Automatización y telemecánica, L-1, 2007

RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 Yu.S. POPKOV, Dr. técnico. Sci. (Instituto de Análisis de Sistemas RAS, Moscú)

ANÁLISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINÁMICOS CON OPERADOR Vd-ENTROPÍA

Se propone un método para estudiar la existencia, unicidad y localización de puntos singulares de la clase considerada de DSEE. Se obtienen condiciones de estabilidad "en lo pequeño" y "en lo grande". Se dan ejemplos de aplicación de las condiciones obtenidas.

1. Introducción

Muchos problemas modelo matematico Los procesos dinámicos se pueden resolver a partir del concepto de sistemas dinámicos con operador de entropía (DSEO). DSEE es un sistema dinámico en el que la no linealidad se describe mediante el problema paramétrico de maximización de entropía. Feio-moiológicamente, DSEO es un modelo de un macrosistema con autorreproducción "lenta" y asignación de recursos "rápida". Se estudiaron algunas propiedades de DSEO en. Este trabajo continúa el ciclo de estudios de las propiedades cualitativas de los DSEO.

Consideramos un sistema dinámico con un operador de entropía Vd:

^ = £(x, y(x)), x e En:

y(x) = a^max(Hv(y) | Ty = u(x), y e E^) > 0.

En estas expresiones:

C(x, y), u(x) son funciones vectoriales continuamente diferenciables;

entropía

(1.2) Hv (y) = uz 1n as > 0, s = T~m;

T - (r x w)-matriz con elementos ^ 0 tiene un rango total igual a r;

Se supone que la función vectorial u(x) es continuamente diferenciable, el conjunto

(1.3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

donde a- y a+ son vectores de E+, donde a- es un vector con pequeñas componentes.

Usando la conocida representación del operador de entropía en términos de multiplicadores de Lagrange. transformamos el sistema (1.1) a la siguiente forma:

- = £(x, y(z)), x e Kn, y(z) e K?, r e Er+

Uz (r) \u003d az\\ ^, 3 \u003d 1, m-

O(x, z) = Ty(z) = q(x),

donde rk = exp(-Ak) > 0 son los multiplicadores exponenciales de Lagrange.

Junto con el DSEE de la forma general (1.1), consideraremos, siguiendo la clasificación dada en .

DSEE con flujo separable:

(1-5) ^ = I (x) + Vy (z),

donde B (n x m)-matriz;

DSEO con flujo multiplicativo:

(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xu(r)), ab

donde W es una matriz (n x m) con elementos no negativos, a es un vector con componentes positivos, ® es el signo de la multiplicación por coordenadas.

El objetivo de este trabajo es estudiar la existencia, unicidad y localización de puntos singulares del DSEE y su estabilidad.

2. Puntos singulares

2.1. Existencia

Considere el sistema (1.4). Los puntos singulares de este sistema dinámico están determinados por las siguientes ecuaciones:

(2.1) C^(x, y(z))=0, r = TP;

(2.2) uz(r) = a^ r^, 3 = T^:

(2.3) bk(r) = ^as r^ = dk(x), k = 1,r.

Considere primero el sistema auxiliar de ecuaciones:

(2.4) C(q, z) = r, q e R,

donde el conjunto R está definido por la igualdad (1.3) y C(q, r) es una función vectorial con componentes

(2.5) Sk(d, r) = - Ok(r), a-< дк < а+, к =1,г.

La ecuación (2.4) tiene una única solución r* para cada vector fijo q, que se deriva de las propiedades del operador de entropía Vg (ver ).

A partir de la definición de los componentes de la función vectorial С(g, z), se produce la estimación obvia:

(2.6) C(a+,r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Denotemos la solución de la primera ecuación por r+ y la segunda - por r-. definamos

(2.7) C (a+,z) = z, C(a

(2.8) zmaX = máx z+, zmín = mm zk

y vectores r-dimensionales

(2.9) z(zmáx, zmáx), z(zmín, zmín).

Lema 2.1. Para todo q G Q (1 . 3) las soluciones z*(q) de la ecuación (2.4) pertenecen al vector 1 al segmento

zmín< z*(q) < zmax,

donde los vectores zmin y zmax están definidos por las expresiones (2.7)-(2.9).

La demostración del teorema se da en el Apéndice. qq

qk(x) (1.3) para x G Rn, entonces tenemos

Corolario 2.1. Sean satisfechas las condiciones del Lema 2.1 y las funciones qk(x) satisfagan las condiciones (1.3) para todo ex x G Rn. Entonces, para todo x G Rm, las soluciones z* de la ecuación (2.3) pertenecen al segmento vectorial

zmín< z* < zmax

Volvamos ahora a las ecuaciones (2.2). que determinan las componentes de la función vectorial y(z). Los elementos de su jacobiano tienen la forma

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

para todo z G R+ excepto para 0 y g. Por lo tanto, la función vectorial y(z) es estrictamente monótonamente creciente. De acuerdo con el Lema 2.1, está acotado por abajo y por arriba, es decir, para todo z G Rr (por lo tanto para todo x G Rn) sus valores pertenecen al conjunto

(2.11) Y = (y: y-< y < y+},

donde las componentes de los vectores yk, y+ están determinadas por las expresiones:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.

(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,

Considere la primera ecuación en (2.1) y reescríbala como:

(2.14) L(x, y) = 0 para todo y e Y ⊂ E^.

Esta ecuación determina la dependencia de la variable x de la variable y perteneciente a Y

we (1.4) se reduce a la existencia de una función implícita x(y) definida por la ecuación (2.14).

Lema 2.2. Que se cumplan las siguientes condiciones:

a) la función vectorial L(x, y) es continua en el conjunto de variables;

b) lím L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

c) det J (x, y) = 0 para todo ex x e En para cualquier y e Y fijo.

Entonces hay una única función implícita x*(y) definida en Y. En este lema, J(x, y) es el jacobiano con elementos

(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.

La prueba se da en el Apéndice. De los lemas anteriores se sigue

Teorema 2.1. Sean satisfechas las condiciones de los Lemas 2.1 y 2.2. Entonces existe un único punto singular del DSEE (1.4) y, en consecuencia, (1.1).

2.2. Localización

El estudio de la localización de un punto singular se entiende como la posibilidad de establecer el intervalo en el que se encuentra. Esta tarea no es muy simple, pero para alguna clase de DSEE se puede establecer dicho intervalo.

Pasemos al primer grupo de ecuaciones en (2.1) y representémoslas en la forma

(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,

donde y- e y+ están definidos por las igualdades (2.12), (2.13).

Teorema 2.2. Sea la función vectorial L(x,y) continuamente diferenciable y monótonamente creciente en ambas variables, es decir

--> 0, --> 0; i, l = 1, n; j = 1, m. dxi dyj

Entonces la solución del sistema (2.16) con respecto a la variable x pertenece al intervalo (2.17) xmin x x x xmax,

a) los vectores xmin, xmax tienen la forma

Min \u003d i x 1 xmax \u003d r x t;

\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmáx):

xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;

6) x- y x+ - componentes de la solución de las siguientes ecuaciones

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0

con oo m por supuesto.

La demostración del teorema se da en el Apéndice.

3. Sostenibilidad de DSEA "en lo pequeño"

3.1. DSEE con flujo separable Pasemos a las ecuaciones de DSEE con flujo separable, presentándolas en la forma:

- \u003d / (x) + Bu (r (x)), x e Kp ab

Y- (r (X)) \u003d azP (X) Y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = q(x), r e Hr.

Aquí los valores de los componentes de la función vectorial q(x) pertenecen al conjunto Q (1.3), la (n × w)-matriz B tiene un rango total igual a n (n< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Deje que el sistema bajo consideración tenga un punto singular x. Para estudiar la estabilidad de este punto singular "en lo pequeño" construimos un sistema linealizado

donde A es una matriz (n x n), cuyos elementos se calculan en el punto x, y el vector t = x - x. De acuerdo con la primera ecuación en (3.1), la matriz del sistema linealizado tiene

A \u003d 7 (x) + BUg (g) Xx (x), x \u003d g (x),

| 3 \u003d 1, w, k \u003d 1,

yo k \u003d 1, g, yo \u003d 1, p

A partir de (3.1) se determinan los elementos de la matriz Yr: dy.

"bkzP" 8=1

3, r8 x8, 5 1, r.

Para determinar los elementos de la matriz Zx, recurrimos al último grupo de ecuaciones en (3.1). B muestra que estas ecuaciones definen una función vectorial implícita r(x), que es continuamente diferenciable si la función vectorial g(x) es continuamente diferenciable. El jacobiano Zx de la función vectorial z(x) está definido por la ecuación

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (X) \u003d T Ug (X),

ddk, -t-, - "- k \u003d 1, r, yo \u003d 1, n dx \

De esta ecuación tenemos (3.9) Zx(x) = s-1(z)Qx(x).

Sustituyendo este resultado en la igualdad (3.3). obtenemos:

A \u003d 1 (x) + P (x), P (x) \u003d VUg (g) [Tg (g)] -1 Qx (x).

Por lo tanto, la ecuación del sistema linealizado toma la forma

(c. i) | = (j+p)e

Aquí, los elementos de las matrices J, P se calculan en un punto singular. Las condiciones de estabilidad suficientes "en el pequeño" DSEE (3.1) están determinadas por lo siguiente

Teorema 3.1. El DSEE (3.1) tiene un punto singular x que es estable "en lo pequeño" si se cumplen las siguientes condiciones:

a) las matrices J, P (3.10) del sistema linealizado (3.11) tienen valores propios reales y diferentes, y la matriz J tiene el valor propio máximo

Pmáx = Pg máx > 0,

Wmax = maxUi< 0;

Umáx + Ptah<

De este teorema y de la igualdad (3.10) se sigue que para puntos singulares para los cuales Qx(x) = 0 y (o) para X, = 0 y tkj ^ 1 para todo ex k,j, no se cumplen las condiciones suficientes del teorema.

3.2. DSEE con flujo multiplicativo Considere las ecuaciones (1.6). presentándolos en la forma:

X® (a - x® Wy(z(x))), x e Rn;

yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.

sistemas Tendrá:

(3.13)

En esta expresión, diag C] es una matriz diagonal con elementos positivos a1,..., an, Yr, Zx son matrices definidas por igualdades (3.4)-(3.7).

Representamos la matriz A en la forma

(3.14) A = diag + P (x),

(3.15) P(x) = -2xWYz(z)Zx(x).

Denotar: maxi ai = nmax y wmax es el valor propio máximo de la matriz P(x) (3.15). Entonces el Teorema 3.1 también es válido para el DSEE (1.6). (3.12).

4. Sostenibilidad de DSEA "en grande"

Pasemos a las ecuaciones DESO (1.4), en las que los valores de los componentes de la función vectorial q(x) pertenecen al conjunto Q (1.3). En el sistema bajo consideración, hay un punto singular Z, al cual los vectores z(x) = z ^ z-> 0 y

y(x) = y(z) = y > y- > 0.

Introduzcamos los vectores de desviación £, C, П del punto singular: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.

ZHEZHERUN A.A., POKROVSKY A.V. - 2009

CINÉTICA DE PROCESOS BIOLÓGICOS

¿Cómo se puede describir la dinámica de los sistemas biológicos? En cada momento en el tiempo, un sistema biológico tiene un conjunto de ciertas características. Por ejemplo, al observar una población de una especie, se puede registrar su tamaño, el área del territorio ocupado, la cantidad de alimento disponible, la temperatura ambiente, etc. El curso de una reacción química se puede caracterizar por las concentraciones de las sustancias involucradas, la presión, la temperatura y el nivel de acidez del ambiente. El conjunto de valores de todas las características que el investigador ha elegido para describir el sistema es el estado del sistema en cada momento del tiempo. Al crear un modelo, las variables y los parámetros se seleccionan en el conjunto especificado. Las variables son aquellas cantidades cuyos cambios son principalmente de interés para el investigador, los parámetros son las condiciones del "ambiente externo". Es para las variables seleccionadas que se compilan ecuaciones que reflejan los patrones de cambio en el sistema a lo largo del tiempo. Por ejemplo, cuando se crea un modelo para el crecimiento de un cultivo microbiano, generalmente se usa su número como variable y la tasa de reproducción como parámetro. Es posible que la temperatura a la que se produce el crecimiento resulte significativa, entonces este indicador también se incluye en el modelo como parámetro. Y si, por ejemplo, el nivel de aireación siempre es suficiente y no tiene ningún efecto en los procesos de crecimiento, entonces no se incluye en el modelo en absoluto. Como regla general, los parámetros permanecen sin cambios durante el experimento, sin embargo, vale la pena señalar que no siempre es así.

Es posible describir la dinámica de un sistema biológico (es decir, el cambio en su estado a lo largo del tiempo) usando modelos tanto discretos como continuos. Los modelos discretos asumen que el tiempo es una cantidad discreta. Esto corresponde a registrar los valores de las variables a ciertos intervalos fijos (por ejemplo, una vez por hora o una vez por año). En modelos continuos, una variable biológica es una función continua del tiempo, denotada, por ejemplo, X(t).

A menudo de gran importancia condiciones iniciales modelos: el estado de la característica en estudio en el momento inicial del tiempo, es decir en t = 0.

Al estudiar el cambio continuo de alguna característica X(t) podemos conocer información sobre la tasa de su cambio. Esta información está en caso general puede escribirse como una ecuación diferencial:

Tal notación formal significa que la tasa de cambio de alguna característica bajo estudio es una función del tiempo y la magnitud de esta característica.

Si el lado derecho de una ecuación diferencial de la forma no depende explícitamente del tiempo, es decir justo:

entonces esta ecuacion se llama autónomo(el sistema descrito por tal ecuación se llama autónomo). El estado de los sistemas autónomos en cada momento del tiempo se caracteriza por un solo valor: el valor de la variable X en este momento t.

Hagámonos una pregunta: sea dada una ecuación diferencial para X(t), ¿es posible encontrar todas las funciones X(t) que satisface esta ecuación? O bien: si se conoce el valor inicial de una determinada variable (por ejemplo, el tamaño inicial de una población, la concentración de una sustancia, la conductividad eléctrica del medio, etc.) y se tiene información sobre la naturaleza del cambio en esa variable, ¿es posible predecir cuál será su valor en todos los momentos posteriores? La respuesta a la pregunta planteada es la siguiente: si se dan las condiciones iniciales para y se satisfacen las condiciones del teorema de Cauchy para la ecuación (la función dada en una determinada región y su derivada parcial son continuas en esta región), entonces existe una única solución de la ecuación que satisface las condiciones iniciales dadas. (Recuerde que cualquier función continua que satisfaga una ecuación diferencial se denomina solución de esa ecuación). Esto significa que podemos predecir de manera única el comportamiento de un sistema biológico si se conocen las características de su estado inicial y la ecuación modelo satisface las condiciones del teorema de Cauchy.

Estado estacionario. Sostenibilidad

Consideraremos la ecuación diferencial autónoma

En estado estacionario, los valores de las variables en el sistema no cambian con el tiempo, es decir, la tasa de cambio en los valores de las variables es 0: . Si el lado izquierdo de la ecuación (1.2) es igual a cero, entonces el derecho también es igual a cero: . Las raíces de esta ecuación algebraica son estados estacionarios ecuación diferencial (1.2).

Ejemplo 1.1: Encuentre los estados estacionarios de la ecuación.

Solución: Desplacemos el término, que no contiene la derivada, al lado derecho de la igualdad: . Por definición, en un estado estacionario, se cumple la siguiente igualdad: . Entonces la igualdad debe mantenerse . Resolvemos la ecuación:

,

Entonces, la ecuación tiene 3 estados estacionarios: , .

Los sistemas biológicos experimentan constantemente diversas influencias externas y numerosas fluctuaciones. Al mismo tiempo, ellos (los sistemas biológicos) tienen homeostasis, es decir, resistente. En lenguaje matemático, esto significa que las variables, con pequeñas desviaciones, vuelven a sus valores estacionarios. ¿Este comportamiento de un sistema biológico se verá reflejado en su modelo matemático? ¿Son estables los estados estacionarios del modelo?

El estado estacionario es sostenible, si, para una desviación suficientemente pequeña de la posición de equilibrio, el sistema nunca se alejará del punto singular. El estado estable corresponde al modo estable de funcionamiento del sistema.

Un estado de equilibrio de una ecuación es Lyapunov estable si para cualquiera siempre se puede encontrar tal que si , entonces para todos .

Existe un método analítico para estudiar la estabilidad de un estado estacionario: el método Lyapunov. Para fundamentarlo, recordemos Fórmula de Taylor.

Hablando en términos generales, la fórmula de Taylor muestra el comportamiento de una función en la vecindad de cierto punto. Sea una función que tenga derivadas en un punto de todos los órdenes hasta norte- th inclusive. Entonces la fórmula de Taylor es válida para:

Descartando el resto del término, que se representa a sí mismo como un infinitesimal de orden superior a , obtenemos la fórmula de Taylor aproximada:

El lado derecho de la fórmula aproximada se llama Polinomio de Taylor funciones, se denota como .

Ejemplo 1.2: Expandir la función en una serie de Taylor en una vecindad de un punto hasta el cuarto orden.

Solución: Escribimos la serie de Taylor hasta el cuarto orden en forma general:

Encuentre las derivadas de la función dada en el punto:

,

Sustituir los valores obtenidos en la fórmula original:

Un método analítico para estudiar la estabilidad de un estado estacionario ( método Lyapunov) es como sigue. Sea el estado estacionario de la ecuación . Vamos a establecer una pequeña desviación de la variable. X de su valor estacionario: , donde . Sustituye la expresión por el punto. X en la ecuación original: . El lado izquierdo de la ecuación tomará la forma: , ya que en el estado estacionario la tasa de cambio del valor de la variable es igual a cero: . Expandimos el lado derecho en una serie de Taylor en la vecindad del estado estacionario, teniendo en cuenta que , dejamos solo el término lineal en el lado derecho de la ecuación:

Consiguió ecuación linealizada o ecuación de primera aproximación. El valor es un valor constante, indíquelo a: . La solución general de la ecuación linealizada tiene la forma: . Esta expresión describe la ley según la cual la desviación del estado estacionario dado por nosotros cambiará con el tiempo. La desviación decaerá con el tiempo, es decir, en , si el exponente en el exponente es negativo, es decir . Por definición, el estado estacionario será sostenible. Si , entonces con el aumento del tiempo, la desviación solo aumentará, el estado estacionario es inestable. En el caso de que la ecuación de la primera aproximación no pueda dar respuesta a la cuestión de la estabilidad del estado estacionario. Es necesario considerar términos de orden superior en el desarrollo de la serie de Taylor.

Además del método analítico para estudiar la estabilidad de un estado estacionario, también existe uno gráfico.

Ejemplo 1.3. Dejar . Encuentra los estados estacionarios de la ecuación y determina su tipo de estabilidad usando la gráfica de la función .

Solución: Busquemos puntos especiales:

,

,

Construimos un gráfico de la función (Fig. 1.1).

Arroz. 1.1. Gráfico de función (ejemplo 1.3).

Determinemos a partir del gráfico si cada uno de los estados estacionarios encontrados es estable. Establezcamos una pequeña desviación del punto representativo del punto singular a la izquierda: . En un punto con una coordenada, la función toma un valor positivo: o . La última desigualdad significa que con el tiempo la coordenada debería aumentar, es decir, el punto representativo debería volver al punto . Ahora fijemos una pequeña desviación del punto representativo del punto singular a la derecha: . En esta región, la función conserva un valor positivo, por lo tanto, con el tiempo, la coordenada X también aumenta, es decir, el punto representativo se alejará del punto. Así, una pequeña desviación saca al sistema del estado estacionario, por tanto, por definición, el punto singular es inestable. Un razonamiento similar lleva al hecho de que cualquier desviación del punto singular decae con el tiempo, el estado estacionario es estable. La desviación del punto de representación en cualquier dirección del estado estacionario conduce a su eliminación del punto, este es un estado estacionario inestable.

Resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales

Pasemos al estudio de los sistemas de ecuaciones, primero lineales. En general, el sistema de ecuaciones diferenciales lineales se puede representar como:

El análisis del sistema de ecuaciones comienza con la búsqueda de los estados estacionarios. Para sistemas de la forma (1.3), el punto singular es único, sus coordenadas son (0,0). La excepción es el caso degenerado, cuando las ecuaciones se pueden representar como:

(1.3*)

En este caso, todos los pares que satisfacen la relación son puntos estacionarios del sistema (1.3*). En particular, el punto (0,0) también es estacionario para el sistema (1.3*). En el plano de fase, en este caso, tenemos una línea recta con un coeficiente de pendiente que pasa por el origen, cada punto de la cual es un punto singular del sistema (1.3 *) (ver Tabla 1.1, ítem 6).

La pregunta principal que debe responder el resultado del estudio de un sistema de ecuaciones es si el estado estacionario del sistema es estable y qué carácter tiene esta solución (monótona o no monótona).

decisión común sistema de dos ecuaciones lineales tiene la forma:

números característicos se puede expresar en términos de los coeficientes de ecuaciones lineales de la siguiente manera:

Los números característicos pueden ser 1) reales de diferente signo, 2) reales del mismo signo, 3) complejos conjugados, y también, en casos degenerados, 4) puramente imaginarios, 5) reales coincidentes, 6) reales, uno de los cuales (o ambos) es igual a cero. Estos casos determinan el tipo de comportamiento de la solución a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Los retratos de fase correspondientes se presentan en la Tabla 1.1.

Tabla 1.1. Tipos de estados estacionarios de un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales y los correspondientes retratos de fase. Las flechas muestran la dirección de movimiento del punto representativo.

Construcción de retratos de fase y cinéticos de un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales

plano de fase llamado plano con ejes de coordenadas en los que se trazan los valores de las variables X Y y, cada punto del plano corresponde a un determinado estado del sistema. El conjunto de puntos en el plano de fase, cuya posición corresponde a los estados del sistema en el proceso de cambio de variables en el tiempo, de acuerdo con las ecuaciones dadas del sistema en estudio, se llama trayectoria de fase. El conjunto de trayectorias de fase para diferentes valores iniciales de las variables da un retrato del sistema. Edificio retrato de fase le permite sacar conclusiones sobre la naturaleza de los cambios en las variables X Y y sin conocer las soluciones analíticas del sistema original de ecuaciones.

Considere un sistema de ecuaciones diferenciales lineales:

La construcción del retrato de fase comienza con la construcción isoclinas principales(una isoclina es una línea a lo largo de la cual la pendiente de la curva de fase (trayectoria), determinada por la ecuación, permanece constante). Para un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales, éstas son siempre líneas rectas que pasan por el origen. La ecuacion isoclinas de tangentes horizontales: . Ecuación de la isoclina de tangentes verticales: . Para una mayor construcción del retrato de fase, es útil construir una isoclina de tangentes que pasen en un ángulo. Para encontrar la ecuación isoclina correspondiente, es necesario resolver la ecuación . También puedes encontrar las isoclinas de tangentes de otros ángulos, usando los valores aproximados de las tangentes de los ángulos. La respuesta a la pregunta en qué ángulo las trayectorias de fase deben intersectar los ejes de coordenadas también puede ayudar a construir el retrato de fase. Para ello, en la ecuación isoclina sustituimos las igualdades correspondientes (para determinar el ángulo de intersección con el eje OY) y (para determinar el ángulo de intersección con el eje OX).

Ejemplo 1.4. Determinar el tipo de punto singular del sistema de ecuaciones lineales:

Construya un retrato de fase y cinético del sistema.

Solución: Las coordenadas del punto singular son (0,0). Los coeficientes de las ecuaciones lineales son: , , , . Definamos el tipo de estado estacionario (ver la sección de números característicos):

Así, las raíces características son imaginarias: por lo tanto, el punto singular del sistema lineal considerado tiene el tipo de centro (Fig. 1.2a).

Ecuación de la isoclina de las tangentes horizontales: , Ecuación de la isoclina de las tangentes verticales: . En un ángulo de 45°, las trayectorias del sistema intersecan una línea recta .

Después de construir el retrato de fase, es necesario determinar la dirección del movimiento a lo largo de las trayectorias encontradas. Esto se puede hacer de la siguiente manera. Tome un punto arbitrario en cualquier trayectoria. Por ejemplo, sobre la isoclina de las tangentes horizontales (1,1). Sustituyamos las coordenadas de este punto en el sistema de ecuaciones. Obtenemos expresiones para las tasas de cambio de las variables X,y en este punto:

Los valores obtenidos muestran que la tasa de cambio de la variable X- negativo, es decir, su valor debe disminuir, y la variable y no cambia. Marcamos la dirección recibida con una flecha. Así, en el ejemplo bajo consideración, el movimiento a lo largo de las trayectorias de fase se dirige en sentido antihorario. Sustituyendo las coordenadas de diferentes puntos en el sistema, puede obtener un "mapa" de las direcciones de las velocidades, las llamadas campo vectorial.

Figura 1.2. Retrato de fase (a) y cinética (b) del sistema, ejemplo 1.4

Nótese que sobre la isoclina de las tangentes horizontales la variable y alcanza su valor máximo o mínimo en una trayectoria dada. Por el contrario, en la isoclina de las tangentes verticales, la variable X.

Construir un retrato cinético del sistema significa graficar la dependencia de los valores de las variables X,y de vez. Se puede usar un retrato de fase para construir uno cinético y viceversa. Una trayectoria de fase corresponde a un par de curvas cinéticas. Elijamos un punto arbitrario en el retrato de fase en una trayectoria de fase arbitraria. Este es el punto de partida correspondiente al tiempo. Dependiendo de la dirección del movimiento en el sistema bajo consideración, los valores de las variables X,y ya sea disminuir o aumentar. Sean las coordenadas del punto de partida (1,1). De acuerdo con el retrato de fase construido, a partir de este punto, debemos movernos en sentido antihorario, las coordenadas X Y y mientras que disminuirán. Con el tiempo, la coordenada X pasa por 0, valor y sin dejar de ser positivo. Más coordenadas X Y y continúa disminuyendo, la coordenada y pasa por 0 (valor X mientras es negativo). Valor X alcanza su valor mínimo en la isoclina de las tangentes verticales, luego comienza a aumentar. Valor y alcanza su valor mínimo en la isoclina de las tangentes horizontales (valor X en este momento es negativo). A continuación, y el valor X, y el valor y aumentar, volviendo a los valores iniciales (Fig. 1.2b).

Investigación de la Estabilidad de Estados Estacionarios de Sistemas No Lineales de Segundo Orden

Sea un sistema biológico descrito por un sistema de dos ecuaciones diferenciales autónomas de segundo orden de forma general:

Los valores estacionarios de las variables del sistema se determinan a partir de las ecuaciones algebraicas:

En la vecindad de cada estado estacionario, se puede considerar sistema de primera aproximación(sistema linealizado), cuyo estudio puede permitir responder a la cuestión de la estabilidad del punto singular y la naturaleza de las trayectorias de fase en su pequeña vecindad.

afuera

Tenemos , , el punto singular es áspero. Las raíces características del sistema de primera aproximación son iguales a , ambas son reales y negativas, por lo tanto, en la vecindad del punto singular cero, el comportamiento de las trayectorias de fase del sistema corresponderá al tipo de un nudo estable.

Introducción 4

Análisis a priori de sistemas dinámicos 5

Paso de una señal aleatoria a través de un sistema lineal 5

Evolución del vector fase del sistema 7

Evolución de la matriz de covarianza del vector fase del sistema 8

Linealización estadística 8

Primera vía 9

Segunda vía 10

Cálculo de coeficientes de linealización 10

Ambigüedad en enlaces no lineales 14

Enlace no lineal cubierto por retroalimentación 15

Simulación de procesos aleatorios 16

Filtro moldeador 16

Modelado de ruido blanco 17

Estimación de características estadísticas de sistemas dinámicos por el método Monte Carlo 18

Precisión de grado 18

Sistemas dinámicos no estacionarios 20

Sistemas dinámicos estacionarios 21

Análisis a posteriori de sistemas dinámicos 22

Filtro Kalman 22

Patrón de movimiento 22

Modelo de medición 23

Corrección 23

Pronóstico 23

Grado 23

Uso del filtrado de Kalman en problemas no lineales 25

mínimos cuadrados 27

Grados de construcción 27

Pronóstico 29

Uso del método de mínimos cuadrados en problemas no lineales 29

Construcción de la matriz de Cauchy 30

Modelado de medidas 30

Métodos numéricos 31

Funciones especiales 31

Simulación de variables aleatorias 31

Variables aleatorias uniformemente distribuidas 31

Variables aleatorias gaussianas 32

Vectores aleatorios 33

Integral de Probabilidades 34

Polinomios de Chebyshev 36

Integración de ecuaciones diferenciales ordinarias 36

Métodos de Runge-Kutta 36

Precisión de los resultados de integración numérica 37

Dorman-Prince anidado 5(4) orden 37

Métodos de varios pasos 39

Métodos Adams 39

Integración de ecuaciones retardadas 40

Comparación de cualidades computacionales de métodos 40

Problema de Arenstorf 40

Funciones elípticas de Jacobi 41

Problema de dos cuerpos 41

Ecuación de Van der Pol 42

Bruselas 42

Cuerda colgante Ecuación de Lagrange 42

Pléyades 42

Hacer una nota explicativa 43

Portada 43

Apartado "Introducción" 44

Apartado "Teoría" 44

Sección "Algoritmo" 44

Sección "Programa" 45

Apartado "Resultados" 45

Apartado "Conclusiones" 45

Sección "Lista de fuentes utilizadas" 45

Aplicaciones 45

literatura 47

Introducción

Este manual contiene pautas para completar tareas para proyectos de curso y para realizar ejercicios prácticos en el curso "Fundamentos de Dinámica Estadística".

El propósito del diseño del curso y los ejercicios prácticos es dominar la tecnología de análisis a priori y a posteriori de sistemas dinámicos no lineales bajo la influencia de perturbaciones aleatorias.

Análisis a priori de sistemas dinámicos

Linealización estadística

La linealización estadística le permite transformar el sistema dinámico no lineal original de tal manera que para su análisis es posible utilizar métodos, algoritmos y relaciones que son válidos para sistemas lineales.

Esta sección está dedicada a la presentación del método de linealización estadística, basado en el enfoque aproximado más simple propuesto por el prof. ES DECIR. Kazakov, que, sin embargo, permite construir estimaciones de la precisión de un sistema que contiene incluso no linealidades significativas con características discontinuas.

La linealización estadística consiste en reemplazar la dependencia no lineal sin inercia original entre los procesos de entrada y salida por una dependencia aproximada, lineal con respecto al proceso aleatorio de entrada centrado, que es estadísticamente equivalente con respecto al original:

Un enlace que tiene una relación tan aproximada entre las señales de entrada y salida se denomina equivalente al enlace no lineal considerado.

El valor se selecciona en función de la condición de igualdad de las expectativas matemáticas de las señales no lineales y linealizadas y se denomina característica estadística promedio del enlace equivalente:

,

donde es la densidad de distribución de la señal de entrada.

Para enlaces no lineales con características impares, es decir en , es conveniente representar la característica estadística en la forma:

es la expectativa matemática de la señal de entrada;
es la ganancia estadística del enlace equivalente en términos del componente medio.

Eso. la dependencia equivalente en este caso toma la forma:

La característica se denomina ganancia estadística del enlace equivalente para el componente aleatorio (fluctuaciones) y se determina de dos maneras.

primera forma

De acuerdo con el primer método de linealización estadística, el coeficiente se selecciona en base a la condición de igualdad de las dispersiones de las señales original y equivalente. Eso. para el cálculo obtenemos la siguiente relación:

,

donde es la varianza de la acción aleatoria de entrada.

El signo en la expresión para está determinado por la naturaleza de la dependencia en la vecindad del valor del argumento. Si aumenta, entonces , y si disminuye, entonces .

segunda forma

El valor según el segundo método se selecciona a partir de la condición de minimizar el error de linealización cuadrático medio:

La razón final para calcular el coeficiente por el segundo método es:

.

En conclusión, observamos que ninguno de los dos métodos de linealización considerados anteriormente asegura la igualdad de las funciones de correlación de las señales de salida de los enlaces no lineales y equivalentes. Los cálculos muestran que para la función de correlación de una señal no lineal, el primer método de selección da una estimación superior y el segundo método da una estimación inferior, es decir los errores en la determinación de la función de correlación de la señal de salida no lineal tienen signos diferentes. Profe. ES DECIR. Kazakov, el autor del método descrito aquí, recomienda elegir como coeficiente de linealización resultante la mitad de la suma de los coeficientes obtenidos por el primer y segundo método.

Filtro de modelado

Por lo general, los parámetros se determinan igualando los coeficientes de los polinomios del numerador y del denominador en la ecuación

con los mismos grados.

Después de determinar la función de transferencia del filtro de conformación, el esquema resultante para modelar un proceso aleatorio se ve como se muestra en la figura.

Por ejemplo, la densidad espectral del proceso a modelar tiene la forma:

,

expectativa matemática, y el ruido blanco con intensidad se usa para modelar, por lo tanto, tiene una densidad espectral unitaria.

Obviamente, el numerador y el denominador de la función de transferencia deseada deben tener órdenes de 1 y 2 (de hecho, al ser módulo al cuadrado, la función de transferencia forma un cociente de polinomios de 2º y 4º grado)

Eso. La función de transferencia del filtro de conformación en su forma más general es la siguiente:

,

y el cuadrado de su módulo:

Igualemos las proporciones obtenidas:

Quitemos los corchetes y del lado derecho de la igualdad, igualando así los coeficientes a cero grados:

,

de donde se siguen claramente las siguientes igualdades:

; ; ; .

Eso. el diagrama de bloques de la formación de un proceso aleatorio con características estadísticas dadas a partir de ruido blanco con una densidad espectral unitaria se ve como se muestra en la figura, teniendo en cuenta los valores calculados de los parámetros del filtro de conformación.

Modelado de ruido blanco

Para simular un proceso aleatorio con características estadísticas dadas, se utiliza ruido blanco como proceso aleatorio de entrada en el filtro de conformación. Sin embargo, el modelado exacto del ruido blanco no es factible debido a la variación infinita de este proceso aleatorio.

Por esta razón, se utiliza un proceso de pasos aleatorios como sustituto del ruido blanco que actúa sobre el sistema dinámico. El intervalo en el que la implementación de un proceso aleatorio mantiene su valor sin cambios (ancho de paso, intervalo de correlación) es un valor constante. Los propios valores de implementación (alturas de paso) son variables aleatorias distribuidas según la ley normal con expectativa matemática cero y varianza limitada. Los valores de los parámetros del proceso (intervalo de correlación y dispersión) están determinados por las características del sistema dinámico, que se ve afectado por el ruido blanco.

La idea del método se basa en el ancho de banda limitado de cualquier sistema dinámico real. Aquellos. la ganancia de un sistema dinámico real disminuye a medida que aumenta la frecuencia de la señal de entrada y, por tanto, existe una frecuencia (menos que infinita) para la que la ganancia del sistema es tan pequeña que se puede poner a cero. Y esto, a su vez, significa que la señal de entrada con una densidad espectral constante, pero limitada por esta frecuencia, para dicho sistema será equivalente al ruido blanco (con una densidad espectral constante e infinita).

Los parámetros del proceso aleatorio equivalente: el intervalo de correlación y la varianza se calculan de la siguiente manera:

donde es el límite de ancho de banda determinado empíricamente del sistema dinámico.

Precisión de estimación

Estimaciones de expectativas

y dispersión

variable aleatoria construida sobre la base del procesamiento de una muestra limitada de sus implementaciones, son en sí mismas variables aleatorias.

Obviamente, cuanto mayor sea el tamaño de la muestra de las implementaciones, más precisa será la estimación imparcial, más cerca estará del valor real del parámetro estimado. A continuación se presentan fórmulas aproximadas basadas en el supuesto de su distribución normal. El intervalo de confianza relativo simétrico para la estimación correspondiente a la probabilidad de confianza está determinado por el valor para el cual la relación es verdadera:

,

Dónde
es el verdadero valor de la expectativa matemática de la variable aleatoria,
es la desviación estándar de la variable aleatoria,
es la integral de probabilidad.

Con base en la relación anterior, la cantidad se puede determinar de la siguiente manera:

,

donde es la función inversa con respecto a la integral de probabilidad .

Dado que no conocemos exactamente la característica de dispersión de la estimación, utilizaremos su valor aproximado calculado utilizando la estimación:

Eso. la relación final que vincula la precisión de la estimación de la expectativa matemática y el tamaño de la muestra en la que se realiza la estimación se ve así:

.

Esto significa que el valor del intervalo de confianza (a un valor constante de la probabilidad de confianza) ubicado simétricamente alrededor de , expresado en fracciones de la desviación estándar estimada, es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.

El intervalo de confianza para estimar la varianza se define de manera similar:

hasta el valor , que, a falta de información más precisa, puede determinarse aproximadamente a partir de la relación:

Eso. el valor del intervalo de confianza (a un valor constante de la probabilidad de confianza ), ubicado simétricamente con respecto a , expresado en sus acciones, es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del valor , donde es el tamaño de la muestra.

Se pueden obtener fórmulas más precisas para construir intervalos de confianza de estimaciones utilizando información precisa sobre la ley de distribución de una variable aleatoria.

Por ejemplo, para la ley de distribución de Gauss, la variable aleatoria

obedece la ley de distribución de Student con un grado de libertad, y la variable aleatoria

distribuidos conforme a la ley también con un grado de libertad.

filtro Kalman

modelo de movimiento

Como es sabido, el filtro de Kalman está diseñado para estimar el vector de estado de un sistema dinámico lineal, cuyo modelo de evolución se puede escribir como:

Dónde
es la matriz de Cauchy, que determina el cambio en el vector de estado del sistema en su propio movimiento (sin acciones de control y ruido) del momento del tiempo al momento del tiempo;
es el vector de acciones forzadas no aleatorias en el sistema (por ejemplo, acciones de control) en el momento del tiempo;
es la matriz de la influencia de las acciones forzadas en el momento del tiempo sobre el vector de estado del sistema en el momento del tiempo;
es el vector de acciones aleatorias independientes centradas en el sistema en el momento del tiempo;
es la matriz de la influencia de las influencias aleatorias en el momento del tiempo sobre el vector de estado del sistema en el momento del tiempo.

Modelo de medición

La estimación se realiza sobre la base del procesamiento estadístico de los resultados de la medición, relacionados linealmente con el vector de estado y distorsionados por un error aditivo imparcial:

donde es una matriz que conecta los vectores de estado y medida al mismo tiempo.

Corrección

La base del filtro de Kalman son las relaciones de corrección, que son el resultado de minimizar la traza de la matriz de covarianza de la densidad de distribución posterior de las estimaciones lineales (a lo largo del vector de medición) del vector de estado del sistema:

Pronóstico

Complementando las relaciones de corrección con relaciones de pronóstico basadas en las propiedades lineales del modelo de evolución del sistema:

donde es la matriz de covarianza del vector, obtenemos fórmulas para el algoritmo bayesiano recurrente para estimar el vector de estado del sistema y su matriz de covarianza con base en el procesamiento estadístico de los resultados de la medición.

Evaluación

Evidentemente, para implementar las relaciones anteriores, es necesario poder construir matrices, a partir del modelo de evolución, una matriz a partir del modelo de medida, así como matrices de covarianza y para cada enésimo momento de tiempo.

Además, para inicializar el proceso computacional, es necesario determinar de alguna manera estimaciones a posteriori, oa priori, del vector de estado y su matriz de covarianza. El término "a priori" o "a posteriori" en este caso significa solo la calidad en la que se usarán el vector de estado y su matriz de covarianza en el algoritmo computacional, y no dice nada sobre cómo se obtuvieron.

Por lo tanto, la elección de la relación a partir de la cual se deben iniciar los cálculos está determinada por los puntos de tiempo a los que se asignan las condiciones de filtrado iniciales y el primer vector de medición sin procesar. Si los puntos de tiempo coinciden, entonces las relaciones de corrección deben aplicarse primero para refinar las condiciones iniciales; si no, entonces las condiciones iniciales primero deben predecirse en el momento de vincular el primer vector de medición sin procesar.

Expliquemos el algoritmo de filtrado de Kalman con la ayuda de una figura.

En la figura, en los ejes de coordenadas (en el canal de movimiento) se muestran varias posibles trayectorias del vector fase:

es la verdadera trayectoria de evolución del vector de fase;
es la evolución del vector de fase, predicha en base al uso del modelo de movimiento y una estimación a priori del vector de fase, referida al tiempo;
es la evolución del vector de fase, predicha en base al uso del modelo de movimiento y una estimación a posteriori (más precisa) del vector de fase, referido al tiempo

Los ejes de coordenadas, (en el canal de medida) en los instantes de tiempo y muestran los resultados de las medidas y:

,

Dónde
es el valor verdadero del vector de medida en el tiempo ;
es el vector de errores de medida realizados en el momento del tiempo.

Para construir una corrección al vector fase a priori del sistema, se utiliza la diferencia entre el resultado de la medida y el valor que se mediría según el modelo de medida del problema si el vector fase, efectivamente, tomara el valor . Como resultado de aplicar las relaciones de corrección a las estimaciones a priori, la estimación del vector de fase del sistema será algo más precisa y tomará el valor

En el momento del tiempo, el resultado del pronóstico se utiliza como una estimación a priori sobre la trayectoria que pasa por el vector de fase, se construye de nuevo la diferencia de medida, según la cual a posteriori se calcula un valor aún más preciso, etc. siempre que haya vectores de medición para procesar o exista la necesidad de predecir el comportamiento del vector de fase.

Método de mínimos cuadrados

Esta sección presenta el método de mínimos cuadrados adaptado para el análisis a posteriori de sistemas dinámicos.

Puntuaciones de construcción

Para el caso de un modelo lineal de iguales medidas:

tenemos el siguiente algoritmo de estimación del vector de fase:

.

Para el caso de medidas desiguales, introducimos la matriz que contiene los coeficientes de peso en la diagonal. Teniendo en cuenta los coeficientes de peso, la relación anterior tomará la forma:

.

Si usamos la matriz inversa a la matriz de covarianza de errores de medición como matriz de ponderación, entonces, teniendo en cuenta que obtenemos:

.

Como se desprende de las relaciones anteriores, la base del método es la matriz que relaciona el vector de fase estimado, referido a un determinado punto en el tiempo, y el vector de medida. El vector tiene, por regla general, una estructura de bloques, en la que cada uno de los bloques está asignado a algún punto en el tiempo, que en general no coincide con .

La figura muestra una posible disposición mutua de los puntos en el tiempo a los que se refieren las mediciones y el punto en el tiempo al que se refiere el vector de parámetros estimados.

Para cada vector, la siguiente relación es verdadera:

, en .

Así, en la relación de mínimos cuadrados resultante, el vector y la matriz tienen la siguiente estructura:

; .

Dónde
– determina un efecto forzado no aleatorio en el sistema;
– determina el impacto aleatorio en el sistema.

Se pueden usar relaciones de predicción, que se encontraron anteriormente en la descripción del algoritmo de filtrado de Kalman:

donde es la matriz de covarianza del vector .

Construcción de la matriz de Cauchy

En los problemas de construcción de estimaciones por métodos de procesamiento estadístico de mediciones, a menudo se encuentra el problema de construir la matriz de Cauchy. Esta matriz conecta los vectores de fase del sistema, referidos a diferentes momentos de tiempo, en su propio movimiento.

En esta sección, nos limitamos a considerar cuestiones relacionadas con la construcción de la matriz de Cauchy para un modelo de evolución escrito como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (lineales o no lineales).

donde se utiliza la siguiente notación para las matrices de proporcionalidad construidas en las cercanías de la trayectoria de referencia, :

; .

Modelado de dimensiones

El problema surge cuando, por ejemplo, al estimar la precisión potencialmente alcanzable de un método en algún problema, no tiene ningún resultado de medición. En este caso, los resultados de la medición deben simularse. La peculiaridad de modelar los resultados de la medición es que los modelos de movimiento y medición utilizados para este propósito pueden no coincidir con los modelos que utilizará en el curso de la construcción de estimaciones utilizando uno u otro método de filtrado.

Como condiciones iniciales para modelar la evolución del vector fase de un sistema dinámico, se deben utilizar los valores reales de las coordenadas de este vector. Además de este lugar, los valores reales de las coordenadas del vector de fase del sistema no deben usarse en ningún otro lugar.

Métodos numéricos

Características especiales

Vectores aleatorios

El problema, cuya solución se describe en esta subsección, es modelar un vector de variables aleatorias gaussianas correlacionadas.

Deje que el vector aleatorio , a modelar, se forme sobre la base de la transformación del vector de variables aleatorias estándar no correlacionadas de la dimensión correspondiente de la siguiente manera: con una precisión de 4 dígitos, basado en la expansión en series en potencias del argumento para sus tres intervalos.

En , la suma de la serie asintótica se vuelve casi igual a 1.

Introducción

Dado que el concepto de un sistema dinámico no lineal es lo suficientemente rico como para cubrir una gama extremadamente amplia de procesos en los que el comportamiento futuro del sistema está determinado por el pasado, los métodos de análisis desarrollados en este campo son útiles en una gran variedad de contextos.

La dinámica no lineal entra en la literatura al menos de tres maneras. En primer lugar, hay casos en los que se recopilan y analizan datos experimentales sobre el cambio en el tiempo de una o más cantidades mediante técnicas basadas en la teoría dinámica no lineal, con suposiciones mínimas sobre las ecuaciones subyacentes que gobiernan el proceso que produce los datos. Es decir, es un caso en el que uno busca encontrar correlaciones en los datos que puedan guiar el desarrollo de un modelo matemático, en lugar de primero adivinar el modelo y luego compararlo con los datos.

En segundo lugar, hay casos en los que la teoría dinámica no lineal se puede utilizar para afirmar que algún modelo simplificado debe demostrar características importantes de un sistema dado, lo que implica que el modelo descriptivo se puede construir y estudiar en una amplia gama de parámetros. Esto a menudo da como resultado modelos que se comportan cualitativamente de manera diferente bajo diferentes parámetros y demuestran que una región exhibe un comportamiento muy similar al comportamiento observado en el sistema real. En muchos casos, el comportamiento del modelo es bastante sensible a los cambios en los parámetros, por lo que si los parámetros del modelo se pueden medir en un sistema real, el modelo exhibe un comportamiento realista en estos valores y uno puede estar seguro de que el modelo captura las características esenciales del sistema.

En tercer lugar, hay casos en los que las ecuaciones del modelo se construyen sobre la base de descripciones detalladas de la física conocida. Los experimentos numéricos pueden proporcionar información sobre variables que no están disponibles para los experimentos físicos.

Basado en el segundo camino, este trabajo es una extensión de mi trabajo anterior "Modelo dinámico no lineal de industrias interdependientes", así como otro trabajo (Dmitriev, 2015)

Todas las definiciones necesarias y otra información teórica necesaria en el trabajo aparecerán en el primer capítulo, según sea necesario. Se darán aquí dos definiciones, que son necesarias para la divulgación del tema de investigación en sí.

Primero, definamos la dinámica del sistema. Según una de las definiciones, la dinámica de sistemas es un enfoque de modelado de simulación que, gracias a sus métodos y herramientas, ayuda a evaluar la estructura de sistemas complejos y su dinámica (Shterman). Vale la pena agregar que la dinámica de sistemas también es una técnica de modelado que se utiliza para recrear modelos informáticos correctos (en términos de precisión) para sistemas complejos para uso futuro con el fin de crear una empresa/organización más eficiente, así como mejorar los métodos de interacción con un sistema dado. La mayor parte de la necesidad de la dinámica del sistema surge cuando se confronta con modelos estratégicos a largo plazo, y también vale la pena señalar que es bastante abstracto.

Hablando de dinámica diferencial no lineal, consideraremos un sistema no lineal que, por definición, es un sistema en el que el cambio en el resultado no es proporcional al cambio en los parámetros de entrada, y en el que la función describe la dependencia del cambio en el tiempo y la posición de un punto en el espacio (Boeing, 2016).

Con base en las definiciones anteriores, queda claro que este trabajo considerará varios sistemas diferenciales no lineales que describen la interacción de las empresas, así como modelos de simulación construidos sobre su base. En base a esto, se determinará el propósito del trabajo.

Así, el propósito de este trabajo es realizar un análisis cualitativo de los sistemas dinámicos que describen la interacción de las empresas en una primera aproximación y construir un modelo de simulación a partir de ellos.

Para lograr este objetivo, se identificaron las siguientes tareas:

Determinación de la estabilidad del sistema.

Construcción de retratos de fase.

Encontrar trayectorias integrales de sistemas.

Construcción de modelos de simulación.

Cada una de estas tareas estará dedicada a una de las secciones de cada uno de los capítulos del trabajo.

Con base en la práctica, la construcción de estructuras matemáticas fundamentales que modelan efectivamente la dinámica en varios sistemas y procesos físicos, indica que el modelo matemático correspondiente refleja en cierta medida la proximidad con el original en estudio, cuando sus rasgos característicos pueden derivarse de las propiedades y estructura del tipo de movimiento que forma la dinámica del sistema. Hasta la fecha, la ciencia económica se encuentra en una etapa de su desarrollo, en la que se utilizan con especial eficacia métodos nuevos y, en muchos casos, no estándar y métodos de modelado físico y matemático de procesos económicos. Aquí es donde se desprende la conclusión sobre la necesidad de crear, estudiar y construir modelos que de alguna manera puedan describir la situación económica.

En cuanto a la razón para elegir el análisis cualitativo en lugar del cuantitativo, vale la pena señalar que en la gran mayoría de los casos, los resultados y conclusiones de un análisis cualitativo de sistemas dinámicos resultan ser más significativos que los resultados de su análisis cuantitativo. En tal situación, es apropiado señalar las declaraciones de V.P. Milovanov, en el que afirma que tradicionalmente se cree que los resultados esperados al aplicar métodos matemáticos al análisis de objetos reales deben reducirse a un resultado numérico. En este sentido, los métodos cualitativos tienen una tarea algo diferente. Se centra en lograr un resultado que describa la calidad del sistema, en la búsqueda de rasgos característicos de todos los fenómenos en su conjunto, en la previsión. Por supuesto, es importante comprender cómo cambiará la demanda cuando cambien los precios de cierto tipo de bienes, pero no olvide que es mucho más importante comprender si habrá escasez o excedente de estos bienes en tales condiciones (Dmitriev, 2016).

El objeto de este estudio es la dinámica diferencial no lineal y de sistemas.

En este caso, el tema de investigación es la descripción del proceso de interacción entre empresas a través de diferenciales no lineales y dinámicas de sistemas.

Hablando de la aplicación práctica del estudio, vale la pena dividirlo inmediatamente en dos partes. A saber, teórico, es decir, un análisis cualitativo de sistemas, y práctico, en el que se considerará la construcción de modelos de simulación.

La parte teórica de este estudio proporciona conceptos y fenómenos básicos. Considera sistemas diferenciales simples, como en los trabajos de muchos otros autores (Teschl, 2012; Nolte, 2015), pero al mismo tiempo permite describir la interacción entre empresas. Con base en esto, en el futuro será posible realizar estudios más profundos, o bien comenzar a familiarizarse con lo que constituye un análisis cualitativo de los sistemas.

La parte práctica del trabajo se puede utilizar para crear un sistema de apoyo a la decisión. Sistema de soporte de decisiones: un sistema de información automatizado destinado a respaldar los negocios o la toma de decisiones en una organización, lo que le permite elegir entre muchas alternativas diferentes (Keen, 1980). Incluso si los modelos no son muy precisos en este momento, pero al cambiarlos por una empresa específica, puede lograr resultados más precisos. Así, al cambiar en ellos diversos parámetros y condiciones que pueden surgir en el mercado, se puede obtener una previsión de futuro y tomar una decisión más rentable con antelación.

1. Interacción de empresas en las condiciones del mutualismo

El artículo presentará sistemas bidimensionales que son bastante simples en comparación con sistemas de orden superior, pero que al mismo tiempo nos permiten demostrar las relaciones entre organizaciones que necesitamos.

Merece la pena empezar a trabajar con la elección del tipo de interacción, que se describirá más adelante, ya que para cada uno de los tipos los sistemas que los describen son, aunque ligeramente, diferentes. La Figura 1.1 muestra la clasificación de Yujim Odum para la interacción de la población modificada para la interacción económica (Odum, 1968), en base a la cual consideraremos más a fondo la interacción de las empresas.

Figura 1.1. Tipos de interacción entre empresas

Basándonos en la Figura 1.1, destacamos 4 tipos de interacción y presentamos para cada uno de ellos un sistema de ecuaciones que los describe basado en el modelo de Malthus (Malthus, 1798). Según él, la tasa de crecimiento es proporcional a la abundancia actual de la especie, es decir, puede describirse mediante la siguiente ecuación diferencial:

donde a es un parámetro que depende del crecimiento natural de la población. También vale la pena agregar que en los sistemas considerados a continuación, todos los parámetros, así como las variables, toman valores no negativos.

La producción de materias primas es la producción de productos, que es similar al modelo depredador-presa. El modelo depredador-presa, también conocido como modelo de Lotka-Volterra, es un par de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden que describen la dinámica de un sistema biológico con dos especies, una depredadora y otra presa (Llibre, 2007). El cambio en la abundancia de estas especies se describe mediante el siguiente sistema de ecuaciones:

(1.2)

donde - caracteriza el crecimiento de la producción de la primera empresa sin la influencia de la segunda (en el caso del modelo depredador-presa, el crecimiento de la población de presas sin depredadores),

Caracteriza el crecimiento de la producción de la segunda empresa sin la influencia de la primera (crecimiento de la población de depredadores sin presa),

Caracteriza el crecimiento de la producción de la primera empresa, teniendo en cuenta la influencia de la segunda empresa en ella (un aumento en el número de presas al interactuar con los depredadores),

Caracteriza el crecimiento de la producción de la segunda empresa, teniendo en cuenta la influencia de la primera empresa en ella (un aumento en el número de depredadores durante su interacción con las víctimas).

Por un lado, el depredador, como se puede ver en el sistema, así como la clasificación de Odum, su interacción impone un efecto favorable. Por otro desfavorable. Si se considera en realidades económicas, entonces, como se puede ver en la figura, el análogo más simple es el fabricante y su proveedor de recursos, que corresponden al depredador y la presa, respectivamente. Así, en ausencia de materias primas, la producción disminuye exponencialmente.

La competencia es la rivalidad entre dos o más (en nuestro caso, estamos considerando sistemas bidimensionales, por lo que tomamos competencia de dos especies exactamente) especies, grupos económicos por territorios, recursos limitados u otros valores (Elton, 1968). Los cambios en el número de especies, o el número de productos en nuestro caso, se describen mediante el siguiente sistema:

(1.3)

En este caso, las especies o empresas que producen un producto se afectan negativamente entre sí. Es decir, en ausencia de un competidor, el crecimiento del producto aumentará exponencialmente.

Ahora pasemos a una interacción simbiótica, en la que ambas empresas tienen una influencia positiva entre sí. Comencemos con el mutualismo. El mutualismo es un tipo de relación entre diferentes especies en la que cada una de ellas se beneficia de las acciones de la otra, y cabe señalar que la presencia de un compañero es una condición necesaria para la existencia (Thompson, 2005). Este tipo de relación es descrita por el sistema:

(1.4)

Dado que la interacción entre empresas es necesaria para su existencia, en ausencia del producto de una empresa, la producción de bienes de otra disminuye exponencialmente. Esto es posible cuando las empresas simplemente no tienen otras alternativas para la adquisición.

Considere otro tipo de interacción simbiótica, la protocooperación. La protocooperación es similar al mutualismo, con la única excepción de que no es necesario que exista un socio, ya que, por ejemplo, existen otras alternativas. Como son similares, sus sistemas se ven casi idénticos entre sí:

(1.5)

Por lo tanto, la ausencia del producto de una empresa no impide el crecimiento del producto de otra empresa.

Por supuesto, además de las enumeradas en los párrafos 3 y 4, se pueden señalar otros tipos de relaciones simbióticas: comensalismo y amensalismo (Hanski, 1999). Pero no se mencionarán más, ya que en el comensalismo uno de los socios es indiferente a su interacción con el otro, pero aún consideramos casos donde hay influencia. Y el amensalismo no se considera, porque desde un punto de vista económico, tales relaciones, cuando su interacción daña a uno y el otro es indiferente, simplemente no pueden existir.

Con base en la influencia de las empresas entre sí, es decir, el hecho de que las relaciones simbióticas conducen a una coexistencia sostenible de las empresas, en este artículo consideraremos solo casos de mutualismo y protocooperación, ya que en ambos casos la interacción es beneficiosa para todos.

Este capítulo está dedicado a la interacción de las empresas en las condiciones del mutualismo. Considerará dos sistemas que son un desarrollo posterior de los sistemas basados ​​en el modelo de Malthus, a saber, los sistemas con restricciones impuestas al aumento de la producción.

La dinámica de un par conectado por relaciones mutualistas, como se mencionó anteriormente, puede ser descrita en primera aproximación por el sistema:

(1.6)

Se puede ver que con una gran cantidad inicial de producción, el sistema crece indefinidamente, y con una pequeña cantidad, la producción cae. Aquí es donde radica la incorrección de la descripción bilineal del efecto que surge del mutualismo. Para tratar de corregir el cuadro, introducimos un factor parecido a la saturación de un depredador, es decir, un factor que reducirá la tasa de crecimiento de la producción, si es en exceso. En este caso, llegamos al siguiente sistema:

(1.7)

donde es el crecimiento en la producción del producto de la primera empresa durante su interacción con la segunda, teniendo en cuenta la saturación,

Crecimiento en la producción del producto de la segunda empresa en su interacción con la primera, teniendo en cuenta la saturación,

Coeficientes de saturación.

Así, obtuvimos dos sistemas: el modelo malthusiano de crecimiento con y sin saturación.

1.1 Estabilidad de sistemas en primera aproximación

La estabilidad de los sistemas en primera aproximación se considera en muchos trabajos, tanto extranjeros (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 y otros) como en ruso (Akhromeyeva, 1992; Bellman, 1954; Demidovich, 1967; Krasovsky, 1959 y otros), y su definición es un paso básico para analizar los procesos que ocurren en el sistema Para hacer esto, realice los siguientes pasos necesarios:

Encontremos los puntos de equilibrio.

Encontremos la matriz jacobiana del sistema.

Encuentre los valores propios de la matriz jacobiana.

Clasificamos los puntos de equilibrio según el teorema de Lyapunov.

Habiendo considerado los pasos, vale la pena detenerse en su explicación con más detalle, por lo que daré definiciones y describiré los métodos que usaremos en cada uno de estos pasos.

El primer paso, la búsqueda de puntos de equilibrio. Para encontrarlos, igualamos cada función a cero. Es decir, resolvemos el sistema:

donde a y b significan todos los parámetros de la ecuación.

El siguiente paso es encontrar la matriz jacobiana. En nuestro caso, esta será una matriz de 2 por 2 con primeras derivadas en algún punto, como se muestra a continuación:

Después de completar los dos primeros pasos, se procede a encontrar las raíces de la siguiente ecuación característica:

Donde el punto corresponde a los puntos de equilibrio encontrados en el primer paso.

Habiendo encontrado y , pasamos al cuarto paso y usamos los siguientes teoremas de Lyapunov (Parks, 1992):

Teorema 1: Si todas las raíces de la ecuación característica tienen parte real negativa, entonces el punto de equilibrio correspondiente a los sistemas original y linealizado es asintóticamente estable.

Teorema 2: Si al menos una de las raíces de la ecuación característica tiene parte real positiva, entonces el punto de equilibrio correspondiente a los sistemas original y linealizado es asintóticamente inestable.

Además, mirando y es posible determinar el tipo de estabilidad con mayor precisión, con base en la división que se muestra en las Figuras 1.2 (Universidad Lamar).

Figura 1.2. Tipos de estabilidad de los puntos de equilibrio

Habiendo considerado la información teórica necesaria, pasamos al análisis de sistemas.

Considere un sistema sin saturación:

Es muy simple y no apto para uso práctico, ya que no tiene restricciones. Pero como primer ejemplo de análisis de sistemas es adecuado para su consideración.

Primero, encontremos los puntos de equilibrio igualando los lados derechos de las ecuaciones a cero. Así, encontramos dos puntos de equilibrio, llamémoslos A y B: .

Combinemos el paso con la búsqueda de la matriz jacobiana, las raíces de la ecuación característica y la determinación del tipo de estabilidad. Como son elementales, inmediatamente obtenemos la respuesta:

1. En el punto , , hay un nudo estable.

En el punto: ... silla de montar.

Como ya escribí, este sistema es demasiado trivial, por lo que no se requiere explicación.

Ahora analicemos el sistema desde la saturación:

(1.9)

La aparición de una restricción a la saturación mutua de productos por parte de las empresas nos acerca a la imagen real de lo que está sucediendo y también complica un poco el sistema.

Como antes, igualamos las partes correctas del sistema a cero y resolvemos el sistema resultante. El punto permaneció sin cambios, pero el otro punto en este caso contiene más parámetros que antes: .

En este caso, la matriz de Jacobi toma la siguiente forma:

Reste de ella la matriz identidad multiplicada por , e iguale el determinante de la matriz resultante en los puntos A y B a cero.

En el punto de una imagen temprana similar:

nodo estable.

Pero en el punto todo es algo más complicado, y aunque la matemática sigue siendo bastante simple, la complejidad provoca el inconveniente de trabajar con expresiones literales largas. Dado que los valores resultan ser bastante largos e inconvenientemente anotados, no se dan, basta decir que en este caso, al igual que con el sistema anterior, el tipo de estabilidad que se obtiene es una silla de montar.

2 Retratos de fase de sistemas

La gran mayoría de los modelos dinámicos no lineales son ecuaciones diferenciales complejas que no pueden resolverse o presentan algún tipo de complejidad. Un ejemplo es el sistema de la sección anterior. A pesar de la aparente simplicidad, encontrar el tipo de estabilidad en el segundo punto de equilibrio no fue una tarea fácil (aunque no desde un punto de vista matemático), y con un aumento en los parámetros, restricciones y ecuaciones para aumentar el número de empresas que interactúan, la complejidad solo aumentará. Por supuesto, si los parámetros son expresiones numéricas, entonces todo se volverá increíblemente simple, pero el análisis de alguna manera perderá todo significado, porque al final, podremos encontrar puntos de equilibrio y descubrir sus tipos de estabilidad solo para un caso específico, no general.

En tales casos, vale la pena recordar el plano de fase y los retratos de fase. En matemáticas aplicadas, en particular en el contexto del análisis de sistemas no lineales, el plano de fase es una representación visual de ciertas características de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales (Nolte, 2015). El plano de coordenadas con ejes de valores de cualquier par de variables que caracterizan el estado del sistema es un caso bidimensional de un espacio de fase n-dimensional común.

Gracias al plano de fase, es posible determinar gráficamente la existencia de ciclos límite en soluciones de una ecuación diferencial.

Las soluciones de una ecuación diferencial son una familia de funciones. Gráficamente, esto se puede trazar en el plano de fase como un campo vectorial bidimensional. Los vectores se dibujan en el plano, representando derivadas en puntos característicos con respecto a algún parámetro, en nuestro caso, con respecto al tiempo, es decir (). Con suficientes de estas flechas en un área, se puede visualizar el comportamiento del sistema y se pueden identificar fácilmente los ciclos límite (Boeing, 2016).

El campo vectorial es un retrato de fase, un camino particular a lo largo de la línea de flujo (es decir, un camino siempre tangente a los vectores) es un camino de fase. Los flujos en un campo vectorial indican el cambio en el sistema a lo largo del tiempo, descrito por una ecuación diferencial (Jordan, 2007).

Vale la pena señalar que se puede construir un retrato de fase incluso sin resolver la ecuación diferencial y, al mismo tiempo, una buena visualización puede proporcionar mucha información útil. Además, en la actualidad existen muchos programas que pueden ayudar con la construcción de diagramas de fase.

Por lo tanto, los planos de fase son útiles para visualizar el comportamiento de los sistemas físicos. En particular, los sistemas oscilatorios, como el modelo depredador-presa ya mencionado anteriormente. En estos modelos, las trayectorias de fase pueden "torcerse" hacia cero, "salir de una espiral" hasta el infinito o alcanzar una situación estable neutra llamada centro. Esto es útil para determinar si la dinámica es estable o no (Jordan, 2007).

Los retratos de fase que se presentan en esta sección se crearán con las herramientas de WolframAlpha o se obtendrán de otras fuentes. Modelo de crecimiento malthusiano sin saturación.

Construyamos un retrato de fase del primer sistema con tres conjuntos de parámetros para comparar su comportamiento. El conjunto A ((1.1), (1.1)), que se denominará conjunto unitario en lo que sigue, el conjunto B ((10.0.1), (2.2)), cuando se elige, el sistema experimenta un fuerte descenso en la producción, y el conjunto C ((1.10), (1.10)), en el que, por el contrario, se produce un fuerte e ilimitado crecimiento. Cabe señalar que los valores a lo largo de los ejes en todos los casos estarán en los mismos intervalos de -10 a 10, por conveniencia de comparar los diagramas de fase entre sí. Por supuesto, esto no se aplica a un retrato cualitativo del sistema, cuyos ejes son adimensionales.

Figura 1.3 Retrato de fase con parámetros A

ecuación de límite diferencial de mutualismo

La figura 1.3 anterior muestra los retratos de fase del sistema para los tres conjuntos de parámetros especificados, así como el retrato de fase que describe el comportamiento cualitativo del sistema. No olvides que el más importante desde un punto de vista práctico es el primer trimestre, ya que la cantidad de producción, que solo puede ser no negativa, son nuestros ejes.

En cada una de las figuras se aprecia claramente la estabilidad en el punto de equilibrio (0,0). Y en la primera figura, el "punto de silla" también se nota en el punto (1,1), en otras palabras, si reemplazamos los valores del conjunto de parámetros en el sistema, entonces en el punto de equilibrio B. Cuando los límites de la construcción del modelo cambian, el punto de silla también se encuentra en otros retratos de fase.

Modelo maltusiano de crecimiento a partir de la saturación.

Construyamos diagramas de fase para el segundo sistema, en el que hay saturación, con tres nuevos conjuntos de valores de parámetros. Conjunto A, ((0.1,15,100), (0.1,15,100)), conjunto B ((1,1,0.5), (1, 1,0.5)) y conjunto C ((20,1,100), (20,1,100)).

Figura 1.4. Retrato de fase con parámetros A

Como puede ver, para cualquier conjunto de parámetros, el punto (0,0) es equilibrio y también estable. También en algunas figuras se puede ver un punto de silla.

En este caso, se consideraron diferentes escalas para demostrar más claramente que incluso cuando se agrega un factor de saturación al sistema, la imagen cualitativa no cambia, es decir, la saturación por sí sola no es suficiente. Debe tenerse en cuenta que, en la práctica, las empresas necesitan estabilidad, es decir, si consideramos ecuaciones diferenciales no lineales, lo que más nos interesa son los puntos de equilibrio estables, y en estos sistemas, solo los puntos cero son tales puntos, lo que significa que tales modelos matemáticos claramente no son adecuados para las empresas. Después de todo, esto significa que solo con producción cero, las empresas están estables, lo que es claramente diferente de la imagen real del mundo.

En matemáticas, una curva integral es una curva paramétrica que representa una solución específica a una ecuación diferencial ordinaria o sistema de ecuaciones (Lang, 1972). Si la ecuación diferencial se representa como un campo vectorial, entonces las curvas integrales correspondientes son tangentes al campo en cada punto.

Las curvas integrales también se conocen con otros nombres, dependiendo de la naturaleza e interpretación de la ecuación diferencial o campo vectorial. En física, las curvas integrales de un campo eléctrico o magnético se conocen como líneas de campo, y las curvas integrales de un campo de velocidad de un fluido se conocen como líneas de corriente. En los sistemas dinámicos, las curvas integrales de una ecuación diferencial se denominan trayectorias.

Figura 1.5. Curvas integrales

Las soluciones de cualquiera de los sistemas también se pueden considerar como ecuaciones de curvas integrales. Obviamente, cada trayectoria de fase es una proyección de alguna curva integral en el espacio x,y,t sobre el plano de fase.

Hay varias formas de construir curvas integrales.

Uno de ellos es el método de la isoclina. Una isoclina es una curva que pasa por puntos en los que la pendiente de la función considerada siempre será la misma, independientemente de las condiciones iniciales (Hanski, 1999).

A menudo se utiliza como un método gráfico para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Por ejemplo, en una ecuación de la forma y"= f(x, y), las isoclinas son líneas en el plano (x, y) obtenidas al igualar f(x, y) a una constante. Esto da una serie de líneas (para diferentes constantes) a lo largo de las cuales las curvas de solución tienen el mismo gradiente. Al calcular este gradiente para cada isoclina, se puede visualizar el campo de pendiente, lo que hace que sea relativamente fácil dibujar curvas de solución aproximadas. La siguiente figura muestra un ejemplo del uso del método de isoclina.

Figura 1.6. método de isoclina

Este método no requiere cálculos informáticos y fue muy popular en el pasado. Ahora existen soluciones de software que construirán curvas integrales en computadoras con extrema precisión y rapidez. Sin embargo, aún así, el método de las isoclinas se ha mostrado como una buena herramienta para estudiar el comportamiento de las soluciones, ya que permite mostrar las áreas de comportamiento típico de las curvas integrales.

Modelo de crecimiento malthusiano sin saturación.

Comencemos con el hecho de que, a pesar de la existencia de diferentes métodos de construcción, no es tan fácil mostrar las curvas integrales de un sistema de ecuaciones. El método de la isoclina mencionado anteriormente no es adecuado porque funciona para ecuaciones diferenciales de primer orden. Y las herramientas de software que tienen la capacidad de trazar tales curvas no son de dominio público. Por ejemplo, se paga Wolfram Mathematica, que es capaz de hacer esto. Por ello, intentaremos utilizar en la medida de lo posible las capacidades de Wolfram Alpha, cuyo trabajo se describe en diversos artículos y trabajos (Orca, 2009). Incluso a pesar de que la imagen claramente no será del todo confiable, pero al menos le permitirá mostrar la dependencia en los planos (x, t), (y, t). Primero, resolvamos cada una de las ecuaciones para t. Es decir, derivamos la dependencia de cada una de las variables con respecto al tiempo. Para este sistema obtenemos:

(1.10)

(1.11)

Las ecuaciones son simétricas, por lo que consideramos solo una de ellas, a saber, x(t). Sea la constante igual a 1. En este caso, usaremos la función de trazado.

Figura 1.7. Modelo tridimensional para la ecuación (1.10)

Modelo maltusiano de crecimiento a partir de la saturación.

Hagamos lo mismo con el otro modelo. Finalmente, obtenemos dos ecuaciones que demuestran la dependencia de las variables en el tiempo.

(1.12)

(1.13)

Construyamos un modelo tridimensional y líneas de nivel nuevamente.

Figura 1.8. Modelo tridimensional para la ecuación (1.12)

Dado que los valores de las variables no son negativos, en la fracción con el exponente obtenemos un número negativo. Así, la curva integral decrece con el tiempo.

Anteriormente, se dio una definición de dinámica de sistemas para comprender la esencia del trabajo, pero ahora detengámonos en esto con más detalle.

La dinámica de sistemas es una metodología y método de modelado matemático para la formación, comprensión y discusión de problemas complejos, desarrollado originalmente en la década de 1950 por Jay Forrester y descrito en su obra (Forrester, 1961).

La dinámica de sistemas es un aspecto de la teoría de sistemas como método para comprender el comportamiento dinámico de sistemas complejos. La base del método es el reconocimiento de que la estructura de cualquier sistema consta de numerosas relaciones entre sus componentes, que a menudo son tan importantes para determinar su comportamiento como los propios componentes individuales. Ejemplos son la teoría del caos y la dinámica social, descritas en los trabajos de varios autores (Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Kuznetsov, 2001; Tabor, 2001). También se argumenta que dado que las propiedades del todo a menudo no se pueden encontrar en las propiedades de los elementos, en algunos casos el comportamiento del todo no se puede explicar en términos del comportamiento de las partes.

La simulación realmente puede mostrar la importancia práctica completa de un sistema dinámico. Aunque es posible en hojas de cálculo, existen muchos paquetes de software que han sido optimizados específicamente para este propósito.

El modelado en sí es el proceso de crear y analizar un prototipo de un modelo físico para predecir su desempeño en el mundo real. El modelado de simulación se utiliza para ayudar a los diseñadores e ingenieros a comprender en qué condiciones y en qué casos puede fallar un proceso y qué cargas puede soportar (Khemdy, 2007). El modelado también puede ayudar a predecir el comportamiento de los flujos de fluidos y otros fenómenos físicos. El modelo analiza las condiciones de trabajo aproximadas debido al software de simulación aplicado (Strogalev, 2008).

Las limitaciones en las posibilidades del modelado de simulación tienen una causa común. La construcción y el cálculo numérico de un modelo exacto garantiza el éxito solo en aquellas áreas donde existe una teoría cuantitativa exacta, es decir, cuando se conocen las ecuaciones que describen ciertos fenómenos y la tarea es solo resolver estas ecuaciones con la precisión requerida. En aquellas áreas donde no existe una teoría cuantitativa, la construcción de un modelo exacto tiene un valor limitado (Bazykin, 2003).

Sin embargo, las posibilidades de modelado no son ilimitadas. En primer lugar, esto se debe a que es difícil evaluar el alcance de la aplicabilidad del modelo de simulación, en particular, el período de tiempo para el cual se puede construir el pronóstico con la precisión requerida (Law, 2006). Además, por su naturaleza, el modelo de simulación está ligado a un objeto específico, y al intentar aplicarlo a otro objeto, incluso similar, requiere un ajuste radical o, al menos, una modificación significativa.

Hay una razón general para la existencia de limitaciones en la simulación. La construcción y cálculo numérico de un modelo “exacto” tiene éxito solo si existe una teoría cuantitativa, es decir, solo si se conocen todas las ecuaciones, y el problema se reduce solo a resolver estas ecuaciones con cierta precisión (Bazykin, 2003).

Pero aún a pesar de esto, el modelado de simulación es una excelente herramienta para visualizar procesos dinámicos, permitiendo, con un modelo más o menos correcto, tomar decisiones en base a sus resultados.

En este trabajo se construirán modelos de sistemas utilizando las herramientas de dinámica de sistemas que ofrece el programa AnyLogic.

Modelo de crecimiento malthusiano sin saturación/

Antes de construir un modelo, es necesario considerar los elementos de dinámica de sistemas que utilizaremos y relacionarlos con nuestro sistema. Las siguientes definiciones han sido tomadas de la información de ayuda del programa AnyLogic.

El accionamiento es el elemento principal de los diagramas de dinámica de sistemas. Se utilizan para representar objetos del mundo real, en los que se acumulan determinados recursos: dinero, sustancias, números de grupos de personas, algunos objetos materiales, etc. Los acumuladores reflejan el estado estático del sistema simulado, y sus valores cambian con el tiempo de acuerdo con los flujos existentes en el sistema. De ello se deduce que la dinámica del sistema está determinada por los flujos. Los flujos que entran y salen del acumulador aumentan o disminuyen los valores del acumulador.

El flujo, así como la impulsión antes mencionada, es el elemento principal de los diagramas dinámicos de sistemas.

Mientras que los contenedores definen la parte estática del sistema, los flujos determinan la tasa de cambio de los contenedores, es decir, cómo cambian las existencias con el tiempo y, por lo tanto, determinan la dinámica del sistema.

El agente puede contener variables. Las variables se utilizan normalmente para modelar las características cambiantes de un agente o para almacenar los resultados del modelo. Por lo general, las variables dinámicas consisten en funciones de acumulador.

El agente puede tener parámetros. Los parámetros se utilizan a menudo para representar algunas de las características del objeto modelado. Son útiles cuando las instancias de objetos tienen el mismo comportamiento que se describe en la clase, pero difieren en algunos valores de parámetros. Hay una clara diferencia entre variables y parámetros. La variable representa el estado del modelo y puede cambiar durante la simulación. El parámetro se usa generalmente para describir objetos estáticamente. Durante una "ejecución" del modelo, el parámetro suele ser una constante y se cambia solo cuando es necesario reconfigurar el comportamiento del modelo.

Un enlace es un elemento de la dinámica del sistema que se utiliza para determinar la relación entre los elementos de un diagrama de flujo y los acumuladores. No crea enlaces automáticamente, pero obliga al usuario a dibujarlos explícitamente en el editor gráfico (sin embargo, vale la pena señalar que AnyLogic también admite un mecanismo para establecer rápidamente los enlaces faltantes). Como ejemplo, si se menciona algún elemento de A en la ecuación o el valor inicial del elemento B, primero debe conectar estos elementos con un enlace que vaya de A a B, y solo luego ingrese la expresión en las propiedades de B.

Hay algunos otros elementos de dinámica de sistemas, pero no estarán involucrados en el curso del trabajo, así que los omitiremos.

Para empezar, consideremos en qué consistirá el modelo del sistema (1.4).

Primero, marcamos inmediatamente dos unidades, que contendrán los valores de la cantidad de producción de cada una de las empresas.

En segundo lugar, dado que tenemos dos términos en cada ecuación, obtenemos dos flujos para cada uno de los impulsores, uno entrante y otro saliente.

En tercer lugar, pasamos a variables y parámetros. Solo hay dos variables. X e Y, responsables del crecimiento de la producción. También tenemos cuatro opciones.

Cuarto, en cuanto a las conexiones, cada uno de los flujos debe estar asociado a las variables y parámetros incluidos en la ecuación de flujo, y ambas variables deben estar asociadas a acumuladores para cambiar el valor en el tiempo.

Dejaremos una descripción detallada de la construcción de un modelo, como ejemplo de trabajo en el entorno de modelado AnyLogic, para el próximo sistema, ya que es algo más complicado y utiliza más parámetros, e inmediatamente procederemos a considerar la versión final del sistema.

La Figura 1.9 a continuación muestra el modelo construido:

Figura 1.9. Modelo de dinámica de sistemas para el sistema (1.4)

Todos los elementos de la dinámica del sistema corresponden a los descritos anteriormente, es decir dos unidades, cuatro flujos (dos entrantes, dos salientes), cuatro parámetros, dos variables dinámicas y los enlaces necesarios.

La figura muestra que cuantos más productos, más fuerte es su crecimiento, lo que conduce a un fuerte aumento en la cantidad de bienes, que corresponde a nuestro sistema. Pero como se mencionó anteriormente, la ausencia de restricciones a este crecimiento no permite la aplicación de este modelo en la práctica.

Modelo de crecimiento maltusiano a partir de la saturación/

Teniendo en cuenta este sistema, detengámonos en la construcción del modelo con más detalle.

El primer paso es agregar dos unidades, llamémoslas X_stock e Y_stock. Asignemos a cada uno de ellos un valor inicial igual a 1. Tenga en cuenta que en ausencia de flujos, no hay nada en la ecuación de almacenamiento dada clásicamente.

Figura 1.10. Construcción de un modelo de sistema (1.9)

El siguiente paso es agregar hilos. Construyamos un flujo entrante y saliente para cada unidad usando un editor gráfico. No debemos olvidar que uno de los bordes del flujo debe estar en la unidad, de lo contrario, no se conectarán.

Puede ver que la ecuación para la unidad se configuró automáticamente, por supuesto, el usuario puede escribirla él mismo eligiendo el modo de ecuación "arbitrario", pero la forma más fácil es dejar esta acción en manos del programa.

Nuestro tercer paso es agregar seis parámetros y dos variables dinámicas. Démosle a cada elemento un nombre de acuerdo con su expresión literal en el sistema, y ​​también establezcamos los valores iniciales de los parámetros de la siguiente manera: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0.2.

Todos los elementos de las ecuaciones están presentes, solo queda escribir las ecuaciones para los flujos, pero para esto primero debe agregar conexiones entre los elementos. Por ejemplo, el flujo saliente responsable del término debe estar asociado con e1 y x. Y cada variable dinámica debe estar asociada a su stock correspondiente (X_stock x, Y_stock y). Crear enlaces es similar a agregar hilos.

Después de crear las conexiones necesarias, puede proceder a escribir ecuaciones para los flujos, que se muestran en la figura de la derecha. Por supuesto, puede ir en el orden inverso, pero si hay conexiones, al escribir ecuaciones, aparecen sugerencias para sustituir los parámetros/variables necesarios, lo que facilita la tarea en modelos complejos.

Después de completar todos los pasos, puede ejecutar el modelo de simulación y ver su resultado.

Habiendo considerado los sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales para la interacción de empresas en condiciones de mutualismo, podemos sacar varias conclusiones.

Hay dos estados del sistema: un fuerte crecimiento ilimitado, o la tendencia de la cantidad de producción a cero. Cuál de los dos estados asumirá el sistema depende de los parámetros.

Ninguno de los modelos propuestos, incluido el modelo que tiene en cuenta la saturación, no es adecuado para el uso práctico, debido a la falta de una posición estable distinta de cero, así como a las razones descritas en el párrafo 1.

En el caso de un intento de profundizar en el estudio de este tipo de interacción simbiótica con el fin de crear un modelo aplicable por las empresas en la práctica, es necesario complicar aún más el sistema e introducir nuevos parámetros. Por ejemplo, Bazykin en su libro da un ejemplo de la dinámica de dos poblaciones mutualistas con la introducción de un factor adicional de competencia intraespecífica. Por lo que el sistema toma la forma:

(1.15)

Y en este caso, aparece una posición estable del sistema distinta de cero, separada del cero por una "silla de montar", que lo acerca a la imagen real de lo que está sucediendo.

2. Interacción de empresas en las condiciones de protocooperación

Toda la información teórica básica se presentó en el capítulo anterior, por lo que en el análisis de los modelos considerados en este capítulo, en su mayor parte, se omitirá la teoría, con la excepción de algunos puntos que no encontramos en el capítulo anterior, y también puede haber una reducción en los cálculos. El modelo de interacción entre organizaciones considerado en este capítulo bajo condiciones de protocooperación, que consiste en sistemas de dos ecuaciones basados ​​en el modelo maltusiano, se parece al sistema (1.5). Los sistemas analizados en el capítulo anterior mostraron que para su máxima aproximación a los modelos existentes, es necesario complicar los sistemas. Con base en estos hallazgos, agregaremos inmediatamente una restricción de crecimiento al modelo. A diferencia del tipo de interacción anterior, cuando el crecimiento que no depende de otra empresa es negativo, en este caso todos los signos son positivos, lo que significa que tenemos un crecimiento constante. Evitando las deficiencias descritas anteriormente, intentaremos limitarlo a la ecuación logística, también conocida como ecuación de Verhulst (Gershenfeld, 1999), que tiene la siguiente forma:

, (2.1)

donde P es el tamaño de la población, r es el parámetro que muestra la tasa de crecimiento, K es el parámetro responsable del tamaño de población máximo posible. Es decir, con el tiempo, el tamaño de la población (en nuestro caso, la producción) tenderá a un determinado parámetro K.

Esta ecuación ayudará a frenar el crecimiento desenfrenado de la producción que hemos visto hasta ahora. Así, el sistema toma la siguiente forma:

(2.2)

No olvide que el volumen de mercancías almacenadas en el almacén para cada empresa es diferente, por lo que los parámetros que limitan el crecimiento son diferentes. Llamemos a este sistema "", y en el futuro usaremos este nombre cuando lo consideremos.

El segundo sistema que consideraremos es el desarrollo posterior del modelo con la restricción de Verhulst. Como en el capítulo anterior, introducimos una restricción de saturación, entonces el sistema tomará la forma:

(2.3)

Ahora bien, cada uno de los términos tiene su propio límite, por lo que sin más análisis se puede observar que no habrá un crecimiento ilimitado, como en los modelos del capítulo anterior. Y dado que cada uno de los términos muestra un crecimiento positivo, entonces la cantidad de producción no caerá a cero. Llamemos a este modelo el "modelo de proto-operación de dos restricciones".

Estos dos modelos se discuten en varias fuentes sobre poblaciones biológicas. Ahora intentaremos ampliar un poco los sistemas. Para ello, considere la siguiente figura.

La figura muestra un ejemplo de los procesos de dos empresas: las industrias del acero y del carbón. En ambas empresas hay un aumento de producción que es independiente de la otra, y también hay un aumento de producción, que se obtiene por su interacción. Ya lo hemos tenido en cuenta en modelos anteriores. Ahora bien, vale la pena prestar atención al hecho de que las empresas no solo producen productos, también los venden, por ejemplo, al mercado oa una empresa que interactúa con él. Aquellos. Según las conclusiones lógicas, existe la necesidad de un crecimiento negativo de las empresas debido a la venta de productos (en la figura, los parámetros β1 y β2 son responsables de esto), así como a la transferencia de parte de los productos a otra empresa. Anteriormente, tomamos esto en cuenta solo con un signo positivo para otra empresa, pero no consideramos el hecho de que la cantidad de productos disminuye para la primera empresa al transferir productos. En este caso, obtenemos el sistema:

(2.4)

Y si del término se puede decir que si se indicaba en modelos anteriores que caracterizan el incremento natural, y el parámetro puede ser negativo, entonces prácticamente no hay diferencia, entonces del término esto no se puede decir. Además, en el futuro, al considerar un sistema de este tipo con una restricción impuesta, es más correcto utilizar los términos de crecimiento positivo y negativo, ya que en este caso se les pueden imponer diferentes restricciones, lo que es imposible para el crecimiento natural. Llamémoslo el "modelo de proto-cooperación extendida".

Finalmente, el cuarto modelo en consideración es el modelo de protocooperación extendida con la restricción de crecimiento logístico mencionada anteriormente. Y el sistema para este modelo es el siguiente:

, (2.5)

donde es el aumento en la producción de la primera empresa, independiente de la segunda, teniendo en cuenta la restricción logística, - el aumento de la producción de la primera empresa, en función de la segunda, teniendo en cuenta la restricción logística, - el aumento de la producción de la segunda empresa, independiente de la primera, teniendo en cuenta la restricción logística, - el aumento de la producción de la segunda empresa, dependiendo de la primera, teniendo en cuenta la restricción logística, - el consumo de bienes de la primera empresa, no relacionados con otra, - el consumo de bienes de la segunda empresa, no relacionados con otra, - el consumo de bienes de la primera industria por parte de la segunda industria, - el consumo de bienes de la segunda industria por parte de la primera industria.

En el futuro, este modelo se denominará "modelo de protooperación extendida con una restricción logística".

1 Estabilidad de sistemas en primera aproximación

Modelo de protooperación con restricción de Verhulst

Los métodos para analizar la estabilidad del sistema se indicaron en una sección similar del capítulo anterior. En primer lugar, encontramos los puntos de equilibrio. Uno de ellos, como siempre, es cero. El otro es un punto con coordenadas .

Para el punto cero λ1 = , λ2 = , dado que ambos parámetros son no negativos, obtenemos un nodo inestable.

Como no es muy conveniente trabajar con el segundo punto, por no poder acortar la expresión, dejaremos la definición del tipo de estabilidad a los diagramas de fase, ya que muestran claramente si el punto de equilibrio es estable o no.

El análisis de este sistema es más complicado que el anterior debido a que se le suma el factor de saturación, por lo que aparecen nuevos parámetros, y al encontrar los puntos de equilibrio, será necesario resolver una ecuación no lineal, sino bilineal debido a la variable en el denominador. Por tanto, como en el caso anterior, dejamos la definición del tipo de estabilidad a los diagramas de fase.

A pesar de la aparición de nuevos parámetros, el jacobiano en el punto cero, así como las raíces de la ecuación característica, se parece al modelo anterior. Así, en el punto cero, un nodo inestable.

Pasemos a los modelos avanzados. El primero de ellos no contiene ninguna restricción y toma la forma de sistema (2.4)

Hagamos un cambio de variables, , Y . Nuevo sistema:

(2.6)

En este caso, tenemos dos puntos de equilibrio, el punto A(0,0), B(). El punto B se encuentra en el primer trimestre porque las variables tienen un valor no negativo.

Para el punto de equilibrio A obtenemos:

. - nudo inestable

. - silla de montar,

. - silla de montar,

. - nudo estable

En el punto B, las raíces de la ecuación característica son números complejos: λ1 = , λ2 = . No podemos determinar el tipo de estabilidad apoyándonos en los teoremas de Lyapunov, por lo que realizaremos simulaciones numéricas que no mostrarán todos los estados posibles, pero nos permitirán conocer al menos algunos de ellos.

Figura 2.2. Simulación numérica de la búsqueda del tipo de estabilidad

Considerando este modelo, uno tendrá que enfrentar dificultades computacionales, ya que tiene una gran cantidad de parámetros diferentes, así como dos limitaciones.

Sin entrar en detalles de cálculos, llegamos a los siguientes puntos de equilibrio. Punto A(0,0) y punto B con las siguientes coordenadas:

(), donde a =

Para el punto A, determinar el tipo de estabilidad es una tarea trivial. Las raíces de la ecuación característica son λ1 = , λ2 = . Así tenemos cuatro opciones:

1. λ1 > 0, λ2 > 0 - nodo inestable.

2.λ1< 0, λ2 >0 - silla de montar.

3. λ1 ​​> 0, λ2< 0 - седло.

4.λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

Hablando sobre el punto B, vale la pena estar de acuerdo en que sustituir abreviaturas en la expresión complicará el trabajo con el jacobiano y encontrar las raíces de la ecuación característica. Por ejemplo, después de intentar encontrarlas con las herramientas informáticas de WolframAlpha, la salida de las raíces tomó alrededor de cinco líneas, lo que no permite trabajar con ellas en términos literales. Por supuesto, si ya existen parámetros, parece posible encontrar rápidamente un punto de equilibrio, pero este es un caso especial, ya que encontraremos el estado de equilibrio, si lo hay, solo para estos parámetros, que no es adecuado para el sistema de apoyo a la decisión para el que se planea crear el modelo.

Debido a la complejidad de trabajar con las raíces de la ecuación característica, construimos el arreglo mutuo de cero-isoclinas por analogía con el sistema analizado en el trabajo de Bazykin (Bazykin, 2003). Esto nos permitirá considerar los posibles estados del sistema y, en el futuro, al construir retratos de fase, encontrar puntos de equilibrio y tipos de su estabilidad.

Después de algunos cálculos, las ecuaciones isoclínicas cero toman la siguiente forma:

(2.7)

Así, las isoclinas tienen forma de parábolas.

Figura 2.3. Posible ubicación isoclínica nula

En total, hay cuatro casos posibles de su arreglo mutuo por número. puntos comunes entre parábolas. Cada uno de ellos tiene sus propios conjuntos de parámetros y, por lo tanto, los retratos de fase del sistema.

2 Retratos de fase de sistemas

Construyamos un retrato de fase del sistema, suponiendo que y los parámetros restantes son iguales a 1. En este caso, un conjunto de variables es suficiente, ya que la calidad no cambiará.

Como se puede ver en las figuras a continuación, el punto cero es un nodo inestable, y el segundo punto, si sustituimos los valores numéricos de los parámetros, obtenemos (-1.5, -1.5) - una silla de montar.

Figura 2.4. Retrato de fase para el sistema (2.2)

Por lo tanto, dado que no deberían ocurrir cambios, entonces para este sistema solo hay estados inestables, lo que probablemente se deba a la posibilidad de un crecimiento ilimitado.

Un modelo de protooperación con dos restricciones.

En este sistema existe un factor limitante adicional, por lo que los diagramas de fase deben diferir del caso anterior, como se puede apreciar en la figura. El punto cero también es un nodo inestable, pero en este sistema aparece una posición estable, es decir, un nodo estable. Con estos parámetros, sus coordenadas (5.5,5.5), se muestra en la figura.

Figura 2.5. Retrato de fase para el sistema (2.3)

Así, la restricción de cada término permitió obtener una posición estable del sistema.

Modelo de protooperación extendida.

Construyamos retratos de fase para el modelo extendido, pero inmediatamente usando su forma modificada:

Consideremos cuatro conjuntos de parámetros, como para considerar todos los casos con un punto de equilibrio cero, y también para demostrar los diagramas de fase de la simulación numérica utilizada para un punto de equilibrio distinto de cero: el conjunto A(1,0.5,0.5) corresponde al estado , el conjunto B(1,0.5,-0.5) corresponde a establecer C(-1.0.5,0.5) y establecer D(-1.0.5,-0.5) , es decir, un nodo estable en el punto cero. Los primeros dos conjuntos demostrarán los retratos de fase para los parámetros que consideramos en la simulación numérica.

Figura 2.6. Retrato de fase para el sistema (2.4) con parámetros А-D.

En las figuras, es necesario prestar atención a los puntos (-1,2) y (1,-2), respectivamente, en ellos aparece una "silla de montar". Para una representación más detallada, la figura muestra una escala diferente de la figura con punto de silla (1,-2). En la figura, en los puntos (1,2) y (-1,-2), se ve un centro estable. En cuanto al punto cero, comenzando de figura a figura en los diagramas de fase, podemos distinguir claramente un nodo inestable, una silla, una silla y un nodo estable.

Modelo de protocooperación extendida con restricción logística.

Como en el modelo anterior, demostraremos retratos de fase para cuatro casos de un punto cero, y también intentaremos anotar soluciones distintas de cero en estos diagramas. Para hacer esto, tome los siguientes conjuntos de parámetros con los parámetros especificados en el siguiente orden (): A(2,1,2,1), B(2,1,1,2), C(1,2,2,1) y D(1,2,1,2). El resto de parámetros para todos los conjuntos serán los siguientes: , .

En las figuras que se presentan a continuación, se pueden observar los cuatro estados de equilibrio del punto cero descritos en la sección anterior para este sistema dinámico. Y también en las figuras, la posición estable de un punto con una coordenada distinta de cero.

Figura 2.7. Retrato de fase para sistema (2.5) con parámetros A-B

3 Trayectorias integrales de sistemas

Modelo de protooperación con restricción de Verhulst

Como en el capítulo anterior, resolvemos cada una de las ecuaciones diferenciales por separado y expresamos explícitamente la dependencia de las variables con el parámetro tiempo.

(2.8)

(2.9)

De las ecuaciones obtenidas se puede observar que el valor de cada una de las variables aumenta, lo cual se demuestra en el modelo tridimensional a continuación.

Figura 2.8. Modelo tridimensional para la ecuación (2.8)

Este tipo de gráfico inicialmente se parece al modelo malthusiano 3D no saturado discutido en el Capítulo 1 en el sentido de que tiene un crecimiento rápido similar, pero luego puede ver una disminución en la tasa de crecimiento a medida que se alcanza el límite de salida. Así la final apariencia curvas integrales es similar a la gráfica de la ecuación logística que se utilizó para limitar uno de los términos.

Un modelo de protooperación con dos restricciones.

Resolvemos cada una de las ecuaciones utilizando las herramientas de Wolfram Alpha. Así, la dependencia de la función x(t) se reduce a la siguiente forma:

(2.10)

Para la segunda función, la situación es similar, por lo que omitimos su solución. Los valores numéricos aparecieron debido a la sustitución de los parámetros por ciertos valores apropiados, lo que no afecta el comportamiento cualitativo de las curvas integrales. Los gráficos a continuación muestran el uso de límites en el crecimiento a medida que el crecimiento exponencial se vuelve logarítmico con el tiempo.

Figura 2.9. Modelo tridimensional para la ecuación (2.10)

Modelo de protooperación extendida

Casi similar a los modelos con mutualismo. La única diferencia está en el crecimiento más rápido en relación con esos modelos, que se puede ver en las ecuaciones a continuación (si observa el grado del exponente) y los gráficos. La curva integral debe tomar la forma de un exponente.

(2.11)

(2.12)

Modelo de protocooperación extendida con restricción logística

La dependencia x(t) se ve así:

Sin un gráfico, es difícil evaluar el comportamiento de la función, por lo que utilizando las herramientas que ya conocemos, la construiremos.

Figura 2.10 Modelo 3D para Ecuación

El valor de la función decrece para valores no pequeños de otra variable, lo cual se debe a la ausencia de restricciones en el término bilineal negativo, y es un resultado obvio

4 Dinámica de sistemas de empresas interactuantes

Modelo de protooperación con restricción de Verhulst.

Construyamos el sistema (2.2). Usando las herramientas que ya conocemos, construimos un modelo de simulación. Esta vez, a diferencia de los modelos mutualistas, el modelo tendrá una restricción logística.

Figura 2.11. Modelo de dinámica de sistemas para el sistema (2.2)

Ejecutemos el modelo. En este modelo, vale la pena señalar el hecho de que el crecimiento de la relación no está limitado por nada, y el crecimiento de la producción sin la influencia del otro tiene una limitación específica. Si observa la expresión de la función logística en sí, puede ver que en el caso de que la variable (número de productos) exceda el volumen de almacenamiento máximo posible, el término se vuelve negativo. En el caso de que solo haya una función logística, esto es imposible, pero con un factor de crecimiento adicional siempre positivo, esto es posible. Y ahora es importante comprender que la función de logística hará frente a la situación de un crecimiento no demasiado rápido en la cantidad de productos, por ejemplo, lineal. Echemos un vistazo a las imágenes a continuación.

Figura 2.12. Un ejemplo de la operación del modelo de dinámica de sistemas para el sistema (2.2)

La figura de la izquierda muestra el 5º paso del programa correspondiente al modelo propuesto. Pero por el momento vale la pena prestar atención a la figura correcta.

Primero, para uno de los flujos entrantes para Y_stock, se eliminó el enlace a x, expresado en términos de . Esto se hace con el fin de mostrar la diferencia en el rendimiento del modelo con un flujo lineal siempre positivo y un crecimiento bilineal, que se presenta para X_stock. Con flujos lineales ilimitados, después de exceder el parámetro K, el sistema en algún momento llega al equilibrio (en este modelo, el estado de equilibrio es de 200 mil unidades de bienes). Pero mucho antes, el crecimiento bilineal conduce a un fuerte aumento en la cantidad de bienes, pasando al infinito. Si dejamos los flujos bilineales constantemente positivos tanto a la derecha como a la izquierda, entonces ya en aproximadamente 20-30 pasos, el valor del acumulador llega a la diferencia de dos infinitos.

Sobre la base de lo anterior, es seguro decir que, en el caso de un mayor uso de dichos modelos, es necesario limitar cualquier crecimiento positivo.

Un modelo de protooperación con dos restricciones.

Habiendo descubierto las deficiencias del modelo anterior e introduciendo una restricción en el segundo término por el factor de saturación, construiremos y ejecutaremos un nuevo modelo.

Figura 2.13. Modelo de dinámica de sistemas y un ejemplo de su funcionamiento para sistema (2.3)

Este modelo, al final, trae los resultados tan esperados. Resultó limitar el crecimiento de los valores acumulados. Como puede verse en la figura de la derecha, para ambas empresas, el equilibrio se alcanza con un ligero exceso de volumen de almacenamiento.

Modelo de protooperación extendida.

Al considerar la dinámica del sistema de este modelo, se demostrarán las capacidades del entorno de software AnyLogic para la visualización colorida de modelos. Todos los modelos anteriores se construyeron utilizando únicamente elementos de la dinámica del sistema. Por lo tanto, los modelos en sí parecían discretos, no permitían rastrear la dinámica de los cambios en la cantidad de producción a lo largo del tiempo y cambiar los parámetros mientras se ejecutaba el programa. Al trabajar con este y los próximos modelos, intentaremos utilizar una gama más amplia de capacidades del programa para cambiar las tres desventajas anteriores.

En primer lugar, además de la sección "dinámica del sistema", el programa también contiene las secciones "imágenes", "objetos 3D", que permiten diversificar el modelo, lo que es útil para su presentación posterior, ya que hace que el modelo se vea "más agradable".

En segundo lugar, para realizar un seguimiento de la dinámica de los cambios en los valores del modelo, hay una sección de "estadísticas" que le permite agregar gráficos y varias herramientas de recopilación de datos vinculándolos al modelo.

En tercer lugar, para cambiar parámetros y otros objetos durante la ejecución del modelo, existe una sección de "controles". Los objetos en esta sección le permiten cambiar los parámetros mientras se ejecuta el modelo (por ejemplo, "control deslizante"), seleccionar diferentes estados del objeto (por ejemplo, "cambiar") y realizar otras acciones que cambian los datos especificados inicialmente durante el trabajo.

El modelo es adecuado para enseñar a conocer la dinámica de los cambios en la producción de las empresas, pero la falta de restricciones al crecimiento no permite usarlo en la práctica.

Modelo de protocooperación extendida con restricción logística.

Usando el modelo anterior ya preparado, agregaremos parámetros de la ecuación logística para limitar el crecimiento.

Omitimos la construcción del modelo, ya que los cinco modelos anteriores presentados en el trabajo ya han demostrado todos herramientas necesarias y principios de trabajar con ellos. Solo cabe señalar que su comportamiento es similar al modelo de protocooperación con la restricción de Verhulst. Aquellos. la falta de saturación dificulta su aplicación práctica.

Después de analizar los modelos en términos de protocooperación, definimos varios puntos principales:

Los modelos considerados en este capítulo en la práctica son más adecuados que los mutualistas, ya que tienen posiciones de equilibrio estables distintas de cero incluso con dos términos. Permítanme recordarles que en los modelos de mutualismo pudimos lograr esto solo agregando un tercer término.

Los modelos adecuados deben tener restricciones en cada uno de los términos, porque de lo contrario, un fuerte aumento en los factores bilineales "destruye" todo el modelo de simulación.

Con base en el punto 2, al agregar una protooperación con la limitación de Verhulst del factor de saturación al modelo extendido, así como agregar una cantidad crítica menor de producción, el modelo debe acercarse lo más posible al estado real de las cosas. Pero no olvide que tales manipulaciones del sistema complicarán su análisis.

Conclusión

Como resultado del estudio se realizó un análisis de seis sistemas que describen la dinámica de producción de las empresas que se influyen mutuamente. Como resultado, los puntos de equilibrio y los tipos de su estabilidad se determinaron de una de las siguientes maneras: analíticamente, o gracias a los retratos de fase construidos en los casos en que una solución analítica no es posible por alguna razón. Para cada uno de los sistemas se construyeron diagramas de fase, así como modelos tridimensionales, sobre los cuales al proyectar es posible obtener curvas integrales en los planos (x, t), (y, t). Posteriormente, utilizando el entorno de modelado AnyLogic, se construyeron todos los modelos y se consideraron sus opciones de comportamiento bajo ciertos parámetros.

Después de analizar los sistemas y construir sus modelos de simulación, se vuelve obvio que estos modelos solo pueden ser considerados como entrenamiento, o para describir sistemas macroscópicos, pero no como un sistema de soporte de decisiones para empresas individuales, debido a su baja precisión y, en algunos lugares, no es una representación completamente confiable de los procesos en curso. Pero tampoco olvides que por muy cierto que sea el sistema dinámico que describe el modelo, cada empresa/organización/industria tiene sus propios procesos y limitaciones, por lo que no es posible crear y describir un modelo general. En cada caso específico, se modificará: para volverse más complicado o, por el contrario, simplificarse para trabajos posteriores.

Haciendo una conclusión de las conclusiones de cada capítulo, vale la pena centrarse en el hecho revelado de que la introducción de restricciones en cada uno de los términos de la ecuación, aunque complica el sistema, también le permite detectar posiciones estables del sistema, así como acercarlo a lo que está sucediendo en la realidad. Y vale la pena señalar que los modelos de protocooperación son más adecuados para el estudio, ya que tienen posiciones estables distintas de cero, en contraste con los dos modelos mutualistas que hemos considerado.

Por lo tanto, se logró el propósito de este estudio y se completaron las tareas. En el futuro, como continuación de este trabajo, se considerará un modelo extendido de la interacción del tipo de protooperación con tres restricciones introducidas en ella: logística, factor de saturación, número crítico inferior, lo que debería permitir crear un modelo más preciso para un sistema de apoyo a la decisión, así como un modelo con tres empresas. Como extensión del trabajo, podemos considerar otros dos tipos de interacción además de la simbiosis, que fueron mencionados en el trabajo.

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1

El objetivo del estudio es desarrollar un método lógico orientado a supercomputadoras (método de restricción booleana) y una tecnología orientada a servicios para crear y aplicar sistema informático para un estudio cualitativo de la dinámica del comportamiento de trayectorias de sistemas dinámicos binarios autónomos en un intervalo de tiempo finito. La relevancia del tema se ve confirmada por la gama cada vez mayor de aplicaciones de modelos binarios en la investigación científica y aplicada, así como por la necesidad de un análisis cualitativo de dichos modelos con una gran dimensión de vector de estado. Se presenta un modelo matemático de un sistema binario autónomo en un intervalo de tiempo finito y una ecuación booleana equivalente a este sistema. Se propone que la especificación de una propiedad dinámica se escriba en el lenguaje de la lógica de predicados utilizando cuantificadores universales y existenciales limitados. Se obtienen ecuaciones booleanas para la búsqueda de estados y ciclos de equilibrio de un sistema binario y condiciones para su aislamiento. Se especifican las principales propiedades del tipo de accesibilidad (accesibilidad, seguridad, accesibilidad simultánea, accesibilidad bajo restricciones de fase, atracción, conectividad, accesibilidad total). Para cada propiedad, su modelo se construye en forma de una restricción booleana (una ecuación booleana o una fórmula booleana cuantificada) que satisface la especificación lógica de la propiedad y las ecuaciones de la dinámica del sistema. Por lo tanto, la comprobación de la viabilidad de varias propiedades del comportamiento de las trayectorias de los sistemas dinámicos binarios autónomos durante un intervalo de tiempo finito se reduce al problema de la viabilidad de las restricciones booleanas utilizando los solucionadores modernos SAT y TQBF. Se da un ejemplo de demostración del uso de esta tecnología para probar la viabilidad de algunas de las propiedades dadas anteriormente. En conclusión, se enumeran las principales ventajas del método de restricción booleana, se indican las características de su implementación de software en el marco de un enfoque orientado a servicios y se indican direcciones. mayor desarrollo método para otras clases de sistemas dinámicos binarios.

sistema dinámico binario

propiedad dinámica

analisis cualitativo

restricciones booleanas

problema booleano de satisfacibilidad

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La gama de aplicaciones de los modelos dinámicos binarios es extremadamente amplia, y cada año aumenta la cantidad de objetos y tareas donde se requiere su uso. Un ejemplo clásico es un autómata síncrono binario, que es un modelo de muchos dispositivos discretos en sistemas de control, tecnología informática, telemecánica. Las aplicaciones modernas de los modelos dinámicos binarios incluyen los problemas de la bioinformática, la economía, la sociología y otras áreas que parecen alejarse del uso de variables de dos valores. En este sentido, la relevancia de desarrollar nuevos y mejores métodos existentes análisis cualitativo del comportamiento de trayectorias de sistemas dinámicos binarios (DDS).

Como es sabido, el objetivo de un análisis cualitativo de un sistema dinámico (no solo binario) es obtener una respuesta positiva o negativa a la pregunta: ¿Se cumple la propiedad dinámica requerida en un sistema dado? Reformulemos esta pregunta de la siguiente manera: ¿El comportamiento de las trayectorias de un sistema dinámico satisface un cierto conjunto de restricciones que caracterizan la propiedad? Además, utilizaremos esta interpretación del objetivo de un análisis cualitativo de las propiedades dinámicas del sistema.

Para DDS, cuya operación se considera en un intervalo de tiempo finito, tales restricciones son booleanas y están escritas en el lenguaje de las ecuaciones booleanas o fórmulas booleanas con cuantificadores. El primer tipo de restricciones conduce a la necesidad de resolver el problema SAT (problema booleano de satisfacibilidad); el segundo tipo de restricciones está asociado con la solución del problema TQBF (verificación de la verdad de las fórmulas booleanas cuantificadas). El primer problema es un representante típico de la clase de complejidad NP, y el segundo problema es la clase de complejidad PSPACE. Como se sabe, la completitud PSPACE de un problema discreto proporciona una evidencia más fuerte de su intratabilidad que la completitud NP. Debido a esto, la reducción del problema del análisis cualitativo de DDS al problema SAT es más preferible que la reducción al problema TQBF. En el caso general, el estudio de no todas las propiedades del DDS se puede representar en el lenguaje de las ecuaciones booleanas.

La posibilidad teórica de utilizar restricciones booleanas (es decir, ecuaciones booleanas) en el análisis cualitativo de DDS se demostró por primera vez en . Sin embargo, cabe señalar que la aplicación de este enfoque en la práctica en ese momento estaba limitada por la falta de algoritmos y programas eficientes para resolver ecuaciones booleanas (especialmente con una gran cantidad de variables desconocidas), lo que reduciría significativamente el espacio de búsqueda. En la última década, como resultado de una intensa investigación en esta área, ha aparecido un número suficiente de varios solucionadores de ecuaciones booleanas eficientes (solucionadores SAT) que utilizan logros modernos (nuevas heurísticas, estructuras de datos rápidas, computación paralela, etc.) para resolver el problema de satisfacibilidad booleana. También se observan procesos similares (pero con cierto retraso) en el campo de la creación de algoritmos y programas cada vez más eficientes para resolver el problema TQBF. Por lo tanto, hasta la fecha, existen todos los requisitos previos necesarios para el desarrollo sistemático del método de restricciones booleanas en el análisis cualitativo de DDS, su implementación de software y su aplicación en la resolución de problemas científicos y aplicados.

Además del método de restricción booleana, también son aplicables a DDS otros métodos de análisis cualitativo, que incluyen el análisis deductivo, la verificación de modelos y el método de reducción. Cada uno de estos métodos (incluido el método de restricción booleana) tiene sus limitaciones, ventajas y desventajas. Una desventaja común es que todos los métodos son de naturaleza enumerativa y el problema de la reducción de la enumeración es fundamental para estos métodos.

La importancia del análisis deductivo, que implica la aplicación de axiomas y reglas de inferencia para demostrar el correcto funcionamiento de un sistema, es reconocida por una amplia gama de especialistas, pero se trata de un método laborioso y, por tanto, poco utilizado. En el método de verificación de modelos, el lenguaje de especificación de propiedades requeridas utiliza el lenguaje de la lógica temporal, lo cual es inusual para los especialistas en dinámica de autómatas. El método de reducción está asociado con la construcción de un modelo simplificado (en cierto sentido) del sistema original, el estudio de sus propiedades y las condiciones para transferir estas propiedades al sistema complejo original. Las condiciones para la transmisibilidad de los bienes sólo son suficientes en este caso. La simplicidad de la idea del método de reducción en el análisis cualitativo de DDS enfrenta el problema de elegir un sistema simplificado que satisfaga todas las condiciones del método.

El uso práctico del método de restricción booleana implica la algoritmización y automatización de los siguientes procesos:

1) desarrollo de un lenguaje lógico para la especificación de propiedades dinámicas enfocado a un especialista en dinámica de sistemas;

2) construir un modelo de una propiedad dinámica en forma de una restricción booleana de un tipo u otro que satisfaga la especificación lógica de la propiedad y las ecuaciones de dinámica de un sistema binario;

3) presentación del modelo resultante en el formato internacional DIMACS o QDIMACS;

4) selección (desarrollo) de un eficiente solucionador paralelo (distribuido) del problema de satisfacibilidad de restricciones booleanas (solucionador SAT o TQBF);

5) desarrollo de herramientas para la creación de servicios de software;

6) desarrollo de servicios para investigación cualitativa de varias propiedades dinámicas de DDS.

apuntar del presente estudio es la solución de solo los dos primeros problemas en relación con la algoritmización de estudios cualitativos de DDS síncronos autónomos (sin entradas de control). Dichos sistemas en publicaciones en idioma inglés se denominan redes booleanas síncronas (red booleana). Otros aspectos de la aplicación del método de restricción booleana (incluso para DDS con entradas de control) son el tema de las siguientes publicaciones.

Modelo matemático de DDS autónomo

Sea X = Bn (B = (0, 1) el conjunto de vectores binarios de dimensión n (el espacio de estado DDS). Sea t∈T = (1,…,k) el tiempo discreto (número de ciclo).

Para cada estado x0∈X, llamado estado inicial, definimos la trayectoria x(t, x0) como una secuencia finita de estados x0, x1,…, xk del conjunto X. Además, consideraremos DDS en el que cada par de estados adyacentes xt, x(t - 1) (t∈T) de la trayectoria está conectado por la relación

xt = F(xt - 1). (1)

Aquí F:X>X es una función vectorial de álgebra lógica, llamada función de transición. Así, para cualquier x0∈X, el sistema de ecuaciones booleanas (1) representa un modelo de la dinámica del comportamiento de las trayectorias DDS en el espacio de estados X en un intervalo de tiempo finito T = (1, 2,…,k). Aquí y más adelante, se supone que el valor k en la definición del conjunto T es una constante predeterminada. Esta limitación es bastante natural. El punto es que en un análisis cualitativo del comportamiento de las trayectorias de DDS, la cuestión de qué se puede decir acerca de la factibilidad de alguna propiedad dinámica para una k fija, no demasiado grande, es de interés práctico. La elección del valor de k en cada caso específico se basa en información a priori sobre la duración de los procesos en el sistema discreto simulado.

Se sabe que el sistema de ecuaciones booleanas (1) con el estado inicial x0∈X para T = (1, 2,…,k) es equivalente a una ecuación booleana de la forma

Para k = 1 (solo se consideran transiciones de un paso), la ecuación (2) toma la forma

(3)

Las soluciones a esta ecuación definen un gráfico dirigido que consta de 2n vértices marcados por uno de los 2n estados del conjunto X. Los vértices x0 y x1 del gráfico están conectados por un arco dirigido desde el estado x0 al estado x1. Tal gráfico en la teoría de los autómatas binarios se llama diagrama de transición. La representación del comportamiento del DDS en forma de diagrama de transición es muy clara tanto al construir trayectorias como al estudiar sus propiedades, pero es prácticamente realizable solo para pequeñas dimensiones n del vector de estado x∈X.

Medios de lenguaje para especificar propiedades dinámicas

Es más conveniente especificar una especificación de propiedad dinámica en el lenguaje de la lógica formal. Siguiendo el artículo, denotamos por X0∈X, X1∈X, X*∈X los conjuntos de estados inicial, admisible y objetivo.

Los principales elementos sintácticos de la fórmula lógica de la propiedad dinámica son: 1) variables sujeto (componentes de los vectores x0, x1,…, xk, tiempo t); 2) cuantificadores limitados de existencia y universalidad; 3) conectores lógicos v, &; fórmulas finales. La fórmula final representa la afirmación de que algunos estados del conjunto de trayectorias x(t, x0) (x0∈X0) pertenecen a los conjuntos de evaluación X* y X1.

Cabe señalar que el uso de cuantificadores universales y existenciales limitados proporciona una forma de escribir una propiedad dinámica que es familiar para un especialista en dinámica. En el proceso de construcción de un modelo booleano, las propiedades del sistema (1) son reemplazadas por cuantificadores restringidos por ordinarios de acuerdo con las siguientes definiciones:

donde A(y) es un predicado que limita el valor de la variable y.

Debido a la finitud del rango de la variable t, los cuantificadores limitados de existencia y universalidad con respecto a esta variable son reemplazados por fórmulas equivalentes que no contienen cuantificadores

En lo que sigue, supondremos que los elementos de los conjuntos X0, X1, X* están determinados, respectivamente, por los ceros de las siguientes ecuaciones booleanas

o funciones características de estos conjuntos , .

Teniendo en cuenta la restricción de los estados iniciales G0(x) = 0, junto con las ecuaciones (2, 3), utilizaremos las siguientes ecuaciones booleanas para acortar la notación:

(4)

Análisis cualitativo preliminar de DDS autónomo

En la etapa de análisis preliminar, se puede revelar (si es necesario) la ramificación del estado (el conjunto de sus predecesores inmediatos), la presencia de estados de equilibrio y trayectorias cerradas (ciclos).

El estado x1 en (3) será llamado el sucesor del estado x0, y x0 el predecesor del estado x1. En un DDS autónomo, cada estado tiene solo un sucesor, y el número de predecesores de un estado dado puede variar de cero a 2n - 1. Todos los predecesores inmediatos x0 de un estado s∈X son ceros de la ecuación booleana

Si la ecuación (6) no tiene soluciones, entonces no hay predecesores del estado s.

Los estados de equilibrio (si existen) son soluciones a la ecuación booleana

La trayectoria x0, x1,…, xk se denomina ciclo de longitud k si los estados x0, x1,…, xk-1 son diferentes entre sí por pares y xk = x0. Una secuencia cíclica de longitud k (si existe) es una solución a la ecuación booleana

donde = 0 ( ) - condiciones de diferencia por pares para el conjunto de estados C de un ciclo de longitud k. Si ninguno de los estados del ciclo tiene predecesores que no pertenezcan al conjunto C, dicho ciclo se llama aislado. Sean determinados los elementos s del conjunto C por la solución de la ecuación booleana Gc(s) = 0. Entonces es fácil demostrar que la condición de aislamiento del ciclo es equivalente a la ausencia de ceros en la siguiente ecuación booleana:

Las soluciones a la ecuación (7) (si existen) determinan los estados del ciclo que tienen predecesores que no pertenecen al conjunto C.

Dado que el estado de equilibrio es un ciclo de longitud k = 1, su condición de aislamiento es similar a la condición de aislamiento con k ≥ 2, con la diferencia de que Gc(s) tiene la forma de una disyunción completa que determina este estado de equilibrio.

En lo que sigue, los estados y ciclos de equilibrio no aislados se denominarán atractores.

Especificación de propiedades dinámicas de un tipo de accesibilidad

La propiedad principal de DDS, la necesidad de verificar que surge con mayor frecuencia en la práctica, es la propiedad de accesibilidad tradicionalmente estudiada en la teoría de grafos (en nuestro caso, dicho gráfico es un diagrama de transición) y sus diversas variaciones. La alcanzabilidad se define como el problema clásico de analizar el comportamiento de las trayectorias DDS.

La definición de esta propiedad está relacionada con la asignación de los conjuntos previamente introducidos X0, X*, X1 (correspondientes a estos conjuntos de ecuaciones booleanas). Se supone que los conjuntos X0, X*, X1 satisfacen la restricción

Dado que el conjunto T es finito, la propiedad de alcanzabilidad y sus variaciones se entenderán además como la propiedad de la alcanzabilidad práctica (accesibilidad en un número finito de ciclos). Se consideran las siguientes propiedades de tipo de accesibilidad:

1. La principal propiedad de alcanzabilidad de un conjunto X* desde un conjunto X0 se formula de la siguiente manera: cualquier trayectoria lanzada desde el conjunto de estados iniciales X0 alcanza el conjunto objetivo X*. Usando los cuantificadores existenciales y universales restringidos, la fórmula para esta propiedad es:

2. La propiedad de seguridad asegura que para cualquier trayectoria lanzada desde X0, el conjunto X* es inalcanzable:

3. Propiedad de accesibilidad simultánea. En algunos casos, se puede establecer un “requisito más estricto”, que consiste en que cada trayectoria alcance el objetivo establecido en exactamente k ciclos (k∈T):

4. Propiedad de accesibilidad bajo restricciones de fase:

Esta propiedad garantiza que todas las trayectorias emitidas desde el conjunto X0, hasta llegar al conjunto objetivo X*, estén en el conjunto X1.

5. Propiedad de atracción. Sea X* un atractor. Entonces la fórmula lógica de la propiedad de atracción coincide con la fórmula de la propiedad de alcanzabilidad principal:

aquellos. para cada trayectoria liberada del conjunto X0, existe un tiempo t∈T, a partir del cual la trayectoria no va más allá del conjunto X*. El conjunto X0 en este caso pertenece a una parte del área de atracción del conjunto X*(X0∈Xa, donde Xа es el área total de atracción (pool) del atractor).

Tenga en cuenta que todas las variables en las fórmulas de propiedades anteriores están realmente conectadas, ya que la trayectoria x0, x1,…, xk está completamente determinada por el estado inicial. Dado que los cuantificadores con respecto a la variable t se sustituyen por operaciones de disyunción o conjunción multiplaza de los predicados correspondientes, en cada una de las fórmulas queda un único cuantificador universal acotado (), que nos permite escribir las condiciones de viabilidad de estas propiedades en el lenguaje de las ecuaciones booleanas (en forma de problema SAT).

Presentamos dos propiedades, cuya verificación lleva a la necesidad de resolver el problema TQBF.

6. Propiedad de conectividad del conjunto de destino:

aquellos. hay un estado inicial x0∈X0 tal que cada estado objetivo x*⊆X* es alcanzable en algún momento t∈T, lo que significa que existe una trayectoria correspondiente a este estado, tal que todos los estados objetivo x*∈X* pertenecen a esta trayectoria.

7. Propiedad de alcanzabilidad total de un conjunto X* desde X0:

aquellos. cada estado de destino es accesible desde X0.

Comprobación de la viabilidad de las propiedades dinámicas

Para las propiedades (1-5), la verificación de su factibilidad se reduce a encontrar los ceros de la ecuación booleana, cuya tecnología de formación es de naturaleza estandarizada y se considera en detalle solo para la principal propiedad de realizabilidad. Las propiedades (6, 7) conducen al problema de verificar la verdad de una fórmula booleana cuantificada.

1. La propiedad principal de accesibilidad. Su fórmula lógica es

Teniendo en cuenta (4), escribimos la fórmula (8) como

donde es la función característica del conjunto de estados de la trayectoria liberada del estado inicial x0∈X0. Deshagámonos del cuantificador existencial en (9). Entonces tendremos

donde es la función característica del conjunto X*. Reemplazamos los cuantificadores universales restringidos con cuantificadores ordinarios. Como resultado, obtenemos

La fórmula (10) es verdadera si y solo si la expresión del subcuantificador es idénticamente verdadera, es decir

La verdad idéntica de la implicación significa que la función booleana es una consecuencia lógica de la función , es decir cualquier trayectoria con el estado inicial x0∈X0 alcanza el conjunto objetivo X*.

La satisfacción de la identidad (11) es equivalente a la ausencia de ceros en la ecuación booleana

Al derivar (12), eliminamos la implicación y reemplazamos ϕ*(x0, x1,..., xk) con . Si la ecuación (12) tiene al menos una solución, entonces la propiedad de accesibilidad no se cumple. Tal solución representa (en cierto sentido) un contraejemplo de la propiedad que se está comprobando y puede ayudar al investigador a identificar la causa del error.

Además, por brevedad, para cada propiedad (2-4) escribimos solo una ecuación del tipo (12), sugiriendo al lector que reproduzca de forma independiente los argumentos necesarios cercanos a los dados para la propiedad principal de accesibilidad.

2. Propiedad de seguridad

3. Propiedad de accesibilidad simultánea

4. Propiedad de accesibilidad bajo restricciones de fase

5. Propiedad de atracción. La viabilidad de esta propiedad se comprueba en dos etapas. En la primera etapa, se averigua si el conjunto X* es un atractor. Si la respuesta es afirmativa, la propiedad principal de accesibilidad se verifica en la segunda etapa. Si se puede llegar a X* desde X0, se cumplen todas las condiciones de la propiedad de atracción.

6. Propiedad de conectividad

7. Propiedad de accesibilidad total`

Para las propiedades (6, 7), la forma escalar de la igualdad de dos vectores booleanos xt = x* tiene la forma

Demostremos la tecnología anterior para el análisis cualitativo de DDS autónomo utilizando el método de restricción booleana al verificar la viabilidad de algunas de las propiedades anteriores para el modelo 3.2 del trabajo:

Denotemos por x0∈X = B3 el estado inicial del modelo (13). Sea T = (1, 2). Escribamos las funciones de transiciones de uno y dos pasos del modelo (13) requeridas para la especificación de propiedades:

(14)

donde el signo "." denota la operación de conjunción.

Para comprobar la satisfacibilidad de cada propiedad, se especifican los conjuntos inicial (X0) y objetivo (X*), que vienen determinados por los ceros de las ecuaciones G0(x) = 0, G*(x) = 0 o por las funciones características de estos conjuntos (ver apartado 2). Como solucionador de SAT, se utiliza el solucionador de complejo instrumental (IC) REBUS, y el solucionador de TQBF es DepQBF. La codificación de variables en modelos booleanos de las propiedades consideradas a continuación para estos solucionadores se da en la Tabla. 1, los modelos booleanos de estas propiedades en formatos DIMACS y QDIMACS se encuentran en Table. 2.

tabla 1

Codificación de variables

Número de variable en modelo booleano

Propiedad 1

Propiedad 2

Propiedad 3

Propiedad 4

Propiedad 5

Tabla 2

Modelos de propiedades booleanas

Propiedad 1	Propiedad 2	Propiedad 3	Propiedad 4 (A)	Propiedad 4 (B)	Propiedad 5
					mi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0

1. La principal propiedad de accesibilidad (k = 2). Sea X0 = (x∈X: x1 = 0), X*=(x∈X: x1 = 1). Los conjuntos inicial y objetivo están definidos respectivamente por las ecuaciones G0(x) = x1 = 0 y . La ecuación booleana (12) en este caso toma la forma

donde la función ϕ(x0, x1, x2) se define en (14). El solucionador IR REBUS da la respuesta "no satisfecha" (la ecuación no tiene ceros), por lo que se cumple la propiedad de accesibilidad X* de X0, lo que se ve claramente en el siguiente diagrama de transición que se muestra en la figura.

2. Ciclos de longitud k = 2. Una secuencia cíclica de longitud 2 (si existe) es una solución a la ecuación booleana

La función parece

La expresión R(x0, x1) no se incluyó en la ecuación cuando se encontró el ciclo, ya que no existen ciclos de longitud k = 1 (estados de equilibrio) en el modelo (13). Mediante el solver IR REBUS se obtuvieron dos respuestas (en formato de salida DIMACS): 1 2 3 4 5 -6 0 y 1 2 -3 4 5 6 0, correspondientes a secuencias cíclicas (figura): ((1 1 1), (1 1 0)) y ((1 1 0), (1 1 1)). Los conjuntos de estados de ambos ciclos coinciden, lo que significa que el modelo (13) tiene un ciclo de longitud k = 2.

Diagrama de transición del sistema (13)

3. La propiedad de aislamiento del ciclo. Si los elementos s del conjunto de estados C de un ciclo de longitud k = 2 están determinados por la solución de la ecuación booleana Gc(s) = 0, entonces la condición de aislamiento del ciclo es equivalente a la ausencia de ceros en la siguiente ecuación booleana:

Como C = ((1 1 1), (1 1 0)), tenemos

Para esta ecuación, el solucionador IR REBUS encuentra dos soluciones: -1 2 3 4 5 -6 0 y -1 2 -3 4 5 -6 0 (en representación binaria, de acuerdo con la codificación de variables en la Tabla 1, estos son pares de estados (0 1 1), (1 1 0) y ((0 1 0), (1 1 0)). Así, el estado del bucle (1 1 0) tiene dos predecesores, (0 1 1) ) y (0 1 0) que no pertenecen al conjunto de estados del ciclo, lo que significa que la propiedad de aislamiento del ciclo no se cumple, es decir, este ciclo es un atractor.

4. Propiedad de atracción. Sea X* = C un atractor. La fórmula lógica de la propiedad de atracción es la misma que la fórmula de la propiedad de accesibilidad principal

y la ecuación booleana correspondiente para nuestro caso tiene la forma

Escribamos las funciones G0(x0), ϕ(x0, x1, x2) y . La función ϕ(x0, x1, x2) se da en (14). Para X* = C, la expresión es . Considere dos opciones para configurar el conjunto de estados iniciales X0, para los casos de cumplimiento (A) y no cumplimiento (B) de la propiedad de atracción para k = 2 ciclos.

R. Deje . Entonces

En este caso, para la ecuación booleana (15), la respuesta es "unsat". Se cumple la propiedad de atracción para un conjunto dado X0.

B. Deje . Entonces

En este caso, IR REBUS para la ecuación (15) encuentra una solución: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0, que corresponde a la trayectoria ((1 0 1),(1 0 0),(0 1 1)). Esta trayectoria con el estado inicial x0 = (1 0 1) no alcanza el conjunto X* = C en dos ciclos, lo que significa que la propiedad de atracción no se puede satisfacer para el X0 dado.

5. Propiedad de conectividad. La fórmula lógica de la propiedad de conectividad tiene la forma de la siguiente declaración:

Para k = 2 ϕ*(x0, x1, x2) = G0(x0)∨ϕ(x0, x1, x2), donde la función ϕ(x0, x1, x2) se da en (14). Elijamos el estado (1 0 1) como el inicial. Entonces . Sea el objetivo establecido X* = ((0 1 1), (1 0 0)). En este caso, la función G*(x*) tiene la forma

Escribamos G*(x*) en formato CNF:

Usando la ley de De-Morgan, encontramos la negación de la función ϕ*(x0, x1, x2). Sustituyendo todas las funciones obtenidas en (16) y teniendo en cuenta la codificación de las variables booleanas (Tabla 1), obtenemos un modelo booleano en formato QDIMACS (Tabla 2). El solucionador DepQBF da la respuesta "sat", lo que significa la verdad de la declaración (16). Se satisface la propiedad de conexión para X0, X*, T = (1, 2) dados.

Conclusión

Las principales ventajas del método de restricción booleana en el estudio cualitativo de DDS incluyen:

1. El lenguaje lógico utilizado por un especialista en dinámica de autómatas para especificar una propiedad dinámica mediante el uso de cuantificadores de existencia limitada y universalidad.

2. En base a la fórmula de propiedad y las ecuaciones dinámicas, se realiza automáticamente la construcción de la ecuación booleana correspondiente o una fórmula booleana cuantificada.

3. Es bastante fácil automatizar el proceso de convertir las expresiones booleanas resultantes en forma normal conjuntiva con la generación adicional de un archivo en los formatos DIMAX y QDIMAX, que se ingresan para los solucionadores SAT y QBF.

4. El problema de reducir la enumeración está resuelto en cierta medida por los desarrolladores de estos solucionadores y está protegido de los especialistas en el análisis cualitativo de DDS.

5. Se proporciona la posibilidad de resolver el problema del análisis cualitativo de DDS para dimensiones grandes del vector de estado n en un intervalo de tiempo suficientemente largo T. En términos del número de estados, el método de restricción booleana es proporcional cuantitativamente al método de verificación del modelo. Debido al hecho de que en los últimos años ha habido un aumento significativo en el rendimiento de los algoritmos especializados para resolver problemas SAT y TQBF, el número total de variables en el modelo de propiedades booleanas para los solucionadores modernos se puede medir en miles.

El software para el análisis cualitativo de DDS basado en el método de restricciones booleanas se implementa en el marco de un enfoque orientado a servicios utilizando solucionadores especializados de ecuaciones booleanas. El artículo presenta un ejemplo de la implementación del método de restricción booleana basado en un enfoque orientado a servicios para buscar ciclos y estados de equilibrio en redes reguladoras de genes.

Cabe señalar que el método de restricción booleana es un método bastante general para el análisis cualitativo de DDS en un intervalo de tiempo finito. Es aplicable no solo a sistemas autónomos, sino también a sistemas con entradas de control, a sistemas con una profundidad de memoria mayor que uno, a DDS generales, cuando la función de transición es insoluble con respecto al estado xt y tiene la forma F(xt, xt-1) = 0. Para DDS con entradas, la propiedad de controlabilidad y sus diversas variaciones son de particular importancia. Además de los problemas de análisis DDS, el método de restricciones booleanas es aplicable a los problemas de síntesis de realimentación (estática o dinámica, por estado o por entrada), que aseguran el cumplimiento de la propiedad dinámica requerida en el sistema sintetizado.

El estudio fue apoyado por la Fundación Rusa para la Investigación Básica, proyecto No. 18-07-00596/18.

Enlace bibliográfico

Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A. RESTRICCIONES BOOLEANAS EN EL ANÁLISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINÁMICOS BINARIOS // Revista Internacional de Investigación Aplicada y Fundamental. - 2018. - Nº 9. - P. 19-29;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12381 (fecha de acceso: 18/03/2020). Traemos a su atención las revistas publicadas por la editorial "Academia de Historia Natural"