedeterminată static.

Ecuația de echilibru are forma

Pentru a compune o ecuație suplimentară, luați în considerare deplasările sistemului.

In barele AD, BD si respectiv CD apar forte longitudinale Bara BD sub actiunea fortei longitudinale se va prelungi cu valoare Bara AD se va lungi cu valoare Considerand ca obtinem

Balamaua D va scădea cu o valoare și va lua poziția D (Fig. 27.2).

Pentru a exprima prelungirea barei AD în termeni de deplasare, este necesar să proiectăm această deplasare în direcția axei barei:

Aici, datorită faptului că deplasarea este mică în comparație cu lungimile tijelor, unghiul ADB (Fig. 27.2) se ia egal cu a, adică unghiul ADB (între axele tijelor AD și BD într-un structură nedeformată).

Inlocuim in ecuatia (48.2) expresiile si DB obtinute mai sus:

Rezolvând această ecuație împreună cu ecuația de echilibru (47.2), obținem

Din expresiile (49.2) se poate observa că odată cu creșterea ariilor secțiunii transversale ale tijelor AD și CD (adică cu o creștere a ), forțele din acestea cresc, iar forța din tija BD scade.

Acest rezultat reflectă trăsăturile sistemelor static nedeterminate, în care o creștere a rigidității unor elemente duce la o creștere a forțelor din ele și de obicei la o scădere a forțelor în elementele rămase. În sistemele determinate static, distribuția forțelor într-o structură nu depinde de rigiditatea elementelor acesteia.

Să considerăm un sistem format din trei tije: un tub de aluminiu al unui tub de oțel 2 introdus într-unul de aluminiu și o tijă solidă din fontă 3 situată în interiorul tubului de oțel (Fig. 28.2, a).

Atât tuburile, cât și o tijă de fontă sunt plasate între plăci absolut rigide și sunt comprimate de forța P. Se impune determinarea tensiunilor în secțiunile transversale ale fiecăreia dintre tije cauzate de forța P.

Să desenăm o secțiune orizontală și să stabilim o ecuație de echilibru pentru partea superioară a sistemului (Fig. 28.2, b):

unde sunt tensiunile normale în secțiunile transversale ale tijelor de aluminiu, oțel și, respectiv, fontă (se presupune că tensiunile normale de compresiune sunt pozitive aici); sunt zonele secțiunii transversale ale acestor tije.

Produsele reprezintă forțele longitudinale în secțiunile transversale ale tijelor.

Alte ecuații de echilibru pentru sistemul considerat de forțe paralele nu pot fi compilate și, prin urmare, pentru a determina cele trei tensiuni necunoscute, pe lângă ecuația de echilibru (50.2), este necesar să se compună două ecuații suplimentare. În consecință, sistemul luat în considerare este de două ori (de două ori) nedeterminat static.

Pentru a compila ecuații suplimentare, folosim faptul că toate cele trei tije sunt prinse între două plăci rigide și, prin urmare, deformațiile longitudinale ale tuturor tijelor sunt aceleași. Să notăm deformarea longitudinală relativă a tijelor.

Bazat pe legea lui Hooke

unde sunt modulele elastice ale materialelor tijei.

Din această egalitate obținem două ecuații suplimentare:

Înlocuind valorile din ecuațiile (52.2) în ecuația (50.2), găsim

unde este aria secțiunii transversale a întregii tije compozite redusă la aluminiu:

Pe fig. 28.2, b prezintă diagrama tensiunilor normale din sistemul luat în considerare cu raportul dintre modulele elastice egal cu 1:3:2.

Zonele date sunt utilizate la proiectarea barelor cu elasticitate eterogenă, de exemplu, stâlpi de beton armat constând din tije de oțel (bare de armare) amplasate în beton. Legătura dintre armătură și beton împiedică mișcarea armăturii în raport cu betonul din jur. Prin urmare, deformațiile longitudinale ale betonului și armăturii sunt aceleași, iar raportul tensiunilor normale din armătură și solicitărilor din beton este egal cu raportul dintre modulele elastice ale acestor materiale.

Luați în considerare acum sistemul prezentat în Fig. 29.2, a, constând dintr-o bară absolut rigidă sprijinită pe un suport articulat și prinsă de două tije AAX și CCX (din oțel ductil) cu ajutorul unor balamale.

Să determinăm din starea rezistenței tijelor de oțel sarcina admisă, sarcina maximă și sarcina maximă admisă.

Reacțiile și tijele articulate la capete sunt direcționate de-a lungul axelor acestor tije. Reacția suportului B are o componentă orizontală și o componentă verticală deoarece acest sprijin împiedică mișcările orizontale și verticale ale punctului B al grinzii.

Astfel, există în total patru reacții necunoscute (Fig. 29.2, b) și pot fi întocmite doar trei ecuații de echilibru pentru un sistem plat de forțe. Prin urmare, acest sistem este odată nedeterminat static, iar pentru rezolvarea lui este necesară alcătuirea unei ecuații suplimentare.

În funcție de starea problemei, este necesar să se determine reacțiile tijelor de oțel AAX și SCX (egale cu forțele longitudinale în secțiunile transversale ale acestor tije) și nu este nevoie să se determine reacțiile. Prin urmare, este suficient să folosiți una dintre cele trei ecuații posibile de echilibru, care nu ar include reacțiile și .

Aceasta este ecuația sub forma sumei momentelor tuturor forțelor în raport cu balamaua B:

Pentru a compune o ecuație suplimentară, luați în considerare deformația sistemului. Pe fig. 29.2, b, linia întreruptă arată axa grinzii după deformarea sistemului. Această axă rămâne rectilinie, deoarece bara este absolut rigidă și, prin urmare, nu se deformează, ci se poate roti doar în jurul punctului B. După deformare, balamalele A și C merg în pozițiile A și, respectiv, C, adică se mișcă vertical după valori. Din asemănarea triunghiurilor AAB și CCB găsim

Exprimăm prelungirea tijei, iar prelungirea tijei prin deplasări. Pentru a face acest lucru, proiectăm deplasări în direcțiile tijelor:

sau, ținând cont de egalitate (56.2)

Dar conform legii lui Hooke [după formula (13.2)]

și, prin urmare, pe bază de egalitate (57.2)

Rezolvată ecuația (58.2) împreună cu ecuația de echilibru (55.2), găsim valorile forțelor longitudinale exprimate prin sarcina Q. Împărțind forțele la ariile secțiunii transversale, respectiv, determinăm tensiunile normale din oțel. tije. Apoi echivalând cea mai mare dintre aceste tensiuni cu efortul admisibil, găsim valoarea lui Q, egală cu sarcina admisă.

Când sarcina Q crește dincolo de valoarea tensiunii în ambele tije, acestea cresc mai întâi direct proporțional cu sarcina. Dacă, de exemplu, și, prin urmare, valoarea se găsește din condiție atunci, atunci când sarcina crește la o anumită valoare, tensiunile din prima tijă ajung la limita de curgere.În acest caz, tensiunile din a doua tijă rămân mai mici.

În procesul de creștere în continuare a sarcinii, tensiunile din prima tijă rămân constante, egale cu limita de curgere, iar în a doua cresc până când devin și egale.Această stare a sistemului se numește stare limită, corespunzătoare epuizarea capacității sale de transport; în plus, chiar și o creștere ușoară a sarcinii este asociată cu deformații foarte mari ale sistemului. Valoarea lui Q, care provoacă starea limită, este desemnată și numită sarcină limită.

Pentru a determina valoarea, compunem o ecuație de echilibru sub forma sumei momentelor (față de balamaua B) a tuturor forțelor care acționează asupra unei bare rigide în stare limită, când

Împărțind la coeficientul standard de siguranță al capacității portante, obținem valoarea sarcinii maxime admisibile:

Dacă valoarea din formula (59.2) este luată egală cu valoarea [vezi. formula (42.2)], atunci valoarea sarcinii maxime admisibile va fi mai mare decât valoarea sarcinii admisibile obţinute prin calcularea tensiunilor admisibile.

Mai detaliat, problemele determinării sarcinilor maxime și maxime admise sunt luate în considerare în cap. 17.

Să stabilim acum o metodă de determinare a tensiunilor de montare într-o structură static nedeterminată cauzată de inexactități în fabricarea elementelor sale. Luați în considerare, de exemplu, o structură formată din trei tije de oțel cu zone de secțiune transversală, ale căror capete sunt atașate pivotant de două plăci rigide (Fig. 30.2, a). Toate lansetele trebuiau să aibă aceeași lungime l, dar prima lansetă a fost făcută mai lungă, iar a doua cu 68 mai scurtă decât designul, foarte mică față de I). În acest sens, după montare, în tije au apărut așa-numitele tensiuni inițiale (sau de montare). Să definim aceste stresuri.

Să presupunem că, după instalarea structurii, placa de jos a luat poziția prezentată în Fig. 30.2, dar cu linie întreruptă, adică că în timpul instalării toate tijele s-au lungit și, prin urmare, toate sunt întinse.

Să desenăm o secțiune prin tije (Fig. 30.2, o) și să stabilim condițiile de echilibru pentru partea inferioară (decupată) a structurii (Fig. 30.2, b):

a) suma proiecţiilor forţelor pe verticală

b) suma momentelor forțelor raportate la balamaua stângă inferioară A

Ecuația (61.2) arată că forțele din a doua și a treia tijă au semne diferite, adică una dintre ele este întinsă, iar cealaltă este comprimată.

Prin urmare, ipoteza făcută că toate tijele sunt întinse este incorectă; cu toate acestea, simplifică raționamentul suplimentar și nu introduce erori în rezultatele calculului.

Cele două ecuații de echilibru (60.2) și (61.2) includ trei forțe necunoscute. Prin urmare, construcția luată în considerare este odată nedeterminată static.

Pentru a elabora o ecuație suplimentară, luați în considerare alungirea tijelor în timpul instalării. Notăm prelungirile primei, a doua și, respectiv, a treia tije (Fig. 30.2, a). Pe baza ipotezei rigidității absolute a plăcilor, ajungem la concluzia că toate cele trei balamale inferioare sunt situate pe aceeași linie dreaptă. Aceasta ne permite să compunem pentru triunghiuri similare ACE și BCD (Fig. 30.2, a) următoarea relație:

Dar din fig. 30.2 și rezultă că

Bazat pe legea lui Hooke