Sistemas de ecuaciones recibidos aplicación amplia en el sector económico modelo matematico varios procesos. Por ejemplo, al resolver problemas de gestión y planificación de la producción, rutas logísticas ( tarea de transporte) o colocación de equipos.

Los sistemas de ecuaciones se utilizan no solo en el campo de las matemáticas, sino también en la física, la química y la biología, cuando se resuelven problemas para encontrar el tamaño de la población.

sistema ecuaciones lineales nombrar dos o más ecuaciones con varias variables para las cuales es necesario encontrar una solución común. Tal secuencia de números para la cual todas las ecuaciones se convierten en verdaderas igualdades o prueban que la secuencia no existe.

Ecuación lineal

Las ecuaciones de la forma ax+by=c se llaman lineales. Las designaciones x, y son las incógnitas, cuyo valor se debe encontrar, b, a son los coeficientes de las variables, c es el término libre de la ecuación.
Resolver la ecuación trazando su gráfico se verá como una línea recta, cuyos puntos son la solución del polinomio.

Tipos de sistemas de ecuaciones lineales

Los más simples son ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables X e Y.

F1(x, y) = 0 y F2(x, y) = 0, donde F1,2 son funciones y (x, y) son funciones variables.

Resolver un sistema de ecuaciones - significa encontrar tales valores (x, y) para los cuales el sistema se convierte en una verdadera igualdad, o establecer que no hay valores adecuados de x e y.

Un par de valores (x, y), escritos como coordenadas puntuales, se denomina solución de un sistema de ecuaciones lineales.

Si los sistemas tienen una solución común o no hay solución, se les llama equivalentes.

Los sistemas homogéneos de ecuaciones lineales son sistemas cuyo lado derecho es igual a cero. Si la parte derecha después del signo "igual" tiene un valor o se expresa mediante una función, dicho sistema no es homogéneo.

El número de variables puede ser mucho más de dos, entonces deberíamos hablar de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales con tres variables o más.

Ante los sistemas, los escolares asumen que el número de ecuaciones necesariamente debe coincidir con el número de incógnitas, pero no es así. El número de ecuaciones en el sistema no depende de las variables, puede haber un número arbitrariamente grande de ellas.

Métodos simples y complejos para resolver sistemas de ecuaciones.

No existe una forma analítica general para resolver tales sistemas, todos los métodos se basan en soluciones numéricas. El curso escolar de matemáticas describe en detalle métodos como la permutación, la suma algebraica, la sustitución, así como el método gráfico y matricial, la solución por el método de Gauss.

La tarea principal en la enseñanza de métodos de resolución es enseñar cómo analizar correctamente el sistema y encontrar el algoritmo de solución óptimo para cada ejemplo. Lo principal no es memorizar un sistema de reglas y acciones para cada método, sino comprender los principios de aplicación de un método en particular.

La solución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales del 7mo grado del programa escolar de educación general es bastante simple y se explica con gran detalle. En cualquier libro de texto de matemáticas, esta sección recibe suficiente atención. La solución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss y Cramer se estudia con más detalle en los primeros cursos de instituciones de educación superior.

Solución de sistemas por el método de sustitución

Las acciones del método de sustitución están dirigidas a expresar el valor de una variable a través de la segunda. La expresión se sustituye en la ecuación restante, luego se reduce a una sola forma variable. La acción se repite dependiendo del número de incógnitas en el sistema

Demos un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales de la clase 7 por el método de sustitución:

Como puede verse en el ejemplo, la variable x se expresó a través de F(X) = 7 + Y. La expresión resultante, sustituida en la segunda ecuación del sistema en lugar de X, ayudó a obtener una variable Y en la segunda ecuación . La solución de este ejemplo no causa dificultades y le permite obtener el valor de Y. Último paso esta es una prueba de los valores recibidos.

No siempre es posible resolver un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales por sustitución. Las ecuaciones pueden ser complejas y la expresión de la variable en términos de la segunda incógnita será demasiado engorrosa para cálculos posteriores. Cuando hay más de 3 incógnitas en el sistema, la solución de sustitución tampoco es práctica.

Solución de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneas:

Solución usando suma algebraica

Cuando se busca una solución a los sistemas por el método de suma, se realizan sumas término por término y multiplicaciones de ecuaciones por varios números. El objetivo final de las operaciones matemáticas es una ecuación con una variable.

para aplicaciones este método se necesita práctica y observación. No es fácil resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de suma con el número de variables 3 o más. La suma algebraica es útil cuando las ecuaciones contienen fracciones y números decimales.

Algoritmo de acción de solución:

1. Multiplica ambos lados de la ecuación por algún número. Como resultado de la operación aritmética, uno de los coeficientes de la variable debe volverse igual a 1.
2. Suma la expresión resultante término por término y encuentra una de las incógnitas.
3. Sustituya el valor resultante en la segunda ecuación del sistema para encontrar la variable restante.

Método de solución introduciendo una nueva variable

Se puede introducir una nueva variable si el sistema necesita encontrar una solución para no más de dos ecuaciones, el número de incógnitas tampoco debe ser más de dos.

El método se utiliza para simplificar una de las ecuaciones introduciendo una nueva variable. La nueva ecuación se resuelve con respecto a la incógnita ingresada y el valor resultante se usa para determinar la variable original.

Puede verse en el ejemplo que al introducir una nueva variable t, fue posible reducir la primera ecuación del sistema a un trinomio cuadrado estándar. Puedes resolver un polinomio encontrando el discriminante.

Es necesario encontrar el valor del discriminante usando la conocida fórmula: D = b2 - 4*a*c, donde D es el discriminante buscado, b, a, c son los multiplicadores del polinomio. En el ejemplo dado, a=1, b=16, c=39, por lo tanto, D=100. Si el discriminante es mayor que cero, entonces hay dos soluciones: t = -b±√D / 2*a, si el discriminante es menor que cero, entonces solo hay una solución: x= -b / 2*a.

La solución para los sistemas resultantes se encuentra por el método de adición.

Un método visual para resolver sistemas.

Adecuado para sistemas con 3 ecuaciones. El método consiste en trazar gráficas de cada ecuación incluida en el sistema sobre el eje de coordenadas. Las coordenadas de los puntos de intersección de las curvas y serán solución común sistemas

El método gráfico tiene una serie de matices. Considere varios ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales de manera visual.

Como se puede ver en el ejemplo, se construyeron dos puntos para cada línea, los valores de la variable x se eligieron arbitrariamente: 0 y 3. Con base en los valores de x, se encontraron los valores para y: 3 y 0. Los puntos con coordenadas (0, 3) y (3, 0) fueron marcados en el gráfico y conectados por una línea.

Los pasos deben repetirse para la segunda ecuación. El punto de intersección de las rectas es la solución del sistema.

En el siguiente ejemplo, se requiere encontrar una solución gráfica al sistema de ecuaciones lineales: 0.5x-y+2=0 y 0.5x-y-1=0.

Como se puede ver en el ejemplo, el sistema no tiene solución, porque las gráficas son paralelas y no se cortan en toda su longitud.

Los sistemas de los ejemplos 2 y 3 son similares, pero cuando se construyen, se vuelve obvio que sus soluciones son diferentes. Cabe recordar que no siempre es posible decir si el sistema tiene solución o no, siempre es necesario construir un gráfico.

Matrix y sus variedades

Las matrices se utilizan para escribir brevemente un sistema de ecuaciones lineales. Una matriz es un tipo especial de tabla llena de números. n*m tiene n - filas y m - columnas.

Una matriz es cuadrada cuando el número de columnas y filas es igual. Una matriz-vector es una matriz de una sola columna con un número infinito de filas. Una matriz con unidades a lo largo de una de las diagonales y otros elementos cero se llama identidad.

Una matriz inversa es una matriz de este tipo, cuando se multiplica por la que la original se convierte en una unidad, dicha matriz existe solo para el cuadrado original.

Reglas para transformar un sistema de ecuaciones en una matriz

Con respecto a los sistemas de ecuaciones, los coeficientes y miembros libres de las ecuaciones se escriben como números de la matriz, una ecuación es una fila de la matriz.

Una fila de matriz se llama distinta de cero si al menos un elemento de la fila no es igual a cero. Por lo tanto, si en alguna de las ecuaciones el número de variables difiere, entonces es necesario ingresar cero en lugar de la incógnita que falta.

Las columnas de la matriz deben corresponder estrictamente a las variables. Esto significa que los coeficientes de la variable x solo se pueden escribir en una columna, por ejemplo, el primero, el coeficiente de la incógnita y, solo en la segunda.

Al multiplicar una matriz, todos los elementos de la matriz se multiplican sucesivamente por un número.

Opciones para encontrar la matriz inversa

La fórmula para encontrar la matriz inversa es bastante simple: K -1 = 1 / |K|, donde K -1 es la matriz inversa y |K| - determinante matricial. |K| no debe ser igual a cero, entonces el sistema tiene solución.

El determinante se calcula fácilmente para una matriz de dos por dos, solo es necesario multiplicar los elementos en diagonal entre sí. Para la opción "tres por tres", existe una fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + un 3 segundo 2 do 1 . Puede usar la fórmula, o puede recordar que necesita tomar un elemento de cada fila y cada columna para que los números de columna y fila de los elementos no se repitan en el producto.

Solución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales por el método matricial

El método matricial para encontrar una solución permite reducir las entradas engorrosas al resolver sistemas con una gran cantidad de variables y ecuaciones.

En el ejemplo, a nm son los coeficientes de las ecuaciones, la matriz es un vector x n son las variables y b n son los términos libres.

Solución de sistemas por el método de Gauss

En matemáticas superiores, el método de Gauss se estudia junto con el método de Cramer, y el proceso de encontrar una solución a los sistemas se denomina método de resolución de Gauss-Cramer. Estos métodos se utilizan para encontrar las variables de sistemas con un gran número de ecuaciones lineales.

El método de Gauss es muy similar a las soluciones de sustitución y adición algebraica, pero es más sistemático. En el curso escolar se utiliza la solución Gaussiana para sistemas de 3 y 4 ecuaciones. El propósito del método es llevar el sistema a la forma de un trapezoide invertido. Mediante transformaciones y sustituciones algebraicas, el valor de una variable se encuentra en una de las ecuaciones del sistema. La segunda ecuación es una expresión con 2 incógnitas y 3 y 4, con 3 y 4 variables, respectivamente.

Después de llevar el sistema a la forma descrita, la solución adicional se reduce a la sustitución secuencial de variables conocidas en las ecuaciones del sistema.

A libros de texto escolares para el grado 7, se describe a continuación un ejemplo de solución por el método de Gauss:

Como se puede ver en el ejemplo, en el paso (3) se obtuvieron dos ecuaciones 3x 3 -2x 4 =11 y 3x 3 +2x 4 =7. La solución de cualquiera de las ecuaciones te permitirá encontrar una de las variables x n.

El teorema 5, que se menciona en el texto, establece que si una de las ecuaciones del sistema se reemplaza por una equivalente, entonces el sistema resultante también será equivalente al original.

El método de Gauss es difícil de entender para los estudiantes. escuela secundaria, pero es una de las formas más interesantes de desarrollar el ingenio de los niños inscritos en el programa. estudio en profundidad en las clases de matemáticas y física.

Para facilitar el registro de los cálculos, se acostumbra hacer lo siguiente:

Los coeficientes de la ecuación y los términos libres se escriben en forma de matriz, donde cada fila de la matriz corresponde a una de las ecuaciones del sistema. separa el lado izquierdo de la ecuación del lado derecho. Los números romanos denotan el número de ecuaciones en el sistema.

Primero anotan la matriz con la que trabajar, luego todas las acciones realizadas con una de las filas. La matriz resultante se escribe después del signo de "flecha" y continúa realizando las operaciones algebraicas necesarias hasta lograr el resultado.

Como resultado, se debe obtener una matriz en la que una de las diagonales sea 1 y todos los demás coeficientes sean iguales a cero, es decir, la matriz se reduce a una sola forma. No debemos olvidarnos de hacer cálculos con los números de ambos lados de la ecuación.

Esta notación es menos engorrosa y le permite no distraerse enumerando numerosas incógnitas.

La aplicación gratuita de cualquier método de solución requerirá cuidado y cierta experiencia. No se aplican todos los métodos. Algunas formas de encontrar soluciones son más preferibles en un área particular de la actividad humana, mientras que otras existen con el propósito de aprender.

Sistemas de ecuaciones lineales. Clase 6

Sistemas de ecuaciones lineales.

Conceptos básicos.

ver sistema

llamó sistema - ecuaciones lineales con incógnitas.

Los números , , se llaman coeficientes del sistema.

Los números se llaman miembros libres del sistema, – variables del sistema. Matriz

llamó la matriz principal del sistema, y la matriz

– sistema de matriz expandida. Matrices - columnas

Y correspondientemente matrices de miembros libres e incógnitas del sistema. Entonces, en forma matricial, el sistema de ecuaciones se puede escribir como . solución del sistema se llama los valores de las variables, al sustituir los cuales, todas las ecuaciones del sistema se convierten en verdaderas igualdades numéricas. Cualquier solución del sistema se puede representar como una matriz-columna. Entonces la igualdad matricial es verdadera.

El sistema de ecuaciones se llama articulación si tiene al menos una solución y incompatible si no tiene solución.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa averiguar si es compatible y, si lo es, encontrar su solución general.

El sistema se llama homogéneo si todos sus términos libres son iguales a cero. Un sistema homogéneo siempre es compatible porque tiene solución.

El teorema de Kronecker-Kopelli.

La respuesta a la pregunta sobre la existencia de soluciones de los sistemas lineales y su unicidad nos permite obtener el siguiente resultado, que se puede formular como las siguientes afirmaciones sobre un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas

(1)

Teorema 2. El sistema de ecuaciones lineales (1) es consistente si y solo si el rango de la matriz principal es igual al rango de la extendida (.

Teorema 3. Si el rango de la matriz principal de un sistema conjunto de ecuaciones lineales es igual al número de incógnitas, entonces el sistema tiene solución única.

Teorema 4. Si el rango de la matriz principal de un sistema conjunto es menor que el número de incógnitas, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones.

Reglas para la resolución de sistemas.

3. Hallar la expresión de las principales variables en función de las libres y obtener la solución general del sistema.

4. Al dar valores arbitrarios a las variables libres, se obtienen todos los valores de las principales variables.

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Método de la matriz inversa.

y , es decir, el sistema tiene solución única. Escribimos el sistema en forma matricial

dónde , , .

Multiplique ambos lados de la ecuación matricial de la izquierda por la matriz

Como , obtenemos , de donde obtenemos igualdad para encontrar incógnitas

Ejemplo 27. Usando el método de la matriz inversa, resuelva el sistema de ecuaciones lineales

Solución. Denotar por la matriz principal del sistema

.

Vamos, luego encontramos la solución por la fórmula.

Calculemos.

Como , entonces el sistema tiene solución única. Encuentra todas las sumas algebraicas

, ,

, ,

, ,

, ,

De este modo

.

Vamos a revisar

.

La matriz inversa se encuentra correctamente. A partir de aquí, usando la fórmula , encontramos la matriz de variables .

.

Comparando los valores de las matrices, obtenemos la respuesta: .

método de Cramer.

Sea dado un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas

y , es decir, el sistema tiene solución única. Escribimos la solución del sistema en forma matricial o

Denotar

. . . . . . . . . . . . . . ,

Así, obtenemos fórmulas para encontrar los valores de las incógnitas, que se denominan fórmulas de Cramer.

Ejemplo 28. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método de Cramer .

Solución. Encuentre el determinante de la matriz principal del sistema.

.

Como , entonces , el sistema tiene solución única.

Encuentre los determinantes restantes para las fórmulas de Cramer

,

,

.

Usando las fórmulas de Cramer, encontramos los valores de las variables

método de Gauss.

El método consiste en la exclusión secuencial de variables.

Sea dado un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas.

El proceso de solución gaussiana consta de dos pasos:

En la primera etapa, la matriz extendida del sistema se reduce a la forma escalonada con la ayuda de transformaciones elementales.

,

donde , que corresponde al sistema

Después de eso, las variables se consideran libres y en cada ecuación se trasladan a lado derecho.

En la segunda etapa, la variable se expresa a partir de la última ecuación, el valor resultante se sustituye en la ecuación. De esta ecuación

se expresa la variable. Este proceso continúa hasta la primera ecuación. El resultado es una expresión de las variables principales en términos de las variables libres .

Ejemplo 29. Resuelve el siguiente sistema usando el método Gaussiano

Solución. Escribamos la matriz extendida del sistema y reducámosla a la forma escalonada

.

Porque es mayor que el número de incógnitas, entonces el sistema es compatible y tiene un número infinito de soluciones. Escribamos el sistema para la matriz escalonada

El determinante de la matriz extendida de este sistema, compuesta por las tres primeras columnas, no es igual a cero, por lo que lo consideramos básico. Variables

Será básico y el variable será libre. Vamos a moverlo en todas las ecuaciones al lado izquierdo.

De la última ecuación expresamos

Sustituyendo este valor en la penúltima segunda ecuación, obtenemos

dónde . Sustituyendo los valores de las variables y en la primera ecuación, encontramos . Escribimos la respuesta de la siguiente forma

Un sistema de ecuaciones lineales es una unión de n ecuaciones lineales, cada una de las cuales contiene k variables. Está escrito así:

Muchos, cuando se enfrentan por primera vez al álgebra superior, creen erróneamente que el número de ecuaciones necesariamente debe coincidir con el número de variables. En el álgebra escolar, este suele ser el caso, pero para el álgebra superior, en términos generales, no es cierto.

La solución de un sistema de ecuaciones es una secuencia de números (k 1 , k 2 , ..., k n ), que es la solución de cada ecuación del sistema, es decir al sustituir en esta ecuación en lugar de las variables x 1 , x 2 , ..., x n da la igualdad numérica correcta.

En consecuencia, resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar el conjunto de todas sus soluciones o demostrar que este conjunto está vacío. Dado que el número de ecuaciones y el número de incógnitas pueden no ser los mismos, son posibles tres casos:

1. El sistema es inconsistente, es decir, el conjunto de todas las soluciones está vacío. Un caso bastante raro que se detecta fácilmente independientemente del método para resolver el sistema.
2. El sistema es consistente y definido, es decir, tiene exactamente una solución. La versión clásica, muy conocida desde la escuela.
3. El sistema es consistente e indefinido, es decir tiene infinitas soluciones. Esta es la opción más difícil. No es suficiente afirmar que "el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones", es necesario describir cómo se organiza este conjunto.

La variable x i se dice permitida si está incluida en una sola ecuación del sistema, y ​​con un coeficiente de 1. Es decir, en las demás ecuaciones, el coeficiente de la variable x i debe ser igual a cero.

Si seleccionamos una variable permitida en cada ecuación, obtenemos un conjunto de variables permitidas para todo el sistema de ecuaciones. El sistema en sí, escrito de esta forma, también se llamará permitido. En términos generales, un mismo sistema inicial puede reducirse a diferentes sistemas permitidos, pero esto no nos preocupa ahora. Estos son ejemplos de sistemas permitidos:

Ambos sistemas están permitidos con respecto a las variables x 1 , x 3 y x 4 . Sin embargo, con el mismo éxito se puede argumentar que el segundo sistema está permitido con respecto a x 1 , x 3 y x 5 . Basta con reescribir la última ecuación en la forma x 5 = x 4 .

Ahora considera más caso general. Supongamos que tenemos k variables en total, de las cuales r están permitidas. Entonces son posibles dos casos:

1. El número de variables permitidas r es igual al número total de variables k : r = k . Obtenemos un sistema de k ecuaciones en el que r = k variables permitidas. Tal sistema es colaborativo y definido, porque x 1 \u003d segundo 1, x 2 \u003d segundo 2, ..., x k \u003d segundo k;
2. El número de variables permitidas r es menor que el número total de variables k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Entonces, en los sistemas anteriores, las variables x 2 , x 5 , x 6 (para el primer sistema) y x 2 , x 5 (para el segundo) son libres. El caso cuando hay variables libres se formula mejor como un teorema:

Tenga en cuenta: esto es muy punto importante! Dependiendo de cómo escriba el sistema final, la misma variable puede ser tanto permitida como gratuita. La mayoría de los tutores de matemáticas avanzados recomiendan escribir las variables en orden lexicográfico, es decir, índice ascendente. Sin embargo, no tienes que seguir este consejo en absoluto.

Teorema. Si en un sistema de n ecuaciones se permiten las variables x 1 , x 2 , ..., x r y x r + 1 , x r + 2 , ..., x k son libres, entonces:

1. Si establecemos los valores de las variables libres (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), y luego encontramos los valores x 1 , x 2 , . .., x r , obtenemos una de las soluciones.
2. Si los valores de las variables libres en dos soluciones son los mismos, entonces los valores de las variables permitidas también son los mismos, es decir las soluciones son iguales.

¿Cuál es el significado de este teorema? Para obtener todas las soluciones del sistema de ecuaciones permitido, basta con seleccionar las variables libres. Luego, asignando a variables libres diferentes significados, recibiremos soluciones llave en mano. Eso es todo: de esta manera puede obtener todas las soluciones del sistema. No hay otras soluciones.

Conclusión: el sistema de ecuaciones permitido es siempre consistente. Si el número de ecuaciones en el sistema permitido es igual al número de variables, el sistema será definido; si es menor, será indefinido.

Y todo estaría bien, pero surge la pregunta: ¿cómo obtener el resuelto del sistema de ecuaciones original? Para esto hay

Contenido de la lección

Ecuaciones lineales con dos variables

El estudiante tiene 200 rublos para almorzar en la escuela. Un pastel cuesta 25 rublos y una taza de café cuesta 10 rublos. ¿Cuántos pasteles y tazas de café puedes comprar por 200 rublos?

Denote el número de tortas a través de X, y el número de tazas de café a través y. Entonces el costo de los pasteles se denotará con la expresión 25 X, y el costo de las tazas de café en 10 y .

25X- precio X tortas
10y- precio y tazas de café

La cantidad total debe ser de 200 rublos. Entonces obtenemos una ecuación con dos variables. X y y

25X+ 10y= 200

¿Cuántas raíces tiene esta ecuación?

Todo depende del apetito del estudiante. Si compra 6 pasteles y 5 tazas de café, entonces las raíces de la ecuación serán los números 6 y 5.

Se dice que el par de valores 6 y 5 son las raíces de la Ecuación 25 X+ 10y= 200 . Escrito como (6; 5), siendo el primer número el valor de la variable X, y el segundo - el valor de la variable y .

6 y 5 no son las únicas raíces que invierten la Ecuación 25 X+ 10y= 200 a la identidad. Si lo desea, por los mismos 200 rublos, un estudiante puede comprar 4 pasteles y 10 tazas de café:

En este caso, las raíces de la ecuación 25 X+ 10y= 200 es el par de valores (4; 10) .

Además, un estudiante no puede comprar café en absoluto, sino pasteles por 200 rublos. Entonces las raíces de la ecuación 25 X+ 10y= 200 serán los valores 8 y 0

O viceversa, no compre pasteles, pero compre café por los 200 rublos. Entonces las raíces de la ecuación 25 X+ 10y= 200 serán los valores 0 y 20

Intentemos hacer una lista de todas las raíces posibles de la ecuación 25 X+ 10y= 200 . Convengamos en que los valores X y y pertenecen al conjunto de los enteros. Y que estos valores sean mayores o iguales a cero:

X∈Z, y∈ Z;
X ≥ 0, y ≥ 0

Entonces será conveniente para el estudiante mismo. Es más conveniente comprar tortas enteras que, por ejemplo, varias tortas enteras y media torta. El café también es más cómodo de tomar en tazas enteras que, por ejemplo, varias tazas enteras y media taza.

Tenga en cuenta que para impar X es imposible alcanzar la igualdad bajo cualquier y. Entonces los valores X habrá los siguientes números 0, 2, 4, 6, 8. Y sabiendo X se puede determinar facilmente y

Por lo tanto, obtuvimos los siguientes pares de valores (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Estos pares son soluciones o raíces de la Ecuación 25 X+ 10y= 200. Convierten esta ecuación en una identidad.

Ecuación tipo hacha + por = c llamó ecuación lineal con dos variables. Una solución o raíces de esta ecuación es un par de valores ( X; y), lo que la convierte en una identidad.

Tenga en cuenta también que si una ecuación lineal con dos variables se escribe como hacha + b y = c , entonces dicen que está escrito en canónico forma (normal).

Algunas ecuaciones lineales en dos variables se pueden reducir a forma canónica.

Por ejemplo, la ecuación 2(16X+ 3y- 4) = 2(12 + 8X − y) se puede traer a la mente hacha + por = c. Abramos los paréntesis en ambas partes de esta ecuación, obtenemos 32X + 6y − 8 = 24 + 16X − 2y . Los términos que contienen incógnitas se agrupan en el lado izquierdo de la ecuación y los términos libres de incógnitas se agrupan en el lado derecho. Entonces obtenemos 32X - 16X+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Traemos términos similares en ambas partes, obtenemos la ecuación 16 X+ 8y= 32. Esta ecuación se reduce a la forma hacha + por = c y es canónico.

Ecuación 25 considerada anteriormente X+ 10y= 200 también es una ecuación lineal de dos variables en forma canónica. En esta ecuación, los parámetros a , b y C son iguales a los valores 25, 10 y 200, respectivamente.

en realidad la ecuacion hacha + por = c tiene un número infinito de soluciones. Resolver la ecuación 25X+ 10y= 200, buscamos sus raíces solo en el conjunto de los enteros. Como resultado obtuvimos varios pares de valores que convirtieron esta ecuación en una identidad. Pero en el conjunto de números racionales ecuación 25 X+ 10y= 200 tendrá un número infinito de soluciones.

Para obtener nuevos pares de valores, debe tomar un valor arbitrario para X, luego expresa y. Por ejemplo, tomemos una variable X valor 7. Entonces obtenemos una ecuación con una variable 25×7 + 10y= 200 en el que expresar y

Dejar X= 15 . Entonces la ecuación 25X+ 10y= 200 se convierte en 25 × 15 + 10y= 200. A partir de aquí encontramos que y = −17,5

Dejar X= −3 . Entonces la ecuación 25X+ 10y= 200 se convierte en 25 × (−3) + 10y= 200. A partir de aquí encontramos que y = −27,5

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables

para la ecuacion hacha + por = c puede tomar cualquier número de veces valores arbitrarios para X y encontrar valores para y. Tomada por separado, tal ecuación tendrá un número infinito de soluciones.

Pero también sucede que las variables X y y conectado no por una, sino por dos ecuaciones. En este caso, forman los llamados sistema de ecuaciones lineales con dos variables. Tal sistema de ecuaciones puede tener un par de valores (o en otras palabras: "una solución").

También puede ocurrir que el sistema no tenga ninguna solución. Un sistema de ecuaciones lineales puede tener un número infinito de soluciones en casos raros y excepcionales.

Dos ecuaciones lineales forman un sistema cuando los valores X y y están incluidos en cada una de estas ecuaciones.

Volvamos a la primera ecuación 25 X+ 10y= 200 . Uno de los pares de valores para esta ecuación fue el par (6; 5). Este es el caso cuando con 200 rublos se pueden comprar 6 pasteles y 5 tazas de café.

Componemos el problema de modo que el par (6; 5) se convierta en la única solución para la ecuación 25 X+ 10y= 200 . Para hacer esto, componemos otra ecuación que conectaría el mismo X tortas y y tazas de café.

Pongamos el texto de la tarea de la siguiente manera:

“Un escolar compró varios pasteles y varias tazas de café por 200 rublos. Un pastel cuesta 25 rublos y una taza de café cuesta 10 rublos. ¿Cuántos pasteles y tazas de café compró el estudiante si se sabe que el número de pasteles es uno más que el número de tazas de café?

Ya tenemos la primera ecuación. Esta es la Ecuación 25 X+ 10y= 200 . Ahora vamos a escribir una ecuación para la condición "el numero de tortas es una unidad mas que el numero de tazas de cafe" .

el numero de tortas es X, y el número de tazas de café es y. Puedes escribir esta frase usando la ecuación x − y= 1. Esta ecuación significaría que la diferencia entre pasteles y café es 1.

x=y+ 1 . Esta ecuación significa que el número de pasteles es uno más que el número de tazas de café. Por lo tanto, para obtener la igualdad, se suma uno al número de tazas de café. Esto se puede entender fácilmente si usamos el modelo de peso que consideramos al estudiar los problemas más simples:

Tengo dos ecuaciones: 25 X+ 10y= 200 y x=y+ 1. Dado que los valores X y y, a saber, 6 y 5 están incluidos en cada una de estas ecuaciones, entonces juntos forman un sistema. Escribamos este sistema. Si las ecuaciones forman un sistema, entonces están enmarcadas por el signo del sistema. El signo del sistema es una llave:

Vamos a decidir este sistema. Esto nos permitirá ver cómo llegamos a los valores 6 y 5. Hay muchos métodos para resolver este tipo de sistemas. Considere el más popular de ellos.

Método de sustitución

El nombre de este método habla por sí mismo. Su esencia es sustituir una ecuación por otra, habiendo expresado previamente una de las variables.

En nuestro sistema, nada necesita ser expresado. en la segunda ecuacion X = y+ 1 variable X ya expresado. Esta variable es igual a la expresión y+ 1 . Entonces puedes sustituir esta expresión en la primera ecuación en lugar de la variable X

Después de sustituir la expresión y+ 1 en la primera ecuación en su lugar X, obtenemos la ecuación 25(y+ 1) + 10y= 200 . Esta es una ecuación lineal con una variable. Esta ecuación es bastante fácil de resolver:

Hallamos el valor de la variable y. Ahora sustituimos este valor en una de las ecuaciones y encontramos el valor X. Para ello, es conveniente utilizar la segunda ecuación X = y+ 1 . Pongámosle valor y

Así que el par (6; 5) es una solución al sistema de ecuaciones, como pretendíamos. Comprobamos y nos aseguramos de que el par (6; 5) satisface el sistema:

Ejemplo 2

Sustituir la primera ecuación X= 2 + y en la segunda ecuación 3 X - 2y= 9 . En la primera ecuación, la variable X es igual a la expresión 2 + y. Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación en lugar de X

Ahora encontremos el valor X. Para ello, sustituya el valor y en la primera ecuacion X= 2 + y

Entonces la solución del sistema es el valor del par (5; 3)

Ejemplo 3. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de sustitución:

Aquí, a diferencia de los ejemplos anteriores, una de las variables no se expresa explícitamente.

Para sustituir una ecuación en otra, primero necesita .

Es deseable expresar la variable que tiene un coeficiente de uno. La unidad de coeficiente tiene una variable X, que está contenido en la primera ecuación X+ 2y= 11 . Expresemos esta variable.

Después de una expresión variable X, nuestro sistema se verá así:

Ahora sustituimos la primera ecuación en la segunda y encontramos el valor y

Sustituto y X

Entonces la solución del sistema es un par de valores (3; 4)

Por supuesto, también puede expresar una variable y. Las raíces no cambiarán. Pero si expresas y, el resultado no es una ecuación muy simple, cuya solución llevará más tiempo. Se verá así:

Vemos que en este ejemplo para expresar X mucho más conveniente que expresar y .

Ejemplo 4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de sustitución:

Expresar en la primera ecuación X. Entonces el sistema tomará la forma:

y

Sustituto y en la primera ecuación y hallar X. Puedes usar la ecuación original 7 X+ 9y= 8 , o utilice la ecuación en la que se expresa la variable X. Usaremos esta ecuación, ya que es conveniente:

Entonces la solución del sistema es el par de valores (5; −3)

método de adición

El método de suma consiste en sumar término a término las ecuaciones incluidas en el sistema. Esta suma da como resultado una nueva ecuación de una variable. Y es bastante fácil resolver esta ecuación.

Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones:

Suma el lado izquierdo de la primera ecuación al lado izquierdo de la segunda ecuación. Y el lado derecho de la primera ecuación con el lado derecho de la segunda ecuación. Obtenemos la siguiente igualdad:

Aquí hay términos similares:

Como resultado, obtuvimos la ecuación más simple 3 X= 27 cuya raíz es 9. Conociendo el valor X puedes encontrar el valor y. Sustituye el valor X en la segunda ecuacion x − y= 3 . Obtenemos 9 − y= 3 . De aquí y= 6 .

Entonces la solución del sistema es un par de valores (9; 6)

Ejemplo 2

Suma el lado izquierdo de la primera ecuación al lado izquierdo de la segunda ecuación. Y el lado derecho de la primera ecuación con el lado derecho de la segunda ecuación. En la igualdad resultante, presentamos términos semejantes:

Como resultado, obtuvimos la ecuación más simple 5 X= 20, cuya raíz es 4. Conociendo el valor X puedes encontrar el valor y. Sustituye el valor X en la primera ecuación 2 x+y= 11 . Vamos a obtener 8 + y= 11 . De aquí y= 3 .

Entonces la solución del sistema es el par de valores (4;3)

El proceso de adición no se describe en detalle. Tiene que hacerse en la mente. Al sumar, ambas ecuaciones deben reducirse a forma canónica. Es decir ac+por=c .

De los ejemplos considerados, se puede ver que el objetivo principal de sumar ecuaciones es deshacerse de una de las variables. Pero no siempre es posible resolver inmediatamente el sistema de ecuaciones por el método de la suma. La mayoría de las veces, el sistema se lleva preliminarmente a una forma en la que es posible agregar las ecuaciones incluidas en este sistema.

Por ejemplo, el sistema puede resolverse directamente por el método de la suma. Al sumar ambas ecuaciones, los términos y y −y desaparecen porque su suma es cero. Como resultado, la ecuación más simple se forma 11 X= 22 , cuya raíz es 2. Entonces será posible determinar y igual a 5

y el sistema de ecuaciones el método de la suma no se puede resolver inmediatamente, ya que esto no conducirá a la desaparición de una de las variables. La suma dará como resultado la Ecuación 8 X+ y= 28 , que tiene un número infinito de soluciones.

Si ambas partes de la ecuación se multiplican o dividen por un mismo número que no es igual a cero, entonces se obtendrá una ecuación equivalente a la dada. Esta regla también es válida para un sistema de ecuaciones lineales con dos variables. Una de las ecuaciones (o ambas ecuaciones) se puede multiplicar por algún número. El resultado es un sistema equivalente, cuyas raíces coincidirán con el anterior.

Volvamos al primer sistema, que describía cuántos pasteles y tazas de café compró el estudiante. La solución de este sistema fue un par de valores (6; 5) .

Multiplicamos ambas ecuaciones incluidas en este sistema por algunos números. Digamos que multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3

El resultado es un sistema
La solución a este sistema sigue siendo el par de valores (6; 5)

Esto significa que las ecuaciones incluidas en el sistema se pueden reducir a una forma adecuada para aplicar el método de adición.

volver al sistema , que no pudimos resolver por el método de la suma.

Multiplica la primera ecuación por 6 y la segunda por −2

Entonces obtenemos el siguiente sistema:

Sumamos las ecuaciones incluidas en este sistema. Adición de componentes 12 X y -12 X dará como resultado 0, suma 18 y y 4 y dará 22 y, y sumando 108 y −20 da 88. Entonces obtienes la ecuación 22 y= 88 , por lo tanto y = 4 .

Si al principio le resulta difícil sumar ecuaciones en su mente, entonces puede escribir cómo el lado izquierdo de la primera ecuación se suma al lado izquierdo de la segunda ecuación, y el lado derecho de la primera ecuación al lado derecho de la segunda ecuacion:

Sabiendo que el valor de la variable y es 4, puedes encontrar el valor X. Sustituto y en una de las ecuaciones, por ejemplo en la primera ecuación 2 X+ 3y= 18 . Entonces obtenemos una ecuación con una variable 2 X+ 12 = 18 . Pasamos 12 al lado derecho, cambiando el signo, obtenemos 2 X= 6 , por lo tanto X = 3 .

Ejemplo 4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Multiplica la segunda ecuación por −1. Entonces el sistema tomará la siguiente forma:

Sumemos ambas ecuaciones. Adición de componentes X y −x dará como resultado 0, suma 5 y y 3 y dará 8 y, y sumando 7 y 1 da 8. El resultado es la ecuación 8 y= 8 , cuya raíz es 1. Sabiendo que el valor y es 1, puedes encontrar el valor X .

Sustituto y en la primera ecuación, obtenemos X+ 5 = 7 , por lo tanto X= 2

Ejemplo 5. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Es deseable que los términos que contienen las mismas variables se ubiquen uno debajo del otro. Por lo tanto, en la segunda ecuación, los términos 5 y y −2 X cambiar lugares. Como resultado, el sistema tomará la forma:

Multiplica la segunda ecuación por 3. Entonces el sistema tomará la forma:

Ahora vamos a sumar ambas ecuaciones. Como resultado de la suma, obtenemos la ecuación 8 y= 16 , cuya raíz es 2.

Sustituto y en la primera ecuación, obtenemos 6 X- 14 = 40 . Pasamos el término −14 al lado derecho, cambiando el signo, obtenemos 6 X= 54 . De aquí X= 9.

Ejemplo 6. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Deshagámonos de las fracciones. Multiplica la primera ecuación por 36 y la segunda por 12

En el sistema resultante la primera ecuación se puede multiplicar por −5 y la segunda por 8

Sumemos las ecuaciones en el sistema resultante. Entonces obtenemos la ecuación más simple −13 y= −156 . De aquí y= 12 . Sustituto y en la primera ecuación y hallar X

Ejemplo 7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Traemos ambas ecuaciones a la forma normal. Aquí es conveniente aplicar la regla de la proporción en ambas ecuaciones. Si en la primera ecuación el lado derecho se representa como , y el lado derecho de la segunda ecuación como , entonces el sistema tomará la forma:

Tenemos una proporción. Multiplicamos sus términos extremos y medios. Entonces el sistema tomará la forma:

Multiplicamos la primera ecuación por −3, y abrimos los paréntesis en la segunda:

Ahora vamos a sumar ambas ecuaciones. Como resultado de sumar estas ecuaciones, obtenemos una igualdad, en ambas partes de las cuales habrá cero:

Resulta que el sistema tiene un número infinito de soluciones.

Pero no podemos simplemente tomar valores arbitrarios del cielo para X y y. Podemos especificar uno de los valores, y el otro se determinará en función del valor que especificamos. Por ejemplo, deja X= 2 . Sustituye este valor en el sistema:

Como resultado de resolver una de las ecuaciones, el valor de y, que satisfará ambas ecuaciones:

El par de valores resultante (2; −2) satisfará el sistema:

Encontremos otro par de valores. Dejar X= 4. Sustituya este valor en el sistema:

Se puede determinar a simple vista que y es igual a cero Luego obtenemos un par de valores (4; 0), que satisface nuestro sistema:

Ejemplo 8. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Multiplica la primera ecuación por 6 y la segunda por 12

Reescribamos lo que queda:

Multiplica la primera ecuación por −1. Entonces el sistema tomará la forma:

Ahora vamos a sumar ambas ecuaciones. Como resultado de la suma, se forma la ecuación 6 b= 48 , cuya raíz es 8. Sustituye b en la primera ecuación y hallar a

Sistema de ecuaciones lineales con tres variables

Una ecuación lineal con tres variables incluye tres variables con coeficientes, así como una intersección. En forma canónica, se puede escribir de la siguiente manera:

hacha + por + cz = d

Esta ecuación tiene un número infinito de soluciones. Dando dos variables varios significados, puedes encontrar el tercer valor. La solución en este caso es el triple de valores ( X; y; z) que convierte la ecuación en una identidad.

Si las variables x, y, z están interconectados por tres ecuaciones, entonces se forma un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables. Para resolver dicho sistema, puede aplicar los mismos métodos que se aplican a las ecuaciones lineales con dos variables: el método de sustitución y el método de adición.

Ejemplo 1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de sustitución:

Expresamos en la tercera ecuación X. Entonces el sistema tomará la forma:

Ahora vamos a hacer la sustitución. Variable X es igual a la expresión 3 − 2y − 2z . Sustituye esta expresión en la primera y segunda ecuaciones:

Abramos los paréntesis en ambas ecuaciones y demos términos semejantes:

Hemos llegado a un sistema de ecuaciones lineales con dos variables. En este caso, es conveniente aplicar el método de adición. En consecuencia, la variable y desaparecerá y podremos encontrar el valor de la variable z

Ahora encontremos el valor y. Para ello, es conveniente utilizar la ecuación − y+ z= 4. Sustituye el valor z

Ahora encontremos el valor X. Para ello, es conveniente utilizar la ecuación X= 3 − 2y − 2z . Sustituye los valores en él. y y z

Así, el triple de valores (3; −2; 2) es la solución a nuestro sistema. Al verificar, nos aseguramos de que estos valores satisfagan el sistema:

Ejemplo 2. Resolver el sistema por el método de la suma

Sumemos la primera ecuación con la segunda multiplicada por −2.

Si la segunda ecuación se multiplica por −2, entonces tomará la forma −6X+ 6y- 4z = −4 . Ahora añádelo a la primera ecuación:

Vemos que como resultado de transformaciones elementales, se determinó el valor de la variable X. Es igual a uno.

Volvamos al sistema principal. Sumemos la segunda ecuación con la tercera multiplicada por −1. Si la tercera ecuación se multiplica por −1, entonces tomará la forma −4X + 5y − 2z = −1 . Ahora añádelo a la segunda ecuación:

tengo la ecuacion X - 2y= −1 . Sustituye el valor en él X que encontramos antes. Entonces podemos determinar el valor y

Ahora sabemos los valores. X y y. Esto le permite determinar el valor z. Usamos una de las ecuaciones incluidas en el sistema:

Así, el triple de valores (1; 1; 1) es la solución a nuestro sistema. Al verificar, nos aseguramos de que estos valores satisfagan el sistema:

Tareas para compilar sistemas de ecuaciones lineales

La tarea de compilar sistemas de ecuaciones se resuelve introduciendo varias variables. A continuación, se compilan las ecuaciones en función de las condiciones del problema. A partir de las ecuaciones compiladas, forman un sistema y lo resuelven. Habiendo resuelto el sistema, es necesario comprobar si su solución satisface las condiciones del problema.

Tarea 1. Un coche Volga salió de la ciudad hacia la granja colectiva. Regresó por otro camino, que era 5 km más corto que el primero. En total, el automóvil recorrió 35 km en ambos sentidos. ¿Cuántos kilómetros tiene cada camino?

Solución

Dejar X- longitud del primer camino, y- la duración del segundo. Si el automóvil recorrió 35 km en ambos sentidos, entonces la primera ecuación se puede escribir como X+ y= 35. Esta ecuación describe la suma de las longitudes de ambos caminos.

Se dice que el coche regresaba por el camino, que era más corto que el primero en 5 km. Entonces la segunda ecuación se puede escribir como X− y= 5. Esta ecuación muestra que la diferencia entre las longitudes de los caminos es de 5 km.

O la segunda ecuación se puede escribir como X= y+ 5 . Usaremos esta ecuación.

Dado que las variables X y y en ambas ecuaciones denotan el mismo número, entonces podemos formar un sistema a partir de ellas:

Resolvamos este sistema usando uno de los métodos estudiados anteriormente. En este caso, es conveniente utilizar el método de sustitución, ya que en la segunda ecuación la variable X ya expresado.

Sustituye la segunda ecuación en la primera y encuentra y

Sustituye el valor encontrado y en la segunda ecuacion X= y+ 5 y encuentra X

La longitud del primer camino fue denotada por la variable X. Ahora hemos encontrado su significado. Variable X es 20. Así que la longitud del primer camino es 20 km.

Y la longitud del segundo camino fue indicada por y. El valor de esta variable es 15. Entonces la longitud de la segunda carretera es de 15 km.

Hagamos una comprobación. Primero, asegurémonos de que el sistema se resuelve correctamente:

Ahora comprobemos si la solución (20; 15) satisface las condiciones del problema.

Se dijo que en total el automóvil recorrió 35 km en ambos sentidos. Sumamos las longitudes de ambos caminos y nos aseguramos de que la solución (20; 15) satisface esta condición: 20km + 15km = 35km

Siguiente condición: el coche volvió por otro camino, que era 5 km más corto que el primero . Vemos que la solución (20; 15) también satisface esta condición, ya que 15 km es más corto que 20 km por 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Al compilar un sistema, es importante que las variables denoten los mismos números en todas las ecuaciones incluidas en este sistema.

Así que nuestro sistema contiene dos ecuaciones. Estas ecuaciones contienen a su vez las variables X y y, que denotan los mismos números en ambas ecuaciones, a saber, las longitudes de las carreteras iguales a 20 km y 15 km.

Tarea 2. Sobre la plataforma se cargaron traviesas de roble y pino, un total de 300 traviesas. Se sabe que todas las traviesas de roble pesaban 1 tonelada menos que todas las traviesas de pino. Determine cuántas traviesas de roble y pino había por separado, si cada traviesa de roble pesaba 46 kg y cada traviesa de pino 28 kg.

Solución

Dejar X roble y y Se cargaron durmientes de pino en la plataforma. Si hubiera 300 durmientes en total, entonces la primera ecuación se puede escribir como x+y = 300 .

Todos los durmientes de roble pesaban 46 X kg, y el pino pesaba 28 y kg. Dado que las traviesas de roble pesaban 1 tonelada menos que las de pino, la segunda ecuación se puede escribir como 28y- 46X= 1000 . Esta ecuación muestra que la diferencia de masa entre traviesas de roble y pino es de 1000 kg.

Las toneladas se han convertido a kilogramos porque la masa de las traviesas de roble y pino se mide en kilogramos.

Como resultado, obtenemos dos ecuaciones que forman el sistema

Resolvamos este sistema. Expresar en la primera ecuación X. Entonces el sistema tomará la forma:

Sustituye la primera ecuación en la segunda y encuentra y

Sustituto y en la ecuación X= 300 − y y descubre lo que X

Esto significa que se cargaron en la plataforma 100 traviesas de roble y 200 de pino.

Comprobemos si la solución (100; 200) satisface las condiciones del problema. Primero, asegurémonos de que el sistema se resuelve correctamente:

Se dijo que había 300 durmientes en total. Sumamos el número de traviesas de roble y pino y nos aseguramos de que la solución (100; 200) cumple esta condición: 100 + 200 = 300.

Siguiente condición: todas las traviesas de roble pesaban 1 tonelada menos que todas las de pino . Vemos que la solución (100; 200) también cumple esta condición, ya que 46 × 100 kg de traviesas de roble son más ligeras que 28 × 200 kg de traviesas de pino: 5600 kg - 4600 kg = 1000 kg.

Tarea 3. Tomamos tres piezas de una aleación de cobre y níquel en proporciones de 2:1, 3:1 y 5:1 en peso. De estos, se fundió una pieza de 12 kg con una relación de contenido de cobre y níquel de 4:1. Encuentra la masa de cada pieza original si la masa de la primera es el doble de la masa de la segunda.

Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas llamado sistema de la forma

dónde aij y b yo (i=1,…,metro; b=1,…,norte) son algunos números conocidos, y x 1 ,…,x n- desconocido. En la notación de los coeficientes aij primer índice i denota el número de la ecuación, y el segundo j es el número de la incógnita en la que se encuentra este coeficiente.

Los coeficientes de las incógnitas se escribirán en forma de matriz , que llamaremos matriz del sistema.

Los números en el lado derecho de las ecuaciones. b 1 ,…,b m llamó miembros libres.

Agregar norte números c 1 ,…, c n llamó decisión de este sistema, si cada ecuación del sistema se convierte en una igualdad después de sustituir números en ella c 1 ,…, c n en lugar de las correspondientes incógnitas x 1 ,…,x n.

Nuestra tarea será encontrar soluciones al sistema. En este caso se pueden dar tres situaciones:

Un sistema de ecuaciones lineales que tiene al menos una solución se llama articulación. De lo contrario, es decir si el sistema no tiene soluciones, entonces se llama incompatible.

Considere formas de encontrar soluciones para el sistema.

METODO MATRICIAL PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Las matrices permiten escribir brevemente un sistema de ecuaciones lineales. Sea dado un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas:

Considere la matriz del sistema y columnas de matriz de miembros desconocidos y libres

Busquemos el producto

aquellos. como resultado del producto, obtenemos los lados izquierdos de las ecuaciones de este sistema. Entonces, usando la definición de igualdad matricial, este sistema se puede escribir como

o más corto A∙X=B.

Aquí matrices A y B son conocidos, y la matriz X desconocido. Ella necesita ser encontrada, porque. sus elementos son la solución de este sistema. Esta ecuación se llama ecuación matricial.

Sea el determinante de la matriz diferente de cero | A| ≠ 0. Entonces la ecuación matricial se resuelve de la siguiente manera. Multiplica ambos lados de la ecuación de la izquierda por la matriz A-1, la inversa de la matriz A: . Porque el A -1 A = E y mi∙X=X, entonces obtenemos la solución de la ecuación matricial en la forma X = A -1B .

Tenga en cuenta que dado que la matriz inversa solo se puede encontrar para matrices cuadradas, el método de la matriz solo puede resolver aquellos sistemas en los que el numero de ecuaciones es igual al numero de incognitas. Sin embargo, la notación matricial del sistema también es posible en el caso de que el número de ecuaciones no sea igual al número de incógnitas, entonces la matriz A no es cuadrado y por lo tanto es imposible encontrar una solución al sistema en la forma X = A -1B.

Ejemplos. Resolver sistemas de ecuaciones.

REGLA DE CRAMER

Considere un sistema de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas:

Determinante de tercer orden correspondiente a la matriz del sistema, es decir compuesto de coeficientes en incógnitas,

llamó determinante del sistema.

Componemos tres determinantes más de la siguiente manera: reemplazamos sucesivamente 1, 2 y 3 columnas en el determinante D con una columna de miembros libres

Entonces podemos demostrar el siguiente resultado.

Teorema (regla de Cramer). Si el determinante del sistema es Δ ≠ 0, entonces el sistema en consideración tiene una y sólo una solución, y

Prueba. Entonces, considere un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas. Multiplica la 1ra ecuación del sistema por el complemento algebraico un 11 elemento un 11, segunda ecuación - en A21 y 3º - en Un 31:

Sumemos estas ecuaciones:

Considere cada uno de los corchetes y el lado derecho de esta ecuación. Por el teorema de la expansión del determinante en función de los elementos de la 1ª columna

De manera similar, se puede demostrar que y .

Finalmente, es fácil ver que

Así, obtenemos la igualdad: .

Como consecuencia, .

Las igualdades y se derivan análogamente, de donde se sigue la afirmación del teorema.

Así, notamos que si el determinante del sistema es Δ ≠ 0, entonces el sistema tiene solución única y viceversa. Si el determinante del sistema es igual a cero, entonces el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones o no tiene soluciones, es decir incompatible.

Ejemplos. Resolver un sistema de ecuaciones

MÉTODO DE GAUSS

Los métodos considerados anteriormente pueden usarse para resolver solo aquellos sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas, y el determinante del sistema debe ser diferente de cero. El método de Gauss es más universal y es adecuado para sistemas con cualquier número de ecuaciones. Consiste en la eliminación sucesiva de incógnitas de las ecuaciones del sistema.

Considere nuevamente un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

.

Dejamos la primera ecuación sin cambios, y de la 2 y 3 excluimos los términos que contienen x1. Para hacer esto, dividimos la segunda ecuación por a 21 y multiplicar por - a 11 y luego sumar con la primera ecuación. De manera similar, dividimos la tercera ecuación en a 31 y multiplicar por - a 11 y luego añádelo al primero. Como resultado, el sistema original tomará la forma:

Ahora, de la última ecuación, eliminamos el término que contiene x2. Para ello, divide la tercera ecuación por , multiplícala por y súmala a la segunda. Entonces tendremos un sistema de ecuaciones:

Por lo tanto, a partir de la última ecuación es fácil encontrar x3, entonces de la segunda ecuación x2 y finalmente desde el 1 - x1.

Cuando se utiliza el método gaussiano, las ecuaciones se pueden intercambiar si es necesario.

A menudo, en lugar de escribir un nuevo sistema de ecuaciones, se limitan a escribir la matriz extendida del sistema:

y luego llevarlo a una forma triangular o diagonal usando transformaciones elementales.

A transformaciones elementales Las matrices incluyen las siguientes transformaciones:

1. permutación de filas o columnas;
2. multiplicar una cadena por un número distinto de cero;
3. añadiendo a una línea otras líneas.

Ejemplos: Resolver sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss.

Por lo tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones.