Este curso Conferencias durante más de 10 años para estudiantes de matemáticas teóricas y aplicadas en la Universidad Estatal del Lejano Oriente. Corresponde al estándar de II generación para estas especialidades. Recomendado para estudiantes y licenciados de especialidades matemáticas.

Teorema de Cauchy sobre la existencia y unicidad de una solución al problema de Cauchy para una ecuación de primer orden.
En esta sección, al imponer ciertas restricciones en el lado derecho de la ecuación diferencial de primer orden, demostraremos la existencia y unicidad de una solución determinada por los datos iniciales (x0,y0). La primera prueba de la existencia de una solución a las ecuaciones diferenciales se debe a Cauchy; la siguiente prueba la proporciona Picard; se produce mediante el método de aproximaciones sucesivas.

TABLA DE CONTENIDO
1. Ecuaciones de primer orden
1.0. Introducción
1.1. Ecuaciones variables separables
1.2. Ecuaciones homogéneas
1.3. Ecuaciones homogéneas generalizadas
1.4. Ecuaciones lineales de primer orden y sus reducciones.
1.5. ecuación de Bernoulli
1.6. ecuación de riccati
1.7. Ecuación en diferenciales totales
1.8. factor integrante. Los casos más simples de encontrar el factor integrante.
1.9. Ecuaciones no resueltas respecto a la derivada
1.10. Teorema de Cauchy sobre la existencia y unicidad de una solución al problema de Cauchy para una ecuación de primer orden
1.11. Puntos singulares
1.12. Soluciones especiales
2. Ecuaciones de órdenes superiores
2.1. Conceptos básicos y definiciones.
2.2. Tipos de ecuaciones de enésimo orden, solucionables en cuadraturas
2.3. Integrales intermedias. Ecuaciones que permiten reducciones en orden
3. Ecuaciones diferenciales lineales de enésimo orden
3.1. Conceptos básicos
3.2. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de enésimo orden
3.3. Orden decreciente de lineal ecuación homogénea
3.4. Ecuaciones lineales no homogéneas
3.5. Reducir el orden en una ecuación lineal no homogénea.
4. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes.
4.1. Homogéneo ecuación lineal con coeficientes constantes
4.2. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes.
4.3. Ecuaciones lineales de segundo orden con soluciones oscilantes.
4.4. Integración mediante series de potencias.
5. Sistemas lineales
5.1. Sistemas heterogéneos y homogéneos. Algunas propiedades de las soluciones. sistemas lineales
5.2. Condiciones necesarias y suficientes para la independencia lineal de k soluciones de un sistema lineal homogéneo
5.3. Existencia de una matriz fundamental. Construcción de una solución general de un sistema lineal homogéneo.
5.4. Construcción del conjunto completo de matrices fundamentales de un sistema lineal homogéneo.
5.5. Sistemas heterogéneos. Construcción de una solución general mediante el método de variación de constantes arbitrarias.
5.6. Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes.
5.7. Alguna información de la teoría de funciones de matrices.
5.8. Construcción de la matriz fundamental de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes en caso general
5.9. Teorema de existencia y teoremas sobre propiedades funcionales de soluciones de sistemas normales de ecuaciones diferenciales de primer orden.
6. Elementos de la teoría de la estabilidad.
6.1
6.2. Los tipos más simples de puntos de descanso.
7. Ecuaciones en derivadas parciales de 1er orden.
7.1. Ecuación diferencial parcial lineal homogénea de 1er orden.
7.2. Ecuación diferencial parcial lineal no homogénea de primer orden
7.3. Sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales con 1 función desconocida
7.4. ecuación de pfaff
8. Variantes de tareas de control.
8.1. Prueba №1
8.2. Examen No. 2
8.3. Examen No. 3
8.4. Trabajo de prueba No. 4
8.5. Examen No. 5
8.6. Prueba número 6
8.7. Trabajo de prueba No. 7
8.8. Trabajo de control número 8.

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"CONFERENCIAS SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS PARTE 1. ELEMENTOS DE LA TEORÍA GENERAL El libro de texto describe las disposiciones que forman la base de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias: ..."

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A. E. Mamontov

CONFERENCIAS SOBRE COMÚN

ECUACIONES DIFERENCIALES

ELEMENTOS DE LA TEORÍA GENERAL

El manual de formación establece las disposiciones que componen

base de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias: el concepto de soluciones, su existencia, unicidad,

dependencia de los parámetros. También (en § 3) cierta atención se da a la solución "explícita" de ciertas clases de ecuaciones. La guía está destinada a estudio en profundidad curso "Ecuaciones diferenciales" impartido por estudiantes de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Pedagógica Estatal de Novosibirsk.

UDC 517.91 BBK B161.61 Prólogo Tutorial está destinado a estudiantes de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Pedagógica Estatal de Novosibirsk que deseen estudiar el curso obligatorio "Ecuaciones diferenciales" en un volumen ampliado. Se ofrecen a los lectores los conceptos y resultados básicos que forman la base de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias: conceptos de soluciones, teoremas sobre su existencia, unicidad y dependencia de parámetros. El material descrito se presenta en forma de un texto lógicamente inseparable en los §§ 1, 2, 4, 5. Además (en el § 3, que se mantiene algo aparte e interrumpe temporalmente el hilo principal del curso), los métodos más populares de Se consideran brevemente las soluciones “explícitas” para algunas clases de ecuaciones. En la primera lectura, el § 3 puede omitirse sin dañar significativamente la estructura lógica del curso.

Un papel importante lo desempeñan los ejercicios, que se incluyen en gran cantidad en el texto. Se recomienda encarecidamente al lector que los resuelva "en persecución", lo que garantiza la asimilación del material y le servirá como prueba. Además, estos ejercicios a menudo llenan el tejido lógico, es decir, sin resolverlos, no todas las proposiciones serán demostradas rigurosamente.

Entre corchetes en el medio del texto se hacen comentarios que tienen la función de comentarios (explicaciones ampliadas o laterales). Léxicamente, estos fragmentos interrumpen el texto principal (es decir, para una lectura coherente, es necesario “ignorarlos”), pero aún así son necesarios como explicaciones. En otras palabras, estos fragmentos deben percibirse como si estuvieran colocados en los márgenes.

En el texto hay “comentarios para el maestro” rubricados por separado; pueden omitirse cuando los estudiantes los leen, pero son útiles para el maestro que usará el manual, por ejemplo, al dar conferencias; ayudan a comprender mejor la lógica de el curso e indicar la dirección de posibles mejoras (ampliaciones) del curso. Sin embargo, el desarrollo de estos comentarios por parte de los estudiantes sólo puede ser bienvenido.

Un papel similar desempeñan las "razones para el profesor": proporcionan de forma extremadamente concisa la prueba de algunas de las disposiciones que se ofrecen al lector como ejercicios.

Los términos (clave) más comunes se utilizan como abreviaturas, cuya lista se incluye al final para mayor comodidad. También hay una lista de notaciones matemáticas que aparecen en el texto, pero que no se encuentran entre las más comunes (y/o no se entienden claramente en la literatura).

El símbolo significa el final de la prueba, la formulación del enunciado, observaciones, etc. (cuando sea necesario para evitar confusiones).

Las fórmulas están numeradas de forma independiente en cada párrafo. Cuando se hace referencia a una parte de la fórmula, se utilizan índices, por ejemplo (2)3 significa la tercera parte de la fórmula (2) (las partes de la fórmula se consideran fragmentos separados por un espacio tipográfico y de una posición lógica - un montón de "y").

Este manual no puede reemplazar completamente el estudio en profundidad del tema, que requiere ejercicios independientes y la lectura de literatura adicional, por ejemplo, cuya lista se encuentra al final del manual. Sin embargo, el autor ha intentado presentar las principales disposiciones de la teoría de una forma bastante concisa, adecuada para un curso de conferencia. En este sentido, cabe señalar que al leer un curso de conferencias sobre este manual, se necesitan alrededor de 10 conferencias.

Está previsto publicar 2 partes (volúmenes) más que continúan este manual y así completar el ciclo de conferencias sobre el tema "ecuaciones diferenciales ordinarias": parte 2 (ecuaciones lineales), parte 3 (teoría adicional de ecuaciones no lineales, ecuaciones diferenciales parciales de primer orden).

§ 1. Introducción Una ecuación diferencial (ED) es una relación de la forma u1 u1 un, derivadas superiores F y, u(y),..., = 0, y1 y2 yk (1) donde y = (y1,. .., yk) Rk son variables independientes, y u = u(y) son funciones desconocidas1, u = (u1,..., un). Por lo tanto, hay n incógnitas en (1), por lo que se requieren n ecuaciones, es decir, F = (F1,..., Fn), de modo que (1) es, en términos generales, un sistema de n ecuaciones. Si solo hay una función desconocida (n = 1), entonces la ecuación (1) es escalar (una ecuación).

Entonces, se dan las funciones F y se busca u. Si k = 1, entonces (1) se llama ODE y, en caso contrario, PDE. El segundo caso es el tema de un curso especial de la UMF expuesto en la serie de tutoriales del mismo nombre. En esta serie de manuales (que consta de 3 partes-volúmenes), estudiaremos únicamente las EDO, a excepción del último párrafo de la última parte (volumen), en el que comenzaremos a estudiar algunos casos especiales de PDE.

2u u Ejemplo. 2 = 0 es PDE.

y1 y Las cantidades desconocidas u pueden ser reales o complejas, lo cual no es imprescindible, ya que este momento se refiere sólo a la forma de escribir las ecuaciones: cualquier notación compleja puede convertirse en real separando las partes real e imaginaria (pero, por supuesto, duplicando el número de ecuaciones e incógnitas), y viceversa, en algunos casos conviene pasar a notación compleja.

du d2v dv 2 = uv; u3 = 2. Este es un sistema de 2 EDO. Ejemplo.

dy dy dy para 2 funciones desconocidas de la variable independiente y.

Si k = 1 (ODE), entonces se utiliza el signo "directo" d/dy.

u(y) del ejemplo. exp(sin z)dz es una EDO porque tiene un ejemplo. = u(u(y)) para n = 1 no es una ED, sino una ecuación diferencial funcional.

Esta no es una ED, sino una ecuación integrodiferencial; no estudiaremos tales ecuaciones. Sin embargo, específicamente la ecuación (2) se reduce fácilmente a la EDO:

Ejercicio. Reducir (2) a una EDO.

Pero en general, las ecuaciones integrales son un objeto más complejo (se estudia parcialmente en el curso del análisis funcional), aunque, como veremos a continuación, es con su ayuda que se obtienen algunos resultados para las EDO.

Los DE surgen tanto de necesidades intramatemáticas (por ejemplo, en geometría diferencial) como de aplicaciones (históricamente por primera vez, y ahora principalmente en física). El ED más simple es el “problema básico del cálculo diferencial” acerca de restaurar una función a partir de su derivada: = h(y). Como se sabe del análisis, su solución tiene la forma u(y) = + h(s)ds. Los DE más generales requieren métodos especiales para su solución. Sin embargo, como veremos más adelante, prácticamente todos los métodos para resolver EDO “en forma explícita” se reducen esencialmente al caso trivial indicado.

En las aplicaciones, las EDO surgen con mayor frecuencia al describir procesos que se desarrollan en el tiempo, por lo que el papel de una variable independiente suele desempeñarlo el tiempo t.

por lo tanto, el significado de la EDO en tales aplicaciones es describir el cambio en los parámetros del sistema a lo largo del tiempo. Por lo tanto, es conveniente al construir teoria general La EDO denota la variable independiente con t (y llámala tiempo con todas las consecuencias terminológicas consiguientes) y la(s) función(es) desconocida(s) con x = (x1,..., xn). Así, la forma general de la ODE (sistema ODE) es la siguiente:

donde F = (F1,..., Fn) - es decir, este es un sistema de n EDO para n funciones x, y si n = 1, entonces una EDO para 1 función x.

Además, x = x(t), t R y x generalmente tienen valores complejos (esto es por conveniencia, ya que entonces algunos sistemas se pueden escribir de manera más compacta).

Se dice que el sistema (3) tiene orden m con respecto a xm.

Los derivados se denominan senior y el resto (incluidos xm = ellos mismos) se denominan junior. Si todo m =, entonces simplemente decimos que el orden del sistema es igual.

Es cierto que al número m a menudo se le llama orden del sistema, lo cual también es natural, como quedará claro a continuación.

La cuestión de la necesidad de estudiar las EDO y sus aplicaciones la consideraremos suficientemente fundamentada por otras disciplinas (geometría diferencial, análisis matemático, mecanica teorica, etc.), y se cubre parcialmente en el curso de ejercicios prácticos de resolución de problemas (por ejemplo, de un libro de problemas). En este curso nos ocuparemos exclusivamente del estudio matemático de sistemas de la forma (3), lo que implica responder a las siguientes preguntas:

1. ¿Qué significa "resolver" la ecuación (sistema) (3);

2. cómo hacerlo;

3. qué propiedades tienen estas soluciones, cómo investigarlas.

La pregunta 1 no es tan obvia como parece; ver más abajo. Inmediatamente notamos que cualquier sistema (3) se puede reducir a un sistema de primer orden, denotando derivadas inferiores como nuevas funciones desconocidas. La forma más sencilla de explicar este procedimiento es con un ejemplo:

de 5 ecuaciones para 5 incógnitas. Es fácil entender que (4) y (5) son equivalentes en el sentido de que la solución a uno de ellos (después del cambio de nombre apropiado) es la solución al otro. En este caso, solo se debe estipular la cuestión de la fluidez de las soluciones; haremos esto más adelante cuando nos encontremos con EDO de orden superior (es decir, no de primera).

Pero ahora está claro que es suficiente estudiar sólo las EDO de primer orden, mientras que otras pueden ser necesarias sólo por conveniencia de la notación (a veces surgirá tal situación en nuestro caso).

Y ahora nos limitamos a la EDO de primer orden:

dimx = tenue F = n.

El estudio de la ecuación (sistema) (6) es inconveniente debido a que no está permitido con respecto a las derivadas dx/dt. Como se sabe por el análisis (por el teorema de la función implícita), bajo ciertas condiciones en F, la ecuación (6) puede resolverse con respecto a dx/dt y escribirse en la forma donde f: Rn+1 Rn está dado y x: R Rn es el requerido. Se dice que (7) es una EDO resuelta respecto de derivadas (una EDO de forma normal). Al pasar de (6) a (7), naturalmente, pueden surgir dificultades:

Ejemplo. La ecuación exp(x) = 0 no se puede escribir en la forma (7) y no tiene solución alguna, es decir, exp no tiene ceros ni siquiera en el plano complejo.

Ejemplo. La ecuación x 2 + x2 = 1 con resolución se escribe como dos EDO normales x = ± 1 x2. Debes resolver cada uno de ellos y luego interpretar el resultado.

Comentario. Al reducir (3) a (6), pueden surgir dificultades si (3) tiene orden 0 con respecto a alguna función o parte de funciones (es decir, esta es una ecuación diferencial funcional). Pero entonces estas funciones deben ser excluidas por el teorema de la función implícita.

Ejemplo. x = y, xy = 1 x = 1/x. Necesita encontrar x a partir de la EDO resultante y luego y a partir de la ecuación funcional.

Pero en cualquier caso, el problema de la transición de (6) a (7) pertenece más al campo del análisis matemático que a la ED, y no lo abordaremos. Sin embargo, a la hora de resolver EDO de la forma (6), pueden surgir momentos interesantes desde el punto de vista de las EDO, por lo que conviene estudiar este tema a la hora de resolver problemas (como se hace, por ejemplo, en ) y será un poco mencionado en el § 3. Pero en el resto del curso nos ocuparemos sólo de sistemas y ecuaciones normales. Entonces, considere la ODE (sistema ODE) (7). Escribámoslo una vez componente por componente:

El concepto de "resolver (7)" (y en general, cualquier DE) se ha entendido durante mucho tiempo como la búsqueda de una "fórmula explícita" para la solución (es decir, en forma de funciones elementales, sus antiderivadas o funciones especiales, etc.), sin énfasis en la suavidad de la solución y el intervalo de su definición. Sin embargo lo último La teoría de las EDO y otras ramas de las matemáticas (y las ciencias naturales en general) muestra que este enfoque es insatisfactorio, aunque sólo sea porque la fracción de EDO que pueden ser susceptibles de tal “integración explícita” es extremadamente pequeña (incluso para las EDO más simples x = f (t) se sabe que la solución en funciones elementales es rara, aunque aquí hay una “fórmula explícita”).

Ejemplo. La ecuación x = t2 + x2, a pesar de su extrema sencillez, no tiene soluciones en funciones elementales (y aquí ni siquiera existe una "fórmula").

Y aunque es útil conocer aquellas clases de EDO para las cuales es posible una construcción “explícita” de una solución (similar a lo útil que es poder “calcular integrales” cuando es posible, aunque esto es extremadamente raro), En este sentido, los siguientes términos suenan característicos: "integrar ODE", "ODE integral" (análogos obsoletos de los conceptos modernos "resolver ODE", "solución de ODE"), que reflejan los conceptos anteriores de la solución. Cómo entender los términos modernos, lo explicaremos ahora.

y esta cuestión se considerará en el § 3 (y también tradicionalmente gran atención se le da cuando se resuelven problemas en las clases prácticas), pero no se debe esperar ninguna universalidad de este enfoque. Como regla general, por proceso de resolución de (7) nos referimos a pasos completamente diferentes.

Debe aclararse qué función x = x(t) puede considerarse solución de (7).

En primer lugar, observamos que una formulación clara del concepto de solución es imposible sin especificar el conjunto en el que se define, aunque solo sea porque una solución es una función y cualquier función (según la definición escolar) es una ley. que coincide con cualquier elemento de un determinado conjunto (llamado dominio de definición de esta función) con algún elemento de otro conjunto (valores de función). Así, hablar de una función sin especificar su alcance es absurdo por definición. Las funciones analíticas (más ampliamente, las elementales) sirven aquí como una "excepción" (engañosa) por las siguientes razones (y algunas otras), pero en el caso de DE tales libertades no están permitidas.

y generalmente sin especificar los conjuntos de definiciones de todas las funciones involucradas en (7). Como quedará claro a continuación, es conveniente vincular estrictamente el concepto de solución con el conjunto de su definición y considerar soluciones diferentes si sus conjuntos de definición son diferentes, incluso si las soluciones coinciden en la intersección de estos conjuntos.

En la mayoría de los casos, en situaciones específicas, esto significa que si las soluciones se construyen en forma de funciones elementales, de modo que 2 soluciones tengan la "misma fórmula", entonces también es necesario aclarar si los conjuntos en los que se escriben estas fórmulas coinciden. La confusión que reinó durante mucho tiempo en esta cuestión era excusable, siempre y cuando se consideraran soluciones en forma de funciones elementales, ya que las funciones analíticas pueden extenderse únicamente a intervalos más amplios.

Ejemplo. x1(t) = et en (0,2) y x2(t) = et en (1,3) son soluciones diferentes de la ecuación x = x.

Al mismo tiempo, es natural tomar un intervalo abierto (quizás infinito) como conjunto de definiciones de cualquier solución, ya que este conjunto debería ser:

1. abierto, para que en cualquier momento tenga sentido hablar de derivada (de dos caras);

2. conectados para que la solución no se rompa en pedazos desconectados (en este caso es más conveniente hablar de varias soluciones): consulte el ejemplo anterior.

Por tanto, la solución (7) es un par (, (a, b)), donde a b +, se define en (a, b).

Nota para el profesor. En algunos libros de texto se permite incluir los extremos del segmento en el dominio de la solución, pero esto no es conveniente porque sólo complica la presentación y no da una generalización real (ver § 4).

Para que sea más fácil comprender el razonamiento adicional, es útil utilizar la interpretación geométrica (7). En el espacio Rn+1 = ((t, x)) en cada punto (t, x) donde se define f, podemos considerar el vector f (t, x). Si construimos una gráfica de la solución (7) en este espacio (se llama curva integral del sistema (7)), entonces consta de puntos de la forma (t, x(t)). A medida que t (a, b) cambia, este punto se mueve a lo largo del IC. La tangente al IC en el punto (t, x(t)) tiene la forma (1, x (t)) = (1, f (t, x(t))). Así, los CI son aquellas y sólo aquellas curvas en el espacio Rn+1 que en cada uno de sus puntos (t, x) tienen una tangente paralela al vector (1, f (t, x)). Partiendo de esta idea surgió el llamado el método de isoclina para la construcción aproximada del IC, que se utiliza al mostrar gráficos de soluciones para EDO específicas (ver.

Por ejemplo ). Por ejemplo, para n = 1, nuestra construcción significa lo siguiente: en cada punto del IC, su pendiente hacia el eje t tiene la propiedad tg = f (t, x). Es natural suponer que, tomando cualquier punto del conjunto de definición f, podemos dibujar un IC a través de él. Esta idea se fundamentará estrictamente a continuación. Si bien nos falta una formulación rigurosa de la fluidez de las soluciones, esto se hará a continuación.

Ahora deberíamos refinar el conjunto B en el que se define f. Este conjunto es natural de tomar:

1. abierto (para que el IC pueda construirse en las proximidades de cualquier punto desde B), 2. conectado (de lo contrario, todas las piezas conectadas se pueden considerar por separado; de todos modos, el IC (como gráfica de una función continua) no puede saltar de una pieza a otra, por lo que esto no afectará la generalidad de la búsqueda de soluciones).

Consideraremos sólo soluciones clásicas de (7), es decir, tales que la propia x y su x son continuas en (a, b). Entonces es natural exigir que f C(B). En lo que sigue, este requisito siempre estará implícito en nosotros. Entonces, finalmente obtenemos la Definición. Sea B Rn+1 un dominio, f C(B).

Un par (, (a, b)), a b +, definido en (a, b), se llama solución de (7) si C(a, b), para cada t (a, b) el punto (t , (t) ) B y (t) existe, y (t) = f (t, (t)) (entonces automáticamente C 1(a, b)).

Es geométricamente claro que (7) tendrá muchas soluciones (lo cual es fácil de entender gráficamente), ya que si dibujamos IR a partir de puntos de la forma (t0, x0), donde t0 es fijo, entonces obtendremos diferentes IR. Además, cambiar el intervalo para determinar la solución dará una solución diferente, según nuestra definición.

Ejemplo. x = 0. Solución: x = = const Rn. Sin embargo, si elegimos algún t0 y fijamos el valor x0 de la solución en el punto t0: x(t0) = x0, entonces el valor se determina de forma única: = x0, es decir, la solución es única hasta la elección del intervalo. (a, b) t0.

La presencia de un conjunto de soluciones "sin rostro" es inconveniente para trabajar con ellas2; es más conveniente "numerarlas" de la siguiente manera: agregue condiciones adicionales a (7) de tal manera que resalte la única (en cierto sentido ) solución, y luego, clasificando estas condiciones, trabaje con cada solución por separado (geométricamente, puede haber una solución (IR), pero hay muchas piezas; nos ocuparemos de este inconveniente más adelante).

Definición. La tarea para (7) es (7) con condiciones adicionales.

De hecho, ya hemos inventado el problema más simple: este es el problema de Cauchy: (7) con condiciones de la forma (datos de Cauchy, datos iniciales):

Desde el punto de vista de las aplicaciones, este problema es natural: por ejemplo, si (7) describe el cambio en algunos parámetros x en el tiempo t, entonces (8) significa que en algún momento (inicial) se conoce el valor de los parámetros. . Es necesario estudiar otros problemas, de esto hablaremos más adelante, pero por ahora nos centraremos en el problema de Cauchy. Naturalmente, este problema tiene sentido para (t0, x0) B. En consecuencia, una solución al problema (7), (8) es una solución (7) (en el sentido de la definición dada anteriormente) tal que t0 (a, b ), y (8).

Nuestra siguiente tarea es demostrar la existencia de una solución al problema de Cauchy (7), (8), y para ciertos complementos, el ejemplo es una ecuación cuadrática, es mejor escribir x1 =..., x2 =... que x = b/2 ±...

bajo ciertos supuestos sobre f - y su unicidad en cierto sentido.

Comentario. Necesitamos aclarar el concepto de norma de un vector y una matriz (aunque necesitaremos matrices sólo en la Parte 2). Debido a que en un espacio de dimensión finita todas las normas son equivalentes, la elección de una norma específica no importa si sólo nos interesan las estimaciones y no las cantidades exactas. Por ejemplo, |x|p = (|xi|p)1/p se puede utilizar para vectores, p es el segmento de Peano (Picard). Considere el cono K = (|x x0| F |t t0|) y su parte truncada K1 = K (t IP ). Está claro que sólo K1 C.

Teorema. (Peano). Sean satisfechos los requisitos de f en el problema (1) especificados en la definición de la solución, es decir:

f C(B), donde B es una región en Rn+1. Entonces, para todo (t0, x0) B en Int(IP) existe una solución al problema (1).

Prueba. Establezcamos (0, T0] arbitrariamente y construyamos la llamada línea discontinua de Euler con un paso, a saber: es una línea discontinua en Rn+1, en la que cada eslabón tiene una proyección sobre el eje t de longitud, el primero El enlace de la derecha comienza en el punto (t0, x0) y es tal que dx/dt = f (t0, x0) en él, el extremo derecho de este enlace (t1, x1) sirve como extremo izquierdo del segundo. , en el cual dx/dt = f (t1, x1), etc., y de manera similar hacia la izquierda. La polilínea resultante define una función lineal por partes x = (t). Mientras t IP, la polilínea permanece en K1 (y más aún en C, y por tanto en B), por lo que la construcción es correcta; para esto, de hecho, se hizo una construcción auxiliar antes del teorema.

De hecho, existen en todas partes excepto en los puntos de interrupción, y luego (s) (t) = (z)dz, donde se toman valores arbitrarios de la derivada en los puntos de interrupción.

En este caso (moviéndose a lo largo de la línea discontinua por inducción) En particular, | (t)x0| F |t t0|.

Así, en funciones IP:

2. son equicontinuos, ya que son Lipschitz:

Aquí el lector debería, si es necesario, actualizar sus conocimientos sobre conceptos y resultados tales como: equicontinuidad, convergencia uniforme, teorema de Artsela-Ascoli, etc.

Según el teorema de Arzela-Ascoli, existe una secuencia k 0 tal que k está en IP, donde C(IP). Por construcción, (t0) = x0, por lo que queda por verificar que Probamos esto para s t.

Ejercicio. De manera similar, considere s t.

Establecemos 0 y encontramos 0 de modo que para todo (t1, x1), (t2, x2) C es verdadero. Esto se puede hacer en vista de la continuidad uniforme de f en el conjunto compacto C. Encuentre m N de modo que Fix t Int (IP) y tome cualquier s Int(IP) tal que t s t +. Entonces para todo z tenemos |k (z) k (t)| F, por lo que en vista de (4) |k (z) (t)| 2F.

Tenga en cuenta que k (z) = k (z) = f (z, k (z)), donde z es la abscisa del extremo izquierdo del segmento de polilínea que contiene el punto (z, k (z)). Pero el punto (z, k (z)) cae en un cilindro con parámetros (, 2F) construido en el punto (t, (t)) (de hecho, incluso en un cono truncado; vea la figura, pero no es así). t importa ahora), por lo que en vista de (3) obtenemos |k (z) f (t, (t))|. Para una línea discontinua, tenemos, como se mencionó anteriormente, la fórmula Para k, esto dará (2).

Comentario. Sea f C 1(B). Entonces la solución definida en (a, b) será de clase C 2(a, b). De hecho, en (a, b) tenemos: existe f (t, x(t)) = ft(t, x(t)) + (t, x(t))x (t) (aquí está el Jacobi matriz ) es una función continua. Entonces también hay 2 C(a, b). Podemos aumentar aún más la suavidad de la solución si f es suave. Si f es analítica, entonces es posible demostrar la existencia y unicidad de una solución analítica (este es el llamado teorema de Cauchy), ¡aunque esto no se sigue del razonamiento anterior!

Aquí es necesario recordar qué es una función analítica. ¡No debe confundirse con una función representada por una serie de potencias (esto es solo una representación de una función analítica en, en términos generales, una parte de su dominio de definición)!

Comentario. Para (t0, x0) dados, se puede intentar maximizar T0 variando T y R. Sin embargo, por regla general, esto no es tan importante, ya que existen métodos especiales para estudiar el intervalo máximo de existencia de una solución (ver § 4).

El teorema de Peano no dice nada sobre la unicidad de la solución. Según nuestra comprensión de la solución, no siempre es única, porque si hay una solución, entonces sus restricciones a intervalos más estrechos serán otras soluciones. Consideraremos este punto con más detalle más adelante (en el § 4), pero por ahora, por unicidad nos referimos a la coincidencia de dos soluciones cualesquiera en la intersección de los intervalos de su definición. Incluso en este sentido, el teorema de Peano no dice nada sobre la unicidad, lo cual no es accidental, porque bajo sus condiciones no se puede garantizar la unicidad.

Ejemplo. norte = 1, f (x) = 2 |x|. El problema de Cauchy tiene una solución trivial: x1 0, y además x2(t) = t|t|. A partir de estas dos soluciones, se puede compilar toda una familia de soluciones de 2 parámetros:

donde + (los valores infinitos significan que no hay rama correspondiente). Si consideramos todo R como el dominio de definición de todas estas soluciones, entonces todavía hay infinitas de ellas.

Tenga en cuenta que si utilizamos la demostración del teorema de Peano en términos de las líneas discontinuas de Euler en este problema, entonces solo se obtendrá la solución cero. Por otro lado, si se permite un pequeño error en cada paso del proceso de construcción de líneas discontinuas de Euler, incluso después de que el parámetro de error tienda a cero, todas las soluciones permanecen. Por tanto, el teorema de Peano y las líneas discontinuas de Euler son naturales como método para construir soluciones y están estrechamente relacionados con los métodos numéricos.

El problema observado en el ejemplo se debe al hecho de que la función f no es suave en x. Resulta que si imponemos requisitos adicionales a la regularidad de f en x, entonces se puede garantizar la unicidad, y este paso es necesario en cierto sentido (ver más abajo).

Recordemos algunas nociones del análisis. Una función (escalar o vectorial) g se llama función de Hölder con exponente (0, 1] en un conjunto si se llama condición de Lipschitz para 1. Para 1, esto sólo es posible para funciones constantes. Una función definida en un segmento (donde la elección de 0 no es esencial) se llama módulo de continuidad, si se dice que g satisface la condición generalizada de Hölder con módulo, si en este caso se llama módulo de continuidad de g.

Se puede demostrar que cualquier módulo de continuidad es el módulo de continuidad de alguna función continua.

El hecho inverso es importante para nosotros, a saber: cualquier función continua en un conjunto compacto tiene su propio módulo de continuidad, es decir, satisface (5) con algunos. Demostrémoslo. Recuerde que si es compacto y g es C(), entonces g es necesariamente uniformemente continuo en, es decir,

= (): |x y| = |g(x) g(y)|. Resulta que esto es equivalente a la condición (5) con algunos. De hecho, si existe, entonces basta con construir un módulo de continuidad tal que (()), y luego para |x y| = = () obtenemos Dado que (y) son arbitrarios, entonces xey pueden ser arbitrarios.

Y viceversa, si (5) es verdadero, entonces basta con encontrar tal que (()), y luego para |x y| = () obtenemos Queda por justificar las transiciones lógicas:

Para monótonos y basta con tomar funciones inversas, pero en el caso general es necesario utilizar las llamadas. funciones inversas generalizadas. Su existencia requiere una prueba aparte, que no daremos, sino sólo una idea (es útil acompañar la lectura con dibujos):

para cualquier F definimos F(x) = min F (y), F (x) = max F (y): estas son funciones monótonas y tienen inversas. Es fácil comprobar que x x F (F (x)), (F)1(F (x)) x, F ((F)1(x)) x.

El mejor módulo de continuidad es lineal (condición de Lipschitz). Éstas son funciones "casi diferenciables". Dar un sentido riguroso a esta última afirmación requiere cierto esfuerzo, y nos limitaremos a sólo dos observaciones:

1. Estrictamente hablando, no todas las funciones de Lipschitz son diferenciables, como en el ejemplo g(x) = |x| a R;

2. pero la diferenciabilidad implica Lipschitz, como muestra la siguiente afirmación. Cualquier función g que tenga todo M en un conjunto convexo satisface la condición de Lipschitz.

[Por el momento, para abreviar, consideremos las funciones escalares g.] Demostración. Para todo x, y tenemos Está claro que esta afirmación también es cierta para funciones vectoriales.

Comentario. Si f = f (t, x) (en términos generales, una función vectorial), entonces podemos introducir la noción “f es Lipschitz en x”, es decir, |f (t, x) f (t, y)| C|x y|, y también demostrar que si D es convexo en x para todo t, entonces para la propiedad de Lipschitz de f con respecto a x en D, es suficiente que | a través de |x y|. Para n = 1, generalmente se hace usando la fórmula de incremento finito: g(x)g(y) = g (z)(xy) (si g es una función vectorial, entonces z es diferente para cada componente). Para n 1 es conveniente utilizar el siguiente análogo de esta fórmula:

Lema. (Adamara). Sea f C(D) (en términos generales, una función vectorial), donde D (t = t) es convexa para cualquier t, y f (t, x) f (t, y) = A(t, x, y) (x y), donde A es una matriz rectangular continua.

Prueba. Para cualquier t fijo, aplicamos el cálculo de la prueba de la Afirmación para = D (t = t), g = fk. Obtenemos la representación deseada con A(t, x, y) = A es efectivamente continua.

Volvamos a la cuestión de la unicidad de la solución al problema (1).

Planteemos la pregunta de esta manera: ¿cuál debería ser el módulo de continuidad de f con respecto a x para que la solución (1) sea única en el sentido de que coincidan 2 soluciones definidas en el mismo intervalo? La respuesta viene dada por el siguiente teorema:

Teorema. (Osgood). Sea, bajo las condiciones del teorema de Peano, el módulo de continuidad de f con respecto a x en B, es decir, la función en la desigualdad satisface la condición (podemos suponer C). Entonces el problema (1) no puede tener dos varias soluciones definido en un intervalo de la forma (t0 a, t0 + b).

Compárese con el ejemplo anterior de no unicidad.

Lema. Si z C 1(,), entonces en conjunto (,):

1. en puntos donde z = 0, |z| existe y ||z| | |z|;

2. en los puntos donde z = 0, existen derivadas unilaterales |z|± y ||z|± | = |z | (en particular, si z = 0, entonces |z| = 0 existe).

Ejemplo. norte = 1, z(t) = t. En el punto t = 0, la derivada de |z| no existe, pero hay derivadas unilaterales.

Prueba. (Lemas). En aquellos puntos donde z = 0, tenemos z z : existe |z| =, y ||z| | |z|. En esos puntos t, donde z(t) = 0, tenemos:

Caso 1: z (t) = 0. Entonces obtenemos la existencia de |z| (t) = 0.

Caso 2: z (t) = 0. Entonces si +0 o 0 entonces z(t +)| |z(t)| cuyo módulo es igual a |z (t)|.

Por supuesto, F C 1(0,), F 0, F, F (+0) = +. Sean z1,2 dos soluciones de (1) definidas en (t0, t0 +). Denota z = z1 z2. Tenemos:

Supongamos que hay t1 (para mayor precisión t1 t0) tal que z(t1) = 0. El conjunto A = ( t t1 | z(t) = 0 ) no está vacío (t0 A) y está acotado desde arriba. Por tanto, tiene un límite superior t1. Por construcción, z = 0 en (, t1), y como z es continua, tenemos z() = 0.

Por Lema |z| C 1(, t1), y en este intervalo |z| |z | (|z|), por lo que la integración sobre (t, t1) (donde t (, t1)) da F (|z(t)|) F (|z(t1)|) t1 t. Para t + 0 obtenemos una contradicción.

Corolario 1. Si, bajo las condiciones del teorema de Peano, f es Lipschitz en x en B, entonces el problema (1) tiene una solución única en el sentido descrito en el teorema de Osgood, porque en este caso () = C satisface (7).

Corolario 2. Si C(B) bajo las condiciones del teorema de Peano, entonces la solución (1) definida en Int(IP) es única.

Lema. Cualquier solución (1) definida en IP debe satisfacer la estimación |x | = |f(t,x)| F, y su gráfica se encuentra en K1, y más aún en C.

Prueba. Supongamos que existe t1 IP tal que (t, x(t)) C. Para ser más precisos, sea t1 t0. Entonces existe t2 (t0, t1] tal que |x(t) x0| = R. De manera similar al razonamiento en la demostración del teorema de Osgood, podemos suponer que t2 es el punto más a la izquierda, pero tenemos (t, x (t)) C, de modo que |f (t, x(t))|F, y por tanto (t, x(t)) K1, lo que contradice |x(t2) x0| = R. Por tanto, (t, x(t) ) C en todas las IP, y luego (repitiendo cálculos) (t, x(t)) K1.

Prueba. (Corolario 2). C es un conjunto compacto, obtenemos que f es Lipschitz en x en C, donde las gráficas de todas las soluciones se encuentran debido al Lema. Por el Corolario 1 obtenemos lo que se requiere.

Comentario. La condición (7) significa que la condición de Lipschitz para f no puede debilitarse sustancialmente. Por ejemplo, la condición de Hölder con 1 ya no es válida. Sólo son adecuados los módulos de continuidad cercanos a lineales, como el “peor”:

Ejercicio. (bastante complicado). Demuestre que si satisface (7), entonces hay un 1 que satisface (7) tal que 1/ es cero.

En el caso general, no es necesario exigir exactamente algo del módulo de continuidad de f en x para la unicidad; son posibles todo tipo de casos especiales, por ejemplo:

Declaración. Si, bajo las condiciones del teorema de Peano, entonces dos soluciones cualesquiera (1) definidas en (9) son verdaderas, está claro que x C 1(a, b), y luego la derivación (9) da (1)1, y (1)2 es obvio.

A diferencia de (1), es natural que (9) construya una solución en un intervalo cerrado.

Picard propuso el siguiente método de aproximaciones sucesivas para resolver (1) = (9). Denotemos x0(t) x0, y luego por inducción.Teorema. (Cauchy-Picara). Sea, bajo las condiciones del teorema de Peano, la función f de Lipschitz en x en cualquier conjunto compacto K convexo en x en el dominio B, es decir,

Entonces, para cualquier (t0, x0) B, el problema de Cauchy (1) (también conocido como (9)) tiene una solución única en Int(IP), y xk x en IP, donde xk se definen en (10).

Comentario. Está claro que el teorema sigue siendo válido si la condición (11) se reemplaza por C(B), ya que (11) se sigue de esta condición.

Nota para el profesor. De hecho, no se necesitan todas las compactas convexas en x, sino solo cilindros, pero la formulación se hace de esta manera, porque en el § 5 necesitaremos una compacta más general, y además, es precisamente con tal formulación que se ve la observación. lo más natural.

Prueba. Elegimos arbitrariamente (t0, x0) B y hacemos la misma construcción auxiliar que antes del teorema de Peano. Demostremos por inducción que todos los xk están definidos y son continuos en IP, y sus gráficas se encuentran en K1, y más aún en C. Esto es obvio para x0. Si esto es cierto para xk1, entonces queda claro a partir de (10) que xk está definido y es continuo en IP, y esta es la membresía de K1.

Ahora demostramos la estimación sobre IP por inducción:

(C es un conjunto compacto convexo en x en B, y L(C) está definido para él). Para k = 0, esta es la estimación probada (t, x1(t)) K1. Si (12) es verdadera para k:= ​​k 1, entonces de (10) tenemos lo que se requería. Por lo tanto, la serie es mayorizada en IP por una serie numérica convergente y por lo tanto (esto se llama teorema de Weierstrass) converge uniformemente en IP a alguna función x C(IP). Pero eso es lo que significa xk x en IP. Luego en (10) sobre IP pasamos al límite y obtenemos (9) sobre IP, y por tanto (1) sobre Int(IP).

La unicidad se deriva inmediatamente del Corolario 1 del teorema de Osgood, pero es útil demostrarla de otra manera, utilizando precisamente la ecuación (9). Sean 2 soluciones x1,2 del problema (1) (es decir, (9)) en Int(IP). Como se mencionó anteriormente, entonces sus gráficas necesariamente se encuentran en K1, y más aún en C. Sea t I1 = (t0, t0 +), donde es algún número positivo. Entonces = 1/(2L(C)). Entonces = 0. Por tanto, x1 = x2 en I1.

Nota para el profesor. También hay una prueba de unicidad con la ayuda del lema de Gronwall, es aún más natural, ya que pasa inmediatamente globalmente, pero hasta ahora el lema de Gronwall no es muy conveniente, ya que es difícil percibirlo adecuadamente hasta las EDO lineales. .

Comentario. La última prueba de la unicidad es instructiva porque muestra una vez más bajo una luz diferente cómo la unicidad local conduce a la unicidad global (lo cual no es cierto para la existencia).

Ejercicio. Demuestre la unicidad de todos los IP a la vez, argumentando lo contrario, como en la demostración del teorema de Osgood.

Un caso especial importante (1) son las EDO lineales, es decir, aquellas en las que el valor f (t, x) es lineal en x:

En este caso, para caer dentro de las condiciones de la teoría general, se debería exigir. Así, en este caso, el papel de B es una franja, y la condición de ser Lipschitz (e incluso diferenciable) con respecto a x se satisface automáticamente: para todo t (a, b), x, y Rn tenemos |f (t, x) f (t, y)| = |A(t)(x y)| |A(t)| · |(x y)|.

Si seleccionamos temporalmente un conjunto compacto (a, b), entonces sobre él obtenemos |f (t, x) f (t, y)| L|(x y)|, donde L = máx |A|.

Los teoremas de Peano y Osgood o Cauchy-Picard implican la solubilidad única del problema (13) en algún intervalo (Peano-Picard) que contiene t0. Además, la solución en este intervalo es el límite de aproximaciones sucesivas de Picard.

Ejercicio. Encuentra este intervalo.

Pero resulta que en este caso todos estos resultados se pueden demostrar globalmente a la vez, es decir, en todo (a, b):

Teorema. Sea (14) cierto. Entonces el problema (13) tiene una solución única en (a, b), y las sucesivas aproximaciones de Picard convergen uniformemente en cualquier conjunto compacto (a, b).

Prueba. Nuevamente, como en TK-P, construimos una solución a la ecuación integral (9) usando aproximaciones sucesivas usando la fórmula (10). Pero ahora no necesitamos verificar la condición para que la gráfica caiga dentro del cono y el cilindro, ya que

f está definida para todo x siempre que t (a, b). Sólo necesitamos comprobar que todos los xk están definidos y son continuos en (a, b), lo cual es obvio por inducción.

En lugar de (12), ahora mostramos una estimación similar de la forma donde N es algún número dependiendo de la elección de . El primer paso de inducción para esta estimación es diferente (porque no está relacionado con K1): para k = 0 |x1(t) x0| N debido a la continuidad de x1, y los siguientes pasos son similares a (12).

Es posible no describir esto, ya que es obvio, pero podemos notar nuevamente xk x en , y x es la solución del correspondiente (10) en . Pero al hacerlo, hemos construido una solución para todo (a, b), ya que la elección del conjunto compacto es arbitraria. La unicidad se deriva de los teoremas de Osgood o Cauchy-Picard (y de la discusión anterior sobre la unicidad global).

Comentario. Como se mencionó anteriormente, TC-P es formalmente superfluo debido a los teoremas de Peano y Osgood, pero es útil por 3 razones:

1. le permite conectar el problema de Cauchy para ODE con una ecuación integral;

2. ofrece un método constructivo de aproximaciones sucesivas;

3. facilita demostrar la existencia global de EDO lineales.

[aunque esto último también puede deducirse de los argumentos del § 4.] En lo que sigue, nos referiremos a él con mayor frecuencia.

Ejemplo. x = x, x(0) = 1. Aproximaciones sucesivas Por tanto, x(t) = e es la solución del problema original en el conjunto de R.

La mayoría de las veces no se obtendrá una serie, pero se conserva cierta constructividad. También es posible estimar el error x xk (ver ).

Comentario. A partir de los teoremas de Peano, Osgood y Cauchy-Picard, es fácil obtener los teoremas correspondientes a las EDO de orden superior.

Ejercicio. Formule los conceptos del problema de Cauchy, la solución del sistema y el problema de Cauchy, todos los teoremas para EDO de orden superior, utilizando la reducción a sistemas de primer orden descrita en el § 1.

Violando un poco la lógica del curso, pero para asimilar y justificar mejor los métodos de resolución de problemas en las clases prácticas, interrumpiremos temporalmente la presentación de la teoría general y abordaremos el problema técnico de la "solución explícita de EDO".

§ 3. Algunos métodos de integración Así, consideramos la ecuación escalar = f (t, x). El caso especial más simple que hemos aprendido a integrar es el llamado. URP, es decir, una ecuación en la que f (t, x) = a(t)b(x). El truco formal de integrar el ERP es "separar" las variables t y x (de ahí el nombre): = a(t)dt, y luego tomar la integral:

donde x = B (A(t)). Este razonamiento formal contiene varios puntos que requieren justificación.

1. División por b(x). Suponemos que f es continua, por lo que a C(,), b C(,), es decir, B es un rectángulo (,) (,)(en términos generales, infinito). Los conjuntos (b(x) 0) y (b(x) 0) son abiertos y por tanto son conjuntos de intervalos finitos o contables. Entre estos intervalos hay puntos o segmentos donde b = 0. Si b(x0) = 0, entonces el problema de Cauchy tiene solución x x0. Quizás esta solución no sea única, entonces en su dominio de definición existen intervalos donde b(x(t)) = 0, pero luego se pueden dividir por b(x(t)). Observamos de paso que la función B es monótona en estos intervalos y, por lo tanto, podemos tomar B 1. Si b(x0) = 0, entonces b(x(t)) = 0 en una vecindad de t0, y el procedimiento es legal. Por tanto, el procedimiento descrito debería, en términos generales, aplicarse al dividir el dominio de definición de una solución en partes.

2. Integración de las partes izquierda y derecha respecto a diferentes variables.

Método I. Queremos encontrar una solución al problema Kod(t) shi (1) x = (t). Tenemos: = a(t)b((t)), de donde - obtuvimos estrictamente la misma fórmula.

Método II. La ecuación se llama. una notación simétrica de la EDO original, es decir, una que no especifica qué variable es independiente y cuál es dependiente. Esta forma tiene sentido precisamente en el caso que estamos considerando una ecuación de primer orden en vista del teorema sobre la invariancia de la forma del primer diferencial.

Aquí conviene abordar el concepto de diferencial con más detalle, ilustrándolo con el ejemplo del plano ((t, x)), las curvas en él, los enlaces emergentes, los grados de libertad y un parámetro en la curva.

Por lo tanto, la ecuación (2) conecta los diferenciales t y x a lo largo del IC deseado. Entonces, integrar la ecuación (2) de la forma mostrada al principio es perfectamente legal; significa, si se quiere, integrar sobre cualquier variable elegida como independiente.

En el Método I, demostramos esto eligiendo t como variable independiente. Ahora mostraremos esto eligiendo el parámetro s a lo largo del IC como variable independiente (porque esto muestra más claramente la igualdad de t y x). Sea el valor s = s0 correspondiente al punto (t0, x0).

Entonces tenemos: = a(t(s))t (s)ds, lo que luego da Aquí debemos centrarnos en la universalidad de la notación simétrica, por ejemplo: el círculo no se escribe ni como x(t), ni como t(x), sino como x(s), t(s).

Algunas otras EDO de primer orden se reducen a URP, lo que se puede ver al resolver problemas (por ejemplo, según el libro de problemas).

Otro caso importante es la EDO lineal:

Método I. Variación de la constante.

Este es un caso especial de un enfoque más general, que se analizará en la Parte 2. La cuestión es que encontrar una solución en una forma especial reduce el orden de la ecuación.

Decidamos primero. ecuación homogénea:

En virtud de la unicidad, x 0 o en todas partes x = 0. En el último caso (sea x 0 para mayor precisión), obtenemos que (4) da todas las soluciones de (3)0 (incluidos cero y los negativos).

La fórmula (4) contiene una constante arbitraria C1.

El método de variación constante consiste en que la solución (3) C1(t) = C0 + Se puede ver (como en los sistemas algebraicos lineales) la estructura ORNY=CHRNY+OROU (más sobre esto en la Parte 2).

Si queremos resolver el problema de Cauchy x(t0) = x0, entonces necesitamos encontrar C0 a partir de los datos de Cauchy; obtenemos fácilmente C0 = x0.

Método II. Encontremos un IM, es decir, una función v por la cual se debe multiplicar (3) (escrita de tal manera que todas las incógnitas se recojan en el lado izquierdo: x a(t)x = b(t)) de modo que la derivada de alguna combinación conveniente.

Tenemos: vx vax = (vx), si v = av, es decir (tal ecuación, (3) es equivalente a una ecuación que ya se resuelve fácilmente y da (5). Si se resuelve el problema de Cauchy, entonces en ( 6) conviene tomar inmediatamente integral definida Algunas otras se reducen a EDO lineales (3), como se puede comprobar al resolver problemas (por ejemplo, según el libro de problemas). El importante caso de las EDO lineales (inmediatamente para cualquier n) se considerará con más detalle en la Parte 2.

Ambas situaciones consideradas son un caso especial de los llamados. UPD. Considere una EDO de primer orden (para n = 1) en forma simétrica:

Como ya se mencionó, (7) especifica el IC en el plano (t, x) sin especificar qué variable se considera independiente.

Si multiplicamos (7) por función arbitraria M (t, x), entonces obtenemos una forma equivalente de escribir la misma ecuación:

Por tanto, la misma EDO tiene muchas entradas simétricas. Entre ellos, el llamado. registros en diferenciales totales, el nombre de la UPD no tiene éxito, porque esta propiedad no es una ecuación, sino la forma de su registro, es decir, tal que el lado izquierdo de (7) es igual a dF (t, x) con algunos F.

Está claro que (7) es un FTD si y sólo si A = Ft, B = Fx con algo de F. Como se sabe por el análisis, esto último es necesario y suficiente. No fundamentamos puntos estrictamente técnicos, por ejemplo, la suavidad de todas las funciones. El hecho es que § juega un papel secundario: no es necesario en absoluto para otras partes del curso y no me gustaría dedicar esfuerzos excesivos a su presentación detallada.

Por lo tanto, si se satisface (9), entonces existe una F (es única hasta una constante aditiva) tal que (7) se reescribe en la forma dF (t, x) = 0 (a lo largo del IR), es decir

F (t, x) = constante a lo largo del IC, es decir, los IC son las rectas de nivel de la función F. Obtenemos que la integración del SPD es una tarea trivial, ya que la búsqueda de F por A y B que satisfacen (9 ) no es difícil. Si (9) no se cumple, entonces se debe encontrar el llamado. IM M (t, x) tal que (8) es un FDD, para lo cual es necesario y suficiente realizar un análogo de (9), que toma la forma:

Como se desprende de la teoría PDE de primer orden (que cubriremos en la Parte 3), la ecuación (10) siempre tiene una solución, por lo que IM existe. Por tanto, cualquier ecuación de la forma (7) se puede escribir en forma de FDD y, por tanto, permite una integración "explícita". Pero estas consideraciones no dan un método constructivo en el caso general, porque para resolver (10), en términos generales, se requiere encontrar una solución (7), que es lo que buscamos. Sin embargo, existen una serie de técnicas de búsqueda de mensajería instantánea que tradicionalmente se consideran en las clases prácticas (ver, por ejemplo).

Tenga en cuenta que los métodos anteriores para resolver ERP y EDO lineales son un caso especial de la ideología IM.

En efecto, el ERP dx/dt = a(t)b(x), escrito en la forma simétrica dx = a(t)b(x)dt, se resuelve multiplicando por IM 1/b(x), porque después de esto se convierte en FDD dx/b(x) = a(t)dt, es decir, dB(x) = dA(t). La ecuación lineal dx/dt = a(t)x + b(t), escrita en la forma simétrica dx a(t)xdt b(t)dt, se resuelve multiplicando por MI

(a excepción del bloque grande asociado a los sistemas lineales) son que, utilizando métodos especiales de reducción de orden y cambio de variables, se reducen a EDO de primer orden, que luego se reducen a FDD, y se resuelven aplicando la Teorema principal del cálculo diferencial: dF = 0 F = const. La cuestión de bajar el orden se incluye tradicionalmente en el curso de ejercicios prácticos (ver, por ejemplo).

Digamos algunas palabras sobre las EDO de primer orden que no se resuelven con respecto a la derivada:

Como se analizó en el § 1, se puede intentar resolver (11) con respecto a x y obtener una forma normal, pero esto no siempre es aconsejable. A menudo es más conveniente resolver (11) directamente.

Considere el espacio ((t, x, p)), donde p = x se trata temporalmente como una variable independiente. Entonces (11) define una superficie (F (t, x, p) = 0) en este espacio, que se puede escribir paramétricamente:

Es útil recordar lo que esto significa, por ejemplo con la ayuda de una esfera en R3.

Las soluciones deseadas corresponderán a curvas en esta superficie: t = s, x = x(s), p = x (s) - se pierde un grado de libertad porque hay una conexión dx = pdt en las soluciones. Escribamos esta relación en términos de parámetros en la superficie (12): gu du + gv dv = h(fudu + fv dv), es decir

Así, las soluciones deseadas corresponden a curvas en la superficie (12), en las que los parámetros están relacionados por la ecuación (13). Esta última es una EDO en forma simétrica que puede resolverse.

Caso I. Si en alguna región (gu hfu) = 0, entonces (12) entonces t = f ((v), v), x = g((v), v) da una representación paramétrica de las curvas deseadas en la plano ( (t, x)) (es decir, estamos proyectando en este plano, ya que no necesitamos p).

Caso II. De manera similar, si (gv hfv) = 0.

Caso III. En algunos puntos simultáneamente gu hfu = gv hfv = 0. Aquí es necesario un análisis separado para ver si este conjunto corresponde a algunas soluciones (luego se llaman singulares).

Ejemplo. Ecuación de Clairaut x = tx + x 2. Tenemos:

x = tp + p2. Parametrizamos esta superficie: t = u, p = v, x = uv + v 2. La ecuación (13) toma la forma (u + 2v)dv = 0.

Caso I. No implementado.

Caso II. u + 2v = 0, entonces dv = 0, es decir, v = C = const.

Por tanto, t = u, x = Cu + C 2 es la notación paramétrica del IR.

Es fácil escribirlo explícitamente x = Ct + C 2.

Caso III. u + 2v = 0, es decir, v = u/2. Por tanto, t = u, x = u2/4 es la notación paramétrica del “candidato IC”.

Para comprobar si realmente se trata de un IR, lo escribimos explícitamente x = t2/4. Resultó que se trata de una solución (especial).

Ejercicio. Demuestre que la solución especial concierne a todas las demás.

Este es un hecho general: la gráfica de cualquier solución especial es la envolvente de la familia de todas las demás soluciones. Ésta es la base para otra definición de solución singular, precisamente como envolvente (ver ).

Ejercicio. Demuestre que para una ecuación de Clairaut más general x = tx (x) con una función convexa, la solución especial tiene la forma x = (t), donde es la transformada de Legendre de , es decir, = ()1, o (t) = max (televisión (v)). Lo mismo ocurre con la ecuación x = tx + (x).

Comentario. El contenido del § 3 se describe con más detalle y precisión en el libro de texto.

Nota para el profesor. Al impartir un curso de conferencias, puede resultar útil ampliar el § 3, dándole una forma más rigurosa.

Volvamos ahora al esquema principal del curso, continuando la exposición iniciada en los §§ 1,2.

§ 4. Solubilidad global del problema de Cauchy En el § 2 demostramos la existencia local de una solución al problema de Cauchy, es decir, sólo en algún intervalo que contenga el punto t0.

Bajo algunos supuestos adicionales sobre f, también demostramos la unicidad de la solución, entendiéndola como la coincidencia de dos soluciones definidas en el mismo intervalo. Si f es lineal en x, entonces se obtiene una existencia global, es decir, en todo el intervalo donde los coeficientes de la ecuación (sistema) son definidos y continuos. Sin embargo, como muestra un intento de aplicar la teoría general a un sistema lineal, el intervalo de Peano-Picard es generalmente menor que aquel sobre el cual se puede construir una solución. Surgen preguntas naturales:

1. ¿Cómo determinar el intervalo máximo en el que se puede afirmar la existencia de una solución (1)?

2. si este intervalo coincide siempre con el máximo en el que todavía tiene sentido parte derecha (1)1 ?

3. ¿Cómo formular con precisión el concepto de unicidad de una solución sin reservas sobre el intervalo de su definición?

El hecho de que la respuesta a la pregunta 2 sea generalmente negativa (o más bien, requiera una gran precisión) se demuestra en el siguiente ejemplo. x = x2, x(0) = x0. Si x0 = 0, entonces x 0: no hay otras soluciones según el teorema de Osgood. Si x0 = 0, entonces decidimos que es útil hacer un dibujo). El intervalo de existencia de una solución no puede ser mayor que (, 1/x0) o (1/x0, +), respectivamente, para x0 0 y x0 0 (¡la segunda rama de la hipérbola no está relacionada con la solución! - esto es error típico estudiantes). A primera vista, nada en el problema original "prefiguraba tal resultado". En el § 4 encontraremos una explicación para este fenómeno.

En el ejemplo de la ecuación x = t2 + x2 se muestra el error típico de los estudiantes sobre el intervalo de existencia de la solución. Aquí el hecho de que "la ecuación esté definida en todas partes" no implica en absoluto que la solución pueda extenderse a toda la recta. Esto es claro incluso desde un punto de vista puramente cotidiano, por ejemplo, en relación con las leyes legales y los procesos que se desarrollan bajo ellas: incluso si la ley no prescribe explícitamente la terminación de la existencia de una empresa en 2015, esto no significa en absoluto que esta empresa no irá a la quiebra este año razones internas(aunque dentro de los límites de la ley).

Para responder las preguntas 1 a 3 (e incluso formularlas claramente), necesitamos la noción de una solución no ampliable. Consideraremos (como acordamos anteriormente) soluciones de la ecuación (1)1 como pares (, (tl (), tr ())).

Definición. La solución (, (tl (), tr ())) es la continuación de la solución (, (tl (), tr ())) si (tl (), tr ()) (tl (), tr () ), y |(tl(),tr()) =.

Definición. Una solución (, (tl (), tr ())) no es extensible si no tiene extensiones no triviales (es decir, diferentes). (ver ejemplo arriba).

Está claro que son los SI los que tienen un valor particular y en sus términos es necesario demostrar su existencia y unicidad. Surge una pregunta natural: ¿es siempre posible construir un SI basado en alguna solución local o en el problema de Cauchy? Resulta que si. Para entender esto, introduzcamos los conceptos:

Definición. Un conjunto de soluciones ((, (tl (), tr ()))) es consistente si 2 soluciones cualesquiera de este conjunto coinciden en la intersección de los intervalos de su definición.

Definición. Un conjunto consistente de soluciones se llama máximo si no se le puede agregar una solución más para que el nuevo conjunto sea consistente y contenga nuevos puntos en la unión de los dominios de las soluciones.

Está claro que la construcción del DCI equivale a la construcción del SI, a saber:

1. Si existe un IS, cualquier DCI que lo contenga solo puede ser un conjunto de sus restricciones.

Ejercicio. Controlar.

2. Si hay un DCI, entonces el HP (, (t, t+)) se construye de la siguiente manera:

establecemos (t) = (t), donde se define cualquier elemento INN en este punto. Es obvio que dicha función estará definida de forma única en el conjunto (t, t+) (la unicidad se deriva de la coherencia del conjunto), y en cada punto coincide con todos los elementos del DCI definidos en ese punto. Para cualquier t (t, t+) hay alguien definido en él y, por tanto, en su vecindad, y dado que hay una solución (1)1 en esta vecindad, también lo es. Por tanto, existe una solución (1)1 en el conjunto (t, t+). No es prorrogable, ya que de lo contrario se podría añadir una extensión no trivial al DCI a pesar de su maximalidad.

La construcción del problema ILS (1) en el caso general (bajo las condiciones del teorema de Peano), cuando no hay unicidad local, es posible (ver , ), pero bastante engorrosa: se basa en un proceso paso a paso. Aplicación escalonada del teorema de Peano con una estimación más baja de la longitud del intervalo de extensión. Por tanto, HP siempre existe. Justificaremos esto sólo en el caso de que exista unicidad local, entonces la construcción del DCI (y por tanto también del IR) es trivial. Por ejemplo, para ser más precisos, actuaremos en el marco del TC-P.

Teorema. Sean satisfechas las condiciones TK-P en el dominio B Rn+1. Entonces, para cualquier (t0, x0) B, el problema (1) tiene un IS único.

Prueba. Considere el conjunto de todas las soluciones al problema (1) (no está vacío según TK-P). Forma el DCI, consistente debido a la unicidad local y máximo en vista de que es el conjunto de todas las soluciones del problema de Cauchy en general. Entonces la NR existe. Es único debido a la singularidad local.

Si se requiere construir un SI basado en la solución local disponible (1)1 (en lugar del problema de Cauchy), entonces este problema, en el caso de unicidad local, se reduce al problema de Cauchy: uno debe elegir cualquier punto en el IR existente y considerar el correspondiente problema de Cauchy. El SI de este problema será una continuación de la solución original debido a su singularidad. Si no hay unicidad, entonces la continuación de la solución dada se lleva a cabo de acuerdo con el procedimiento indicado anteriormente.

Comentario. El HP no se puede extender en los extremos de su intervalo de existencia (independientemente de la condición de unicidad), por lo que también es una solución en los puntos finales. A modo de justificación, es necesario aclarar qué se entiende por solución de una EDO en los extremos de un segmento:

1. Enfoque 1. Consideremos la solución (1)1 en el intervalo como una función que satisface la ecuación en los extremos en el sentido de una derivada unilateral. Entonces, la posibilidad de la extensión especificada de alguna solución, por ejemplo, en el extremo derecho del intervalo de su existencia (t, t+] significa que el IC tiene un punto final dentro de B, y C 1(t, t+]. Pero luego, habiendo resuelto el problema de Cauchy x(t+) = (t+) para (1) y encontrando su solución, obtenemos, para el extremo derecho t+ (en el punto t+ ambas derivadas unilaterales existen y son iguales a f (t+ , (t+)), lo que significa que hay una derivada ordinaria), es decir, no era NR.

2. Enfoque 2. Si la solución (1)1 en el intervalo se entiende como una función que solo es continua en los extremos, pero tal que los extremos del IC se encuentran en B (incluso si no se requiere que se cumpla la ecuación al final), entonces todavía obtenemos el mismo razonamiento, sólo que en términos de la ecuación integral correspondiente (ver detalles).

Por lo tanto, al limitarnos inmediatamente a intervalos abiertos como conjuntos de definiciones de soluciones, no violamos la generalidad (sino que solo evitamos problemas innecesarios con derivadas unilaterales, etc.).

Como resultado, hemos respondido a la pregunta 3, planteada al comienzo del § 4: bajo la condición de unicidad (por ejemplo, Osgood o Cauchy-Picard), la solución del problema de Cauchy es única en HP. Si se viola la condición de unicidad, entonces pueden haber muchos IS del problema de Cauchy, cada uno con su propio intervalo de existencia. Cualquier solución (1) (o simplemente (1)1) puede extenderse a un SI.

Para responder a las preguntas 1 y 2, es necesario considerar no la variable t por separado, sino el comportamiento del CI en el espacio Rn+1. A la pregunta de cómo se comporta el IC "cerca de los extremos", responde Tenga en cuenta que el intervalo de existencia tiene fines, pero el IC puede no tenerlos (el final del IC en B no siempre existe; consulte la observación anterior). pero es posible que el final no exista en B (ver más abajo).

Teorema. (sobre dejar el compacto).

lo formulamos en condiciones de unicidad local, pero esto no es necesario; consulte , donde se formula el TPK como criterio para NR.

Bajo las condiciones de TC-P, la gráfica de cualquier IS de la ecuación (1)1 deja cualquier conjunto compacto KB, es decir, KB (t, t+): (t, (t)) K en t.

Ejemplo. K = ((t,x)B | ((t,x),B) ).

Comentario. Por lo tanto, el IC del IS cerca de t± se aproxima a B: ((t, (t)), B) 0 cuando t t± - el proceso de continuación de la solución no puede terminar estrictamente dentro de B.

positivamente, aquí como ejercicio es útil demostrar la positividad de la distancia entre conjuntos cerrados disjuntos, uno de los cuales es un conjunto compacto.

Prueba. Arreglar K B. Tome cualquier 0 (0, (K, B)). Si B = Rn+1, entonces por definición suponemos (K, B) = +. El conjunto K1 = ( (t, x) | ((t, x), K) 0 /2 ) también es compacto en B, por lo que existe F = max |f |. Elegimos los números T y R hasta K lo suficientemente pequeños como para que cualquier cilindro de la forma. Por ejemplo, basta con tomar T 2 + R2 2/4. Entonces, según TK-P, el problema de Cauchy tiene una solución en un intervalo no más estrecho que (t T0, t + T0), donde T0 = min(T, R/F) para todo (t, x) K.

Ahora, como segmento deseado, puedes tomar = . De hecho, debemos demostrar que si (t, (t)) K, entonces t + T0 t t + T0. Mostremos, por ejemplo, la segunda desigualdad. Una solución al problema de Cauchy (2) con x = (t) existe hacia la derecha al menos hasta el punto t + T0, pero es un IS del mismo problema, que, debido a su unicidad, es una extensión, por lo que t+T0t+.

Por tanto, el gráfico IS siempre "llega a B", de modo que el intervalo de existencia del IS depende de la geometría del IC.

Por ejemplo:

Declaración. Sea B = (a, b)Rn (intervalo finito o infinito), f satisface las condiciones TC-P en B, es un IS del problema (1) con t0 (a, b). Entonces t+ = b o |(t)| + para t t+ (y de manera similar para t).

Prueba. Entonces sea t+ b, luego t++.

Considere un conjunto compacto K = B B. Para cualquier R +, según el TPK, existe (R) t+ tal que para t ((R), t+) el punto (t, (t)) K. Pero como t t+, esto es posible sólo para la cuenta |(t)| R. Pero esto significa |(t)| + para t t+.

En este caso particular, vemos que si f se define "para todo x", entonces el intervalo de existencia del IS puede ser menor que el máximo posible (a, b) sólo debido a la tendencia del IS a al acercarse al extremos del intervalo (t, t+) (generalmente caso - hasta el límite B).

Ejercicio. Generalice la última afirmación al caso en que B = (a, b), donde Rn es una región arbitraria.

Comentario. Debe entenderse que |(t)| + no significa ningún k(t).

Así, hemos respondido a la pregunta 2 (cf. el ejemplo al principio del § 4): el IR llega a B, pero su proyección sobre el eje t puede no alcanzar los extremos de la proyección de B sobre el eje t. Queda la pregunta 1: ¿existen signos por los cuales, sin resolver la EDO, se pueda juzgar la posibilidad de continuar la solución hasta el "intervalo más amplio posible"? Sabemos que para las EDO lineales esta extensión siempre es posible, pero en el ejemplo al comienzo del § 4 esto es imposible.

Consideremos primero, a modo de ilustración, un caso particular del ERP para n = 1:

la convergencia de la integral impropia h(s)ds (impropia debido a = + o debido a la singularidad de h en el punto) no depende de la elección de (,). Por lo tanto, a continuación simplemente escribiremos h(s)ds cuando hablemos de la convergencia o divergencia de esta integral.

esto ya podría hacerse en el teorema de Osgood y en afirmaciones relacionadas.

Declaración. Sean a C(,), b C(, +), ambas funciones positivas en sus intervalos. Sea el problema de Cauchy (donde t0 (,), x0) tenga un IS x = x(t) en el intervalo (t, t+) (,). Entonces:

Consecuencia. Si a = 1, = +, entonces t+ = + Prueba. (Afirmaciones). Tenga en cuenta que x aumenta monótonamente.

Ejercicio. Probar.

Por lo tanto, x(t+) = lim x(t) + existe. Tenemos el Caso 1. t+, x(t+) + - es imposible por TPK, ya que x es un IS.

Ambas integrales son finitas o infinitas.

Ejercicio. Añade pruebas.

Justificación del profesor. Como resultado, obtenemos que en el caso 3: a(s)ds +, y en el caso 4 (si es que se realiza) lo mismo.

Así, para las EDO más simples para n = 1 de la forma x = f (x), la extensibilidad de las soluciones hasta está determinada por la similitud.

autónomas), consulte la Parte 3.

Ejemplo. Para f (x) = x, 1 (en particular, el caso lineal = 1) y f (x) = x ln x, se puede garantizar la extensibilidad de las soluciones (positivas) a +. Para f(x) = x y f(x) = x ln x en 1, las soluciones "se descomponen en un tiempo finito".

En el caso general, la situación está determinada por muchos factores y no es tan simple, pero la importancia de la "tasa de crecimiento de f en x" permanece. Para n 1, es difícil formular criterios de extensibilidad, pero existen condiciones suficientes. Como regla general, se justifican con la ayuda de los llamados. estimaciones a priori de soluciones.

Definición. Sea h C(,), h 0. Se dice que para soluciones de alguna EDO, el AO |x(t)| h(t) en (,) si cualquier solución de esta EDO satisface esta estimación en esa parte del intervalo (,) donde está definida (es decir, no se supone que las soluciones estén necesariamente definidas en todo el intervalo (,) ).

Pero resulta que la presencia de AO garantiza que las soluciones seguirán estando definidas en todos (,) (y por tanto satisfarán la estimación en todo el intervalo), de modo que la estimación a priori se convierte en una estimación a posteriori:

Teorema. Sea el problema de Cauchy (1) satisfacer las condiciones de TK-P, y para sus soluciones existe un AO en el intervalo (,) con algo de h C(,), y el cilindro curvilíneo (|x| h(t), t (,)) B Entonces HP (1) se define en todo (,) (y por tanto satisface AO).

Prueba. Demostremos que t+ (t es similar). Digamos t+. Considere un conjunto compacto K = (|x| h(t), t ) B. Por TPK, como t t+, el punto de la gráfica (t, x(t)) sale de K, lo cual es imposible debido a AO.

Por tanto, para demostrar la extensión de una solución a un cierto intervalo, basta con estimar formalmente la solución en todo el intervalo requerido.

Analogía: la mensurabilidad de una función según Lebesgue y la evaluación formal de la integral implican la existencia real de la integral.

A continuación se muestran algunos ejemplos de situaciones en las que esta lógica funciona. Comencemos ilustrando la tesis anterior sobre "el crecimiento de f en x es bastante lento".

Declaración. Sea B = (,) Rn, f satisfacer las condiciones TK-P en B, |f (t, x)| a(t)b(|x|), donde a y b satisfacen las condiciones de la Proposición anterior c = 0, y = +. Entonces el IS del problema (1) existe en (,) para todo t0 (,), x0 Rn.

Lema. Si y son continuos, (t0) (t0); para t t Prueba. Tenga en cuenta que en la vecindad (t0, t0 +): si (t0) (t0), entonces esto es inmediatamente obvio, de lo contrario (si (t0) = (t0) = 0) tenemos (t0) = g(t0, 0 ) (t0), que nuevamente da lo que se requiere.

Supongamos ahora que existe t1 t0 tal que (t1). Por razonamiento obvio, se puede encontrar (t1) t2 (t0, t1] tal que (t2) = (t2), y sobre (t0, t2). Pero entonces en el punto t2 tenemos =, - una contradicción.

g es cualquiera y, de hecho, solo se necesita C, y donde sea =, allí. Pero para no abrumarnos, considerémoslo como en el Lema. Aquí hay una desigualdad estricta, pero una EDO no lineal, y también existe la llamada.

Nota para el profesor. Las desigualdades de este tipo, como en el Lema, se denominan desigualdades de tipo Chaplygin (NC). Es fácil ver que el Lema no necesitaba una condición de unicidad, por lo que ese "NP estricto" también es cierto en el marco del teorema de Peano. "LF no estricto" es obviamente falso sin unicidad, ya que la igualdad es un caso especial de desigualdad no estricta. Finalmente, el “NP no estricto” es verdadero dentro del marco de la condición de unicidad, pero sólo puede probarse localmente, con la ayuda de IM.

Prueba. (Afirmaciones). Demostremos que t+ = (t = similarmente). Supongamos t+, entonces por la afirmación anterior |x(t)| + para t t+, por lo que podemos suponer que x = 0 en . Si demostramos AO |x| h en ) (la pelota está cerrada por conveniencia).

El problema de Cauchy x(0) = 0 tiene un IS único x = 0 en R.

Indiquemos una condición suficiente en f bajo la cual se puede garantizar la existencia de un IS en R+ para todo x0 = x(0) suficientemente pequeño. Para hacer esto, supongamos que (4) tiene el llamado una función de Lyapunov, es decir, una función V tal que:

1. V C 1(B(0, R));

2. sgnV (x) = sgn|x|;

Comprobemos el cumplimiento de las condiciones A y B:

A. Considere el problema de Cauchy donde |x1| R/2. Construyamos un cilindro B = R B(0, R) - el dominio de la función f, donde está acotada y de clase C 1, de modo que exista F = max |f |. Según TK-P, existe una solución a (5) definida en el intervalo (t1 T0, t1 + T0), donde T0 = min(T, R/(2F)). Al elegir una T suficientemente grande, se puede lograr T0 = R/(2F). Es importante que T0 no dependa de la elección de (t1, x1), siempre que |x1| R/2.

B. Mientras la solución (5) esté definida y permanezca en la bola B(0, R), podemos formular el siguiente argumento. Tenemos:

V (x(t)) = f (x(t)) V (x(t)) 0, es decir, V (x(t)) V (x1) M (r) = max V (y) . Está claro que m y M no disminuyen; r son discontinuos en cero, m(0) = M (0) = 0, y fuera de cero son positivos. Por lo tanto, existe R 0 tal que M (R) m(R/2). Si |x1| R, entonces V (x(t)) V (x1) M (R) m(R/2), de donde |x(t)| R/2. Tenga en cuenta que R R/2.

Ahora podemos formular un teorema, que de las Secs. A,B deduce la existencia global de soluciones (4):

Teorema. Si (4) tiene una función de Lyapunov en B(0, R), entonces para todo x0 B(0, R) (donde R se define arriba) el IS del problema de Cauchy x(t0) = x0 para el sistema (4) (con cualquier t0) definido como +.

Prueba. Por el ítem A, la solución se puede construir sobre , donde t1 = t0 + T0 /2. Esta solución se encuentra en B(0, R) y le aplicamos el elemento B, de modo que |x(t1)| R/2. Nuevamente aplicamos el punto A y obtenemos una solución en , donde t2 = t1 + T0/2, es decir, ahora la solución se basa en . Aplicamos el punto B a esta solución y obtenemos |x(t2)| R/2, etc. En un número contable de pasos, obtenemos una solución en el § 5. Dependencia de las soluciones EDO de Considere el problema de Cauchy donde Rk. Si para algunos t0(), x0() este problema de Cauchy tiene un IS, entonces es x(t,). Surge la pregunta: ¿cómo estudiar la dependencia de x? Esta pregunta es importante debido a varias aplicaciones (y surgirá especialmente en la Parte 3), una de las cuales (aunque quizás no la más importante) es la solución aproximada de las EDO.

Ejemplo. Consideremos el problema de Cauchy: su IS existe y es único, como se desprende de TC-P, pero es imposible expresarlo en funciones elementales. ¿Cómo entonces investigar sus propiedades? Una de las formas es la siguiente: observe que (2) está "cerca" del problema y = y, y(0) = 1, cuya solución se encuentra fácilmente: y(t) = et. Podemos suponer que x(t) y(t) = et. Esta idea se formula claramente de la siguiente manera: considere el problema At = 1/100, este es (2), y at = 0 este es el problema para y. Si demostramos que x = x(t,) es continua en (en cierto sentido), entonces obtenemos que x(t,) y(t) en 0, lo que significa x(t, 1/100) y( t ) = et.

Es cierto que aún no está claro qué tan cerca está x de y, pero demostrar que x es continua con respecto a es el primer paso necesario sin el cual es imposible seguir avanzando.

De manera similar, es útil estudiar la dependencia de los parámetros en los datos iniciales. Como veremos más adelante, esta dependencia puede reducirse fácilmente a una dependencia de un parámetro en el lado derecho de la ecuación, por lo que por el momento nos limitaremos a un problema de la forma Sea f C(D), donde D es una región en Rn+k+1; f es Lipschitz en x en cualquier conjunto compacto en D convexo en x (por ejemplo, C(D) es suficiente). Arreglamos (t0, x0). Denota M = Rk | (t0, x0,) D es el conjunto de admisibles (para lo cual el problema (4) tiene sentido). Tenga en cuenta que M está abierto. Suponemos que (t0, x0) se eligen de modo que M =. Según TK-P, para todo M existe un único IS del problema (4): la función x = (t,) definida en el intervalo t (t(), t+()).

En rigor, como depende de muchas variables, debemos escribir (4) de la siguiente manera:

donde (5)1 se satisface en el conjunto G = ( (t,) | M, t (t (), t+()) ). Sin embargo, la diferencia entre los signos d/dt y /t es puramente psicológica (su uso depende del mismo concepto psicológico de "arreglar"). Por tanto, el conjunto G es el conjunto máximo natural de la definición de una función, y la cuestión de la continuidad debe investigarse precisamente en G.

Necesitamos un resultado auxiliar:

Lema. (Gronwall). Sea la función C, 0, satisfacer la estimación para todo t. Al leer una conferencia, no puede memorizar esta fórmula de antemano, sino dejar espacio e ingresarla después de la conclusión.

Pero entonces mantenga esta fórmula a la vista, porque será necesaria en ToNZ.

h = A + B Ah + B, de donde obtenemos lo requerido.

El significado de este lema: ecuación diferencial y desigualdad, conexión entre ellas, ecuación integral y desigualdad, conexión entre todas ellas, lemas diferencial e integral de Gronwall y conexión entre ellas.

Comentario. Es posible probar este lema bajo suposiciones más generales sobre A y B, pero no lo necesitamos todavía, pero lo haremos en el curso de la UMF (por lo tanto, es fácil ver que no usamos la continuidad de A). y B, etcétera).

Ahora estamos listos para expresar el resultado claramente:

Teorema. (ToNS) Bajo los supuestos hechos sobre f y en la notación introducida anteriormente, podemos afirmar que G es abierto, pero C(G).

Comentario. Está claro que el conjunto M generalmente no es conexo, por lo que G tampoco puede serlo.

Nota para el profesor. Sin embargo, si incluyéramos (t0, x0) en el número de parámetros, entonces la conexión sería: esto se realiza en .

Prueba. Sea (t,) G. Debemos demostrar que:

Para mayor precisión, sea t t0. Tenemos: M, de modo que (t,) está definido en (t(), t+()) t, t0, lo que significa que en algún segmento tal que t el punto (t, (t,),) pasa por el curva compacta D (paralela a los hiperplanos ( = 0)). ¡Esto significa que el conjunto del formulario Definición debe mantenerse frente a sus ojos todo el tiempo!

también hay un conjunto compacto en D para a y b suficientemente pequeños (convexos en x), de modo que la función f es de Lipschitz en x:

[¡Esta evaluación debe mantenerse frente a sus ojos todo el tiempo! ] y es uniformemente continua en todas las variables, y más aún |f (t, x, 1)f (t, x, 2)| (|12|), (t, x, 1), (t, x, 2).

[¡Esta evaluación debe mantenerse frente a sus ojos todo el tiempo! ] Considere un 1 arbitrario tal que |1 | b y la solución correspondiente (t, 1). El conjunto ( = 1) es compacto en D ( = 1), y para t = t0 el punto (t, (t, 1), 1) = (t0, x0, 1) = (t0, (t0,), 1) ( = 1), y según el TPK, para t t+(1) el punto (t, (t, 1), 1) sale de ( = 1). Sea t2 t0 (t2 t+(1)) el primer valor al que llega el punto mencionado.

Por construcción, t2 (t0, t1]. Nuestra tarea es mostrar que t2 = t1 bajo restricciones adicionales. Sea ahora t3. Tenemos (para todos esos t3, todas las cantidades utilizadas a continuación están definidas por construcción):

(t3, 1)(t3,) = f (t, (t, 1), 1)f (t, (t,),) dt, Intentemos demostrar que este valor es menor que a en valor absoluto.

donde el integrando se evalúa de la siguiente manera:

±f (t, (t,),), en lugar de ±f (t, (t,),), ya que la diferencia |(t, 1) (t,)| simplemente aún no hay una estimación, por lo que (t, (t, 1),) no está claro, pero para |1 | existe, y (t, (t,), 1) se conoce.

de modo que |(t3, 1)(t3,)| K|(t, 1)(t,)|+(|1|) dt.

Así, la función (t3) = |(t3, 1) (t3,)| (esta es una función continua) satisface las condiciones del lema de Gronwall con A(s) K 0, B(s) (|1 |), T = t2, = 0, por lo que mediante este lema obtenemos [Esta estimación debe ser ¡Mantenido frente a los ojos en todo momento! ] si tomamos |1 | 1 (t1). Suponemos que 1(t1) b. Todo nuestro razonamiento es correcto para todo t3.

Por lo tanto, con tal elección de 1, cuando t3 = t2, todavía |(t2, 1) (t2,)| a, así como |1 | b. Por lo tanto, (t2, (t2, 1), 1) sólo es posible debido al hecho de que t2 = t1. Pero esto significa, en particular, que (t, 1) está definido en todo el intervalo , es decir, t1 t+(1), y todos los puntos de la forma (t, 1) G si t , |1 | 1 (t1).

Es decir, aunque t+ depende de, pero el segmento permanece a la izquierda de t+() lo suficientemente cerca de En la Figura De manera similar, en t t0, se muestra la existencia de los números t4 t0 y 2(t4). Si t t0, entonces el punto (t,) B(, 1) G, de manera similar para t t0, y si t = t0, entonces ambos casos son aplicables, de modo que (t0,) B(, 3) G, donde 3 = mín. (12). Es importante que para un (t,) fijo se pueda encontrar t1(t,) de modo que t1 t 0 (o t4, respectivamente), y 1(t1) = 1(t,) 0 (o 2, respectivamente), de modo que la elección de 0 = 0(t,) es clara (ya que se puede inscribir una bola en la vecindad cilíndrica resultante).

de hecho, se ha demostrado una propiedad más sutil: si un IS se define en un intervalo determinado, entonces todos los IS con parámetros suficientemente cercanos se definen en él (es decir,

todos los HP ligeramente perturbados). Sin embargo, y viceversa, esta propiedad se deriva de la apertura de G, como se mostrará más adelante, por lo que estas son formulaciones equivalentes.

Así, hemos demostrado el punto 1.

Si estamos en el cilindro especificado en el espacio, entonces la estimación es verdadera para |1 | 4(,t,). Al mismo tiempo |(t3,) (t,)| para |t3 t| 5(, t,) debido a la continuidad en t. Como resultado, para (t3, 1) B((t,),) tenemos |(t3, 1) (t,)|, donde = min(4, 5). Este es el punto 2.

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Makarskaya E. V. En el libro: Jornadas de ciencia estudiantil. Primavera - 2011. M.: Universidad Estatal de Economía, Estadística e Informática de Moscú, 2011. P. 135-139.

Los autores consideran uso práctico Teoría de ecuaciones diferenciales lineales para la investigación. sistemas economicos. El artículo analiza los modelos dinámicos de Keynes y Samuelson-Hicks para encontrar los estados de equilibrio de los sistemas económicos.

Ivanov A.I., Isakov I., Demin AV y otros, Parte 5. M.: Slovo, 2012.

El manual considera métodos cuantitativos para estudiar el consumo de oxígeno por parte de una persona durante las pruebas con actividad física dosificada, realizadas en el Centro Científico Estatal de la Federación de Rusia - IBMP RAS. El manual está destinado a científicos, fisiólogos y médicos que trabajan en el campo de la medicina aeroespacial, subacuática y deportiva.

Mikheev A. V. San Petersburgo: Departamento de Impresión Operacional NRU HSE - San Petersburgo, 2012.

Esta colección contiene problemas en el curso de ecuaciones diferenciales, leídos por el autor en la Facultad de Economía de la Escuela Superior de Economía de la Universidad Nacional de Investigación - San Petersburgo. Al comienzo de cada tema, se brinda un breve resumen de los principales hechos teóricos y se analizan ejemplos de soluciones a problemas típicos. Para estudiantes y oyentes de programas de educación profesional superior.

Konakov V.D. ITS. WP BRP. Editorial del Patronato de la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú, 2012. No. 2012.

Este libro de texto se basa en un curso especial elegido por el estudiante, leído por el autor en la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú. MV Lomonósov en 2010-2012 años académicos. El manual familiariza al lector con el método parametrix y su análogo discreto, desarrollado más recientemente por el autor del manual y sus compañeros coautores. Reúne material que anteriormente sólo estaba contenido en una serie de artículos de revistas. Sin esforzarse por lograr la máxima generalidad de presentación, el autor pretendía demostrar las posibilidades del método para demostrar teoremas de límites locales sobre la convergencia de cadenas de Markov en un proceso de difusión y para obtener estimaciones bilaterales de tipo Aronson para algunas difusiones degeneradas.

Iss. 20. Nueva York: Springer, 2012.

Esta publicación es una colección de artículos seleccionados de la "Tercera Conferencia Internacional sobre Dinámica sistemas de información”, que se llevó a cabo en la Universidad de Florida del 16 al 18 de febrero de 2011. El propósito de esta conferencia fue reunir a científicos e ingenieros de la industria, el gobierno y el mundo académico para compartir nuevos descubrimientos y resultados sobre cuestiones relacionadas con la teoría y la práctica de la dinámica de sistemas de información. Dinámica de sistemas de información: descubrimiento matemático es un estudio de vanguardia y está dirigido a estudiantes graduados e investigadores interesados ​​en los últimos descubrimientos en teoría de la información y sistemas dinámicos. Los científicos de otras disciplinas también pueden beneficiarse de la aplicación de nuevos avances en sus campos de estudio.

Palvelev R., Sergeev A. G. Actas del Instituto de Matemáticas. VIRGINIA. Steklov RAS. 2012. V. 277. S. 199-214.

Se estudia el límite adiabático en las ecuaciones hiperbólicas de Landau-Ginzburg. Utilizando este límite, se establece una correspondencia entre las soluciones de las ecuaciones de Ginzburg-Landau y las trayectorias adiabáticas en el espacio de módulos de soluciones estáticas, llamados vórtices. Manton propuso un principio adiabático heurístico postulando que cualquier solución de las ecuaciones de Ginzburg-Landau con energía cinética suficientemente pequeña puede obtenerse como una perturbación de alguna trayectoria adiabática. Una prueba rigurosa de este hecho fue encontrada recientemente por el primer autor.

Damos una fórmula explícita para un cuasi-isomorfismo entre las óperas Hycomm (la homología del espacio de módulos de curvas estables de género 0) y BV/Δ (el cociente de homotopía de Batalin-Vilkovisky operado por el operador BV). En otras palabras, derivamos una equivalencia de álgebras de Hycomm y álgebras BV mejoradas con una homotopía que trivializa el operador BV. Estas fórmulas se dan en términos de las gráficas de Givental y se prueban de dos maneras diferentes. Una prueba utiliza la acción del grupo Givental, y la otra prueba pasa por una cadena de fórmulas explícitas sobre resoluciones de Hycomm y BV. El segundo enfoque ofrece, en particular, una explicación homológica de la acción del grupo de Givental en las álgebras de Hycomm.

Bajo científico editado por: A. Mikhailov vol. 14. M.: Facultad de Sociología de la Universidad Estatal de Moscú, 2012.

Los artículos de esta colección están escritos sobre la base de informes realizados en 2011 en la Facultad de Sociología de la Universidad Estatal de Moscú. MV Lomonosov en la reunión del XIV seminario científico anual interdisciplinario "Modelado matemático de procesos sociales" que lleva su nombre. Héroe del Académico Laborista Socialista A.A. Sámara.

La publicación está dirigida a investigadores, profesores, estudiantes de universidades e instituciones científicas de la Academia de Ciencias de Rusia que estén interesados ​​en los problemas, el desarrollo y la implementación de la metodología. modelo matematico procesos sociales.

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MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA DE LA FEDERACIÓN DE RUSIA UNIVERSIDAD NACIONAL DE INVESTIGACIÓN NUCLEAR "MEPhI" T. I. Bukharova, V. L. Kamynin, A. B. Kostin, D. S. Tkachenko Curso de conferencias sobre ecuaciones diferenciales ordinarias como material didáctico para estudiantes de instituciones de educación superior Moscú 2011 Curso de conferencias sobre ordinaria. ecuaciones diferenciales : Tutorial. - M.: NRNU MEPhI, 2011. - 228 p. El libro de texto se creó sobre la base de un curso de conferencias impartidas por los autores en el Instituto de Ingeniería Física de Moscú durante muchos años. Está dirigido a estudiantes de la Universidad Nacional de Investigación Nuclear MEPhI de todas las facultades, así como a estudiantes universitarios con formación matemática avanzada. El manual fue elaborado en el marco del Programa para la Creación y Desarrollo de NRNU MEPhI. Revisor: Doctor en Fis.-Matemáticas. Ciencias N.A. Kudryashov. ISBN 978-5-7262-1400-9 © Universidad Nacional de Investigación Nuclear MEPhI, 2011 Contenido Prólogo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I. Introducción a la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias Conceptos básicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El problema de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 11II. Existencia y unicidad de una solución al problema de Cauchy para una ecuación de primer orden Teorema de unicidad para OLE de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Existencia de una solución al problema de Cauchy para OLE de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Continuación de la solución para EDO de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. El problema de Cauchy para un sistema normal de enésimo orden Conceptos básicos y algunas propiedades auxiliares de funciones vectoriales. . . . Unicidad de la solución del problema de Cauchy para un sistema normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . El concepto de espacio métrico. El principio de los mapeos compresivos. . . . . . Teoremas de existencia y unicidad para la solución del problema de Cauchy para sistemas normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 23 34 38 38 43 44 48 IV. Algunas clases de ecuaciones diferenciales ordinarias resueltas en cuadraturas Ecuación con variables separables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OÄC lineales de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones homogéneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuación de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuación en diferenciales totales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 58 63 64 65 V. 67 Ecuaciones de primer orden no resueltas respecto de la derivada Teorema de existencia y unicidad para una solución de una EDO no resuelta respecto de la derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución especial. Curva discriminante. sobre. . . . . . . . . . . . . . . . Método de introducción de parámetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La ecuación de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La ecuación de Clairaut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI. Sistemas ODE lineales Conceptos básicos. Teorema de existencia y unicidad para la solución del problema Sistemas homogéneos de EDO lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El determinante de Vronsky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones complejas de un sistema homogéneo. Transición a dsr real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas no homogéneos de EDO lineales. El método de variación de constantes. . . . . Sistemas homogéneos de EDO lineales con coeficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una función exponencial de una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 67 70 77 79 81 85 Cauchy 85 . . . 87 . . . 91 . . . . . . 96 97 . . . 100 . . . 111 Sistemas no homogéneos de EDO lineales con coeficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 VII. EDO lineales de alto orden Reducción a un sistema de EDO lineales. Teorema de existencia y unicidad para la solución del problema de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EDO lineal homogénea de alto orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de soluciones complejas de una EDO lineal homogénea de alto orden. Transición de ÔSR complejo a real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OÄD lineales no homogéneos de orden superior. El método de variación de constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OÄD lineales homogéneos de orden superior con coeficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EDO lineal de orden superior no homogénea con coeficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 VIII. Teoría de la sostenibilidad Conceptos básicos y definiciones relacionados con la sostenibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estabilidad de soluciones de un sistema lineal. . . . . . Teoremas de estabilidad de Lyapunov. . . . . . . . . . Estabilidad en primera aproximación. . . . . . . Comportamiento de trayectorias de fase cerca del punto de reposo 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 128 136 139 142 150 162 168 172 182 187 IX. Primeras integrales de sistemas de EDO 198 Primeras integrales de sistemas autónomos de ecuaciones diferenciales ordinarias 198 Sistemas no autónomos de EDO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Notación simétrica de sistemas OÄC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 X. Ecuaciones diferenciales parciales de primer orden Ecuaciones diferenciales parciales lineales homogéneas de primer orden El problema de Cauchy para una ecuación diferencial parcial lineal de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones cuasilineales en derivadas parciales de primer orden. . . . El problema de Cauchy para una ecuación diferencial parcial cuasilineal de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -4-210. . . . . 210 . . . . . 212 . . . . . 216 . . . . . 223 . . . . . 227 PREFACIO Al preparar el libro, los autores se propusieron el objetivo de recopilar en un solo lugar y presentar en forma accesible información sobre la mayoría de las cuestiones relacionadas con la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Por lo tanto, además del material incluido en el programa obligatorio del curso de ecuaciones diferenciales ordinarias impartido en NRNU MEPhI (y otras universidades), el manual también incluye preguntas adicionales, que, por regla general, no tienen suficiente tiempo en las conferencias. pero que será de utilidad para una mejor comprensión de la materia y será de utilidad a los actuales estudiantes en sus futuras actividades profesionales. Se dan pruebas matemáticamente rigurosas de todas las afirmaciones del manual propuesto. Estas pruebas generalmente no son originales, pero todas han sido revisadas de acuerdo con el estilo de presentación de los cursos de matemáticas en MEPhI. Según la opinión generalizada entre profesores y científicos, las disciplinas matemáticas deben estudiarse con demostraciones completas y detalladas, pasando gradualmente de lo simple a lo complejo. Los autores de este manual son de la misma opinión. La información teórica proporcionada en el libro está respaldada por el análisis de un número suficiente de ejemplos que, esperamos, facilitarán al lector el estudio del material. El manual está dirigido a estudiantes universitarios con formación matemática avanzada, principalmente a estudiantes de la Universidad Nacional de Investigación Nuclear MEPhI. Al mismo tiempo, también será de utilidad para todo aquel que esté interesado en la teoría de ecuaciones diferenciales y utilice esta rama de las matemáticas en su trabajo. -5- Capítulo I. Introducción a la Teoría de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1. 1. Conceptos Básicos A lo largo de este manual, por ha, bi denotamos cualquiera de los conjuntos (a, b), , (a, b], , obtenemos x0 2 Zx ln 4C + 3 u(t)v(t) dt5 Zx v(t) dt.log C 6 x0 x0 Después de potenciar la última desigualdad y aplicar (2.3), tenemos 2 x 3 Zx Z u(x) 6 C + u(t)v (t) dt 6 C exp 4 v(t) dt5 x0 x0 para todo x 2 [ 1, 1]. , y) 2 G. Por lo tanto, f satisface la condición de Lipschitz con L = 1 , de hecho, incluso con L = sen 1 en y. Sin embargo, la derivada fy0 en los puntos (x, 0) 6= (0, 0) ni siquiera existe. El siguiente teorema, que es interesante en sí mismo, nos permite para demostrar la unicidad de una solución al problema de Cauchy: Teorema 2.1 (Sobre una estimación de la diferencia de dos soluciones) Sea G un dominio 2 en R y sea f (x, y) 2 C G y satisfaga la condición de Lipschitz en G por y con L constante. Si y1 , y2 son dos soluciones de la ecuación y 0 = f (x, y) en el segmento , entonces la siguiente desigualdad (estimación) es válida: jy2 (x) y1 (x)j 6 jy2 (x0) y1 (x0)j exp L(x x0) 6 y1 para todo x 2 . -19- y2 Prueba. Por definición 2.2 soluciones de la ecuación (2.1), obtenemos que 8 x 2 puntos x, y1 (x) y x, y2 (x) 2 G. Para todo t 2 tenemos las igualdades correctas y10 (t) = f t , y1 (t ) y y20 (t) = f t, y2 (t) , que integraremos sobre t en el segmento , donde x 2 . La integración es legal, ya que los lados derecho e izquierdo son continuos en funciones. Obtenemos el sistema de igualdades Zx y1 (x) y1 (x0) = x0 Zx y2 (x) y2 (x0) = f t, y1 (t) dt, f t, y2 (t) dt. x0 Restando uno del otro, tenemos jy1 (x) y2 (x)j = y1 (x0) y2 (x0) + Zx h f t, y1 (t) i f t, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 ( x0) + f t, y1 (t) f t, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 (x0) + L y1 (t) y2 (t) dt. x0 Denota C = y1 (x0) y2 (x0) > 0, v(t) = L > 0, u(t) = y1 (t) j 6 jy2 (x0) y1 (x0)j exp L(x x0) y2 (t) > 0. para todo x 2 . El teorema ha sido demostrado. Como corolario del teorema demostrado, obtenemos un teorema de unicidad para la solución del problema de Cauchy (2.1), (2.2). Corolario 1. Sea una función f (x, y) 2 C G y satisfaga la condición de Lipschitz en y en G, y sean las funciones y1 (x) e y2 (x) dos soluciones de la ecuación (2.1) en el mismo intervalo. , con x0 2 . Si y1 (x0) = y2 (x0), entonces y1 (x) y2 (x) en . Prueba. Consideremos dos casos. -20- 1. Sea x > x0 , entonces del Teorema 2.1 se deduce que h i es decir y1 (x) y1 (x) y2 (x) 6 0 exp L(x x0) , y2 (x) para x > x0 . 2. Sea x 6 x0, haga el cambio t = x, luego yi (x) = yi (t) y~i (t) para i = 1, 2. Dado que x 2 , entonces t 2 [ x0 , x1 ] y se cumple la igualdad y~1 (x0) = y~2 (x0). Averigüemos qué ecuación satisface y~i (t). La siguiente cadena de igualdades es verdadera: d y~i (t) = dt d~ yi (x) = dx f x, yi (x) = f (t, y~i (t)) . Aquí hemos utilizado la regla de derivación de una función compleja y el hecho de que yi (x) son soluciones de la ecuación (2.1). Dado que la función f~(t, y) f (t, y) es continua y satisface la condición de Lipschitz con respecto a y, entonces por el Teorema 2.1 tenemos que y~1 (t) y~2 (t) en [ x0 , x1 ], es decir y1 (x) y2 (x) a . Combinando ambos casos considerados, obtenemos la afirmación del corolario. Corolario 2. (en dependencia continua de los datos iniciales) Sea una función f (x, y) 2 C G y satisfaga en G la condición de Lipschitz en y con L constante, y las funciones y1 (x) e y2 (x) son soluciones de Ecuación (2.1) definida en . Denotamos l = x1 x0 y δ = y1 (x0) y2 (x0) . Entonces, para 8 x 2 la desigualdad y1 (x) y2 (x) 6 δ eL l es verdadera. La prueba se desprende inmediatamente del Teorema 2. 1. La desigualdad del Corolario 2 se denomina estimación de la estabilidad de la solución con respecto a los datos iniciales. Su significado radica en el hecho de que si en x = x0 las soluciones están “cercas”, entonces también lo están en el segmento final. El teorema 2.1 proporciona una estimación, que es importante para las aplicaciones, del módulo de diferencia de dos soluciones, y el corolario 1 proporciona la unicidad de la solución al problema de Cauchy (2.1), (2.2). También existen otras condiciones suficientes para la unicidad, una de las cuales presentamos ahora. Como se señaló anteriormente, la unicidad geométrica de la solución al problema de Cauchy significa que no más de una curva integral de la ecuación (2.1) puede pasar por el punto (x0, y0) del dominio G. Teorema 2.2 (Osgood sobre la unicidad). Sea una función f (x, y) 2 C G y para 8 (x, y1), (x, y2) 2 G la desigualdad f (x, y1) f (x, y2) 6 6 ϕ jy1 y2 j , donde ϕ ( u) > 0 para u 2 (0, β], ϕ(u) es continua, y Zβ du ! +1 cuando ε ! 0+. Entonces como máximo una curva integral (2.1).-21- Demostración.Dejemos que Existen dos soluciones y1 (x) e y2 (x) de la ecuación (2.1), tales que y1 (x0) = y2 (x0) = y0, denotamos z(x) = y2 (x) y1 (x).dyi dx dz = f (x, y2) f (x, y1) jzj 6 ϕ jzj jzj, es decir, entonces z dx 1 d la desigualdad jzj2 6 ϕ jzj jzj, de donde, para jzj 6= 0, se sigue que 2 dx doble desigualdad: Zjz2 j Zx2 dx 6 x1 2 d jzj 6 2 jzjϕ jzj Zx2 dx, (2.5) x1 jz1 j i = 1, 2. Por supuesto, z(x) 6 0 y, además, es continuo, por lo que existe dicho segmento, elíjalo y arréglelo. Considere los conjuntos n o X1 = x x< x1 и z(x) = 0 , n o X2 = x x >x2 y z(x) = 0 . Al menos uno de estos conjuntos no está vacío, ya que z(x0) = 0 y x0 62 . Sea, por ejemplo, X1 6= ∅, está acotado desde arriba, por lo que 9 α = sup X1. Tenga en cuenta que z(α) = 0, es decir, α 2 X1 , ya que suponiendo que z(α) > 0, por continuidad tendremos z(x) > 0 en algún intervalo α δ1 , α + δ1 , y esto contradice la definición de α = sup X1 . De la condición z(α) = 0 se sigue que α< x1 . По построению z(x) > 0 para todo x 2 (α, x2 ], y dado que z(x) ! 0+ es continua para x ! α + 0. Repitamos los argumentos para derivar (2.5), integrando sobre el segmento [α + δ, x2 ], donde x2 se elige arriba y es fijo, y δ 2 (0, x2 α) es arbitrario, obtenemos la desigualdad: Zjz2 j Zx2 dx 6 α+δ d jzj2 6 desigualdad, tendemos a δ ! 0+, entonces z (α+δ) ! z(α) = 0, de Zjz2 j d jzj2 ! +1, por la condición de continuidad z(x), y luego la integral 2 jzjϕ jzj del teorema jz(α+ δ)j -22- El lado derecho de la desigualdad Rx2 dx = x2 α δ 6 x2 α está acotado por α + δ desde arriba por un valor finito, lo cual es al mismo tiempo imposible, por lo que el problema de Cauchy (2.1), (2.2) se entiende como el siguiente problema de encontrar la función y(x): 0 y = f (x, y), (x, y) 2 G, y(x0) = y0 , (x0 , y0 ) 2 G, donde f (x, y) 2 C G y (x0 , y0) 2 G, G es un dominio en R2 Lema 2. 2. Sea f (x, y) 2 C G Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones: 1 ) cualquier solución ϕ(x) de la ecuación (2.1) en el intervalo ha, bi que satisface (2.2) x0 2 ha, bi es una solución en ha, bi de la ecuación integral Zx y(x) = y0 + f τ, y(τ ) dτ ; (2.6) x0 2) si ϕ(x) 2 C ha, bi es una solución de la ecuación integral (2.6) en ha, bi, 1 donde x0 2 ha, bi, entonces ϕ(x) 2 C ha, bi y es una solución de (2.1), (2.2). Prueba. 1. Sea ϕ(x) una solución de (2.1), (2.2) sobre ha, bi. Entonces, por la Observación 2.2 ϕ(x) 2 C ha, bi y 8 τ 2 ha, bi, tenemos la igualdad ϕ 0 (τ) = f τ, ϕ(τ) , integrando la cual de x0 a x, obtenemos ( para cualquier x 2 ha , bi) Rx ϕ(x) ϕ(x0) = f τ, ϕ(τ) dτ, y ϕ(x0) = y0 , es decir, ϕ(x) es la solución (2.6). x0 2. Sea y = ϕ(x) 2 C ha, bi una solución de (2.6). Dado que f x, ϕ(x) es continua en ha, bi por suposición, entonces Zx ϕ(x) y0 + f τ, ϕ(τ) dτ 2 C 1 ha, bi x0 como una integral con un límite superior variable de una función. Derivando la última igualdad respecto de x, obtenemos ϕ 0 (x) = f x, ϕ(x) 8 x 2 ha, bi y, obviamente, ϕ(x0) = y0 , es decir ϕ(x) es la solución del problema de Cauchy (2.1), (2.2). (Como es habitual, se entiende que una derivada al final de un segmento es la derivada unilateral correspondiente). -23- Observación 2. 6. El lema 2. 2 se denomina lema de la equivalencia del problema de Cauchy (2.1) , (2.2) a la ecuación integral (2.6). Si demostramos que existe una solución a la ecuación (2.6), obtenemos la solubilidad del problema de Cauchy (2.1), (2.2). Este plan se implementa en el siguiente teorema. Teorema 2.3 (Teorema de existencia local). Sea el rectángulo P = (x, y) 2 R2: jx x0 j 6 α, jy y0 j 6 β quede completamente en el dominio G de la función f (x, y). Función f (x, y) 2 C G y satisface la condición de Lipschitz para n y ov G con L constante. Denotemos β M = max f (x, y) , h = min α, M . Entonces existe una solución del problema de Cauchy (2.1), (2.2) en el intervalo P. Prueba. Establezcamos la existencia de una solución de la ecuación integral (2.6) en el intervalo. Para ello, considere la siguiente secuencia de funciones: Zx y0 (x) = y0 , y1 (x) = y0 + f τ, y0 (τ) dτ, ... x0 Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ ) dτ, etc. x0 1. Demostremos que las funciones 8 n 2 N yn (aproximaciones sucesivas) están definidas, es decir, demostremos que para 8 x 2 la desigualdad yn (x) y0 6 β se cumple para todo n = 1, 2, . . . Utilizamos el método de inducción matemática (MMI): a) base de inducción: n = 1. Zx y1 (x) y0 = f τ, y0 (τ) dτ 6 M0 x x0 6 M h 6 β, x0 donde M0 = max f (x, y0) para jx x 0 j 6 α, M0 6 M; b) asunción y paso de inducción. Dejemos que la desigualdad sea cierta para yn 1 (x), probémosla para yn (x): Zx yn (x) y0 = f τ, yn 1 (τ) dτ 6 M x x0 Entonces, si jx x0 j 6 h , entonces yn (x) y0 6 β 8 n 2 N. -24- x0 6 M h 6 β. Nuestro objetivo es demostrar la convergencia del 1 sucesor más cercano yk (x) k=0, para esto conviene representarlo como: yn = y0 + n X yk 1 (x) = y0 + y1 yk (x) y0 + y2 y1 + . . . + yn yn 1, k=1 es decir secuencias de sumas parciales de una serie funcional. 2. Estime los términos de esta serie demostrando las siguientes desigualdades 8 n 2 N y 8 x 2 : x0 jn yn (x) yn 1 6 M0 L 6 M0 Ln n! Apliquemos el método de inducción matemática: jx n 1 1 hn . ¡norte! (2.7) a) base de inducción: n = 1. y1 (x) x y 0 6 M0 x0 6 M0 h, demostrado anteriormente; b) asunción y paso de inducción. Sea la desigualdad cierta para n, digámoslo para n: Zx yn (x) yn 1 f τ, yn 1 (τ) = f τ, yn 2 (τ) 1, hasta dτ 6 x0 Zx i yn 6 por la condición de Lipschitz 6 L h yn 1 2 dτ 6 x0 h Zx i 6 por la hipótesis de inducción 6 L n 2 M0 L jτ x0 jn 1 dτ = (n 1)! x0 M0 Ln 1 = (n 1)! Zx jτ n 1 x0 j M0 Ln 1 jx x0 jn M0 L n 6 dτ = (n 1)! nn! 1 x0 Rx Aquí hemos utilizado el hecho de que la integral I = jτ x0 para x > x0 para x< x0 Rx I = (τ x0 Rx I = (x0 n 1 x0) τ)n 1 dτ = dτ = x0 (x (x0 x)n n Таким образом, неравенства (2.7) доказаны. -25- x0)n и n = jx x0 jn . n x0 jn 1 dτ : hn . 3. Рассмотрим тождество yn = y0 + ним функциональный ряд: y0 + 1 P n P yk (x) yk 1 (x) и связанный с k=1 yk 1 (x) . Частичные суммы это- yk (x) k=1 го ряда равны yn (x), поэтому, доказав его сходимость, получим сходимость 1 последовательности yk (x) k=0 . В силу неравенств (2.7) функциональный ряд мажорируется на отрезке k 1 P k 1 h числовым рядом M0 L . Этот числовой ряд сходится k! k=1 по признаку Даламбера, так как M0 Lk hk+1 k! ak+1 = ak (k + 1)! M0 L k 1 hk = h L ! 0, k+1 k ! 1. Тогда по признаку Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональный 1 P ряд y0 + yk (x) yk 1 (x) сходится абсолютно и равномерно на отрезk=1 ке , следовательно и функциональная последовательность 1 yk (x) k=0 сходится равномерно на отрезке к некоторой функ- ции ϕ(x), а так как yn (x) 2 C , то и ϕ(x) 2 C как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. 4. Рассмотрим определение yn (x): Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ) dτ (2.8) x0 – это верное равенство при всех n 2 N и x 2 . У левой части равенства (2.8) существует предел при n ! 1, так как yn (x) ⇒ ϕ(x) на , поэтому и у правой части (2.8) тоже существует Rx предел (тот же самый). Покажем, что он равен функции y0 + f τ, ϕ(τ) dτ , x0 используя для этого следующий критерий равномерной сходимости функциональной последовательности: X yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 () sup yn (x) y(x) ! 0 при n ! 1 . x2X X Напомним, что обозначение yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 принято использовать для равномерной на множестве X сходимости функциональной последователь 1 ности yk (x) k=0 к функции ϕ(x). -26- Покажем, что y0 + Rx X f τ, yn 1 (τ) dτ ⇒ y0 + x0 здесь X = . Для этого рассмотрим f τ, yn 1 (τ) f τ, ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 Zx h i yn 1 (τ) 6 по условию Липшица 6 sup L ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 6 L h sup yn 1 (τ) ϕ(τ) ! 0 при n ! 1 τ 2X X в силу равномерной при n ! 1 сходимости yn (x) ⇒ ϕ(x). Таким образом, переходя к пределу в (2.8), получим при всех x 2 верное равенство Zx ϕ(x) = y0 + f τ, ϕ(τ) dτ, x0 в котором ϕ(x) 2 C . По доказанной выше лемме 2. 2 ϕ(x) – решение задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Замечание 2. 7. В теореме 2. 3 установлено существование решения на отрезке . По следствию 1 из теоремы 2. 1 это решение единственно в том смысле, что любое другое решение задачи Коши (2.1), (2.2), определенное на совпадает с ним на этом отрезке. Замечание 2. 8. Представим прямоугольник P в виде объединения двух (пересекающихся) прямоугольников P = P [ P + , (рис. 2. 3) где n P = (x, y) n P = (x, y) + x 2 ; x 2 ; -27- jy jy o y0 j 6 β , o y0 j 6 β . Рис. 2. 3. Объединение прямоугольников Обозначим f (x, y . M − = max − f (x, y , M + = max + P P Повторяя,с очевидными изменениями, доказательство теоремы 2. 3 отдель но для P + или P − , получим существование (и единственность) решения на отрезке n o β + + , где h = min α, M + или, соответственно, на , n o β − . Отметим, что при этом, вообще говоря, h+ 6= h− , а h h = min α, M − из теоремы 2. 3 есть минимум из h+ и h− . Замечание 2. 9. Существование решения задачи (2.1), (2.2) теоремой 2. 3 гарантируется лишь на некотором отрезке . В таком случае говорят, что теорема является локальной. Возникает вопрос: не является ли локальный характер теоремы 2. 3 следствием примененного метода ее доказательства? Может быть, используя другой метод доказательства, можно установить существование решения на всем отрезке , т.е. глобально, как это было со свойством единственности решения задачи Коши (2.1), (2.2)? Следующий пример показывает, что локальный характер теоремы 2. 3 связан с «существом» задачи, а не с методом ее доказательства. Пример 2. 1. Рассмотрим задачу Коши 0 y = −y 2 , (2.9) y(0) = 1 n o в прямоугольнике P = (x, y) jxj 6 2, jy − 1j 6 1 . Функция f (x, y) = −y 2 непрерывна в P и fy0 = −2y 2 C P , поэтому все условия тео1 β , α = и ремы 2. 3 выполнены, а M = max f (x, y) = 4. Тогда h = min P P M 4 -28- теорема 2. 3 гарантирует существование решения на отрезке 1 1 . Решим − , 4 4 эту задачу Коши, используя «разделение переменных»: − dy = dx y2 () y(x) = 1 . x+C 1 – решение задачи Коши (2.9). x+1 График решения представлен на рис. (2.4), из которого видно, что решение 1 при x < x = − покидает прямоугольник P , а при x 6 −1 даже не 2 существует. Подставляя x = 0, найдем C = 1 и y(x) = Рис. 2. 4. Локальный характер разрешимости задачи Коши В связи с этим возникает вопрос об условиях, обеспечивающих существование решения на всем отрезке . На приведенном примере мы видим, что решение покидает прямоугольник P , пересекая его «верхнее» основание, поэтому можно попробовать вместо прямоугольника P в теореме 2. 3 взять полосу: o n 2 A 6 x 6 B − 1 < y < +1 , A, B 2 R. Q = (x, y) 2 R Оказывается, что при этом решение существует на всем отрезке A, B , если f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по переменной y в Q. А именно, имеет место следующая важная для приложений теорема. Теорема 2. 4. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y с константой L в полосе Q = (x, y) 2 R2: A 6 x 6 B, y 2 R , -29- где A, B 2 R. Òогда при любых начальных данных x0 2 , y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем . Доказательство. Áудем считать, что x0 2 (A, B). Проведем рассуждения по схеме теоремы 2. 3 отдельно для полосы o n + 2 x 2 y 2 R и Q = (x, y) 2 R n Q = (x, y) 2 R2 o x 2 y 2 R . + Если x0 = A или x0 = B, то один из этапов рассуждений (для Q или, соответственно, для Q) отсутствует. + Возьмем полосу Q и построим последовательные приближения yn+ (x), + как в теореме 2. 3. Поскольку Q не содержит ограничений на размер по y, то пункт 1) доказательства теоремы 2. 3 не проверяем. Далее, как в предыдущей теореме, от последовательности переходим к ряду с частичными суммами yn+ (x) = y0 + n X yk+ (x) yk+ 1 (x) , где x 2 . k=1 Повторяя рассуждения, доказываем оценку вида (2.7) x0 jn x0)n n 1 (B 6 M0 L 6 M0 L (2.10) n! n! при всех x 2 ; здесь M0 = max f (x, y0) при x 2 , откуда yn+ (x) yn+ 1 n 1 jx yn+ (x) как и выше в теореме 2. 3 получим, что ⇒ ϕ+ (x), n ! 1, причем ϕ+ (x) 2 C , ϕ+ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Возьмем полосу Q и построим последовательность yn (x). Действуя ана логично, получим, что 9 ϕ (x) 2 C , ϕ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Определим функцию ϕ(x) как «сшивку» по непрерывности ϕ+ и ϕ , т.е. + ϕ (x), при x 2 , ϕ(x) = ϕ (x), при x 2 . Отметим, что ϕ+ (x0) = ϕ (x0) = y0 и потому ϕ(x) 2 C . Функции ϕ (x) по построению удовлетворяют интегральному уравнению (2.6), т.е. Zx ϕ (x) = y0 + f τ, ϕ (τ) dτ, x0 -30- где x 2 для ϕ+ (x) и x 2 для ϕ (x), соответственно. Следовательно, при любом x 2 функция ϕ(x) удовлетворяет инте 1 гральному уравнению (2.6). Тогда по лемме 2. 2, ϕ(x) 2 C и является решением задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Из доказанной теоремы 2. 4 нетрудно получить следствие для интервала (A, B) (открытой полосы). Ñледствие. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна в открытой полосе Q = (x, y) 2 R2: x 2 (A, B), y 2 R , причем A и B 2 R могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что f (x, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(x) 2 C(A, B), такая, что 8 x 2 (A, B) и 8 y1 , y2 2 R выполняется неравенство f (x, y2) f (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j. Òогда при любых начальных данных x0 2 (A, B), y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем (A, B). Доказательство. Для любой полосы Q1 = (x, y) 2 R2: x 2 , y2R , где A1 >A, B1< B, лежащей строго внутри Q и содержащей (x0 , y0), справедлива теорема 2. 4, так как при доказательстве оценок вида (2.10), необходимых для обоснования равномерной на сходимости последовательности yn (x) , используются постоянные M0 = max f (x, y0) при x 2 и L = max L(x) x 2 . Эти постоянные не убывают при расширении (A, B). Возьмем последовательность расширяющихся отрезков , удовлетворяющих условиям B >Bk+1 > Bk para todo k 2 N; 1) Un< Ak+1 < Ak , 2) x0 2 при всех k 2 N; 3) Ak ! A, Bk ! B при k ! 1. Заметим сразу, что S = (A, B) и, более того, для любого x 2 (A, B) k найдется номер x 2 . N (x) 2 N, такой, что при всех -31- k >N se cumple. Probemos esta afirmación auxiliar para el caso A, B 2 R (es decir, A y B son finitos; si A = 1 o B =+1, entonces de manera similar). Tome x A B x , x 2 arbitrario (A, B) y δ(x) = min , δ(x) > 0. Por 2 2 el número δ de la convergencia Ak ! ¡A y Bk! B obtenemos que 9 N1 (δ) 2 N: 8 k > N1 , A< Ak < A + δ < x, 9 N2 (δ) 2 N: 8 k >N2 ,x< B δ < Bk < B. Тогда для N = max N1 , N2 справедливо доказываемое свойство. Построим последовательность решений задачи Коши (2.1), (2.2) Yk (x), применяя теорему 2. 4 к соответствующему отрезку . Любые два из этих решений совпадают на общей области определения по следствию 1 из теоремы 2.1. Таким образом, два последовательных решения Yk (x) и Yk+1 (x) совпадают на , но Yk+1 (x) определено на более широком отрезке . Построим решение на всем (A, B). Возьмем и построим ϕ(x) – решение задачи (2.1), (2.2) на всем (по теореме 2. 4). Затем продолжим это решение на , . . . , . . . Получим, что решение ϕ(x) определено на всем (A, B). Докажем его единственность. Предположим, что существует решение ψ(x) задачи Коши (2.1), (2.2), также определенное на всем (A, B). Докажем, что ϕ(x) ψ(x) при любом x 2 (A, B). Пусть x – произвольная точка (A, B), найдется номер N (x) 2 N, такой, что x 2 при всех k >NORTE. Aplicando el Corolario 1 de la Sección 2.1 (es decir, el teorema de unicidad), obtenemos que ϕ(t) ψ(t) para todo t 2 y, en particular, para t = x. Dado que x es un punto arbitrario en (A, B), se demuestra la unicidad de la solución y con ella el corolario. Observación 2. 10. En el corolario que acabamos de demostrar, encontramos por primera vez la noción de extender una solución a un conjunto más amplio. En el siguiente párrafo lo estudiaremos con más detalle. Pongamos algunos ejemplos. p Ejemplo 2. 2. Para la ecuación y 0 = ejxj x2 + y 2 averigüe si su solución existe en su conjunto (A, B) = (1, +1). Considere esta ecuación en la “tira” Q = R2 , la función p jxj f (x, y) = e x2 + y 2 ∂f y = ejxj p , fy0 6 ejxj = L(x). ∂y x2 + y 2 Según el enunciado 2.1 de la Sección 2.1, la función f (x, y) satisface la condición de Lipschitz con respecto a y con la “constante” L = L(x), x es fija. Entonces se satisfacen todas las condiciones del corolario y, para cualquier dato inicial (x0, y0) 2 R2, la solución del problema de Cauchy existe y, además, es única en (1, +1). Tenga en cuenta que la ecuación en sí no se puede resolver en cuadraturas, pero las soluciones aproximadas se pueden construir numéricamente. es definida y continua en Q, -32- Ejemplo 2. 3. Para la ecuación y 0 = ex y 2 averigüe si sus soluciones existen definidas en R. Si consideramos esta ecuación nuevamente en la “tira” Q = R2 , donde la función ∂ f f (x, y)= ex y 2 (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j para todo y1 , y2 2 R. De hecho, f (x, y2) f (x, y1) = ex jy2 + y1 j jy2 y1 j, y la expresión jy2 + y1 j no está acotada para y1, y2 2 R. Por lo tanto, el corolario no se aplica. Resolvemos esta ecuación mediante "separación de variables", obtenemos decisión común: " y(x) = 0, y(x) = 1 . ex + C Para mayor precisión, tomamos x0 = 0, y0 2 R. Si y0 = 0, entonces y(x) 0 es una solución del problema de Cauchy en R. 1 – solución del problema de Cauchy Para y0 2 [ 1, 0) ex está definido para todo x 2 R, y para y0 2 (1, 1) [ (0, +1) la solución no es y0 + 1 puede continuar por el punto x = ln Más precisamente, si x > 0, entonces y0 1 la solución y(x) = y0 +1 está definida para x 2 (1, x), y si x< 0 x e y0 y0 < 1 , то решение определено при x 2 (x , +1). В первом случае lim y(x) = +1, а во втором – lim y(x) = 1. Если y0 6= 0, то y(x) = x!x 0 y0 +1 y0 x!x +0 -33- Для наглядности нарисуем интегральные кривые при соответствующих значениях y0 (рис. 2. 5). Рис. 2. 5. Интегральные кривые уравнения y 0 = ex y 2 Таким образом, для задачи Коши 0 y = ex y 2 , y(0) = y0 имеем следующее: 1) если y0 2 [ 1, 0], то решение существует при всех x 2 R; y0 + 1 2) если y0 < 1, то решение существует лишь при x 2 ln ; +1 ; y0 y0 + 1 . 3) если y0 > 0, entonces la solución existe sólo para x 2 1; ln y0 Este ejemplo muestra que la restricción al crecimiento de la función f (x, y) en el corolario del Teorema 2.4 demostrado anteriormente es esencial para extender la solución al conjunto (A, B). De manera similar, se obtienen ejemplos con la función f (x, y) = f1 (x) y 1+ε para cualquier ε > 0; en el ejemplo anterior, ε = 1 se toma sólo por conveniencia de presentación. 2. 3. Continuación de la solución para la EDO de primer orden Definición 2. 5. Considere la ecuación y 0 = f (x, y) y sea y(x) su solución en ha, bi e Y (x) su solución en hA , Bi, donde ha, bi está contenida en hA, Bi e Y (x) = y(x) en ha, bi. Entonces se dice que Y (x) es una extensión de la solución y(x) a hA, Bi, y se dice que y(x) se extiende a hA, Bi. -34- En la Sección 2.2 demostramos un teorema de existencia local para una solución al problema de Cauchy (2.1), (2.2). ¿En qué condiciones se puede ampliar esta solución a un intervalo más amplio? A esta cuestión está dedicada esta sección. Su principal resultado es el siguiente. Teorema 2.5 (sobre la continuación de la solución en un dominio cerrado acotado). Sea una función f (x, y) 2 C G y satisfaga la condición de Lipschitz con respecto a y en R2, y (x0, y0) sea un punto interior de un dominio cerrado acotado G G. Entonces la solución de la ecuación y 0 = f (x, y) extensible hasta ∂G del límite de G, es decir, se puede extender a un segmento tal que los puntos a, y(a) y b, y(b) se encuentren en ∂G. ∂f (x, y) es continua en un dominio cerrado ∂y acotado G convexo en y, entonces la función f (x, y) satisface la condición de Lipschitz en G con respecto a la variable y. Véase el corolario de la Afirmación 2.1 ∂f de la Subsección 2.1. Por lo tanto, este teorema será verdadero si es continuo en ∂y G. Observación 2. 11. Recuerde que si Prueba. Dado que (x0, y0) es un punto interior de G, entonces existe un rectángulo cerrado n o 2 P = (x, y) 2 R x x0 6 α, y y0 6 β , que se encuentra enteramente en G. Entonces, por teorema 2. 3 de n 2.2 existe h > 0 tal que hay una solución (y única) y = ϕ(x) de la ecuación y 0 = f (x, y) en el intervalo. Primero continuemos esta solución hacia la derecha hasta el límite del dominio G, dividiendo la prueba en pasos separados. 1. Considere el conjunto E R: n o E = α > 0 la solución y = ϕ(x) es extensible, existe una solución y = ϕ1 (x) de la ecuación y 0 = f (x, y) que satisface las condiciones de Cauchy ϕ1 ~b = ϕ ~b . Así, ϕ(x) y ϕ1 (x) son soluciones en el intervalo ~b h1 , ~b de una misma ecuación que coinciden en el punto x = ~b, por lo que coinciden en todo el intervalo ~b h1 , ~b y , por lo tanto, ϕ1 (x) es una extensión de la solución ϕ(x) del segmento ~b h1 , ~b a ~b h1 , ~b + h1 . Considere la función ψ(x): ϕ(x), x 2 x0 , ψ(x) = ϕ1 (x), x 2 ~b ~b , h1 , ~b + h1 ~b h1 , x0 + α0 + h1 , que es una solución de la ecuación y 0 = f (x, y) y satisface la condición de Cauchy ψ(x0) = y0 . Entonces el número α0 + h1 2 E, lo cual contradice la definición α0 = sup E. Por lo tanto, el Caso 2 es imposible. De manera similar, la solución ϕ(x) se extiende hacia la izquierda, hasta el intervalo , donde el punto es a, ϕ(a) 2 ∂G. El teorema está completamente demostrado. -37- Capítulo III. El problema de Cauchy para un sistema normal de enésimo orden 3. 1. Conceptos básicos y algunas propiedades auxiliares de funciones vectoriales En este capítulo, consideraremos un sistema normal de enésimo orden de la forma 8 > t, y , . . . , y y _ = f 1 norte 1 1 > ,< y_ 2 = f2 t, y1 , . . . , yn , (3.1) . . . > > : y_ = f t, y , . . . , y , n n 1 n donde las funciones desconocidas (deseadas) son y1 (t), . . . , yn (t), mientras que las funciones fi son conocidas, i = 1, n, el punto encima de la función denota la derivada con respecto a t. Se supone que todos los fi están definidos en el dominio G Rn+1. Es conveniente escribir el sistema (3.1) en forma vectorial: y_ = f (t, y), donde y(t) y1 (t) . . . , yn (t) , f (t, y) f1 (t, y) . . . , fn (t, y); No escribiremos flechas en la designación de vectores por motivos de brevedad. Esta notación también se indicará mediante (3.1). Sea el punto t0, y10, . . . , yn0 está en G. El problema de Cauchy para (3.1) consiste en encontrar una solución ϕ(t) del sistema (3.1) que satisfaga la condición: ϕ1 (t0) = y10 , ϕ2 (t0) = y20 , ..., ϕn (t0) = yn0 , (3.2) o en forma vectorial ϕ(t0) = y 0 . Como se señaló en el Capítulo 1, por solución del sistema (3.1) en el intervalo ha, bi nos referimos a la función vectorial ϕ(t) = ϕ1 (t), . . . , ϕn (t) que satisface las siguientes condiciones: 1) 8 t 2 ha, bi el punto t, ϕ(t) se encuentra en G; 2) 8 t 2 ha, bi 9 d dt ϕ(t); 38 3) 8 t 2 ha, bi ϕ(t) satisface (3.1). Si dicha solución satisface además (3.2), donde t0 2 ha, bi, entonces se denomina solución del problema de Cauchy. Las condiciones (3.2) se denominan condiciones iniciales o condiciones de Cauchy, y los números t0, y10,. . . , yn0 son los datos de Cauchy (datos iniciales). En el caso especial en el que la función vectorial f (t, y) (n+1) de la variable depende de y1, . . . , yn linealmente, es decir, tiene la forma: f (t, y) = A(t) y + g(t), donde A(t) = aij (t) es una matriz n n, el sistema (3.1) se llama lineal. En lo que sigue, necesitaremos propiedades de funciones vectoriales, que presentamos aquí para facilitar la referencia. Las reglas de suma y multiplicación por un número para vectores se conocen del curso de álgebra lineal, estas operaciones básicas se realizan por coordenadas. n Si introducimos el producto escalar x en R, y = x1 y1 + . . . + xn yn , entonces obtenemos un espacio euclidiano, también denotado por Rn , con longitud s q n P del vector jxj = x, x = x2k (o la norma euclidiana). Para un producto escalar k=1 y longitud, dos desigualdades principales son verdaderas: 1) 8 x, y 2 Rn 2) 8 x, y 2 Rn x+y 6 x + y x, y 6 x (desigualdad del triángulo); y (la desigualdad de Cauchy-Bunyakov - Del curso de análisis matemático del segundo semestre, se sabe que la convergencia de una secuencia de puntos (vectores) en el espacio euclidiano (de dimensión finita) es equivalente a la convergencia de secuencias de coordenadas de estos vectores, dicen, es equivalente a la convergencia de coordenadas, lo que se deduce fácilmente de las desigualdades: q p max x 6 x21 + . . . + x2n = jxj 6 n max xk .16k6n 16k6n De manera similar al caso escalar, la derivada y la integral de una función vectorial están definidas, y las propiedades se prueban fácilmente pasando a coordenadas. Presentemos algunas desigualdades para funciones vectoriales, que se utilizarán a continuación. 1. Para cualquier función vectorial y(t) = y1 (t), . . . , yn (t) , integrable (por ejemplo, continua) en , se cumple la siguiente desigualdad: Zb Zb y(t) dt 6 a y(t) dt a -39- (3.3) o en la forma de coordenadas 0 Zb Zb y1 ( t) dt, @ y2 (t) dt, . . . , a 1 Zb a Zb q yn (t) dt A 6 y12 (t) + . . . yn2 (t) dt . una prueba. Obsérvese primero que la desigualdad no excluye el caso b< a, для этого случая в правой части присутствует знак внешнего модуля. По определению, интеграл от вектор-функции – это предел интегральn P ных сумм στ (y) = y(ξk) tk при характеристике («мелкости») разбиения k=1 λ(τ) = max tk стремящейся к нулю. По условию στ ! k=1, N Rb y(t) dt , а по a неравенству треугольника получим στ 6 n X Zb y(ξk) tk ! k=1 при λ(τ) ! 0 y(t) dt, a (здесь мы для определенности считаем a < b). По теореме о переходе к пределу в неравенстве получим доказываемое. Случай b < a сводится к изученному, Rb Ra так как = . a b Аналоги теорем Ролля и Лагранжа отсутствуют для вектор-функций, однако можно получить оценку, напоминающую теорему Лагранжа. 2. Для любой вектор-функции x(t), непрерывно дифференцируемой на , имеет место оценка ¾приращения¿: x(b) x(a) 6 max x 0 (t) b a. (3.4) Доказательство. Неравенство (3.4) сразу получается из (3.3) при y(t) = x 0 (t). При доказательстве теоремы разрешимости для линейных систем нам понадобятся оценки с n n матрицами, которые мы сейчас и рассмотрим. 3. Пусть A(t) = aij (t) n n матрица, обозначим произведение Ax через y. Как оценить y через матрицу A и x ? Оказывается, справедливо неравенство Ax 6 A -40- 2 x, (3.5) где x = p jx1 j2 + . . . + jxn j2 , A 2 = n P ! 12 a2ij , а элементы матрицы i,j=1 A и координаты вектора x могут быть комплексными. Доказательство. Для любого i = 1, n, ai – i-ésima línea matriz A, entonces: 2 2 2 yi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn = ai , x 6 h i 2 6 por la desigualdad de Cauchy-Áunyakovsky 6 jai j2 x = ! ! n n X X 2 2 aik xl = , k=1 1 de donde se sigue (3.5). Definición 3. 1. Digamos que la función vectorial f (t, y) satisface la condición de Lipschitz con respecto a la variable vectorial y en el conjunto G de variables (t, y) si 9 L > 0 tal que para cualquier t , y , 2 t, y 2 G se satisface la desigualdad f t, y 2 f t, y 1 6 L y 2 y 1. Como en el caso de una función de dos variables (ver enunciado 2.1), una condición suficiente para la propiedad de Lipschitz en un dominio G “convexo en y” es que las derivadas parciales estén acotadas. Demos una definición precisa. Definición 3. 2. Un dominio G de variables (t, y) se llama convexo 1 2 en y si para dos puntos cualesquiera t, y y t, y que se encuentran en G, el segmento que conecta estos dos puntos le pertenece enteramente, es decir mi. establezca n o t, y y = y 1 + τ y 2 y 1 , donde τ 2 . Enunciado 3. 1. Si el dominio G de las variables (t, y) es convexo en y, y las derivadas parciales ∂fi son continuas y acotadas por una constante l en G para ∂yj de todo i, j = 1, n, entonces la función vectorial f t, y satisface en G la condición de Lipschitz en y con la constante L = n l. 1 2 Prueba. Considere los puntos arbitrarios t, y y t, y de G y 1 2 el segmento que los conecta, es decir establezca t, y, donde y = y + τ y y1, t es fijo y τ 2. -41- Introduzcamos una función vectorial de un argumento escalar g(τ) = f t, y(τ) , 2 1 entonces g(1) g(0) = ft, y f t, y , y por otro lado – Z1 g(1) g (0) = d g(τ) dτ = dτ Z1 A(τ) d y(τ) dτ = dτ 0 0 h = debido a y = y 1 + τ y 2 y i 1 Z1 = A(τ) y 2 y 1 dτ , 0 donde A(τ) es una matriz con entradas ∂fi y ∂yj y2 y 1 es la columna correspondiente. Aquí hemos utilizado la regla de diferenciación de una función compleja, es decir, para todo i = 1, n, t es fijo, tenemos: gi0 (τ) = ∂fi ∂y1 ∂fi ∂y2 ∂fi ∂yn d fi t , y(τ) = + + ... + = dτ ∂y1 ∂τ ∂y2 ∂τ ∂yn ∂τ ∂fi ∂fi , ..., y2 y1 . = ∂y1 ∂yn Escribiendo esto en forma matricial, obtenemos: 0 2 1 g (τ) = A(τ) y y con n n matriz A(τ) = aij (τ) ∂fi ∂yj . Usando la estimación integral (3.3) y la desigualdad (3.5), después de la sustitución obtenemos: f t, y 2 f t, y 1 Z1 = g 0 (τ) dτ = 0 Z1 6 A(τ) y 2 Z1 y1 A(τ) y 2 0 Z1 dτ 6 0 A(τ) A(τ) dτ y2 y1 6 y2 y1 6 n l 0 6 max A(τ) desde 2 y 1 dτ 6 2 2 n P ∂fi = i,j=1 ∂yj 2 y2 y1 , 2 6 n2 l2 para 8 τ 2 . La afirmación ha sido probada. -42- 3. 2. Unicidad de la solución del problema de Cauchy para un sistema normal Teorema 3. 1 (sobre la estimación de la diferencia de dos soluciones). Sea G algún dominio Rn+1, y la función vectorial f (x, y) sea continua en G y satisfaga la condición de Lipschitz con respecto a la variable vectorial y en el conjunto G con L constante. Si y 1, y 2 son dos soluciones del sistema normal (3.1) y_ = f (x, y) en el segmento , entonces la estimación y 2 (t) y 1 (t) 6 y 2 (t0) y 1 (t0) exp L(t t0 ) es válido para todo t 2 . La demostración repite textualmente la demostración del Teorema 2.1 de la Sec. 2.1, teniendo en cuenta las renotaciones obvias. 2 A partir de aquí es fácil obtener el teorema de unicidad y estabilidad de la solución con respecto a los datos iniciales. Corolario 3.1. Sea la función vectorial f (t, y) continua en el dominio G y satisfaga la condición de Lipschitz en y en G, y sean las funciones y 1 (t) e y 2 (t) dos soluciones del sistema normal (3.1 ) en el mismo intervalo , y t0 2 . Si y 1 (t0) = y 2 (t0), entonces y 1 (t) y 2 (t) en . Corolario 3.2. (de dependencia continua de los datos iniciales). Sea la función vectorial f (t, y) continua en el dominio G y satisfaga la condición de Lipschitz en y con constante L > 0 en G, y sean las funciones vectoriales y 1 (t) e y 2 (t) soluciones de el sistema normal (3.1) definido en . Entonces, para 8 t 2, se cumple la desigualdad y 1 (t), donde δ = y 1 (t0) y 2 (t0) y l = t1 y 2 (t) 6 δ eL l , t0 . La prueba de los corolarios repite textualmente las pruebas de los Corolarios 2.1 y 2.2, teniendo en cuenta renotaciones obvias. 2 El estudio de la solubilidad del problema de Cauchy (3.1), (3.2), como en el caso unidimensional, se reduce a la solubilidad de una ecuación integral (vectorial). Lema 3. 1. Sea f (t, y) 2 C G; Rn1. Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones: 1) cualquier solución ϕ(t) de la ecuación (3.1) en el intervalo ha, bi que satisface (3.2) t0 2 ha, bi es una solución continua en ha, bi 1 a través de C G; H es habitual para denotar el conjunto de todas las funciones continuas en el dominio G con valores en el espacio H. Por ejemplo, f (t, y) 2 C G; Rn componentes) definido en el conjunto G. es el conjunto de todas las funciones vectoriales continuas (con n -43-ecuación integral y(t) = y 0 + Zt f τ, y(τ) dτ ; (3.6) t0 2) si la función vectorial ϕ(t) 2 C ha, bi es una solución continua de la ecuación integral (3.6) en ha, bi, donde t0 2 ha, bi, entonces ϕ(t) tiene una derivada continua en ha, bi y es una solución de (3.1), (3.2). Prueba. 1. Sea 8 τ 2 ha, bi la igualdad dϕ(τ) = f τ, ϕ(τ) . Luego, integrando de t0 a t, teniendo en cuenta (3.2), obtenemos dτ Rt 0 que ϕ(t) = y + f τ, ϕ(τ) dτ, es decir, ϕ(t) satisface la ecuación (3.6). t0 2. Sea una función vectorial continua ϕ(t) que satisfaga la ecuación (3.6) en ha, bi, entonces f t, ϕ(t) es continua en ha, bi según el teorema de continuidad de la función compuesta y, por lo tanto, el lado derecho de ( 3. 6) (y por tanto el lado izquierdo) tiene una derivada continua con respecto a t en ha, bi. Para t = t0, de (3.6) ϕ(t0) = y 0 , es decir, ϕ(t) es la solución del problema de Cauchy (3.1), (3.2). Tenga en cuenta que, como es habitual, la derivada al final del segmento (si pertenece a él) se entiende como la derivada unilateral de la función. El lema está probado. Observación 3. 1. Usando la analogía con el caso unidimensional (ver Capítulo 2) y las afirmaciones probadas anteriormente, podemos probar el teorema sobre la existencia y extensión de una solución al problema de Cauchy construyendo una secuencia iterativa que converge al solución de la ecuación integral (3.6) en algún intervalo t0 h, t0 + h . Aquí presentamos otra prueba del teorema de existencia (y unicidad) para una solución basada en el principio de mapeo de contracción. Hacemos esto para familiarizar al lector con métodos teóricos más modernos, que se utilizarán en el futuro, en los cursos de ecuaciones integrales y ecuaciones de física matemática. Para llevar a cabo nuestro plan, necesitamos una serie de nuevos conceptos y afirmaciones auxiliares, que consideraremos ahora. 3. 3. El concepto de espacio métrico. El principio de mapeo de contracción El concepto de límite más importante en matemáticas se basa en el concepto de "proximidad" de puntos, es decir para poder encontrar la distancia entre ellos. En el eje numérico, la distancia es el módulo de la diferencia entre dos números, en el plano es la conocida fórmula de distancia euclidiana, y así sucesivamente. Muchos hechos de análisis no utilizan las propiedades algebraicas de los elementos, sino que se basan únicamente en el concepto de distancia entre ellos. El desarrollo de este enfoque, es decir la separación del "ser" relacionada con el concepto de límite conduce al concepto de espacio métrico. -44- Definición 3. 3. Sea X un conjunto de naturaleza arbitraria, y ρ(x, y) una función real de dos variables x, y 2 X, que satisface tres axiomas: 1) ρ(x, y) > 0 8 x, y 2 X, y ρ(x, y) = 0 sólo para x = y; 2) ρ(x, y) = ρ(y, x) (axioma de simetría); 3) ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z) (desigualdad triangular). En este caso, el conjunto X con una función dada ρ(x, y) se llama espacio métrico (ÌS), y la función ρ(x, y) : X X 7! R que satisface 1) – 3), – métrica o distancia. Pongamos algunos ejemplos de espacios métricos. Ejemplo 3. 1. Sea X = R con distancia ρ(x, y) = x y , obtenemos MT R. n o n xi 2 R, i = 1, n es el Ejemplo 3. 2. Sea X = R = x1 , . . . , xn es el conjunto de colecciones ordenadas de n números reales s n 2 P x = x1 , . . . , xn con distancia ρ(x, y) = xk yk , obtenemos n1 k=1 espacio euclidiano n dimensional R . n Ejemplo 3. 3. Sea X = C a, b ; R es el conjunto de todas las funciones continuas en a, b con valores en Rn, es decir funciones vectoriales continuas, con distancia ρ(f, g) = max f (t) g(t) , donde f = f (t) = f1 (t), . . . , fn (t) , t2 s n 2 P g = g(t) g1 (t), . . . , gn (t) , f g = fk (t) gk (t) . k=1 Para los ejemplos 3. 1 –3. Los 3 axiomas de MP se verifican directamente, esto lo dejamos como ejercicio para el lector concienzudo. Como es habitual, si cada n natural está asociado con un elemento xn 2 X, entonces decimos que se da una secuencia de puntos xn MP X. Definición 3. 4. Se dice que una secuencia de puntos xn MP X converge a un punto x 2 X si lim ρ xn , x = 0. n!1 Definición 3. 5. Una secuencia xn se llama fundamental si para cualquier ε > 0 existe un número natural N (ε) tal que para todo n > N y m > N la desigualdad ρ xn , xm< ε. Определение 3. 6. МП X называется полным (ПÌП), если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства. -45- Полнота пространств из примеров 3. 1 и 3. 2 доказана в курсе математиче ского анализа. Докажем полноту пространства X = C a, b ; Rn из примера 3. 3. Пусть последовательность вектор-функций fn (t) фундаментальна в X. Это означает, что 8 ε >0 9 N (ε) 2 N: 8m, n > N =) máx fm (t) fn (t)< ε. Поэтому выполнены условия критерия Коши равномерной на a, b сходи мости функциональной последовательности, т.е. fn (t) ⇒ f (t) при n ! 1. Как известно, предел f (t) в этом случае – непрерывная функция. Докажем, что f (t) – это предел fn (t) в метрике пространства C a, b ; Rn . Из равномерной сходимости получим, что для любого ε >0 existe un número N (ε) tal que para todo n > N y para todo t 2 a, b la desigualdad fn (t) f (t)< ε, а так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то и max fn (t) f (t) < ε. Это и есть сходимость в C a, b ; Rn , следовательно, полнота установлена. В заключение приведем пример МП, не являющегося полным. Пример 3. 4. Пусть X = Q – множество рациональных чисел, а расстояние ρ(x, y) = x y – модуль разностиpдвух чисел. Если взять последовательность десятичных приближений числа 2 , т.е. x1 = 1; x2 = 1, 4; x3 = 1, 41; . . ., p то, как известно, lim xn = 2 62 Q. При этом данная последовательность n!1 сходится в R, значит она фундаментальна в R, а следовательно, она фундаментальна и в Q. Итак, последовательность фундаментальна в Q, но предела, лежащего в Q, не имеет. Пространство не является полным. Определение 3. 7. Пусть X – метрическое пространство. Отображение A: X 7! X называется сжимающим отображением или сжатием, если 9 α < 1 такое, что для любых двух точек x, y 2 X выполняется неравенство: ρ Ax, Ay 6 α ρ(x, y). (3.7) Определение 3. 8. Точка x 2 X называется неподвижной точкой отображения A: X 7! X, если Ax = x . Замечание 3. 2. Всякое сжимающее отображение является непрерывным, т.е. любую сходящуюся последовательность xn ! x, n ! 1, переводит в сходящуюся последовательность Axn ! Ax, n ! 1, а предел последовательности – в предел ее образа. Действительно, если A – сжимающий оператор, то положив в (3.7) X X y = xn ! x, n ! 1, получим, что Axn ! Ax, n ! 1. Теорема 3. 2 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство этого фундаментального факта см. , . -46- Приведем обобщение теоремы 3. 2, часто встречающееся в приложениях. Теорема 3. 3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X таково, что оператор B = Am с некоторым m 2 N является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство. При m = 1 получаем теорему 3. 2. Пусть m > 1. Considere B = Am, B: X 7! X, B - compresión. Según el teorema 3.2, el operador B tiene un punto fijo único x. Como A y B conmutan AB = BA y como Bx = x , tenemos B Ax = A Bx = Ax , es decir y = Ax también es un punto fijo de B, y dado que dicho punto es único según el teorema 3.2, entonces y = x o Ax = x. Por tanto, x es un punto fijo del operador A. Demostremos la unicidad. Supongamos que x~ 2 X y A~ x = x~, entonces m m 1 B x~ = A x~ = A x~ = . . . = x~, es decir x~ también es un punto fijo para B, de donde x~ = x . El teorema ha sido demostrado. Un caso especial de espacio métrico es un espacio lineal normado. Demos una definición precisa. Definición 3. 9. Sea X un espacio lineal (real o complejo) sobre el cual se define una función numérica x, que actúa de X a R y satisface los axiomas: 1) 8 x 2 X, x > 0, y x = 0 sólo para x = θ; 2) 8 x 2 X y para 8 λ 2 R (o C) 3) 8 x, y 2 X es nick). x+y 6 x + y λx = jλj x ; (la desigualdad del triángulo) Entonces X se llama espacio normado, x: X 7! R que satisface 1) – 3), se llama norma. y función En un espacio normado, puede ingresar la distancia entre elementos mediante la fórmula ρ x, y = x y . El cumplimiento de los axiomas MP se verifica fácilmente. Si el espacio métrico resultante es completo, entonces el espacio normado correspondiente se llama espacio Banax. A menudo es posible introducir una norma de diferentes maneras en el mismo espacio lineal. Como resultado, surge un concepto. Definición 3. 10. Sea X un espacio lineal y sean y dos 1 2 normas introducidas en él. Normas y se llaman normas equivalentes 1 2 si 9 C1 > 0 y C2 > 0: 8 x 2 X C1 x 1 6 x 2 6 C2 x 1 . Observación 3. 3. Si y son dos normas equivalentes en X, y 1 2 el espacio X está completo en una de ellas, entonces también lo está en la otra norma. Esto se desprende fácilmente del hecho de que la secuencia xn X, que es fundamental con respecto a, también lo es con respecto a, y converge a 1 2, el mismo elemento x 2 X. se utiliza cuando se toma como una bola cerrada de este espacio un espacio n completo o Br (a) = x 2 X ρ x, a 6 r , donde r > 0 y a 2 X son fijos. Tenga en cuenta que una bola cerrada en un PMP es en sí misma un PMP con la misma distancia. Dejamos la prueba de este hecho al lector como ejercicio. Observación 3. 5. Arriba, la integridad del espacio se estableció a partir del ejemplo n medida 3. 3. Tenga en cuenta que en el espacio lineal X = C 0, T , R, se puede introducir la norma kxk = max x(t) por lo que la normalización resultante será Banach. En el mismo conjunto de funciones vectoriales continuas en el espacio 0, T, podemos introducir una norma equivalente mediante la fórmula kxkα = max e αt x(t) para cualquier α 2 R. Para α > 0, la equivalencia se deriva de las desigualdades e αT x(t) 6 e αt x(t) 6 x(t) para todo t 2 0, T , de donde e αT kxk 6 kxkα 6 kxk. Usamos esta propiedad de las normas equivalentes para demostrar el teorema de la solubilidad única del problema de Cauchy para sistemas lineales (normales). 3. 4. Teoremas de existencia y unicidad para la solución del problema de Cauchy para sistemas normales Considere el problema de Cauchy (3.1) – (3.2), donde los datos iniciales t0 , y 0 2 G, G Rn+1 son el dominio del función vectorial f (t, y). En esta sección, asumiremos que G tiene – algunos n la forma G = a, b o , donde el dominio es Rn y la bola es BR (y 0) = El teorema se cumple. y 2 Rn y y0 6 R se encuentra completamente en. Teorema 3. 4. Sea f (t, y) 2 C G una función vectorial; Rn , y 9 M > 0 y L > 0 tales que se cumplan las siguientes condiciones: 1) 8 (t, y) 2 G = a, b f (t, y) 6 M ; 2) 8 (t, y 1), (t, y 2) 2 G ft, y 2 ft, y 1 6 L y 2 y 1 . Fije un número δ 2 (0, 1) y sea t0 2 (a, b). Entonces R 1 δ 9 h = mín ; ; t0a; b t0 > 0 M L tal que también existe una solución única del problema de Cauchy (3.1), (3.2) y(t) en el intervalo Jh = t0 h, t0 + h , y y(t) y 0 6 R para todos t 2 Jh. -48- Prueba. Según el Lema 3.1, el problema de Cauchy (3.1), (3.2) es equivalente a la ecuación integral (3.6) en el intervalo y, por tanto, también en Jh, donde h se elige anteriormente. Considere el espacio de Banach X = C (Jh ; Rn), el conjunto de funciones vectoriales x(t) continuas en el segmento Jh con la norma kxk = max x(t), e introduzca un conjunto cerrado en X: t2Jh SR y 0 n 8 t 2 Jh = y(t) 2 X y(t) n = y(t) 2 X y y(t) o 0 6R = o 0 y 6R es una bola cerrada en X. El operador A definido por la regla : Ay = y 0 + Zt f τ , y(τ) dτ, t 2 Jh , t0 toma SR y 0 en sí mismo, ya que y 0 = max Ay Zt t2Jh f τ, y(τ) dτ 6 h ​​​​M 6 R t0 por la condición 1 del teorema y la definición de h. Demostremos que A es un operador de contracción en SR. Tomemos un 0 1 2 arbitrario y estimemos el valor: Zt 6 max t2Jh f τ, y 2 (τ) f τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 6h L y2 y1 = q y2 y1 , donde q = h L 6 1 δ< 1 по условию теоремы. Отметим (см. замечание 3.4), что замкнутый шар SR y 0 в банаховом пространстве X является ПМП. Поэтому применим принцип сжимающих отображений (теорема 3. 2), по которому существует единственное решение y(t) 2 X интегрального уравнения (3.6) на отрезке Jh = t0 h, t0 + h . Теорема доказана. Замечание 3. 6. Если t0 = a или t0 = b, то утверждение теоремы сохраняется с небольшими изменениями в формуле для h и отрезка Jh . Приведем эти изменения для случая t0 = a. В этом случае число h > 0 se elige según R mediante la fórmula h = min M; 1L δ; b a , y en todas partes debemos tomar -49- Jh = t0 , t0 + h = a, a + h como el segmento Jh. Todas las demás condiciones del teorema no cambian, su demostración, teniendo en cuenta el cambio de nombre, se conserva R. Para el caso t0 = b, de manera similar, h = min M ; 1L δ; b a , y Jh = b h, b . n Observación 3. 7. En el Teorema 3. 4, la condición f (t, y) 2 C G; R, donde G = a, b D, puede debilitarse reemplazándolo con el requisito de que f (t, y) sea continua con respecto a la variable t para cada y 2, manteniendo las condiciones 1 y 2. La prueba sigue siendo la mismo. Observación 3. 8. Basta con que las condiciones 1 y 2 del teorema 3.4 sean 0 para todo t, y 2 a, b BR y , y las constantes M y L dependan, en términos generales, de 0 de y y R. restricciones sobre la función vectorial f t, y , de manera similar al Teorema 2.4, el teorema de existencia y unicidad para la solución del problema de Cauchy (3.1), (3.2) en todo el intervalo a, b es válido. n Teorema 3. 5. Sea una función vectorial f x, y 2 C G, R , donde G = a, b Rn , y existe L > 0 tal que la condición 8 t, y 1 , t, y 2 2 G ft , y 2 pies, y 1 6 L y 2 y 1 . Entonces, para cualquier t0 2 y y 0 2 Rn, existe en a y b una solución única del problema de Cauchy (3.1), (3.2). Prueba. Tomemos t0 2 e y 0 2 Rn arbitrarios y arreglémoslos. Representamos el conjunto G = a, b Rn de la siguiente manera: G = G [ G+ , donde Rn , y G+ = t0 , b Rn , suponiendo que t0 2 a, b , en caso contrario un G = a, t0 de las etapas de la la prueba estará ausente. Razonemos por la tira G+. En el intervalo t0, b, el problema de Cauchy (3.1), (3.2) es equivalente a la ecuación (3.6). Introducimos un operador para la integral n A: X 7! X, donde X = C t0 , b ; R , según la fórmula Ay = y 0 + Zt f τ, y(τ) dτ. t0 Entonces la ecuación integral (3.6) se puede escribir como una ecuación del operador Ay = y. (3.8) Si demostramos que la ecuación del operador (3.8) tiene solución en el PMP X, entonces obtenemos la solubilidad del problema de Cauchy en t0, b o en a, t0 para G. Si esta solución es única, entonces, en virtud de la equivalencia, la solución del problema de Cauchy también será única. Presentamos dos pruebas de la solubilidad única de la ecuación (3.8). Prueba 1. Considere funciones vectoriales arbitrarias 1 2 n y , y 2 X = C t0 , b ; R , entonces las estimaciones son válidas para cualquier -50- t 2 t0 , b Ay 2: Ay 1 Zt h f τ, y 2 (τ) = 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 Zt y 2 (τ) 6L y 1 (τ) dτ 6 L t t0 max y 2 (τ) y 1 (τ) 6 τ 2 t0 6L t t0 y2 y1 . Recuerde que la norma en X se introduce de la siguiente manera: kxk = max x(τ) . De la desigualdad obtenida, tendremos ) dτ 6 L2 t0 Zt y2 y1 6 t0 6 L2 t t0 2! 2y2y1. Continuando con este proceso, podemos demostrar por inducción que 8 k 2 N Ak y 2 Ak y 1 6 L t t0 k! k y2 y1 . Por lo tanto, finalmente obtenemos la estimación Ak y 2 Ak y 1 = max Ak y 2 L b t0 Ak y 1 6 L b t0 k! k y2 y1 . k Dado que α(k) = ! 0 por k! 1, entonces existe k0 tal que k! que α(k0)< 1. Применим теорему 3. 3 с m = k0 , получим, что A имеет в X неподвижную точку, причем единственную. Доказательство 2. В банаховом пространстве X = C t0 , b ; Rn введем семейство эквивалентных норм, при α >0 (ver Observación 3.5) por la fórmula: x α = max e αt x(t) . -51- Demostremos que es posible elegir α de tal manera que el operador A en el espacio X con la norma para α > L sea contractivo. En efecto, α Ay 2 Ay 1 α Zt h f τ, y 2 (τ) αt = max e 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 6 max e αt Zt y 2 (τ) L y 1 (τ) dτ = t0 = L max e Zt αt e ατ y 2 (τ) eατ dτ 6 y 1 (τ) t0 6 L max e αt Zt eατ dτ max e ατ y 2 (τ) y 1 (τ) = y2 α t0 = L max e αt Dado que α > L, entonces q = L α 1 1 αt e α e e αt0< 1 и оператор A – сжимающий (например, с α = L). Таким образом, доказано, что существует и притом единственная вектор + функция ϕ (t) – решение Коши (3.1), (3.2) на t0 , b . задачи Rn задачу Коши сведем к предыдущей при Для полосы G = a, t0 помощи линейной замены τ = 2t0 t. В самом деле, для вектор-функция y(t) = y 2t0 τ = y~(t), задача Коши (3.1), (3.2) запишется в виде: y~(τ) = f (2t0 τ, y~(τ)) f~ (τ, y~(τ)) , y~(t0) = y 0 на отрезке τ 2 t0 , 2t0 a . Поэтому можно применить предыдущие рассуждения, взяв b = 2t0 a. Итак, существует и притом единственное решение задачи Коши y~(τ) на всем отрезке τ 2 t0 , 2t0 a и,следовательно, ϕ (t) = y~ 2t0 t – решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, t0 . Возьмем «сшивку» вектор-функций ϕ (t) и ϕ+ (t), т.е. вектор-функцию ϕ (t), при t 2 a, t0 ; ϕ(t) = ϕ+ (t), при t 2 t0 , b . d dτ Как при доказательстве теоремы 2.4, устанавливаем, что ϕ(t) – это решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, b . Единственность его следует из следствия 3.1. Теорема доказана. -52- Замечание 3.9. Утверждение 3. 1 дает достаточное условие того, что векторфункция f t, y в выпуклой по y области G удовлетворяет условию Лип∂fi шица. А именно, для этого достаточно, чтобы все частные производные ∂yj были непрерывны и ограничены некоторой константой в G. Аналогично следствию из теоремы 2.4 получаем такое утверждение для нормальных систем. Ñледствие 3.3. Пусть вектор-функция f (t, y) определена, непрерывна в открытой полосе o n n Q = (t, y) t 2 (A, B), y 2 R , причем A и B могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что вектор-функция f (t, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(t) 2 C(A, B) такая, что 8 t 2 (A, B) и 8 y 1 , y 2 2 Rn выполняется неравенство f t, y 2 f t, y 1 6 L(t) y 2 y 1 . Òогда при любых начальных данных t0 2 (A, B), y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.1), (3.2) на всем интервале (A, B). Доказательство проводится повторением соответствующих рассуждений из п. 2.2, оставляем его добросовестному читателю. В качестве других следствий из доказанной теоремы 3. 5 получим теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для линейной системы. Речь идет о задаче нахождения вектор-функции y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) из условий: d y(t) = A(t)y(t) + f 0 (t), t 2 a, b , (3.9) dt y(t0) = y 0 , (3.10) где A(t) = aij (t) – n n матрица, f 0 (t) – вектор-функция переменной t, t0 2 a, b , y 0 2 Rn – заданы. n 0 Теорема 3. 6. Пусть a (t) 2 C a, b , f (t) 2 C a, b ; R , ij t0 2 a, b , y 0 2 Rn заданы. Òогда существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всем отрезке a, b . Доказательство. Проверим, что для функции f t, y = A(t)y + f 0 (t) выполнены теоремы 3. 5. Во-первых, f t, y 2 C G; Rn , где условия G = a, b Rn , как сумма двух непрерывных функций. Во-вторых, (см. неравенство (3.5)): Ay 2 Ay 1 = A(t) y 2 y 1 6 A 2 y 2 y 1 6 L y 2 y 1 , -53- поскольку A n P 2 ! 21 aij (t) 2 – непрерывная на a, b функция. Тогда i,j=1 по теореме 3. 5 получим доказываемое утверждение. Теорема 3. 7. Пусть aij (t) 2 C (R), f 0 (t) 2 C (R; Rn) заданы. Òогда при любых начальных данных t0 2 R, y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всей числовой прямой. Доказательство. Проверим, что выполнены все условия следствия из теоре мы 3. 5 с A = 1, B = +1. Вектор-функция f t, y = A(t)y + f 0 (t) непрерывна в полосе Q = R Rn как функция (n + 1) переменной. Кроме того, L(t) y 2 y 1 , f t, y 2 f t, y 1 6 A(t) 2 y 2 y 1 где L(t) – непрерывная по условию теоремы на A, B = 1, +1 функция. Таким образом, все условия следствия выполнены, и теорема доказана. -54- Глава IV. Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах В ряде случаев дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах, т.е. для его решения может быть получена явная формула. В таких случаях методика решения, как правило, следующая. 1. Предполагая, что решение существует, находят формулу, по которой решение выражается. 2. Существование решения затем доказывается непосредственной проверкой, т.е. подстановкой найденной формулы в исходное уравнение. 3. Используя дополнительные данные, (например, задавая начальные данные Коши) выделяют конкретное решение. 4. 1. Уравнение с разделяющимися переменными В данном параграфе применим уже использовавшуюся выше методику для решения уравнений с разделяющимися переменными, т.е. уравнений вида y 0 (x) = f1 (x) f2 (y), Áудем предполагать, что f1 (x) 2 C (ha, bi) , x 2 ha, bi, f2 (y) 2 C (hc, di) , y 2 hc, di. (4.1) f2 (y) 6= 0 на hc, di а следовательно, в силу непрерывности функции f2 (y), она сохраняет знак на hc, di . Итак, предположим, что в окрестности U(x0) точки x0 2 ha, bi существует решение y = ϕ(x) уравнения (4.1). Тогда имеем тождество dy = f1 (x) f2 (y), dx y = ϕ(x), 55 x 2 U(x0). Но тогда равны дифференциалы dy = f1 (x) dx f2 (y) мы учли, что f2 (y) 6= 0 . Из равенства дифференциалов вытекает равенство первообразных с точностью до постоянного слагаемого: Z Z dy = f1 (x) dx + C. (4.2) f2 (y) После введения обозначений Z F2 (y) = Z dy , f2 (y) F1 (x) = f1 (x) dx, получаем равенство F2 (y) = F1 (x) + C. (4.3) Заметим, что F20 (y) = 1/f2 (y) 6= 0, поэтому к соотношению (4.3) можно применить теорему об обратной функции, в силу которой равенство (4.3) можно разрешить относительно y и получить формулу y(x) = F2 1 F1 (x) + C , (4.4) справедливую в окрестности точки x0 . Покажем, что равенство (4.4) дает решение уравнения (4.1) в окрестности точки x0 . Действительно, используя теорему о дифференцировании обратной функции и учитывая соотношение F10 (x) = f1 (x), получим y 0 (x) = dF2 1 (z) dz z=F1 (x)+C F10 (x) = 1 F20 (y) y=y(x) F10 (x) = f2 y(x) f1 (x), откуда следует, что функция y(x) из (4.4) является решением уравнения (4.1). Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения (4.1) с начальным условием y(x0) = y0 . (4.5) Формулу (4.2) можно записать в виде Zy dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx + C. x0 y0 Подставляя сюда начальное условие (4.5), находим, что C = 0, т.е. решение задачи Коши определяется из соотношения Zy y0 dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx. x0 -56- (4.6) Очевидно, оно определяется однозначно. Итак, общее решение уравнения (4.1) задается формулой (4.4), а решение задачи Коши (4.4), (4.5) находится из соотношения (4.6). Замечание 4. 1. Если f2 (y) = 0 при некоторых y = yj , (j = 1, 2, . . . , s), то, очевидно, решениями уравнения (4.1) являются также функции y(x) yj , j = 1, 2, . . . , s, что доказывается непосредственной подстановкой этих функций в уравнение (4.1). Замечание 4. 2. Для уравнения (4.1) общее решение определяем из соотношения F2 (y) F1 (x) = C. (4.7) Таким образом, левая часть соотношения (4.7) постоянна на каждом решении уравнения (4.1). Соотношения типа (4.7) можно записать и при решении других ОДУ. Такие соотношения принято называть интегралами (общими интегралами) соответствующего ОДУ. Дадим точное определение. Определение 4. 1. Рассмотрим уравнение y 0 (x) = f (x, y). (4.8) Соотношение (x, y) = C, (4.9) где (x, y) – функция класса C 1 , называется общим интегралом уравнения (4.8), если это соотношение не выполняется тождественно, но выполняется на каждом решении уравнения (4.8). При каждом конкретном значении C 2 R мы получаем частный интеграл. Общее решение уравнения (4.8) получается из общего интеграла (4.9) с использованием теоремы о неявной функции. Пример 4. 1. Рассмотрим уравнение x (4.10) y 0 (x) = y и начальное условие y(2) = 4. (4.11) Применяя для решения уравнения (4.10) описанный выше метод разделения переменныõ, получаем y dy = x dx, откуда находим общий интеграл для уравнения (4.10) y 2 x2 = C. Общее решение уравнения (4.10) запишется по формуле p y= C + x2 , а решение задачи Коши (4.10), (4.11) – по формуле p y = 12 + x2 . -57- 4. 2. Линейные ОДУ первого порядка Линейным ОДУ первого порядка называется уравнение y 0 (x) + p(x)y(x) = q(x), Если q(x) 6 Если q(x) x 2 ha, bi. (4.12) 0, то уравнение называется неоднородным. 0, то уравнение называется однородным: y 0 (x) + p(x)y(x) = 0. (4.120) Теорема 4. 1. 1) Если y1 (x), y2 (x) решения однородного уравнения (4.120), α, β произвольные числа, то функция y (x) αy1 (x) + βy2 (x) также является решением уравнения (4.120). 2) Для общего решения неоднородного уравнения (4.12) имеет место формула yон = yоо + yчн; (4.13) здесь yон общее решение неоднородного уравнения (4.12), yчн частное решение неоднородного уравнения (4.12), yоо общее решение однородного уравнения (4.120). Доказательство. Первое утверждение теоремы доказывается непосредственной проверкой: имеем y 0 αy10 + βy20 = αp(x)y1 βp(x)y2 = p(x) αy1 + βy2 = p(x)y . Докажем второе утверждение. Пусть y0 – произвольное решение уравнения (4.120), тогда y00 = p(x)y0 . C другой стороны, 0 yчн = p(x)yчн + q(x). Следовательно, 0 y0 + yчн = p(x) y0 + yчн + q(x), а значит y y0 + yчн является решением уравнения (4.12). Таким образом, формула (4.13) дает решение неоднородного уравнения (4.12). Покажем, что по этой формуле могут быть получены все решения уравнения (4.12). Действительно, пусть y^(x) – решение уравнения (4.12). Положим y~(x) = y^(x) yчн. Имеем y~ 0 (x) = y^ 0 (x) 0 yчн (x) = p(x)^ y (x) + q(x) + p(x)yчн (x) = p(x) y^(x) q(x) = yчн (x) = p(x)~ y (x). Таким образом, y~(x) – решение однородного уравнения (4.120), и мы имеем y^(x) = y~(x) + yчн, что соответствует формуле (4.13). Теорема доказана. -58- Ниже будем рассматривать задачи Коши для уравнений (4.12) и (4.120) с начальным условием y(x0) = y0 , x0 2 ha, bi. (4.14) Относительно функций p(x) и q(x) из (4.12) будем предполагать, что p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 3. Положим F (x, y) = p(x)y + q(x). Тогда в силу наложенных выше условий на p(x) и q(x) имеем F (x, y), ∂F (x, y) 2 C G , ∂y G = ha, bi R1 , а следовательно, для задачи Коши (4.12), (4.14) справедливы теоремы существования и единственности решения, доказанные в главе 2. В доказанных ниже теоремах 4. 2, 4. 3 будут получены явные формулы для решений уравнений (4.120) и (4.12) и будет показано, что эти решения существуют на всем промежутке ha, bi. Рассмотрим сначала однородное уравнение (4.120). Теорема 4. 2. утверждения: Пусть p(x) 2 C (ha, bi). Òогда справедливы следующие 1) любое решение уравнения (4.120) определено на всем промежутке ha, bi; 2) общее решение однородного уравнения (4.120) задается формулой y(x) = C e где C R p(x) dx , (4.15) произвольная константа; 3) решение задачи Êоши (4.120), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e x0 p(ξ) dξ . (4.16) Доказательство. Выведем формулу (4.15) в соответствии с данной в начале главы методикой. Прежде всего заметим, что функция y 0 является решением уравнения (4.120). Пусть y(x) – решение уравнения (4.120), причем y 6 0 на ha, bi. Тогда 9 x1 2 ha, bi такая, что y(x1) = y0 6= 0. Рассмотрим уравнение (4.120) в окрестности точки x1 . Это уравнение с разделяющимися переменными, причем y(x) 6= 0 в некоторой окрестности точки x1 . Тогда, следуя результатам предыдущего параграфа, получим явную формулу для решения Z dy = p(x) dx, ln y = p(x) dx + C, y -59- откуда R y(x) = C e p(x) dx , c 6= 0, что соответствует формуле (4.15). Áолее того, решение y 0 также задается формулой (4.15) при C = 0. Непосредственной подстановкой в уравнение (4.120) убеждаемся, что функция y(x), задаваемая по формуле (4.15) при любом C, является решением уравнения (4.120), причем на всем промежутке ha, bi. Покажем, что формула (4.15) задает общее решение уравнения (4.120). Действительно, пусть y^(x) – произвольное решение уравнения (4.120). Если y^(x) 6= 0 на ha, bi, то повторяя предыдущие рассуждения, получим, что эта функция задается формулой (4.15) при некотором C: именно, если y^(x0) = y^0 , то Rx p(ξ) dξ . y^(x) = y^0 e x0 Если же 9x1 2 ha, bi такая, что y^(x1) = 0, то задача Коши для уравнения (4.120) с начальным условием y(x1) = 0 имеет два решения y^(x) и y(x) 0. В силу замечания 4. 3 решение задачи Коши единственно, поэтому y^(x) 0, а следовательно, задается формулой (4.15) при C = 0. Итак, доказано, что общее решение уравнения (4.120) определено на всем ha, bi и задается формулой (4.15). Формула (4.16), очевидно, является частным случаем формулы (4.15), поэтому задаваемая ею функция y(x) является решением уравнения (4.120). Кроме того, x R0 p(ξ) dξ y(x0) = y0 e x0 = y0 , поэтому формула (4.16) действительно задает решение задачи Коши (4.120), (4.14). Теорема 4. 2 доказана. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (4.12). Теорема 4. 3. Пусть p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Òогда справедливы следующие утверждения: 1) любое решение уравнения (4.12) определено на всем промежутке ha, bi; 2) общее решение неоднородного уравнения (4.12) задается формулой Z R R R p(x) dx p(x) dx q(x)e p(x) dx dx, (4.17) y(x) = Ce +e где C произвольная константа; 3) решение задачи Êоши (4.12), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e x0 Zx p(ξ) dξ + q(ξ)e x0 -60- Rx ξ p(θ) dθ dξ. (4.18) Доказательство. В соответствии с теоремой 4. 1 и формулой (4.13) yон = yоо + yчн требуется найти частное решение уравнения (4.12). Для его нахождения применим так называемый метод вариации произвольной постоянной. Суть этого метода заключается в следующем: берем формулу (4.15), заменяем в ней константу C на неизвестную функцию C(x) и ищем частное решение уравнения (4.12) в виде yчн (x) = C(x) e R p(x) dx . (4.19) Подставим yчн (x) из (4.19) в уравнение (4.12) и найдем C(x) так, чтобы это уравнение удовлетворялось. Имеем R R 0 yчн (x) = C 0 (x) e p(x) dx + C(x) e p(x) dx p(x) . Подставляя в (4.12), получим C 0 (x) e R p(x) dx + C(x) e R p(x) dx p(x) + C(x)p(x) e R p(x) dx = q(x), откуда R C 0 (x) = q(x) e p(x) dx . Интегрируя последнее соотношение и подставляя найденное C(x) в формулу (4.19), получим, что Z R R p(x) dx yчн (x) = e q(x) e p(x) dx dx. Кроме того, в силу теоремы 4. 2 R yоо = C e p(x) dx . Поэтому используя формулу (4.13) из теоремы 4. 1, получаем, что Z R R R p(x) dx p(x) dx y(x) = yоо + yчн = Ce +e q(x)e p(x) dx dx, что совпадает с формулой (4.17). Очевидно, что формула (4.17) задает решение на всем промежутке ha, bi. Наконец, решение задачи Коши (4.12), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e Rx p(ξ) dξ x0 +e p(θ) dθ Zx Rξ p(θ) dθ q(ξ)ex0 x0 dξ. (4.20) x0 Действительно, формула (4.20) является частным случаем формулы (4.17) при C = y0 , поэтому она задает решение уравнения (4.12). Кроме того, x R0 y(x0) = y0 e x0 x R0 p(ξ) dξ +e p(θ) dθ Zx0 Rξ q(ξ)e x0 x0 x0 -61- p(θ) dθ dξ = y0 , поэтому удовлетворяются начальные данные (4.14). Приведем формулу (4.20) к виду (4.18). Действительно, из (4.20) имеем Rx y(x) = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 Rξ q(ξ)e x p(θ) dθ Rx dξ = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 x0 Rx q(ξ)e p(θ) dθ dξ, ξ x0 что совпадает с формулой (4.18). Теорема 4. 3 доказана. Ñледствие(об оценке решения задачи Коши для линейной системы). x0 2 ha, bi, p(x), q(x) 2 C (ha, bi), причем p(x) 6 K, q(x) 6 M Пусть 8 x 2 ha, bi. Òогда для решения задачи Êоши (4.12), (4.14) справедлива оценка M Kjx x0 j Kjx x0 j y(x) 6 y0 e + e 1 . K (4.21) Доказательство. Пусть сначала x >x0. En virtud de (4.18), tenemos Rx Zx K dξ y(x) 6 y0 ex0 Rx K dθ M eξ + dξ = y0 eK(x x0) Zx +M x0 = y0 e K(x x0) eK(x ξ ) dξ = x0 M + K e K(x ξ) ξ=x ξ=x0 = y0 e Kjx x0 j M Kjx + e K x0 j 1 . Ahora deja x< x0 . Тогда, аналогично, получаем x R0 y(x) 6 y0 e x K dξ Zx0 + Rξ M ex K dθ dξ = y0 eK(x0 x) Zx0 +M x = y0 e K(x0 eK(ξ x) dξ = x M x) eK(ξ + K x) ξ=x0 ξ=x M h K(x0 x) = y0 e + e K M Kjx Kjx x0 j e = y0 e + K i 1 = K(x0 x) x0 j Таким образом, оценка (4.21) справедлива 8 x 2 ha, bi. Пример 4. 2. Решим уравнение y = x2 . x Решаем сначала однородное уравнение: y0 y0 y = 0, x dy dx = , y x ln jyj = ln jxj + C, -62- y = C x. 1 . Решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольной постоянной: y чн = C(x) x, Cx = x2 , x 0 C x+C 0 C = x, x2 C(x) = , 2 откуда x3 , 2 y чн = а общее решение исходного уравнения y =Cx+ x3 . 2 4. 3. Однородные уравнения Однородным уравнением называется уравнение вида y 0 y (x) = f , (x, y) 2 G, x (4.22) G – некоторая область в R2 . Áудем предполагать, что f (t) – непрерывная функция, x 6= 0 при (x, y) 2 G. Однородное уравнение заменой y = xz, где z(x) – новая искомая функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными. В силу данной замены имеем y 0 = xz 0 + z. Подставляя в уравнение (4.22), получим xz 0 + z = f (z), откуда z 0 (x) = 1 x f (z) z . (4.23) Уравнение (4.23) представляет собой частный случай уравнения с разделяющимися переменными, рассмотренного в п. 4.1. Пусть z = ϕ(x) – решение уравнения (4.23). Тогда функция y = xϕ(x) является решением исходного уравнения (4.22). Действительно, y 0 = xϕ 0 (x) + ϕ(x) = x 1 x f (ϕ(x)) ϕ(x) + ϕ(x) = xϕ(x) y(x) = f ϕ(x) = f =f . x x Пример 4. 3. Ðешим уравнение y0 = y x -63- ey/x . Положим y = zx. Тогда xz 0 + z = z откуда y(x) = 1 z e, x z0 = ez , dz dx = , e z = ln jzj + C, z e x z = ln ln Cx , c 6= 0, x ln ln Cx , c 6= 0. 4. 4. Уравнение Áернулли Уравнением Áернулли называется уравнение вида y 0 = a(x)y + b(x)y α , α 6= 0, α 6= 1 . x 2 ha, bi (4.24) При α = 0 или α = 1 получаем линейное уравнение, которое было рассмотрено в п. 4.2. Áудем предполагать, что a(x), b(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 4. Если α > 0, entonces, obviamente, la función y(x) 0 es una solución de la ecuación (4.24). Para resolver la ecuación de Bernoulli (4.24) α 6= 0, α 6= 1, dividimos ambos lados de la ecuación por y α . Para α > 0, debemos tener en cuenta que, en virtud de la Observación 4.4, la función y(x) 0, es una solución de la ecuación (4.24), que se perderá en tal división. Por lo tanto, en el futuro será necesario agregarlo a la solución general. Después de la división, obtenemos la relación y α y 0 = a(x)y 1 α + b(x). Introduzcamos una nueva función deseada z = y 1 α , entonces z 0 = (1 por lo tanto llegamos a una ecuación para z z 0 = (1 α)a(x)z + (1 α)y α)b(x) . α y 0, y (4.25) La ecuación (4.25) es una ecuación lineal. Estas ecuaciones se consideran en la sección 4.2, donde se obtiene una fórmula para la solución general, por lo que la solución z(x) de la ecuación (4.25) se escribe como z(x) = Ce R (α 1) a( x) dx + + (1 α )e R (α 1) a(x) dx 1 Z b(x)e R (α 1) a(x) dx dx. (4.26) Entonces la función y(x) = z 1 α (x), donde z(x) se define en (4.26), es una solución de la ecuación de Bernoulli (4.24). -64- Además, como se indicó anteriormente, para α > 0, la solución también es la función y(x) 0. Ejemplo 4. 4. Resolvamos la ecuación y 0 + 2y = y 2 ex . (4.27) Dividimos la ecuación (4.27) entre y 2 y hacemos el cambio z = obtenemos una ecuación lineal no homogénea 1 y. Como resultado, z 0 + 2z = ex . (4.28) Primero resolvemos la ecuación homogénea: z 0 + 2z = 0, dz = 2dx, z ln jzj = 2x + c, z = Ce2x, C 2 R1. La solución de la ecuación no homogénea (4.28) se busca mediante el método de variación de una constante arbitraria: zin = C(x)e2x , C 0 e2x 2Ce2x + 2Ce2x = ex , C 0 = e x, C(x) = e x , de donde zin = ex , y la solución general de la ecuación (4.28) z(x) = Ce2x + ex . Por tanto, la solución de la ecuación de Bernoulli (4.24) se puede escribir como y(x) = 1. ex + Ce2x Además, la solución de la ecuación (4.24) también es la función y(x). Perdimos esta solución al dividir esta ecuación por y 2. 0. 4. 5. Ecuación en diferenciales completas Considere la ecuación en diferenciales M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, (x, y) 2 G, (4.29) G es algún dominio en R2 . Tal ecuación se llama ecuación diferencial completa si existe una función F (x, y) 2 C 1 (G), llamada potencial, tal que dF (x, y) = M (x, y)dx + N ( x, y )dy, (x, y) 2 G. Supongamos por simplicidad que M (x, y), N (x, y) 2 C 1 (G), y el dominio G son simplemente conexos. Bajo estos supuestos, en el curso del análisis matemático (ver, por ejemplo, ) se demuestra que el potencial F (x, y) para la ecuación (4.29) existe (es decir, (4.29) es una ecuación en diferenciales totales) si y solo si My (x, y) = Nx (x, y) -65- 8 (x, y) 2 G. Además, (x, Z y) F (x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy, (4.30) (x0, y0) donde el punto (x0, y0) es algo fijo. punto de G, (x, y) es el punto actual en G, y la integral curvilínea se toma a lo largo de cualquier curva que conecte los puntos (x0, y0) y (x, y) y que se encuentre completamente en el dominio G. Si la ecuación ( 4.29) es la ecuación