Si estaba buscando solo el método Simpson en esta página, le recomiendo que primero lea el comienzo de la lección y vea al menos el primer ejemplo. Por la razón de que muchas ideas y técnicas serán similares al método trapezoidal.
Nuevamente, comencemos con la fórmula general.
Considere la integral definida, donde es una función continua en el segmento. Dividamos el segmento en incluso Monto igual segmentos Un número par de segmentos se denota por .
En la práctica, los segmentos pueden ser:
dos:
cuatro:
ocho:
diez:
veinte:
No recuerdo otras opciones.
¡Atención! Número se entiende como UN NÚMERO. Eso es, ESTÁ PROHIBIDO reducir, por ejemplo, en dos, obteniendo . Grabación solo significa que el número de segmentos igualmente. Y no hay cortes de los que hablar.
Entonces nuestra partición se ve así:
Los términos son similares a los del método trapezoidal:
Los puntos se llaman nudos.
Fórmula de Simpson para el cálculo aproximado de la integral definida tiene la siguiente forma:
dónde:
- la longitud de cada uno de los segmentos pequeños o paso;
son los valores del integrando en los puntos .
Detallando este apilamiento, analizaré la fórmula con más detalle:
es la suma del primer y último valor del integrando;
es la suma de los miembros con inclusoíndices multiplicados por 2;
es la suma de los miembros con extrañoíndice se multiplica por 4.
Ejemplo 4
Calcula la integral aproximada usando la fórmula de Simpson al 0.001 más cercano. Comienzo de división con dos segmentos 
La integral, por cierto, nuevamente no se toma.
Solución: Inmediatamente llamo la atención sobre el tipo de tarea: es necesario calcular una integral definida con cierta precisión. Lo que esto significa ya se ha comentado al principio del artículo, así como en ejemplos concretos del párrafo anterior. En cuanto al método trapezoidal, existe una fórmula que le permitirá determinar inmediatamente el número de segmentos necesarios (el valor de "en") para garantizar la precisión requerida. Cierto, tendremos que encontrar la cuarta derivada y resolver el problema de los extremos. Quien entendió lo que quiero decir y estimó la cantidad de trabajo, sonrió. Sin embargo, no hay cosa de risa aquí, encontrar la cuarta derivada de tal integrando ya no será un megabotan, sino un psicópata clínico. Por lo tanto, en la práctica, casi siempre se utiliza un método simplificado para estimar el error.
Empezamos a decidir. Si tenemos dos segmentos de partición, entonces los nodos serán uno mas: . Y la fórmula de Simpson toma una forma muy compacta: 
Calculemos el paso de partición: 
Completemos la tabla de cálculo:
Una vez más comento como se llena la tabla:
En la línea superior escribimos el "contador" de índices
En la segunda línea, primero escribimos el límite inferior de integración y luego, sucesivamente, agregamos el paso.
En la tercera línea ingresamos los valores del integrando. Por ejemplo, si , entonces . ¿Cuántos lugares decimales dejar? De hecho, la condición nuevamente no dice nada sobre esto. El principio es el mismo que en el método trapezoidal, observamos la precisión requerida: 0.001. Y agregue 2-3 dígitos adicionales. Es decir, debe redondear hasta 5-6 decimales.
Como resultado:
Se ha obtenido el primer resultado. Ahora doble número de segmentos hasta cuatro: . La fórmula de Simpson para esta partición toma la siguiente forma:
Calculemos el paso de partición: 
Completemos la tabla de cálculo: 
De este modo:
Estimamos el error:
El error es mayor que la precisión requerida: 
, por lo que debe volver a duplicar el número de segmentos: .
La fórmula de Simpson crece a pasos agigantados:
Calculemos el paso: 
Rellenemos la hoja de cálculo de nuevo:
De este modo: 
Tenga en cuenta que aquí es deseable describir los cálculos con más detalle, ya que la fórmula de Simpson es bastante engorrosa, y si golpea de inmediato:
, entonces esta bebida se verá como un truco. Y con una grabación más detallada, el profesor tendrá la impresión favorable de que borraste concienzudamente las teclas de la microcalculadora durante una buena hora. Los cálculos detallados para casos "difíciles" están presentes en mi calculadora.
Estimamos el error:
El error es menor que la precisión requerida: 
. Queda por tomar la aproximación más precisa, redondearla hasta tres decimales y escribir:
Responder: 
precisión de 0.001
Ejemplo 5
Calcule una integral aproximada usando la fórmula de Simpson al 0.0001 más cercano. Comienzo de división con dos segmentos 
Este es un ejemplo de bricolaje. Un ejemplo aproximado de un diseño final "breve" de la solución y la respuesta al final de la lección.
En la parte final de la lección, consideraremos un par de ejemplos más comunes.
Ejemplo 6
Calcular el valor aproximado de una integral definida 
utilizando la fórmula de Simpson, dividiendo el segmento de integración en 10 partes. Precisión de cálculo 0,001.
Se toma esta integral, sin embargo, no es tan fácil para un principiante descifrarla, el método de solución correspondiente se considera en el ejemplo 5 de la lección. integrales complejas. ¡En problemas de cálculo aproximado, la integral no tiene por qué ser necesariamente eliminada! Los estudiantes curiosos pueden calcularlo exactamente y estimar el error relativo al valor aproximado.
Solución: Preste atención a la redacción de la tarea: "La precisión de los cálculos es 0.001". El matiz semántico de esta formulación sugiere que los resultados solo deben redondearse al tercer decimal y no lograr tal precisión. Así, cuando te piden resolver un problema por el método del trapezoide, el método de Simpson, siempre prestar mucha atención a los términos! Como saben, se necesita prisa cuando se busca pulgas.
Usamos la fórmula de Simpson:
Con diez segmentos de división, el paso es 
Completemos la tabla de cálculo: 
Es más racional hacer que la mesa sea de dos pisos para que no tenga que "encogerse" y todo quepa legiblemente en una hoja de cuaderno.
Cálculos, no seas perezoso, pinta con más detalle: 
Responder: 
Y una vez más enfatizo que aquí no se trata de precisión. De hecho, la respuesta puede no ser, pero, en términos relativos, . En este sentido, en la respuesta, no es necesario atribuir automáticamente la terminación "deber": "con una precisión de 0,001"
Ejemplo 7
Calcula el valor aproximado de la integral definida usando la fórmula de Simpson, dividiendo el segmento de integración en 10 partes. Todos los cálculos deben realizarse al tercer decimal.
Una versión aproximada del diseño final y la respuesta al final de la lección que llegó a su fin.
También se utilizan otros métodos para el cálculo aproximado de una integral definida. En particular, la teoría serie de potencia con una tarea estándar Cálculo aproximado de una integral definida expandiendo el integrando en una serie. Pero este es el material del segundo curso.
Y ahora es el momento de revelar el terrible secreto del cálculo integral. Ya he creado más de una docena de lecciones sobre integrales, y esto, por así decirlo, es una teoría y un clásico del tema. En la práctica, en particular, en los cálculos de ingeniería, para acercar los objetos mundo real casi imposible con funciones matemáticas estándar. Imposible perfecto exactamente calcular, área, volumen, densidad, por ejemplo, pavimento asfáltico. Error, que sea desde el décimo, que sea desde el centésimo lugar decimal - pero seguirá siendo. Es por eso que se han escrito cientos de ladrillos pesados utilizando métodos de cálculo aproximados y se ha creado un software serio para cálculos aproximados. La teoría clásica del cálculo integral en realidad se usa con mucha menos frecuencia. Pero, por cierto, sin él, ¡tampoco en ninguna parte!
Esta lección no es un récord en términos de volumen, pero me llevó un tiempo inusualmente largo crearla. Corregí el material y reelaboré la estructura del artículo varias veces, ya que constantemente se dibujaban nuevos matices y sutilezas. Espero que el trabajo no haya sido en vano y haya resultado bastante lógico y accesible.
¡Mis mejores deseos!
Soluciones y respuestas:
Ejemplo 3:Solución:
Dividimos el segmento de integración en 4 partes:
Entonces la fórmula trapezoidal toma la siguiente forma:
Calculemos el paso: 
Completemos la tabla de cálculo:
Para encontrar una integral definida utilizando el método del trapezoide, el área de un trapezoide curvilíneo también se divide en n trapecios rectangulares con alturas h y bases y 1, y 2, y 3,..y n, donde n es el número de la trapezoide rectangular. La integral será numéricamente igual a la suma de las áreas de trapecios rectangulares (Figura 4).
Arroz. cuatro
n - número de divisiones
El error de la fórmula trapezoidal se estima por el número
El error de la fórmula del trapezoide disminuye más rápido con el crecimiento que el error de la fórmula del rectángulo. Por lo tanto, la fórmula trapezoidal te permite obtener más precisión que el método del rectángulo.
Fórmula de Simpson
Si para cada par de segmentos construimos un polinomio de segundo grado, luego lo integramos en el segmento y usamos la propiedad de aditividad de la integral, entonces obtenemos la fórmula de Simpson.
En el método de Simpson para calcular la integral definida, todo el intervalo de integración se divide en subintervalos misma longitud h=(b-a)/n. El número de segmentos de partición es un número par. Luego, en cada par de subintervalos adyacentes, la función subintegral f(x) se reemplaza por un polinomio de Lagrange de segundo grado (Figura 5).
Arroz. 5 La función y=f(x) en el segmento se reemplaza por un polinomio de segundo orden
Considere el integrando en el intervalo. Reemplacemos este integrando con un polinomio de interpolación de Lagrange de segundo grado que coincida con y= en los puntos:
Integramos en el intervalo:
Introducimos un cambio de variables:
Dadas las fórmulas de reemplazo,
Después de integrar, obtenemos la fórmula de Simpson:
El valor obtenido para la integral coincide con el área de un trapezoide curvilíneo delimitado por un eje, rectas y una parábola que pasa por puntos.En un segmento, la fórmula de Simpson se verá así:
En la fórmula de la parábola, el valor de la función f (x) en los puntos de división impares x 1, x 3, ..., x 2n-1 tiene un coeficiente de 4, en los puntos pares x 2, x 4, ... , x 2n-2 - coeficiente 2 y en dos puntos límite x 0 =a, x n =b - coeficiente 1.
El significado geométrico de la fórmula de Simpson: el área de un trapezoide curvilíneo debajo del gráfico de la función f(x) en un segmento se reemplaza aproximadamente por la suma de las áreas de las figuras que se encuentran debajo de las parábolas.
Si la función f(x) tiene derivada continua de cuarto orden, entonces el valor absoluto del error de la fórmula de Simpson no es mayor que
donde M- valor más alto en el segmento. Dado que n 4 crece más rápido que n 2 , el error de la fórmula de Simpson disminuye al aumentar n mucho más rápido que el error de la fórmula trapezoidal.
Calculamos la integral
Esta integral es fácil de calcular:
Tomemos n igual a 10, h=0.1, calculemos los valores del integrando en los puntos de partición, así como los puntos semienteros.
De acuerdo con la fórmula de los rectángulos medios, obtenemos I recta = 0,785606 (el error es de 0,027%), de acuerdo con la fórmula del trapezoide I trampa = 0,784981 (el error es de aproximadamente 0,054. Al usar el método de los rectángulos derecho e izquierdo, el error es más del 3%.
Para comparar la precisión de las fórmulas aproximadas, calculamos una vez más la integral
pero ahora por la fórmula de Simpson para n=4. Dividimos el segmento en cuatro partes iguales con puntos x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 y calculamos aproximadamente los valores de la función f (x) \u003d 1 / ( 1+x) en estos puntos: y 0 =1.0000, y 1 =0.8000, y 2 =0.6667, y 3 =0.5714, y 4 =0.5000.
Por la fórmula de Simpson, obtenemos
Estimemos el error del resultado obtenido. Para el integrando f(x)=1/(1+x) tenemos: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , de donde se sigue que en el segmento . Por lo tanto, podemos tomar M=24 y el error de resultado no excede 24/(2880 4 4)=0.0004. Comparando el valor aproximado con el exacto concluimos que el error absoluto del resultado obtenido por la fórmula de Simpson es menor a 0.00011. Esto está de acuerdo con la estimación del error dada anteriormente y, además, indica que la fórmula de Simpson es mucho más precisa que la fórmula trapezoidal. Por lo tanto, la fórmula de Simpson para el cálculo aproximado de integrales definidas se usa con más frecuencia que la fórmula trapezoidal.
En este método, se propone aproximar el integrando en un intervalo parcial mediante una parábola que pasa por los puntos
(x j , f(xj)), dónde j = i-1; i-0.5; i, es decir, aproximamos el integrando por el polinomio de interpolación de Lagrange de segundo grado:
(10.14)
Después de integrar, obtenemos:
(10.15)
Eso es lo que es fórmula de los simpson
o la fórmula de las parábolas. en el segmento
[un, b] La fórmula de Simpson toma la forma
(10.16)
Una representación gráfica del método de Simpson se muestra en la fig. 2.4.
Arroz. 10.4. método simpson
Eliminemos los índices fraccionarios en la expresión (2.16) cambiando el nombre de las variables:
(10.17)
Entonces la fórmula de Simpson toma la forma
(10.18)
El error de la fórmula (2.18) se estima mediante la siguiente expresión:
, (10.19)
dónde h n = licenciado en Letras, 
. Por lo tanto, el error de la fórmula de Simpson es proporcional a
O(hora 4).
Comentario. Cabe señalar que en la fórmula de Simpson, el segmento de integración se divide necesariamente en incluso número de intervalos.
10.5. Cálculo de integrales definidas por métodos
Monte Carlo
Los métodos discutidos anteriormente se llaman determinista , es decir, desprovisto del elemento de azar.
Métodos de Montecarlo(MMK) son métodos numéricos para resolver problemas matemáticos usando simulación variables aleatorias. MCM permite resolver con éxito problemas matemáticos causados por procesos probabilísticos. Además, al resolver problemas que no están relacionados con ninguna probabilidad, se puede idear artificialmente un modelo probabilístico (e incluso más de uno) que permita resolver estos problemas. Considere el cálculo de la integral definida
(10.20)
Al calcular esta integral usando la fórmula de los rectángulos, el intervalo [ un, b] dividido en norte intervalos idénticos, en medio de los cuales se calcularon los valores del integrando. Al calcular los valores de la función en nodos aleatorios, puede obtener un resultado más preciso:
(10.21)
(10.22)
Aquí γ i es un número aleatorio distribuido uniformemente en el intervalo
. El error en el cálculo de la integral MMK ~ , que es mucho mayor que el de los métodos deterministas estudiados anteriormente.
En la fig. 2.5 muestra una implementación gráfica del método Monte Carlo para calcular una integral simple con nodos aleatorios (2.21) y (2.22).
(2.23)
Arroz. 10.6. Integración de Monte Carlo (segundo caso)
Como se ve en la fig. 2.6, la curva integral se encuentra en el cuadrado unitario, y si podemos obtener pares de números aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo, entonces los valores obtenidos (γ 1, γ 2) pueden interpretarse como las coordenadas de un punto en el unidad cuadrada. Entonces, si hay suficientes de estos pares de números, podemos suponer aproximadamente que
. Aquí S es el número de pares de puntos que caen bajo la curva, y norte es el número total de pares de números.
Ejemplo 2.1. Calcula la siguiente integral:
la tarea fue resuelta varios métodos. Los resultados obtenidos se resumen en la tabla. 2.1.
Tabla 2.1
Comentario. La elección de la integral de tabla nos permitió comparar el error de cada método y conocer la influencia del número de particiones en la precisión de los cálculos.
11 SOLUCIÓN APROXIMADA DE NO LINEAL
Y ECUACIONES TRASCENDENTES
Cálculo de integrales utilizando las fórmulas de los rectángulos, trapecios y la fórmula de Simpson. Estimación de errores.
Directrices sobre el tema 4.1:
Cálculo de integrales por fórmulas de rectángulos. Estimación de error:
La solución de muchos problemas técnicos se reduce al cálculo de determinadas integrales, cuya expresión exacta es difícil, requiere largos cálculos y no siempre se justifica en la práctica. Aquí, su valor aproximado es más que suficiente. Por ejemplo, necesita calcular el área delimitada por una línea cuya ecuación es desconocida, el eje X y dos ordenadas. En este caso, puede reemplazar esta línea con una más simple, para la cual se conoce la ecuación. El área del trapezoide curvilíneo así obtenido se toma como el valor aproximado de la integral deseada. Geométricamente, la idea detrás del método de cálculo de la integral definida usando la fórmula de los rectángulos es que el área de un trapezoide curvilíneo A 1 ABB 1 se reemplaza por el área de un rectángulo de igual área A 1 A 2 B 1 B 2, que, según el teorema del valor medio, es igual a
Dónde f(c) --- altura rectángulo A 1 A 2 B 1 B 2, que es el valor del integrando en algún punto intermedio California< c
Es prácticamente difícil encontrar tal valor. Con, en el cual (b-a)f (c) sería exactamente igual a . Para obtener un valor más preciso, el área de un trapezoide curvilíneo se divide en norte rectángulos cuyas alturas son iguales y 0 , y 1 , y 2 , …,y n -1 y cimientos.
Si resumimos las áreas de los rectángulos que cubren el área de un trapezoide curvilíneo con una desventaja, la función no es decreciente, entonces en lugar de la fórmula, se usa la fórmula
Si es en exceso, entonces
Los valores se encuentran a partir de igualdades. Estas fórmulas se llaman fórmulas de rectángulo y dar un resultado aproximado. con el aumento norte el resultado se vuelve más preciso.
Ejemplo 1 . Calcular a partir de la fórmula de los rectángulos.
Dividimos el intervalo de integración en 5 partes. Después . Usando una calculadora o una tabla, encontramos los valores del integrando (con una precisión de 4 decimales):
Según la fórmula de los rectángulos (con desventaja)
Por otro lado, según la fórmula de Newton-Leibniz
Encontremos el error de cálculo relativo usando la fórmula de los rectángulos:
Cálculo de integrales mediante fórmulas trapezoidales. Estimación de error:
El significado geométrico del siguiente método para el cálculo aproximado de integrales es encontrar el área de un trapezoide "rectilíneo" de aproximadamente el mismo tamaño.
Sea necesario calcular el área A 1 AmBB 1 trapecio curvilíneo, expresado por la fórmula .
Reemplacemos el arco AmB acorde AB y en lugar del área de un trapezoide curvilíneo A 1 AmBB 1 calcular el area del trapezoide A 1 ABB 1: 
, dónde AA 1 y cama y desayuno 1 - la base del trapezoide, y un 1v 1 es su altura.
Denotar f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B. altura trapezoidal A 1 B 1 \u003d b-a, cuadrado 
. Como consecuencia, 
o
Este llamado pequeña fórmula trapezoidal.
El problema surge del cálculo numérico de una integral definida, el cual se resuelve con la ayuda de fórmulas llamadas cuadratura.
Recuerde las fórmulas más simples para la integración numérica.
Calculemos el valor numérico aproximado de . Dividimos el intervalo de integración [а, b] en n partes iguales dividiendo puntos 
, llamados nodos de la fórmula de cuadratura. Que se conozcan los valores en los nodos 
:
Valor 
se llama intervalo o paso de integración. Tenga en cuenta que en la práctica de -cálculos, el número i se elige pequeño, por lo general no es más de 10 a 20. En un intervalo parcial 
el integrando se reemplaza por el polinomio de interpolación
que representa aproximadamente la función f(x) en el intervalo considerado.
a) Mantenga solo un primer término en el polinomio de interpolación, luego
La fórmula cuadrática resultante
llamada fórmula de los rectángulos.
b) Mantener los dos primeros términos en el polinomio de interpolación, luego
(2)
La fórmula (2) se llama fórmula trapezoidal.
c) Intervalo de integración 
dividimos en un número par de 2n partes iguales, mientras que el paso de integración h será igual a 
. en el intervalo 
de longitud 2h, reemplazamos el integrando por un polinomio de interpolación de segundo grado, es decir, mantenemos los tres primeros términos del polinomio:
La fórmula de cuadratura resultante se llama fórmula de Simpson.
(3)
Las fórmulas (1), (2) y (3) tienen un significado geométrico simple. En la fórmula de los rectángulos, el integrando f(x) en el intervalo 
se reemplaza por un segmento de línea recta y \u003d uk, paralelo al eje x, y en la fórmula trapezoidal, por un segmento de línea recta 
y se calcula el área de un rectángulo y un trapezoide rectilíneo, respectivamente, que luego se suman. En la fórmula de Simpson, la función f(x) en el intervalo 
longitud 2h se reemplaza por un trinomio cuadrado - una parábola 
se calcula el área de un trapezoide parabólico curvilíneo, luego se suman las áreas.
CONCLUSIÓN
En conclusión, me gustaría señalar una serie de características de la aplicación de los métodos discutidos anteriormente. Cada método para la solución aproximada de una integral definida tiene sus ventajas y desventajas, dependiendo de la tarea a realizar, se deben utilizar métodos específicos.
Método de sustitución de variables es uno de los principales métodos para calcular integrales indefinidas. Incluso cuando integramos por algún otro método, muchas veces tenemos que recurrir a un cambio de variables en cálculos intermedios. El éxito de la integración depende en gran medida de si podemos encontrar un buen cambio de variables que simplifique la integral dada.
En esencia, el estudio de los métodos de integración se reduce a averiguar qué tipo de cambio de variable se debe realizar para una forma u otra del integrando.
De este modo, integración de toda fracción racional se reduce a integrar un polinomio y algunas fracciones simples.
La integral de cualquier función racional se puede expresar en términos de funciones elementales en la forma final, a saber:
a través de logaritmos - en los casos de las fracciones más simples del tipo 1;
a través de funciones racionales - en el caso de fracciones simples de tipo 2
a través de logaritmos y arcotangentes - en el caso de fracciones simples de tipo 3
a través de funciones racionales y arcotangentes, en el caso de las fracciones más simples de tipo 4. La sustitución trigonométrica universal siempre racionaliza el integrando, pero a menudo conduce a fracciones racionales muy engorrosas, para las cuales, en particular, es prácticamente imposible encontrar las raíces del denominador. Por lo tanto, si es posible, se utilizan sustituciones parciales, que también racionalizan el integrando y conducen a fracciones menos complejas.
Fórmula de Newton-Leibniz es un enfoque general para encontrar integrales definidas.
En cuanto a los métodos para calcular integrales definidas, prácticamente no difieren de todos esos métodos y métodos.
Lo mismo aplica métodos de sustitución(cambio de variable), el método de integración por partes, los mismos métodos para encontrar antiderivadas para funciones trigonométricas, irracionales y trascendentales. La única particularidad es que al aplicar estas técnicas es necesario extender la transformación no solo a la función subintegral, sino también a los límites de integración. Al cambiar la variable de integración, recuerde cambiar los límites de integración en consecuencia.
Adecuadamente del teorema, la condición de continuidad de la función es una condición suficiente para la integrabilidad de la función. Pero esto no significa que la integral definida exista solo para funciones continuas. La clase de funciones integrables es mucho más amplia. Entonces, por ejemplo, hay una integral definida de funciones que tienen un número finito de puntos de discontinuidad.
El cálculo de una integral definida de una función continua mediante la fórmula de Newton-Leibniz se reduce a encontrar una antiderivada, que siempre existe, pero no siempre es una función elemental o una función para la que se elaboran tablas que permiten obtener el valor de la integral. En numerosas aplicaciones, la función integrable se da en una tabla y la fórmula de Newton-Leibniz no es directamente aplicable.
Si quieres el resultado más preciso, ideal el método de los simpson.
De lo estudiado anteriormente, se puede sacar la siguiente conclusión de que la integral se usa en ciencias como la física, la geometría, las matemáticas y otras ciencias. Con la ayuda de la integral se calcula el trabajo de la fuerza, se encuentran las coordenadas del centro de masa, la trayectoria recorrida por el punto material. En geometría, se utiliza para calcular el volumen de un cuerpo, encontrar la longitud de un arco de curva, etc.
